《小学青年教师》2006(4)数学版第14-15页-2005-11-05修改-自然数系的思想和方法

例说小学自然数的思想和方法
孔凡哲
《小学青年教师》2006年第4期数学版第14-15页
案例1：在教学“2”的认识时，教学2的主题图后，教师让学生动手：摆2根小棒，拿出2支铅笔，伸出2个手指，拍手2下等。

……
在教学“3”的认识时，教师先出示3的主题图（或出示挂图，或使用投影，有条件的可用电脑软盘）。

引导学生观察图意，并用一问一答的形式引导学生说出：图中有3位工人阿姨在装配电视机，每人装配1台，共3台。

3位阿姨、3台电视，它们的数量都是3。

案例2：为了使学生直观感受到2在3的前面，3在2的后面，2添上1是3，3去掉1是2，一位教师依据教材，设计了包含三个层次的教学设计案例：
第一层次：用拨算珠直观感受3和2的关系。

教师出示计数器，边说边在计数器上拨珠，先拨两个珠子，再拨1个珠子（学生观察教师的拨珠动作），教师提问：“先拨两个珠子再拨1个珠子，一共拨了几个珠子？”“3个珠子去掉1个珠子是几个珠子？”
第二层次：学生动手操作直接体会3和2的关系。

教师请全班学生动手：先摆2根小棒，再添1根小棒。

然后观察并回答“一共摆了几根小棒？”跟着，教师又追问：“2根小棒添上几根小棒是3根小棒？”
第三层次：摆点子图，使学生明确3以内数的排列顺序是1、2、3。

教师出示磁性黑板，先摆出1个点子，提问：“这是几个点子？”学生回答后，教师在1个点子图的下面摆出数1；教师再在1个点子的右边分别摆出2个点子和3个点子，提问并在学生回答后，在2个点子图和3个点子图的下面分别摆出数2和数3。

教师告诉学生：现在这3个数排好了，请一名同学按顺序把这3个数读一读。

然后进一步提出问：“按照数的顺序，2的后面一个数是几？2添上几是3？”“3的前面一个数是几？3去掉几是2？”
分析：自然数的含义有两种，它可以表示“几个”（基数含义）和“第几个”（序数含义）。

这里，案例1主要是教学数的基数含义，但没有给出“基数”这个词，仅仅要求学生知道数能表示“几个”。

同时，蕴含着“一一对应”等思想。

案例2则是进行3以内数的顺序的教学，旨在使学生体会“第几个”（序数含义）。

更进一步地，进行8、9、10的教学将涉及数位等思想。

其实，小学生最早接触的数就是自然数。

在小学数学教学中，我们为什么在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9学习时强调“后继”？为什么强调进位？为什么强调一一对应？…其实，这些问题都不是偶然的。

众所周知，0，1、2、3、4、5、……，叫做自然数。

自然数起源于数（shǔ），它可以用来表示事物的多少，也可以用来编号，表示事物的次序。

当用来表示事物的数量，即被数的物体有“多少个”时，这就是自然数的基数意义；当用来表示事物的次序，即最后被数的物体是“第几个”时，就是自然数的序数意义。

与此相对应，自然数的理论有基数理论和序数理论两种。

一、自然数的基数理论
自然数的基数理论，是把自然数定义为一切有限集合的基数，即元素的个数。

基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。

中国古代《易·系辞》中说，“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”，这都是匹配计算法的反映。

开始人们只会用一一对应的方法来比较属于不同集合的元素个数的多少，后来逐渐认识到许多物体集合中的元素可以一一对应，数学中把它们叫做等价集合。

即，对于集合A={a1,a2,a3,…,a n}，B={b1,b2,b3,…,b n}而言，它们之间就可以建立一一对应关系（如，映射f：a i→b i，其中，i=1，2，…，n），进而，也就构成了一组等价集合，自然数n就成为这些集合A、B、…的共同特征之一。

随着语言文字的发展，人们用数作为一类等价集合的标记，这样的数就是有限集合的基数，它是一类有限等价集合的共同特征。

集合的基数具有元素“个数”的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。

特别地，空集 的基数就是0.
二、自然数的序数理论
为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。

对某一个有限集合计数，就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。

这种想法启发了意大利数学家皮亚诺（G. G. Peano,1858～1932），他于1889年建立了自然
数的序数理论，进而完全确立了数系的理论。

自然数的序数理论，是根据一个集合里某些元素之间有“后继”(如3是2的后继，15是14的后继)这一基本关系和五条公理（皮亚诺公理），把自然数集里的元素按1、2、3、4、5、……这样一种基本关系而完全确定下来。

定义非空集合N*中的元素叫做自然数,如果N*的元素之间有一个基本关系“后继”(b后继于a,记为b=a′)，并满足下列公理：
（1）0∈N*；
（2）0不是N*中任何元素的后继元素；
（3）对N*中任何元素a，有唯一的a′∈N；
（4）对N*中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后继于N*中某一元素b；
（5）（归纳公理）如果M N*，而且满足条件①0∈M；②若a∈M，则a′∈M.
那么，M= N*.
这样，所构成的系统称为皮亚诺公理系统，它就是自然数系。

事实上，很容易验证，我们日常所用的全体自然数的集合满足上述定义。

反之，如果把N*中的0放在最前面，后面紧跟它的后继数，以此类推，可把N*中元素排成一列：0，0′，（0′）′，….如果选用适当的符号，如记0′=1，1′=2，2′=3，…，便是我们所熟悉的自然数列：0，1，2，3，4，….
当然，皮亚诺的这五条公理也可以用非形式化的方法叙述：
（1）0是自然数；
（2）0不是任何自然数的后继数；
（3）每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；
（4）如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c；
（5）任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。

(这条公理保证了数学归纳法的正确性)
三、自然数系所蕴含的思想、方法和问题
1．对应思想（可数的集合）与悖论
自然数建立在对应概念之上，而且对应的思想也成为自然数的一个重要性质。

一一对应关系是集合论中建立两个集合“相等”关系的一个重要概念。

而这个概念与约在公元前９世纪至公元前８世纪的古希腊荷马史诗中的一段美妙故事连在一起：当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕裴摩斯并离开克罗普斯国以后，那个不幸的盲老人每天坐在山洞口照料他的羊群。

早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子；晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。

当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全返回了山洞。

这种方法在今天的数学上就叫一一对应。

正是这个“对应思想”，导致了俗称“理发师悖论”的罗素悖论的发现，引起了数学上的第三次危机。

值得一提的是，自然数系N*有一个几乎可以和悖论相提并论的“不可思议”的性质—N*与其偶数集“一样多”。

也就是说，对于N*与其偶数集N0，在对应法则f：n→2n（其中，n=0，1，2，…）下，N*与N0之间可以建立一一对应关系，从而，二者个数“一样多”！这绝对是不可思议的事，后者毕竟是前者的真子集。

其实，对于无限集合来说，我们不能用有限集合的思维方式加以看待，对于一个无穷集合，部分有可能等于全部！在数学上，人们将自然数系N*的基数（也叫“势”）记做阿列夫0（而“阿列夫”是希伯莱字母表中的第一个字母）。

2．数位思想
位置制记数法是数系发展的第一个里程碑。

所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。

引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。

最重要和最美妙的记数法则是十进位位置制记数法。

法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾经写道：用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。

这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。

但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。

拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。

现已有充分而确凿的史料证明，十进位位置制记数法最先产生于中国。

这一点也为西方的一些数学史家所主张，英国著名科学家、中国科技史大师李约瑟（Joseph Needham ,1900-1995）博士就曾指出“在西方后来所习见的…印度数字‟的背后，位置制已在中国存在了两千年。

”不过，十进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。

记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。

研究表明，十进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。

总之，了解自然数的一些基本数学知识、重要思想方法，可以更好地理解小学自然数内容，进而为我们的小学自然数的教学设计找到坚实的根基。

（作者单位：东北师范大学教育科学学院，长春市人民大街5268号，邮编130024）。