RC电路的频率特性

令
1 1 ωC = = RC τ
将上式改写为
ω j ωC H(jω) = θω (12−13) =| H(jω) | ∠ ( ) ω 1+ j ωC 其中 ω ωC | H(jω ) |= (12−14) 2 ω 1+ ω C
ω ω θ ( ) = 90 −ar ctan ωC
图 12-9
2 1 & & 1 & R + jωCU3 − RU2 = RU1 − 1 U + 1 + jωCU = 0 & &2 3 R R
消去
& U3，求得
(12−16)
& U2 1 H(jω) = = | H(jω) | ∠θ(ω) & 1−ω2R2C2 + j3ωRC = U1
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一阶RC高通滤波电路 二、一阶 高通滤波电路
对图(a)所示 RC串联电路，电阻电 对图 所示 串联电路， 串联电路 压对输入电压的转移电压比为
图 12-7(a)
& U2 H(jω) = & = U1
jωRC = 1 1+ jωRC R+ jωC R
(12−12)
A 20lgA/dB 0.01 -40 0.1 -20 .707 -3.0 1 0 2 6.0 10 20 100 40 1000 60
图 12-6
由式(12－9)和(12－10)画出的波特图如图 －7所示 画出的波特图如图12－ 所示 由式 － 和 － 画出的波特图如图
图 12-7
图 12-7
采用图（ ）所示一阶RC滤波电路 滤波电路， 采用图（b）所示一阶 滤波电路， 并选择电路元件参数满足以下条件
1 ωC = ω = 0.1 RC
则电阻R=1590Ω； 即 RC=15.9ms。例如电容 。例如电容C=10µF,则电阻 µ 则电阻 Ω 若电容C=100µF,则电阻 µ 则电阻 则电阻R=159Ω。 若电容 Ω 用叠加定理分别求出直流分量和各次谐波分量的输出 电压的瞬时值。 电压的瞬时值。 1. 对于直流分量，电容相当于开路，输出电压为 对于直流分量，电容相当于开路，
(12−7)
1 1 ωC = = RC τ
将上式改写为
H(jω) = 1 =| H(jω) | ∠ ( ) θω ω 1+ j ωC (12−8)
其中

H(jω ) =
1 ω 1+ ω C
2
(12−9)
ω θ ( ) = −ar ω ctan ωC
(12−10)
根据式(12－ 和 － 画出的幅频和相频特性曲线 画出的幅频和相频特性曲线， 根据式 －9)和(12－10)画出的幅频和相频特性曲线， 如图12-6(b)和(c)所示。曲线表明图 和 所示 曲线表明图12-6(a)电路具有低通滤 所示。 如图 电路具有低通滤 波特性和移相特性，相移范围为 ° 波特性和移相特性，相移范围为0°到 -90°。 °
§12－2 RC电路的频率特性 － 电路的频率特性
一阶RC低通滤波电路 一、一阶 低通滤波电路
所示RC串联电路 图12－6(a)所示 串联电路， － 所示 串联电路， 其负载端开路时电容电压对输入电 压的转移电压比为
图 12-6(a)
& U2 H(jω) = & U1
令
1 1 jωC = = 1 1+ jωRC R+ jωC
1 2.6724 ωC = = 0.3742RC τ
图 12-11
该网络移相范围为180°到0°。 ° 该网络移相范围为 ° 当ω=ωC时，|H(jωC)|=0.707, θ(ωC)=52.55°。 ° 与一阶RC滤波电路相比，二阶RC滤波电路对通频带外 与一阶 滤波电路相比，二阶 滤波电路对通频带外 滤波电路相比 信号的抑制能力更强，滤波效果更好。 信号的抑制能力更强，滤波效果更好。二阶 RC电路移相范 电路移相范 围为180°，比一阶电路移相范围更大。二阶 RC滤波电路 ° 比一阶电路移相范围更大。 围为 滤波电路 不仅能实现低通和高通滤波特性，还可实现带通滤波特性。 不仅能实现低通和高通滤波特性，还可实现带通滤波特性。
图 12-12
当ω=ω0时，|H(jω0)|=1/3，θ(ω0)=0。该网络的移相范 ， 。 围为90° 围为 °到 -90°。 ° RC滤波电路所实现的频率特性，也可由相应的RL电 滤波电路所实现的频率特性，也可由相应的 电 滤波电路所实现的频率特性 路来实现。在低频率应用的条件下， 路来实现。在低频率应用的条件下，由于电容器比电感器 价格低廉、性能更好， 价格低廉、性能更好，并有一系列量值的各类电容器可供 选用， 滤波器得到了更广泛的应用 滤波器得到了更广泛的应用。 选用，RC滤波器得到了更广泛的应用。
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例12-4 图12-13(a)表示工频正弦交流电经全波整流后的波 表示工频正弦交流电经全波整流后的波 低通滤波电路来滤除其谐波分量。 形，试设计一个RC低通滤波电路来滤除其谐波分量。 试设计一个 低通滤波电路来滤除其谐波分量
图 12-13
解：全波整流波形可用傅里叶级数展开为
ω −8.488cos(2 t) ω − 3.638cos(3 t) −...]V
3. 对于二次谐波有： 对于二次谐波有：
1 | H(jω ) |= ≈ = 0.05 2 20 1+ 20 θ ( ) = −ar ω ctan 20 = −87.1o
求得
1
4A u22(t) = − ωt ×0.05cos(2 − 87.1o )V 15 π ωt = −0.424cos(2 − 87.1o )V ωt = 0.424cos(2 + 92.9o )V
2
≈ 0.1
θ(ω) = −arctan
ω = −arctan10 = −84.3o ωC
即可求得 4A u21(t) = − ×0.1cos(ωt − 84.3o )V = −4.24cos(ωt − 84.3o )V 3π = 4.24cos(ωt + 95.7o )V
u (t) =[63.66−42.44cos(ωt) 1
采用对数坐标画频率特性的另一个好处是可用折线来 近似。 近似。
ω 2 20log | H(jω) |= −10log1+ ω C
(12−11)
当ω<ωC时
20log | H(jω ) |≈ 0 是平行横坐标的直线
当ω>>ωC时
图 12-7
ω 20log | H(jω) |≈ −20log = −20log + 20logωC ω ω C
o
(12−15)
图 12-8
波特图如图所示，该曲线表明图 波特图如图所示，该曲线表明图12-8(a)电路具有高通 电路具有高通 滤波特性。由此可见， 滤波特性。由此可见，当ω>ωC时，曲线近乎一条平行于横 坐标的直线， 曲线趋近于一条直线， 坐标的直线，当ω<<ωC时，曲线趋近于一条直线，其斜率 十倍频成比例。 与20 dB/十倍频成比例。以上两条直线交点的坐标为 ， 十倍频成比例 以上两条直线交点的坐标为(l， 称为转折频率。 0dB)，对应的频率ωC称为转折频率。 ，
u (t) = 1 4A 1 1 1 1 ω ω − cos(ωt) − cos(2 t) − cos(3 t) −⋅⋅⋅ ⋅ 15 35 π 2 3 (12− 21)
2 π 其中 ω = = 628r /s ad T
设A=100V，则 ，
u (t) =[63.66−42.44cos(ωt) −8.488cos(2 t) −3.638cos(3 t) −...]V ω ω 1
图 12-6
电子和通信工程中所使用信号的频率动态范围很大， 电子和通信工程中所使用信号的频率动态范围很大， 例如从10 例如从 2∼1010Hz。为了表示频率在极大范围内变化时电 。 路特性的变化，可以用对数坐标来画幅频和相频特性曲线。 路特性的变化，可以用对数坐标来画幅频和相频特性曲线。 相对于对数频率坐标的特性曲线， 常画出20lg|H(jω)|和θ(ω)相对于对数频率坐标的特性曲线， 和 相对于对数频率坐标的特性曲线 常画出 这种曲线称为波特图。 这种曲线称为波特图。横坐标采用相对频率ω/ωC，使曲线 具有一定的通用性。幅频特性曲线的纵坐标采用分贝(dB) 具有一定的通用性。幅频特性曲线的纵坐标采用分贝 作为单位。 之间关系如表12-l所示。 所示。 作为单位。|H(jω)|与20lg|H(jω)| (dB)之间关系如表 与 之间关系如表 所示 表12-l 比值 A与分贝数的关系 与分贝数的关系
| H(jω) |= 1 (1−ω R C ) + 9ω R C
2 2 2 2 2 2 2
(12−17) (12−18)
其中
3ωRC θ(ω) = −arctan 2 2 2 1−ω R C
图 12-10
图 12-10
该电路的幅频和相频特性曲线，如图所示。幅频曲线 该电路的幅频和相频特性曲线，如图所示。 表明该网络具有低通滤波特性， 表明该网络具有低通滤波特性，图12－10(b)所示相频特性 － 所示相频特性 表明该网络的移相角度在为0到 表明该网络的移相角度在为 到-180°之间变化，当ω =ωC °之间变化， 时， ( C) = −52.55o 。幅频曲线的其转折角频率为 θω
4. 对于三次谐波有： 对于三次谐波有：
1 | H(jω) |= ≈ 2 1+ 30 30
1
θ(ω) = −arctan 30 = −88.1o
1 0.3742 ωC = = 2.6724RC τ