江苏输容市2017中考数学第一轮复习二次函数的应用学案

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2017届中考数学一轮复习 第16讲 二次函数的应用教案

2017届中考数学一轮复习 第16讲 二次函数的应用教案

第16讲: 二次函数的应用一、复习目标1、会运用二次函数及其图象的知识解决现实生活中的实际问题;2、在运用知识解决实际问题的过程中体会二次函数的应用意义和数学转化思想;二、课时安排1课时三、复习重难点1、利用二次函数建立数学模型解决实际问题2、根据题意进行相应形式的解设,进而求得相应的二次函数解析式。

四、教学过程(一)知识梳理二次函数的应用二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型,这就需要认真审题,理解题意,利用二次函数解决实际问题,应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题.建立平面直角坐标系,用二次函数的图象解决实际问题建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题,求二次函数的解析式是解题关键.(二)题型、技巧归纳考点1利用二次函数解决抛物线形问题技巧归纳:利用二次函数解决抛物线形问题,一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系,设出合适的二次函数的解析式,把实际问题中已知条件转化为点的坐标,代入解析式求解,最后要把求出的结果转化为实际问题的答案.考点2二次函数在营销问题方面的应用技巧归纳:二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题,这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式,然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题.考点3二次函数在几何图形中的应用技巧归纳:二次函数在几何图形中的应用,实际上是数形结合思想的运用,融代数与几何为一体,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分运用三角函数解直角三角形,相似、全等、圆等来解决问题,充分运用几何知识求解析式是关键.二次函数与三角形、圆等几何知识结合时,往往涉及最大面积,最小距离等问题,解决的过程中需要建立函数关系,运用函数的性质求解.(三)典例精讲例1 如图排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围);(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.[解析](1)根据h=2.6和函数图象经过点(0,2),可用待定系数法确定二次函数的关系式;(2)要判断球是否过球网,就是求x=9时对应的函数值,若函数值大于或等于网高2.43,则球能过网,反之则不能;要判断球是否出界,就是求抛物线与x轴的交点坐标,若该交点坐标小于或等于18,则球不出界,反之就会出界;要判断球是否出界,也可以求出x=18时对应的函数值,并与0相比较.(3)先根据函数图象过点(0,2),建立h与a之间的关系,从而把二次函数化为只含有字母系数h的形式,要求球一定能越过球网,又不出边界时h的取值范围,结合函数的图象,就是要同时考虑当x=9时对应的函数y的值大于2.43,且当x=18时对应的函数y的值小于或等于0,进而确定h的取值范围.解:(1 )把x=0 ,y=2 ,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h即2=a(0-6)2+2.6,∴160 a=-∴y= (x-6)2+2.6;(2)当h=2.6时,y=(x-6)2+2.6当x=9时,y=(9-6)2+2.6=2.45>2.43 ∴球能越过网当y=0 时,()216 2.6060x --+=,解得:12618,6x x =+>=-舍去)故会出界;(3)当球正好过点(18 ,0 )时,y=a (x-6 )2+h 还过点(0 ,2)点,代入解析式得: 2=36a+h 0=144h a ⎧⎨+⎩, 解得:, 此时二次函数解析式为:218(6)543y x =--+, 此时球若不出边界, 当球刚能过网,此时函数解析式过(9 ,2.43 ),y=a (x-6 )2+h 还过点(0 ,2 )点,代入解析式得:222.43(96)2(06)a h a h ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩, 解得:43270019375a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时球要过网h ≥, ∵8193375>, ∴h ≥,故若球一定能越过球网,又不出边界,h 的取值范围是:。

中考数学第一轮思维方法复习讲义:第8讲 二次函数图象的应用

中考数学第一轮思维方法复习讲义:第8讲 二次函数图象的应用

意林数学思维方法讲义之八 年级: 九年级§第8讲 二次函数图象的应用(一)【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系(二次函数c bx ax y ++=2中a,b,c 的作用):⑴a 决定__________。

①当__ 时,图象开口向上,当x=_________时,函数有最___值________;当x ﹥-a b 2时,y 随x 的增大而________;当x ﹤-ab2时,y 随x 的增大而________。

②当_________时,图象开口向下,当x=_________时,函数有最___值________;x ﹥-ab2时,y 随x 的增大而________;当x ﹤-ab2时,y 随x 的增大而________。

③当|a |越大,图象开口越_____。

(2)a 和b 共同决定________。

①b=0时,对称轴为______;②a 和b 同号时对称轴在y 轴___侧;③a 和b 异号时对称轴在y 轴___侧。

简记为 。

(3)c 的大小决定抛物线与_____的交点的位置。

当___ 时,图象与y 轴正半轴相交;当___ 时,图象与y 轴负半轴相交;当___ 时,图象过原点。

(4)当__ _时,图象与x 轴有两个交点;当_ 时,图象与x 轴仅有一个交点;当__ _时,图象与x 轴没有交点。

2、以二次函数图象为载体,通过对四大要素的理解,结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似,利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。

【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。

【精彩知识】题型一 二次函数的图象与系数的关系【例1】已知:二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,下列结论中:①abc >0;②2a +b <0;③a +b <m (am +b )(m ≠1的实数);④(a+c )2<b 2;⑤a >1.其中正确的项是 (填番号)●变式练习:如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴正半轴相交,其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭,下列结论:①ac <0;②a +b =0;③4ac -b 2=4a ;④a +b +c <0.其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4题型二 二次函数的图象和性质的基本应用 【例2】已知,二次函数的解析式y 1=-x 2+2x +3. (1)求这个二次函数的顶点坐标;(2)求这个二次函数图象与x 轴的交点坐标; (3)x 取什么值时,抛物线在x 轴上方? (4)x 取什么值时,y 的值随x 值的增大而减小?(5)若直线y 2=ax +b (a ≠0)的图象与该二次图象交于A (12-,m ),B (2,n )两点,结合图象直接写出当x 取何值时y 1>y 2?●变式练习:对于二次函数322--=mx x y ,有下列说法:①它的图象与x 轴有两个公共点; ②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小,则1=m ; ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则1-=m ;④如果当4=x 时的函数值与2008=x 时的函数值相等,则当2012=x 时的函数值为3-. 其中正确的说法是 .(把你认为正确说法的序号都填上) 【例3】 二次函数2y ax bx =+的图象如图,若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根,则m 的最大值为( )A .-3B .3C .-5D .9●变式练习:如图,已知抛物线y 1=﹣2x 2+2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时,;若y 1=y 2,记M =y 1=y 2.例如:当=0.下列判断:①当大于2的=1的x 值是或.其中正确的是 (填番号)题型三 二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等A D C B O x yA OB y x 【例4】如图,若抛物线y =-<n . (1)求抛物线的解析式;(2)若(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为C.根据图像回答,当x 取何值时,抛物线的图像在直线BC 的上方?(3)点P 在线段OC 上,作PE ⊥x 轴与抛物线交与点E ,若直线BC 将△CPE 的面积分成相等的两部分,求点P 的坐标.●变式练习:如图,已知二次函数c bx x y ++-=2的图象经过A (2-,1-),B (0,7)两点. ⑴求该抛物线的解析式及对称轴; ⑵当x 为何值时,0>y ?⑶在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ,与抛物线交于C ,D 两点(点C 在对称轴的左侧),过点C ,D 作x 轴的垂线,垂足分别为F ,E .当矩形CDEF 为正方形时,求C 点的坐标.【例5】如图,在平面直角坐标系xoy 中,把抛物线2y x =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0).所得抛物线与x 轴交于A B 、两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,顶点为D .(1)求抛物线的解析式;(2)判断ACD △的形状,并说明理由;(3)在线段AC 上是否存在点M ,使AOM △∽ABC △?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.【例6】如图,在平面直角坐标系中,已知点A (-2,-4),OB =2,抛物线y =ax 2+b 是抛物线对称轴上一点,试求AM +OM 的最小值; (3)在此抛物线上,是否存在点P ,使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形.若存在, 求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【例7】如图,在平面直角坐标系xOy 中,AB ⊥x 轴于点B ,AB =3,tan ∠AOB =34。

【数学中考一轮复习】 二次函数最值应用(含解析)

【数学中考一轮复习】 二次函数最值应用(含解析)

专项训练 二次函数最值应用结合图象,分两类情形: (1)最值在顶点位置如图所示,P 为二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象的顶点,则二次函数的最值(开口向上有最小值,开口向下有最大值)为顶点P 的纵坐标ab ac 442-.(2)最值不在顶点位置如图所示,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)为y 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象上的两点,则当x 1≤x ≤x 2时,二次函数的最大值为y 2,最小值为ab ac 442-.具体应结合开口方向,根据M ,N ,P 三个点的位置,通过比较y M ,y P ,y N ,确定二次函数的最值.如果在实际问题中,还要考虑取值的实际意义,综合进行分析,确定二次函数的最值. 类型一 面积中的最值应用1.把一根长为120 cm 的铁丝剪成两段,并把每一段铁丝围成一个正方形.若设围成的一个正方形的边长为 x cm.(1)要使这两个正方形的面积的和等于650 cm 2,则剪出的两段铁丝长分别是多少? (2)剪出的两段铁丝长分别是多少cm 时,这两个正方形的面积和最小?最小值是多少?2.如图所示,在足够大的空地上有一段长为100 m 的旧墙MN ,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ,其中AD ≤MN ,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100 m 的木栏.(1)若AD <20 m ,所围成的矩形菜园的面积为450 m 2,求所利用的旧墙AD 的长; (2)求矩形菜园ABCD 面积的最大值.3.如图所示,为美化中心城区环境,政府计划在长为30米,宽为20米的矩形场地ABCD 上修建公园其中要留出宽度相等的三条小路,且两条与AB 平行,另一条与AD 平行,其余部分建成花圃.(1)若花圃总面积为448平方米,求小路宽为多少米?(2)已知某园林公司修建小路的造价y 1(元)和修建花圃的造价y 2(元)与修建面积s (平方米)之间的函数关系分别为y 1=40s 和y 2=35s +20000.若要求小路宽度不少于2米且不超过4米,求小路宽为多少米时修建小路和花圃的总造价最低?类型二 利润中的最值应用4.超市销售某品牌洗手液,进价为每瓶10元.在销售过程中发现,每天销售量y (瓶)与每瓶售价x (元)之间满足一次函数关系(其中10≤x ≤15,且x 为整数),当每瓶洗手液的售价是12元时,每天销售量为90瓶;当每瓶洗手液的售价是14元时,每天销售量为80瓶.(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w 元,当每瓶洗手液的售价定为多少元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润是多少元?5.在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本为10元/件,拟采取线上和线下两种方式进行销售调查发现,线下的月销量y (单位:件)与线下售价x (单位:元/件,12≤x <24)满足一次函数的关系,部分数据如下表:(1)求y 与x 的函数关系式;(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元,且线上的月销量固定为400件.试问:当x 为多少时,线上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润.6.2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年,荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x 天(x为正整数)的销售价格p (元/千克)关于x 的函数关系式为p =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+)3020(1251)200(452x x x x ,销售量y (千克)与x 之间的关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少?(销售额=销售量×销售价格)类型三运动中的最值应用,7.周末,小明陪爸爸去打高尔夫球,小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图所示,如果不考虑空气阻力,小球的飞行路线是一条抛物线.小明测得小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)的几组值后,发现h与t满足的函数关系式是h=20t-5t2. (1)小球飞行时间是多少时达到最大高度,求最大高度是多少?(2)小球飞行时间t在什么范围时,飞行高度不低于15 m?8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m处跳起投篮,球运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足解析式y=ax2+x+c,当球运行的水平距离为1.5 m时,球离地面高度为3.3 m,球在空中达到最大高度后,准确落入篮圈内.已知篮圈中心离地面距离为3.05 m.(1)当球运行的水平距离为多少时,达到最大高度?最大高度为多少?(2)若该运动员身高1.8 m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25 m处出手,问球出手时他跳离地面多高?9.如图所示,某足球运动员站在点O处练习射门将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c.已知足球飞行0.8 s时,离地面的高度为3.5 m.(1)a=_________;c=___________.(2)当足球飞行的时间为多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(3)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为 2.44 m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28 m,他能否将球直接射入球门?巩固训练1.某宾馆共有80间客房宾馆负责人根据经验作出预测:今年7月份,每天的房间空闲数y (间)与定价x (元/间)之间满足y =41x-42(x ≥168).若宾馆每天的日常运营成本为5000元,有客人入住的房间,宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用,宾馆想要获得最大利润,同时也想让客人得到实惠,应将房间定价确定为( ) A.252元/间 B.256元/间 C.258元/间 D.260元/间 2.如图所示,一块矩形土地ABCD 由篱笆围着,并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m (篱笆的厚度忽略不计),当AB =_______m 时,矩形土地ABCD 的面积最大.3.小明和小丽先后从A 地出发沿同一直道去B 地.设小丽出发第x min 时,小丽、小明离B 地的距离分别为y 1 m 、y 2 m.y 1与x 之间的函数表达式是y 1=-180x +2250,y2与x 之间的函数表达式是y 2=-10x 2-100x +2000.(1)小丽出发时,小明离A 地的距离为_________m ;(2)小丽出发至小明到达B 地这段时间内,两人何时相距最近?最近距离是多少?4.因疫情防控需要,消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价50元,每天销售量y (桶)与销售单价x (元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示. (1)求y 与x 之间的函数表达式;(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时,药店每天获得的利润最大,最大利润是多少元?(利润=销售价-进价)参考答案1.解:(1)根据题意知:一个正方形的边长分别为x cm , 则另一个正方形的边长为41(120-4x )=(30-x )cm , 且分成的铁丝一段长度为4x cm ,另一段为(120-4x )cm ,x 2+(30-x )2=650. 整理得:x 2-30x +125=0,解得:x 1=5,x 2=25, 故这根铁丝剪成两段后的长度分别是20 cm ,100 cm ; (2)设这两个正方形的面积之和为y cm 2,y =x 2+(30-x )2=2x 2-60x +900=2(x-15)2+450, ∴当x =15时,y 取得最小值,最小值为450cm 2,即剪成两段均为60 cm 的长度时面积之和最小,最小面积和为450 cm 2. 2.解:(1)设AB =x m ,则BC =(100-2x )m.x (100-2x )=450. 解得,x 1=5,x 2=45,当x =5时,100-2x =90>20,不合题意,舍去. 当x =45时,100-2x =10, 答:AD 的长为10m ;(2)设AD =a m ,面积为S m 2, S =a ·1250)50(2121002+-=-x a , ∴当a =50时,S 取得最大值,此时S =1250. 答:矩形菜园ABCD 面积的最大值是1250 m 2.3.解:(1)设小路的宽为m 米,则可列方程(30-m )(20-2m )=448; 解得:m 1=2或m 2=38(舍去); 答:小路的宽为2米;(2)设小路的宽为x 米,总造价为w 元,则花圃的面积为(2x 2-80x +600)平方米,小路面积为(-2x 2+80x )平方米,所以w =40·(-2x 2+80x )+35·(2x 2-80x +600)+20000, 整理得:w =-10(x-20)2+45000,∴当2≤x ≤4时,w 随x 的增大而增大.∴当x =2时,w 取最小值. 答:小路的宽为2米时修建小路和花圃的总造价最低.4.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),根据题意,得1⎩⎨⎧=+=+80149012b k b k ,解得⎩⎨⎧=-=1505b k , ∴y 与x 之间的函数关系式为y =-5x +150; (2)根据题意,得w =(x-10)(-5x +150)=-5x 2+200x-1500=-5(x-20)2+500 ∵a =-5<0,∴抛物线开口向下,w 有最大值.∴当x <20时,w 随x 的增大而增大.10≤x ≤15,且x 为整数, ∴当x =15时,w 有最大值. 即w =-5×(15-20)2+500=375.答:当每瓶洗手液的售价定为15元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润是375元.5.解:(1)∵y 与x 满足一次函数的关系,∴设y =kx +b.将x =12,y =1200;x =13,y =1100代入得:⎩⎨⎧b +13k =1100b +12k =1200,解得:⎩⎨⎧2400=b 100-=k ,∴y 与x 的函数关系式为:y =-100x +2400;(2)设线上和线下月利润总和为m 元,则m =400(x-2-10)+y (x-10) =400x-4800+(-100x +2400)(x-10)=-100(x-19)2+7300,∴当x 为19元/件时,线上和线下月利润总和达到最大,此时的最大利润为7300元. 6.解:(1)当0<x ≤20时,设y =k 1x +b 1,由图象得:⎩⎨⎧=+=402080111b k b ,解得⎩⎨⎧=-=80211b k ,∴y =-2x +80(0<x ≤20); 当20<x ≤30时,设y =k 2x +b 2,由图象得:⎩⎨⎧=+=+803040202222b k b k ,解得⎩⎨⎧-==40422b k ,∴y =4x-40(20<x ≤30). 综上,y =⎩⎨⎧);30≤x <2040-4x (),20≤x <080+2x (((2)设当月该农产品的销售额为w 元,则w =yp , 当0<x ≤20时,w =(-2x +80)(52x +4)=-54x 2+24x +320=-54(x-15)2+500 ∵-54<0,由二次函数的性质可知:∴当x =15时,w 最大=500.当20<x ≤30时,W =(4x-40)(-51x +12)=-54x 2+56x-480=-54(x-35)2+500,∵-54<0,20<x ≤30,由二次函数的性质可知:当x =30时,W 最大=(30-35)2+500=480.∵500>480, ∴当x =15时,w 取得最大值,该最大值为500.答:当月第15天,该产品的销售额最大,最大销售额是500元. 7.解:(1)h =20t-5t 2. ∵-5<0,故h 有最大值,当t =)(5220-⨯=2,此时h 的最大值为20,∴当t =2 s 时,最大高度是20 m ;(2)令h ≥15,则h =20t-5t 2≥15,解得:1≤t ≤3, ∴1≤t ≤3时,飞行高度不低于15 m.8.解:(1)依题意,抛物线y =ax 2+x +c 经过点(1.5,3.3)和(4,3.05),∴⎩⎨⎧ 3.05=c +4+42×a 3.3=c +1.5+1.52×a ,解得⎩⎨⎧ 2.25=c 0.2-=a ,∴y =-0.2x 2+x +2.25=-0.2(x-2.5)2+3.5.∴当球运行的水平距离为2.5 m 时,达到最大高度为3.5 m ; (2)∵x =0时,y =2.25,∴2.25-0.25-1.8=0.2 m. 即球出手时,他跳离地面0.2 m.9.解:(1)由题意得:函数y =at 2+5t +c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),∴⎩⎨⎧c +0.8×5+0.82a =3.5c =0.5,解得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=211625c a ,∴抛物线的解析式为:y =-1625t2+5t +21, 故答案为:-1625,21. (2)∵y =-1625t2+5t +21,∴y =29)58(16252+--t . ∴当t =58时,y 最大=4.5.∴当足球飞行的时间为58s 时,足球离地面最高,最大高度是4.5 m ;(3)把x =28代入x =10t 得t =2.8,∴当t =2.8时,y =-1625×2.82+5×2.8+21=2.25<2.44, ∴他能将球直接射入球门. 巩固训练 1.B 2.1503.解:(1)∵y 1=-180x +2250,y 2=-10x 2-100x +2000, ∴当x =0时,y 1=2250,y 2=2000,∴小丽出发时,小明离A 地的距离为2250-2000=250(m ), 故答案为:250;(2)设小丽出发第x min 时,两人相距s m ,则s =(-180x +2250)-(-10x 2-100x +2000)=10x 2-80x +250=10(x-4)2+90, ∴当x =4时,s 取得最小值,此时s =90,答:小丽出发第4min 时,两人相距最近,最近距离是90m. 4.解:(1)设y 与销售单价x 之间的函数关系式为:y =kx +b ,将点(60,100),(70,80)代入一次函数表达式得:⎩⎨⎧+=+=b k b k 708060100,解得:⎩⎨⎧=-=2202b k ,故函数的表达式为:y =-2x +220;(2)设药店每天获得的利润为w 元,由题意得: W =(x-50)(-2x +220)=2(x-80)2+1800, ∵-2<0,函数有最大值,∴当x =80时,w 有最大值,此时最大值是1800,故销售单价定为80元时,该药店每天获得的利润最大,最大利润1800元.。

中考数学二次函数与一元二次方程一轮复习课教案设计与反思

中考数学二次函数与一元二次方程一轮复习课教案设计与反思

授课人 备课时间 2.26 学 科 数学执教班级课 题 二次函数与一元二次方程 教学课时第 1 课时教学课型复习课授课时间3.19教材 分析 本课时主要包括两方面的内容,一方面,给出函数值,利用解一元二次方程或观察图像,得到自变量的取值范围,或利用二次函数的顶点坐标,求出最大值或最小值。

另一方面涉及从实际问题及图形信息中建立二次函数模型,并根据二次函数的最值解决实际问题 教学目标1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系;2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式,判定抛物线与x 轴的交点情况;情感态度与价值观:学会利用二次函数解决实际问题,提高学习数学知识的自豪感。

应用信息技术2.0教学重点难点重点:会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。

难点:会利用韦达定理解决有关二次函数的问题教学难点克服方法小组合作交流媒体运用电子白板 华为智慧云课堂预设过程(应包括课程导入、预习自学、展示交流、当堂练习检测等) 个人修改一、 构建知识网络首先我们一起来回顾一下各部分的知识结构图 函数 一元二次方程(找学生到黑板建构这部分的知识结构图,并找其他同学不断地完善。

)二、 典型例题:【例1】已抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y (m 为实数)。

(1)m 为何值时,抛物线与x 轴有两个交点?(2)如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,且△ABC 的面积为2,求该抛物线的解析式。

分析:抛物线与x 轴有两个交点,则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根,将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应满足的条件。

略解:(1)由已知有⎩⎨⎧>=∆≠-0012m m ,解得0≠m 且1≠m (2)由0=x 得C (0,-1)又∵1-=∆=m m a AB∴2112121=⋅-⋅=⋅⋅=∆m m OC AB S ABC∴34=m 或54=m∴132312--=x x y 或156512---=x x y【例2】已知抛物线)6(2)8(222+++-=m x m x y 。

人教版初中数学中考复习 一轮复习 二次函数及其应用2(课件)

人教版初中数学中考复习  一轮复习   二次函数及其应用2(课件)

解方程,得 m1=-2,m2=3(不符合题意,舍去) ∴m=-2
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
9. (2021•泸州)直线 l 过点(0,4)且与 y 轴垂直,若二次函数 y=(x﹣a)2+(x﹣2a)2+
(x﹣3a)2﹣2a2+a(其中 x 是自变量)的图象与直线 l 有两个不同的交点,且其对称轴
解方程,得 m1= 41-1 ,m2= - 41+1 (不符合题意,舍去)
4
4
∴m= 41-1 , 4
1 - m>3,即 m<-3,当 x=3 时,y=6.∴9来自6m+2m2-m=6,
解方程,得 m1=-1,m2= - 3 (均不符合题意,舍去). 2
综上所述,m=-2 或 m=
41-1
.
4
2 1<- m≤3,即-3≤m<-1,当 x=-m 时,y=6. ∴m2-m=6
bx+c=0有 两个不相等的 实数根;
②如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴 只有一个 交点,则一元二次方
程ax2+bx+c=0有两个 相等 的实数根;
③如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点,则一元二次方程ax2+bx
+c=0 没有 实数根.
知识点梳理——知识点4:二次函数与一元二次方程及不等式的关系
A(1,0),B(m,0)(-2<m<-1),下列结论①2b+c>0;②2a+c<0;
③a(m+1)-b+c>0;④若方程a(x-m)(x-1)-1=0有两个不等实数根,
A 则4ac-b2<4a;其中正确结论的个数是(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系

中考数学一轮专题二次函数复习教案:二次函数的应用(4

中考数学一轮专题二次函数复习教案:二次函数的应用(4

二次函数的应用(4)(练习)1.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8m,宽是2m,抛物线可以用y=-x2+4表示.(1)一辆货运卡车高4m,宽2m,它能通过该隧道吗?(2)如果隧道内设双行道,那么这辆货运车是否可以通过?(3)为安全起见,你认为隧道应限高多少比较适宜?为什么?2.在一块长为30m,宽为20m的矩形地面上修建一个正方形花台.设正方形的边长为xm,除去花台后,矩形地面的剩余面积为ym2,则y与x之间的函数表达式是,自变量x的取值范围是.y有最大值或最小值吗?若有,其最大值是,最小值是,这个函数图象有何特点?3.一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍,门MN宽2m,门PQ和RS的宽都是1m,怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大?4.把3根长度均为100m的铁丝分别围成长方形、正方形和圆,哪个面积最大?为什么?5.周长为16cm的矩形的最大面积为,此时矩形的边长为,实际上此时矩形是.6.当n= 时,抛物线y=-5x2+(n2-25)x-1的对称轴是y轴.7.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,则m的值是.8.如果一条抛物线与抛物线y=-x2+2的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的表达式是.9.若抛物线y=3x2+mx+3的顶点在x轴的负半轴上,则m的值为.10.抛物线y=3x2-2向左平移2个单位,向下平移3个单位,则所得抛物线为()A.y=3(x+2)2+1 B.y=3(x-2)2-1C.y=3(x+2)2-5 D.y=3(x-2)2-211.二次函数y=x2+mx+n,若m+n=0,则它的图象必经过点()A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,-1)D.(1,1)12.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,点P(a+b,bc)是坐标平面内的点,则点P在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限13.已知:如图1,D是边长为4的正△ABC的边BC上一点,ED∥AC交AB于E,DF⊥AC交A C 于F,设DF=x.(1)求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围;(2)当x为何值时,△EDF的面积最大?最大面积是多少;(3)若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似,求BD长.14.如图2,有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD,它的上底AD=3cm,下底BC=8cm,垂直于底的腰CD=6cm.现要裁成一块矩形铁皮MPCN,使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD 上.当MN是多长时,矩形MPCN的面积有最大值?15.如图3,有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4dm,抛物线顶点到MN的距离是4dm.要在铁皮上截下一矩形ABCD,使矩形顶点B、C落在MN上,A、D落在抛物线上,试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm?16.如图4,在一直角三角形中建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN.其中DE在AB上,AC=8,BC=6.(1)求△ABC中AB边上的高h;(2)设DN=x,当x取何值时,水池DEFN的面积最大?(3)实际施工时,发现在AB上距B点1.85处有一棵大树,问这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?\。

初中数学_《二次函数的应用》(复习)教学设计学情分析教材分析课后反思

初中数学_《二次函数的应用》(复习)教学设计学情分析教材分析课后反思

《二次函数的应用》教学设计35321212++-=x x y 3532121-2++=x x y 教学环节教学内容 学生活动环节目标 创设情境问题引入 1.已知二次函数 ,求出抛物线的顶点坐标与对称轴。

2.已知二次函数图象的顶点坐标是(6,2.6),且经过点(0,2),求这个二次函数的表达式 。

3.抛物线 c bx x y ++=261-经过点(0,4)经过点(3,217),求抛物线的关系式。

问题:(1)求二次函数顶点坐标的方法 (2)设表达式的思路(3)如何求二次函数与x 轴及y 轴的交点坐标课前布置,独立完成,上课时没完成的继续完成,之后组内批阅,找学生上台板演,并回答老师提出的问题。

这三个小题是后面实际应用问题的答案,学生在复习二次函数基础知识的同时,把后面的计算提到前面来,便于后面把教学重点放在解题思路的分析与掌握上,减少学生的计算量。

探索交流获得新知1例题解析例 1 :这是王强在训练掷铅球时的高度y (m)与水平距离x(m)之间的函数图像,其关系式为 ,则铅球达到的最大高度是_____米,此时离投掷点的水平距离是____米。

铅球出手时的高度是_____米,此次掷铅球的成绩是____米。

2、跟踪练习:如图,排球运动员站在点O 处练习发球,将球从1、学生独立思考后回答问题答案。

2、根据图像回答解题思路。

(前面已经求过前两个空,只计算后面两个即可)引导学生得到解决问题的方法:这四个问题都是求线段的长度,共同点为已知点的一个坐标,可将其代入表达式求另一个坐标,再把坐标转化成线段的长。

O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,出手后水平运行6米达到最大高度2.6米,(1) 运行的高度记为y(m),运行的水平距离记为x(m),建立平面平面直角坐标系如图,求y 与x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围);(2) 若球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m。

二次函数1中考第一轮复习教案

二次函数1中考第一轮复习教案

《二次函数(1)》中考第一轮复习教案茂名市第九中学张茂容一、学情分析:本节课是总复习第一轮,学生已经学习了初中阶段的所有必修的函数内容,对二次函数已经有一定的把握能力,只是二次函数在中考中出现的频率高、难度相对大,所有学生在二次函数的整合应用上有待提高。

二、教学目标:1、知识目标:复习二次函数的定义、图像、性质、解析式2、能力目标:通过抢答的形式,提高学生的语言表述能力;图形与式子变形的训练,提高学生的观察、分析的能力。

3、情感目标:通过分享同学之间的解法,增强学生之间的交流意识;通过课后学生的自我总结反思,提高学生的自习观念.三、教学重难点:1、重点:二次函数的图像、性质。

2、难点:多种方法求二次函数的解析式四、教学方法:讲解法、图像法、小结发五、教学过程设计:(一)二次函数的定义1、定义:一般地,形如y=ax2+bx+c (a 、b 、c 是常数,a ≠0 )的函数叫做______.2、定义要点:①a ≠0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式、练习:A3(1)、y=-x2,y=2x2-2/x,y=100-5x2,y=3x2-2x3+5,其中是二次函数的有____个。

2 mm是二次函数?2χ+1 y=(m+1)χ- m_______(2)、当时,函数(二)、二次函数的图象及性质(播放视频)1、形状:抛物线2、性质:开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最大(小)值3、抛物线与a、b、c (播放视频)4、练习B:、快速回答:12+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的符号:(1)、抛物线y=ax(注意:由形定数、对称轴a、b左同右异)图一图二图三图四图五基础演练、2.2-x-6的图象顶点坐标是__________y=x,对称轴是、二次函数3_________。

、点击中考:4.3、[2014·中ax=]二次函数y山2,关于3的大致图象如图15-c(a≠0)bx++) 该二次函数,下列说法错误的是(1 =.对称轴是直线x BA.函数有最小210y>x<2时,<y随x的增大而减D.当-1C.当x<时,2(三)、求抛物线解析式的方法1、抛物线有几种解析式?(播放视频)c的变化与解析式的关系、b、2、a 3、求抛物线解析式的三种方法:为式解析通通点,常设上1()、已知抛物线的三个普________________)和一个普通点,通常设抛物线h, k)、已知抛物线顶点坐标((2_______________解析式为和另一个普通(x,0)(x,0)、(3)、已知抛物线与x 轴的两个交点21 _____________点,通常设解析式为练习、4C:12,+2x+1写成顶点式为:__________x、二次函数1y= 2______对称轴为_____,顶点为12 b=___yx 、已知二次函数2y= - +bx-5的图象的顶点在轴上,则。

中考数学一轮复习《二次函数》教学设计(精品)

中考数学一轮复习《二次函数》教学设计(精品)

二次函数复习教学设计学情分析:(1)学生对函数概念理解不全面,不深刻,不善于结合情境建立函数模型;对二次函数的图象性质理解肤浅,特别是函数的增减性和对称性;不会从已知条件提取信息,准确作出函数图象,或从函数图像获取信息来解决问题;对待定系数法求函数解析式中,不能准确设函数的类型,计算不过关,数形结合思想、函数方程思想、转化与化归意识不强。

(2)思考缺乏条理性,对函数综合性问题无从下手,有畏难情绪。

设计思想本节课安排三个活动,第一个活动是复习教学的启动,以小组讨论形式,让学生回顾二次函数的基础知识,梳理考点,第二个活动是学生先独立思考例题后再小组讨论,例1是围绕二次函数主干知识和思想方法,用问题串的形式训练,是作为函数基础复习第一层次,目的是让学生较为全面地梳理二次函数基础知识,并获得成功体验,树立信心,激发进一步探究的热情。

第三个开放性活动,根据函数图像编写中考题,对运用二次函数图象及性质的能力要求较高,是第一层次的拓展和深化,目的是让学生掌握二次函数的考点及考查类型,丰富数学活动经验,为后续二次函数综合题的探究做好铺垫,打好基础。

教学目标:1.了解二次函数的知识结构框架,进一步巩固二次函数概念2.掌握用待定系数法求二次函数的解析式;3.掌握二次函数的图像性质,并灵活运用二次函数的图像性质解决问题;4.通过探究进一步体会函数的一般研究方法及数形结合等思想,提高分析问题、解决问题的能力。

教学重点:二次函数的图像及性质。

教学难点:二次函数的知识结构框架的建立以及二次函数图像性质的灵活运用。

教学过程一、引入二、小组讨论1.二次函数包含哪些知识点?2.请用框架图或表格形式把知识点罗列出。

三、小组展示四、命题分析二次函数是海南中考必考的内容之一,常与几何知识综合作为压轴题出现。

二次函数考查有以下特点:考点一:二次函数解析式的确定;考点二:二次函数图象的性质(二次函数的开口方向、顶点、对称轴、增减性、最大(或最小)值等;考点三:二次函数图象的平移;考点四:二次函数与一元二次方程、不等式的关系;考点五:二次函数与几何图形的综合运用。

中考初中数学一轮复习专题导引40讲-15二次函数的应用

中考初中数学一轮复习专题导引40讲-15二次函数的应用

中考初中数学一轮复习专题导引40讲第15讲二次函数的应用☞考点解读:知识点名师点晴二次函数的应用1.实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。

2.将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景,建立适当的平面直角坐标系。

3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它们的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展。

☞考点解析:考点1:二次函数与几何的综合运用。

基础知识归纳:求点的坐标,求抛物线解析式,求线段长或图形面积的最值,点的存在性。

基本方法归纳:待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。

注意问题归纳:合理使用割补法表达面积,分类讨论要全面。

【例1】(湖北十堰·12分)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(0、﹣4)与x轴交于另一点C,连接BC.(1)求抛物线的解析式;(2)如图,P是第一象限内抛物线上一点,且S△PBO=S△PBC,求证:AP∥BC;(3)在抛物线上是否存在点D,直线BD交x轴于点E,使△ABE与以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形相似(不重合)?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式;(2)令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标,作△POB和△PBC的高线,根据面积相等可得OE=CF,证明△OEG≌△CFG,则OG=CG=2,根据三角函数列式可得P的坐标,利用待定系数法求一次函数AP 和BC的解析式,k相等则两直线平行;(3)先利用概率的知识分析A,B,C,E中的三点为顶点的三角形,有两个三角形与△AB E有可能相似,即△ABC和△BCE,①当△ABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2,根据存在公共角∠BAE=∠BAC,可得△ABE∽△ACB,列比例式可得E的坐标,利用待定系数法求直线BE的解析式,与抛物线列方程组可得交点D的坐标;C.EABEC.E,C.E中的三点为顶点的三角形相似,如图3,同理可得结论.解:(1)把点A(﹣2,0),B(0、﹣4)代入抛物线y=x2+bx+c中得:,解得:,∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣4;(2)当y=0时,x2﹣x﹣4=0,解得:x=﹣2或4,∴C(4,0),如图1,过O作OE⊥BP于E,过C作CF⊥BP于F,设PB交x轴于G,∵S△PBO=S△PBC,∴,∴OE=CF,易得△OEG≌△CFG,∴OG=CG=2,设P(x,x2﹣x﹣4),过P作PM⊥y轴于M,tan∠PBM===,∴BM=2PM,∴4+x2﹣x﹣4=2x,x2﹣6x=0,x1=0(舍),x2=6,∴P(6,8),易得AP的解析式为:y=x+2,BC的解析式为:y=x﹣4,∴AP∥BC;(3)以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE,四种,其中△ABE重合,不符合条件,△ACE不能构成三角形,∴当△ABE与以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形相似,存在两个三角形:△ABC和△BCE,①当△ABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2,∵∠BAE=∠BAC,∠ABE≠∠ABC,∴∠ABE=∠ACB=45°,∴△ABE∽△ACB,∴,∴,∴AE=,∴E(,0),∵B(0,﹣4),易得BE:y=,则x2﹣x﹣4=x﹣4,x1=0(舍),x2=,∴D;C.EABEC.E,C.E中的三点为顶点的三角形相似,如图3,∵∠BEA=∠BEC,∴当∠ABE=∠BCE时,△ABE∽△BCE,∴==,设BE=2m,CE=4m,Rt△BOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2,∴,3m2﹣8m+8=0,(m﹣2)(3m﹣2)=0,m1=2,m2=,∴OE=4m﹣4=12或,OE=C.EOE= C.E∠AEB是钝角,此时△ABE与以B,C.E中的三点为顶点的三角形不相似,如图4,∴E(﹣12,0);同理得BE的解析式为:y=﹣x﹣4,﹣x﹣4=x2﹣x﹣4,x=或0(舍)∴D(,﹣);综上,点D的坐标为或(,﹣).【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理,第3问有难度,确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键.【变式1】(四川省攀枝花)如图,对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于C点,且+=﹣.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线顶点为D,直线BD交y轴于E点;B.DP为线段BD上一点(点P不与B.D两点重合),过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F,求△BDF 面积的最大值;②在线段BD上是否存在点Q,使得∠BDC=∠QCE?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系:x1+x2=﹣,x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为:y=x2﹣2x﹣3(2)由(1)点D坐标为(1,﹣4)当y=0时,x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1,x2=3∴点B坐标为(3,0)①设点F坐标为(a,b)∴△BDF的面积S=×(4﹣b)(a﹣1)+(﹣b)(3﹣a)﹣×2×4整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣(a2﹣2a﹣3)﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1<0∴当a=2时,S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为(1,﹣4),点B坐标为(3,0)∴直线BD解析式为:y=2x﹣6则点E坐标为(0,﹣6)BC.CDBC.CD,则由勾股定理CB2=(3﹣0)2+(﹣3﹣0)2=18CD2=12+(﹣4+3)2=2BD2=(﹣4)2+(3﹣1)2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为(,﹣3)【例2】(云南省曲靖)如图:在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣与x轴交于点A,经过点A 的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=.(1)求抛物线的解析式;(2)平移直线l经过原点O,得到直线m,点P是直线m上任意一点,PB⊥x轴于点B,PC⊥y轴于点C,若点E在线段OB上,点F在线段OC的延长线上,连接PE,PF,且PE=3PF.求证:PE⊥PF;(3)若(2)中的点P坐标为(6,2),点E是x轴上的点,点F是y轴上的点,当PE⊥PF时,抛物线上是否存在点Q,使四边形PEQF是矩形?如果存在,请求出点Q的坐标,如果不存在,请说明理由.解:(1)当y=0时,x﹣=0,解得x=4,即A(4,0),抛物线过点A,对称轴是x=,得,解得,抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4;(2)∵平移直线l经过原点O,得到直线m,∴直线m的解析式为y=x.∵点P是直线1上任意一点,∴设P(3a,a),则PC=3a,PB=a.又∵PE=3PF,∴=.∴∠FPC=∠EPB.∵∠CPE+∠EPB=90°,∴∠FPC+∠CPE=90°,∴FP⊥PE.(3)如图所示,点E在点B的左侧时,设E(a,0),则BE=6﹣a.∵CF=3BE=18﹣3a,∴OF=20﹣3a.∴F(0,20﹣3a).∵PEQF为矩形,∴=,=,∴Q x+6=0+a,Q y+2=20﹣3a+0,∴Q x=a﹣6,Q y=18﹣3a.将点Q的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=4或a=8(舍去).∴Q(﹣2,6).如下图所示:当点E在点B的右侧时,设E(a,0),则BE=a﹣6.∵CF=3BE=3a﹣18,∴OF=3a﹣20.∴F(0,20﹣3a).∵PEQF为矩形,∴=,=,∴Q x+6=0+a,Q y+2=20﹣3a+0,∴Q x=a﹣6,Q y=18﹣3a.将点Q的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=8或a=4(舍去).∴Q(2,﹣6).综上所述,点Q的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6).【变式2】【例3】(湖北江汉·12分)抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线l:y=t(t<)上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象.(1)点A,B,D的坐标分别为,,;(2)如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处.当点E在△ABC内(含边界)时,求t的取值范围;(3)如图②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标,再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标;(2)由点D的坐标结合对称找出点E的坐标,根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组,解之即可得出t的取值范围;(3)假设存在,设点P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m,分m<或m>3及≤m≤3两种情况,利用勾股定理找出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,进而可找出点P的坐标,此题得解.解:(1)当y=0时,有﹣x2+x﹣1=0,解得:x1=,x2=3,∴点A的坐标为(,0),点B的坐标为(3,0).∵y=﹣x2+x﹣1=﹣(x2﹣x)﹣1=﹣(x﹣)2+,∴点D的坐标为.故(,0);(3,0);.(2)∵点E.点D关于直线y=t对称,∴点E的坐标为(,2t﹣).当x=0时,y=﹣x2+x﹣1=﹣1,∴点C的坐标为(0,﹣1).设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,将B(3,0)、C(0,﹣1)代入y=kx+b,,解得:,∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1.∵点E在△ABC内(含边界),∴,解得:≤t≤.(3)当x<或x>3时,y=﹣x2+x﹣1;当≤x≤3时,y=x2﹣x+1.假设存在,设点P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m.①当m<或m>3时,点Q的坐标为(m,﹣x2+x﹣1)(如图1),∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,∴CP⊥PQ,∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(﹣m2+m)2=m2+1+m2+(﹣m2+m﹣1)2,整理,得:m1=,m2=,∴点P的坐标为(,0)或(,0);②当≤m≤3时,点Q的坐标为(m,x2﹣x+1)(如图2),∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,∴CP⊥PQ,∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(m2﹣m+2)2=m2+1+m2+(m2﹣m+1)2,整理,得:11m2﹣28m+12=0,解得:m3=,m4=2,∴点P的坐标为(,0)或(1,0).综上所述:存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为(,0)、(,0)、(1,0)或(,0).【变式3】(辽宁省沈阳市)(12.00分)如图,在平面角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2,1)和点B(﹣1,﹣1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.(1)求抛物线C1的表达式;(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长;(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值;(4)在(3)的条件下,设抛物线C1与y轴交于点P,点M在y轴右侧的抛物线C2上,连接AM交y 轴于点k,连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN,当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q 的坐标.【分析】(1)应用待定系数法;(2)把x=t带入函数关系式相减;(3)根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况.(4)根据题意画出满足条件图形,可以找到AN为△KNP对称轴,由对称性找到第一个满足条件Q,再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点.利用勾股定理进行计算.解:(1)∵抛物线C1:y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2,1)和点B(﹣1,﹣1)∴解得:∴抛物线C1:解析式为y=x2+x﹣1(2)∵动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1,点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=(2t2+t+1)﹣(t2+t﹣1)=t2+2(3)共分两种情况①当∠ANM=90°,AN=MN时,由已知N(t,t2+t﹣1),A(﹣2,1)∴AN=t﹣(﹣2)=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0(舍去),t2=1∴t=1②当∠AMN=90°,AN=MN时,由已知M(t,2t2+t+1),A(﹣2,1)∴AM=t﹣(﹣2)=t+2,∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0,t2=1(舍去)∴t=0故t的值为1或0(4)由(3)可知t=1时M位于y轴右侧,根据题意画出示意图如图:易得K(0,3),B.O、N三点共线∵A(﹣2,1)N(1,1)P(0,﹣1)∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2,则其坐标为(0,2)∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP.则NQ2延长线与⊙K交点Q1,Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP.由图形易得Q1(﹣3,3)设点Q3坐标为(a,b),由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得,1同理,设点Q4坐标为(a,b),由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得,∴满足条件的Q点坐标为:(0,2)、(﹣3,3)、、【点评】本题为代数几何综合题,考查了二次函数基本性质.解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想.考点2:二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳:待定系数法求抛物线解析式,配方法求二次函数最值。

中考数学 二次函数的应用复习教案2 苏科版

中考数学 二次函数的应用复习教案2 苏科版
例3某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
x(元)
15
20
பைடு நூலகம்30

y(件)
25
20
10

若日销售量y是销售价x的一次函数。
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?
二次函数的应用
课题
二次函数的应用复习(2)
上课时间
课时
第课时
教学
目标
知识与能力
二次函数的有关知识在经济生活中的应用
过程与方法
使学生经历将实际问题数学化的过程.体验合作与交流的学习方法
情感态度与价值观
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题
教学重点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值
2如果放养x天将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式。
⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润,(利润=销售总额-收购成本-费用)?最大利润是多少?
旅行社何时营业额最大
例5.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?
练习.某商场以每件42元的价钱购进一种服装,根据试销得知这种服装每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)可看成是一次函数关系:t=-3x+204。

2017全国中考数学真题分类-二次函数几何方面的应用(选择题+解答题)解析版

2017全国中考数学真题分类-二次函数几何方面的应用(选择题+解答题)解析版

2017全国中考数学真题分类知识点20二次函数几何方面的应用(选择题+填空题+解答题)解析版一、选择题1. 8.(2017江苏扬州,,3分)如图,已知△ABC 的顶点坐标分别为A (0,2)、B (1,0)、C (2,1),若二次函数21y x bx =++的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b 的取值范围是A .2b ≤-B .2b <-C .2b ≥-D .2b >-【答案】C【解析】由二次函数系数a 、b 、c 的几何意义可知该函数的开口方向和开口大小是确定不变的,与y 轴的交点(0,1)也是确定不变的。

唯一变化的是“b”,也就是说对称轴是变化的。

若抛物线经过点(0,1)和C(2,1)这组对称点,可知其对称轴是直线12bx =-=,即b =-2时是符合题意的,所以可以排除B、D两个选择支,如果将该抛物线向右平移,此时抛物线与阴影部分就没有公共点了,向左平移才能符合题意,所以12b-≤,即2b ≥-。

二、解答题1. (2017重庆,26,12分)(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线3332332--=x x y 与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,对称轴与x 轴交于点D ,点E (4,n )在抛物线上.(1)求直线AE 的解析式;(2)点P 为直线CE 下方抛物线上的一点,连接PC ,PE .当∆PCE 的面积最大时,连接CD ,CB ,点K 是线段CB 的中点,点M 是CP 上的一点,点N 是CD 上的一点,求KM +MN +NK 的最小值;(3)点G 是线段CE 的中点,将抛物线3332332--=x x y 沿x 轴正方向平移得到新抛物线y ',y '经过点D,y '的顶点为点F.在新抛物线y '的对称轴上,是否存在点Q,使得∆FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.思路分析:(1)首先求出A、E点的坐标,然后设出直线AE的解析式,并将A、E点的坐标代入,求得方程组的解,便可得到直线AE的解析式;(2)由抛物线解析式求得C点坐标,则可得出直线CE的解析式;过点P作PH∥x轴,交CE于点H,设出P点坐标,可推出H点坐标,根据斜三角形面积公式“2铅垂高水平宽⨯”可表示出∆PCE的面积,并可计算出其面积最大时P点的坐标;分别作K关于CP、CD的对称点的对称点K1、K2,将KM +MN+KN即可确定出转化成一条线段,由“两点之间,线段最短”及勾股定理计算出其最小值即可;(3)运用已知两定点时确定等腰三角形常用的方法“两圆一线”即可在抛物线y '的对称轴上找到符合条件的四个点,分别确定其坐标即可.解:(1)∵抛物线3332332--=xxy与x轴交于A,B两点,且点E(4,n)在抛物线上,∴03332332=--xx,解得:x1=-1,x2=3,∴A,B两点的坐标分别为(-1,0),(3,0);343324332-⨯-⨯=y=335,∴点E坐标为(4,335).设直线AE的解析式的解析式为y=kx+b,将A点、E点坐标分别代入,得:⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=bkbk4335,解得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3333bk,∴y=33x+33;(2)∵令x =0,得y = 3-,∴点C (0,3-),∵点E 坐标为(4,335),∴直线CE 的解析式为y =3332-x ,过点P 作PH ∥x 轴,交CE 于点H ,如图,设点P 的坐标为(t ,3332332--t t ),则H (t ,3332-t ),∴PH =3332-t -(3332332--t t )=t t 334332+-, ∴t t t t PH x x S C E PCE 338332334334212122+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯⨯=⋅-=∆,∵0332<-,抛物线开口向下,40<<t ,∴当⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=3322338t =2时,PCE S ∆取得最大值,此时P 为(2,3-);∵点C (0,3-),B (3,0),由三角形中位线定理得K (23,23-),∵y C =y P =3-,∴PC ∥x 轴,作K关于CP 的对称点K 1,则K 1(23,233-);∵333tan ==∠OCB ,∴∠OCB =60゜,∵D (1,0),∴3331tan ==∠OCD ,∴∠OCD = 30゜,∴∠OCD =∠BCD =30゜,∴CD 平分∠OCB ,∴点K 关于CD 的对称点K 2在y 轴上,又∵CK =OC =3,∴点K 2与点O 重合,连接OK 1,交CD 于点N ,交CP 于点M ,如图,∴KM = K 1M ,KN =ON ,∴KM +MN +KN =K 1M +MN +ON ,根据“两点之间,线段最短”可得,此时KM +MN +KN 的值最小,∴K 1 K 2 =O K 1=32332322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛,∴KM +MN +KN 的最小值为3;(3)点Q 的坐标为(3,321234+-),(3,321234--),(3,32),(3,332-).2. (2017浙江衢州,22,10分)(本题满分10分)定义:如图1,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A ,B 两点,点P 在抛物线上(P 点与A 、B 两点不重合),如果△ABP 的三边需满足AP 2+BP 2=AB 2,则称点P 为抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的勾股点.(1)直接写出抛物线y =-x 2+1的勾股点坐标.(2)如图2,已知抛物线C :y =ax 2+bx (a ≠0)与x 轴交于A ,B 两点,点P (13C 的勾股点,求抛物线C 的函数表达式.(3)在(2)的条件下,点Q 在抛物线C 上,求满足条件S △ABQ =S △ABP 的Q 点(异于点P )的坐标.思路分析:(1)所谓勾股点,即以AB为直径的圆与抛物线的交点.y=-x2+1与x轴交点坐标为(1,0),(-1,0),故圆心为原点,半径为1,与抛物线交点为(0,1).(2)由P点坐标可知∠PAB=60°,又∠APB=90°,从而求得B点坐标,利用待定系数法即可求解.(3)由S△ABQ=S△ABP,故有|y Q|y Q物线解析式即可求解.解(1)勾股点的坐标(0,1).(2)抛物线y=ax2+bx(a≠0)过原点(0,0),即A为(0,0).如图,作PG⊥x轴于点G,连结PA,PB.∵点P的坐标为(1,∴AG=1,PG PA=2,tan∠PAB∴∠PAB=60°,∴Rt△PAB中,AB=cos60PA=4,∴点B(4,0).设y=ax(x-4),当x=1时,ya.∴y x(x-4x2x.(3)①当点Q在x轴上方时,由S△ABQ=S△ABP易知点Qx2x1=3,x2=1(不合题意,舍去).∴Q1(3.②当点Q在x轴下方时,由S△ABQ=S△ABP易知点Qx2解得x1=2x2=2Q2(2,Q2(2.综上,满足条件的Q点有三个:Q1(3,Q2(2,Q2(2.3.(2017山东济宁,21,9分)已知函数2(25)2y mx m x m=--+-的图象与x轴有两个公共点.(1)求m的取值范围,写出当m取范围内最大整数时函数的解析式;(2)题(1)中求得的函数记为C1①当1n x≤≤-时,y的取值范围是13y n≤≤-,求n的值;②函数C2:22()y x h k=-+的图象由函数C1的图象平移得到,其顶点P的圆内或圆上.设函数C1的图象顶点为M,求点P与点M距离最大时函数C2的解析式.思路分析:(1)根据函数2(25)2y mx m x m=--+-图象与x轴有两个公共点,即一元二次方程2(25)20mx m x m --+-=有两个不同的实数解,即需满足m ≠0且根的判别式△>0,解不等式组得25,12m <且0m ≠;(2)由二次函数22y x x =+性质,当14x <-时,y 随x 的增大而减小,求出n 的值为—2;(3)由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时,距离最大,先求出MO 的解析式,设出点P 的坐标,根据勾股定理求出点P 的坐标,继而求出PM 最大时的函数解析式为()2221y x =-+.解:(1)由题意可得:()()20,25420.m m m m ≠⎧⎪⎨---->⎡⎤⎪⎣⎦⎩解得:25,12m <且0,m ≠ 当2m =时,函数解析式为:22y x x =+.(2)函数22y x x =+图象开口向上,对称轴为1,4x =-∴当14x <-时,y 随x 的增大而减小.∵当1n x ≤≤-时,y 的取值范围是13y n ≤≤-, ∴ 223n n n +=-.∴ 2n =-或0n =(舍去). ∴2n =-.(3)∵221122,48y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭∴图象顶点M 的坐标为11,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭,由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时,距离最大.∵点P 在直线OM 上,由11(0,0),(,)48O M --可求得直线解析式为:12y x =,设P (a ,b ),则有a =2b , 根据勾股定理可得()2222PO b b =+求得2,1a b ==.∴PM 最大时的函数解析式为()2221y x =-+.4. (2017山东威海,25,12分)如图,已知抛物线y =ax ²+bx +c 过点A (-1,0),B (3,0),C (0,3).点M ,N 为抛物线上的动点,过点M 作MD ∥y 轴,交直线BC 于点D ,交x 轴于点E . (1)求二次函数y =ax ²+bx +c 的表达式;(2)过点N 作NF ⊥x 轴,垂足为点F .若四边形MNFE 为正方形(此处限定点M 在对称轴的右侧),求该正方形的面积;(3)若∠DMN =90°,MD =MN ,求点M 的横坐标.解:∵抛物线2y ax bx c =++的图像经过点A (-1,0),B (3,0),∴抛物线的函数表达式为y =a (x +1)(x -3),将点C (0,3)代入上式,得3=a (0+1)(0-3), 解得a =-1.∴所求函数表达式为y =-(x +1)(x -3)=-x 2+2x +3.(2)由(1)知,抛物线的对称轴为212(1)x ==⨯-.如图1,设M 点的坐标(m ,-m 2+2m +3),∴ME =|-m 2+2m +3|.∵M ,N 关于x =1对称,且点M 在对称轴右侧, ∴N 点横坐标为2-m . ∴MN =2m -2∵四边形MNEF 为正方形∴ME =MN . ∴22322m m m -++=- . 分两种情况:①2m - +2m +3=2m -2.解,得12m m ==不符合题意,合去).当 m ,正方形的面积为22(2224⎡⎤+-=+⎣⎦综上所述,正方形的面积为24-或24+(3)设直线BC 的函数表达式为y =kx +b .把点B (3,0),C (0,3)代入表达式,得30,3,k b b +=⎧⎨=⎩解得1,3.k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的函数表达式为y =-x +3,设点M 的坐标为(a ,223a a -++), 则点D 的坐标为(a ,-a +3), ∴DM =23a a -+ ,∵DM //y 轴,DM ⊥MN ,∴MN //x 轴. ∴M ,N 关于x =1对称. ∴N 点的横坐标为2-a , ∴MN =22a -, ∵DM =MN ,∴2322a a a -+=- . 分两种情况:①如图2,2322a a a -+=- , 解,得122,1a a ==- .②如图3,2322a a a -+=-,解,得3455,22a a +-==.综上所述,M 点的横坐标为122,1a a ==-,34,a a ==5.(2017年四川绵阳,24,11分)(本题满分12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2).直线y=x+1与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C于直线m交于对称轴右侧的点M(t,1).直线m 上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的解析式;(2)证明:圆C与x轴相切;(3)过点B作BE⊥m,垂足为E,再过点D作DF⊥m,垂足为F.求BE∶MF的值.解:(1)设抛物线方程为,因为抛物线的顶点坐标是(2,1),所以…………………………1分又抛物线经过点(4,2),所以,解得,………………2分所以抛物线的方程是.……………………………3分(2)联立,消去y,整理得,………………………4分解得,,…………………………5分代入直线方程,解得,,所以B(),D(),因为点C是BD的中点,所以点C的纵坐标为,………………………6分利用勾股定理,可算出BD=,即半径R=,即圆心C到x轴的距离等于半径R,所以圆C与x轴相切.…………………………7分(3)连接BM和DM,因为BD为直径,所以∠BMD=90°,所以∠BME+∠DMF=90°,又因为BE⊥m于点E,DF⊥m于点F,所以∠BME=∠MDF,所以△BME∽△MDF,所以,……………………………9分即,代入得,化简得,解得t =5或t =1,………………………………10分因为点M 在对称轴右侧,所以t =5,………………………11分所以…………………………………………………12分法2:过点C 作CH ⊥m ,垂足为H ,连接CM ,由(2)知CM =R =25,CH =R -1=23, 由勾股定理,得MH =2,…………………9分又HF =,所以MF =HF -MH =-2,…………………10分 又BE =y 1-1=23-25,所以MF BE =25+1,………………………………………………12分思路分析:(1)知抛物线的顶点和其它任意一点,可设出抛物线的顶点式,代入点的坐标即可求出抛物线的解析式;(2)由抛物线与直线交于B、D,联立方程组,求出点B点D坐标,求出直径BD的长度,从而求出半径,与C的纵坐标进行比较,得出结论;(3)连接BM和DM,因为BD为直径,所以∠BMD=90°,所以∠BME+∠DMF=90°,又因为BE⊥m于点E,DF⊥m于点F,所以∠BME=∠MDF,所以△BME∽△MDF,所以,即,代入得,化简得,解得t=5或t=1,因为点M在对称轴右侧,所以t=5,所以.6.(2017四川攀枝花,24,12分)如图15,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值.(3)点D为抛物线对称轴上一点.①当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标;②若∆BCD是锐角三角形,求点D的纵坐标的取值范围.图1 备用图思路分析:(1)由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)方法1:(代数法)设点的坐标转化成所求线段,找特殊角转化成所求线段,联立函数关系,代入整理成关于目标线段和的二次函数关系式,从而找到最值;方法2:(几何法)以BC 为对称轴将FCE ∆对称得到F CE '∆,作PH CF '⊥于H ,则PF +EF =PF ′= 2 PH =()()223C P P y y y -=-∴当P y 最小时,PF EF +取最大值42.(3)①先设点再分类讨论,利用勾股定理得到关于所求D 点的一元方程式,解得即为D 1和D 2;②利用直径圆周角性质构造圆,利用线段距离公式建立一元方程式,解得即为D 3和D 4.结合①中D 1和D 2的坐标,当D 在D 2D 4和D 3D 1之间时候为锐角三角形,从而得到点D 的纵坐标的取值范围.解析:(1)由题意得:⎩⎪⎨⎪⎧32+3b +c =0,c =3. 解得⎩⎨⎧b =-4,c =3.∴抛物线的解析式为:y =x 2-4x +3.(2)方法1:如图,过P 作PG ∥CF 交CB 与G ,由题意知∠BCO =∠CEF =45°,F (0,m )C (0,3), ∴∆CFE 和∆GPE 均为等腰直角三角形, ∴EF =22CF =22(3-m ) PE =22PG ,设x P =t (1<t <3), 则PE =22PG =22(-t +3-t -m )=22(-m -2t +3), t 2-4t +3=t +m ,∴PE +EF =22(3-m )+22(-m -2t +3)= 22(-2t -2m +6)=-2(t +m -3)=-2(t 2-4t )= -2(t -2)2+42,∴当t =2时,PE +EF 最大值=42.方法2:(几何法)由题易知直线BC的解析式为3y x=-+,OC=OB=3,∴∠OCB=45°.同理可知∠OFE=45°,∴△CEF为等腰直角三角形,以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE,作PH⊥CF′于H点,则PF+EF=PF′= 2 PH.yxHPF'CBAOFE又PH=3C P Py y y-=-.∴当Py最小时,PF+EF取最大值,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴当1Py=-时,(PF+EF)max= 2 ×(3+1)=4 2 .(3)①由(1)知对称轴x=2,设D(2,n),如图.当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时,D在C上方D1位置时由勾股定理得CD2+BC2=BD2,即(2-0)2+(n-3)2+(32)2=(3-2)2+(0-n)2 ,解得n=5;当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时,D在C下方D2位置时由勾股定理得BD2+BC2=CD2 即(2-3)2+(n-0)2+(32)2=(2-0)2+(n-3)2 ,解得n=-1.∴当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,D为(2,5)或(2,-1).②如图:以BC的中点T(3,3),12BC为半径作⊙T,与对称轴x=2交于D3和D4,由直径所对的圆周角是直角得∠CD3B=∠CD2B=90°,设D(2,m),由DT=12BC32得(32-2)2+(32-m)2=2322⎛⎝⎭,解得m=173±,∴D 3(2,173+)D 4(2,173-), 又由①得D 1为(2,5),D 2(2,-1),∴若∆BCD 是锐角三角形,D 点在线段13D D 或24D D 上时(不与端点重合),则点D 的纵坐标的取值范围是-1<D y <1732-或1732+<D y <5.7. (2017四川内江,28,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与y 轴交于点C (0,3),与x 轴交于A ,B 两点,点B 坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x =1. (1)求抛物线的解析式;(2)点M 从A 点出发,在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动,同时点N 从B 点出发,在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设△MBN 的面积为S ,点M 运动时间为t ,试求S 与t 的函数关系,并求S 的最大值;(3)在点M 运动过程中,是否存在某一时刻t ,使△MBN 为直角三角形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.思路分析:(1) 由点B 的坐标与对称轴可求得点C 的坐标,把点A ,B ,C 的坐标分别代入抛物线的解析式,列出关于系数a ,b ,c 的方程组,求解即可;(2)设运动时间为t 秒,利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式,用配方法求的最大值;(3) 根据余弦函数,可得关于t 的方程,解方程,可得答案,注意分类讨论.解:(1)∵点B 坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x =1,∴A (-2,0).把点A (-2,0),B (4,0),点C (0,3),分别代入y =ax 2+bx+c (a≠0),得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.3,0416,024ccbacba解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=.3,43,83cba∴该抛物线的解析式为y=343832++-xx.(2) 如图1,设运动时间为t秒,则AM=3t,BN=t,∴MB=6-3t.由题意得,点C的坐标为(0,3).在Rt△BOC中,BC=2243+=5.如图1,过点N作NH⊥AB于点H,∴NH∥CO,∴△BHN∽△BOC,∴BCBNOCHN=,即53tHN=,∴HN=t53.∴S△MBN=21MB·HN=21(6-3t)·t53==+-tt591092109)1(1092+--t.当△MBN存在时,0<t<2,∴当t=1时,S△MBN最大=109.∴S与t的函数关系为S=109)1(1092+--t,S的最大值为109.(3)如图2,在Rt△OBC中,cos∠B=54=BCOB,设运动时间为t秒,则AM=3t,BN=t.∴MB=6-3t.当∠MNB=90°时,cos∠B=54=BMBN,即5436=-tt,解得t=1724.当∠BM'N'=90°时,cos∠B=5436=-tt,解得t=1930.综合上所述,当t=1724或t=1930时,△MBN为直角三角形.8. (2017江苏无锡,27,10分)如图,以原点O 为圆心,3为半径的圆与x 轴分别交于A 、B 两点(点B 在点A的右边),P 是半径OB 上一点,过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别交于C 、D 两点(点C 在点D 的上方),直线AC 、DB 交于点E .若AC :CE =1:2. (1)求点P 的坐标;(2)求过点A 和点E ,且顶点在直线CD 上的抛物线的函数表达式.思路分析:(1)过点E 作E F ⊥x 轴于F ,设P (m ,0).①由相似三角形的判定与性质证得AF =3AP ,BF =3PB ;②由关系式AF -BF =AB ,可得m =1.∴点P 的坐标(1,0).(2)①由已知证得A (-3,0),E (9,),抛物线过点(5,0);②用待定系数法可得抛物线的函数表达式.解:(1)过点E 作E F ⊥x 轴于F ,∵CD ⊥AB ,∴CD ∥EF ,PC =PD . ∴△ACP ∽△AEF ,△BPD ∽△BEF . ∵AC :CE =1:2.∴AC :AE =1:3. ∴AP AF =CP EF =13,DP EF =PB BF =13. ∴AF =3AP ,BF =3PB . ∵AF -BF =AB .又∵⊙O 的半径为3,设P (m ,0), ∴3(3+m )-3(3-m )=6 ∴m =1.∴P (1,0)(2)∵P (1,0),∴OP =1,A (-3,0). ∵OA =3,∴AP =4,BP =2.∴AF =12. 连接BC .∵AB 是直径,∴∠ACB =90°.∵CD ⊥AB ,∴△ACP∽△CBP .∴AP CP =CPBP. ∴CP 2=AP ·BP =4×2=8. ∴CP =.∴EF =3CP =. ∴E (9,).∵抛物线的顶点在直线CD 上,∴CD 是抛物线的对称轴, ∴抛物线过点(5,0).设抛物线的函数表达式为y =ax 2+bx +c .根据题意得09-30255819a b ca b c a b c ⎧⎪+⎨⎪+⎩=+,=+,+,解得8484a b c ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪--⎪⎪⎩==-= ∴抛物线的函数表达式为yx 2x .9. (2017山东潍坊)(本小题满分13分)如图1,抛物线y =ax 2+bx +c 经过平行四边形ABCD 的顶点A (0,3)、B (-1,0)、D (2,3),抛物线与x 轴的另一交点为E .经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点F .点P 为直线l 上方抛物线上一动点,设点P 的横坐标为t . (1)求抛物线的解析式;(2)当t 何值时,△PFE 的面积最大?并求最大值的立方根;(3)是否存在点P 使△PFE 为直角三角形?若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.思路分析:(1)利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式;(2)由平行四边形的对称性可知直线l 必过其对称中心,同时利用抛物线的对称性确定E 点坐标,进而可求直线l 的解析式,结合二次函数解析式确定点F 的坐标.作PH ⊥x 轴,交l 于点M ,作FN ⊥PH ,列出PM 关于t 的解析式,最后利用三角形的面积得S △PFE 关于t 的解析式,利用二次函数的最值求得t 值,从而使问题得以解决; (3)分两种情形讨论:①若∠P 1AE =90°,作P 1G ⊥y 轴,易得P 1G =AG ,由此构建一元二次方程求t 的值;②若∠AP 2E =90°,作P 2K ⊥x 轴,AQ ⊥P 2K ,则△P 2KE ∽△AQP 2,由此利用对应边成比例构建一元二次方程求t 的值. 解:(1)将点A (0,3)、B (-1,0)、D (2,3)代入y =ax 2+bx +c ,得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=,324,0,3c b a c b a c 得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.1,2,1c b a 所以,抛物线解析式为:y=-x 2+2x +3.(2)因为直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分, 所以必过其对称中心(21,23). 由点A 、D 知,对称轴为x =1,∴E (3,0), 设直线l 的解析式为:y =kx +m ,代入点(21,23)和(3,0)得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.03,2321m k m k 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.59,53m k 所以直线l 的解析式为:y =53-x +59. 由⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=,32,59532x x y x y 解得x F =52-. 作PH ⊥x 轴,交l 于点M ,作FN ⊥PH .点P 的纵坐标为y P =-t 2+2t +3, 点M 的纵坐标为y M =53-t +59.所以PM =y P -y M =-t 2+2t +3+53t -59=-t 2+513t +56. 则S △PFE =S △PFM + S △PEM =21PM ·FN +21PM ·EH =21PM ·(FN + EH )=21·(-t 2+513t +56)(3+52) =1017-·(t -1013)2+100289×1017 所以当t =1013时,△PFE 的面积最大,最大值的立方根为31017100289⨯=1017. (3)由图可知∠PEA ≠90°.①若∠P 1AE =90°,作P 1G ⊥y 轴,因为OA =OE ,所以∠OAE =∠OEA =45°, 所以∠P 1AG =∠AP 1G =45°,所以P 1G =AG . 所以t =-t 2+2t +3-3,即-t 2+t =0, 解得t =1或t =0(舍去).②若∠AP 2E =90°,作P 2K ⊥x 轴,AQ ⊥P 2K , 则△P 2KE ∽△AQP 2,所以QP KEAQ K P 22=, 所以tt tt t t 233222+--=++-,即t 2-t -1=0,解之得t =251+或t =251-<52-(舍去).综上可知t =1或t =251+适合题意.10. (2017湖南岳阳,本题满分10分)如图,抛物线223y x bx c =++经过点()3,0B ,()0,2C -,直线l :2233y x =--交y 轴于点E ,且与抛物线交于A ,D 两点.P 为抛物线上一动点(不与A ,D 重合). (1) 求抛物线的解析式;(2) 当点P 在直线l 下方时,过点P 作PM x ∥轴交l 于点M ,PN y ∥轴交l 于点N .求PM PN +的最大值;(3) 设F 为直线l 上的点,以E ,C ,P ,F 为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,求出点F 的坐标;若不能,请说明理由.备用图解:(1)将()3,0B ,()0,2C -代入223y x bx c =++,得:6302b c c ++=⎧⎨=-⎩解得:432b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为:224233y x x =--;(2)设()224,21233P a a a a ⎛⎫---<< ⎪⎝⎭,则22,33N a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴222242133=3333222PN a a a ⎛⎫=-++--+≤ ⎪⎝⎭∵M ,N 在直线l :2233y x =--上,PM x ∥,PN y ∥∴23PN PM =∴51524PM PN PN +=≤即:PM PN +的最大值为:154;(3)能设22,33F m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭① 当EC 为边时,有224,233P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,EC PF =即:22244=3333m m -++解得:m =,其中0m =时不成立,舍去; ② 当EC 为对角线时,PF 中点即为EC 中点(0,43-)2,23P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在抛物线上所以,224222333m m m +-=-解得:01m =-或,其中0m =时不成立,舍去;综上所述:F 点的坐标为:41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、()1,0-、⎝⎭、⎝⎭.11. (2017湖南常德,25,10分)如图12,已知抛物线的对称轴是y 轴,且点(2,2),(1,54)在抛物线上,点P 是抛物线上不与顶点N 重合的一动点,过点P 作PA ⊥x 轴于A ,PC ⊥y 轴于C ,延长PC 交抛物线于E ,设M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点,D 是C 点关于N 的对称点. (1)求抛物线的解析式及顶点N 的坐标; (2)求证:四边形PMDA 是平行四边形;(3)求证:△DPE ∽△PAM P 的坐标.图12思路分析:(1)将点(2,2),(1,54)坐标代入y=ax2+k中求出解析式,即可得到顶点N的坐标;(2)根据解析式设出点P坐标,从而得到点A、C的坐标,再通过N的坐标求出点M的坐标和D的坐标,即可求出MD和PA 的长度,得出长度相等,而MD∥PA,所以四边形PMDA是平行四边形;(3)在(2)证明之后继续证明PM=PA,则四边形PMDA是菱形,∠MDP=12∠PDE=12∠ADM=12∠APM,所以∠PDE=∠APM,而△DPE和△PAM都是等腰三角形,顶角相等,则两个三角形相似.解:(1)设抛物线的解析式为:y=ax2+k,∵点(2,2),(1,54)在抛物线上,∴4254a ka k+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得141ak⎧=⎪⎨⎪=⎩.∴该抛物线的解析式为:y=14x2+1,顶点N的坐标为(0,1);(2)设点P坐标为(x, 14x2+1),∵PA⊥x轴于A,PC⊥y轴于C,M是O关于抛物线顶点N的对称点,D是C点关于N的对称点.∴A(x,0),C(0,14x2+1),M(0,2),D(0,1-14x2);PA∥y轴;∴MD=2-(1-14x2)=14x2+1=PA且MD∥PA∴四边形PMDA是平行四边形;(3)由(2)得四边形PMDA是平行四边形,PC=x,CM=14x2+1-2=14x2-1;∵在Rt△PCM中,PM2114x==+=PA∴四边形PMDA 是菱形,△PAM 是等腰三角形; ∴∠APM =∠ADM ;∠MDP =12∠ADM ; 根据抛物线的对称性,PD =ED , ∴△DPE 是等腰三角形,DC 平分∠PDE , ∴∠MDP =12∠PDE , ∴∠PDE =∠APM ;又∵∠PDE ,∠APM 分别为等腰△DPE 和△PAM 的顶角; ∴△DPE ∽△PAM PE =2x ,AM =222x +∵PE :AM =3时,解得:x =23±; ∴相似比为3时P 点坐标为:(23±,4)12. 24.(2017湖北咸宁,24,12分)如图,抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其对称轴交抛物线于点D ,交x 轴于点E ,已知OB=OC=6.⑴求抛物线的解析式及点D 的坐标;⑵连接BD ,F 为抛物线上一动点,当∠FAB=∠EDB 时,求点F 的坐标;⑶平行于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点,以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ,当点P 在x 轴上,且PQ=12MN 时,求菱形对角线MN 的长.思路分析:(1)利用OB=OC=6得到点B(6,0),C(0,-6),将其代入抛物线的解析可以求出b 、c 的值,进而得到抛物线的解析式,最后通过配方得到顶点坐标;(2)由于F 为抛物线上一动点,∠FAB=∠EDB ,可以分两种情况求解:一是点F 在x 轴上方;二是点F 在x 轴下方.每一种情况都可以作FG ⊥x 轴于点G ,构造Rt △AFG 与Rt △DBE 相似,利用对应边成比例或三角函数的定义求点F 的坐标.(3)首先根据MN 与x 轴的位置关系画出符合要求的两种图形:一是MN 在x 轴上方;二是MN 在x 轴下方.设菱形对角线的交点T 到x 轴的距离为n ,利用PQ=12MN ,得到MT=2n ,进而得到点M 的坐标为(2+2n ,n),再由点M 在抛物线上,得21(22)2(22)62n n n =+-+-, 求出n 的值,最后可以求得MN=2MT=4n 的两个值. 解:(1)∵OB=OC=6, ∴B(6,0),C(0,-6).∴216+6026b c c ⎧⨯+=⎪⎨⎪=-⎩, 解得26b c =-⎧⎨=-⎩,∴抛物线的解析式为21262y x x =--. ……2分 ∵21262y x x =--=21(2)82x --, ∴点D 的坐标为(2,-8). ……4分 (2)如图,当点F 在x 轴上方时,设点F 的坐标为(x ,21262x x --).过点F 作FG ⊥x 轴于点G ,易求得OA=2,则AG=x+2,FG=21262x x --.∵∠FAB=∠EDB,∴tan∠FAG=tan∠BDE,即21261222x xx--=+,解得17x=,22x=-(舍去).当x=7时,y=92,∴点F的坐标为(7,92). ……6分当点F在x轴下方时,设同理求得点F的坐标为(5,72-).综上所述,点F的坐标为(7,92)或(5,72-). ……8分(3)∵点P在x轴上,∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2,0).如图,当MN在x轴上方时,设T为菱形对角线的交点.∵PQ=12MN , ∴MT=2PT.设TP=n ,则MT=2n. ∴M(2+2n ,n).∵点M 在抛物线上, ∴21(22)2(22)62n n n =+-+-, 即2280n n --=.解得1n =,2n =(舍去).∴. ……10分当MN 在x 轴下方时,设TP=n ,得M(2+2n ,-n).∵点M 在抛物线上, ∴21(22)2(22)62n n n -=+-+-, 即22+80n n -=.解得114n -+=,214n -=(舍去).∴1-.综上所述,菱形对角线MN 1-. ……12分13. 24.(2017湖北宜昌)(本小题满分12分)已知抛物线y=ax 2+bx+c ,其中2a=b>0>c ,且a+b+c=0. (1)直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c =0的一个根; (2)证明:抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点A 在第三象限;(3)直线y= x+m 与轴,x y 轴分别相交于B,C 两点,与抛物线y=ax 2+bx+c 相交于A,D 两点.设抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与x 轴相交于E ,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ,使得△ADF 与△OCB 相似.并且12ADF ADE S S ∆∆=,求此时抛物线的表达式.xyO思路分析:(1)利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根;(2)确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合,二可借助顶点坐标的正负性;(3)借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标,将坐标转化为相应的线段长,进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值.解:(1)ax 2+bx+c =0的一个根为1(或者-3) (2)证明:∵ b =2a ,∴对称轴x=2ba-=-1,将b=2a 代入a+b+c=0.得c=-3a . 方法一:∵a=b>0>c ,∴b 2-4ac>0,∴244ac b a-<0, 所以顶点A (-1,244ac b a-)在第三象限.方法二:∵b =2a , c=-3a ,∴244ac b a -=221244a b a --=-4a <0, 所以顶点A (-1,244ac b a-)在第三象限.(3)∵b =2a , c=-3a∴242a a a -± ∴x 1=-3,x 2=1,所以函数表达式为y=ax 2+2ax-3a ,∵直线y= x+m 与x 轴、y 轴分别相交于B,C,两点,则OB=OC=m所以△BOC 是以∠BOC 为直角的等腰三角形,这时直线y=x+m 与对称轴x=-1的夹角∠BAE=45°.又因点F 在对称轴左侧的抛物线上,则∠BAE>45°,这时△BOC 与△ADF 相似,顶点A 只可能对应△BOC 中的直角顶点O ,即△ADF是以A 为直角顶点的等腰三角形,且对称轴是x =-1,设对称轴x =-1与OF 交于点G. ∵直线y=x+m 过顶点A ,所以m=1-4a ,∴直线解析式为y=x+1-4a,解方程组21423y x a y ax ax a =+-⎧⎨=+-⎩,解得1114x y a =-⎧⎨=-⎩,221114x ay a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 这里的(-1,4a )即为顶点A ,点(1a -1,1a -4a )即为顶点D 的坐标(1a -1,1a -4a ) D 点到对称轴x=-1的距离为1a -1-(-1)=1a,AE =4a -=4a,S △ADE =12×1a×4a=2,即它的面积为定值.这时等腰直角△ADF 的面积为1,所以底边DF =2,而x=-1是它的对称轴,这时D,C 重合且在y 轴上,由1a-1=0,∴a=1,此时抛物线的解析式y=x 2+2x-314. (2017湖南邵阳,26,10分)(本小题满10分)如图(十六)所示,顶点(49-21,)的抛物线y =ax 2+bx+c 过点M (2,0). (1)求抛物线的解析式;(2)点A 是抛物线与x 轴的交点(不与点M 重合),点B 是抛物线与y 轴的交点,点C 是直线y =x +1上一点(处于x 轴下方),点D 是反比例函数y =xk(k >0)图象上一点.若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形,求k 的值.思路分析:(1)已知抛物线的顶点坐标,可设顶点式为 y =a (x -21)2-49,再把点M (2,0)代入,可求a =1,所以抛物线的解析式可求.(2)先分别求出A 、B 两点的坐标,及AB 线段长,再根据反比例函数y =xk(k >0),考虑点C 在x 轴下方,故点D 只能在第一、三象限.确定菱形有两种情形:①菱形以AB 为边,如图一。

江苏省句容市2017中考数学第一轮复习 二次函数学案2(无答案)

江苏省句容市2017中考数学第一轮复习 二次函数学案2(无答案)

课题:二次函数 (2)班级: 姓名: 执教人签名: 【学习目标】 1. 灵活运用性质解题2. 熟练掌握二次函数解析式的求法,并能用它解决有关的实际问题. 【学习重难点】二次函数的概念、图象和性质等基础知识以及对学生应用二次函数解决实际问题的灵活运用. 【考点链接】1.(2012四川乐山)二次函数y =ax 2+bx +1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0).设t =a +b +1,则t 值的变化范围是( )A .0<t <1B .0<t <2C .1<t <2D .-1<t <12.(2012山东菏泽)已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么一次函数y =bx +c 和反比例函数y =ax在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )'3.(2012上海)将抛物线y =x 2+x 向下平移2个单位,所得新抛物线的表达式是________. 4.(2012山东枣庄)二次函数y =x 2-2x -3的图象如图所示.当y <0时,自变量x 的取值范围是______________.(第4题图)5.(2012广东珠海)如图,二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.(第5题图)(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)根据图象,写出满足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围.【例题教学】例1:一玩具厂去年生产某种玩具,成本为10元/件,出厂价为12元/件,年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0<x≤11).(1)用含x的代数式表示,今年生产的这种玩具每件的成本为__________元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元;(2)求今年这种玩具的每件利润y(元)与x之间的函数关系式;(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元,求当x为何值时,今年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少万元?例2:如图,已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C. (1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)研究二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0).①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;②若直线y=8k与抛物线L2交于E,F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由【课堂检测】1.抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为( )A.(3,-4) B.(3,4)C.(-3,-4) D.(-3,4)2.由二次函数y=2(x-3)2+1,可知( )A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线x=-3C.其最小值为1D.当x<3时,y随x的增大而增大3.已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )A.k<4 B.k≤4C .k <4且k ≠3 D.k ≤4且k ≠34.如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是( )(第4题图)A .m =n ,k >hB .m =n ,k <hC .m >n ,k =hD .m <n ,k =h5.如图,已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点A (-1,0),B (1,-2),该图象与x 轴的另一交点为C ,则AC 长为__________.(第7题图)(第5题图)6.抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表:从上表可知,下列说法中正确的是①抛物线与x 轴的一个交点为(3,0);②函数y =ax 2+bx +c 的最大值为6; ③抛物线的对称轴是直线x =12;④在对称轴左侧,y 随x 增大而增大.7.抛物线y =-x 2+bx +c 的图象如图所示,若将其向左平移2个单位,再向下平移3个单位,则平移后的解析式为__________.【课后巩固】1.如图,已知边长为4的正方形ABCD,P 是BC 边上一动点(与B 、C 不重合),连结AP,作PE ⊥AP 交∠BCD 的外角平分线于E,设BP=x ,△PCE 面积为y ,则y 与x 的函数关系式是( )A.1-2x y =B.22-21x x y =C.221-2x x y =D.x y 2=2.如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点P 在第一象限,圆P 与x 轴交于O,A 两点,点A 的坐标为(6,0),若圆P 的半径为13,则点P 的坐标为 __________3.我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为:每投入x 万元,可获得利润P =-1100(x -60)2+41(万元).当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划5年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的3年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为:每投入x 万元,可获利润Q =-99100(100-x )2+2945(100-x )+160(万元).(1)若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少;(2)若按规划实施,求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少; (3)根据(1)、(2),该方案是否具有实施价值?课后反思。

中考数学第一轮复习 二次函数的应用 教案 人教新课标版

中考数学第一轮复习 二次函数的应用 教案 人教新课标版

《二次函数》的应用教学目标:1.使学生掌握二次函数模型的建立,并能运用二次函数的知识解决实际问题。

2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。

重点难点:重点:利用二次函数的知识解决实际问题,并对解决问题的策略进行反思。

难点:将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策。

教学过程:一、例题精析,引导学法,指导建模1.何时获得最大利润问题。

例:重庆市某区地理环境偏僻,严重制约经济发展,丰富的花木产品只能在本地销售,区政府对该花木产品每投资x 万元,所获利润为P=-150(x -30)2+10万元,为了响应我国西部大开发的宏伟决策,区政府在制定经济发展的10年规划时,拟开发此花木产品,而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元,若开发该产品,在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路,且5年修通,公路修通后,花木产品除在本地销售外,还可运往外地销售,运往外地销售的花木产品,每投资x 万元可获利润Q=-4950(50-x)2+1945(50-x)+308万元。

(1)若不进行开发,求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发,求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果,请你用一句话谈谈你的想法。

学生活动:投影给出题目后,让学生先自主分析,小组进行讨论。

教师活动:在学生分析、讨论过程中,对学生进行学法引导,引导学生先了解二次函数的基本性质,并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型,借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。

教师精析:(1)若不开发此产品,按原来的投资方式,由P=-150(x -30)2+10知道,只需从50万元专款中拿出30万元投资,每年即可获最大利润10万元,则10年的最大利润为M 1=10×10=100万元。

(2)若对该产品开发,在前5年中,当x=25时,每年最大利润是:P =-150(25-30)2+10=9.5(万元) 则前5年的最大利润为M 2=9.5×5=47.5万元设后5年中x 万元就是用于本地销售的投资。

2017年中考数学 二次函数(一)复习教案

2017年中考数学 二次函数(一)复习教案

《二次函数(一)》教学目标:【知识与技能】复习二次函数中的定义、图象及性质、从图像判别a、b、c、 b2-4ac符号、二次函数图象的平移。

运用这些知识解决实际问题的能力。

【过程与方法】通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想,转化化归思想的过程,加深对本章知识的理解,并提高同学们的中考解题能力,并培养同学们会做、会说的能力。

【情感态度】在运用本章知识解决具体问题过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,激发学习兴趣.发展学生的数学思维,增强学好数学的愿望与信心.教学重点:二次函数各考点的复习。

教学难点:各考点知识的综合应用。

学情分析:二次函数的复习对象是九年级学生,学生已学习了正比例函数,一次函数,反比例函数和二次函数。

但学生对二次函数的研究与体会总感到有一定的难度。

因此复习好二次函数是为函数的思想奠定基础和积累经验。

为高中阶段继续学习函数做好铺垫。

基于前面学习的基础我所教的班学生对于二次函数的定义;图像与性质;从图像判别a、b、c、 b2-4ac符号及平移规律这一重点的掌握问题不大,但是要体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法及性质的灵活应用仍然是他们的难点。

教学过程:一、让学生了解二次函数中考考点考点1、二次函数的定义;考点2、二次函数的图象和性质考点3、从图像判别a、b、c、 b2-4ac符号考点4、二次函数图象的平移;考点5、二次函数解析式的求法考点6、二次函数与一元二次方程的关系考点7、二次函数的应用二.新课学习(一)二次函数的定义活动一:提问式复习“二次函数的定义”。

提问:什么是二次函数?二次函数的三种基本形式是什么?活动二:针对训练(分组抢答比赛式学习)1、下列函数中,哪个可能是二次函数?(A)y=3x2 (B)y=ax2+bx+c(C)y=x -2 +x (D)y=x2-x(1+x)2、函数222(2)my m m x-=--当m取何值时,它是二次函数?(二)二次函数的图象和性质活动三:提问式复习“二次函数的图象和性质”。

中考数学二次函数的应用复习教案1苏科版

中考数学二次函数的应用复习教案1苏科版

二次函数的应用
渗透函数、
练一练
某工厂为了存放材料,需要围一个周长
米,才能使存放场地的面积最大
设菜园的宽为
米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃
学以致用
1.(05年台州)如图,用长为18cm的篱笆(虚线部分),两面靠墙围成矩形的苗圃。

(1)设矩形的一边为x(m),面积为y(m2),求y与x的函数关系,并写出x的取值范围;
例2.在Rt△AMN内部作一个矩形ABCD,矩形ABCD何时面积最大?为多少?
例 3.某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,
黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到。

中考一轮复习导学案:17课时+二次函数的应用

中考一轮复习导学案:17课时+二次函数的应用

第17课时 二次函数的应用一.【基础知识梳理】(一)、二次函数与一元二次方程: 二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点的横坐标对应着一元二次方程02=++c bx ax 的实数根,它们都由根的判别式 决定。

抛物线与x 轴有 个交点时,042>-ac b ,此时,一元二次方程有 ____ 实数根抛物线与x 轴有 个交点时,042=-ac b ,此时,一元二次方程有 ____ 实数根抛物线与轴有 个交点时,042<-ac b ,此时,一元二次方程有 实数根 【注意:若抛物线与x 轴的两个交点为A (1x ,0)B (2x ,0),则抛物线对称轴式为直线=x ,两交点间的距离AB= 】 (二)、用二次函数解决最值问题:二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++,此抛物线关于直线______=x 对称,顶点坐标为( , ______ ).(1)当0a >时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点, 当x = 时,y 有最 (“大”或“小”)值是 ;(2)当0a <时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点, 当x = 时,y 有最 (“大”或“小”)值是 .【基础诊断】1. (2014云南)抛物线y =x 2﹣2x +3的对称轴是 ,顶点坐标是 .当=x ____ 时,y 有最 值,是 ____ .2. 有一个抛物线形桥拱,其最大高度为16米,跨度为40米,现在它的示意图放在平面直角坐标系中,则此抛物线的解析式为 .3. 矩形周长为cm 16, 它的一边长为xcm ,面积为2ycm ,则y 与x 之间函数关系为 ___ .x =______.时,y 最大,y 最大=__________.4. 某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平面为x 轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线x x y 42+-=(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是( )A .4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米5. 已知,二次函数的解析式为322++-=x x y 。

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二次函数的应用
班级: 姓名: 【学习目标】
1、体验从实际问题中抽象出函数关系式的过程,进一步感受数学模型思想和数学应用价值。

2、能够运用二次函数的性质和图象解决实际问题。

【学习重难点】
函数性质的有关运用;数形结合、分类讨论等数学思想方法的运用。

【预习导航】
1.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度16m ,则所围成矩形ABCD 的最大面积是( ) A .60m 2
B .63m 2
C .64m 2
D .66m 2
2. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系

2
125y x
=-
为,当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时,这时水面宽度AB 为( )
A .﹣20m
B .10m
C .20m
D .﹣10m
3.一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h (m )与足球被踢出后经过的时间t (s )之间具有函数关系2
19.6h at t =+,已知足球被踢出后经过4s 落地,则足球距地面的最大高度是 m .
4.某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为多少元时,该服装店平均每天的销售利润最大?.
【例题教学】
例1. 2015南通)某网店打出促销广告:最潮新款服装30件,每件售价300元.若一次性购买不超过10件时,售价不变;若一次性购买超过10件时,每多买1件,所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元,设顾客一次性购买服装x 件时,该网店从中获利y 元. (1)求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多?
例2. (2015南京)某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本1y (单位:元)、销售价2y (单位:元)与产量x (单位:kg )
之间的函数关系.
(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义; (2)求线段AB 所表示的
1y 与x 之间的函数表达式;
(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
【课堂检测】
1.已知实数x,y 满足x-y 2
=1,则z=x 2
+2y 2
+4x-1时,z 的最小值等于 2.某一型号飞机着陆后滑行的距离y (单位:m )与滑行时间x (单位:s )之间的函数关系式是y=60x-1.5x 2,该型号飞机着陆后滑行 m 才能停下来. 3.有一个抛物线形桥拱,其最大高度为16米,跨度为40米,现在它的示意图放在 平面直角坐标系中(如右图),则此抛物线的解析式为_______________. 4. 如图,某校的校门是一抛物线形状的水泥建筑物,大门的地面宽度为8米, 两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环,两铁环的水平距离 为6米,求校门的高度(精确到0.1米)。

5.(2015玉林防城港)某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计,发现每天销售量y (千克)与销售价x (元/千克)存在一次函数关系,如图所示. (1)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出x 的取值范围);
(2)应怎样确定销售价,使该品种苹果的每天销售利润最大?最大利润是多少?
题图
第3题图
【课后巩固】
1. (2012•绍兴)教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y (m )与水平距离x (m )之间的关系为y=-
112
(x-4)2
+3,由此可知铅球推出的距离是 m . 2.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD ,设宽为x ,面积为y .则当y 最大时,x 所取的值是 3. 某公司的生产利润原来是a 元,经过连续两年的增长达到了y 万元,如果每年增长的百分数都是
x ,那么y 与x 的函数关系是
4.已知如图,△ABC 的面积为2400cm 2
,底边BC 长为80cm ,若点D 在BC 边上,E 在AC 边上,F 在AB 边上,且四边形BDEF 为平四边形,设BD=xcm ,S □BDEF =y cm 2
. 求:(1)y 与x 的函数关系式;(2)自变量 x 的取值范围; (3)当x 取何值时,y 有最大值?最大值是多少?
5.樱花节前夕,我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查,得到如下数据:
(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标,在下面的平面直角坐标系中描出相应的点,猜想y与x的函数关系,并求出函数关系式;
(2)当销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润=销售总价-成本总价)
(3)我市物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过35元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?。

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