2020-2021学年高中数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线
解：由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程
x＝2（φ－sin φ），
为：
(φ 为参数)．
y＝2（1－cos φ）
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归纳升华 1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可 知其中的字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相 对于某一定点运动所张开的角度大小．
于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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2．当 φ＝2π 时，圆的渐开线
x＝6（cos y＝6（sin
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ
为参数)上的点是(
)
A．(6，0)
B．(6，6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
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由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，
故所求摆线的参数方程为
x＝2k1π（φ－sin y＝2k1π（1－cos
φ）， (φ
φ）
为参数，其中
k∈N*)．
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[迁移探究] (变换条件)把典例 2 中的条件“摆线过 一定点(1，0)”改为“半径为 2”，请写出该摆线的参数 方程．
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：因为半径 r＝2，所以拱宽为 2πr＝4π，拱高为
2r＝4.
答案：D
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4．写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：_________．
2020-2021学年高中数学人教A版选修4-4习题：2.4渐开线与摆线
四 渐开线与摆线课后篇巩固探究A 组1.下列说法正确的是( )①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A.②③B.②C.③D.①③2.下列各点中,在圆的摆线{x =φ-sinφ,y =1-cosφ(φ为参数)上的是( )A .(π,0)B .(π,1)C .(2π,2)D .(2π,0).3.当φ=2π时,圆的渐开线{x =6(cosφ+φsinφ),y =6(sinφ-φcosφ)(φ为参数)上对应的点是( )A.(6,0)B.(6,6π)C.(6,-12π)D.(-π,12π)φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得{x =6(cos2π+2π·sin2π)=6,y =6(sin2π-2π·cos2π)=-12π,即所求的坐标为(6,-12π).4.当φ=3π2时,圆的摆线{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ(φ为参数)上对应的点的坐标是 .π+4,4)5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=π3,那么该点的坐标为 .r=3,所以圆的摆线的参数方程为{x =3φ-3sinφ,y =3-3cosφ(φ为参数).把φ=π3代入得x=π-3√32,y=3-32=32.故该点的坐标为(π-3√32,32).-3√32,32) 6.已知一个圆的摆线方程是{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ(φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.4,所以面积是16π,该圆对应的渐开线的参数方程是{x =4cosφ+4φsinφ,y =4sinφ-4φcosφ(φ为参数).7.已知圆C 的参数方程是{x =1+6cosα,y =-2+6sinα(α为参数),直线l 的普通方程是x-y-6√2=0.(1)如果把圆心平移到原点O ,请问平移后圆和直线有什么位置关系? (2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.圆C 平移后的圆心为O (0,0),它到直线x-y-6√2=0的距离为d=√2√2=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的. (2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是{x =6cosφ+6φsinφ,y =6sinφ-6φcosφ(φ为参数).8.导学号73574057当φ=3π2,π时,求出渐开线{x =cosφ+φsinφ,y =sinφ-φcosφ(φ为参数)上的对应点A ,B ,并求出A ,B 两点间的距离.φ=3π2代入{x =cosφ+φsinφ,y =sinφ-φcosφ, 得{x =cos3π2+3π2sin 3π2=-3π2,y =sin 3π2-3π2cos 3π2=-1,所以A (-3π2,-1).将φ=π代入{x =cosφ+φsinφ,y =sinφ-φcosφ,得{x =cosπ+πsinπ=-1,y =sinπ-πcosπ=π,所以B (-1,π).故A ,B 两点间的距离为|AB|=√(3π2-1)2+(1+π)2=√134π2-π+2.9.已知圆的半径为r ,圆沿x 轴正向滚动,开始时圆与x 轴相切于原点O ,圆上点M 从起始处(点O 处)沿顺时针已偏转φ角.试求点M 的轨迹的参数方程.x M =r ·φ-r ·cos (φ-π2)=r (φ-sin φ),y M =r+r ·sin (φ-π2)=r (1-cos φ).故点M 的轨迹的参数方程为{x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)(φ为参数).B 组1.我们知道图象关于直线y=x 对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线{x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)(φ为参数)关于直线y=x 对称的曲线的参数方程为( ) A.{x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)(φ为参数) B.{x =r (1-cosφ),y =r (φ-sinφ)(φ为参数) C.{x =rsinφ,y =r (1-cosφ)(φ为参数) D.{x =r (1-cos φ),y =rsinφ(φ为参数)y=x 对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线关于直线y=x 对称的曲线方程,只需把其中的x 与y 互换.2.已知一个圆的参数方程为{x =3cosθ,y =3sinθ(θ为参数),则圆的摆线的参数方程中与φ=π2对应的点A 与点B (3π2,2)之间的距离为( ) A.π2-1 B.√2C.√10D.√3π2-1,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为{x =3(φ-sinφ),y =3(1-cosφ)(φ为参数),把φ=π2代入参数方程中可得{x =3(π2-1),y =3,即A (3π2-3,3),所以|AB|=√(3π2-3-3π2)2+(3-2)2=√10.3.导学号73574058如图,ABCD 是边长为1的正方形,曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”,其中AE⏜,EF ⏜,FG ⏜,GH ⏜,…的圆心依次按B ,C ,D ,A 循环,则曲线段AEFGH 的长是( )A.3πB.4πC.5πD.6π,AE⏜是半径为1的14圆周长,长度为π2;EF ⏜是半径为2的14圆周长,长度为π;FG ⏜是半径为3的4圆周长,长度为3π2;GH ⏜是半径为4的14圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH 的长是5π.4.已知渐开线{x =7(cosφ+φsinφ),y =7(sinφ-φcosφ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为 .r=7,其方程为x 2+y 2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为(12x)2+y 2=49,整理可得x 2196+y 249=1,这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c=√a 2-b 2=√196-49=√147=7√3.故焦点坐标为(7√3,0)和(-7√3,0).√3,0)和(-7√3,0) 5.导学号73574059已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请写出该圆半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.y=0,可得r (1-cos φ)=0,由于r>0,即得cos φ=1,所以φ=2k π(k ∈Z ).将其代入x=r (φ-sin φ),得x=r (2k π-sin2k π)(k ∈Z ).又因为x=2,所以r (2k π-sin2k π)=2,即得r=1kπ(k ∈Z ).又由实际可知r>0,所以r=1kπ(k ∈N *).易知,当k=1时,r 取最大值1π.故所求圆的摆线的参数方程为{x =1π(φ-sinφ),y =1π(1-cosφ)(φ为参数);所求圆的渐开线的参数方程为{x =1π(cosφ+φsinφ),y =1π(sinφ-φcosφ)(φ为参数). 6.设圆的半径为4,圆沿x 轴正向滚动,开始时圆与x 轴相切于原点O ,记圆上动点为M ,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M 的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y 的最大值.M 的轨迹是摆线,其参数方程为{x =4(φ-sinφ),y =4(1-cosφ)(φ为参数,且0≤φ≤2π).其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π),如图所示.易知,当x=4π时,y 有最大值8,故该曲线上纵坐标y 的最大值为8.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高二数学,人教A版,选修4-4 , 摆线和渐开线, 课件
x＝rφ－sinφ 是 y＝r1－cosφ
(φ为参数)
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是(
A．只有圆才有渐开线
)
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一 样，所以才得到了不同的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不 同，画出的渐开线形状就不同
(φ为
圆的渐开线参数方程
已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对 π 3π 应的曲线上两点A，B对应的参数分别是 2 和 2 ，求A，B两点间 的距离．
[思路点拨]
代入 渐开线的参数方程 ――→ A，B两点的坐标 参数
距离 ――→ A，B两点的距离 公式
[解题过程]
由题意，知r＝1，则圆的渐开线参数方程为 (φ为参数)
(θ为参数)的摆线上一点的纵坐标为0， ) B．3π D．12π
那么其横坐标可能是( A．π C．6π
解析：
根据条件可知圆的摆线的参数方程为 (φ为参数)，把y＝0代入，得cosφ＝1，
x＝3φ－3sinφ， y＝3－3cosφ
所以φ＝2kπ(k∈Z)． 而x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)．
x＝rcosφ＋φsinφ ________________________ y＝rsinφ－φcosφ
(φ是参数)
2．摆线及其参数方程 无滑动地 滚动时，圆周上的 (1)当一个圆沿着一条定直线__________ 定点运动 的轨迹叫做__________ 半摆线 ，简称__________ 摆线 __________ ，又叫做 旋轮线 ． __________
取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正
人A版数学选修4-4课件：第2讲 4 渐开线与摆线
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半 径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
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[再练一题]
x＝cos φ＋φsin φ， 3π π 1．当φ＝ 2 ， 2 时，求出渐开线 上的对应点A，B，并 y＝sin φ－φcos φ
【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确． 【答案】 B
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝
3＋ 6
3π
3 3－π 2 2 π －2 ＋ 6 －1
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即A、B两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6
人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
么曲线.
(2)若曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|.
【解题探究】(1)如何将参数方程化为普通方程? 提示:消去参数即得曲线的普通方程. (2)如何求线段的长度? 提示:利用直线参数方程的几何意义计算线段长度.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
(t为参数)即为
(t为参数)
答案:
(t为参数)
【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
1.直线的参数方程中,参数的几何意义是什么?
提示:设e表示直线向上方向上的单位向量,
当
参数t>0时, 与e同向;
有向线段
|t|是定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的 的长.
2.方程组变形为
①代入②消去参数t,得直线的点斜式方程
可得
倾斜角
普通方程为
①②两式平方相加,得(x+3)2+(y-1)2=4t2,
所以
|t|是定点M0(3,1)到t对应
的点M(x,y)的有向线段 的长的一半.
【方法技巧】直线参数方程的标准形式应用技巧 (1)已知直线l经 过 点M0(x0,y0),倾 斜角为α,点M(x,y) 为 直线l上任意一点,则 直线l的参数方程为 (t为 参数) ①
三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线
【自主预习 】
1.直线的参数方程
已知直线l经 过 点M0(x0,y0),倾 斜角为
点M(x,y)
为 直线l上任意一点,则 直线l的普通方程和参数方程分
别为
普通方程
参数方程
_y_-_y_0_=_t_a_n_α__(_x_-_x_0_) ___________ (t为 参数)
高中数学人教A版选修4-4课件：2-4渐开线与摆线
目标导航 题型一 题型二 题型三
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
圆的渐开线的参数方程及应用 【例1】 已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线 π π 上两点A,B对应的参数分别 是 和 , 求������, ������两点间的距离. 3 2 分析:先写出圆的渐开线的参数方程,再把点A,B对应的参数分别 代入参数方程可得A,B两点的坐标,然后使用两点之间的距离公式 可得点A,B之间的距离. 解:根据题意可知圆的半径是1, 所以其对应渐开线的参数方程是 ������ = cos������ + ������sin������, (������为参数). ������ = sin������-������cos������ π π 分别把 φ= 和 ������ = 代入,
3 2
可得 A,B 两点的坐标分别为 ������
3+ 3π 3 3-π 6
,
6
, ������
பைடு நூலகம்π 2
,1 .
根据两点之间的距离公式可得 A,B 两点间的距离为
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Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
|AB|=
������ = 9(������-sin������), (������为参数). ������ = 9(1-cos������)
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
人教A版高中数学选修4-4课件 2.4渐开线课件1
所以当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐标是32π，3. 答案：3 32π，3
例2已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆 线的参数方程．
解析：由 y＝0 知，r(1－cos φ)＝0， ∵r≠0，∴cos φ＝1，∴φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(φ－sin φ)＝1，得 2kπr＝1(k∈Z)．
半径为
8
的圆的渐开线参数方程为xy＝＝88scions
φ＋8φsin φ－8φcos
φ， φ
(φ 为参数)，摆线参数方程为______________．,
答案：xy＝＝88－φ－8c8ossinφφ， (φ 为参数)
题型1 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
例 1 已知圆的渐开线的参数方程为：
x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
后把 φ＝π2代入方程，即得对应的点的坐标．
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 x＝3cos φ＋φsin φ， y＝3sin φ－φcos φ， 所以基圆半径 r＝3. 把 φ＝π2代入方程，可得
x＝3cos
π2＋π2sin
π2，
y＝3sin
π2－π2cos
π2，
即x＝32π， y＝3.
半径)． 2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 x 轴，定点
M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设 圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为：
____xy_＝＝__rr__1φ_－－__c_so_in_s_φφ__，____(_φ__为__参___数__)_______.
预习 思考
解析：由 y＝1 及 y＝1－cos t 得 cos t＝0， 又 0≤t≤2π， ∴t1＝π2，t2＝32π. 当 t1＝π2时，
人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
9
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是x
1
tcos
， 3
(t为参数)即为
x
1(1t为t，参数) 2
y
3
tsin
， 3
答案:
x
1
1(tt，为参y 数3) 2
3 t. 2
y 3
三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线
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1
【自主预习】
1.直线的参数方程
已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为
(
点M(x,y) )，
为直线l上任意一点,则直线l的普通方程和参2 数方程分
别为
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2
普通方程
参数方程
_y_-_y_0_=_t_a_n_α__(_x_-_x_0_) __xy__yx_00__ttsc_ion_s_，_ (t为参数) 其中,直线的参数方程中参数t的绝对值|t|=_Muu_u0u_Mur_. .
3
倾斜角
，
2
2
2. 3
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29
(2) x
1
1 t, 不2 是直线参数方程的标准形式,
令t′=y -t2,得 到23 t标准形式的参数方程为
x
1
1 2
t,
(t′为参数)
y 2
3 t. 2
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30
3.已知直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°. (1)写出直线l的参数方程. (2)求直线l与直线x-y+1=0的交点.