广东省信宜市第二中学2009届高三第三次月考试题(理科数学)
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。
2009广东高考数学试卷及答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.巳知全集U R =，集合{212}M x x =-£-£和{21,1,2,}N x x k k ==-=×××的关系的韦恩（V e n n ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有2.设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =3.若函数()y f x =是函数xy a =（0a >且1a ¹）的反函数，其图像经过点(,)a a ，则()f x =4.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=×××，且25252(3)nn a a n -×=³，则当1n ³时，2123221l o g l o g l o g n a a a-++×××=5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；6.一质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成60°角，且1F ，2F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为7.2010年广州亚运会组委会要从小张、年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有.A 36种 .B 12种 .C 18种 .D 48种28.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为n 甲和n 乙（如图2所示）．那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是.A 在1t 时刻，甲车在乙车前面.B 1t 时刻后，甲车在乙车后面.C 在0t 时刻，两车的位置相同二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
高三第三次月考数学试卷及答案
n高三第三次月考数学试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：球的表面积、体积公式24S πR =，343V πR =，其中R 为球的半径． 第Ⅰ卷 (选择题60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复数（i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则实数b 的值为( )A. 一1B. 一2 C. 一3D. 1A.{x|x ＜-1或x ＞2}B. {x|x ≤-1或x ＞2}C.{x|x ＜-1或x ≥ 2}D. {x|x ≤-1或x ≥2}3A ．等腰梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形4．函数2sin sin cos y x x x =+的最小正周期T= （ ）5．右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ） A ．21 B ．32C ．43 D ．546．设a ，b 是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：①若,,//;a b a b αα⊥⊥则 ②若//,,;a a ααββ⊥⊥则 ③若,,//;a a βαβα⊥⊥则 ④若,,,.a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则 其中正确命题的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．37. 函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. ]2,(-∞B. )2,(-∞C. ),2(+∞D. ),0(+∞8. 已知1010,310x x y x y x y -≤⎧⎪-+≥-⎨⎪+-≥⎩则2的取值范围是（ ）A. ]2,3[-B. ]2,3[--C. ]3,4[--D. ]2,4[- 9. 设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是 （ ）A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后，有下列四个结论：(1)BD AC ⊥ (2)ACD ∆是等边三角形 (3)AB 与平面BCD 的夹角成60° (4) AB 与CD 所成的角为60° 其中正确的命题有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知双曲线22221x y ab-=，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，O是坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()sin()f x x ωφ=+)2||,0,,(πφω<>∈R x 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式是14．设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过1F 的直线与E 相交于B A ,两点，且|||,||,|22BF AB AF 成等差数列，则||AB 的长为 ． 15．已知球O 的表面积为，点A ，B ，C 为球面上三点，若，且AB=2,则球心O到平面ABC 的距离等于__________________．16．在ABC ∆中，内角C B A ，，的对边分别是a b c ，，，若22a b -=，sin C B =，则A =三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：15 25 20 10 30 次数a（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率. 18. （本小题满分12分）已知函数132)(23+-=ax x x f ．（1）若1=x 为函数)(x f 的一个极值点，试确定实数a 的值，并求此时函数)(x f 的极值； （2）求函数)(x f 的单调区间．19.（本题满分12分）如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形.（Ⅰ）求证：DM //平面APC ； （Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若BC =4，AB =20，求三棱锥D —BCM 的体积.20.（本小题满分12分）{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=．（Ⅰ）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}nna b 的前n 项和n S 。
广东省信宜市第二中学2019届高三3月月考数学(文科)(含答案)
信宜市第二中学2019届高三3月月考试题数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1．若集合{}|2M x N x =∈≤，{}2|0N x x x =-≤，则M N =（ ）． A ．[0,2] B ． [0,1] C ．{0,1} D ．{1} 2．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）．A ．1i +B ． 1i -C ．2D 2（3）若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ． 2 C ． 7 D ． 8（4）已知双曲线C：222210,0)x y a b a b-=>>(的一条渐近线方程为13y x =-，则双曲线C 的离心率等于（ ） A B ．223C ．10D ．103（5）已知函数4()2x xaf x +=是奇函数，若(21)(2)0f m f m -+-≥，则m 的取值范围是（ ） A ．1m > B ．1m < C ．1m ≥ D ．1m ≤（6，10cos 10α=，则1sin 2cos 2αα-=（ ） A B ．12 C ．13- ．12- （7中，2BD DC =，点E 是线段AD 的中点，则AC =（ ）A 3142AD BE+ B ．34AD BE +C 51AD BE + D ．54AD BE +（8）已知函数2ln ||()x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）过点(2,0)P -，当直线与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围为（ ）（9）已知直线A BC D E lABCD（10）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，则该空间几何体的表面积为（ ）A. 192B. 186C. 180D. 198（11）直线l 过抛物线24y x =的焦点F 且与抛物线交于A ,B 两点，若线段,AF BF 的长分别为,m n ，则4m n +的最小值是（ ）A.10 B ．9 C ．8 D ．7（12）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[2,0]x ∈-时，(2,6)-内关于x 的方程()log (2)0a fx x -+=(0a >且1)a ≠有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是A B ．(1,4) C ．(1,8) D ．(8,)+∞二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（13)设向量()()()1,2,,3,a b m a ma b ==-⊥+若，则实数m 的值为 . （14）函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程是 .(其中e 为自然对数的底数) （15）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 3cos C a cB b-=，则cos B =____________.（16）如图，将边长为2的正ABC∆沿着高AD 折起，使60BDC ∠=︒，若折起后A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______平方单位.三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2009广东省数学高考题目及答案
图1图22009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分；考试用时120分钟。
参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的.)1.已知全集U R =,集合{|212},{|21,1,2,}M x x N x x k k =-≤-≤==-= 的关系的韦恩(Venn )图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有A . 3个B . 2个C .1个D .无穷多个 2.设z 是复数,()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ,则对虚数单位i ,()a i =A . 8B .6C .4D . 23.若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =A .2log xB . 12log x C .12xD . 2x 4.巳知等比数列{}n a 满足0,1,2n a n >= ,且25252(3)n n a a n -⋅=≥,则当1n ≥时,2123221log log log n a a a -+++= A . (21)n n - B . 2(1)n + C . 2n D . 2(1)n -5. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ②和④ 6.一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位:牛顿）的作用而处于平衡状态.已知12,F F 成060角,且12,F F 的大小分别为２和４,则3F 的大小为A . 6 B . 2 C. D. 7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A . 36种 B . 12种 C . 18种 D . 48种8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，S 2下列判断中一定正确的是 A .在1t 时刻，甲车在乙车前面 B .1t 时刻后，甲车在乙车后面 C .在0t 时刻，两车的位置相同 D .0t 时刻后，乙车在甲车前面二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分,本大题分必做题和选做题两部分. (一)必做题:第9、10、11、12题为必做题,每道试题考生都必须做答. 9.随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a ，则图3 所示的程序框图输出的s = ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）10.若平面向量,a b 满足||1a b += ,a b + 平行于x 轴,(2,1)b =-,则a =．11. 巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．12.已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =， 则a = ，b = ．(二)选做题:第13、14、15题为选做题,考生只能选做其中的两题,三题全答的,只计算前两题的得分.13.(坐标系与参数方程选做题)若直线112,:2.x t l y kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ． 14.(不等式选讲选做题)不等式112x x +≥+的实数解为 ．15.(几何证明选讲选做题)如图4,点,,A B C 是圆O 上的点,且04,45AB ACB =∠=, 则圆O 的面积等于 ．三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分）已知向量(sin ,2)a θ=- 与(1,cos )b θ= 互相垂直,其中(0,)2πθ∈．（Ⅰ）求sin cos θθ和的值； （Ⅱ）若sin(),0102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值． 17.(本小题满分12分)S 1E1G1. .根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5（Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数； （Ⅲ）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微 污染的概率.(结果用分数表示．已知77578125,2128,==32738123,36573518253651825182591259125++++==⨯） 18.(本小题满分14分)如图６,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２,点Ｅ是正方形11BCC B 的中心,点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点.设点11,E G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （Ⅰ）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为 底面边界的棱锥的体积；（Ⅱ）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （Ⅲ）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值. 19.(本小题满分14分)已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（Ⅰ）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M （Ⅱ）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点,试 求a 的最小值．20.(本小题满分14分)已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （Ⅰ）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Qm 的值； （Ⅱ）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．21.(本小题满分14分)已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（Ⅰ）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（Ⅱ）证明：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<不妨设(0,3t =,令()f t t t =,则()10f t t '=<在(0,3t ∈上恒成立故()f t t t =在(0,3t ∈上单调递减,从而()(0)0f t t t f =<=,<. 综上, 13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<< 成立.2009年 数学答案1.【解析】B .{|13},M x x =-≤≤N 为奇数集,阴影部分表示集合M N 元素的个数,而{1,3}M N = ,故选B .2.【解析】C .因为2341,,1i i i i =-=-=,故()4a i =,故选C .3. 【解析】B .依题意()log a f x x =,且1log 2aa ==,故选B . 4. 【解析】C .22525(2)n n n a a a -==,又0n a >故2n n a =,原式213(21)n n +++-= ,故选C . 5.【解析】D .①反例:当l αβ= ,,,//,//a b a b a l αα⊂⊂时,显然满足条件,但此时不满足两平面平行;②即为面面垂直的判定定理,正确;③中两直线可能异面,故选D .6【解析】D .结合向量的平行四边形法则,易知3F 的大小即平行四边形对角线OD 的长度,根据余弦定理,可得22224224cos12028OD =+-⨯⨯︒=,故OD =从而选D .7.【解析】A .若小张和小赵只有1人被选中,则有11322324C C A =种,若两人均被选中,则有222312A A =种,故符合题意的选派方案共有241236+=种,从而选A .8【解析】A .由图可知:在0t 时刻,甲车在乙车前面,在1t 时刻,甲车在乙车前面;事实上,本题考查的定积分在物理中的应用。
广东省揭阳二中2009年高三毕业班第三周周考数学理科2009.2
广东省揭阳二中2009年高三毕业班第三周周考数学（理科）（考试时间:120分钟 满分：150分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一个答案是正确的）1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，| a －5| }，M ⊆U ，U C M={5，7}，则a 的值为 A ．2或－8B ．－8或－2C ．－2或8D ．2或82、2(1)i i +=（ ）．A ．1i +B ．1i -+C ．2-D ．23、在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为 A ．14 B ．15 C ．16 D ．174、一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组频数和频率分别为36和0.25，则n ＝ A ．9 B ．36 C ．72 D ．1445、4名男生和2名女生排成一排照相，要求2名女生必须相邻，则不同的排列方法为A ．4242A AB ．5252A A C ．55AD ．6622A A6、已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为A ．1925B ．1625C ．1425D ．7257．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 807π+B. 967π+C. 968π+D. 9616π+8、集合P y x P y P x N b N a b a x x P ∈⊕∈∈∈∈+==有时若,,*}.*,,2|{，则运算○+可能是 A ．加法 减法 乘法 B ．加法 乘法C ．加法 减法 除法D ．乘法 除法二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9~ 12题）9、定义运算a c ad bc b d =-，复数z 满足11z ii i=+，则13z i +-＝___________10、下列程序运行的结果是_____________N=9 SUM=0 i=1WHILE i<=NSUM=SUM+i第7题图i=i+2WENDPRINT SUMEND11、对于平面m αβ，和直线 ，试用“⊥和//”构造条件___________使之能推出m ⊥β12．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤--=)20(cos )01(1)(2πx x x xx f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为。
高三数学理科第三次月考试卷课标试题 (2)
卜人入州八九几市潮王学校高三数学理科第三次月考试卷第一卷〔选择题〕一、 选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求的〕1. 设I 为全集，M,N,P 都是它的子集，那么图中阴影局部表示的集合是A 、()M N P ⋃⋃B 、()I M N P ⎡⎤⋂⋂⎣⎦C 、()()I I M N P ⎡⎤⋂⋂⎣⎦D 、()()M N M P ⋂⋃⋂2.集合A={},,a b c 集合B={}1,2，那么以A 为定义域，B 为值域的函数个数为A 、8B 、7C 、6D 、2,αβ终边关于y 轴对称，那么以下等式成立的是A 、sin sin αβ=B 、cos cos αβ=C 、tan tan αβ=D 、cot cot αβ=4.ω是实数，函数f(x)=2sin ωx 在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，那么 A 、0<ω≤32B 、0<ω≤2 C 、0<ω≤247D 、ω≥2 5.函数y=()1f x -的图象过(1,0)，那么y=f(12x-1)的图象一定过点A 、〔1，2〕B 、〔2，1〕C 、〔0，2〕D 、〔2，0〕 6．等比数列{}n a 中，地任意自然数n,12321n n a a a a +++⋯+=-，那么2222123n a a a a +++⋯+等于A 、()221n -B 、()1213n -C 、41n-D 、()1413n - 7．定义在R 上，最小正周期为5的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，且f(3)=0,那么在区间(0,10)内，方程f(x)=0的解的个数为A 、7B 、5C 、4D 、38．集合M 是函数2lg(820)y x x =-++的单调递减区间，N=0x⎧⎫⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，那么x M N ∈⋃是x M N ∈⋂的A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件9．定义运算a b *为a b*a a b b a b≤⎧=⎨>⎩，例如1＊2=1，那么12x*的取值范围是 A 、〔0，1〕B 、(),1-∞C 、(]0,1D 、[)1,+∞①前两年没能收回本钱；②前5年的平时均年收入最多；③前10年总利润最；④第11年是亏损的；⑤ A 、①②⑤B 、①③⑤C 、①③④D 、②③④二、填空题：〔每一小题一共5小题，每一小题4分，一共20分，把答案填在题中横线上。
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2 2
…………4 分 …………5 分 …………6 分 …………7 分 …………8 分
（1）从这 50 名教师中随机选出 2 名，求 2 人所使用版本相同的概率； （2）若随机选出 2 名使用人教版的教师发言，设使用人教 A 版的教师人数为 ，求随 机变量 的变分布列和数学期望。
18．(本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ABCD 的三视图如下图所示， E 是侧棱 PC 上的动点. (1) 求四棱锥 P ABCD 的体积； (2) 是否不论点 E 在何位置，都有 BD AE ？证明你的结论； (3) 若点 E 为 PC 的中点，求二面角 D AE B 的大小. P
14.5；
11．—3； 15． a 3
12．—160
13． 2 ； 三、解答题： 16．解：（Ⅰ）依题意的
T 7 2 ,所以 T ,于是 2 …………1 分 2 12 12 2 T A B 3 A 2 由 解得 ……………………………………………………………3 分 A B 1 B 1
D．
2 3
2．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中 100 株 树木的底部周长（单位：cm）。根据所得数据画出样本 的频率分布直方图（如右），那么在这 100 株树木中， 底部周长小于 110cm 的株数是 A．30 B．60 C．70 D．80 3．设集合 M { y | y ln x, x 0} ， N {x | y ln x, x 0} ，那 么 “ a M ”是“ a N ”的（ A．既不充分也不必要条件 C．充分而不必要条件 ） B．充要条件 D．必要而不充分条件 )
1 1 2 S正方形ABCD PC 12 2 ， 3 3 3 2 即四棱锥 P ABCD 的体积为 . 3 (2) 不论点 E 在何位置，都有 BD AE . 证明如下：连结 AC ，∵ ABCD 是正方形，∴ BD AC . ∵ PC 底面 ABCD ，且 BD 平面 ABCD ，∴ BD PC . 又∵ AC PC C ，∴ BD 平面 PAC . ∵不论点 E 在何位置，都有 AE 平面 PAC . ∴不论点内过点 D 作 DF AE 于 F ，连结 BF .
) 1 ……………………………………………………6 分
（Ⅱ）（Ⅱ）因为 f ( x) 4 cos(2 x 所以 k f ( ) 4 cos(2
3
) ………………………………………………8 分
2 ) 4 cos 2 ………………………………9 分 6 6 3 3 2 1 3 1 ……………………………10 分 而 f ( ) 2sin(2 ) 1 2sin 6 6 3 3
那么方程 x 3 x 2 2 x 2 0 的一个近似根（精确到 0.1）为（ A．1.2 B．1.3 C．1.4
6. 已知函数 f ( x) ( x a )( x b) （其中 a b ）的图象如下面右图所示，则函数
g ( x) a x b 的图象是
f (x)
A．
B．
C．
D．
7．等差数列 {a n } 中， S n 是其前 n 项和， a1 2009 ,
S 2007 S 2005 2 ,则 S 2009 的值为 2007 2005
1
A. 0
B. 2009
C. 2009
D. 2009 2009
8. △ ABC 的三边长分别为 3 、 4 、 5 ， P 为平面 ABC 外一点，它到其三边的距离都等于 2， 且 P 在平面 ABC 上的射影 O 位于△ ABC 的内部，则 PO 等于 A . 1 B.
20． （本小题满分 14 分）设椭圆 C :
x2 y 2 1(a 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ， A 是 a2 2
1 椭圆 C 上的一点，且 AF2 F1 F2 0 ，坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 ． 3 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
把(
12
,3) 代入 f ( x) 2sin(2 x ) 1 ,可得 sin(
所以 2k
3
,因为 | |
综上所述， f ( x) 2 sin( 2 x
2 3
,所以
3
6
) 1 ,所以
6
2k
2
,
…………………………………………5 分
信宜二中 2009 届高三第三次月考数学试题（理科）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1． 已知 a R ，若 (1 ai )(3 2i ) 为纯虚数，则 a 的值为 A．
3 2
B．
3 2
C．
2 3
2
) 的图像上一个
12
,3) ，与之相邻的一个最低点的坐标为 (
7 , 1) . 12
（Ⅰ）求 f ( x) 的表达式； （Ⅱ）求 f ( x) 在 x
6
处的切线方程.
2
17．（本小题满分 12 分）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请 50 名一线 教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示： 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10
选出 2 人使用版本相同的方法数为 C 20 C15 C 5 C10 350.
2 2 2 2
故 2 人使用版本相同的概率为： P
350 2 . …………………………5 分 1225 7
2 1 C15 C2 C2 3 60 38 20 C15 （2）∵ P ( 0) 2 ， P ( 1) , P ( 2) 20 2 2 119 C 35 17 C 35 C 35 119
2
C.
3 2
D.
3
第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题：本大题共 7 小题，其中（9）～（12）是必做题，（13）～（15）是选做 题，要求考生只从（13）、（14）、（15）题中任选 2 题作答，三题都作答的只计算 前两题的得分。每小题 5 分，满分 30 分. 9．抛物线 y 于
E
2 2 1
D
C
1 1 侧侧侧 侧侧侧 1 侧侧侧
A
B
3
19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) 自变量取值区间 A ，若其值域区间也为 A ，则称 区间 A 为 f ( x) 的保值区间. （Ⅰ）求函数 f ( x) x 形如 [ n, )( n R ) 的保值区间；
2
（Ⅱ） g ( x) x ln( x m) 的保值区间是 [2, ) ，求 m 的取值范围.
x 1, 4．已知变量 x, y 满足 y 2, 则 x y 的最小值是( x y 0,
A．1 B．2 C．3 D．4 3 2 5．若函数 f ( x) x x 2 x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据 如下： f (1) = －2 f (1.375) = －0.260 F (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162 f (1.25) = －0.984 f (1.40625) = －0.054 ）. D．1.5
n 0, S 0
0
(sin x cos x)dx, 则二项式(a x
。
1 x
6
) 展开式中
n p
是
否
的常数项是
n n 1
输出 S 结束
13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标内曲线 2sin 的中心 O 与 点 D 1, 的距离为 ．
SS
1 2n
14．（几何证明选讲选做题）如右图所示, 圆 O 上一点 C 在直径 AB 上 的射影为 D , CD 4, BD 8 , 则圆 O 的半径等于 15．(不等式选讲选做题) 若不等式 x 1 x 2 a ． _ A
y
P1
1 1 1 1 1 n ( ) n 1 。 a1 1 a 2 1 an 1 2 2
P2 0 Q2 Q1
4
x
（n N )
*
信宜二中 2009 届高三第三次月考数学试题（理科）答案
一、选择题： A C D B C 二、填空题： 9．
7 ； 2
ACD 15 10． ； 16
1 2 x 上一点 N 到其焦点 F 的距离是 3，则点 N 到直线 y=1 的距离等 2
。 。 输入 p 开始
10．执行右边的程序框图，若 p 4 ，则输出的 S 11．已知向量 a = 2，，， 4 b = 11 ．若向量 b (a + b) ， 则实数 的值是 12．设 a 。
∴ 的分布列为
P
0
1
2
3 17
60 119
38 119
5
………………10 分 ∴ E
3 60 38 136 8 0 1 2 ……………………12 分 17 119 119 119 7
18.解：(1) 由三视图可知，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形， 侧棱 PC 底面 ABCD ，且 PC 2 . …………2 分