2016年秋季学期新版北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理教案1
北师大版八年级上册数学1.1《探索勾股定理》(1)(教案)
北师大版八年级上册数学1.1《探索勾股定理》（1）（教案）1.1 探索勾股定理（1）教学目标知识与技能1.经历用测量和数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的语言表达能力和初步的逻辑推理能力。
过程与方法让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的过程，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
情感与态度在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
重点难点重点：探索勾股定理，并能用它来解决一些简单的问题。
难点：勾股定理的探索。
教学过程【新课导入】创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题展示教材P2开头的情境.如图所示,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.【新知构建】一、用测量的方法探索勾股定理学生活动：任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.直角三角形直角边长直角边长斜边长123师生活动：师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很精确,他用了很接近这个词,非常棒!有哪些数据得到了a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……师:哪些数据没得到a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?二、用数格子的方法探索勾股定理1.展示教材P2图1-2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?（1）观察图，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
八年级数学上册1.1.1探索勾股定理教案新版北师大版
课题：1.1 探索勾股定理（1）教学目标：1．引导学生经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．2．引导学生探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力．教学重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题．教学难点：勾股定理的发现．课前准备：多媒体课件、三角板．教学设计：一、创设情境，自然引入引导语：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500多年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大哲学家有同样的发现呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理．师：（板书课题）1.1探索勾股定理（1）设计意图：问题的设计有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，老师要注意引导学生将实际问题转化为数学问题．学生会感到一些困难，从而老师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决了．这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了“数学来源于生活”，学习数学是为更好“服务于生活”．二、设问质疑，合作探究探究一师：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗？等腰直角三角形都有上述性质吗？观察下图，并回答问题：（1）观察图1．（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形A 中含有______个小方格，即A 的面积是______个单位面积； 正方形B 中含有______个小方格，即B 的面积是______个单位面积； 正方形C 中含有______个小方格，即C 的面积是______个单位面积．（2）在图2、图3中，正方形A 、B 、C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流．（3生：我们从上面的图中更进一步验证了等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方．学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C ．师：原来著名的哲学家毕达哥拉斯，他在朋友家地板砖的启发下，也发现了这个结论． 并且还做了更为深入的研究，你知道是什么吗？生：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形是否也有这个性质呢？ 师：的确如此，想知道结果吗？我们不妨寻着大哲学家的足迹，也做更深入的探究． 设计意图：通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究结论的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想．探究二师：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗？如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A 、B 、C ，A′、B′、C′的面积，看看能得出什么结论．预设：生1：从图中不难观察出A 、B 两个正方形分别含有4个小方格和9个小方格； A′、B′ 两个正方形分别含有9个小方格和25个小方格．生2：正方形C 的面积可看作虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积， 即5×5-4×12×2×3=13．所以正方形A 的面积＋正方形B 的面积等于正方形C 的面积， 即4+9=13．生3： 用同样的方法计算C′的面积可得8×8-4×12×3×5=64-30=34．所以正方形A′的面积＋正方形B′的面积＝正方形C′ 的面积．师：三个正方形之间的面积关系能用直角三角形的三边关系表示吗？在同学的交流回答的基础上，师板书：勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形两直角边和斜边，那么a 2+b 2=c 2．设计意图：意在让学生在上面面积结论的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.并能用自己的语言叙述出来. 使学生感受方法的技巧获得掌握知识的快感，这对于学生良好思维品质的形成有重要作用．数学小史：（投影出示）师：当时大哲学家也发现并进一步深入探究的也正是这个结论，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理．我们也应该向大哲学家学习，认真体验生活，努力发现生活中存在的各种奥秘．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．勾股定理到底是谁最先发现的呢？我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名． “勾三，股四，弦五” 正是直角三角形三边关系的重要体现．不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的 国际数学家大会的徽标的图案如右图证明了此结论，也 正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标． 下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．设计意图：此处主要是让学生对数学的一些历史有所了解，并让他们知道，我国在数学的发展史上占有非常重要的作用，培养学生的爱国热情，激励他们更加努力的学习，争取长大后也能为国争光． 三、思维训练，应用新知例1 （投影出示）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？解：设树倒下部分的面积为x m∵树倒下后与地面正好构成一个直角三角形∴222912x=+225811442=+=x ∴15=x （m ）∴大树在折断前的高度为：24915=+(m)例2 （投影出示）小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的?225100想法吗？你能解释这是为什么吗？解：我们通常所说的29英寸和74厘米的电视机，是指其荧屏的对角线的长度，而不是其荧屏的长和宽，同时，荧屏的边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差．设计意图：例题学习其目的是巩固新知，通过老师的扳演，强调格式步骤．通过引例的探究，让学生知道勾股定理在现实生活中的应用非常多，同时也让学生明白如何利用勾股定理来解题，尤其是解题过程如何书写.基础题型练习：1．求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）2．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从 一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米3．如图，在△ABC 中，cm AC AB 10==，AC BD ⊥于点D 且cm CD 2=，则BC的长是 （ ）A ．cm 6B ．cm 5 C．cm D ． 8cm4．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是 cm 2．设计意图：通过练习，进一步加深了学生对勾股定理的理解和应用，也让学生知道了如何运用所学知识服务于解题中来. 在这里通过具体的实际问题，使学生学数学、用数学的意识得到强化.使学生创造性的将数学知识应用于实践,并在实践中获得创造的成功感.更重要的是学生的创造性思维在实践中得到了锻炼． 四、交流心得，学习反思 1．你这节课的主要收获是什么？2．在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？设计意图：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节知识的理解．让学生在总结DA7cmCB第4题图的过程中理清思路、整理经验，对本节课所学的知识结构有一个清晰的认识，再通过排忧 解难让学生对知识形成正向迁移 .从而构建出合理的知识体系，养成良好的学习习惯. 五、达标检测，反馈矫正1. 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③5，12，13．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有 ．（填序号）2．如图，△ABC 是等边三角形，cm AB 4 ，则BC 边上的高AD 等于 ． 3. 如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为 A ．600mB ．500mC ．400mD ．300m4． 一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长的平方为（ ） A ．25 B ．7 C ．5 D ．25或75．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．设计意图：本节课主要任务是探索勾股定理，所以检测设计三个较为简单的题目，可以提升学生学习信心，培养学生的学习兴趣．及时反馈，了解学生对本节课知识的掌握情况，让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题，解决问题的能力.教师要及时巡视，根据学生的完成情况有针对性的进行讲解. 六、布置作业，落实目标 必做题：P 7 第1、2、3 题．选做题：印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．注:花离原位二尺远指两花之间的距离.设计意图：Ａ组题目为必做题，一方面可以了解学生对本节课所学内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力. Ｂ组问题为学有余力的同学设计，努力使每个学生在课堂上都有所发展，也充分利用课堂时间提高了优秀生解决问题的能力，如课上不能完成，可作为课后作业 ,分层次布置作业，使不同层次的学生得到不同的发展． 板书设计：。
北师大版八年级上册数学1.1第1课时认识勾股定理教案1
1． 1研究勾股定理第 1 课时认识勾股定理1．研究勾股定理，进一步发展学生的推理能力；2．理解并掌握直角三角形三边之间的数目关系． ( 要点、难点 )一、情境导入如下图的图形像一棵枝叶旺盛、姿态优美的树，这就是有名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形构成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说此中的神秘吗？二、合作研究研究点一：勾股定理的初步认识【种类一】直接利用勾股定理求长度如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°， AB＝5cm， BC＝ 3cm， CD⊥ AB 于点D，求 CD的长．分析：先运用勾股定理求出AC 的长，11再依据 S△ABC＝2AB·CD＝2AC·BC，求出 CD的长．解：∵△ ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°， AB＝ 5cm， BC＝3cm，∴由勾股定理得222222AC ＝ AB － BC＝ 5 － 3 ＝ 4 ，∴ AC＝ 4cm. 又11AC·BC∵S ABC＝AB·CD＝AC·BC，∴CD＝△22AB4×3 12(cm) ，故 CD的长是12＝＝cm.555方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．【种类二】勾股定理与其余几何知识的综合运用如图，已知 AD是△ ABC的中线．求2222证： AB ＋AC＝ 2(AD ＋ CD) ．分析：结论中波及线段的平方，所以可以考虑作AE⊥ BC于点 E，在△ ABC中结构直角三角形，利用勾股定理进行证明．证明：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E.在 Rt △ACE、 Rt△ ABE和 Rt△ ADE中， AB2＝22222222AE ＋ BE，AC＝ AE＋ CE，AE＝ AD－ ED，∴2222222 AB ＋ AC＝ (AE ＋ BE) ＋ (AE ＋ CE) ＝ 2(AD－ ED2) ＋ (DB － DE)2＋ (DC＋ DE)2＝ 2AD2－22222ED＋ DB－2DB·DE＋ DE＋ DC＋2DC·DE＋2222DE＝ 2AD＋DB＋ DC＋ 2DE(DC－ DB)．又∵ AD22是△ ABC 的中线，∴ BD＝ CD，∴ AB ＋ AC＝22222AD＋ 2DC＝ 2(AD ＋ CD) ．方法总结：结构直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，波及线段之间的平方关系问题时，往常沿着这个思路去剖析问题．【种类三】分类议论思想在勾股定理中的应用在△ ABC中， AB＝ 20，AC＝ 15，AD 为 BC边上的高，且 AD＝ 12，求△ ABC 的周长．分析：应试虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情况．解：当高 AD在△ ABC内部时，如图①.在 Rt △ ABD中，由勾股定理，得22 BD＝ AB－222＝162，∴ BD＝ 16；在 Rt △ ACDAD＝20 －12中，由勾股定理，得2222－CD＝ AC－ AD＝ 15122＝ 81，∴ CD＝9. ∴BC＝ BD＋ CD＝ 25，∴△ABC的周长为25＋20＋ 15＝ 60.当高 AD在△ ABC外面时，如图② . 同理可得 BD＝ 16，CD＝9. ∴BC＝ BD－CD＝ 7，∴△ABC的周长为 7＋20＋ 15＝ 42. 综上所述，△ABC的周长为 42 或 60.方法总结：题中未给出图形，作高结构直角三角形时，易遗漏钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情况，忽略高AD在△ ABC外的情况．研究点二：利用勾股定理求面积如图，以Rt△ ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中△ ABE 的面积为 ________，暗影部分的面积为 ________．1分析：由于 AE＝ BE，所以 S△ABE＝2AE·BE 122222＝ AE. 又由于AE＋ BE ＝ AB，所以 2AE ＝2212129AB ，所以 S△＝4AB＝4× 3＝4；同理可得ABES△AHC＋121222 S△BCF＝4A C＋4BC. 又由于AC＋BC＝212121 AB ，所以暗影部分的面积为4AB ＋AB ＝24212999AB＝×3＝2.故填、.242方法总结：求解与直角三角形三边相关的图形面积时，要联合图形想方法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．三、板书设计勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．假如用 a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝ c2.让学生领会数形联合和由特别到一般的思想方法，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步领会数学与现实生活的密切联系．在研究勾股定理的过程中，体验获取成功的快乐；经过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国的悠长文化历史，激励学生奋发学习．。
北师大版1_探索勾股定理_教案1八年级八年级数学上册
课题1、1探索勾股定理教材义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学上册第一章第1节P2~ P6。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发 展和现实世界中有着广泛的作用。
本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理 数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。
此外，历史上勾股定理的发 现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
授课教师：刘洋 教学目标1、 知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。
学生在经历 用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻 辑推理过程。
2、 能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际 问题中掌握勾股定理的应用技能。
3、 情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。
使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。
教学重点、难点重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。
难点：计算以斜边为边长的大正方形 C 面积及割补思想的理解与应用 教学方法选择引导探索法，采用 问题情境----建立模型----解释、应用与拓展”的模式进行教学教具准备多媒体课件；若干张已画好直角三角形的方格纸；剪刀；已剪好的纸片若干张 教学过程仓U 设情境，弓I 入新课（师）请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图 试图与外星人沟通，在2002年的国际数学家大会上采用弦图 作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的 奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。
（设计意图：用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以 景激情，以情激思，引领学生进入学习情境。
） 师生互动，探究新知活动1：（观察图1）你知道正方形C 的面积是多少吗？ 你是怎样得出上面结果的呢？（生）独立思考后交流，采用直接数方格的办法，或者是 分割成几个等腰直角三角形的方法计算正方形 C 的面积。
北师大版-数学-八年级上册-第一章第1节探索勾股定理(1) 教案
北师大版八年级上第一章第1节探索勾股定理（1）教案教学目标：(一)教学知识点1. 经历用计算和数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
.2.掌握勾股定理的内容，能应用勾股定理解决简单的实际问题.(二)能力训练要求通过探索直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
(三)情感与价值观通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；了解勾股勾股定理的历史，体会它的重大意义和文化价值教学重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
教学难点：勾股定理中数量关系的发现的发现课堂导入：我们生活的这个世界，蕴涵着无穷的秘密，人们不断去发现它，探索它，促使人类社会不断发展进步，可以说，人类不断发展的历史就是我们不断认识自然、发现自然规律的过程，其中有一些重要的发现对人类的历史进程产生了重大的影响。
我们今天所要研究的就是这样一个伟大的发现，无论是我国古代科技所代表的东方文明还是毕达哥拉斯学派所代表的西方文明，先后都发现了这个规律，有的科学家建议把这个规律作为地球人和外星文明交流的工具。
教学过程：1、知识准备谁能有办法得到下面几个格点图形的面积在网格图形中，简单的图形可以通过数格子的方法得到面积，复杂的图形总可以利用长方形和直角三角形的和或差得到面积。
1观察图1，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形C 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。
1、 你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：2、 图2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C 。
2、做一做出示投影提问：1、图3中，A,B,C 之间有什么关系？2、图4中，A,B,C 之间有什么关系?1、 从图1， 2， 3， 4中你发现什么？学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
数学：第一章 探索勾股定理(一)教案(北师大版八年级上)
第一章勾股定理1．探索勾股定理（一）一、学生起点分析八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．三、教学目标分析●知识与技能目标用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．●数学思考让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．●解决问题进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．●情感与态度在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习．四、教法学法1.教学方法：引导—探究—发现法．2.学习方法：自主探究与合作交流相结合．五、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节：创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.第二环节：探索发现勾股定理1．探究活动一：内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：（2）引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.2．探究活动二：内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一：如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， 13132214=+⨯⨯⨯=C S ．如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，133221452=⨯⨯⨯-=C S ． 方法三：如图3，正方形C 中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，13542=+⨯=C S ． （4）分析填表的数据，你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2. 3．议一议：内容：（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理（gou-gu theorem ）：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的 直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名． （在西方称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理. 效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.2．通过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用弦股勾例 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下， 树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？（教师板演解题过程） 练习：1、基础巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：2、生活中的应用：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.第四环节：课堂小结内容：教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流． 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+. 2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； ② 面积法；③ “割、补、拼、接”法.3．思想：① 特殊—一般—特殊； ② 数形结合思想．意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.?225100x17第五环节：布置作业内容：作业：1．教科书习题1.1； 2．阅读《读一读》——勾股世界；3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+.意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．六、教学设计反思（1）设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（2）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．（3）分层教学，拓展资源 基础训练1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5a bcabc CB米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离 为 m ．3．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．（π不取 近似值）4．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ．5．一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km ．提高训练6．一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端滑动 m ．7．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和 是 cm 2．8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）． （A ）24cm 2（B ）36cm 2（C ）48cm 2（D ）60cm 29．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）．（A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+ （C ）321S S S <+ （D ）无法确定10．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的 路线探宝. 他们登陆后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往 西走3km ，再折向北走6km 处往东一拐，仅走1km 就找到了宝藏，则 登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km ．知识拓展11．如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．321S S S 32168埋宝藏点登陆点7cmDACB 86C25712．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．意图：进行分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的情况.老师可以根据学生的情况选择上述题目进行练习，也可留作家庭作业.效果：通过分层练习，充分激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果.（4）评价方式根据新课标的评价理念，在本课主要从以下几个方面对学生学习情况进行评价：首先，在探索勾股定理的过程中，对学生的参与热情、情感态度、探究的积极性、探究的效果等学习情况进行评价．其次，在“勾股定理的简单应用”这一教学环节中，通过例题和练习，可有效地评价学生理解和掌握知识的情况．第三，在“课堂小结”这一环节中，教师可从学生的自由发言和交流中，了解到各个教学目标的达成情况．第四，通过课后作业的完成情况，进一步了解学生对勾股定理的理解和掌握的程度．教师根据这些评价结果做出相应的反馈和调节，调整、设计下节课或下阶段的教学内容，以达到尽可能好的教学效果．B ADE。
北师大版八年级数学上册1.1《探索勾股定理》(教案)
5.培养学生的数学审美观念：让学生感受勾股定理及其应用的美，激发他们对数学美的追求和热爱。
本节课将紧扣核心素养目标，关注学生个体差异，以提高学生的综合素质为宗旨，促进他们全面发展。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理：包括定理的表述、记忆方法及其在直角三角形中的应用。
-学会运ห้องสมุดไป่ตู้勾股定理解决实际问题：如求直角三角形的第三边长，判断一个三角形是否为直角三角形等。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。它是解决直角三角形相关问题的重要工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何使用勾股定理计算直角三角形的第三边长，以及它如何帮助我们解决实际问题。
五、教学反思
今天我们在课堂上一起探索了勾股定理，看着学生们积极参与，我感到非常欣慰。我发现，通过引入生活中的实际例子，学生们对勾股定理的兴趣被成功激发，他们在小组讨论和实验操作中表现出了很高的热情。这一点让我深感欣慰，也证明了我的教学策略是有效的。
然而，我也注意到，在理论讲解和案例分析过程中，部分学生对勾股定理的理解还不够深入，尤其是对定理的推导过程感到困惑。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的理解程度，尽量用更直观、更生动的方式讲解，以便帮助他们更好地消化吸收。
举例解释：
-在探索勾股定理的推导过程中，学生可能会遇到如何从多个具体实例中抽象出一般性规律的问题。教师需要引导学生进行观察、思考、总结，帮助他们理解归纳与推理的方法。
北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理(教案)
1.1.1 探索勾股定理1.经历用测量法和数格子的方法探索勾股定理的过程,发展合情推理能力,体会数形结合的思想.2.会解决已知直角三角形的两边求另一边的问题.1.经历“测量—猜想—归纳—验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力.3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验.【重点】勾股定理的探索及应用.【难点】勾股定理的探索过程.【教师准备】分发给学生打印的方格纸.【学生准备】有刻度的直尺.导入一:展示教材P2开头的情境.如图所示,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.[设计意图]创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.导入二:如图所示,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?【师生活动】在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边确定吗?为什么?在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧!一、用测量的方法探索勾股定理思路一【学生活动】1.画一个直角三角形,使直角边长分别为3 cm和4 cm,测量一下斜边长是多少.2.画一个直角边长分别是6 cm和8 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.3.画一个直角边长分别是5 cm和12 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.【问题】你能观察出直角三角形三边之间的关系吗?[设计意图]帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探索欲望.思路二任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.直角三角形直角边长直角边长斜边长123【师生活动】师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很精确,他用了很接近这个词,非常棒!有哪些数据得到了a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……师:哪些数据没得到a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?二、验证直角三角形三条边长度存在的特殊关系,用数格子的方法探索勾股定理1.探索等腰直角三角形的情况.思路一展示教材P2图1 - 2部分图.探索问题:(1)这个三角形是什么样的三角形?(2)直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足怎样的数量关系?(学生通过数格子的方法可以得出S A+S B=S C)[设计意图]通过三个正方形面积的关系,得到直角三角形三边的关系.思路二展示教材P2图1 - 2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?【师生活动】师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜想如何实现?生:用正方形A,B,C刻画的,就是证A+B=C.师:再准确点说呢?生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.(学生交流面积C的求法,教师巡视点评)生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.师:你用什么方法得到正方形C的面积为18个单位面积?生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算)生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法)师:方法不错,你们很善于动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到C的面积,还有什么方法可以得到吗?生:在正方形C的外侧画一个大正方形,用大正方形的面积减去4个三角形的面积.(学生板演,口述面积求法)师:很好,他采用了补形的方法计算面积,我们能得到什么结论?生1:S A+S B=S C.生2:a2+b2=c2.师:我们看到上面的三角形具有特殊性,是等腰直角三角形,一般三角形能验证吗?2.探索边长为3,4,5的直角三角形的情况.展示教材P2图1 - 3部分图.对于一般的直角三角形是否也有这样的关系?你是如何计算的?【问题】(1)正方形A的面积是多少个方格?正方形B的面积是多少个方格?(2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格?(3)三个正方形的面积之间有什么关系?同桌交流、小组讨论,共同探讨如何求正方形的面积,找到三边平方之间的关系.【提示】在正方形C的四周再补上三个相等的直角三角形,变成一个新的大正方形.【拓展】如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由.学生思考、交流,教师请学生口答,并板书,指出这就是这节课要学习的勾股定理.【学生总结】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.[思考](1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?(3)由(2)知直角三角形中,只要知道条边,就可以利用求出.[设计意图]让学生经历“独立思考——小组讨论——合作交流”的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.[知识拓展]1.由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).2.在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2<c2,在锐角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2>c2.1.勾股定理的由来.2.勾股定理的探索方法:测量法和数格子法.3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB 的长是()A.20B.10C.9.6D.8解析:BC2=122=144,AC2=162=256,AB2=AC2+BC2=400=202.故选A.2.直角三角形两直角边长分别是6和8,则周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶7解析:利用勾股定理求出斜边的长为10.故选B.3.(2019·温州模拟)如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC=.解析:根据等腰三角形三线合一,判断出ΔADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.4.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC 为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于.解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆的面积.所以S1+S2=1πAB2=12.5π.故填12.5π.8第1课时1.概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.表示法:如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.一、教材作业【必做题】教材第3页随堂练习第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=.2.若三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,则此三角形的周长为,面积为.3.(2019·凉山中考)已知直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为.4.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【能力提升】5.如图所示,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c 6.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如图所示,阴影部分是一个正方形,它的面积为.8.如图所示,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中水平飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=.13.如图所示,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是.【答案与解析】1.8(解析:AC2=BC2-AB2=64.)2.3030(解析:由题意得此直角三角形的斜边长为13.)3.5或√74.12米5.D(解析:两个正数比较大小,可以按照下面的方法进行:如果a>0,b>0,并且a2>b2,那么a>b.可以设每一个小正方形的边长为1,在直角三角形BDC中,根据勾股定理可以求出a2=10,同理可以求出b2=5,c2=13,因为a>0,b>0,c>0,且b2<a2<c2,所以b<a<c.)6.5∶8(解析:可以设每个小正方形的边长为1,则正方形ABCD的面积就是4×4=16,斜放的小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边长,另外两条直角边长分别是1和3,根据勾股定理可以求出小正方形的面积是10.所以以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.)7.64 cm2(解析:设阴影部分的边长为x,则它的面积为x2=172-152=64(cm2).)8.7(解析:根据正方形的面积公式和勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积,由勾股定理可知A=16-9=7.故A的面积为7.)9.解:根据题意可以先画出符合题意的图形.如图所示,在ΔABC中,∠C=90°,AC=4000米,AB=5000米,欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道飞机在20秒的时间里飞行的路程,即图中的CB长,由于RtΔABC 的斜边AB=5000米=5千米,AC=4000米=4千米,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,即BC=3千米.飞机20秒飞行3千米,那么它1小时飞行×3=540(千米).答:飞机每小时飞行540千米.的距离为36002010.解:连接AC,在RtΔABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5.又因为2.22=4.84<5.所以AC>木板的宽,所以木板可以从门框内通过.11.解:在RtΔABD中,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=252-242=49,所以BD=7.在RtΔADC中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=302-242=324,所以CD=18.所以BC=BD+DC=7+18=25.12.2(解析:∵在RtΔABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,∵以点A为圆心,AC 长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC,∴AD=3,∴BD=AB-AD=5-3=2.)13.15(解析:解此题时要求出A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6等各线段的长,再利用勾股定理求解.)从本节课教案的思路设计看,始终贯彻以学生为主体,充分运用各种手段调动学生参与探索活动的积极性.课前的导入利用生活中的问题,唤起学生带着问题进入本节课的学习.在探求直角三角形三边平方关系时,遵循了发现问题、证实问题到推导问题的认识过程.在引导学生进行探索的过程中,对学生的指导过多,不敢放手让学生自己进行尝试.比如在利用教材第2页下面的两幅图的时候,要求学生选取与教材一致的数据.在这里应该放手让学生自己选取数据.在总结勾股定理的时候,可以让学生自己总结勾股定理的数学表达式.在利用教材给出的示例进行勾股定理结论探索的时候,一定要立足于“面积相等”这个探究的立足点,这样才能保证学生找准探索活动的方向.随堂练习(教材第3页)1.解:字母A代表的正方形的面积=225+400=625,字母B代表的正方形的面积=225-81=144.2.解:不同意他的想法,因为29 in的电视机是指屏幕长方形的对角线长为29 in,由屏幕的长为58 cm,宽为46 cm,可知屏幕的对角线长的平方=(46025.4)2+(58025.4)2,所以对角线长≈29 in.习题1.1(教材第4页)1.解:①x2=62+82=100,x=10.②y2=132-52=144,y=12.2.解:172-152=64,所以另一条直角边长为8 cm.面积为12×8×15=60(cm2).3.解:本题具有一定的开放性,现给出4种方案:如图所示,设①的面积为g,③的面积为e,④的面积为f,⑦的面积为a,⑨的面积为b,⑧的面积为d,⑩的面积为c,则(1)a+b+c+d=g,(2)a+b+f=g,(3)e+c+d=g,(4)e+f=g.4.解:过C点作CD⊥AB于D,因为CA=CB=5 cm,所以AD=BD=12AB=3cm.在RtΔADC中,CD2=AC2-AD2,所以CD=4 cm,所以SΔABC=12AB·CD=12×6×4=12(cm2).(2019·淮安中考)如左下图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为()A.5B.6C.7D.25〔解析〕本题考查勾股定理的知识,解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用,建立格点三角形.如图所示,利用勾股定理求解AB的长度即可.由图可知AC=4,BC=3,则由勾股定理得AB=5.故选A.如图所示,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为.〔解析〕∵∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,∴∠ACB=∠DEC.∵∠ABC=∠CDE,AC=CE,∴ΔABC≌ΔCDE,∴BC=DE.根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,∴b的面积=3+4=7.故填7.。
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《几何初步》的第一节内容。
本节内容通过探究直角三角形三边的关系，引入勾股定理，是学生学习几何的重要基础。
教材以我国古代数学家赵爽的弦图作为探究勾股定理的载体，让学生经历探究过程，感悟数学的证明过程，体会数形结合的数学思想。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够识别直角三角形，并了解其性质。
但对于证明勾股定理，他们可能还没有直观的感受。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，逐步理解并证明勾股定理。
三. 教学目标1.了解勾股定理的发现过程，感受数学家探索勾股定理的艰辛。
2.掌握勾股定理的内容，并能运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、推理能力，提升学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的证明过程。
2.难点：理解并证明勾股定理。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、数形结合法等教学方法，引导学生通过观察、操作、推理等过程，探索并证明勾股定理。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、视频等教学资源。
2.准备直角三角形模型、拼图等教具。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾平面几何的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
例如：什么是直角三角形？直角三角形有哪些性质？2.呈现（10分钟）展示勾股定理的背景知识，介绍赵爽的弦图，让学生了解勾股定理的来源。
同时，提出探究问题：如何证明勾股定理？3.操练（15分钟）让学生分组进行讨论，每组尝试用拼图或者模型来证明勾股定理。
教师巡回指导，引导学生发现证明勾股定理的关键。
4.巩固（10分钟）学生汇报各自的证明过程，教师点评并总结。
同时，让学生回答一些与勾股定理相关的问题，加深对勾股定理的理解。
5.拓展（10分钟）让学生运用勾股定理解决实际问题，例如：计算一个直角三角形的两条直角边长。
北师大版-数学-八年级上册-1.1《探索勾股定理(1)》教学设计
《探索勾股定理（1）》教学设计教学目标：1．用面积法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．3．发展和情推理能力，进一步体会数学与现实生活的紧密联教学重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。
教学难点：计算以斜边为边长的大正方形面积及割补思想的理解与应用。
教学过程：一、导入新课你能算出方格中的正方形面积吗？简要说明计算方法活动过程：设置问题情境，在预先准备好的方格纸上将图形剪一剪，拼一拼，采用用数格子（或割、补、拼等）的办法求四边形的面积。
活动成果：为下面探索勾股定理做铺垫。
【设计意图】：通过数格子（或割、补等）方法求解方格纸中的四边形的面积，为下面探索勾股定理埋下辅笔。
同时也增强学生求解不规则图形面积的能力。
二、探究新知活动一：观察下图正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积，正方形B的面积是个单位面积，正方形C的面积是个单位面积。
你能发现每组图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？活动过程：通过学生观察上图，采用数格子或割补法求出对应图形的面积，然后猜想正方形A、B、C面积之间的数量关系，然后再用另一组图形进行验证猜想。
活动成果：通过观察、计算，类比、猜想并验证，经历了勾股定理的面积证法。
【设计意图】：通过面积的计算，找到由等腰直角三角形三边为边画出的三个正方形面积之间的内在关系，经历了猜想、验证的过程，由特殊延伸到一般的历程。
活动二：观察下图正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积，正方形B的面积是个单位面积，正方形C的面积是个单位面积。
你能发现每组图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？活动过程：通过学生观察上图，此时采用数格子的办法得到三个正方形的面积已经不容易了，引导学生采用割补法求出对应图形的面积，然后先猜想正方形A、B、C面积之间的数量关系，然后再验证，并用另一组图形进行同样的过程。
北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》教案1
北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》教案1一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版数学八年级上册的一章内容。
本章通过探究直角三角形三边之间的关系，引导学生发现并证明勾股定理。
教材内容丰富，既有历史文化的传承，也有数学证明的严谨性，有助于提高学生的学习兴趣和探究能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了相似三角形、平方根等知识，为本章的学习奠定了基础。
但勾股定理的证明较为复杂，需要学生具有较强的逻辑思维能力和推理能力。
此外，学生对数学文化的认识还不够深入，需要教师在教学中加以引导。
三. 教学目标1.了解勾股定理的发现过程，感受数学文化的魅力。
2.掌握勾股定理的内容，并能运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的探究能力、合作能力和数学思维能力。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的证明及应用。
2.难点：理解并证明勾股定理，运用勾股定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究勾股定理。
2.运用历史背景法，让学生了解勾股定理的文化价值。
3.采用合作交流法，培养学生团队合作精神。
4.利用几何画板等软件，直观展示勾股定理的证明过程。
六. 教学准备1.教师准备PPT、几何画板等教学工具。
2.学生准备笔记本、尺子、圆规等学习用品。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示勾股定理的历史背景，引导学生了解勾股定理的文化价值。
2.呈现（10分钟）教师通过几何画板展示直角三角形，引导学生观察并猜想勾股定理。
3.操练（15分钟）学生分组讨论，每组尝试用尺子、圆规等工具验证勾股定理。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）学生代表汇报验证结果，其他学生补充意见。
教师总结勾股定理的证明过程。
5.拓展（10分钟）教师提出一系列与勾股定理相关的问题，引导学生运用勾股定理解决实际问题。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固勾股定理的知识。
7.家庭作业（5分钟）布置一道运用勾股定理解决问题的作业，巩固所学知识。
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》的第一节内容。
本节课的主要内容是通过实际问题引导学生探究直角三角形三边之间的关系，从而引入勾股定理。
教材通过丰富的情境和探究活动，让学生经历探究过程，感受数学的发现过程，培养学生的探究能力和创新精神。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够理解直角三角形的概念，但对于勾股定理的证明和应用可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，通过适当的引导和启发，帮助学生理解和掌握勾股定理。
三. 教学目标1.理解勾股定理的定义和证明过程。
2.能够运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的探究能力和创新精神。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的理解和应用。
2.难点：勾股定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实际问题和探究活动，引导学生发现勾股定理。
2.小组合作学习：学生在小组内进行讨论和交流，共同完成探究任务。
3.情境教学法：通过丰富的情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括图片、动画和视频等，帮助学生形象地理解勾股定理。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生探究勾股定理。
3.学生活动材料：为学生提供一些卡片，上面写有直角三角形的三边长度，用于学生进行小组探究。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如篮球架、自行车的三角形车把等，引导学生观察并思考直角三角形的特点。
然后提出问题：“直角三角形的三边之间有什么特殊的关系呢？”2.呈现（10分钟）呈现教材中的探究活动，让学生分组进行探究。
每组有一张卡片，上面写有直角三角形的三边长度。
学生通过测量、计算和讨论，发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3.操练（10分钟）学生分组进行探究，验证勾股定理。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
【教案】1.1探索勾股定理(1) 北师大版 八年级数学上册
探索勾股定理（1）教学目标：1.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.（重点）2.让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.（难点）教法与学法指导：这节课主要采用“自主探究--合作竞学”型教学模式.引导学生利用用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程，让学生经历知识形成的过程动并主动进行知识建构，同时培养了学生合作探究、分析问题及解决问题的能力. 教学中出问题让学生想，设计问题让学生做，方法与规律让学生归纳，营造小组竞学的氛围. 提升强化技能，注重课堂反馈. 课前准备：多媒体课件、导学案教学过程：一.感悟导入师：请教大家一个问题：宇宙中有没有外星人？生：有……生：没有……师：同学们是众说纷纭.这个问题一直困扰着我们地球人.请大家拿出导学案，阅读第一部分内容。
找一个同学读，其他同学看大屏幕.（生读的同时，师演示动画）生（读导学案）：一个神奇的图形世界的许多科学家都曾试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法.早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命.我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形（见右图），并发射到太空中去.师：这个图形究竟有何神奇之处？这里面又包含着什么玄机和奥妙呢？这就是我们今天要研究的课题——1.1 探索勾股定理.（板书）设计意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.二.探索定理师：我们还是从这个神奇的图形开始吧.请同学们完成导学案第二块内容.有不明白的地方可以讨论一下.探索内容：直角三角形的三边数量关系如图所示：图中每个小方格代表一个单位面积.A的面积（S A）B的面积（S A）C的面积（S A）图1-1图1-2图1-3图1-4问题2：你能发现四个图形中的正方形的面积S A、S B、S C有什么关系吗？问题3：若直角三角形三边长为a、b、c, 你能说出正方形A、B、C的面积和a、b、c 之间的关系吗？S A=_______, S B=_______, S C=_______.问题4：在以上问题的基础上，你能找出直角三角形三边a、b、c之间的数量关系吗？（生讨论并完成以上的导学案内容，师提问并评议学生答案.）设计意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.三.验证定理师：经过探索，我们找到了以上四个图形中直角三角形的三边满足a2+b2=c2，是不是所有的直角三角形都具有这种关系呢？生：是.师：肯定吗？生：肯定.（少数同学说不一定）师：刚才的直角三角形的直角边长都是整数，如果变成小数，还成立吗？生：成立.师：我还是有点不放心.我们用几何画板来验证一下吧.（师操作几何画板，通过拖动改变直角三角形边长，并利用几何画板的测量及计算功能，验证a2+b2=c2）设计意图：多媒体动态演示,由特殊到一般,使学生更直观、更深刻理解勾股定理. 四.得出定理师：任意改变三角形的各边长度，只要直角不变，都存在a2+b2=c2，这就是今天我们所要学习的定理，大家说，它叫什么名字？答：勾股定理.师：请同学们完成导学案第三部分内容.（生填空，师板书定理内容）定理内容1.内容：直角三角形_____________的平方和等于________的平方.2.表达式_____________________.（a ，b 为直角边，c 为斜边） 设计意图：进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.五.勾股史话师：勾股定理的实质是直角三角形三边的关系，那为什么不叫三边定理，或直角三角形定理，而是叫勾股定理呢？这还要从很久很久以前说起.请同学们看一段动画. （课件演示介绍勾股定理的动画片段，加深学生的理解.）师：现在知道为什么叫勾股定理了吧？勾股定理有着悠久的历史.下面我找四个同学，分别读一下讲学稿第四部分内容：勾股史话.生1：公元前1世纪的《周髀算经》中记载：公元前11世纪，周公与商高的对话中提出“勾三、股四、弦五”. 勾股定理的名称由此而来.勾股定理又称“商高定理”.生2：公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派也发现了勾股定理，命名为“毕达哥拉斯定理” （又称“百牛定理” ），而且给出了证明.师：毕达哥拉斯是在朋友家做客时通过观察地板上的正方形图案，悟出了直角三角形三边的关系，从而得到了勾股定理.为什么又称“百牛定理”呢？据说毕达哥拉斯发现了勾股定理后，欣喜若狂，杀了一百头牛，大摆宴席，以示庆贺，所以又称“百牛定理”.生3：中国最早给出定理证明的是公元3世纪三国时的吴国数学家赵爽.师：看屏幕，这就是赵爽证明勾股定理时所用到的勾股圆方图，2002年世界数学家大会的会标就使用了这个图案.生4：勾股定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明400多种，由鲁密斯搜集整理的《毕达 哥拉斯》一书中就给出370种不同证法.师：勾股定理真的可以成为数学之最了，它的历史最悠久，证法最多，名称最多，甚至是争议也最大，现在还有一些国家都争着说勾股定理是他们首先发现的.设计意图：了解勾股定理的历史,体会勾股定理的价值.六.应用定理师： 俗话说，学以致用.勾股定理有哪些用处呢？请同学们完成导学案第五部分.例:如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.请问：旗杆折断之前有多高?设计意图：及时巩固勾股定理,体会勾股定理在生活中的应用.b a c七.拓展延伸师：刚才同学们学的都不错。
北师大版八年级上册1.1探索勾股定理(第1课时)教案
1、经历探索勾股定理的过程，发展学生的合情推理意识，体会数形结合的思想。2、会初步利用勾股定理解决实际问题。
2、生的合情推理意识
2..难点：利用勾股定理解决实际问题
◎教学过程：
1、新课导入：（或“课堂回眸”）
1、2002年世界数学家大会在我国北京
召开，下图是本届数学家大会的会标 ， 会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.
2、自主学习：探索直角三角形三边的特殊关系：
（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；
直角三角形1
直角边a
直角边b
斜边c
三边关系满足关系
图形
A的面积
B的面积
C的面积
A、B、C面积的关系
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理：直角三角形等于；
几何语言表述：在RtΔABC中， C＝ 90°， 则：；
若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为：_______________________________
3
4
直角三角形2
直角边a
直角边b
斜边c
三边关系满足关系
5
13
（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?
（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。
猜想：______________________________________________________
3、合作探究：
观察课本P2图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？
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1.1、探索勾股定理（一）
教学目标
1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
重点、难点
重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点：勾股定理的发现。
教学过程
一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：
我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。
对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。
那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
出示投影1（章前的图文 P1 ）我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周期数学家）。
出示投影2。
（书中P2 图1一2）并回答：
1、观察图1一2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。
正方形B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位。
正方形C 中有个小方格，即C的面积为个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。
3、图l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？
在学生交流后形成共识老师板书。
A + B＝C ，接着提出图1一1中A、B、C的关系呢？
二、做一做
出示投影3（书中P3 图1一3，图1一4 )
提问：1、图1一3中，A 、B、C之间有什么关系？
2、图1 一4中，A 、B 、C 之间有什么关系？
3、从图1一l 、1一2 、1一3 、l一4中你发现了什么？
在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：
以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议
1、图1一1、1一
2、1一
3、1一4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？
2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：
直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
这就是著名的“勾股定理”。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。
那么
2
2
2c
b
a=
+
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来．
3、分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边为13）请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立。
）4，（想一想）：这里的29英寸（74厘米）的申视机，指的是屏幕的长吗？指的屏幕的宽吗？那它指的是什么呢？
四、巩固练习精选练习，掌握应用：
勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法，为此，可设计下列三组具有梯度性的练习：
练习1(填空题)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；
②若a=40，b=9，则c=________；
③若a=6，c=10，则b=_______；
④若c=25，b=15，则a=________。
练习2(填空题)
已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10。
①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；
②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。
练习3
已知等边三角形ABC 的边长是6cm 。
求：
(1)高AD 的长；
(2)△ABC 的面积ABC S 。
五、作业
1、 课本 P6 习题1.1 2 、3、4
六、教学反思：本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流。
适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容在加深加广。