经典证明——等边三角形内一点到各顶点的距离长可构成一个三角形

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三角形及其性质(提高)知识讲解

三角形及其性质（提高）知识讲解撰稿：常春芳责编：康红梅【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．6. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号1．AD 是△ABC 的高．1．AD 是△ABC 的中1．AD 是△ABC 的角平语言2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．(或∠ADC ＝∠ADB ＝90°)线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝BC 124．点D 是BC 边的中点．分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．推理语言因为AD 是△ABC 的高，所以AD ⊥BC ．(或∠ADB ＝∠ADC ＝90°)因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ＝12BC ．因为AD 平分∠BAC ，所以∠1＝∠2＝∠BAC ．12用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．要点六、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的证明讲义(精.选)

小巨人学科教师辅导讲义学生: 谢仲铖教师: 赵常巨日期: 2015/3/14 家长签名：EABCD2、推论（三线合一）：第二篇章1、如图，E 是△内的一点， = ，连接、、，且 = ，延长，交边于点D 。

求证：⊥。

2、已知：如图，点在三角形的边上,求证：5、已知：如图，在三角形中，是上的一点，E是延长线上的一点且交于M.求证：.6、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。

回顾课本1、三条边都的三角形是等边三角形。

2、三个都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角等于°的等腰三角形是等边三角形。

4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的。

5、直角三角形：有一个角是的三角形叫做直角三角形。

6、勾股定理的逆定理：∵222，，∴∠90°（△是直角三角形）7、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的和分别是另一个命题的和，那么这两个命题称为，其中一个命题称为另一个命题的。

8、互逆定理：一个命题是真命题，它的逆命题却是真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为，其中一个定理称为另一个定理的。

9.斜边和一条对应相等的两个三角形全等。

（“斜边、直角边”或“”）1.已知：如图，△中，⊥于D，4，3，59。

（1）求的长；（2）求的长；（3）求的长；（4）求证：△是直角三角形.2.、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠＝90°，＝80米，＝60米，若线段是一条小渠，且D点在边上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？3、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

（1）如果0,那么00；（2）初三（6）班有62位同学；（3）等边对等角；21EF AB CD4.、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。

（1）如果y x >，则22y x > （2）全等三角形对应角相等（3）对顶角相等1、直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角形的两边分别为13和 5，则另一条边为。

中考数学几何模型专题专题十—经典模型

专题十经典模型模型53 “胡不归”模型模型故事从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时,老人刚刚咽气.邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?.…”而如果先沿着驿道AC走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢?模型展现基础模型怎么用?1．找模型直线上一定点A ,一动点P，B为直线外一点,求kAP+BP的最小值2.用模型构造直角三角形,利用三角函数将含系数的线段进行转换,再根据垂线段最短化折为直,从而得到线段和最小值,最后运用锐角三角函数求解即可模型分析如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解，该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下: 一找:找带有系数k 的线段kAP ;二构:在点B 异侧,构造以线段AP 为斜边的直角三角形; ①以定点A 为顶点作①CAP ,使得sin ①P AC =h ; ①过动点P 作垂线构造Rt ①P AC ; 三转化:化折为直,将kAP 转化为PC ;四求解:使得hAP +BP =PC +BP ,利用“垂线段最短”转化为求BD 的长度.拓展延伸熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP +BP 中系数k 发生变化时,所构造的直角三角形也会发生变化,同学们需要牢记特殊角度的正弦值：01sin 30 =2，0sin 60，0sin 45 =2，03sin 375，04sin 53 5例1如图，在①ABC 中，AC =6，①A =30°，点D 是AB 边上一动点，（点拨：两定点A 、C ，动点D ，含特殊角30°）则12AD CD 的最小值为_________（点拨：线段数量关系的最小值,考虑“胡不归”）考什么?直角三角形的性质,30°,60°角的锐角三角函数值,垂线段最短.思路点拨哪条线段带有系数,就以它为斜边构造直角三角形,使得其中一锐角的正弦值恰好与系数相等.例2如图, 在平行四边形ABCD中,①DAB=45°，（点拨：特殊角）AB=6，BC=2，P为CD边上的一动点，则22PB PD（点拨：线段数量关系出现，且0＜k＜1，模型出现）的最小值为_____________考什么?平行四边形的性质,直角三角形的性质,45°角的锐角三角函数值,垂线段最短。

部编数学八年级上册专题03等边三角形(解析版)含答案

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）专题03 等边三角形【题型1】等边三角形的性质1．（2022·全国·八年级课时练习）下列条件中，不能判断ABC V 是等边三角形的是（）．A ．AB AC =，60B Ð=oB ．AB AC =，B A Ð=ÐC ．60A B Ð=Ð=oD ．2A B CÐ+Ð=Ð【答案】D【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可．【详解】解：A 选项：∵AB =AC ．∠B =60°．∴△ABC 是等边三角形，故A 选项不符合题意；B 选项：∵∠B =∠A ，∴AC =BC ，∵AB =AC ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故B 选项不符合题意；C 选项：∵∠A =∠B =60°，∠C =180°−∠A −∠B =60°，∴∠A =∠B =∠C ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故C 选项不符合题意；D 选项：∵∠A +∠B =2∠C ，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠C =60°，不能判断△ABC 是等边三角形，故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．【变式1-1】2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC 是等边三角形，且BD ＝CE ，∠1＝15°，则∠2的度数为____°．【答案】60【分析】根据等边三角形的性质可得AB BC =，A ABC CB =Ð∠，证明△ABD ≌△BCE （SAS ），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠CBE ，根据三角形外角的性质可得∠2＝∠1+∠ABE ，继而根据等量代换可得∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ，即可求解．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB BC =，A ABC CB =Ð∠，在△ABD 和△BCE 中，AB BC ABC ACB BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠1＝∠CBE ，∵∠2＝∠1+∠ABE ，∴∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ＝60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．【题型2】等边三角形的判定1．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，已知P 、Q 是△ABC 的BC 边上的两点，BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小为（）A ．120°B ．110°C ．100°D ．90°【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP =∠CAQ =30°，从而求解．【详解】解：∵PQ =AP =AQ ，∴△APQ 是等边三角形，∴∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，∵BP ＝AP ， QC ＝AQ∴∠B =∠BAP ，∠C =∠CAQ ．又∵∠BAP +∠ABP =∠APQ =60°，∠C +∠CAQ =∠AQP =60°，∴∠BAP =∠CAQ =30°．∴120BAC BAP PAQ CAQ Ð=Ð+Ð+Ð=°．故∠BAC 的度数是120°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了运用等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．【变式2-1】2．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD上，且2ED＝BC，则∠ACE＝_______【题型3】等边三角形的判定和性质1．（2022·山东·济南市济阳区垛石街道办事处中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=_________．【答案】2cm【分析】作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【详解】连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=∠B=∠CAN=∠C=30°∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∵BC=6cm，∴MN=2cm．故答案为：2cm．【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式3-1】2．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ＝CD ，∠A ＝60°，延长DE 交于AB 于F ，若EF ＝2，则DF ＝_________．【答案】6【分析】由AB AC =，60A Ð=°得到△ABC 是等边三角形，由等边三角形的性质和AE EC CD ==，推出BE =4，再由∠DBE =∠CDE =30°，推出ED =BE =4，从而求出DF 的长度．【详解】解：∵AB AC =，60A Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，又∵AE EC =，∴∠AEB =90°，∠ABE =∠DBE =30°，∵∠ACB =60°，EC CD =，∴∠CED =∠CDE =30°，∴∠AEF=30°，∴∠FEB =60°，∴∠BFE =90°，∵2EF =，∴BE =4，∵∠DBE=∠CDE =30°，∴ED=BE =4，∴DF = ED+EF =6．故答案为6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是根据已知条件推出△BEF 是直角三角形．【题型4】含30度角的直角三角形1．（2020·湖北·公安县教学研究中心八年级期中）如图，∠B =∠D =90°，AB =AD ，∠2=60°，BC =5，则AC =（）A ．5B ．10C ．15D ．2.5【答案】B 【分析】利用HL 证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ，推出∠1=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵∠B =∠D =90°，AB =AD ，AC =AC ，∴Rt △ACB ≌Rt △ACD （HL ），∴∠ACB =∠ACD =60°，∴∠1=30°，∵BC =5，∴AC =2BC =10，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ．【变式4-1】2．（2022·湖南·澧县教育局张公庙镇中学八年级期末）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，BE 平分ABC Ð，ED 垂直平分AB 于D ．若9AC =，则AE 的值是______．【答案】6【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得,AE BE ABE CBE A =Ð=Ð=Ð，再根据三角形的内角和定理可得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE x =-，在Rt BCE V 中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．【详解】解：BE Q 平分ABC Ð，ABE CBE \Ð=Ð，ED Q 垂直平分AB ，AE BE \=，ABE A \Ð=Ð，ABE CBE A \Ð=Ð=Ð，又90C Ð=°Q ，90ABE CBE A \Ð+Ð+Ð=°，解得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE AC AE x =-=-，Q 在Rt BCE V 中，90C Ð=°，30CBE Ð=°，2BE CE \=，即()29x x =-，解得6x =，即6AE =，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．一．选择题1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若12AB cm =，则阴影部分的面积是（）A ．12B ．18C ．24D ．362．（2022·广东清远·八年级期中）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，1BC =，则AB =（）A ．2B C D ．1.5【答案】A 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC ，代入求出即可．【详解】解：Q 在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，2AB BC \=，1BC =Q ，2AB \=，故选：A ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质定理，能根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC 是解此题的关键．3．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在等边△ABC 中，AB ＝4cm ，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且30E Ð=o ，则CE 的长是（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若BC ＝6，则DE 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2021·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）如图，D 是等边ABC V 的边AC 上的一点，E 是等边ABC V外一点，若BD CE =，12Ð=Ð，则对ADE V 的形状最准确的是（）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形【答案】C 【分析】先根据已知利用SAS 判定△ABD ≌△ACE 得出AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，从而推出△ADE 是等边三角形．【详解】解：∵三角形ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∵BD ＝CE ，∠1＝∠2，在△ABD 和△ACE 中，12AB AC BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定方法，掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定是本题的关键，做题时要对这些知识点灵活运用．6．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB ＝20米，AC ＝30米，∠A ＝150°，草皮的售价为a 元/米2，则购买草皮至少需要（）A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元【答案】C 【详解】如图，过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m，∵AB=20m，∴S△ABC=AB×CD÷2=×20×15÷2=150m2，∵草皮的售价为a元/米2，∴购买这种草皮的价格：150a元．故选C．二、填空题7．（2022·广东·平洲一中八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝_____cm．8．（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且Ð=_____．Ð=120°，那么BDC=，AOBOD OA【答案】60°【分析】由AOB Ð的度数利用邻补角互补可得出60AOD Ð=°，结合OD OA =可得出AOD D 为等边三角形，而根据旋转全等模型由SAS 易证出BAO CAD D @D ，根据全等三角形的性质可得出120ADC AOB Ð=Ð=°，再根据BDC ADC ADO Ð=Ð-Ð即可求出BDC ∠的度数．【详解】解：ABC D Q 为等边三角形，AB AC \=，60BAC Ð=°．120AOB Ð=°Q ，180AOD AOB Ð+Ð=°，60AOD \=°∠．又OD OA =Q ，AOD \D 为等边三角形，AO AD \=，60OAD Ð=°，60ADO Ð=°．60BAO OAC OAC CAD Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，BAO CAD \Ð=Ð．在BAO D 和CAD D 中，AB AC BAO CAD AO AD =ìïÐ=Ðíï=î，()BAO CAD SAS \D @D ，120ADC AOB \Ð=Ð=°，60BDC ADC ADO \Ð=Ð-Ð=°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明BAO CAD D @D ，找出120ADC AOB Ð=Ð=°是解题的关键．9．（2022·山东临沂·八年级期末）已知等腰ABC V 的一底角∠B =15°，且斜边AB ＝6cm ，则ABC V 的面积为__10．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且//a b，142Ð=°，则2Ð的度数为________．【答案】102°【分析】根据题意可求出BACÐ的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．【详解】Q三角形ABC为等边三角形\Ð=°BAC60//Qa b\Ð=Ð+Ð=°+°=°BAC214260102故答案为：102°．【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11．（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区秋实学校八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE = ，则BC =________．12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB AC =，点D 在BC 上，AD DE =，如果20BAD Ð=o ，∠AED ＝60o ，那么∠EDC 的度数为___度．【答案】10【分析】先证明△ADE 是等边三角形，从而得到∠ADE =∠AED =60°，再根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质得到∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，据此求解即可．【详解】解：∵AD =DE ，∠AED =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠AED =∠C +∠EDC ，∴∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，∴2∠EDC =60°-∠C +∠B -40°，∴∠EDC =10°，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ADE 是等边三角形是解题的关键．三、解答题13．（2021·辽宁营口·九年级期中）ABC V 与CDE △都是等边三角形，连接AD 、BE ．（1）如图①，当点B 、C 、D 在同一条直线上时，则BCE Ð=______度；（2）将图①中的CDE △绕着点C 逆时针旋转到如图②的位置，求证：AD BE =．【答案】（1）120；（2）证明见解析．【分析】（1）根据CDE △是等边三角形及点B 、C 、D 在同一条直线上即可求解；（2）证明BCE ACD D D ≌即可求解．【详解】解：（1）∵CDE △是等边三角形，∴60DCE Ð=°，∵点B 、C 、D 在同一条直线上，∴180BCE DCE ÐÐ+=°，∴180120BCE DCE ÐÐ=°-=°（2）∵ABC V 与CDE △都是等边三角形，∴BC =AC ，CE =CD ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在BCE V 与ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BCE ACD SAS D D ≌，∴BE =AD ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．14．（2021·江苏·南通田家炳中学一模）如图，已知点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE Ð的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90o．【分析】（1）作AF BC ^于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE V 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ^于F ．Q AB AC =，AD AE =，\BF CF =，DF EF =，15．（2021·江西·信丰县第七中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC与点D，交AC于点E．求证：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE；（2）根据直角三角形中，30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案．【详解】（1）证明：连接BE，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠C=30°．∵DE垂直平分BC，16．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点C 为线段AB 上一点，ACM V ，CBN V 是等边三角形，直线AN MC 、交于点E ，直线BM CN 、交于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：EC FC =；（3）求证：//AB EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）只需要证明△CAN ≌△CMB 即可得到答案；（2）根据△CAN ≌△CMB 得到∠EAC =∠FNC ，再由AC =MC ，∠ACE =∠MCF =60°，即可证明△AEC ≌△MFC ，得到CE =CF ；（3）根据CE =CF ，∠ECF =60°，推出△ECF 是等边三角形，则∠CEF =∠ACE =60°，即可得证．【详解】解：（1）∵△ACM 和△CBN 都是等边三角形，∴AC =MC ，CN =CB ，∠ACM =∠BCN =60°，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠BCN =60°，∴∠CAN =∠ACM +∠MCN =∠MCN +∠BCN =∠BCM =120°，∴△CAN ≌△CMB （SAS ），∴AN =BM ；（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠EAC=∠FNC，∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，∴△AEC≌△MFC（ASA），∴CE=CF；（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，∴△ECF是等边三角形，∴∠CEF=∠ACE=60°，∴EF∥AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．（2022·全国·八年级课时练习）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是_____三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为_____．【答案】等边 6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；（2）证明△ACE≌△CBG（S A S），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证△CEF≌△GBF（AA S），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∵BC＝2BD，∴BD＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∵点D关于直线AC的对称点为点E，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故答案为：等边；（2）∵点D关于直线AC的对称点为点E．∴△ACD≌△ACE，∴CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∵BG＝CD，∴CE＝BG，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∴∠ACD＝∠GBC＝120°，∴∠ACE＝∠GBC＝120°，∴△ACE≌△CBG（S A S），∴AE＝CG，∵∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∴∠BCE+∠BGC＝180°，∴BG∥CE，∴∠G＝∠FCE，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△CEF≌△GBF（AA S），∴CF＝GF，18．（2021·河北唐山·八年级期末）在三角形纸片ABC 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，4AC =，点E 在AC 上，3AE =．将三角形纸片ABC 按图中方式折叠，使点A 的对应点A ¢落在AB 的延长线上，折痕为ED ，A E ¢交BC 于点F ．（1）求CFE Ð的度数；（2）求BF 的长度．【答案】（1）60°；（2）1．【分析】（1）先根据折叠的性质可得30A A ¢Ð=Ð=°，再根据邻补角的定义可得90A BF =¢Ð°，然后根据直角三角形的性质可得60A FB ¢Ð=°，最后根据对顶角相等即可得；（2）先根据线段的和差可得1CE =，再根据等边三角形的判定与性质可得1EF CE ==，然后根据折叠的性质可得3A E AE ¢==，从而可得2A F ¢=，最后利用直角三角形的性质即可得．【详解】（1）由折叠的性质得：30A A ¢Ð=Ð=°，90ABC Ð=°Q ，点A ¢落在AB 的延长线上，18090ABC A BF ¢Ð=°Ð=-\°，9060A FB A ¢¢\Ð=°-Ð=°，由对顶角相等得：60CFE A FB ¢Ð=Ð=°；（2）4,3C E A A ==Q ，1CE AC AE \=-=，Q 在ABC V 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，9060C A \Ð=°-Ð=°，由（1）知，60CFE Ð=°，。

勾股定理知识总结三篇

勾股定理知识总结三篇篇一：勾股定理知识总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若a b c三角形三边长a，b，c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角a c b三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

高中平面几何常用定理总结

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理） 3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b ma -+=． 4．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：Cb Bc A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6．正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8．张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE 交AB于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21．欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ；（4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24．垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===；（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28．三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r r r r r r r c b a c b a =++=== 30．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．33．塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA=1． 34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB 分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q 两点关于圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N 点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B和E 、C 和F ，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．。

旋转中的三种全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)—2023-2024学年九年级数学上册(解析版)

旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。

模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。

其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。

1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。

2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。

3）双等腰三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。

4）双正方形形型条件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。

结论：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。

【答案】(1)40；(2)60；(3)【分析】（1）证明△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，即可得到答案；∠=∠ADC-∠ODC求出答案；（3）由△BOC≌△ADC，推出∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，根据（2）利用ODA△COD 是等边三角形，得到∠ODC=60°，OD=4OC =，证得△AOD 是直角三角形，利用勾股定理求出．【详解】（1）解：∵CO=CD ，∠OCD=60°，∴△COD 是等边三角形；∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=100α=︒，∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=40°，故答案为：40；（2）∵∠ADC=∠BOC=120α=︒，∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=60°，故答案为：60；（3）解：当150α=︒，即∠BOC=150°，∴△AOD 是直角三角形．∵△BOC ≌△ADC ，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，又∵△COD 是等边三角形，∴∠ODC=60°，OD=4OC =，∴∠ADO=90°，即△AOD 是直角三角形，∴OA =故答案为：【点睛】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．备用图【答案】(1)△BEF 是等边三角形(2)证明见解析(3)131−【分析】（1）根据旋转即可证明△BEF 是等边三角形；（2）由△EBF 是等边三角形，可得FB=EB ，再证明∠FBA=∠EBC ，又因为AB=BC ，所以可证明△FBA ≌△EBC ，进而可得AF=CE ；（3）当点D ，E ，F 在同一直线上时，过B 作BM ⊥EF 于M ，再在Rt △BMD 中利用勾股定理列方程求解即可．（1）∵将线段EB 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，∴EB=EF ，60FEB =︒∠∴△BEF 是等边三角形（2）∵等边△ABC 和△BEF ∴BF=BE ，AB=BC ，60EBF ABC ∠=∠=︒∴EBF ABE ABC ABE ∠+∠=∠+∠即∠FBA=∠EBC∴△FBA ≌△EBC （SAS ）∴AF=CE（3）图形如图所示：过B 作BM ⊥EF 于M ，∵△BEF 是等边三角形∴2BE EM =，BM =∵点D 是AB 的中点，∴142BD AB == 在Rt △BMD 中，222BM DM BD +=∵DE=2∴222)(2)4EM ++=解得EM 或EM =（舍去）∴21BE EM == 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解一元二次方程，利用手拉手模型构造全等三角形是解题的关键．例3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC ==点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且CD CE =AD BE =，AD BE ⊥成立．（1）将CDE △绕点C 逆时针旋转90︒时，在图②中补充图形，并直接写出BE 的长度；（2）当CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，AD 与BE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出AD 的长度．【答案】（1）补充图形见解析；BE =（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立，证明见解析；（3）1AD或1=AD ．【分析】（1）根据旋转作图的方法作图，再根据勾股定理求出BE 的长即可；（2）根据SAS 证明E ACD BC ≅∆∆得AD=BE ，∠1=∠2，再根据∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，从而可得出结论；（3）分两种情况，运用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图所示，根据题意得，点D 在BC 上，∴BCE ∆是直角三角形，且由勾股定理得，BE ==（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立. 证明：延长AD 交BE 于点H ，∵90ACB DCE ∠=∠=︒，ACD ACB BCD ∠=∠−∠，BCE DCE BCD ∠=∠−∠，∴ACD BCE ∠=∠，又∵CD CE =，AC BC =，∴ACD BCE ≅△△，∴AD BE =，12∠=∠，在Rt ABC 中，13490∠+∠+∠=︒，∴23490∠+∠+∠=︒，∴90AHB ∠=︒，∴AD BE ⊥.（3）①当点D 在AC 上方时，如图1所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，CD CE =2=在Rt △ACB 中，AC BC =AB ==设AD=BE=x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∴222(2)x x ++=解得,1x ∴ 1AD =②当点D 在AC 下方时，如图2所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，CD CE =2=在Rt △ACB 中，AC BC =AB ==设AD=BE=x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∴222(2)x x +−=解得,x = ∴ 1AD .所以,AD 1【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识，熟练解答本题的关键．例4．（2022·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B ，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2，证明见解析【分析】（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论；（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）CD2+DB2=2DF2证明：∵DF=EF ，∠DFE ＝90°，∴222DF EF DE += ∴222DE DF =连接CF ，BE ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点∴CF BF =， CF AB ⊥，即90CFB ∠=︒ ∴45FCB FBC ∠=∠=︒，90CFD DFB ∠+∠=︒又90DFB EFB ∠+∠=︒ ∴CFD EFB ∠=∠在CFD ∆和BFE ∆中CF BF CFD BFE DF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴CFD ∆≅BFE ∆∴CD BE =，45EBF FCB ∠=∠=︒ ∴454590DBF EBF ∠+∠=︒+︒=︒ ∴222DB BE DE +=∵CD BE =，222DE DF =∴CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2 证明：连接BE∵CF=BF ，DF=EF 又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°∴∠DFC=∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD=BE ，∠DCF=∠EBF=135°∵∠EBD=∠EBF －∠FBD=135°－45°=90° 在Rt △DBE 中，BE2+DB2=DE2∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知ABC 是等腰三角形，AB AC =．（1）特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，DB ______EC ．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的ADE 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点P 是等腰直角三角形ABC 内一点，90BAC ∠=︒，且1BP =，2AP =，3CP =，求BPA ∠的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将BAP △绕点A 顺时针旋转90°得到CAE V ，连接PE ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出BPA ∠的度数．【答案】（1）=；（2）成立，理由见解析；（3）∠BPA=135°．【分析】（1）由DE ∥BC ，得到∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，结合AB=AC ，得到DB=EC ；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ；（3）由旋转构造出△APB ≌△AEC ，再用勾股定理计算出PE ，然后用勾股定理逆定理判断出△PEC 是直角三角形，在简单计算即可．【详解】解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠ADE=∠AED AD=AE ，∴DB=EC ，故答案为：=；（2）成立．证明：由①易知AD=AE ，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ；（3）如图，将△APB 绕点A 旋转90°得△AEC ，连接PE ，∴△APB ≌△AEC ，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt △PAE 中，由勾股定理可得，在△PEC 中，PE2=（2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC 是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB ≌△AEC ，∴∠BPA=∠CEA=135°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．【答案】（1）见解析；（2）48；（3）15︒【分析】（1）通过边角边判定三角形全等；（2）连接,BD GE ，设,BG DE 交于点O ，,DE CG 交于点M ，先证明DE BG ⊥，由勾股定理可得2222DG BE DB GE +=+；（3）作CK GE ⊥于点K ，则122CK GE ==，且1452GCK GCE ∠=∠=︒，由含30度角的直角三角形的性质求解．【详解】（1）四边形ABCE 与CEFG 为正方形，CG CE =，90BCG DCE ∠=∠=︒，90BCG α=∠︒+，90DCE α∠=︒+，BCG DCE ∴∠=∠，在BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCECG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCG DCE ∴≌ (SAS)，（2）连接,BD GE ，设,BG DE 交于点O ，,DE CG 交于点M ，90BCG α=∠︒+，90DCE α∠=︒+，BCG DCE ∴∠=∠，在△BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BCG DCE ∴△≌，BGC DEC ∠=∠，GMO EMC ∠=∠，18090GOM GMO BGC EMC DEC GCE ∴∠=︒−∠−∠=︒−∠−∠=∠=︒DE BG ∴⊥，由勾股定理得222DG DO GO =+，222BE OB OE =+，22222222DG BE DO GO OB OE DB GE ∴+=+++=+，4,AB CG ==，BD ∴==4GE ==，2222(448DG BE ++∴==，(3)作CK GE ⊥于点K ，如图，△CEG 为等腰直角三角形，122CK GE ==，且1452GCK GCE ∠=∠=︒，在Rt CDK 中，12CK CD =，30CDK ∴∠=︒，903060DCK ∴∠=︒−︒=︒， 604515DCG DCK GCK =∠−∠=︒−︒=︒∠．∴15α=︒．【点睛】本题考查四边形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形与直角三角形的性质，通过添加辅助线求解．模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④∆AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。

两年中考模拟2020年中考数学：等腰三角形与直角三角形(学生版)

第四篇图形的性质专题18等腰三角形与直角三角形知识点名师点晴等腰三角形等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质,并能解决等腰三角形的有关计算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法,会证明一个三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法,会证明一个三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法,会证明一个三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理归纳1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°．2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角（或直角）,但顶角可为钝角（或直角）． ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ,底边长为b ,则2b ＜a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ,底角为∠B 、∠C ,则∠A =180°—2∠B ,∠B =∠C =2180A ∠-︒ 注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题,并证明角相等的问题．【例1】（2019内蒙古包头市,第10题,3分）已知等腰三角形的三边长分别为a 、b 、4,且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根,则m 的值是（）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或36归纳 2：等边三角形基础知识归纳：1．定义三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°3．判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例2】（2019四川省宜宾市,第7题,3分）如图,∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心,∠EOF 的两边与△ABC的边交于E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．32B．235C．33D．34归纳3：直角三角形基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角互余．（2）在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半．基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定,在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,它的逆命题不能直接使用．【例3】（2019山东省东营市,第14题,3分）已知等腰三角形的底角是30°,腰长为23,则它的周长是．归纳4：勾股定理基础知识归纳：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即：a2+b2=c2；基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法,通常与直角三角形的性质结合起来考查．【例4】（2019北京,第12题,2分）如图所示的网格是正方形网格,则∠P AB+∠PBA= °（点A,B,P是网格线交点）．【2019年题组】一、选择题1．（2019四川省内江市,第9题,3分）一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一根,则此三角形的周长是（）A．16B．12C．14D．12或162．（2019宁夏,第5题,3分）如图,在△ABC中AC=BC,点D和E分别在AB和AC上,且AD=AE．连接DE,过点A的直线GH与DE平行,若∠C=40°,则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°3．（2019山西省,第5题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC与点E,若∠1=145°,则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°4．（2019衢州,第7题,3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°5．（2019湖北省荆州市,第5题,3分）如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在∠MON的边OM,ON上,若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE 平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角,②矩形的对角线互相平分,③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．（2019湖南省常德市,第7题,3分）如图,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．267．（2019湖南省长沙市,第12题,3分）如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD55BD的最小值是（）A．25B．45C．53D．108．（2019辽宁省丹东市,第7题,3分）等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根,则k的值是（）A．8B．9C．8或9D．129．（2019台湾,第4题,3分）图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成,其中正三角形面积为a,矩形面积为b．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱,则图2中直角柱的表面积为何？（）A．4a+2b B．4a+4b C．8a+6b D．8a+12b10．（2019甘肃省天水市,第8题,4分）如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为（）A．（1,1）B．（3C．3,1）D．33）11．（2019内蒙古赤峰市,第14题,3分）如图,小聪用一张面积为1的正方形纸片,按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠,使四个顶点重合,展开后沿折痕剪开,把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作,当完成第2019次操作时,余下纸片的面积为（）A ．22019B ．201812C ．201912 D ．20201212．（2019台湾,第9题,3分）公园内有一矩形步道,其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式,其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？（）A ．84B ．86C ．160D ．16213．（2019四川省内江市,第10题,3分）如图,在△ABC 中,AB =2,BC =3.6,∠B =60°,将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ,当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时,则CD 的长为（）A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.614．（2019四川省成都市,第5题,3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起,若∠1=30°,则∠2的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°15．（2019四川省眉山市,第11题,3分）如图,在矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则DE 的长是（）A．1B．74C．2D．12516．（2019四川省绵阳市,第10题,3分）公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125,小正方形面积是25,则（sinθ﹣cosθ）2=（）A．15B．55C．355D．9517．（2019滨州,第10题,3分）满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为（）A．AB41=,BC=4,AC=5B．AB：B C：A C=3：4：5C．∠A：∠B：∠C=3：4：5D．|cosA12-|+（tanB33-）2=018．（2019聊城,第11题,3分）如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是（）A．AE+AF=AC B．∠BEO+∠OFC=180°C．OE+OF2=BC D．S四边形AEOF12=S△ABC19．（2019江苏省苏州市,第10题,3分）如图,在△ABC中,点D为BC边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB．过点D作DE⊥AD,DE交AC于点E．若DE=1,则△ABC的面积为（）A．42B．4C．25D．820．（2019浙江省宁波市,第9题,4分）已知直线m∥n,将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置,其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25°,则∠2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°21．（2019浙江省宁波市,第12题,4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和22．（2019浙江省湖州市,第9题,3分）在数学拓展课上,小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形,P是其中4个小正方形的公共顶点,小强在小明的启发下,将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀,把它剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长度是（）A．22B．5C．352D．1023．（2019海南,第12题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4．点P是边AC上一动点,过点P 作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为（）A．813B．1513C．2513D．321324．（2019湖北省咸宁市,第2题,3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．25．（2019湖北省黄石市,第8题,3分）如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=（）A．125°B．145°C．175°D．190°26．（2019辽宁省朝阳市,第7题,3分）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是（）A．83°B．57°C．54°D．33°27．（2019辽宁省锦州市,第7题,2分）在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,M是对角线BD上的动点,过点M作ME ⊥BC于点E,连接AM,当△ADM是等腰三角形时,ME的长为（）A．32B．65C．32或35D．32或65二、填空题28．（2019四川省宜宾市,第16题,3分）如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在同一直线上,AD 与BE、BC分别交于点F、M,BE与CD交于点N．下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．①AM=BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+∠FNC=180°；④111 MN AC CE=+29．（2019自贡,第18题,4分）如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α、∠β如图所示,则cos（α+β）= ．30．（2019江苏省连云港市,第15题,3分）如图,将一等边三角形的三条边各8等分,按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来,这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内,每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始,按顺时针方向）,如点A的坐标可表示为（1,2,5）,点B的坐标可表示为（4,1,3）,按此方法,则点C的坐标可表示为．31．（2019江苏省镇江市,第8题,2分）如图,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形,∠A=20°,则∠1= °．32．（2019浙江省温州市,第16题,5分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米．当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时,点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处,则B'E'﹣BE为分米．33．（2019湖北省荆门市,第15题,3分）如图,在平面直角坐标系中,函数ykx（k＞0,x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M,N,且OM=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为．34．（2019湖北省黄冈市,第16题,3分）如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8,点M为AB的中点,若∠CMD=120°,则CD的最大值是．35．（2019辽宁省锦州市,第16题,3分）如图,边长为4的等边△ABC,AC边在x轴上,点B在y轴的正半轴上,以OB为边作等边△OBA1,边OA1与AB交于点O1,以O1B为边作等边△O1BA2,边O1A2与A1B交于点O2,以O2B为边作等边△O2BA3,边O2A3与A2B交于点O3,…,依此规律继续作等边△O n﹣1BA n,记△OO1A的面积为S1,△O1O2A1的面积为S2,△O2O3A2的面积为S3,…,△O n﹣1O n A n﹣1的面积为S n,则S n=．（n≥2,且n为整数）36．（2019广安,第13题,3分）等腰三角形的两边长分别为6cm,13cm,其周长为cm．37．（2019四川省成都市,第12题,4分）如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为．38．（2019广西桂林市,第17题,3分）如图,在平面直角坐标系中,反比例ykx=（k＞0）的图象和△ABC都在第一象限内,AB=AC52=,BC∥x轴,且BC=4,点A的坐标为（3,5）．若将△ABC向下平移m个单位长度,A,C两点同时落在反比例函数图象上,则m的值为．39．（2019新疆,第14题,5分）如图,在△ABC中,AB=AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°,得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为．40．（2019江苏省徐州市,第18题,3分）函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有个．41．（2019湖南省常德市,第14题,3分）如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,点D在AC边上,将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD',且点D'、D、B三点在同一条直线上,则∠ABD的度数是．42．（2019甘肃省白银市,第17题,4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= ．43．（2019贵州省毕节市,第17题,5分）如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD．若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为度．44．（2019内蒙古通辽市,第15题,3分）腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为．45．（2019四川省巴中市,第15题,4分）如图,等边三角形ABC内有一点P,分別连结AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10．则S△ABP+S△BPC=．46．（2019四川省广元市,第13题,3分）如图,△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是．47．（2019四川省泸州市,第16题,3分）如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,点E在边CB上,CE=2EB,点D在边AB上,CD⊥AE,垂足为F,则AD的长为．48．（2019山东省威海市,第13题,3分）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1=23°,则∠2=°．49．（2019山东省威海市,第17题,3分）如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接AC,BD．若∠ACB=90°,AC=BC,AB=BD,则∠ADC=°．50．（2019枣庄,第17题,4分）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上．若AB=2,则CD= ．51．（2019山东省淄博市,第17题,4分）如图,在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将B角折起,使点B落在AC边上的点D（不与点A,C重合）处,折痕是EF．如图1,当CD12=AC时,tanα134=；如图2,当CD13=AC时,tanα2512=；如图3,当CD14=AC时,tanα3724=；……依此类推,当CD11n=+AC（n为正整数）时,tanαn= ．52．（2019山西省,第15题,3分）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10cm,点D为△ABC内一点,∠BAD=15°,AD=6cm,连接BD,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为cm．53．（2019广西,第18题,3分）如图,AB与CD相交于点O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+∠ABD=210°,则线段AB,AC,BD之间的等量关系式为．54．（2019江苏省宿迁市,第17题,3分）如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C 在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是．55．（2019湖北省鄂州市,第15题,3分）如图,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,则BP= ．56．（2019湖南省株洲市,第13题,3分）如图所示．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E、F分别为MB、BC的中点,若EF=1,则AB= ．57．（2019湖南省株洲市,第18题,3分）如图所示,在平面直角坐标系xOy中,在直线x=1处放置反光镜Ⅰ,在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ,缺口为线段AB,其中点A（0,1）,点B在点A上方,且AB=1,在直线x=﹣1处放置一个挡板Ⅲ,从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后,通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上,则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．58．（2019湖南省邵阳市,第17题,3分）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是．59．（2019西藏,第15题,3分）若实数m 、n 满足|m ﹣3|4n +-=0,且m 、n 恰好是直角三角形的两条边,则该直角三角形的斜边长为．60．（2019贵州省毕节市,第19题,5分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,点B 在ED 上,AB ∥CF ,∠F =∠ACB =90°,∠E =45°,∠A =60°,AC =10,则CD 的长度是．61．（2019贵州省铜仁市,第16题,4分）如图,在△ABC 中,D 是AC 的中点,且BD ⊥AC ,ED ∥BC ,ED 交AB 于点E ,BC =7cm ,AC =6cm ,则△AED 的周长等于 cm ．62．（2019辽宁省丹东市,第13题,3分）如图,在△ABC 中,∠C =90°,DE 是AB 的垂直平分线,AD 恰好平分∠BAC ．若DE =1,则BC 的长是．63．（2019辽宁省大连市,第13题,3分）如图,△ABC 是等边三角形,延长BC 到点D ,使CD =AC ,连接AD ．若AB =2,则AD 的长为．64．（2019辽宁省抚顺市,第17题,3分）如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CA =CB =2,D 是△ABC 所在平面内一点,以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是平行四边形,则BD 的长为．65．（2019黑龙江省鸡西市,第9题,3分）一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,点D为BC边上的任一点,沿过点D的直线折叠,使直角顶点C落在斜边AB上的点E处,当△BDE是直角三角形时,则CD的长为．66．（2019黑龙江省齐齐哈尔市,第16题,3分）等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD12=AC,则等腰△ABC底角的度数为．三、解答题67．（2019内蒙古呼和浩特市,第18题,6分）如图,在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若()12a b caa b c c++=-+,求证：△ABC是直角三角形．68．（2019四川省巴中市,第18题,8分）如图,等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上,分别过点A、B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D．（1）求证：EC=BD；（2）若设△AEC三边分别为a、b、c,利用此图证明勾股定理．69．（2019四川省达州市,第20题,7分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3．（1）尺规作图：不写作法,保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线,垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中,求DE的长．70．（2019山东省菏泽市,第23题,10分）如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图1,连接BE,CD,BE的廷长线交AC于点F,交CD于点P,求证：B P⊥CD；（2）如图2,把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=62,AD=3,求△PDE的面积．【2018年题组】一、选择题1．（2018浙江省湖州市,第5题,3分）如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°2．（2018兰州,第5题,4分）如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=65°,则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°3．（2018贵州省安顺市,第6题,3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是（）A．12B．9C．13D．12或94．（2018辽宁省丹东市,第5题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB与点E,已知△BCE的周长为10,且BC=4,则AB的长为（）A．3B．4C．5D．65．（2018辽宁省营口市,第6题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,在同一平面内,将△ABC绕点A 顺时针旋转到△AB1C1的位置,连接BB1,若BB1∥AC1,则∠CAC1的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．（2018台湾省,第11题,3分）如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何？（）A．115B．120C．125D．1307．（2018山东省德州市,第12题,4分）如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点,连接DE,给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2018四川省达州市,第8题,3分）如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为（）A．32B．2C．52D．39．（2018广西梧州市,第7题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,△AB'C'与△ABC关于直线EF对称,∠CAF=10°,连接BB',则∠ABB'的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°10．（2018江苏省宿迁市,第6题,3分）若实数m、n满足等式|m﹣4n =0,且m、n恰好是等腰△ABC 的两条边的边长,则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．611．（2018广西玉林市,第9题,3分）如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC 为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直12．（2018浙江省台州市,第10题,4分）如图,等边三角形ABC边长是定值,点O是它的外心,过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E．将△BDE沿直线DE折叠,得到△B'DE,若B'D,B'E分别交AC于点F,G,连接OF,OG,则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B'FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值13．（2018兰州,第7题,4分）如图,边长为4的等边△ABC中,D、E分别为AB,AC的中点,则△ADE的面积是（）A3333B C24 ．．D．314．（2018福建省A,第5题,4分）如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°15．（2018辽宁省鞍山市,第7题,3分）如图,在等边三角形ABC中,AE=CD,CE与BD相交于点G,EF⊥BD于点F,若EF=2,则EG的长为（）A．334B．433C．332D．416．（2018内蒙古包头市,第8题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE．若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为（）A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°17．（2018吉林省长春市,第8题,3分）如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=kx（x＞0）的图象上,若AB=2,则k的值为（）A．4B．22C．2D．218．（2018四川省内江市,第12题,3分）如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标分别为（2,1）,（6,1）,∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交y轴于点P,若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为（）A．（﹣4,﹣5）B．（﹣5,﹣4）C．（﹣3,﹣4）D．（﹣4,﹣3）19．（2018四川省凉山州,第3题,4分）如图,数轴上点A对应的数为2,AB⊥OA于A,且AB=1,以O为圆心,OB 长为半径作弧,交数轴于点C,则OC长为（）A．3B．2C．3D．520．（2018四川省南充市,第8题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD 的中点,若BC=2,则EF的长度为（）A．12B．1C．32D321．（2018四川省攀枝花市,第4题,3分）如图,等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上,若a∥b,∠1=30°,则∠2的度数为（）A ．30°B ．15°C ．10°D ．20°22．（2018四川省泸州市,第8题,3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ．若ab =8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（）A ．9B ．6C ．4D ．323．（2018四川省绵阳市,第11题,3分）如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,CA =CB ,CE =CD ,△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上,若AE 2=,AD 6=,则两个三角形重叠部分的面积为（）A ．2B ．32-C ．31-D ．33-24．（2018山东省东营市,第10题,3分）如图,点E 在△DBC 的边DB 上,点A 在△DBC 内部,∠DAE =∠BAC =90°,AD =AE ,AB =AC ．给出下列结论：①BD =CE ；②∠ABD +∠ECB =45°；③BD ⊥CE ；④BE 2=2（AD 2+AB 2）﹣CD 2．其中正确的是（）A ．①②③④B ．②④C ．①②③D ．①③④25．（2018山东省枣庄市,第10题,3分）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB 的端点都在小矩形的顶点上,如果点P 是某个小矩形的顶点,连接P A 、PB ,那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个26．（2018山东省枣庄市,第12题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F．若AC=3,AB=5,则CE的长为（）A．32B．43C．53D．8527．（2018山东省淄博市,第11题,4分）如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为（）A．4B．6C．43D．828．（2018山东省淄博市,第12题,4分）如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为（）A．25394+B．25392+C．18253+D．3182+29．（2018山东省滨州市,第1题,3分）在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为（）A．5B．6C．7D．830．（2018山东省莱芜市,第8题,3分）在平面直角坐标系中,已知△ABC为等腰直角三角形,CB=CA=5,点C（0,3）,点B在x轴正半轴上,点A在第三象限,且在反比例函数y=kx的图象上,则k=（）A．3B．4C．6D．1231．（2018山东省菏泽市,第3题,3分）如图,直线a∥b,等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上,若∠1=30°,则∠2的度数是（）A．45°B．30°C．15°D．10°32．（2018山东省青岛市,第6题,3分）如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点．沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F．已知EF=32,则BC的长是（）A．322B．32C．3D．3333．（2018山西省,第8题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为（）A．12B．6C．62D．6334．（2018广西贺州市,第10题,3分）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为（）A．32B．33C．6D．6235．（2018江苏省南通市,第5题,3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3,4,5B．2,3,4C．4,6,7D．5,11,1236．（2018江苏省扬州市,第7题,3分）在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC37．（2018江苏省扬州市,第8题,3分）如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③38．（2018浙江省温州市,第10题,4分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为（）A．20B．24C．994D．53239．（2018海南省,第12题,3分）如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,∠BAC=30°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1,连接BC1,则BC1的长为（）A．6B．8C．10D．1240．（2018湖北省孝感市,第10题,3分）如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE ⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（3﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5B．4C．3D．241．（2018湖北省荆州市,第4题,3分）如图,两条直线l1∥l2,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,顶点A、B分别在l1和l2上,∠1=20°,则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°42．（2018湖北省荆门市,第11题,3分）如图,等腰Rt△ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为（）。

第04讲等边三角形(原卷版)

第04讲等边三角形课程标准学习目标①等边三角形的概念与性质②等边三角形的判定③含30°角的直角三角形1.掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。

2.掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等腰三角形。

3.掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。

1.等边三角形的概念：三条边都的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的。

2.等边三角形的性质：如图①等边三角形的三条边都，三个角也，且三个角都等于°。

②等边三角形三条边都存在。

③等边三角形是一个图形，它有条对称轴，对称轴的交点叫做中心。

题型考点：①等边三角形的性质求角度与线段。

【即学即练1】1．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【即学即练2】2．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°【即学即练3】3．如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为．【即学即练4】4．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．知识点02 含30°角的直角三角形1.30°角所对的直角边与斜边的关系：30°角所对的直角边等于斜边的。

证明如下：如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。

证明BD＝AB21∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝。

∵AD⊥BC∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝BD＝CD＝BC∴BD＝AB。

题型考点：含30°角的直角三角形的性质。

【即学即练1】5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD等于（）A．3B．4C．5D．6【即学即练2】6．若等腰三角形的一腰长为a，底角为15°，则这个等腰三角形腰上的高为（）A．2a B．a C．a D．与a无关【即学即练3】7．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为2．知识点03 等边三角形的判定1.等边三角形的判定：①定义判定：三条边都的三角形是等边三角形。

等边三角形内一点到三条边的距离-概述说明以及解释

等边三角形内一点到三条边的距离-概述说明以及解释1.引言1.1 概述等边三角形是一种具有特殊几何性质的三角形，其三条边长度相等，三个内角均为60度。

在等边三角形内部选取一点后，我们可以考虑这个点到三条边的距离。

这个问题在数学研究中具有一定的重要性和应用性。

本文旨在探讨等边三角形内一点到三条边的距离的相关概念、性质以及可能的应用。

理解等边三角形内一点到三条边的距离对于深入了解等边三角形的几何特性，解决与之相关的实际问题具有重要意义。

首先，我们将介绍等边三角形的定义和性质，包括它的构造、角度和边长的关系等方面。

然后，我们将探讨三角形内一点到三条边的距离的概念，并讨论不同点位置对于距离的影响。

我们将深入研究这个问题，分析距离的特点、性质以及相关的定理。

最后，我们将总结等边三角形内一点到三条边的距离的特性，并探讨其在实际应用中的可能性和进一步研究方向。

通过本文的阐述和分析，读者将能够全面了解等边三角形内一点到三条边的距离的概念和性质，进一步加深对等边三角形的认识，并掌握解决实际问题的一些方法和思路。

文章的结构将按照以上大纲来展开阐述，期望能给读者带来全面而深入的认识。

1.2文章结构文章结构:在本篇文章中，我们将依次介绍等边三角形的定义和性质，以及三角形内一点到三条边的距离的相关概念。

首先，我们会给出等边三角形的定义，介绍其特点和性质，从而为后面的内容打下基础。

然后，我们会引入三角形内一点到三条边的距离的概念，并介绍这一距离与等边三角形的关系。

在此过程中，我们将探讨如何求解三角形内一点到三条边的距离，并给出相应的推导和证明过程。

在正文部分，我们将深入研究等边三角形内一点到三条边的距离的特点。

具体而言，我们会探讨这一距离与等边三角形内各边的关系，如何确定这一距离的最小值和最大值，以及在特殊情况下这一距离的具体取值等。

同时，我们会分析这个距离在等边三角形内的变化规律，并揭示其中的规律和性质。

在结论部分，我们将总结等边三角形内一点到三条边的距离的特点和规律。

专题12 全等三角形中的手拉手模型(学生版)-中考数学几何模型重点突破讲练

① CE
BF
；②△ABD ≌△ACE
；③ S△ABC
S四边形ADCE
；④ BC
1 2
EF
2AD CF
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．如图，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接 AC，BD 交于点
M，连接 OM，下列结论：
①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO 平分∠BMC．
(1)特例感知：如图 1，四边形 ABCD 是“垂美四边形”，如果 OA OD 1 OB ， OB 2 ， OBC 60 ，则 3
AD2 BC2 ______， AB2 CD2 ______． (2)猜想论证：如图 1，如果四边形 ABCD 是“垂美四边形”，猜想它的两组对边 AB，CD 与 BC，AD 之间的数量关系并给予证明． (3)拓展应用：如图 2，分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE，BG，GE，已知 AC 4 ， BAC 60 ，求 GE 长． 22．在 VABC 中， BAC 90 ， AB AC ，点 D 是射线 CB 上的动点（点 D 不与点 B、C 重合），连接 AD， AE AD ，且 AE AD ，连接 DE，过点 D 作 DF BC ，且 DF BD ，连接 CF．
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（）个
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图，在 VABC 中， AB AC ，点 D、F 是射线 BC 上两点，且 AD AF ，若 AE AD ， BAD CAF 15 ；

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解

1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE

第17讲等边三角形

第17讲等边三角形知识导航1．等边三角形三个内角均为60°． 2．等边三角形三条边相等． 3．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 4．三个角都相等的三角形是的等边三角形． 5．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．【板块一】等边三角形的性质方法技巧（1）运用等边三角形角的数量特征和边的相等关系解题．（2）共顶点的两个等边三角形（也称手拉手图形）组成的图中，必定有全等三角形．题型利一与等边三角形有关的角度的计算．【例1】如图，△ABC 是等边三角形，CD ⊥BC ，CD ＝BC ，求∠DAC 和∠ADB 的度数．AD题型二共顶点的等边三角形（手拉手图形）【例2】如图，点D 是等边△ABC 的边AB 上一点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE ．（1）求证：△DBC ≌△EAC ；（2）求证：AE ∥BC ．B【例3】如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，点E 在BC 上，AE 的延长线交BD 于点F ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）求∠AFB 的度数；（3）求证：CF 平分∠AFD ；（4）直接写出EF ，DF ，CF题型三【例4】如图，，点A （－2，0），B （2，0y 轴正半轴上一点，且∠ODB ＝30°，延长DB 至E ，使x 轴正半轴上一动点（点P 在点C 的右边），点M 在EP ＝60°，AM交BE 于点N ．（1）求证：BE ＝BC ；（2）求证：∠ANB ＝∠EPC ；（3）当点P 运动时，求BP －BN 的值．D E针对练习11．如图，等边△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B’处，DB ’，EB ’分别交AC 于点F ，G ，若∠ADF ＝80°，求∠EGC 的度数．B'B2．如图，△ABD 和△ACE 都是等边三角形， DC 于BE 交于点M ．（1）求证：BE ＝CD ；（2）求∠AMD 的度数．3．如图1，等边△ABC 中，点D 是AB 上一点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，向下作等边△DCF ，连接AE ，BF ．（1）求证：AB ＝AE ＋BF ；（2）当点D 在BA 延长线上时，如图2，若AE ＝10，BF ＝4，求AC 的长．B图1 图24．已知点D ，E 分别是等边△ABC 的边BC ，AB 上的点，∠ADE ＝60°．（1）如图1，当点D 是BC 的中点时，求证：AE ＝3BE ；（2）如图2，当点M 在AC 上，满足∠ADM ＝60°，求证：BE ＝CM ；（3）如图3，过C 作CF ∥AB 交ED 延长线于点F ，探究线段BE ，CF ，CD 之间的数量关系，并给出证明．BCBCBC图1 图2 图35.在平面直角坐标系中，已知点A 在y 轴的正半轴上，点B 在第二象限，AO =a ，AB =b ，BO 与x 轴正方向的夹角150°，且220a -b a-b . ⑴判断△ABO 的形状；⑵如图1，若BC ⊥BO ，BC =BO ，点D 为CO 的中点，AC 、BD 交于点E ，求证:AE = BE +CE ；图 1⑶如图2，若点E 为y 轴的正半轴上一动点，以BE 为边作等边△BEG ，延长GA 交x 轴于点P ，AP 与AO 之间有何数量关系?试证明你的结论.图 26.△ABC 为等边三角形，BC 交y 轴于点D ，A (a ，0)，B (b ，0)，且a ，b 满足230a+ . (1)如图1，求点A ，B 的坐标及CD 的长；图 1(2)如图2，P是AB的延长线上一点，点E是CP右侧一点，CP=PE，且∠CPE=60°，连接EB，求证:直线EB必过点D关于x轴对称的对称点；(3)如图3，若点M在CA的延长线上，点N在AB的延长线上，且∠CMD=∠DNA，求AN-AM的值.【板块二】60°角的用法◆方法技巧◆合理利用60°角构造等边三角形得到相等线段，再进行推理.题型一过60°角一边上一点作平行线构造等边三角形.方法技巧:过60°角一边上一点，作平行线构造等边三角形，转化边与角.【例5】如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点E，F分别在BC，AB的延长线上，∠EDF=120°.(1)求证:DE=DF；(2)若AB=5，求CE-BF的值.A题型二在60°角的两边上截取两条相等线段构造等边三角形方法技巧:在60°角的边上截取两条相等线段后构成等边三角形，然后产生新的全等三角形，从而找到解决问题的突破口.【例6】如图，△ABC 为等边三角形，∠ADB =60°. (1)如图1，当∠DAB =90°时，直接写出DA ，DC ，DB 之间的数量关系_______；图 1ABCD(2)如图2，当∠DAB ≠90°时，①中的关系式是否成立?说明理由.图 1ABCD题型三利用60°角的一边上的点向另一边做垂线构造30°，60°，90°的直角三角形方法技巧:利用30角所对的直角边等于斜边的一半，作高. 【例7】如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠C =45°，AB =2，BC =1 ，求△ABC 的面积.ABC題型四利用60°角延长构造等边三角形方法技巧；向外延长60”角的一边，在外部构造等边三角形.【例8】已知点D ，点E 分別等边△ABC 边BC ，AC 上的点，CD =AE ，AD 与BE 交于点F .(1)如图1，求∠AFE 的度数；图 1BCAD(2)点G 边AC 中点，∠BFG =120° ，如图2，求证:AF =2FG .图 2BCAD针对练习21.如图，在等边△ABC 中，AC =9，点O 在AC 上，且AO =3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，以O 为圆心，OP 长为半径画弧交BC 于点D ，连接PD ，如果PO =PD ，求AP 的长.ABCP2.如图.在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，且OD ∥AB ，OE ∥AC . (1)试判定△ODE 的形状，并说明你的理由；(2)线段BD ，DE ，EC 三者有什么关系?请说明理由.E DBCA3.点D 为BC 上任一点，∠ADE =60°，边ED 与∠ACB 外角的平分线交于点E ，求证:AD =DE ；BCAD4.已知△ABC 是边长为5的等边三角形.(1)如图1，若点P 是BC 上一点，过点C ，点P 分别作AB ，AC 的平行线，两线相交于点Q ，连接BQ ，AP 的延长线交BQ 于点D .试问:线段AD ，BD ，CD 之间是否存在某种确定的数量关系?若存在，请写出它们之间数量关系并证明你的结论；若不存在，说明理由；图 1QBCA(2)如图2，若点P 是BC 延长线上一点，连接AP ，以AP 为边作等边△APE (点E 、点A 在直线BC 同侧)，连接CE 交AP 于点F ，求CE -CP 的值.图 2BCDE5.如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，以BC 为边在△ABC 的同侧作等边△DBC ，BD ，AC 相交于点E ，连结AD .(1)如图1，若A 2ACAB,求证：△ABC ≌△ADC图 1CA(2)如图2，若3AC AB，求ABAD的值. 图 2CAD6.如图1，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，AE =BD ，连接CE 、DE . ⑴求证：EC =ED ；图 1BDE⑵如图2，EO ⊥CD 于点O ，点N 在EO 上，△DNM 为等边三角形，CM 交EO 于F ，若FO =1，求FM -FN 的值.图 1BDE7.如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是AB 中点，点E 在BC 上，△DEF 为等边三角形，图 1BCE(1)当点E 为BC 中点时，直接写出FE 与FC 的数量关系为_______________. (2)当点E 不为BC 中点时，(1)结论还是否成立?请说明理由； (3)如图2，当∠DAF =90°时，求证:BE =3EC .图 2BCAE[板块三) 30°角的用法方法技巧构造30°角的直角三角形，算边长与面积. 题型一已知30°角连线巧得隐直角.【例9】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =30°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，试探究BE 与CE 之间的数量关系.BC题型二利用30°作高构造直角三角形.【例10】如图，CD 是△ABC 的中线，CD ⊥CB ，∠ACD =30°，求证:AC =2BC.DABC题型三已知30°和90°角补形构造直角三角形【例11】如图，四边形ABCD 中，∠C =30°，∠B =90°，∠ADC =120°，若AB =2，CD =8，求AD 的长.ACBD题型四利用底角为15°的等腰三角形构造30°角的直角三角形【例12】如图，∠AOC =15°，OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上一点，PD /∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ，若OD =4cm ，求PE 的长.EOA题型五利用150°构造30°角的直角三角形【例13】如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 上一点，以AD 为腰作等腰△ADE ，且AD =AE ，∠BAC =∠DAE =30°，连接CE ，若BD =2，CD =5，求△DCE 的面积.BCAD E题型六30°直角三角形斜边上的高方法技巧：30°角的直角三角形斜边上的高中，有3个30°的直角三角形，选取最小的和最大的两个直角三角形进行计算.【例14】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，∠A =30°，AD =6，求BC 的长.DABC针对练习31.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米的售价为a 元，求购买这种草皮至少需要多少元?BCA2.在△ABC 中，∠B =30°，AB =AC =8，P 为BC 上一点，求AP 的最小值.ABCP3.如图，在等边△ABC 中，点D 为AC 上一点，CD =CE ，∠ACE =60°. (1)求证:△BCD ≌△ACE ；图 1EBCA(2)延长BD 交AE 于点F ，连接CF ，若AF =CF ，猜想线段BF ，AF 的数量美系，并证明你的猜想.图 2BCAE4.如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，点D 为三角形内一点，且AB =AC =BD ，∠ABD =30°.求证:AD =CD ，AB C5.如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，∠BAC =60°，点D 为BC 上一点，∠ADC =60°，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，AE 、CF 相交于点H .ECBAD(1)求证:△DFC ≌△HFA ；(2)若DF =2，AF EH 的值.6.如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC ，AB 于点M ，N . (1)求证:CM =2BM ；BC(2)如图2，点F 为AB 上方一点，连接BF ，AF ，CF ，点B 关于直线AF 的对称点E 在CF 上，连接BE . 求证:△BEF 为等边三角形.B AFC。

汉声数学奇妙的三角形-定义说明解析

汉声数学奇妙的三角形-概述说明以及解释1.引言1.1 概述三角形作为数学中重要的几何形状之一，具有丰富且奇妙的性质与定理，一直以来都是数学研究的热点之一。

汉声数学奇妙的三角形作为一个主题，是对三角形的独特研究和应用的总结和展望。

在汉声数学中，三角形是一个极具魅力的研究对象。

它不仅是平面几何的基础，也是许多领域重要问题的核心。

三角形的性质与特点在实际生活与理论研究中都扮演着重要的角色，因此汉声数学致力于探索三角形的奥秘，发掘三角形的更多性质与定理。

本文的目的是通过探讨汉声数学中奇妙的三角形，展示其在数学研究和实际应用中的重要性和价值。

通过引入一些经典和未曾涉及的三角形概念和性质，我们希望读者能够对三角形的魅力产生更深的认识和理解。

在本文的结构中，我们将首先介绍三角形的基本概念，包括边与角的定义，面积和周长等基本性质。

接着我们将详细讨论三角形的分类与性质，例如等边三角形、直角三角形等，以及它们的特殊性质和定理。

除了这些常见的三角形，还将介绍一些在汉声数学中的独特研究成果，如高斯三角形、费马三角形等。

在结论部分，我们将总结三角形在数学中的重要性，并展示汉声数学中三角形的研究成果与应用前景。

我们相信，通过了解和研究三角形，我们可以更好地理解数学的本质和应用，也能够更深入地探索到数学中的奇妙之处。

综上所述，本文将探讨汉声数学中奇妙的三角形，展现其在数学研究和实际应用中的重要性和价值。

通过对三角形的基本概念、分类与性质以及特殊性质与定理的介绍，我们希望读者能够对三角形产生更深的认识，并对汉声数学中三角形的研究和应用有更好的了解。

文章结构部分的内容可以描述整篇文章的组织结构和各个章节的主要内容。

这部分应当简洁明了地介绍文章的组织框架，以便读者了解整篇文章的脉络。

以下是文章结构部分的一个可能写法：1.2 文章结构本文按照以下结构进行组织和展开：第一部分是引言，旨在引入本文所要阐述的主题——汉声数学奇妙的三角形。

等边三角形

练习
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC 的延长线于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形．
答案：60°，30°；AB=2BC．
练习如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =10，则BC 的长为________．
答案：5．
练习如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4 ．则BD =______ .
答案：1．
练习如图：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_____cm．
构造含30°的直角三角形如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB 的垂直平分线 MN交BC 于M，交AB 于N．求证：CM=2BM．提示：连接AM．
构造含30°的直角三角形如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°，EF 垂直平分AC 且交BC 于F．求证：BF＝2CF．
结论
等边三角形的性质1 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 怎么写过程呢？
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°．
猜想
等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．
等边三角形是轴对称图形
等边三角形有三条对称轴
每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线所在的所有直线都是它的对称轴等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合
证明
等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．

等腰三角形与等边三角形的性质和判定学生版

2014年秋季同步课初二年级学生姓名：上课时间：等腰三角形与等边三角形的性质和判定内容基本要求略高要求较高要求等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这两种图形；理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形的知识解决有关问题知识框架图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧判定性质定义等边三角形判定性质定义等腰三角形等腰三角形知识点讲解一、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

二、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论中考考纲知识体系定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

非学科数学学培训等边三角形(资料附答案)

自学资料一、等边三角形【知识探索】1．等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．第1页共28页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．【说明】等边三角形具有等腰三角形的性质，它也是轴对称图形（有三条对称轴）；也具有三线合一的性质．【错题精练】例1．如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是．【答案】60°．例2．下列三角形：①有两个内角是60°的三角形；②有两边相等且是轴对称的三角形；③有一个角是60°且是轴对称的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【解答】①两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；②有两边相等且是轴对称的三角形可能是等腰三角形，③如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，则它是等腰三角形，而有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，正确的有①③④【答案】C例3．已知：如下图，△ABC是等边三角形，D为AC上任一点，∠ABD=∠ACE，BD=CE，求证：△ADE是等边三角形．第2页共28页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】例4．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=3，EM+CM的最小值为（）A. 4；B. √3；C. √2；D. 3√3．【答案】D例5．以下叙述中不正确的是（）A. 等边三角形的每条高线都是角平分线和中线；B. 有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形；C. 等腰三角形一定是锐角三角形；D. 在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．【答案】C例6．如图，点D是正△ABC内的一点，DB=3，DC=4，DA=5，则∠BDC的度数是（）第3页共28页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训A. 120°；B. 135°；C. 140°；D. 150°．【答案】D例7．下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为4时，AF长为（）A. 16； B. 20； C. 24； D. 28．【答案】C例8．如图所示，已知：△ABC和△DCE都是等边三角形，求证：AD=BE．【解答】证明：∵△ABC和△DCE与都是等边三角形，∠ACB=∠ECD=60∘,CA=CB,CD=CE,∴∠ACD=∠ECB在△ACD和△BCE中，{CA=CB<ACD=<BCECD=CE∴△ACD≌△BCE,第4页共28页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∴AD=BE．【答案】证明略例9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．求证：△PCQ为等边三角形．【解答】由C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，利用SAS易证得△ACD≌△BCE，继而可证得△ACP≌△BCQ，则可得CP=CQ，又由∠BCD=60°，即可证得：△PCQ为等边三角形．【答案】例10．如图，△ABC中，∠BAC=60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD=∠CBE=30°，BE、CD相交于点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD=2OG．第5页共28页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】延长OE至点M，使OM=OC，连接CM，由于∠BCD=∠CBE=30°，于是得到OB=OC，∠MOC=30°+30°=60°，推出△OMC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到CM=OC=OB，∠M=60°，于是得到∠DBO=∠MCE，推出△BOD≌△MCE，根据全等三角形的性质得到DO=EM，证得OE+OD=OM=OB，根据直角三角形的性质得到2OG=OB，即可得到结论．【答案】例11．如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．第6页共28页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．【答案】例12．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC=ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．第7页共28页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】【答案】例13．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．第8页共28页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（1）判断△CDE的形状，并说明理由．（2）若AO=12，求OE的长．【解答】（1）证明∠C=60°，CD=CE，即可解决问题．（2）证明AO=2OE，即可解决问题．【答案】【举一反三】1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）．A. ①②③B. ①②④C. ①③D. ①②③④第9页共28页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】试题分析：根据等边三角形的判定判断．①有两个角等于60°，则第三角也是60度，则其是等边三角形，故正确；②这个等边三角形的判定2，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据等边三角形三线合一性质，故正确．所以都正确．故选D．【答案】D2．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD=AB，则∠DCB=__________ ．【答案】15°3．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．（1）求证：AD=DC；（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．【答案】（1）证明：∵DC‖AB，∴∠CDB=∠ABD，又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠CDB=∠CBD，∴BC=DC，又∵AD=BC，∴AD=DC；（2）△DEF为等边三角形，证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，∴点F是BD的中点，第10页共28页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，∴△DEF为等边三角形．4．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=100°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）当△AOD是等腰三角形时，求α的度数．【解答】【答案】（1）△OCD是等边三角形，理由见解析；（2）当α为130°、100°、160°时，△AOD是等腰三角形．5．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD=39∘，那么∠BCE=度．【答案】39．6．如图，过边长为1的等边△ ABC 的边 AB 上一点 P ，作 PE⊥ AC 于 E ， Q 为 BC 延长线上一点，当 PA=CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D ，则 DE 的长为（）A. 13； B. 12；C. 23； D. 不能确定．【答案】A．7．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E 作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）【答案】8．如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：（1）AG=AD；（2）DF=EF；（3）S△DGF=S△ADG+S△ECF．【答案】9．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【答案】10．已知：等边△ABC内有一点P，且PC=2，PA=4，PB=，则AB=__________ ．【解答】【答案】11．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD 交CE于H．（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：FH∥BD．【解答】（1）先根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD；（2）由（1）知△BCE≌△ACD，可知∠CBF=∠CAH，BC=AC，再由ASA定理可知△BCF≌△ACH，可得出CF=CH，根据∠FCH=60°，可知△CHF为等边三角形，进而可得出结论．【答案】12．如图，△ABC为等边三角形，∠1=∠2=∠3．（1）求∠BEC的度数；（2）△DEF是等边三角形吗？为什么？【解答】（1）求∠BEC的度数，可利用180°减去∠BEC的外角进行求解，只要求得∠BEF即可，利用三角形的外角的性质可得答案．（2）根据三个内角都是60度的三角形是等边三角形进行证明．【答案】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠3+∠BCE=60°．∵∠2=∠3，∴∠BEF=∠2+∠BCE=60°，∴∠BEC=180°﹣（∠2+∠BCE）=120°．（2）△DEF是等边三角形．理由如下：由（1）知，∠BEC=120°，则∠DEF=60°．同理，∠EFD=∠FDE=60°，∴△DEF是等边三角形．13．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．【解答】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A 等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形；（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．【答案】1．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△ABC（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是．【答案】400．2．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，则∠ACE=°；若AB=1，则OE的最小值= ．【答案】30，143．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE，AE与BD交于点F，则∠AFD的度数为（）A. 60∘；B. 45∘；C. 75∘；D. 70∘．【答案】A．4．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中正确的结论的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【解答】试题分析：已知△ABC、△DCE为正三角形，故∠DCE=∠BCA=60°，∴∠DCB=60°，又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°，∴∠DPC＞60°，故DP不等于DE，④错．∵△ABC、△DCE为正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，故①正确；∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故⑤正确；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，故③正确．【答案】C5．如图1，等边△ABC边长为6，AD是△ABC的中线，P为线段AD（不包括端点A、D）上一动点，以CP 为一边且在CP左下方作如图所示的等边△CPE连结BE．（1）点P在运动过程中，线段BE与AP始终相等吗？说说你的理由；（2）若延长BE至F，使得CF=CE=5，如图2，问：求出此时AP的长；（3）当点P在线段AD的延长线上时，F为线段BE上一点，使得CF=CE=5．求EF的长【答案】（1）见解析；（2）AP=3√3−4；（3）8．6．如图，已知：在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．【解答】【答案】75°7．如图，点P是等边三角形ABC的边AB上的一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ,PQ交AC于D,求证：DP=DQ.【答案】解：如图，过P做PM∥BC交AC于点M，∴∠AMP=∠ACB，∠MPD=∠Q，∠PMD=∠QCD∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AMP=60°，∴△APM是等边三角形，∵AP=PM，AP=CQ∴PM=CQ又∵∠MPD=∠Q，∠PMD=∠QCD∴△PMD≌△QCD，∴PD=DQ．8．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积．【解答】解：∵如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴BC2=AB2+AC2，∴∠BAC=90∘，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60∘，∴∠DAE=150∘．∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60∘，∴∠DBF=∠ABC．在△ABC与△DBF中，{BD=BA∠DBF=∠ABCBF=BC，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC=DF=AE=4，同理可证△ABC≌△EFC，∴AB=EF=AD=3，∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．∴∠FDA=180∘−∠DAE=30∘，∴S▱AEFD=AD⋅(DF⋅sin30∘)=3×(4×12)=6．∴四边形AEFD的面积是6．【答案】6．9．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N 运动的时间．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得x=12.故点M、N运动12秒后，M、N两点重合.（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，∵△AMN是等边三角形，∴t=12-2t，解得t=4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM.∴∠AMN=∠ANM.∴∠AMC=∠ANB.∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，AC=AB，∠C=∠B，∠AMC=∠ANB，∴△ACM≌△ABN.∴CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，即y-12=36-2y，解得y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒．【答案】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得x=12.故点M、N运动12秒后，M、N两点重合.（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，∵△AMN是等边三角形，∴t=12-2t，解得t=4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM.∴∠AMN=∠ANM.∴∠AMC=∠ANB.∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，AC=AB，∠C=∠B，∠AMC=∠ANB，∴△ACM≌△ABN.∴CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，即y-12=36-2y，解得y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒．● 等边三角形的性质及判定方法。

三角形各种心的性质归纳

三角形各种心的性质研究一、基础知识三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨．1．重心：设G 是ABC ∆的重心，AG 的延长线交BC 于D ，则，DC BD =)1(，（ 2）3:2:=AD AG ；（3）4222222BC AC AB AD -+=，（4）3ABCGBCS S ∆∆=．2.外心：设⊙O （R ）是ABC ∆的外接圆，BC OD ⊥于D 交⊙O 于E ，则（1）R OC OB OA ===；（2）A BOC ∠=∠2或)180(20A ∠-；（3）DC BD =⌒BE =⌒EC ；（4）C B A R Rabc S ABCsin sin sin 24==∆（正弦定理）3.内心：设ABC ∆的内心圆⊙I （)r 切边AB 于P ，AI 的延长线交外接圆于D ，则（1）A BIC ∠+︒=∠2190; (2)a c b a a c b A r AP -++=-+=∠=)(21221cot ；(3)DC DI DB ==；(4)2)(c b a r SABC++=∆; 4.垂心：设H G O ,,分别是ABC ∆的外心，重心，垂心，BC OD ⊥于D ，AH 的延长线交外接圆于1H ，则，（1）OD AH 2=；（2）H 与1H 关于BC 成轴对称；（3）⊙=BCH ⊙ABC ；（4）,,,H G O 三点共线，且2:1:=GH OG ；5．旁心：设ABC ∆在A ∠内的旁切圆⊙1I （)1r 与AB 的延长线切于1P ，则，（1）A C BI ∠-=∠219001；（2）2211c b a A ctg r AP ++=∠=；（3）21c b a BP -+=；（4）21CB AI ∠=∠；（5）2)(1a c b r S ABC -+=∆ 6．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系在△ABC 中，内切圆⊙O 分别与三边相切于点K M ,L ，BC 边上的帝切圆⊙a O 与BC 边切于点H ，且分别与AB 边和AC 这的延长线相切于点Q 、点P ．设三边BC 、CA 、AB 分别为c b a ,,，C B A ∠∠∠,,分别为γβα,,，)(21c b a p ++=，内切圆半径为r ，旁切圆半径分别为c b a r r r ,,，外接圆半径为R ，三角形面积为∆S ，则有如下关系式：（1）p AP =，a p AK -=，c b LH -=；（2）Ma p rp r a -=；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半；（4）))((1c p b p rr a --=；（5）cb a r r r r 1111--=；（6）2tan2tanγβ⋅=r r a7．界心如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点．其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围．由于三角形的任意两边之和大于第三边，可知三角形任一边上的周界中点必介于这边两端点之间．三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线（有时也称周界中线所在直线为三角形的周界中线）．三角形的周界中线交于一点．定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心．二、例题分析例1．设△ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I ，︒=∠60B ，C A ∠<∠，A ∠的外角平分线交圆O 于E ，证明：（1）AE IO =；（2）R IC IA IO R )31(2+<++<．【证明】（1）延长BI 交外接圆于M ，连结Am OM OA ,,，易知︒=∠=∠60B AOM ，故△AOM 为正三角形，∴CM AM OA OM ===．易证MAI MIA ∠=∠，∴MI MA =．同理，MI MC =，即C I O A ,,,在以M 为圆心，R 为半径的圆上，设AI 的延长线交⌒BC 于F ，则AF 、AE 分别为A ∠的内、外角平分线，︒=∠90EAF ，即EF 为⊙O 的直径，∴AOE OFI OAI ∠=∠=∠21．又在⊙M 中，OMI OAI ∠=∠21，∴OMI AOE ∠=∠，但⊙M 与⊙O 为等圆，故OI AE =．（2）连接FC ，同上易证FC IF =，又︒=∠=∠60ABC IFC ，∴△IFC 为等边三角形，IF IC =∵)60(21)(212121︒-∠=∠-∠=∠=∠=∠C AMO AMI OMI AOE AFE ，记AFE ∠为θ∴AF AE AF IA AE IC IA IO +=++=++)cos (sin 2cos 2sin 2θθθθ+=+=R R R)152sin(22)45sin(22︒+=︒+=CR R θ 由C A ∠<∠知，︒<∠<︒12060C ，从而有︒<∠<︒602130C ，即︒<︒+∠<︒75152145C∴︒<++<︒75sin 2245sin 22R IC IA IO R ，又46275sin +=︒，故R IC IA IO R )31(2+<++<．例2．锐角△ABC 的外心为O ，线段BC OA ,的中点分别为M 、N ．，OMN ABC ∠=∠4OMN ACB ∠=∠6．求OMN ∠．【解】设θ=∠OMN ，则θ4=∠ABC ，θ6=∠ACB ，θ10180)(180-︒=∠+∠-︒=∠ACB ABC BAC又θ1018021-︒=∠=∠=∠BAC BOC NOC ；θ82=∠=∠=∠ABC AOC MOC从而θθθ2180)10180(8-︒=-︒+=∠MONOMN OMN MON ONM ∠==+-︒-︒=∠+∠-︒=∠θθθ)2180(180)(180即OMN ∆为等腰三角形，OC OA OM ON 2121=== ∵︒=∠90ONC ，∴︒=∠60NOC ，又∵θ10180-︒=∠NOC ，∴︒==∠12θOMN 例3．如图I O ,分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高。