广东省珠海市2012届高三第二次调研考试数学理(2012珠海二模)

珠海市2011-2012学年度第二学期高三质量监测理科数学一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案） １．已知全集U R =，集合{||1|1}A x x =-<，则A C U 等于（ ）A.(-∞，0]B. [2，)+∞C.(-∞，0] [2，)+∞D.[0，2] ２．等比数列{}n a 中，112a =，又14234a a a a +=-，则公比q = A ．2- B． C ．2 D ．3３．在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 （ ） A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i ４．已知a 、b 是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条5． ABC ∆中，角A B C 、、所对的边a b c 、、，若a =3A π=，cos B =，则b = A．5 B．5C．5 D．56．已知函数()f x 满足：当x ≥1时，()f x =)1(-x f ；当x ＜1时，()f x =x 2，则)7(log 2f =A ．167B ．87C ．47D ．277根据表中数据得到50181589505927232426k ().⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，参考下表：则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ）A ．97.5%B ．95%C ．90%D ．99.9%8． 起点到终点的最短距离为（ ） ks5uA ．16B ．17C ． 18D ．19ks5u二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．答案请填在答题卡上.9.（理科）某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生____人.10．（理科）已知单位向量，，其夹角为3π+=__________ 11．（理科）已知随机变量2~(2,)N ξσ，3(1)4P ξ>-=，(5)P ξ>= .12．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_________；13．甲乙两艘船都要在某个泊位停靠，若分别停靠4小时、8小时，假定它们在一昼夜的时间段内任意时刻到达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 ． 14．（坐标系与参数方程选做题）．如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且=BC PB 12，则PABC= ． 15．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos 4πρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方程为 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．P0v 12v 534v 起点终点419题图16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A 点的纵坐标为1010，B 点的纵坐标为102．（1）求tan tan αβ和的值；（2） 求2αβ+的值． 17．（本小题满分12分）某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为ξ，求ξ的分布列和期望．18.（本小题满分14分）如图，长方体1111ABCD A BC D -中，14CC =，3AB BC ==． （1）若E F 、分别是1BC 、11AC 中点，求证EF//平面1DCC ； （2）求二面角11A BC D --的正弦值．19.（本小题满分14分）已知圆C 方程：（x －1）2 + y 2=9，垂直于x 轴的直线L 与圆C 相切于N 点（N 在圆心C 的右侧），平面上有一动点P ，若PQ ⊥L ，垂足为Q ，且21||||=PQ PC ；（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知D 为点P 的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O 为原点，A 、B 分别为点P 的轨迹曲线与,x y 轴的正半轴的交点，求四边形OADB 的最大面积及D 点坐标.20.（本小题满分14分）已知函数()3213f x x ax bx =++()R a,b ∈. （Ⅰ）若曲线()C :y f x =经过点()12P ,，曲线C 在点P 处的切线与直线230x y -+=平行，求a,b 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数()()()2713g x m f x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦（m 为实常数，1m ≠±）的极大值与极小值之差；（Ⅲ）若()f x 在区间()12,内存在两个不同的极值点，求证：02a b <+<. 21.已知函数()cos f x x =-，()2g x x π=-，数列{}n x 满足：15(,)66x ππαα⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， *12()()()n n g x f x n N n+=∈， (1) 当2πα=时，求23,x x 的值并写出数列{}n x 的通项公式（不要求证明）；(2) 求证：当0x ≥时，'()x f x x -≤≤； (3) 求证：*1231()2222n x x x x n N πππππ+-+-+-++-<∈ 。

数学理参考答案一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案） １．C ２．A ３．C ４．A 5． C 6．C 7．A 8．B二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．答案请填在答题卡上.9. 3700 10． 3 11． 14 12． 512π 13． 7231 14．2 15． 4sin ρθ=三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.解: 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。

（1）由条件得sin α=sin β=………………………………………2分 α 为锐角，故 cos 0α>且cos α=，同理可得cos β= …………4分 因此1tan 3α=，1tan 7β=。

………………………………………6分（2） 1tan 3α=，1tan 7β= ()11tan tan 137tan 1tan tan 2137αβαβαβ++∴+===--⋅…………………………………………7分()[]11tan tan()32tan 2tan ()1111tan tan()132ααβαβααβααβ+++∴+=++===-⋅+-⋅ …………8分 02πα<< ，x y tan =在)2,0(π上单调递增，且4tan 1tan πα=< ，∴40πα<<，……………10分同理40πβ<<，∴4320πβα<+< ……………11分从而24παβ+= ………………12分19题图1517.解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06， 人数为：50×0.06=3所以该样本中成绩优秀的人数为3。

…………………… 3分（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38， 人数为：900×0.38=342所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342。

……… 7分（3）ξ的可能取值为1，2，3；31)1(240123231211=⋅⋅==C C C C C C p ξ……… 8分21)2(241311231112242*********=⋅⨯⋅+⋅⨯⋅==C C C C C C C C C C C C p ξ……… 9分61)3(241311230122=⋅⨯⋅==C C C C C C p ξ……… 10分 ξ∴的分布列为∴651611)3(3)2(2)1(1===⨯+=⨯+=⨯=ξξξξp p p E…… 12分18.．(Ⅰ)证明：连接111D B B C 、，则长方体1111ABCD A BC D -中，11BC B C E = ，1111D B AC F = ，∴E 、F 分别是11B D 和1B C 的中点∴1EF DC ……………………………………………………………２分∴1EF DCC 平面 (4)分(Ⅱ)解：(理)连接AC 设交BD 于O ，连接11AO C O 、正方形ABCD 中AC BD ⊥，又1AA ⊥平面ABCD∴1AA BD ⊥∴BD ⊥平面11AAC C ……………………………5分过1A 作11A H C O ⊥于H ，作11AG C B ⊥于G ，连接GH 、BF ∴1A H BD ⊥∴1A H ⊥平面1BDC ………………………………6分 ∴11BC A H ⊥ ∴1BC ⊥平面1A HG∴1BC HG ⊥ ……………………………………8分∴1AGH ∠就是二面角11A BC D --…………………………10分3AB BC ==，14CC =∴115A B BC ==，11AC BD ==∴11111AA AC A H OC ⋅==，1111BF AC AG BC ⋅==……………1２分 ∴11140sin 41A H AGH AG ∠==∴二面角11A BC D --的正弦值是4041 ……………………14分 19.解：（1）设P点坐标为(,x y ，…………………………………………………………1分则4PQ x =-，…………………………………………………2分PC =3分因为21||||=PQ PC12=， ………………………………4分化简得22143x y +=……………………………………………………………5分所以点P 的轨迹方程是22143x y +=…………………………………………6分（2）依题意得，A 点坐标为(2,0)，B点坐标为……………………………7分设D点坐标为(2cos ),(0)2πθθθ<<，………………………………………8分则四边形OADB 的面积+OAD OBD OADB S S S ∆∆=四边形,…………………………………9分1122cos 22θθ=⨯+………………10分cos )θθ+)4πθ=+……………………………………11分又因为02πθ<<，所以3+444πππθ<<……………………………………………12分sin()14πθ<+≤)4πθ+≤所以四边形OADB……………………………………13分当四边形OADB 的面积取最大时，=42ππθ+，即=4πθ，此时D点坐标为……………………………………………………………14分20. 解：（Ⅰ）()3213f x x ax bx =++⇒()22f x x ax b '=++，……………………1分 直线230x y -+=的斜率为2，∴曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,()1122f a b '∴=++=……① ………………………………………2分曲线()C :y f x =经过点()12P ,，()1123f a b ∴=++=……② ………………………………………3分由①②得：2,37.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()32127333f x x x x =-+，∴()()232123m g x x x -=-，()()2413g x m x x ⎛⎫'∴=-- ⎪⎝⎭, 由()00g x x '=⇒=，或43x =.……………5分当210m ->，即1m ,>或1m <-时，x ，()g x '，()g x 变化如下表由表可知：()()()403g x g x g g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭极大极小()()2232320118181m m ⎡⎤=---=-⎢⎥⎣⎦ ……………7分当210m ,-<即11m -<<时，x ，()g x '，()g x 变化如下表由表可知：()()()403g x g x g g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭极大极小()()2232321018181m m =---=--………………8分综上可知：当1m ,>或1m <-时，()()g x g x -=极大极小()232181m -； 当11m -<<时，()()g x g x -=极大极小()232181m --…………………………………9分 （Ⅲ）因为()f x 在区间()12,内存在两个极值点 ，所以()0f x '=， 即220x ax b ++=在(1,2)内有两个不等的实根．∴2(1)120,(1)(2)440,(2)12,(3)4()0.(4)f a b f a b a a b '=++>⎧⎪'=++>⎪⎨<-<⎪⎪∆=->⎩ ………………………………………………………11分由 （1）+（3）得：0a b +>， ……………………………………………………12分 由（4）得：2a b a a +<+，由（3）得：21a -<<-，∴2211()224a a a +=+-<，∴2ab +<． ………………………13分故02a b <+< ………………………………………………………………………14分21.(1)解：23,22n x x x ππ===， ……………………………………2分(2)证明：设()'()sin F x f x x x x =-=-，则'()cos 10F x x =-≤，∴()F x 在[0,)+∞上为减函数，即()(0)0F x F ≤=，即'()f x x ≤，………………4分 设()'()sin H x f x x x x =+=+，则'()cos 10H x x =+≥，∴()H x 在[0,)+∞上为增函数，即()(0)0H x H ≥=，即'()f x x ≥-， (5)高三理科数学试题第 页 (共 11 页) - 11 - 分∴当0x ≥时，'()x f x x -≤≤。