材料力学-斜弯曲
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材料力学09组合变形_1斜弯曲_土
解： 梁为斜弯曲 作弯矩图 可见危险截面位于固定 端处，其上铅垂弯矩、 水平弯矩分别为
Mz 1.5 kN m
M y 2 kN m
1.5 kN m Mz
2 kN m
My
x x
9
抗弯截面系数
Wz
bh2 6
46875 mm3
Wy
hb2 6
31250
mm3
1.5 kN m
第九章 组合变形
第一节 引 言
主要任务： 解决组合变形杆件的强度问题 基本假设： 在线弹性、小变形条件下，假设组合变形中的每一
种基本变形彼此独立、互不影响。 基本方法： 叠加法，即将组合变形分解为几种基本变形，分别
计算每种基本变形的内力、应力；然后进行叠加， 确定构件的危险截面、危险点以及危险点的应力状 态；最终建立组合变形杆件的强度条件。
解： 大梁为斜弯曲 当小车行至梁跨度中点时，
梁的最大弯矩最大。
将 F 沿 y、z 主轴分解，有
Fy F cos 29 kN
Fz F sin 7.76 kN
作弯矩图， 可见跨中截面为危 x
险截面，其上铅垂弯矩、水平 M z
Mz
弯矩分别为 x
Mz Fy l / 4 29 kN m
max
M max Wz
Fl 4 43.3 MPa Wz
可见，载荷虽然只偏离了铅垂线 15°，但最大正应力却为原来的 3.5 倍。因此，当截面的 Wz 和 Wy 相差较大时，应尽量避免斜弯 曲。
8
[例2] 图示矩形截面梁，已知 l = 1m，b = 50 mm，h = 75 mm。试 求梁中最大正应力及其作用点位置。若截面改为直径 d = 65 mm 的 圆形，再求其最大正应力。
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学第八章斜弯曲与组合变形
满足强度条件，最后选用立柱直径 d=125mm 。
Fuzhou University
材料力学课件
二、偏心拉伸（压缩）
e F F F
F Fe
e
Fe F
F
轴向力F 偏心力F 附加力偶 Fe
F Fe y A Iz
Fuzhou University
材料力学课件
n x n C
y e
z
e
y
F
F
y
中性轴的位置： 令 得到 e e
FAx A Fx B FAy Q
弯曲和压缩
Fuzhou University
材料力学课件
e F
e
F Fe Fe
F F
弯曲和压缩
弯曲和拉伸
Fuzhou University
材料力学课件
Fr
A
F
B
C
Me
l
F
z A
y
MB F
Fr
C x
a
Me
弯扭组合
Fuzhou University
材料力学课件
两个平面内的弯曲组合 对于组合变形下的构件，在线弹性范围内且小变形的 条件下，可应用叠加原理将各基本变形下的内力、应 力或位移进行叠加
作用在梁上的载荷通过横截面的形心，但偏离纵向对称面 或梁的两个纵向对称面内同时作用有载荷，这种弯曲称为 双对称截面梁的非对称弯曲（斜弯曲）。
F
Fuzhou University
材料力学课件
Fz
z x
Fy
y
F
将F 沿形心轴分解
Fy F cos
z轴作为中性轴
x-y平面内的对称弯曲 x-z平面内的对称弯曲
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学课件第十三章弯曲的几个补充问题
（2） 绘制弯矩图 绘出 Mz (x)图 绘出 My(x) 图
A截面为梁的危险截面
y
F1=1kN
0.5m 0.5m
A z
B
C
x
F2=2kN
x
Mz = 1 kN·m
1kN·m
My= 1 kN·m
1kN·m
Mz使A截面上部受拉，下部受压
My使A截面前部受拉，后部受压
Mz(x)图
x My(x)图
（3） 应力分析
1.分解(Resolution) 将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的
平面弯曲 2.叠加(Superposition)
对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来
Fz
z
j
Fy F
y
A
z y
Bx
Fz
Fy
F
垂直纵向对称面
梁在垂直纵向对 称面 xy 面内发 生平面弯曲 。 z轴为中性轴
' My z
Iy
2.与 Mz 相应的正应力为(The bending normal stress corresponding to Mz)
'' M z y
Iz
C 点处的正应力(The normal stress at point C)
' '' M y z Mz y
Iy
Iz
m
z C ( y,z )
Fy 与均布荷载 q使梁在 xy平面内产生弯曲(z为中性轴)
Fz 使梁在 xz平面内产生弯曲(y为中性轴)
q
F 40° Fy
z
A
C
Fz B
a
a
y
（1） 画弯矩图
材料力学斜弯曲
Iy z1 Iz y1
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
材料力学公式汇总
σ −σ y 2 2 σ max σ x + σ y = ± ( x ) + τ xy ; σ min 2 2
tg2α p =
−2τ xy
σ x −σ y
３、二向应力状态的极值剪应力(面内极值剪应力)及所在截面方位角
τ max = ± (
min
σ x −σ y
2
2 ) 2 + τ xy =±
σ max − σ min
(8) 刚度条件：待考察点的位移不超过允许值
2
三、应力状态与强度理论 １、二向应力状态斜截面应力 σ x +σ y σ x −σ y σ x −σ y σα = + cos 2α − τ xy sin 2α τ α = sin 2α + τ xy cos 2α 2 2 2 注：使截面受拉的正应力为正;使单元体顺时针转的剪应力为正; x 轴逆时针转α角与截面 外法线重合的角度为正(-π≤α≤π). ２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角
λ ≥ λp ;
σ cr =
π 2E ; λ2
Pcr =
π 2 EI min
(μL )2
λp ≥ λ ≥ λs ; σ cr = a − bλ
λ ≤ λs ;
“ σ cr ”= σ s 或
σb
π 2E ; σp
于柔度的几个公式： 3、惯性半径公式： i =
Iz A
λ=
μL
3
Θ=
σ +σ2 +σ3 1 − 2μ E (σ 1 + σ 2 + σ 3 ); K = ;σ = 1 ; σ = KΘ E 3(1 − 2μ ) 3
σ eq 2 = σ 1 − μ (σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ]; [σ ] =
材料力学第六版答案第10章
第十章 组合变形的强度计算10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。
（a ） (b) (c) (d) 斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲弯心（）（）弯心弯心（）（）斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲“×”为危险点位置。
10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 承受一与垂直方向成ϕ＝15°的集中力P ＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa 100.14⨯=E 。
试确定①截面上中性轴的位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。
解：66.915cos 10cos =⨯==οϕP P y KN59.215sin 10sin =⨯==οϕP P z KN4310122015=⨯=z J 4cm 3310cm W z =335625121520cm J y =⨯=3750cm W y =25.74366.94max =⨯==l P M y z KN-M 94.14359.24m ax =⨯==l P M z y KN-MMPaW M W M yy z z 84.9107501094.110101025.763633maxmax max=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ 中性轴：οο47.2515tan 562510tan tan tan 411=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--ϕαy z J J 2849333105434.0101010104831066.948--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z y y EJ l P f m28933310259.010562510104831059.248--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y z z EJ l P f m 602.0259.05434.022=+=f cm方向⊥中性轴：ο47.25=α10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示，P 1＝800 N ，P 2＝1600 N 。
材料力学习题及答案4-6
第四章弯曲应力判断图弯矩的值等于梁截面一侧所有外力的代数和。
（）负弯矩说明该截面弯矩值很小，在设计时可以忽略不计。
（）简支梁上向下的集中力对任意横截面均产生负弯矩。
（）横截面两侧所有外力对该截面形心力矩的代数和就是该截面的弯矩值。
（）梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面任一侧所有外力对该截面形心的力矩代数和。
（）在计算指定截面的剪力时，左段梁向下的荷载产生负剪力。
（）在计算指定截面的剪力时，右段梁向下的荷载产生正剪力。
（）梁纯弯曲时中性轴一定通过截面的形心。
（）简支梁上受一集中力偶作用，当集中力偶在不改变转向的条件下，在梁上任意移动时，弯矩图发生变化，剪力图不发生变化。
（）图示梁弯矩图的B点是二次抛物线的顶点。
（）图示梁段上集中力偶作用点两侧的弯矩直线一定平行。
（）(M图)下列三种斜梁A截面的剪力均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2下列三种斜梁B截面的剪力均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2下列三种斜梁C截面的弯矩均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2梁弯曲时的内力有剪力和弯矩，剪力的方向总是和横截面相切，而弯矩的作用面总是垂直于横截面。
（）一端（或两端）向支座外伸出的简支梁叫做外伸梁。
（）##√悬臂梁的一端固定，另一端为自由端。
（）##√弯矩的作用面与梁的横截面垂直，它们的大小及正负由截面一侧的外力确定。
（）##√弯曲时剪力对细长梁的强度影响很小，所以在一般工程计算中可忽略。
（）##√图示，外伸梁BC段受力F作用而发生弯曲变形，AB段无外力而不产生弯曲变形（）##×由于弯矩是垂直于横截面的内力的合力偶矩，所以弯矩必然在横截面上形成正应力。
（）##√抗弯截面系数是反映梁横截面抵抗弯曲变形的一个几何量，它的大小与梁的材料有关。
（）##×无论梁的截面形状如何，只要截面面积相等，则抗弯截面系数就相等。
（）##×梁弯曲变形时，弯矩最大的截面一定是危险截面。
.斜弯曲
三、 斜弯曲
受力特点：外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称内
变形特点：杆轴弯曲平面与外力作用平面不重合。
如果我们将载荷沿两主形心轴 分解，此时梁在两个分载荷作 用下，分别在横向对称平面 ( XOZ 平面）和竖向对称平面
（ xoy 平面）内发生平面弯曲，
这类梁的弯曲变形称为斜弯曲， 它是两个互相垂直方向的平面 弯曲的组合。
D1 φ
面为正多边形的情形，此时中性轴才与力的作 用线垂直，而此时不论φ角是多少，梁总发生
F
平面弯曲，对于圆形、正方形、正三角形或正多边形
等的截面，无论力作用在哪个纵向平面内，梁只发生平面弯曲。
D2
Fy y
③最大正应力的确定 当中性轴确定后，最大应力就容易确定了，如图，在截面周 边作中性轴的切线。
M cos
Iz
y
M sin
Iy
z
危险点的确定：对于具有凸角又有两条对称轴
的截面（矩形、工字形）最大拉压应力在D1、D2 点。且σ+max=σ-max
max
My
max
Mz
max
max
Wy
Wz
对于边界没有棱角而呈弧线的截面，则需要确定中性轴的位置，离中性轴 最远处就是最大拉压应力所在点，即危险点。
斜弯曲
教学目的：
1、了解组合变形的概念 2、了解解决组合变形的方法步骤 3、掌握斜弯曲的概念及计算
重点
1、组合变形的概念及解决方法； 2、斜弯曲的概念； 3、斜弯曲的计算。
难点
斜弯曲的计算。
四种基本变形计算：
变形 轴向拉压 外力 轴向力
剪切 扭转 横向力 外力偶
平面弯曲A 横向力或外力偶
11-1 斜弯曲
max M y max M z max Wy Wz max
20
对于边界没有棱角而呈弧线的截面，则需要确定中性轴的位置， 离中性轴最远处就是最大拉压应力所在点，即危险点。 中性轴方程
M cos M sin I y0 I z0 0 z y
（z0 、y0 为中性轴上点的坐标）
中性轴
z D1
D2
Fz φ Fy y
21
F
③最大正应力的确定 当中性轴确定后，最大应力就容易确定了，如图，在截面周边 作中性轴的切线。
距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点
拉 max D 2 压 max D1
4、强度条件
中性轴
D2
Fz φ Fy y
22
拉max 拉
因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。
31
解：4. 讨论 如果令上述计算中的＝0，也就是载荷FP沿着y 轴方向，这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项 变为0。于是梁内的最大正应力为 115.13MPa 这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。可 见，载荷偏离对称轴 (y)一很小的角度，最大正应力 就会有很大的增加(本例题中增加了88.4％)，这对于 梁的强度是一种很大的威胁，实际工程中应当尽量 避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起吊重物 时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁 的侧面斜方向起吊的原因。
c
y
M
z
M
c
c z y
25
z
P
y
如求a点应力
M d I
d
My
a Mz M
M: 合弯矩 I: 对中性的惯性矩 D 4
I Iy Iz 64
斜 弯 曲
Iy
hb3 12
180 mm (120 mm)3 12
0.259108 mm4
ymax
h 2
90 mm,
z max
b 2
60 mm
3、强度校核
max
M
max
(
ymax Iz
cos
Zmax Iy
sin)
90103 m
60103 m
4200N m (
0.894
0.447)
0.583104 m4
Fy F cos
Fz F sin
2.在截面mm上产生的弯矩为
M z Fy (l x) F (l x) cos M cos
My
Fz (l
x)
F (l
x) sin
M
sin
M=
M
2 z
M
2 y
3.M
和
z
M
引起的正应力分别为：
y
=
Mz IZ
y
M
cos
Iz
y
=
M y z M sin z
Iy
Iy
Mz y M y z
Iz
Iy
M (cos y sin z)
Iz
Iy
1.3 斜弯曲时的强度条件
M (cos
Iz
yo
sin
Iy
zo )
0
在一般情 况下，梁 截面的两 个主惯性 矩并不 相等。
Iz Iy,
因而中性轴与合成弯矩所在的平面（或外力作用 平面）并不相互垂直。梁轴线变为曲线将不在合 成弯矩所在的平面内，这是斜弯曲与与平面弯曲 ， 的区别处。
对于圆形、正方形、正三角形或正多边形等的截面， 所有通过形心的轴都是主轴，这时中性轴总与外力 作用面相垂直，即外力无论作用在哪个纵向平面内， 梁只发生平面弯曲。
建筑力学之斜弯曲强度计算介绍课件
软件具有强大的计算能 力，能够快速准确地计 算出斜弯曲强度。
04 计算软件的应用：计算
软件在工程设计中得到 了广泛应用，提高了设 计效率和质量。
工程实践的应用
斜弯曲强度计算 在建筑工程设计 中的应用
斜弯曲强度计算 在桥梁工程设计 中的应用
斜弯曲强度计算 在隧道工程设计 中的应用
斜弯曲强度计算 在抗震工程设计 中的应用
建筑力学之斜弯曲强度计算 介绍课件
演讲人
目录
01. 斜弯曲强度计算原理 02. 斜弯曲强度计算方法 03. 斜弯曲强度计算在建筑工程
中的应用
04. 斜弯曲强度计算的发展趋势
斜弯曲强度计算原理
斜弯曲应力分析
斜弯曲应力：由外力作用在 梁上产生的应力
应力集中：在梁的支座、连 接处等部位，应力集中现象 明显，容易导致梁的破坏
斜弯曲强度计算 在钢结构工程设 计中的应用
斜弯曲强度计算 在混凝土结构工 程设计中的应用
谢谢
形状的梁
斜弯曲强度计算公 式在实际工程设计
中具有重要价值
计算实例
01
02
03
假设有一根梁，长 度为L，截面为矩 形，高度为h，宽 度为b，材料为钢。
梁承受的载荷为P， 作用在梁的中部， 方向与梁的轴线垂 直。
梁的斜弯曲强度 可以通过以下公 式计算：
05
其中，f为斜弯曲 强度，P为载荷， b为梁的宽度，h 为梁的高度。
试件的变形和应力
斜弯曲强度计算：根据应力应变曲线，计算材料的斜弯曲
强度
应力-应变曲线：通过实验数 据绘制应力-应变曲线，分析
材料的力学性能
实验结果分析：对实验结果 进行分析，得出材料的斜弯
曲强度特性和影响因素
04 计算软件的应用：计算
软件在工程设计中得到 了广泛应用，提高了设 计效率和质量。
工程实践的应用
斜弯曲强度计算 在建筑工程设计 中的应用
斜弯曲强度计算 在桥梁工程设计 中的应用
斜弯曲强度计算 在隧道工程设计 中的应用
斜弯曲强度计算 在抗震工程设计 中的应用
建筑力学之斜弯曲强度计算 介绍课件
演讲人
目录
01. 斜弯曲强度计算原理 02. 斜弯曲强度计算方法 03. 斜弯曲强度计算在建筑工程
中的应用
04. 斜弯曲强度计算的发展趋势
斜弯曲强度计算原理
斜弯曲应力分析
斜弯曲应力：由外力作用在 梁上产生的应力
应力集中：在梁的支座、连 接处等部位，应力集中现象 明显，容易导致梁的破坏
斜弯曲强度计算 在钢结构工程设 计中的应用
斜弯曲强度计算 在混凝土结构工 程设计中的应用
谢谢
形状的梁
斜弯曲强度计算公 式在实际工程设计
中具有重要价值
计算实例
01
02
03
假设有一根梁，长 度为L，截面为矩 形，高度为h，宽 度为b，材料为钢。
梁承受的载荷为P， 作用在梁的中部， 方向与梁的轴线垂 直。
梁的斜弯曲强度 可以通过以下公 式计算：
05
其中，f为斜弯曲 强度，P为载荷， b为梁的宽度，h 为梁的高度。
试件的变形和应力
斜弯曲强度计算：根据应力应变曲线，计算材料的斜弯曲
强度
应力-应变曲线：通过实验数 据绘制应力-应变曲线，分析
材料的力学性能
实验结果分析：对实验结果 进行分析，得出材料的斜弯
曲强度特性和影响因素
工程力学斜弯曲
16.02103 q
Amax 21.5103 q
Dmax 16.02 103 q
可见，梁的危险点在A截面处。强度条件为：
max＝ Amax 21.5103 q ＝160 106
解得 〔q〕＝7.44kN/m
5、变形计算
f
f
2 y
f
2 z
tg f y
fz
fz β
f
fy
例题: 20a号工字钢悬臂梁承受均布荷载 q 和集中 力F=qa/2，已知钢的许用弯曲正应力〔σ〕＝ 160MPa，a＝1m。 试求梁的许可荷载集度〔q〕。
q F 40º z
A a
C ，a
By
x
解：
1.将集中荷载F 沿梁的横截面的两个对称轴分解为
作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边 相切，这两个切点（图a中的点D1，D2）就是该截面 上拉应力和压应力为最大的点。从而可分别计算水 平和竖直平面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。
t max D1
cmax D2
对于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其横截 面都有两个相互垂直的对称轴，且截面的周边具有棱 角，故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。 于是，可以根据梁的变形情况，直接确定截面上最大 拉应力、压应力的位置，而无需定出中性轴。
14.2 斜弯曲
一、斜弯曲：梁受横向外力时，杆件产生弯曲变形， 但弯曲后，挠曲线不在外力所在的平面内,这种弯 曲称为斜弯曲。
二、斜弯曲的研究方法： 1、分解：将外荷载沿横截面的两个形心主轴分解，
于是得到两个正交的平面弯曲。 2、叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算 结果叠加。
图示悬臂梁承受如图所示的荷载作用,分析其 任意截面处内力及截面任一点的应力情况。
材料力学-斜弯曲.
wz 13.36mm
bh3 Iz 776 108 m 4 12
总挠度
2 wmax wy wz2 17.2mm
许可挠度
l 15mm 200
wmax l 15mm 200
wmax 值已超过许可值约13%，
可见刚度条件不能满足。需要增 加截面尺寸，再做刚度校核。
h 3 b 2
804 N m 403N m 12 106 Pa 1.5Wy Wy
Wy 78.3 10 m
6
3
1 2 1 3 6 3 hb 1.5b 78.3 10 m 6 6
b 6.79 10 m
2
h 1.5 6.79 10 m 0.102m
'
My Iy
z
Mz '' y Iz
为确定横截面上最大正应力点的位置，需 求截面上中性轴的位置。由于中性轴上各 点处的正应力均为零，令y、z代表中性轴 上任一点的坐标，由上式可得：
Mz My y I Iy z
z 0
由上式可见，中性轴老湿
对称弯曲
定义：对于横截面具有对称轴的梁，当横向 外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时， 梁发生对称弯曲。
双对称截面的非对称弯曲
作用在梁上的载荷通过横截面的形心，但偏离纵向对称面 或梁的两个纵向对称面内同时作用有载荷，这种弯曲称为 双对称截面梁的非对称弯曲（斜弯曲）。
M z 在 使轴线在 xy 平面内弯曲成平面曲线 M y 在 使轴线在 xz 平面内弯曲成平面曲线
故可选用
2
70mm 110mm 矩形截面。
max
Mz [ ] Wy Wz
My
bh3 Iz 776 108 m 4 12
总挠度
2 wmax wy wz2 17.2mm
许可挠度
l 15mm 200
wmax l 15mm 200
wmax 值已超过许可值约13%，
可见刚度条件不能满足。需要增 加截面尺寸，再做刚度校核。
h 3 b 2
804 N m 403N m 12 106 Pa 1.5Wy Wy
Wy 78.3 10 m
6
3
1 2 1 3 6 3 hb 1.5b 78.3 10 m 6 6
b 6.79 10 m
2
h 1.5 6.79 10 m 0.102m
'
My Iy
z
Mz '' y Iz
为确定横截面上最大正应力点的位置，需 求截面上中性轴的位置。由于中性轴上各 点处的正应力均为零，令y、z代表中性轴 上任一点的坐标，由上式可得：
Mz My y I Iy z
z 0
由上式可见，中性轴老湿
对称弯曲
定义：对于横截面具有对称轴的梁，当横向 外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时， 梁发生对称弯曲。
双对称截面的非对称弯曲
作用在梁上的载荷通过横截面的形心，但偏离纵向对称面 或梁的两个纵向对称面内同时作用有载荷，这种弯曲称为 双对称截面梁的非对称弯曲（斜弯曲）。
M z 在 使轴线在 xy 平面内弯曲成平面曲线 M y 在 使轴线在 xz 平面内弯曲成平面曲线
故可选用
2
70mm 110mm 矩形截面。
max
Mz [ ] Wy Wz
My
斜弯曲(简)
将P沿两主轴分解:
Py P cos 30 cos 15 29kN
Pz P sin 30 sin 15 7.76kN
第五章 弯曲应力
例题
§5-5 双对称截面的非对称弯曲
已知：l＝4m， []=160MPa， =15°，P=30kN 求：校核梁的强度。 解： 2. 内力分析，危险截面：
43.3MPa 151Mpa
一般采用箱形梁
第五章 弯曲应力
§5-6 弯拉（压）组合 杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形。
P
1. 弯拉（压）组合： 例：
P
R N
1）外力： 2）内力： N
P
（-）
pl 4
HB
A
C
B M
（+）
第五章 弯曲应力
1. 弯拉组合：
2）内力：
M N
§5-6 弯拉（压）组合
（-）
pl 4
HB
（+）
危险截面在梁的中点 3）应力
HB
pl 4
危险点：截面上边缘
N
M
第五章 弯曲应力
1. 弯拉组合：
3）应力
HB
pl 4
§5-6 弯拉（压）组合
危险点：截面上边缘
N
M
HB M max ( ) A W HB M ) [ ] 4）强度条件： max ( A W
200
300
200
M 图（1） 图（2）
P
350 103 350 103 50 6 200 300 200 300 2 11.7MPa P 350 103 2 max A 200 200 8.75MPa
11-1 斜弯曲
Wy
z M max FPy
FP cos l 30 4Wz
Wz
解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力
FPsin l FPcos l max b , c 4Wy 4Wz
其中l=4 m，FP=80 kN， =5。另外从型钢表中可查到 32a 热轧普通工字钢的 Wz=70.758cm3 ， Wy=692.2cm3 。将 这些数据代入上式得到.
对称轴 z x
梁的轴线 挠曲线 y
9
1.平面弯曲的两种情况
挠曲线
水平纵向对称面 z x
对称轴 y 梁的轴线 （2）梁在水平纵向对称面 xz 平面内曲， y 轴为中性轴。
10
2.平面弯曲的两大特征：
1）弯曲后的轴线在载荷作用面内； 2）中性轴与载荷的作用面垂直。 要求：载荷作用在主形心惯性平面内
c
Pl cos Pl sin A Wz Wy A B
My
z
My B 中性轴
x Mz
18
y A Mz
My
z
cos sin B y0 z0 0 Iy 中性轴(零应力线) I z
My
x Mz
斜弯曲梁横截面中性轴上 各点的坐标为y0、z0 ，应 力=0，所以 cos sin pl ( y0 z0 ) 0 Iz Iy 故中性轴方程为：
y0 Iz tg tg z0 Iy
上式表明：①当力F通过第一、二象限时，中性 轴通过第三、四象限；②中性轴与力的作用线 并不垂直，这正是斜弯曲的特点，除非Iz=Iy， 即截面的两个形心主轴的惯性矩相等，例如截 面为正多边形的情形，此时中性轴才与力的作 用线垂直，而此时不论φ角是多少，梁总发生 平面弯曲，对于圆形、正方形、正三角形或正 多边形等的截面，无论力作用在哪个纵向平面 内，梁只发生平面弯曲。
材料力学第6章3-讲义-斜弯曲
料 弯曲时，中性轴与载荷平面不垂直，也即“斜弯曲”的含义。
力
学
(2) 横截面上的中性轴
B 把横截面划分为拉应力区 第 和压应力区。从这两个区
最大拉应力 的危险点
受拉区
6 的截面周边上分别作平行 章 于中性轴的切线（或与截
D1 F
中性轴
面只有一个交点的直线），
组 所得两个切点（或交点）
合 变 形
距中性轴的距离最远，这 两点的正应力为最大弯曲
F
My
合
截面形心的一根直线
(y0 , z0)
变
z
形 设中性轴与 z 轴正向的夹角为，
讲 义
tan y0 Iz tan (6.27) 中性轴
z0 I y
C z
y A
Mz
y
5
斜弯曲中性轴的位置的相关结论：
BRY
(6.27)
tan
y0
Iz
tan
z0 I y
材
(1) 当 I y I z 时， ，说明这种横截面形式的梁斜
wz
Fzl 3 3EI y
Fl3 sin
3EI y
(2) 两个方向的挠度叠加：
组
总挠度为
F
中性轴
合
变 形
w wy2 wz2 (6.31)
z
C wz
总挠度 w 与 y 轴的夹角为
讲 义
力
学
梁的正应力强度条件为
[ ] max
(6.28)
B
(3) 某些形状的截面，如
第 圆形、正方形及其他正多边形，
6 章
由于 Iy = Iz ，由式 (6.27) 可
得 ，即中性轴与载荷平
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6
6
b 6.79102 m
h 1.56.79102 m 0.102m
故可选用 70mm110mm 矩形截面。
max
My Wy
Mz Wz
[ ]
刚度校核
与q y 和 qz 相应的挠度分别为
wy
5qyl 4 384EIZ
wz
5qzl 4 384EI y
Iy
hb3 12
' My z
Iy
'' Mz y
Iz
为确定横截面上最大正应力点的位置，需 求截面上中性轴的位置。由于中性轴上各 点处的正应力均为零，令y、z代表中性轴 上任一点的坐标，由上式可得：
M z I z
y
My Iy
z
0
由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。 其与z轴的夹角为
从而求得 Wz 的W比y 值，然后再由上式算出 。W设y 横截面的高
宽比 h b 3，则2
Wz Wy
bh2 6
hb2 6
h b
3 2
804N • m 403N • m 12106 Pa
1.5Wy
Wy
Wy 78.3106 m3
1 hb2 1 1.5b3 78.3106 m3
主讲：老湿
对称弯曲
定义：对于横截面具有对称轴的梁，当横向 外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时， 梁发生对称弯曲。
双对称截面的非对称弯曲
作用在梁上的载荷通过横截面的形心，但偏离纵向对称面 或梁的两个纵向对称面内同时作用有载荷，这种弯曲称为 双对称截面梁的非对称弯曲（斜弯曲）。
M z 在 使轴线在 xy 平面内弯曲成平面曲线 M y 在 使轴线在 xz 平面内弯曲成平面曲线
q
800
N
的
m
均布荷载作用，如图所示。木檩条材料为杉木，[ ] 12MPa
，许可挠度为
l 200
，E
9GPa。试选择其截面尺寸，并作
刚度校核。
其危险点在跨中截面的角点 处。 由
M y M y,max
M z M z,max
得，危险点的最大正应力为：
上式包含有Wz 和Wy 两个未知数，故需先选定矩形截面的高宽比，
tan z M z I y I y tan
y My Iz Iz
对于圆形，正方形等 I y = I z
的截面，有 = ，因而，
正应力也可用合成弯矩M按式
My 进行计算。
Iz
在确定中性轴的位置后，作平行于中性轴的两直线，分别与
横应截力面和周 压边应相力切为于最大D1的、D点2 ，两将点两，点该的两坐点标即(分y别,z为)代横入截(面1)上式拉，
314108 m4
Iz
bh3 12
776108 m4
wy 10.80mm wz 13 17.2mm
许可挠度
l 15mm 200
l wmax 200 15mm
wmax 值已超过许可值约13%，
可见刚度条件不能满足。需要增 加截面尺寸，再做刚度校核。
即得最大拉压应力。对于工程中常用的矩形等截面梁，其横 截面都有两个相互垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角， 故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。
M y z M z y (1)
Iz
Iz
max
max
My Wy
Mz Wz
例题1
矩形截面木檩条跨长为
l
3m,受集度为