2.1.2椭圆的简单几何性质_(3)直线与椭圆的位置关系(上课)

42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.
d=
4 x0 − 5 y0 + 40
=
4 x0 − 5 y0 + 40 41
l
且
m
x0 2 25
+
y0 2 9
m
=1
题型一： 题型一：直线与椭圆的位置关系
x2 y 2 例3：已知椭圆 + = 1，直线l：x - 5 y + 40 = 0.椭圆上 4 25 9 是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
△ n2 − 4mp =
△> 0
方 组 两 程 有 解 方 组 一 程 有 解 方 组 解 程 无
两 交 个 点 一 交 个 点 无 点 交
相 交 相 切 相 离
△0 = △< 0
题型一： 题型一：直线与椭圆的位置关系
x 2 y2 例1：直线y=kx+1与椭圆 + = 1 ：直线 与椭圆 5 m
恒有公共点, 恒有公共点
直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的 思想方法．
例4、如图，已知椭圆 、如图，
与直线x+y-1=0交 交 ax 2 + by 2 = 1 与直线
于A、B两点， 、 两点， 的中点M与椭圆中心连线的 两点 AB = 2 2, AB的中点 与椭圆中心连线的 的中点 2 ，试求 、b的值。 试求a、 的值 的值。 斜率是 2 y ax 2 + by 2 = 1 2 消y得:(a + b) x − 2bx + b − 1 = 0 解: A x + y −1 = 0
的取值范围。 求m的取值范围。 的取值范围
y = kx + 1 解 : x2 y 2 =1 + 5 m
⇒ (m + 5k 2 ) x 2 + 10kx + 5 − 5m = 0
2 △ = 10k） − 4(m + 5k 2（5 − 5m） 0 （ ) ≥
即△ = m 2 − m + 5k 2 m = (m + 5k 2 − 1)m ≥ 0 所以m ≥ 1 − 5k 2 , 所以m ≥ 1 − 5k 2） = 1 （ max 且m ≠ 5
弦长公式： 弦长公式： | AB |= 1 + k 2 | x − x |= 1 + 1 | y − y | A B A B 2
k
当直线斜率不存在时,则 当直线斜率不存在时 则 AB = y1 − y2 .
题型二： 题型二：弦长公式
的直线L过椭圆 例1：已知斜率为 的直线 过椭圆 ：已知斜率为1的直线 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长． 交椭圆于 ， 两点，求弦 之长． 两点 之长
解：设直线m平行于l，
则l可写成：x − 5 y + k = 0 4
x o
4 x − 5 y + k = 0 2 2 消去y，得25 x 2 + 8kx + k 2 - 225 = 0 由方程组 x y =1 + 25 9 由∆ = 0，得64k 2 - 4 × 25 k 2 - 225） 0 （ =
例3 ：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 过点 ， 引一弦， 引一弦 平分，求此弦所在直线的方程 平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率 韦达定理法： 韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
题型三： 题型三：中点弦问题
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 引一弦， 例 3 已知椭圆 过点 ， 引一弦 平分，求此弦所在直线的方程. 平分，求此弦所在直线的方程
设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )， 则有：x0 = x1 + x2 , 2 y0 = y1 + y2 2 y1 − y2 又k AB = x1 − x2 Q A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )在椭圆上， 2 2 x2 2 y2 2 x1 y1 + 2 =1 + 2 =1 2 a b a2 b
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程， 点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率． 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题 点差法 点差法） 知识点 ：中点弦问题(点差法）
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程， 差构造出中点坐标和斜率． 差构造出中点坐标和斜率．
分析:先画图熟悉题意, 分析:先画图熟悉题意,
的距离易知, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△ F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解:∵椭圆
x2 y2 的左、 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 + = 1 的左、右 2 1 π 焦点， 的直线， 的面积. 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线，求 △F1 AB 的面积. 4 x2
4 ∴ x1 + x 2 = , x1 x 2 = 0 3
0 − ( −1) + 1 2
= 2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d =
∴ S F1 AB =
1 1 4 4 4 ⋅ d ⋅ AB = ⋅ 2 ⋅ 2= . 的面积等于 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3
题型三： 题型三：中点弦问题
Q =4b -4(a + b)(b − 1) > 0 ∴ ab < a + b
2
M
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
o
B
x
2b b −1 b a ∴ x1 + x2 = , x1 ⋅ x2 = ∴ AB中点M ( , ) a +b a+b a+b a +b a 2 又 AB = 1 + k 2 ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 ∴ kMO = = ∴b = 2a b 2 1 2 2b 2 b −1 ∴a = , b = ∴2 2 = 2 ( ) −4 a+b a +b 3 3
那么，相交所得的弦的弦长是多少？ 那么，相交所得的弦的弦长是多少？ 弦长是多少
6 AB= (x1 − x2) +( y1 − y2) = 2(x1 − x2) = 2⋅ (x1 + x2) −4x1 ⋅ x2 = 2 5
2 2 2 2
知识点2： 知识点 ：弦长公式
可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P 两点， 设直线与椭圆交于 1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线 1P2的斜率为 ． ， 两点 直线P 的斜率为k．
解：联立方程组
1 y = x− 2
消去y 消去
x2+4y2=2
因为
5x2 − 4x −1 = 0 ----- (1)
4 x1 + x2 = 由韦达定理 5 1 x1 ⋅ x2 = − 5
∆>0
所以，方程（ 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解 有两个根， 则原方程组有两组解….
x o
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 = 41 且d = 42 + 52 41 40 − 25
d max
思考：最大的距离是多少？
65 41 = = 42 + 52 41
40 + 25
1 练习：已知直线 与椭圆x 判断它们的位置关系。 练习：已知直线y=x与椭圆 2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。 2
通法
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax + By + C = 0 2 由 程 x 方 组 y2 2 + 2 =1 b a
⇒mx2 + nx + p = 0(m ≠ 0)
2.1.2椭圆的简 椭圆的简 单几何性质（ ） 单几何性质（3）
直线与椭圆的位置关系
回忆： 回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 位置关系：相交、相切、 位置关系 2.判别方法 代数法 判别方法(代数法 判别方法 代数法) 联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0⇔直线与圆相交⇔有两个公共点； △ ⇔直线与圆相交⇔有两个公共点； (2)△=0 ⇔直线与圆相切⇔有且只有一个公共点； 直线与圆相切⇔有且只有一个公共点； △ (3)△<0 ⇔直线与圆相离⇔无公共点． 直线与圆相离⇔无公共点． △
解 :由椭圆方程知 : a 2 = 4, b 2 = 1, c 2 = 3.
的右焦点， 的右焦点，
右焦点F ( 3, 0).
y = x − 3 2 x + y2 = 1 4
直线l方程为 : y = x − 3. 消y得：x 2 − 8 3x + 8 = 0 5
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
x y 3:已知椭圆 + = 1 , 直线 4x − 5y + 40 = 0 , 椭圆 例 3: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
2 2
分析: 是椭圆上任一点, 分析:设 P ( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 的距离的表达式. 试求点 P 到直线 4 x − 5 y + 40 = 0 的距离的表达式.
题型一： 题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时 直线 为何值时,直线 和曲线2x 练习 为何值时 直线y=kx+2和曲线 2+3y2=6有 和曲线 有 两个公共点?有一个公共点 没有公共点? 有一个公共点?没有公共点 两个公共点 有一个公共点 没有公共点
6 当k = ± 时有一个交点 3 当k> 6 6 或k<时有两个交点 3 3 6 6 当< k< 时没有交点 3 3
解得k1 = 25，k 2 =-25
由图可知k = 25.
题型一： 题型一：直线与椭圆的位置关系
x2 y 2 = 1，直线l：x - 5 y + 40 = 0.椭圆上 例3：已知椭圆 + 4 25 9 是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
∴ 直线m为：x − 5 y + 25 = 0 4
∴直线 AB 的方程为 y = x −1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
y = x −1 由 x2 消去 y 并化简整理得 2 + y =1 2
2
2
+ y 2 = 1 的两个焦点坐标 F1 ( − 1, 0), F 2 (1, 0)
3x − 4x = 0
4 ∴ AB = ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 = 2( x1 − x2 )2 = 2百度文库( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = 3 2
x y + =1 练习2.无论 为何值,直线 无论k为何值 直线y=kx+2和曲线 练习 无论 为何值 直线 和曲线 9 4 交点情况满足( 交点情况满足 D )
2
2
A.没有公共点 没有公共点 C.两个公共点 两个公共点
B.一个公共点 一个公共点 D.有公共点 有公共点
题型一： 题型一：直线与椭圆的位置关系
两式相减得：
b 2 ( x12 − x2 2 ) + a 2 ( y12 − y12 ) = 0
由b 2 ( x12 − x2 2 ) + a 2 ( y12 − y12 ) = 0
y −y b 即 =− 2 x −x a
2 1 2 1 2 1 2 2 2
∴ k AB
y1 − y1 b 2 x1 + x2 b 2 x0 = =− 2 x1 − x2 a y1 + y1 = − a 2 y 0
x2 y2 + =1 1、如果椭圆被 36 9 的弦被（ ， ）平分， 、 的弦被（4，2）平分，那
练习：
么这弦所在直线方程为（ 么这弦所在直线方程为（
A、x-2y=0 、
D
）
D、x+2y-8=0 、
x y 2、y=kx+1与椭圆 5 + m =1 恰有公共点，则m的范围 恰有公共点， 、 与椭圆 的范围
8 3 8 ∴ x1 + x2 = , x1 ⋅ x2 = 5 5
∴ AB = 1 + k 2 x1 − x2 = 1 + k 2
8 = 2 ( x1 + x2 ) − 4 x1 ⋅ x2 5
题型二： 题型二：弦长公式
x2 y2 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 + = 1 的左、右 的左、 2 1 π 焦点， 的直线交 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点， 、 4 的面积. 求 △F1 AB 的面积.