第六章 树和二叉树 2

称为完全二叉树。 特点： （1）叶子结点只可能在层次最大的两层上出现。 （2）对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为L，则其 左分支下子孙的最大层次必为L或L+1。
•
1 2 4 8 9 5 10 11 6 2 3 4 7 8 9 5
1 3 6 7
10 11 12
32
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
A ^
C
E
D
F G
E ^
^ G ^
F
^
在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域
（2）三叉链表
typedef struct BiTNode lchild data parent rchild { TElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild, *parent; } BiTNode ,*Bitree; A ^ ^
1、满二叉树 定义：一棵深度为k且有2k-1个结点的二叉树。 特点：每一层上的结点数都是最大结点数
• •
1 2 4 8 9 10 5 11 12 3 6 13 14 7 15
31
2、完全二叉树
• 定义：深度为 k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点 都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，
38
二叉树的遍历
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二叉树的链式存储表示
1. 二叉链表 2．三叉链表 3．线索链表
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（1）二叉链表
typedef struct BiTNode { TElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; } BiTNode ，*Bitree;
A B ^ C B ^ ^ D
本章重点：二叉树的表示和实现
21
6.2
二叉树
为何要重点研究每结点最多只有两个‚叉‛的树？ 二叉树的结构最简单，规律性最强； 可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树， 不失一般性。 1. 2. 二叉树的定义 二叉树的性质
3.
4.
二叉树的存储结构
二叉树的运算（6.3节）
22
二叉树
二叉树是n(n0)个结点的有限集,它或为空树(n=0),或由一个根 结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成。 特点 ① 每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点) ②二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能颠倒
论。
而二叉树是非线性结构，每个结点有两个后继，则存在如 何遍历即按什么样的搜索路径遍历的问题。
•
根结点 右子树 左子树
23
五种基本形态

A
A B
A
B B
A C 左、右子树 均非空
空二叉树
只有根结点 的二叉树
右子树为空
左子树为空
问：具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？
有5种
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二叉树的抽象数据类型定义
ADT BinaryTree{ 数据对象D: D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R: 若D=Φ，则R= Φ ； 若D≠Φ，则R= {H}；存在二元关系： ① root 唯一 //关于根的说明 ② Dl∩Dr= Φ //关于子树不相交的说明
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基本操作 P：20个 }ADT BinaryTree
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二叉树的性质
性质 1 ：
在二叉树的第 i 层上至多有2i-1 个结点。(i≥1)
用归纳法证明： 归纳基： i = 1 层时，只有一个根结点：
2i-1 = 20 = 1； 归纳假设： 设i = k-1时成立，最多有2k-2个结点 归纳证明： 二叉树上每个结点至多有两棵子树，
解决思路： 先研究最简单、最有规律的树，然 后设法把一般的树转化为简单树 (二叉树)。
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树的运算 要明确：
1. 普通树（即多叉树）若不转化为二叉树，则运算很难实现。
2. 二叉树的运算仍然是插入、删除、修改、查找、排序等，
但这些操作必须建立在对树结点能够‚遍历‛的基础上！
遍历——指每个结点都被访问且仅访问一次，不遗漏不重复
(2) 如果2i>n，则结点i无左孩子；如果2i ≤ n，则其左孩子是2i。
(3) 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；如果2i+1 ≤ n，则其右孩子 是2i+1。 1
2 4 8 9 5 10 11 12
36
3
6
7
二叉树的存储结构
1、顺序存储结构 实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元 素。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 特点： a b c d e 0 0 0 0 f 结点间关系蕴含在其存储位置中 浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
• •
11 g 11 11
2 b
4 d 8 9
3
c
1 7
5 e
10 f
6
11 g
2 4
8 9 5 10 11 6
3 7
37
二叉树的顺序存储表示 #define MAX_TREE_SIZE 100 // 二叉树的最大结点数 typedef TElemType SqBiTree[MAX _ TREE_SIZE]; SqBiTree bt; 思考：一个深度为 k 且只有 k 个结点的右单支树需要的数 组存储空间为多少？ 显然，这种存储表示方法只适合于完全二叉树，对于一般 的二叉树将造成存储空间的很大浪费。因此二叉树的常用 存储结构是链表。
9
基本操作：
查 找 类
插 入 类 删 除 类
10
查找类：
Root(T) // 求树的根结点 Value(T, cur_e) // 求当前结点的元素值 Parent(T, cur_e) // 求当前结点的双亲结点 LeftChild(T, cur_e) // 求当前结点的最左孩子 RightSibling(T, cur_e) // 求当前结点的右兄弟
12
删除类：
ClearTree(&T) // 将树清空 DestroyTree(&T) // 销毁树的结构
DeleteChild(&T, &p, i) // 删除结点p的第i棵子树
13
基
本
术
语
结点: 数据元素+若干指向子树的分支 结点的度: 分支的个数 树的度: 树中所有结点的度的最大值 叶子结点: 度为零的结点 分支结点: 度大于零的结点
TreeEmpty(T) // 判定树是否为空树 TreeDepth(T) // 求树的深度
TraverseTree( T, Visit() ) // 遍历
11
插入类：
InitTree(&T) // 初始化置空树 CreateTree(&T, definition) // 按定义构造树 Assign(T, cur_e, value) // 给当前结点赋值 InsertChild(&T, &p, i, c) // 将以c为根的树插入为结点p的第i棵子树
第六章
树和二叉树
1
树是常用的数据结构
•家族 •各种组织结构 •操作系统中的文件管理 •编译原理中的源程序语法结构 •信息系统管理 •。。。。
2
树的定义
• 树(tree)是n(n>=0)个结点的有限集T，其中：有且仅有一个特 定的结点，称为树的根(root)。 • 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集 T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的 子树(subtree) A • 特点： ①非空树中至少有一个结点——根 B C D ②树中各子树是互不相交的集合
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练习：
1. 树Ｔ中各结点的度的最大值称为树Ｔ的 D 。
Ａ) 高度 Ｂ) 层次 Ｃ) 深度 Ｄ) 度
2.深度为Ｋ的二叉树的结点总数，最多为 C 个。
Ａ)２k-1 Ｂ) log2k Ｃ) ２k－１ Ｄ)２k
3. 深度为9的二叉树中至少有 C 个结点。
Ａ)２9 Ｂ)２8 Ｃ)９ Ｄ)２9－1
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几种特殊形式的二叉树
目录树等等），但只有一个根结点，且子树之 间互不相交。
树的存储结构 讨论1：树是非线性结构，该怎样存储？
——仍然有顺序存储、链式存储等方式。
19
讨论2：树的顺序存储方案应该怎样制定？
可规定为： 从上至下、从左至右将树的结点依次存入内存。 重大缺陷： 复原困难
讨论3：树的链式存储方案应该怎样制定？
可用多重链表：一个前趋指针，n个后继指针。 细节问题： 树中结点的结构类型样式该如何设计？ 即应该设计成‚等长‛还是‚不等长‛？ 缺点： 等长结构太浪费（每个结点的度不一定相同）； 不等长结构太复杂（要定义好多种结构类型）。
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路径：
由从根到该结点所经分支 和结点构成
结点的层次:
根结点的层次为1，根的孩 子为第二层，第l 层的结点 的子树根结点的层次为l+1
孩子结点、双亲结点 兄弟结点、堂兄弟结点 祖先结点、子孙结点
树的深度： 树中叶子结点所在的最大层次
15
森林：
是m（m≥0）棵互 不相交的树的集合
B E K F L C G H D I J M
7
对比树型结构和线性结构的结构特点
线性结构
第一个数据元素(无前驱)
最后一个数据元素(无后继)
树型结构 根数据元素 (一个前驱、一个后继)
其它数据元素 (一个前驱、多个后继)
8
树的抽象数据类型定义
数据对象 D： D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系 R： 若D为空集，则称为空树 。 否则: (1) 在D中存在唯一的称为根的数据元素root； (2) 当n>1时，其余结点可分为m (m>0)个互 不相交的有限集T1, T2, …, Tm，其中每一 棵子集本身又是一棵符合本定义的树， 称为根root的子树。