第六章:反比例函数培优训练(二)答案
浙教版八年级数学下册第6章《反比例函数》提优训练(含答案)
八年级数学提优训练——反比例函数1.已知函数:①y =x ;②y =x1(x <0);③y =﹣x+3;④xy2,其中,y 随x 的增大而增大的函数有()A .1个B .2个C .3个D .4个2.若点A (x 1,﹣3)、B (x 2,﹣2)、C (x 3,1)在反比例函数y =﹣的图象上,则x 1、x 2、x 3的大小关系是()A .x 1<x 2<x 3B .x 3<x 1<x 2C .x 2<x 1<x 3D .x 3<x 2<x 13.反比例函数y =的图象上有三点(x 1,﹣1),B (x 2,a ),C (x 3,3),当x 3<x 2<x 1时,a 的取值范围为()A .a >3B .a <﹣1C .﹣1<a <3D .a >3或a <﹣14.已知点A (a ,b )是一次函数y =﹣x+4和反比例函数y =的一个交点,则代数式a 2+b 2的值为()A .8B .10C .12D .145.某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P (kPa )是气球体积V 的反比例函数,其图象如图所示,当气球内的气压大于160kPa 时,气球将爆炸,为了安全,气球的体积应该()A .不小于m3B .小于m3C .不大于m3D .小于m36.观察反比例函数y =的图象,当y ≤1时,x 的取值范围是.7.若m <﹣2,则下列函数:①y =(x >0);②y =﹣mx+1;③y =mx ;④y =(m+1)x﹣1中y 随x 的增大而增大的函数是.(填序号)8.已知一次函数y =ax+b ,反比例函数y =,(a ,b ,k 是常数,且ak ≠0),若其中一部分x ,y 的对应值如下表所示;则不等式ax+b <的解集是.x﹣4﹣3﹣2﹣11234 y=ax+b﹣3﹣2﹣102345y=﹣﹣2﹣3﹣66329.如图,在平面直角坐标系中,点M为x轴正半轴上一点,过点M的直线l∥y轴,且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=(x>0)的图象交于P,Q两点,若S△POQ=12,则k的值为.10.如图,在平面直角坐标系中,直线y=ax与双曲线y=(k>0)交于点A,B,过点A作AC⊥x轴于C,已知△BOC的面积为3,则k的值为.11.如果正比例函数y=(k﹣2)x的函数值y随x的增大而减小,且它的图象与反比例函数y=的图象没有公共点,那么k的取值范围是.12.如图,已知等边△OA1B1,顶点A1,在双曲线y=(x>0)上,点B1的坐标为(2,0),过B1作B1A2∥OA1,交双曲线于点A2,过A2作A2B2∥A1B1交x轴于B2,得到第二个等边△B1A2B2;过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3,过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3,得到第三个等边△B2A3B3;以此类推,…,则点B6的坐标为B n的坐标为.13.已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x﹣1成反比例,当x=﹣1时,y=3;当x=2时,y=﹣3,求y与x之间的函数关系式.14.如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求一次函数y=kx+b与反比例函数y=的表达式;(2)已知点C在x轴上,且△ABC的面积是8,求此时点C的坐标;(3)请直接写出不等式0<<kx+b中的解集.15.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x与反比例函数y=(x>0)在第一象限内的图象相交于点A(m,1).(1)求反比例函数的解析式;(2)将直线y=x向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点B,与y轴交于点C,且△ABO 的面积为,求直线BC的解析式.16.在同一平面直角坐标系中,设一次函数y1=mx+n(m,n为常数,且m≠0,m≠﹣n)与反比例函数y2=.(1)若y1与y2的图象有交点(1,5),且n=4m,当y1≥5时,y2的取值范围;(2)若y1与y2的图象有且只有一个交点,求的值.17.在面积都相等的所有矩形中,其中一个矩形的一边长为2,它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x,y①求y关于x的函数表达式:②当y≥6时,求x的取值范围;(2)方方说其中有一个矩形的周长为8,圆圆说有一个矩形的周长为12,你认为方方和圆圆的说法对吗?为什么?18.实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后, 1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x (时)成正比例; 1.5小时后(包括 1.5小时)y与x成反比例.根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)写出一般成人喝半斤低度白酒后,y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围;(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上21:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.19.某学校为了控制冬季传染病的传播,对各教室进行消毒.为了得到时间t(单位:m)与教室里空气中药物含量y(单位:mL/m3)之间的关系,测得以下数据:时间t(m)…1234…空气中药物含量y(mL/m3)…241286…(1)根据上表,请在以时间t为横坐标,空气中药物含量y为纵坐标建立的直角坐标系内描出上述各点,并用平滑曲线把这些点一次连接;(2)请根据直角坐标系内各点的变化趋势,确定y与t的函数模型以及函数表达式.(3)根据药物性质可知,当教室空气中含量小于3mL/m3大于mL/m3时,消毒效果最好.最好的消毒效果时间能持续多久?20.某农户共摘收草莓1920千克,为寻求合适的销售价格,进行了6天试销,试销中发现这批草莓每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间成反比例关系,已知第1天以20元/千克的价格销售了45千克.现假定在这批草莓的销售中,每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系.(1)求y与x的函数关系式;(2)在试销期间,第6天的销售价格比第2天低了9元/千克,但销售量却是第二天的2倍,求第二天的销售价格;(3)试销6天共销售草莓420千克,该农户决定将草莓的售价定为15元/千克,并且每天都按这个价格销售,问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完?21.李先生参加了新月电脑公司推出的分期付款购买电脑活动,他购买的电脑价格为 1.2万元,交了首付4000元之后每期付款y元,x个月结清余款.(1)写出y与x的函数关系式.(2)李先生若用4个月结清余款,每月应付多少元?(3)如打算每月付款不超过500元,李先生至少几个月才能结清余款?参考答案1.B 2.B .3.D .4.D .5.A .6.x ≤﹣2或x >0.7.①②8.x <﹣2或0<x <2 9.﹣16.10.611.0<k <2.12.(2,0),(2,0).13.解:∵y 1与x 2成正比例,∴y 1=k 1x 2.∵y 2与x ﹣1成反比例,∴y 2=.y =k 1x 2+.当x =﹣1时,y =3;x =2时,y =﹣3;∴.解得:.∴y =x 2﹣.14.解:(1)∵点A (4,3)在反比例函数y =的图象上,∴a =4×3=12,∴反比例函数解析式为y =;∵∵OA =,OA =OB ,点B 在y 轴负半轴上,∴点B (0,﹣5).把点A (4,3)、B (0,﹣5)代入y =kx+b 中,得,解得:,∴一次函数的解析式为y =2x ﹣5;(2)设点C 的坐标为(m ,0),令直线AB 与x 轴的交点为D ,如图1所示.令y=2x﹣5中y=0,则x=,∴D(,0),∴S△ABC=CD?(y A﹣y B)=|m﹣||×[3﹣(﹣5)]=8,解得:m=或m=.故当△ABC的面积是8时,点C的坐标为(,0)或(,0);(3)观察图象,由点A的坐标可知,不等式0<<kx+b中的解集为0<x<4.15.解:(1)∵直线y=x过点A(m,1),∴m=1,解得m=2,∴A(2,1).∵反比例函数y=(k≠0)的图象过点A(2,1),∴k=2×1=2,∴反比例函数的解析式为y=;(2)设直线BC的解析式为y=x+b,连接AC,由平行线间的距离处处相等可得△ACO与△ABO面积相等,且△ABO的面积为,∴△ACO的面积=OC?2=,∴OC=,∴b=,∴直线BC的解析式为y=.16.解:(1)把(1,5)代入y1=mx+n,得m+n=5.又∵n=4m,∴m=1,n=4.∴y1=x+4,y2=.∴当y1≥5时,x≥1.此时,0<y2≤5.(2)令=mx+n,得mx2+nx﹣(m+n)=0.由题意得,△=n2+4m(m+n)=(m+2n)2=0,即m+2n=0.∴=﹣2.17.解:(1)①由题意可得:xy=6,则y=;②当y≥6时,≥6,解得:x≤1,故x的取值范围是:0<x≤1;(2)∵一个矩形的周长为8,∴x+y=4,∴x+=4,整理得:x2﹣4x+6=0,∵b2﹣4ac=16﹣24=﹣8<0,∴矩形的周长不可能是8;所以方方的说法不对.∵一个矩形的周长为12,∴x+y=6,∴x+=6,整理得:x2﹣6x+6=0,解得x1=3+,x2=3﹣,∴当矩形的相邻两边长为3+与3﹣时,其周长是10,所以圆圆的说法是对的.18.解:(1)由题意可得:当0≤x≤1.5时,设函数关系式为:y=kx,则150=1.5k,解得:k=100,故y=100x,当1.5≤x时,设函数关系式为:y=,则a=150×1.5=225,解得:a=225,故y=(x≥1.5),综上所述:y与x之间的两个函数关系式为:y=;(2)第二天早上7:00不能驾车去上班.理由:∵晚上21:00到第二天早上7:00,有10小时,∴x=10时,y==22.5<>0,∴第二天早上7:00不能驾车去上班.20.某学校为了控制冬季传染病的传播,对各教室进行消毒.为了得到时间t(单位:m)与教室里空气中药物含量y(单位:mL/m3)之间的关系,测得以下数据:时间t(m)…1234…空气中药物含量y(mL/m3)…241286…(1)根据上表,请在以时间t为横坐标,空气中药物含量y为纵坐标建立的直角坐标系内描出上述各点,并用平滑曲线把这些点一次连接;(2)请根据直角坐标系内各点的变化趋势,确定y与t的函数模型以及函数表达式.(3)根据药物性质可知,当教室空气中含量小于3mL/m3大于mL/m3时,消毒效果最好.最好的消毒效果时间能持续多久?解:(1)如图所示:(2)设y与t的函数解析式为:y=,且过点(1,24)∴k=1×24=24∴y与t的函数解析式为:y=(3)当y=3时,t=8,当y=时,t=48∴最好的消毒效果持续时间=48﹣8=40(小时)答:最好的消毒效果时间持续40小时.26.解:(1)y与x的函数关系式:y=;(2)设第二天的销售价格是x元/千克,则2×=,解得x=18,经检验x=18是原方程的解答:第二天的销售价格为18元/千克;(3)草莓的销售价定为15元/千克时,每天的销售量:y===60(千克),由题意=25(天),所以余下的草莓预计还要销售25天.27.解:(1)∵购买的电脑价格为 1.2万元,交了首付4000元之后每期付款y元,x个月结清余款,∴xy+4000=12000,∴y=,(2)当x=4时,y==2000(元),答:每月应付2000元.(3)当y≤500时,则≤500,故x≥16,答:李先生至少16个月才能结清余款.。
浙教版八年级数学下册第六章 反比例函数练习(包含答案)
第六章 反比例函数一、单选题1.下列选项中的函数,y 关于x 成反比例函数的是()A .12y x =+B .13y x =C .21y x =D .2x y = 2.已知y 与x 成反比例,且当2x =时,3y =,则y 关于x 的函数解析式是( ) A .6y x = B .1 6y x = C .6y x = D .26y x-= 3.已知反比例函数k y x=经过点()2,3A -,当3y <时自变量x 的取值范围为( ) A .2x <- B .2x >C .2x <-或0x >D .2x >或0x < 4.关于反比例函数y =﹣3x,下列说法错误的是( ) A .图象经过点(1,﹣3)B .图象分布在第一、三象限C .图象关于原点对称D .图象与坐标轴没有交点5.反比例函数y=-3x -1的图象上有P 1(x 1,-2),P 2(x 2,-3)两点,则x 1与x 2的大小关系是( ) A .x 1<x 2 B .x 1=x 2 C .x 1>x 2 D .不确定 6.如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A 在反比例函数y=6x(x >0)的图象上,则经过点B 的反比例函数解析式为( )A .y=﹣6xB .y=﹣4xC .y=﹣2xD .y=2x7.如图,直线l⊥x 轴于点P ,且与反比例函数y 1=1k x(x >0)及y 2=2k x (x >0)的图象分别交于点A ,B ,连接OA ,OB ,已知△OAB 的面积为2,则k 1﹣k 2的值为( )A .2B .3C .4D .﹣48.在矩形ABCD 中,E 点为AB 上的一点,AB =8,AD =6,连接CE ,作DF ⊥CE 于F 点,令CE =x ,DF =y ,下列关于y 与x 的函数关系图象大致是( )A .B .C .D .9.近视镜镜片的焦距y (单位:米)是镜片的度数x (单位:度)的函数,下表记录了一组数据,在下列函数中,符合表格中所给数据的是:( )A .y=1100xB .y=100xC .y=﹣1200x+32D .y=21131940008008x x -+ 10.如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上,顶点B 在第一象限,AB=1.将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转600得到线段OP ,连接AP ,反比例函数y=k x过P 、B 两点,则k 的值为( )A .23BC .43 D二、填空题11.已知反比例函数13m y x-=(m 为常数)的图象在一、三象限,则m 的取值范围为_____. 12.如果点1(3,)A y 、2(4,)B y 在反比例函数2y x=的图象上,那么1y _____2y .(填“>”、“<”或“=”) 13.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的面积为20,点B 在y 轴上,点C 在反比函数k y x=的图像上,则k 的值为________.14.某医药研究所开发一种新药,成年人按规定的剂量服用,服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系近似满足如图所示曲线,当每毫升血液中的含药量不少于0.5毫克时治疗有效,则服药一次治疗疾病有效的时间为______小时.三、解答题15.己知y -1与x+2成反比例函数关系,且当x=-1时,y=3.求:(1)y 与x 的函数关系式;(2)当x=0时,y 的值.16.如图,在平面直角坐标系中,一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2k y x=的图像交于(4,2),(2,)A B n --两点,与x 轴交于点C . (1)求2,k n 的值;(2)请直接写出不等式21k k x b x+<的解集; (3)将x 轴下方的图像沿x 轴翻折,点A 落在点A '处,连接,A B A C '',求A BC '∆的面积.17.小芳从家骑自行车去学校,所需时间y (min )与骑车速度x (/m min )之间的反比例函数关系如图.(1)小芳家与学校之间的距离是多少?(2)写出y 与x 的函数表达式;(3)若小芳7点20分从家出发,预计到校时间不超过7点28分,请你用函数的性质说明小芳的骑车速度至少为多少?18.长为300m 的春游队伍,以/v m s ()的速度向东行进,如图1和图2,当队伍排尾行进到位置O 时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2/v m s (),当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进.设排尾从位置O 开始行进的时间为t s (),排头与O 的距离为S m 头().(1)当2v 时,解答:①求S 头与t 的函数关系式(不写t 的取值范围);①当甲赶到排头位置时,求S 头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O 的距离为S m 甲(),求S 甲与t 的函数关系式(不写t 的取值范围)(2)设甲这次往返队伍的总时间为T s (),求T 与v 的函数关系式(不写v 的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程答案1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.C7.C 8.B 9.B 10.D11.m<13.12.>13.-10 14.7.87515.(1)y=2x2++1;(2)y=2.16.(1)k2=−8,n=4;(2)−2<x<0或x>4;(3)8.17.(1)1400m;(2)1400yx=;(3)小芳的骑车速度至少为175/m min.18.(1)①2300头=S t+;②41200S t+=-甲;(2)T与v的函数关系式为:400Tv=,此时队伍在此过程中行进的路程为400m。
北师大版九年级数学上学期期末培优训练第六章:反比例函数(含答案)
九年级上学期期末培优训练:反比例函数1.如图,O为坐标原点,点B在x轴的正半轴上,四边形OACB是平行四边形,点A的横纵坐标之比为3:4,反比例函数y=(k>0)在第一象限内的图象经过点A,且与BC 交于点F.(1)若OA=10,求反比例函数解析式;(2)若点F为BC的中点,且△AOF的面积S=12,求OA的长和点C的坐标.解:(1)过点A作AH⊥OB于H,∵点A的横纵坐标之比为3:4,∴sin∠AOB=,OA=10,∴AH=8,OH=6,∴A点坐标为(6,8),根据题意得:8=,可得:k=48,∴反比例函数解析式:y=(x>0);(2)设OA=a(a>0),过点F作FM⊥x轴于M,过点C作CN⊥x轴于点N,由平行四边形性质可证得OH=BN,∵点A的横纵坐标之比为3:4,∴sin∠AOB=,∴AH=a,OH=a,=×a•a=a2,∴S△AOH=12,∵S△AOF∴S 平行四边形AOBC =24, ∵F 为BC 的中点, ∴S △OBF =6,∵BF =a ,∠FBM =∠AOB ,∴FM =a ,BM =a ,∴S △BMF =BM •FM =×a ×a =a 2,∴S △FOM =S △OBF +S △BMF =6+a 2,∵点A ,F 都在y =的图象上,∴S △AOH =S △FOM =k ,∴a 2=6+a 2,∴a =,∴OA =,∴AH =,OH =2,∵S 平行四边形AOBC =OB •AH =24, ∴OB =AC =3,∴ON =OB +OH =5,∴C (5,).2.平面直角坐标系xOy中,横坐标为a的点A在反比例函数y1=(x>0)的图象上,点B与点A关于原点O对称,一次函数y2=mx+n的图象经过点B.(1)设a=2,点C(4,2)在函数y1,y2的图象上.分别求函数y1,y2的表达式.(2)如图,设函数y1,y2的图象相交于点C,点C的横坐标为3a,△ABC的面积为16,求k的值.解:(1)∵点C(4,2)在函数y1=(x>0)的图象上,∴k=4×2=8,∴函数y1的表达式为y1=.∵点A在y1=的图象上,∴x=a=2,y=4,∴点A(2,4).∵A和点B关于原点对称,∴点B的坐标为(﹣2,﹣4).∵一次函数y2=mx+n的图象经过点A'和点B,∴,解之,得:,∴函数y2的表达式为y2=x﹣2;(2)∵点A的横坐标为a,∴点A(a,).∵A和点B关于原点对称,∴点B的坐标为(﹣a,﹣).∵点B在y2=mx+n的图象上,∴点B的坐标为(﹣a,﹣am+n).∴﹣=﹣am+n,a2m=an+k①.∵点C的横坐标为3a,∴点C(3a,3am+n)或(3a,),∴3am+n=,即9a2m+3an=k②由①②得:a2m=,an=﹣.过点A作AD⊥x轴,交BC于点D,则点D(a,am+n),∴AD=﹣am﹣n.=AD(x c﹣x b)=•4a(﹣am﹣n)=16,∵S△ABc∴k﹣a2m﹣an=8,∴k﹣﹣(﹣)=8,∴k=6.3.如图,已知正比例函数图象经过点A(2,2),B(m,3)(1)求正比例函数的解析式及m的值;(2)分别过点A与点B作y轴的平行线,与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、D(点C、D均在点A、B下方),若BD=4AC,求反比例函数的解析式;(3)在第(2)小题的前提下,联结AD,试判断△ABD的形状,并说明理由.解:(1)设正比例函数的解析式为y=kx,∵正比例函数图象经过点A(2,2),∴2=2k,∴k=1,∴比例函数的解析式为y=x;把B(m,3)代入解析式得,m=3;(2)∵AC∥BD∥y轴,∴C点的横坐标为2,D点的横坐标为3,设反比例函数的解析式为y=,分别代入得y C=,y D=,∴AC=2﹣,BD=3﹣,∵BD=4AC,∴3﹣=4(2﹣),解得m=3,∴反比例函数的解析式为y=;(3)△ABD是等腰直角三角形;理由是:由(2)得:D(3,1),A(2,2),B(3,3),∴AB2=(3﹣2)2+(3﹣2)2=2,AD2=(3﹣2)2+(2﹣1)2=2,BD2=(3﹣3)2+(3﹣1)2=4,∴BD 2=AB 2+AD 2,且AB =AD , ∴△ABD 是等腰直角三角形.4.如图,直线y =x +3分别交x 轴、y 轴于点A 、C .点P 是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点,PB ⊥x 轴于B ,且S △ABP =16. (1)求证:△AOC ∽△ABP ; (2)求点P 的坐标;(3)设点Q 与点P 在同一个反比例函数的图象上,且点Q 在直线PB 的右侧,作QD ⊥x 轴于D ,当△BQD 与△AOC 相似时,求点Q 的横坐标.(1)证明:∵PB ⊥x 轴于B ,QC ⊥x 轴, ∴OC ∥PB , ∴△AOC ∽△ABP ;(2)解:对于直线y =x +3, 令x =0,得y =3; 令 y =0,得x =﹣6, ∴A (﹣6,0),C (0,3), ∴OA =6,OC =3 ∵△AOC ∽△ABP ,∴,∵S △ABP =16,S △AOC =,∴,∴,即,∴PB=4,AB=8,∴OB=2,∴点P的坐标为(2,4);(3)设反比例函数的解析式为y=,把P(2,4)代入,得k=xy=2×4=8,∴反比例函数的解析式为y=;点Q在双曲线上,可设点Q的坐标为(n,)(n>2),则BD=n﹣2,QD=,①当△BQD∽△ACO时,,∴,整理得,n2﹣2n﹣16=0,解得n1=1+,n2=1﹣;②当△BQD∽△CAO时,,∴,整理得,n2﹣2n﹣4=0,解得n3=1+,n4=1﹣,综上①②所述,点Q的横坐标为1+或1+.5.如图,已知反比例函数y=的图象经过点A(﹣,b),过点A作x轴的垂线,垂足为B,△AOB的面积是.(1)求k和b的值;(2)若一次函数y=ax+1的图象经过点A,且与x轴交于点C,求△AOC的面积.解:(1)∵点A的坐标是(﹣,b),∴AB=b,OB=,∵△AOB的面积是,∴×b=,解得:b=2,即A(﹣,2),把A的坐标代入y=得:k=2×(﹣)=﹣2;(2)把A的坐标(﹣,2)代入y=ax+1得:2=﹣a+1,解得:a=﹣,即y=﹣x+1,当y=0时,0=﹣x+1,解得:x=,即C点的坐标为(,0),∴△AOC的面积是=.6.如图,已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)是一次函数y=kx+b图象与反比例函数y=图象的两个交点.(1)求此反比例函数和一次函数的解析式; (2)直接写出△AOB 的面积;(3)根据图象直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围.解:(1)把(﹣4,2)代入y =得2=,则m =﹣8.则反比例函数的解析式是y =﹣;把(n ,﹣4)代入y =﹣得n =﹣=2,则B 的坐标是(2,﹣4). 根据题意得:解得,所以一次函数的解析式是y =﹣x ﹣2;(2)设AB 与x 轴的交点是C ,则C 的坐标是(﹣2,0). 则OC =2,S △AOC =2,S △BOC =4, 则S △AOB =6;(3)由函数图象可知x 的取值范围时﹣4<x <0或x >2.7.已知:如图,点A (1,m )是正比例函数y =k 1x 与反比例函数y =的图象在第一象限的交点,AB⊥x轴,垂足为点B,△ABO的面积是2.(1)求m的值以及这两个函数的解析式;(2)若点P在x轴上,且△AOP是以OA为腰的等腰三角形,求点P的坐标.解:(1)∵△ABO的面积是2,∴k2=2×2=4,∴反比例函数的解析式为y=.当x=1时,m==4,∴点A的坐标为(1,4).又∵点A(1,4)在正比例函数y=k1x的图象上,∴k1=4,∴正比例函数的解析式为y=4x.(2)∵△AOP是以OA为腰的等腰三角形,∴OA=OP或OA=AP.①当OA=OP时,∵点A的坐标为(1,4),∴OA==,∴OP=,∴点P的坐标为(﹣,0)或(,0);②当OA=AP时,OP=2OB=2,∴点P的坐标为(2,0).综上所述:点P的坐标为(﹣,0),(,0),(2,0).8.已知:A(a,y1),B(2a,y2)是反比例函数y=(k>0)图象上的两点.(1)比较y1与y2的大小关系;(2)若A、B两点在一次函数y=﹣2x+b第一象限的图象上(如图所示),分别过A、B=12,求a的值;两点作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连接OA、OB,且S△OAB(3)在(2)的条件下,如果m=﹣2x+12,n=,求使得m>n的x的取值范围.解:(1)∵A、B是反比例函数y=(k>0)图象上的两点,∴a≠0,当a>0时,A、B在第一象限,由a<2a可知,y1>y2,同理,a<0时,y1<y2;(2)∵A(a,y1)、B(2a,y2)在反比例函数y=(k>0)的图象上,∴AC=y1=,BD=y2=,∴y1=2y2.又∵点A(a,y1)、B(2a,y2)在一次函数y=﹣2a+b的图象上,∴y1=﹣2a+b,y2=﹣4a+b,∴﹣2a +b =2(﹣4a +b ), ∴b =6a ,∵S △AOC +S 梯形ACDB =S △AOB +S △BOD , 又∵S △AOC =S △BOD , ∴S 梯形ACDB =S △AOB ,∴ [(﹣2a +b )+(﹣4a +b )]•a =12, ∴a 2=4, ∵a >0, ∴a =2;(3)由(2)得,一次函数的解析式为y =﹣2x +12,反比例函数的解析式为:y =,A 、B 两点的横坐标分别为2、4,且m =﹣2x +12、n =,因此使得m >n 的x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围,从图象可以看出2<x <4或x <0.9.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合,点B 在y 轴的正半轴上,点A 在反比例函数y =(x >0)的图象上,点D 的坐标为(4,3).设AB 所在的直线解析式为y =ax +b (a ≠0),若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移m 个单位, ①当菱形的顶点B 落在反比例函数的图象上,求m 的值;②在平移中,若反比例函数图象与菱形的边AD 始终有交点,求m 的取值范围.解:①∵点D 的坐标为(4,3),点C 和原点O 重合,∴CD==5.∵四边形ABCD为菱形,∴BC=AD=CD=5,∴点A的坐标为(4,8),点B的坐标为(0,5).∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴k=4×8=32,∴反比例函数解析式为y=.当y=5时,=5,解得:x=,∴当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时,m的值为.②当y=3时,=3,解得:x=,∵﹣4=,∴当菱形的顶点D落在反比例函数的图象上时,m的值为,∴在平移中,若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点,m的取值范围为0≤m≤.10.如图,已知∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数y=﹣(x<0)的图象过点B(﹣3,a),反比例函数y=(x>0)的图象过点A.(1)求a和k的值;(2)过点B作BC∥x轴,与双曲线y=交于点C.求△OAC的面积.解:(1)∵比例函数y=﹣(x<0)的图象过点B(﹣3,a),∴a=﹣=1,∴OE=3,BE=1,分别过点A、B作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,∴∠BOE+∠OBE=90°,∵∠AOB=90°,∠OAB=30°,∴∠BOE+∠AOD=90°,tan30°==,∴∠OBE=∠AOD,∵∠OEB=∠ADO=90°,∴△BOE∽△OAD∴===,∴AD=•OE==3,OD=•BE==∴A(,3),∵反比例函数y=(x>0)的图象过点A,∴k=×=9;(2)由(1)可知AD=3,OD=,∵BC∥x轴,B(﹣3,1),∴C点的纵坐标为1,过点C作CF⊥x轴于F,∵点C在双曲线y=上,∴1=,解得x =9, ∴C (9,1), ∴CF =1,∴S △AOC =S △AOD +S 梯形ADFC ﹣S △COF =S 梯形ADCF=(AD +CF )(OF ﹣OD )=(3+1)(9﹣)=13.11.如图已知直线y =kx +5(k <0)与x 、y 轴分别交于点A 、B ,与双曲线y =(x >0)交于点C ,过点C 作CD ⊥x 轴于点D ,连接OC ,设C 点坐标为(a ,b ),t =OD •DA (1)当a =4时,求k •t 的值; (2)求证:ka 2+5a =4;(3)随着a 的变化,k •t 的值是否变化,若不变化,求出其值;若变化,请说明理由.解:(1)设C 点坐标为(a ,b ), 当a =4时,∴C (4,b ),∵点C 在双曲线y =上,∴b==1,∴C(4,1),∵点C在直线y=kx+5上,∴1=4k+5,∴k=﹣1,∴直线AB的解析式为y=﹣x+5,令y=0,则﹣x+5=0,∴x=5,∴A(5,0),∴OA=5,∵CD⊥x轴于D,C(4,1),∴OD=4,∴DA=OA﹣OD=1,∴t=OD•DA=4×1=4,∴k•t=﹣1×4=﹣4;(2)∵点C(a,b)在双曲线y=上,∴ab=4,∵点C在直线y=kx+5上,∴b=ak+5,∴a(ak+5)=4,∴ka2+5a=4;(3)不变,理由:在直线AB:y=kx+5中,令y=0,则kx+5=0,∴x=﹣,∴A(﹣,0),∴OA=﹣,∵CD⊥x轴于D,∴OD=a,∴DA=OA﹣OD=﹣﹣a,∴t=OD•DA=a(﹣﹣a)=﹣(a2k+5a),由(2)知,ka2+5a=4,∴t=﹣(a2k+5a)=﹣×4=﹣∴k•t=k•(﹣)=﹣4.12.如图1,点A(0,8)、点B(2,a)在直线y=﹣2x+b上,反比例函数y=(x>0)的图象经过点B.(1)求a和k的值;(2)将线段AB向右平移m个单位长度(m>0),得到对应线段CD,连接AC、BD.①如图2,当m=3时,过D作DF⊥x轴于点F,交反比例函数图象于点E,求的值;②在线段AB运动过程中,连接BC,若△BCD是以BC为腰的等腰三角形,求所有满足条件的m的值.解:(1)∵点A(0,8)在直线y=﹣2x+b上,∴﹣2×0+b=8,∴b=8,∴直线AB的解析式为y=﹣2x+8,将点B(2,a)代入直线AB的解析式y=﹣2x+8中,得﹣2×2+8=a,∴a=4,∴B(2,4),将B(2,4)在反比例函数解析式y=(x>0)中,得k=xy=2×4=8;(2)①由(1)知,B(2,4),k=8,∴反比例函数解析式为y=,当m=3时,∴将线段AB向右平移3个单位长度,得到对应线段CD,∴D(2+3,4),即:D(5,4),∵DF⊥x轴于点F,交反比例函数y=的图象于点E,∴E(5,),∴DE=4﹣=,EF=,∴==;②如图,∵将线段AB向右平移m个单位长度(m>0),得到对应线段CD,∴CD=AB,AC=BD=m,∵A(0,8),B(2,4),∴C(m,8),D((m+2,4),∵△BCD是以BC为腰的等腰三形,∴Ⅰ、当BC=CD时,∴BC=AB,∴点B在线段AC的垂直平分线上,∴m=2×2=4,Ⅱ、当BC=BD时,∵B(2,4),C(m,8),∴BC=,∴=m,∴m=5,即:△BCD是以BC为腰的等腰三角形,满足条件的m的值为4或5.13.平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在函数y1=(x>0),与y2=﹣(x<0)的图象上,A、B的横坐标分别为a、b.(a、b为任意实数)(1)若AB∥x轴,求△OAB的面积;(2)作边长为2的正方形ACDE,使AC∥x轴,点D在点A的左上方,那么,当a≥3时,CD边与函数y1=(x>0)的图象有交点,请说明理由.解:(1)A、B的横坐标分别为a、b,则点A、B的坐标分别为(a,)、(b,﹣),AB∥x轴,则,则a=﹣b,AB=a﹣b=2a,S=×2a×=3;△OAB(2)如图所示:∵a≥3,AC=2,则直线CD在y轴右侧且平行于y轴,CD一定与函数有交点,设交点为F,设点A(a,),则点C(a﹣2,),点D(a﹣2,),点F(a﹣2,)则2﹣FC=2﹣+=,∵a≥3,∴a﹣3≥0,a﹣2>0,故2﹣FC≥0,FC≤2,即点F在线段CD上,即当a≥3时,CD边与函数y1=(x>0)的图象有交点.14.如图,直线AB:y=kx+b与x轴、y轴分别相交于点A(1,0)和点B(0,2),以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD.(1)求直线AB的解析式;(2)求点D的坐标;(3)若双曲线(k>0)与正方形的边CD始终有一个交点,求k的取值范围.解:(1)将A(1,0),B(0,2)代入y=kx+b,得:,解得:,∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2.(2)作DF⊥x轴于F,则∠AFD=90°,∵正方形ABCD,∴BA=AD,∠BAD=90°,∠BAO+∠DAF=90°,∵∠BAO+∠ABO=90°,∴∠ABO=∠DAF.在△ADF和△BAO中,,∴△ADF≌△BAO(AAS),∴AF=BO=2,DF=AO=1,∴点D的坐标为(3,1).(3)同(2)可得出点C的坐标为(2,3).当双曲线过点D时,k=3×1=3;当双曲线过点C时,k=2×3=6,∴当双曲线(k>0)与正方形的边CD始终有一个交点时,k的取值范围为3≤k≤6.15.如图,直线y1=k1x+b与双曲线在第一象限内交于A、B两点,已知A(1,m),B(2,1).(1)直接写出不等式y2>y1的解集;(2)求直线AB的解析式;(3)设点P是线段AB上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,E是y轴上一点,求△PED的面积S的最大值.解:(1)∵A(1,m),B(2,1).根据函数图象得,不等式y2>y1的解集为0<x<1或x>2;(2)∵点B(2,1)在双曲线上,∴k2=2×1=2,∴双曲线的解析式为y2=,∵A(1,m)在双曲线y2=上,∴m=1×2=2,∴A(1,2),∵直线AB:y1=k1x+b过A(1,2)、B(2,1)两点,∴,∴,∴直线AB的解析式为:y=﹣x+3;(3)设点P(x,﹣x+3),且1≤x≤2,则S=PD•OD==∵∴当时,S有最大值,最大值为.。
北师版九年级数学上册 第6章 6.2.1 反比例函数的图象 培优训练卷(含答案)
第6章反比例函数6.2.1 反比例函数的图象培优训练卷一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.若反比例函数y =k x 的图象经过点(2,-1),则该反比例函数的图象在( )A .第一、二象限B .第一、三象限C .第二、三象限D .第二、四象限2.下列各点中,在反比例函数y =8x 的图象上的是( )A .(-1,8)B .(-2,4)C .(1,7)D .(2,4)3. 反比例函数y =-7x 的大致图象是( )4.关于反比例函数y =3x 图象的对称性,下列叙述错误的是( )A . 关于x 轴对称B .关于直线y =x 对称C .关于直线y =-x 对称D .关于原点对称5.反比例函数y =m x 的图象的两支分布在第一、三象限,则点(-m ,m +2)在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限6. 在同一平面直角坐标系中,函数y =x +k 与y =k x (k 为常数,k≠0)的图象大致是()7. 关于反比例函数y =4x的图象,下列说法正确的是( ) A .必经过点(1,1)B .两个分支分布在第二、四象限C .两个分支关于x 轴成轴对称D .两个分支关于原点成中心对称8.若点A(a ,b)在反比例函数y =2x的图象上,则代数式ab -4的值为( ) A .0 B .-2 C .2 D .-69.如图,已知OA =6,∠AOB =30°,则经过点A 的反比例函数的表达式为( )A .y =-93xB . y =9xC .y =93xD .y =-9x10. 如图,平行于x 轴的直线与函数y =k 1x (k 1>0,x >0),y =k 2x(k 2>0,x >0)的图象分别相交于A ,B 两点,点A 在点B 的右侧,C 为x 轴上的一个动点,若△ABC 的面积为4,则k 1-k 2的值为( )A .8B .-8C .4D .-4二.填空题(共8小题,3*8=24) 11. 若反比例函数y =8x的图象经过点(-2,m),则m 的值是________. 12. 如图,它是反比例函数y =m -5x图象的一支,根据图象可知常数m 的取值范围是_____________.13. .已知函数y=(m+1)xm2-5是反比例函数,且图象在第二、四象限内,则m的值是__________.14.若正比例函数y=-2x与反比例函数y=kx图象的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点坐标为______________.15. 已知反比例函数y=2k-3x的图象经过点(1,1),则k的值为_____.16. A(3,-4),B(-2,m)在同一个反比例函数的图象上,则m的值为____.17. 若一个反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),则这个反比例函数的表达式为_____.18. 如图,在△AOB中,∠AOB=90°,点A的坐标为(2,1),BO=25,反比例函数y=kx的图象经过点B,则k的值为________.三.解答题(共7小题,46分)19.(6分) 在同一坐标系中画出y=5x和y=-5x的图象,它们有什么相同点和不同点.20.(6分)已知反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(2,1),分别求出这两个函数的表达式,并在同一坐标系内画出它们的大致图象.21.(6分) 在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y=x+2的图象的一个交点为P,且点P的横坐标为1,求该反比例函数的表达式.22.(6分)如图,Rt△ABC的两个锐角顶点A,B在函数y=kx(x>0)的图象上,AC∥x轴,AC=2,若点A的坐标为(2,2),求点B的坐标.23.(6分) 点P(1,a)在反比例函数y=kx的图象上,它关于y轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上,求此反比例函数的表达式.24.(8分)已知反比例函数y=k-1x(k为常数,且k≠1).(1)若点A(1,2)在这个函数的图象上,求k的值;(2)若k=13,试判断点B(3,4),C(2,5)是否在这个函数的图象上,并说明理由.25.(8分)如图,某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧),作BC⊥y轴,垂足为点C,连接AB,AC.(1)求该反比例函数的表达式;(2)若△ABC的面积为6,求直线AB的表达式.参考答案:1-5DDDAB 6-10BDBCA 11.-412. m>513. 214.(1,-2)15. 216. 617. y=4 x18. -819. 解:如图所示.相同点:①都是双曲线,②都是轴对称图形,③都是中心对称图形,④与坐标轴无交点.不同点:k>0时,图象在第一、三象限,k<0时图象在第二、四象限20. 解:∵反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(2,1),∴k=2×1=2,k×2+m=1.∴k=2,m=-3.∴y1=2x,y2=2x-3.它们的图象如图所示21. 解:∵当x=1时,y=x+2=3,∴点P的坐标为(1,3).将点P的坐标(1,3)代入y=kx,得k=3,∴反比例函数的表达式为y=3 x22. 解:∵点A(2,2)在函数y=k(x>0)的图象上,∴2=k,得k=4.∴点B的横坐标是4,∴y=44=1,∴点B的坐标为(4,1).23. 解:点P(1,a)关于y轴的对称点是P′(-1,a).∵点P′(-1,a)在一次函数y=2x+4的图象上,∴a=2×(-1)+4=2.∵点P(1,2)在反比例函数y=kx的图象上,∴k=2,∴反比例函数的表达式为y=2 x.24. 解:(1)∵点A(1,2)在这个函数的图象上,∴2=k-1,解得k=3(2)∵k=13,∴反比例函数的表达式为y=12 x.将点B的坐标代入y=12x,可知点B的坐标满足函数关系式,∴点B在函数y=12x的图象上;将点C的坐标代入y=12x,由5≠122=6可知点C的坐标不满足函数关系式,∴点C不在函数y=12x的图象上25. 解:(1)设该反比例函数的表达式为y=kx,由题意,得k=2×3=6,∴设反比例函数的表达式为y=6 x(2)设点B的坐标为(a,b),过点A作AD⊥BC于点D,则D(2,b).∵反比例函数y=6x的图象经过点B(a,b),∴b=6a,∴AD=3-6a,∴S△ABC=12BC·AD=12a(3-6a)=6,解得a=6,∴b=6a=1,∴B(6,1).。
北师大版九年级上册第六章反比例函数与几何综合培优专题(真题含答案)
9
(1) SOAB = _____, m = _____;
(2)已知点
P
6,
0 在线段
OE
上,当
PDE
CBO
时,求点
D
的坐标.
23.(2019·四川中考真题)如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 与 y 轴交于点
B(0, 7) ,与反比例函数
y
8 x
在第二象限内的图象相交于点
A(1,
y3 y4 ,求 x3 x4 的值; ④若直线 y a 与函数图象有三个不同的交点,求 a 的取值范围.
yk 26.(2019·江苏中考真题)如图, A 为反比例函数 x (x>0)图象上的一点,在 x 轴 正半轴上有一点 B , OB 4 .连接 OA , AB ,且 OA AB 2 10 .
D. 5
3.(2019·山东中考真题)如图,点 A 的坐标是(-2,0),点 B 的坐标是(0,6),C 为 OB
的中点,将△ABC
绕点
B
逆时针旋转
90°后得到
ABC
.若反比例函数
y
k x
的图
象恰好经过 AB 的中点 D,则 k 的值是( )
A.9
B.12
C.15
D.18
4.(2019·重庆中考真题)如图,在平面直角坐标系中,菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴
y
k x
(k
0)
的图象交于第二、四象限内的点
A(a,
4)
和点
B(8, b)
.过点
A
作
x
轴的
10
垂线,垂足为点 C , AOC 的面积为 4.
人教中考数学 反比例函数 培优练习(含答案)含答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图.一次函数y=x+b的图象经过点B(﹣1,0),且与反比例函数(k为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点A(1,n).求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)当1≤x≤6时,反比例函数y的取值范围.【答案】(1)解:把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b得: 0=﹣1+b,∴b=1,∴一次函数解析式为:y=x+1,∵点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,∴n=1+1,∴n=2,∴点A的坐标是(1,2).∵反比例函数的图象过点A(1,2).∴k=1×2=2,∴反比例函数关系式是:y=(2)解:反比例函数y= ,当x>0时,y随x的增大而减少,而当x=1时,y=2,当x=6时,y= ,∴当1≤x≤6时,反比例函数y的值:≤y≤2【解析】【分析】(1)根据题意首先把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式,又点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,再利用一次函数解析式求出点A的坐标,然后利用代入系数法求出反比例函数解析式,(2)根据反比例函数的性质分别求出当x=1,x=6时的y值,即可得到答案.2.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y= (k>0,x>0)的图象上,点D的坐标为(,2).(1)求k的值;(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的一个顶点恰好落在函数y= (k>0,x >0)的图象上时,求菱形ABCD平移的距离.【答案】(1)解:作DE⊥BO,DF⊥x轴于点F,∵点D的坐标为(,2),∴DO=AD=3,∴A点坐标为:(,5),∴k=5 ;(2)解:∵将菱形ABCD向右平移,使点D落在反比例函数y= (x>0)的图象上D′,∴DF=D′F′=2,∴D′点的纵坐标为2,设点D′(x,2)∴2= ,解得x= ,∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ,∴菱形ABCD平移的距离为,同理,将菱形ABCD向右平移,使点B落在反比例函数y= (x>0)的图象上,菱形ABCD平移的距离为,综上,当菱形ABCD平移的距离为或时,菱形的一个顶点恰好落在函数图象上.【解析】【分析】(1)根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标,代入求出即可;(2)B和D可能落在反比例函数的图象上,根据平移求出即可.3.平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= (k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,AD交y轴于P点(1)已知点A的坐标是(2,3),求k的值及C点的坐标;(2)在(1)的条件下,若△APO的面积为2,求点D到直线AC的距离.【答案】(1)解:∵点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= (k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,∴3= ,点C与点A关于原点O对称,∴k=6,C(﹣2,﹣3),即k的值是6,C点的坐标是(﹣2,﹣3);(2)解:过点A作AN⊥y轴于点N,过点D作DM⊥AC,如图,∵点A(2,3),k=6,∴AN=2,∵△APO的面积为2,∴,即,得OP=2,∴点P(0,2),设过点A(2,3),P(0,2)的直线解析式为y=kx+b,,得,∴过点A(2,3),P(0,2)的直线解析式为y=0.5x+2,当y=0时,0=0.5x+2,得x=﹣4,∴点D的坐标为(﹣4,0),设过点A(2,3),B(﹣2,﹣3)的直线解析式为y=mx+b,则,得,∴过点A(2,3),C(﹣2,﹣3)的直线解析式为y=1.5x,∴点D到直线AC的直线得距离为:= .【解析】【分析】(1)根据点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= (k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,可以求得k的值和点C的坐标;(2)根据△APO的面积为2,可以求得OP的长,从而可以求得点P的坐标,进而可以求得直线AP的解析式,从而可以求得点D的坐标,再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离.4.如图,已知直线y=ax+b与双曲线y= (x>0)交于A(x1, y1),B(x2, y2)两点(A与B不重合),直线AB与x轴交于P(x0,0),与y轴交于点C.(1)若A,B两点坐标分别为(1,3),(3,y2),求点P的坐标.(2)若b=y1+1,点P的坐标为(6,0),且AB=BP,求A,B两点的坐标.(3)结合(1),(2)中的结果,猜想并用等式表示x1,x2,x0之间的关系(不要求证明).【答案】(1)解:∵直线y=ax+b与双曲线y= (x>0)交于A(1,3),∴k=1×3=3,∴y= ,∵B(3,y2)在反比例函数的图象上,∴y2= =1,∴B(3,1),∵直线y=ax+b经过A、B两点,∴解得,∴直线为y=﹣x+4,令y=0,则x=4,∴P(4,O)(2)解:如图,作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,BG⊥y轴于G,AE、BG 交于H,则AD∥BG∥x轴,AE∥BF∥y轴,∴= ,= = ,∵b=y1+1,AB=BP,∴= ,= = ,∴B(,y1)∵A,B两点都是反比例函数图象上的点,∴x1•y1= • y1,解得x1=2,代入= ,解得y1=2,∴A(2,2),B(4,1)(3)解:根据(1),(2)中的结果,猜想:x1, x2, x0之间的关系为x1+x2=x0【解析】【分析】(1)先把A(1,3)),B(3,y2)代入y= 求得反比例函数的解析式,进而求得B的坐标,然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式,继而即可求得P的坐标;(2)作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,BG⊥y轴于G,AE、BG交于H,则AD∥BG∥x轴,AE∥BF∥y轴,得出 = , = = ,根据题意得出 = , = = ,从而求得B(, y1),然后根据k=xy得出x1•y1= • y1,求得x1=2,代入 = ,解得y1=2,即可求得A、B的坐标;(3)合(1),(2)中的结果,猜想x1+x2=x0.5.已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A(﹣1,2),B(2,n),与y轴交于C 点.(1)求反比例函数和一次函数解析式;(2)如图1,若将y=kx+b向下平移,使平移后的直线与y轴交于F点,与双曲线交于D,E两点,若S△ABD=3,求D,E的坐标.(3)如图2,P为直线y=2上的一个动点,过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q,交双曲线于R,若QR=2QP,求P点坐标.【答案】(1)解:点A(﹣1,2)在反比例函数y= 的图象上,∴m=(﹣1)×2=﹣2,∴反比例函数的表达式为y=﹣,∵点B(2,n)也在反比例函数的y=﹣图象上,∴n=﹣1,即B(2,﹣1)把点A(﹣1,2),点B(2,﹣1)代入一次函数y=kx+b中,得,解得:k=﹣1,b=1,∴一次函数的表达式为y=﹣x+1,答:反比例函数的表达式是y=﹣,一次函数的表达式是y=﹣x+1;(2)解:如图1,连接AF,BF,∵DE∥AB,∴S△ABF=S△ABD=3(同底等高的两三角形面积相等),∵直线AB的解析式为y=﹣x+1,∴C(0,1),设点F(0,m),∴AF=1﹣m,∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= (1﹣m)×(1+2)=3,∴m=﹣1,∴F(0,﹣1),∵直线DE的解析式为y=﹣x+1,且DE∥AB,∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①.∵反比例函数的表达式为y=﹣②,联立①②解得,或∴D(﹣2,1),E(1,﹣2);(3)解:如图2由(1)知,直线AB的解析式为y=﹣x﹣1,双曲线的解析式为y=﹣,设点P(p,2),∴Q(p,﹣p﹣1),R(p,﹣),PQ=|2+p+1|,QR=|﹣p﹣1+ |,∵QR=2QP,∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|,解得,p= 或p= ,∴P(,2)或(,2)或(,2)或(,2).【解析】【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值,从而可得到反比例函数的解析式;把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式;(2)依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3,再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标,即可得出直线DE的解析式,即可求出交点坐标;(3)设点P(p,2),则Q(p,﹣p﹣1),R(p,﹣),然后可表示出PQ与QR的长度,最后依据QR=2QP,可得到关于p的方程,从而可求得p的值,从而可得到点P的坐标.6.如图,四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形,对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上(n≥1的整数),点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,P n(x n, y n)在反比例函数y= (x>0)的图象上,并已知B1(﹣1,1).(1)求反比例函数y= 的解析式;(2)求点P2和点P3的坐标;(3)由(1)、(2)的结果或规律试猜想并直接写出:△P n B n O的面积为 ________ ,点P n的坐标为________ (用含n的式子表示).【答案】(1)解:在正方形OP1A1B1中,OA1是对角线,则B1与P1关于y轴对称,∵B1(﹣1,1),∴P1(1,1).则k=1×1=1,即反比例函数解析式为y=(2)解:连接P2B2、P3B3,分别交y轴于点E、F,又点P1的坐标为(1,1),∴OA1=2,设点P2的坐标为(a,a+2),代入y=得a=-1,故点P2的坐标为(-1,+1),则A1E=A2E=2-2,OA2=OA1+A1A2=2,设点P3的坐标为(b,b+2),代入y=(>0)可得b=-,故点P3的坐标为(-,+)(3)1;(-,+)【解析】【解答】解:(3)∵=2=2×=1,=2=2×=1,…∴△P n B n O的面积为1,由P1(1,1)、P2(﹣1, +1)、P3(﹣,+ )知点P n的坐标为(﹣,+ ),故答案为:1、(﹣, +).【分析】(1)由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称,得出点P1(1,1),然后利用待定系数法求解即可;(2)连接P2B2、P3B3,分别交y轴于点E、F,由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2,设P2的坐标为(a,a+2),代入解析式求得a的值即可,同理可得点P3的坐标;(3)先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值,然后找出其中的规律,最后依据规律进行计算即可.7.如图,已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,﹣2).(1)求反比例函数的解析式;(2)观察图象,直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围;(3)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移个单位长度得到点B,判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】(1)解:设反比例函数的解析式为(k>0)∵A(m,﹣2)在y=2x上,∴﹣2=2m,∴解得m=﹣1。
浙教版八年级数学下册第六章 反比例函数练习(含答案)
第六章 反比例函数一、单选题1.在下列函数中表示y 关于x 的反比例函数的是( )A .2x y =B .21y xC .2y x =D .22y x= 2.点A (a ,﹣1),在双曲线y =3x 上,则a 的值是( ) A .1 B .﹣1 C .3 D .﹣33.如图,点A 的坐标是()2,0,ABO ∆是等边三角形,点B 在第一象限.若反比例函数k y x=的图象经过点B ,则k 的值是( )A .1B .2CD .4.若点()()()1233,,2,,3,A y B y C y --在反比例函数1y x =-的图像上,则123,,y y y 大小关系是( )A .123y y y <<B .132y y y <<C .231y y y <<D .312y y y << 5.如图,矩形ABCD 的顶点A 和对称中心均在反比例函数y =k x(k≠0,x >0)上,若矩形ABCD 的面积为12,则k 的值为( (A .12B .4C .3D .66.反比例函数(0)k y k x=≠的图象如图所示,以下结论错误的是( )A .0k >B .若点()1,3M 在图象上,则3k =C .在每个象限内,y 的值随x 值的增大而减小D .若点()1,A a -,()2,B b 在图象上,则a b >7.如图,正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y=x的图象相交于点A 、B 两点,若点A 的坐标为(2,1),则点B 的坐标是( )A .(1,2)B .(-2,1)C .(-1,-2)D .(-2,-1)8.如图,直线l⊥x 轴于点P ,且与反比例函数y 1=1k x(x >0)及y 2=2k x (x >0)的图象分别交于点A ,B ,连接OA ,OB ,已知△OAB 的面积为2,则k 1﹣k 2的值为( )A .2B .3C .4D .﹣49.如图,已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OBA 斜边OA 的中点D ,且与直角边AB 相交于点C .若点A 的坐标为(8,4)-,则AOC ∆的面积为( )A .12B .16C .8D .3210.如图,在x 轴正半轴上依次截取1122311n p OA A A A A A A -=====,过点1A 、2A 、3A 、……n A 分别作x 轴的垂线,与反比例函数2(0)y x x=>交于点1P 、2P 、3P 、…、n P ,连接12PP 、23PP 、…1n n P P -,,过点2P 、3P 、…、n P 分别向1P A 、22P A 、…、11n n P A --作垂线段,构成的一系列直角三角形(图中阴影部分)的面积和等于( ).A .2nB .1n n -C .21nD .22n n+二、填空题 11.已知反比例函数的图象经过点(m ,6)和(﹣2,3),则m 的值为________. 12.已知反比例函数6y x=,当x >3时,y 的取值范围是_____. 13.某物体对地面的压强P (Pa )与物体和地面的接触面积S (m 2)成反比例函数关系(如图),当该物体与地面的接触面积为0.25m 2时,该物体对地面的压强是______Pa .14.如图,AOB 的边OB 在x 轴上,反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图象经过点A ,且交AB 边于点C ,过点A ,C 分别作x 轴的垂线,垂足分别为D ,E ,若AOB 的面积为6,OD DE EB ==,则反比例函数的表达式为________.三、解答题15.反比例函数k y x=的图象经过点A (2,3).(1)求这个函数的解析式;(2)请判断点B (1,6)是否在这个反比例函数的图象上,并说明理由.16.如图,一次函数y kx b =+的图象分别交x 轴、y 轴于C ,D 两点,交反比例函数n y x =图象于A (32,4),B (3,m )两点.(1)求直线CD 的表达式;(2)点E 是线段OD 上一点,若154AEB S =,求E 点的坐标; (3)请你根据图象直接写出不等式n kx b x +≤的解集. 17.如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V (m 3/h )与排完水池中的水所用的时间t (h )之间的函数关系图象.(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的总蓄水量;(2)写出此函数的解析式;(3)若要6 h 排完水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少?18.驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾,某研究所经实验测得:成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间函数关系如图所示(当4≤x≤10时,y与x成反比例).(1)根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式.(2)问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时?知识像烛光,能照亮一个人,也能照亮无数的人。
浙教版2019--2020年八年级数学下册第六章:反比例函数 培优检测(含解析)
2020年初中数学浙教版八年级下册第六章培优检测学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.关于反比例函数4y x=-,下列说法正确的是( ) A .函数图像经过点(2,2);B .函数图像位于第一、三象限;C .当0x >时,函数值y 随着x 的增大而增大;D .当1x >时,4y <-. 2.已知压强的计算公式是p =FS,我们知道,刀具在使用一段时间后,就会变钝.如果刀刃磨薄,刀具就会变得锋利.下列说法中,能正确解释刀具变得锋利这一现象的是( )A .当受力面积一定时,压强随压力的增大而增大B .当受力面积一定时,压强随压力的增大而减小C .当压力一定时,压强随受力面积的减小而减小D .当压力一定时,压强随受力面积的减小而增大3.如图,平面直角坐标系中,矩形ABCD 的边AB :BC =3:2,点A (3,0),B (0,6)分别在x 轴,y 轴上,反比例函数y =kx的图象经过点D ,则k 值为( )A .﹣14B .14C .7D .﹣74.如图,已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x =>交于A 、B 两点,点B 坐标为(-4,-2),C 为双曲线(0)ky k x=>上一点,且在第一象限内,若△AOC 面积为6,则点C 坐标为( )A.(4,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(2,4)5.在同一平面直角坐标系中,函数y=﹣x+k与y=kx(k为常数,且k≠0)的图象大致是()A.B.C.D.6.如图,四边形OABC和四边形BDEF都是正方形,反比例函数kyx=在第一象限的图象经过点E,若两正方形的面积差为8,则k的值为()A.6B.8C.12D.167.函数kyx=和1yx=在第一象限内的图像如图,P是kyx=的图象上一动点,PC⊥x轴于点C,交的图象于点A,PD ⊥y 轴于点D,交kyx=的图像于点B,当点P在kyx=的图像上运动时,下列结论错误的是()A .△ODB 与△OCA 的面积相等 B .当点 A 是 PC 的中点时,点 B 一定是 PD 的中点 C .CA DBPA PB=D .当四边形 OCPD 为正方形时,四边形PAOB 的面积最大8.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A ,B 在反比例函数ky x=()00k x >>,的图像上,纵坐标分别为1和3,则k 的值为( )A .23B .3C .2D .39.如图,反比例函数ky x=(x >0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ,分别于AB 、BC 交于点D 、E ,若四边形ODBE 的面积为12,则k 的值为( )A .1B .2C .3D .410.如图,在平面直角坐标系中,梯形OACB 的顶点O 是坐标原点,OA 边在y 轴正半轴上,OB 边在x 轴正半轴上,且OA ∥BC ,双曲线y=k x(x >0)经过AC 边的中点,若S 梯形OACB =4,则双曲线y=kx的k 值为( )A .5B .4C .3D .2二、填空题11.如图,点A 在双曲线y =kx的第一象限的那一支上,AB 垂直于x 轴与点B ,点C 在x 轴正半轴上,且OC =2AB ,点E 在线段AC 上,且AE =3EC ,点D 为OB 的中点,若△ADE 的面积为3,则k 的值为_____.12.如图,含30°的直角三角板ABC(其中∠ABC=90 )的三个顶点均在反比例函数1y x=的图象上,且斜边AC 经过原点O ,则直角三角板ABC 的面积为_____________.13.已知反比例函数的图象经过点(m ,4)和点(8,-2),则m 的值为________. 14.如图,四边形ABCD 的项点都在坐标轴上,若//,AB CD AOB V 与COD △面积分别为8和18,若双曲线ky x=恰好经过BC 的中点E ,则k 的值为__________.15.如图,已知点A 1、A 2、A 3、…、A n 在x 轴上,且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A n ﹣1A n =1,分别过点A 1、A 2、A 3、……、A n 作x 轴的垂线,交反比例函数y =2x(x >0)的图象于点B 1、B 2、B 3、…、B n ,过点B 2作B 2P 1⊥A 1B 1于点P 1,过点B 3作B 3P 2⊥A 2B 2于点P 2,…,若记△B 1P 1B 2的面积为S 1,△B 2P 2B 3的面积为S 2,…,△B n P n B n +1的面积为S n ,则S 1+S 2+…+S 2019=_____.三、解答题16.如图,一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2k y x=的图像交于(4,)C m -,F 两点,与,x y 轴分别交于,(0,3)B A -两点,且32OA OB =.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)若点E 与点B 关于y 轴对称,连接,FE EC ,求EFC ∆的面积. 17.如图,正方形AOCB 的边长为4,反比例函数的图象过点E (3,4).(1)求反比例函数的解析式;(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线12y x b=-+过点D,与线段AB相交于点F,求点F的坐标;(3)连接OF,OE,探究∠AOF与∠EOC的数量关系,并证明.(4)若点P是x轴上的动点,点Q是(1)中的反比例函数在第一象限图象上的动点,且使得△PDQ为等腰直角三角形,请求出点P的坐标.18.如图,在平面直角坐标系xOy中,△OA1B1是等边三角形,点B1的坐标是(2,0),反比例函数y=kx的图象经过点A1.(1)求反比例函数的解析式.(2)如图,以B1为顶点作等边三角形B1A2B2,使点B2在x轴上,点A2在反比例函数y=kx的图象上.若要使点B2在反比例函数y=kx的图象上,需将△B1A2B2向上平移多少个单位长度?19.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点,点A的坐标是(﹣2,1),点B的坐标是(1,n);(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式;(2)求△AOB的面积;(3)直接写出不等式kx+b≥mx的解集.20.如图,一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于()2,1A -,()1,B n 两点.()1求一次函数与反比例函数的表达式; ()2求AOB V 的面积;()3根据所给条件,请直接写出不等式m kx b x+<的解集.答案与解析1.C【解析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案. 【详解】A 、关于反比例函数y=-4x ,函数图象经过点(2,-2),故此选项错误; B 、关于反比例函数y=-4x ,函数图象位于第二、四象限,故此选项错误;C 、关于反比例函数y=-4x ,当x >0时,函数值y 随着x 的增大而增大,故此选项正确;D 、关于反比例函数y=-4x,当x >1时,y >-4,故此选项错误;故选C . 【名师点评】此题主要考查了反比例函数的性质,正确掌握相关函数的性质是解题关键. 2.D 【解析】如果刀刃磨薄,指的是受力面积减小;刀具就会变得锋利指的是压强增大.故选D. 3.B 【解析】过点D 作DF ⊥x 轴于点F ,则∠AOB =∠DF A =90°,∴∠OAB +∠ABO =90°, ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD =90°,AD =BC ,∴∠OAB +∠DAF =90°,∴∠ABO =∠DAF , ∴△AOB ∽△DF A ,∴OA :DF =OB :AF =AB :AD , ∵AB :BC =3:2,点A (3,0),B (0,6),∴AB :AD =3:2,OA =3,OB=6,∴DF =2,AF =4,∴OF =OA +AF =7,∴点D 的坐标为:(7,2),∴k 14=,故选B. 4.D【解析】解:因为B 点坐标为(-4,-2),所以A 点坐标为(4,2), 那么双曲线的解析式为8y x= , 设C 点坐标为()m n , ,那么8114622mn n m =⎧⎪⎨⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩ ,解得24m n =⎧⎨=⎩, 所以C 点的坐标为(2,4). 故选:D. 5.C【解析】分k >0,k <0时两种情况分别判断选项的正确与否即可解答. 【详解】∵函数y =﹣x +k 与y =kx(k 为常数,且k ≠0), ∴当k >0时,y =﹣x +k 经过第一、二、四象限,y =kx经过第一、三象限,故选项D 错误; 当k <0时,y =﹣x +k 经过第二、三、四象限,y =kx经过第二、四象限,故选项C 正确,选项A 、B 错误,故选C . 【名师点评】此题考查反比例函数的图象,熟记反比例函数图象的性质即可正确解答. 6.B【解析】设正方形OABC 、BDEF 的边长分别为a 和b ,则D (a ,a-b ),F (a+b ,a ),由反比例函数图像上点的坐标特征得到E (a+b ,a+bk),由于点E 与点D 的纵坐标相同,所以a+bk=a-b ,则a 2-b 2=k ,最后利用正方形的面积公式即可解答. 【详解】解: 设正方形OABC 、BDEF 的边长分别为a 和b ,则D (a ,a-b ),F (a+b ,a ), 由反比例函数图像上点的坐标特征得到E (a+b ,a+bk), ∵点E 与点D 的纵坐标相同 ∴a+bk=a-b,即a 2-b 2=k 又∵a 2-b 2=8 ∴k=8 故答案为B . 【名师点评】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义以及正方形的性质,学会设未知数和正确的使用数形结合思想是解答本题的关键. 7.D【解析】根据反比例函数的图象和性质,特别是反比例函数k 的几何意义,对四个选项逐一进行分析,即可得出正确答案 【详解】解:A 、由于点A 和点D 均在同一个反比例函数1y x=的图象上, 所以12ODB S =V ,12OCA S =V , 故ODB △和OCA V 的面积相等, 故本选项正确; B 、如图,连接OP ,则2ODP OCP kS S ==V V ,Q A 是PC 的中点,OAP S ∴=V 1224OAC kkS =⨯=V , ODB S =V Q 4OCA kS =V ,4OBP ODP ODB kS S S ∴=-=V V V ,即4OBP ODB kS S ==V V ,∴B 一定是PD 的中点,故本选项正确; C 、设,k P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则1,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,m kB k m ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 11,,,k m m CA PA DB PB m mm m k k∴==-==-, 故1111CA mk PA k m m ==--,11mDB km PBk m k ==--,∴=CA DB PA PB, 故本选项正确;D 、由于矩形OCPD 、三角形ODB 、三角形OCA 的面积为定值, 所以四边形PAOB 的面积不会发生变化, 故本选项错误; 故选:D . 【名师点评】本题考查了反比例函数综合题,关键是设P 点坐标,利用点与点的坐标关系以及反比例函数的性质表现相关线段的长,要对每一个结论进行判断. 8.B【解析】过A 作AD ⊥x 轴于D ,过B 作BE ⊥AD 于E ,依据△ABE ∽△OAD ,即可得到,设A (k ,1),B (3k ,3),即可得到1223kk =,进而得出k 的值.【详解】如图,过A 作AD ⊥x 轴于D ,过B 作BE ⊥AD 于E ,则∠E=∠ADO=90°,又∵∠BAO=90°,∴∠OAD+∠AOD=∠OAD+∠BAE=90°, ∴∠AOD=∠BAE , ∴△ABE ∽△OAD , ∴AD ODBE AE=, 设A (k ,1),B (3k ,3),则OD=k ,AD=1,AE=2,BE=23k , ∴1223kk =,解得k=±3 ∵k >0, ∴3 故选B . 【名师点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标与k 之间的关系.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形. 9.D【解析】可设出点D 、E 的坐标,易知点B 坐标,根据中点的性质表示出点M 坐标,代入ky x=可得n 、m 间关系,由=OABC OCE OAD OACE S S S S --X V V 四边形可求出k 值. 【详解】解:设点D 的坐标为(,)k m m ,点E 的坐标为(,)k n n ,则点B 的坐标为(,)k n m, M Q 为OB 的中点(,)22n k M m∴又Q 反比例函数ky x=(x >0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M 22k k n m ∴=4n m ∴=(4,)k B m m ∴ 11,,442222OCE OAD OABC k k k k kS m S n S m k m n m∴=⋅==⋅==⋅=V V W=41222OABC OCE OAD OACE k kS S S S k ∴--=--=X V V 四边形4k ∴=故选:D. 【名师点评】本题考查了反比例函数的图象与坐标轴围成的图形的面积,灵活的应用反比例函数图象上的点坐标表示三角形的面积是解题的关键. 10.D【解析】过AC 的中点P 作//DE x 轴交y 轴于D ,交BC 于E ,作PF x ⊥轴于F ,如图,先根据“AAS ”证明PAD PCE ≅V V ,则PAD PCE S S =V V ,得到BODE AOBC S S =矩形梯形,再利用12DOFP BODE S S =矩形矩形得到114222DOFP AOBC S S ==⨯=矩形梯形,然后根据反比例函数()0ky k x=≠系数k 的几何意义得2k =,再去绝对值即可得到满足条件的k 的值. 【详解】过AC 的中点P 作//DE x 轴交y 轴于D ,交BC 于E ,作PF x ⊥轴于F ,如图,在PAD △和PCE V 中,APD CPE ADP PEC PA PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴PAD PCE ≅V V (AAS ), ∴PAD PCE S S =V V , ∴BODE AOBC S S =矩形梯形, Q 12DOFP BODE S S =矩形矩形, ∴114222DOFPAOBC S S ==⨯=矩形梯形, ∴2k =,而0k >,∴2k =.故选:D . 【名师点评】本题考查了反比例函数()0k y k x =≠系数k 的几何意义:从反比例函数()0ky k x=≠图象上任意一点向x 轴于y 轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k .11.163. 【解析】由AE =3EC ,△ADE 的面积为3,可知△ADC 的面积为4,再根据点D 为OB 的中点,得到△ADC 的面积为梯形BOCA 面积的一半,即梯形BOCA 的面积为8,设A (x,kx),从而表示出梯形BOCA 的面积关于k 的等式,求解即可. 【详解】 如图,连接DC ,∵AE=3EC ,△ADE 的面积为3,∴△CDE 的面积为1. ∴△ADC 的面积为4.∵点A 在双曲线y =kx 的第一象限的那一支上, ∴设A 点坐标为 (x,kx).∵OC =2AB ,∴OC=2x.∵点D 为OB 的中点,∴△ADC 的面积为梯形BOCA 面积的一半,∴梯形BOCA 的面积为8.∴梯形BOCA 的面积=11(2)3822k k x x x x x +⋅=⋅⋅=,解得16k 3=. 【名师点评】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,同底三角形面积的计算,梯形中位线的性质. 12.23【解析】设点A 坐标为(n ,1n ),则B 点坐标为(1n,n ), 由△ABO 是等边三角形,可得OA=AB ,根据两点间距离公式可求出2221OA 4n n=+=,则OA=AB=2,BC=3然后即可求出面积. 【详解】解:设点A 坐标为(n ,1n ),则B 点坐标为(1n,n ), ∵O 是AC 中点, ∴OA=OB ,∠A=60°,∴△ABO 是等边三角形,∴OA=AB ,∴2222111n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 整理得:2222112()4n n n n+=+-, ∴2214n n +=, 即OA=AB=2, ∴BC=23,1223232ABC S =⨯⨯=V【名师点评】本题考查了反比例函数的图像和性质,求出OB 的值是解题关键. 13.-4. 【解析】试题解析:设反比例函数的解析式为:y=,把(8,-2)代入y=得,中k=-16∴y=-把(m ,4)代入y=-得,m=-4. 考点:反比例函数图象上点的坐标特征. 14.6【解析】根据AB//CD ,得出△AOB 与△OCD 相似,利用△AOB 与△OCD 的面积分别为8和18,得:AO :OC=BO :OD=2:3,然后再利用同高三角形求得S △COB =12,设B 、 C 的坐标分别为(a ,0)、(0,b ),E 点坐标为(12a ,12b )进行解答即可. 【详解】 解:∵AB//CD , ∴△AOB ∽△OCD ,又∵△ABD 与△ACD 的面积分别为8和18,∴△ABD与△ACD的面积比为4:9,∴AO:OC=BO:OD=2:3∵S△AOB=8∴S△COB=12设B、C的坐标分别为(a,0)、(0,b),E点坐标为(12a,12b)则OB=| a | 、OC=| b |∴12|a|×|b|=12即|a|×|b|=24∴|12a|×|12b|=6又∵kyx=,点E在第三象限∴k=xy=12a×12b=6故答案为6.【名师点评】本题考查了反比例函数综合题应用,根据已知求出S△COB=12是解答本题的关键.15.2019 2020.【解析】由反比例函数图像上点的坐标特征可得:B1、B2、B3、…、B n的坐标,从而可得出B1P1、B2P2、B3P3、…、B n P n的长度,根据三角形的面积公式即可得出S n=12A n A n+1•B n P n=1n(n1)+,将其代入S1+S₂+…+S2019中即可解答.【详解】解:根据题意可知:点B1(1,2)、B2(2,1)、B3(3,23)、…、B n(n,2n),∴B1P1=2﹣1=1,B2P2=1﹣2133=,B3P3=211326-=,…,B n P n=2221(1)n n n n-=++,∴S n=12A n A n+1•B n P n=1n(n1)+,∴S1+S2+…+S2019=1111 122334(1)n n++++⨯⨯⨯+K=1﹣1111111 2233420192020 +-+-++-L=1﹣12020 =20192020. 故答案为:20192020.【名师点评】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形的面积,根据反比例函数图象上点的坐标特征结合三角形的面积得到S n =12A n A n +1•B n P n =1n(n 1)+,是解题的关键.16.(1)12y x=-;(2)18. 【解析】(1)先求出B 点坐标,再用待定系数法求一次函数的解析式,再求出C 点坐标,用待定系数法求反比例函数解析式;(2)先由对称性质求E 点坐标,再联立方程组求得F 点坐标,最后根据三角形面积公式求面积. 【详解】解:(1)∵A (0,-3) ∴OA=3, ∵OA=32OB , ∴OB=2, ∴B (-2,0).将(0,3),(2,0)A B --代入一次函数1y k x b =+,得1320b k b =-⎧⎨-+=⎩,解得13,23.k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴一次函数的解析式为332y x =--. Q 点(4,)C m -在一次函数332y x =--的图像上,3(4)33,(4,3)2m C ∴=-⨯--=∴-.Q 点(4,3)C -在反比例函数2ky x =的图像上,24312k ∴=-⨯=-, ∴反比例函数的解析式为12y x=-.(2)Q 点E 与点B 关于y 轴对称,(2,0)B -,(2,0)E ∴,2(2)4BE ∴=--=.联立33,212,y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得114,3x y =-⎧⎨=⎩或222,6.x y =⎧⎨=-⎩ (2,6)F ∴-,1146431822EFC EFB EBC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=.【名师点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题,待定系数法求一次函数和二次函数的解析式,三角形的面积等,熟练掌握待定系数法是解题的关键. 17.(1)y =12x ;(2)点F 的坐标为(2,4);(3)∠AOF =12∠EOC ,理由见解析;(4)P 的坐标是(197,0)或(-5,00)或(5,0) 【解析】(1)设反比例函数的解析式为y =kx,把点E (3,4)代入即可求出k 的值,进而得出结论;(2)由正方形AOCB 的边长为4,故可知点D 的横坐标为4,点F 的纵坐标为4,由于点D 在反比例函数的图象上,所以点D 的纵坐标为3,即D (4,3),由点D 在直线12y x b =-+上可得出b 的值,进而得出该直线的解析式,再把y=4代入直线的解析式即可求出点F 的坐标;(3)在CD 上取CG=AF=2,连接OG ,连接EG 并延长交x 轴于点H ,由全等三角形的判定定理可知△OAF ≌△OCG ,△EGB ≌△HGC (ASA ),故可得出EG=HG ,设直线EG 的解析式为y=mx+n ,把E (3,4),G (4,2)代入即可求出直线EG 的解析式,故可得出H 点的坐标,在Rt △AOF 中,AO=4,AE=3,根据勾股定理得OE=5,可知OC=OE ,即OG 是等腰三角形底边EF 上的中线,所以OG 是等腰三角形顶角的平分线,由此即可得出结论; (4)分△PDQ 的三个角分别是直角,三种情况进行讨论,作DK ⊥x 轴,作QR ⊥x 轴,作DL ⊥QR ,于点L ,即可构造全等的直角三角形,设出P 的坐标,根据点在图象上,则一定满足函数的解析式即可求解, 【详解】 解:(1)设反比例函数的解析式y =k x, ∵反比例函数的图象过点E (3,4), ∴4=3k,即k =12, ∴反比例函数的解析式y =12x; (2)∵正方形AOCB 的边长为4, ∴点D 的横坐标为4,点F 的纵坐标为4, ∵点D 在反比例函数的图象上, ∴点D 的纵坐标为3,即D (4,3), ∵点D 在直线y =﹣12x +b 上, ∴3=﹣12×4+b , 解得:b =5,∴直线DF 为y =﹣12x +5, 将y =4代入y =﹣12x +5,得4=﹣12x +5,解得:x =2,∴点F 的坐标为(2,4), (3)∠AOF =12∠EOC ,理由为: 证明:在CD 上取CG =AF =2,连接OG ,连接EG 并延长交x 轴于点H ,OAF OCG V V 在和中,4902AO CO OAF OCG AF CG ==⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩,∴△OAF ≌△OCG (SAS ),∴∠AOF =∠COG ,EGB HGC V V 在和,290EGB HGC BG CG GBC GCH ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩, ∴△EGB ≌△HGC (ASA ),∴EG =HG ,设直线EG :y =mx +n ,∵E (3,4),G (4,2),∴3442m n m n +=⎧⎨+=⎩,解得210m n =-⎧⎨=⎩, ∴直线EG :y =﹣2x +10,令y =﹣2x +10=0,得x =5,∴H (5,0),OH =5,在Rt △AOE 中,AO =4,AE =3,根据勾股定理得OE =5,∴OH =OE ,∴OG 是等腰三角形底边EH 上的中线,∴OG 是等腰三角形顶角的平分线,∴∠EOG =∠GOH ,∴∠EOG =∠GOC =∠AOF ,即∠AOF =12∠EOC ; (4)当Q 在D 的右侧(如图1),且∠PDQ =90°时,作DK ⊥x 轴,作QL ⊥DK ,于点L ,则△DPK≌△QDK,设P的坐标是(a,0),则KP=DL=4-a,QL=DK=3,则Q的坐标是(4+3,4-3+a)即(7,-1+a),把(7,-1+a)代入y=12x得:7(-1+a)=12,解得:a=197,则P的坐标是(197,0);当Q在D的左侧(如图2),且∠PDQ=90°时,作DK⊥x轴,作QR⊥x轴,作DL⊥QR,于点L,则△QDL≌△PDK,则DK=DL=3,设P的坐标是b,则PK=QL=4-b,则QR=4-b+3=7-b,OR=OK-DL=4-3=1,则Q的坐标是(1,7-b),代入y=12x得:b=-5,则P的坐标是(-5,0);当Q在D的右侧(如图3),且∠DQP=90°时,作DK⊥x轴,作QR⊥x轴,作DL⊥QR,于点L,则△QDL≌△PQK,则DK=DL=3,设Q的横坐标是c,则纵坐标是12c,则QK=QL=12c,又∵QL=c-4,∴c-4=12c,解得:c=-2(舍去)或6,则PK=DL=DR-LR=DR-QK=3-126=1,∴OP=OK-PK=6-1=5,则P的坐标是(5,0);当Q在D的左侧(如图3),且∠DQP=90°时,不成立;当∠DPQ=90°时,(如图4),作DK⊥x轴,作QR⊥x轴,则△DPR≌△PQK,∴DR=PK=3,RP=QK,设P的坐标是(d,0),则RK=QK=d-4,则OK=OP+PK=d+3,则Q 的坐标是(d +3,d -4),代入y =12x 得: (d +3)(d -4)=12,解得:d =197+或197-(舍去), 则P 的坐标是(197+,0), 综上所述,P 的坐标是(197,0)或(-5,0)或(1972+,0)或(5,0), 【名师点评】 本题是反比例函数综合题,掌握待定系数法求解析式,反比例函数的性质是解题的关键. 18.(1)y =3x;(2)需将△B 1A 2B 2向上平移6个单位长度. 【解析】(1)根据等边三角形的性质求点A 1的坐标,利用待定系数法可得反比例函数的解析式;(2)如图2,过点A 2作A 2G ⊥x 轴于点G ,设B 1G =a ,则A 2G =3a ,表示点A 2的坐标,通过代入计算可得a 的值,根据等边三角形的性质确定点B 2的坐标,可得结论.【详解】解:(1)如图1,过点A 1作A 1H ⊥x 轴于点H .∵△OA 1B 1是等边三角形,点B 1的坐标是(2,0),∴OA 1=OB 1=2,OH =1,∴A 1H 22100A H -2221-3,∴A 1(13).∵点A1在反比例函数y=kx的图象上,∴k=3.∴反比例函数的解析式为y=3x;(2)如图2,过点A2作A2G⊥x轴于点G,设B1G=a,则A2G=3a,∴A2(2+a3).∵点A2在反比例函数y=3x的图象上,33,解得a12﹣1,a22﹣1(不合题意,舍去),经检验a2﹣1是方程的根∴a2﹣1,∴△B1A2B2的边长是22﹣1),∴B2(2,0),∴把x=2代入y 3,得y3226∴(2,64y3∴若要使点B2在反比例函数y=kx的图象上,需将△B1A2B2向上平移64个单位长度.【名师点评】本题考查了反比例函数的几何问题,掌握反比例函数的性质、勾股定理、等边三角形的性质是解题的关键.19.(1)y=﹣x﹣1;(2)32;(3)x≤﹣2或0<x≤1.【解析】(1)运用待定系数法先求出反比例函数的解析式,再求得B点的坐标,然后把点A、B代入y=kx+b即可得到一次函数的表达式;(2)先确定点C的坐标,再根据S△AOB=S△AOC+S△COB进行计算即可;(3)根据A(-2.1),B(1,-2),结合图像可得不等式kx+b>mx的解集.【详解】解:(1)把点A的坐标(﹣2,1)代入一反比例函数y=mx,可得:m=﹣2×1=﹣2,∴反比例函数为y=﹣2x,∵反比例函数y=mx的图象经过B点,∴n=﹣21=﹣2,∴B(1,﹣2),把A(﹣2,1),B(1,﹣2)代入y=kx+b得212k bk b-+=⎧⎨+=-⎩解得k=﹣1,b=﹣1∴一次函数为y=﹣x﹣1;(2)在直线y=﹣x﹣1中,令x=0,则y=﹣1,∴C(0,﹣1),即OC=1,∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12OC×2+12OC×1=12×1×(2+1)=32;(3)不等式kx+b≥mx的解集是x≤﹣2或0<x≤1.【名师点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题,解题关键在于运用待定系数法求函数解解析式.20.()1 2y x =-,1y x =--;()2 32AOB S =V ;()320x -<<,1x >. 【解析】(1)把A (-2,1)代入反比例函数y=m x,求出m 的值即可;把B (1,n )代入反比例函数的解析式可求出n ,从而确定B 点坐标为(1,-2),然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式;(2)设直线y=-x-1与x 轴的交点为C ,根据解析式求得C 的坐标,然后根据S △ABC=S △OAC+S △OBC 即可求得;(3)观察函数图象得到当-2<x <0或x >1时,一次函数的图象都在反比例函数的图象的下方,即一次函数的值小于反比例函数的值.【详解】()1把点()2,1A -代入反比例函数m y x=得: 12m =-, 解得:2m =-, 即反比例函数的解析式为:2y x=-, 把点()1,B n 代入反比例函数2y x =-得: 2n =-,即点A 的坐标为:()2,1-,点B 的坐标为:()1,2-,把点()2,1A -和点()1,2B -代入一次函数y kx b =+得:{212k b k b -+=+=-, 解得:{11k b =-=-,即一次函数的表达式为:1y x =--, ()2把0y =代入一次函数1y x =--得:10x --=,解得:1x =-,即点C 的坐标为:()1,0-,OC 的长为1,点A 到OC 的距离为1,点B 到OC 的距离为2,AOB OAC OBC S S S =+V V V ,11111222=⨯⨯+⨯⨯, 32=, ()3如图可知:m kx b x+<的解集为:20x -<<,1x >. 【名师点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式;利用待定系数法求函数的解析式.也考查了观察函数图象的能力.。
北师大版九年级数学上学期期末压轴题培优第六章:反比例函数(含答案)
九年级上学期期末压轴题培优:反比例函数1.如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=(x>0)的图象和△ABC都在第一象限内,AB=AC=,BC∥x轴,且BC=4,点A的坐标为(3,5).(1)若反比例函数y=(x>0)的图象经过点B,求此反比例函数的解析式;(2)若将△ABC向下平移m(m>0)个单位长度,A,C两点的对应点同时落在反比例函数图象上,求m的值.解:(1)∵AB=AC=,BC=4,点A(3,5).∴B(1,),C(5,),若反比例函数y=(x>0)的图象经过点B,则=,解得,k=,∴反比例函数的解析式为y=;(2)∵点A(3,5).C(5,),将△ABC向下平移m个单位长度,∴A(3,5﹣m),C(5,﹣m),∵A,C两点同时落在反比例函数图象上,∴3(5﹣m)=5(﹣m),∴m=.2.一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =的图象相交于A (﹣1,m ),B (n ,1)两点.(1)求出这个一次函数的表达式; (2)求△OAB 的面积.解:(1)把A (﹣1,m ),B (n ,﹣1)分别代入y =得﹣m =﹣2,﹣n =﹣2,解得m=2,n =2,所以A 点坐标为(﹣1,2),B 点坐标为(2,﹣1),把A (﹣1,2),B (2,﹣1)代入y =kx +b 得,解得,所以这个一次函数的表达式为y =﹣x +1; (2)设直线AB 交y 轴于P 点,如图, 当x =0时,y =1,所以P 点坐标为(0,1),所以S △OAB =S △AOP +S △BOP =×1×1+×1×2=.3.如图所示,已知双曲线y=(k>0,x>0)的图象上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1<x2,分别过P1,P2向x轴作垂线,垂足为B,D,过P1,P2向y轴作垂线,垂足分别为A,C.(1)若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1,S2,试比较S1和S2的大小.(2)若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的周长分别为C1和C2,试比较C1,C2的大小.(3)若P是双曲线y=(k>0,x>0)上一点,分别过P向x轴、y轴作垂线,垂足分别为M,N.试问当P在何处时四边形PMON的周长最小,最小值为多少?解:(1)根据反比例函数系数k的几何意义可知S1=S2=k;(2)∵C1=2OB+2AO=2BO+2CO+2AC,C2=2CO+2OD=2CO+2OB+2BD,∴当y1﹣y2=x2﹣x1,即AC=BD时,C1=C2;当y1﹣y2<x2﹣x1,即AC<BD时,C1<C2;当y1﹣y2>x2﹣x1,即AC>BD时,C1>C2.(3)设P(x,y),即(x,),四边形PMON的周长=2(x+y)=2(x+),因为面积相等的四边形中正方形的周长最小,所以x=,即x2=k,解得x=,故P点坐标为(,).∴最小值为4.4.如图,在平面直角坐标系中,过点M (0,2)的直线l 与x 轴平行,且直线l 分别与反比例函数y =(x >0)和y =(x <0)的图象分别交于点P ,Q . (1)求P 点的坐标;(2)若△POQ 的面积为9,求k 的值.解:(1)∵PQ ∥x 轴, ∴点P 的纵坐标为2,把y =2代入y =得x =3, ∴P 点坐标为(3,2);(2)∵S △POQ =S △OMQ +S △OMP ,∴|k |+×|6|=9, ∴|k |=12, 而k <0, ∴k =﹣12.5.如图,四边形OABC是矩形,A、C分别在y轴、x轴上,且OA=6cm,OC=8cm,点P 从点A开始以2cm/s的速度向B运动,点Q从点B开始以1cm/s的速度向C运动,设运动时间为t.(1)如图(1),当t为何值时,△BPQ的面积为4cm2?(2)当t为何值时,以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?(3)如图(2),在运动过程中的某一时刻,反比例函数y=的图象恰好同时经过P、Q 两点,求这个反比例函数的解析式.解:(1)由题意AB=OC=8cm,AO=BC=6cm,∠B=90°,∵P A=2t,BQ=t,∴PB=8﹣2t,∵△BPQ的面积为4cm2,∴•(8﹣2t)•t=4,解得t=2,∴t=2s时,△PBQ的面积为4.(2)①当△BPQ∽△BAC时,=,∴=,解得t=.②当△BPQ∽△BCA时,=,∴=,解得t=,∴t为s或s时,以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.(3)由题意P(2t,6),Q(8,6﹣t),∵反比例函数y=的图象恰好同时经过P、Q两点,∴12t=8(6﹣t),解得t=,∴P(,6),∴m=,∴反比例函数的解析式为y=.6.如图1,在平面直角坐标系中,点A(0,4),B(1,m)都在直线y=﹣2x+b上,反比例函数y=(x>0)的图象经过点B.(1)直接写出m和k的值;(2)如图2,将线段AB向右平移n个单位长度(n≥0),得到对应线段CD,连接AC,BD.①在平移过程中,若反比例函数图象与线段AB有交点,求n的取值范围;②在平移过程中,连接BC,若△BCD是直角三角形,请直接写出所有满足条件n的值.解:(1)∵点A(0,4)在直线y=﹣2x+b上,∴﹣2×0+b=4,∴b=4,∴直线AB的解析式为y=﹣2x+4,将点B(1,m)代入直线AB的解析式y=﹣2x+4中,得﹣2×1+4=m,∴b=2,∴B(1,2),将B(1,2)在反比例函数解析式y=(x>0)中,得k=xy=1×2=2;(2)①∵将线段AB向右平移n个单位长度,∴A(n,4),把A(n,4)代入y=中,得,4=,∴n=,∴在平移过程中,若反比例函数图象与线段AB有交点,n的取值范围为0≤n≤;②∵将线段AB向右平移n个单位长度(n≥0),得到对应线段CD,∴AB∥CD,∴∠CDB≠90°,当∠CBD=90°时,△BCD是直角三角形,∴CB⊥BC,∴C(1,4),∴n=1;当∠BCD=90°,△BCD是直角三角形,则C(n,4),D(n+1,2),∵BC2+CD2=BD2,∴(n﹣1)2+(4﹣2)2+12+(4﹣2)2=n2,解得:n=5,综上所述,若△BCD是直角三角形,n的值为1或5.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+1与图数y=的限象交于A(﹣2,a),B两点.(1)求a,k的值;(2)已知点P(0,n),过点P作平行于x轴的直线l,交函数y=的图象于点C(x1,y1),交直线y=﹣x+1的图象于点D(x2,y2),若|x1|≤|x2|,结合函数图象,请求出m的取值范围.解:(1)∵直线y=﹣x+1与函数y=的图象交于A(﹣2,a),把A(﹣2,a)代入y=﹣x+1解得a=3,∴A(﹣2,3).把A(﹣2,3)代入y=,解得k=﹣6;(2)画出函数图象如图解得或,∵A (﹣2,3), ∴B (3,﹣2),根据图象可得:若|x 1|≤|x 2|,则m ≥3或﹣2≤m <0.8.如图,在直角坐标系xOy 中,矩形ABCD 的DC 边在x 轴上,D 点坐标为(﹣6,0)边AB 、AD 的长分别为3、8,E 是BC 的中点,反比例函数y =的图象经过点E ,与AD 边交于点F .(1)求k 的值及经过A 、E 两点的一次函数的表达式;(2)若x 轴上有一点P ,使PE +PF 的值最小,试求出点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,连接EF 、PE 、PF ,在直线AE 上找一点Q ,使得S △QEF =S △PEF 直接写出符合条件的Q 点坐标.解:(1)在矩形ABCD 中,AB =3,AD =8, ∴CD =AB =3,BC =AD =8, ∵D (﹣6,0),∴A (﹣6,8),C (﹣3,0),B (﹣3,8), ∵E 是BC 的中点, ∴E (﹣3,4),∵点D 在反比例函数y =的图象上, ∴k =﹣3×4=﹣12,设经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y =k 'x +b ,∴,∴,∴经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y =﹣x ;(2)如图1,由(1)知,k =﹣12,∴反比例函数的解析式为y =﹣,∵点F 的横坐标为﹣6, ∴点F 的纵坐标为2, ∴F (﹣6,2),作点F 关于x 轴的对称点F ',则F '(﹣6,﹣2), 连接EF '交x 轴于P ,此时,PE +PF 的值最小, ∵E (﹣3,4),∴直线EF '的解析式为y =2x +10, 令y =0,则2x +10=0, ∴x =﹣5, ∴P (﹣5,0);(3)如图2,由(2)知,F '(﹣6,﹣2), ∵E (﹣3,4),F (﹣6,2),∴S △PEF =S △EFF '﹣S △PFF '=×(2+2)×(﹣3+6)﹣(2+2)×(﹣5+6)=4, ∵E (﹣3,4),F (﹣6,2),∴直线EF 的解析式为y =x +6,由(1)知,经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y =﹣x ,设点Q (m ,﹣m ),过点Q 作y 轴的平行线交EF 于G ,∴G (m , m +6),∴QG =|﹣m ﹣m ﹣6|=|2m +6|, ∵S △QEF =S △PEF ,∴S △QEF =|2m +6|×(﹣3+6)=4,∴m =﹣或m =﹣,∴Q (﹣,)或(﹣,).9.如图,直线y =2x +6与反比例数y =(x >0)的图象交于点A (1,m ),与x 轴交于点B ,与y 轴交于点D .(1)求m 的值和反比例函数的表达式;(2)在y 轴上有一动点P (0,n )(n <6),过点P 作平行于x 轴的直线,交反比例函数的图象于点M ,交直线AB 于点N ,连接OM ,MN①当n =4时,判断四边形BOMN 的形状,并简要写出证明思路; ②若S △BDM >S △BOD ,直接写出点P 的纵坐标n 的取值范围.解:(1)当x=1时,m=2x+6=8,∴点A的坐标为(1,8).∵点A(1,8)在反比例数y=的图象上,∴k=1×8=8,∴反比例函数的解析式为y=.(2)①四边形BOMN为平行四边形.证明:当y=0时,2x+6=0,解得:x=﹣3,∴点A的坐标为(﹣3,0),OB=3;当y=4时,2x+6=4,=4,解得:x=﹣1,x=2,∴点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(﹣1,4),∴MN=2﹣(﹣1)=3,∴MN=OB.∵MN∥x轴,OB在x轴上,∴MN∥OB,∴四边形BOMN为平行四边形.②过点O作直线l∥AB,交反比例数y=(x>0)的图象于点M.∵直线AB的解析式为y=2x+6,∴直线l的解析式为y=2x.联立直线l 和反比例函数解析式成方程组,得:,解得:,(舍去),∴点M 的坐标为(2,4);同理,可求出直线y =2x +12与反比例函数y =的图象交点M 3(﹣3﹣,6﹣2)(舍去),M 4(﹣3+,6+2)(舍去).∵S △BDM >S △BOD , ∴0<n <4.10.小明家饮水机中原有水的温度为20℃,通电开机后,饮水机自动开始加热(此过程中水温y (℃)与开机时间x (分)满足一次函数关系),当加热到100℃时自动停止加热,随后水温开始下降(此过程中水温y (℃)与开机时间x (分)成反比例关系),当水温降至20℃时,饮水机又自动开始加热…,重复上述程序(如图所示),根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)当0≤x≤10时,求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式;(2)求图中t的值;(3)若小明在通电开机后即外出散步,请你预测小明散步57分钟回到家时,饮水机内的温度约为多少℃?解:(1)当0≤x≤10时,设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系为:y=kx+b,依据题意,得,解得:,故此函数解析式为:y=8x+20;(2)在水温下降过程中,设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式为:y=,依据题意,得:100=,即m=1000,故y=,当y=20时,20=,解得:t=50;(3)∵57﹣50=7≤10,∴当x=7时,y=8×7+20=76,答:小明散步57分钟回到家时,饮水机内的温度约为76℃.11.如图,平面直角坐标系中,一次函数y=kx﹣2的图象与反比例函数y=(x<0)的图象交于点B,与x轴,y轴交于点D,E,BC⊥x轴于C,BA⊥y轴于A,=,△ABE 的面积为24.(1)点E的坐标是(0,﹣2);(2)求一次函数和反比例函数的表达式;(3)以BC为边作菱形CBMN,顶点M在点B左侧的一次函数y=kx﹣2的图象上,判断边MN与反比例函数y=(x<0)的图象是否有公共点.解:(1)∵一次函数y=kx﹣2的图象与y轴交于点E,令x=0,得到y=﹣2,∴E(0,﹣2),故答案为(0,﹣2).(2)∵BC⊥x轴于C,BA⊥y轴于A,∴∠BCO=∠BAO=∠AOD=90°,∴四边形ACOB是矩形,∴OC∥AB,OC=AB,∵=,∴===,∵OE=2,∴EA=6,∴OA=4,=×AB×6=24,∵S△ABE∴AB=8,∴B(﹣8,4),∵点B在y=上,∴m=﹣32,把B(﹣8,4)代入y=kx﹣2得到k=﹣,∴一次函数的解析式为y =﹣x ﹣2,反比例函数的解析式为y =﹣.(3)设M (m ,﹣m ﹣2),延长MN 交x 轴于H .由题意D (﹣,0),∵BC =BM =4,BD ==,∵BC ∥MH ,∴=,∴=,解得m =﹣,∴M (﹣,),N (﹣,),对于反比例函数y =﹣,当x =﹣时,y =,∵<,∴线段MN 与反比例函数的图象有交点.12.如图,已知一次函数y 1=ax +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点D ,C ,与反比例函数y 2=的图象交于A ,B 两点,且点A 的坐标是(1,3)、点B 的坐标是(3,m ). (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)求C 、D 两点的坐标,并求△AOB 的面积;(3)根据图象直接写出:当x 在什么取值范围时,y 1>y 2?解:(1)把点A (1,3)代入y 2=, ∴3=,即k =3,故反比例函数的解析式为:y 2=.把点B 的坐标是(3,m )代入y 2=,得:m ==1, ∴点B 的坐标是(3,1).把A (1,3),B (3,1)代入y 1=ax +b ,得,解得,故一次函数的解析式为:y 1=﹣x +4;(2)令x =0,则y 1=4; 令y 1=0,则x =4, ∴C (0,4),D (4,0),∴S △AOB =S △AOD ﹣S △BOD =×4×3﹣×4×1=4;(3)当x 满足1<x <3时,则y 1>y 2.13.如图,正比例函数y =2x 的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两点,过点A 作AC 垂直x 轴于点C ,连结BC .若△ABC 的面积为2. (1)求k 的值;(2)直接写出:①点A 坐标 (1,2) ;点B 坐标 (﹣1,﹣2) ;②当时,x 的取值范围 x ≥1或0>x ≥﹣1 ;(3)x 轴上是否存在一点D ,使△ABD 为直角三角形?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点,∴A、B两点关于原点对称,∴OA=OB,∴△BOC的面积=△AOC的面积=2÷2=1,又∵A是反比例函数y=图象上的点,且AC⊥x轴于点C,∴△AOC的面积=|k|,∴|k|=1,∵k>0,∴k=2;(2)①解得,或,∴点A坐标(1,2),点B坐标(﹣1,﹣2),②当时,x的取值范围为x≥1或0>x≥﹣1;故答案为:(1,2),(﹣1,﹣2),x≥1或0>x≥﹣1;(3)x轴上存在一点D,使△ABD为直角三角形.∵A(1,2),B(﹣1,﹣2),①当AD⊥AB时,如图1,设直线AD的关系式为y=﹣x+b,将A(1,2)代入上式得:b=,∴直线AD的关系式为y=﹣x+,令y=0得:x=5,∴D(5,0);②当BD⊥AB时,如图2,设直线BD的关系式为y=﹣x+b,将B(﹣1,﹣2)代入上式得:b=﹣,∴直线BD的关系式为y=﹣x﹣,令y=0得:x=﹣5,∴D(﹣5,0);③当AD⊥BD时,如图3,∵O为线段A的中点,∴OD=AB=OA,∵A(1,2),∴OC=1,AC=2,由勾股定理得:OA===,∴OD=,∴D(,0).根据对称性,当D为直角顶点,且D在x轴负半轴时,D(﹣,0).故x轴上存在一点D,使△ABD为直角三角形,点D的坐标为(5,0)或(﹣5,0)或(,0)或(﹣,0).14.如图,平面直角坐标系xOy中,函数y=(x<0)的图象经过点A(﹣1,6),直线y =mx﹣2与x轴交于点B(﹣1,0).(1)求k,m的值.(2)点P是直线y=﹣2x位于第二象限上的一个动点,过点P作平行于x轴的直线,交直线y=mx﹣2于点C,交函数y=(x<0)的图象于点D,设P(n,﹣2n).①当n=﹣1时,判断线段PD与PC的数量关系,并说明理由②当PD≥2PC时,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.解:(1)∵函数y=(x<0)的图象经过点A(﹣1,6),∴k=﹣1×6=﹣6;将B(﹣1,0)代入y=mx﹣2,得:0=﹣m﹣2,解得:m=﹣2.(2)①PD=2PC,理由如下:当n=﹣1时,点P的坐标为(﹣1,2).当y=2时,﹣2x﹣2=2,=2,解得:x=﹣2,x=﹣3,∴点C 的坐标为(﹣2,2),点D 的坐标为(﹣3,2), ∴PC =1,PD =2, ∴PD =2PC .②当n =﹣3时,点P 的坐标为(﹣3,6).当y =6时,﹣2x ﹣2=6,=6,解得:x =﹣4,x =﹣1,∴点C 的坐标为(﹣4,6),点D 的坐标为(﹣1,6), ∴PC =1,PD =2, ∴PD =2PC .∵点P 是直线y =﹣2x 位于第二象限上的一个动点, ∴当PD ≥2PC 时,﹣1≤n <0或n ≤﹣3.15.如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上,顶点C 在y 轴的正半轴上,D 是BC 边上的一点,OC :CD =5:3,DB =6.反比例函数y =(k ≠0)在第一象限内的图象经过点D ,交AB 于点E ,AE :BE =1:2. (1)求这个反比例函数的表达式;(2)动点P 在矩形OABC 内,且满足S △P AO =S 四边形OABC . ①若点P 在这个反比例函数的图象上,求点P 的坐标;②若点Q 是平面内一点使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形求点Q 的坐标.解:(1)设点B 的坐标为(m ,n ),则点E 的坐标为(m , n ),点D 的坐标为(m ﹣6,n ).∵点D ,E 在反比例函数y =(k ≠0)的图象上, ∴k =mn =(m ﹣6)n , ∴m =9.∵OC :CD =5:3, ∴n :(m ﹣6)=5:3, ∴n =5,∴k =mn =×9×5=15,∴反比例函数的表达式为y =.(2)∵S △P AO =S 四边形OABC ,∴OA •y P =OA •OC ,∴y P =OC =4.①当y =4时,=4,解得:x =,∴若点P 在这个反比例函数的图象上,点P 的坐标为(,4).②由(1)可知:点A 的坐标为(9,0),点B 的坐标为(9,5), ∵y P =4,y A +y B =5,∴y P ≠,∴AP ≠BP ,∴AB不能为对角线.设点P的坐标为(t,4).分AP=AB和BP=AB两种情况考虑(如图所示):(i)当AB=AP时,(9﹣t)2+(4﹣0)2=52,解得:t1=6,t2=12(舍去),∴点P1的坐标为(6,4).又∵P1Q1=AB=5,∴点Q1的坐标为(6,9);(ii)当BP=AB时,(9﹣t)2+(5﹣4)2=52,解得:t3=9﹣2,t4=9+2(舍去),∴点P2的坐标为(9﹣2,4).又∵P2Q2=AB=5,∴点Q2的坐标为(9﹣2,﹣1).综上所述:点Q的坐标为(6,9)或(9﹣2,﹣1).16.(1)如图1,已知△ABC与△ABD的面积相等,证明AB∥CD;(2)①如图2,点M,N在反比例函数y=(k>0)的图象上,过点M作ME⊥y轴,过点N作NF⊥x轴,垂足分别为E,E,请利用(1)的结果,证明:MN∥EF;②若①中的其他条件不变,只改变点M,N的位置如图3所示,请判断MN与EF是否平行(不用写理由).(1)证明:在图1中,过点C 作CP ⊥AB 于点P ,过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ,则∠CP A =∠DQB =90°, ∴CP ∥DQ .∵△ABC 与△ABD 的面积相等, ∴CP =DQ ,∴四边形CPQD 为平行四边形, ∴AB ∥CD .(2)①证明:在图2中,连接FM ,EN .设点M 的坐标为(x 1,y 1),点N 的坐标为(x 2,y 2).∵点M ,N 在反比例函数y =(k >0)的图象上, ∴k =x 1y 1=x 2y 2. ∵ME ⊥y 轴,NF ⊥x 轴,∴OE =y 1,OF =x 2,ME =x 1,NF =y 2.∵S △EFM =ME •OE =x 1y 1=k ,S △EFN =NF •OF =x 2y 2=k , ∴S △EFM =S △EFN , ∴MN ∥EF ;②解:MN ∥EF ,理由如下: 在图3中,连接MN ,FM ,EN .设点M 的坐标为(x 1,y 1),点N 的坐标为(x 2,y 2).∵点M ,N 在反比例函数y =(k >0)的图象上, ∴k =x 1y 1=x 2y 2.∵ME ⊥y 轴,NF ⊥x 轴,∴OE =y 1,OF =x 2,ME =x 1,NF =y 2.∵S △EFM =ME •OE =x 1y 1=k ,S △EFN =NF •OF =x 2y 2=k , ∴S △EFM =S △EFN , ∴MN ∥EF ;17.如图,正比例函数y 1=kx 与反比例函数y =(x >0)交于点A (2,3),AB ⊥x 轴于点B ,平移直线y 1=kx 使其经过点B ,得到直线y 2,y 2与y 轴交于点C ,与y =交于点D .(1)求正比例函数y 1=kx 及反比例函数y =的解析式;(2)求点D 的坐标; (3)求△ACD 的面积.解:(1)将点A (2,3)分别代入y 1=kx 、得3=2k 、,解得k =,m =6,∴正比例函数及反比例函数的解析式分别为y 1=x 、;(2)∵y 2由y 1平移得到,所以设y 2=x +b ,∵AB ⊥x 轴,∴B (2,0),将其代入y 2=x +b 得b =﹣3,∴y 2=x ﹣3,由题意得:解得:,(舍去),∴点D 坐标为(,);(3)连接OD ,过点D 作DE ⊥y 轴,垂足为E ,则DE =1+,把x =0代入y 2=x ﹣3得,y =﹣3, ∴C (0,﹣3) ∵直线y 1∥y 2,∴S △ACD =S △OCD =OC •DE =×3×()=.答:△ACD 的面积为.18.已知,矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示,点O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点B的坐标为(10,8),已知直线AC与双曲线y=(m≠0)在第一象限内有一交点Q(5,n).(1)求直线AC和双曲线的解析式;(2)若动点P从A点出发,沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动,到达C处停止.求△OPQ的面积S与的运动时间t秒的函数关系式,并求当t取何值时S=10.解:设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),过A(10,0)、C(0,8),,解得:,∴直线AC的解析式为y=﹣x+8,又∵Q(5,n)在直线AC上,∴n=﹣×5+8=4,又∵双曲线y=过Q(5,4),∴m=5×4=20,∴双曲线的解析式为:y=;②当0≤t≤5时,OP=10﹣2t,过Q作QD⊥OA,垂足为D,如图1,∵Q(5,4),∴QD=4,∴S=(10﹣2t)×4=20﹣4t,当S=10时,20﹣4t=10解得t=2.5,当5<t≤9时,OP=2t﹣10,过Q作QE⊥OC,垂足为E,如图2∵Q(5,4),∴QE=5,∴S=(2t﹣10)×5=5t﹣25,当S=10时,5t﹣25=10,解得t=7,综上,S=,当t=5秒时,△OPQ的面积不存在,∴当t=2.5秒或t=7秒时,S=10.19.如图,一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2=的图象交于点A(4,m)和B(﹣8,﹣2),与y轴交于点C.(1)k1=,k2=16;(2)根据函数图象可知,当y1>y2时,x的取值范围是﹣8<x<0或x>4;(3)过点A作AD⊥x轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E,当S四边形ODAC :S△ODE=3:1时,求直线OP的解析式.解:(1)把B(﹣8,﹣2)代入y1=k1x+2得﹣8k1+2=﹣2,解得k1=,∴一次函数解析式为y1=x+2;把B(﹣8,﹣2)代入y2=得k2=﹣8×(﹣2)=16,∴反比例函数解析式为y2=,故答案为:,16;(2)∵当y1>y2时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围,∴﹣8<x<0或x>4;故答案为:﹣8<x<0或x>4;(3)把A(4,m)代入y2=得4m=16,解得m=4,∴点A的坐标是(4,4),而点C的坐标是(0,2),∴CO=2,AD=OD=4.∴S梯形ODAC=×(2+4)×4=12,∵S梯形ODAC :S△ODE=3:1,∴S△ODE=×12=4,∴OD•DE=4,∴DE=2,∴点E的坐标为(4,2).设直线OP的解析式为y=kx,把E(4,2)代入得4k=2,解得k=,∴直线OP的解析式为y=x.20.如图,在平面直角坐标系中,边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上,反比例函数y=(x<0)的图象经过AB边的中点C,且与OA边交于点D.(1)求k的值;(2)连接OC,CD,求△OCD的面积;(3)若直线y=mx+n与直线CD平行,且与△OAB的边有交点,直接写出n的取值范围.解:(1)∵等边△OAB,∴AB=BO=AO=4,∠ABO=∠BOA=∠OAB=60°,∵点C是AB的中点,∴BC=AC=2,过点C作CM⊥OB,垂足为M,在Rt△BCM中,∠BCM=90°﹣60°=30°,BC=2,∴BM=1,CM=,∴OM=4﹣1=3,∴点C的坐标为(﹣3,),代入y=得:k=﹣3答:k的值为﹣3.(2)过点A作AN⊥OB,垂足为N,由题意得:AN=2CM=2,ON=OB=2,∴A(﹣2,2),设直线OA的关系式为y=kx,将A的坐标代入得:k=﹣,∴直线OA的关系式为:y=﹣x,31由题意得:,解得:舍去,,∴D(﹣,3) 过D 作DE ⊥OB ,垂足为E ,S △OCD =S CMED +S △DOE ﹣S △COM =S CMED=(+3)×(3﹣)=3, 答:△OCD 的面积为3.(3)①当与直线CD 平行的直线y =mx +n 过点O 时,此时y =mx +n 的n =0, ②当与直线CD 平行的直线y =mx +n 经过点A 时,设直线CD 的关系式为y =ax +b ,把C 、D 坐标代入得:,解得:a =1,b =3+∴直线CD 的关系式为y =x+3+, ∵y =mx +n 过与直线y =x+3+平行, ∴m =1,把A (﹣2,2)代入y =x +n 得:n =2+2因此:0≤n ≤2+2.答:n 的取值范围为:0≤n ≤2+2.。
初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析
初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析一、反比例函数1.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与y轴相交于点A,与反比例函数y2= (c≠0)的图象相交于点B(3,2)、C(﹣1,n).(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)根据图象,直接写出y1>y2时x的取值范围;(3)在y轴上是否存在点P,使△PAB为直角三角形?如果存在,请求点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:把B(3,2)代入得:k=6∴反比例函数解析式为:把C(﹣1,n)代入,得:n=﹣6∴C(﹣1,﹣6)把B(3,2)、C(﹣1,﹣6)分别代入y1=ax+b,得:,解得:所以一次函数解析式为y1=2x﹣4(2)解:由图可知,当写出y1>y2时x的取值范围是﹣1<x<0或者x>3.(3)解:y轴上存在点P,使△PAB为直角三角形如图,过B作BP1⊥y轴于P1,∠B P1 A=0,△P1AB为直角三角形此时,P1(0,2)过B作BP2⊥AB交y轴于P2∠P2BA=90,△P2AB为直角三角形在Rt△P1AB中,在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB∴∴P2(0,)综上所述,P1(0,2)、P2(0,).【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而求出点C坐标,最后用再用待定系数法求出一次函数解析式;(2)利用图象直接得出结论;(3)分三种情况,利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论.2.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点,与x轴交于C点,点B的坐标为(6,n),线段OA=5,E为x轴负半轴上一点,且sin∠AOE=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOC的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.【答案】(1)解:作AD⊥x轴于D,如图,在Rt△OAD中,∵sin∠AOD= = ,∴AD= OA=4,∴OD= =3,∴A(﹣3,4),把A(﹣3,4)代入y= 得m=﹣4×3=﹣12,所以反比例函数解析式为y=﹣;把B(6,n)代入y=﹣得6n=﹣12,解得n=﹣2,把A(﹣3,4)、B(6,﹣2)分别代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y=﹣x+2(2)解:当y=0时,﹣x+2=0,解得x=3,则C(3,0),所以S△AOC= ×4×3=6(3)解:当x<﹣3或0<x<6时,一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】(1)作AD⊥x轴于D,如图,先利用解直角三角形确定A(﹣3,4),再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12,则可得到反比例函数解析式;接着把B(6,n)代入反比例函数解析式求出n,然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组,再解方程组求出a和b的值,从而可确定一次函数解析式;(2)先确定C点坐标,然后根据三角形面积公式求解;(3)观察函数图象,找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.3.如图,已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,﹣2).(1)求反比例函数的解析式;(2)观察图象,直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围;(3)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移个单位长度得到点B,判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】(1)解:设反比例函数的解析式为(k>0)∵A(m,﹣2)在y=2x上,∴﹣2=2m,∴解得m=﹣1。
反比例函数培优 含答案
反比例函数培优含答案反比例函数是一种常见的数学模型,在现实生活中有着广泛的应用。
例如,我们可以通过改变电阻来控制电流的变化,从而达到舞台灯光变幻的效果;在过湿地时,我们可以在地面上铺上木板,减小人对地面的压强,从而避免陷入泥中。
反比例函数的图象是由两条曲线组成的双曲线,双曲线向坐标轴无限延伸,但不能与坐标轴相交。
k的正负性决定了双曲线大致位置及y随x的变化情况。
双曲线上的点是关于中心对称的,双曲线也是轴对称图形,对称轴是直线y=x及y=-x。
反比例函数与一次函数有着内在的联系,但它们毕竟不同。
反比例函数中k的几何意义是:k等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积。
求两个函数图象的交点坐标,常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到。
求符合某种条件的点的坐标,常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程(组),解方程(组)求得相关点的坐标。
在解反比例函数有关问题时,应充分考虑它的对称性,这样既能从整体上思考问题,又能提高思维的周密性。
反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一,用反比例函数解决实际问题,既要分析问题情景,建立模型,又要综合方程、一次函数等知识。
例1:已知双曲线y=k/x(k≠0)经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E,四边形OEBF的面积为2,则k的值为多少?例2:函数y=k/x(x>0)的图象上有点P,直线y=-x+1与该图象相交于点Q,且PQ的长度为2,求k的值。
在解决这些问题时,我们可以通过连线、建立方程等方法,灵活运用数学知识,得出正确的答案。
题目:设点A在y轴上,点P(a,b),PM⊥x轴于M,交y轴于点B,交AB于点E,PN⊥y轴于点N,交AB于点F,则AF×BE的值为?解题思路:首先,我们需要明确题目中的各个点和线段的位置关系,然后根据题目所求,设点P的坐标为(a,b),并用a 和b表示AF和BE的长度,最终求得AF×BE的值。
北师大版九年级数学上册 第六章 反比例函数 同步练习+两专题训练+单元测试(含参考答案)
第六章 反比例函数6.1 反比例函数基础题知识点1 反比例函数的概念1.下列函数是反比例函数的是( )A .y =xB .y =kx -1C .y =-8xD .y =8x22.反比例函数y =-25x 中,k 的值是( )A .2B .-2C .-25D .-523.若函数y =x 2m +1为反比例函数,则m 的值是( )A .1B .0 C.12D .-14.在函数y =1x -1中,自变量x 的取值范围是( )A .x ≠1B .x ≠0C .x<1D .一切实数5.若y =m (m -3)x是反比例函数,则满足的条件是( )A .m ≠0B .m =3C .m =0或m =3D .m ≠0且m≠3知识点2 判断反比例函数关系6.如果直角三角形的面积一定,那么下列关于这个直角三角形边的关系中,正确的是( ) A .两条直角边成正比例 B .两条直角边成反比例C .一条直角边与斜边成正比例D .一条直角边与斜边成反比例7.用电器的输出功率P 与通过的电流I 、用电器的电阻R 之间的关系是P =I 2R ,下面说法正确的是( ) A .P 为定值,I 与R 成反比例B .P 为定值,I 2与R 成反比例 C .P 为定值,I 与R 成正比例D .P 为定值,I 2与R 成正比例8.下列问题中,两个变量间的函数关系式是反比例函数的是( ) A .小颖每分钟可以制作2朵花,x 分钟可以制作y 朵花B .体积为10 cm 3的长方体,高为h cm ,底面积为S cm 2C .用一根长50 cm 的铁丝弯成一个矩形,一边长为x cm ,面积为S cm 2D .汽车油箱中共有油50升,设平均每天用油5升,x 天后油箱中剩下的油量为y 升知识点3 建立反比例函数模型9.小华以每分钟x 个字的速度书写,y 分钟写了300个字,则y 与x 的函数关系式为( ) A .y =x 300 B .y =300xC .y =300-xD .y =300-xx10.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m ,则y 与x 的函数关系式为( )A .y =400xB .y =14xC .y =100xD .y =1400x11.若y 与x 成反比例,且x =3时,y =7,则y 与x 的函数关系式为________.12.计划修建铁路1 200 km ,试写出铺轨天数y(d)与每天铺轨量x(km/d)之间的函数关系式,并判断该函数是否是反比例函数.中档题13.已知y 与x 成正比例,z 与y 成反比例,那么z 与x 之间的关系是( ) A .成正比例 B .成反比例C .有可能成正比例,也有可能成反比例D .无法确定14.已知函数y =(n +2)xn 2+n -3(n 是常数),当n =________时,此函数是反比例函数. 15.列出下列问题中的函数关系式,并判断它们是否为反比例函数.(1)某农场的粮食总产量为1 500 t ,则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食量x(t)的函数关系式;(2)在加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,则总价y(元)与加油量x(L)的函数关系式;(3)小明完成100 m 赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数关系式.16.已知函数y 与x +1成反比例,且当x =-3时,y =2. (1)求y 与x 的函数关系式;(2)当x =3时,求y 的值.17.已知函数y=(5m-3)x2-n+(n+m).(1)当m,n为何值时,为一次函数?(2)当m,n为何值时,为正比例函数?(3)当m,n为何值时,为反比例函数?综合题18.(丽水中考)如图,科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD,其中一边AB靠墙,墙长为12 m.设AD的长为x m,DC的长为y m.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m,材料AD和DC的长都是整米数,求出满足条件的所有围建方案.参考答案1.C 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.B 8.B 9.B 10.C 11.y =21x 12.∵铺轨天数=铁路长÷每天铺轨量,∴y=1 200x .∴y 是x 的反比例函数. 13.B 14.1 15.(1)y =1 500x,是反比例函数.(2)y =4.75x ,不是反比例函数.(3)t =100v ,是反比例函数. 16.(1)由题意,设y 与x +1的函数关系式为y =k x +1(k≠0),将x =-3,y =2代入,得k -3+1=2.解得k =-4.所以y 与x 的函数关系式为y =-4x +1.(2)将x =3代入,得y =-43+1=-1. 17.(1)由题意,得2-n =1,且5m -3≠0,解得n =1且m≠35.(2)由题意,得2-n =1,5m -3≠0,且m +n =0,解得n =1,m =-1.(3)由题意,得2-n =-1,5m -3≠0,且m +n =0,解得n =3,m =-3. 18.(1)由题意,得S矩形ABCD=AD·DC=xy ,故y =60x .(2)由y =60x ,且x ,y 都是正整数,可得x 可取1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.∵2x +y≤26,0<y≤12,∴符合条件的围建方案为AD =5 m ,DC =12 m 或AD =6 m ,DC =10 m 或AD =10 m ,DC=6 m.第2课时 反比例函数的性质基础题知识点1 反比例函数图象的增减性1.反比例函数y =1x(x >0)的图象如图所示,随着x 值的增大,y 值( )A .减小B .增大C .不变D .先减小,后不变2.(随州中考)关于反比例函数y =2x 的图象,下列说法正确的是( )A .图象经过点(1,1)B .两个分支分布在第二、四象限C .两个分支关于x 轴成轴对称D .当x <0时,y 随x 的增大而减小3.(宁夏中考)已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)在函数y =5x 的图象上,当x 1>x 2>0时,下列结论正确的是( )A .0<y 1<y 2B .0<y 2<y 1C .y 1<y 2<0D .y 2<y 1<04.(永州中考)已知点A(1,y 1),B(-2,y 2)在反比例函数y =kx (k >0)的图象上,则y 1_______y 2.(填“>”“<”或“=”)5.(上海中考)已知反比例函数y =kx (k 是常数,k ≠0),在其图象所在的每一个象限内,y 的值随着x 的值的增大而增大,那么这个反比例函数的表达式是________________(只需写一个).6.已知下列反比例函数:①y=1x ;②y=-1x ;③y=12x ;④y =1-2x ;⑤y=k 2+1x ,在其图象所在的每个象限内,y 随x 的值的增大而增大的函数有______________(填序号). 7.反比例函数y =(2m -1)xm 2-2,当x >0时,y 随x 的增大而增大,求m 的值.知识点2 反比例函数中k 的几何意义8.(宜昌中考)如图,点B 在反比例函数y =2x (x>0)的图象上,横坐标为1,过B 分别向x 轴,y 轴作垂线,垂足分别为A ,C ,则矩形OABC 的面积为( ) A .1 B .2 C .3 D .49.如图,正方形ABOC 的边长为2,反比例函数y =kx 的图象经过点A ,则k 的值是( )A .2B .-2C .4D .-4中档题10.已知反比例函数y =-5x ,下列结论中不正确的是( )A .图象必经过点(1,-5)B .y 随x 的增大而增大C .图象在第二、四象限内D .若x >1,则-5<y <011.(贵州中考)如果点A(-2,y 1),B(-1,y 2),C(2,y 3)都在反比例函数y =kx (k>0)的图象上,那么y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A .y 1<y 3<y 2B .y 2<y 1<y 3C .y 1<y 2<y 3D .y 3<y 2<y 112.(黔东南中考)如图,正比例函数y =x 与反比例函数y =1x 的图象相交于A ,B 两点,BC ⊥x 轴于点C ,则△ABC的面积为( )A .1B .2 C.32 D.5213.已知反比例函数y =2k +1x (k 为常数,k ≠-12).(1)若在这个函数图象的每一分支上,y 随x 的增大而增大,求k 的取值范围;14.(柳州中考)如图,函数y =kx 的图象过点A(1,2).(1)求该函数的表达式;(2)过点A 分别向x 轴和y 轴作垂线,垂足为B 和C ,求四边形ABOC 的面积;(3)求证:过此函数图象上任意一点分别向x 轴和y 轴作垂线,这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值.综合题15.(苏州中考)如图,已知函数y =kx (x >0)的图象经过点A ,B ,点A 的坐标为(1,2),过点A 作AC∥y 轴,AC =1(点C 位于点A 的下方),过点C 作CD∥x 轴,与函数的图象交于点D ,过点B 作BE⊥CD,垂足E 在线段CD 上,连接OC ,OD.(1)求△OCD 的面积;(2)当BE =12AC 时,求CE 的长.参考答案1.A 2.D 3.A 4.> 5.y =-1x (不唯一,只要k <0即可) 6.②④ 7.根据题意,得m 2-2=-1,解得m =±1.∵当x >0时,y 随x 的值的增大而增大,∴2m -1<0.解得m <12.∴m =-1. 8.B 9.D 10.B 11.B 12.A 13.(1)∵在这个函数图象的每一分支上,y 随x 的增大而增大,∴2k +1<0.解得k<-12.(2)点M(3,-3)在这个函数的图象上.理由:∵当k =-5时,2k +1=-9,∴反比例函数的表达式为y =-9x .当x =3时,y =-3,∴点M(3,-3)在这个函数的图象上. 14.(1)∵函数y =k x 的图象过点A(1,2),∴将点A 的坐标代入反比例函数表达式,得2=k1.解得k =2.∴反比例函数的表达式为y =2x .(2)∵点A 是反比例函数上一点,∴矩形ABOC 的面积S =AC·AB=|xy|=|k|=2.(3)证明:设图象上任一点的坐标为(x ,y).∴过这点分别向x 轴和y 轴作垂线,矩形面积为|xy|=|k|=2.∴矩形的面积为定值. 15.(1)∵y=kx (x >0)的图象经过点A(1,2),∴k =2.∵AC∥y 轴,AC =1,∴点C 的坐标为(1,1).∵CD ∥x 轴,点D 在函数图象上,∴点D 的坐标为(2,1).∴S △OCD =12×1×1=12.(2)∵BE=12AC ,∴BE =12.∵BE ⊥CD ,∴点B 的横坐标是43,纵坐标是32.∴CE =43-1=13.6.3 反比例函数的应用基础题知识点1 反比例函数的实际应用1.(临沂中考)已知甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间t(单位:小时)关于行驶速度v(单位:千米/小时)的函数关系式是( ) A .t =20v B .t =20v C .t =v 20 D .t =10v2.(河北中考)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系,当x =2时,y =20,则y 与x 的函数图象大致是( )3.某蓄水池的排水管每时排水8 m 3,6 h 可将满池水全部排空.如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m 3),那么将满池水排空所需的时间为t(h).写出t 与Q 之间的关系:________. 知识点2 反比例函数跨学科应用4.(台州中考)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体,当改变容器的体积时,气体的密度也随之改变.密度ρ(单位:kg/m 3)与体积V(单位:m 3)满足函数关系式ρ=k V (k 为常数,k ≠0),其图象如图所示,则k 的值为( )A .9B .-9C .4D .-45.水平地面上重1 500 N 的物体,与地面的接触面积为x m 2,那么该物体对地面的压强y(单位:N/m 2)与地面的接触面积x(m 2)之间的函数关系可以表示为________.6.蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,其图象如图所示. (1)求这个反比例函数的表达式;(2)当R =10 Ω时,电流能是4 A 吗?为什么?知识点3 反比例函数与一次函数的综合应用7.(广安中考)如图,一次函数y 1=k 1x +b(k 1,b 为常数,且k 1≠0)的图象与反比例函数y 2=k 2x (k 2为常数,且k 2≠0)的图象都经过点A(2,3).则当x >2时,y 1与y 2的大小关系为( ) A .y 1>y 2 B .y 1=y 2C .y 1<y 2D .以上说法都不对8.(枣庄中考)已知正比例函数y =-2x 与反比例函数y =kx 的图象的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点的坐标为________.9.(黔南中考)如图,正比例函数y 1=k 1x 与反比例函数y 2=k 2x 的图象交于A ,B 两点,根据图象可直接写出当y 1>y 2时,x 的取值范围是____________.中档题10.某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气球体积V 的反比例函数,其图象如图所示,当气球内的气压大于120 kPa 时,气球将爆炸,为了安全,气球的体积应该( ) A .不大于54 m 3 B .小于54 m 3C .不小于45 m 3D .小于45m 311.随着私家车的增加,城市的交通也越来越拥挤,通常情况下,某段高架桥上车辆的行驶速度y(千米/时)与高架桥上每百米拥有车的数量x(辆)的关系如图所示,当x≥10时,y 与x 成反比例函数关系,当车速度低于20千米/时,交通就会拥堵,为避免出现交通拥堵,高架桥上每百米拥有车的数量x 应该满足的范围是________.12.(益阳中考)我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种.图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象,其中BC 段是双曲线y =kx 的一部分.请根据图中信息解答下列问题:(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18 ℃的时间有多少小时?(2)求k 的值;(3)当x =16时,大棚内的温度约为多少度?综合题13.(玉林中考)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需要将材料烧到800 ℃,然后停止煅烧进行锻造操作,经过8 min 时,材料温度降为600 ℃.煅烧时,温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系;锻造时,温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图).已知该材料初始温度是32 ℃. (1)分别求出材料煅烧和锻造时y 与x 的函数关系式,并且写出自变量x 的取值范围;(2)根据工艺要求,当材料温度低于480 ℃时,须停止操作.那么锻造的操作时间有多长?参考答案1.B 2.C 3.t =48Q 4.A 5.y =1 500x 6.(1)设I =k R (k≠0),把(4,9)代入,得k =4×9=36,∴I =36R .(2)当R=10 Ω时,I =3.6 A ≠4 A ,∴电流不可能是4 A . 7.A 8.(1,-2) 9.-1<x <0或x >1 10.C 11.0<x≤40 12.(1)恒温系统在这天保持大棚温度18 ℃的时间为10小时.(2)∵点B(12,18)在双曲线y =k x 上,∴18=k12.解得k =216.(3)当x =16时,y =21616=13.5,所以当x =16时,大棚内的温度约为13.5 ℃. 13.(1)停止加热时,设y=k x (k≠0),由题意得600=k 8.解得k =4 800.当y =800时,4 800x =800,解得x =6.∴点B 的坐标为(6,800).材料加热时,设y =ax +32(a≠0),由题意得800=6a +32,解得a =128.∴材料加热时,y 与x 的函数关系式为y =128x +32(0≤x≤6);停止加热进行操作时,y 与x 的函数关系式为y =4 800x (6<x≤150).(2)把y =480代入y =4 800x ,得x =10,故锻造的操作时间为10-6=4(分钟).专题训练 反比例函数中k 的几何意义1.如图,在平面直角坐标系中,点A 是双曲线y =3x (x >0)上的一个动点,过点A 作x 轴的垂线,交x 轴于点B ,点A 运动过程中△AOB 的面积将会( ) A .逐渐增大 B .逐渐减小 C .先增大后减小 D .不变2.如图,过反比例函数y =2x (x >0)图象上任意两点A ,B 分别作x 轴的垂线,垂足分别为C ,D ,连接OA ,OB ,设AC 与OB 的交点为E ,△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1,S 2,比较它们的大小,可得( ) A .S 1>S 2 B .S 1<S 2 C .S 1=S 2D .S 1、S 2的大小关系不能确定3.(鄂州中考)点A 为双曲线y =kx (k ≠0)上一点,B 为x 轴上一点,且△AOB 为等边三角形,△AOB 的边长为2,则k 的值为( )A .2 3B .±2 3 C. 3 D .± 34.设P 是函数y =2x 在第一象限的图象上的任意一点,点P 关于原点的对称点为点P ′,过点P 作PA 平行于y 轴,过点P ′作P ′A 平行于x 轴,PA 与P ′A 交于A 点,则△PAP ′的面积( ) A .随P 点的变化而变化 B .等于1 C .等于2 D .等于45.如图,点A 是反比例函数y =kx 图象上的一点,过点A 作AB ⊥x 轴,垂足为点B ,点C 为y 轴上的一点,连接AC ,BC.若△ABC 的面积为3,则k 的值是( ) A .3 B .-3 C .6 D .-66.(黔西南中考)如图,点A 是反比例函数y =kx 图象上的一个动点,过点A 作AB ⊥x 轴,AC ⊥y 轴,垂足点分别为B 、C ,矩形ABOC 的面积为4,则k =________.7.(陕西中考)如图,在平面直角坐标系中,过点M(-3,2)分别作x 轴,y 轴的垂线与反比例函数y =4x 的图象交于A ,B 两点,则四边形MAOB 的面积为________.8.(临沂中考)如图,反比例函数y =4x 的图象经过直角△OAB 的顶点A ,D 为斜边OA 的中点,则过点D 的反比例函数的表达式为________.9.如图,矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行,顶点A 的坐标为(1,2),点B 与点D 在反比例函数y =6x (x >0)的图象上,则点C 的坐标为________.10.(铁岭中考)如图,点P 是正比例函数y =x 与反比例函数y =kx 在第一象限内的交点,PA ⊥OP 交x 轴于点A ,△POA的面积为2,则k 的值是________.11.(资阳中考)如图,在平面直角坐标系中,点M 为x 轴正半轴上一点,过点M 的直线l ∥y 轴,且直线l 分别与反比例函数y =8x (x >0)和y =kx(x >0)的图象交于P 、Q 两点,若S △POQ =14,则k 的值为________.12.如图,已知反比例函数y =kx (k <0)的图象经过点A(-3,m),过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,且△AOB 的面积为 3.求k 和m 的值.13.反比例函数y =1x 和y =k x (k ≠0)在第一象限内的图象如图所示,点P 在y =kx 的图象上,PC ⊥x 轴,垂足为C ,交y =1x 的图象于点A ,PD ⊥y 轴,垂足为D ,交y =1x 的图象于点B.已知点A(m ,1)为线段PC 的中点. (1)求m 和k 的值;(2)求四边形OAPB 的面积.参考答案1.D 2.C 3.D 4.D 5.D 6.-4 7.10 8.y =1x 9.(3,6) 10.2 11.-20 12.设点A 的坐标为(x ,y).∵△AOB 的面积为3,∴12|x|·|y|=12|k|= 3.解得|k|=2 3.又∵k <0,∴k =-2 3.∴反比例函数表达式为y =-23x .∵反比例函数图象经过点A(-3,m),∴m =-23-3.解得m =2.综上可知:k =-23,m =2. 13.(1)把A(m ,1)代入y =1x ,得m =1,∴A 点坐标为(1,1).∵点A(1,1)为线段PC 的中点,∴点P 坐标为(1,2).把(1,2)代入y =k x ,得k =1×2=2.(2)∵点P 坐标为(1,2),∴四边形OCPD 的面积为1×2=2.又∵△ODB 的面积为12,△OAC 的面积为12,∴四边形O APB 的面积为2-12-12=1.专题训练 反比例函数与一次函数综合1.(益阳中考)正比例函数y =6x 的图象与反比例函数y =6x 的图象的交点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第一、三象限2.若在同一坐标系中,直线y =k 1x(k 1≠0)与双曲线y =k 2x 无交点,则有( )A .k 1+k 2>0B .k 1+k 2<0C .k 1k 2>0D .k 1k 2<03.(怀化中考)已知一次函数y =kx +b 的图象如图,那么正比例函数y =kx 和反比例函数y =kx 在同一坐标系中的图象大致是( )4.(菏泽中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知一次函数y =kx +b 的图象经过点A(1,0),与反比例函数y =mx (x>0)的图象相交于点B(2,1). (1)求m 的值和一次函数的表达式;(2)结合图象直接写出:当x>0时,不等式kx +b>mx 的解集.5.(宜昌中考)下表中,y 是x 的一次函数.x -2 1 2 5(2)已知该函数图象上一点M(1,-3)也在反比例函数y =mx 图象上,求这两个函数图象的另一交点N 的坐标.6.(成都中考)如图,一次函数y =kx +5(k 为常数,且k≠0)的图象与反比例函数y =-8x 的函数交于A(-2,b),B 两点.(1)求一次函数的表达式;(2)若将直线AB 向下平移m(m >0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点,求m 的值.7.(自贡中考)如图,一次函数y =kx +b 与反比例函数y =6x (x >0)的图象交于A(m ,6),B(3,n)两点.(1)求一次函数的表达式;(2)根据图象直接写出kx +b -6x <0的x 的取值范围;参考答案1.D 2.D 3.B 4.(1)反比例函数y =mx (x>0)的图象经过点B(2,1),则m =1×2=2.∵一次函数y =kx +b 的图象经过点A(1,0),B(2,1)两点,∴一次函数的表达式为y =x -1.(2)x>2. 5.(1)4 -6 设该一次函数为y =kx +b(k≠0).∵当x =-2时,y =6,当x =1时,y =-3,∴⎩⎪⎨⎪⎧-2k +b =6,k +b =-3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-3,b =0.∴一次函数的表达式为y =-3x.当x =2时,y =-6;当y =-12时,x =4.(2)∵点M(1,-3)在反比例函数y =m x (m≠0)上,∴-3=m1.∴m =-3.∴反比例函数表达式为y =-3x .∵⎩⎪⎨⎪⎧y =-3x ,y =-3x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-3或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =3.∴另一交点坐标为(-1,3). 6.(1)把A(-2,b)代入y =-8x ,得b =4.∴A 点坐标为(-2,4).把A(-2,4)代入y =kx +5,得-2k +5=4.解得k =12.∴一次函数表达式为y =12x +5.(2)将直线AB 向下平移m(m >0)个单位长度得直线表达式为y =12x+5-m.根据题意方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =-8x ,y =12x +5-m只有一组解,消去y 得-8x =12x +5-m ,整理得12x 2-(m -5)x +8=0.Δ=(m-5)2-4×12×8=0.解得m 1=9,m 2=1,即m 的值为1或9. 7.(1)∵A(m,6),B(3,n)两点在反比例函数y =6x(x>0)图象上.∴m=1,n =2,即A(1,6),B(3,2).又∵A(1,6),B(3,2)在一次函数y =kx +b 图象上,∴⎩⎪⎨⎪⎧6=k +b ,2=3k +b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-2,b =8.∴一次函数表达式为y =-2x +8.(2)根据图象可知kx +b -6x <0的x 的取值范围是0<x <1或x >3.(3)分别过A ,B 点作AE⊥x 轴,BC ⊥x 轴,垂足分别为E ,C 点,直线AB 交x 轴于D 点.令y =-2x +8=0,得x =4,即D(4,0).∵A(1,6),B(3,2),∴AE =6,BC =2.∴S △AOB =S △AOD -S △DOB =12×4×6-12×4×2=8.单元测试 反比例函数(满分:150分,考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题,每小题3分,共45分) 1.下列函数中,变量y 是x 的反比例函数的是( ) A .y =1x 2 B .y =x -1C .y =2x +3D .y =1x-12.已知y =8x n -2,当n =________时,y 是x 的反比例函数( )A .1B .-1C .1或-1D .0 3.下列各点中,在反比例函数y =3x 图象上的是( )A .(3,1)B .(-3,1)C .(3,13)D .(13,3)4.若反比例函数y =k -1x 的图象位于第二、四象限,则k 的取值可以是( )A .0B .1C .2D .以上都不是5.对于反比例函数y =2x,下列说法正确的是( )A .点(-2,1)在它的图象上B .它的图象经过原点C .它的图象在第一、三象限D .当x>0时,y 随x 的增大而增大6.已知三角形的面积一定,则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是( )7.下面关于反比例函数y =-3x 与y =3x的说法,不正确的是( )A .其中一个函数的图象可由另一个函数的图象沿x 轴或y 轴翻折“复印”得到B .它们的图象都是轴对称图形C .它们的图象都是中心对称图形D .当x>0时,两个函数的函数值都随自变量的增大而增大 8.反比例函数y =kx 的图象如图所示,则k 的值可能是( )A .-1 B.12C .1D .29.已知反比例函数y =10x ,当1<x <2时,y 的取值范围是( )A .0<y <5B .1<y <2C .5<y <10D .y >1010.如图,M 为反比例函数y =kx 的图象上的一点,MA 垂直于y 轴,垂足为点A ,△MAO 的面积为2,则k 的值为( )A .-4B .4C .-2D .211.已知直线y =mx 与双曲线y =kx 的一个交点坐标为(3,4),则它们的另一个交点坐标为( )A .(-3,4)B .(-4,-3)C .(-3,-4)D .(4,3) 12.若y 与1x 成反比例,x 与1z 成正比例,则y 是z 的( )A .正比例函数B .反比例函数C .一次函数D .以上均不对13.若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)是反比例函数y =3x 图象上的点,且x 1<x 2<0<x 3,则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是( )A .y 3>y 1>y 2B .y 1>y 2>y 3C .y 2>y 1>y 3D .y 3>y 2>y 114.在同一直角坐标系中,函数y =kx +1与y =-kx(k ≠0)的图象大致是( )15.如图,A ,B 两点在双曲线y =4x上,分别经过A ,B 两点向轴作垂线段,已知S 阴影=1,则S 1+S 2=( )A .3B .4C .5D .6二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)16.若反比例函数y =kx的图象经过点(-1,2),则k 的值是________.17.小玲将一篇8 000字的社会调查报告录入电脑,那么完成录入的时间t(秒)与录入文字的速度v(字/秒)的函数关系式是________.18.已知y 是x 的反比例函数,当x>0时,y 随x 的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式:________________________.19.如图,已知函数y =kx 的图象经过点A(2,2),结合图象,请直接写出函数值y≥-2时,自变量x 的取值范围是____________.20.如图,反比例函数y =kx (k >0)的图象与矩形ABCO 的两边相交于E ,F 两点,若E 是AB 的中点,S △BEF =2,则k的值为________.三、解答题(本大题共7个小题,各题分值见题号后,共80分)21.(8分)已知反比例函数的图象与直线y =2x 相交于点A(1,a),求这个反比例函数的表达式.22.(8分)反比例函数y =kx ,当x 的值由4增加到6时,y 的值减少3,求这个反比例函数的表达式.23.(10分)已知反比例函数y =k -1x(k 为常数,k ≠1).(1)若在这个函数图象的每一分支上,y 随x 的增大而减小,求k 的取值范围;(2)若k =13,试判断点C(2,5)是否在这个函数的图象上,并说明理由.24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点O 为原点,反比例函数y =kx 的图象经过点(1,4),菱形OABC 的顶点A在函数的图象上,对角线OB 在x 轴上.(1)求反比例函数的表达式; (2)直接写出菱形OABC 的面积.25.(12分)如图,已知反比例函数y =kx (k >0)的图象经过点A(1,m),过点A 作AB⊥y 轴于点B ,且△AOB 的面积为1.(1)求m ,k 的值;(2)若一次函数y =nx +2(n≠0)的图象与反比例函数y =kx 的图象有两个不同的公共点,求实数n 的取值范围.26.(14分)一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系:t =kv ,其图象为如图所示的一段曲线,且端点为A(40,1)和B(m ,0.5).(1)求k 和m 的值;(2)若行驶速度不得超过60 km/h ,则汽车通过该路段最少需要多少时间?27.(16分)已知:如图,反比例函数y =kx 的图象与一次函数y =x +b 的图象交于点A(1,4)、点B(-4,n).(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)求△OAB 的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围.参考答案1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B 9.C 10.B 11.C 12.B 13.A 14.D 15.D 16.-2 17.t =8 000v 18.答案不唯一,只要k>0即可,如:y =2x 19.x≤-2或x >0 20.8 21.设反比例函数表达式为y =kx .将点A(1,a)代入直线y =2x ,得a =2×1=2.∴点A 的坐标为(1,2),代入y =kx ,得k =2.∴反比例函数的表达式为y =2x . 22.当x =4时,y =k 4;当x =6时,y =k 6.∵当x 的值由4增加到6时,y 的值减少3,∴k 4-k6=3.解得k=36.∴这个反比例函数的表达式为y =36x . 23.(1)∵这个函数图象的每一分支上,y 随x 的增大而减小,∴k -1>0.解得k >1.(2)点C(2,5)不在这个函数的图象上.理由:∵当k =13时,k -1=12,∴反比例函数的表达式为y =12x .当x =2时,y =6≠5,∴点C(2,5)不在这个函数的图象上. 24.(1)∵反比例函数y =kx 的图象经过点(1,4),∴4=k 1.即k =4.∴反比例函数的表达式为y =4x .(2)8. 25.(1)由已知,得S △AOB =12×1×m =1,解得m =2.把A(1,2)代入反比例函数表达式,得k =2.(2)由(1)知反比例函数表达式是y =2x ,由题意知2x =nx +2有两个不同的解,方程去分母,得nx 2+2x -2=0,则Δ=4+8n >0,解得n >-12且n≠0. 26.(1)将(40,1)代入t =k v ,得1=k 40,解得k =40.∴该函数的表达式为t =40v .当t =0.5时,0.5=40m,解得m =80.所以k =40,m =80.(2)令v =60,得t =4060=23.结合函数图象可知,汽车通过该路段最少需要23小时. 27.(1)把A 点(1,4)分别代入反比例函数y =k x ,一次函数y =x +b ,得k =1×4,1+b =4,解得k =4,b =3.反比例函数的表达式是y =4x ,一次函数表达式是y =x +3.(2)设AB 与x 轴交于点C.当x =-4时,y =-1,∴B(-4,-1).当y =0时,x +3=0,x =-3,∴C(-3,0).∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×3×4+12×3×1=152.(3)∵B(-4,-1),A(1,4),∴根据图象可知:当x >1或-4<x <0时,一次函数值大于反比例函数值.。
中考数学 反比例函数 培优练习(含答案)附答案
中考数学反比例函数培优练习(含答案)附答案一、反比例函数1.如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,m)和B(﹣8,﹣2),与y轴交于点C.(1)m=________,k1=________;(2)当x的取值是________时,k1x+b>;(3)过点A作AD⊥x轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP 与线段AD交于点E,当S四边形ODAC:S△ODE=3:1时,求点P的坐标.【答案】(1)4;(2)﹣8<x<0或x>4(3)解:由(1)知,y1= x+2与反比例函数y2= ,∴点C的坐标是(0,2),点A 的坐标是(4,4).∴CO=2,AD=OD=4.∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12,∵S四边形ODAC:S△ODE=3:1,∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4,即OD•DE=4,∴DE=2.∴点E的坐标为(4,2).又点E在直线OP上,∴直线OP的解析式是y= x,∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为(4 ,2 ).【解析】【解答】解:(1)∵反比例函数y2= 的图象过点B(﹣8,﹣2),∴k2=(﹣8)×(﹣2)=16,即反比例函数解析式为y2= ,将点A(4,m)代入y2= ,得:m=4,即点A(4,4),将点A(4,4)、B(﹣8,﹣2)代入y1=k1x+b,得:,解得:,∴一次函数解析式为y1= x+2,故答案为:4,;(2)∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,4)和B(﹣8,﹣2),∴当y1>y2时,x的取值范围是﹣8<x<0或x>4,故答案为:﹣8<x<0或x>4;【分析】(1)由A与B为一次函数与反比例函数的交点,将B坐标代入反比例函数解析式中,求出k2的值,确定出反比例解析式,再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值,确定出A的坐标,将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值;(2)由A与B 横坐标分别为4、﹣8,加上0,将x轴分为四个范围,由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可;(3)先求出四边形ODAC的面积,由S四边形ODAC:S△ODE=3:1得到△ODE的面积,继而求得点E的坐标,从而得出直线OP的解析式,结合反比例函数解析式即可得.2.如图,已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y= (3≤x≤12)的一部分,记作G1,且D(3,m)、E(12,m﹣3),将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位,得到抛物线G2.(1)求双曲线的解析式;(2)设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧,则线段BD的长为________;(3)点(6,n)为G1与G2的交点坐标,求a的值.(4)解:在移动过程中,若G1与G2有两个交点,设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,若MN<,直接写出a的取值范围.【答案】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得,解得,所以双曲线的解析式为y= ;(2)2(3)解:把(6,n)代入y= 得6n=12,解得n=2,即交点坐标为(6,2),抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9,把(6,2)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(6﹣a)2+9=2,解得a=6± ,即a的值为6± ;(4)抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9,把D(3,4)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(3﹣a)2+9=4,解得a=3﹣或a=3+ ;把E(12,1)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(12﹣a)2+9=1,解得a=12﹣2 或a=12+2;∵G1与G2有两个交点,∴3+ ≤a≤12﹣2 ,设直线DE的解析式为y=px+q,把D(3,4),E(12,1)代入得,解得,∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5,∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,∴M(a,﹣ a+5),N(a,),∵MN<,∴﹣ a+5﹣<,整理得a2﹣13a+36>0,即(a﹣4)(a﹣9)>0,∴a<4或a>9,∴a的取值范围为9<a≤12﹣2 .【解析】【解答】解:(2)当y=0时,﹣x2+9=0,解得x1=﹣3,x2=3,则B(﹣3,0),而D(3,4),所以BE= =2 .故答案为2 ;【分析】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得关于k、m的方程组,然后解方程组求出m、k,即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标;(2)先解方程﹣x2+9=0得到B(﹣3,0),而D(3,4),然后利用两点间的距离公式计算DE的长;(3)先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为(6,2),然后把(6,2)代入y=﹣(x ﹣a)2+9得a的值;(4)分别把D点和E点坐标代入y=﹣(x﹣a)2+9得a的值,则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ,再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5,则M(a,﹣ a+5),N(a,),于是利用MN<得到﹣ a+5﹣<,然后解此不等式得到a<4或a>9,最后确定满足条件的a的取值范围.3.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;(2)若某函数是反比例函数y= (k>0),他的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式;(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________,写出符合题意的其中一条抛物线解析式________,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数________.【答案】(1)解:如图1,当点A在x轴正半轴,点B在y轴负半轴上时,∵OC=0D=1,∴正方形ABCD的边长CD= ;∠OCD=∠ODC=45°,当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时,设小正方形的边长为a,易得CL=小正方形的边长=DK=LK,故3a=CD= .解得a= ,所以小正方形边长为,∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或(2)解:如图2,作DE,CF分别垂直于x、y轴,易知△ADE≌△BAO≌△CBF此时,m<2,DE=OA=BF=m,OB=CF=AE=2﹣m,∴OF=BF+OB=2,∴C点坐标为(2﹣m,2),∴2m=2(2﹣m),解得m=1.反比例函数的解析式为y= .(3)(3,4);y=﹣ x2+ ;偶数【解析】【解答】解:(3)实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合①当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;②当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,③当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在④当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+ ;⑤当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时,另一个顶点C的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣;⑥当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;∵由抛物线的伴侣正方形的定义知,一条抛物线有两个伴侣正方形,是成对出现的,∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.【分析】解答此题时,要特别注意认真读题,分析题意,注意已知条件点A,B分别是x 轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点。
浙教版八年级数学下册第六章 反比例函数练习(含答案)
第六章 反比例函数一、单选题1.下列选项中的函数,y 关于x 成反比例函数的是()A .12y x =+B .13y x =C .21y x =D .2x y = 2.已知y 与x 成反比例,且当2x =时,3y =,则y 关于x 的函数解析式是( ) A .6y x = B .1 6y x = C .6y x = D .26y x -= 3.已知反比例函数k y x =经过点()2,3A -,当3y <时自变量x 的取值范围为( ) A .2x <- B .2x >C .2x <-或0x >D .2x >或0x < 4.关于反比例函数y =﹣3x,下列说法错误的是( ) A .图象经过点(1,﹣3)B .图象分布在第一、三象限C .图象关于原点对称D .图象与坐标轴没有交点5.反比例函数y=-3x -1的图象上有P 1(x 1,-2),P 2(x 2,-3)两点,则x 1与x 2的大小关系是( ) A .x 1<x 2 B .x 1=x 2 C .x 1>x 2 D .不确定 6.如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A 在反比例函数y=6x(x >0)的图象上,则经过点B 的反比例函数解析式为( )A .y=﹣6xB .y=﹣4xC .y=﹣2xD .y=2x7.如图,直线l⊥x 轴于点P ,且与反比例函数y 1=1k x(x >0)及y 2=2k x (x >0)的图象分别交于点A ,B ,连接OA ,OB ,已知△OAB 的面积为2,则k 1﹣k 2的值为( )A .2B .3C .4D .﹣48.在矩形ABCD 中,E 点为AB 上的一点,AB =8,AD =6,连接CE ,作DF ⊥CE 于F 点,令CE =x ,DF =y ,下列关于y 与x 的函数关系图象大致是( )A .B .C .D .9.近视镜镜片的焦距y (单位:米)是镜片的度数x (单位:度)的函数,下表记录了一组数据,在下列函数中,符合表格中所给数据的是:( ) x (单位:度) … 100 250 400 500 … y (单位:米)… 1.00 0.40 0.25 0.20 …A .y=1100xB .y=100xC .y=﹣1200x+32D .y=21131940008008x x -+ 10.如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上,顶点B 在第一象限,AB=1.将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转600得到线段OP ,连接AP ,反比例函数y=k x过P 、B 两点,则k 的值为( )A .23B .233C .43D .433二、填空题11.已知反比例函数13m y x-=(m 为常数)的图象在一、三象限,则m 的取值范围为_____. 12.如果点1(3,)A y 、2(4,)B y 在反比例函数2y x=的图象上,那么1y _____2y .(填“>”、“<”或“=”) 13.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的面积为20,点B 在y 轴上,点C 在反比函数k y x=的图像上,则k 的值为________.14.某医药研究所开发一种新药,成年人按规定的剂量服用,服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系近似满足如图所示曲线,当每毫升血液中的含药量不少于0.5毫克时治疗有效,则服药一次治疗疾病有效的时间为______小时.三、解答题15.己知y-1与x+2成反比例函数关系,且当x=-1时,y=3.求:(1)y 与x 的函数关系式;(2)当x=0时,y 的值.16.如图,在平面直角坐标系中,一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2k y x =的图像交于(4,2),(2,)A B n --两点,与x 轴交于点C .(1)求2,k n 的值;(2)请直接写出不等式21k k x b x+<的解集; (3)将x 轴下方的图像沿x 轴翻折,点A 落在点A '处,连接,A B A C '',求A BC '∆的面积.17.小芳从家骑自行车去学校,所需时间y (min )与骑车速度x (/m min )之间的反比例函数关系如图.(1)小芳家与学校之间的距离是多少?(2)写出y 与x 的函数表达式;(3)若小芳7点20分从家出发,预计到校时间不超过7点28分,请你用函数的性质说明小芳的骑车速度至少为多少?18.长为300m 的春游队伍,以/v m s ()的速度向东行进,如图1和图2,当队伍排尾行进到位置O 时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2/v m s (),当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进.设排尾从位置O 开始行进的时间为t s (),排头与O 的距离为S m 头().(1)当2v 时,解答:①求S 头与t 的函数关系式(不写t 的取值范围);②当甲赶到排头位置时,求S 头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O 的距离为S m 甲(),求S 甲与t 的函数关系式(不写t 的取值范围)(2)设甲这次往返队伍的总时间为T s (),求T 与v 的函数关系式(不写v 的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程答案1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.C 7.C 8.B 9.B 10.D11.m<13.12.>13.-10 14.7.87515.(1)y=2x2++1;(2)y=2.16.(1)k2=−8,n=4;(2)−2<x<0或x>4;(3)8.17.(1)1400m;(2)1400yx=;(3)小芳的骑车速度至少为175/m min.18.(1)①2300头=S t+;②41200S t+=-甲;(2)T与v的函数关系式为:400Tv=,此时队伍在此过程中行进的路程为400m。
浙教版八下数学第六章-反比例函数培优训练
浙教版八下数学第六章:反比例函数培优训练一.选择题:1.已知反比例函数xky =(k >0)的图象经过点A (1,a )、B (3,b ),则a 与b 的关系正确的是( )A .b a =B .b a -=C .b a <D .b a >2.已知点A (2,y 1)、B (4,y 2)都在反比例函数xky =(k <0)的图象上,则y 1、y 2的大小关系为( )A .y 1>y 2B .y 1<y 2C .y 1=y 2D .无法确定 3.已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是反比例函数xky =(k ≠0)图象上的两个点,当x 1<x 2<0时,y 1>y 2,那么一次函数k kx y -=的图象不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 4.反比例函数xty 61-=的图象与直线2+-=x y 有两个交点,且两交点横坐标的积为负数,则t 的取值范围是( )A .61<t B .61>t C .61≤t D .61≥t 5.若一次函数6+=mx y 的图象与反比例函数xny =在第一象限的图象有公共点,则有( )A .9-≥mnB .09≤≤-mnC .4-≥mnD .04≤≤-mn 6.已知A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)是反比例函数xy 2=上的三点,若x 1<x 2<x 3,y 2<y 1<y 3,则下列关系式不正确的是( )A .x 1•x 2<0B .x 1•x 3<0C .x 2•x 3<0D .x 1+x 2<07.如图,A ,B 两点在反比例函数x k y 1=的图象上,C 、D 两点在反比例函数xk y 2=的图象上,AC ⊥x 轴于点E ,BD ⊥x 轴于点F ,AC=2,BD=3,EF=310,则=-12k k ( )A .4B .314 C .316D .6 8.如图,在平面直角坐标系中,点P (1,﹣4)、Q (m ,n )在函数xky =(x >0)的图象上,当m >1时,过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足为点A ,B ;过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足为点C 、D .QD 交PA 于点E ,随着m 的增大,四边形ACQE 的面积( )A .减小B .增大C .先减小后增大D .先增大后减小9.如图,△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数xy 6=在第一象限的图象经过点B ,则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC ﹣S △BAD 为( ) A .36 B .12 C .6 D .310.如图,O 为坐标原点,四边形OACB 是菱形,OB 在x 轴的正半轴上,060=∠AOB ,反比例函数xy 48=在第一象限内的图象经过点A ,与BC 交于点F ,则△AOF 的面积等于( )A .36B .38C .33D .34二.填空题:11.若12xm ﹣1y 2与3xy n+1是同类项,点P (m ,n )在双曲线xa y 1-=上,则a 的值为 12.反比例函数x ky =与一次函数2+=x y 图象的交于点),1(a A -,则=k 13.反比例函数xk y 1+=的图象经过),(11y x A ,),(22y x B 两点,其中021<<x x 且21y y >,则k 的范围是14.如图,已知直线l :x y -=,双曲线xy 1=,在l 上取一点A (a ,﹣a )(a >0),过A 作x 轴的垂线交双曲线于点B ,过B 作y 轴的垂线交l 于点C ,过C 作x 轴的垂线交双曲线于点D ,过D 作y 轴的垂线交l 于点E ,此时E 与A 重合,并得到一个正方形ABCD ,若原点O 在正方形ABCD 的对角线上且分这条对角线为1:2的两条线段,则a 的值为15.如图,已知点A 、C 在反比例函数x a y =的图象上,点B ,D 在反比例函数xby =的图象上,a >b >0,AB ∥CD ∥x 轴,AB ,CD 在x 轴的两侧,AB=43,CD=23,A B 与CD 间的距离为6,则b a -的值是 16.如图,反比例函数xky =(k ≠0)的图象经过A ,B 两点,过点A 作AC ⊥x 轴,垂足为C ,过点B 作BD ⊥x 轴,垂足为D ,连接AO ,连接BO 交AC 于点E ,若OC=CD ,四边形BDCE 的面积为2,则k 的值为三.解答题:17.已知反比例函数xy 4=. (1) 若该反比例函数的图象与直线y =kx +4(k ≠0)只有一个公共点,求k 的值; (2) 如图,反比例函数xy 4=(1≤x ≤4)的图象记为曲线C 1,将C 1向左平移2个单位长度,得曲线C 2,请在图中画出C 2,并直接写出C 1平移至C 2处所扫过的面积.18.如图,在平面直径坐标系中,反比例函数xky =(x >0)的图象上有一点A (m ,4),过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,将点B 向右平移2个单位长度得到点C ,过点C 作y 轴的平行线交反比例函数的图象于点D ,CD=34 (1)点D 的横坐标为 (用含m 的式子表示); (2)求反比例函数的解析式.19.如图,一次函数y=kx+b (k <0)与反比例函数xmy =的图象相交于A 、B 两点,一次函数的图象与y 轴相交于点C ,已知点A (4,1) (1)求反比例函数的解析式;(2)连接OB (O 是坐标原点),若△BOC 的面积为3,求该一次函数的解析式.20.如图,直线221+=x y 与双曲线相交于点A (m ,3),与x 轴交于点C .(1)求双曲线解析式;(2)点P 在x 轴上,如果△ACP 的面积为3,求点P 的坐标.21.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,△ABO 的边AB 垂直与x 轴,垂足为点B ,反比例函数xky =(x >0)的图象经过AO 的中点C ,且与AB 相交于点D ,OB=4,AD=3, (1)求反比例函数xky =的解析式;(2)求经过C 、D 两点的一次函数解析式.22.在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b (a ≠0)的图形与反比例函数xky =(k ≠0)的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点,与y 轴交于C 点,过点A 作AH ⊥y 轴,垂足为H ,OA=5,34=OH AH ,点B 的坐标为(m ,﹣2). (1)求△AHO 的周长;(2)求该反比例函数和一次函数的解析式.23.如图,已知一次函数8+-=x y 和反比例函数xky =(k ≠0)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A ,B.(1)求实数k 的取值范围;(2)若△AOB 的面积为24,求k 的值.。
第六章反比例函数培优训练北师大版2024—2025八年级上册秋季
第六章反比例函数培优训练北师大版2024—2025八年级上册秋季一、反比例函数与相似三角形的综合例1.如图,Rt△AOB中,∠AOB=90°,点A在双曲线y=(x<0)上,点B在双曲线y=(x>0)上.(1)若k=﹣2,求的值;(2)若∠OAB=30°,求k的值.练习1.如图,矩形OABC顶点A、C分别在x、y轴上,双曲线分别交BC、AB于点D、E,连接DE并延长交x轴于点F,连接AC.下列结论:①DE∥CA;=k;②S四边形ACDF③若BD=2CD,则AE=2BE;④若点E为DF的中点,且S=3,则k=12;△AEF其中正确的有.(填写所有正确结论的序号)练习2.如图,一次函数y=k1x+b的图象过点A(0,3),且与反比例函数y=的图象相交于B、C两点.若AB=BC,则k1•k2的值为.练习3.如图,等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上,双曲线y=(k>0)经过边OB的中点C和AE的中点D.已知等边△OAB的边长为4.(1)求该双曲线所表示的函数解析式;(2)求等边△AEF的边长.练习4.如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(﹣1,2),AB⊥x轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=的图象相交于A,P两点.(1)求m,n的值与点A的坐标;(2)求证:△CPD∽△AEO;练习5.如图,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=(x>0)相交于点P,PC⊥x轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(﹣2,0).(1)求双曲线的解析式;(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QH⊥x轴于H,当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时,求点Q的坐标.练习6.如图,A为反比例函数y=(其中x>0)图象上的一点,在x轴正半轴上有一点B,OB=4.连接OA,AB,且OA=AB=2.(1)求k的值;(2)过点B作BC⊥OB,交反比例函数y=(其中x>0)的图象于点C,连接OC交AB于点D,求的值.二、反比例函数与一次函数的综合例2.已知双曲线y=(x>0),直线l1:y﹣=k(x﹣)(k<0)过定点F 且与双曲线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),直线l2:y =﹣x+.(1)若k=﹣1,求△OAB的面积S;(2)若AB=,求k的值;(3)设N(0,2),P在双曲线上,M在直线l2上且PM∥x轴,求PM+PN 最小值,并求PM+PN取得最小值时P的坐标.(参考公式:在平面直角坐标系中,若A(x1,y1),B(x2,y2)则A,B两点间的距离为AB=)练习1.如图,直线AC和BC的解析式分别是y=x+1和y=﹣+,AC与BC 相交于点C,CD⊥y轴于点D,反比例函数y=(x>0)的图象与直线BC 相交于点C和E,点P是x轴上一个动点.(1)求反比例函数的解析式;(2)根据函数图象,请直接写出当>﹣+时x的取值范围;(3)当以点B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出此时点P的坐标.练习2.如图,一次函数y=﹣x+的图象与反比例函数y=(k>0)的图象交于A,B两点,过点A作x轴的垂线,垂足为M,△AOM面积为1.(1)求反比例函数的解析式;(2)在x轴上求一点P,使|P A﹣PB|的值最大,并求出其最大值和P点坐标.练习3.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(﹣3,n),B(2,3).(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式;(2)请结合图象直接写出不等式kx+b≥的解集;(3)若点P为x轴上一点,△ABP的面积为10,直接写出点P的坐标.三、反比例函数与特殊三角形存在性问题例1.已知:一次函数y=﹣2x+10的图象与反比例函数y=(k>0)的图象相交于A,B两点(A在B的右侧).(1)当A(4,2)时,求反比例函数的解析式及B点的坐标;(2)在(1)的条件下,反比例函数图象的另一支上是否存在一点P,使△P AB 是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10)时,直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C,连接BC交y轴于点D.若=,求△ABC的面积.练习1.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(n,6),点C的坐标为(﹣2,0),且∠ACO=45度.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求点B的坐标;(3)在x轴上求点E,使△ACE为直角三角形.(直接写出点E的坐标)练习2.如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△P AB的面积;(2)设直线P A、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠P AQ与∠PBQ的大小,并说明理由.练习3.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点A在x轴上,顶点C 在y轴上,D是BC的中点,过点D的反比例函数图象交AB于E点,连接DE.若OD=5,CD=4.(1)求过点D的反比例函数的解析式;(2)求△DBE的面积;(3)x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.四、反比例函数中的面积问题例4.如图,在平面直角坐标系xOy中,梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上,AC∥OB,BC⊥OB,过点A的双曲线y=的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D,交边BC于点E.(1)填空:双曲线的另一支在第象限,k的取值范围是;(2)若点C的坐标为(2,2),当点E在什么位置时,阴影部分的面积S最小?=2,求双曲线的解析式.(3)若=,S△OAC练习1.如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,点B在函数y=(k>0,x>0)图象上,点P是函数y=(k >0,x>0)图象上异于点B的任意一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点E、F.设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.(1)点B的坐标是,k=;(2)当S=,求点P的坐标;(3)求出S关于m的函数关系式.练习2.如图,点M、N是反比例函数的图象上的两个动点,过点M作MP ⊥y轴、过点N作NQ⊥x轴,分别交反比例函数的图象于点P、Q,连接PN、QM.设点M的横坐标为m(m>0),点N的横坐标为n(n<0).(1)若m=3,求MP的长;(2)若MP=NQ,求mn的值;(3)①求△MNP的面积(用含m、n的代数式表示);②点P、Q到直线MN的距离是否相等?并说明理由.练习3.如图1,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(2,1),射线AB与反比例函数图象交于另一点B(1,a),射线AC与y轴交于点C,∠BAC =75°,AD⊥y轴,垂足为D.(1)求k的值;(2)求直线AC的解析式;(3)如图2,M是线段AC上方反比例函数图象上一动点,过M作直线l⊥x 轴,与AC相交于点N,连接CM,求△CMN面积的最大值.五、反比例函数中的实际应用例5.教师办公室有一种可以自动加热的饮水机,该饮水机的工作程序是:放满水后,接通电源,则自动开始加热,每分钟水温上升10℃,待加热到100℃,饮水机自动停止加热,水温开始下降,水温y(℃)与和通电时间x(min)成反比例关系.直至水温降至室温,饮水机再次自动加热,重复上述过程,设某天水温和室温均为20℃,接通电源后,水温y(℃)和通电时间x(min)的关系如图所示,回答下列问题:(1)分别求出当0≤x≤8和8≤x≤a时,y与x之间的函数表达式;(2)求出图中a的值;(3)李老师这天早上7:30将饮水机电源打开,若他想在8:10上课前喝到不低于40℃的开水,则他要在什么时间段内接水?。
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浙教版八下数学第六章:反比例函数培优训练(二)答案
二.解答题
17.解:(1)由题意可知,m (m+1)=(m+3)(m ﹣1). 解,得m=3. ∴A (3,4),B (6,2); ∴k=4×3=12,
∴
x
y 12
= ∵A 点坐标为(3,4),B 点坐标为(6,2),
∴⎩⎨⎧=+=+2643b a b a ,⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴6
32b a ∴y=﹣x+6.
(2)根据图象得
x 的取值范围:0
<x <3或x >6.
18.解:(1)如图,过点C 作CD ⊥AB 于D ,
∵梯形OABC 中,OC ∥AB ,OA=CB ,A (2,﹣3), ∴CD=2,BD=3, ∵C (0,2),∴点B 的坐标为(2,5), 设双曲线的解析式为y=(k≠0),则2
k
=5,解得k=10, ∴双曲线的解析式为x
y 10=
(2)平移后的点C 落在(1)中的双曲线上.
理由如下:点C (0,2)向右平移5个单位后的坐标为(5,2), 当x=5时,25
10
==
y
∴平移后的点C 落在(1)中的双曲线上.
19。
解:由P (﹣1,n )在x
y 4
-
=,得n=4, ∴P (﹣1,4),
∵F 为PE 中点,∴OF=n=2,∴F (0,2),
又∵P ,F 在y=kx+b 上,⎩
⎨⎧=+-=∴b b k 24,
解得⎩⎨
⎧=-=2
2
b k
∴直线的解析式为:22+-=x y
(2)如图,过P 作PD ⊥AB ,垂足为点D , ∵PA=PB ,∴点D 为AB 的中点,
又由题意知A 点的纵坐标为﹣2a+2,B 点的纵坐标为a
4
-,D 点的纵坐标为4, ∴得方程8422=-
+-a
a 解得1,221-=-=a a (舍去). ∴当2-=a 时,PA=PB .
20.解:(1)由已知得:S △AOB =
2
1
×1×m=1, 解得:m=2,
把A (1,2)代入反比例函数解析式得:k=2; (2)由(1)知反比例函数解析式是x
y 2=, 则
x
2
=nx+2有两个不同的解, 方程去分母,得:nx 2
+2x ﹣2=0, 则△=4+8n >0, 解得:2
1
-
>n 且n≠0.
21.解:(1)把A (﹣2,b )代入x y 8-=得42
8
=--
=b 所以A 点坐标为(﹣2,4),
把A (﹣2,4)代入y=kx+5得﹣2k+5=4,解得2
1
=k , 所以一次函数解析式为y=
2
1
x+5; (2)将直线AB 向下平移m (m >0)个单位长度得直线解析式为y=
2
1
x+5﹣m , 根据题意方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+=-=m x y x
y 5218只有一组解,
消去y 得m x x -+=-
52
1
8 整理得016)5(22=+-+x m x
△=4(m ﹣5)2
﹣4×16=0,解得m=9或m=1, 即m 的值为1或9.
22.解:(1)将()2,3A 分别代入ax y x k y =,=
中,得23,3
2==a k
3
2
,6=
=∴a k ∴ ∴反比例函数的表达式为:x
y 6= 正比例函数的表达式为x y 3
2=
(2)观察图象,得在第一象限内,当30<<x 时,反比例函数的值大于正比例函数的值. (3)DM BM = 理由:32
1
=⨯=
=∆∆k S S OAC OMB 12633=++=++=∆∆O AC O MB O AD M O BD C S S S S 四边形矩形
即O C ·OB =12
4,3=∴=OB OC 即4=n 236==
∴n m 2
3
233,23=-==∴MD MB
MD MB =∴
23.(1)将B (4,1)代入k
y x =
得:4=1k ,∴k =4,∴x
y 4=, 将B (4,1)代入y =mx +5得:1=4m +5,∴m =-1,∴y =-x +5, (2)在x y 4=
中,令x =1,解得y =4,∴A (1,4),∴S =412
1
⨯⨯=2,。