4.4黄金分割
北师大版九年级上册4.4.4黄金分割课件
?
的塔身，变得丰富多
彩，非常协调、美观
黄金分割
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，
如果 AC AB
BC AC
,
那么称线段AB被点C黄金分割，
点C叫做线段AB的黄金分割点， AC与AB的比称为黄金比.
分析：设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为 x个单位，
则CB为 1x个单位，
AC BC AB AC
２、方法(1)判断黄金分割点的方法 (2)作线段黄金分割点的方法
３、延伸:黄金分割在现实生活中的价值与 意义。
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
尝试பைடு நூலகம்
底BC与腰AB的长度,计算: B C 0.;618
AB
2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,
再计算: C D 0..(6精1确8 到0.001)
BC
A
黄金三角形
☆顶角为36°的等腰三角形底边
与腰之比约为0.618;
E
D ☆点D是线段AC的黄金分割点. ☆再作∠C的平分线,交BD于E,
《黄金分割》
请你欣赏
活动一：建立黄金分割的概念．
（1）下面的几张图片，哪张构图最美？
活动一：建立黄金分割的概念．
（2）芭蕾舞演 员做相同的动 作，踮脚尖和 不踮脚尖，哪 个更美？
（３）脸型相同，五官基本相同的3张脸，哪个更美？
下列矩形中,哪些比较匀称?
①
③
618,这样的矩形称之为黄金矩形.
B
C △CDE也是黄金三角形,……
如图,正五边形ABCDE的5条边相等,
找一找
5个内角也相等.
⑴找找看,图中是否有黄金三角形?
北师大版 九年级数学上册 第四章 4.4.4黄金分割 教学课件
当堂小练
1.下列说法正确的是( B )
A.每条线段有且仅有一个黄金分割点
B.黄金分割点分一条线段为两条线段,其中较长的线段约是这条线段的0.618
C.若点C把线段AB黄金分割,则AC2=AB·BC
D.以上说法都不对
2.如图,点C是线段AB的黄金分割点,则下列各式正确的是( B)
A.ACBC=ABAC
AB AC
称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的
比叫做黄金比.
(2)应用黄金分割比时，如果精确计算就要使用
如果要求精确
到小数点后某位，那么注意在结果的最后再代入估计值0.618，这样
能够最大限度地保证结果的精确度．
课堂小结
点C在线段AB上
黄
金
分
割
线段AB被点C黄金分割
新课讲解
练一练
已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法
错误的是( C )
A．如果 AC BC ，那么线段AB被点C黄金分割
AB AC
B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C 黄金分割 C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比
叫做黄金比 D．0.618是黄金比的近似值
新课讲解
解:设该雕像下半部分设计的高度为x m,那么雕 像上半部分的高度为(2-x)m.依题意,得2xx=x2. 解得x1=-1+5≈1.236,x2=-1-5(不合意题,舍去 ).
拓展与延伸
2.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是 理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女
例
美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接
近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士的身高为
新北师大版4.4.4黄金分割良心课件
幸运闯关
M P N
如图,点P是线段MN的黄金分割点(MP＞NP), PN MP MN MP ______, _____. (1)可得比例式 MN MP NP MP (2)若MN=1,则MP≈_____,NP≈_____. 0.618 0.382
(3)若MN=5,则MP≈______,NP≈______. 3.09 1.91 (4)若MN=a,则MP≈______,NP≈______. 0.618a 0.382a
x 1 1 x x2 ,
解方程得
x
1
=
5 1 2
x x 1 0.
2
x
2
1 5 = 2
(舍去负值）
点 C 是线段 AB 黄金分割点，且 AC>CB，
AC 5 1 求得黄金分割比为 0.618. AB 2
5 1 3 5 当 AB＝1 时，AC＝ ≈0.618，BC＝ ≈0.382。 2 2
微笑》给了数以亿万计的 人们美的艺术享受，备受 推崇。意大利画家达芬奇 在创作中大量运用了黄金 矩形来构图。整个画面使 人觉得和谐自然，优雅安 宁。
找一找：画中有几个黄金矩形？
叶子中的黄金分割
图中主叶脉与 叶柄和主叶脉 的长度之和比 约为0.618
美丽的蝴蝶
0.618随 处可见!
六
Байду номын сангаас留住美
谈谈你对黄金分割的收获与体会。
三
创造美
E
D
∟
如图,已知线段AB,DB⊥AB A C B 于B,在DA上截取DE=DB,在AB上截取AC=AE,
5 1 (1)若AB=2,BD=1,则AD=____,AC=______, 5 5 1 AC 黄金分割点. 则C是线段AB的________ 2 AB
4.4黄金分割
玉柱擎天
雨后春笋
含苞待放
二、目标认定：
• 1.通过实例了解黄金分割的概念. • 2.能够应用黄金分割来解决一些简单实际问 题.
三、导学达标：建立黄金分割的概念
点C把线段AB分成两条线段AC和BC. 如果
AC AB
=
BC AC
那么称线段AB被点C黄金分割， 点C叫做线段AB的黄金分割点，
AC与AB的比称为黄金比.
三、导学达标：建立黄金分割的概念
黄金分割
全
A
长 C 短
B
(1)从形式上理解： 成比例线段的形式。
AC AB
=
BC AC
长 短 全 长
(2)从比值上理解： 黄金比
AC AB
黄金比
三、导学达标：建立黄金分割的概念
AC AB 判断1：线段AB上有一个点C （AC>BC）如果 BC AC
∴x2=1×(1-x)
即x2+x-1=0
解得 x1 1 5 , x2 1 5 (不合题意，舍去)
2 2
AC 5 1 黄金比 0.618 AB 2
三、导学达标：运用黄金比进行计算
1 、已知线段 AB=4cm ，点 C 是线段 AB 的黄金分割 点（AC>BC），则线段AC的长度（ C ）
那么点C是线段AB的黄金分割点.
A C B
（
）
判断2：如图，如果点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC）, 那么
AC 2 AB BC （
）
2
AC AB
=
BC AC
或AC AB BC
三、导学达标：计算黄金比的值
A
1 x
C
4.4.4黄金分割(教案)
1.在实践活动前，先进行一些简单的实例分析，让学生对黄金分割在实际问题中的应用有更直观的认识，降低实践活动的难度。
2.在小组讨论时，鼓励学生多发表自己的观点，充分调动他们的积极性。同时，作为教师，我要密切关注每个小组的讨论进度，及时提供必要的引导和帮助。
详细列明每个细节：
1.教学重点：
-黄金分割概念：解释什么是黄金分割，如何表示黄金分割比（1:0.618或0.618:1）。
-应用实例：分析教材中提到的黄金分割应用案例，如古希腊建筑、著名画作等，让学生直观感受黄金分割的美。
2.教学难点：
-推导过程：指导学生通过画图、测量等方法，发现并理解黄金分割比的数学原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“黄金分割在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解黄金分割的基本概念。黄金分割是一种特殊的比例关系，即一条线段被分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，约为0.618。它在艺术、建筑、自然界等领域具有广泛应用，被认为是美的象征。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以古希腊帕特农神庙为例，分析其建筑比例如何体现黄金分割，以及黄金分割如何使其成为经典之作。
4.培养学生的审美观念：引导学生发现生活中的黄金分割美，提高学生的审美鉴赏能力。
九上数学黄金分割
4.4 第4课时 黄金分割黄金分割：点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果AC BCAB AC =，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割.点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比称为黄金比.例1 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列等式中成立的是（ ）A.AB 2=AC ·CBB.CB 2=AC ·ABC.AC 2=BC ·ABD.AC 2=2BC ·AB例2 如图，点C 是AB 的黄金分割点，那么的值是（）A. 215+B. 215- C. 253+ D. 253-例3 如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，AC=mBC ，则m 的值是______.【针对训练1】下列说法正确的是（ ）A.每条线段有且仅有一个黄金分割点B.黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C.若点C 把线段AB 黄金分割，则AC2=AB ·BCD.以上说法都不对【针对训练2】如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，则下列等式不正确的是（ ）A. AC BC AB AC =B. 618.0≈AB ACC.AB AC 215-= D.AB BC 215-=【针对训练3】已知点C 是AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB=4cm ，则AC 的长为_______cm.【巩固训练】1. 已知线段AB=10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长为（ ） A.cm )1055(- B. cm )5515(- C.cm )555(- D.cm )5210(-2. 已知点C 是线段AB 上的一个点，且满足AC2=BC ·AB ，则下列式子成立的是（ ） A.215-=BC AC B. 215-=AB ACC. 215-=AB BCD. 215+=AC BC3.如图所示，点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，若S1表示以AP为边的正方形的面积，S2表示以AB为长，PB为宽的矩形的面积，则S1，S2的大小关系为（）A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.不能确定4.宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF，以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G，作G作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形DCGH5.当气温与人体正常体温（37℃）之比等于黄金分割比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为______℃.（取整数）6.东方明珠塔高468米，上球体点A是塔身的黄金分割点（如图所示），则点A到塔顶部的距离约是______米.（精确到0.1米）第3题图第4题图第6题图7.已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，则AP=______.8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D是线段AC的黄金分割点.9.如图，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF 为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？3。
黄金分割(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题4.4 黄金分割（知识讲解）【学习目标】1、理解黄金分割的概念；2、会找一条线段的黄金分割点；3、会判断一个点是否为一条线段的黄金分割点。
【要点梳理】要点一：黄金分割的定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BCAB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.特别说明：51AC AB -=≈0.618AB(叫做黄金分割值). 要点二： 作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB . （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.特别说明：一条线段的黄金分割点有两个.要点三： 黄金三角形和黄金矩形黄金三角形有2种:1、等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°;这种三角形既美观又标准。
这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比:； 2、等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°;这样的三角形的一腰与底之长之比为黄金比:黄金矩形:黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边为长边的 0.618倍。
黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。
在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子。
达芬奇的脸符合黄金矩形，同样也应用了该比例布局。
512512512【典型例题】类型一、黄金分割的作法1．作出线段AB 的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）【分析】作法：（1）延长线段AB 至F ，使AB BF =，分别以A 、F 为圆心，以大于等于线段AB 的长为半径作弧，两弧相交于点G ，连接BG ，则BG AB ⊥，在BG 上取点D ，使2ABBD =；（2）连接AD ，在AD 上截取DE DB =．（3）在AB 上截取AC AE =．点C 就是线段AB 的黄金分割点．解：如图，点C 即为所求．【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图．【变式1】黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计，下图是一个包装盒的俯视图，线段AB 是这个俯视图的中轴线．某公司想在中轴线AB 上找到黄金分割点，安装视频播放器．（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）； （2）请证明你找到的点是黄金分割点．【分析】（1）过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ，使BC=12AB ，连接AC ，以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ，以A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点；（2）设BC=a ，则AB=2a ，，通过计算证明2AE BE AB =⋅即可解决问题．解：（1）如图：点E 即为所求；（2）设BC=a ，则AB=2a ，， ∴CD=BC=a ，-a ，∴22226)AE a a =-=-，222(2)6AB BE a a a a ⋅=⋅+=-， ∴2AE BE AB =⋅，∴点E 是线段AB 的黄金分割点．【点拨】此题考查黄金分割，黄金分割的作图，勾股定理，正确掌握黄金分割的知识并熟练应用解决问题是解题的关键．【变式2】回顾：“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，通．的矩形叫做“黄金矩形” ． 若要将一张边长为2的正方形纸片ABCD 剪出一个以AB 为边的“黄金矩形ABEF ”，请在BC 边上作出这个黄金矩形的顶点E ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚．）【分析】此题主要是确定矩形的长边，根据黄金比，只需要保证较短的边是较长的边倍即可，这里可以熟练的运用勾股定理进行分析．解：第一步，用圆规作出BC的中点H，则由题意可知112BH BC==，第二步，连接AH，以H为圆心，以BH为半径画弧交AH于O，由勾股定理知AH OH=HB所以AO=AH-OH1，第三步，以A为圆心，以AO为半径画弧交AD于F，过F点作FE∴BC交BC于E，∴AF=AO1，∴AFAB=故矩形ABEF即为所求．【点拨】本题考查了作图-应用与设计，矩形的性质，正方形的性质等知识，此题主要类型二、由黄金分割点求值2．（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；（2）如图，C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，AB ＝4，求AC 的长．【答案】（1）3c =±；（2）2 【分析】（1）由c 是a ，b 的比例中项，可得29c ab ==，由此求解即可； （2）根据黄金分割点的定义进行求解即可． 解：（1）∴a ＝4.5，b ＝2，c 是a ，b 的比例中项，∴29c ab ==， ∴3c =±；（2）∴C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，∴2AC AB ==． 【点拨】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．【变式1】如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM DM ，的长；（2）点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）AM 1，DM =32）是，理由见分析 【分析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD =，则1AM AF =，3DM AD AM =-=（2）根据（1）中的数据得：AM AD =M 是AD 的黄金分割点．解：（1）在Rt APD 中，1AP =，2AD =，由勾股定理知PD1AM AF PF AP PD AP ∴==-=-，3DM AD AM =-=故AM 1，DM 的长为3 （2）点M 是AD 的黄金分割点．由于AMAD= ∴点M 是AD 的黄金分割点．【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM ，DM 的长，然后求得线段AM 和AD ，DM 和AM 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．【变式2】如图，设线段AC ＝1.（1）过点C 画CD∴AC ，使CD 12＝AC ；连接AD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径画弧，交AD 于点E ；以点A 为圆心，AE 的长为半径画弧，交AC 于点B ．（2）在所画图中，点B 是线段AC 的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）作图见分析；（2）是，理由见分析 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）设AC ＝1，则DE ＝DC 12＝，利用勾股定理得到AD AE则AB B 是线段AC 的黄金分割点． 解：（1）如图，点B 为所作；（2）点B 是线段AC 的黄金分割点．理由如下：设AC ＝1，则CD 12＝，∴DE ＝DC 12＝，=∴AE ＝AD ﹣DE 12，∴ABBC ，BC AB =21AB AC =＝ 即BC ABAB AC＝， ∴点B 是线段AC 的黄金分割点． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键类型三、证明黄金分割点3．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN=352，求证：点A 是MN的黄金分割点【分析】首先得出AM 的长，进而得出2AM AN MN =求出即可． 证明：作下图：线段1MN =，在MN 上有一点A ，AN ， 1AM ∴== 22AM ∴= 2AM AN MN ∴=，∴点A 是MN 的黄金分割点．【点拨】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是根据已知得出2AM AN MN =． 【变式1】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF ＝EB ．类似的，在AB 上折出点M 使AM ＝AF ．则M 是AB 的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．【答案】是，证明见分析【分析】设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比．解：M是AB的黄金分割点，理由如下：∴正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE＝1∴AE∴EF＝BE＝1，∴AF＝AE﹣EF=1，∴AM＝AF=1，∴AM：AB1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．【点评】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫）叫做黄金比．【变式2】阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．=的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形ABCD的宽AB(1)求黄金矩形ABCD 中BC 边的长；(2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论．【答案】是黄金矩形，见分析 【分析】（1）根据黄金矩形的定义，列出比例式计算即可．（2）求得CD ，EC =BC -AB EC DC =即可．解：(1)∴ 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD 的宽AB =∴AB BC ==，∴BC == (2)矩形DCEF 是黄金矩形．理由如下：∴ 黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，∴CD =AB =，EC =BC -AB∴EC DC=，故矩形DCEF 是黄金矩形．【点拨】本题考查了黄金矩形，二次根式的分母有理化，熟练掌握有理化的方法，理解定义是解题的关键．类型四、黄金分割点的应用4．梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，G 1和G 2分别为三角形AOB 和三角形COD 的重心．（1）求证：G 1G 2//AD ；（2）延长AG 1交BC 于点P ，当P 为BC 的黄金分割点时，求ADBC的值．【答案】（1）证明见分析；（2）AD BC 【分析】（1）连接1BG 、2CG 并延长交AO 、OD 于点E 、F ，连接EF ．易得EF 为AOD △的中位线，故EF//AD ，根据重心的性质可得12121=2EG FG BG CG =，即EF //12G G ，即可得证； （2）根据点P为黄金分割点，可得PC BC 解：（1）连接1BG 、2CG 并延长交AO 、OD 于点E 、F ，连接EF ．因为1G 、2G 为三角形AOB 和三角形COD 的重心， 所以点E 、F 为AO 、DO 的中点， 所以EF 为AOD △的中位线， 所以EF//AD ， 又因为12121=2EG FG BG CG =， 所以EF //12G G ， 所以12G G //AD ． （2）因为点P 为黄金分割点，所以PC BC 又因为RQ 是中位线，所以RQ//BC ，12RQ BC =， 因为AD//PQ ， 所以1=2PQ DQ RO BO AD OA OD DO ==，所以AD BC 【点拨】本题考查重心的定义和性质、三角形中位线的性质、黄金分割，掌握重心的性质是解题的关键．【变式1】如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子的腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm ，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______cm ．（结果保留根号）【答案】88##88+885【分析】根据黄金分割的黄金数得腰节到脚尖的距离：脚尖到头顶距离即可解答．解：设腰节到脚尖的距离为x cm ，根据题意，得：176x =，解得：88x =，∴腰节到脚尖的距离为（88）cm ，故答案为：88．=较长线段：全线段是解答的关键．【变式2】（1）数学活动一的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图∴的方法折出一个正方形ABCD ，然后把纸片展平；第二步，如图∴，把这个正方形ABCD 对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平； 第三步，如图∴，折出内侧矩形EFBC 的对角线CF ，并把CF 折到图中所示FN 处； 第四步，如图∴，展平纸片，按照点N 折出NM ，得到矩形BNMC ．若2AD =，请证明矩形BNMC 是黄金矩形．（2）数学活动二如图∴，点C 在线段AB 上，且满足::AC BC BC AB =，即2BC AC AB =⋅，此时，我们说点C 是线段AB 的黄金分割点，且通过计算可得BC AB =．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图∴，折出右侧矩形EFBC 的对角线EB ，把AB 边沿BG 折叠，使得A 点落在对角线BE 上的K 点处，若2AD =，请通过计算说明G 点是AD 的黄金分割点．【答案】（1）证明见分析，（2）证明见分析【分析】（1）由正方形ABCD 的边长为2，根据折叠可知FB ，由勾股定理可得FC ，易得出BN 的值，再求BN ：BC 的值即可判断；（2）如图，连接,GE 设,AG x 则,2,GK x GD x 再利用轴对称的性质与勾股定理求解52,KE 再利用勾股定理建立方程求解x ，从而可得答案．证明：（1）根据第一步折叠可知，ABCD 是正方形，由正方形边长为2， 根据第二步可知，1,FB在∴FCB 中，根据勾股定理， 得22215,FC 根据第三步可知，5,FCFN ∴51,BN∴ 51.2BNBC ∴矩形BNMC 是黄金矩形．（2）如图，连接,GE 正方形的边长2,AD由对折可得：1,2,,90,AFBF CE DE BA BK AG GK A GKB 22215,52,90,BE EK GKE设,AG x,2,GK x GD x所以由勾股定理可得：22222152,x x解得：1,x = 51,2AGAD 所以G 点是AD 的黄金分割点． 【点拨】本题考查的是成比例线段，黄金分割点的含义，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，理解题意利用轴对称的性质逐步计算是解本题的关键．。
4.4探索三角形相似的条件——黄金分割
4.4探索三角形相似的条件 - -黄金分割目标导航：⒈知道并理解黄金分割的定义 ,熟记黄金比： ⒉会找一条线段的黄金分割点 . ⒊加深理解与掌握线段的比、成比例线段等有关知识 .学法指导：线段的黄金分割是成比例线段具体应用的一个典型例子 ,学习本节知识 ,首|先要弄清线段黄金分割的意义 ,在此根底上通过动手操作 ,会将线段黄金分割 .新知探究：㈠、黄金分割的定义：1、动手操作 ,然后算一算 ,完成下面的填空：度量线段AC 、BC 的长度 ,线段AC = ,BC = ,计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与AC BC 的值 A BC相等吗 ?※在线段AB 上 ,点C 把线段AB 分成两条线段 和 ,如果 = , 那么称线段AB 被点C ,点C 叫做线段AB 的 ,AC 与AB 的比叫做 .其中ABAC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法 ,一条线段的黄金分割点有 个 .⑵、黄金比是两条线段的比 ,没有单位 ,它的比值为 , .2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点 ,那么AB AC = . ㈡、确定黄金分割点：如图 ,线段AB ,按照如下方法作图：(1 )经过点B 作BD ⊥AB ,使BD =21AB. (2 )连接AD ,在DA 上截取DE =DB.(3 )在AB 上截取AC =AE.点C 就是线段AB 的黄金分割点 .㈢、黄金矩形：宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形 . 【绿色通道】黄金分割是一种特殊的分割线段的方法 ,分割后 ,原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系 ,知道其中一条线段的长度 ,可以求出另外两条线段的长度；一条线段有两个黄金分割点 .课堂消化诊测：⒈线段AB =2 ,点C 是AB 的黄金分割点 ,且AC ＞BC ,那么AC = .⒉如图 ,AB =2 ,点C 是AB 的黄金分割点 ,点D 在AB 上 ,且AD 2 =BD ·AB ,求AC CD 的值 . AB⒊点P 是线段AB 的黄金分割点 ,AP ＞PB ,设以AP 为边的正方形的面积为S 1,以PA 、PB 为邻边的矩形的面积为S 2,S 1与S 2相等吗 ?说明理由 .⒋一个矩形是黄金矩形 ,假设它的长为4cm ,那么它的宽为 .超越自我：以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ,取AB 的中点P ,连结PD ,在BA 的延长线上取点F ,使PF =PD ,以AF 为边作正方形AMEF ,点M 在AD 上 ,如图 , (1 )求AM 、DM的长. (2 )说明AM 2 =AD ·DM 的理由 . (3 )根据 (2 )的结论你能找出图中的黄金分割点吗 ?收获与困惑： (对照本节课的学习目标 ,谈谈你的收获与困惑 ,和同伴交流 . )A B D C。
九年级上第四章4.4 黄金分割
A．4 cm
B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
第4课时 黄金分割
[解析]
可先求出该女士下半身长为99
cm，然后可
99＋y 设高跟鞋的高度为y cm，则有 ≈0.618，可求出y≈8. 165＋y
练习与拓展：古希腊的巴台农神庙
• 如果把左图中用虚线表示的矩形画成右 图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边 在其内部作正方形AEFD，那么我们可 以惊奇地发现，
5－1 AC 黄金比可知 ＝ ，而BC＝AB－AC，代入化简即可 AB 2 求解．
第4课时 黄金分割
解：因为点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，所 5－1 AC BC AB－AC 以 ＝ .又因为BC＝AB－AC，所以 ＝ ＝1 AB 2 AB AB 5－1 3－ 5 AC － ＝1－ ＝ . AB 2 2 5－ 1 BC AC 由黄金分割可知 ＝ ＝ . AC AB 2
如图，点C是线段AB的黄金分割点，你能计算出AC与AB
的比值（即黄金比）吗？
第4课时 黄金分割
若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC 为较长的线段，BC AC BC 为较短的线段，则必有 ＝ 成立，且不论线段的长短如 AB AC 5－1 AC 何， 它的黄金比 始终是一个定值， 即 AC∶AB＝ ∶1 AB 2 5－1 BC AC ≈ 0.618 ∶ 1. 由 ＝ ＝ 可知，只要两线段的比等于 AC AB 2 5－1 BC ，我们就称这两线段的比为黄金比，而 也是黄金比． 2 AC
[归纳总结] 要确定让人觉得最美的点，就是确定黄金分割点 ，不要忘记，一条线段的黄金分割点有两个．
第4课时 黄金分割
探究问题二
利用黄金比求线段的长或线段的比
4.4.4黄金分割-2024-2025学年初中数学九年级上册(北师版)上课课件
.你同意他的看法吗？说说你的理由.
新知探究
知识点1：黄金分割：
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），
如果
=
,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做
线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比.
A
C
B
例1 计算黄金比.
解：由
=
，得AC 2＝AB·BC. 设AB＝1，AC＝x，
黄金分
割点
黄金比
一条线段有两个
黄金分割点
较长线段
原线段
＝
较短线段
较长线段
＝
5−1
2
，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD.
图1
A
E
B
D
F
图2
C
想一想
那么我们可以惊奇地发现
BE BC
.
BC AB
点E是AB的黄金
分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗?
图1
A
E
B
D
F
图2
C
由
BC BE
BE BC
，可得
AB AE
BC AB
AE BE
即
AB AE
因此点E是AB的黄金分割点.
较短线段
较长线段
C
ห้องสมุดไป่ตู้
A
注意：
黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个
黄金分割点.如图，点C和点D都是线段AB的黄金分
割点,
=
=
5−1
,
陕西省西安市五环中学九年级数学上册：4.4黄金分割(教案)
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“黄金分割在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
举例解释：
-通过展示自然界的黄金比例（如向日葵种子排列、人体比例等），让学生直观感受黄金分割的美。
-以著名建筑（如帕台农神庙、埃菲尔铁塔等）为例，讲解黄金分割在建筑设计中的应用。
2.教学难点
-黄金分割比例的推导过程：学生需要通过逻辑推理和数学证明，理解黄金分割比例的由来和性质，这是本节课的一大难点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-黄金分割的定义及其数学表达式：这是本节课的核心内容，理解黄金分割的概念和数学表达式（a+b)/a = a/b = φ（φ约等于1.618）是学习后续知识的基础。
-黄金分割的作图方法：掌握尺规作图法作出黄金分割点，是实践黄金分割知识的重要技能。
-黄金分割在生活中的应用：了解黄金分割在自然界、艺术、建筑等领域的实际应用，增强学生对数学知识实用性的认识。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调黄金分割的概念和数学表达式，以及其在实际中的应用这两个重点。对于难点部分，如黄金分割的尺规作图，我会通过逐步演示和解释来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与黄金分割相关的实际问题，如黄金分割在建筑设计中的应用。
3.实践与创新：鼓励学生在实际操作中，运用尺规作图法作出黄金分割点，培养动手实践和创新能力，激发学生对数学学科的兴趣。
北师大版数学九年级上册4.4 第4课时 黄金分割2
第4课时 黄金分割
1、 若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。
2、 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP,且MP=)15(-cm,求MN 的值。
3、 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求AB
BC 的值 。
4、 若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？
5、 已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值：
（1）AC －BC; (2)BC AC ⋅
6、 已知线段AB ，请利用尺规作图画出线段的黄金分割点。
（只画出一个即可）
7、如图：在ABC ∆中，D
EC
AE BD =, A C B A C B
(1)你能说明AC EC AB
BD =吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。
(3)若3===DE AE AD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。
8、已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点， DC BD AC AB =,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm, 求BD , DC 的长。
B D C。
4.4黄金分割
实际 应用
知识的升华
1．据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄 金比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用 空调时室内温度调到什么温度最适合。 2．在人体下半身与身高的比例上，越接近 0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是身体 修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某 女士身高1.68米，下半身1.02米，她应该选择 多高的高跟鞋看起来更美呢？
4432077134 ...
黄金矩形
黄金矩形是一个长和宽的比有特 殊比例的矩形，很多国家的国旗 就是黄金矩形。
谢 谢 大 家!
黄金建筑设计
查阅 & 欣赏
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黄金分割 与生活
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
A
C
B
度量C到点A、B的距离,
AC AB
与
BC AC
相等吗？
A
C B
A C B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
=
BC AC
AC = BC
AB AC
AC2=AB
∙ BC
想一想
（1）如果设AB=1，那么 BD=
1 2
2 √ 5–1 3-√5 BC= AC= 2 2 （2）点C是线段AB的黄金分割点吗？
AD=
√5
异 曲 同 工
如下方法也可以得到黄金 分割点？ 如图，设AB是已知线段，在 AB上作正方形ABCD；取AD的 中点E，连接EB；延长DA至F， 使EF=EB；以线段AF为边作 正方形AFGH。点H就是AB的 黄金分割点。
雕塑断臂女神维纳斯的体型完全与黄金比相符,即以人的肚脐 为分界点,上身与下身之比,或者说下身与全身之比约是0.618 这样的身体给人的感觉就是非常的匀称，充满着美感. 著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在 油画艺术上的应用。通过下面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎 的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得 这幅油画看起来是那么的和谐和完美.
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4.探索三角形相似的条件（四）
古城中学谭瑞娜
一、教材分析
教学目标：
1、知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；
会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；
2、通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解与动手
能力.
3、理解黄金分割的现实意义，并能动手找到和制作黄金
分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系. 教学重点：了解黄金分割的意义并能运用.
教学难点：在线段上找出黄金分割点
二、学情分析
九年级学生已经积累了较为丰富的数学活动经验，空间观念逐步增强，几何直观与推理能力都得到了一定的培养，本节是在前面三课时探索三角形相似的条件后，通过艺术和建筑上的实例介绍黄金分割，同时进一步巩固学生对线段的比、成比例线段，及相似三角形的理解。
【学习目标】
1.知道并理解黄金分割的概念，熟记黄金比；
2.能运用黄金分割进行简单计算．
教学过程设计：
C B A 第一环节：通过五角星引出黄金分割定义 ：
引出五角星，从五角星里面提取一个等
腰三角形，然后通过问题
(1) 你能从图中找到相等的角、相等的
线段吗？
(2) 连接线段CD, ACD ∆与ABF ∆是否相似？如果相似，请写出成比例线段。
比例式AC BC
AB AC
=成立吗？
给出黄金分割的定义：
一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做
2、一条线段有几个黄金分割点？
教师活动：提问国旗里图案的共同特征，引出五角星，总结五角星的特征，然后从五角星提取等腰三角形，给出已知条件，并出示问题，激发学生学习兴趣，并总结问题解决的方法，
学生活动：经历黄金分割定义的探索过程并积极回答问题。
活动目的：通过五角星引出黄金分割的定义，激发学生学习兴趣。
第二环节：计算黄金比，并利用定义求线段长度
B E G
1.点C是线段AB的黄金分割点且AC〉BC，如果AB=4，
求线段 AC的长度．
2.当人的下身长（腰以下）与全身长之比等于黄金比时，身材是最美的，小明妈妈的身高为165cm，下身长为100cm，小明妈妈应穿多高的高跟鞋才能显示身材最美？（列出比例式）
教师活动：出示问题，要求学生独立完成，并总结数学思想、做题方法，用黄金分割的定义三条线段知道其中任意一条可以求剩下两条。
学生活动：独立思考完成，一名学生到黑板上讲解。
第三环节：介绍黄金分割历史，并欣赏黄金分割之美，及在建筑、摄影中的应用。
教师活动：引导学生欣赏黄金分割之美，并引导学生猜测如何应用黄金分割；
学生活动：欣赏并体会黄金分割的应用。
第四环节：中考链接
（2016·山西10）宽与长的比是
21-
5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我
们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩
形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；
作AD
GH ，交AD的延长线于点H．则图中下列矩形是黄金矩形的是（）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD
C．矩形EFGH D．矩形DCGH
活动目的：使学生熟悉中考的出题模式，适应中考。
第五环节：课堂小结：
学生活动：讨论本节所学，一起总结所学知识。
教师活动：补充完善。