【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理数-含答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔讲试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式V=1(S1+S2+√S1S2)h,其中S1，S2分别表示台体的上、下底3面积，h表示台体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=∣x∣x2+2x=0,x∈R},N={x∣x2-2x=0,x∈R},则M∪N=A. {0}B. {0，2}C. {-2,0} D {-2,0,2}2.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中，奇函数的个数是A. 4B.3C. 2D.13.若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是A. （2,4）B.（2,-4）C. (4,-2) D(4,2)4.已知离散型随机变量X的分布列为1 2 3P35310110则X的数学期望E（X）=A. 32B. 2C. 52D 35．某四棱太的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是A．4 B．143C．163D．66．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥ n B．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β D．若m α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于32，则C的方程是 A．x24−2√5= 1 B．x24−y25= 1 C．x22−y25= 1 D．x22−2√5= 1 8.设整数n≥4，集合X=｛1，2，3……，n｝。

令集合S=｛（x,y,z）|x，y，z∈X，且三条件x<y<z,y<z<x，z<x<y恰有一个成立｝，若（x，y，z）和（z，w，x）都在s中，则下列选项正确的是A.（y，z，w）∈s，（x，y，w）SB.（y，z，w）∈s，（x，y，w）∈SC. （y，z，w）s，（x，y，w）∈SD. （y，z，w）s，（x，y，w）S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9~13题）9.不等式x2+x-2<0的解集为。

X10.若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k= 。

11.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为。

12，在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=___13．给定区域：.令点集T=|(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D 上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定____条不同的直线。

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C 在点（1,1）处的切线为L，一座标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，则L 的极坐标方程为_______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D是BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E。

若AB=6，ED=2，则BC=______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答需写出文字说明。

证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分） 已知函数()2cos()12f x x π=-，x R ∈（1）求f （-）的值；（2）若cos θ=，θE （，2π），求f （2θ+）。

17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数。

（1） 根据茎叶图计算样本均值；（2） 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。

根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3） 从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率 18（本小题满分4分）如图5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A =900 BC=6,D,E 分别是AC ，AB 上的点，CD=BE=，O 为BC 的中点.将△ADE 沿DE 折起，得到如图6所示的四棱椎A ’-BCDE ，其中A ’O=√3（1） 证明：A ’O ⊥平面BCDE ；（2） 求二面角A ’-CD-B 的平面角的余弦值 19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . （1）求a 2的值（2）求数列｛a n ｝的通项公式a 1 （3） 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L .20.(本小题满分14分)已知抛物线c的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线L:x-y-2=0的距离为 . 设P为直线L上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB,其中A,B为切点。

（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线L上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线L上移动时，求|AF|·|BF|的最小值21.（本小题满分14分）设函数f（x）=（x-1）e x-kx2（k∈R）.(1)当k=1时，求函数f（x）的单调区间；(2)当k∈（12,1]时，求函数f（x）在[0,k]上的最大值M.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8A卷 D C C A B D B B二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，满分30分。

其中14-15题是选做题，考生只能选做一题。

9.（－2,1）10. －111. 712. 2013. 614.ρ（cosθ+sinθ）三、 解答题:本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.解：（1）⋂ƒ（－6π）cos θ（－4π）×=1（2）Q cos θ=35，32π＜θ＜2π ∴sin θ=－45∴sin 2θ=2sin cos θθ=－2425 cos2θ=2cos θ-2sin θ=－725∴ ƒ（2θ+3π）θ（2θ+3π-12π）θ（2θ+4π）2cos 4πθ2sin4πθ×（－7252425=172517. 解：（1）样本均值x =16(17+19+20+21+25+30)=22 （2）从茎叶图知，6名工人中有2名为优秀工人，由此推断该车间12名工人中，有优秀工人：26×12=4（人） （3）记:任取2人中恰有1名优秀员工的事件为A ，则P （A ）=1148212c c c =3266=163318.证明: (1)设F 为ED 的中点，连接OF,A ’F,计算得A ’F=2，OF=1∵A ’F 为等腰△A ’DE 底边的中线，∴A ’F ⊥DE∵OF 在原等腰△ABC 底边BC 的高线上，∴OF ⊥DE 又∵A ’F ，OF ⊂平面A ’OF, A ’F ⋂OF=F, ∴DE ⊥平面A ’OF∵A ’O ⊂平面A ’OF, ∴DE ⊥A ’O在△A ’FO 中，A ’2O +2OF =3+1=2'A F ,∴A ’O ⊥OF∵OF ⋂DE=F,OF ⊂平面BCDE,DE ⊂平面BCDE, ∴A ’O ⊥平面BCDE(2)解法一：如答图1，过O 作CD 的垂线交CD 的延长线于M ，连接A ’M ∵A ’O ⊥平面BCDE,CD ⊂平面BCDE, ∴CD ⊥A ’O ∵OM ⋂A ’O=O, ∴CD ⊥平面A ’OM ∵A ’M ⊂平面A ’OM ∴CD ⊥A ’M ∴∠A ’MO 为所求二面角的平面角 在Rt △OMC 中，OM=sin4OC π=322, A ’O=3 于是在Rt △A ’OM 中，A ’M=2230'OA OM +=∴cos ∠A ’OM=15'OM A M =解法二:如答图2，以O 为原点，分别以,,'OF OB OA u u u u r u u u r u u u r为x,y,z 轴正方向，建立直角坐标系。

于是A ’(0，03，-2，0)设n=(x,y,z)为平面A ’CD 的一个法向量，则n ⊥',A C uuuu u rn ⊥CD uuu r 于是(0,3,3)0(1,1,0)0n n ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩故330,03y xy z x y z x=-⎧⎧--=⎪⎪⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩即，取n=(-1,1,-3) 再取平面BCDE 的一个法向量m=(0,0,1)设n 与m 的夹角为θ，则由答图2可知，二面角A ’-CD-B 的平面角的余弦值为1519. 解：(1)依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； （2）2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-= 故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (3)当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L . 20.解：(1)依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (2)抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=. (3)由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21.解:(1)当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x =当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.(2)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。