高中数学2.2直线的方程2.2.3.2两条直线垂直的条件教案新人教B版必修2
推荐学习K12高中数学2.2直线的方程2.2.3两条直线的位置关系课堂探究新人教B版必修2
2.2.3 两条直线的位置关系课堂探究探究一判断两条直线的位置关系1．(1)判断两条直线平行，需要判断其斜率相等(斜率存在时)，即k1＝k2.两条直线斜率相等，则两条直线可能平行也可能重合，还需要再进一步判断截距不相等，即b1≠b2.如果两条直线的斜率不存在，两条直线的方程为x＝a1，x＝a2，只需a1≠a2即可；(2)判断两条直线平行，也可用系数比．2．判断两条直线垂直：(1)如果斜率都存在，只判断k1k2＝－1，如果一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断，应注意上面的两种情况；(2)利用A1A2＋B1B2＝0判断．【典型例题1】判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标．(1)l1：4x＋3y－2＝0与l2：x＋2y＋2＝0；(2)l1：x＋2y－12＝0与l2：2x＋4y－1＝0；(3)l1：x－3y＝0与l2：y＝13x＋1.思路分析：判断两直线位置关系的解法有三种：一是根据方程组的解的个数判定；二是根据方程的系数间的关系判定；三是化成斜截式方程判定．解法一：(1)解方程组4320,220,x yx y+-=⎧⎨++=⎩ ① ②①×2－②×3得5x－10＝0，所以x＝2.将x＝2代入①得y＝－2，所以两直线相交，交点坐标为(2，－2)．(2)解方程组120,22410,x yx y⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩ ① ②①×2－②得0＝0，即此方程组有无数多个解，所以两直线重合．(3)解方程组30,110,3x yx-=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ① ②由①得x＝3y，代入②得y＝y＋1，即0＝1不成立，所以方程组无解，所以两直线平行．解法二：(1)由于A1＝4，B1＝3，C1＝－2，A2＝1，B2＝2，C2＝2，所以D1＝A1B2－A2B1＝4×2－1×3＝5≠0，所以两直线相交．解方程组4320,220x yx y+-=⎧⎨++=⎩得2,2,xy=⎧⎨=-⎩所以两直线的交点为(2，－2)．(2)由于A1＝1，B1＝2，C1＝－12，A2＝2，B2＝4，C2＝－1，所以D1＝A1B2－A2B1＝1×4－2×2＝0，D2＝A1C2－A2C1＝1×(－1)－2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－1＋1＝0，所以两直线重合．(3)由于A1＝1，B1＝－3，C1＝0，A2＝13，B2＝－1，C2＝1，所以D1＝A1B2－A2B1＝1×(－1)－13×(－3)＝－1＋1＝0，D2＝A1C2－A2C1＝1×1－13×0＝1－0＝1≠0，所以两直线平行．解法三：(1)l1：y＝－43x＋23，l2：y＝－12x－1.因为k1≠k2，所以两直线相交．(2)l1：y＝－12x＋14，l2：y＝－12x＋14.因为k1＝k2且b1＝b2，所以两直线重合．(3)l1：y＝13x，l2：y＝13x＋1.因为k1＝k2且b1≠b2，所以两直线平行．点评根据方程组解的个数判断两直线位置关系，当x，y的系数是未知数时不好用；利用方程的系数间的关系判定难记忆；化成斜截式易操作．探究二利用两条直线的位置关系确定参数利用两直线的位置关系求字母参数取值时，提倡直接根据两直线平行、相交或垂直的系数整式条件列方程或不等关系，这样不易丢解或增解；若用比例式求解，一定要对特殊情况单独讨论．【典型例题2】 (1)直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值；(2)直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．思路分析：既可以用直线一般式方程形式判断，也可以用斜率的关系求解，但需考虑斜率不存在的情况．(1)解法一：当l1，l2的斜率都存在时，由l1∥l2，得22m+＝4m，解得m＝－4；当l1，l2的斜率不存在时，l1与l2的方程分别为x＝－45，x＝12，显然l1∥l2，m＝3.故m ＝－4或m ＝3即为所求．解法二：若l 1∥l 2，则有22(2)4(3)(3)20,(3)(1)44(3)0,m m m m m m m ⎧+⨯---⨯=⎪⎨-⨯--⨯-≠⎪⎩解得m ＝－4. 当m ＝3时，直线l 1与l 2的方程分别为x ＝－45，x ＝12，显然l 1∥l 2，综上所述m ＝－4或m ＝3. (2)解法一：当a ＝1时，l 1为x ＝3，l 2为y ＝25，故l 1⊥l 2； 当a ＝－32时，l 1的方程为－32x ＋52y ＝3，l 2的方程为－52x ＝2，显然l 1，l 2不垂直； 当a≠1，且a≠－32时，由k 1·k 2＝－1，得1a a -×123a a -+＝－1，解得a ＝－3. 综上所述，当a ＝1或a ＝－3时，l 1⊥l 2.解法二：利用A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a(a －1)＋(1－a)(2a ＋3)＝0，解得a ＝1或a ＝－3. 探究三 求与已知直线平行或垂直的直线方程1．求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可设为y ＝kx ＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m 的值．2．求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m≠C)，代入已知条件求出m 即可．3．求与直线y ＝kx ＋b(k≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可设为y ＝－1kx ＋m(k≠0)，然后通过待定系数法，求参数m 的值． 4．求与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)垂直的直线时，可巧设为Bx －Ay ＋m ＝0(A ，B 不同时为零)，然后用待定系数法，求出m.【典型例题3】 已知点A(2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0.求：(1)过点A 和直线l 平行的直线方程；(2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．思路分析：本题可根据两条直线平行与垂直时斜率间的关系，求出所求直线的斜率后用点斜式求解，也可利用直线系方程来求解．(1)解法一：利用直线方程的点斜式求解．由l ：3x ＋4y －20＝0，得直线l 的斜率k l ＝－34. 设过点A 且平行于l 的直线为l 1，则直线l 1的斜率k l 1＝k l ＝－34，所以l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0. 解法二：利用直线系方程求解．设过点A 且平行于直线l 的直线l 1的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m≠－20)．由点A(2,2)在直线l 1上，得3×2＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－14.故直线l 1的方程为3x ＋4y －14＝0.(2)解法一：设过点A 与l 垂直的直线为l 2，直线l 的斜率为k l ，直线l 2的斜率为2k l . 因为k l 2k l ＝－1，所以k l 2＝43， 故直线l 2的方程为y －2＝43(x －2)， 即4x －3y －2＝0.解法二：设过点A 且垂直于直线l 的直线l 2的方程为4x －3y ＋m ＝0.因为l 2经过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋m ＝0，解得m ＝－2.故l 2的方程为4x －3y －2＝0.探究四 对称问题关于对称问题，主要有中心对称和轴对称两种：(1)对于点关于点的对称，只需运用中点坐标公式即可；(2)对于直线关于点的对称，根据所求直线与已知直线平行可先设出方程，然后利用已知直线上任取一点的对称点一定在所求直线上即可求出方程．结论为l 关于点P(x 0，y 0)对称的直线方程是A(2x 0－x)＋B(2y 0－y)＋C ＝0.对于点关于直线的对称，一般按下列步骤处理．若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，而且连接P 1，P 2的直线垂直于对称轴l . 由方程组11212120,22x x y y A C y y Bx x A⎧++⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎪=⎪-⎩２Ｂ可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A≠0，x 1≠x 2)．【典型例题4】 (1)求点A(3,2)关于点B(－3,4)的对称点C 的坐标；(2)求直线3x －y －4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l 的方程；(3)求点A(2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点B 的坐标．思路分析：(1)利用中点坐标公式列方程求解；(2)根据所求直线上任意一点关于点P(2，－1)的对称点的坐标均满足已知直线方程来求解；(3)利用中点坐标公式及垂直关系联合列式求解．解：(1)设C(x ，y)，由中点坐标公式得33,224,2x y +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得9,6.x y =-⎧⎨=⎩ 故所求的对称点的坐标为C(－9,6)．(2)取直线l 上任一点(x ，y)，则它关于点P(2，－1)的对称点(4－x ，－2－y)在直线3x －y －4＝0上．所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0.所以3x －y －10＝0.所以所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.(3)设B(a ，b)是A(2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点，根据直线AB 与已知直线垂直，且线段AB 的中点在已知直线2x －4y ＋9＝0上，则有121,22222490,22b a a b -⎧⋅=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-⋅+=⎪⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩ 所以所求的对称点的坐标为B(1,4)．探究五 易错辨析易错点：忽视了两条直线垂直的特殊情况而致误【典型例题5】 求经过点A(2,1)且与直线2x ＋ay －10＝0垂直的直线l 的方程． 错解：因为所求直线与2x ＋ay －10＝0垂直，所以根据l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1，得所求直线的斜率为2a ， 所以根据点斜式得l ：y －1＝2a (x －2)， 整理得ax －2y －2a ＋2＝0.错因分析：漏掉了当a ＝0时这一特殊情况的讨论，其实斜率为0的直线与斜率不存在的直线也是相互垂直的，但却不能用k 1k 2＝－1来求．正解：①当a ＝0时，已知直线化为x ＝5，此时直线斜率不存在，则所求直线l 的斜率为0，因为直线l 过点A(2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝0(x －2)，即y ＝1.②当a≠0时，已知直线2x ＋ay －10＝0的斜率为－2a，因为直线l 与已知直线垂直，设直线l 的斜率为k ，所以k·2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－1，所以k ＝2a . 因为直线l 过点A(2,1)，所以所求直线l 的方程为y －1＝2a (x －2)，即ax －2y －2a ＋2＝0.所求直线l 的方程为y ＝1或ax －2y －2a ＋2＝0.又y ＝1是ax －2y －2a ＋2＝0的一个特例，故所求直线l 的方程为ax －2y －2a ＋2＝0.。
数学人教B必修2教案2.2.3 两条直线的位置关系2.两条直线垂直的条件 Word版含解析
示范教案教学分析教材将任意两直线垂直关系转化为过原点的两直线垂直来讨论垂直的条件．在实际教学中，要让学生自己归纳、总结两条直线垂直的条件，避免教师给出结论，马上做练习题的教学方式．三维目标．归纳两条直线垂直的条件，提高学生的归纳能力．．利用两条直线垂直的条件解决垂直问题，提高学生解决问题的能力．重点难点教学重点：两条直线垂直的条件及其应用．教学难点：归纳两条直线垂直的条件．课时安排课时导入新课设计.上一节我们学习了利用直线方程讨论两直线相交的条件，垂直是相交的特例，那么怎样用直线方程来讨论两直线垂直的条件呢？教师引出课题．设计.平行与垂直是解析几何中最重要的位置关系，我们已经会用直线方程来讨论两直线平行，今天我们学习用直线方程来讨论两直线垂直，教师引出课题．推进新课(\\(新知探究))(\\(提出问题))错误!讨论结果：()与′平行或重合()由于直线与直线＋＝平行或重合，直线与直线＋＝平行或重合，因此我们研究和垂直的条件时，可转化为研究直线′：＋＝和′：＋＝垂直的条件．()假定，都不与坐标轴平行或重合．如下图，当⊥时，通过坐标原点作直线′∥和′∥，则′和′互相垂直．在直线′，′上，分别取两点(，)，(，)(都不是原点)．由勾股定理，得＋＋＋＝(－)＋(－).化简，得＋＝.由假定可知≠，≠，因此＝－，＝－.代入上式，得(＋)＝.因为，都不在轴上，所以≠，因此＋＝，①即＋＝.②由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由②式可以证明两条直线′与′垂直，从而也就证明了与垂直．假定，中有一条直线与坐标轴平行或重合．当⊥时，可以推出，中的另一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有＋＝.反过来，由条件＋＝也可以推出⊥.总结以上讨论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线和，有如果≠，则的斜率＝－，的斜率＝－.由上面的①式，又可以得出()计算步骤：①给，，，，，赋值；②计算＝＋；③若＝，则⊥；若≠，则与不垂直．(\\(应用示例))思路例判断下列各组中的两条直线是否垂直：()－－＝与＋－＝；()＝＋与＝－＋；()＝与－＝.解：()因为＝，＝－，＝，＝，得＋＝×＋(－)×＝，所以这两条直线垂直．()由＝，＝－，得＝×(－)＝－，所以这两条直线垂直．()因为＝，＝，＝，＝，得＋＝×＋×＝，所以这两条直线垂直．此题也可以直接看出直线＝平行于轴，直线－＝平行于轴，从而可以判断这两条直线垂直．点评：判定两直线垂直时，由一般式给出的直线方程，用＋＝来判定；由斜截式给出的方程可以用＝－来判定．变式训练判断下列两直线是否垂直，并说明理由．()：＝＋，：＝－＋；()：＋＝，：－＝；()：＝，：＝.解：()设两直线的斜率分别是，，则＝，＝－，有·＝×(－)＝－，所以⊥.()因为＝，＝，＝，＝－，＋＝×＋×(－)＝，所以⊥.()因为平行于轴，垂直于轴，所以⊥.例求证：直线＋＋＝与直线－＋＝垂直．证明：因为＋(－)＝，所以这两条直线垂直．点评：一般地，我们可以把与直线＋＋＝垂直的直线方程表示为－＋＝.同样可证明与直线＝＋(≠)垂直的直线可表示为＝－＋.变式训练求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程：()(－)，＝－；。
高中数学教材新课标人教B版目录
高中数学必修＋选修知识点归纳新课标人教B版高中数学B版必修一第一章集合1．1集合与集合的表示方法1．2集合之间的关系与运算第二章函数2．1函数2．2一次函数和二次函数2．3函数的应用Ⅰ2．4函数与方程第三章基本初等函数Ⅰ3．1指数与指数函数3．2对数与对数函数3．3幂函数3．4函数的应用Ⅱ高中数学B版必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体1．2点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2．2直线方程2．3圆的方程2．4空间直角坐标系高中数学B版必修三第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量的相关性第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3．4概率的应用高中数学B版必修四第一章基本初等函Ⅱ1．1任意角的概念与弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化积高中数学B版必修五第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式组与简单线性规划问题高中数学B版选修1－1文科第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2．2双曲线第三章导数及其应用3．1导数3．2导数的运算3．3导数的应用高中数学B版选修1－2文科第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图高中数学B版选修2－1理科1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线高中数学B版选修2－2理科第一章导数及其应用1.1导数1.2导数的运算1.3导数的应用1.4定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.2复数的运算高中数学B版选修2－3理科第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.2条件概率与事件的独立性2.3随机变量的数字特征2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析高中数学B版选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线高中数学B版选修4－4坐标系与参数方程第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换2极坐标系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程高中数学B版选修4－5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式选学2．4最大值与最小值问题;优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式;贝努利不等式。
高中数学2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式例题与探究新人教B版必修2
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式典题精讲例1 已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)，求证:A、B、C三点共线.思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).证法一:利用斜率公式.∵ｋAB==2，k AC==2,∴ｋAB=k AC.∴A、B、C三点共线.证法二:利用直线方程.设AB:y=kx+b，则∴∴直线AB的方程为y=2x-3.当x=4时，y=2×４-3=5，故点C(4，5)在AB上.∴A、B、C三点共线.绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.变式训练1若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,4)共线，则a的值等于_______________.思路解析:因为k AB=，k BC=，又因为三点A、B、C共线，所以k AB=k BC，即=，解得a=4.答案:4例2 设过定点A的直线l1的倾斜角为α.现将直线l1绕点A按逆时针方向旋转45°得到直线l2,设直线l2的倾斜角为β,请用α表示β的值.思路解析：先画出示意图,根据图形求解.答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得图2-2-(1,2)-1当0°≤α＜135°时,β=α+45°；当135°≤α＜180°时,β=α+45°-180°=α-135°．黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为β=α+45°.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0°≤α＜180°,故当135°≤α＜180°时,180°≤α+45°＜225°.故作为直线的倾斜角应减去180°.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.变式训练 2 如图2-2-(1,2)-2，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥ｌ2，求l1、l2的斜率.图2-2-(1,2)-2解：l1的斜率k1=tanα1=tan30°＝，∵ｌ2的倾斜角α2=90°+30°=120°，∴ｌ2的斜率k2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°＝.例3设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，若直线在x轴上的截距是-3，试确定m的值.思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件.解：令y=0，由题意得由①式，得m≠３且m≠-1.由②式，得3m2-4m-15=0，解得m=3或m=.因为m≠3，所以m=.绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在x轴上的截距，只需令y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式m2-2m-3≠０的解是m≠３且m≠-1；而方程3m2-4m-15=0的解是m=3或m=.变式训练3已知直线ax+by+c=0的图形如图2-2-(1,2)-3，则( )图2-2-(1,2)-3A.若c＞0，则a＞0，b＞0B.若c＞0，则a＜0，b＞0C.若c＜0，则a＞0，b＜0D.若c＜0，则a＞0，b＞0思路解析：∵直线ax+by+c=0的斜率k=＜0，∴ab＞0.又∵直线在x轴、y轴上的截距分别为与，∴＞0，＞0.∴ac＜0，bc＜0.若c＞0，则a＜0，b＜0；若c＜0，则a＞0，b＞0.选D.答案:D例4求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x、y轴上的截距.思路分析：按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x的取值即为直线在x轴上的截距;令x=0,则y 的取值即为直线在y轴上的截距.解:令y=0,则x=,于是直线在x轴上的截距为；令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y轴上的截距为；当k=时,直线在y轴上的截距不存在.黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对y轴截距是否存在的讨论，即忽视了k=的情形而造成错解.事实上，当k=时，分式无意义，此时的直线在y轴上的截距不存在.变式训练4一条直线经过点M(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是____________.思路解析：设直线在两轴上的截距均为 a.若a=0,则所求直线方程为3x-2y=0；若a≠0,则同上可求得直线方程为x+y=5.答案:3x-2y=0或x+y=5问题探究问题1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.若点P1与P2关于点M对称，则点M是P1、P2的中点.若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.若点P1与P2关于直线l对称，则直线l是线段P1P2的中垂线，它应同时满足两个条件，即P1、P2的中点在直线l上，且P1P2的连线与l垂直，也就是说，P1P2的中点坐标满足直线l的方程，且P1P2连线的斜率与直线l的斜率互为倒数.曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称.探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下：(1)点P(x0,y0)关于点M(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0);(2)点P(a,b)不在直线l：Ax+By+C=0上，P关于直线l的对称点为P′(x,y)的求法：因为PP′中点M()在l上,PP′⊥l,所以由方程组可解出P′(x0,y0).(3)几种特殊对称：点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于y=x的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m的对称点为(m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.问题2一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x、y以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗? 导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度.直线系y=kx+b中，若b为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若k为常数，它表示平行线系.平行线系关注的是斜率相等，垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁.对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成f1(x,y)+λｆ2(x,y)=0的形式，再解方程组求交点；也可赋予参数两个具体的值，将得到的两个方程联立方程组求交点坐标.探究：几种常见的直线系：(1)过定点的直线系直线y=kx+b(其中k为参数，b为常数)，它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y轴(即x=0).经过定点M(x0，y0)的直线系y-y0=k(x-x0)(k为参数)，它表示经过定点(x0，y0)的直线系，但不包括平行于y轴的那一条(即x=x0).(2)已知斜率的直线系y=kx+b(k为常数，b为参数)，它表示斜率为k的平行直线系.若已知直线l：Ax+By+C=0，与l平行的直线系为Ax+By+m=0(m为参数,且m≠C).若已知直线l：Ax+By+C=0，与l垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n为参数).(3)经过两条直线交点的直线系经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2：A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m、n为参数，m2+n2≠0).当m=1，n=0时，方程即为l1的方程；当m=0，n=1时，方程即为l2的方程.上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为实数).但是，方程中不包括直线l2，这个形式的直线系方程在解题中常见.。
高中数学人教新课标必修二B版教案高中数学两条直线的位置关系人教版必修2B教案
两条直线的位置关系一、复习目标：1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式． 2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 二、知识要点：1．已知两条直线1l 与2l ：（1）12//l l ⇔ ． （2）12l l ⊥⇔ ； （3）1l 与2l 重合⇔ ．2．直线1l 到2l 的角公式： ；直线1l 与2l 的夹角公式： ． 3．点到直线的距离公式： ；两平行直线间的距离公式： ． 三、课前预习：1．ABC ∆中，,,a b c 是内角,,A B C 的对边，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，则直线21:(sin )(sin )0l A x A y a +-=与22:(sin )(sin )0l B x C y c +-=的位置关系（ A ）()A 重合 ()B 相交不垂直 ()C 垂直 ()D 平行2．点(1,1)到直线cos sin 1x y θθ+=的距离为()f θ的最大值是（ D ）()A 2 ()B 3()C 1()D 13．设直线1l ：(1)(2)30m x m y ++--=与直线2l ：(2)(51)20m x m y -+-+=.①若互相垂直，则m 的值为 0或2 ；②若没有公共点，则m 的值为12或52-.4．已知三角形的三个顶点为(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -．（1）A ∠=12arctan5；（2）A ∠的平分线AD 所在的直线方程为0x y -=.5．点(7,1)P -关于直线:250l x y --=的对称点Q 的坐标为(9,7)-．四、例题分析：例1．光线从点(2,4)A -射出，经直线l ：270x y --=反射，反射光线过点(5,8)B ． （1）求入射光线所在直线方程； （2）求光线从A 到B 经过的路程S .解：设点B 关于直线270x y --=的对称点是'00(,)B x y ．∴000058270228152x y y x ++⎧⋅--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解之得009,6x y ==，∴'(9,6)B ．（1）∴入射光线所在直线方程即'AB 直线方程：211480x y -+=．（2）设入射光线与直线l 交于点N ，则',,A N B 共线．∴''||||||||||S AN BN AN B N AB =+=+== 小结：例2．已知ABC ∆的顶点(31)A -，过点B 的内角平分线的方程是4100x y -+=，过点C 的中线方程为610590x y +-=，求顶点B 的坐标和直线BC 的方程．解：设点(,)B m n ，由过点B 的内角平分线方程得4100m n -+=①，又∵AB 的中点31(,)22m n +-在过C 的中线上，∴316()10()5922m n +-⋅+⋅=②，联立①、②解得10,5m n ==，∴点(10,5)B ．6AB k =1k =∴1l 、2l 之间的距离|BD|=35|87|=--.由已知|BC|=32，∴∠BCD=45°，即所求直线与1l （或2l ）的夹角为45°，设所求直线的斜率为k ，则有：tan45°=)43(1)43(-⋅+--k k ，解之得，k1=-7或k2=-71.∴所求直线的方程为y=-7(x-2)或y-3=71(x-2)，即，7x+y -17=0或x-7y+19=0.小结：1．过点(1,2)P 引直线，使它与两点(2,3)A 、(4,5)B -距离相等，则此直线方程为（ C ） ()A 2370x y +-=或460x y +-= ()B 460x y +-=()C 3270x y +-=或460x y +-= ()D 46x y +=2．把直线3y x =绕原点逆时针方向转动，使它与圆22230x y y ++-+=相切，则直线转动的最小正角是 （ B ）()A 3π ()B 2π ()C 23π ()D 56π3．等腰三角形底边所在的直线1l 的方程为10x y +-=,一腰所在的直线2l 的方程为220x y --=,点(2,0)-在另一腰上,则此腰所在的直线3l 的方程为240x y -+=.4．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,2)，P 为线段OA 垂直平分线上的一点，若OPA ∠为锐角，则点P 的横坐标x 的取值范围是3x >或1x <．5．△ABC 中，顶点(9,1)A 、(3,4)B 、内心(4,1)I ，则顶点C 的坐标为(1,4)--． 6．已知直线1l ：10x y +-=，2l ：230x y -+=，求直线2l 关于直线1l 对称的直线l 的方程.x+y-1=0， x=32-解法1 由 得2x-y+3=0， y=35∴l 过点P （32-，35）.又，显然Q （-1，1）是直线2l 上一点，设Q 关于直线1l 的对称点为'Q （0x ，0y ），则有1)1(1100-=-⋅+-x y 0x =0 解之，得1212100=+++-y x 0y =2即'Q （0，2）.直线l 经过点P 、'Q ，由两点式得它的方程为x-2y +4=0.解法2 由解法1知，1l 与2l 的交点为P （32-，35）.设直线l 的斜率为k ，且1l 与2l 的斜率分别为-1和2. ∵ 2l 到1l 的角等于1l 到l 的角，∴ 2)1(121⨯-+--=)1(1)1(-⋅+--k k ， ∴21=k . ∴直线l 的方程为y-35=21（x+32），即x-2y+4=0.解法3 设M （x ，y ）是直线l 上的任意一点，点M 关于直线1l 的对称点为'M ，坐标为（0x ，0y ），则1)1(00-=-⋅--x x y y 0x =1-y 解得12200=-+++y y x x 0y =1-x即点'M （1-y ，1-x ），因为点'M 在直线2l 上，将它的坐标代入直线2l 的方程得，x-2y+4=0，即为直线l 的方程.7．已知三条直线1l ：0mx y m -+=，2l ：(1)0x my m m +-+=，3l ：(1)(1)0m x y m +-++=，它们围成ABC ∆.（1）求证：不论m 取何值时，ABC ∆中总有一个顶点为定点；（2）当m 取何值时，ABC ∆的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值. 证明⑴ 将直线1l ：mx-y+m=0化为m （x +1）-y=0， x+1=0，由 得x=-1，y=0，即直线1l 经过定点（-1，0）. -y=0，同理，将3l ：（m+1）x-y+（m+1）=0化为m （x+1）+（x-y+1）=0， x+1=0由 得x=-1，y=0，即直线3l 经过定点（-1，0）. x-y+1＝0从而，直线1l 、3l 都过同一个定点（-1，0），由于1l 、3l 的交点是△ABC 的一个顶点，故△ABC 中总有一个顶点为定点.⑵ 设1l 、3l 的交点为A （-1，0），1l 、2l 的交点为B ，2l 、3l 的交点为C （如图），mx-y+m=0， x=由 解得x+my-m （m+1）=0， y=122+m m +m 即B （12+m m ，112+-m +m+1）.x+my-m （m+1）=0， x=0 由 解得（m+1）x-y+（m+1）=0 y=m+1 即C （0，m+1）.所以，11)11()1(2222+=+-++=m m m m BC .于是，△ABC 的面积S =h BC ⋅21=112122+++⋅m m m =)11(212++m m ∵ 12+m ≥2|m|， ∴ 12+m m≤21， ∴ ]21,21[12-∈+m m ，从而S ∈[41，43]. 令S=41，则m=-1；令S=43，则m=1.所以，当m=1时，△ABC 有最大面积43；当m=-1时，△ABC 有最小面积41.8．已知正方形的中心为直线220x y --=和10x y ++=的交点，正方形一边所在直线的方程为350x y +-=，求其它三边所在的直线方程．解：∵直线220x y --=和10x y ++=的交点为14(,)33O -，且设与350x y +-=平行的边所在的直线方程为30(5)x y c c ++=≠-，则11|45||4|c ---+=，∴373c =，故此直线方程为37303x y ++=．又设与350x y +-=垂直的边所在的直线方程为''30()x y c c R -+=∈，则'114|45||3()|c --⋅--+=，∴'11c =-或'193c =． 所以其它三边所在的直线方程为37303x y ++=，19303x y -+=，3110x y --=．。
高中数学 2.2.3 第2课时两条直线垂直的条件课件 新人教B版必修2
②当2a＋3＝0，即a＝－32时， 直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直；
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③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1、l2的斜率k1、k2存 在，
k1＝－a1＋ －2a，k2＝－2aa－＋13. 当l1⊥l2时，k1·k2＝－1， 即－a1＋ －2a·－2aa－＋13＝－1，∴a＝－1. 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
第二章
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课前自主 (zìzhǔ)预习
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂(kètáng)典例 讲练
方思法想警示方(法jǐn技ɡ 巧shì)
探究
易错疑难辨析
课后强化作业
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课前自主预习
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根据两条直线方程(fāngchéng)的系数，我们能判断出两直 线是否相交、平行、重合，那么能否利用两直线方程(fāngchéng) 的系数来判断两直线是否垂直呢？
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2．(2014·山东济宁曲阜师大附中高一期末测试)已知直线
2ax＋y－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0垂直，则实数a的值等
于( )
1
3
A.2
B.2
C．0或12
D．0或32
[答案] C [解析] 由已知，得2a(a－1)＋a＝0，∴a＝0或12.
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3．(2014·甘肃天水一中高一期末(qī mò)测试)直线l：x－y＋
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1．两直线垂直的条件 (1)l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2i ＋B2i ≠0)， l1⊥l2⇔_____A_1A__2＋__B_1_B_2_＝__0_____. (2)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1⊥l2⇔_______k_1_·k_2__________＝－1.
新教材高中数学第2章平面解析几何两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新人教B版选择性必修
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.( × ) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与 x 轴垂直．( √ ) (3)两条直线的斜率分别为 k1，k2，若 k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂 直．( √ )
2．做一做
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系 第2课时 两条直线的垂直
(教师独具内容) 课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直 的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用． 学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条 件． 教学重点：两条直线垂直的条件． 教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.
1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1 成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0 且 k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于 零，则这两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一条直线的斜率 不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
所以直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
【B版】人教课标版高中数学必修二教学教案-直线方程的几种形式(第1课时)1-新版
2.2.2 直线方程的几种形式（第一课时）直线的点斜式方程和两点式方程教学目的和要求1、根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式）.2、理解直线与二元一次方程对应的关系.教学重点和难点教学重点：点斜式方程的推导教学难点：直线与二元一次方程的对应关系教学方法讲授、练习一、引入二、直线的点斜式方程三、直线的斜截式方程昨天我们学习了直线的斜率和倾斜角（发纸条检测掌握程度，5分钟）.我们上一节已经知道给出一个斜率和一个已知点的坐标就可以利用待定系数法写出直线方程.那么如果已知其他条件我们能不能也写出直线方程？今天学习下一节直线方程的几种形式.首先，设点),(yxP为直线l上不同于定点),(yxP的任意一点，则直线l的斜率k可由P和P两点的坐标表示为xxyyk--=，即)(xxkyy-=-①.为什么要变成①的形式？因为xxyyk--=上缺少了一点),(yxP.值得注意的是①中动点),(yxP已经把),(yxP这点补充上了.),(yxP是动点，它运动形成的轨迹就是直线l.我们称)(xxkyy-=-这样由一定点),(yxP和斜率k所确定的直线方程为直线的点斜式方程.当0=k时，直线方程为yy=.此时直线与x轴平行或重合.上节课我说了求解直线的问题一定要考虑的是？都要进行分类讨论，把它分为k值存在和k不存在的情况以防止丢解.那么接下来考虑当k不存在的时候，我们怎样用点斜式表示直线？不能用这种方式表示直线，这时直线方程为……1xx=.这是斜率是特殊情况的时候，再来看过特殊点的情况：如果直线过点),0(b，且斜率为k，（画图）则直线的点斜式方程为)0(-=-xkby，即bkxy+=.就是我们上节课用到的直线方程的形式.k是斜率，b是直线bkxy+=在y轴上的截距.简称为直线的截距.所以我们称bkxy+=这个方程叫做直线的斜截式方程.这种形式当0≠k时，就是一次函数.看例题，3分钟.检验上节课掌握情况，以便下节课指出修正.通过分析定点与动点求出斜率，进而表示出直线的点斜式方程.提出动点轨迹方程，为之后的圆锥曲线做好铺垫.强调特殊情况，渗透分类讨论思想.使得在日后做题中减少丢解的情况.知识掌握反馈，加深理解，增强四、例题（1）五、两点式六、思考与讨论六、例题（2）如果没有特殊要求，直线方程都要化成0=++cbyax.做练习A，1、（1）（4）2、（1）（4）78页),(2121121121yyxxxxxxyyyy≠≠--=--，这种形式的方程叫作直线的两点式方程.为什么2121,yyxx≠≠？如果2121,yyxx≠≠，那么会出现什么情况？斜率k不存在或者为零，此时还可以用上面的两点式求出方程吗？不可以.那么我们怎么办？回想方程①.问题出在分母上，那么就进行通分，上式变形为))(())((112121xxyyxxyy--=--这样就可以利用它求出过平面内任意两点的直线的方程.那么介绍了以上三种直线表达式归其本质，只要知道两个条件就能得出直线方程：（1）斜率和已知点（2）直线上两个点（3）倾斜角⇒斜率（4）截距⇒已知点今后求直线方程无论多复杂，只要从这点出发，找到我们需要的这些必不可少的条件，问题都能迎刃而解.练习A.3、（1）过原点的直线形式为kxy=（2）可以先算斜率，利用点斜式.也可以直接代入两点式进行整理（3）平行于y轴，确定斜率为0应用能力.根据以上的讨论思路进行知识迁移，培养独立思考问题的能力.总结确定直线方程的所需条件，使学生在解题过程中有所依据，加强目标性.七、总结（4）平行于x轴，斜率不存在.直线形式为1xx=.（5）（6）直接根据斜截式写出，整理.1、利用满足一定条件的动点轨迹刻画出直线方程——点斜式)(xxkyy-=-：=k时，直线方程为yy=.k不存在时，直线方程1xx=.2、由点斜式，直线过点),0(b，且斜率为k——斜截式bkxy+=.b是直线bkxy+=在y轴上的截距.3、直线的两点式方程——),(2121121121yyxxxxxxyyyy≠≠--=--回顾.重新梳理一遍本节课的知识.。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.3第二课时两条直线垂直的条件课件 新人教B版必修2
点评】 【点评】
对称， 设P与P′关于直线 对称，则几何条 与 ′关于直线l对称
件为PP′ ， 件为 ′ ⊥ l， 且 PP′ 的中点在直线 上 ， 转化 ′ 的中点在直线l上 为代数式后即可解得所求点的坐标． 为代数式后即可解得所求点的坐标．
跟踪训练3 跟踪训练
已知直线l： ＋ － ＝ ，试求： 已知直线 ：x＋2y－2＝0，试求：
(2)线关于点的对称直线 线关于点的对称直线 直线l： ＋ ＋ ＝ 关于 关于P(x0 ， y0)的对称直线为 直线 ： Ax＋ By＋ C＝ 0关于 的对称直线为 A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0 ＋ ＋ ＝ ___________________________. (3)线关于线的对称性 线关于线的对称性 设直线l：Ax＋By＋C＝0， 设直线 ： ＋ ＋ ＝ ， ＋ － ＋ ＝ 关于x轴对称的直线是 ①l关于 轴对称的直线是：___________________； 关于 轴对称的直线是： Ax＋B(－y)＋C＝0 ； － ＋ ＋ ＝ 关于y轴对称的直线是 ②l关于 轴对称的直线是：__________________； 关于 轴对称的直线是： A(－x)＋By＋C＝0 ； 关于原点对称的直线是： ③ l关于原点对称的直线是 ： ____________________； 关于原点对称的直线是 ； A(－x)＋B(－y)＋C＝0 － ＋ － ＋ ＝ 关于y＝ 对称的直线是 对称的直线是： ④l关于 ＝x对称的直线是：______________； 关于 ； ＋ 的 直 ⑤ l 关 于 直 线 y ＝ － xBx＋称 ＋C＝0 线 是 ： 对 Ay＋ ＝ __________________________. A(－y)＋B(－x)＋C＝0 － ＋ － ＋ ＝
(完整版)高中数学2.2直线的方程2.2.3.2两条直线垂直的条件教案
2.2.3.2 两条直线垂直的条件示范教案整体设计教学分析教材将任意两直线垂直关系转化为过原点的两直线垂直来讨论垂直的条件.在实际教学中，要让学生自己归纳、总结两条直线垂直的条件，避免教师给出结论，马上做练习题的教学方式.三维目标1.归纳两条直线垂直的条件，提高学生的归纳能力.2.利用两条直线垂直的条件解决垂直问题，提高学生解决问题的能力.重点难点教学重点：两条直线垂直的条件及其应用.教学难点：归纳两条直线垂直的条件.课时安排1课时教学过程导入新课设计1.上一节我们学习了利用直线方程讨论两直线相交的条件，垂直是相交的特例，那么怎样用直线方程来讨论两直线垂直的条件呢？教师引出课题.设计2.平行与垂直是解析几何中最重要的位置关系，我们已经会用直线方程来讨论两直线平行，今天我们学习用直线方程来讨论两直线垂直，教师引出课题.推进新课新知探究提出问题1直线l : Ax+ By+ C=四直线l ' : Ax+ By= 0有什么位置关系？2已知两条直线11： A1x+By + G = 0, 12： Ax+ E2y + C2=0.讨论1 1，1 2的条件时，可转化为讨论过原点的哪两条直线垂直的条件？3阅读教材，讨论11与12垂直的条件.4写出判断直线11和12是否垂直的步骤.讨论结果：⑴1与1 '平行或重合(2)由于直线11与直线Ax+ B1y=0平行或重合，直线12与直线Ax+B2y =0平行或重合，因此我们研究1 1和1 2垂直的条件时，可转化为研究直线11' : Ax+B1y=0和1 2’ ： A2x+By =0垂直的条件.(3)假定11, 1 2都不与坐标轴平行或重合.如下图，当11,1 2时，通过坐标原点作直线11' // 11和12, /2 1 2,则11'和12’互相垂直.在直线l J , l 2'上，分别取两点A(x i, y i) , B(X2, y2)(都不是原点).由勾股定理，得x2 +2 2 2, 、2 , 、2y i + X2+ y2= (x i —X2) + (y i —y2) .化间，得x i X2+y i y2 = 0.，,一、__ _ …A i A.......................... 1 A1A2由假TE可知B iW0)B2W0)因此y i =x i, y2= —mx2.代入上式)得x i x2(1 +日式)=0.Bi B2 B i B2 一，，, 一,一. 一…A1A2 …因为A, B都不在y轴上，所以x i x2W0,因此I+BW=0,①BiR即A i A2+ BB2=0.②由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由②式可以证明两条直线l i'与12'垂直，从而也就证明了 >与12垂直.假定l i , 12中有一条直线与坐标轴平行或重合.当l i_L12时，可以推出l i, l 2中的另一■条也与坐标轴平行或重合，因此同样有A i A2+BiR = 0.反过来，由条件A i A2+BB2=0也可以推出l ill 2.总结以上讨论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线l i和l2,有A A2如果BRW0,则li的斜率ki = —l2的斜率k2=--.Bi B2由上面的①式，又可以得出|l-12 k iJ—i.(4)计算步骤：①给A i, B, C i, A2, B2, C2赋值；②计算昨A i A2 + BB；③若Mk 0,则l ill2；若布0,则l i与l2不垂直.应用示例思路i例i判断下列各组中的两条直线是否垂直：(i)2x — 4y—7=0 与2x+y —5=0;(2)y = 3x+i 与y= —：x+5;3(3)2x =7与3y-5 = 0.解：(i)因为A = 2, Bi=- 4, A>= 2, B2=i,得A i A2+B i B2=2X2+ (—4)Xi = 0,所以这两条直线垂直.i I 、^(2)由k i= 3, k2= 一3,得k i k2=3x ( — 3) = - i,所以这两条直线垂直.(3)因为A=2, B i=0, A2=0, B2= 3,彳# A i A2+B i B2=2X 0+0X3= 0,所以这两条直线垂直.此题也可以直接看出直线2x=7平行于y轴，直线3y—5=0平行于x轴，从而可以判断这两条直线垂直.点评：判定两直线垂直时，由一般式给出的直线方程，用AA2+BB2=0来判定；由斜截式给出的方程可以用k i k2=- 1来判定.变式训练判断下列两直线是否垂直，并说明理由.(1)1 1：y = 4x+2, 12：y=—；x+5;4(2)1 i： 5x+3y=6, 1 2：3x—5y = 5;(3)1 1: y = 5, 1 2： x= 8.“、—， (1)解：(1)设两直线的斜率分别是k1, k2,则k1 = 4, k2=——,有k1 • k2 = 4X( — 4)= — 1,所以1 1 1 1 2.(2)因为A=5, B1=3, Ae=3, R= —5, AAe+ BB2= 5X 3+3X ( — 5) =0,所以1 1H2.⑶因为11平行于x轴，12垂直于x轴，所以1 111 2.例2求证：直线Ax+ By+G=0与直线Bx— Ay+G=0垂直.证明：因为AB+ B( —A)=0,所以这两条直线垂直.点评：一般地，我们可以把与直线Ax+ By+ C= 0垂直的直线方程表示为Bx- Ay+D= 0.一. .., (1)同样可证明与直线y= kx + b(k W0)垂直的直线可表本为y= - -x+ b1.k变式训练求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程：(1)( — 1,3) , y=2x—3;(2)(1,2) , 2x+y—10=0.解：(1)设所求直线方程为y=-2x+b.......... .................... 5 .......... 1 5因为直线过点(一1,3),代入方程，得b=g，所以所求方程为y = -^x+-,即x+2y-5 =0.(2)设所求的直线方程为x-2y+ C^ 0.因为直线过点(1,2)，代入方程，得0= 3,所以所求直线方程为x-2y+3 = 0.思路2例3已知A(5, — 1), B(1,1) , 0(2,3)三点，试判断^ ABC的形状.分析：先作图猜想，然后给出证明.1 —— 1 1 3 — 1解：由题意，知k AB= -口一 = —2, kBC=H =2.k AB • kBC= —1 ,・.. AB± BC.... △ ABC 为直角三角形.点评：此类判断三角形形状的题目，通过先画图猜想结论，再利用相关知识证明.变式训练已知A( —6,0) , B(3,6) , P(0,3) , Q( —2,6),求证：ABI PQ.证明: k AB= 6-03+623'k pQ=6-3一2一32例4已知△ ABC 的顶点坐标为 A(1,2)、B( —1,1)、C(0,3),求BC 边上的高所在的直线方程. 分析：BC 边上的高所在直线的斜率与直线 BC 的斜率互为负倒数，然后用点斜式求解.3— 1解：设BC 边上的局所在直线斜率为k,则k , k BC = - 1,又kBc=- --------- -=2,0— — 11 ..... _ 1 r 一• ' k= - 2. • •由点斜式，得 y — 2 = — 2(x — 1),即 x+ 2y — 5= 0.点评：本题中利用两直线垂直的条件求出了 BC 边上的高所在直线斜率，再利用点斜式求得直线的方程. 变式训练求经过两条直线 2x —3y+10=0和3x + 4y —2 = 0的交点，且垂直于直线 3x —2y + 4=0的直 线方程.又所求直线的斜率 k= —，y —2 =—亲x+2),即2x+3y-2=0. 3 3知能训练1 .已知三点 A(4,1)、B(0,5)、C(8,5),则△ ABC 的形状是( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形 答案：D2 .求过点A(2,1),且与直线2x+y —10=0垂直的直线l 的方程.分析：一般地，由于与直线 Ax+By+ C= 0垂直的直线的斜率同已知直线互为负倒数，故可 设其方程为Bx- Ay+入=0,这是常常用到的解题技巧 (直线系方程). 解：设与直线2x + y —10= 0垂直的直线方程为 x —2y+入=0. ••・直线 l 经过点 A(2,1) , .-.2-2X1+ X= 0,解得入=0. 故所求直线l 的方程为x-2y = 0.3 .求经过直线y=2x+ 3和3x- y+2=0的交点，且垂直于第一条直线的直线方程.y=2x+3,x=1,解：解方程组得3x-y+2=0,y=5.………11r又所求直线的斜率 k= - 2-, y- 5= - 2(x - 1),即 x+2y —11 = 0.4 . 4ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为 x-2y+ 1 = 0, ZA 的平分线所在直线的方程为y=0.若点B 的坐标为(1,2).求点A 和点C 的坐标.x — 2y +1 = 0,解：如下图所示，由方程组解得顶点A(—1,0) , ••・直线AB 的斜率为k ABy=0,2-0k AB k pQ= —1 • .AB，PQ.解：解方程组2x-3y+ 10= 0,3x+4y-2=0,x=- 2, y=2.=1.,•,x 轴是/A 的平分线，，直线 AC 的斜率为一1,直线AC 的方程为y=— (x + 1).① 已知BC 边上的高所在直线的方程为x —2y+1 = 0, .♦.直线BC 的斜率为—2, BC 所在直线的方程为y-2=- 2(x —1),②x= 5.即顶点C 坐标为(5 , -6). y= - 6,的中点在l 上，而直线l 的斜率是一3.所以k AA =1.3y — 4l y — 4 1又因为,所以 J =3.①. ... 、 一一 . ......... ... x 再因为直线l 的万程为3x+y —2=0,AA'的中点坐标是(-y' +4+ ^—2-—2=0.②由①和②解得x =2, v' =6. 所以A'点的坐标为(2,6). 课堂小结本节课学习了两条直线垂直的条件及其应用. 作业本节练习B 3,4题.设计感想力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,结合能力.通过对两直线垂直的位置关系的研究， 合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线垂直的判定 依据，教师要及时引导、及时鼓励.备课资料备选习题1.根据下列条件，求直线的方程.(1)经过点A(3,2),且与直线4x+y —2=0平行；(2)经过点C(2, — 3),且平行于过两点 M(1,2)和N( — 1, — 5)的直线；⑶ 经过点B(3,0),且与直线 2x+y —5=0垂直.由①②联立，解此方程组得 ，所求顶点A 坐标为(一1,0) 拓展提升已知点A 的坐标为(一4,4), 的坐标.解：设点A'的坐标为(x ',,顶点C 坐标为(5, — 6).直线l 的方程为3x+y —2=0.求点A 关于直线l 的对称点A V,)，因为点A 与A 关于直线 l 对称，所以AA' ±1 ,且AA'y —^)，所以 3 - x —^ 22 2本课通过探究两直线垂直的条件, 以及数形解：(1)由题意得，k=-4,由点斜式，得y-2=-4(x -3),即4x+y-14=0.，，一6 •••由点斜式，得y T=5(x -1),即6x-5y-1 = 0.(2)所求直线的斜率为k=2一―5 =7, 1 ——1 2，由点斜式得y+3=2(x—2),即7x-2y-20=0.~ ，，，，，,，一， 1 ，，…，，- 1 r(3)所求直线的斜率为k =-，，由点斜式，得y = 2(x—3),即x-2y-3=0.2.证明两直线互相垂直.2x+3y+4= 0; 3x-2y-1=0.证明：k 1 = ——, k2= 一33.已知两点A(7, —4)、3 3—-=~,k 1 • k2= - 1.「•两直线互相垂直.—2 2B( —5,6),求线段AB的垂直平分线的方程.解：kAB=10 -5-7 —12AB的垂直平分线的斜率为65,AB的中点为(1,1).。
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修2
∴n＝－1，
∴所求直线方程为 x＋2y－1＝0.
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
【知识点拨】 (1)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直 的直线方程为 Bx－Ay＋m＝0；
(2)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线方程为 Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
已知两直线 l1：x＋my＋3＝0，l2：(m－
1)x＋2my＋2m＝0，若 l1∥l2，则 m 为( )
A．0
B．－1 或12
C．3
D．0 或 3
解析：由 1·2m－m(m－1)＝0，得 m＝0 或 m＝3.
当 m＝3 时，l1：x＋3y＋3＝0，l2：2x＋6y＋6＝0，
l1 与 l2 重合，∴m≠3；
根据下列条件，分别求直线方程： (1)经过点 A(3,0)且与直线 2x＋y－5＝0 垂直的直线方程； (2)经过直线 x－y－1＝0 与 2x＋y－2＝0 的交点，且平行于 直线 x＋2y－3＝0 的直线方程．
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
A．2
B．－2
C．12
D．－12
【解析】 由 l1⊥l2，得 m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选 A．
【答案】 A
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
直线 y＝kx 与直线 y＝2x＋1 垂直，则 k
等于( )
A．－2
高中数学 第二章 2.2.2直线方程的几种形式(二)课件 新人教B版必修2
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
问题 3 关于 x，y 的二元一次方程的一般形式是什么？
答 关于 x，y 的二元一次方程的一般形式是 Ax＋By＋C＝0， 其中 A，B 不同时为零． 问题 4 每一个关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A， B 不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？ 答 都表示一条直线，原因如下： 当 B≠0 时，方程 Ax＋By＋C＝0 可变形为 y＝－ABx－CB，它表 示过点(0，－CB)，斜率为－AB的直线． 当 B＝0 时，方程 Ax＋By＋C＝0 变成 Ax＋C＝0， 即 x＝－CA，它表示与 y 轴平行或重合的一条直线． 小结 关于 x，y 的二元一次方程都表示一条直线．
问题 1 前面我们学习了直线方程哪几种形式？分别写出其
方程？
答 点斜式：已知直线上一点 P1(x1，y1)的坐标，和直线的 斜率 k，则直线的方程是 y－y1＝k(x－x1)；
斜截式：已知直线的斜率 k，和直线在 y 轴上的截距 b，则
直线方程是 y＝kx＋b；
两点式：已知直线上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的 方程是yy2－－yy11＝xx2－－xx11；
[问题情境] 前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有 x， y 这两个变量，并且 x，y 的次数都是一次的，即它们都是 关于 x，y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方 程有怎样的关系？本节我们就来研究这个问题．
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研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
探究点 直线与二元一次方程的关系
而点 (2)解
A直15，线35O在A第的一斜象率限为，k＝故3515直－ －线00＝l 恒3.而过直第线一象l 的限方．程
人教B版高中数学必修二第二章2.2 直线的方程 (人教实验B版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2.2 直线的方程（人教实验B版必修2）一、选择题（本题包括10小题，每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，每题4分，共40分）1．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax+y+b=0和直线l2：bx+y+a=0有可能是( )A BC D2．已知两点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于13，则实数m＝()A．－1 B．4C．－1或4 D．－4或13．已知直线ax+by+c=0不经过第二象限，且ab＜0，则( )A.c＞0B.c＜0C.ac≥0D.ac≤04．如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax―By―C＝0不经过的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知等边△ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是()A．y＝－3xB．y＝－3(x－4)C．y＝3(x－4)D．y＝3(x＋4)6．直线l：mx－m2y－1＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线方程是()A．x―y―1＝0B．2x―y―3＝0C．x＋y－3＝0D．x＋2y－4＝07．点P(1，2)关于x轴和y轴的对称的点依次是()建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分A ．(2，1)，(－1，－2)B ．(－1，2)，(1，－2)C ．(1，－2)，(－1，2)D ．(－1，－2)，(2，1)8．已知两条平行直线l 1 : 3x ＋4y ＋5＝0，l 2 : 6x ＋by ＋c ＝0间的距离为3，则b ＋c ＝( ) A ．－12 B ．48C ．36D ．－12或489．过点P (1，2)，且与原点距离最大的直线方程 是( ) A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝010．a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( )A ．⎪⎭⎫⎝⎛21 ，61 －B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛61 － ，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛61 ，21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21 － ，61二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分.请将正确的答案填到横线上）11．过点M （4，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .12．已知直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是____________．13．已知点(a ，2)(a ＞0)到直线x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为________．14．已知直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________． 15．已知实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，则22＋ y x 的最小值等于____________．三、计算题（本题共4小题，共40分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）16．已知直线l ：kx -y +1+2k =0（k ∈R ）. （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围.17．过点P(1，2)的直线l 被两平行线l 1:4x ＋3y ＋1＝0与l 2:4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程．18．已知方程(m 2―2m ―3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0(m ∈R )．(1)求该方程表示一条直线的条件.(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程.(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值.(4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m 的值．19．在△ABC中，已知C(2，5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，试求顶点B的坐标．2.2 直线的方程（人教实验B版必修2）答题纸得分：一、选择题二、填空题11． 12． 13. 14. 15.三、计算题16.17.18.19.2.2 直线的方程（人教实验B 版必修2）答案一、选择题1.A 解析：l 1：y =－ax －b ，l 2：y =－bx －a .于是可知，l 1的斜率是l 2的纵截距，l 1的纵截距是l 2的斜率.在选项B 中，l 1的纵截距为正，而l 2的斜率为负，不合题意，排除B .同样可排除选项C 、D .2.C 解析：因为|AB |＝ 1 －＋ － 222)()(m m ＝13，所以2m 2－6m ＋5＝13．解得m ＝－1或m ＝4． 3.D 解析：由题意，直线有斜率且不为零，若直线不经过第二象限，则斜率一定为正且在y 轴上的截距小于或等于零，即{−ab ＞0，−cb≤0⟹ac ≤0.故选D .4.B 解析：因为B ≠0，所以直线方程为y ＝B A x －BC ，依条件B A ＞0，B C＞0．即直线的斜率为正值，纵截距为负值，所以直线不过第二象限．5.C 解析：因为△ABC 是等边三角形，所以BC 边所在的直线过点B ，且倾斜角为3π， 所以BC 边所在的直线方程为y ＝3(x －4)．6.C 解析：由点P 在l 上得2m ―m 2―1＝0，所以m ＝1．即l 的方程为x ―y ―1＝0．所以所求直线的斜率为－1，显然x ＋y －3＝0满足要求．7.C 解析：因为点(x ，y )关于x 轴和y 轴的对称点依次是(x ，－y )和(－x ，y )， 所以P (1，2)关于x 轴和y 轴的对称的点依次是(1，－2)和(－1，2)． 8.D 解析：将l 1 : 3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0，因为两条直线平行，所以b ＝8． 由228＋ 6 － 10c ＝3，解得c ＝－20或c ＝40． 所以b ＋c ＝－12或48．9.A 解析：设原点为O ，依条件只需求经过点P 且与直线OP 垂直的直线方程，因为k OP ＝2，所以所求直线的斜率为－21，且过点P ． 所以满足条件的直线方程为y －2＝－21(x －1)，即x ＋2y －5＝0． 10.B 解析1：因为a ＋2b ＝1，所以a ＝1－2b ．所以直线ax ＋3y ＋b ＝0化为(1－2b )x ＋3y ＋b ＝0． 整理得(1－2x )b ＋(x ＋3y )＝0．所以当x ＝21，y ＝－61时上式恒成立． 所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21．解析2：由a ＋2b ＝1得a －1＋2b ＝0．进一步变形为a ×21＋3×⎪⎭⎫⎝⎛61 －＋b ＝0． 这说明直线方程ax ＋3y ＋b ＝0当x ＝21，y ＝－61时恒成立． 所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21．二、填空题11.3x -4y =0或x +y -7=0 解析：（1）当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为3x -4y =0；（2）当直线不过原点时，设直线方程为x +y =a ，将M （4，3）代入方程得a =7，故此时直线方程为x +y -7=0.综上可知所求直线方程为3x -4y =0或x +y -7=0.12.－1≤k ≤1且k ≠0 解析：依条件得21·|2k |·|k |≤1，其中k ≠0(否则三角形不存在)． 解得－1≤k ≤1且k ≠0． 13.2－1 解析：依条件有221＋ 13 ＋ 2 － a ＝1．解得a ＝2－1，a ＝－2－1(舍去)．14. y ＝2x 解析：已知直线变形为y ＋2＝－a (x ＋1)，所以直线恒过点(―1，―2)．故所求的直线方程是y ＋2＝2(x ＋1)，即y ＝2x ． 15.1360解析：因为实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60， 所以22 ＋ y x 表示原点到直线5x ＋12y ＝60上点的距离． 所以22 ＋ y x 的最小值表示原点到直线5x ＋12y ＝60的距离． 容易计算d ＝144 ＋ 2560＝1360．即所求22 ＋ y x 的最小值为1360．三、计算题16．（1）证明：直线l 的方程可化为y =k （x +2）+1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点（-2，1）.（2）解：直线l 的方程可化为y =kx +2k +1，则直线l 在y 轴上的截距为2k +1.要使直线l 不经过第四象限，则{k ≥0，1+2k ≥0，解得{k ≥0,k ≥−12, ∴ k 的取值范围是k ≥0.17．解：当直线l 的方程为x ＝1时，可验证不符合题意，故设l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎨⎧01 3 42 ＝＋＋，－＋＝y x x y k k 解得A ⎪⎭⎫⎝⎛4 ＋ 38 ＋ 5 － ，4 ＋ 37 － 3k k k k ；由⎩⎨⎧0 ＝ 6 ＋ 3 ＋ 4, － 2 ＋ ＝ y x x y k k 解得B ⎪⎭⎫⎝⎛4 ＋ 301 － 8 ，4 ＋ 321 － 3k k k k ．因为|AB |＝2，所以 4 ＋ 35＋ 4 ＋ 3522⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k ＝2．整理得7k 2－48k －7＝0．解得k 1＝7或k 2＝－71． 故所求的直线方程为x ＋7y －15＝0或7x ―y ―5＝0．18．解：(1)当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m 2―2m ―3＝0，解得m ＝－1或m ＝3； 令2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1或m ＝21． 所以方程表示一条直线的条件是m ∈R ，且m ≠－1． (2)由(1)易知，当m ＝21时，方程表示的直线的斜率不存在， 此时的方程为x ＝34，它表示一条垂直于x 轴的直线． (3)依题意，有3－ 2 － 6－22m m m ＝－3，所以3m 2－4m －15＝0． 所以m ＝3，或m ＝－35，由(1)知所求m ＝－35． (4)因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1．故由－1－ ＋ 23 － 2 － 22m m m m ＝1，解得m ＝34或m ＝－1(舍去)． 所以直线l 的倾斜角为45°时，m ＝34． 19．解：依条件，由⎩⎨⎧xy x y 1 2 ＝，－＝解得A (1，1)．因为角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，所以点C (2，5)关于y ＝x 的对称点C '(5，2)在AB 边所在的直线上． AB 边所在的直线方程为y －1＝1－ 51－ 2(x －1)，整理得x －4y ＋3＝0． 又BC 边上高线所在的直线方程是y ＝2x －1， 所以BC 边所在的直线的斜率为－21． BC 边所在的直线的方程是y ＝―21(x －2)＋5， 整理得x ＋2y －12＝0．联立x －4y ＋3＝0与x ＋2y －12＝0，解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛25 ，7．。
高中数学2.2直线的方程2.2.3.1两条直线相交平行与重合的条件教案新人教B版必修22017103
2.2.3.1 两条直线相交、平行与重合的条件示范教案整体设计教学分析教材利用方程组解的个数来讨论两条直线相交、平行与重合的条件．值得注意的是在教学中，调动学生的积极性，让学生自己归纳出两条直线相交、平行和重合的条件．三维目标1．掌握两条直线相交、平行与重合的条件，提高学生归纳、类比的能力．2．能够判断两直线的位置关系，提高学生分析问题、解决问题的能力．重点难点教学重点：两条直线的位置关系、平行条件的应用．教学难点：归纳两直线平行、相交与重合的条件．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.在平面直角坐标系中，两条直线的位置关系是平行、相交、重合．当两条直线无交点时，它们平行；当两条直线有唯一交点时，它们相交；当两条直线有无数个交点时，它们重合．本节利用直线方程来讨论两条直线的位置关系，教师引出课题．设计2.在立体几何中，两条直线的位置关系是平行、相交、异面，在本章所讨论的两条直线的位置关系是平行、相交、重合．那么如何利用方程来讨论两直线的位置关系呢？教师引出课题．推进新课Error!Error!1点0，y0是直线l：Ax＋By＋C＝0上的一点，则x0与y0满足什么条件？2已知两条直线的方程为l 1：A2x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.试判断直线l1与l2的交点个数，并确定它们位置关系.3归纳两条直线相交、平行与重合的条件.讨论结果：(1)Ax0＋By0＋C＝0.(2)解方程组Error!，Error!①×B2－②×B1，得(A1B2－A2B1)x＋B2C1－B1C2＝0.B1C2－C1B2当A1B2－A2B1≠0时，得x＝；A1B2－A2B1因此，当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一一组解．此时直线l1与l2相交，且有唯一交点，交点坐标是方程组的解．当A1B2－A2B1＝0，而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0时，方程组无解．两直线无交点，此时l1∥l2.当A1B2－A2B1＝0，而B1C2－C1B2＝0或A2C1－A1C2＝0时，方程组有无数组，即此时，两直线l1与l2有无数个交点，即l1与l2重合．1A 1B 1(3)l 1与 l 2相交 A1B 2－A 2B 1≠0 或 ≠ (A 2B 2≠0)． A 2 B 2l 1与 l 2平行Error! l 1与 l 2重合Error!Error! (1)两直线平行，它们的倾斜角和在 y 轴上的截距相等吗？ 2当两直线的倾斜角相等，在y 轴上的截距不相等时，这两条直线有什么位置关系？ 3已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，怎样用k 1，k 2，b 1，b 2判定它们平行？ 4怎样用k 1，k 2，b 1，b 2，判定它们重合？讨论结果：(1)画图分析，得它们的倾斜角相等，在 y 轴上的截距不相等．如下图所示；(2)平行；(3)l 1∥l 2 k1＝k 2且 b 1≠b 2；(4)l 1与 l 2重合k 1＝k 2，且 b 1＝b 2.Error! 思路 1例 1已知直线 l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，求证：当 C 1≠C 2时，l 1与 l 2平行． 证明：因为 AB －BA ＝0，所以 l 1与 l 2平行或重合．又因为 BC 2－BC 1＝B(C 2－C 1)：当 B≠0 时，已知 C 1≠C 2，所以 BC 2－BC 1≠0，因此两直线平行；当 B ＝0时，由直线方程的定义，知C 1 C 2 A≠0，于是两条直线的方程变为 x ＝－ ，x ＝－ ，这是两条与 x 轴垂直的直线，所以它们平 A A行或重合．又由于 C 1≠C 2，所以它们是平行的直线．点评：与直线 Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为 Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D)．变式训练1．过点 A(1,2)，且平行于直线 2x －3y ＋5＝0的直线方程是______．解析：设所求直线方程为 2x －3y ＋m ＝0(m ≠5)，则 2×1－3×2＋m ＝0，解得 m ＝4，即所 求直线方程为 2x －3y ＋4＝0.答案：2x －3y ＋4＝05 2．求与直线 2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距之和是 的直线 l 的方程． 6解：设直线 l 的方程为 2x ＋3y ＋m ＝0(m ≠5)．m m 当 x ＝0时，y ＝－ ；当 y ＝0时，x ＝－ . 3 2m m 5则－ － ＝ ，解得 m ＝－1. 3 2 6即直线 l 的方程为 2x ＋3y －1＝0.2(2)(1，－4)，2x＋3y＋5＝0.1 解：(1)因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为y＝x＋b.25 1 5由于所求直线过点(－1,2)，代入方程，得b＝.因此所求方程为y＝x＋，即x－2y＋52 2 2＝0.(2)设所求的直线方程为2x＋3y＋D＝0.由于所求直线过点(1，－4)，代入方程，得D＝10.因此，所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.思路2例2判断下列各对直线是否平行，并说明理由．(1)l1：y＝3x＋2，l2：y＝3x＋5；(2)l1：y＝2x＋1，l2：y＝3x；(3)l1：x＝5，l2：x＝8.解：(1)设两直线的斜率分别是k1，k2，在y轴上截距分别是b1，b2，则k1＝3，b1＝2，k2＝3，b2＝5.因为k1＝k2，b1≠b2，所以l1∥l2.(2)设两直线的斜率分别是k1，k2，在y轴上截距分别是b1，b2，则k1＝2，k2＝3，b1＝1，b2＝0.因为k1≠k2，所以l1与l2不平行．(3)由方程可知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上截距不相等，所以l1∥l2.点评：判断两直线是否平行时，要对直线的斜率讨论，特别是当斜率都不存在时，即直线x＝a与直线x＝b(a≠b)平行．变式训练1．直线l1过A(m,1)，B(－1，m)，直线l2过点P(1,2)，Q(－5,0)，且l1∥l2，则m＝______.1－m 2－0 1 1－m 1 1解析：k1＝，k2＝＝，由于l1∥l2，则＝，解得m＝.m＋1 1＋5 3 m＋1 3 21答案：22．已知直线l1：x＋y－1＝0，直线l2：kx－2y＋3＝0，且l1∥l2，则k＝______.答案：－2例3已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2(1)平行；(2)重合；(3)相交？解：对于平行及重合的判断，可以通过斜率与截距来分析．而对于l1与l2相交的情况，只能通过解方程组来寻求规律，当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0，此时l1与l2相交．1 6 m－23 当m≠0时，l1：y＝－x－，l2：y＝－x－m.m m 3 2(1)若l1∥l2，则Error!，解得m＝－1.m－2 3 2m(2)若l1与l2重合，则＝＝，解得m＝3.1 m 6故m＝－1时l1∥l2；m＝3时l1与l2重合．(3)由l1的方程得x＝－my－6，代入l2的方程得(m－2)(－my－6)＋3y＋2m＝0，即(m2－2m －3)y＝12－4m，显然，m2－2m－3＝0时无解，只有当m2－2m－3≠0，即m≠－1且m≠3时，方程才有解，且是唯一解，故只有当m≠－1且m≠3时两直线相交．点评：本题主要考查两直线相交、平行与重合的条件，要正确解决本题需要有足够的耐心和具有分类讨论的能力．变式训练设三条直线l1：x＋y－1＝0，l2：kx－2y＋3＝0，l3：x－(k＋1)y－5＝0.若这三条直线交于一点，求k的值．解：解由l1、l2的方程组成的方程组Error!得Error!－1 3＋k所以l1与l2的交点是P( ，)．2＋k 2＋k－1 3＋k 又因为l1、l2、l3交于一点，即P点坐标满足直线l3的方程，－(k＋1) －5＝0.2＋k 2＋k 解得k＝－7或－2(舍去)．所以k＝－7.Error!1．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k1，k2则(1)a＝__________时，α1＝150°；(2)a＝__________时，l2⊥x轴；(3)a＝__________时，l1∥l2；(4)a＝__________时，l1、l2重合．答案：(1) 3(2)2(3)3(4)－12．求下列两条直线的交点：l1：x＋2y＋1＝0，l2：－x＋2y＋2＝0.1 3解：解方程组Error!得Error!所以这两条直线的交点是M( ，－)．2 43．已知平行四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．分析：先作图猜想，然后给出证明．由斜率相等得两组直线分别平行，四边形ABCD是平行四边形．1证明：AB边所在直线的斜率k AB＝－，21CD边所在直线的斜率k CD＝－，23BC边所在直线的斜率k BC＝，23DA边所在直线的斜率k DA＝.2因为k AB＝k CD，k BC＝k DA，所以AB∥CD，BC∥DA.因此，四边形ABCD是平行四边形．4．判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求出交点．(1)l1：7x＋2y－1＝0，l2：14x＋4y－2＝0.(2)l1：( 3－2)x＋y＝7，l2：x＋( 3＋2)y－6＝0.(3)l1：3x＋5y－1＝0，l2：4x＋3y＝5.答案：(1)重合；(2)平行；(3)相交，交点坐标为(2，－1)．5．求过点A(0，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程．2 2解法一：∵直线2x＋3y＋5＝0的斜率为－，∴所求直线斜率为－.3 3又直线过点A(0，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.解法二：设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线l的方程为2x＋3y＋m＝0，∵l经过点A(0，－4)，∴2×0＋3×(－4)＋m＝0，解之，得m＝12.∴所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.Error!请你探究一下三条直线l1：x＋ay＋1＝0，l2：x＋y＋a＝0，l3：ax＋y＋1＝0构成三角形的条件是什么？a 1 a 1方法一：任两条直线都相交，则≠，≠，故a≠±1.又三条直线不交于同一点，故其5综合上述结果，以上三条直线构成三角形的条件是a≠±1，a≠－2.方法二：因为三条直线能构成三角形，所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点．可以把不能构成三角形的情况排除掉．若三条直线交于同一点，则其中两条直线Error!的交点(－1－a,1)在直线ax＋y＋1＝0上，∴a(－a－1)＋1＋1＝0，∴a＝1或a＝－2.1 1 若l1∥l2，则有－＝－1，a＝1；若l2∥l3，则有－1＝－a，a＝1；若l1∥l3，则有－＝－a aa，a＝±1.所以若三条直线构成三角形，则需a≠±1，a≠－2.Error!本节课学习了：1．两条直线平行、相交与重合的条件；2．求两直线交点坐标，解决有关平行问题．Error!本节练习B1,2题．设计感想本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系．在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方程Ax＋By＋C＝0中A、B、C就表示了直线的本质属性．还要注重研究方法的探讨，为将学习圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打下基础．备课资料著名数学家陈省身(公元1911年～2004年12月3日)在数学领域，沃尔夫奖与菲尔兹奖是公认的能与诺贝尔奖相媲美的数学大奖．菲尔兹奖主要奖励在现代数学中做出突出贡献的年轻数学家，而沃尔夫奖主要奖励在数学上做出开创性工作、具有世界声誉的数学家．到1990年为止，世界上仅有24位数学家获得过沃尔夫奖，而陈省身教授就是其中之一．他由于在整体微分几何上的杰出工作获得1984年度沃尔夫奖，成为唯一获此殊荣的华人数学家．陈省身先生1911年生，浙江嘉兴人.1930年毕业于南开大学数学系，受教于姜立夫教授.1934年获清华大学硕士学位．同年入德国汉堡大学随布拉施克教授研究几何，仅用了1年零3个月便在1936年获博士学位后，以“法国巴黎索邦中国基金会博士后研究员”身份到巴黎大学从事研究工作，师从国际数学大师E·嘉当.1937～1943年，任清华大学和西南联合大学教授.1943～1946年在美国普林斯顿高级研究所任研究员．在微分几何中高斯－波内公式的研究和拓扑学方面取得重要进展.1946～1948年筹建中央数学研究所并任代理所长.1949～1960年，任美国芝加哥大学教授，1960～1979年任加州大学伯克利分校教授，1981～1984年任美国国家数学研究所首任所长，后任名誉所长．他是美国科学院院士，法国、意大利、俄罗斯等国家科学院外籍院士．他对整体微分几何的深远贡献，影响了整个数学界，被公认为“20世纪伟大的几何学家”，先后获美国国家科学奖章、以色列沃尔夫奖、中国国际科技合作奖及首届邵逸夫数学科学奖等多项荣誉．陈省身对祖国心怀赤诚，1972年后多次回到祖国访问讲学，慨言“为祖国工作，是我崇高的荣誉”.2000年定居南开大学，被天津市人民政府授予永久居留权．他盛赞新中国欣欣向荣，瞩望祖国早日统一，诚挚地向党和国家领导人就发展科学事业、培养和引进人才等建言献策，受到高度重视.1984年应聘出任南开数学研究所所长，创办立足国内、面向世界培养中国高级数学人才基地．努力推进中国科学家与美国及其他各国的学术交流，促成国际数学家大会在北京召开，并被推选为大会名誉主席．他殚精竭虑地为把中国建成数学大国、科技强国贡献力量，多次受到邓小平、江泽民等党和国家领导人接见，高度称赞他对中国数学科学发展所作的杰出贡献．除了在数学上做出的巨大成就，陈省身教授还培养了一大批世界级的科学家，其中包括诺贝尔物理学奖获得者杨振宁，菲尔兹奖获得者丘成桐，中国国家自然科学奖一等奖获得者吴文俊等．。
(完整版)高中数学2.2直线的方程2.2.3.2两条直线垂直的条件教案
2.2.3.2 两条直线垂直的条件示范教案整体设计教学分析教材将任意两直线垂直关系转化为过原点的两直线垂直来讨论垂直的条件．在实际教学中，要让学生自己归纳、总结两条直线垂直的条件，避免教师给出结论，马上做练习题的教学方式．三维目标1．归纳两条直线垂直的条件，提高学生的归纳能力．2．利用两条直线垂直的条件解决垂直问题，提高学生解决问题的能力．重点难点教学重点：两条直线垂直的条件及其应用．教学难点：归纳两条直线垂直的条件．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.上一节我们学习了利用直线方程讨论两直线相交的条件，垂直是相交的特例，那么怎样用直线方程来讨论两直线垂直的条件呢？教师引出课题．设计2.平行与垂直是解析几何中最重要的位置关系，我们已经会用直线方程来讨论两直线平行，今天我们学习用直线方程来讨论两直线垂直，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题1直线l：Ax＋By＋C＝0与直线l′：Ax＋By＝0有什么位置关系？2已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.讨论l1⊥l2的条件时，可转化为讨论过原点的哪两条直线垂直的条件？3阅读教材，讨论l1与l2垂直的条件.4写出判断直线l1和l2是否垂直的步骤.讨论结果：(1)l与l′平行或重合(2)由于直线l1与直线A1x＋B1y＝0平行或重合，直线l2与直线A2x＋B2y＝0平行或重合，因此我们研究l1和l2垂直的条件时，可转化为研究直线l1′：A1x＋B1y＝0和l2′：A2x＋B2y ＝0垂直的条件．(3)假定l1，l2都不与坐标轴平行或重合．如下图，当l1⊥l2时，通过坐标原点作直线l1′∥l1和l2′∥l2，则l1′和l2′互相垂直．在直线l 1′，l 2′上，分别取两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(都不是原点)．由勾股定理，得x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.化简，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.由假定可知B 1≠0，B 2≠0，因此y 1＝－A 1B 1x 1，y 2＝－A 2B 2x 2.代入上式，得x 1x 2(1＋A 1A 2B 1B 2)＝0. 因为A ，B 都不在y 轴上，所以x 1x 2≠0，因此1＋A 1A 2B 1B 2＝0，① 即A 1A 2＋B 1B 2＝0.②由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由②式可以证明两条直线l 1′与l 2′垂直，从而也就证明了l 1与l 2垂直．假定l 1，l 2中有一条直线与坐标轴平行或重合．当l 1⊥l 2时，可以推出l 1，l 2中的另一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有A 1A 2＋B 1B 2＝0.反过来，由条件A 1A 2＋B 1B 2＝0也可以推出l 1⊥l 2.总结以上讨论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线l 1和l 2，有 l 1⊥l 2 ⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.如果B 1B 2≠0，则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1，l 2的斜率k 2＝－A 2B 2. 由上面的①式，又可以得出l 1⊥l 2 ⇔k 1k 2＝－1.(4)计算步骤：①给A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2赋值；②计算M ＝A 1A 2＋B 1B 2；③若M ＝0，则l 1⊥l 2；若M≠0，则l 1与l 2不垂直．应用示例思路1例1判断下列各组中的两条直线是否垂直：(1)2x －4y －7＝0与2x ＋y －5＝0；(2)y ＝3x ＋1与y ＝－13x ＋5； (3)2x ＝7与3y －5＝0.解：(1)因为A 1＝2，B 1＝－4，A 2＝2，B 2＝1，得A 1A 2＋B 1B 2＝2×2＋(－4)×1＝0，所以这两条直线垂直．(2)由k 1＝3，k 2＝－13，得k 1k 2＝3×(－13)＝－1，所以这两条直线垂直． (3)因为A 1＝2，B 1＝0，A 2＝0，B 2＝3，得A 1A 2＋B 1B 2＝2×0＋0×3＝0，所以这两条直线垂直． 此题也可以直接看出直线2x ＝7平行于y 轴，直线3y －5＝0平行于x 轴，从而可以判断这两条直线垂直．点评：判定两直线垂直时，由一般式给出的直线方程，用A 1A 2＋B 1B 2＝0来判定；由斜截式给出的方程可以用k 1k 2＝－1来判定．变式训练判断下列两直线是否垂直，并说明理由．(1)l 1：y ＝4x ＋2，l 2：y ＝－14x ＋5； (2)l 1：5x ＋3y ＝6，l 2：3x －5y ＝5；(3)l 1：y ＝5，l 2：x ＝8.解：(1)设两直线的斜率分别是k 1，k 2，则k 1＝4，k 2＝－14， 有k 1·k 2＝4×(－14)＝－1，所以l 1⊥l 2. (2)因为A 1＝5，B 1＝3，A 2＝3，B 2＝－5，A 1A 2＋B 1B 2＝5×3＋3×(－5)＝0，所以l 1⊥l 2.(3)因为l 1平行于x 轴，l 2垂直于x 轴，所以l 1⊥l 2.例2求证：直线Ax ＋By ＋C 1＝0与直线Bx －Ay ＋C 2＝0垂直．证明：因为AB ＋B(－A)＝0，所以这两条直线垂直．点评：一般地，我们可以把与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程表示为Bx －Ay ＋D ＝0.同样可证明与直线y ＝kx ＋b(k≠0)垂直的直线可表示为y ＝－1kx ＋b 1. 变式训练求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程：(1)(－1,3)，y ＝2x －3；(2)(1,2)，2x ＋y －10＝0.解：(1)设所求直线方程为y ＝－12x ＋b. 因为直线过点(－1,3)，代入方程，得b ＝52，所以所求方程为y ＝－12x ＋52，即x ＋2y －5＝0.(2)设所求的直线方程为x －2y ＋C ＝0.因为直线过点(1,2)，代入方程，得C ＝3，所以所求直线方程为x －2y ＋3＝0.思路2例3已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC 的形状．分析：先作图猜想，然后给出证明．解：由题意，知k AB ＝1－－11－5＝－12，k BC ＝3－12－1＝2. ∵k AB ·k BC ＝－1，∴AB⊥BC.∴△ABC 为直角三角形．点评：此类判断三角形形状的题目，通过先画图猜想结论，再利用相关知识证明． 变式训练已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(－2,6)，求证：AB⊥PQ.证明：k AB ＝6－03＋6＝23，k PQ ＝6－3－2－0＝－32，∴k AB k PQ ＝－1，∴AB⊥PQ.例4已知△ABC 的顶点坐标为A(1,2)、B(－1,1)、C(0,3)，求BC 边上的高所在的直线方程． 分析：BC 边上的高所在直线的斜率与直线BC 的斜率互为负倒数，然后用点斜式求解．解：设BC 边上的高所在直线斜率为k ，则k·k BC ＝－1，又k BC ＝3－10－－1＝2， ∴k＝－12.∴由点斜式，得y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 点评：本题中利用两直线垂直的条件求出了BC 边上的高所在直线斜率，再利用点斜式求得直线的方程．变式训练求经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋10＝0，3x ＋4y －2＝0，，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2.又所求直线的斜率k ＝－23，∴y－2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0. 知能训练1．已知三点A(4,1)、B(0,5)、C(8,5)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 答案：D2．求过点A(2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．分析：一般地，由于与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线的斜率同已知直线互为负倒数，故可设其方程为Bx －Ay ＋λ＝0，这是常常用到的解题技巧(直线系方程)．解：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋λ＝0.∵直线l 经过点A(2,1)，∴2－2×1＋λ＝0，解得λ＝0.故所求直线l 的方程为x －2y ＝0.3．求经过直线y ＝2x ＋3和3x －y ＋2＝0的交点，且垂直于第一条直线的直线方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋3，3x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝5.又所求直线的斜率k ＝－12，∴y－5＝－12(x －1)，即x ＋2y －11＝0. 4．△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)．求点A 和点C 的坐标．解：如下图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得顶点A(－1,0)，∴直线AB 的斜率为k AB＝2－01－－1＝1.∵x 轴是∠A 的平分线，∴直线AC 的斜率为－1，直线AC 的方程为y ＝－(x ＋1)．①已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∴直线BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．②由①②联立，解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝－6，即顶点C 坐标为(5，－6)．∴所求顶点A 坐标为(－1,0)，顶点C 坐标为(5，－6)．拓展提升已知点A 的坐标为(－4,4)，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0.求点A 关于直线l 的对称点A′的坐标．解：设点A′的坐标为(x′，y′)，因为点A 与A′关于直线l 对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l 上，而直线l 的斜率是－3.所以k AA′＝13. 又因为k AA′＝y′－4x′＋4，所以y′－4x′＋4＝13.① 再因为直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，AA′的中点坐标是(x′－42，y′＋42)，所以3·x′－42＋y′＋42－2＝0.② 由①和②解得x′＝2，y′＝6.所以A′点的坐标为(2,6)．课堂小结本节课学习了两条直线垂直的条件及其应用．作业本节练习B 3,4题．设计感想本课通过探究两直线垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合能力．通过对两直线垂直的位置关系的研究，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣．组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励．备课资料备选习题1．根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点A(3,2)，且与直线4x ＋y －2＝0平行；(2)经过点C(2，－3)，且平行于过两点M(1,2)和N(－1，－5)的直线；(3)经过点B(3,0)，且与直线2x ＋y －5＝0垂直．解：(1)由题意得，k ＝－4，由点斜式，得y －2＝－4(x －3)，即4x ＋y －14＝0.(2)所求直线的斜率为k ＝2－－51－－1＝72， ∴由点斜式得y ＋3＝72(x －2)，即7x －2y －20＝0. (3)所求直线的斜率为k ＝12，∴由点斜式，得y ＝12(x －3)，即x －2y －3＝0. 2．证明两直线互相垂直．2x ＋3y ＋4＝0；3x －2y －1＝0.证明：∵k 1＝－23，k 2＝－3－2＝32，∴k 1·k 2＝－1.∴两直线互相垂直． 3．已知两点A(7，－4)、B(－5,6)，求线段AB 的垂直平分线的方程．解：∵k AB ＝6－－4－5－7＝10－12＝－56， ∴AB 的垂直平分线的斜率为65，AB 的中点为(1,1)． ∴由点斜式，得y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0.。
高中数学 2.2 直线的方程 2.2.2.2 直线方程的一般式教案 新人教B版必修2
2.2.2.2 直线方程的一般式示范教案整体设计教学分析通过讨论直线的斜截式方程与二元一次方程的关系，归纳、总结出了结论：关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线，接着给出了直线的一般式方程的概念．同时，我们还可以得到结论：直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程，即对于每一条直线都可求出它的方程，而且是二元一次方程．三维目标1．掌握直线方程的一般式；了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；培养学生树立辩证统一的观点；培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2．会将直线方程的特殊形式化成一般式；会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力；渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想．重点难点教学重点：直线方程的一般式及各种形式的互化．教学难点：归纳出直线的一般式方程．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线的方程呢？这节课我们就来研究这个问题．设计2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形．(1)斜率是1，经过点A(1,8)；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是－7,7；(3)经过两点P 1(－1,6)、P 2(2,9)；(4)在y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件，请学生写出直线方程的“特殊”形式分别为y －8＝x －1、x －7＋y 7＝1、y －69－6＝x ＋12＋1、y ＝x ＋7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合．原来它们的方程化简后均可统一写成：x －y ＋7＝0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式．推进新课新知探究提出问题1 写出二元一次方程的形式.2 斜率存在的直线y ＝kx ＋b ，斜率不存在的直线x ＝x 1都能写成二元一次方程的形式吗？3 二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0 A，B 不同时为0 表示直线吗？4 总结直线与二元一次方程之间有什么关系？讨论结果：(1)二元一次方程的形式：Ax ＋By ＋C ＝0.(2)直线y ＝kx ＋b 化为kx －y ＋b ＝0.直线x ＝x 1化为x －0·y－x 1＝0.因此都能化为二元一次方程的形式，即有以下结论：直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程．(3)关于x ，y 的二元一次方程的一般形式是Ax ＋By ＋C ＝0，①其中A ，B 不同时为0.下面分B≠0和B ＝0两种情况加以讨论：①当B≠0时，方程①可化为y ＝－A B x －C B. 这是直线的斜截式方程．它表示斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B的直线． ②当B ＝0时，由于A ，B 不同时为0，必有A≠0，于是方程①可化为x ＝－C A.它表示一条与y 轴平行或重合的直线．根据以上讨论，我们又得到下面的结论：关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线．(4)直线与二元一次方程的关系：①直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程；②关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线．因此，关于x ，y 的二元一次方程是直线的方程，我们把方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)叫做直线的一般式方程．应用示例思路1例1已知直线通过点(－2,5)，且斜率为－34，求此直线的一般式方程． 解：由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理，得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.变式训练1．过点A(4，－3)，且斜率为－23的直线的一般式方程是______． 答案：2x ＋3y ＋1＝02．过A(1,1)，B(－1,3)的直线的一般式方程是______．答案：x ＋y －2＝0例2求直线l ：2x －3y ＋6＝0的斜率及在y 轴上的截距．解：已知直线方程可化为y ＝23x ＋2.所以直线l 的斜率k ＝23，在y 轴上的截距是2. 点评：本题主要考查将直线的一般式方程化为斜截式方程．变式训练1．直线x －3y ＋4＝0的斜率为______，倾斜角＝______. 答案：3330°2．已知直线mx ＋ny ＋12＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－3和4，求m 、n 的值． 解法一：由截距意义，知直线经过A(－3,0)和Q(0,4)两点，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ m× －3 ＋n×0＋12＝0，m×0＋n×4＋12＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝－3.解法二：由截距已知，也可将mx ＋ny ＋12＝0化为截距式得x －12m ＋y －12n＝1. 因此有⎩⎪⎨⎪⎧ －12m ＝－3，－12n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝－3.思路2例3 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件确定m 的值．(1)l 在x 轴上的截距为－3；(2)l 的倾斜角为135°；(3)直线l 与x 轴平行．解：(1)由于l 在x 轴上的截距为－3，则l 过点(－3,0)，∴(m 2－2m －3)(－3)＝2m －6，解得m ＝－53或m ＝3(舍去)， ∴m＝－53. (2)由l 的倾斜角α＝135°，则斜率k ＝tan135°＝－1，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，解得m ＝－2，或m ＝－1(舍去)．(3)由于l∥x 轴，则l 的斜率k ＝0，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝0解得m ＝3或m ＝－1(舍去)． 点评：本题(1)易错认为m ＝3也符合题意，通过(3)可以看出m ＝3时，l 与x 轴平行，此时，l 在x 轴上不存在截距．变式训练1．直线Ax ＋By ＋C ＝0，经过第一、二、三象限，则( )A ．AB>0B ．AB<0C ．AB ＝0D ．A 与B 的符号不确定解析：由题意，知直线的倾斜角为锐角，则k ＝－A B>0，则AB<0. 答案：B2．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0，(1)系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；(2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交；(3)系数满足什么条件时只与x 轴相交；(4)系数满足什么条件时是x 轴；(5)设P(x 0，y 0)为直线Ax ＋By ＋C ＝0上一点，证明这条直线的方程可以写成A(x －x 0)＋B(y －y 0)＝0.答案：(1)C ＝0；(2)A≠0且B≠0；(3)即B ＝0且A≠0；(4)A ＝C ＝0且B≠0；(5)证明：∵P(x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，∴Ax 0＋By 0＋C ＝0，C ＝－Ax 0－By 0.∴A(x－x 0)＋B(y －y 0)＝0.知能训练1．经过点A(8，－2)，且斜率为3的直线的一般式方程为______．答案：3x －y －26＝02．经过点M(－3,0)，且与x 轴垂直的直线的一般式方程为______．答案：x ＋3＝03．斜率为－4，且在y 轴上的截距为7的直线的一般式方程为______．答案：4x ＋y －7＝04．在x 、y 轴上截距分别为3，－2的直线的一般式方程为______．答案：2x －3y －6＝05．直线x －2y ＋2＝0化为斜截式方程为______，化为截距式方程为______．答案：y ＝12x ＋1 x －2＋y 1＝1 6．已知直线ax ＋my ＋2a ＝0(a≠0)过点(1，－3)，求此直线的斜率k.解：由题意，得a －3m ＋2a ＝0，则m ＝3a.∴直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0，又∵a≠0，∴整理，得x ＋3y ＋2＝0，化为斜截式，得y ＝－33x －233，∴k＝－33. 拓展提升已知直线l 的方程为y ＝mx ＋(2m ＋1)，若x∈(－1,1)时，y>0恒成立，求m 的取值范围．解：设f(x)＝mx ＋(2m ＋1)，当x∈(－1,1)时，f(x)>0恒成立，即当x∈(－1,1)时，f(x)的图象位于x 轴上方， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －1 ≥0，f 1 ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋2m ＋1≥0，m ＋2m ＋1≥0，解得m≥－13， 即m 的取值范围是[－13，＋∞)． 课堂小结本节课学习了：1．直线的一般式方程；2．直线的方程化为一般式方程；一般式方程化为斜截式方程和截距式方程．作业本节练习B 2,3题．设计感想本节课的教学流程是这样设计的：激活旧知→归纳猜想→获得新知→转化巩固→重组网络→变式训练→迁移应用→小结归纳．两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式．直线的一般式方程中系数A 、B 、C 的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化．引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化，渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A 、B 、C 的几何意义时，渗透数形结合的数学思想．安排变式练习，培养学生解决问题的技能．备课资料直线方程的一般式是在学生学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式后的第5种形式．前4种形式都有其各自的优点，那么为什么还要学习一般式呢？实际上直线方程的一般式有其他4种形式无法实现的一个优点，它能表示平面内的任意一条直线．针对这个特点就想到先让学生寻找4种形式的不完备之处，那就是它们都有一定的应用范围，进而提出问题：平面内任意给定一条直线一定可以用以上4种形式之一来表示吗？再一次突出了4种直线方程的不完备之处，从而引起学生的疑惑与反思．由此引起学生的联想：是否有另一种直线方程能够表示平面内的任何一条直线？从而激发起学生学习研究的兴趣．这就是通过引导学生发现现有知识的不完备，使学生产生不完备的地方能否给予改进、提高的想法，从而使学生有发现探求新知识的必要．这样新知识的出现就不是老师“塞”给学生的，“今天我们学习……”，而是知识研究的必然，它的出现就像清泉般慢慢地却极自然地流进学生的心田．。
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2.2.3.2 两条直线垂直的条件示范教案整体设计教学分析教材将任意两直线垂直关系转化为过原点的两直线垂直来讨论垂直的条件．在实际教学中，要让学生自己归纳、总结两条直线垂直的条件，避免教师给出结论，马上做练习题的教学方式．三维目标1．归纳两条直线垂直的条件，提高学生的归纳能力．2．利用两条直线垂直的条件解决垂直问题，提高学生解决问题的能力．重点难点教学重点：两条直线垂直的条件及其应用．教学难点：归纳两条直线垂直的条件．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.上一节我们学习了利用直线方程讨论两直线相交的条件，垂直是相交的特例，那么怎样用直线方程来讨论两直线垂直的条件呢？教师引出课题．设计2.平行与垂直是解析几何中最重要的位置关系，我们已经会用直线方程来讨论两直线平行，今天我们学习用直线方程来讨论两直线垂直，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题直线l：Ax＋By＋C＝0与直线l′：Ax＋By＝0有什么位置关系？已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.讨论l1⊥l2的条件时，可转化为讨论过原点的哪两条直线垂直的条件？阅读教材，讨论l1与l2垂直的条件.写出判断直线l1和l2是否垂直的步骤.讨论结果：(1)l与l′平行或重合(2)由于直线l1与直线A1x＋B1y＝0平行或重合，直线l2与直线A2x＋B2y＝0平行或重合，因此我们研究l1和l2垂直的条件时，可转化为研究直线l1′：A1x＋B1y＝0和l2′：A2x＋B2y ＝0垂直的条件．(3)假定l1，l2都不与坐标轴平行或重合．如下图，当l1⊥l2时，通过坐标原点作直线l1′∥l1和l2′∥l2，则l1′和l2′互相垂直．在直线l 1′，l 2′上，分别取两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(都不是原点)．由勾股定理，得x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.化简，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.由假定可知B 1≠0，B 2≠0，因此y 1＝－A 1B 1x 1，y 2＝－A 2B 2x 2.代入上式，得x 1x 2(1＋A 1A 2B 1B 2)＝0.因为A ，B 都不在y 轴上，所以x 1x 2≠0，因此1＋A 1A 2B 1B 2＝0，①即A 1A 2＋B 1B 2＝0.②由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由②式可以证明两条直线l 1′与l 2′垂直，从而也就证明了l 1与l 2垂直．假定l 1，l 2中有一条直线与坐标轴平行或重合．当l 1⊥l 2时，可以推出l 1，l 2中的另一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有A 1A 2＋B 1B 2＝0.反过来，由条件A 1A 2＋B 1B 2＝0也可以推出l 1⊥l 2.总结以上讨论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线l 1和l 2，有 l 1⊥l 2 ⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.如果B 1B 2≠0，则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1，l 2的斜率k 2＝－A 2B 2.由上面的①式，又可以得出l 1⊥l 2 ⇔k 1k 2＝－1. (4)计算步骤：①给A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2赋值； ②计算M ＝A 1A 2＋B 1B 2；③若M ＝0，则l 1⊥l 2；若M≠0，则l 1与l 2不垂直． 应用示例思路1例1判断下列各组中的两条直线是否垂直： (1)2x －4y －7＝0与2x ＋y －5＝0； (2)y ＝3x ＋1与y ＝－13x ＋5；(3)2x ＝7与3y －5＝0.解：(1)因为A 1＝2，B 1＝－4，A 2＝2，B 2＝1，得A 1A 2＋B 1B 2＝2×2＋(－4)×1＝0，所以这两条直线垂直．(2)由k 1＝3，k 2＝－13，得k 1k 2＝3×(－13)＝－1，所以这两条直线垂直．(3)因为A 1＝2，B 1＝0，A 2＝0，B 2＝3，得A 1A 2＋B 1B 2＝2×0＋0×3＝0，所以这两条直线垂直．此题也可以直接看出直线2x ＝7平行于y 轴，直线3y －5＝0平行于x 轴，从而可以判断这两条直线垂直．点评：判定两直线垂直时，由一般式给出的直线方程，用A 1A 2＋B 1B 2＝0来判定；由斜截式给出的方程可以用k 1k 2＝－1来判定． 变式训练判断下列两直线是否垂直，并说明理由． (1)l 1：y ＝4x ＋2，l 2：y ＝－14x ＋5；(2)l 1：5x ＋3y ＝6，l 2：3x －5y ＝5； (3)l 1：y ＝5，l 2：x ＝8.解：(1)设两直线的斜率分别是k 1，k 2，则k 1＝4，k 2＝－14，有k 1·k 2＝4×(－14)＝－1，所以l 1⊥l 2.(2)因为A 1＝5，B 1＝3，A 2＝3，B 2＝－5，A 1A 2＋B 1B 2＝5×3＋3×(－5)＝0，所以l 1⊥l 2. (3)因为l 1平行于x 轴，l 2垂直于x 轴，所以l 1⊥l 2.例2求证：直线Ax ＋By ＋C 1＝0与直线Bx －Ay ＋C 2＝0垂直． 证明：因为AB ＋B(－A)＝0，所以这两条直线垂直．点评：一般地，我们可以把与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程表示为Bx －Ay ＋D ＝0. 同样可证明与直线y ＝kx ＋b(k≠0)垂直的直线可表示为y ＝－1k x ＋b 1.变式训练求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程： (1)(－1,3)，y ＝2x －3； (2)(1,2)，2x ＋y －10＝0.解：(1)设所求直线方程为y ＝－12x ＋b.因为直线过点(－1,3)，代入方程，得b ＝52，所以所求方程为y ＝－12x ＋52，即x ＋2y －5＝0.(2)设所求的直线方程为x －2y ＋C ＝0.因为直线过点(1,2)，代入方程，得C ＝3，所以所求直线方程为x －2y ＋3＝0.思路2例3已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC 的形状． 分析：先作图猜想，然后给出证明． 解：由题意，知k AB ＝1－－1－5＝－12，k BC ＝3－12－1＝2.∵k AB ·k BC ＝－1，∴AB⊥BC.∴△ABC 为直角三角形．点评：此类判断三角形形状的题目，通过先画图猜想结论，再利用相关知识证明． 变式训练已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(－2,6)，求证：AB⊥PQ. 证明：k AB ＝6－03＋6＝23，k PQ ＝6－3－2－0＝－32，∴k AB k PQ ＝－1，∴AB⊥P Q.例4已知△ABC 的顶点坐标为A(1,2)、B(－1,1)、C(0,3)，求BC 边上的高所在的直线方程． 分析：BC 边上的高所在直线的斜率与直线BC 的斜率互为负倒数，然后用点斜式求解． 解：设BC 边上的高所在直线斜率为k ，则k·k BC ＝－1，又k BC ＝3－10－－＝2，∴k＝－12.∴由点斜式，得y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.点评：本题中利用两直线垂直的条件求出了BC 边上的高所在直线斜率，再利用点斜式求得直线的方程． 变式训练求经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋10＝0，3x ＋4y －2＝0，，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.又所求直线的斜率k ＝－23，∴y－2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.知能训练1．已知三点A(4,1)、B(0,5)、C(8,5)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 答案：D2．求过点A(2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．分析：一般地，由于与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线的斜率同已知直线互为负倒数，故可设其方程为Bx －Ay ＋λ＝0，这是常常用到的解题技巧(直线系方程)． 解：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋λ＝0. ∵直线l 经过点A(2,1)，∴2－2×1＋λ＝0，解得λ＝0. 故所求直线l 的方程为x －2y ＝0.3．求经过直线y ＝2x ＋3和3x －y ＋2＝0的交点，且垂直于第一条直线的直线方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，3x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.又所求直线的斜率k ＝－12，∴y－5＝－12(x －1)，即x ＋2y －11＝0.4．△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)．求点A 和点C 的坐标．解：如下图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得顶点A(－1,0)，∴直线AB 的斜率为k AB＝2－01－－＝1.∵x 轴是∠A 的平分线，∴直线AC 的斜率为－1，直线AC 的方程为y ＝－(x ＋1)．①已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∴直线BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．②由①②联立，解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6，即顶点C 坐标为(5，－6)．∴所求顶点A 坐标为(－1,0)，顶点C 坐标为(5，－6)．拓展提升已知点A 的坐标为(－4,4)，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0.求点A 关于直线l 的对称点A′的坐标．解：设点A′的坐标为(x′，y′)，因为点A 与A′关于直线l 对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l 上，而直线l 的斜率是－3.所以k AA′＝13.又因为k AA′＝y′－4x′＋4，所以y′－4x′＋4＝13.①再因为直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，AA′的中点坐标是(x′－42，y′＋42)，所以3·x′－42＋y′＋42－2＝0.②由①和②解得x′＝2，y′＝6. 所以A′点的坐标为(2,6)． 课堂小结本节课学习了两条直线垂直的条件及其应用． 作业本节练习B 3,4题．设计感想本课通过探究两直线垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合能力．通过对两直线垂直的位置关系的研究，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣．组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励．备课资料 备选习题1．根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点A(3,2)，且与直线4x ＋y －2＝0平行；(2)经过点C(2，－3)，且平行于过两点M(1,2)和N(－1，－5)的直线； (3)经过点B(3,0)，且与直线2x ＋y －5＝0垂直．解：(1)由题意得，k ＝－4，由点斜式，得y －2＝－4(x －3)，即4x ＋y －14＝0.(2)所求直线的斜率为k ＝2－－1－－＝72， ∴由点斜式得y ＋3＝72(x －2)，即7x －2y －20＝0.(3)所求直线的斜率为k ＝12，∴由点斜式，得y ＝12(x －3)，即x －2y －3＝0.2．证明两直线互相垂直．2x ＋3y ＋4＝0；3x －2y －1＝0.证明：∵k 1＝－23，k 2＝－3－2＝32，∴k 1·k 2＝－1.∴两直线互相垂直．3．已知两点A(7，－4)、B(－5,6)，求线段AB 的垂直平分线的方程． 解：∵k AB ＝6－－－5－7＝10－12＝－56， ∴AB 的垂直平分线的斜率为65，AB 的中点为(1,1)．∴由点斜式，得y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0.。