选修2-3 1.1计数原理同步练习及答案(3)
高中数学人教A版选修2-3习题 第1章 计数原理1.1 第1课时 Word版含答案
选修第一章第课时一、选择题．从甲地到乙地一天有汽车班，火车班，轮船班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )．种．种．种．种[答案][解析]应用分类加法计数原理，不同走法数为＋＋＝(种)．故选．．(＋)(＋)(＋＋)完全展开后的项数为( )．．．．[答案][解析]每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为××＝.．定义集合与的运算*如下：*＝{(，)∈，∈}，若＝{，，}，＝{，，，}，则集合*的元素个数为( )．．．．[答案][解析]显然(，)、(，)等均为*中的元素，确定*中的元素是中取一个元素来确定，中取一个元素来确定，由分步乘法计数原理可知*中有×＝个元素．故选．．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点向结点传递信息，信息可以分开从不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )．．．．[答案] [解析]因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从向传递有四种方法：→→→→→→→→，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：＋＋＋＝，故选．．有四位老师在同一年级的个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( )．种．种．种．种[答案] [解析]设四个班级分别是、、、，它们的老师分别是、、、，并设监考的是，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有种不同的方法；同理当监考、时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有＋＋＝(种)不同的安排方法．另外，本题还可让先选，可从、、中选一个，即有种选法．若选的是，则从剩下的个班级中任选一个，也有种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有×××＝(种)不同的安排方法．．从、中选一个数字，从、、中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )．．．．[答案] [解析]()当从中选取时，组成的三位奇数的个位只能奇数，只要不排在个位即可，先排再排中选出的两个奇数，共有××＝(个)．()当从中选取时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，必须在十位，只要排好从中选出的两个奇数．共有×＝(个)．综上，由分类加法计数原理知共有＋＝(个)．二、填空题．已知直线方程＋＝，若从、、、、、这个数字中每次取两个不同的数作为、的值，则可表示不同的直线条[答案] [解析]当或中有一个为零时，则可表示出条不同的直线；当≠时，有种选法，有种选法，则可表示出×＝条不同的直线．由分类加法计数原理知，共可表示出＋＝条不同的直线．．直线方程＋＝，若从这个数字中每次取两个不同的数作为，的值，则可表示条不同的直线[答案] [解析]若或中有一个为零时，有条；当≠时有×＝条，故共有＋＝条不同的直线．．名乒乓球队员中，有名老队员和名新队员．现从中选出名队员排成、、号参加团体比赛，则入选的名队员中至少有一名老队员，且、号中至少有名新队员的排法有种．(用数字作答)[答案]。
北师大高中数学选修2-3精练：第一章计数原理1.1.1Word版含答案
第一章DIYIZHANG计数原理§1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第1课时1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5名同学只会用综合法证明,有3名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数为()A.8B.15C.18D.30解析:共有5+3=8种不同的选法.答案:A2.从A地到B地要经过C地和D地,从A地到C地有3条路,从C地到D地有2条路,从D地到B地有4条路,则从A地到B地不同的走法有()A.9种B.1种C.24种D.3种解析:由分步乘法计数原理知,从A地到B地不同走法有2×3×4=24(种).答案:C3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+b i,其中虚数有()A.30个B.42个C.36个D.35个解析:要完成这件事可分两步,第一步确定b(b≠0)有6种方法,第二步确定a有6种方法,故由分步乘法计数原理知共有6×6=36个虚数,故选C.答案:C4.某公共汽车上有10名乘客,沿途有5个车站,乘客下车的可能方式有()A.510种B.105种C.15种D.50种解析:每名乘客都有在5个车站中的任何一个车站下车的可能,由分步乘法计数原理得,下车的可能方式有5×5×5×5×5×5×5×5×5×5=510种.答案:A5.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有()A.8种B.9种C.10种D.11种解析:设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d,假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法,同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法,由分类加法计数原理得监考的方法共有3+3+3=9(种).答案:B6.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10解析:①当a=0时,2x+b=0总有实数根,所以(a,b)的取值有4个.②当a≠0时,需Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.a=-1时,b的取值有4个,a=1时,b的取值有3个,a=2时,b的取值有2个.所以(a,b)的取法有9个.综合①②知,(a,b)的取法有4+9=13个.答案:B7.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各4人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行半决赛,获胜者角逐冠亚军,败者角逐第3,4名,则大师赛共有场比赛.解析:每个小组赛有6场比赛,两个小组有6+6=12场比赛,半决赛和决赛共有2+2=4场比赛,根据分类加法计数原理,共有12+4=16场比赛.答案:168.导学号43944001一学习小组有4名男生,3名女生,任选一名学生当数学课代表,共有种不同选法;若选男、女生各一名当组长,共有种不同选法.解析:任选一名当数学课代表可分两类,一类是从男生中选,有4种选法;另一类是从女生中选,有3种选法.根据分类加法计数原理,共有4+3=7种不同选法.若选男、女生各一名当组长,需分两步:第1步,从男生中选一名,有4种选法;第2步,从女生中选一名,有3种选法.根据分步乘法计数原理,共有4×3=12种不同选法.答案:7129.导学号43944002有一项活动,需从3位老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.(1)若只需1人参加,有多少种不同的选法?(2)若需老师、男同学、女同学各1人参加,有多少种不同的选法?(3)若需1位老师、1名同学参加,有多少种不同的选法?解(1)选1人,可分三类:第一类从老师中选1人,有3种不同的选法;第二类从男同学中选1人,有8种不同的选法;第三类从女同学中选1人,有5种不同的选法,共有3+8+5=16种不同的选法.(2)选老师、男同学、女同学各1人,则分3步进行,第一步选1位老师,有3种不同的选法;第二步选1位男同学,有8种不同的选法;第三步选1位女同学,有5种不同的选法,共有3×8×5=120种不同的选法.(3)选1位老师、1名同学,可分两步进行,第一步选1位老师,有3种不同的选法,第二步选1位同学,有8+5=13种不同的选法,共有3×13=39种不同的选法.10.已知集合A={a1,a2,a3,a4},集合B={b1,b2},其中a i,b j(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数.(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射?(2)能构成多少个以集合A为定义域,集合B为值域的不同函数?解(1)因为集合A中的元素a i(i=1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种,由分步乘法计数原理,可构成A→B的映射有N=24=16个.(2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4均对应同一元素b1或b2的情形.此时构不成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数,这样的映射有2个.所以构成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数有M=16-2=14个.。
2018-2019学年人教B版数学选修2-3同步练习：第一章 计数原理 1.1 Word版含解析
姓名，年级：时间：第一章计数原理1.1基本计数原理［来源:学｜科｜网Z|X｜X|K]1.设集合A中有5个元素,集合B中有2个元素,建立A→B的映射，共可建立（）A。
10个B。
20个C.25个D.32个解析：根据映射的定义知,集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应。
A中每个元素的像均有2种选择,由分步乘法计数原理知,共可建立25个映射.答案：D2.某市汽车牌照号码（由4个数字和1个字母组成）可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C，D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择（数字可以重复).某车主第一个号码（从左到右)只想在数字3，5，6,8，9中选择,其他号码只想在1,3，6,9中选择,则他的车牌号码所有可能的情况有（）A。
180种B。
360种C。
720种D.960种解析：分五步完成，第i步取第i个号码(i=1，2，3，4,5)。
由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4=960种。
答案:D3。
［来源:学科网ZXXK］如图所示，用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( ) A。
288种B。
264种C。
240种D。
168种解析:先涂A，D，E三个点,共有4×3×2=24种涂法，然后按B,C,F的顺序涂色,分为两类：一类是B与E或D同色,共有2×(2×1+1×2)=8种涂法；另一类是B与E和D均不同色,共有1×(1×1+1×2）=3种涂法。
故涂色方法共有24×(8+3)=264种。
答案：B4.如果x，y∈N+，且1≤x≤3，x+y〈7,则满足条件的有序数对(x，y)的个数是（）A。
15B。
12C.5D.4解析:当x=1时，y=1,2,3,4,5，有5种，当x=2时,y=1,2，3,4,有4种;当x=3时，y=1，2，3，有3种。
数学人教B版选修2-3课后导练1.1基本计数原理含解析
课后导练基础知识1。
将三封信投到4个邮筒，最多的投法有几种（）A.4B.3 C。
43 D。
34解析:分三步：（1)第一封信可投入4个中任一个4种情况；（2）第二封信可投入4个中任一个4种情况；（3）第三封信可投入4个中任一个4种情况。
根据分步计数原理:N=4×4×4=43。
答案：C2.已知集合A={1,2，3｝,集合B=｛4,5，6｝，映射f：A→B，且满足1的象是4，则这样的映射有（）A.2个B.4个C。
8个D。
9个解析:因为1→4，则由映射定义知2和3各有3种对应方式.由分步乘法计数原理得N=3×3=9.答案：D3。
某商业大厦有东、南、西三个大门，楼内东西两侧各有两个楼梯，由楼外到二层楼上的走法种数是…（）A.5 B。
7 C。
10 D。
12解析：分三步：第一步进大门,三种情况；第二步上一楼,两种情况；第三步上二楼，两种情况;∴N=3×2×2=12.答案:D4。
已知集合A={0,2,5，7，9｝，从集合A中取两个元素相乘组成集合B，则集合B的子集个数为（）A.7 B。
16 C.127 D.128答案:分两类:（1)取0时，1种；（2）不取0时，6种；∴B中含有7个元素；子集为27=128个，选D.答案：D5.从1、2、3、4、7、9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数,则所有不同的对数的值的个数是______________个.解析：分两类：（1)当取1时,1只能为真数，此时y=0.（2）不取1时,分两步:①取底数,5种；②取真数，4种.其中log23=log49 log32=log94log24=log39 log42=log93∴N=1+5×4-4=17.答案：176.将(a1+b1+c1+d1)(a2+b2+c2+d2）展开后不同的项有______________项。
解析:展开后每一项均由两个元素组成，分别来自两个括号,由分步乘法计数原理得N=4×4=16。
(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(答案解析)(3)
一、选择题1．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知离散型随机变量X 的分布列为则D (X )的最大值是（ ） A ．29B ．59C ．89D ．2093．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<4．已知随机变量X 服从正态分布()100,4N ，若()1040.1359P m X <<=，则m 等于 （ ）[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=] A ．100B ．101C ．102D ．D ．1035．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 发生次数ξ的期望和方差分别为 （ ） A ．94和916 B ．34和316C ．916和364D ．94和9646．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p ，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p =（ ）A ． 0.4B ．0.6C ．0.1D ．0.27．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )A ．0.72B ．0.8C ．89D ．0.98．抛掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的概率( ) A ．38B ．12C ．516D ．7169．当σ取三个不同值123,,σσσ时，正态曲线()20,N σ的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．123σσσ<<B ．132σσσ<<C ．213σσσ<<D ．321σσσ<<10．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ）． A ．80243B ．100243C ．80729D ．10072911．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P X ≤=，则(02)P X ≤≤=（ ） A ．0.64B ．0.16C ．0.32D ．0.3412．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则()P B A =∣ （ ）A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则()E ξ=______ ．14．数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为________.15．在一个袋中放入四种不同颜色的球，每种颜色的球各两个，这些球除颜色外完全相同．现玩一种游戏：游戏参与者从袋中一次性随机抽取4个球，若抽出的4个球恰含两种颜色，获得2元奖金；若抽出的4个球恰含四种颜色，获得1元奖金；其他情况游戏参与者交费1元．设某人参加一次这种游戏所获得奖金为X ，则()E X =________． 16．小王做某个试验，成功的概率为23，失败的概率为13，成功一次得2分，失败一次得-1分，求100次独立重复试验的总得分的期望______.17．随机变量ξ服从正态分布()240,N σ，若()300.2P ξ<=，则()3050P ξ<<=______．18．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球,记抽取到红球的个数为X,则随机变量X 的均值EX=_____. 19．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p,q,他们各投2次,若p=12,且甲比乙投中次数多的概率为736,则q 的值为____. 20．已知某次数学考试中，学生的成绩X 服从正态分布，即()~N 85,225X ，则这次考试中，学生成绩落在区间[]100,130之内的概率为____________.（注：()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=）三、解答题21．某知名电脑品牌为了解客户对其旗下的三种型号电脑的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：满意度是指，回访客户中，满意人数与总人数的比值.用满意度来估计每种型号电脑客户对该型号电脑满意的概率，且假设客户是否满意相互独立.（1）从型号Ⅰ和型号Ⅱ电脑的所有客户中各随机抽取1人，记其中满意的人数为X ，求X 的分布列和期望；（2）用“11ξ=”，“21ξ=”，“31ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户满意，“10ξ=”，“20ξ=”，“30ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户不满意，比较三个方差()1D ξ、()2D ξ、()3D ξ的大小关系.22．某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m，n，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m，n的概率分布和数学期望.23．某单位选派甲､乙､丙三人组队参加知识竞赛，甲､乙､丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲､丙两人都答错的概率是112，乙､丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．（1）求该单位代表队答对此题的概率；（2）此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．24．某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？25．数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学.在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具.（1）为调查大学生喜欢数学命题是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当被调查者问卷评分不低于80分则认为其喜欢数学命题，当评分低于80分则认为其不喜欢数学命题，问卷评分的茎叶图如下：依据上述数据制成如下列联表：请问是否有90%的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关？参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 20()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.828A (01)p p <<，各轮命题相互独立，若该同学在3轮命题中恰有2次成功的概率为49，记该同学在3轮命题中的成功次数为X ，求()E X .26．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12．假设各级考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；（2）在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==. 故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.2．C解析：C 【分析】根据分布列中概率和为1可得a 的范围和b 的值，再求出,EX DX 的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题. 【详解】12133b a a b +-+=⇒=，又110033a a -≥⇒≤≤， 1242()3333EX b a a a b a =+⨯-+⨯=++=+，2221(1)(2)()(3)3DX EX b EX a EX a =-⋅+-⋅-+-⋅2221215()()()()3333a b a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅22212215()()()()33333a a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅27239a a =-++，对称轴为7163a =>，∴max 1728()9999DX =-++=， 故选：C. 【点睛】本题考查标准差的最值求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.3．D解析：D 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解.【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以,1E p D p p ==- 随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则1121E p p p p p p η=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.4．C解析：C 【分析】 由()()0.1322259P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=，再根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意，知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=，则()()220.95440.682620.13592P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+-==，所以要使得()1040.1359P m X <<=，则102m =，故选C. 【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，以及概率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．A解析：A 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，求得34p =，再根据二项分布的期望与方差的公式，即可求解. 【详解】由题意，设事件A 在每次试验中发生的概率为P ， 因为事件A 至少发生一次的概率为6364，即333631(1)64C p --=，解得34p =， 则事件A 发生的次数ξ服从二项分布3(3,)4B ξ~， 所以事件A 发生的次数ξ的期望为39()344E ξ=⨯=，方差为339()3(1)4416D ξ=⨯⨯-=，故选A. 【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的计算，以及二项分布的期望与方差的计算，其中解答中熟记独立重复试验的概率的计算公式，以及二项分布的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】根据合格的情况列方程：()()2110.784p p p p p +-+-=，解方程求出结果． 【详解】由题意可得：()()2110.784p p p p p +-+-= 整理可得：()()22212330.784p p p p p pp -+-+=-+=解得：0.4p = 本题正确选项：A【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．A解析：A 【分析】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =，出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，根据条件概率公式计算即可，【详解】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =， 出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，∴这粒种子能成长为幼苗的概率()()()|0.90.80.72P P AB P A P B A ===⨯=. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．8．C解析：C 【分析】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，由此能求出出现正面的次数多于反面的次数的概率． 【详解】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，∴出现正面的次数多于反面的次数的概率：4433441115()()22216p C C =+⋅=． 故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．9．A解析：A 【解析】分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，σ越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定123,,σσσ的大小.详解：由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以1230σσσ<<<.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．11．D解析：D 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，得对称轴是2x =，(4)0.84P ξ=≤， ∴(4)(0)0.16P P ξξ≥=<=，∴(02)0.50.160.34P ξ≤≤=-=，故选D ．12．B解析：B 【详解】由题意，P （A ）=222310C C +=410，P （AB ）=2310C =310， ∴P （B|A ）=()AB A)P P （=34， 故选B ．二、填空题13．【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率可知然后利用二项分布的期望公式可计算出的值【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为由题意可知由二项分布的期望公式得故答案为：【点睛】本题考查二项分5【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率p ，可知()3,B p ξ，然后利用二项分布的期望公式可计算出()E ξ的值. 【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为242625C p C ==，由题意可知，23,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的期望公式得()26355E ξ=⨯=.故答案为：65. 【点睛】本题考查二项分布期望的计算，解题时要弄清随机变量满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左3次向右根据独立事件的概率公式求解【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置说明4次中有1次向左3次向右并且每次向左或向右的概率都是所以移动4次解析：14【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左，3次向右，根据独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置，说明4次中有1次向左，3次向右，并且每次向左或向右的概率都是12，所以移动4次后，该质点的坐标为2的概率314111224p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14【点睛】本题考查独立事件概率的实际应用问题，属于基础题型，本题的关键是抽象出质点运动方向，以及概率类型.15．【分析】首先根据题意判断出的可取值有并利用概率公式求得对应的概率最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果【详解】由已知1又所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题涉及到的7【分析】首先根据题意，判断出X 的可取值有2,1,1-，并利用概率公式求得对应的概率，最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果. 【详解】由已知2X =，1，1-， 又()22242486(2)70C C P X C ===，()441424816(1)70C C P X C ===，()22114224848(1)70C C C P X C =-==，所以12164827070707EX =+-=-， 故答案为：27-. 【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，离散型随机变量的期望公式，属于简单题目.16．100【分析】计算得到答案【详解】设一次实验得分为根据题意：故100次独立重复试验的总得分的期望为故答案为：【点睛】本题考查了数学期望意在考查学生的计算能力和应用能力解析：100 【分析】 计算()2121133E X =⨯-⨯=，得到答案. 【详解】设一次实验得分为X ，根据题意：()2121133E X =⨯-⨯=， 故100次独立重复试验的总得分的期望为()100100E X =. 故答案为：100. 【点睛】本题考查了数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.17．6【解析】【分析】根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是且依据正态分布对称性即可求得答案【详解】解：根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是利用正态分布的对称性可得所以故答案为06【点睛】解析：6 【解析】 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=，且()300.2P ξ<=，依据正态分布对称性，即可求得答案． 【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=， 利用正态分布的对称性可得()()50300.2P P ξξ>=<=， 所以()()()30501503010.40.6P P P ξξξ⎡⎤<<=->+<=-=⎣⎦ 故答案为0.6 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．【分析】结合题意分别计算对应的概率计算期望即可【详解】列表：X 0 1 2 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法结合题意即可属于中等难度的题解析：56【分析】结合题意，分别计算0,1,2x =对应的概率，计算期望，即可． 【详解】()112511665018C C P x C C ===，()111452116611118C C C P x C C +===，()11411166129C C P x C C === 列表：所以012181896EX =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，结合题意，即可，属于中等难度的题．19．【分析】由题意根据甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次乙投中0次;甲投中2次乙投中1次或0次再由概率的加法公式即可列出方程求解答案【详解】甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次乙投中0次;甲投解析：23【分析】由题意，根据甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次，再由概率的加法公式，即可列出方程，求解答案. 【详解】甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次.由题意得p(1-p)·(1-q)2+p 2[(1-q)2+q(1-q)]=,解得q=或q=(舍). 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率的计算，其中认真审题，根据甲比乙投中次数多的可能情形:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次，再根据概率的加法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.20．【解析】【分析】已知X~N （σ2）则正态曲线关于x=85对称根据与所求区间的关系和已知概率求解【详解】：∵学生的成绩服从正态分布X~N （85225）即=85=15∴P(70<X<100)=06826 解析：0.1574【解析】 【分析】已知X~N （μ ，σ2），则正态曲线关于x=85对称.根据[,μσμσ-+],[2,2μσμσ-+][3,3μσμσ-+] 与所求区间的关系，和已知概率求解. 【详解】：∵学生的成绩X 服从正态分布X~N （85，225） 即μ=85，σ=15∴P(70<X<100)=0.6826 ,P(40<X<130)=0.9974 ∴P(100<X<130)=()10.99740.68260.15742-= 【点睛】在实际问题中进行正态分布条件下的概率计算时，关键是确定正态分布的两个重要参数μ和σ，以及三个范围[,μσμσ-+],[2,2μσμσ-+][3,3μσμσ-+]与所求区间的关系，结合已知概率，进行求解。
数学选修2-3第一章计数原理习题集（附答案解析）
第 1 页 共15 页 选修2-3 第一章章节习题集1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、课时过关·能力提升1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( ) A.12B.28C.32D.640解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32. 答案:C2.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A .60B .48C .36D .24解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B . 答案:B3.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为( )A.8B.15C.35D.53 解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有35种不同的发送方法. 答案:C4.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A ,B 的值,则可表示出的不同直线的条数为( ) A.19B.20C.21D.22解析:当A 或B 中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB ≠0时,A 有5种选法,B 有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 答案:D5.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( ) A.60种B.40种C.20种D.10种解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10 种情况,假设A,B 两人拿到自己的外衣,则C,D,E 三人不能拿到自己的外衣,则只有C 取D,D 取E,E 取C,或C 取E,D 取C,E 取D 两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×10×2=202=20种情况. 答案:C6.将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案( ) A .81种B .12种C .7种D .256种解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81种. 答案:A7.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、人分别从事翻译、导游、导游、导游、导购、导购、导购、保洁四项不同的工作保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A .280种 B .240种 C .180种D .96种解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B 答案:B8.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( ) A .360B .240C .120D .60解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数. 答案:C9.圆周上有2n 个等分点(n 大于2),任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 .解析:先在圆周上找一点,因为有2n 个等分点,所以应有n 条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n 个,所以一共有2n (n-1)个符合题意的直角三角形. 答案:2n (n-1)10.如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 .解析:由题图可知,从A 到B 有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 答案:1911.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传给甲,则共有种不同的传递方法.解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有3种不同的传法.共有6种不同的传递方法. 答案:612.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A 爬到相对顶点C 1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法:分别经过AB,AD,AA1从局部上看每一类又需分两步完成,故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.13.用n种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.当n=6时,该板报有多少种书写方案?解:第一步选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;第二步选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角用的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩色粉笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法.共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.14.用0,1,0,1,……,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.解:由于0不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有9种选择,十位和个位各有10种选法由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.(4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择,个位数字也有9种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=91.1.2 排列与组合1.2.1 排列一、课时过关·能力提升1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是( )A.①②③④B.②④C.②③D.①④解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如,∴②是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线=1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线.故③不是排列问题,④是排列问题.答案:B2.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有( )A.66种B.36种C.种D.12种解析:本题相当于对6个元素进行全排列,故有种排法.答案:C3.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)2)……(m+20)可表示为 ( )A. B. C. D.解析:由排列数公式,=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m.答案:D4.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有( )A.12种B.16种C.24种D.32种解析:将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有=24种坐法.答案:C5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120解析:个位数字有种排法,十位、百位、千位有种排法,从而共=48个不同的四位偶数答案:C6.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是( )A. B. C. D.解析:第一步先排5个独唱节目共种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选3个插空共有种,故一共有种.答案:C7.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有( )A.48种B.192种C.240种D.288种解析:(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有种排法,而女生可互换位置,所以共有种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为=192.答案:B8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( )A.120个B.80个C.40个D.20个解析:由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以一共有=40个.答案:C9.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有 .解析:分三步完成:第1步,将两位爸爸排在两端,有种排法;第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有种排法;第3步,两个小孩之间还有种排法.因此,这6人的入园排法共有=24种.答案:24种10.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.那么甲不在(1)班,乙不在(2)班的分配方法有 .解析:先分甲,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有种分法,再分乙有种分法,分配丙、丁有种分法.因此,总共有=14种分法.答案:14种11.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?(1)偶数不相邻;(2)偶数一定在奇数位上;(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.解:(1)用插空法,共有=1 440个.(2)先把偶数排在奇数位上有种排法,再排奇数有种排法共有=576个.(3)1和2排列有种方法,在1和2之间放一个奇数有种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有种排法,故共有=720个.12.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?解:∵原有n个车站,∴原有客运车票种.又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票种.由题设知:=62,∴(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,∴2mn+m2-m=62,∴n=(m-1)>0,∴(m-1),∴62>m(m-1),即m2-m-62<0.又∵m>1,∴1<m<,∴1<m≤8.当m=2时,n=15.当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.∴n=15,m=2.∴原有车站15个,现有车站17个.1.2.2 组合一、课时过关·能力提升1.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为=45.答案:A2.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 ( )A.210B.126C.70D.35解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种,故不同的改变方法有2×35=70种.答案:C3.有15盏灯,要求关掉6盏,且相邻的灯不能全关掉,两端的灯不能关掉,则不同的关灯方法有( )A.28种B.84种C.180种D.360种解析:将9盏灯排成一排,关掉的6盏灯插入9盏亮灯的中间8个空隙中的6个空隙中,有=28种方法.答案:A4.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.答案:A5.中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为( )A. B.C. D.解析:首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为.答案:D6.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为 ( )A.9B.10C.12D.14解析:y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成2条曲线,有组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成3条曲线,有组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成2条曲线,有组.故共有=14组相互平行的切线.答案:D7.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是 ( )A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类,一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24种放法,另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 .(用数字作答)解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.答案:140种9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 .(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有90+234=324个.答案:324个10.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种的菜.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备 种不同的素菜(结果用数值表示)解析:在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是=10.若选择方式至少为200种,设素菜为x种, 则有≥200,即≥20,化简得x(x-1)≥40,解得x≥7.所以,至少应准备7种素菜.答案:711.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,不同的取法种数为 .解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.答案:5612.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息 由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.13.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=1911.3 二项式定理1.3.1 二项式定理一、课时过关·能力提升1.的展开式中倒数第3项的系数是( )A.·2B.·26C.·25D.·22解析:的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=·(2x)2··22·x-8.该项的系数为·22.答案:D2.的展开式中的常数项为-220,则a的值为 ( )A.1B.-1C.2D.-2解析:T k+1=·a k.∵T k+1为常数项,∴-k=0,∴k=3.∴·a3=-220,∴a=-1.答案:B3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( )A.3B.6C.9D.21解析:由已知x3=[2+(x-2)]3=·23+·22·(x-2)+·2·2·((x-2)2+(x-2)3.所以a2=·2=6.答案:B4.的展开式中含x3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5解析:T k+1=·x 5-k=(-1)k·x5-2k,令5-2k=3,则k=1故x3项的二项式系数为=5答案:D5.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于 ( )A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理,得(1+)5=1+·()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4=41+29,即a=41,b=29,故a+b=70.答案:C6.(1-)6(1+)4的展开式中x的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4解析:方法一:(1-)6的展开式的通项为(-)m,(1+)4的展开式的通项为)n,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数等于·(-1)0··(-1)1··(-1)2·=-3.方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x).于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数为·1+·(-1)1·1=-3.答案:B7.若x>0,设的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为 .解析:由T3=x,T4=,则M+N=≥2.当且仅当,即x=时,等号成立答案:8.二项式的展开式中,常数项的值为 .答案:0,1,2,……,n)的部分图象如图,则a= .9.已知(ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a2x2+a1x+a0(x∈N*),点A i(i,a i)(i=0,1,2,解析:由展开式得T k+1=(ax)n-k=a n-k·x n-k,由题图可知a1=3,a2=4,即a=3,且a2=4,化简得na=3,且=4,解得a=.答案:10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明:32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(·8n+1+·8n+…+·8+1)-24n+37=3×64(·8n-1 +·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(·8n-1+·8n-2+…+)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除11.(1)求(1+x)2(1-x)5的展开式中x3的系数;(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.解:(1)(1+x)2的通项为T r+1=·x r,(1-x)5的通项为T k+1=(-1)k·x k,其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x3的系数为-=5.(2)展开式的通项为T k+1=(x)n-k·=·2k·(k=0,1,2,…,n),由题意,得20+2+22=129所以1+2n+2n(n-1)=129,则n2=64,即n=8.故T k+1=·2k·(k=0,1,2,…,8),若展开式存在常数项,则=0,解之,得k=∉Z,所以展开式中没有常数项若展开式中存在一次项,则=1,即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T7=26x=1 792x.1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、课时过关·能力提升1.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中含的项是( )A. B.C. D.解析:由的展开式中各项系数之和为128可得2n =128,n=7.其通项T k+1=(3x )7-k =(-1)k ·37-k,令7-=-3,解得k=6,此时T 7=.答案:C 2.的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是( )A.第8项B.第9项C.第8项、第9项D.第11项、第12项 解析:展开式中的第8项为)n-7为常数,即=0,解得n=21.故展开式中系数最大的项为第11项、第12项.答案:D 3.若(x+3y )n展开式的系数和等于(7a+b )10展开式中的二项式系数之和,则n 的值为( ) A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n =210,解得n=5.答案:A4.已知+2+22+…+2n =729,则的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n =3n=729,解得n=6.则=32.答案:B5.(1+x )n(3-x )的展开式中各项系数的和为1 024,则n 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析:由题意知(1+1)n (3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9. 答案:B6.若(1-2x )2 015=a 0+a 1x+…+a 2 015x2 015(x ∈R ),则+…+的值为( ) A.2 B.0C.-1D.-2 解析:令x=0,则a 0=1,令x=,则a 0++…+=0,故+…+=-1.答案:C7.(x+1)9按x 的升幂排列二项式系数最大的项是( ) A .第4项和第5项 B .第5项 C .第5项和第6项 D .第6项解析:展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大. 答案:C8.在(a-b )10的二项展开式中,系数最小的项是 .解析:在(a-b )10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T 6=a 5(-b )5=-252a 5b 5.答案:-252a 5b 59.设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= . 解析:∵(x-1)21的展开式的通项为T k+1=x 21-k (-1)k ,∴a 10+a 11=(-1)11+(-1)10=-=-=0.答案:0 10.若(2x+)4=a 0+a 1x+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为 .解析:令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+)4,令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(-2+)4,(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)·)·((a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)=(2+)4(-2+)4=1. 答案:111.若(2x-3y )10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y 2+…+a 10y 10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解:(1)各项系数之和即为a 0+a 1+a 2+…+a 10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a 0+a 2+a 4+…+a 10,偶数项系数的和为a 1+a 3+a 5+…+a 9. 由(1)知a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,①令x=1,y=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,②①+②得,2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510,则奇数项系数的和为;①-②得,2(a 1+a 3+…+a 9))=11-5510,则偶数项系数的和为12.已知(+3x 2)n 展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.解:令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n =4n展开式二项式系数和为+…+=2n ,由题意有4n -2n=992.即(2n )2-2n -992=0,(2n -32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T 3=)3·(3x 2)2=90x 6, T 4=)2(3x 2)3=270.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由T k+1=)5-k ·(3x 2)k =3k,得⇒⇒≤k≤.因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=34=405.13.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般的有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.解:(1)=1 140(2)+…+,证明如下:左边=+…++…+=…==右边.。
人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案
⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。
专题02 计数原理(同步练习)(人教A版选修2-3)(解析版)
专题02 计数原理（同步练习）一、计数原理例1-1．要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？【解析】从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法， 第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法， 根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是623=⨯=M 。
例1-1．给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母G A ~或Z U ~，后两个要求用数字9~1。
问最多可以给多少个程序命名？【解析】先计算首字符的选法。
由分类加法计数原理，首字符共有1367=+种选法，再计算可能的不同程序名称。
由分步乘法计数原理，最多可以有10539913=⨯⨯个不同的名称， 即最多可以给1053个程序命名。
例1-3．核糖核酸(RNA )分子是在生物细胞中发现的化学成分一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据。
总共有4种不同的碱基，分别用A 、C 、G 、U 表示。
在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。
假设有一类RNA 分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？【解析】100个碱基组成的长链共有100个位置，从左到右依次在每一个位置中，从A 、C 、G 、U 中任选一个填入， 每个位置有4种填充方法，根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同RNA 分子数目有1004个。
例1-4．电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。
因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制。
为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成。
(易错题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(答案解析)
一、选择题1．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．49B ．427C ．1927D ．481252．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23各局比赛结果相互独立．则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为（ ） A ．1781B ．5681C ．6481D ．25813．已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=（ ） A ．4B ．6C ．8D ．114．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ）A ．至少有1个深度贫困村B ．有1个或2个深度贫困村C ．有2个或3个深度贫困村D ．恰有2个深度贫困村5．已知19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()E X 、()D X 的值依次为（ ）. A ．3，2B ．2，3C ．6，2D ．2，66．已知离散型随机变量X 的分布列如图：则均值E (X )与方差D (X )分别为( )A ．1.4,0.2B ．0.44,1.4C ．1.4,0.44D ．0.44,0.27．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( ) A ．0.72B ．0.8C ．89D ．0.98．某班学生的考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是( ) A ．15B ．310C ．12D ．359．某学校高三模拟考试中数学成绩X 服从正态分布()75,121N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人．参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=） A ．261B ．341C ．477D ．68310．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量Y aX b =+(,,0)a b R a ∈>，且()10,()4E Y D Y ==，则a 与b 的值为( ) A ．10,3a b == B ．3,10a b == C ．5,6a b == D ．6,5a b == 11．已知随机变量X 的方差()D X m =，设32Y X =+，则()D Y =（ ） A ．9mB ．3mC ．mD ．32m +12．已知随机变量X 的分布列为则E(6X ＋8)＝( ) A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.2二、填空题13．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，210）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.14．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有6个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这6位乘客在第20层下电梯的人数，则(4)P X ==________.16．随机变量()2,XN μσ，()()222x f x μσ--=满足：（1）x R ∀∈，()()f x f x ''-=-； （2）()f σ'-=， 则()12P X <≤=________.附：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.17．若随机变量2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3D X =_______． 18．已知随机变量服从正态分布()22,N σ，若(0)0.16P X ≤=，则(24)P X <≤=________.19．在一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数字0,两个面上标以数字1,一个面上标以数字2,将这个小正方体抛掷2次,则向上一面上的数字之积的均值是____.20．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队.经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10%的概率为0.2，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1. 为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍.根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万.三、解答题21．为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.（1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率；（2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.22．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12. （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望.23．某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“33+”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S ，从学生群体S 中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：(I)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；(II)从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望；(III)将频率视为概率，现从学生群体S 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y ，求事件“2y ≥”的概率.24．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求()P B 和()|P B A ． 25．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ.（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)u u σσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)u u σσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.9510.12 9.969.9610.01 9.929.9810.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，()16162221111160.2121616i i i i s x x x x ==⎛⎫=-=-≈ ⎪⎝⎭∑∑，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()–330.9974P Z μσμσ<<+=，160.99740.9592≈0.09≈.26．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为12，复审能通过的概率为310，各专家评审的结果相互独立.（1）求某应聘人员被录用的概率；（2）若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为13、23，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数{0,1,2,3}X =，即X 服从二项分布，则有3321()()()33n n n P X n C -==即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.【详解】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则： 芯片领域被选的概率为：51153=；不被选的概率为：12133-=；而选择芯片领域的人数{0,1,2,3}X =，∴X 服从二项分布1~3(,3)X B ，3321()()()33nnn P X n C -==，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为123214(1)()()339P X C ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.2．A解析：A 【分析】甲在4局内（含4局）赢得比赛包含3种情况：①甲胜第1、2局；②乙胜第1局，甲胜2、3局；③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，由此可求得甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率. 【详解】由题意，甲在4局内（含4局）赢得比赛包含3种情况：①甲胜第1、2局，概率为211()3p =；②乙胜第1局，甲胜2、3局，概率为2221()33p =⨯； ③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，概率为23121()333p =⨯⨯， 所以甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为22212112117()()()33333381p =+⨯+⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了概率的求法，以及相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式的应用，着重考查分类讨论思想，以及计算能力.3．C解析：C 【分析】由已知条件求得()2D ξ=，再由2(23)2()D D ξξ+=⨯，即可求解. 【详解】由题意，随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，可得()2D ξ=， 所以2(23)2()8D D ξξ+=⨯=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中解答中熟记方差的求法是解答的关键，着重考查了计算能力.4．B解析：B 【分析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，则X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==，分别求得概率，再验证选项. 【详解】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==， 所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B 【点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题.5．A解析：A 【分析】直接利用二项分布公式计算得到答案. 【详解】19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()=⨯=1933E X ，()1191233D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查了二项分布，意在考查学生对于二项分布的理解.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，求得，再利用随机变量的均值和方差的公式，即可求解，得到答案． 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质可得，解得， 所以随机变量的均值为，方差为，故选C ． 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及均值与方程的计算，其中解答中根据离散型随机变量的分布列的性质，求得的值，再利用均值和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．A解析：A 【分析】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =，出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，根据条件概率公式计算即可，【详解】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =， 出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，∴这粒种子能成长为幼苗的概率()()()|0.90.80.72P P AB P A P B A ===⨯=. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．8．A解析：A 【分析】由题意设这个班有100人，则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人，则数学不及格的人里头有3人语文不及格，由此能求出已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率． 【详解】由题意设这个班有100人，则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人， 则数学不及格的人里头有3人语文不及格，∴已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为31155p ==，故选A ． 【点睛】本题主要考查概率的求法，设这个班有100人可使得该问题更加直观明了，属于基础题.9．B解析：B 【解析】分析：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是0.6826，根据概率求出位于6486（，）这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果． 详解：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是(75117511)0.682?6P X －＋＝<<，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为110000.682?63412⨯⨯≈人. 故选B .点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关75X =于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．10．C解析：C 【解析】 分析:详解：由随机变量X 的分布列可知，m 10.20.8=-=， ∴()00.210.80.8E X =⨯+⨯=，()10.20.80.16D X =⨯⨯=，∴()()()()2b 10?4E Y aE X D Y a D X =+===， ∴20.8a b 10? 0.164a +==， ∴5,6a b == 故选C点睛：本题考查了随机变量的数学期望及其方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】∵()D X m =，∴2()(32)3()D Y D X D X =+=9()D X =9m =，故选A ．12．B解析：B 【解析】由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X ＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.选B.二、填空题13．375【分析】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概率为从而求出部件正常工作超过10000小时的概率再根据二项分布求出平均值【详解】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概解析：375 【分析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，从而求出部件正常工作超过10000小时的概率，再根据二项分布求出平均值. 【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12， 则部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375. 【点睛】本题考查正态分布和相互独立事件及二项分布，考查逻辑推理能力、运算求解能力.14．【分析】设事件表示该选手能正确回答第轮的问题选手被淘汰考虑对立事件代入的值可得结果；【详解】记该选手能正确回答第轮的问题为事件则该选手被淘汰的概率：故答案为：【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：( 解析：101125【分析】设事件(1,2,3)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入123(),(),()P A P A P A 的值，可得结果； 【详解】记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件(1,2,3)i A i =，则()()()123432,,555P A P A P A ===. 该选手被淘汰的概率：112123112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A A P A A A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯= 故答案为：101125【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由()1()P A P A =－求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．15．【分析】根据次独立重复试验的概率公式进行求解即可【详解】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验这是次独立重复试验故即有123456故答案为：【点睛】本题主要考查次独立重复试验的概率的计算根据 解析：20243【分析】根据n 次独立重复试验的概率公式进行求解即可． 【详解】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是6次独立重复试验，故1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．即有6612()()()33k kk P X k C -==⨯，0k =，1，2，3，4，5，6．42641220(4)()()33243P X C ∴==⨯=．故答案为：20243【点睛】本题主要考查n 次独立重复试验的概率的计算，根据题意确实是6次独立重复试验，是解决本题的关键，属于中档题．16．1359【分析】对函数求导得导函数解析式由已知关系分别求得再由正态分布图像的对称性求得答案【详解】因为所以又则且所以故答案为：01359【点睛】本题考查由正态分布的对称性求概率问题属于中档题解析：1359 【分析】对函数()f x 求导得导函数解析式，由已知关系分别求得2,μσ，再由正态分布图像的对称性求得答案. 【详解】 因为()()222x f x μσ--=，所以()()()22221x f x x μσμσ--'=--又x R ∀∈，()()f x f x ''-=-，则()()()2202200001f μσμμσ--'=--=⇒=且()()()2222211f σσσσσσ--'-=--==⇒= 所以()()()220.13592122P P X X X P μσμσμσμσ-<≤+-<≤+-<≤=≈故答案为：0.1359 【点睛】本题考查由正态分布的对称性求概率问题，属于中档题.17．10【分析】根据题意可知随机变量满足二项分布根据公式即可求出随机变量的方差再利用公式即可求出【详解】故答案为【点睛】本题主要考查满足二项分布的随机变量方差的求解解题时利用公式将求的问题转化为求的问题解析：10 【分析】根据题意可知，随机变量2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足二项分布，根据公式()(1)D X np p =-，即可求出随机变量的方差，再利用公式2()()D aX b a D X +=即可求出()3D X 。
新高中数学(人教B版,选修2-3)练习：1.1基本计数原理(含答案解析)
第一章 1.1一、选择题1．现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择此中的一个讲座，不一样选法的种数是()A． 56B． 655×6×5×4×3×2C.2D． 6×5×4×3×2[答案 ]A[分析 ]此题主要考摆列组合知识．1 名同学有 5 种选择，则 6 名同学共有56种选择．2．有一排 5 个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或许不亮灯，则共能够发出的不同信号有 ()种52A． 2 B ． 5C． 35D．53[答案 ]C3．将 5 名大学毕业生所有分派给 3 所不一样的学校，不一样的分派方案有()A． 8B．15C． 125D．243[答案 ]D4． (2014 长·安一中质检、北京西城模拟)用 0、 1、、 9 十个数字，能够构成有重复数字的三位数的个数为 ()A． 243B．252C． 261D．279[答案 ]B[分析 ]用 0,1，， 9 十个数字，能够构成的三位数的个数为9×10×10＝ 900，此中三位数字全不同样的为9×9×8＝648，因此能够构成有重复数字的三位数的个数为900－ 648＝252.5．已知会合M ＝ {1 ，－ 2,3} ， N ＝{ － 4,5,6，－ 7} ，从两个会合中各取一个元素作点的坐标，则在直角坐标系中，第一、第二象限不一样点的个数为()A． 18B．16C． 14D．10[答案 ]C[分析 ]可分为两类．以会合 M 中的元素做横坐标，N 中的元素做纵坐标，会合M 中取一个元素的方法有 3处，要使点在第一、第二象限内，则会合N 中只好取 5、6 两个元素中的一个有 2 种．依据分步计数原理有 3×2＝ 6(个 )．以会合 N 的元素做横坐标， M 的元素做纵坐标，会合N 中任取一元素的方法有 4 种，要使点在第一、第二象限内，则会合M 中只好取 1、3 两个元素中的一个有 2 种，依据分步计数原理，有4×2＝ 8(个 )．综合上边两类，利用分类计数原理，共有6＋ 8＝ 14(个 )．应选 C.6．某公共汽车上有 10 名乘客，要求在沿途的 5 个车站所有下完，乘客下车的可能方式有 ()A． 510种B．105种C．50 种 D ．以上都不对[答案 ]A[分析 ]任何一个乘客能够在任一车站下车，且互相独立，因此每一个乘客下车的方法都有 5 种，由分步计数原理知N ＝510.应选 A.7．已知 x∈ {2,3,7} ， y∈ { － 31，－ 24,4} ，则 x·y 可表示不一样的值的个数是()A． 1＋ 1＝2B．1＋1＋1＝3C． 2×3＝ 6D．3×3＝9[答案 ]D[分析 ]由分步计数原理N＝ 3×3＝9(种 )．应选 D.二、填空题22＝ r 2可表示不一样圆8．已知 a∈{3,4,5} ， b∈ {1,2,7,8} ， r∈ {8,9} ，则方程 (x－ a)＋(y－ b)的个数为 ____________个．[答案 ]24[分析 ]确立圆的方程可分三步：确立 a 有 3 种方法，确立 b 有 4 种方法，确立r 有 2种方法，由分步计数原理知N＝ 3×4×2＝ 24(个 )．9．用数字1,2,3 构成三位数．(1)若是数字能够重复，共可构成(2)此中数字不重复的三位数共有____________ 个三位数；____________ 个；(3)此中一定有重复数字的有____________个．[答案 ](1)27(2)6(3)21[分析 ](1)排成数字同意重复的三位数，个位、十位、百位都有 3 种排法，∴N＝33＝27(个 )．(2)当数字不重复时，百位排法有 3 种，十位排法有两种，个位只有一种排法，∴N ＝ 3×2×1＝ 6(个 )(也可先排个位或十位)．(3)当三数一定有重复数字时分红两类：三个数字同样，有 3 种，只有两个数字同样，有∴ N＝ 3＋18＝ 21(个 )．3×3×2＝ 18(个 )，三、解答题10．某文艺小组有20 人，每人起码会唱歌或跳舞中的一种，此中会跳舞．从中选出会唱歌与会跳舞的各 1 人，有多少种不一样选法？14 人会唱歌，10 人[分析 ]只会唱歌的有10 人，只会跳舞的有 6 人，既会唱歌又会跳舞的有 4 人．这样就能够分红四类达成：第一类：从只会唱歌和只会跳舞的人中各选 1 人，用分步乘法计数原理得10×6＝ 60(种 )；第二类：从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选 1 人，用分步乘法计数原理得10×4＝40(种 )；第三类：从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选 1 人，用分步乘法计数原理得6×4＝ 24(种 )；第四类：从既会唱歌又会跳舞的人中选 2 人，有 6 种方法．依据分类加法计数原理，得出会唱歌与会跳舞的各选 1 人的选法共有130(种 ).60＋ 40＋ 24＋6＝一、选择题1．已知函数y＝ ax2＋ bx＋ c，此中 a、b、c∈ {0,1,2,3,4} ，则不一样的二次函数的个数共有()A． 125B．15C． 100D．10[答案 ]C[分析 ]由二次函数的定义知a≠ 0∴.选 a 的方法有4 种．选 b 与有 a、 b、 c 都确立后，二次函数才确立．故由乘法原理知共有二次函数c 的方法都有 5种．只4×5×5＝ 100 个．故选C.2．(2013 福·建理， 5)知足的有序数对 (a， b)的个数为 (a、 b∈ { － 1,0,1,2} ，且对于)x 的方程ax2＋ 2x＋ b＝0 有实数解A． 14B．13 C． 12D．10 [答案 ]B[分析 ]①当a＝ 0 时， 2x＋ b＝0 总有实数根，∴ (a， b)的取值有4 个．②当 a≠0时，需＝4－4ab≥0，∴ ab≤1.a＝－ 1 时， b 的取值有 4 个，a＝ 1 时， b 的取值有3 个，a＝ 2 时， b 的取值有2 个．∴ (a， b)的取法有9 个．综合①②知，(a，b) 的取法有4＋ 9＝ 13 个．3．某电话局的电话号码为168 ×××××，若后边的五位数字是由 6 或 8 构成的，则这样的电话号码一共有 ()A．20 个B．25 个C．32 个D．60 个[答案 ]C[分析 ]五位数字是由 6或 8 构成的，可分五步达成，每一步都有两种方法，依据分步乘法计数原理，共有25＝ 32 个．二、填空题4．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1,2,3,4,5,6，则向上的面标着的两个数字之积不小于20 的积的结果有 ____________ 种．[答案 ]5[分析 ]第 1 个正方体向上的面标有的数字必大于等于 4.假如是 3，则 3 与第二个正方风光上标有数字最大者 6 的积 3×6＝ 18＜ 20，4×5＝5×4＝ 20,4×6＝ 6×4＝ 24,5 ×5＝25，5×6＝6×5＝ 30,6×6＝ 36，以上积的结果为20,24,25,30,36 共五种．5． (2014 北·京理， 13)把 5 件不一样产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不一样的摆法有 ________种．[答案 ]36[分析 ]此题考察了计数原理与摆列组合知识．先只考虑 A 与产品 B 相邻，此时用捆绑法，将 A 和 B 作为一个元素考虑，共有种方法，而 A 和 B 有 2 种摆放次序，故总计24×2＝48 种方法，再清除既知足 A 和又知足 A 与 C 相邻的状况，此时用捆绑法，将A， B， C 作为一个元素考虑，共有种方法，而 A ， B ，C 有 2 种可能的摆放次序，故总计6×2＝ 12 种方法．A 44＝ 24B 相邻，A 33＝6综上，切合题意的摆放共有48－ 12＝ 36种．三、解答题6．若x， y∈N ＋，且x＋ y≤6，试求有序自然数对(x， y)的个数．[分析 ] 按 x 的取值进行分类， x ＝ 1 时， y ＝1,2， ， 5，共构成 5 个有序自然数对． x＝ 2 时， y ＝ 1,2， ， 4，共构成 4 个有序自然数对．x ＝ 5 时， y ＝1 共构成 1 个有序自然数对，依据分类加法计数原理，共有N ＝ 5＋ 4＋3＋ 2＋ 1＝ 15 个有序自然数对．x2＋ y 2＝ 1 的焦点在 y 轴上，此中 a ∈ {1,2,3,4,5} ， b ∈{1,2,3,4,5,6,7} ，求知足7．设椭圆 a b 上述条件的椭圆的个数．[分析 ] 由于椭圆的焦点在y 轴上，因此 b ＞ a.则当 a ＝ 1 时， b 可取 2,3,4,5,6,7，有 6 种取法；当 a ＝2 时， b 可取 3,4,5,6,7，有 5 种取法；当 a ＝3 时， b 可取 4,5,6,7，有 4 种取法；当 a ＝4 时， b 可取 5,6,7，有 3 种取法；当 a ＝5 时， b 可取 6,7，有 2 种取法．故共有 6＋ 5＋4＋ 3＋ 2＝20 个知足条件的椭圆．8．已知会合 A ＝ {a 1， a 2， a 3， a 4} ，会合B ＝ {b 1，b 2} ，此中 a i ， b j (i ＝1,2,3,4； j ＝ 1,2)均为实数．(1)从会合 A 到会合 B 能构成多少个不一样的映照？(2)能构成多少个以会合A 为定义域，以会合B 为值域的不一样函数？[分析 ] (1)由于会合 A 中的每个元素 a i (i ＝ 1,2,3,4) 与会合 B 中元素的对应方法都有 2 种，由分步计数原理，构成 A →B 的映照有 2×2×2×2＝24＝ 16 个．(2) 在 (1)的映照中， a 1， a 2， a 3， a 4 均对应于同一元素 b 1 或 b 2 的情况构不能够会合A 为定义域，以会合B 为值域的函数，这样的映照有2 个．因此，构成以会合A 为定义域，以会合B 为值域的函数有16－ 2＝14 个．。
(完整版)高中数学选修2-3计数原理测试题(含答案)
选择题
1．若 m 为正整数，则乘积 mm 1m 2m 20
（）
A． Am20
B． Am21
C．
A 20 m 20
D．
A 21 m 20
2．若直线 Ax By 0 的系数 A, B 同时从 0,1,2,3,5,7 六个数字中取不同的值,则这些方程
表示不同的直线条数
均分成三堆的方法有 X 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人 2 本
的分法就应 X A33 种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每
人
2
本的方法有
C62
C
2 4
C
2 2
种．
所以 X A33 C62C42C22
，则 X
C62C42C22 A33
15
（种）
21． 证：依题意，这些小组中女生人数分别是 Cn0，Cn1,Cn2,…,Cnn 个.对
为一堆，有 C33
种取法，故共有分法
C
1 6
C52
C33 =60 种．
（2）由（1）知．分成三堆的方法有
C
1 6
C52
C33 种，而每种分组方法仅对
应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为
C
1 6
C52
C
3 3
=60
种．
（3）由（1）知，分成三堆的方法有
C
1 6
C52
C33 种，但每一种分组方法又
名，一共应进行 8× C42 =48,16 强队按程序进行淘汰赛决出前八名，应进行 8 场 比赛，再决出 4 强，应进行 4 场比赛，决出冠军、亚军、三、四名，应进行 4
(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测题(答案解析)(3)
一、选择题1．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ） A ．112125B ．80125C ．113125D ．1241252．某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人中所含女生人数记为η，则η的数学期望为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．33．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ）（参考数据：3600.990.03≈，3600.010≈，30.970.912673≈） A ．0.0027%B ．99.9973%C ．0D ．91.2673%4．设随机变量X 服从正态分布()0,9N ，则()36P X <<=（ ）（附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(2)0.9544P X μσμσ+<<+=）A ．0.0456B ．0.1359C ．0.2718D ．0.31745．已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则()D ξ=（ ） A ．0.09B ．9C ．1D ．0.96．已知随机变量X 服从正态分布()100,4N ，若()1040.1359P m X <<=，则m 等于 （ ）[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=] A ．100B ．101C ．102D ．D ．1037．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( ) A ．0.72B ．0.8C ．89D ．0.98．设离散型随机变量X 可能的取值为1，2，3，4，()P X k ak b ==+，又X 的数学期望为()3E X =，则a b += A ．110B ．0C ．110-D ．159．已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，(5)0.89P ξ≤=，则(3)P ξ≤=（ ） A ．0.89B ．0.22C ．0.11D ．0.7810．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P X ≤=，则(02)P X ≤≤=（ ） A ．0.64B ．0.16C ．0.32D ．0.3411．已知随机变量X 的分布列如表，其中a ，b ，c 为等差数列，若1()3E X =，则()D X 等于（ ）X 1- 0 1PabcA ．49B ．59C ．13D ．2312．设随机变量X 的分布列为()()1,2,32iP X i i a===，则()2P X ≥= ( ) A ．16B ．56 C ．13D ．23二、填空题13．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若1()3E X =，则(31)D X +的值是______14．《史记·卷六十五·孙子吴起列传第五》中记载了“田忌赛马”的故事.齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现规定每场比赛从双方的马匹中随机各选取一匹进行比试，若有优势的马一定获胜，且每场比赛相互独立，则采取三局两胜制齐王获胜的概率为________. 15．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是_______.16．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =______．17．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P （X=0）=，则随机变量X的数学期望E （X ）=___________． 18．某篮球运动员投中篮球的概率为23，则该运动员“投篮3次至多投中1次”的 概率是__________.(结果用分数表示)19．已知随机变量ξ服从二项分布，1~(6,)2B ξ，则(23)E ξ+=________，(23)D ξ+=________.20．给出下列命题：①函数()π4cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心为5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若命题:p “2,10x R x x ∃∈-->”，则命题p 的否定为：“2,10x R x x ∀∈--<”；③设随机变量~(,)B n p ξ，且()2,()1E D ξξ==，则(1)p ξ==14；④函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位长度，得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是_____________（把你认为正确的序号都填上）.三、解答题21．因新冠疫情的影响，2020年春季开学延迟，老师采用线上教学.某校高中二年级年级组规定：学生每天线上学习时间3小时及以上为合格，3小时以下为不合格.现从1班，2班，3班随机抽取一些学生进行网上学习时间调查，3个班的人数分别为40人，32人，32人，再采用分层抽样的方法从这104人中抽取13人. （1）应从这3个班中分别抽取多少人？（2）若抽出的13人中有10人学习时间合格，3人学习时间不合格，现从这13人中随机抽取3人.（i ）设X 表示事件“抽取的3人中既有学习时间合格的学生，又有学习时间不合格的学生”，求事件X 发生的概率.（ii ）设Y 表示抽取的3人中学习时间合格的人数，求随机变量Y 的分布列和数学期望. 22．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．（1）已知[30，40），[40，50），[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求,a b 的值；（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X （单位：元）的分布列与数学期望．23．某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的. （1）若上午某一时段A 、B 、C 三位教师需要使用电脑的概率分别是14、23、25，求这一时段A 、B 、C 三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率； （2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是13，求这一时段办公室电脑数无法满足需求的概率.24．某高三年级学生为了庆祝教师节,同学们为老师制作了一大批同一种规格的手工艺品，这种工艺品有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若A 项技术指标达标的概率为3,4B 项技术指标达标的概率为89，按质量检验规定：两项技术指标都达标的工艺品为合格品.（1）求一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标的概率；（2）任意依次抽取该工艺品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列. 25．从2016年到2019年的某城市方便面销量情况如图所示：（1）根据上表，求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+．用所求回归方程预测2020年（5t =）方便面在该城市的年销量；（2）某媒体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查，其中3位受访者认为方便面是健康食品．现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记ξ表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．参考公式：回归方程：y bt a =+，其中121()()()niii ni i t t y y b t t ==--=-∑∑，a y bt =-．参考数据：41()()135.5iii t t y y =--=-∑．26．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数X 的分布列； （2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率． 【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率： 3223441112()()()555125P C =+=．故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．2．C解析：C 【分析】根据题意可知随机变量η的可能取值有1、2、3，计算出随机变量η在不同取值下的概率，列出分布列，进而可求得η的数学期望. 【详解】由题意可知，随机变量η的可能取值有1、2、3，()1346115C P C η===，()223346325C C P C η===，()1346135C P C η===.所以，随机变量η的分布列如下表所示：因此，随机变量η的数学期望为1232555E η=⨯+⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，一般要列出随机变量的分布列，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】先求出一个人在所有行业中都不能胜过孔圣人的概率，再求出三个人在所有行业中都不能胜任孔圣人的概率，用1减去此概率即为所求. 【详解】一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为3600.990.03≈，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为30.030.000027=，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为10.0000270.99997399.9973%-==．故选：B ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查至多至少问题用对立事件解决的方法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】由随机变量X 符合正态分布()0,9N ，得0μ=，3σ=，则所求(36)P X <<，即为(2)P X μσμσ+<<+，根据3σ原则，以及正态曲线的对称性即可求值.【详解】因为随机变量X 符合正态分布()0,9N ，则0μ=，3σ=， 所以(36)(2)P X P X μσμσ<<=+<<+， 由()0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+=，以及正态曲线的对称性，可知()00.3413P X μσ<<+≈，(02)0.4772P X μσ<<+=，则(36)0.47720.34130.1359P X <<=-=. 故选：B.【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性，两个变量μ和σ的应用，3σ原则，属于中档题.5．D解析：D 【分析】在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，利用方差的公式，即可求解． 【详解】由题意，在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，所以()100.9(10.9)0.9D ξ=⨯⨯-=，故选D ． 【点睛】本题主要考查了二项分布的方差的计算，其中解答根据题意得到在10次独立射击中命中目标的次数服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6．C解析：C 【分析】 由()()0.1322259P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=，再根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意，知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=， 则()()220.95440.682620.13592P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+-==，所以要使得()1040.1359P m X <<=，则102m =，故选C. 【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，以及概率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．A解析：A 【分析】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =，出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，根据条件概率公式计算即可，【详解】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =， 出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，∴这粒种子能成长为幼苗的概率()()()|0.90.80.72P P AB P A P B A ===⨯=. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．8．A解析：A 【分析】将1,2,3,4X =代入()P X k =的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得+a b 的值. 【详解】依题意可的X 的分布列为()()()()23412233443a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++=⎧⎨+++++++=⎩，解得1,010a b ==，故110a b +=.所以选A. 【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为1，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.9．C解析：C 【分析】由随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，可得这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，利用正态曲线的对称性，即可得到结论. 【详解】随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，∴这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，()()35P P ξξ∴≤=≥，()50.89P ξ≤=， ()510.890.11P ξ∴≥=-=， ()30.11P ξ∴≤=，故选C.【点睛】本题主要考查正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考查知识点较为清晰，只要熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解.10．D解析：D 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，得对称轴是2x =，(4)0.84P ξ=≤， ∴(4)(0)0.16P P ξξ≥=<=，∴(02)0.50.160.34P ξ≤≤=-=，故选D ．11．B解析：B 【详解】∵a ，b ，c 为等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，1113E a c c a ξ=-⨯+⨯=-=，解得16a =，13b =，12c =，∴22215()()39DX E X EX a c ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，故选B ． 12．B解析：B 【解析】 由概率和为1,可知1231222a a a++=，解得3a =，()P X 2≥=235(2)(3)666P X P X =+==+=选B. 二、填空题13．5【分析】由离散型随机变量的分布列的性质可知结合数学期望公式和abc 成等差数列列出式子求出各个概率的值以及方差并代入即可【详解】abc 成等差数列又且联立以上三式解得:则故答案为:5【点睛】本题考查随解析：5 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质可知, 1a b c ++=,结合数学期望公式和a ，b ，c 成等差数列列出式子,求出各个概率的值以及方差,并代入(31)D X +即可. 【详解】a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+, 又1a b c ++=,且1()3E X a c =-+=, 联立以上三式解得:111,,632a b c ===,()22211111151013633329D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()25(31)3959D X D X +==⨯=,故答案为: 5. 【点睛】本题考查随机变量的分布列以及随机变量的方差的求法,解题时需认真审题,注意使用离散型随机变量的分布列的性质和数学期望的性质,结合等差数列合理运用.14．【分析】列出所有情况统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率再根据独立事件计算得到答案【详解】设齐王的上中下等马为田忌的上中下等马为则共有9种情况其中齐王获胜的有6种情况故故答案为：【点睛】本题考查 解析：2027【分析】列出所有情况，统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率123p =，再根据独立事件计算得到答案. 【详解】设齐王的上中下等马为ABC ，田忌的上中下等马为abc ， 则共有,,,,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 9种情况， 其中齐王获胜的有,,,,,Aa Ab Ac Bb Bc Cc 6种情况，故16293p ==， 32232212033327p C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2027. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.15．46【分析】得分不低于300分包括得300分或得400分这两种情况是互斥的根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案【详解】解:设同学甲答对第i 个题为事件则且相互独立同学甲得分不低于300分对应于解析：46 【分析】得分不低于300分包括得300分或得400分，这两种情况是互斥的，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案． 【详解】解:设“同学甲答对第i 个题”为事件(1,2,3)i A i =，则()10.8P A =，()20.6P A =，()30.5P A =，且1A ，2A ，3A ，相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件()()()123123123A A A A A A A A A ⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂发生，故所求概率为()()()123123123P P A A A A A A A A A ⎡⎤=⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂⎦⎣()()()123123123P A A A P A A A P A A A =⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂ ()()()()()()()()()123123123P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++0.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故答案为0.46【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查应用概率知识解决实际问题的能力，是一个综合题，注意对题目中出现的“不低于”的理解16．4【解析】【分析】由题意求得随机变量的取值利用相互独立事件的概率公式求得相应的概率再由期望的计算公式即可求解数学期望【详解】由题意该同学解出题目的个数为随机变量的取值为则所以【点睛】本题主要考查了随解析：4 【解析】 【分析】由题意求得随机变量X 的取值，利用相互独立事件的概率公式，求得相应的概率，再由期望的计算公式，即可求解数学期望． 【详解】由题意，该同学解出题目的个数为随机变量X 的取值为0,1,2X =， 则P(X 0)0.20.40.08==⨯=，P(X 1)0.80.40.20.60.44==⨯+⨯=， P(X 2)0.80.60.48==⨯=.所以E(X)00.0810.4420.48 1.4=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．【解析】∵P(X ＝0)＝＝(1－p)2×∴p ＝随机变量X 的可能值为0123因此P(X ＝0)＝P(X ＝1)＝×()2＋2××()2＝P(X ＝2)＝×()2×2＋×()2＝P(X ＝3)＝×()2＝因此E 解析：【解析】 ∵P(X ＝0)＝112＝(1－p)2×13，∴p ＝12，随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P(X ＝0)＝112，P(X ＝1)＝23×(12)2＋2×13×(12)2＝13，P(X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P(X ＝3)＝23×(12)2＝16，因此E(X)＝1×13＋2×512＋3×16＝53． 18．【分析】投篮3次至多投中1次包括只投中一次和全部没有投中由投篮3次至多投中1次的概率是求得结果【详解】：投篮3次至多投中1次包括只投中一次和全部没有投中故投篮3次至多投中1次的概率是故答案为【点睛】解析：727. 【分析】“投篮3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部没有投中，由“投篮3次至多投中1次”的概率是223333121()()333C C ⋅⋅+⋅ 求得结果． 【详解】：“投篮3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部没有投中，故“投篮3次至多投中1次”的概率是2233331217()()33327C C ⋅⋅+⋅=， 故答案为727． 【点睛】本题考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率，等可能事件的概率．19．6【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出和再根据离散型随机变量的期望和方差的性质可求得结果【详解】∵随机变量服从二项分布所以则故答案为：9；6【点睛】关键点点睛：利用离散型随机变量的期望和方差的性解析：6 【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出()E ξ和()D ξ，再根据离散型随机变量的期望和方差的性质可求得结果. 【详解】∵ 随机变量ξ服从二项分布1(6,)2B ， 所以1()632E ξ=⨯=，1132)622(D ξ⨯⨯==， 则(23)2()32339E E ξξ+=+=⨯+=，23(23)2()462D D ξξ+=⋅=⨯=.. 故答案为：9；6. 【点睛】关键点点睛：利用离散型随机变量的期望和方差的性质求解是解题关键.20．①③【分析】求出判断①利用存在量词命题否定形式判断②二项分布的期望与方差判断③；三角函数图象变换判断④【详解】解：①函数的一个对称中心为故①正确；②若命题：则命题的否定为：；所以②不正确；③设随机变解析：①③ 【分析】 求出5()012f π-=判断①，利用存在量词命题否定形式判断②，二项分布的期望与方差判断③；三角函数图象变换判断④． 【详解】 解：①5()4cos()0122f ππ-=-=， ∴函数()4cos(2)3f x x π=+的一个对称中心为5(,0)12π-，故①正确；②若命题p ：“x R ∃∈，210x x -->”，则命题p 的否定为：“x R ∀∈，210x x --”；所以②不正确；③设随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，()1D ξ=，可得2np =，(1)1np p -=，可得12p =，4n =则43111(1)12412p C ξ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭；所以③正确；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2()4y x π=+，不是sin(2)4y x π=+的图象，所以④不正确；故答案为：①③． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，命题的否定，期望与方差的求法，属于中档题．三、解答题21．（1）3个班中分别抽取5人，4人，4人；（2）（i ）165286，（ii ）分布列见解析，数学期望为330143【分析】（1）利用分层抽样的定义按比例进行抽取即可；（2）（i ）“抽取的3人中既有学习时间合格的学生，又有学习时间不合格的学生”，包括“1人学习时间合格，2人学习时间不合格”“2人学习时间合格，1人学习时间不合格”，且这两个事件间是互斥的，从而可求出所求概率（ii ）Y 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而可得随机变量Y 的分布列和数学期望 【详解】解：（1）由题意可知，3个班抽取的人数分别为：403232135,134,134104104104⨯=⨯=⨯=， 所以应从这3个班中分别抽取5人，4人，4人；（2）（i ）“抽取的3人中既有学习时间合格的学生，又有学习时间不合格的学生”，包括“1人学习时间合格，2人学习时间不合格”“2人学习时间合格，1人学习时间不合格”，且这两个事件间是互斥的，所以1221103103331313165()286C C C C P X C C ⋅⋅=+= （ii ）由题意可知，Y 的可能取值为0，1，2，3，则333131(0)286C P Y C ===,1210331330(1)286C C P Y C ===, 21103313135(2)286C C P Y C ===,310313120(3)286C P Y C ===,所以随机变量Y 的分布列为所以()0123286286286286143E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】此题考查分层抽样，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列，考查计算能力，属于中档题22．（1）0.035,0.025；（2）见解析 【分析】（1）根据题意[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，列出方程组，即可求解；（2）利用分层抽样的方法，从中取出三人，得出三人所获得代金券的总和X 的取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，所以(0.0150.0150.010)10120.015a b b a ++++⨯=⎧⎨=+⎩，解得0.035,0.025a b ==.（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人属于潜在消费人群的为4人，从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X ， 则X 的所有可能取值为：150,200,250,300，32166433101011(150),(200)62C C C P X P X C C ======，12364433101031(250),(300)1030C C C P X P X C C ======，∴X 的分布列为()150200250300210621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题. 23．（1）13；（2）11243【分析】由题意可知A 、B 、C 三位教师中恰有2位教师使用电脑包括三种情况，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到概率；（2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，每一种情况满足独立重复实验，代入公式得到结果. 【详解】设甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A ，B ，C ， 因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，∴ 甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是()()()P P ABC P ABC P ABC =++12311232214354354353=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； （2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，记有4位教师同时使用电脑的事件为M ，有5位教师同时需要使用电脑的实际为N ，()445121033243P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()5113243P N ⎛⎫==⎪⎝⎭， ∴所求的概率是()()10111243243243P P M P N =+=+=， 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件，独立重复实验，重点考查读题能力，运用概率知识解决实际问题的能力，关键是判断概率类型. 24．（1）3536；（2）见解析 【分析】(1)结合对立事件的概率关系可求出至少一项技术指标达标的概率； (2)由题意知，2~4,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可求出()0P ξ=，(1)P ξ=，()2P ξ=，()3P ξ=，()4P ξ=的值，从而可求出分布列.【详解】(1)设:M 一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标，则38()1-11493635P M ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)依题意知2~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则411(0)381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1314218(1)3381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222421823327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()334213233381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()42164381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭分布列为：本题考查了独立事件的概率，考查了离散型随机变量的分布列求解.本题关键是求出ξ每种可能取值下的概率.求离散型随机变量的分布列时，第一步写出变量的可能取值，第二步求出每种取值下的概率，第三步写出分布列.25．（1）27.1491.5y t =-+，356万包；（2）分布列详见解析，9()10E ξ=． 【分析】（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.（2）ξ的可能值为0，1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】 （1） 2.5t =，462444404385423.754y +++==，()()()()4222221()1 2.52 2.53 2.54 2.55i i t t =-=-+-+-+-=∑，135.527.15b -==-，423.75(27.1) 2.5491.5a =--⨯=，所以27.1491.5y t =-+. 当5t =时，27.15491.5356y =-⨯+=.（2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，ξ的可能值为0，1，2，3，所以37310C 7(0)C 24P ξ===；1237310C C 21(1)C 40P ξ===； 2137310C C 7(2)C 40P ξ===； 33310C 1(3)C 120P ξ===，故分布列为：()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了回归方程，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 26．（1）详见解析；（2）13． 【分析】（1）优先表示随机变量可能的取值，显然该事件服从超几何分布，由其概率计算公式分别求得对应概率即可列出分布列；（2）事件“红球个数多于白球个数” 可以分解为，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，再由计数原理和古典概型概率公式分别计算概率，最后由相互独立事件的概率计算方式求得答案. 【详解】（1）题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X 服从参数为10N =，3M =，3n = 的超几何分布，因此 ()()337310C C 0,1,2,3C k k P X k k -===．所以 ()0337310C C 3570C 12024P X ====， ()1237310C C 63211C 12040P X ====，()2137310C C 2172C 12040P X ====，()3037310C C 13C 120P X ===．故 X 的分布列为 ：”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ， 由于事件1A ，2A ，3A彼此互斥，且123A A A A =++， 而()12341310C C 3C 20P A ==，()()27240P A P X ===，()()313120P A P X ===， 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=． 答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为13． 【点睛】本题考查求超几何分布事件的分布列，还考查了相互独立事件的概率的计算，属于中档题.。
选修2-3第一章计数原理同步练习(3)
选修2-3第一章计数原理同步练习（3）排列(一)【双基再现】1. 5名同学排成一排照相,不同的排法种数是( )A.1B.5C.60D.1202. 从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,共有( )种送法A.5B.10C.20D.603. 89×90×91×…×100可表示为( )A.10100AB.11100AC.12100AD.13100A4.若*∈N a ,且20<a ,则()a -27()()a a -⋅⋅⋅-3428等于( )A.827a A -B.a a A --2734C.734a A -D.834a A -5. 若232n n A A =,则n 的值是_________.6. 由数字0,1,2,3可组成________(用数字做答)没有重复数字的三位数.【变式活学】7. (教材1.2例1的变式)计算(1)49596105104A A A A -- (2)n n n n A A 24112+-+8. (教材1.2例2的变式)用一颗骰子连掷三次,投掷出的数字顺次排成一个三位数,此时,(1) 各位数字互不相同的三位数有多少个?(2) 可以排出多少个不同的数?【实践演练】9. 将8辆不通汽车停放在12个车库中,要求剩余的车库必须相邻在一起,共有多少种放法?10. 有三面不同的旗帜,取一面或多面纵列为信号,当三面全部挂出时,红色的必须悬挂在最上端,共能组成多少种信号?答案解析1.D 解析:是5个元素的全排列,有12055=A .2.C 解析:从5个元素中取出2个元素的排列:2025=A3.C4.D5.4 解析:由n(n-1)(n-2)=2n(n-1)可得.6.18 解析:先选百位有13A 种,再从剩下的3个元素中选2个进行排列有23A 种不同的排法,共有13A 1823=A 个不同的三位数.7.解:(1) !5!9!4!9!4!10!5!10444959610510--⨯=--A A A A !9!95!105!104-⨯⨯-⨯=2515105104-=-⨯-⨯= (2)由已知可得⎩⎨⎧+≤≤-42211n n n n 所以4311≤≤n 又因4,=∴∈*n N n80640!82887824112=⨯=+=+∴+-A A A A n n n n 名师点金:本题与原题相比,在算法上有所改变,不再是考查使用计算机,而是利用阶乘进行运算,练习排列数公式,同时也锻炼大家的整体运算能力.如(1)中分式处理的技巧.8.解(1)第一个骰子有6种不同的结果,第二个骰子与第一个的结果不同,有5种不同的结果;同理第三个骰子有4种不同的结果,共有6×5×4=120个不同的结果.(2)与(1)相比,后两个骰子都可以有6种不同的结果,共有21663=个不同的结果.名师点金:本题与原题相比,又多了一问,是乘法原理的问题,请大家以后在解决这类问题时,注意排列既是特殊的乘法原理,又与乘法原理不同之处是元素不能重复,且逐一减少.9.解:将车库编上号码依次为:1,2,…,12.,则4个车库相连有1,2,3,4;2,3,4,5;…;9,10,11,12共9种不同的结果,剩余的车库放8辆车任意排列有88A 种不同的排法,共有362880988=⨯A 中不同的放法. 10.解:分三类:第一类挂一面旗帜,有3种不同的挂法; 第二类挂两面旗帜,有623=A 种不同的挂法; 第三类挂三面旗帜,第一面已确定,有222=A 种不同的挂法.共有3+6+2=11种不同的挂法.。
高中数学人教A版选修2-3《第1章_计数原理》同步试卷(有答案)
人教A 版选修2-3《第1章 计数原理》同步试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 若A m 5=2A m 3，则m 的值为（ ）A.3B.5C.7D.62. 一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是（ ）A.74B.40C.84D.2003. 从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3名同学，分别参加3个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，不同的参赛方案共有（ ）A.18种B.24种C.21种D.9种4. (x +2)2(1−x)5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为（ ）A.3B.5C.0D.25. 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）A.C 1412A 124A 84B.C 1412C 124C 84C.C 1412C 124C 84A 33D.C 1412C124C84A 336. 在二项式(2√x +√x 4)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x −2项的系数为（ ）A.4B.1C.8D.167. 为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为（ ）A.36B.12C.24D.488. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A.36种B.24种C.60种D.48种9. 已知直线ax+by−1=0(a，b不全为0)与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（）A.72条B.66条C.78条D.74条10. 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排（这样就成为前排6人，后排6人），若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A.C82A66B.C82A32C.C82A52D.C82A62二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有________个，其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有________个．)6的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a＝________．设二项式(x−ax某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4名运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门，若同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为________，乙丙两名同学都选物理的概率是________．在二项式(√2+x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．高三（三）班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有2个节目连排，则不同排法的种数是________．在(4−3x)n的展开式中，各项系数的和为________；若展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中所有偶数项的二项式系数之和为________．三、解答题（本大题共5小题，共74分）已知f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m, n∈N)的展开式中的x系数为19．(1)求f(x)展开式中的x2项系数的最小值；(2)当x2项系数最小时，求f(x)展开式中x7项的系数．设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有多少个？)n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．已知(x+2√x(1)求n的值；(2)求展开式中所有二项式系数的和；(3)求展开式中所有的有理项．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．(Ⅰ)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；(Ⅱ)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；(Ⅲ)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？参考答案与试题解析人教A版选修2-3《第1章计数原理》同步试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.【答案】此题暂无答案【考点】排列及于列数缺式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】计数正知的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】排列及于列数缺式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】计数正知的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】计数正知的应用直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题分步乘正且数原理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共5小题，共74分）【答案】此题暂无答案【考点】二项式射理的应题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项正开形的来定恰与特定系数二项式射理的应题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
高中数学选修2-3(人教B版)第一章计数原理1.3知识点总结含同步练习题及答案
a1 + a2 + ⋯ + a100 = 1 − 2 100 .
（3）令 x = −1 可得 a0 − a1 + a2 − a3 + ⋯ + a100 = 3 100 ⋯ ②，与 ① 式联立相减得
a1 + a3 + ⋯ + a99 =
1 − 3 100 . 2
3.二项式定理的应用 描述： 二项式定理一般应用在以下几个方面： ①进行近似计算．当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时，常用近似公式 (1 + a)n ≈ 1 + na，因为这时展开式的后面 3 3 n n 很小，可以忽略不计；类似地，有 2 部分 C2 (1 − a)n ≈ 1 − na． n a + Cn a + ⋯ + Cn a ②证明某些整除性问题或求余数；
求证：对一切 n ∈ N ∗ ，都有 2 ⩽ (1 + 解：因为
1 n ) < 3． n
(1 +
1 n 1 1 2 1 3 1 n 1 3 n + C2 ) = C0 n + Cn ⋅ n ⋅ ( ) + Cn ⋅ ( ) + ⋯ + Cn ⋅ ( ) n n n n n 1 n−1 1 n−1 n−2 1 n−1 n−2 1 = 1+1+ ⋅ + ⋅ +⋯+ ⋅ ⋅ ⋯ . n n n n n n 2! 3! n!
= 120
（1）展开式的第 4 项的二项式系数为 C3 10 = 120． 3 （2）展开式的第 4 项的系数为 C10 ⋅ (−2)3 = −960 ． 3 4 4 （3）展开式的第 4 项为：T4 = C3 10 ⋅ (−2) ⋅ x = −960x ． 二项式 (x − y)11 的展开式中二项式系数最大的项为（ ） A．第 3 项 B．第 6 项 C．第 6 、7 项 D．第 5 、7 项 解：C 展开式共有 12 项，故中间两项即第 6 、 7 项的二项式系数相等，且最大．
高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(含答案解析)
一、选择题1．设01a <<，2a b +=，随机变量X 的分布列如表：则当()0,1a ∈内增大时（ ）A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大2．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．49B ．427C ．1927D ．481253．已知离散型随机变量X 的分布列为则D (X )的最大值是（ ） A ．29B ．59C ．89D ．2094．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且2EX =，DX q =，则21p q+的最小值为（ ） A ．274B ．92C ．3D ．45．已知19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()E X 、()D X 的值依次为（ ）. A ．3，2B ．2，3C ．6，2D ．2，66．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．257．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上， 设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则概率(|)P B A =（ ） A ．12B ．13C ．14D ．388．已知随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(5)0.8P X <=，则(13)P X <<=（ ） A ．0.8B ．0.2C ．0.1D ．0.39．设离散型随机变量X 可能的取值为1，2，3，4，()P X k ak b ==+，又X 的数学期望为()3E X =，则a b += A ．110B ．0C ．110-D ．1510．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量Y aX b =+(,,0)a b R a ∈>，且()10,()4E Y D Y ==，则a 与b 的值为( ) A ．10,3a b ==B ．3,10a b ==C ．5,6a b ==D ．6,5a b ==11．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为0.6和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为0.45．假设甲、乙两人射击互不影响，则P 值为（ ） A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.2512．已知随机变量X 的分布列为则E(6X ＋8)＝( ) A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.2二、填空题13．如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠性均为()01r r <<，而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为___________.14．甲、乙两人被随机分配到,,A B C 三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位）．记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的数学期望()E X =_____． 15．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X 为解出该题的人数，则E (X )＝________.16．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局， 则ξ的期望值()E ξ=______. 17．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X >等于______________．18．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）．19．某人共有五发子弹，他射击一次命中目标的概率是12，击中目标后射击停止，射击次数X 为随机变量，则EX=_________．20．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．三、解答题21．为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如下．[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）性别男6 9 10 10 9 4女5 12 13 86 8学段初中x 8 11 11 10 7高中（Ⅱ）从参加公益劳动时间[25，30）的学生中抽取3人进行面谈，记X 为抽到高中的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）当5x =时，高中生和初中生相比，哪学段学生平均参加公益劳动时间较长．（直接写出结果）22．某知名电脑品牌为了解客户对其旗下的三种型号电脑的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：满意度是指，回访客户中，满意人数与总人数的比值.用满意度来估计每种型号电脑客户对该型号电脑满意的概率，且假设客户是否满意相互独立.（1）从型号Ⅰ和型号Ⅱ电脑的所有客户中各随机抽取1人，记其中满意的人数为X ，求X 的分布列和期望；（2）用“11ξ=”，“21ξ=”，“31ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户满意，“10ξ=”，“20ξ=”，“30ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户不满意，比较三个方差()1D ξ、()2D ξ、()3D ξ的大小关系.23．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金8600元，在延保的两年内可免费维修3次，超过3次后的每次收取维修费a 元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次后的每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表：以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数且P （X ＝0）＝0.01. （1）求实数m ，n 的值； （2）求X 的分布列；（3）以所需延保金及维修费用之和的期望值为决策依据，该医院选择哪种延保方案更合算？24．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ.（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)u u σσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)u u σσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s==≈，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()–330.9974P Z μσμσ<<+=，160.99740.9592≈0.09≈.25．超市为了防止转基因产品影响民众的身体健康，要求产品在进入超市前必须进行两轮转基因检测，只有两轮都合格才能销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为14，第二轮检测不合格的概率为19，两轮检测是否合格相互没有影响.（1）求该产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每件产品可获利50元；如果产品不能销售，则每件产品亏损60元.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值()E X . 26．甲、乙两名运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响．根据以往的统计数据，甲、乙射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题：（1）甲、乙各射击一次，求甲、乙同时击中10环的概率； （2）求甲射击一次，击中9环以上（含9环）的概率；（3）甲射击3次，X 表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求X 的分布列及数学期望()E X ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先求出()E X ，利用方差的定义建立()()22=13D X a -，利用二次函数单调性判断出()D X 的变化.【详解】由题意：()1111333E X a b =⨯+⨯+⨯， ∵2a b +=，∴()1E X =.∴()()()()()222221111=111123333D X a b a b -⨯+-⨯+-⨯=+-⨯ 又2a b +=，∴2b a =-，∴()()()()2222122=2=21=1333D X a b a a a +-⨯-+- ∴当01a <<时，()()22=13D X a -单调递减，即当()0,1a ∈内增大时()D X 减小. 故选：B2．A解析：A 【分析】根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为13、23，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数{0,1,2,3}X =，即X 服从二项分布，则有3321()()()33n n n P X n C -==即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.【详解】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则： 芯片领域被选的概率为：51153=；不被选的概率为：12133-=；而选择芯片领域的人数{0,1,2,3}X =，∴X 服从二项分布1~3(,3)X B ，3321()()()33nnn P X n C -==，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为123214(1)()()339P X C ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.3．C解析：C 【分析】根据分布列中概率和为1可得a 的范围和b 的值，再求出,EX DX 的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题. 【详解】12133b a a b +-+=⇒=，又110033a a -≥⇒≤≤， 1242()3333EX b a a a b a =+⨯-+⨯=++=+，2221(1)(2)()(3)3DX EX b EX a EX a =-⋅+-⋅-+-⋅2221215()()()()3333a b a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅22212215()()()()33333a a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅27239a a =-++，对称轴为7163a =>，∴max 1728()9999DX =-++=， 故选：C. 【点睛】本题考查标准差的最值求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.4．B解析：B 【分析】根据二项分布的均值与方差公式,可得,p q 的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得21p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布(),XB n p ,且2EX =,DX q =由二项分布的均值与方差公式可得()21npq np p =⎧⎨=-⎩, 化简可得22p q +=,即12qp +=由基本不等式化简可得21p q +221p q q p ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭2525922q p p q ≥+=++= 即21p q +的最小值为92故选:B 【点睛】本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.5．A解析：A 【分析】直接利用二项分布公式计算得到答案. 【详解】19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()=⨯=1933E X ，()1191233D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：A本题考查了二项分布，意在考查学生对于二项分布的理解.6．B解析：B 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ．【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．7．C解析：C 【分析】由先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，得出事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，再由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，即可求解. 【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，共有2228⨯⨯=种不同的结果， 其中事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，又由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果， 所以()()1(|)4P AB P B A P A ==，故选C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，准确得出事件A 和事件A B 所含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.8．D解析：D由已知条件可知数据对应的正态曲线的对称轴为X=3,根据正态曲线的对称性可得结果. 【详解】随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ， 则曲线的对称轴为X=3,由(5)0.8P X <=可得P(X≤1)=P(X≥5)=0.2， 则(13)P X <<=12(15)P X <<=12(1-0.2-0.2)=0.3 故选D 【点睛】本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用已知区间表示，并根据对称性求解，考查数形结合的应用，属于基础题.9．A解析：A 【分析】将1,2,3,4X =代入()P X k =的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得+a b 的值. 【详解】依题意可的X 的分布列为()()()()23412233443a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++=⎧⎨+++++++=⎩，解得1,010a b ==，故110a b +=.所以选A. 【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为1，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.10．C解析：C 【解析】 分析:详解：由随机变量X 的分布列可知，m 10.20.8=-=， ∴()00.210.80.8E X =⨯+⨯=，()10.20.80.16D X =⨯⨯=，∴()()()()2b 10?4E Y aE X D Y a D X =+===， ∴20.8a b 10? 0.164a +==，∴5,6a b == 故选C点睛：本题考查了随机变量的数学期望及其方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．B解析：B 【解析】分析：由题意知甲、乙两人射击互不影响，则本题是一个相互独立事件同时发生的概率，根据题意可设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，由相互独立事件的概率公式可得，可得关于p 的方程，解方程即可得答案． 详解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ， 则“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ， 则P （A ）=35，P （A ）=1﹣35=25，P （B ）=P ，P （B ）=1﹣P ， 依题意得：35×（1﹣p ）+25×p=920， 解可得，p=34， 故选：B ．点睛：求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．12．B解析：B 【解析】由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X ＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.选B.二、填空题13．【分析】记甲乙都正常工作为事件记丙丁都正常工作为事件计算出利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为【详解】记甲乙都正常工作为事件记丙丁都正常工作为事件则当且仅当事件或事件发生时系统正常工作当且仅当 解析：242r r -【分析】记甲、乙都正常工作为事件A ，记丙、丁都正常工作为事件B ，计算出()P A 、()P B ，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为()()1P A P B -. 【详解】记甲、乙都正常工作为事件A ，记丙、丁都正常工作为事件B ，则()()2P A P B r ==，当且仅当事件A 或事件B 发生时，系统正常工作， 当且仅当事件A 和事件B 都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为()()()22241112P P A P B r r r =-=--=-.故答案为：242r r -. 【点睛】关键点点睛：本题考查事件概率的计算，解本题的关键就是确定事件“系统正常运行”的对立事件为“两条线路都不工作”，进而可利用概率的乘法公式以及对立事件的概率公式来进行求解.14．【分析】由题意得出的可能取值以及相应的概率再计算数学期望即可【详解】由题意可得的可能取值有012则数学期望故答案为：【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的数学期望属于中档题解析：23【分析】由题意得出X 的可能取值以及相应的概率，再计算数学期望即可. 【详解】由题意可得X 的可能取值有0，1，2224(0)339P X ⨯===⨯，122411(1),(2)339339C P X P X ⨯======⨯⨯则数学期望4()09E X =⨯41212993+⨯+⨯=． 故答案为：23【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的数学期望，属于中档题.15．【解析】所以【点睛】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路:(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望方差公式求解注意： 解析：1712【解析】()11103412P X ==⨯=，()211351343412P X ==⨯+⨯=，()23623412P X ==⨯=，所以()1526171212E X ⨯+⨯==. 【点睛】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路:(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意：解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．16．【分析】首先确定所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率从而根据数学期望计算公式求得结果【详解】由题意可知所有可能的取值为：则；；本题正确结果：【点睛】本题考查离散型随机变量的数 解析：26681【分析】首先确定ξ所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果. 【详解】由题意可知ξ所有可能的取值为：2,4,6则()222152339P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3311221212204333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()520166198181P ξ==--=()520162662469818181E ξ∴=⨯+⨯+⨯=本题正确结果：26681【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型.17．【解析】试题分析：因为随机变量服从正态分布所以因为所以考点：正态分布解析：0.1587【解析】试题分析：因为随机变量X 服从正态分布()2,1N ，所以()()31P X >=P X <，因为()()()11331P X <+P ≤X ≤+P X >=，所以()()1310.68260.15872P X >=-=． 考点：正态分布．18．9744【分析】由题意知本题符合独立重复试验条件分情况讨论：若共有3人被治愈若共有4人被治愈分别代入独立重复试验公式得到结果最后求和【详解】解：由题意知本题分情况讨论：若共有3人被治愈则；若共有4人解析：9744 【分析】由题意知，本题符合独立重复试验条件，分情况讨论：若共有3人被治愈，若共有4人被治愈，分别代入独立重复试验公式得到结果．最后求和．【详解】解：由题意知本题分情况讨论：若共有3人被治愈，则3314(0.9)(10.9)0.2916P C =⨯-=；若共有4人被治愈，则42(0.9)0.6561P ==，∴至少有3人被治愈概率120.9477P P P =+=．故答案为：0.9477． 【点睛】判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A 的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响．19．【分析】由题意利用独立事件同时发生的概率公式求出每个随机变量对应的概率可得分布列根据期望公式可计算期望【详解】列表X 1 2 3 4 5 P 所以【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的 解析：3116【分析】由题意1,2,3,4,5X =，利用独立事件同时发生的概率公式求出每个随机变量对应的概率，可得分布列，根据期望公式可计算期望. 【详解】()()21111,2224P x P x ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，()()3411113,428216P x P x ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()41151216P x ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，列表所以12345248161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．20．1【分析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为据此得到关于a 的方程解方程可得a 的值【详解】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为结合题意有：故答案为1【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的解析：1 【分析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =，据此得到关于a 的方程，解方程可得a 的值. 【详解】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =， 结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故答案为1． 【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.三、解答题21．（Ⅰ）512；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）初中生. 【分析】（Ⅰ）由表中数据，结合古典概型概率公式即可得解；（Ⅱ）由超几何分布概率公式可求得(0)P X =，(1)P X =，(2)P X =，(3)P X =，进而可得分布列；（Ⅲ）由表中数据，分析各时间段内初高中生的人数即可得解. 【详解】（Ⅰ）抽取的100名学生中，男生有6910109448+++++=名， 其中公益劳动时间在[)10,20的有101020+=名， 故所求概率2054812P ==； （Ⅱ）参加公益劳动时间[)25,30的学生有12人，其中初中生7人，高中生5人， X 的所有可能取值为0,1,2,3，373127(0)44C P X C ∴===，215731221(1)44C X C P C ===，32521717(2)22C C P X C ===，312531(3)22P C C X ===，所以X 的分布列为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是有效提取表格中的数据，熟练掌握超几何分布的适用条件及概率公式.22．（1）分布列见解析，910；（2）()()()123D D D ξξξ>=. 【分析】（1）由题意得X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望.（2）由题意1ξ，2ξ，3ξ都服从两点分布，由此能求出()()()123D D D ξξξ>=. 【详解】解：（1）由题意得X 的可能取值为0，1，2，设事件A 为“从型号Ⅰ电脑所有客户中随机抽取的人满意”，事件B 为“从型号Ⅱ电脑所有客户中随机抽取的人满意”，且A ，B 为独立事件， 根据题意，()12P A =，()25P B =，()()()()1230112510P X P AB P A P B ⎛⎫⎛⎫====-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()1212111125252P X P AB AB P AB P AB ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()1212255P X P AB P A P B ====⨯=，∴X 的分布列为：()012102510E X =⨯+⨯+⨯=. （2）由题意1ξ，2ξ，3ξ都服从两点分布， 则()11111224D ξ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()222615525D ξ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()333615525D ξ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴()()()123D D D ξξξ>=. 【点评】本题考查离散型随机变量的要布列、数学期望的求法，考查三个离散型随机变量的方差的大小的比较，考查相互独立事件概率乘法公式、两点分布的性质等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.23．（1）10m =，40=；（2）分布列见解析；（3）1500a <元时，方案一合算，1500a >时，方案二合算，1500a =时，两种方案一样．【分析】（1）由(0)P X =可得m ，再得出n 的值，（2）X 的可能值为0,1,2,3,4,5,6，分别求得概率，得概率分布列， （3）由期望公式得出期望．可得两种方案的总费用，比较后可得结论． 【详解】（1）由2(0)0.01100m P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得10m =，∴10010104040n =---=； （2）依题意X 的可能值为0,1,2,3,4,5,6，由题意一台机器维修次数为n ，概率为1(0)10P n ==，1(1)10P n ==，2(2)5P n ==，2(3)5P n ==， 1(0)100P X ==， 111(1)2101050P X ==⨯⨯=， 12119(2)21051010100P X ==⨯⨯+⨯=， 12124(3)2210510525P X ==⨯⨯+⨯⨯=， 12226(4)21055525P X ==⨯⨯+⨯= 228(5)25525P X ==⨯⨯=，224(6)5525P x ==⨯=，X 的分布列如下：（2）由（1）方案一维修费用期望值为2325252525a a a a +⨯+⨯= 方案一总费用为134860025y a =+（元）， 方案二维修费用期望值为84100020006402525⨯+⨯= 方案二总费用为21000064010640y =+=（元）．3486001064025a +=，1500a =，1500a <时，12y y <，1500a >时，12y y >， ∴1500a <元时，方案一合算，1500a >时，方案二合算，1500a =时，两种方案一样． 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查了随机变量的数学期望，用样本估算总体．考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．24．（1）()10.0408≥=P X ，0.0416=EX （2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要.10.02μ=,0.09σ=【分析】（1）依题知一个零件的尺寸在()3,3μσμσ-+之内的概率，可知尺寸在()3,3μσμσ-+之外的概率为0.0026，而()~16,0.0026X B ，进而可以求出X 的数学期望.（2）（i ）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在()3,3μσμσ-+之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii ）计算ˆˆ,3μσ，剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为μ的估计值，剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据，剩下数据的样本方差，即为σ的估计值. 【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在()3,3μσμσ-+之内的概率为0.9974， 从而零件的尺寸在()3,3μσμσ-+之外的概率为0.0026， 故()~16,0.0026X B .因此()()1611010.99740.0408P X P X ≥=-==-=.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在()3,3μσμσ-+之外的概率只有0.0026， 一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在()3,3μσμσ-+之外的零件 概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程 可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查， 可见上述监控生产过程的方法是合理的. （ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外， 因此需对当天的生产过程进行检查.剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据9.22， 剩下数据的平均数为()1169.979.2210.0215⨯-=， 因此μ的估计值为10.02.122216160.212169.971591.134i i x =∑=⨯+⨯≈，剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据9.22， 剩下数据的样本方差为()2211591.1349.221510.020.00815--⨯≈，因此σ0.09≈. 【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤其是正态分布的3σ原则，审清题意，细心计算，属中档题. 25．（1）13；（2）分布列见解析，1533.【分析】（1）记“该产品不能销售”为事件A ，则1()1(191)(1)4P A =--⨯-，计算得到答案. （2）X 的取值为-240，-130，-20，90，200，计算概率得到分布列，计算均值得到答案. 【详解】（1）记“该产品不能销售”为事件A ，则11()1(1)(1)4193P A =--⨯-=， 所以该产品不能销售的概率为13. （2）依据题意的，X 的取值为-240，-130，-20，90，200，411(240)()381P X =-== ； 134128(130)()3381P X C =-==；22241224(20)()()3381P X C =-== ；31341232(90)()()3381P X C ===；4216(200)()381P X ===.所以X 的分布列为：1()24013020902005381818181813E X =-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，均值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 26．(1) 0.1225;(2) 0.8(3)见解析. 【分析】(1)分别计算出甲乙各射击一次击中10环的概率,利用相互独立事件的概率公式计算即可; (2)甲射击一次,击中9环以上（含9环）即为甲射击一次,击中9环和甲射击一次,击中10环,利用互斥事件的概率公式即可得出结果;(3)由(2)可知甲射击一次，击中9环以上（含9环）的概率为0.8,可知(3,0.8)X B .利用公式计算即可得出结果. 【详解】(1) 设事件A 表示甲运动员射击一次,恰好击中10环, 设事件B 表示乙运动员射击一次,恰好击中10环, ()10.10.10.450.35P A =---=,()0.35P B =,所以甲、乙各射击一次,甲、乙同时击中10环即()0.350.350.1225P AB =⨯=.(2)设事件C 表示甲运动员射击一次,恰好击中9环以上(含9环),则()0.350.450.8P C =+=（3）由已知可得X 的可能取值为0,1,2,3,且(3,0.8)XB3(0)0.20.008P X ===,123(1)0.80.20.096P X C ==⨯=, 223(2)0.80.20.384P X C ==⨯=,3(3)0.80.512P X ===所以30.8 2.4E X =⨯= 【点睛】本题考查相互独立事件的概率,考查二项分布的分布列和数学期望,考查运用概率知识解决实际问题的能力和计算求解能力,难度一般.。
2019-2020学年苏教版高中数学选修2-3同步课堂精练：1.1两个基本计数原理Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料1．已知集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{1,2,3,4}，x∈M，y∈N，则点(x，y)有__________个．2．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本翻阅，共有__________种翻阅方法．3．某商场有东、南、西3个大门，楼内东、西两侧各有2个楼梯，某人从楼外到商场二楼的不同走法有__________种．4．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节参加演出需选一套服装，则李芳有__________种不同的着装方式．5．某饰品店有七套不同的“福娃”吉祥物饰品和八套不同的藏羚羊卡通饰品，某人想购买一套“福娃”吉祥物饰品和一套藏羚羊卡通饰品，一共有__________种不同选法．6．服装店有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，有__________种不同的买法，要买上衣、裤子各一件，共有__________种不同的选法．7．如图，某昆虫想从A到C，有__________种不同的走法．8．一个口袋内装有15个小球，另一个口袋内装有10个小球，所有这些小球的颜色各不相同．(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？9．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若从每年级各选一人为校学生会常委，有多少种不同的选法？(3)若要选出两名不同年级的学生参加市组织的活动，有多少种不同的选法？10．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？参考答案1答案：12解析：由分步计数原理得点的个数为S＝3×4＝12.2答案：37解析：根据分类计数原理得，不同的翻阅方法有N＝12＋14＋11＝37种．3答案：12解析：由分步计数原理：第一步进楼有3种方法；第二步上楼有4种方法．所以从楼外到二楼的不同走法有N＝3×4＝12种．4答案：14解析：分两类：第1类穿衬衣和裙子，共有N1＝4×3＝12种着装方式；第2类穿连衣裙，共有N2＝2种着装方式．由分类计数原理得，不同的着装方式共有N＝N1＋N2＝12＋2＝14种．5答案：56解析：由分步计数原理得，不同的选法有N＝7×8＝56种．6答案：33 270解析：买一件上衣或一条裤子应用分类计数原理，有N＝15＋18＝33种不同的买法；买上衣、裤子各一件应用分步计数原理，有M＝15×18＝270种不同的选法．7答案：6解析：分两类：第一类从A直接到C，有N1＝2种不同的走法；第二类从A经B到C，有2×2＝4种不同的走法；由分类计数原理得，昆虫的不同走法共有N＝2＋4＝6种．8解：(1)根据分类计数原理得，不同的取法种数为M＝15＋10＝25；(2)根据分步计数原理得，不同的取法种数为N＝15×10＝150.9解：(1)由分类计数原理得，不同的选学生会主席的方法共有M＝5＋6＋4＝15种；(2)由分步计数原理得，不同的选学生会常委的方法共有N＝5×6×4＝120种；(3)由分类和分步计数原理得，参加市组织活动的不同选法有P＝5×6＋6×4＋4×5＝74种．10解：分两类：第1类，幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×２0＝17 400种；第2类，幸运之星在乙箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴有20×30×19＝11 400种；根据分类计数原理，共有不同的结果种数为N＝17 400＋11 400＝28 800.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(答案解析)(3)
一、选择题1．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ） A ．0.444B ．0.008C ．0.7D ．0.2332．已知()~,X B n p ，且()2E X =，()43D X =，则n =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为800元，则所需检测费的均值为（ ） A ．2800元B ．2880元C ．3500元D ．3600元5．某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()21E X +=（ ） A ．13B ．12C ．5D ．46．某闯关游戏规则如下:在主办方预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于（ ） A ．0.064B ．0.144C ．0.216D ．0.4327．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p ，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p =（ ）A ． 0.4B ．0.6C ．0.1D ．0.28．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．16625B ．96625C ．192625D ．2566259．已知在5件产品中混有2件次品，现需要通过逐一检测直至查出2件次品为止，每检测一件产品的费用是10元，则所需检测费的均值为（ ） A ．32元B ．34元C ．35元D ．36元10．已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )等于( )A ．0.32B ．0.68C ．0.36D ．0.64 11．已知随机变量X 的方差()D X m =，设32Y X =+，则()D Y =（ ）A ．9mB ．3mC ．mD ．32m +12．2017年5月30日是我国的传统节日端午节，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个大枣馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =取到的两个都是豆沙馅”，则(|)P B A =（ ） A ．34B ．14C ．110D ．310二、填空题13．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球3次的得分ξ的均值为______.14．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，()P k ak b ξ==+（1,2,3k =），若ξ的数学期望7()3E ξ=，则a b +=_____. 15．(理)假设某10张奖券中有一等奖1张,奖品价值100元;有二等奖3张,每份奖品价值50元;其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张,获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望E ξ的概率为_________.16．已知随机变量ξ所有的取值为1，2，3，对应的概率依次为1p 、2p 、1p ，若随机变量ξ的方差12D ξ=，则12p p +的值是 _________. 17．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =______．18．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果()100.3P X <=,()10300.4P X ≤≤=，那么()30P X >等于_________. 19．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X >等于______________．20．一个碗中有10个筹码，其中5个都标有2元，5个都标有5元，某人从此碗中随机抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金的期望为________．三、解答题21．已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个.现从中随机取球，每次只取一球．()1若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；()2若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望．22．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是12和25，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （1）求甲射击5次，至少1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击3次，甲恰好比乙多击中目标2次的概率23．近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行996''工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息1小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费．消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式．对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行996''工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴X 服从正态分布()251,15N ，若该集团共有员工4000，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；（Ⅲ）已知样本数据中期望补贴数额在[]80,100范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望．附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=．24．袋中装着10个外形完全相同的小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，标有数字3的小球有3个，标有数字4的小球有4个.现从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的三个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量X 的分布列；（3）计算介于20分到40分之间的概率.25．如图，A 地到火车站共有两条路径，据统计两条路径所用的时间互不影响，所用时间在各时间段内的的频率如下表：时间（分钟）10~2020~3030~4040~5050~60L的频率0.10.20.30.20.31L的频率00.10.40.40.12现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望.26．现有甲乙两组学生，分别参加某项体能测试，所得成绩的茎叶图如图.规定测试成绩大于等于90分为优秀，80至89分为良好，60至79分为合格，60分以下为不合格.（1）现从甲组数据中抽取一名学生的成绩，有放回地抽取6次，记抽到优秀成绩的次数为P X；X，求4（2）从甲、乙两组学生中任取3名学生，记抽中成绩优秀的学生数为Y，求Y的概率分布与数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】直接利用对立事件和独立事件的概率求解.【详解】因为在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0．1，0．2，0．4，所以一小时内恰有一台机床需要维修的概率是：()()()()0.110.210.40.210.110.4p =⨯-⨯-+⨯-⨯- ，()()0.410.210.10.444+⨯-⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于中档题.2．B解析：B 【解析】∵~(,)X B n p ，∴()2E X =，4()3D X =，∴2np =，且4(1)3np p -=，解得613n p =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴6n =，故选B ．3．C解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==. 故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.4．A解析：A 【分析】设检测机器所需检测费为X ，则X 的可能取值为2000，3000，4000，分别求出相应的概率，由此能求出所需检测费的均值. 【详解】设检测机器所需检测费为X ，则X 的可能取值为1600，2400，3200，211(1600)5410P X ==⨯=，2313213213(2400)54354354310P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，133(3200)110105P X ==--=， 则133()160024003200280010105E X =⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了独立事件概率的求法，离散型随机变量的数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式，是中档题.5．C解析：C 【分析】根据1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭得到()2E X =，再根据()()2121E X E X +=+，计算得到答案. 【详解】1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故()()21215E X E X +=+=.故选：C . 【点睛】本题考查了二项分布的均值，同时也考查了期望性质的应用，意在考查学生的计算能力.6．B解析：B 【分析】根据题意得到第2个问题不正确，第3、4个问题正确，计算概率得到答案. 【详解】选手恰好回答了4个问题就闯关成功，则第2个问题不正确，第3、4 个问题正确. 故0.60.40.60.60.40.40.60.60.144p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：B . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的应用能力.7．A解析：A 【解析】 【分析】根据合格的情况列方程：()()2110.784p p p p p +-+-=，解方程求出结果． 【详解】由题意可得：()()2110.784p p p p p +-+-= 整理可得：()()22212330.784p p p p p pp -+-+=-+=解得：0.4p = 本题正确选项：A 【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．B解析：B 【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ．9．C解析：C 【解析】 【分析】随机变量X 的可能取值为20,30,40，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】X 的可能取值为20,30,40，()222521202010A P X A ====；()311232323562323306010A C C A P X A +⋅⋅+⨯⨯====； ()()()1334012030110105P X P X P X ==-=-==--=，数学期望2030403510105EX =⨯+⨯+⨯=， 即需检测费的均值为35，故选C. 【点睛】本题主要考查组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.10．C解析：C 【解析】如图，由正态曲线的对称性可得(4)12()0.36P a X a P X a ≤<-=-<=.故选C.11．A解析：A 【解析】∵()D X m =，∴2()(32)3()D Y D X D X =+=9()D X =9m =，故选A ．12．A解析：A 【解析】由题意，2223C +C 4P A ==1010（）,23C 3P AB ==1010（）P AB 3P A |B ==P A 4（）（）（）∴，故选：A ．【思路点睛】求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝n AB n A （）（），其中n(AB)表示事件AB 包含的基本事件个数，n(A)表示事件A 包含的基本事件个数． 二是直接根据定义计算，P(B|A)＝p AB p A （）（），特别要注意P(AB)的求法．二、填空题13．1【分析】结合题意可知得分的取值为分别计算出每一种情况的概率最后运用数学期望公式求出结果【详解】由题意罚球3次的得分的取值情况为罚球命中的概率为07则罚球不中的概率为则有:所以故答案为:【点睛】本题解析：1 【分析】结合题意可知得分ξ的取值为0,1,2,3,分别计算出每一种情况的概率,最后运用数学期望公式求出结果. 【详解】由题意罚球3次的得分ξ的取值情况为0,1,2,3,罚球命中的概率为0.7,则罚球不中的概率为10.70.3-=,则有: 3327(0)()101000P ξ===,21337189(1)()()10101000P C ξ===,22337441(2)()()10101000P C ξ===,37343(3)()101000P ξ===,所以27189441343()0123 2.11000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为:2.1 【点睛】本题考查了求均值问题,在求解过程中不要遗漏可能出现的情况,并能正确求出各情况的结果,需要掌握解题方法.14．【分析】要求的值就是要将与求出两个未知数建立出两个方程即可由概率之和为1得到一个方程由得到第二个方程建立方程组从而得到结果【详解】解：离散随机变量可能取的值为123（）故的数学期望①而且②①②联立方解析：16【分析】要求+a b 的值，就是要将a 与b 求出。
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1.1计数原理同步练习(3)
1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()
A．4种B．10种C．18种 D．20种
2．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有()
A．16种B．18种C．37种D．48种
3．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有()
A．30种B．31种C．35种D．40种
4．某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有()
A．10种B．12种C．15种D．16种
5．(2014·汕头模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()
A．400种B．460种C．480种D．496种
6．(2014·湖北七市联考)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙2机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()
A．12种B．18种C．24种D．48种
7．从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．
8．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有________场比赛．
9．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
10．(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
11．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多
少种？
12．如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有多少种？
1、B赠送一本画册，3本集邮册，共4种方法；赠送2本画册，2本集邮册，共C24种方法．由计数原理知有4＋C24＝10(种)．
2、C三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37(种)．
3、B分类：第一类，两人拿对，其他3人均拿错：2×C25＝20(种)；第二类，三人拿对：C35＝10(种)；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种．故共有20＋10＋1＝31(种)．
4、C分三类：①使用甲原料有C13·1＝3(种)方法；②使用乙原料有C13·A22＝6(种)方法；③甲、乙原料都不使用，有A23＝6(种)方法，共有3＋6＋6＝15(种)投放方案．
5、C从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，因此不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．
6、C先将甲、乙捆绑，然后将其与除甲、乙、丙、丁外的第5架舰载机全排列，再将丙、丁插空，最后将甲、乙松绑，故不同的着舰方法共有A22·A23·A22＝24种．
7、240 解析共有4×5×4×3＝240(种)．
8、16 解析小组赛共有2C24场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4场比赛．根据分类计数原理知共有2C24＋4＝16场比赛．
9、40 解析分两类：①有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；②有两条公共边的三角形共有8个．故共有32＋8＝40(个)．
10、解析(1)该问题中要完成的事情是4名同学报名，因而可按学生分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81种报名方法．
(2)该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64种．
11、解析根据A球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6(种)不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6(种)不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E根据分步乘法计数原理得，3×3×2×1＝18(种)不同方法．
综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30(种)．
12、解析分三类：(1)B、D、E、F用四种颜色，则有A44×1×1＝24种方法；
(2)B、D、E、F用三种颜色，则有A34×2×2＋A34×2×1×2＝192种方法；
(3)B、D、E、F用两种颜色，则有A24×2×2＝48，所以共有不同的涂色方法24＋192＋48＝264种．。