2020-2021学年高中数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线
解：由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程
x＝2（φ－sin φ），
为：
(φ 为参数)．
y＝2（1－cos φ）
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归纳升华 1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可 知其中的字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相 对于某一定点运动所张开的角度大小．
于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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10
2．当 φ＝2π 时，圆的渐开线
x＝6（cos y＝6（sin
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ
为参数)上的点是(
)
A．(6，0)
B．(6，6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
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由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，
故所求摆线的参数方程为
x＝2k1π（φ－sin y＝2k1π（1－cos
φ）， (φ
φ）
为参数，其中
k∈N*)．
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[迁移探究] (变换条件)把典例 2 中的条件“摆线过 一定点(1，0)”改为“半径为 2”，请写出该摆线的参数 方程．
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：因为半径 r＝2，所以拱宽为 2πr＝4π，拱高为
2r＝4.
答案：D
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4．写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：_________．
2020-2021学年高中数学人教A版选修4-4习题：2.4渐开线与摆线
四 渐开线与摆线课后篇巩固探究A 组1.下列说法正确的是( )①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A.②③B.②C.③D.①③2.下列各点中,在圆的摆线{x =φ-sinφ,y =1-cosφ(φ为参数)上的是( )A .(π,0)B .(π,1)C .(2π,2)D .(2π,0).3.当φ=2π时,圆的渐开线{x =6(cosφ+φsinφ),y =6(sinφ-φcosφ)(φ为参数)上对应的点是( )A.(6,0)B.(6,6π)C.(6,-12π)D.(-π,12π)φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得{x =6(cos2π+2π·sin2π)=6,y =6(sin2π-2π·cos2π)=-12π,即所求的坐标为(6,-12π).4.当φ=3π2时,圆的摆线{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ(φ为参数)上对应的点的坐标是 .π+4,4)5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=π3,那么该点的坐标为 .r=3,所以圆的摆线的参数方程为{x =3φ-3sinφ,y =3-3cosφ(φ为参数).把φ=π3代入得x=π-3√32,y=3-32=32.故该点的坐标为(π-3√32,32).-3√32,32) 6.已知一个圆的摆线方程是{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ(φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.4,所以面积是16π,该圆对应的渐开线的参数方程是{x =4cosφ+4φsinφ,y =4sinφ-4φcosφ(φ为参数).7.已知圆C 的参数方程是{x =1+6cosα,y =-2+6sinα(α为参数),直线l 的普通方程是x-y-6√2=0.(1)如果把圆心平移到原点O ,请问平移后圆和直线有什么位置关系? (2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.圆C 平移后的圆心为O (0,0),它到直线x-y-6√2=0的距离为d=√2√2=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的. (2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是{x =6cosφ+6φsinφ,y =6sinφ-6φcosφ(φ为参数).8.导学号73574057当φ=3π2,π时,求出渐开线{x =cosφ+φsinφ,y =sinφ-φcosφ(φ为参数)上的对应点A ,B ,并求出A ,B 两点间的距离.φ=3π2代入{x =cosφ+φsinφ,y =sinφ-φcosφ, 得{x =cos3π2+3π2sin 3π2=-3π2,y =sin 3π2-3π2cos 3π2=-1,所以A (-3π2,-1).将φ=π代入{x =cosφ+φsinφ,y =sinφ-φcosφ,得{x =cosπ+πsinπ=-1,y =sinπ-πcosπ=π,所以B (-1,π).故A ,B 两点间的距离为|AB|=√(3π2-1)2+(1+π)2=√134π2-π+2.9.已知圆的半径为r ,圆沿x 轴正向滚动,开始时圆与x 轴相切于原点O ,圆上点M 从起始处(点O 处)沿顺时针已偏转φ角.试求点M 的轨迹的参数方程.x M =r ·φ-r ·cos (φ-π2)=r (φ-sin φ),y M =r+r ·sin (φ-π2)=r (1-cos φ).故点M 的轨迹的参数方程为{x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)(φ为参数).B 组1.我们知道图象关于直线y=x 对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线{x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)(φ为参数)关于直线y=x 对称的曲线的参数方程为( ) A.{x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)(φ为参数) B.{x =r (1-cosφ),y =r (φ-sinφ)(φ为参数) C.{x =rsinφ,y =r (1-cosφ)(φ为参数) D.{x =r (1-cos φ),y =rsinφ(φ为参数)y=x 对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线关于直线y=x 对称的曲线方程,只需把其中的x 与y 互换.2.已知一个圆的参数方程为{x =3cosθ,y =3sinθ(θ为参数),则圆的摆线的参数方程中与φ=π2对应的点A 与点B (3π2,2)之间的距离为( ) A.π2-1 B.√2C.√10D.√3π2-1,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为{x =3(φ-sinφ),y =3(1-cosφ)(φ为参数),把φ=π2代入参数方程中可得{x =3(π2-1),y =3,即A (3π2-3,3),所以|AB|=√(3π2-3-3π2)2+(3-2)2=√10.3.导学号73574058如图,ABCD 是边长为1的正方形,曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”,其中AE⏜,EF ⏜,FG ⏜,GH ⏜,…的圆心依次按B ,C ,D ,A 循环,则曲线段AEFGH 的长是( )A.3πB.4πC.5πD.6π,AE⏜是半径为1的14圆周长,长度为π2;EF ⏜是半径为2的14圆周长,长度为π;FG ⏜是半径为3的4圆周长,长度为3π2;GH ⏜是半径为4的14圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH 的长是5π.4.已知渐开线{x =7(cosφ+φsinφ),y =7(sinφ-φcosφ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为 .r=7,其方程为x 2+y 2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为(12x)2+y 2=49,整理可得x 2196+y 249=1,这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c=√a 2-b 2=√196-49=√147=7√3.故焦点坐标为(7√3,0)和(-7√3,0).√3,0)和(-7√3,0) 5.导学号73574059已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请写出该圆半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.y=0,可得r (1-cos φ)=0,由于r>0,即得cos φ=1,所以φ=2k π(k ∈Z ).将其代入x=r (φ-sin φ),得x=r (2k π-sin2k π)(k ∈Z ).又因为x=2,所以r (2k π-sin2k π)=2,即得r=1kπ(k ∈Z ).又由实际可知r>0,所以r=1kπ(k ∈N *).易知,当k=1时,r 取最大值1π.故所求圆的摆线的参数方程为{x =1π(φ-sinφ),y =1π(1-cosφ)(φ为参数);所求圆的渐开线的参数方程为{x =1π(cosφ+φsinφ),y =1π(sinφ-φcosφ)(φ为参数). 6.设圆的半径为4,圆沿x 轴正向滚动,开始时圆与x 轴相切于原点O ,记圆上动点为M ,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M 的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y 的最大值.M 的轨迹是摆线,其参数方程为{x =4(φ-sinφ),y =4(1-cosφ)(φ为参数,且0≤φ≤2π).其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π),如图所示.易知,当x=4π时,y 有最大值8,故该曲线上纵坐标y 的最大值为8.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高二数学,人教A版,选修4-4 , 摆线和渐开线, 课件
x＝rφ－sinφ 是 y＝r1－cosφ
(φ为参数)
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是(
A．只有圆才有渐开线
)
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一 样，所以才得到了不同的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不 同，画出的渐开线形状就不同
(φ为
圆的渐开线参数方程
已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对 π 3π 应的曲线上两点A，B对应的参数分别是 2 和 2 ，求A，B两点间 的距离．
[思路点拨]
代入 渐开线的参数方程 ――→ A，B两点的坐标 参数
距离 ――→ A，B两点的距离 公式
[解题过程]
由题意，知r＝1，则圆的渐开线参数方程为 (φ为参数)
(θ为参数)的摆线上一点的纵坐标为0， ) B．3π D．12π
那么其横坐标可能是( A．π C．6π
解析：
根据条件可知圆的摆线的参数方程为 (φ为参数)，把y＝0代入，得cosφ＝1，
x＝3φ－3sinφ， y＝3－3cosφ
所以φ＝2kπ(k∈Z)． 而x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)．
x＝rcosφ＋φsinφ ________________________ y＝rsinφ－φcosφ
(φ是参数)
2．摆线及其参数方程 无滑动地 滚动时，圆周上的 (1)当一个圆沿着一条定直线__________ 定点运动 的轨迹叫做__________ 半摆线 ，简称__________ 摆线 __________ ，又叫做 旋轮线 ． __________
取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正
人A版数学选修4-4课件：第2讲 4 渐开线与摆线
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半 径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
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[再练一题]
x＝cos φ＋φsin φ， 3π π 1．当φ＝ 2 ， 2 时，求出渐开线 上的对应点A，B，并 y＝sin φ－φcos φ
【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确． 【答案】 B
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝
3＋ 6
3π
3 3－π 2 2 π －2 ＋ 6 －1
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即A、B两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6
人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
么曲线.
(2)若曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|.
【解题探究】(1)如何将参数方程化为普通方程? 提示:消去参数即得曲线的普通方程. (2)如何求线段的长度? 提示:利用直线参数方程的几何意义计算线段长度.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
(t为参数)即为
(t为参数)
答案:
(t为参数)
【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
1.直线的参数方程中,参数的几何意义是什么?
提示:设e表示直线向上方向上的单位向量,
当
参数t>0时, 与e同向;
有向线段
|t|是定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的 的长.
2.方程组变形为
①代入②消去参数t,得直线的点斜式方程
可得
倾斜角
普通方程为
①②两式平方相加,得(x+3)2+(y-1)2=4t2,
所以
|t|是定点M0(3,1)到t对应
的点M(x,y)的有向线段 的长的一半.
【方法技巧】直线参数方程的标准形式应用技巧 (1)已知直线l经 过 点M0(x0,y0),倾 斜角为α,点M(x,y) 为 直线l上任意一点,则 直线l的参数方程为 (t为 参数) ①
三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线
【自主预习 】
1.直线的参数方程
已知直线l经 过 点M0(x0,y0),倾 斜角为
点M(x,y)
为 直线l上任意一点,则 直线l的普通方程和参数方程分
别为
普通方程
参数方程
_y_-_y_0_=_t_a_n_α__(_x_-_x_0_) ___________ (t为 参数)
高中数学人教A版选修4-4课件：2-4渐开线与摆线
目标导航 题型一 题型二 题型三
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
圆的渐开线的参数方程及应用 【例1】 已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线 π π 上两点A,B对应的参数分别 是 和 , 求������, ������两点间的距离. 3 2 分析:先写出圆的渐开线的参数方程,再把点A,B对应的参数分别 代入参数方程可得A,B两点的坐标,然后使用两点之间的距离公式 可得点A,B之间的距离. 解:根据题意可知圆的半径是1, 所以其对应渐开线的参数方程是 ������ = cos������ + ������sin������, (������为参数). ������ = sin������-������cos������ π π 分别把 φ= 和 ������ = 代入,
3 2
可得 A,B 两点的坐标分别为 ������
3+ 3π 3 3-π 6
,
6
, ������
பைடு நூலகம்π 2
,1 .
根据两点之间的距离公式可得 A,B 两点间的距离为
目标导航 题型一 题型二 题型三
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
|AB|=
������ = 9(������-sin������), (������为参数). ������ = 9(1-cos������)
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
人教A版高中数学选修4-4课件 2.4渐开线课件1
所以当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐标是32π，3. 答案：3 32π，3
例2已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆 线的参数方程．
解析：由 y＝0 知，r(1－cos φ)＝0， ∵r≠0，∴cos φ＝1，∴φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(φ－sin φ)＝1，得 2kπr＝1(k∈Z)．
半径为
8
的圆的渐开线参数方程为xy＝＝88scions
φ＋8φsin φ－8φcos
φ， φ
(φ 为参数)，摆线参数方程为______________．,
答案：xy＝＝88－φ－8c8ossinφφ， (φ 为参数)
题型1 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
例 1 已知圆的渐开线的参数方程为：
x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
后把 φ＝π2代入方程，即得对应的点的坐标．
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 x＝3cos φ＋φsin φ， y＝3sin φ－φcos φ， 所以基圆半径 r＝3. 把 φ＝π2代入方程，可得
x＝3cos
π2＋π2sin
π2，
y＝3sin
π2－π2cos
π2，
即x＝32π， y＝3.
半径)． 2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 x 轴，定点
M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设 圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为：
____xy_＝＝__rr__1φ_－－__c_so_in_s_φφ__，____(_φ__为__参___数__)_______.
预习 思考
解析：由 y＝1 及 y＝1－cos t 得 cos t＝0， 又 0≤t≤2π， ∴t1＝π2，t2＝32π. 当 t1＝π2时，
人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
9
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是x
1
tcos
， 3
(t为参数)即为
x
1(1t为t，参数) 2
y
3
tsin
， 3
答案:
x
1
1(tt，为参y 数3) 2
3 t. 2
y 3
三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线
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1
【自主预习】
1.直线的参数方程
已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为
(
点M(x,y) )，
为直线l上任意一点,则直线l的普通方程和参2 数方程分
别为
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2
普通方程
参数方程
_y_-_y_0_=_t_a_n_α__(_x_-_x_0_) __xy__yx_00__ttsc_ion_s_，_ (t为参数) 其中,直线的参数方程中参数t的绝对值|t|=_Muu_u0u_Mur_. .
3
倾斜角
，
2
2
2. 3
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29
(2) x
1
1 t, 不2 是直线参数方程的标准形式,
令t′=y -t2,得 到23 t标准形式的参数方程为
x
1
1 2
t,
(t′为参数)
y 2
3 t. 2
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30
3.已知直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°. (1)写出直线l的参数方程. (2)求直线l与直线x-y+1=0的交点.
人教版高中数学选修(4-4)-2.4《渐开线与摆线》参考教案
渐开线与摆线一、教学目标：知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析：1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数）2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。
⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）（三）、例题与训练题：例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2πϕ=，π时，求圆渐开线⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。
变式训练 2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 2)sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程变式训练3： 求摆线⎩⎨⎧-=-=t y tt x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。
（四）、小结：本节课学习了以下内容：1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。
2020-2021学年人教A版数学选修4-4课件：第二讲 四 渐开线与摆线
考纲定位
重难突破
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚 重点：渐开线与摆线
动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚 的基本概念和参数方
动时直线上定点的轨迹(渐开线)．知道平摆线 程.
和渐开线的生成过程，以及它们的参数方程. 难点：渐开线与摆线
2.通过阅读材料，知道外摆线、内摆线的生成 及其方程的灵活运用.
过程；学会摆线在实际应用中的实例.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
1．渐开线的产生过程
[自主梳理]
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧， 保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定
圆叫做 基圆 ．
程；④圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆， 只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同， 其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐 标轴的交点要看坐标系的选取．故选 C. 答案：C
[双基自测]
1．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线
的参数方程可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出
坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐
开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方
因此O→M＝O→B＋B→M
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
人教A版高中数学选修4-4课件 2.4摆线课件
2.摆线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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摆线的概念
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上 一个定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ．
摆线的参数方程：
x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
(φ 为参数)
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所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
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总结：
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动， 圆周上一个定点的轨迹．
(2)在圆的摆线中，圆周上定点的位置也可以由圆心角φ唯 一确定．
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[例2] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时 圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚 动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程， 画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说 明该曲线的对称轴．
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[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求 法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．
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轨迹曲线的参数方程为
x＝8t－sin t y＝81－cos t
(0≤t≤2π)
即 t＝π 时，即 x＝8π 时，y 有最大值 16.
向量OB ＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)， BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
人民教育出版社 高中 |选修4-4
高二数学人教A版选修4-4课件：第二讲 四 渐开线与摆线
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
[解] 当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 AM 的
长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量―O→B ＝(2α，2)，向量―M→B ＝(2sin α，2cos α)， ―BM→＝(－2sin α，－2cos α)，因此―OM→＝―O→B ＋―BM→ ＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 又动点 M 的坐标为(x，y)，向量―OM→＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地 滚动时圆周上一个定点的轨迹．
人教A版高中数学选修4-4渐近线与摆线课件
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设 开 始 时 绳 子 外 端 （ 笔 尖 ） 位 于 点 A ，
当 外 端 展 开 到 点 M 时 ， 因 为 绳 子 对 圆 心 角 的 一 段 弧 A B ，
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
显然，点M由角 唯一确定。
B
取 为 参 数 ， 则 点 B 的 坐 标 为 （ r c o s , r s i n ） , 从 而
B M ( x r c o s , y r s i n ) , |B M | r .
O
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
线 段 O A 的 长 等 于 M A 的 长 ， 即 O A r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
解 得 x y r r((c so in s c so in s ))(是 参 数 )。
这就是圆的渐开线的参数方程。
人教A版高中数学选修4-4渐近线与摆线
4
2、渐开线的参数方程
y
x y rr((cso ins cso ins ))(是 参 数 )。
B
M
O
A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
高二数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线
S 随堂练习 UITANG LIANXI
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3.圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)圆的渐开线的参数方程:
x
= r(������������������φ + φ������������������φ), y = r(������������������φ-φ������������������φ) (φ
x y
= =
���1���1������((φ1--������������������������������������φφ)),(φ
为参数);
所求圆的渐开线的参数方程为
x
=
1 ������
y=
(������������������φ + φ������������������φ),
1 ������
x y
= =
221k1k������������((φ1--������������������������������������φφ)),(φ
为参数,k∈N*).
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四 渐开线与摆线
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课程目标 1.借助教具或计算机软件,观察圆在直 线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、 直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹 (渐开线).知道平摆线和渐开线的生成 过程,以及它们的参数方程. 2.通过阅读材料,知道外摆线、内摆线 的生成过程;学会摆线在实际应用中的 实例.
2020—2021学年人教A版高中数学选修4-4第2讲参数方程四渐开线与摆线课件
摆线1.了解圆的渐开线的参数方程. 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程. 3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.
[知识链接] 1.圆的渐开线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？
提示 根据渐开线的定义和求解参数方程的过 程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参 数φ是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转 过的角度，如图，其中的∠AOB即是角φ.显然 点M由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时 可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为 与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单 .
A.π C.6π
答案 C
B.3π D.10π
A.(6，0)
B.(6，6π)
C.(6，－12π)
D.(－π，12π)
解析 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程.
∴x＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，
y＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.
答案 C
3.半径为4的圆的渐开线的参数方程是________.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么 关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程； (3)求摆线和x轴的交点.
1.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指 绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
2.由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的 半径，就能确定摆线的参数方程.
跟踪演练1 半径为2的基圆的渐开线的参数方程为________.
要点二 求摆线的参数方程 例2 已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径
最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程.
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.4渐开线与摆线
思维辨析
变式训练 1 已知圆的渐开线的参数方程是 ������ = cos������ + ������sin������, (φ 为参数),则此渐开线对应的基圆的直径 ������ = sin������-������cos������ π 是 ,当参数 φ= 时对应的曲线上的点的坐标 为 .
√2
四
渐开线与摆线
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解 圆的渐开线的参 渐开线与摆线 数方程,了解 摆线的生成 渐开线的概念及生成过程 过程及它的参数方程. 摆线的概念及生成过程 2.了解 用向量知识推导 圆的渐开线与摆线的参数方程 运动轨迹的方法和步骤.
1.渐开线 (1)把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支 铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的 曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆. (2)圆的渐开线的参数方程: ������ = ������(cos������ + ������sin������), (φ 为参数). ������ = ������(sin������-������cos������) 2.摆线 (1)圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上 一个定点的轨迹,圆的摆线又叫旋轮线. (2)圆的摆线的参数方程: ������ = ������(������-sin������), (φ 为参数). ������ = ������(1-cos������)
)
做一做2 半径为2的圆的摆线的参数方程为( ������ = 2cos������, A. (φ 为参数) ������ = 2sin������ ������ = -2cos������, B. (φ 为参数) ������ = -2sin������ ������ = 2(������-sin������), C. (φ 为参数) ������ = 2(1-cos������) ������ = 2(1-sin������), D. (φ 为参数) ������ = 2(������-cos������) 答案：C
人教版高中数学选修4-4《2.4渐开线和摆线》
与BM方向相同的单位向量是 e (cos( ), sin( )) 2 2 (sin , cos )
M
所以 BM (r )e (r )(sin , cos ) (r sin ,r cos )
B
O
A
x
y
M
B
O
A
所以 OM OB BM
如图, 设开始时绳子外端 (笔尖)位于点 A, 当外端展 开到点 M时,因为绳子对圆心角 (单位是弧度 )的一 ⌒, 展开后成为切线 BM , 段弧AB M ⌒的长, 所以切线 BM长就是 AB 这是动点 (笔尖)满足的几 何条件 .我们把笔尖画出的 B 曲线叫做圆的 渐开线, 相 A O 基 圆. 应的定圆叫做渐开线的
2.解： C 的普通方程为
x 2 y 2 1 , ( y 0)
曲线 C 是个半圆.
由图可知 b 的范围是
[1, 2 ]
3.解法
2 xt t 1： y t 1 t
① ②
3 ①-②得 x y t 3 变形得 t x y ，
代入①得曲线 C 的普通方程为
关键： ①BM与圆相切
②BM的长等于弧AB的长
三、圆的渐开线的参数 方程
以基圆的圆心 O为原点 , 直线OA为x轴, 建立 平面直角坐标系 .设基圆的半径为 r , 绳子外 端M的坐标为 ( x, y).显然, 点M由角惟一确定 .
取为参数 , 则点B的坐标为 (r cos , r sin ), 从而 BM ( x r cos , y r sin ), BM r
1. 解： (相关点法)设 M ( , ) 是 C 上任 意一点，M 是由 C 上的点 N (1,1 ) 绕