2017-2018学年人教B版高中数学必修5全册学案含答案

2017-2018学年高中数学人教B版必修5全册同步学案目录第一章 1.1.1 正弦定理（一）第一章 1.1.1 正弦定理（二）第一章 1.1.2 余弦定理（一）第一章 1.1.2 余弦定理（二）第一章 1.2 应用举例（一）第一章 1.2 应用举例（二）第一章习题课正弦定理和余弦定理第一章章末复习提升第二章 2.1.1 数列第二章 2.1.2 数列的递推公式（选学）第二章 2.2.1 等差数列（一）第二章 2.2.1 等差数列（二）第二章 2.2.2 等差数列的前n项和（一）第二章 2.3.1 等比数列（一）第二章 2.3.1 等比数列（二）第二章 2.3.2 等比数列的前n项和（一）第二章 2.3.2 等比数列的前n项和（二）第二章习题课数列求和第二章章末复习提升第三章 3.1.1 不等关系与不等式第三章 3.1.2 不等式的性质第三章 3.2 均值不等式（一）第三章 3.2 均值不等式（二）第三章 3.3 一元二次不等式及其解法第三章 3.4 不等式的实际应用第三章 3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域第三章 3.5.2 简单线性规划第三章习题课线性规划问题的几个重要题型第三章章末复习提升第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．[知识链接]下列说法中，正确的有________．(1)在直角三角形中，若C 为直角，则sin A ＝ac .(2)在△ABC 中，若a ＞b ，则A ＞B . (3)在△ABC 中，C ＝π－A －B .(4)利用AAS 、SSA 都可以证明三角形全等． (5)在△ABC 中，若sin B ＝22，则B ＝π4. 答案 (1)(2)(3)解析 根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；AAS 可以证明三角形全等，SSA 不能证明，(4)不正确；若sin B ＝22，则B ＝π4或3π4，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确． [预习导引]1．在Rt △ABC 中的有关定理 在Rt △ABC 中，C ＝90°，则有： (1)A ＋B ＝90°，0°<A <90°，0°<B <90°； (2)a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)； (3)a sin A ＝c ；b sin B ＝c ；csin C ＝c . 2．正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C，这个比值是其外接圆的直径2R . 3．解三角形一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．要点一 正弦定理的推导与证明例1 在锐角△ABC 中，证明：a sin A ＝b sin B ＝c sin C.证明 如图，在锐角△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，有CD b ＝sin A ，CDa＝sin B .∴CD ＝b sin A ＝a sin B ．∴a sin A ＝bsin B .同理，b sin B ＝c sin C .∴a sin A ＝b sin B ＝csin C 成立．规律方法 从正弦定理可以推出它的常用变形有： (1)a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C . (2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C. (3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B . (4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .跟踪演练1 在钝角△ABC 中，如何证明a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立？证明 如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，则 CDb＝sin A ，即CD ＝b sin A ； CDa＝sin(180°－B )＝sin B ， 即CD ＝a sin B . 因此b sin A ＝a sin B ，即a sin A ＝b sin B. 同理可证，b sin B ＝c sin C .因此a sin A ＝b sin B ＝csin C .要点二 已知两角及一边解三角形例2 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形： (1)a ＝20，A ＝30°，C ＝45°； (2)a ＝8，B ＝60°，C ＝75°.解 (1)∵A ＝30°，C ＝45°；∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°)＝10(6＋2)；c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202，∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2. (2)A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．规律方法 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪演练2 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c . 解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°， 所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．要点三 已知两边及一边的对角解三角形 例3 在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形：(1)a ＝1，b ＝3，A ＝30°； (2)a ＝3，b ＝1，B ＝120°.解 (1)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32.∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°， ∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°＝2；当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1. (2)根据正弦定理，sin A ＝a sin B b ＝3sin 120°1＝32>1.因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．规律方法 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法： (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪演练3 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形： (1)a ＝2，c ＝6，C ＝π3；(2)a ＝2，c ＝6，A ＝π4.解 (1)∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22. ∵c >a ，∴C >A .∴A ＝π4.∴B ＝5π12，b ＝c sin B sin C＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1.(2)∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝32. 又∵a <c ，∴C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A ＝3＋1.当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A＝3－1.1．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔a >b ⇔A >B . 2．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b sin A 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得a sin B ＝b sin A ，故选C.3．在△ABC 中，已知A ＝150°，a ＝3，则其外接圆的半径R 的值为( ) A ．3 B.3 C ．2 D ．不确定 答案 A解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝3sin 150°＝6＝2R ，∴R ＝3. 4．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 B解析 由sin A ＝sin C 知a ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________. 答案 25解析 由正弦定理，得c ＝a sin Csin A＝2a ＝2 5.1．正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)．2．正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．1.1.1 正弦定理(二)[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．[知识链接]以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是 ． (1)在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则A ＝90°.(2)在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b .(3)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；反之，若A >B ，则sin A >sin B . (4)在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C .答案 (2)解析 对于(1)，由正弦定理可知，sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴B ＝C ＝45°，故A ＝90°，故(1)正确．对于(2)，由sin 2A ＝sin 2B 可得A ＝B 或2A ＋2B ＝π， ∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故(2)错误．对于(3)，在△ABC 中，sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ，故(3)正确． 对于(4)，因为a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C ，故(4)正确．[预习导引]1．正弦定理的常见变形 (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R .(3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .2．三角变换公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (3)sin2α＝2sin αcos α.要点一 利用正弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状． 解 方法一 在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴(a 2R )2＝(b 2R )2＋(c2R)2，即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )， ∴sin 2B ＝12.∵B 是锐角，∴sin B ＝22，∴B ＝45°，C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．方法二 在△ABC 中，根据正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°. ∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C . ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.∴B －C ＝0，即B ＝C . ∴△ABC 是等腰直角三角形．规律方法 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 跟踪演练1 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状． 解 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴a b ＝sin A sin B ，∴a 2b 2＝sin 2A sin 2B . 又∵a 2tan B ＝b 2tan A ，∴a 2b 2＝tan A tan B ，∴tan A tan B ＝sin 2Asin 2B， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 要点二 利用正弦定理求最值或范围例2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，且a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围．解 设R 为△ABC 外接圆的半径． ∵a ＝2b sin A ，∴2R sin A ＝4R sin B sin A ， ∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π6.令y ＝cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin [π－(B ＋A )] ＝cos A ＋sin(π6＋A )＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A＝32cos A ＋32sin A ＝3sin(A ＋π3)． 由锐角△ABC 知，π2－B <A <π2，∴π3<A <π2.∵2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin(A ＋π3)<32， ∴32<3sin(A ＋π3)<32，即32<y <32. ∴cos A ＋sin C 的取值范围是(32，32)．规律方法 在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法： (1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量．(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．跟踪演练2 在△ABC 中，若C ＝2B ，求cb 的取值范围．解 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2.要点三 正弦定理与三角变换的综合应用例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小，并判断△ABC 的形状． 解 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0， ∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0. ∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0， 即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0. 解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3.∴sin A ＋sin(2π3－A )＝3，∴sin A ＋sin2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin(A ＋π6)＝1.∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2.∴A ＝π3，C ＝π3，即A ＝B ＝C .∴△ABC 是等边三角形．规律方法 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．跟踪演练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．解 设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B (R 为△ABC 外接圆的半径)， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0. ∵A 、B 为△ABC 的内角， ∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π， ∴A －B ＝0，即A ＝B . 故△ABC 为等腰三角形．1．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则角C 的值为( ) A. 45° B. 30° C ．75° D ．90° 答案 C解析 由正弦定理，得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6， ∴A 为锐角． ∴A ＝45°.∴C ＝75°.2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C ＝ .答案 0 解析 由于a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以2a sin A －b sin B －c sin C ＝(a sin A －b sin B )＋(a sin A －c sin C)＝0. 4．在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．解 a ＝23，b ＝6，a ＜b ，A ＝30°＜90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a ＞b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．1.1.2 余弦定理(一)[学习目标] 1.理解余弦定理的证明.2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形．[知识链接]1. 以下问题可以使用正弦定理求解的是 ．(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． (2)已知两角和一边，求其他角和边．(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角． (4)已知一个三角形的三条边，解三角形． 答案 (1)(2)2．如图所示，在直角坐标系中，若A (0,0)，B (c,0)，C (b cos A ，b sin A )．利用两点间距离公式表示出|BC |，化简后会得出怎样的结论？解 a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A －0)2 ＝b 2(sin 2A ＋cos 2A )－2bc cos A ＋c 2 ＝b 2＋c 2－2bc cos A . 得出a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . [预习导引] 1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 2．余弦定理的变形 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.要点一 已知两边及一角解三角形例1 已知△ABC ，根据下列条件解三角形： (1)b ＝3，c ＝33，B ＝30°； (2)a ＝3，b ＝2，B ＝45°.解 (1)方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，由于b ＝3，∴A ＝B ＝30°，∴C ＝120°. 当a ＝6时，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.方法二 由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，由b <c ，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6， 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形． ∴a ＝b ＝3.(2)由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴2＝3＋c 2－23·22c . 即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22， 当c ＝6＋22时，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋(6＋22)2－32×2×6＋22＝12.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋(6－22)2－32×2×6－22＝－12.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝120°，C ＝15°. 故c ＝6＋22，A ＝60°，C ＝75°或c ＝6－22，A ＝120°，C ＝15°. 规律方法 已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．跟踪演练1 在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边长c .解 5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.要点二 已知三边或三边关系解三角形例2 (1)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数． (2)已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角． 解 (1)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(22)2＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(23)2＋(6＋2)2－(22)22×23×(6＋2)＝22，∴B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝75°.(2)∵c ＞a ，c ＞b ，∴角C 最大．由余弦定理， 得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即37＝9＋16－24cos C ， ∴cos C ＝－12，∵0°＜C ＜180°， ∴C ＝120°.∴△ABC 的最大内角为120°.规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边解三角形． 跟踪演练2 在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 解 由余弦定理和条件，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理，得 x 2＝(AC 2)2＋AB 2－2·AC2·AB cos A＝42＋92－2×4×9×23＝49，∴x ＝7.所以所求AC 边上的中线长为7. 要点三 三角形形状的判断例3 在△ABC 中，已知cos 2 A 2＝b ＋c2c ，判断△ABC 的形状．解 方法一 在△ABC 中，由已知cos 2 A 2＝b ＋c2c ，得1＋cos A 2＝b ＋c2c，∴cos A ＝bc.根据余弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ＝bc .∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．方法二 在△ABC 中，设其外接圆半径为R ，由正弦定理，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 由cos 2 A 2＝b ＋c 2c 知，cos A ＝bc .∴cos A ＝sin Bsin C ，即sin B ＝sin C cos A .∵B ＝π－(A ＋C )， ∴sin(A ＋C )＝sin C cos A ， ∴sin A cos C ＝0.∵A ，C 都是△ABC 的内角， ∴A ≠0，A ≠π.∴cos C ＝0，∴C ＝π2.∴△ABC 是直角三角形．规律方法 (1)方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段． (2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪演练3 在△ABC 中，若(a －c cos B )sin B ＝(b －c cos A )sin A ，判断△ABC 的形状． 解 方法一 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为(a －c ·a 2＋c 2－b 22ac )b ＝(b －c ·b 2＋c 2－a 22bc )a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2，∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2，故三角形为等腰三角形或直角三角形．方法二 由正弦定理，原等式可化为(sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ，∴sin 2B ＝sin 2A ， ∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4 答案 B解析 设另一边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴x ＝213.2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 答案 D解析 设顶角为C ，∵l ＝5c ，∴a ＝b ＝2c ， 由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4．在△ABC 中，已知A ＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x 2－7x ＋11＝0的两根，则第三边的长为 ． 答案 4解析 设最大边为x 1，最小边为x 2， 则x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝11，∴第三边长＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2(1＋cos A )＝4.5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状． 解 因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0)．c 最大，cos C ＝(2k )2＋(4k )2－(5k )22×2k ×4k <0，所以C 为钝角，从而△ABC 为钝角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形．2．当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．3．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.1.1.2余弦定理(二)[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．[知识链接]1．以下问题不能用余弦定理求解的是．(1)已知两边和其中一边的对角，解三角形．(2)已知两角和一边，求其他角和边．(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角．(4)已知一个三角形的三条边，解三角形．答案(2)2．利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是．(1)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则△ABC为直角三角形．(2)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则△ABC为锐角三角形．(3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形．答案(1)(3)[预习导引]1．正弦定理及其变形(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)．(2)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. (2)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(3)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.要点一 正、余弦定理的综合应用例1 如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解 在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ， ∴142＝102＋x 2－2×10·x cos 60°，即x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， ∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.规律方法 余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息． 跟踪演练1 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .解 方法一 在△ABC 中，∵sin A cos C ＝3cos A sin C ， 则由正弦定理及余弦定理有：a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3(b 2＋c 2－a 22bc )c ，化简并整理得： 2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，∴4b ＝b 2.解得b ＝4或b ＝0(舍)． 方法二 由余弦定理得：a 2－c 2＝b 2－2bc cos A . 又a 2－c 2＝2b ，b ≠0.所以b ＝2c cos A ＋2. ①又sin A cos C ＝3cos A sin C ，∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝4cos A sin C ， sin(A ＋C )＝4cos A sin C ， 即sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理得sin B ＝bc sin C ，故b ＝4c cos A ． ②由①②解得b ＝4.要点二 利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 例2 在△ABC 中，有： (1)a ＝b cos C ＋c cos B ； (2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A ；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明． 证明 方法一 (1)设△ABC 外接圆半径为R ， 由正弦定理得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C ) ＝2R sin(B ＋C )＝2R sin A ＝a . 即a ＝b cos C ＋c cos B同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 方法二 (1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 22a ＝a .∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A .规律方法 (1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化． 跟踪演练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A .证明 方法一 因为左边＝a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab ＝b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)，右边＝c －b ·b 2＋c 2－a 22bc b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)，∴等式成立．方法二 设△ABC 外接圆半径为R ， ∵右边＝2R sin C －2R sin B ·cos A2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin (A ＋B )－sin B cos A sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C ＝cos Bcos C＝左边．∴等式成立．要点三 利用正、余弦定理判断三角形形状例3 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．解 由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ， 得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ， 即a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3，又sin A ＝2sin B cos C ，由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a ，∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．规律方法 题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断． 跟踪演练3 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 解 方法一 根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ， ∴⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2a ，即b ＝a . ∴△ABC 是等边三角形． 方法二 根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴C ＝120°－A ， ∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )， 整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴A ＝60°，C ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形．1．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为 ( )A.13 B ．－23 C.14 D ．－14 答案 A解析 根据正弦定理， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k (k >0)． 则有cos C ＝9k 2＋4k 2－9k 22×3k ×2k＝13.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ，∴2×a 2＋c 2－b 22ac ×a ＝c ，∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为 ． 答案 π6解析 根据余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.4．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则满足条件的三角形有几个？ 解 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴22＝a 2＋(23)2－2a ×23cos 30°， 即a 2－6a ＋8＝0，解得a ＝2或a ＝4. 当a ＝2时，三边为2,2,23可组成三角形； 当a ＝4时，三边为4,2,23也可组成三角形． ∴满足条件的三角形有两个．1．已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单． 2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角，并利用三角恒等变形进行化简； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．1．2 应用举例(一)[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神．[知识链接]“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘． [预习导引] 1．仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图．2．方位角和方向角从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，方位角的范围是[0,2π]．从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角，如北偏东30°，南偏东45°. 3．坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度．要点一 测量底部不能到达的建筑物的高度例1 如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD . 解 在△ABC 中， ∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α，∠CAD ＝β ，∠BAC ＝α－β.根据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).答 山的高度为h cos αsin βsin (α－β).规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________ m(精确到1 m ，sin 35°≈0.574)． 答案 812解析 过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°.在△ABD 中，由正弦定理，AB ＝AD sin ∠ADBsin ∠ABD ＝1 0002(m)．在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈812(m)． 要点二 测量仰角求高度问题例2 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， 所以CD ＝AD .在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin 15°＝AD sin 45°，得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)． 即山的高度为800(3＋1) m.规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪演练2 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D .现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠BCD ＝α，∠BDC ＝β， ∴∠CBD ＝180°－(α＋β)， ∴BC sin β＝s sin[180°－(α＋β)]，即BC sin β＝ssin (α＋β). ∴BC ＝sin βsin (α＋β)·s .在△ABC 中，由于∠ABC ＝90°，∴ABBC ＝tan θ，∴AB ＝BC ·tan θ＝sin β·tan θsin (α＋β)·s .要点三 测量两个不能到达点之间的距离问题例3 如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝ 64( km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形． ∴AC ＝CD ＝32(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋616－2×32×64×22＝38，∴AB ＝64(km)． 所以河对岸A 、B 两点间距离为64km. 规律方法 测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量。