广东省信宜市第二中学2009届高三第三次月考试题(理科数学)
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∴ VP ABCD ∵ AD AB 1 ， DE BE 1 1 ∴Rt△ ADE ≌Rt△ ABE ， 从而△ ADF ≌△ ABF ，∴ BF AE . ∴ DFB 为二面角 D AE B 的平面角.
2 2
…………4 分 …………5 分 …………6 分 …………7 分 …………8 分
（1）从这 50 名教师中随机选出 2 名，求 2 人所使用版本相同的概率； （2）若随机选出 2 名使用人教版的教师发言，设使用人教 A 版的教师人数为 ，求随 机变量 的变分布列和数学期望。
18．(本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ABCD 的三视图如下图所示， E 是侧棱 PC 上的动点. (1) 求四棱锥 P ABCD 的体积； (2) 是否不论点 E 在何位置，都有 BD AE ？证明你的结论； (3) 若点 E 为 PC 的中点，求二面角 D AE B 的大小. P
14.5；
11．—3； 15． a 3
12．—160
13． 2 ； 三、解答题： 16．解：（Ⅰ）依题意的
T 7 2 ,所以 T ,于是 2 …………1 分 2 12 12 2 T A B 3 A 2 由 解得 ……………………………………………………………3 分 A B 1 B 1
D．
2 3
2．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中 100 株 树木的底部周长（单位：cm）。根据所得数据画出样本 的频率分布直方图（如右），那么在这 100 株树木中， 底部周长小于 110cm 的株数是 A．30 B．60 C．70 D．80 3．设集合 M { y | y ln x, x 0} ， N {x | y ln x, x 0} ，那 么 “ a M ”是“ a N ”的（ A．既不充分也不必要条件 C．充分而不必要条件 ） B．充要条件 D．必要而不充分条件 )
1 1 2 S正方形ABCD PC 12 2 ， 3 3 3 2 即四棱锥 P ABCD 的体积为 . 3 (2) 不论点 E 在何位置，都有 BD AE . 证明如下：连结 AC ，∵ ABCD 是正方形，∴ BD AC . ∵ PC 底面 ABCD ，且 BD 平面 ABCD ，∴ BD PC . 又∵ AC PC C ，∴ BD 平面 PAC . ∵不论点 E 在何位置，都有 AE 平面 PAC . ∴不论点内过点 D 作 DF AE 于 F ，连结 BF .
) 1 ……………………………………………………6 分
（Ⅱ）（Ⅱ）因为 f ( x) 4 cos(2 x 所以 k f ( ) 4 cos(2
3
) ………………………………………………8 分
2 ) 4 cos 2 ………………………………9 分 6 6 3 3 2 1 3 1 ……………………………10 分 而 f ( ) 2sin(2 ) 1 2sin 6 6 3 3
那么方程 x 3 x 2 2 x 2 0 的一个近似根（精确到 0.1）为（ A．1.2 B．1.3 C．1.4
6. 已知函数 f ( x) ( x a )( x b) （其中 a b ）的图象如下面右图所示，则函数
g ( x) a x b 的图象是
f (x)
A．
B．
C．
D．
7．等差数列 {a n } 中， S n 是其前 n 项和， a1 2009 ,
S 2007 S 2005 2 ,则 S 2009 的值为 2007 2005
1
A. 0
B. 2009
C. 2009
D. 2009 2009
8. △ ABC 的三边长分别为 3 、 4 、 5 ， P 为平面 ABC 外一点，它到其三边的距离都等于 2， 且 P 在平面 ABC 上的射影 O 位于△ ABC 的内部，则 PO 等于 A . 1 B.
20． （本小题满分 14 分）设椭圆 C :
x2 y 2 1(a 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ， A 是 a2 2
1 椭圆 C 上的一点，且 AF2 F1 F2 0 ，坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 ． 3 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
把(
12
,3) 代入 f ( x) 2sin(2 x ) 1 ,可得 sin(
所以 2k
3
,因为 | |
综上所述， f ( x) 2 sin( 2 x
2 3
,所以
3
6
) 1 ,所以
6
2k
2
,
…………………………………………5 分
信宜二中 2009 届高三第三次月考数学试题（理科）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1． 已知 a R ，若 (1 ai )(3 2i ) 为纯虚数，则 a 的值为 A．
3 2
B．
3 2
C．
2 3
2
) 的图像上一个
12
,3) ，与之相邻的一个最低点的坐标为 (
7 , 1) . 12
（Ⅰ）求 f ( x) 的表达式； （Ⅱ）求 f ( x) 在 x
6
处的切线方程.
2
17．（本小题满分 12 分）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请 50 名一线 教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示： 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10
选出 2 人使用版本相同的方法数为 C 20 C15 C 5 C10 350.
2 2 2 2
故 2 人使用版本相同的概率为： P
350 2 . …………………………5 分 1225 7
2 1 C15 C2 C2 3 60 38 20 C15 （2）∵ P ( 0) 2 ， P ( 1) , P ( 2) 20 2 2 119 C 35 17 C 35 C 35 119
2
C.
3 2
D.
3
第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题：本大题共 7 小题，其中（9）～（12）是必做题，（13）～（15）是选做 题，要求考生只从（13）、（14）、（15）题中任选 2 题作答，三题都作答的只计算 前两题的得分。每小题 5 分，满分 30 分. 9．抛物线 y 于
E
2 2 1
D
C
1 1 侧侧侧 侧侧侧 1 侧侧侧
A
B
3
19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) 自变量取值区间 A ，若其值域区间也为 A ，则称 区间 A 为 f ( x) 的保值区间. （Ⅰ）求函数 f ( x) x 形如 [ n, )( n R ) 的保值区间；
2
（Ⅱ） g ( x) x ln( x m) 的保值区间是 [2, ) ，求 m 的取值范围.
x 1, 4．已知变量 x, y 满足 y 2, 则 x y 的最小值是( x y 0,
A．1 B．2 C．3 D．4 3 2 5．若函数 f ( x) x x 2 x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据 如下： f (1) = －2 f (1.375) = －0.260 F (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162 f (1.25) = －0.984 f (1.40625) = －0.054 ）. D．1.5
n 0, S 0
0
(sin x cos x)dx, 则二项式(a x
。
1 x
6
) 展开式中
n p
是
否
的常数项是
n n 1
输出 S 结束
13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标内曲线 2sin 的中心 O 与 点 D 1, 的距离为 ．
SS
1 2n
14．（几何证明选讲选做题）如右图所示, 圆 O 上一点 C 在直径 AB 上 的射影为 D , CD 4, BD 8 , 则圆 O 的半径等于 15．(不等式选讲选做题) 若不等式 x 1 x 2 a ． _ A
y
P1
1 1 1 1 1 n ( ) n 1 。 a1 1 a 2 1 an 1 2 2
P2 0 Q2 Q1
4
x
（n N )
*
信宜二中 2009 届高三第三次月考数学试题（理科）答案
一、选择题： A C D B C 二、填空题： 9．
7 ； 2
ACD 15 10． ； 16
1 2 x 上一点 N 到其焦点 F 的距离是 3，则点 N 到直线 y=1 的距离等 2
。 。 输入 p 开始
10．执行右边的程序框图，若 p 4 ，则输出的 S 11．已知向量 a = 2，，， 4 b = 11 ．若向量 b (a + b) ， 则实数 的值是 12．设 a 。
∴ 的分布列为
P
0
1
2
3 17
60 119
38 119
5
………………10 分 ∴ E
3 60 38 136 8 0 1 2 ……………………12 分 17 119 119 119 7
18.解：(1) 由三视图可知，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形， 侧棱 PC 底面 ABCD ，且 PC 2 . …………2 分
C_
D _
O _
B _
无实数解，则 a 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 16．（本小题满分 12 分）函数 f ( x) A sin( x ) B ( A 0, 0,| | 最高点的坐标为 (
（Ⅱ）设 Q 是椭圆 C 上的一点，过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F ( 1, 0) ，交 y 轴于点 M ，若 MQ 2 QF ，求直线 l 的斜率．
21．（本小题满分 14 分）如图，曲线段 C 是函数 y x ( x 0) 的图象， C 过点 P 1
4 3
(1,1) 。
过P 1 作曲线 C 的切线交 x 轴于 Q1 点，过 Q1 作垂直于 x 轴的直线交曲线 C 于 P2 点，过 P2 的切线交 x 轴于 Q2 点 , , 如此反复，得到一系列点 Q1 , Q2 , , Qn ， 设 Qn ( a n ,0) 。 （1） 求 a1 ； （2） 求 a n 的表达式； （3） 证明：
P
E
…………9 分
2 ， AE AE 3 ，
A
D F
…………12 分
C
B
在 Rt△ ADE 中， DF 又 BD
AD DE 1 2 BF ， AE 3
2 ，在△ DFB 中，由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 DF BF BD 1 3 …………13 分 cos DFB ， 2 2 DF BF 2 2 3 ∴ DGB 120 ，即二面角 D AE B 的大小为 120 . …………14 分 解法 2：如图，以点 C 为原点， CD，， CB CP 所在的直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角 坐标系. 则 D (1, 0, 0)，，， A(1,1, 0) B(0,1, 0) E (0, 0,1) ，从而 DA (0,1, 0) ， DE (1, 0,1) ， BA (1, 0, 0) ， BE (0, 1,1) . …………10 分 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 n1 ( x1 , y1 , z1 ) ， n2 ( x2 , y2 , z2 ) ， D x n DA 0 y 0 1 由 ，取 n1 (1, 0,1) . …………11 分 1 x z 0 n DE 0 1 1 1 A n2 BA 0 x2 0 由 ，取 n2 (0, 1, 1) . …………12 分 y z 0 n BE 0 2 2 2 n1 n2 1 1 设二面角 D AE B 的平面角为 ，则 cos 2 2 2 n1 n2
从而 f ( x) 在 x
) 6 6 即 6 x 3 y 3 3 3 0 …………………………………………………………12 分
17．解：（1）从 50 名教师随机选出 2 名的方法数为 C 50 1225.
2
处的切线方程为 y ( 3 1) 2( x
2 2
…………4 分 …………5 分 …………6 分 …………7 分 …………8 分
（1）从这 50 名教师中随机选出 2 名，求 2 人所使用版本相同的概率； （2）若随机选出 2 名使用人教版的教师发言，设使用人教 A 版的教师人数为 ，求随 机变量 的变分布列和数学期望。
18．(本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ABCD 的三视图如下图所示， E 是侧棱 PC 上的动点. (1) 求四棱锥 P ABCD 的体积； (2) 是否不论点 E 在何位置，都有 BD AE ？证明你的结论； (3) 若点 E 为 PC 的中点，求二面角 D AE B 的大小. P
14.5；
11．—3； 15． a 3
12．—160
13． 2 ； 三、解答题： 16．解：（Ⅰ）依题意的
T 7 2 ,所以 T ,于是 2 …………1 分 2 12 12 2 T A B 3 A 2 由 解得 ……………………………………………………………3 分 A B 1 B 1
D．
2 3
2．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中 100 株 树木的底部周长（单位：cm）。根据所得数据画出样本 的频率分布直方图（如右），那么在这 100 株树木中， 底部周长小于 110cm 的株数是 A．30 B．60 C．70 D．80 3．设集合 M { y | y ln x, x 0} ， N {x | y ln x, x 0} ，那 么 “ a M ”是“ a N ”的（ A．既不充分也不必要条件 C．充分而不必要条件 ） B．充要条件 D．必要而不充分条件 )
1 1 2 S正方形ABCD PC 12 2 ， 3 3 3 2 即四棱锥 P ABCD 的体积为 . 3 (2) 不论点 E 在何位置，都有 BD AE . 证明如下：连结 AC ，∵ ABCD 是正方形，∴ BD AC . ∵ PC 底面 ABCD ，且 BD 平面 ABCD ，∴ BD PC . 又∵ AC PC C ，∴ BD 平面 PAC . ∵不论点 E 在何位置，都有 AE 平面 PAC . ∴不论点内过点 D 作 DF AE 于 F ，连结 BF .
) 1 ……………………………………………………6 分
（Ⅱ）（Ⅱ）因为 f ( x) 4 cos(2 x 所以 k f ( ) 4 cos(2
3
) ………………………………………………8 分
2 ) 4 cos 2 ………………………………9 分 6 6 3 3 2 1 3 1 ……………………………10 分 而 f ( ) 2sin(2 ) 1 2sin 6 6 3 3
那么方程 x 3 x 2 2 x 2 0 的一个近似根（精确到 0.1）为（ A．1.2 B．1.3 C．1.4
6. 已知函数 f ( x) ( x a )( x b) （其中 a b ）的图象如下面右图所示，则函数
g ( x) a x b 的图象是
f (x)
A．
B．
C．
D．
7．等差数列 {a n } 中， S n 是其前 n 项和， a1 2009 ,
S 2007 S 2005 2 ,则 S 2009 的值为 2007 2005
1
A. 0
B. 2009
C. 2009
D. 2009 2009
8. △ ABC 的三边长分别为 3 、 4 、 5 ， P 为平面 ABC 外一点，它到其三边的距离都等于 2， 且 P 在平面 ABC 上的射影 O 位于△ ABC 的内部，则 PO 等于 A . 1 B.
20． （本小题满分 14 分）设椭圆 C :
x2 y 2 1(a 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ， A 是 a2 2
1 椭圆 C 上的一点，且 AF2 F1 F2 0 ，坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 ． 3 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
把(
12
,3) 代入 f ( x) 2sin(2 x ) 1 ,可得 sin(
所以 2k
3
,因为 | |
综上所述， f ( x) 2 sin( 2 x
2 3
,所以
3
6
) 1 ,所以
6
2k
2
,
…………………………………………5 分
信宜二中 2009 届高三第三次月考数学试题（理科）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1． 已知 a R ，若 (1 ai )(3 2i ) 为纯虚数，则 a 的值为 A．
3 2
B．
3 2
C．
2 3
2
) 的图像上一个
12
,3) ，与之相邻的一个最低点的坐标为 (
7 , 1) . 12
（Ⅰ）求 f ( x) 的表达式； （Ⅱ）求 f ( x) 在 x
6
处的切线方程.
2
17．（本小题满分 12 分）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请 50 名一线 教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示： 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10
选出 2 人使用版本相同的方法数为 C 20 C15 C 5 C10 350.
2 2 2 2
故 2 人使用版本相同的概率为： P
350 2 . …………………………5 分 1225 7
2 1 C15 C2 C2 3 60 38 20 C15 （2）∵ P ( 0) 2 ， P ( 1) , P ( 2) 20 2 2 119 C 35 17 C 35 C 35 119
2
C.
3 2
D.
3
第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题：本大题共 7 小题，其中（9）～（12）是必做题，（13）～（15）是选做 题，要求考生只从（13）、（14）、（15）题中任选 2 题作答，三题都作答的只计算 前两题的得分。每小题 5 分，满分 30 分. 9．抛物线 y 于
E
2 2 1
D
C
1 1 侧侧侧 侧侧侧 1 侧侧侧
A
B
3
19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) 自变量取值区间 A ，若其值域区间也为 A ，则称 区间 A 为 f ( x) 的保值区间. （Ⅰ）求函数 f ( x) x 形如 [ n, )( n R ) 的保值区间；
2
（Ⅱ） g ( x) x ln( x m) 的保值区间是 [2, ) ，求 m 的取值范围.
x 1, 4．已知变量 x, y 满足 y 2, 则 x y 的最小值是( x y 0,
A．1 B．2 C．3 D．4 3 2 5．若函数 f ( x) x x 2 x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据 如下： f (1) = －2 f (1.375) = －0.260 F (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162 f (1.25) = －0.984 f (1.40625) = －0.054 ）. D．1.5
n 0, S 0
0
(sin x cos x)dx, 则二项式(a x
。
1 x
6
) 展开式中
n p
是
否
的常数项是
n n 1
输出 S 结束
13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标内曲线 2sin 的中心 O 与 点 D 1, 的距离为 ．
SS
1 2n
14．（几何证明选讲选做题）如右图所示, 圆 O 上一点 C 在直径 AB 上 的射影为 D , CD 4, BD 8 , 则圆 O 的半径等于 15．(不等式选讲选做题) 若不等式 x 1 x 2 a ． _ A
y
P1
1 1 1 1 1 n ( ) n 1 。 a1 1 a 2 1 an 1 2 2
P2 0 Q2 Q1
4
x
（n N )
*
信宜二中 2009 届高三第三次月考数学试题（理科）答案
一、选择题： A C D B C 二、填空题： 9．
7 ； 2
ACD 15 10． ； 16
1 2 x 上一点 N 到其焦点 F 的距离是 3，则点 N 到直线 y=1 的距离等 2
。 。 输入 p 开始
10．执行右边的程序框图，若 p 4 ，则输出的 S 11．已知向量 a = 2，，， 4 b = 11 ．若向量 b (a + b) ， 则实数 的值是 12．设 a 。
∴ 的分布列为
P
0
1
2
3 17
60 119
38 119
5
………………10 分 ∴ E
3 60 38 136 8 0 1 2 ……………………12 分 17 119 119 119 7
18.解：(1) 由三视图可知，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形， 侧棱 PC 底面 ABCD ，且 PC 2 . …………2 分
C_
D _
O _
B _
无实数解，则 a 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 16．（本小题满分 12 分）函数 f ( x) A sin( x ) B ( A 0, 0,| | 最高点的坐标为 (
（Ⅱ）设 Q 是椭圆 C 上的一点，过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F ( 1, 0) ，交 y 轴于点 M ，若 MQ 2 QF ，求直线 l 的斜率．
21．（本小题满分 14 分）如图，曲线段 C 是函数 y x ( x 0) 的图象， C 过点 P 1
4 3
(1,1) 。
过P 1 作曲线 C 的切线交 x 轴于 Q1 点，过 Q1 作垂直于 x 轴的直线交曲线 C 于 P2 点，过 P2 的切线交 x 轴于 Q2 点 , , 如此反复，得到一系列点 Q1 , Q2 , , Qn ， 设 Qn ( a n ,0) 。 （1） 求 a1 ； （2） 求 a n 的表达式； （3） 证明：
P
E
…………9 分
2 ， AE AE 3 ，
A
D F
…………12 分
C
B
在 Rt△ ADE 中， DF 又 BD
AD DE 1 2 BF ， AE 3
2 ，在△ DFB 中，由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 DF BF BD 1 3 …………13 分 cos DFB ， 2 2 DF BF 2 2 3 ∴ DGB 120 ，即二面角 D AE B 的大小为 120 . …………14 分 解法 2：如图，以点 C 为原点， CD，， CB CP 所在的直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角 坐标系. 则 D (1, 0, 0)，，， A(1,1, 0) B(0,1, 0) E (0, 0,1) ，从而 DA (0,1, 0) ， DE (1, 0,1) ， BA (1, 0, 0) ， BE (0, 1,1) . …………10 分 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 n1 ( x1 , y1 , z1 ) ， n2 ( x2 , y2 , z2 ) ， D x n DA 0 y 0 1 由 ，取 n1 (1, 0,1) . …………11 分 1 x z 0 n DE 0 1 1 1 A n2 BA 0 x2 0 由 ，取 n2 (0, 1, 1) . …………12 分 y z 0 n BE 0 2 2 2 n1 n2 1 1 设二面角 D AE B 的平面角为 ，则 cos 2 2 2 n1 n2
从而 f ( x) 在 x
) 6 6 即 6 x 3 y 3 3 3 0 …………………………………………………………12 分
17．解：（1）从 50 名教师随机选出 2 名的方法数为 C 50 1225.
2
处的切线方程为 y ( 3 1) 2( x