2012-2013高三第四次周考试卷

太原外国语学校2012-2013学年度第二学期第四次周考高三年级数学（理科）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21z z = A ．13i -+ B ．3i -- C ．3i + D ．3i -2．已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，集合1{|(),0}2x B y y x ==>，则B A =A ．(1,)+∞B ．(1,1)-C ．(0,)+∞D ．(0,1)3．下列四种说法中,错误．．的个数是（ ） ①．命题“2,320x R x x ∀∈--≥均有”的否定是：“2,320x R x x ∃∈--≤使得” ②．“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的必要不充分条件； ③．“若b a bm am <<则,22”的逆命题为真； ④．{}0,1A =的子集有3个A ．0个B ．1个C ．2 个D ．3个4．在四边形ABCD 中，“=，且0=⋅”是“四边形ABCD 是菱形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数3()4y f x π=- A ．是奇函数且图像关于点(,0)2π对称B ．是偶函数且图像关于点(,0)π对称C ．是奇函数且图像关于直线2x π=对称D ．是偶函数且图像关于直线x π=对称6．已知某几何体的三视图如下右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）A.C. D.7．已知等差数列{}n a 满足，18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为A.20B.21C.22D.238．在程序框图中，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为A ．14B ．13C ．34D ． 239．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ） A ．2 B ．23 Ｃ．223 Ｄ．210．已知抛物线)(022>=p px y 的焦点F 两条曲线的交点的连线过F ，则该双曲线的离心率为（ ）B.2 D. 11．有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二极管点亮，且相邻的两只不能同时点亮，根据三只点亮的不同位置，或不同颜色来表示不同的信息，则这排二极管能表示的信息种数共有（ ）种A.10B.48C.60D.8012．已知方程sin x k x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是：A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πααα-+=+ C ．1tan()41πβββ++=- D ．1tan()41πβββ-+=+ 第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算：1122log sin15log cos15+o o = ．14．若二项式(n x +的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中6x 的系数为 ．(用数字作答)15．已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P —ABC 的体积为16．函数()f x 的定义域为D ，若对任意的1x 、2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为“非减函数”．设函数()g x 在[0,1]上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）(0)0g =；（2）1()()32xg g x =；（3）(1)1()g x g x -=-,则(1)g = 、5()12g = ．三、解答题。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共60分）.17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A C =．（1）求角C 的大小；（2sin()2A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．18．（本小题满分12分）根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》：每位驾驶证申领者必须通过《科目一》（理论科目）、《综合科》（驾驶技能加科目一的部分理论）的考试.已知李先生已通过《科目一》的考试，且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响，《综合科》三年内有5次预约考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾驶证，不再参加以后的考试，否则就一直考到第5次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，0.9．（1）求在三年内李先生参加驾驶证考试次数ξ的分布列和数学期望；（2）求李先生在三年内领到驾驶证的概率.19．（本小题满分12分）如图1，在等腰梯形CDEF 中，CB 、DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =,现将梯形沿CB 、DA 折起，使//EF AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图2示，已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点．D C B AEF M NP FE A BCD图1 图2（1）求证：//MN 平面BCF ；（2）求证：AP ⊥DE ；（3）当AD 多长时，平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60？20．（本小题满分12分）如图，设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且21PF PF ⋅最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线12,l l 均与椭圆C 相切，且12//l l ，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到12,l l 的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；（2）试讨论函数()g x 的单调性；（3）证明：对任意*n N ∈，都有()211ln 1n i i n i=-+>∑成立． 四．选做题（本大题满分10分）只需在下面3个题中选做其中一个题。

22．选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F.求证：（1）DFA DEA ∠=∠；（2）AB 2=BE•BD -AE•AC.23．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l （t 是参数）.(1)将曲线C 的极坐标方程和直线l 参数方程转化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B ，试求实数m 值.24．选修4－5：不等式选讲，{}08)8(|2≤--+=a x a x x P 的前提下，求a 的一个值，使它成为{}85|≤<=x x P M 的一个充分但不必要条件。

参考答案1-12．CD D CC DBD B C DC13．2 14．9 15．10 16．1, 1217．试题分析：（1）由sin cos c A C =结合正弦定理得，sin sin a c A C==， ……2分从而sin C C =，tan C =……4分 ∵0C π<<，∴3C π=；……6分 （2）由（1）知23B A π=-，……7分sin()cos 2A B A B π-+=-……8分 2cos()3A A π=--22cos cos sin sin 33A A A ππ=--……9分1cos 2A A =+sin()6A π=+，……10分 ∵203A π<<，∴5666A πππ<+<，当62A ππ+=sin()2A B π-+取得最大值，此时,33A B ππ==．……12分 18．试题分析：(1) 由题意知ξ的取值为1,2,3,4，5.1分 (1)0.5P ξ==, (2)(10.5)0.60.3P ξ==-⨯=，(3)(10.5)(10.6)0.70.14P ξ==-⨯-⨯=，(4)(10.5)(10.6)(10.7)0.80.048P ξ==-⨯-⨯-⨯=，(5)(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)0.012P ξ==-⨯-⨯-⨯-=，……6分 【或(5)1(1)(2)(3)(4)0.012P P P P P ξξξξξ==-=-=-=-==】∴ξ的分布列为：……8分 ∴10.520.330.1440.04850.012E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.772 ……10分（2）李先生在三年内领到驾照的概率为：1(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)0.9988P =--⨯-⨯-⨯-⨯-=. ……12分19．试题分析：（1）证明：连AC ，∵四边形ABCD 是矩形，N 为BD 中点，∴N 为AC 中点， ……1分 在ACF ∆中，M 为AF 中点，故//MN CF ……3分M NP F E A BCD∵CF ⊂平面BCF ，MN ⊄平面BCF ，//MN ∴平面BCF ； ……4分 （其它证法，请参照给分）（2）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =I∴AD ⊥平面ABFE∵AP ⊂平面ABFE ，∴AP AD ⊥， ……5分 ∵P 为EF 中点，∴FP AB ==结合//AB EF ，知四边形ABFP 是平行四边形∴//AP BF ，2AP BF == ……7分 而2,AE PE ==222AP AE PE += ∴90EAP ∠=，即AP AE ⊥ ……8分 又AD AE A =I ，∴AP ⊥平面ADE ，∵DE ⊂平面ADE ，∴AP ⊥DE. ……9分（3）解法一：如图，分别以,,AP AE AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系F设(0)AD m m =>，则(0,0,0),(0,0,),(0,2,0),(2,0,0)A D m E P易知平面ADE 的一个法向量为(2,0,0)AP =uu u r ， ……10分设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则00n PE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uur r uuu r 故22020x y y mz -+=⎧⎨-=⎩，即020x y y mz -=⎧⎨-=⎩令1x =，则21,y z m ==，故2(1,1,)n m=r ……11分∴cos ,||||AP nAP n AP n ⋅<>==uuu r r uu u r r uu u r r ，12=，m =，即AD =CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60．【解法二：过点A 作AM DE ⊥交DE 于M 点，连结PM ，则,DE PM ⊥∴AMP ∠为二面角A-DE-F 的平面角，……11分 由AMP ∠=600，AP=BF=2得AM tan 60AP ==o又AD AE AM DE ⋅=⋅得2AD =，解得AD =，即AD =CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60．20．试题分析：（1）设),(y x P ，则有),(1y c x F +=，),(2y c x F -=……1分[]a a x c x a a c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅……2分 由12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c ，……3分 ∴椭圆C 的方程为1222=+y x ．……4分 （2）①当直线12,l l 斜率存在时，设其方程为,y kx m y kx n =+=+……5分把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=，化简得2212m k =+ ……7分 同理，2212n k =+ ……8分 ∴22m n =，若m n =，则12,l l 重合，不合题意，∴m n =- ……9分 设在x 轴上存在点(,0)B t ，点B 到直线12,l l 的距离之积为1，1=，即2222||1k t m k -=+， ……10分 把2212k m +=代入并去绝对值整理，22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=，解得1t =±； ……12分②当直线12,l l 斜率不存在时，其方程为x =x =， ……13分定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1+=；定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1+-=；综上所述，满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0) ……14分21．（1）21b a =--（2）当0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； 当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1(,)2a+∞上单调递增； 当12a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当12a >时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a单调递减；在(1,)+∞上单调递增． （3）试题分析：（1）依题意得2()ln g x x ax bx =++，则1'()2g x ax b x =++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++=∴21b a =-- ……3分（2）由（1）得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)ax x x--= ……4分 ∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立，由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； ……5分 当0a >时，令'()0g x =得1x =或12x a =， 若112a <，即12a >时， 由'()0g x >得1x >或102x a <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a单调递减； ……6分 若112a >，即102a <<时， 由'()0g x >得12x a >或01x <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a单调递减； ……7分 若112a =，即12a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥， 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， ……8分 综上得：当0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； 当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1(,)2a+∞上单调递增； 当12a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当12a >时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a 单调递减；在(1,)+∞上单调递增． ……9分（3）证法一：由（2）知当1a =时，函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-，即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---， ……11分令*11,x n N n =+∈，则2111ln(1)n n n+>-， ……12分 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++- 2222111111111111ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n ∴++++++>-+-+-++- 即()211ln 1ni i n i =-+>∑ ……14分 【证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和ln(1)n T n =+，则当2n ≥时，111ln()ln(1)n n n n a T T n n -+=-==+， ……11分 显然1ln 2a =也满足该式， 故只需证221111ln(1)n n n n n -+>=- ……12分 令1x n=，即证2ln(1)0x x x +-+>，记2()ln(1)h x x x x =+-+，0x > 则11(21)'()12120111x x h x x x x x x+=-+=-+=>+++， ()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=， ∴221111ln(1)n n n n n-+>=-成立， 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n ∴++++++++>-+-+-++- 即()211ln 1n i i n i=-+>∑． ……14分】 【证法三：令211()ln(1)i ni i n n i ϕ==-=+-∑， 则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ϕϕ+-=+--++ 2111ln(1)11(1)n n n =+-++++ ……10分 令11,1x n =++则(1,2]x ∈，*11,,1x n N n =-∈+ 记22()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+ ……12分 ∵1(21)(1)()230x x h x x x x--'=+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增，又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ϕϕ+->，∴数列()n ϕ单调递增，又(1)ln 20ϕ=>，∴()211ln 1ni i n i =-+>∑ ……14分】 22．试题分析：(1) 连结AD因为AB 为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF ⊥AB ，∠EFA=90°则A 、D 、E 、F 四点共圆∴∠DEA=∠DFA(2) 由(1)知，BD•BE=BA•BF又△ABC ∽△AEF即：AB•AF=AE•AC∴ BE•BD -AE•AC=BA•BF -AB•AF=AB(BF-AF)=AB 223．试题分析：（1）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为:0422=-+x y x 直线l 的直角坐标方程为：m x y -=（2）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，∴圆心到直线l或3=m 24试题分析：{},53|>-<=x x x M 或{},0)8)((|≤-+=x a x x P 要使{}85|x ≤<=x P M ，则需5a 3≤-≤-，即35≤≤-x 。