【精品】2013年中考数学冲刺-2013年中考数学压轴题(填空、选择、解答题)分类汇编

2013年中考数学冲刺必备压轴题汇编安徽10.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）A .10B .54C . 10或54D .10或172解析：考虑两种情况．要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的. 解答：解：如下图，54)44()22(22=++⨯，1054)44()32(22=++⨯14.如图，P 是矩形ABCD 内的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，得到△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3、S 4，给出如下结论： ①S 1+S 2=S 3+S 4 ② S 2+S 4= S 1+ S 3 ③若S 3=2 S 1，则S 4=2 S 2 ④若S 1= S 2，则P 点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_____________解析：过点P 分别向AD 、BC 作垂线段，两个三角形的面积之和42S S +等于矩形面积的一半，同理，过点P 分别向AB 、CD 作垂线段，两个三角形的面积之和31S S +等于矩形面积的一半. 31S S +=42S S +,又因为21S S =，则32S S +=ABCD S S S 2141=+,所以④一定成立安徽22.如图1，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设BC =a 、AC =b 、AB =c . （1）求线段BG 的长；（2）求证：DG 平分∠EDF ;（3）连接CG ，如图2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG ⊥CG . 解（1）∵D 、C 、F 分别是△ABC 三边中点 ∴DE ∥21AB ,DF ∥21AC ，又∵△BDG 与四边形ACDG 周长相等 即BD +DG +BG =AC +CD +DG +AG ∴BG =AC +AG ∵BG =AB －AG ∴BG =2ACAB +=2c b +（2）证明：BG =2c b +，FG =BG －BF =2c b +－22b c =∴FG =DF ,∴∠FDG =∠FGD 又∵DE ∥AB∴∠EDG =∠FGD ∠FDG =∠EDG ∴DG 平分∠EDF（3）在△DFG 中，∠FDG =∠FGD , △DFG 是等腰三角形,∵△BDG 与△DFG 相似,∴△BDG 是等腰三角形,∴∠B =∠BGD ,∴BD =DG ,则CD = BD =DG ,∴B 、CG 、三点共圆, ∴∠BGC =90°,∴BG ⊥CGABCDEFG23.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x (m )满足关系式y =a (x －6)2+h .已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m 。

（1）当h =2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当h =2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围。

23解：（1）把x =0,y =2,及h =2.6代入到y =a (x －6)2+h 即2=a (0－6)2+2.6， ∴601-=a∴y =601-(x －6)2+2.6（2）当h =2.6时，y =601- (x －6)2+2.6 x =9时，y =601-(9－6)2+2.6=2.45＞2.43∴球能越过网 x =18时，y =601-(18－6)2+2.6=0.2＞0 ∴球会过界（3）x =0,y =2,代入到y =a (x －6)2+h 得362h a -=；x =9时，y =362h - (9－6)2+h 432h +=＞2.43 ① x =18时，y =362h - (18－6)2+h h38-＞0 ② 由① ②得h ≥38北京8． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【解析】 D12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点()04A ，，点B 是x 轴正半轴上的整点，记AO B △内部（不包括边界）的整点个数为m ．当3m =时，点B 的横坐标的所有可能值是 ；当点B 的横坐标为4n（n 为正整数）时，m = （用含n 的代数式表示．）【解析】 3或4；63n -北京24．在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是A C 的中点，P 是线段B M 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。

（1） 若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线B M 于点D，请补全图形，并写出C D B ∠的度数；（2） 在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线B M 交于点D ，猜想C D B ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3） 对于适当大小的α，当点P 在线段B M 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线B M 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围。

【解析】⑴，30C D B ∠=︒⑵ 连接PC AD ，，易证APD C PD △≌△ ∴A P P C = A D B C D B ∠=∠P A D P C D∠=∠ 又∵P Q P A = ∴2P Q P CA D C C DB =∠=∠，，P Q C P C D P A∠=∠=∠ ∴180PAD PQD PQC PQD ∠+∠=∠+∠=︒∴()360180A P Q A D C P A D P Q D ∠+∠=︒-∠+=︒∴1801802ADC APQ α∠=︒-∠=︒-∴21802C D B α∠=︒-∴90C D B α∠=︒-⑶∵90CDB α∠=︒-，且PQ QD =∴21802P A D P C Q P Q C C D B α∠=∠=∠=∠=︒-∵点P 不与点B M ，重合 ∴BAD PAD MAD ∠>∠>∠ ∴21802ααα>︒-> ∴4560α︒<<︒25．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”，给出如下定义： 若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -；若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -.例如：点1(12)P ，，点2(35)P ，，因为|13||25-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为|25|3-=，也就是图1中线段1P Q 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1P Q 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）。

（1）已知点1(0)2A -，，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A与点B 的“非常距离”的最小值； （2）已知C 是直线334y x =+上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标。

【解析】⑴ ①()02-，或()02，②21⑵ ①设C 坐标00334x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴当00324x x -=+此时087x =-∴距离为87此时81577C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.②3455E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，003343545x x --=+-∴085x =-∴8955C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，最小值1。

重庆10．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示对称轴为x =﹣．下列结论中，正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．a +b =0C ．2b +c ＞0D ．4a +c ＜2b 解答： 解：A 、∵开口向上，∴a ＞0，∵与y 轴交与负半轴，∴c ＜0， ∵对称轴在y 轴左侧，∴﹣＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故本选项错误；B 、∵对称轴：x =﹣=﹣，∴a =b ，故本选项错误；C 、当x =1时，a +b +c =2b +c ＜0，故本选项错误；D 、∵对称轴为x =﹣，与x 轴的一个交点的取值范围为x 1＞1，∴与x 轴的另一个交点的取值范围为x 2＜﹣2，∴当x =﹣2时，4a ﹣2b +c ＜0，即4a +c ＜2b ，故本选项正确．故选D ．16．甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或（4﹣k ）张，乙每次取6张或（6﹣k ）张（k 是常数，0＜k ＜4）．经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有 108 张．分析：设甲a次取（4﹣k）张，乙b次取（6﹣k）张，则甲（15﹣a）次取4张，乙（17﹣b）次取6张，从而根据两人所取牌的总张数恰好相等，得出a、b之间的关系，再有取牌总数的表达式，讨论即可得出答案．解答：解：设甲a次取（4﹣k）张，乙b次取（6﹣k）张，则甲（15﹣a）次取4张，乙（17﹣b）次取6张，则甲取牌（60﹣ka）张，乙取牌（102﹣kb）张，则总共取牌：N=a（4﹣k）+4（15﹣a）+b（6﹣k）+6（17﹣b）=﹣k（a+b）+162，从而要使牌最少，则可使N最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使（a+b）尽可能的大，由题意得，a≤15，b≤16，又最终两人所取牌的总张数恰好相等，故k（b﹣a）=42，而0＜k＜4，b﹣a为整数，则由整除的知识，可得k可为1，2，3，①当k=1时，b﹣a=42，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；②当k=2时，b﹣a=21，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；③当k=3时，b﹣a=14，此时可以符合题意，综上可得：要保证a≤15，b≤16，b﹣a=14，（a+b）值最大，则可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；当b=16，a=2时，a+b最大，a+b=18，继而可确定k=3，（a+b）=18，所以N=﹣3×18+162=108张．故答案为：108．重庆企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为)0(22≠+=acaxy．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：1z（元）与月份x之间满足函数关系式：xz211=，该企业自身处理每吨污水的费用：2z（元）与月份x之间满足函数关系式：2212143xxz-=；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出21，yy与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）解答：解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：y1=，将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，故y1=（1≤x≤6，且x取整数）；根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入得：，解得：，故y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；（2）当1≤x≤6，且x取整数时：W=y1x1+（12000﹣y1）•x2=•x+（12000﹣）•（x ﹣x2），=﹣1000x2+10000x﹣3000，∵a=﹣1000＜0，x=﹣=5，1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元），当7≤x≤12时，且x取整数时，W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000），=﹣x2+1900，∵a=﹣＜0，x=﹣=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，∴当x=7时，W最大=18975.5（元），∵22000＞18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：t =，∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去），∴a≈57，答：a的值是57．26．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF 与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．解答：解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC ，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC ，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t =，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t =或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE =，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM =t，当0≤t ≤时，S=S△FMN =×t ×t =t2，②当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC •=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK =t ﹣1，∵NL =AD =，∴FL=t ﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL =t2﹣（t ﹣）（t﹣1）=﹣t2+t ﹣；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C =，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t =，∵B′N =B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N =t ﹣1，∴当2＜t ≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL =×2×（t﹣1+t）﹣（t ﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t ﹣，④如图⑥，当＜t≤4时，∵B′L =B′C =（6﹣t），EK =EC =（4﹣t），B′N =B′C =（6﹣t）EM =EC =（4﹣t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t +．综上所述：当0≤t ≤时，S =t2，当＜t≤2时，S=﹣t2+t ﹣；当2＜t ≤时，S=﹣t2+2t ﹣，当＜t≤4时，S=﹣t +．福建福州10．如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A、B两点，若反比例函数y＝kx(x＞0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是A．2≤k≤9 B．2≤k≤8C．2≤k≤5 D．5≤k≤8解答：解：∵点C(1，2)，BC∥y轴，AC∥x轴，∴当x＝1时，y＝－1＋6＝5，当y＝2时，－x＋6＝2，解得x＝4，∴点A、B的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小，设与线段AB相交于点(x，－x＋6)时k值最大，则k＝x(－x＋6)＝－x2＋6x ＝－(x－3)2＋9，∵ 1≤x≤4，∴当x＝3时，k值最大，此时交点坐标为(3，3)，因此，k的取值范围是2≤k≤9．故选A．15．如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是______，cosA的值是______________．(结果保留根号)解答：∵△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝180°－∠A272°．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝36°．∴∠A＝∠DBC＝36°，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴ACBC＝BCCD，设AD＝x，则BD＝BC＝x．则1x＝x1－x，解得：x＝5＋12(舍去)或5－12．故x＝5－12．如右图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD＝BD，∴E为AB中点，即AE＝12AB＝12．在Rt△AED中，cosA＝AEAD＝125－12＝5＋14．故答案是：5－12；5＋14．福建福州21．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______．(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．解答：解：(1) QB ＝8－2t ，PD ＝43t ．(2) 不存在．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴ AB ＝10． ∵ PD ∥BC ，∴ △APD ∽△ACB ， ∴ AD AB ＝AP AC ，即：AD 10＝t 6，∴ AD ＝53t ，∴ BD ＝AB －AD ＝10－53t ．∵ BQ ∥DP ，∴ 当BQ ＝DP 时，四边形PDBQ 是平行四边形，即8－2t ＝43t ，解得：t ＝125．当t ＝125时，PD ＝43×125＝165，BD ＝10－53×125＝6，∴ DP ≠BD ，∴ □PDBQ不能为菱形．设点Q 的速度为每秒v 个单位长度， 则BQ ＝8－vt ，PD ＝43t ，BD ＝10－53． 要使四边形PDBQ 为菱形，则PD ＝BD ＝BQ ， 当PD ＝BD 时，即43t ＝10－53t ，解得：t ＝103．当PD ＝BQ 时，t ＝103时，即43×103＝8－103v ，解得：v ＝1615．(3) 解法一：如图2，以C 为原点，以AC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t ≤4，当t ＝0时，点M 1的坐标为(3，0)；当t ＝4时，点M 2的坐标为(1，4)．设直线M 1M 2的解析式为y ＝kx ＋b ，∴ ⎩⎨⎧3k ＋b ＝0k ＋b ＝4，解得：⎩⎨⎧k ＝－2b ＝6．∴ 直线M 1M 2的解析式为y ＝－2x ＋6．∵ 点Q (0，2t )，P (6－t ，0)， ∴ 在运动过程中，线段PQ 中点M 3的坐标为(6－t 2，t )．把x ＝6－t 2，代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×6－t 26＝t ．∴ 点M 3在直线M 1M 2上．过点M 2作M 2N ⊥x 轴于点N ，则M 2N ＝4，M 1N ＝2．∴ M 1M 2＝25． ∴ 线段PQ 中点M 所经过的路径长为25单位长度． 解法二：如图3，设E 是AC 的中点，连接ME ．ABCPN QD图3EMFH图2第21题图①BCDPQ第21题图②CPQ当t ＝4时，点Q 与点B 重合，运动停止．设此时PQ 的中点为F ，连接EF ．过点M 作MN ⊥AC ，垂足为N ，则MN ∥BC ．∴ △PMN ∽△PDC ．∴ MN QC ＝PN PC ＝PM PQ MN 2t ＝PN 6－t ＝12．∴ MN ＝t ，PN ＝3－12t ，∴ CN ＝PC －PN ＝(6－t )－(3－12t )＝3－12t ．∴ EN ＝CE －CN ＝3－(3－12t )＝ 12t ．∴ tan ∠MEN ＝MN EN ＝2．∵ tan ∠MEN 的值不变，∴ 点M 在直线EF 上．过F 作FH ⊥AC ，垂足为H ．则EH ＝2，FH ＝4．∴ EF ＝25．∵ 当t ＝0时，点M 与点E 重合；当t ＝4时，点M 与点F 重合，∴ 线段PQ 中点M 所经过的路径长为25单位长度．22．如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过A (3，0)、B (4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；(3) 如图②，若点N 在抛物线上，且∠NBO ＝∠ABO ，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．解：(1) ∵ 抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，0)、B (4，4)．∴ ⎩⎨⎧9a ＋3b ＝016a ＋4b ＝4，解得：⎩⎨⎧a ＝1b ＝－3．∴ 抛物线的解析式是y ＝x 2－3x ．(2) 设直线OB 的解析式为y ＝k 1x ，由点B (4，4)，得：4＝4k 1，解得k 1＝1．∴ 直线OB 的解析式为y ＝x ．∴ 直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m ．∵ 点D 在抛物线y ＝x 2－3x 上．∴ 可设D (x ，x 2－3x )．又点D 在直线y ＝x －m 上，∴ x 2－3x ＝x －m ，即x 2－4x ＋m ＝0．∵ 抛物线与直线只有一个公共点，∴ △＝16－4m ＝0，解得：m ＝4． 此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2－3x ＝－2，∴ D 点坐标为(2，－2)．(3) ∵ 直线OB 的解析式为y ＝x ，且A (3，0)，∴ 点A 关于直线OB 的对称点A'的坐标是(0，3)．设直线A'B 的解析式为y ＝k 2x ＋3，过点B (4，4)，∴ 4k 2＋3＝4，解得：k 2＝14．∴ 直线A'B 的解析式是y ＝14x ＋3．∵ ∠NBO ＝∠ABO ，∴ 点N 在直线A'B 上，∴ 设点N (n ，14n ＋3)，又点N在抛物线y ＝x 2－3x 上， ∴ 14n ＋3＝n 2－3n ， 解得：n 1＝－34，n 2＝4(不合题意，会去)，∴ 点N 的坐标为(－34，4516)．方法一：如图1，将△NOB 沿x 轴翻折，得到△N 1OB 1，则N 1(－34，－4516)，B 1(4，－4)，∴ O 、D 、B 1都在直线y ＝－x 上． ∵ △P 1OD ∽△NOB ，∴ △P 1OD ∽△N 1OB 1，∴ OP 1ON 1＝OD OB 1＝12，∴ 点P 1的坐标为(－38，－4532)．将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(4532，38)．综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(453238)．方法二：如图2，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°，得到△N 2OB 2，则N 2(4516，34)，B 2(4，－4)， ∴ O 、D 、B 2都在直线y ＝－x 上． ∵ △P 1OD ∽△NOB ，∴ △P 1OD ∽△N 2OB 2，∴ OP 1ON 2＝OD OB 2＝12，∴ 点P 1的坐标为(4532，38)．将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(－38，－4532)．综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(453238)．福建龙岩10．如图，矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为A ．10πB ．4πC ．2πD ．2 B17．如图，平面直角坐标系中，⊙O 1过原点O ，且⊙O 1与⊙O 2相外切，圆心O 1与O 2在x 轴正半轴上，⊙O 1的半径O 1P 1、⊙O 2的半径O 2P 2都与x 轴垂直，且点P 1()11,x y 、P 2()22,x y 在反比例函数1y x=（x >0）的图象上，则12y y +=_________福建龙岩24．矩形ABCD 中，AD =5，AB =3，将矩形ABCD 沿某直线折叠，使点A 的对应点A ′落在线段BC 上，再打开得到折痕EF ．（1）当A ′与B 重合时（如图1），EF = ；当折痕EF 过点D 时（如图2），求线段EF 的长；（2）观察图3和图4，设BA ′=x ，①当x 的取值范围是 时，四边形AEA ′F是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA ′F 是菱形．24． (1) 5 ……………………………………………………2分解法1：由折叠（轴对称）性质知 5A D A D '== 90A EA D '∠=∠=°（第17题图）在Rt △A D C '中，DC AB ==3 ∴4A C '==∴541A B B C A C ''=-=-=∵090EA B BEA EA B FA C ''''∠+∠=∠+∠= ∵BEA FA C ''∠=∠ 又 ∵90B C ∠=∠=°∴Rt △EBA '∽Rt △A C F ' ∴A E AB A FF C''=' 53A B A E A F F C'''==在Rt △A EF '中，3EF ===分解法2：同解法1得1A B '=设A E AE x '==，则3B E x =- ………4分在Rt △EBA '中，222A E BE A B ''=+ ∴()2231x x =-+53x =在Rt △A EF '中，3EF ===分解法3：同解法1得Rt △EBA '∽Rt △A C F ' 13462A F C S '=⨯⨯=212693A BE A FCA B S S FC '''⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴A F CA BA EA F A BC D=S -S -S S ''' 四边形矩形=15－6－225=33连结A A A A E F ''⊥，，AA 'AEAF 1=A A E2S '' 四边形25E F=3∴ EF=3（2）①35x ≤≤ ②证明：法一：由折叠（轴对称）性质知A E F F E A '∠=∠ ,A E A E A F A F''== 又 ∵AD ∥BC ∴∠AFE=∠FEA ′ ∴∠AEF=∠AFE ∴AE=AF ∴AE A E A F AF ''===∴四边形A E A F '是菱形．法二：由折叠（轴对称）性质知AE A E '=，AF A F '=，AB A B ''=过A '作A G BC '⊥，交AD 于G ，证明A G F A B E '''∆≅∆得 A F A E ''=∴AE A E A F AF ''=== ∴四边形A E A F '是菱形25．在平面直角坐标系xoy 中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点A （－1，0）．（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B （ ， ）、C （ ， ）；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中∠EDF =90°，∠DEF =60°），把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ． 此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M ．①设AE =x ，当x 为何值时，△OCE ∽△OBC ；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（1）B （3，0），C （0）备用图解：法1： 设过A 、B 、C 三点的抛物线为()()12(0)y a x x x x a =--≠，则∵A （—1，0）B （3，0） ∴()()13y a x x =+- 又∵C （0()()0103a =+-∴3a =-∴)()133y x x =-+-即233yx =-++（2）①解：当△OCE ∽△OBC 时，则O C O E O BO C=∵O C =， OE =AE —AO =1x -，OB =33= ∴2x = ∴当2x =时，△OCE ∽△OBC ．（2）②解：存在点P . 理由如下： 由①可知2x = ∴OE =1 ∴E （1，0） 此时，△CAE 为等边三角形∴∠AEC =∠A =60°又∵∠CEM =60° ∴∠MEB =60° ∴点C 与点M 关于抛物线的对称轴12b x a=-=对称.∵C （0∴M (过M 作MN ⊥x 轴于点N （2，0） ∴MN∴ EN =1 ∴ EM=2=若△PEM 为等腰三角形,则:ⅰ)当EP =EM 时, ∵EM =2，且点P 在直线1x =上 ∴P (1，2)或P (1，—2)ⅱ）当EM =PM 时,点M 在EP 的垂直平分线上 ∴P (1，ⅲ）当PE =PM 时，点P 是线段EM 的垂直平分线与直线1x =的交点 ∴P (1，3)∴综上所述，存在P 点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，或（13）时，△EPM 为等腰三角形．福建南平 10. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，将AB 、AD 分别和AE 、AF 折叠，点B 、D 恰好都将在点G 处，已知BE =1，则EF 的长为【 】A ．32B ．52C ．94D ．3【分析】∵正方形纸片ABCD 的边长为3，∴∠C =90°，BC =CD =3。