中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

与圆有关的最值（取值范围）问题
引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．
引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，
»AB
BC=，AC=，求的最大值.
a b a b
引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE
长度的最大值为( ).
A．3 B．6 C
D．
一、题目分析：
此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接
1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；
2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；
3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；
综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.
二、解题策略
1．直观感觉，画出图形；
2．特殊位置，比较结果；
3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.
A 三、中考展望与题型训练
例一、斜率运用
1.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n
）为⊙A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值．
例二、圆外一点与圆的最近点、最远点
1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .
2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧»
AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．
（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ；
（2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .
例三、正弦定理 1．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=
D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于
E ，
F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值
为 ．
2. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是 ．
A
例四、柯西不等式、配方法
1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜
4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .
2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ).
D. 2
3．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与轴相交于点A ，与轴相交于点B ，线段AB 长度的x y 最小值是 .
例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .
2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .
3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O 于点Q，则PQ的最小值为（ ）A．B．C．3 D．2
例五、其他知识的综合运用
1.（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；
（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．
2.（2013秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．
（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求线段CD长的最小值；
（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为 ．
B
【题型训练】
1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点
Q，使△QAC
是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为 .
2．已知：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒
(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.
（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是；
（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 .
3．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q为⊙N上的任意一点，直线PQ与连心线所夹的锐角度数为，当P、Q在两圆上任意运动时，
lα
的最大值为
； (B)；
； (D) tanα
∠
4
3
3
4
4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).
(A)4 (B) (C) (D)
21
5
35
8
17
4 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB 分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).
A． B． C．5 D．
19
4
24
5
6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．
7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D
是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E
，则△ABE面积的最小值是( ).
A．2 B．1 C. D.
22-
8．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).
A．3 B． C．
10
3
D．4
11
3
9．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ 切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为
( ).
B.
10．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .
11．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（）是第一象限内一点，且AB=2，
m n
，
则的范围为 .
m n
-
12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则，则的取值范围是 .
tan ABP m
∠=m
13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .
蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：
1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．
注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．
参考答案：
引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）
时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，
∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC= =，
随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，
∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．
引例1图引例2图
+≤
引例2.a b
原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O 于点E，BC=a，AC=b．
（1）求证：AE=b+a；
（2）求a+b的最大值；
（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；
（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）
2=
a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；
（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m 的取值范围．
【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，
∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，
故a+b的最大值为，
（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，
∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），
当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，
当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，
∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．
【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，
∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．
∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，
∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。

【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE与AP之间的关系，再解决切线的性质来解决问题．本题属于中等难度题，难点在于找到DE与半径AP之间的关系，只有找到DE与AP之间的关系，才能说明当A、O、P三点共线时DE最大．
引例3图
例一、斜率运用
【考点】切线的性质；坐标与图形性质．【专题】探究型．
【分析】设m+n=k，则点P（m，n）在直线x+y=k上，易得直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为（0，k），于是可判断当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时，k的值最大；直线y=﹣x+k与x轴交于点C，切⊙A于P，作PD⊥x轴于D，AE⊥PD于E，连接AB，如图，则C（k，0），利用直线y=﹣x+k的性质易得∠PCD=45°，则△PCD为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，所以四边形ABDE为
矩形，∠APE=45°，则DE=AB=1，PE=AP=，所以PD=PE+DE=+1，然后在Rt△PCD
中，利用PC=PD得到2+k=（+1），解得k=﹣1，从而得到n+m的最大值为
﹣1．
【解答】解：设m+n=k，则点P（m，n）在直线x+y=k上，当x=0时，y=k，即直线y=﹣x+k 与y轴的交点坐标为（0，k），所以当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时，k的值最大，
直线y=﹣x+k 与x 轴交于点C ，切⊙A 于P ，作PD ⊥x 轴于D ，AE ⊥PD 于E ，连接AB ，如图，
当y=0时，﹣x+k=0，解得x=k ，则C （k ，0），∵直线y=﹣x+k 为直线y=﹣x 向上平移k 个单位得到，∴∠PCD=45°，∴△PCD 为等腰直角三角形，∵CP 和OB 为⊙A 的切线，∴AB ⊥OB ，AP ⊥PC ，AP=AB=1，CP=CB=k+2，∴四边形ABDE 为矩形，∠APE=45°，∴DE=AB=1，
∵△APE 为等腰直角三角形，∴PE=AP=，∴PD=PE+DE=+1，在Rt △PCD 中，∵PC=
PD ，∴2+k=（+1），解得k=﹣1，∴n+m 的最大值为
﹣1．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定直线y=﹣x+k 与⊙A 相切时n+m 的最大值．
例二、圆外一点与圆的最近点、最远点
1. 解：作AB 的中点E ，连接EM 、CE ．在直角△ABC 中，AB===5， ∵E 是直角△ABC 斜边AB 上的中点，∴CE=AB=．∵M 是BD 的中点，E 是AB 的中点，
∴ME=AD=1．∴在△CEM 中，﹣1≤CM ≤+1，即≤CM ≤．故答案是：≤CM ≤．
2.（1）；（2）；
CD <≤2+变式题：（2011•邯郸一模）如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O 的直径
AB=5，AB 的不同侧有定点C 和动点P ，tan ∠CAB=．其运动过程是：点P 在弧AB 上滑动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．
（1）当PC= 时，CQ 与⊙O 相切；此时CQ= ．
（2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；
（3）当点P 运动到弧AB 的中点时，求CQ 的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】（1）当CQ为圆O的切线时，CQ为圆O的切线，此时CP为圆的直径，由CQ垂直于直径CP，得到CQ为切线，即可得到CP的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ的长；
（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，由AB为圆O 的直径，得到∠ACB为直角，在直角三角形ACB中，由tan∠CAB与AB的长，利用锐角三角函数定义求出AC与BC的长，再由三角形ABC的面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD的一半来求，求出CD的长，得到CP的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到tan∠CPB的值，由CP的长即可求出CQ；
（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E，由P是弧AB 的中点，得到∠PCB=45°，得到三角形EBC为等腰直角三角形，由CB的长，求出CE与BE 的长，在直角三角形EBP中，由∠CPB=∠CAB，得到tan∠CPB=tan∠CAB，利用三角函数定义求出PE的长，由CP+PE求出CP的长，即可求出CQ的长．
【解答】解：（1）当CP过圆心O，即CP为圆O的直径时，CQ与⊙O相切，理由为：∵PC⊥CQ，PC为圆O的直径，∴CQ为圆O的切线，此时PC=5；∵∠CAB=∠CPQ，
∴tan∠CAB=tan∠CPQ=，∴tan∠CPQ===，则CQ=；故答案为：5；；
（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，
图1图2
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=5，tan∠CAB=，∴BC=4，AC=3，
又∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴AC•BC=AB•CD，即3×4=5CD，∴CD=，
∴PC=2CD=，
在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB，∴CQ=PCtan∠CPQ=PC，∴CQ=×=；
（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E，
∵P是弧AB的中点，∠PCB=45°，∴CE=BE=2，又∠CPB=∠CAB，∴tan∠CPB=tan∠CAB=
=，∴PE==BE=，∴PC=CE+PE=2+=，
由（2）得，CQ=PC=．
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
再变式：如图3时，CQ最长。

图3
例三、正弦定理
1.解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2
∴AD=BD=2，即此时圆的半径为1，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在
Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×=，由垂径定理可知EF=2EH=，故答案为：
．
例三1答图例三2答图
2.【考点】垂径定理；三角形中位线定理．
【分析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可．
【解答】解：法①：如图：当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，
∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M为CD中点，OM过O，∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM=OC，
∵⊙O直径AB=8，∴半径OC=4，即PM=4，故答案为：4．
法②：连接CO，MO，根据∠CPO=∠CM0=90°，所以C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径．连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM 最大．即PM max=4
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD 的位置，题目比较好，但是有一定的难度．
例四、柯西不等式、配方法
1. 过O 作OE ⊥PD ，垂足为E ，∵PD 是⊙O 的弦，OE ⊥PD ，∴PE=ED ，
又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE 为矩形，∴CE=OA=2，又PC=x ， ∴PE=ED=PC ﹣CE=x ﹣2，∴PD=2（x ﹣2），∴CD=PC ﹣PD=x ﹣2（x ﹣2）=x ﹣2x+4=4﹣x ， ∴PD •CD=2（x ﹣2）•（4﹣x ）=﹣2x 2+12x ﹣16=﹣2（x ﹣3）2+2，∵2＜x ＜4，∴当x=3时，PD •CD 的值最大，最大值是2．
第1题答图第2题答图
2. 解：如图，分别作∠A 与∠B 角平分线，交点为P ．
∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AP 与BP 为CD 、CE 垂直平分线．
又∵圆心O 在CD 、CE 垂直平分线上，则交点P 与圆心O 重合，即圆心O 是一个定点． 连接OC ．若半径OC 最短，则OC ⊥AB ．又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，∴OA=OB ， ∴AC=BC=2，∴在直角△AOC 中，OC=AC •tan ∠OAC=2×tan30°=．故选：B ．
3. 解：（1）线段AB 长度的最小值为4，理由如下：连接OP ，
∵AB 切⊙O 于P ，∴OP ⊥AB ，取AB 的中点C ，∴AB=2OC ；当OC=OP 时，OC 最短， 即AB 最短，此时AB=4．故答案为：4．
（3题答图）
例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）
1. 求CE 最小值，就是求半径OD 的最小值。

； OA ≤≤3. 【考点】切线的性质．【专题】压轴题．
【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．
【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2﹣OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2﹣4，即PQ=，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为
3，∴PQ的最小值为=．故选B．
【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．
例五、其他几何知识的运用
1.解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：
．
∴抛物线得解析式为y=x2﹣6x+4．
（2）如图所示：
设点P的坐标为P（m，m2﹣6m+4），∵平行四边形的面积为30，
∴S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD．
∴m（5+m2﹣6m+4+1）﹣×5×5﹣（m﹣5）（m2﹣6m+5）=15．
化简得：m2﹣5m﹣6=0，解得：m=6，或m=﹣1．∵m＞0，∴点P的坐标为（6，4）．
（3）连接AB、EB．∵AE是圆的直径，∴∠ABE=90°．∴∠ABE=∠MBN．
又∵∠EAB=∠EMB，∴△EAB∽△NMB．∵A（1，﹣1），B（5，﹣1），∴点O1的横坐标为3，
将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，∴点C的坐标为（0，4）．设点O1的坐标为（3，m），
∵O1C=O1A，∴，解得：m=2，∴点O1的坐标为（3，2），
∴O1A=，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==
=6，∴点E的坐标为（5，5）．∴AB=4，BE=6．
∵△EAB∽△NMB，∴．∴．∴NB=．
∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大．∴MB=AE=2，∴NB=
=3．
2.【考点】圆的综合题．【专题】综合题．
【分析】（1）连接OP，设CD与x轴交于点F．要证PE与⊙O相切，只需证∠OPE=90°，只需证∠OPB+∠EPD=90°，由OP=OB可得∠OPB=∠OBP=∠FBD，只需证∠EPD=∠EDP，只需证EP=ED，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题．
（2）连接OE，由于PE=CD，要求线段CD长的最小值，只需求PE长的最小值，在Rt△OPE
中，OP已知，只需求出OE的最小值就可．
（3）设⊙O与y轴的正半轴的交点为Q，由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，而点P在点Q时，点E的纵坐标为1，由此就可得到m的范围．【解答】解：（1）直线PE与⊙O相切．
证明：连接OP，设CD与x轴交于点F．∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠CPD=90°．
∵E为CD的中点，∴PE=CE=DE=CD，∴∠EPD=∠EDP．∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP=∠DBF．
∵∠DBF+∠EDB=90°，∴∠OPB+∠EPD=∠OPE=90°，∴EP⊥OP．∵OP为⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线．
（2）连接OE，∵∠OPE=90°，OP=1，∴PE2=OE2﹣OP2=OE2﹣1．∵当OE⊥CD时，OE=OF=2，此时OE最短，∴PE2最小值为3，即PE最小值为，∵PE=CD，∴线段CD长的最小值为
2．
（3）设⊙O与y轴的正半轴的交点为Q，
由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，当点P在点Q时，由PE⊥OP可得点E的纵坐标为1．∵点P是圆上第一象限内的一个动点，∴m的范围为m＜1．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE的最小值转化为求OE的最小值是解决第（2）小题的关键．
【题型训练】
1.解：连接OB．如图1，∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE
⊥MN，如图2，∴OE=AC=AB=，又∵圆O与直线MN有交点，∴OE=
≤r，∴≤2r，即：100﹣r2≤4r2，∴r2≥20，∴r≥2．∵OA=10，直线l
与⊙O相离，
∴r＜10，∴2≤r＜10．故答案为：2≤r＜10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．
2.原题：（2004•无锡）已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从
A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．
（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？
（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上？当t在什么范围内时，点G在线段BC 的延长线上？
（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？
【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定．
【专题】综合题；压轴题；分类讨论．
【分析】（1）连接OD，DF．那么OD⊥AC，则∠AOD=60°，∠AED=30°．由于∠
DEG=90°，因此∠BEG=60°，因此本题可分两种情况进行讨论：
①当∠EDG=60°，∠DGE=30°时，∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°．这样∠BGD和∠ACB相等，那么G和C重合．
②当∠DGE=60°时，可在直角△AOD中，根据∠A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于∠A=∠AED=30°，那么AD=DE，可在直角△DEG中，用AD的长表示出DG，进而根据DG∥AB得出的关于CD，AD，DG，AB的比例关系式即可求出此时t的值．
（2）本题可先求出BG的表达式，然后令BG＞BC，即可得出G在BC延长线上时t的取值范围．
（3）由于四边形CGED不是规则的四边形，因此其面积可用△ABC的面积﹣△ADE的面积﹣△BEG的面积来求得．在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG的表达式，那么就不难得
出这三个三角形的面积．据此可求出S，t的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．
【解答】解：（1）连接OD，DF．∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠
A=30°，OA=t，∴OD=OF=t，AD=OA•cosA=．又∵∠FOD=90°﹣30°=60°，∴∠AED=30°，∴AD=ED=．∵DE⊥EG，∴∠BEG=60°，△BEG与△DEG相似．∵∠B=∠GED=90°，
①当∠EGD=30°，CE=2BE=2（6﹣t）则∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合，DE==AD，CD=12﹣，BE=6﹣t，∵△BEG∽△DEC，∴=，
∴=，t=；
②当∠EGD=60°．∴DG⊥BC，DG∥AB．在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=，∴DG= t．
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，∴AC=12，AB=6，∴CD=12﹣．∵DG∥AB，
∴解得t=．答：当t为或时，△BEG与△EGD相似；
（2）∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴∠
AED=30°，∴DE⊥EG，∴∠BEG=60°．在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=6
，
BE=6﹣t．Rt△BEG中，∠BEG=60°，∴BG=BE•tan60°=18﹣t．当0≤18﹣t≤6，即≤t≤4时，点G在线段BC上；当18﹣t＞6，即0＜t＜时，点G在线段BC的延长线上；
（3）过点D作DM⊥AB于M．在Rt△ADM中，∠A=30°，∴DM=AD=t．
∴S=S△ABC﹣S△AED﹣S△BEG=36﹣t2﹣27t=﹣（t﹣）2+（＜t＜4）．所以当t=时，s取得最大值，最大值为．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．
3.D；
4.解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵P是⊙D的切线，∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∴OA=，
∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴=，∵AD=4，
CD=3，AC=5，∴DM=，∴PM=PD+DM=1+=，∴△AOP的最大面积=OA•PM=
××=，
故选D．
（4题答图）（5题答图）
【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大；
5.解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，FC+FD=PQ，∴FC+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，∴CD=BC•AC÷AB=4.8．故选：B．
6.
7.解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2；
∴S△ACD=AD•CD=；易证得△AOE∽△ADC，∴=（）2=（）2=，
即S△AOE=S△ADC=；∴S△ABE=S△AOB﹣S△AOE=×2×2﹣=2﹣；
另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C．
（7题答图）（8题答图）
8.解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．连接AC，
∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，∴Rt△AOC≌Rt△ADC，∴AD=AO=2，
连接CD，设EF=x，∴DE2=EF•OE，∵CF=1，∴DE=，∴△CDE∽△AOE，
∴=，即=，解得x=，S △ABE ===．故选：
B ．
【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD 与⊙C 相切时，△ABE 面积的最大．
9. 解：当PC ⊥AB 时，PQ 的长最短．在直角△ABC 中，AB===4，
PC=AB=2
．∵PQ 是⊙C 的切线，∴CQ ⊥PQ ，即∠CQP=90°，
∴PQ===．故选A ．
【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC ⊥AB 时，线段PQ 最短是关键．
（9题答图）（10题答图）
10. 解：连接AO 并延长，与ED 交于F 点，与圆O 交于P 点，此时线段ED 最大， 连接OM ，PD ，可得F 为ED 的中点，∵∠BAC=60°，AE=AD ，∴△AED 为等边三角形， ∴AF 为角平分线，即∠FAD=30°，在Rt △AOM 中，OM=1，∠OAM=30°，∴OA=2，
∴PD=PA=AO+OP=3，在Rt △PDF 中，∠FDP=30°，PD=3，∴PF=，根据勾股定理得：FD=
=，则DE=2FD=3．同理可得：DE ∴。

DE ≤≤11.；12.；13. 解：设P （x ，y ），∵PA 2=（x+1）2+y 2，PB 2=（x ﹣1）15m n ≤-≤01m <≤2+y 2，
∴PA 2+PB 2=2x 2+2y 2+2=2（x 2+y 2）+2，∵OP 2=x 2+y 2，∴PA 2+PB 2=2OP 2+2，当点P 处于OM 与圆的交点上时，OP 取得最值，∴OP 的最大值为OM+PM=5+2=7，∴PA 2+PB 2最大值为100．
【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P 坐标，将所求代数式的值转化
为求解OP 的最大值，难度较大．
附：1.如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，以OB为直径作⊙M，⊙M与
直线AB的另一个交点为D．
（1）求∠BAO的大小；（2）求点D的坐标；（3）过O、D、A三点作抛物线，点Q是抛物线的对称轴l上的动点，探求：|QO﹣QD|的最大值．
【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．
【分析】（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再求出∠BAO 的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；
（2）连接OD，过D作DE⊥OA于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDO=90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OD，直角三角形两锐角互余求出∠DOE=60°，然后解直角三角形求出OE、DE，再写出点D的坐标即可；
（3）根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为OA的垂直平分线，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点Q为OD与对称轴的交点时|QO﹣QD|=OD的值最大，然后求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+4分别与x、y轴交于点A、B，
∴当y=0时，﹣x+4=0，解得x=4；当x=0时，y=4，∴A（4，0），B（0，4）．
∴OA=4，OB=4，在Rt△AOB中，∵tan∠BAO===，∴∠BAO=30°；
（2）连接OD，过D作DE⊥OA于点E，∵OB是⊙M的直径，∴∠BDO=∠ADO=90°，
在Rt△AOD中，∵∠BAO=30°，∴OD=OA=×4=2，∠DOE=60°，在Rt△DOE中，
OE=OD•cos∠DOE=2×=，DE=OD•sin∠DOE=2×=3，∴点D的坐标为（，3）；
（3）易知对称轴l是OA的垂直平分线，延长OD交对称轴l于点Q，此时|QO﹣QD|=OD的值最大，理由：设Q′为对称轴l上另一点，连接OQ′，DQ′，则在△ODQ′中，|Q′O﹣Q′D|＜OD，
∴|QO﹣QD|的最大值=OD=2．
【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数定义，解直角三角形，二次函数的对称性，三角形的三边关系，（3）判断出点Q为直线OD与对称轴的交点是解题的关键．
2.如图，已知A，B两点的坐标分别为（﹣3，0），（0，3），⊙C的圆心坐标为（3，0），并与x轴交于坐标原点O．若E是⊙C上的一个动点，线段AE与y轴交于点D．
（1）线段AE长度的最小值是 ，最大值是 ；。