高中数学第三章统计案例阶段复习课课件新人教A版选修2-3
2020版高中数学 第三章 统计案例 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用学案 新人教A版选修2-3
§3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用学习目标 1.了解分类变量的意义.2.了解2×2列联表的意义.3.了解随机变量K 2的意义.4.通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．知识点一 分类变量及2×2列联表思考 山东省教育厅大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表：体育 文娱 合计 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合计270520790如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？答案 可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断． 梳理 (1)分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． (2)列联表①定义：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． ②2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表.y 1 y 2 总计x 1 a b a ＋b x 2c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d知识点二 等高条形图1．与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．2．如果通过直接计算或等高条形图发现aa ＋b 和cc ＋d相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．知识点三 独立性检验1．定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．2．K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．3．独立性检验的具体做法(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0.(2)利用公式计算随机变量K2的观测值k.(3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．1．列联表中的数据是两个分类变量的频数．( √)2．事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．( ×)3．K2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量．( √)类型一等高条形图的应用例1 为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：组别阳性数阴性数总计铅中毒病人29736对照组92837总计383573试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？考点定性分析的两类方法题点利用图形定性分析解等高条形图如图所示：其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．反思与感悟在等高条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例aa＋b，也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例cc＋d.两个比例的值相差越大，X与Y有关系成立的可能性就越大．跟踪训练1 网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗？考点定性分析的两类方法题点利用图形定性分析解根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：经常上网不经常上网总计不及格80120200及格120680800总计200800 1 000得出等高条形图如图所示：比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关．类型二独立性检验例2 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100根据表中数据，问是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法解 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2的观测值k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(60×10－20×10)270×30×80×20＝10021≈4.762. 因为4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．反思与感悟 (1)独立性检验的关注点在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad －bc ≈0，因此|ad －bc |越小，关系越弱；|ad －bc |越大，关系越强． (2)独立性检验的具体做法①根据实际问题的需要确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k 0.②利用公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )计算随机变量K 2的观测值k .③如果k ≥k 0，推断“X 与Y 有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X 与Y 有关系”． 跟踪训练2 某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系． 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 解 (1)2×2列联表如下所示：(2)假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关”． 由公式得K 2＝50×(10×6－24×10)234×16×20×30≈4.963<6.635，所以没有99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关． 类型三 独立性检验的综合应用例3 (2017·全国Ⅱ改编)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).考点独立性检验思想的应用题点分类变量与统计、概率的综合性问题解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”，由P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )，则旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62，新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66，则事件A 的概率估计值为P (A )＝P (B )P (C )＝0.62×0.66＝0.409 2， ∴A 发生的概率为0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得到列联表：则K 2＝200×(62×66－38×34)2100×100×96×104≈15.705，由15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． 反思与感悟 两个分类变量相关关系的判断(1)等高条形图法：在等高条形图中，可以估计满足条件X ＝x 1的个体中具有Y ＝y 1的个体所占的比例aa ＋b，也可以估计满足条件X ＝x 2的个体中具有Y ＝y 1的个体所占的比例cc ＋d.两个比例的值相差越大，X 与Y 有关系成立的可能性就越大．(2)观测值法：通过2×2列联表，先计算K 2的观测值k ，然后借助k 的含义判断“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度．跟踪训练3 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X ，求X 的分布列与均值． 考点 独立性检验思想的应用题点 分类变量与统计、概率的综合性问题 解 (1)列联表补充如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计321648(2)由K 2＝48×(220－60)228×20×32×16≈4.286.因为4.286>3.841，所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． (3)喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0,1,2. 其概率分别为 P (X ＝0)＝C 210C 220＝938，P (X ＝1)＝C 110C 110C 220＝1019，P (X ＝2)＝C 210C 220＝938，故X 的分布列为X 0 1 2 P9381019938X 的均值为E (X )＝0＋1019＋919＝1.1．某机构调查中学生的近视情况，了解到某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( ) A ．平均数 B ．方差 C ．回归分析 D ．独立性检验 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的思想 答案 D2．对于分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k ，下列说法正确的是( )A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的思想答案 B解析k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．3．用等高条形图粗略估计两个分类变量是否相关，观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是( )考点定性分析的两类方法题点利用图形定性分析答案 D解析由等高条形图易知，D选项两个分类变量关系最强．4．若在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法答案 D解析独立性检验的结论是一个统计量，统计的结果只是说明事件发生的可能性的大小，具体到一个个体，则不一定发生．5．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据.总成绩好 总成绩不好 总计 数学成绩好 478 a490 数学成绩不好39924423 总计b c913(1)计算a ，b ，c 的值；(2)文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？ 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法解 (1)由478＋a ＝490，得a ＝12. 由a ＋24＝c ，得c ＝12＋24＝36. 由b ＋c ＝913，得b ＝913－36＝877. (2)计算随机变量K 2的观测值k ＝913×(478×24－399×12)2490×423×877×36≈6.233>5.024，因为P (K 2≥5.024)≈0.025，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系．1．列联表与等高条形图列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有相关关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有相关关系． 2．对独立性检验思想的理解独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算随机变量K 2的值，如果K 2的值很大，说明假设不合理．K 2越大，两个分类变量有关系的可能性越大．一、选择题1．下面是一个2×2列联表：y 1 y 2总计 x 1 a21 73 x 2825 33 总计b46106则表中a ，b 的值分别为( ) A ．94,96 B ．52,50 C ．52,60D ．54,52考点 分类变量与列联表 题点 求列联表中的数据 答案 C2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得K 2＝7.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为( ) A ．0.1% B ．1% C ．99% D ．99.9% 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 C解析 易知K 2＝7.01>6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系．3．在独立性检验中，两个分类变量“X 与Y 有关系”的可信度为99%，则随机变量K 2的观测值k 的取值范围是( ) A ．[3.841,5.024) B ．[5.024,6.635) C ．[6.635,7.879) D ．[7.879,10.828)考点 分类变量与列联表 题点 求观测值 答案 C4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：则随机变量K 2的观测值约为( ) A ．0.600 B ．0.828 C ．2.712D ．6.004考点 分类变量与列联表 题点 求观测值 答案 A解析 根据列联表中的数据，可得随机变量K 2的观测值k ＝90×(11×37－34×8)245×45×19×71≈0.600.故选A.5．在2×2列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，那么这两个比值为( )A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.aa ＋d 与cb ＋cD.ab ＋d 与ca ＋c考点 定性分析的两类方法 题点 利用图形定性分析 答案 A 解析 由题意，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b －c c ＋d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋ad －ac －bc (a ＋b )(c ＋d )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ad －bc (a ＋b )(c ＋d )，因为|ad －bc |的值越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，故选A.6．有两个分类变量X ，Y ，其列联表如下所示，其中a,15－a 均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X ，Y 有关，则a 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．8或9D ．6或8考点 分类变量与列联表 题点 求列联表中的数据 答案 C解析 根据公式，得K 2的观测值 k ＝65×[a (30＋a )－(15－a )(20－a )]220×45×15×50＝13×(13a －60)220×45×3×2>3.841，根据a >5且15－a >5， a ∈Z ，求得当a ＝8或9时满足题意．7．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：则推断“学生的性别与认为作业量大有关”这种推断犯错误的概率不超过( ) A ．0.01 B ．0.025 C ．0.005 D ．0.001 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法答案 B解析 由公式得K 2的观测值k ＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059>5.024.∵P (K 2≥5.024)＝0.025，∴犯错误的概率不超过0.025. 二、填空题8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K 2的观测值k >6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________． 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的思想 答案 ③解析 K 2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确． 9．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到K 2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为K 2>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为__________．考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 5%解析 因为K 2>3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.10．2014年世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为35，则有超过________的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 95%解析 设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢西班牙队的人”为事件A ，由已知得P (A )＝q ＋35100＝35，所以q ＝25，p ＝25，a ＝40，b ＝60.K 2＝100×(25×35－25×15)240×60×50×50＝256≈4.167>3.841.故有超过95%的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关． 三、解答题11．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用条形图和独立性检验的方法判断． 考点 定性分析的两类方法 题点 利用图形定性分析解 建立性别与态度的2×2列联表如下：根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为110＝0.2，女生中作肯定态度的频率为2260≈0.37.作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．根据列联表中的数据得到K 2的观测值k ＝170×(22×38－22×88)2110×60×44×126≈5.622>5.024.因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别和态度有关系．12．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：喜欢 不喜欢 合计 大于40岁 20 5 25 20岁至40岁10 20 30 合计302555(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6名市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率． 考点 独立性检验思想的应用题点 分类变量与统计、概率的综合性问题解 (1)由公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得，观测值k ≈11.978>7.879，所以有99.5%以上的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．(2)由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4个，20岁至40岁的市民有2个，分别记为B 1，B 2，B 3，B 4，C 1，C 2，从中任选2人的基本事件有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，B 4)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(B 4，C 1)，(B 4，C 2)，(C 1，C 2)，共15个，其中恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的事件有(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(B 4，C 1)，(B 4，C 2)，共8个，所以恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率为815.四、探究与拓展13．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其中2×2列联表为：y 1 y 2 总计x 1 a b a ＋b x 2c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关的可能性最大的一组是( ) A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2 B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5 D ．a ＝3，b ＝2，c ＝4，d ＝5考点 分类变量与列联表 题点 求列联表中的数据 答案 D解析 对于同一样本，|ad －bc |越小，说明x 与y 相关性越弱，而|ad －bc |越大，说明x 与y 相关性越强，通过计算知，对于A ，B ，C 都有|ad －bc |＝|10－12|＝2.对于选项D ，有|ad －bc |＝|15－8|＝7，显然7>2. 14．2017年世界第一届轮滑运动会(the first edtion of Roller Games)在南京举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者分别有10人和6人喜爱轮滑，其余不喜爱．得到2×2列联表如下.(1)根据2×2列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱轮滑有关？ (2)从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱轮滑的人数为ξ，求ξ的分布列和均值． 考点 独立性检验思想的应用题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用解 (1)假设：是否喜爱轮滑与性别无关．由已知数据可求得K 2的观测值为 k ＝30×(10×8－6×6)216×14×16×14≈1.157 5<2.706.因此不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为喜爱轮滑与性别有关． (2)喜爱轮滑的人数ξ的可能取值为0,1,2， 则P (ξ＝0)＝C 06C 28C 214＝2891＝413，P (ξ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891，P (ξ＝2)＝C 26C 08C 214＝1591.所以喜爱轮滑的人数ξ的分布列为4 13＋1×4891＋2×1591＝67.所以喜爱轮滑的人数ξ的均值为E(ξ)＝0×。
高中数学人教A版选修2-3课件：3.1回归分析的基本思想及其初步应用
问题导学
Байду номын сангаас
当堂检测
解:(1)由表画出散点图,如图所示.
问题导学
当堂检测
(2)从上图可看出,这些点基本上散布在一条直线附近,可以认为 x 和 y 线性相关关系显著,下面求其回归方程,首先列出下表.
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ xi 5 .6 6 .0 6 .1 6 .4 7 .0 7 .5 8 .0 8 .2 54.8 yi 130 136 143 149 157 172 183 188 1 258 x2 i 31.36 36.00 37.21 40.96 49.00 56.25 64.00 67.24 382.02 y2 i 16 900 18 496 20 449 22 201 24 649 29 584 33 489 35 344 201 112 xiyi 728.0 816.0 872.3 953.6 1 099.0 1 290.0 1 464.0 1 541.6 8 764.5
例 1 某工厂 1~8 月份某种产品的产量与成本的统计数据见 下表:
月份 产量 (t) 成本 (万元) 1 5 .6 130 2 6 .0 136 3 6 .1 143 4 6 .4 149 5 7 .0 157 6 7 .5 172 7 8.0 183 8 8 .2 188
以产量为 x,成本为 y. (1)画出散点图; (2)y 与 x 是否具有线性相关关系?若有,求出其回归方程. 思路分析:画出散点图,观察图形的形状得 x 与 y 是否具有线性相关 关系.把数值代入回归系数公式求回归方程 . x
3.回归模型拟合效果的刻画
类 别 残差图法 残差点比较均匀地落在 特 点 水平的带状区域内,说明 选用的模型比较适合,这 样的带状区域的宽度越 窄,说明模型拟合精度越 高 残差平方和法 残差平方和
2020学年高中数学第3章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用课件新人教A版选修2_3
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(2)独立性检验(精确判断) 具体实施步骤如下： ①根据实际问题需要的可信程度确定临界值 k0； ② 根 据 观 测 数 据 计 算 随 机 变 量 K2 ＝ a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d的观测值 k，其中 n＝a＋b＋c＋ d 为样本容量；
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③查临界值表(以K2的观测值k的大小作为检验在多 大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准)，如果 k≥k0，就以(1－P(K2≥k0))×100%的把握认为“两分类 变量有关系”；否则，就认为根据样本数据没有充分的 理由说明“两分类变量有关系”．
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2．(独立性检验)有人发现，多看电视容易使人变冷 漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果.
冷漠 不冷漠 总计 多看电视 68 42 110 少看电视 20 38 58
总计 88 80 168
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则大约有多大的把握认为多看电视与人变冷漠有关
系( )
A．99%
B．97.5%
C．95%
D．90%
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要点三 独立性检验
定义 利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系” 的方法称为独立性检验 nad－bc2
公式 K2＝_____a_＋__b__c_＋__d__a_＋__c___b_＋__d_____，其中n＝ ___a_＋_b_＋__c_＋__d___
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①认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表； 具体 ②根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k； 步骤 ③通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的
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P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 k0 2.706 3.841 6.635
思维导引：根据列联表直接代入K2公式可得南方学 生和北方学生的差异与是否喜欢甜品的相关程度．
人教a版数学【选修2-3】第3章《统计案例》归纳总结ppt课件
B．75% D．97.5%
第三章 章末归纳总结
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[答案] D [解析] 有关系”． 查表可得K2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x和y
第三章
章末归纳总结
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算可得 k≈0.04145，而 0.04145<2.706，所以没有充分的证据表 明该药品对防治 A 疾病有效．
第三章
章末归纳总结
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[点评]
利用独立性检验可以帮助我们定量地分析两个分
第三章
章末归纳总结
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[解析] 将问题中的数据写成 2×2 列联表如下表： 患病 使用 不使用 总计 5 18 23 不患病 100 400 500 总计 105 418 523
2 n ad － bc 将上述数据代入公式 K2＝ 中，计 a＋bc＋da＋cb＋d
3．(2014· 唐山模拟)对具有线性相关关系的变量 x、y 有一 1 ^ 组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，8)，其回归直线方程是：y＝3x ＋a， 且 x1＋x2＋x3＋„＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋„＋y8)＝6， 则实数 a 的值是( 1 A．16 1 C．4 [答案] B ) 1 B．8 1 D．2
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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高中数学 第三章 统计案例综合训练学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案
第三章统计案例（综合训练1）一、学习要求1．通过典型案例的探究，了解统计学中对两个变量统计分析的思想方法和步骤；2．能综合运用概率、统计的知识解决有关问题。
二、问题探究■合作探究例1．【10新课标（文19）】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例；（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.附：0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828。
【解析】（1）样本中，该地区的老年人需要志愿者提供帮助的有：403070+=（人），∴估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例为：707 50050=。
（2）根据表中数据，得到：，∵，∴有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。
（3）根据（2）的结论可知，地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，所以可按性别进行分层抽样调查，从而能更好地估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例。
■自主探究1．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为。
（Ⅰ）补充完整上面的列联表，并判断是否有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？（Ⅱ）若采用分层抽样的方法从喜爱打篮球的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？解：（Ⅰ）这50人中喜爱打篮球的人数为:（人）。
列联表补充如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20 5 25女生10 15 25合计30 20 50，∵，∴有的把握认为喜爱打篮球与性别有关。
数学教案 人教a版选修2_3 同步练习-第3章统计案例跟踪训练含解析
回归分析的基本思想及其初步应用[A 组 学业达标]1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( ) A ．角度和它的余弦值 B ．正方形的边长和面积 C ．正n 边形的边数和内角度数和 D ．人的年龄和身高解析：函数关系就是一种变量之间的确定性的关系．A ，B ，C 三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a 2，h(n)＝nπ－2π.D 选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高．故选D.答案：D2．设一个线性回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时( ) A.y ^平均增加1.5个单位 B.y ^平均增加2个单位 C.y ^平均减少1.5个单位 D.y ^平均减少2个单位解析：由线性回归方程y ^＝2－1.5x 中x 的系数为－1.5，知C 项正确． 答案：C 3．有下列数据：x 1 2 3 y35.9912.01A ．y ＝3×2x －1B ．y ＝log 2xC ．y ＝3xD ．y ＝x 2解析：当x ＝1,2,3时，分别代入求y 值，离y 最近的值模拟效果最好，可知A 模拟效果最好． 答案：A4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝－2.756x ＋7.325.②y 与x 负相关且y ^＝3.476x ＋5.648 ③y 与x 正相关且y ^＝－1.226x －6.578 ④y 与x 正相关且y ^＝8.967x ＋8.163 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：根据题意，依次分析4个结论：对于①，y 与x 负相关且y ^＝－2.756x ＋7.325，此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征； 对于②，y 与x 负相关且y ^＝3.476x ＋5.648，此结论错误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；对于③，y 与x 正相关且y ^＝－1.226x －6.578，此结论错误，由线性回归方程知，此两变量的关系是负相关；对于④，y 与x 正相关且y ^＝8.967x ＋8.163，此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；故②③一定错误．答案：B5．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表：x 2 4 5 6 8 y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y ^＝10.5x ＋a ^，据此模型来预测当x ＝20时，y 的估计值为________．解析：由已知得x －＝5，y －＝54，则(5,54)满足回归直线方程y ^＝10.5x ＋a ^，解得a ^＝1.5，因此y ^＝10.5x ＋1.5，当x ＝20时y ^＝10.5×20＋1.5＝211.5.答案：211.56．如图是x 和y 的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．解析：去掉D(3,10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大．答案：D(3,10)7．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝ebx ＋a的周围，令z ＝ln y ，求得回归直线方程为z ^＝0.25x －2.58，则该模型的回归方程为____________________．解析：由z ＝ln y ，z ^＝0.25x －2.58， 得ln y ^＝0.25x －2.58，∴y ^＝e 0.25x －2.58. 故该模型的回归方程为y ^＝e 0.25x －2.58. 答案：y ^＝e 0.25x －2.588．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，求社区一户年收入为15万元的家庭的年支出．解析：由题意可得x －＝15×(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9)＝10，y －＝15×(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8)＝8，可得a ^＝8－0.76×10＝0.4. ∴回归直线方程为y ^＝0.76x ＋0.4.把x ＝15代入可得y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8.故社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为11.8万元．9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求线性回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解析：(1)x －＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋96＝8.5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，∵b ^＝－20，a ^＝y －－b ^ x －， ∴a ^＝80＋20×8.5＝250， ∴线性回归方程y ^＝－20x ＋250；(2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x(－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，∴该产品的单价应定为8.25元，工厂获得的利润最大．[B 组 能力提升]10．对于给定的样本点所建立的模型A 和模型B ，它们的残差平方和分别是a 1，a 2，R 2的值分别为b 1，b 2，下列说法正确的是( )A ．若a 1＜a 2，则b 1＜b 2，A 的拟合效果更好B ．若a 1＜a 2，则b 1＜b 2，B 的拟合效果更好C ．若a 1＜a 2，则b 1＞b 2，A 的拟合效果更好D ．若a 1＜a 2，则b 1＞b 2，B 的拟合效果更好解析：由残差平方和以及R 2的定义式可得若a 1＜a 2，则b 1＞b 2，A 的拟合效果更好． 答案：C11．近10年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位：亿元)数据如下：A.y ^＝2.799 1x －27.248 552 B.y ^＝2.799 1x －23.548 452 C.y ^＝2.699 2x －23.749 352 D.y ^＝2.899 2x －23.749 452解析：x －＝41.72，y －＝93.23，代入验证可知B 选项正确． 答案：B12．已知方程y ^＝0.85x －82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x 的单位是cm ，y ^的单位是kg ，那么针对某个体(160,53)的残差是________．解析：将x ＝160代入y ^＝0.85x －82.71，得y ^＝0.85×160－82.71＝53.29， 所以残差e ^＝y －y ^＝53－53.29＝－0.29.答案：－0.2913．已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1,5,7,13,19}，则y －＝________. 解析：∵x －＝1＋5＋7＋13＋195＝9，且y ^＝1.5x ＋45， ∴y －＝1.5×9＋45＝58.5. 答案：58.514．假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如表统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0已知∑i ＝15x 2i＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3.b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ＝y －－b ^ x －. (1)求x －，y －.(2)x 与y 具有线性相关关系，求出线性回归方程． (3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ 解析：(1)x －＝4，y －＝5.(2)b ^＝∑i ＝15x i y i －5x － y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝1.23，a ^＝y －－b ^ x －＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.(3)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．15．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的统计表：x1 2 3 4 5y 58 54 39 29 10(1)令w ＝x 2，利用给出的参考数据求出y 关于w 的回归方程y ^＝b ^w ＋a ^.(a ^，b ^精确到0.1)参考数据：∑i ＝15w i ＝55，∑i ＝15(w i －w －)(y i －y －)＝－751，∑i ＝15(w i －w －)2＝374，其中w i ＝x 2i ，w －＝15∑i ＝15w i .(2)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量不高于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计至少需要用多少千克的清水清洗1千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据5≈2.24)附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i －u－v i －v－∑i ＝1nu i －u－2，α^＝v －－β^ u －.解析：(1)由题意得，w －＝11，y －＝38.b ^＝∑i ＝15w i －w－y i －y－∑i ＝15w i －w－2＝－751374≈－2.0，a ^＝y －－b ^w ＝60.0，所以y ^＝－2.0w ＋60.0. (2)由(1)得，y ^＝－2.0w ＋60.0， 所以y ^＝－2.0x 2＋60.0，当y ^≤20时，即－2.0x 2＋60.0≤20，解得x≥25≈4.5，所以为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗1千克蔬菜．独立性检验的基本思想及其初步应用[A组学业达标]1．在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用的数据分析方法应是( )A．频率分布直方图B．回归分析C．独立性检验D．用样本估计总体解析：根据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，求出K2观测值，对照数表可得出概率结论，这种分析数据的方法是独立性检验．答案：C2．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( )解析：观察等高条形图发现x1x1＋y1和x2x2＋y2相差越大，就判断两个分类变量之间关系越强．答案：D3．如表是一个2×2列联表：则表中a，b的值分别为( )y1y2总计x1 a 21 73x222 25 47总计 b 46 120A.94,72C．52,74 D．74,52解析：a＝73－21＝52，b＝a＋22＝74，故选C.答案：C4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果K2的观测值k＞5.024，那么在犯错误的概率不超过________的前提下认为“X与Y有关系”()P(K2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828A.0.25 B ．0.05 C ．0.1D ．0.025解析：因为K 2的观测值k ＞5.024，而在临界值表中对应于5.024的是0.025，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 和Y 有关系”．答案：D5．分类变量X 和Y 的列表如下，则下列说法判断正确的是( )y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋dA.ad －bc 越小，说明X 与Y 的关系越弱 B ．ad －bc 越大，说明X 与Y 的关系越强 C ．(ad －bc)2越大，说明X 与Y 的关系越强 D ．(ad －bc)2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强解析：列联表可以较为准确地判断两个变量之间的相关关系程度， 由K 2＝a ＋b ＋c ＋dad －bc2a ＋b a ＋cb ＋dc ＋d，当(ad －bc)2越大，K 2越大，表明X 与Y 的关系越强．(ad －bc)2越接近0，说明两个分类变量X 和Y 无关的可能性越大． 即所给说法判断正确的是C. 答案：C6.某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式，了解读书和健身的人数，得到的数据如表：读书 健身 总计 女 24 31 55 男 8 26 34 总计325789在犯错误的概率不超过________的前提下认为性别与休闲方式有关系． 解析：由列联表中的数据，得K 2的观测值为k ＝89×24×26－31×8255×34×32×57≈3.689＞2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系．答案：0.107．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天的结果如下表所示：死亡 存活 总计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 总计203050进行统计分析的统计假设是________，K 2＝________，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用________．(填“相同”或“不相同”)参考公式：K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d解析：统计假设是“小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量无关”，由列联表中数据得K 2＝5.33＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量有关．所以两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同．答案：小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量无关 5.33 不相同 8．下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：晚上 白天 总计 男婴 45 A B 女婴 E 35 C 总计98D180那么，A ＝________，B ＝E ＝________. 解析：由列联表知识得⎩⎪⎨⎪⎧ 45＋E ＝98，98＋D ＝180，A ＋35＝D ，E ＋35＝C ，B ＋C ＝180，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝47，B ＝92，C ＝88，D ＝82，E ＝53.答案：47 92 88 82 539．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗？解析：根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：经常上网 不经常上网总计 不及格80120200及格 120 680 800 总计2008001 000得出等高条形图如图所示：比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关．10．随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的25.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性中只有13的人的休闲方式是运动．(1)完成下列2×2列联表：运动 非运动总计 男性 女性 总计n(2)数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？ 解析：(1)补全2×2列联表如下：运动 非运动 总计 男性 15n 15n 25n 女性 15n 25n 35n 总计25n 35n n(2)则P(K 2≥k 0)＝3.841. 由于K 2的观测值k ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 5·2n 5－n 5·n 522n 5·3n 5·2n 5·3n 5＝n 36，故n36≥3.841，即n≥138.276. 又由15n ∈Z ，故n≥140.故若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的至少有140人．(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有25×140＝56(人)的休闲方式是运动．[B 组 能力提升]11．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，故在犯错误的概率不超过________的前提下认为糖尿病患者与遗传有关系．( )A ．0.001B ．0.005C ．0.01D ．0.025解析：可以先作出如下列联表(单位：人)： 糖尿病患者与遗传列联表糖尿病发病糖尿病不发病总计 阳性家族史 16 93 109 阴性家族史17 240 257 总计33333366根据列联表中的数据，得到K 2的观测值为 k ＝366×16×240－17×932109×257×33×333≈6.067＞5.024.故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为糖尿病患者与遗传有关系． 答案：D12．在研究性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的是________(填序号)． ①若K 2的观测值k ＝6.635，则我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误．解析：K 2的观测值是支持确定有多大把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值，所以由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误，故填③.答案：③13．根据下表计算：不看电视 看电视 男 37 85 女35143K 2的观测值k≈________(保留3位小数)． 解析：k ＝300×37×143－85×352122×178×72×228≈4.514.答案：4.51414．某学校为了解该校高三年级学生在市一练考试的数学成绩情况，随机从该校高三文科与理科各抽取50名学生的数学成绩，作出频率分布直方图如图，规定考试成绩在[120,150]内为优秀．(1)由以上频率分布直方图填写下列2×2列联表．若按是否优秀来判断，是否有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异.文科 理科 总计 优秀 非优秀 总计5050100(2)某高校派出2140分以上的学生进行自主招生面试，每位教授至少面试一人，每位学生只能被一位教授面试．若甲教授面试的学生人数为ξ，求ξ的分布列和均值．解析：(1)由频率分布直方图知，该校文科学生中数学成绩优秀的人数为(0.010＋0.004＋0.002)×10×50＝8，故非优秀人数为50－8＝42.该校理科学生中数学成绩优秀的人数为(0.020＋0.014＋0.006)×10×50＝20，故非优秀人数为50－20＝30.则2×2列联表如下：文科 理科 总计 优秀 8 20 28 非优秀 42 30 72 总计5050100∴K 2的观测值k ＝100×8×30－42×20250×50×28×72≈7.143＞6.635，故有99%的把握认为该校文理科数学成绩有差异．(2)由(1)知，该校随机抽取的学生成绩中一练数学成绩在140分以上的学生为4人，ξ的可能取值为1,2,3.将4人分给两名教授每名教授至少1名学生的不同分法种数为⎝⎛⎭⎪⎫C 34＋C 24C 22A 22A 22＝14，则P(ξ＝1)＝C 1414＝27，P(ξ＝2)＝C 2414＝37，P(ξ＝3)＝C 3414＝27.∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3 P273727∴E(ξ)＝1×27＋2×37＋3×27＝2.15．某校为了了解学生对消防知识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防知识竞赛．图(1)和图(2)分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图．(1)请计算高一年级和高二年级成绩小于60分的人数．(2)完成2×2列联表，并回答：在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”？成绩小于60分人数成绩不小于60分人数总计高一 高二 总计附：临界值表及参考公式： K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d ，n ＝a ＋b ＋c ＋d. P(K 2≥k 0)0.15 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：(1)高一年级成绩低于60分的人数为：(0.03＋0.04)×10×100＝70； 高二年级成绩低于60分的人数为： (0.035＋0.015)×10×100＝50. (2)2×2列联表如下：成绩小于60分人数成绩不小于60分人数总计 高一 70 30 100 高二 50 50 100 总计12080200由于K 2的观测值k ＝200×50×70－50×302100×100×120×80≈8.333＞7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“学生所在的年级与消防知识的了解存在相关性”．。
高三数学a版教材教材分析课件人教版选修2-3
四、对教学的几个建议
1．准确把握教学要求 • 与“大纲”比较，“课标”不要求掌握
“组合数的两个性质”(组合数恒等式题用 二项式证)。 • “课标”对本章内容的定位是:用计数原理、 排列与组合概念解决“简单的实际问题”。 所以，教学中一定要把握好这种定位，避免 在技巧和难度上做文章(排列组合的求值化 简证明题难度要控制,要重点做应用题)。
(如第10页.教材更实际实用了贴近高考要求) 5.组合数性质要求有变化 . 6.文科不学本章内容.
计数原理的课程设置意图
必修3概率 计数原理 选修2-3概率
1.必修3强调概率思想，避免复杂的组合计 算干扰学生对概率思想的领悟
2.本章为进一步研究概率做准备 3.本章学习,提供思想和工具
计数问题是数学中的重要研究对象之一， 计数原理为解决很多实际问题提供思想和 工具(分类分步思想不仅仅是解计数问题)
本章内容涉及分类、化归、从特殊到 一般、多元联系表示等众多数学思想方 法。 3．强调对基本概念的本质的理解。
4．加强用两个计数原理解决问题的基本 思想方法
案例1：二项式定理的 猜想与证明 过程
（1）在“探究”中提出如何利用两个计数原理得出 n =2，3，4的展开式的问题；
（2）详细写出用多项式乘法法则得到n=2展开式的 过程，并从两个计数原理的角度对展开过程进行 分析，概括出项数以及项的形式；
二、课时安排及说明
1．本章有三节内容，共14课时
具体分配如下（供参考）：
1．1 两个计数原理
高中数学 第三章 统计案例 3.1 第2课时 残差分析及回归模型的选择学案 新人教A版选修23
3.1 第二课时 残差分析及回归模型的选择一、课前准备 1.课时目标(1) 了解残差分析回归效果； (2) 了解相关指数2R 分析回归效果；(3) 了解常见的非线性回归转化为线性回归的方法. 2.基础预探1.在线性回归模型y bx a e =++中，a b 和为模型的未知参数，e y 是与y bx a =+之间的误差，通常ｅ为随机变量，称为_______.它的均值E(ｅ)＝0，方差2()0D e σ=>.线性回归模型的完整表达形式为2()0,()y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩.在此模型中，随机误差ｒ的方差2σ越小，通过回归直线y bx a =+预报真实值ｙ的精度越高. 2.对于样本点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，相应于它们的随机误差为(1,2,,)i i i i e y y y bx a i n =-=--=，其估计值为(1,2,,)i i i i i e y y y bx a i n =-=--=，i e 称为相应于点(,)i i x y 的______.类比样本方差估计总体方差的思想，可以用21(,)2Q a b n σ=-(ｎ＞2)作为2σ的估计量，其中a b 和由公式给出，()Q a b ,称为残差平方和.可以用2σ衡量回归直线方程的预报精度.通常2σ越小，预报精度越高.3.在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，可以通过残差12,,n e e e 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为_______.4.用相关指数2R 来刻画回归的效果，其计算公式是：22121()1()nii nii y y R y y ==-=--∑∑.显然2R 取值越大，意味着残差平方和_______，也就是说模型的拟合效果________. 二、学习引领1. 进行回归分析的步骤是什么？(1)确定研究对象，明确是哪两个变量之间的相关关系.(2)画出散点图，观察它们之间的关系是否存在线性关系，也可计算变量间的线性相关系数的值来精确判断它们之间是否存在相关关系.如果不存在线性相关关系，判断散点图是否存在非线性相关关系.(3)若存在相关关系，则由经验确定回归方程的类型：如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程ˆy=bx+a ；否则可选择指数模型、对数模型或二次函数模型等. (4)利用残差图或者相关指数2R 对回归效果进行判断2.随机误差ｅ的产生及估计的方法(1)在实际中，随机变量ｙ除了受随机变量ｘ的影响之外，还受其它变量的影响；(2)由于前面相关关系公式中的a b 和为截距和斜率的估计值，它们与真实值a b 和之间也存在误差.(3)因为随机误差是随机变量，因此可以通过这个随机变量的数字特征来刻画它的一些总体特征.均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差是反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机变量的均值为0，因此可以用方差2来衡量随机误差的大小. 3.如何利用2R 判断回归效果在线性回归模型中，2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率. 2R 越接近于1，表示回归的效果越好(因为2R 越接近于1，表示解释变量和预报变量的相关性越强).如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析.也可以通过比较几个2R ，选择其值大的模型.4.常见的可线性化的回归模型(1)幂函数曲线y=ax b(如图所示), 作变换u=lny ,v=lnx,c=lna,得线性函数u=c+bv.(2)指数函数y=ae bx(如图所示) 作变换u=lny, c= lna,得线性函数u=c+bx.(3)倒指数曲线y=a b xe (如图所示).(4)对数曲线y=a+blnx(如图所示)三、典例导析题型一相关系数的应用例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断交通事故数与机动车r，由此判断交通事故数y与机动车辆数x是否线性相关.解析：将数据列成下表由此可知x=128.875 y=8.95，进而求得0.9927≈.因为|r|接近1 ,所以可得交通事故数y和机动车辆数x有较强的线性相关关系.规律总结：进行回归分析时，通常先进行相关性检验，若能确定两个变量具有线性相关关系，再去求其线性回归方程，否则所求的方程无意义.两个变量正(负)相关时，它们就有相同(反)的变化趋势，即当由小变大时，相应的有由小(大)变大(小)的趋势.变式训练：某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系?从这个工完成下列要求：(1)计算x 与y 的相关系数；(2)对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验。
2021学年高中数学第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用习题新人教A版选修2_3
第三章 3.1 回归分析的根本思想及其初步应用A 级 根底稳固一、选择题1．(2021·深圳一模)其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一局部不同年份的该酒品，并测定了其芳香度(如表).年份x 0 1 4 5 6 8 芳香度y由最小二乘法得到回归方程y ^x ＋1.13，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为( A )[解析] 由表中数据：x ＝16(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，回归方程y ^x ＋1.13，∴y ^＝1.03×4＋1.13＝5.26，∴y ＝16(1.3＋1.8＋5.6＋？＋7.4＋9.3)＝5.26，解得：？＝6.1． 应选A ．2．由变量x 与y 相对应的一组数据(1，y 1)、(5，y 2)、(7，y 3)、(13，y 4)、(19，y 5)得到的线性回归方程为y ^＝2x ＋45，那么y －＝( D )A ．135B ．90C ．67D ．63[解析] ∵x －＝15(1＋5＋7＋13＋19)＝9，y －＝2x －＋45，∴y －＝2×9＋45＝63，应选D ． 3．观测两个相关变量，得到如下数据：x －1 －2 －3 －4 －5 5 4 3 2 1 y－25A ．y ^x －1 B ．y ^＝x C ．y ^＝2x ＋0.3 D ．y ^＝x ＋1[解析] 因为x －＝0， y －＝,10)＝0，根据回归直线方程必经过样本中心点(x －，y －)可知，回归直线方程过点(0,0)，所以选B ．4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，那么正确的表达是( C )A ．身高一定是B ．身高在以上C ．身高在左右D ．身高在以下[解析] 将x 的值代入回归方程y ^x ＋73.93时，得到的y ^值是年龄为x 时，身高的估计值，应选C ．5．(2021·西宁模拟)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进展了5次试验，得到5组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x ＝20，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^x ＋48，那么5i ＝1y i ＝( D )A ．60B ．120C ．150D ．300[解析] 由题意，x ＝20，回归直线方程为y ^x ＋48，∴y ^＝0.6×20＋48＝60．那么 i ＝15y i ＝60×5＝300．应选D ．6．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^x －85.71，那么以下结论中不正确的选项是．．．．．．．( D ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．假设该大学某女生身高增加1cm ，那么其体重约增加gD ．假设该大学某女生身高为170cm ，那么可断定其体重必为 [解析] 此题考察线性回归方程．D 项中身高为170cm 时，体重“约为〞58.79，而不是“确定〞，回归方程只能作出“估计〞，而非确定“线性〞关系．二、填空题7．以下五个命题，正确命题的序号为__③④⑤__． ①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进展研究．[解析] 变量的相关关系是变量之间的一种近似关系，并不是所有的变量都有相关关系，而有些变量之间是确定的函数关系．例如，②中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数关系；另外，线性回归直线是描述这种关系的有效方法；如果两个变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程就是毫无意义的．8．(2021·兰州模拟)变量 x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，假设y 关于 x 的线性回归方程为y ^x －1，那么m ＝____.x 1 2 3 4 ym4[解析] 由题意，x ＝2.5，代入线性回归方程为y ^x －1，可得y ＝2.25， ∴0.1＋1.8＋m ＋4＝4×2.25， ∴m ＝3.1． 故答案为3.1．9．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据： 年平均气温(℃)年降雨量(mm) 542507813574701432464根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温__不具有__相关关系．(填“具有〞或“不具有〞)[解析] 画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．三、解答题10．为了迎接2021年俄罗斯世界杯，某协会组织了一次“迎2021世界杯，手工制作助威旗〞活动，将俄罗斯世界杯的标志以手工刺绣的方式刺绣到红色的三角形的旗子上面，来为世界杯加油．在10次制作中测得的数据如下： 助威旗数x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间Y (小时)626875818995102108115122试问：(1)x 与Y 是否具有线性相关关系？(2)如果x 与Y 具有线性相关关系，求出Y 对x 的回归直线方程，并根据回归直线方程，预测加工2021个助威旗需多少天(准确到1)?注：每天工作8小时．(参考数据：x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110x 2i ＝38500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55950,38500－10×552－8250，38500－10×552≈91，错误!≈61)[解析] (1)作散点图如下图从图中可以看出，各点都散布在一条直线附近，即它们线性相关． (2)由所给数据求得b ＝∑i ＝110x i y i －10xy∑i ＝110x 2i －10x 2＝,38500－10×552)∴a ＝y －b x ＝91.7－0.668×55∴Y 对x 的回归直线方程为 y ^x当x ＝2021时，y ^＝54.96＋0.668×2021＝1397.64(小时)又1397.64÷8＝174.705(天)∴加工2021个助威旗所需时间约为175天．B 级 素养提升1．(2021·保定一模)具有线性相关的变量x ，y ，设其样本点为A i (x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，回归直线方程为y ^＝12x ＋a ，假设OA 1→＋OA 2→＋…＋OA 8→＝(6,2)，(O 为原点)，那么a ＝( B )A ．18B ．－18C ．14D ．－14[解析] 计算x ＝18×(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝68＝34，y ＝18×(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝28＝14；回归直线方程为y ^＝12x ＋a ，∴14＝12×34＋a ， 解得a ＝－18．应选B ．2．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，那么( C )A ．r 2<r 1<0B ．0<r 2<r 1C ．r 2<0<r 1D ．r 2＝r 1[解析] ∵变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，∴X ＝10＋11.3＋11.8＋12.5＋135＝11.72，Y ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，i ＝15(x i －x)(y i －y )＝(10－11.72)×(1－3)＋(11.3－11.72)×(2－3)＋(11.8－11.72)×(3－3)＋(12.5－11.72)×(4－3)＋(13－11.72)×(5－3)＝7.2，∑i ＝15 x i －x2∑i ＝15 y i －y2＝19.172，∴这组数据的相关系数是r 1＝,19.172)＝0.3755，变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，U ＝15(10＋11.3＋11.8＋12.5＋13)＝11.72， V ＝5＋4＋3＋2＋15＝3，∑i ＝15(U i －U)(V i －V )＝(10－11.72)×(5－3)＋(11.3－11.72)×(4－3)＋(11.8－11.72)×(3－3)＋(12.5－11.72)×(2－3)＋(13－11.72)×(1－3)＝－7.2，∑i ＝15U i －U2·∑i ＝15V i －V2＝19.172．∴这组数据的相关系数是r 2＝－0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，应选C ． 二、填空题3．(2021·张店区校级模拟)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…(x 6，y 6)的散点图中，假设所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，6)都在曲线y ＝bx 2－1附近波动．经计算∑i ＝16x i ＝11，∑i ＝16y i ＝13，∑i ＝16x 2i ＝21，那么实数b 的值为__1921__．[解析] 根据题意，把对应点的坐标代入曲线y ＝bx 2－1，y 1＝bx 11－1，y 2＝bx 22－1，…y 6＝bx 26－1，∴y 1＋y 2＋…＋y 6＝b (x 21＋x 22＋…＋x 26)－6， ∴13＝b ×21－6，∴b ＝1921，故答案为1921．4．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y (件)与平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：时间 二月上旬二月中旬二月下旬 三月上旬 旬平均气温x (℃)381217旬销售量y (件) 55 m 33 24由表中数据算出线性回归方程y ^＝bx ＋a 中的b ＝－2，样本中心点为(10,38)． (1)表中数据m ＝__40__；(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__14件__．[解析] (1)由y ＝38，得m ＝40． (2)由a ＝y －b x 得a ＝58， 故y ^＝－2x ＋58， 当x ＝22时，y ^＝14，故三月中旬的销售量约为14件． 三、解答题5．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积(m 2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元)22(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m 2时的销售价格． [解析] (1)数据对应的散点图如以下图所示：(2)x ＝15∑5 i ＝1x i ＝109，l xx ＝∑5i ＝1 (x i －x )2＝1570， y ＝23.2，l xy ＝∑5i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝308．设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么b ^＝l xy l xx ＝3081570≈0.1962，a ^＝y －b ^x ＝1.8166．故所求回归直线方程为y ^x ＋1.8166．(3)据(2)，当x ＝150m 2时，销售价格的估计值为y ^＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(万元)．6．(2021·全国卷Ⅱ理，18)以下图是某地区2000年至2021年环境根底设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2021年的环境根底设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2021年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^t ；根据2021年至2021年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^t ．(1)分别利用这两个模型，求该地区2021年的环境根底设施投资额的预测值． (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．[解析] (1)利用模型①，可得该地区2021年的环境根底设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，可得该地区2021年的环境根底设施投资额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：(i)从折线图可以看出，2000年至2021年的数据对应的点没有随机散布在直线yt 上下，这说明利用2000年至2021年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境根底设施投资额的变化趋势.2021年相对2021年的环境根底设施投资额有明显增加，2021年至2021年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2021年开场环境根底设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2021年至2021年的数据建立的线性模型y ^t 可以较好地描述2021年以后的环境根底设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ii)从计算结果看，相对于2021年的环境根底设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比拟合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．(以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)C 级 能力拔高炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x 与冶炼时间y (从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据，如下表所示：x /0.01% 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y /min100200210185155135170205235125(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？ (2)求回归直线方程；(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？[解析] (1)x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作散点图如图．从图中可以看出，各点分布在一条直线附近，所以它们线性相关． (2)列出下表，并用科学计算器进展计算：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y i 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 x i y i10 40036 00039 90032 74522 78518 09025 50039 15547 94015 125x ＝159.8，y ＝172，∑i ＝110x 2i＝265 448，∑i ＝110y 2i＝312 350，∑i ＝110x i y i ＝287 640设所求的回归直线方程为＝x ＋，＝∑i ＝110x i y i －10x·y∑i ＝110x 2i －10x 2≈1.267，＝y －x ≈－30.47，即所求的回归直线方程为＝1.267x －30.47．(3)当x ＝160时，＝1.267×160－30.47≈172(min )，即大约冶炼172 min ．。
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2.1 离散型随机变量及其分布 列
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2.2 二项分布及其应用
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探究与发现 服从二项分布的 随机变量取何值时概率最大
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0002页 0090页 0167页 0211页 0276页 0360页 0445页 0487页 0560页 0589页 0660页 0731页
第一章 计数原理 探究与发现 子集的个数有多少 探究与发现 组合数的两个性质 探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密 复习参考题 2.1 离散型随机变量及其分布列 探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最 2.4 正态分布 小结 第三章 统计案例 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 小结
人教版高三数学选修2－3全册Fra bibliotek学 课件1.2 排列与组合
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探究与发现 组合数的两个性 质
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第一章 计数原理
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1.1 分类加法计数原理与分步 乘法计数原理
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探究与发现 子集的个数有多 少
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1.3 二项式定理
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探究与发现 “杨辉三角”中的 一些秘密
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小结
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复习参考题
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第二章 随机变量及其分布
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数学·选修2-3(人教A版)课件：第三章3.1第2课时残差分析
统计案例
3.1 回归分析的基本思想 及其初步应用 第 2 课时 残差分析
[学习目标] 1.了解残差平方和、相关指数 R2 的概念 (重点)． 2.了解回归分析的基本步骤(难点) 3.会用残差 平方和与相关指数对回归模型拟合度进行评判(重点) 4. 了解简单的非线性回归分析方法(难点)．
[知识提炼· 梳理] 1．残差 对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的 随机误差 ei＝yi－bxi－a，i＝1，2，…，n，其估计值为 ei＝yi－^ y i＝，yi)的残差．
－2.58.
答案：y＝e0.25x－2.58
类型 1 线性回归分析(自主研析) [典例 1] 为研究重量 x(单位： 克)对弹簧长度 y(单位： 厘米)的影响，对不同重量的 6 个物体进行测量，数据如 下表所示：
x y 5 7.25 10 8.12 15 8.95 20 9.90 25 10.9 30 11.8
所以残差平方和为 ( － 0.34)2 ＋ 0.032 ＋ 0.52 ＋ 0.272 ＋ (－0.46)2＝0.651.
(3)R ＝1－
2
0.651
— ）2 （ y － i y
5
≈0.958 7.
i＝ 1
类型 2 非线性回归分析 [典例 2] 下表为收集到的一组数据：
归纳升华 一般地，求出回归直线方程后，通常可以计算残差的 平方和以及相关指数 R2 的值来对回归模型的好坏做出评 判，由 R2 的计算公式知，残差平方和越小，R2 就越大， 拟合效果就越好；残差平方和越大，R2 就越小，拟合效 果就越差．
[变式训练] 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出 的维修费用 y(单位：万元)，有如下表的统计资料：
计数原理复习课ppt课件
C43C11+
C42C22 A22
A22
问题3：三名教师教六个班的课，每人
至少教一个班，分配方案共有多少种？
C6 1C52C33+C6 4CA 2 1C 2211+C62C A4 33 2C22A33
多个分给少个时，采用先分组 再分配的策略
.
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法?
区别2
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
C
3 4
C
1 1
+
C
2 4
C
A22
2 2
问题3：6个小球分成3堆，有多少种分法？
平均分成m
组要除以 A
m m
C61C52C33+C46CA21C2211+C62CA4323C22
.
分配问题
问题1：3个小球放进两个盒子，每 个盒子至少一个，有多少种放法？
C
2 3
C
1 1
A22
问题2：4本书分给两个同学，每人 至少一本，有多少种放法？
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
解: (1) C 1 6 01 2C 6 4C 2 1C 1 13150 (2) C 1 6 0C 6 2C 4 2C 2 218900
.
高二数学PPT之(人教版)高中数学选修2-3：3
数学 选修2-3
第三章 统计案例
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
3．在吸烟与患肺病是否有关旳判断中，有下面旳说 法：
①若K2旳观察值k>6.635，则在犯错误旳概率不超出0.01 旳前提下，以为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟旳人 中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知在犯错误旳概率不超出0.01旳前提 下，以为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%旳 可能患有肺病；
8分
此时，K2 的观测值 k＝861×4×5×722×2－555×0×3192≈5.785.10 分
由于 5.785＞5.024，
所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为该种疾病
与饮用不干净水有关．
数学 选修2-3
第三章 统计案例
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
两个样本都能统计得到传染病与饮用不洁净水有关这一
∵54.21＞10.828，所以拒绝 H0. 因此在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为这种传染
病与饮用不干净水有关.
6分
数学 选修2-3
第三章 统计案例
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
(2)依题意得 2×2 列联表：
得病 不得病 合计
干净水
5
50
55
不干净水 9
22
31
合计
14
72
86
数学 选修2-3
第三章 统计案例
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
[规律方法] 1.判断分类变量及其关系的方法： (1)利用数形结合思想，借助等高条形图来判断两个分类变 量是否相关是判断变量相关的常见方法； (2)一般地，在等高条形图中，a＋a b与c＋c d相差越大，两个 分类变量有关系的可能性就越大．
《统计案例》教案新人教A版选修
《统计案例》教案1（新人教A版选修2-3）第三章统计案例3．1回归分析的基本思想及其初步应用（共计4课时）授课类型：新授课一、教学内容与教学对象分析学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
二、学习目标1、知识与技能通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。
2、过程与方法本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路-进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。
3、情感、态度与价值观通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。
加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。
教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。
体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。
培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。
三、教学重点、难点教学重点：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。
教学难点：求回归系数 a , b ；相关指数的计算、残差分析；了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。
高中数学人教A版选修2-3课件2-1-2离散型随机变量的分布列
销一件该商品的利润,求η的分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:由题易得,η的可能取值为200元,250元,300元,
则P(η=200)=P(ξ=1)=0.12,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.24+0.18=0.42,
=1
【做一做1】 离散型随机变量X的分布列为
X
1
1
4
)
P
则m的值为(
A.
C.
1
2
1
4
B.
2
3
m
4
1
3
1
3
1
D.
6
1
1
1
1
4
3
6
4
解析:由概率分布列的性质知, +m+ + =1,得 m= .
答案:C
1
6
2.两点分布
随机变量X的分布列为
X
P
0
1-p
1
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称X服从两点分布,并
C 345
C 350
C 350
.
,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
离散型随机变量的分布列
例1 从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱
中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球
输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;