浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程

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2018年高考数学总复习教师用书第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程 Word版含答案

2018年高考数学总复习教师用书第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程 Word版含答案

第讲圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.知识梳理.圆的定义和圆的方程平面上的一点(,)与圆:(-)+(-)=之间存在着下列关系:()>⇔在圆外,即(-)+(-)>⇔在圆外;()=⇔在圆上,即(-)+(-)=⇔在圆上;()<⇔在圆内,即(-)+(-)<⇔在圆内.诊断自测.判断正误(在括号内打“√”或“×”)()确定圆的几何要素是圆心与半径.( )()方程+=表示半径为的圆.( )()方程++-+=表示圆.( )()方程+++++=表示圆的充要条件是=≠,=,+->.( )解析()当=时,+=表示点(,);当<时,表示半径为的圆.()当()+(-)-×>,即<或>时才表示圆.答案()√()×()×()√.(·北京卷)圆心为(,)且过原点的圆的方程是( ).(+)+(+)=.(-)+(-)=.(-)+(-)=.(+)+(+)=解析由题意得圆的半径为,故该圆的方程为(-)+(-)=,故选.答案.若点(,)在圆(-)+(+)=的内部,则实数的取值范围是( ).(-,).(,)=±.(-∞,-)∪(,+∞)解析因为点(,)在圆的内部,所以(-)+(+)<,所以-<<.答案.(·浙江卷)已知∈,方程+(+)+++=表示圆,则圆心坐标是,半径是.解析由已知方程表示圆,则=+,解得=或=-.当=时,方程不满足表示圆的条件,故舍去.当=-时,原方程为+++-=,化为标准方程为(+)+(+)=,表示以(-,-)为圆心,半径为的圆.答案(-,-).(必修改编)圆的圆心在轴上,并且过点(-,)和(,),则圆的方程为.解析设圆心坐标为(,),∵点(-,)和(,)在圆上,∴=,即=,解得=,所以圆心为(,),半径==,∴圆的方程为(-)+=.答案(-)+=.(·湖州调研)若圆与圆++=关于直线+-=对称,则圆心的坐标为;圆的一般方程是.解析已知圆++=的圆心坐标是(-,)、半径是,设圆的圆心(,),则有由此解得=,=,即圆心的坐标为(,),因此圆的方程是(-)+(-)=,即+--+=.答案(,) +--+=考点一圆的方程【例】()(·金华调研)过点(,)的圆与直线--=相切于点(,),则圆的方程为.()已知圆经过(-,),(,-)两点,且在轴上截得的弦长等于,则圆的方程为.解析()法一由已知=,所以的中垂线方程为=.①过点且垂直于直线--=的直线方程为-=-(-),即+-=,②联立①②,解得所以圆心坐标为(,),半径==,所以圆的方程为(-)+=.法二设圆的方程为(-)+(-)=(>),∵点(,),(,)在圆上,故。

18版高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程理

18版高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程理

第九章解析几何 9.3 圆的方程理圆的定义与方程【知识拓展】1.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组;(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)(1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2;(2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2;(3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √)(2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.( √)(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.( √)(4)方程x 2+2ax +y 2=0一定表示圆.( × )(5)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外,则x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F >0.( √ )1.(教材改编)将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是( ) A .x +y -1=0 B .x +y +3=0 C .x -y +1=0 D .x -y +3=0答案 C解析 圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入检验选项C 满足.2.已知圆C :(x -3)2+(y -4)2=1和两点A (-m,0),B (m ,0)(m >0),若圆C 上存在点P ,使得∠APB =90°,则m 的最大值为( ) A .7 B .6 C .5 D .4 答案 B解析 根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心C 的坐标为(3,4),半径r =1,且|AB |=2m . 因为∠APB =90°,连接OP , 易知|OP |=12|AB |=m .要求m 的最大值,即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离. 因为|OC |=32+42=5, 所以|OP |max =|OC |+r =6, 即m 的最大值为6.3.(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A .(x -1)2+(y -1)2=1 B .(x +1)2+(y +1)2=1 C .(x +1)2+(y +1)2=2 D .(x -1)2+(y -1)2=2 答案 D解析 圆的半径r =12+12=2,∴圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2.4.(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上,并且过点A (-1,1)和B (1,3),则圆C 的方程为______________. 答案 (x -2)2+y 2=10 解析 设圆心坐标为C (a,0), ∵点A (-1,1)和B (1,3)在圆C 上, ∴|CA |=|CB |, 即a +2+1=a -2+9,解得a =2, ∴圆心为C (2,0), 半径|CA |=+2+1=10,∴圆C 的方程为(x -2)2+y 2=10.5.(2016·浙江)已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a +2)y 2+4x +8y +5a =0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________. 答案 (-2,-4) 5解析 由已知方程表示圆,则a 2=a +2, 解得a =2或a =-1.当a =2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去. 当a =-1时,原方程为x 2+y 2+4x +8y -5=0, 化为标准方程为(x +2)2+(y +4)2=25, 表示以(-2,-4)为圆心,半径为5的圆.题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M (0,5)在圆C 上,且圆心到直线2x -y =0的距离为455,则圆C 的方程为________________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.答案 (1)(x -2)2+y 2=9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+y 2=254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,设C (a,0),且a >0, 所以圆心到直线2x -y =0的距离d =2a5=455,解得a =2,所以圆C 的半径r =|CM |=4+5=3, 所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2=9.(2)由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点, (4,0),(0,-2)两点的垂直平分线方程为y +1=-2(x -2),令y =0,解得x =32,圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,半径为52. 思维升华 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ,b )和半径r 有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a ,b ,r 的方程组,从而求出a ,b ,r 的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组,进而求出D 、E 、F 的值.(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称,经过点A (1,0),且被x 轴分成两段弧,弧长之比为1∶2,则圆C 的标准方程为________________. 答案 x 2+(y ±33)2=43解析 ∵圆C 关于y 轴对称,∴可设C (0,b ),设圆C 的半径为r ,则圆C 的标准方程为x 2+(y -b )2=r 2,依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧12+-b2=r 2,|b |=12r ,解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2=43,b =±33,于是圆C 的标准方程为x 2+(y ±33)2=43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ,y )在圆(x -2)2+(y +3)2=1上.求x +y 的最大值和最小值. 解 设t =x +y ,则y =-x +t ,t 可视为直线y =-x +t 在y 轴上的截距,∴x +y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时在y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径, 即|2+--t |2=1,解得t =2-1或t =-2-1.∴x +y 的最大值为2-1,最小值为-2-1.引申探究1.在本例的条件下,求y x的最大值和最小值.解 y x 可视为点(x ,y )与原点连线的斜率,y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y =kx ,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即|2k +3|k 2+1=1,解得k =-2+233或k =-2-233.∴y x 的最大值为-2+233,最小值为-2-233.2.在本例的条件下,求x 2+y 2+2x -4y +5的最大值和最小值. 解x 2+y 2+2x -4y +5=x +2+y -2,求它的最值可视为求点(x ,y )到定点(-1, 2)的距离的最值,可转化为圆心(2,-3)到定点(-1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(-1,2)的距离为34,∴x 2+y 2+2x -4y +5的最大值为34+1,最小值为34-1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ,y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u =y -bx -a型的最值问题,可转化为过点(a ,b )和点(x ,y )的直线的斜率的最值问题;②形如t =ax +by 型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如(x -a )2+(y -b )2型的最值问题,可转化为动点到定点(a ,b )的距离平方的最值问题.已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.求:(1)y x的最大值和最小值; (2)y -x 的最小值;(3)x 2+y 2的最大值和最小值.解 (1)如图,方程x 2+y 2-4x +1=0表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆.设yx=k,即y=kx,则圆心(2,0)到直线y=kx的距离为半径,即直线与圆相切时,斜率取得最大值、最小值.由|2k-0|k2+1=3,解得k2=3,∴k max=3,k min=- 3.(2)设y-x=b,则y=x+b,当且仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,在y轴上的截距b取最小值,由点到直线的距离公式,得|2-0+b|2=3,即b=-2±6,故(y-x)min=-2- 6.(3)x2+y2是圆上的点与原点的距离的平方,故连接OC,与圆交于B点,并延长交圆于C′,则(x2+y2)max=|OC′|2=(2+3)2=7+43,(x2+y2)min=|OB|2=(2-3)2=7-4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2017·潍坊调研)已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.(2016·天津模拟)设定点M (-3,4),动点N 在圆x 2+y 2=4上运动,以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ,求点P 的轨迹.解 如图所示,设P (x ,y ),N (x 0,y 0),则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2,y2,线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0-32,y 0+42.由于平行四边形的对角线互相平分,故x 2=x 0-32,y 2=y 0+42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0=x +3,y 0=y -4.又N (x +3,y -4)在圆上,故(x +3)2+(y -4)2=4. 因此所求轨迹为圆:(x +3)2+(y -4)2=4,但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫-95,125和⎝ ⎛⎭⎪⎫-215,285(点P 在直线OM 上的情况).21.利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中,曲线y =x 2-6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上,求圆C 的方程.思想方法指导 本题可采用两种方法解答,即代数法和几何法.(1)一般解法(代数法):可以求出曲线y =x 2-6x +1与坐标轴的三个交点,设圆的方程为一般式,代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法):利用圆的性质,知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上,从而设圆的方程为标准式,简化计算,显然几何法比代数法的计算量小,因此平时训练多采用几何法解题. 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y =x 2-6x +1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+22,0),(3-22,0),设圆的方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0),则有⎩⎨⎧1+E +F =0,+222+D+22+F =0,-222+D-22+F =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-6,E =-2,F =1,故圆的方程是x 2+y 2-6x -2y +1=0.巧妙解法 (几何法)曲线y =x 2-6x +1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+22,0),(3-22,0).故可设C 的圆心为(3,t ),则有32+(t -1)2=(22)2+t 2,解得t =1. 则圆C 的半径为32+t -2=3,所以圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=9.1.(2016·南昌检测)圆心在y 轴上,且过点(3,1)的圆与x 轴相切,则该圆的方程是( ) A .x 2+y 2+10y =0 B .x 2+y 2-10y =0 C .x 2+y 2+10x =0 D .x 2+y 2-10x =0答案 B解析 根据题意,设圆心坐标为(0,r ),半径为r ,则32+(r -1)2=r 2, 解得r =5,可得圆的方程为x 2+y 2-10y =0. 2.(2016·昆明一模)方程|x |-1=1-y -2所表示的曲线是( )A .一个圆B .两个圆C .半个圆D .两个半圆答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x |-2+y -2=1,|x |-1≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧x -2+y -2=1,x ≥1,或⎩⎪⎨⎪⎧x +2+y -2=1,x ≤-1.故原方程表示两个半圆.3.若直线ax +2by -2=0(a >0,b >0)始终平分圆x 2+y 2-4x -2y -8=0的周长,则1a +2b的最小值为( )A .1B .5C .4 2D .3+2 2 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax +2by -2=0上, ∴2a +2b -2=0,整理得a +b =1,∴1a +2b =(1a +2b )(a +b )=3+b a +2ab≥3+2b a ×2ab=3+22, 当且仅当b a=2ab,即b =2-2,a =2-1时,等号成立.∴1a +2b的最小值为3+2 2.4.点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y +1)2=4 C .(x +4)2+(y -2)2=4 D .(x +2)2+(y -1)2=1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0,y 0),x 20+y 20=4,连线中点坐标为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧2x =x 0+42y =y 0-2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -4,y 0=2y +2,代入x 20+y 20=4中得(x -2)2+(y +1)2=1.5.(2016·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上,且与x 轴相切,被双曲线x 2-y 23=1的渐近线截得的弦长为3,则圆C 的方程为( ) A .x 2+(y -1)2=1 B .x 2+(y -3)2=3 C .x 2+(y +1)2=1 D .x 2+(y +3)2=3答案 A解析 依题意得,题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3,倾斜角为60°,结合图形(图略)可知,所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1,因此其方程是x 2+(y -1)2=1. 6.(2016·九江模拟)已知P 是直线l :3x -4y +11=0上的动点,PA ,PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线(A ,B 是切点),C 是圆心,那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B .2 2 C. 3 D .2 3 答案 C解析 圆的方程可化为(x -1)2+(y -1)2=1, 则C (1,1),当|PC |最小时,四边形PACB 的面积最小, |PC |min =|3-4+11|32+42=2,此时|PA |=|PB |= 3.所以四边形PACB 的面积S =2×12×3×1=3,故选C.7.(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0),且与直线y =1相切,则圆C 的方程是__________________. 答案 (x -2)2+(y +32)2=254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0),所以设圆心为(2,m ). 又因为圆与直线y =1相切,所以22+m 2=|1-m |, 解之得m =-32.所以圆C 的方程为(x -2)2+(y +32)2=254.8.过点P (1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y )|x 2+y 2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为______________. 答案 x +y -2=0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时,符合条件.圆心O 与点P 连线的斜率k =1,所求直线方程为y -1=-(x -1),即x +y -2=0.9.已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -2y ≥0,x +3y ≥0所确定的平面区域,则圆x 2+y 2=4在区域D 内的弧长为________. 答案π2解析 作出可行域D 及圆x 2+y 2=4,如图所示,图中阴影部分所在圆心角θ=α-β所对的弧长即为所求. 易知图中两直线的斜率分别为12、-13,得tan α=12,tan β=-13,tan θ=tan(α-β)=12+131-12×13=1,得θ=π4,得弧长l =θ·R =π4×2=π2(R 为圆的半径). 10.(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0,3),C (3,0),动点D 满足|CD →|=1,则|OA →+OB →+OD →|的最大值是________.答案 7+1解析 设D (x ,y ),由CD →=(x -3,y )及|CD →|=1知(x -3)2+y 2=1,即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆,又OA →+OB →+OD →=(-1,0)+(0,3)+(x ,y )=(x-1,y +3),∴|OA →+OB →+OD →|=x -2+y +32. 问题转化为圆(x -3)2+y 2=1上的点与点P (1,-3)间距离的最大值.∵圆心C (3,0)与点P (1,-3)之间的距离为-2++32=7, 故x -2+y +32的最大值为7+1.11.已知圆C 经过P (4,-2),Q (-1,3)两点,且在y 轴上截得的线段的长为43,半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程;(2)若直线l ∥PQ ,且l 与圆C 交于点A ,B ,且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点,求直线l 的方程.解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x +y -2=0.设圆心C (a ,b ),半径为r ,由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y -12=x -32, 即y =x -1,所以b =a -1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43,知r 2=12+a 2,可得(a +1)2+(b -3)2=12+a 2,②由①②得a =1,b =0或a =5,b =4.当a =1,b =0时,r 2=13,满足题意,当a =5,b =4时,r 2=37,不满足题意.故圆C 的方程为(x -1)2+y 2=13.(2)设直线l 的方程为y =-x +m (m ≠2), A (x 1,m -x 1),B (x 2,m -x 2).由题意可知OA ⊥OB ,即OA →·OB →=0,∴x 1x 2+(m -x 1)(m -x 2)=0,化简得2x 1x 2-m (x 1+x 2)+m 2=0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y =-x +m ,x -2+y 2=13得 2x 2-2(m +1)x +m 2-12=0,∴x 1+x 2=m +1,x 1x 2=m 2-122, 代入③,得m 2-12-m ·(1+m )+m 2=0,∴m =4或m =-3,经检验都满足题意,∴直线l 的方程为x +y -4=0或x +y +3=0.12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为22,在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程;(2)若P 点到直线y =x 的距离为22,求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ,y ),圆P 的半径为r .则y 2+2=r 2,x 2+3=r 2.∴y 2+2=x 2+3,即y 2-x 2=1.∴P 点的轨迹方程为y 2-x 2=1.(2)设P 点的坐标为(x 0,y 0), 则|x 0-y 0|2=22,即|x 0-y 0|=1. ∴y 0-x 0=±1,即y 0=x 0±1.①当y 0=x 0+1时,由y 20-x 20=1,得(x 0+1)2-x 20=1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=0,y 0=1,∴r 2=3.∴圆P 的方程为x 2+(y -1)2=3.②当y 0=x 0-1时,由y 20-x 20=1,得(x 0-1)2-x 20=1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=0,y 0=-1,∴r 2=3.∴圆P 的方程为x 2+(y +1)2=3.综上所述,圆P 的方程为x 2+(y ±1)2=3.*13.已知M 为圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0上任意一点,且点Q (-2,3).(1)求|MQ |的最大值和最小值;(2)若M (m ,n ),求n -3m +2的最大值和最小值.解 (1)由圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0, 可得(x -2)2+(y -7)2=8,所以圆心C 的坐标为(2,7),半径r =2 2. 又|QC |=+2+-2=4 2. 所以|MQ |max =42+22=62, |MQ |min =42-22=2 2.(2)可知n -3m +2表示直线MQ 的斜率,设直线MQ 的方程为y -3=k (x +2), 即kx -y +2k +3=0,则n -3m +2=k .由直线MQ 与圆C 有交点, 所以|2k -7+2k +3|1+k 2≤22,可得2-3≤k ≤2+3,所以n -3m +2的最大值为2+3,最小值为2- 3.。

2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习课件:第九章 平面解析几何 9-3

2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习课件:第九章 平面解析几何 9-3

Dx0+Ey0+F>0.(3)√ (4)× (5)× (6)√
A.(2,3) C.(-2,-3)
B.(-2,3) D.(2,-3)
【解析】 圆 x +y +Dx+Ey+F=0
【答案】 D
2
2
D E 的圆心为- 2 ,- 2 ,
∴圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心为(2,-3).
(3)点在圆内:_______________________.
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
(2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=
§9.3 圆的方程 [考纲要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.
1.圆的定义 在平面内,到_____的距离等于_____的点的______叫圆.
2.确定一个圆最基本的要素是_____和______.
3.圆的标准方程
定点 定长 半径 集合
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中______为圆心,__为半径. 圆心
方法二 令 x=0,得 y= 2±1,所以点 B(0, 2+1).又点 C(1, 2),设过点 B 的切线方程为 y-( 2+1)=kx,即 kx-y+ ( 2+1)=0.由题意,圆心 C(1, 2)到直线 kx- y+( 2 +1)=0 |k- 2+ 2+1| 的距离 d= =r= 2,解得 k=1.故切线方程为 x 2 k +1 -y+( 2+1)=0.令 y=0,得切线在 x 轴上的截距为- 2-1.

2018版高考数学浙江,文理通用大一轮复习讲义教师版文

2018版高考数学浙江,文理通用大一轮复习讲义教师版文

1.曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1.“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”的充分不必要条件.2.曲线的交点与方程组的关系:(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方程组成的方程组的实数解; (2)方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条曲线就没有交点. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0,y 0)=0是点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上的充要条件.( √ ) (2)方程x 2+xy =x 的曲线是一个点和一条直线.( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2=y 2.( × ) (4)方程y =x 与x =y 2表示同一曲线.( × ) (5)y =kx 与x =1ky 表示同一直线.( × )1.(教材改编)已知点F (14,0),直线l :x =-14,点B 是l 上的动点,若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ,则点M 的轨迹是( ) A .双曲线 B .椭圆 C .圆 D .抛物线答案 D解析 由已知|MF |=|MB |,根据抛物线的定义知, 点M 的轨迹是以点F 为焦点,直线l 为准线的抛物线.2.(2016·广州模拟)方程(2x +3y -1)(x -3-1)=0表示的曲线是( ) A .两条直线 B .两条射线C .两条线段D .一条直线和一个射线答案 D解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y -1=0,x -3≥0或x -3-1=0,即2x +3y -1=0(x ≥3)或x =4,故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.3.(2016·南昌模拟)已知A (-2,0),B (1,0)两点,动点P 不在x 轴上,且满足∠APO =∠BPO ,其中O 为原点,则P 点的轨迹方程是( ) A .(x +2)2+y 2=4(y ≠0) B .(x +1)2+y 2=1(y ≠0)C .(x -2)2+y 2=4(y ≠0)D .(x -1)2+y 2=1(y ≠0) 答案 C解析 由角的平分线性质定理得|P A |=2|PB |, 设P (x ,y ),则(x +2)2+y 2=2(x -1)2+y 2, 整理得(x -2)2+y 2=4(y ≠0),故选C.4.过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线,垂足为N ,则线段MN 中点的轨迹方程是________________. 答案 x 2a 2+4y 2b2=1解析 设MN 的中点为P (x ,y ), 则点M (x,2y )在椭圆上,∴x 2a 2+(2y )2b 2=1,即x 2a 2+4y 2b2=1(a >b >0).题型一 定义法求轨迹方程例1 已知两个定圆O 1和O 2,它们的半径分别是1和2,且|O 1O 2|=4.动圆M 与圆O 1内切,又与圆O 2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心M 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线. 解 如图所示,以O 1O 2的中点O 为原点,O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系. 由|O 1O 2|=4,得O 1(-2,0),O 2(2,0).设动圆M 的半径为r ,则由动圆M 与圆O 1内切,有|MO 1|=r -1;由动圆M 与圆O 2外切,有|MO 2|=r +2. ∴|MO 2|-|MO 1|=3<4=|O 1O 2|.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点,实轴长为3的双曲线的左支.∴a =32,c =2,∴b 2=c 2-a 2=74.∴点M 的轨迹方程为4x 29-4y 27=1 (x ≤-32).思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式,由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线,再设出标准方程,用待定系数法求解.已知△ABC 的顶点A (-5,0),B (5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线x =3上,则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29-y 216=1 B.x 216-y 29=1 C.x 29-y 216=1 (x >3) D.x 216-y 29=1 (x >4) 答案 C解析 如图,|AD |=|AE |=8, |BF |=|BE |=2,|CD |=|CF |,所以|CA |-|CB |=8-2=6<10=|AB |.根据双曲线定义,所求轨迹是以A ,B 为焦点,实轴长为6的双曲线的右支(y ≠0),方程为x 29-y 216=1 (x >3). 题型二 直接法求轨迹方程例2 (2016·广州模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点P (x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.解 (1)依题意得,c =5,e =c a =53,因此a =3,b 2=a 2-c 2=4, 故椭圆C 的标准方程是x 29+y 24=1.(2)若两切线的斜率均存在,设过点P (x 0,y 0)的切线方程是y =k (x -x 0)+y 0,则由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -x 0)+y 0,x 29+y 24=1,得x 29+[k (x -x 0)+y 0]24=1, 即(9k 2+4)x 2+18k (y 0-kx 0)x +9(y 0-kx 0)2-4]=0, Δ=18k (y 0-kx 0)]2-36(9k 2+4)(y 0-kx 0)2-4]=0,整理得(x 20-9)k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0.又所引的两条切线相互垂直, 设两切线的斜率分别为k 1,k 2, 于是有k 1k 2=-1,即y 20-4x 20-9=-1,即x 20+y 20=13(x 0≠±3). 若两切线中有一条斜率不存在,则易得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=3,y 0=2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=-3,y 0=2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0=3,y 0=-2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-3,y 0=-2, 经检验知均满足x 20+y 20=13.因此,动点P (x 0,y 0)的轨迹方程是x 2+y 2=13.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.在平面直角坐标系xOy 中,点P (a ,b )为动点,F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左,右焦点.已知△F 1PF 2为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率e ;(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ,B 两点,M 是直线PF 2上的点,满足AM →·BM →=-2,求点M 的轨迹方程.解 (1)设F 1(-c,0),F 2(c,0)(c >0).由题意,可得|PF 2|=|F 1F 2|,即(a -c )2+b 2=2c , 整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2+ca -1=0, 得c a =-1(舍去)或c a =12.所以e =12. (2)由(1)知a =2c ,b =3c ,可得椭圆方程为3x 2+4y 2=12c 2,直线PF 2的方程为y =3(x -c ).A ,B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2+4y 2=12c 2,y =3(x -c ).消去y 并整理,得5x 2-8cx =0. 解得x 1=0,x 2=85c ,得方程组的解⎩⎨⎧x 1=0,y 1=-3c ,⎩⎨⎧x 2=85c ,y 2=335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ,335c ,B (0,-3c ).设点M 的坐标为(x ,y ),则AM →=⎝⎛⎭⎫x -85c ,y -335c ,BM →=(x ,y +3c ).由y =3(x -c ),得c =x -33y . 于是AM →=⎝⎛⎭⎫8315y -35x ,85y -335x ,BM →=(x ,3x ),由AM →·BM →=-2, 即⎝⎛⎭⎫8315y -35x ·x +⎝⎛⎭⎫85y -335x ·3x =-2. 化简得18x 2-163xy -15=0. 将y =18x 2-15163x 代入c =x -33y ,得c =10x 2+516x >0.所以x >0.因此,点M 的轨迹方程是18x 2-163xy -15=0(x >0). 题型三 相关点法求轨迹方程例3 (2016·大连模拟)如图所示,抛物线C 1:x 2=4y ,C 2:x 2=-2py (p >0).点M (x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A ,B (M 为原点O 时,A ,B 重合于O ).当x 0=1-2时,切线MA 的斜率为-12.(1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ,B 重合于O 时,中点为O ). 解 (1)因为抛物线C 1:x 2=4y 上任意一点(x ,y )的切线斜率为y ′=x2,且切线MA 的斜率为-12,所以点A 的坐标为(-1,14),故切线MA 的方程为y =-12(x +1)+14.因为点M (1-2,y 0)在切线MA 及抛物线C 2上, 所以y 0=-12×(2-2)+14=-3-224,① y 0=-(1-2)22p =-3-222p .②由①②得p =2.(2)设N (x ,y ),A (x 1,x 214),B (x 2,x 224),x 1≠x 2.由N 为线段AB 的中点,知 x =x 1+x 22,③ y =x 21+x 228.④所以切线MA ,MB 的方程分别为 y =x 12(x -x 1)+x 214,⑤ y =x 22(x -x 2)+x 224.⑥由⑤⑥得MA ,MB 的交点M (x 0,y 0)的坐标为 x 0=x 1+x 22,y 0=x 1x 24.因为点M (x 0,y 0)在C 2上,即x 20=-4y 0,所以x 1x 2=-x 21+x 226.⑦由③④⑦得x 2=43y ,x ≠0.当x 1=x 2时,A ,B 重合于原点O , AB 的中点N 为点O ,坐标满足x 2=43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2=43y .思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点:设被动点坐标为(x ,y ),主动点坐标为(x 1,y 1);(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1=f (x ,y ),y 1=g (x ,y );(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.设直线x -y =4a 与抛物线y 2=4ax 交于两点A ,B (a 为定值),C 为抛物线上任意一点,求△ABC 的重心的轨迹方程. 解 设△ABC 的重心为G (x ,y ),点C 的坐标为(x 0,y 0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -y =4a ,y 2=4ax ,消去y 并整理得 x 2-12ax +16a 2=0. ∴x 1+x 2=12a ,y 1+y 2=(x 1-4a )+(x 2-4a )=(x 1+x 2)-8a =4a . ∵G (x ,y )为△ABC 的重心,∴⎩⎨⎧x =x 0+x 1+x 23=x 0+12a 3,y =y 0+y 1+y 23=y 0+4a3,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0=3x -12a ,y 0=3y -4a .又点C (x 0,y 0)在抛物线上,∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得 (3y -4a )2=4a (3x -12a ), 即(y -4a 3)2=4a3(x -4a ).又点C 与A ,B 不重合,∴x 0≠(6±25)a , ∴△ABC 的重心的轨迹方程为 (y -4a 3)2=4a 3(x -4a )(x ≠(6±253)a ).4.分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (15分)已知抛物线y 2=2px 经过点M (2,-22),椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程;(2)若P 为椭圆上一个动点,Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点,|OP ||OQ |=λ(λ≠0),试求Q 的轨迹.思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时,关键是确定分类标准,一般情况下,根据x 2,y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论. (2)等价变换是解题的关键:即必须分三种情况讨论轨迹方程. (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题. 规范解答解 (1)因为抛物线y 2=2px 经过点M (2,-22), 所以(-22)2=4p ,解得p =2. 所以抛物线的方程为y 2=4x ,2分]其焦点为F (1,0),即椭圆的右焦点为F (1,0),得c =1. 又椭圆的离心率为12,所以a =2,可得b 2=4-1=3,故椭圆的方程为x 24+y 23=1. 5分](2)设Q (x ,y ),其中x ∈-2,2], 设P (x ,y 0),因为P 为椭圆上一点,所以x 24+y 23=1,解得y 20=3-34x 2. 7分]由|OP ||OQ |=λ可得|OP |2|OQ |2=λ2, 故x 2+3-34x 2x 2+y2=λ2,得(λ2-14)x 2+λ2y 2=3,x ∈-2,2].9分]当λ2=14,即λ=12时,得y 2=12,点Q 的轨迹方程为y =±23,x ∈-2,2], 此轨迹是两条平行于x 轴的线段; 当λ2<14,即0<λ<12时,得到x 23λ2-14+y 23λ2=1,此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈-2,2]的部分; 12分]当λ2>14,即λ>12时,得到x 23λ2-14+y 23λ2=1.此轨迹表示实轴在x 轴上的椭圆满足x ∈-2,2]的部分. 15分]1.(2016·绍兴质检)设定点M 1(0,-3),M 2(0,3),动点P 满足条件|PM 1|+|PM 2|=a +9a (其中a是正常数),则点P 的轨迹是( ) A .椭圆B .线段C .椭圆或线段D .不存在答案 C解析 ∵a 是正常数,∴a +9a≥29=6.当|PM 1|+|PM 2|=6时,点P 的轨迹是线段M 1M 2; 当a +9a >6时,点P 的轨迹是椭圆,故选C.2.若曲线C 上存在点M ,使M 到平面内两点A (-5,0),B (5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C 为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( ) A .x +y =5 B .x 2+y 2=9 C.x 225+y 29=1 D .x 2=16y答案 B解析 ∵M 到平面内两点A (-5,0),B (5,0)距离之差的绝对值为8,∴M 的轨迹是以A (-5,0),B (5,0)为焦点的双曲线,方程为x 216-y 29=1.A 项,直线x +y =5过点(5,0),故直线与M 的轨迹有交点,满足题意;B 项,x 2+y 2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M 的轨迹没有交点,不满足题意;C 项,x 225+y 29=1的右顶点为(5,0),故椭圆x 225+y 29=1与M 的轨迹有交点,满足题意;D 项,方程代入x 216-y 29=1,可得y -y 29=1,即y 2-9y +9=0,∴Δ>0,满足题意.3.(2016·银川模拟)已知点P 是直线2x -y +3=0上的一个动点,定点M (-1,2),Q 是线段PM 延长线上的一点,且|PM |=|MQ |,则Q 点的轨迹方程是( ) A .2x +y +1=0 B .2x -y -5=0 C .2x -y -1=0 D .2x -y +5=0答案 D解析 由题意知,M 为PQ 中点, 设Q (x ,y ),则P 为(-2-x,4-y ), 代入2x -y +3=0,得2x -y +5=0.4.(2016·太原模拟)已知圆锥曲线mx 2+4y 2=4m 的离心率e 为方程2x 2-5x +2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为( ) A .4B .3C .2D .1解析 ∵e 是方程2x 2-5x +2=0的根, ∴e =2或e =12.mx 2+4y 2=4m 可化为x 24+y 2m=1,当它表示焦点在x 轴上的椭圆时, 有4-m 2=12,∴m =3; 当它表示焦点在y 轴上的椭圆时, 有m -4m=12,∴m =163; 当它表示焦点在x 轴上的双曲线时, 可化为x 24-y 2-m =1,有4-m2=2,∴m =-12. ∴满足条件的圆锥曲线有3个.5.已知点A (1,0),直线l :y =2x -4,点R 是直线l 上的一点,若RA →=AP →,则点P 的轨迹方程为( ) A .y =-2x B .y =2x C .y =2x -8 D .y =2x +4答案 B解析 设P (x ,y ),R (x 1,y 1),由RA →=AP →知,点A 是线段RP 的中点, ∴⎩⎨⎧x +x12=1,y +y12=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 1=2-x ,y 1=-y . ∵点R (x 1,y 1)在直线y =2x -4上,∴y 1=2x 1-4,∴-y =2(2-x )-4,即y =2x .6.平面直角坐标系中,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OC →=λ1OA →+λ2OB →(O 为原点),其中λ1,λ2∈R ,且λ1+λ2=1,则点C 的轨迹是( ) A .直线B .椭圆C .圆D .双曲线解析 设C (x ,y ),则OC →=(x ,y ),OA →=(3,1),OB →=(-1,3),∵OC →=λ1OA →+λ2OB →,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =3λ1-λ2,y =λ1+3λ2,又λ1+λ2=1,∴x +2y -5=0,表示一条直线.7.曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论: ①曲线C 过坐标原点; ②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上,则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中,所有正确结论的序号是________. 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离的积是1,且a >1,所以曲线C 不过原点,即①错误;因为F 1(-1,0),F 2(1,0)关于原点对称,所以|PF 1||PF 2|=a 2对应的轨迹关于原点对称,即②正确;因为12F PF S =12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|=12a 2,即△F 1PF 2的面积不大于12a 2,所以③正确.8.(2016·西安模拟)已知△ABC 的顶点A ,B 坐标分别为(-4,0),(4,0),C 为动点,且满足sin B +sin A =54sin C ,则C 点的轨迹方程为________________.答案 x 225+y 29=1(x ≠±5)解析 由sin B +sin A =54sin C 可知b +a =54c =10,则|AC |+|BC |=10>8=|AB |,∴满足椭圆定义. 令椭圆方程为x 2a ′2+y 2b ′2=1,则a ′=5,c ′=4,b ′=3,则轨迹方程为 x 225+y 29=1(x ≠±5). 9.如图,P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上的任意一点,F 1,F 2是它的两个焦点,O 为坐标原点,且OQ →=PF 1→+PF 2→,则动点Q 的轨迹方程是________.答案 x 24a 2+y 24b2=1解析 由于OQ →=PF 1→+PF 2→, 又PF 1→+PF 2→=PM →=2PO →=-2OP →, 设Q (x ,y ),则OP →=-12OQ →=(-x 2,-y 2),即P 点坐标为(-x 2,-y2),又P 在椭圆上,则有(-x 2)2a 2+(-y2)2b 2=1,即x 24a 2+y 24b2=1.10.已知圆的方程为x 2+y 2=4,若抛物线过点A (-1,0),B (1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是________________. 答案 x 24+y 23=1(y ≠0)解析 设抛物线的焦点为F ,过A ,B ,O 作准线的垂线AA 1,BB 1,OO 1, 则|AA 1|+|BB 1|=2|OO 1|=4,由抛物线定义得|AA 1|+|BB 1|=|F A |+|FB |,∴|F A |+|FB |=4,故F 点的轨迹是以A ,B 为焦点, 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).11.已知实数m >1,定点A (-m,0),B (m,0),S 为一动点,点S 与A ,B 两点连线斜率之积为-1m 2. (1)求动点S 的轨迹C 的方程,并指出它是哪一种曲线;(2)若m =2,问t 取何值时,直线l :2x -y +t =0(t >0)与曲线C 有且只有一个交点? 解 (1)设S (x ,y ),则k SA =y -0x +m ,k SB =y -0x -m. 由题意,得y 2x 2-m 2=-1m 2, 即x 2m2+y 2=1(x ≠±m ).∵m >1,∴轨迹C 是中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆(除去x 轴上的两顶点),其中长轴长为2m ,短轴长为2.(2)m =2,则曲线C 的方程为x 22+y 2=1(x ≠±2).由⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +t =0,x 22+y 2=1, 消去y ,得9x 2+8tx +2t 2-2=0. 令Δ=64t 2-36×2(t 2-1)=0,得t =±3. ∵t >0,∴t =3.此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点.12.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,过左焦点且倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为423.(1)求椭圆E 的方程;(2)若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点,过点M (1,0)作l 的垂线,垂足为Q ,求点Q 的轨迹方程.解 (1)因为椭圆E 的离心率为22, 所以a 2-b 2a =22.解得a 2=2b 2,故椭圆E 的方程可设为 x 22b 2+y 2b 2=1, 则椭圆E 的左焦点坐标为(-b,0),过左焦点且倾斜角为45°的直线方程为l ′:y =x +b . 设直线l ′与椭圆E 的交点为A ,B , 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2+y 2b 2=1,y =x +b消去y , 得3x 2+4bx =0,解得x 1=0,x 2=-4b 3.因为|AB |=1+12|x 1-x 2|=42b 3=423, 解得b =1.故椭圆E 的方程为x 22+y 2=1.(2)①当切线l 的斜率存在且不为0时,设l 的方程为y =kx +m ,联立直线l 和椭圆E 的方程, 得⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 22+y 2=1,消去y 并整理, 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2-2=0. 因为直线l 和椭圆E 有且只有一个交点, 所以Δ=16k 2m 2-4(2k 2+1)(2m 2-2)=0. 化简并整理,得m 2=2k 2+1. 因为直线MQ 与l 垂直,所以直线MQ 的方程为y =-1k (x -1).联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =-1k (x -1),y =kx +m ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1-km 1+k 2,y =k +m1+k 2,所以x 2+y 2=(1-km )2+(k +m )2(1+k 2)2=k 2m 2+k 2+m 2+1(1+k 2)2=(k 2+1)(m 2+1)(1+k 2)2=m 2+11+k 2, 把m 2=2k 2+1代入上式得x 2+y 2=2.(*) ②当切线l 的斜率为0时,此时Q (1,1)或Q (1,-1),符合(*)式.③当切线l 的斜率不存在时,此时Q (2,0)或Q (-2,0)符合(*)式. 综上所述,点Q 的轨迹方程为x 2+y 2=2.*13.(2016·河北衡水中学三调)如图,已知圆E :(x +3)2+y 2=16,点F (3,0),P 是圆E 上任意一点,线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程;(2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ,B 两点,直线OA ,l ,OB 的斜率分别为k 1,k ,k 2(其中k >0),△OAB 的面积为S ,以OA ,OB 为直径的圆的面积分别为S 1,S 2,若k 1,k ,k 2恰好构成等比数列,求S 1+S 2S 的取值范围.解 (1)连接QF ,根据题意, |QP |=|QF |,则|QE |+|QF |=|QE |+|QP | =4>|EF |=23,故动点Q 的轨迹Γ是以E ,F 为焦点, 长轴长为4的椭圆.设其方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),可知a =2,c =a 2-b 2=3,则b =1, ∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +m , A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 2+4y 2=4,整理得, (1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0, Δ=16(1+4k 2-m 2)>0,x 1+x 2=-8km1+4k 2,x 1x 2=4(m 2-1)1+4k 2.∵k 1,k ,k 2构成等比数列, ∴k 2=k 1k 2=(kx 1+m )(kx 2+m )x 1x 2,整理得km (x 1+x 2)+m 2=0, ∴-8k 2m 21+4k 2+m 2=0,解得k 2=14. ∵k >0,∴k =12.此时Δ=16(2-m 2)>0, 解得m ∈(-2,2).又由A ,O ,B 三点不共线得m ≠0, 从而m ∈(-2,0)∪(0,2). 故S =12|AB |d =121+k 2|x 1-x 2|·|m |1+k 2=12(x 1+x 2)2-4x 1x 2·|m | =2-m 2|m |.又x 214+y 21=x 224+y 22=1, 则S 1+S 2=π4(x 21+y 21+x 22+y 22)=π4(34x 21+34x 22+2) =3π16(x 1+x 2)2-2x 1x 2]+π2=5π4为定值. ∴S 1+S 2S =5π4×1(2-m 2)m 2≥5π4, 当且仅当m =±1时等号成立. 综上,S 1+S 2S ∈5π4,+∞).。

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教师用书文北师大版

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2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.3 圆的方程教师用书文北师大版圆的定义与方程【知识拓展】1.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组;(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)(1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2;(2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2;(3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ )(2)已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则以AB 为直径的圆的方程是(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0.( √ )(3)方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是A =C ≠0,B =0,D 2+E 2-4AF >0.( √ )(4)方程x 2+2ax +y 2=0一定表示圆.( ³ )(5)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外,则x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F >0.( √ )1.(教材改编)将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是( ) A .x +y -1=0 B .x +y +3=0 C .x -y +1=0 D .x -y +3=0答案 C解析 圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入检验选项C 满足. 2.方程x 2+y 2+mx -2y +3=0表示圆,则m 的范围是( ) A .(-∞,-2)∪(2,+∞) B .(-∞,-22)∪(22,+∞) C .(-∞,-3)∪(3,+∞) D .(-∞,-23)∪(23,+∞) 答案 B解析 将x 2+y 2+mx -2y +3=0化为圆的标准方程得(x +m2)2+(y -1)2=m 24+1-3.由其表示圆可得m 24-2>0,解得m <-22或m >2 2.3.(2015²北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A .(x -1)2+(y -1)2=1 B .(x +1)2+(y +1)2=1 C .(x +1)2+(y +1)2=2 D .(x -1)2+(y -1)2=2 答案 D解析 圆的半径r =12+12=2,∴圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2.4.(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上,并且过点A (-1,1)和B (1,3),则圆C 的方程为______________. 答案 (x -2)2+y 2=10 解析 设圆心坐标为C (a,0), ∵点A (-1,1)和B (1,3)在圆C 上, ∴|CA |=|CB |,即 a +1 2+1= a -1 2+9, 解得a =2,∴圆心为C (2,0), 半径|CA |= 2+1 2+1=10, ∴圆C 的方程为(x -2)2+y 2=10.5.(2016²浙江)已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a +2)y 2+4x +8y +5a =0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________. 答案 (-2,-4) 5解析 由已知方程表示圆,则a 2=a +2, 解得a =2或a =-1.当a =2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去. 当a =-1时,原方程为x 2+y 2+4x +8y -5=0, 化为标准方程为(x +2)2+(y +4)2=25, 表示以(-2,-4)为圆心,半径为5的圆.题型一 求圆的方程例1 (1)(2016²天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M (0,5)在圆C 上,且圆心到直线2x -y =0的距离为455,则圆C 的方程为________________.(2)(2015²课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.答案 (1)(x -2)2+y 2=9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+y 2=254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,设C (a,0),且a >0, 所以圆心到直线2x -y =0的距离d =2a5=455,解得a =2,所以圆C 的半径r =|CM |=4+5=3, 所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2=9.(2)由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点, (4,0),(0,-2)两点的垂直平分线方程为y +1=-2(x -2),令y =0,解得x =32,圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,半径为52.思维升华 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ,b )和半径r 有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a ,b ,r 的方程组,从而求出a ,b ,r 的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组,进而求出D 、E 、F 的值.(2016²株洲一模)圆心在直线2x -y -7=0上的圆C 与y 轴交于A (0,-4),B (0,-2)两点,则圆C 的标准方程为( ) A .(x +2)2+(y +3)2=5 B .(x -2)2+(y -3)2=5 C .(x +2)2+(y -3)2=5 D .(x -2)2+(y +3)2=5答案 D解析 设圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2, 故⎩⎪⎨⎪⎧2a -b -7=0,a 2+ 4+b 2=r 2,a 2+ 2+b 2=r 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-3,半径r =22+12=5,故圆C 的标准方程为(x -2)2+(y +3)2=5. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ,y )在圆(x -2)2+(y +3)2=1上.求x +y 的最大值和最小值. 解 设t =x +y ,则y =-x +t ,t 可视为直线y =-x +t 在y 轴上的截距,∴x +y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时在y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径, 即|2+ -3 -t |2=1,解得t =2-1或t =-2-1.∴x +y 的最大值为2-1,最小值为-2-1. 引申探究1.在本例的条件下,求y x的最大值和最小值.解 y x 可视为点(x ,y )与原点连线的斜率,y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y =kx ,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即|2k +3|k 2+1=1,解得k =-2+233或k =-2-233.所以y x 的最大值为-2+233,最小值为-2-233.2.在本例的条件下,求x 2+y 2+2x -4y +5的最大值和最小值. 解x 2+y 2+2x -4y +5= x +1 2+ y -2 2,求它的最值可视为求点(x ,y )到定点(-1, 2)的距离的最值,可转化为圆心(2,-3)到定点(-1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(-1,2)的距离为34,所以x 2+y 2+2x -4y +5的最大值为34+1,最小值为34-1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ,y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u =y -bx -a型的最值问题,可转化为过点(a ,b )和点(x ,y )的直线的斜率的最值问题;②形如t =ax +by 型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如(x -a )2+(y -b )2型的最值问题,可转化为动点到定点(a ,b )的距离平方的最值问题.已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.求:(1)y x的最大值和最小值; (2)y -x 的最小值;(3)x 2+y 2的最大值和最小值.解 (1)如图,方程x 2+y 2-4x +1=0表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆.设y x=k ,即y =kx ,则圆心(2,0)到直线y =kx 的距离为半径,即直线与圆相切时,斜率取得最大值、最小值. 由|2k -0|k 2+1=3,解得k 2=3, ∴k max =3,k min =- 3. (2)设y -x =b ,则y =x +b ,当且仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时,在y 轴上的截距b 取最小值, 由点到直线的距离公式,得|2-0+b |2=3, 即b =-2±6, 故(y -x )min =-2- 6.(3)x 2+y 2是圆上的点与原点的距离的平方,故连接OC , 与圆交于B 点,并延长交圆于C ′,则 (x 2+y 2)max =|OC ′|2=(2+3)2=7+43, (x 2+y 2)min =|OB |2=(2-3)2=7-4 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题例3 (2016²潍坊模拟)已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点.(1)求线段AP 中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程. 解 (1)设AP 的中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ). 因为P 点在圆x 2+y 2=4上, 所以(2x -2)2+(2y )2=4,故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt△PBQ 中, |PN |=|BN |.设O 为坐标原点,连接ON ,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2, 所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程; (2)定义法,根据圆、直线等定义列方程; (3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.(2016²天津模拟)设定点M (-3,4),动点N 在圆x 2+y 2=4上运动,以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ,求点P 的轨迹.解 如图所示,设P (x ,y ),N (x 0,y 0),则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2,y2,线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0-32,y 0+42.由于平行四边形的对角线互相平分,故x 2=x 0-32,y 2=y 0+42,从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0=x +3,y 0=y -4.又N (x +3,y -4)在圆上,故(x +3)2+(y -4)2=4. 因此所求轨迹为圆:(x +3)2+(y -4)2=4,但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫-95,125和⎝ ⎛⎭⎪⎫-215,285(点P 在直线OM 上的情况).19.利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中,曲线y =x 2-6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上,求圆C 的方程.思想方法指导 本题可采用两种方法解答,即代数法和几何法.(1)一般解法(代数法):可以求出曲线y =x 2-6x +1与坐标轴的三个交点,设圆的方程为一般式,代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法):利用圆的性质,知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上,从而设圆的方程为标准式,简化计算,显然几何法比代数法的计算量小,因此平时训练多采用几何法解题. 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y =x 2-6x +1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+22,0),(3-22,0),设圆的方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0),则有⎩⎨⎧1+E +F =0,3+22 2+D 3+22 +F =0, 3-22 2+D 3-22 +F =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-6,E =-2,F =1,故圆的方程是x 2+y 2-6x -2y +1=0.巧妙解法 (几何法)曲线y =x 2-6x +1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+22,0),(3-22,0).故可设C 的圆心为(3,t ),则有32+(t -1)2=(22)2+t 2,解得t =1. 则圆C 的半径为32+ t -1 2=3, 所以圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=9.1.(2016²南昌模拟)已知点A (1,-1),B (-1,1),则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A .x 2+y 2=2 B .x 2+y = 2 C .x 2+y 2=1 D .x 2+y 2=4答案 A解析 AB 的中点坐标为(0,0),|AB |=[1- -1 ]2+ -1-1 2=22, 所以圆的方程为x 2+y 2=2.2.(2016²昆明一模)方程|x |-1=1- y -1 2所表示的曲线是( ) A .一个圆 B .两个圆 C .半个圆 D .两个半圆答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|x |-1 2+ y -1 2=1,|x |-1≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧ x -1 2+ y -1 2=1,x ≥1,或⎩⎪⎨⎪⎧x +1 2+ y -1 2=1,x ≤-1.故原方程表示两个半圆.3.(2016²福州质检)设圆的方程是x 2+y 2+2ax +2y +(a -1)2=0,若0<a <1,则原点与圆的位置关系是 ( ) A .原点在圆上 B .原点在圆外 C .原点在圆内 D .不确定答案 B解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x +a )2+(y +1)2=2a ,因为0<a <1, 所以(0+a )2+(0+1)2-2a =(a -1)2>0,即 0+a 2+ 0+1 2>2a ,所以原点在圆外.4.点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y +1)2=4 C .(x +4)2+(y -2)2=4 D .(x +2)2+(y -1)2=1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0,y 0),x 20+y 20=4,连线中点坐标为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧2x =x 0+42y =y 0-2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -4,y 0=2y +2,代入x 20+y 20=4中得(x -2)2+(y +1)2=1.5.已知圆M 的圆心在x 轴上,且圆心在直线l 1:x =-2的右侧,若圆M 截直线l 1所得的弦长为23,且与直线l 2:2x -5y -4=0相切,则圆M 的方程为 ( ) A .(x -1)2+y 2=4 B .(x +1)2+y 2=4 C .x 2+(y -1)2=4 D .x 2+(y +1)2=4答案 B解析 由已知,可设圆M 的圆心坐标为(a,0),a >-2,半径为r ,得⎩⎪⎨⎪⎧a +2 2+ 3 2=r 2,|2a -4|4+5=r ,解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,r =2,所以圆M 的方程为(x +1)2+y 2=4.6.(2016²汉中模拟)若圆x 2+y 2-2x +6y +5a =0关于直线y =x +2b 成轴对称图形,则a -b 的取值范围是( ) A .(-∞,4) B .(-∞,0) C .(-4,+∞) D .(4,+∞)答案 A解析 圆的方程可化为(x -1)2+(y +3)2=10-5a , 可知圆心为(1,-3),且10-5a >0,即a <2. ∵圆关于直线y =x +2b 对称, ∴点(1,-3)在直线上,则b =-2. ∴a -b =2+a <4.7.(2016²南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0),且与直线y =1相切,则圆C 的方程是__________________. 答案 (x -2)2+(y +32)2=254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0),所以设圆心为(2,m ). 又因为圆与直线y =1相切,所以22+m 2=|1-m |, 解之得m =-32.所以圆C 的方程为(x -2)2+(y +32)2=254.8.过点P (1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y )|x 2+y 2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为______________.答案 x +y -2=0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时,符合条件.圆心O 与点P 连线的斜率k =1,所求直线方程为y -1=-(x -1),即x +y -2=0.9.圆心在直线x -2y =0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为23,则圆C 的标准方程为______________________.答案 (x -2)2+(y -1)2=4解析 设圆C 的圆心为(a ,b )(b >0),由题意得a =2b >0,且a 2=(3)2+b 2,解得a =2,b =1.所以所求圆的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=4.10.(2016²深圳模拟)已知两点A (-1,0),B (0,2),点P 是圆(x -1)2+y 2=1上任意一点,则△PAB 面积的最大值与最小值分别是________________.答案 2+52,2-52 解析 如图,圆心(1,0)到直线AB :2x -y +2=0的距离d =45, 故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45+1,最小值是45-1, 又|AB |=5,故△PAB 面积的最大值和最小值分别是2+52,2-52. 11.已知圆C 经过P (4,-2),Q (-1,3)两点,且在y 轴上截得的线段的长为43,半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程;(2)若直线l ∥PQ ,且l 与圆C 交于点A ,B ,且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点,求直线l 的方程.解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x +y -2=0.设圆心C (a ,b ),半径为r ,由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y -12=x -32, 即y =x -1,所以b =a -1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43,知r 2=12+a 2,可得(a +1)2+(b -3)2=12+a 2,②由①②得a =1,b =0或a =5,b =4.当a =1,b =0时,r 2=13,满足题意,当a =5,b =4时,r 2=37,不满足题意.故圆C 的方程为(x -1)2+y 2=13.(2)设直线l 的方程为y =-x +m (m ≠2), A (x 1,m -x 1),B (x 2,m -x 2).由题意可知OA ⊥OB ,即OA →²OB →=0,∴x 1x 2+(m -x 1)(m -x 2)=0,化简得2x 1x 2-m (x 1+x 2)+m 2=0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y =-x +m , x -1 2+y 2=13得2x 2-2(m +1)x +m 2-12=0, ∴x 1+x 2=m +1,x 1x 2=m 2-122, 代入③,得m 2-12-m ²(1+m )+m 2=0,∴m =4或m =-3,经检验都满足题意,∴直线l 的方程为x +y -4=0或x +y +3=0.12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22,在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程;(2)若P 点到直线y =x 的距离为22,求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ,y ),圆P 的半径为r .则y 2+2=r 2,x 2+3=r 2.∴y 2+2=x 2+3,即y 2-x 2=1.∴P 点的轨迹方程为y 2-x 2=1.(2)设P 点的坐标为(x 0,y 0), 则|x 0-y 0|2=22,即|x 0-y 0|=1.∴y 0-x 0=±1,即y 0=x 0±1.①当y 0=x 0+1时,由y 20-x 20=1,得(x 0+1)2-x 20=1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=0,y 0=1,∴r 2=3.∴圆P 的方程为x 2+(y -1)2=3.②当y 0=x 0-1时,由y 20-x 20=1,得(x 0-1)2-x 20=1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=0,y 0=-1,∴r 2=3.∴圆P 的方程为x 2+(y +1)2=3.综上所述,圆P 的方程为x 2+(y ±1)2=3.13.已知M 为圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0上任意一点,且点Q (-2,3).(1)求|MQ |的最大值和最小值;(2)若M (m ,n ),求n -3m +2的最大值和最小值.解 (1)由圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0,可得(x -2)2+(y -7)2=8,所以圆心C 的坐标为(2,7),半径r =2 2.又|QC |= 2+2 2+ 7-3 2=4 2.所以|MQ |max =42+22=62,|MQ |min =42-22=2 2.(2)可知n -3m +2表示直线MQ 的斜率,设直线MQ 的方程为y -3=k (x +2),即kx -y +2k +3=0,则n -3m +2=k .由直线MQ 与圆C 有交点,所以|2k -7+2k +3|1+k2≤22, 可得2-3≤k ≤2+3, 所以n -3m +2的最大值为2+3,最小值为2- 3.。

2018课标版理数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)3 第三节 圆的方程

2018课标版理数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)3 第三节 圆的方程

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5.(2016浙江文,10,6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆, 则圆心坐标是 答案 (-2,-4);5 解析 方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2
1 5 2 时,方程为4x +4y +4x+8y+10=0,即x +y +x+2y+ =0,亦即 x +(y+1) =2 2 5 ,不成立,故舍去;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25, 4
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1-1 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, 5 )在圆C上,且圆心到直 线2x-y=0的距离为 ,则圆C的方程为 答案 (x-2)2+y2=9 解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),
| 2a | 4 5 , 5 由题意可得 5 2 2 2 (a) ( 5) r , a 2, 解得 2 r 9,
答案 D 由(2a)2+(a-2)2<5得- <a<1. 4.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为
.
答案 解析 (x-2)2+y2=10 易得线段AB的中垂线方程为2x-y-4=0,与x轴的交点坐标为(2,0),
2 2 即为圆心C的坐标,所以半径为|CB|= 10 ,所以圆C的方程为(x-2) +y =10.

2018版高考数学大一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件文新人教A版

2018版高考数学大一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件文新人教A版

又令y=0,得x2+Dx+F=0.③ 设x1,x2是方程③的两根, 由|x1-x2|=6可得D2-4F=36,④ 由①②④解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.
-13考点1 考点2 考点3
解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆 的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定 圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上; ②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2) 代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.
(x-2)2+(y-1)2=4
关闭
答案
-8.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐 标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为 .
关闭
设C(x,y),根据在等腰三角形中,|AB|=|AC|可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即 x2+y2=2. 考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).
-10考点1 考点2 考点3
考点 1
求圆的方程
例1(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 (2)经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为 . 思考求圆的方程有哪些常见方法?

2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习课件:第九

2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习课件:第九

答案 (2,4) f(x)=x2
考点一 直线的倾斜角与斜率
【例 1】 (1)直线 2xcos 值范围是(
π π A.6,3 π π C.4,2 π α-y-3=0α∈ 6 π , 的倾斜角的取 3
)
π π B.4,3 π 2π D.4, 3
(5)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都 可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( )
解析 (1)当直线的倾斜角 α1=135° ,α2=45° 时,α1>α2, 但其对应斜率 k1=-1,k2=1,k1<k2. (2)当直线斜率为 tan(-45° )时,其倾斜角为 135° . (3)两直线的斜率相等,则其倾斜角一定相等. (4)当直线的斜率不存在时,不可以用方程 y-y0=k(x-x0) 表示.
(2)直线的斜率 π ①定义:当直线 l 的倾斜角 α≠ 时,其倾斜角 α 的正切值 tan α 叫 2
tan α ; 做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母 k 表示,即 k=______
②斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率 公式为 k= y2-y1 . x2-x1 _______
第1讲
直线的方程
最新考纲
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直
线位置的几何要素;2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌 握过两点的直线斜率的计算公式;3.掌握确定直线位置的几 何要素,掌握直线方程的几种形式 ( 点斜式、两点式及一般 式),了解斜截式与一次函数的关系.
知识梳理 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:当直线 l 与x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准, x 轴正向 与直线l____ 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角;②规定: 0 ;③范围: 当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为___ [0,π) 直线的倾斜角α的取值范围是_______.

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2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程试题 理 新人教版基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.已知点A (1,-1),B (-1,1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.x 2+y 2=2 B.x 2+y 2= 2 C.x 2+y 2=1D.x 2+y 2=4解析 AB 的中点坐标为(0,0),|AB |=[1-(-1)]2+(-1-1)2=22, ∴圆的方程为x 2+y 2=2. 答案 A2.(2017·漳州模拟)圆(x -1)2+(y -2)2=1关于直线y =x 对称的圆的方程为( ) A.(x -2)2+(y -1)2=1 B.(x +1)2+(y -2)2=1 C.(x +2)2+(y -1)2=1D.(x -1)2+(y +2)2=1解析 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y =x 对称的点为C ′(2,1),∴圆(x -1)2+(y -2)2=1关于直线y =x 对称的圆的方程为(x -2)2+(y -1)2=1,故选A. 答案 A3.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23,+∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-23,0C.(-2,0)D.⎝⎛⎭⎪⎫-2,23 解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x +a 22+(y +a )2=1-a -3a 24表示圆,则1-a -3a 24>0,解得-2<a <23.答案 D4.(2017·淄博调研)点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x -2)2+(y +1)2=1 B.(x -2)2+(y +1)2=4 C.(x +4)2+(y -2)2=4D.(x +2)2+(y -1)2=1解析 设圆上任一点为Q (x 0,y 0),PQ 的中点为M (x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x =4+x2,y =-2+y 02,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -4,y 0=2y +2.因为点Q 在圆x 2+y 2=4上,所以x 20+y 20=4,即(2x -4)2+(2y +2)2=4,化简得(x -2)2+(y +1)2=1. 答案 A5.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A (1,0),B (0,3),C (2,3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213C.253D.43解析 由点B (0,3),C (2,3),得线段BC 的垂直平分线方程为x =1,① 由点A (1,0),B (0,3),得线段AB 的垂直平分线方程为y -32=33⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,② 联立①②,解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1,233,其到原点的距离为 12+⎝ ⎛⎭⎪⎫2332=213.故选B.答案 B 二、填空题6.若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y =1相切,则圆C 的方程是________. 解析 设圆心C 坐标为(2,b )(b <0),则|b |+1=4+b 2.解得b =-32,半径r =|b |+1=52,故圆C 的方程为:(x -2)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +322=254. 答案 (x -2)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +322=2547.(2017·广州模拟)已知圆C :x 2+y 2+kx +2y =-k 2,当圆C 的面积取最大值时,圆心C 的坐标为________.解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x +k 22+(y +1)2=-34k 2+1.所以,当k =0时圆C 的面积最大.答案 (0,-1)8.已知点M (1,0)是圆C :x 2+y 2-4x -2y =0内的一点,那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________.解析 过点M 的最短弦与CM 垂直,圆C :x 2+y 2-4x -2y =0的圆心为C (2,1),∵k CM =1-02-1=1,∴最短弦所在直线的方程为y -0=-(x -1),即x +y -1=0. 答案 x +y -1=0三、解答题9.已知三条直线l 1:x -2y =0,l 2:y +1=0,l 3:2x +y -1=0两两相交,先画出图形,再求过这三个交点的圆的方程.解 l 2平行于x 轴,l 1与l 3互相垂直.三交点A ,B ,C 连线构成直角三角形,经过A ,B ,C 三点的圆就是以AB 为直径的圆. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -2y =0,y +1=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =-1.所以点A 的坐标是(-2,-1).解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -1=0,y +1=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-1. 所以点B 的坐标是(1,-1).线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-1,又|AB |=(-2-1)2+(-1+1)2=3. 故所求圆的标准方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+(y +1)2=94.10.在△ABC 中,已知|BC |=2,且|AB ||AC |=m ,求点A 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.解 如图,以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点,建立直角坐标系.则有B (-1,0),C (1,0),设点A 的坐标为(x ,y ). 由|AB ||AC |=m ,得(x +1)2+y 2=m (x -1)2+y 2.整理得(m 2-1)x 2+(m 2-1)y 2-2(m 2+1)x +(m 2-1)=0.① 当m 2=1时,m =1,方程是x =0,轨迹是y 轴.当m 2≠1时,对①式配方,得⎝ ⎛⎭⎪⎫x -m 2+1m 2-12+y 2=4m 2(m 2-1)2.所以,点A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2+1m 2-1,0为圆心,2m |m 2-1|为半径的圆(除去圆与BC 的交点). 能力提升题组 (建议用时:20分钟)11.若直线ax +2by -2=0(a >0,b >0)始终平分圆x 2+y 2-4x -2y -8=0的周长,则1a +2b的最小值为( ) A.1 B.5 C.4 2D.3+2 2解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax +2by -2=0上,∴2a +2b -2=0,整理得a +b =1, ∴1a +2b =(1a +2b )(a +b )=3+b a +2a b≥3+2b a ×2ab=3+22, 当且仅当b a =2ab,即b =2-2,a =2-1时,等号成立. ∴1a +2b的最小值为3+2 2.答案 D12.已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥0,x +2y -4≤0恰好被面积最小的圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2及其内部所覆盖,则圆C 的方程为________.解析 由题意知,此平面区域表示的是以O (0,0),P (4,0),Q (0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆. ∵△OPQ 为直角三角形,∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1),半径r =|PQ |2=5,因此圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5. 答案 (x -2)2+(y -1)2=513.已知圆C :(x -3)2+(y -4)2=1,设点P 是圆C 上的动点.记d =|PB |2+|PA |2,其中A (0,1),B (0,-1),则d 的最大值为________.解析 设P (x 0,y 0),d =|PB |2+|PA |2=x 20+(y 0+1)2+x 20+(y 0-1)2=2(x 20+y 20)+2.x 20+y 20为圆上任一点到原点距离的平方,∴(x 20+y 20)max =(5+1)2=36,∴d max =74. 答案 7414.(2016·江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M :x 2+y 2-12x -14y +60=0及其上一点A (2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x =6上,求圆N 的标准方程;(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ,C 两点,且|BC |=|OA |,求直线l 的方程; (3)设点T (t ,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA →+TP →=TQ →,求实数t 的取值范围. 解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x -6)2+(y -7)2=25,圆心M (6,7),半径r =5, 由题意,设圆N 的方程为(x -6)2+(y -b )2=b 2(b >0), 且(6-6)2+(b -7)2=b +5.解得b =1,∴圆N 的标准方程为(x -6)2+(y -1)2=1.(2)∵k OA =2,∴可设直线l 的方程为y =2x +m ,即2x -y +m =0.又|BC |=|OA |=22+42=25,由题意,圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d =52-⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22=25-5=25, 即|2×6-7+m |22+(-1)2=25,解得m =5或m =-15.∴直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0. (3)由TA →+TP →=TQ →,则四边形AQPT 为平行四边形, 又∵P ,Q 为圆M 上的两点,∴|PQ |≤2r =10. ∴|TA |=|PQ |≤10,即(t -2)2+42≤10, 解得2-221≤t ≤2+221.故所求t 的范围为[2-221,2+221].。

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程课件

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程课件
切的面积最小的圆的方程为( ) A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.(x-2)2+(y-1)2=5 C.(x-1)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y-1)2=25 (2)(2019·百校联盟联考)经过点 A(5,2),B(3,-2),且圆心在 直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为________.
12/13/2021
第九页,共四十三页。
求圆的方程
(高频考点)
求圆的方程是高考命题的热点,多以选择题、填空题的形式呈
现,试题难度较小.主要命题角度有:
(1)由已知条件求圆的方程;
(2)由圆的方程确定参数的值(范围).
12/13/2021
第十页,共四十三页。
角度一 由已知条件求圆的方程 (1)圆心在曲线 y=2x(x>0)上,且与直线 2x+y+1=0 相
第十八页,共四十三页。
2.圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3,则圆 C 的标准方程为 __________________. 解析:设圆 C 的圆心为(a,b)(b>0),由题意得 a=2b>0,且 a2 =( 3)2+b2,解得 a=2,b=1. 所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 答案:(x-2)2+(y-1)2=4
+b
与圆相切时,纵截距
b
取得最大值或最小值,此时|2-0+b| 2
= 3,
解得 b=-2± 6(如图 2).
所以 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6.
12/13/2021
第二十四页,共四十三页。
在本例条件下,求 x2+y2 的最大值和最小值. 解:x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知 识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小 值(如图).

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程课件

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程课件

12/11/2021
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3.已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,点 M(0, 5)在圆 C
上,且圆心到直线 2x-y=0 的距离为455,则圆 C 的方程为 ________. 解析:因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,设 C(a,0),且 a>0,
所以圆心到直线
2x-y=0
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角度一 借助几何性质求最值 已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.
(1)求xy的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值. 【解】 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,
3为半径的圆. (1)xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设xy=k,即 y=kx.
条件:_D_2_+__E__2-__4__F_>_0_
一般方 程
x2+y2+Dx +Ey+F=0
圆心:__-__D_2_,__-__E2__ ____
半径 r=__12___D_2_+__E_2_-__4_F___
12/11/2021
第二页,共四十三页。
2.点与圆的位置关系 点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系: (1)若 M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2_>__r2. (2)若 M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2_=__r2. (3)若 M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2_<__r2.
12/11/2021
第五页,共四十三页。
(2019·台州质检)方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆的
充要条件是( )

2018版高考数学浙江,文理通用大一轮复习讲义教师版文

2018版高考数学浙江,文理通用大一轮复习讲义教师版文

1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系. d <r ⇔相交;d =r ⇔相切;d >r ⇔相离. (2)代数法:――――→判别式Δ=b 2-4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交;=0⇔相切;<0⇔相离.2.圆与圆的位置关系设圆O 1:(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 21(r 1>0), 圆O 2:(x -a 2)2+(y -b 2)2=r 22(r 2>0).【知识拓展】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.(2)过圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2.(3)过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x 0x +y 0y =r 2. 2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条.(2)当两圆相交时,两圆方程(x 2,y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(4)过圆O :x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是x 0x +y 0y =r 2.( √ )(5)过圆O :x 2+y 2=r 2外一点P (x 0,y 0)作圆的两条切线,切点分别为A ,B ,则O ,P ,A ,B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x +y 0y =r 2.( √ )1.(教材改编)圆(x -1)2+(y +2)2=6与直线2x +y -5=0的位置关系是( ) A .相切 B .相交但直线不过圆心 C .相交过圆心 D .相离答案 B解析 由题意知圆心(1,-2)到直线2x +y -5=0的距离d =|2×1-2-5|22+1=5<6且2×1+(-2)-5≠0,所以直线与圆相交但不过圆心.2.(2016·全国甲卷)圆x 2+y 2-2x -8y +13=0的圆心到直线ax +y -1=0的距离为1,则a 等于( )A .-43B .-34C.3D .2答案 A解析 由圆的方程x 2+y 2-2x -8y +13=0,得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d=|1×a +4-1|1+a 2=1,解得a =-43.3.(2016·嘉兴高三下学期教学测试二)若点A ,B 为圆(x -2)2+y 2=25上的两点,点P (3,-1)为弦AB 的中点,则弦AB 所在的直线方程为________. 答案 x -y -4=0解析 设圆心为M ,则M (2,0),∴k MP =-1, ∴直线AB 的斜率为1,∴直线AB 方程为y +1=x -3,即x -y -4=0.4.(2016·黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C 1:(x -2)2+(y -3)2=1,圆C 2:(x -3)2+(y -4)2=9,M ,N 分别是圆C 1,C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM |+|PN |的最小值为_____. 答案 52-4解析 圆C 1关于x 轴对称的圆C 1′的圆心为C 1′(2,-3),半径不变,圆C 2的圆心为(3,4),半径r =3,|PM |+|PN |的最小值为圆C 1′和圆C 2的圆心距减去两圆的半径,所以|PM |+|PN |的最小值为(3-2)2+(4+3)2-1-3=52-4.题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 (1)已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是( ) A .相切B .相交C .相离D .不确定(2)(2016·江西吉安月考)圆x 2+y 2-2x +4y =0与直线2tx -y -2-2t =0(t ∈R )的位置关系为( )A .相离B .相切C .相交D .以上都有可能 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,所以a 2+b 2>1,而圆心O 到直线ax +by =1的距离d =|a ·0+b ·0-1|a 2+b 2=1a 2+b 2<1.所以直线与圆相交.(2)直线2tx -y -2-2t =0恒过点(1,-2), ∵12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0, ∴点(1,-2)在圆x 2+y 2-2x +4y =0内.直线2tx -y -2-2t =0与圆x 2+y 2-2x +4y =0相交, 故选C.思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用d 与r 的关系. (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.过点A (3,1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( ) A .-1,1] B .0,3] C .0,1] D .-3,3]答案 B解析 设直线l 的方程为y -1=k (x -3),则圆心到直线l 的距离d =|3k -1|1+k 2,因为直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,所以d ≤1,即|3k -1|1+k 2≤1,得0≤k ≤ 3.题型二 圆与圆的位置关系例2 (1)(2016·山东)已知圆M :x 2+y 2-2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N :(x -1)2+(y -1)2=1的位置关系是( ) A .内切B .相交C .外切D .相离(2)(2016·重庆模拟)如果圆C :x 2+y 2-2ax -2ay +2a 2-4=0与圆O :x 2+y 2=4总相交,那么实数a 的取值范围是______________________. 答案 (1)B (2)(-22,0)∪(0,22) 解析 (1)∵圆M :x 2+(y -a )2=a 2(a >0), ∴圆心坐标为M (0,a ),半径r 1为a , 圆心M 到直线x +y =0的距离d =|a |2,由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a |22+(2)2=a 2,解得a =2.∴M (0,2),r 1=2.又圆N 的圆心坐标N (1,1),半径r 2=1,∴|MN |=(1-0)2+(1-2)2=2, r 1+r 2=3,r 1-r 2=1.∴r 1-r 2<|MN |<r 1+r 2,∴两圆相交,故选B.(2)圆C 的标准方程为(x -a )2+(y -a )2=4,圆心坐标为(a ,a ),半径为2. 依题意得0<a 2+a 2<2+2,∴0<|a |<2 2. ∴a ∈(-22,0)∪(0,22).思维升华 判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长;(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ,求r 1+r 2,|r 1-r 2|; (3)比较d ,r 1+r 2,|r 1-r 2|的大小,写出结论.已知两圆x 2+y 2-2x -6y -1=0和x 2+y 2-10x -12y +m =0.(1)m 取何值时两圆外切; (2)m 取何值时两圆内切;(3)求m =45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 两圆的标准方程分别为(x -1)2+(y -3)2=11,(x -5)2+(y -6)2=61-m , 圆心分别为M (1,3),N (5,6),半径分别为11和61-m . (1)当两圆外切时,(5-1)2+(6-3)2=11+61-m , 解得m =25+1011.(2)当两圆内切时,因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5, 故只有61-m -11=5,解得m =25-1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2+y 2-2x -6y -1)-(x 2+y 2-10x -12y +45)=0, 即4x +3y -23=0,所以公共弦长为2(11)2-(|4×1+3×3-23|42+32)2=27.题型三 直线与圆的综合问题 命题点1 求弦长问题例3 (2016·全国丙卷)已知直线l :mx +y +3m -3=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,若|AB |=23,则|CD |=________.答案 4解析 设AB 的中点为M ,由题意知,圆的半径R =23,|AB |=23,所以|OM |=3,解得m=-33,由⎩⎨⎧x -3y +6=0,x 2+y 2=12解得A (-3,3),B (0,23),则AC 的直线方程为y -3=-3(x +3),BD 的直线方程为y -23=-3x ,令y =0,解得C (-2,0),D (2,0),所以|CD |=4.命题点2 直线与圆相交求参数范围例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)若OM →·ON →=12,其中O 为坐标原点,求|MN |. 解 (1)由题设,可知直线l 的方程为y =kx +1, 因为l 与C 交于两点,所以|2k -3+1|1+k 2<1. 解得4-73<k <4+73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4-73,4+73. (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将y =kx +1代入方程(x -2)2+(y -3)2=1,整理得 (1+k 2)x 2-4(1+k )x +7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k )1+k 2,x 1x 2=71+k 2. OM →·ON →=x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k 2+8. 由题设可得4k (1+k )1+k 2+8=12,解得k =1,所以l 的方程为y =x +1. 故圆心C 在l 上,所以|MN |=2.命题点3 直线与圆相切的问题例5 已知圆C :(x -1)2+(y +2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l 1:x +y -4=0平行; (2)与直线l 2:x -2y +4=0垂直; (3)过切点A (4,-1).解 (1)设切线方程为x +y +b =0, 则|1-2+b |2=10,∴b =1±25, ∴切线方程为x +y +1±25=0. (2)设切线方程为2x +y +m =0, 则|2-2+m |5=10,∴m =±52, ∴切线方程为2x +y ±52=0. (3)∵k AC =-2+11-4=13,∴过切点A (4,-1)的切线斜率为-3,∴过切点A (4,-1)的切线方程为y +1=-3(x -4), 即3x +y -11=0.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题.(1)(2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M 、N 两点,则|MN |等于( )A .26B .8C .46D .10(2)若直线x cos θ+y sin θ-1=0与圆(x -1)2+(y -sin θ)2=116相切,且θ为锐角,则该直线的斜率是( ) A .-33B .-3C.33D. 3 答案 (1)C (2)A解析 (1)由已知,得AB →=(3,-1),BC →=(-3,-9), 则AB →·BC →=3×(-3)+(-1)×(-9)=0,所以AB →⊥BC →,即AB ⊥BC ,故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径, 得其方程为(x -1)2+(y +2)2=25, 令x =0,得(y +2)2=24,解得y 1=-2-26,y 2=-2+26, 所以|MN |=|y 1-y 2|=46,选C.(2)依题意得,圆心到直线的距离等于半径, 即|cos θ+sin 2θ-1|=14,|cos θ-cos 2θ|=14,所以cos θ-cos 2θ=14或cos θ-cos 2θ=-14(不符合题意,舍去).由cos θ-cos 2θ=14,得cos θ=12,又θ为锐角,所以sin θ=32, 故该直线的斜率是-cos θsin θ=-33,故选A..高考中与圆交汇问题的求解考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化;直线与圆的综合问题主要包括弦长问题,切线问题及组成图形面积问题,解决方法主要依据圆的几何性质.一、与圆有关的最值问题典例1 (1)(2015·湖南)已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0),则|P A →+PB →+PC →|的最大值为( ) A .6B .7C .8D .9(2)过点(2,0)引直线l 与曲线y =1-x 2相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于( ) A.33B .-33C .±33D .- 3 解析 (1)∵A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆的直径,故P A →+PC →=2PO →=(-4,0),设B (x ,y ),则x 2+y 2=1且x ∈-1,1],PB →=(x -2,y ),∴P A →+PB →+PC →=(x -6,y ).故|P A →+PB →+PC →|=-12x +37,∴当x =-1时有最大值49=7,故选B. (2)∵S △AOB =12|OA ||OB |sin ∠AOB=12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB =π2时,△AOB 面积最大. 此时O 到AB 的距离d =22. 设AB 方程为y =k (x -2)(k <0), 即kx -y -2k =0.由d =|2k |k 2+1=22得k =-33.(也可k =-tan ∠OPH =-33).答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题典例2 (1)(2015·重庆)已知直线l :x +ay -1=0(a ∈R )是圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的对称轴,过点A (-4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB |等于( ) A .2B .42C .6D .210(2)在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y -4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34πC .(6-25)πD.54π 解析 (1)由于直线x +ay -1=0是圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的对称轴,∴圆心C (2,1)在直线x +ay -1=0上,∴2+a -1=0,∴a =-1,∴A (-4,-1). ∴|AC |2=36+4=40.又r =2,∴|AB |2=40-4=36. ∴|AB |=6.(2)∵∠AOB =90°,∴点O 在圆C 上. 设直线2x +y -4=0与圆C 相切于点D ,则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x +y -4=0的距离,∴点C 在以O 为焦点,以直线2x +y -4=0为准线的抛物线上,∴当且仅当O ,C ,D 共线时,圆的直径最小为|OD |. 又|OD |=|2×0+0-4|5=45, ∴圆C 的最小半径为25, ∴圆C 面积的最小值为π(25)2=45π.答案 (1)C (2)A1.(2015·广东)平行于直线2x +y +1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A .2x +y +5=0或2x +y -5=0 B .2x +y +5=0或2x +y -5=0 C .2x -y +5=0或2x -y -5=0 D .2x -y +5=0或2x -y -5=0 答案 A解析 设所求直线方程为2x +y +c =0,依题有|0+0+c |22+12=5,解得c =±5,所以所求直线方程为2x +y +5=0或2x +y -5=0,故选A.2.(2017·广州调研)若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2,则这样的直线有( ) A .1条B .2条C .3条D .4条答案 C解析 如图,分别以A ,B 为圆心,1,2为半径作圆.依题意得,直线l 是圆A 的切线,A 到l 的距离为1,直线l 也是圆B 的切线,B 到l 的距离为2,所以直线l 是两圆的公切线,共3条(2条外公切线,1条内公切线).3.(2016·南昌二模)若圆C 1:x 2+y 2-2ax +a 2-9=0(a ∈R )与圆C 2:x 2+y 2+2by +b 2-1=0(b ∈R )内切,则ab 的最大值为( ) A.2B .2C .4D .2 2 答案 B解析 圆C 1:x 2+y 2-2ax +a 2-9=0(a ∈R ). 化为(x -a )2+y 2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3.圆C 2:x 2+y 2+2by +b 2-1=0(b ∈R ),化为x 2+(y +b )2=1,圆心坐标为(0,-b ),半径为1, ∵圆C 1:x 2+y 2-2ax +a 2-9=0(a ∈R )与圆C 2:x 2+y 2+2by +b 2-1=0(b ∈R )内切, ∴a 2+b 2=3-1,即a 2+b 2=4,ab ≤12(a 2+b 2)=2.∴ab 的最大值为2.4.(2016·泰安模拟)过点P (3,1)作圆C :(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为( ) A .2x +y -3=0 B .2x -y -3=0 C .4x -y -3=0 D .4x +y -3=0答案 A解析 如图所示,由题意知:AB ⊥PC ,k PC =12,∴k AB =-2,∴直线AB 的方程为y -1=-2(x-1),即2x +y -3=0.5.若直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :x 2+4x +y 2-2y +3=0相切,则直线l 与圆D :(x -2)2+y 2=3的位置关系是( ) A .相交B .相切 C .相离D .不确定 答案 A解析 因为圆C 的标准方程为(x +2)2+(y -1)2=2,所以其圆心坐标为(-2,1),半径为2,因为直线l 与圆C 相切.所以|-2k -1+1|k 2+1=2,解得k =±1,因为k <0,所以k =-1,所以直线l 的方程为x +y -1=0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d =|2+0-1|2=22<3,所以直线l 与圆D 相交.6.(2016·岳阳一模)已知圆C :x 2+(y -3)2=4,过A (-1,0)的直线l 与圆C 相交于P ,Q 两点,若|PQ |=23,则直线l 的方程为( ) A .x =-1或4x +3y -4=0 B .x =-1或4x -3y +4=0 C .x =1或4x -3y +4=0 D .x =1或4x +3y -4=0 答案 B解析 当直线l 与x 轴垂直时,易知x =-1,符合题意;当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y =k (x +1),由|PQ |=23,得圆心C 到直线l 的距离d =|-k +3|k 2+1=1,解得k =43,此时直线l 的方程为y =43(x +1).故所求直线l 的方程为x =-1或4x -3y +4=0.7.(2016·全国乙卷)设直线y =x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=23,则圆C 的面积为________. 答案 4π解析 圆C :x 2+y 2-2ay -2=0,即C :x 2+(y -a )2=a 2+2,圆心为C (0,a ),C 到直线y =x +2a 的距离d =|0-a +2a |2=|a |2.又由|AB |=23,得⎝⎛⎭⎫2322+⎝⎛⎭⎫|a |22=a 2+2,解得a 2=2,所以圆的面积为π(a 2+2)=4π.8.(2016·天津四校联考)过点(1,2)的直线l 将圆(x -2)2+y 2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l 的斜率k =________. 答案22解析 ∵(1-2)2+(2)2=3<4,∴点(1,2)在圆(x -2)2+y 2=4的内部.当劣弧所对的圆心角最小时,圆心(2,0)与点(1,2)的连线垂直于直线l . ∵2-01-2=-2,∴所求直线l 的斜率k =22.9.(2016·浙江名校协作体高三联考)已知点A (1-m,0),B (1+m ,0),若圆C :x 2+y 2-8x -8y +31=0上存在一点P 使得P A →·PB →=0,则正实数m 的最小值为________. 答案 4解析 圆C :(x -4)2+(y -4)2=1, 由已知P A ⊥PB ,设AB 的中点为M (1,0), ∴|PM |=12|AB |=m ,又|MC |=5,r =1,∴4≤|PM |≤6, ∴正实数m 的最小值为4.10.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x +15=0,若直线y =kx -2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是________. 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x -4)2+y 2=1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx -y -2=0的距离应不大于2, 即|4k -2|k 2+1≤2.整理,得3k 2-4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.11.已知圆C :x 2+y 2+2x -4y +1=0,O 为坐标原点,动点P 在圆C 外,过P 作圆C 的切线,设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处,求此时切线l 的方程;(2)求满足条件|PM |=|PO |的点P 的轨迹方程.解 把圆C 的方程化为标准方程为(x +1)2+(y -2)2=4, ∴圆心为C (-1,2),半径r =2.(1)当l 的斜率不存在时,此时l 的方程为x =1, C 到l 的距离d =2=r ,满足条件. 当l 的斜率存在时,设斜率为k , 得l 的方程为y -3=k (x -1), 即kx -y +3-k =0, 则|-k -2+3-k |1+k 2=2,解得k =-34.∴l 的方程为y -3=-34(x -1),即3x +4y -15=0.综上,满足条件的切线l 的方程为x =1或3x +4y -15=0. (2)设P (x ,y ),则|PM |2=|PC |2-|MC |2 =(x +1)2+(y -2)2-4, |PO |2=x 2+y 2,∵|PM |=|PO |, ∴(x +1)2+(y -2)2-4=x 2+y 2, 整理,得2x -4y +1=0,∴点P 的轨迹方程为2x -4y +1=0.12.圆O 1的方程为x 2+(y +1)2=4,圆O 2的圆心坐标为(2,1). (1)若圆O 1与圆O 2外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ,B 两点,且|AB |=22,求圆O 2的方程. 解 (1)圆O 1的圆心坐标为(0,-1),半径r 1=2, 圆O 2的圆心坐标为(2,1),圆心距为|O 1O 2|=(2-0)2+(1+1)2=22, 由两圆外切知,所求圆的半径为r 2=22-2, 圆O 2的方程为(x -2)2+(y -1)2=12-8 2.(2)由题意知,圆心O 1到AB 的距离为22-(2)2=2, 当圆心O 2到AB 的距离为22-2=2时,圆O 2的半径r 2=(2)2+(2)2=2, 此时圆O 2的方程为(x -2)2+(y -1)2=4. 当圆心O 2到AB 的距离为22+2=32时, 圆O 2的半径r 2′=(32)2+(2)2=25, 此时圆O 2的方程为(x -2)2+(y -1)2=20.综上知,圆O 2的方程为(x -2)2+(y -1)2=4或(x -2)2+(y -1)2=20.*13.(2016·绍兴六校联考)已知直线l :4x +3y +10=0,半径为2的圆C 与l 相切,圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.(1)求圆C 的方程;(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ,B 两点(A 在x 轴上方),问在x 轴正半轴上是否存在定点N ,使得x 轴平分∠ANB ?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)设圆心C (a,0)(a >-52),则|4a +10|5=2⇒a =0或a =-5(舍). 所以圆C 的方程为x 2+y 2=4.(2)当直线AB ⊥x 轴时,x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =k (x -1),N (t,0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=4,y =k (x -1),得(k 2+1)x 2-2k 2x +k 2-4=0, 所以x 1+x 2=2k 2k 2+1,x 1x 2=k 2-4k 2+1.若x 轴平分∠ANB ,则k AN =-k BN ⇒y 1x 1-t +y 2x 2-t =0⇒k (x 1-1)x 1-t +k (x 2-1)x 2-t=0 ⇒2x 1x 2-(t +1)(x 1+x 2)+2t =0⇒2(k2-4)k2+1-2k2(t+1)k2+1+2t=0⇒t=4,所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.。

2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习讲义:第九

2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习讲义:第九

基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,12 B. C.D.解析 Q (-2,0),设直线l 的方程为y =k (x +2),代入抛物线方程,消去y 整理得k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0,由Δ=(4k 2-8)2-4k 2·4k 2=64(1-k 2)≥0,解得-1≤k ≤1. 答案 C2.(2017·石家庄模拟)已知P 为双曲线C :x 29-y 216=1上的点,点M 满足|OM →|=1,且OM →·PM→=0,则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.5解析 由OM →·PM →=0,得OM ⊥PM ,根据勾股定理,求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值,当|OP |取得最小值时,点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0),而双曲线的渐近线为4x ±3y =0,∴所求的距离d =125,故选B.答案 B3.已知椭圆C 的方程为x 216+y 2m 2=1(m >0),如果直线y =22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ,则m 的值为( ) A.2B.2 2C.8D.2 3解析 根据已知条件得c =16-m 2,则点(16-m 2,2216-m 2)在椭圆x 216+y 2m 2=1(m >0)上,∴16-m 216+16-m22m 2=1,可得m =2 2.答案 B4.若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+2有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A.D.(1,3)解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y =±b ax ,与抛物线方程联立消去y 得x 2±b ax +2=0.∵渐近线与抛物线有交点,∴Δ=b 2a2-8≥0,求得b 2≥8a 2,∴c =a 2+b 2≥3a ,∴e =c a≥3. 答案 A5.(2017·丽水调研)斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A ,B 两点,则|AB |的最大值为( ) A.2B.455C.4105D.8105解析 设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线l 的方程为y =x +t ,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4y 2=4,y =x +t 消去y ,得5x 2+8tx +4(t 2-1)=0, 则x 1+x 2=-85t ,x 1x 2=4(t 2-1)5.∴|AB |=1+k 2|x 1-x 2| =1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-85t 2-4×4(t 2-1)5 =425·5-t 2, 当t =0时,|AB |max =4105.答案 C 二、填空题6.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为________. 解析 由条件知双曲线的焦点为(4,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=16,b a=3,解得a =2,b =23,412答案x 24-y 212=1 7.已知动点P (x ,y )在椭圆x 225+y 216=1上,若A 点坐标为(3,0),|AM →|=1,且PM →·AM →=0,则|PM →|的最小值是________. 解析 ∵PM →·AM →=0,∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2=|AP →|2-|AM →|2=|AP →|2-1, ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小, 故|AP →|min =2,∴|PM →|min = 3. 答案38.(2017·杭州调研)若双曲线x 2-y 2b2=1(b >0)的一条渐近线与圆x 2+(y -2)2=1至多有一个公共点,则双曲线离心率的取值范围是________;与圆相切时渐近线的方程为________.解析 双曲线的渐近线方程为y =±bx ,则有|0-2|1+b2≥1,解得b 2≤3,则e 2=1+b 2≤4,∵e >1,∴1<e ≤2.当渐近线与圆相切时,b 2=3,a 2=1,∴渐近线方程为y =±3x . 答案 (1,2] y =±3x 三、解答题9.如图,椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是22,点P (0,1)在短轴CD 上,且PC →·PD →=-1. (1)求椭圆E 的方程;(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A ,B 两点.是否存在常数λ,使得OA →·OB →+λPA →·PB →为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由已知,点C ,D 的坐标分别为(0,-b ),(0,b ). 又点P 的坐标为(0,1),且PC →·PD →=-1,于是⎩⎪⎨⎪⎧1-b 2=-1,c a =22,a 2-b 2=c 2.解得a =2,b = 2.42(2)当直线AB 的斜率存在时, 设直线AB 的方程为y =kx +1,A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 22=1,y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.其判别式Δ=(4k )2+8(2k 2+1)>0, 所以,x 1+x 2=-4k 2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1. 从而,OA →·OB →+λPA →·PB →=x 1x 2+y 1y 2 +λ=(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=(-2λ-4)k 2+(-2λ-1)2k 2+1=-λ-12k 2+1-λ-2. 所以,当λ=1时,-λ-12k 2+1-λ-2=-3. 此时,OA →·OB →+λPA →·PB →=-3为定值. 当直线AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD , 此时OA →·OB →+λPA →·PB →=OC →·OD →+PC →·PD →= -2-1=-3, 故存在常数λ=1,使得OA →·OB →+λPA →·PB →为定值-3.10.(2016·浙江卷)如图,设椭圆x 2a2+y 2=1(a >1).(1)求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长(用a ,k 表示);(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解 (1)设直线y =kx +1被椭圆截得的线段为AM ,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 2a2+y 2=1,得(1+a 2k 2)x 2+2a 2kx =0.故x 1=0,x 2=-2a 2k1+a 2k2,因此|AM |=1+k 2|x 1-x 2|=2a 2|k |1+a 2k2·1+k 2.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ,Q ,满足|AP |=|AQ |.记直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,且k 1,k 2>0,k 1≠k 2. 由(1)知|AP |=2a 2|k 1|1+k 211+a 2k 21,|AQ |=2a 2|k 2|1+k 221+a 2k 22, 故2a 2|k 1|1+k 211+a 2k 21=2a 2|k 2|1+k 221+a 2k 22, 所以(k 21-k 22)=0.由于k 1≠k 2,k 1,k 2>0得1+k 21+k 22+a 2(2-a 2)k 21k 22=0,因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21+1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22+1=1+a 2(a 2-2),①因为①式关于k 1,k 2的方程有解的充要条件是1+a 2(a 2-2)>1,所以a > 2.因此,任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤2,由e =c a =a 2-1a 得,所求离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0,22.能力提升题组 (建议用时:30分钟)11.(2017·浙大附中月考)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与抛物线y2=x 的一个交点的横坐标为x 0,若x 0>1,则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,62 B.(2,+∞) C.(1,2)D.⎝⎛⎭⎪⎫62,+∞ 解析 不妨联立y =b a x 与y 2=x 的方程,消去y 得b 2a 2x 2=x ,由x 0>1知b 2a 2<1,即c 2-a 2a2<1,故e 2<2,又e >1,所以1<e <2,故选C. 答案 C12.(2017·河南省八市质检)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2,它的两条渐近线与抛物线y 2=2px (p >0)的准线分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点.若△AOB 的面积为3,则抛物线的准线方程为( ) A.x =-2 B.x =2 C.x =1D.x =-1解析 因为e =c a=2,所以c =2a ,b =3a ,双曲线的渐近线方程为y =±3x ,又抛物线的准线方程为x =-p 2,联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p2,3p 2,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p2,-3p 2,在△AOB 中,|AB |=3p ,点O 到AB 的距离为p 2,所以12·3p ·p 2=3,所以p =2,所以抛物线的准线方程为x =-1,故选D. 答案 D13.(2017·浙江五校联考)若点O 和点F 分别为椭圆x 29+y 28=1的中点和左焦点,点P 为椭圆上的任一点,则OP →·FP →的最小值为________.解析 点P 为椭圆x 29+y 28=1上的任意一点,设P (x ,y )(-3≤x ≤3,-22≤y ≤22),依题意得左焦点F (-1,0),∴OP →=(x ,y ),FP →=(x +1,y ),∴OP →·FP →=x (x +1)+y 2=x 2+x +72-8x 29=19⎝ ⎛⎭⎪⎫x +922+234.∵-3≤x ≤3,∴32≤x +92≤152,∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +922≤2254, ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x +922≤22536,∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x +922+234≤12,即6≤OP →·FP →≤12,故最小值为6.答案 614.(2017·衡水中学高三联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线3x +4y +6=0与圆x 2+(y -b )2=a 2相切. (1)求椭圆C 的方程;(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1,l 2分别交椭圆C 于M ,N 两点,且l 1⊥l 2,求证:直线MN 过定点,并求出定点坐标; (3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值.解 (1)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2b ,|4b +6|5=a ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =1,即C :x 24+y 2=1.(2)由题意得直线l 1,l 2的斜率存在且不为0. ∵A (-2,0),设l 1:x =my -2,l 2:x =-1my -2,由⎩⎪⎨⎪⎧x =my -2,x 2+4y 2-4=0,得(m 2+4)y 2-4my =0, ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2-8m 2+4,4m m 2+4.同理,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-8m 24m 2+1,-4m 4m 2+1.①m ≠±1时,k MN =5m4(m -1), l MN :y =5m 4(m 2-1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x +65.此时过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫-65,0. ②m =±1时,l MN :x =-65,过点⎝ ⎛⎭⎪⎫-65,0. ∴l MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫-65,0.(3)由(2)知S △AMN =12×45|y M -y N |=25⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m m 2+4+4m 4m 2+1=8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3+m 4m 4+17m 2+4=8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m +1m 4⎝⎛⎭⎪⎫m +1m 2+9=84⎪⎪⎪⎪⎪⎪m +1m +9⎪⎪⎪⎪⎪⎪m +1m .令t =⎪⎪⎪⎪⎪⎪m +1m ≥2,当且仅当m =±1时取等号, ∴S △AMN ≤1625,且当m =±1时取等号.∴(S △AMN )max =1625.15.(2017·宁波模拟)如图,中心在坐标原点,焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆T 1,T 2都过点M (0,-2),且椭圆T 1与T 2的离心率均为22. (1)求椭圆T 1与椭圆T 2的标准方程;(2)过点M 引两条斜率分别为k ,k ′的直线分别交T 1,T 2于点P ,Q ,当k ′=4k 时,问直线PQ 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 解 (1)由题意知,椭圆T 1和椭圆T 2的方程分别为x 24+y 22=1,y 22+x 2=1;(2)直线MP 的方程为y =kx -2,联立椭圆方程得:⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 22=1,y =kx -2,消去y 得(2k 2+1)x 2-42kx =0,则x P =42k 2k 2+1,则点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 2k 2+1,22k 2-22k 2+1 同理可得点Q 的坐标为:Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ′k ′2+2,2k ′2-22k ′2+2,又k ′=4k ,则点Q 为:⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 8k 2+1,82k 2-28k 2+1, k PQ =82k 2-28k 2+1-22k 2-22k 2+142k 8k 2+1-42k2k 2+1=-12k ,则直线PQ 的方程为:y -22k 2-22k 2+1=-12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -42k 2k 2+1, 化简得y -2=-12k x ,故直线PQ 过定点(0,2).。

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(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.3圆的方程教师用书1.圆的定义与方程【知识拓展】1.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组;(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)(1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2;(2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2;(3)点在圆内:(x 0-a )2+(y 0-b )2<r 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ )(2)已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则以AB 为直径的圆的方程是(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0.( √ )(3)方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是A =C ≠0,B =0,D 2+E 2-4AF >0.( √ )(4)方程x 2+2ax +y 2=0一定表示圆.( ³ )(5)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外,则x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F >0.( √ )1.(教材改编)将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是( ) A .x +y -1=0 B .x +y +3=0 C .x -y +1=0 D .x -y +3=0 答案 C解析 圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入检验选项C 满足. 2.方程x 2+y 2+mx -2y +3=0表示圆,则m 的范围是( ) A .(-∞,-2)∪(2,+∞) B .(-∞,-22)∪(22,+∞) C .(-∞,-3)∪(3,+∞) D .(-∞,-23)∪(23,+∞) 答案 B解析 将x 2+y 2+mx -2y +3=0化为圆的标准方程得(x +m2)2+(y -1)2=m 24+1-3.由其表示圆可得m 24-2>0,解得m <-22或m >2 2.3.(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上,并且过点A (-1,1)和B (1,3),则圆C 的方程为______________. 答案 (x -2)2+y 2=10 解析 设圆心坐标为C (a,0), ∵点A (-1,1)和B (1,3)在圆C 上,∴|CA |=|CB |,即 a +1 2+1= a -1 2+9, 解得a =2, ∴圆心为C (2,0),半径|CA |= 2+1 2+1=10, ∴圆C 的方程为(x -2)2+y 2=10.4.(2016²浙江)已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a +2)y 2+4x +8y +5a =0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________. 答案 (-2,-4) 5解析 由已知方程表示圆,则a 2=a +2, 解得a =2或a =-1.当a =2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去. 当a =-1时,原方程为x 2+y 2+4x +8y -5=0, 化为标准方程为(x +2)2+(y +4)2=25, 表示以(-2,-4)为圆心,半径为5的圆.题型一 求圆的方程例1 (1)(2016²天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M (0,5)在圆C 上,且圆心到直线2x -y =0的距离为455,则圆C 的方程为________________.(2)(2015²课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.答案 (1)(x -2)2+y 2=9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+y 2=254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,设C (a,0),且a >0, 所以圆心到直线2x -y =0的距离d =2a5=455,解得a =2,所以圆C 的半径r =|CM |=4+5=3, 所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2=9.(2)由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点, (4,0),(0,-2)两点的垂直平分线方程为y +1=-2(x -2),令y =0,解得x =32,圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,半径为52. 思维升华 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ,b )和半径r 有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a ,b ,r 的方程组,从而求出a ,b ,r 的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组,进而求出D 、E 、F 的值.(2016²湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称,经过点A (1,0),且被x 轴分成两段弧,弧长之比为1∶2,则圆C 的标准方程为________________. 答案 x 2+(y ±33)2=43解析 ∵圆C 关于y 轴对称,∴可设C (0,b ),设圆C 的半径为r ,则圆C 的标准方程为x 2+(y -b )2=r 2,依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧12+ -b 2=r 2,|b |=12r ,解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2=43,b =±33,于是圆C 的标准方程为x 2+(y ±33)2=43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 (2016²盐城检测)已知点(x ,y )在圆(x -2)2+(y +3)2=1上.求x +y 的最大值和最小值.解 设t =x +y ,则y =-x +t ,t 可视为直线y =-x +t 的在y 轴上的截距,∴x +y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时的在y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径, 即|2+ -3 -t |2=1,解得t =2-1或t =-2-1.∴x +y 的最大值为2-1,最小值为-2-1. 引申探究1.在例2的条件下,求y x的最大值和最小值.解 y x 可视为点(x ,y )与原点连线的斜率,y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y =kx ,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即|2k +3|k 2+1=1,解得k =-2+233或k =-2-233.∴y x 的最大值为-2+233,最小值为-2-233.2.在例2的条件下,求x 2+y 2+2x -4y +5的最大值和最小值. 解x 2+y 2+2x -4y +5= x +1 2+ y -2 2,求它的最值可视为求点(x ,y )到定点(-1, 2)的距离的最值,可转化为圆心(2,-3)到定点(-1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(-1,2)的距离为34,∴x 2+y 2+2x -4y +5的最大值为34+1,最小值为34-1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ,y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u =y -bx -a型的最值问题,可转化为过点(a ,b )和点(x ,y )的直线的斜率的最值问题;②形如t =ax +by 型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如(x -a )2+(y -b )2型的最值问题,可转化为动点到定点(a ,b )的距离平方的最值问题.已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.求:(1)y x的最大值和最小值; (2)y -x 的最小值;(3)x 2+y 2的最大值和最小值.解 (1)如图,方程x 2+y 2-4x +1=0表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆.设y x=k ,即y =kx ,则圆心(2,0)到直线y =kx 的距离为半径,即直线与圆相切时,斜率取得最大值、最小值. 由|2k -0|k 2+1=3,解得k 2=3, ∴k max =3,k min =- 3. (2)设y -x =b ,则y =x +b ,当且仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时,在y 轴上的截距b 取最小值, 由点到直线的距离公式,得|2-0+b |2=3, 即b =-2±6, 故(y -x )min =-2- 6.(3)x 2+y 2是圆上的点与原点的距离的平方,故连接OC , 与圆交于B 点,并延长交圆于C ′,则 (x 2+y 2)max =|OC ′|2=(2+3)2=7+43, (x 2+y 2)min =|OB |2=(2-3)2=7-4 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题例3 (2016²潍坊模拟)已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点.(1)求线段AP 中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程. 解 (1)设AP 的中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ). 因为P 点在圆x 2+y 2=4上, 所以(2x -2)2+(2y )2=4,故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt△PBQ 中,|PN |=|BN |.设O 为坐标原点,连接ON ,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2, 所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.(2016²天津模拟)设定点M (-3,4),动点N 在圆x 2+y 2=4上运动,以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ,求点P 的轨迹. 解 如图所示,设P (x ,y ),N (x 0,y 0),则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2,y 2,线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-32,y 0+42.由于平行四边形的对角线互相平分, 故x 2=x 0-32,y 2=y 0+42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0=x +3,y 0=y -4.又N (x +3,y -4)在圆上,故(x +3)2+(y -4)2=4. 因此所求轨迹为圆:(x +3)2+(y -4)2=4,但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫-95,125和⎝ ⎛⎭⎪⎫-215,285(点P 在直线OM 上的情况).23.利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中,曲线y =x 2-6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上,求圆C 的方程.思想方法指导 本题可采用两种方法解答,即代数法和几何法.(1)一般解法(代数法):可以求出曲线y =x 2-6x +1与坐标轴的三个交点,设圆的方程为一般式,代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法):利用圆的性质,知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上,从而设圆的方程为标准式,简化计算,显然几何法比代数法的计算量小,因此平时训练多采用几何法解题. 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y =x 2-6x +1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+22,0),(3-22,0),设圆的方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0),则有⎩⎨⎧1+E +F =0,3+22 2+D 3+22 +F =0, 3-22 2+D 3-22 +F =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-6,E =-2,F =1,故圆的方程是x 2+y 2-6x -2y +1=0.巧妙解法 (几何法)曲线y =x 2-6x +1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+22,0),(3-22,0).故可设C 的圆心为(3,t ),则有32+(t -1)2=(22)2+t 2,解得t =1. 则圆C 的半径为32+ t -1 2=3, 所以圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=9.1.已知点A (1,-1),B (-1,1),则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A .x 2+y 2=2 B .x 2+y = 2 C .x 2+y 2=1 D .x 2+y 2=4答案 A解析 AB 的中点坐标为(0,0),|AB |=[1- -1 ]2+ -1-1 2=22, ∴圆的方程为x 2+y 2=2.2.(2016²南昌检测)圆心在y 轴上,且过点(3,1)的圆与x 轴相切,则该圆的方程是( ) A .x 2+y 2+10y =0B .x 2+y 2-10y =0C .x 2+y 2+10x =0 D .x 2+y 2-10x =0答案 B解析 根据题意,设圆心坐标为(0,r ),半径为r ,则32+(r -1)2=r 2, 解得r =5,可得圆的方程为x 2+y 2-10y =0.3.(2016²福州质检)设圆的方程是x 2+y 2+2ax +2y +(a -1)2=0,若0<a <1,则原点与圆的位置关系是 ( ) A .原点在圆上 B .原点在圆外 C .原点在圆内 D .不确定答案 B解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x +a )2+(y +1)2=2a ,因为0<a <1, 所以(0+a )2+(0+1)2-2a =(a -1)2>0,即 0+a 2+ 0+1 2>2a ,所以原点在圆外.4.点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y +1)2=4 C .(x +4)2+(y -2)2=4 D .(x +2)2+(y -1)2=1答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0,y 0),x 20+y 20=4,连线中点坐标为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧2x =x 0+42y =y 0-2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -4,y 0=2y +2,代入x 20+y 20=4中得(x -2)2+(y +1)2=1.5.(2016²绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上,且与x 轴相切,被双曲线x 2-y 23=1的渐近线截得的弦长为3,则圆C 的方程为( ) A .x 2+(y -1)2=1 B .x 2+(y -3)2=3 C .x 2+(y +1)2=1 D .x 2+(y +3)2=3答案 A解析 依题意得,题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3,倾斜角为60°,结合图形(图略)可知,所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1,因此其方程是x 2+(y -1)2=1. 6.(2016²九江模拟)已知P 是直线l :3x -4y +11=0上的动点,PA ,PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线(A ,B 是切点),C 是圆心,那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B .2 2 C. 3 D .2 3 答案 C解析 圆的方程可化为(x -1)2+(y -1)2=1, 则C (1,1),当|PC |最小时,四边形PACB 的面积最小, |PC |min =|3-4+11|32+42=2,此时|PA |=|PB |= 3. 所以四边形PACB 的面积S =2³12³3³1=3,故选C.7.(2017²杭州质检)设直线l 1:mx -(m -1)y -1=0(m ∈R ),则直线l 1恒过定点_______;若直线l 1为圆x 2+y 2+2y -3=0的一条对称轴,则实数m =_______. 答案 (1,1) 2解析 l 1方程变形为m (x -y )+y -1=0,令⎩⎪⎨⎪⎧x -y =0,y -1=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1,∴l 1恒过定点(1,1).l 1过圆心(0,-1),则m -1-1=0,∴m =2.8.(2016²南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0),且与直线y =1相切,则圆C 的方程是__________________. 答案 (x -2)2+(y +32)2=254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0),所以设圆心为(2,m ). 又因为圆与直线y =1相切,所以22+m 2=|1-m |, 解得m =-32.所以圆C 的方程为(x -2)2+(y +32)2=254.9.圆心在直线x -2y =0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为23,则圆C 的标准方程为___________________. 答案 (x -2)2+(y -1)2=4解析 设圆C 的圆心为(a ,b )(b >0), 由题意得a =2b >0,且a 2=(3)2+b 2,解得a =2,b =1.∴所求圆的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=4.10.(2016²浙江五校高三第二次联考)直线mx +y -4=0与直线x -my -4=0相交于点P ,则P 到点Q (5,5)的距离|PQ |的取值范围是__________.答案 [2,52]解析 直线mx +y -4=0过定点A (0,4),直线x -my -4=0过定点B (4,0),且两直线互相垂直,所以点P 在以AB 为直径的圆上运动,圆心K (2,2),r =2 2.又|QK |=32, 所以2=32-22≤|PQ |≤32+22=52,即|PQ |的取值范围是[2,52].11.已知圆C 经过P (4,-2),Q (-1,3)两点,且在y 轴上截得的线段的长为43,半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程;(2)若直线l ∥PQ ,且l 与圆C 交于点A ,B ,且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点,求直线l 的方程.解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x +y -2=0.设圆心C (a ,b ),半径为r ,由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y -12=x -32, 即y =x -1,所以b =a -1. ①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43,知r 2=12+a 2,可得(a +1)2+(b -3)2=12+a 2, ②由①②得a =1,b =0或a =5,b =4.当a =1,b =0时,r 2=13,满足题意,当a =5,b =4时,r 2=37,不满足题意.故圆C 的方程为(x -1)2+y 2=13.(2)设直线l 的方程为y =-x +m (m ≠2), A (x 1,m -x 1),B (x 2,m -x 2).由题意可知OA ⊥OB ,即OA →²OB →=0,∴x 1x 2+(m -x 1)(m -x 2)=0,化简得2x 1x 2-m (x 1+x 2)+m 2=0.③ 由⎩⎪⎨⎪⎧ y =-x +m , x -1 2+y 2=13得 2x 2-2(m +1)x +m 2-12=0,∴x 1+x 2=m +1,x 1x 2=m 2-122, 代入③,得m 2-12-m ²(1+m )+m 2=0,∴m =4或m =-3,经检验都满足题意,∴直线l 的方程为x +y -4=0或x +y +3=0.12.(2016²宁波五校联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为22,在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程;(2)若P 点到直线y =x 的距离为22,求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ,y ),圆P 的半径为r .则y 2+2=r 2,x 2+3=r 2.∴y 2+2=x 2+3,即y 2-x 2=1.∴P 点的轨迹方程为y 2-x 2=1.(2)设P 点的坐标为(x 0,y 0), 则|x 0-y 0|2=22,即|x 0-y 0|=1. ∴y 0-x 0=±1,即y 0=x 0±1.①当y 0=x 0+1时,由y 20-x 20=1,得(x 0+1)2-x 20=1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=0,y 0=1,∴r 2=3.∴圆P 的方程为x 2+(y -1)2=3.②当y 0=x 0-1时,由y 20-x 20=1,得(x 0-1)2-x 20=1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=0,y 0=-1,∴r 2=3.∴圆P 的方程为x 2+(y +1)2=3.综上所述,圆P 的方程为x 2+(y ±1)2=3.*13.已知M 为圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0上任意一点,且点Q (-2,3).(1)求|MQ |的最大值和最小值;(2)若M (m ,n ),求n -3m +2的最大值和最小值.解 (1)由圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0,可得(x -2)2+(y -7)2=8,所以圆心C 的坐标为(2,7),半径r =2 2.又|QC |= 2+2 2+ 7-3 2=4 2.所以|MQ |max =42+22=62,|MQ |min =42-22=2 2.(2)可知n -3m +2表示直线MQ 的斜率,设直线MQ 的方程为y -3=k (x +2),即kx -y +2k +3=0,则n -3m +2=k .由直线MQ 与圆C 有交点, 所以|2k -7+2k +3|1+k 2≤22,可得2-3≤k ≤2+3,所以n -3m +2的最大值为2+3,最小值为2- 3.。

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