2014年春季新版新人教版八年级数学下学期18.2、特殊的平行四边形教案6
学年八年级数学下册 18.2 特殊的平行四边形(第1课时)
18. 2 特殊的平行四边形第1课时教学目标1. 掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2. 会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．3. 渗透运动联系、从量变到质变的观点．教学重点难点矩形的性质．矩形的性质的灵活应用．教学过程一、导入新课我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说，也有特殊情况即特殊的平行四边形，堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．二、新课教学1. 矩形教师向学生展示下列图形，引导学生知道矩形也是常见的图形．门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等都有矩形的形象．活动：制一个活动的平行四边形教具，堂上进行演示图，使学生注意观察四边形角的变化，当变到一个角是直角时，指出这时平行四边形是矩形，使学生明确矩形是特殊的平行四边形．如下图，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？2. 矩形的性质既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角．矩形性质定理2：矩形的对角线相等．3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半思考 ：如下图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．我们观察Rt △ABC ，在Rt △ABC 中，BO 是斜边AC 上的中线，BO 与AC 有什么关系？根据矩形的性质，我们知道，BO ＝21BD ＝21AC . 由此，我们得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（这实际上是Rt △的一个重要性质，即Rt △斜边中点到三顶点的距离相等，它在求线段长或线段部分关系时经常用到）例 如下图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝4．求矩形对角线的长．解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AC 与BD 相等且互相平分．∴ OA ＝OB ．又 ∠AOB ＝60°，∴ △OAB 是等边三角形．∴ OA ＝AB ＝4．∴ AC ＝BD ＝2OA ＝8． 注意：教师要强调这种计算题的解题格式，防止学生离开几何元素之间的关系，而单纯进行代数计算．三、课堂练习教材第53页练习1、2、3．四、布置作业习题18.2第1题．教学反思：。
【精品】八年级数学下册18.2.2特殊的平行四边形教案新版新人教版
18.2.2 特殊的平行四边形一、教学目标（1）在对矩形性质认识的的基础上，探索并掌握矩形的判别方法（2）应用矩形判定方法，解决简单的实际问题。
二、课时安排1课时三、教学重点探索四边形是矩形的判定方法。
四、教学难点矩形的判定灵活运用五、教学过程（一）新课导入复习：矩形具有哪些性质？哪些是平行四边形所没有的？列表比较：（二）讲授新课【矩形的判定定理】除了矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，如何判定一个四边形是矩形呢？1、工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。
下面证明这个结论的正确性．命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：如图□ABCD，AC与BD相交于O，AC=BD求证：□ABCD是矩形证明：∵AB=CD, BC=BC, AC=BD∴△ABC≌△DCB（SSS）∴∠AB C=∠DCB∵AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=∠DCB=90°又四边形ABCD是平行四边形∴□ABCD是矩形2、李芳同学有“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？有三个角是直角的四边形是矩形A B C猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。
例2、如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°，求∠OAB的度数。
解：∵四边形ABCD是平行四边形∴ OA=OC=AC OB=OD=BD又 OA=OD∴ AC=BD∴四边形ABCD是矩形∴∠DAB=90°又∠OAD=50°∴∠OAB=40°（三）重难点精讲矩形的判定定理（四）归纳小结矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。
人教八年级下册数学 第十八章 18.2《特殊的平行四边形》教案
《特殊的平行四边形》教学设计【教学目标】1、知识与技能：（1）掌握特殊的平行四边形相关的性质和判定方法。
（2）培养概括归纳能力，逻辑推理能力和应用能力。
2、过程与方法：经历知识完整的系统性，灵活应用知识解决实际问题，发展综合能力。
3、情感、态度与价值观：在学习活动中发展主动探索和独立思考的习惯，并在学习中获的成功的体验。
【教学重点】能用特殊的平行四边形相关的性质和判定解决实际问题。
【教学难点】培养学生数学思想的形成和解题方法的提炼。
【教学用具】多媒体课件（PPT课件）【教学方法】五学【课时安排】一课时【教学程序设计】（2）矩形、菱形、正方形性质及判定。
（导与练第492、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线ABCD中，P是对角线AC上PE=PB．配套复习题１、“五学”教学模式，面向全体，教师调控，"能"者为师。
即一般性问题，由中下程度生回答；思考性较强的问题，由优秀生回答；难度较大的问题，采取讨论的形式，可以是全班式，也可以是小组式，或邻座式，老师组织学生广泛思考、发言，争辩，让他们各抒已见，畅所欲言，充分发挥其主导作用，然后引导学生解决问题，寻找到真正的答案；学生一时难于想到的问题，教师可以采取点拨法，分解法。
2、从学生的数学认知结构的一次次更新和一步步完善来看，由于它有更多的规律可循，所以它是一门科学。
要培养学生的“数学情感”或“数学地思考”，教师不但需要寻求学生群体的共性，而且需要有极大的耐心去发现学生个体的情感特征。
3、“五学”教学法是开放的和充满活力的，要在课堂上实施这种方法，教师必须深入到学生的内心世界，站在学生的角度进行新的数学体验，根据具体内容选择适合本班学生的素材，使数学课变得既有趣，又能散发出很浓的数学味。
从而真正提高课堂教学的质量，提高学生学习的质量。
人教八年级下册数学第十八章18.2《特殊的平行四边形》教案
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形、菱形、正方形的基本概念。矩形是四边都相等且对边平行的四边形，它在建筑和设计中有广泛的应用。菱形是四边相等的平行四边形，其独特的对角线性质在珠宝设计中尤为重要。正方形是四边相等且四角为直角的特殊矩形，它在生活中无处不在，如地砖、桌子等。
最后，通过今天的课程，我也反思到自己在教学过程中需要更好地把握时间分配，确保每个环节都有充足的时间进行深入的讨论和学习。同时，我也计划在下一节课的总结环节，让学生们自己来总结今天所学的知识点，这样不仅能够检查他们的理解程度，还能提高他们的表达能力和自信心。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“特殊平行四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“如何确定一个正方形的边长？”
首先，我发现通过引入日常生活中的实例来导入新课，确实能够激发学生的兴趣，使他们更愿意参与到课堂讨论中来。例如，当讨论到矩形的性质时，我让学生们观察教室里的门和窗，这帮助他们更好地理解矩形的对边平行且相等的性质。
在讲授过程中，我尝试用直观的图形和实际案例来解释特殊平行四边形的判定方法，但我也意识到，对于一些学生来说，这些概念仍然难以理解。我考虑在下一节课中增加一些互动环节，比如让学生自己动手画图，亲自验证这些性质，这样可能会更有助于他们理解和记忆。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-矩形、菱形、正方形的定义及其性质：这是本节课的核心内容，教师应重点讲解这三种特殊平行四边形的定义，并通过具体图形和实例，强调它们的性质，如矩形的对边平行且相等，菱形的四边相等，正方形的四边相等且四角为直角。
八级数学下册 18.2 特殊平行四边形教案 (新版)新人教版
18.2.1 矩形教案总序号：一、教学目的：1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．二、重点、难点1．重点：矩形的性质．2．难点：矩形的性质的灵活应用．三、例题的意图分析例1是教材的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．四、课堂引入1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．矩形性质1 矩形的四个角都是直角．矩形性质2 矩形的对角线相等．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD ．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．五、例习题分析例1已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长．分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求．解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AC 与BD 相等且互相平分．∴ OA=OB ．又 ∠AOB=60°，∴ △OAB 是等边三角形．∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm ）．例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．略解：设AD=xcm ，则对角线长（x+4）cm ，在Rt △ABD 中，由勾股定理：222)4(8+=+x x ，解得x=6． 则 AD=6cm ．（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE ×DB ＝ AD ×AB ，解得 AE ＝ 4.8cm ．例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ．分析：CE 、EF 分别是BC ，AE 等线段上的一部分，若AF ＝BE ，则问题解决，而证明AF ＝BE ，只要证明△ABE ≌△DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠B=90°，且AD ∥BC ． ∴ ∠1=∠2．∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD=90°．∴ ∠B=∠AFD ．又 AD=AE ，∴ △ABE ≌△DFA （AAS ）．∴ AF=BE ．∴ EF=EC ．此题还可以连接DE ，证明△DEF ≌△DEC ，得到EF ＝EC ．六、随堂练习1．（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．2．（选择）（1）下列说法错误的是（）．（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．七、课后练习1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．18.2.1 矩形(二)教案总序号：22 时间：一、教学目的：1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力二、重点、难点1．重点：矩形的判定．2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．三、例题的意图分析本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．四、课堂引入1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）五、例习题分析例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）（3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）（4）对角线相等的四边形是矩形； （×）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)指出：（l ）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．例2 （补充）已知 ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形，AB=4 cm ，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB 是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO=21AC ，BO=21BD ． ∵ AO=BO ，∴ AC=BD ．∴ ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．在Rt △ABC 中，∵ AB=4cm ，AC=2AO=8cm ，∴ BC=344822=-（cm ）．例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH是矩形．分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ．∴ ∠DAB ＋∠ABC=180°．又 AE 平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，∴ ∠EAB ＋∠ABG=21×180°=90°． ∴ ∠AFB=90°．同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．∴ 四边形EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．六、随堂练习1．（选择）下列说法正确的是（ ）．（A ）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B ）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C ）对角线互相平分的四边形是矩形 （D ）对角互补的平行四边形是矩形2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形．七、课后练习1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ；⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ；⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，求∠A 、∠B 的度数．18.2.2 菱形（一）教案总序号：23 时间：一、教学目的：1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．二、重点、难点1．教学重点：菱形的性质1、2．2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2是教材P108中的例2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识．四、课堂引入1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．五、例习题分析例1 （补充）已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ CB=CD， CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，∴△BCE≌△COB（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠CBE．例2 （教材P108例2）略六、随堂练习1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．七、课后练习1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC 的长度；（2）菱形ABCD的面积．18.2.2 菱形（二）教案总序号：24 时间：一、教学目的：1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．二、重点、难点1．教学重点：菱形的两个判定方法．2．教学难点：判定方法的证明方法及运用．三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成．程度好一些的班级，可以选讲例3．四、课堂引入1．复习（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？3．【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过演示，容易得到：菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形．五、例习题分析例1 （教材P109的例3）略例2（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AE∥FC．∴∠1=∠2．又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．∴ EO=FO．∴四边形AFCE是平行四边形．又 EF⊥AC，∴AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．※例3（选讲）已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．求证：四边形CEHF为菱形．略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．六、随堂练习1．填空：（1）对角线互相平分的四边形是；（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
人教版数学八年级下册18.2《特殊平行四边形》说课稿
人教版数学八年级下册18.2《特殊平行四边形》说课稿一. 教材分析《特殊平行四边形》是人教版数学八年级下册第18章的一部分，本节内容是在学生掌握了平行四边形的性质和判定之后进行学习的。
通过学习本节内容，学生能够了解和掌握矩形、菱形、正方形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探索和发现特殊平行四边形的性质，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了平行四边形的性质和判定，具备了一定的几何知识基础。
但是，对于特殊平行四边形的性质和应用，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生可能对矩形、菱形、正方形的性质有一定的了解，但是不够系统和深入，需要通过本节内容的学习来进行补充和完善。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握矩形、菱形、正方形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等活动，学生能够培养自己的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂学习，克服困难，自主探索，体验成功的喜悦，培养对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：矩形、菱形、正方形的性质及其应用。
2.教学难点：特殊平行四边形性质的推导和证明，以及在不同情境下的应用。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、演示法、探究法和小组合作法等多种教学方法。
通过多媒体课件和实物模型的演示，帮助学生直观地理解特殊平行四边形的性质。
同时，引导学生进行观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的思考能力和解决问题的能力。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习平行四边形的性质和判定，引出特殊平行四边形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：学生通过阅读教材，了解矩形、菱形、正方形的性质，并尝试解决相关问题。
3.课堂讲解：教师讲解矩形、菱形、正方形的性质，通过实例和图形的演示，帮助学生直观地理解。
人教版 八年级下册数学第十八章 四边形 18.2特殊的平行四边形教案
举一反三：
【变式 1】已知□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O， △ABO 是等边三角形，AB＝
4 cm，求这个平行四边形的面积．
思路点拨：（1）先判定□ABCD 为矩形．（2）求出 Rt△ABC 的直角边 BC 的长度．（3）
计算矩形 ABCD 的面积为 AB·BC 解析：
4 / 12
☆【变式 3】已知如图，菱形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE、BD 交于 M，若 AB=AE， ∠EAD=2∠BAE，求证：AM=BE．
A
答案：
B
M
D
EC
类型三：正方形
例 3．已知：如图，点 是正方形 交 的延长线于点 ．求证：
A
E
的边 上任意一点，过点 作
．
D 1
3 2
B
C
F
思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种，而本题中 DE, DF 分别在△DAE 与△ DCF 中，结合正方形的性质，我们可以证明△DAE 与△DCF 全等，利用全等三角形的 对应边相等来说明． 解析：
互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对 互相垂直平分且相等,每
角线平分一组对角
条对角线平分一组对角
·有三个角是直角; ·是平行四边形且有 一个角是直角; ·是平行四边形且两 条对角线相等.
·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组 邻边相等； ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直．
·是矩形，且有一组邻边 相等； ·是菱形，且有一个角是 直角．
所在的直线是它的
两条对称轴．
知识点六：菱形的判定办法
要点诠释： （1）用菱形的定义：有一组邻边
的平行四边形是菱形；
（2）四条边都
八年级数学下册 18.2 特殊的平行四边形 18.2.2 菱形教案 (新版)新人教版
18.2.2 菱形教材：九年制义务教育教科书人民教育出版社八年级下册我说课的内容是《菱形》。
下面我从教学理念、教材分析、教学方法、教学过程、教学评价五个方面进行说明。
一、教学理念新课程倡导和突出“自主、合作、探究”的学习方式，使学生在玩中学、做中学、思考中学、合作中学。
从而使“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的课程目标三位一体地得以实现。
二、教材分析（一）教材的地位和作用菱形是人教版教科书《数学》八年级（下）第十八章的内容，本讲为第一课时,主要讲解菱形的性质探索及简单运用.菱形具有平行四边形的不稳定性，具有变化中的不变性，有对称美。
在生活中有很广泛的应用。
菱形是平行四边形的延伸和特殊化，又是学习正方形的前提和基础，它起了承上启下的作用，对于学生理解和把握特殊四边形与一般四边形的关系有重要的实例作用。
菱形是一种特殊的四边形，它具有平行四边形的所有的性质，教学中可用类比的方法研究。
学习过程中，既要注意它与普通四边形的联系，又要注意它的特殊之处。
（二）学情分析（1)学生的认知基础：学生已有了平行四边形概念及性质的学习为基础，这为本节课的学习提供了良好的知识储备，对于菱形的性质，学生完全可以通过活动，沿菱形的对角线折叠、旋转中发现到，但对于菱形与平行四边形的性质的区别与联系，还需通过多种方式辨析。
(2)学生年龄心理特点：八年级的学生在心理与生理方面已经日趋成熟，对待事物的看法有一定的个性见解，表现欲强，思维敏捷。
（三）教学目标在新课程让学生经历学数学、做数学、用数学的理念指导下，结合八年级学生已有的认知结构和心理特征，将本节课的教学目标设为：1、知识与技能目标：①了解菱形的概念及其与平行四边形之间的关系。
②探索掌握菱形的性质，会用菱形的性质进行有关的计算，解决简单的实际问题。
③知道菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
2、过程与方法：（1）经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力.（2）根据菱形的性质进行简单的证明，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力.3、情感与价值:从学生已有的知识出发，通过欣赏观察、动手操作、讨论交流、归纳总结，感受身边的数学，感受合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，同时感受到数学的和谐美、对称美，激发学习数学的激情，树立学好数学的信心。
数学八年级下册18.2特殊的平行四边形教案
教师姓名单位名称填写时间学科初中数学年级/册八年级下册教材版本人教版课题名称第十八章18.2：特殊的平行四边形难点名称中点四边形类问题的解法难点分析从知识角度分析为什么难中点四边形知识点本身内容复杂，不但要应用中位线推理论证，还涉及到矩形，菱形，正方形的性质和判定的综合分析，逻辑推理上，分析思路上容易混淆。
从学生角度分析为什么难学生刚刚学完到矩形，菱形，正方形的性质和判定后，知识之间逻辑关系还理解不到位，学生抽象逻辑，推理能力有待加强，学生理解特殊四边形的性质和判定还需要消化，综合分析，判断，推理能力还在提高中。
难点教学方法一题多变，以点带面，探索规律教学环节教学过程导入一、知识回顾。
师：请同学们说出一些与中点有关的结论生：三角形的中位线定理这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据.师：那么，这节课我们就来研究与中点有关的问题。
请看：顺次连接任意四边形各边中点所成的四边形是什么图形?请同学们画一画、猜一猜并证一证.知识讲解（难点突破）二、概念解析：如图，四边形ABCD的各边的中点，所构成的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。
三、推理论证：任意四边形的中点四边形的形状。
已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点求证：四边形EFGH为平行四边形。
六 、 规律总结：结论：中点四边形类问题的解法是—只要分析原四边形的对角线之间的数量关系和位置关系即可。
课堂练习 （难点巩固）七 、 达标检测：判定下列条件中，中点四边形的形状？BCD A HGFE培养学生“从一般到特殊再到一般”的研究问题的方法和概括能力。
小结课堂小结：决定中点四边形EFGH 的形状的主要因素是：四边形ABCD 的对角线的长度和位置。
人教版数学八年级下册18.2《特殊平行四边形》教学设计
人教版数学八年级下册18.2《特殊平行四边形》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册18.2《特殊平行四边形》是学生在学习了平行四边形的性质和判定之后，进一步研究特殊平行四边形的特征和应用。
本节内容主要包括矩形、菱形、正方形的性质，以及它们之间的关系和转化。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探索和发现特殊平行四边形的性质，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了平行四边形的性质和判定，对平行四边形有了初步的认识。
但特殊平行四边形的性质和判定对他们来说还是新的内容，需要通过实例和探究活动来进一步理解和掌握。
学生在学习过程中应具备观察和分析图形的能力，能够运用已学的知识解决实际问题。
三. 教学目标1.了解矩形、菱形、正方形的定义和性质。
2.掌握特殊平行四边形的判定方法。
3.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
4.能够运用特殊平行四边形的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.特殊平行四边形的性质和判定。
2.矩形、菱形、正方形之间的关系和转化。
五. 教学方法1.情境教学法：通过展示实际生活中的特殊平行四边形，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和讨论，培养学生解决问题的能力。
3.合作学习法：学生分组讨论和探究，培养学生的团队协作能力。
4.直观教学法：利用图形和教具，直观展示特殊平行四边形的性质和判定。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示特殊平行四边形的图形和实例。
2.教学道具：准备一些特殊的平行四边形模型，如矩形、菱形、正方形等。
3.练习题：准备一些有关特殊平行四边形的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些特殊的平行四边形，如矩形、菱形、正方形等，引导学生观察和思考：这些图形有什么特殊的性质？它们之间的关系如何？2.呈现（10分钟）教师简要介绍矩形、菱形、正方形的定义和性质，引导学生通过观察和分析，发现它们之间的关系和转化。
八年级数学下册 18.2 特殊的平行四边形(第2课时)教案 (新版)新人教版
特殊的平行四边形第2课时教学内容矩形．教学目标1. 掌握矩形的判定定理．2. 使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．教学重点矩形的判定．教学难点矩形的判定及性质的综合应用．教学过程一、导入新课什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？矩形有哪些性质？矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其他几种判定矩形的方法，下面就来研究这些方法．二、新课教学1. 矩形判定定理思考 1：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？思考2：前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角．它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？教师引导学生分析、猜测，得出矩形的判定定理．矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．教师可指导学生证明这两个判定定理．完成后，归纳矩形的判定方法：（1）一个角是直角的平行四边形．（2）对角线相等的平行四边形．（3）有三个角是直角的四边形．2. 矩形判定方法的实际应用工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这就应用了矩形的判定定理．除教材中所举外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．3. 矩形知识的综合应用例 如下图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OD ，∠OAD ＝50°．求∠OAB 的度数． 解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA ＝OC ＝21AC ， OB ＝OD ＝21BD ． 又 OA ＝OD ，∴ AC ＝BD ．∴ 四边形ABCD 是矩形．∴ ∠DAB ＝90°．又 ∠OAD ＝50°，∴ ∠OAB ＝40°．三、课堂小结1. 矩形的判定方法l 、2都是有两个条件：①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等．判定方法3的两个条件是：①是四边形，②有三个直角．2. 要注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理．四、布置作业习题18.2第2、3题．教学反思：。
人教版数学八年级下册《18.2特殊的平行四边形教案》教学设计
《18.2.2菱形（第一课时）》教学设计科目八年级数学课题18.2.2菱形(第一课时)授课教师单位教材版本人教版课型新授课教材分析菱形是人教版教科书《数学》八年级下第十八章的内容，本课为第一课时，主要讲菱形的性质探索和简单运用。
菱形是平行四边形的延伸和特殊化，又是学习正方形的前提和基础，它起了承上启下的作用。
对于学生理解和把握特殊四边形与一般四边形的关系有重要的实例作用。
菱形是一种特殊的四边形，它具有平行四边形的所有性质，教学中可用类比的方法研究。
学习过程中，既要注意它与普通四边形的联系，又要注意它的特殊之处。
教学目标1、理解并掌握菱形的概念，以及菱形与平行四边形之间的关系。
2、探索证明并掌握菱形的性质定理，并能应用性质进行简单的计算和证明。
教学重点菱形的性质教学难点菱形性质的探究教学准备多媒体课件教学过程设计意图一、想一想1，在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考2，如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？（有一组邻边相等的平行四边形叫菱形）符号语言：AB=BC 四边形ABCD是菱形平行四边形ABCD：【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．二，感受新知菱形在日常生活中很常见，幻灯片播放生活中有菱形形象的图片，门窗的窗格，中国结，伸缩的衣帽架。
然后请学生举例。
二、探讨性质因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质。
由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？通过小组合作观察分析猜想菱形有什么性质？引导学生从边、角、对角线几方面讨论。
通过学生对已有知识的理解，对图形变化的观察，为引出菱形作铺垫。
归纳概括菱形的概念。
通过幻灯片的演示让学生对菱形的形成有一个直观的认识通过举例，让学生感受生活中到处存在数学，加深对菱形的印象。
通过小组合作，集大家智慧，分析图形，使学生能从边、角、对角线，面积方面得到更多的结小组讨论后找代表发言：（师给予适当的纠正）1、菱形的四条边都相等。
精编新人教版八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形教案(6课时)
18．2 特殊的平行四边形(6课时)18．2.1 矩形第1课时矩形的性质1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点)3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算．(难点)一、情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．二、合作探究探究点一：矩形的性质【类型一】 运用矩形的性质求线段或角在矩形ABCD 中，O 是BC 的中点，∠AOD ＝90°，矩形ABCD的周长为24cm ，则AB 长为( )A ．1cmB ．2cmC ．2.5cmD ．4cm解析：在矩形ABCD 中，O 是BC 的中点，∠AOD ＝90°.根据矩形的性质得到△ABO ≌△OCD ，则OA ＝OD ，∠DAO ＝45°，所以∠BOA ＝∠BAO ＝45°，即BC ＝2AB .由矩形ABCD 的周长为24cm ，得2AB ＋4AB ＝24cm ，解得AB ＝4cm.故选D.方法总结：解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．【类型二】 运用矩形的性质解决有关面积问题如图，矩形ABCD 的对角线的交点为O ，EF 过点O 且分别交AB ，CD 于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( ) A.15 B.14 C.13 D.310解析：∵在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，OB ＝OD ，∴∠ABO ＝∠CDO .在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠CDO ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA)，∴S △BOE＝S △DOF ，∴S 阴影＝S △AOB ＝14S 矩形ABCD .故选B. 方法总结：运用矩形的性质，通过证明全等三角形进行转化，将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键．【类型三】运用矩形的性质证明线段相等如图，在矩形ABCD 中，以顶点B 为圆心、边BC 长为半径作弧，交AD 边于点E ，连接BE ，过C 点作CF ⊥BE 于F .求证：BF ＝AE .解析：利用矩形的性质得出AD ∥BC ，∠A ＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC ≌△EAB ，进而得出答案．证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠FBC .∵CF ⊥BE ，∴∠BFC ＝∠A ＝90°.由作图可知，BC ＝BE .在△BFC和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠CFB ，∠AEB ＝∠FBC ，EB ＝BC ，∴△BFC ≌△EAB (AAS)，∴BF ＝AE .方法总结：涉及与矩形性质有关的线段的证明，可运用题设条件结合三角形全等进行证明，一般是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明．【类型四】 运用矩形的性质证明角相等如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED .求证：AE 平分∠BAD .解析：要证AE 平分∠BAD ，可转化为△ABE 为等腰直角三角形，得AB ＝BE .又AB ＝CD ，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，即可求证．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°.∵EF ⊥ED ，∴∠BEF ＋∠CED ＝90°.∴∠BFE ＝∠CED ，∴∠BEF ＝∠EDC .在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE ＝∠CED ，EF ＝ED ，∠BEF ＝∠EDC ，∴△EBF ≌△DCE (ASA)．∴BE ＝CD .∴BE ＝AB ，∴∠BAE ＝∠BEA ＝45°，∴∠EAD ＝45°，∴∠BAE ＝∠EAD ，∴AE 平分∠BAD .方法总结：矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质如图，在△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．(1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长；(2)求证：EF 垂直平分AD .解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DE ＝AE ＝12AB ，DF ＝AF ＝12AC ，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．(1)解：∵AD 是△ABC 的高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE＝AE ＝12AB ＝12×10＝5，DF ＝AF ＝12AC ＝12×8＝4，∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18；(2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 、F 在线段AD 的垂直平分线上，∴EF 垂直平分AD .方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．三、板书设计1．矩形的性质矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识，扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂教学真正落实到学生的发展上．第2课时矩形的判定1．掌握矩形的判定方法；(重点)2．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分；2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．解析：首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥BC，即可得出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，再根据AD是高即可得出四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE是△BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形．又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA 到N ，ON ＝OB ，再延长OC 至M ，使CM ＝AN .求证：四边形NDMB 为矩形．解析：首先由平行四边形ABCD 可得OA ＝OC ，OB ＝OD .若ON ＝OB ，那么ON ＝OD .而CM ＝AN ，即ON ＝OM .由此可证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝OC ，OD ＝OB .∵AN ＝CM ，ON ＝OB ，∴ON ＝OM ＝OD ＝OB ，∴MN ＝BD ，∴四边形NDMB 为矩形．方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形如图，▱ABCD 各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H .求证：四边形EFGH 是矩形．解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC＝180°.∵AH ，BH 分别平分∠DAB 与∠ABC ，∴∠HAB ＝12∠DAB ，∠HBA ＝12∠ABC ，∴∠HAB ＋∠HBA ＝12(∠DAB ＋∠ABC )＝12×180°＝90°，∴∠H ＝90°.同理∠HEF ＝∠F ＝90°，∴四边形EFGH 是矩形．方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】矩形的性质和判定的运用如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF ＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC ＝90°.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC ＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝DB2－DC2＝43cm，∴S矩形ABCD＝4×43＝163(cm2)．方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．【类型二】 矩形的性质和判定与动点问题如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm/s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？解析：(1)设经过t s 时，四边形PQCD 是平行四边形，根据DP ＝CQ ，代入后求出即可；(2)设经过t ′s 时，四边形PQBA 是矩形，根据AP ＝BQ ，代入后求出即可．解：(1)设经过t s ，四边形PQCD 为平行四边形，即PD ＝CQ ，所以24－t ＝3t ，解得t ＝6；(2)设经过t ′s，四边形PQBA 为矩形，即AP ＝BQ ，所以t ′＝26－3t ′，解得t ′＝132. 方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．三、板书设计1．矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2．矩形的性质和判定的综合运用在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法．教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率．18.2.2 菱形(2课时)第1课时菱形的性质1．掌握的定义和性质及菱形面积的求法；(重点)2．灵活运用菱形的性质解决问题．(难点)一、情境导入将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．二、合作探究探究点一：菱形的性质【类型一】利用菱形的性质证明线段相等如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F.求证：CE＝CF.解析：连接AC.根据菱形的性质可得AC平分∠DAB，再根据角平分线的性质可得CE＝FC.证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【类型二】利用菱形的性质进行有关的计算如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm.过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.(1)求OC的长；(2)求四边形OBEC的面积．解析：(1)在直角三角形OCD中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角三角形OCD中，OC＝CD2－OD2＝52－32＝4(cm)；(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形．∵OB＝OD，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题．【类型三】运用菱形的性质证明角相等如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.解析：根据“菱形的对角线互相平分”可得OD＝OB，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得OH＝OB，∠OHB＝∠OBH，根据“两直线平行，内错角相等”求出∠OBH＝∠ODC，然后根据“等角的余角相等”证明即可．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，∴OH＝12BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.方法总结：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．【类型四】运用菱形的性质解决探究性问题感知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF.探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展：如图③，在▱ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE＝DF，∠ADB ＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE的度数．解析：探究：△ADE 与△DBF 全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD 为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE ≌△DBF ；拓展：因为点O 在AD 的垂直平分线上，所以OA ＝OD ，再通过证明△ADE ≌△DBF ，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE 的度数．解：探究：△ADE 与△DBF 全等．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD .∵AB ＝BD ，∴AB ＝AD ＝BD ，∴△ABD 为等边三角形，∴∠DAB ＝∠ADB ＝60°，∴∠EAD ＝∠FDB ＝120°.∵AE ＝DF ，∴△ADE ≌△DBF ；拓展：∵点O 在AD 的垂直平分线上，∴OA ＝OD .∴∠DAO ＝∠ADB ＝50°，∴∠EAD ＝∠FDB ＝130°.∵AE ＝DF ，AD ＝DB ，∴△ADE ≌△DBF ，∴∠DEA ＝∠AFB ＝32°，∴∠EDA ＝∠OAD －∠DEA ＝18°.方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉相关的基础知识并进行联想．探究点二：菱形的面积已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD ＝120°，AC ＝4，则该菱形的面积是( )A ．16 3B ．8 3C ．4 3D ．8解析：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，OA ＝12AC ＝2，OB ＝12BD ，AC ⊥BD ，∠BAD ＋∠ABC ＝180°.∵∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝4，∴OB ＝AB 2－OA 2＝42－22＝23，∴BD ＝2OB ＝43，∴S菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×4×43＝8 3.故选B.方法总结：菱形的面积有三种计算方法：①将其看成平行四边形，用底与高的积来求；②对角线分得的四个全等三角形面积之和；③两条对角线的乘积的一半．三、板书设计1．菱形的性质菱形的四边条都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．2．菱形的面积S 菱形＝边长×对应高＝12ab (a ，b 分别是两条对角线的长)通过剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数需要教师加以引导．但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，因此问题就上升到证明这个环节．在整个新知生成过程中，探究活动起了重要的作用．课堂中学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维状态，切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气．第2课时菱形的判定1．掌握菱形的判定方法；(重点)2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC 的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE 是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC ＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD ＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．解析：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA.从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形．证明：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD ＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.在△AED与△CFD中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC＝∠FCA，∠AED＝∠CFD，AD＝CD，∴△AED≌△CFD(AAS)；(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．探究点二：菱形的判定的应用【类型一】菱形判定中的开放性问题如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．解析：∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF.同理ED＝CD.∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC⊥EF.方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】菱形的性质和判定的综合应用如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由．解析：(1)首先利用“SSS”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC .再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD .再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABF 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB .∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当EB ⊥CD 于E 时，∠EFD ＝∠BCD .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF .在△BCF 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ，∴△BCF ≌△DCF (SAS)，∴∠CBF ＝∠CDF .∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠BCD ＋∠CBF ＝∠EFD ＋∠CDF ＝90°，∴∠EFD ＝∠BCD .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、板书设计1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形．2．菱形的性质和判定的综合运用在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用．18.2.3 正方形(2课时)第1课时正方形的性质1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点)2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】特殊平行四边形的性质的综合菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE ＝2x .∴2x ＝1－x ，解得x ＝2－1，即BE 的长为2－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型三】 利用正方形的性质解决角的计算或证明问题在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE .(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数．解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF 中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ；(2)OF ＝12CE .解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE . 证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE . 方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．【类型二】 有关正方形性质的综合应用题如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt△AED 和Rt△AFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AF ，∴Rt△AED ≌Rt△AFB (HL)，∴S △AED ＝S △AFB .∵S 四边形ABCD ＝24cm 2，∴S 正方形AFCE ＝24cm 2，∴AE ＝EC ＝26cm.根据勾股定理得AC ＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．三、板书设计1．正方形的定义和性质四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形性质的综合应用通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．。
八年级数学下册人教版18.2特殊的平行四边形优秀教学案例
1.培养学生对数学学科的兴趣，树立自信心，形成积极的数学学习态度；
2.培养学生勇于探索、坚持真理的精神，锻炼学生的意志品质；
3.培养学生团队协作、互相帮助的良好品质，提高学生的人际沟通能力；
4.通过对特殊平行四边形的探究，使学生认识到数学在实际生活中的重要性，培养学生的社会责任感。
5.教学内容的逻辑性和连贯性：教师从导入新课到讲授新知，再到学生小组讨论、总结归纳和作业小结，教学内容的安排具有逻辑性和连贯性，使学生能够系统地学习和掌握特殊平行四边形的性质及其应用。
在教学过程中，我以“以人为本”的教育理念为指导，充分考虑学生的认知规律和学习兴趣，采用多元化的教学方法和评价方式，激发学生的学习积极性，提高学生的数学素养。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解矩形、菱形、正方形的定义及其性质；
2.学会运用特殊平行四边形的性质解决实际问题；
3.掌握平行四边形到特殊平行四边形的判定方法；
3.及时反馈学生的学习情况，指导学生调整学习策略，提高学习效果。
在教学过程中，我将注重学生的反思与评价，帮助学生发现自己的优点和不足，指导学生调整学习方法，提高学生的综合能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际生活中的矩形、菱形、正方形实例，如建筑、设计、工程等，引导学生关注特殊平行四边形在现实中的应用；
在教学过程中，我将关注学生的情感态度与价值观的培养，以爱心、耐心和责任心对待每一个学生，营造和谐、民主的课堂氛围，使学生在愉悦的情感状态下学习，提高学生的情感态度与价值观。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的建筑、设计、工程等为例，引入特殊平行四边形的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系；
人教版八年级数学下册18.2特殊的平行四边形矩形的判定优秀教学案例
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，注重激励性评价，提高学生的自信心。
4.教师根据学生的反馈，调整教学策略，以更好地满足学生的学习需求。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组包含矩形的图片（如校园建筑、家具图案等），引导学生观察并思考这些图形的特点。
（二）问题导向
1.教师以问题为导向，引导学生探究矩形性质和判定方法。例如，提出以下问题：(1)平行四边形和矩形的区别是什么？(2)矩形的对角线有什么性质？(3)如何判断一个四边形是矩形？
2.鼓励学生通过观察、猜想、验证等方法，积极思考问题，培养学生的学习主动性。
3.教师在解答问题时，注重启发式教学，引导学生逐步深入思考，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解矩形的概念，掌握矩形的性质，如对边平行且相等、对角线相等、四个角都是直角等。
2.学会矩形的判定方法，包括：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)有三个角是直角的四边形是矩形。
3.能够运用矩形的性质和判定方法解决相关问题，如计算矩形的周长、面积等。
4.通过合作学习，培养学生团结协作、互帮互助的品质，增强学生的集体荣誉感和社会责任感。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握矩形的相关知识，教师将采用生活化的情景创设，将矩形的概念和性质融入学生的实际生活。例如，教师可以展示校园内的矩形地面图案、黑板的形状等，让学生观察并思考矩形的特点。通过这种方式，学生能够在轻松愉快的氛围中感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。
在本节课中，教师将通过生动的实例和丰富的教学活动，引导学生从已知的平行四边形性质出发，探究矩形判定的规律。通过小组讨论、师生互动等方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的几何直观和逻辑思维能力。此外，本案例还将结合生活实际，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
八年级数学下册 18.2.3 特殊的平行四边形教案 (新版)新人教版
18.2.3 特殊的平行四边形一、教学目标（1）掌握菱形的概念、性质（2）在对菱形特殊性质的探索过程中，理解特殊与一般的关系．二、课时安排1课时三、教学重点菱形的性质。
四、教学难点探索菱形的性质五、教学过程（一）新课导入上面的图案我们在生活中经常遇到，图中有很多四边形，它们是平行四边形吗？是矩形吗？它们有什么特点？（二）讲授新课【定义】：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
日常生活中具有菱形形象的离子：【菱形的性质】1、菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质。
2、菱形的特殊性质。
边：菱形的四条边都相等；对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；对称性：菱形是轴对称图形，它的对称轴就是对角线所在的直线。
如图，根据菱形的性质，在菱形ABCD中：（1）AB=BC=CD=DA（2）AC⊥BD，且AO=CO，BO=DO；∠ABO=∠CB0，∠BCO=∠DCO∠CDO=∠ADO，∠DAO=∠BAO想一想：如何证明菱形的性质呢？菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 已知:如图，四边形ABCD是菱形.求证: AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴DA=AB(菱形的定义)，OD=OB （平行四边形的对角线互相平分），∴ AC ⊥ DB ，AC平分∠DAB（三线合一）.同理： AC平分∠DCB ；DB平分∠ADC和∠ABC.3、菱形的面积例、如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.解：∵花坛ABCD的形状是菱形。
∴ AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10BO=∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m) BD=2BO=20≈34.64（m2）∴花坛的面积S菱形ABCD=4×S△OAB=AC·BD=200≈346.4（m2）总结：菱形的面积公式：S菱形ABCD=AC·BD（三）重难点精讲菱形的性质（四）归纳小结菱形的性质：1、具有平行四边形的一切性质；2、菱形的四条边都相等；3、菱形的两条对角线相互垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
人教版数学八年级下册18-2-1 特殊的平行四边形-教案
18.2.1 特殊的平行四边形矩形（1）几何的学习注重理性逻辑思维，重在理解，教学过程中，教师应注重培养学生的空间想象能力、形式思维能力、抽象思维能力、逻辑推理能力。
本节课以人教版数学八年级下册《矩形》一课为例，谈谈如何应用PPT，引导学生由抽象到具体，由操作感知到理性思考，建立几何空间感，提升学生几何推理能力。
学习目标知识：掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．能力：会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．情感：渗透运动联系、从量变到质变的观点学情分析本小节是在学过平行四边形等有关知识以及一些简单的说理内容之后来学习的，为学习矩形奠定了基础。
然而由于我们班的学生图形识别理解能力较差，教材要求学生会运用等矩形的性质也就成了学生有待突破的难点。
学习重点:掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．学习难点:会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．教学流程【导课】利用PPT显示平行四边形有哪此性质？边：平行四边形的( )角：平行四边形的( )对角线：平行四边形( )对称性：( )【多元互动合作探究】1、矩形的定义．播放PPT动画视频，演示活动平行四边形的的变化过程，当变化到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？引出本课题及矩形定义：( )平行四边形叫做( ) (通常也叫长方形)．2、探究矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形有一个角是( )的平行四边形,所以具有平行四边形的所有性质，课前也作了回顾。
我们是按照边、角、对角线三个元素去描述的。
使用PPT展示活动：猜猜看在操作过程中,请你思考下列问题:1、平行四边形变成矩形时，图形的内角有何特征？2、平行四边形变成矩形时，两条对角线的长度有什么关系？猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．通过和学生一起逐一探究得到矩形的性质，并让学生口述证明角：矩形的四个角都是直角对角线；矩形的对角线相等．对称性：【学例题知方法】（PPT课件显示）已知: 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O, ∠AOB=60°，AB= 4cm 。
初中数学人教版八年级-18.2_特殊的平行四边形_教学设计_教案(课件免费下载)
教学准备1. 教学目标知识与技能：探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。
数学思考：在研究矩形性质的过程中进一步发展空间观念，发展合情推理能力和演绎推理能力。
问题解决：初步体会在具体情境中从数学角度发现问题、提出问题情感态度：感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程。
2. 教学重点/难点教学重点：探索矩形的性质定理及应用。
教学难点：探索矩形的性质定理及应用;合理利用性质定理解决实际问题。
3. 教学用具课件4. 标签特殊的平行四边形教学过程一、精彩导入，明确目标。
演示：如图，固定平行四边形的一边，转动平行四边形，注意观察在转动的过程中，它还是平行四边形吗？这就是本节课我们将要学习的矩形。
（出示学习目标，生读）你能给矩形下个定义吗？你能说出矩形和平行四边形有什么联系吗？1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是一种特殊的平行四边形。
二、专题活动，探究思考。
1．矩形也是平行四边形，那么它具有平行四边形的性质吗？（1）两组对边分别平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）对称性：矩形是轴对称图形。
2．矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形所具备的特征外，你还能发现它具备哪些独有的特征？（学生小组合作探究）矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。
矩形性质定理2：矩形对角线相等。
提问：怎样证明你的猜想？（多媒体出示定理1、2的已知、求证，请同学分析思路，教师总结）3．你还能得出哪些结论？在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，图中有哪些相等的线段?沿对角线剪开之后，你能得出什么结论？学生活动：学生相互交流得出BO是Rt△ABC中斜边AC上的中线。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、典型例题，应用新知。
例1已知如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=600，AB=4cm，求矩形对角线的长。
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分.∴OA=OB.又∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形.∴OA=AB=4cm.∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=8cm变式1：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=4，则AC的长为________.变式2：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB:∠BOC=1:2，AB=4，则AC的长为________.变式3：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=8，则AB的长为________.四、回扣目标，总结收获对照目标，小组内部先轮流谈收获，再派代表总结。
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19.2.2菱形（1）
第三课时
教学目标
知识与技能：
理解菱形的概念，掌握菱形的性质．
过程与方法：
经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法．
情感态度与价值观：
培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审美观、价值观．
重难点、关键
重点：理解并掌握菱形的性质．
难点：形成合情推理的能力．
关键：把握平行四边形的概念，引伸到菱形定义，而后再研究菱形的性质．
教学准备
教师准备：教具：形如下面的示意图；矩形纸片，剪刀．图片．
学生准备：复习平行四边形内容，预习菱形内容P106～P108；收集有关生活中的菱形图片．剪刀和矩形纸片．
学法解析
1．认知起点：已学过平行四边形概念、性质、判定，•积累一定的推理方法和经验．2．知识线索：
现实情境
3．学习方式：观察、分析、合作交流．
教学过程
一、创设情境，操作感知
【活动方略】
活动素材：现实生活中的菱形图片（相片），实物等．
活动方式：分四人小组先在组内交流学生自己收集的有关菱形的图片，实物等．然后进行全班性交流．
活动目标：在教师的引导下，认识菱形，感受菱形的生活价值．
引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【操作感知】
活动教具：活动式木框，如下图:
活动过程：教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质．
【设计意图】让学生收集并在课堂上交流生活中的菱形图片，调动学生的求知欲，激发学生的探究意识，再通过教师的教具操作感受菱形的定义．
二、应用学具，探究新知
【活动方略】
问题牵引：请同学们拿出矩形纸片，对折两次，然后沿课本图19．2-8中虚线剪下，再
打开，看一看得到了什么图形？观察这个图形（菱形），它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴在什么位置上？你能找出图中相等的线段和角吗？
活动过程：教师使用投影仪，显示“问题牵引”后，和同学们一起进行实践操作，观察剪下来的图形是怎样的图形．实际上，学生很容易发现，剪下的一个图形是菱形．
学生活动：动手操作后发现：菱形是轴对称图形，对称轴就是它对角线所在的直线（两条）．从中利用轴对称图形的性质可和：
菱形性质：（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
教师提问：菱形的面积是怎样求得的呢？能有几种求面积的方法？ 学生活动：首先学生想到菱形也是平行四边形，因此，它可以利用菱形的底×菱形的高的方法求得面积，即S=BC ·h ．（右图）
引导观察：在教师的引导下，学生很快发现菱形的对角线将菱形切成4•个全等的直角三角形，以此可推出菱形的面积S=4×Rt △BOA=12
BD ·AC ，•即菱形面积也可以等于对角线乘积的一半．
【设计意图】充分地应用直观学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学习的热情．
三、范例点击，应用所学
例2 （投影显示）如图，菱形花坛ABCD 的边长为20m ，∠ABC=60°，•沿着菱形的对
角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m•和0.01m 2）．
思路点拨：（1）由于花坛是菱形的，要求对角线AC 和BD ．只要求出BO ，AO•即可，•而BO 、AO 又都在一个△ABO 中，因此，可以通过求出∠ABO=30°，得到AO=12
AB=10m ，•即AC=20，再应用勾股定理求出BD 值．（2）也可利用等边三角形来解决．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，•分析例2•，•引导学生把问题归结到利用直角三角形ABO 或等边三角形ABC 中去解决；先分析课本的解题方法，然后再启发学生从等边三角形的知识来求解．
学生活动：参与教师讲例2，提出不同的思路（1）利用直角三角形有关知识．（2）利用等边三角形有关知识．（1）方法见课本；（2）方法：由于菱形ABCD ，使得AB=AC ，又因为
∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，即AC=AB=20m，AO=10m，再应用勾股定理求BO．•求得
面积S=1
2
AC·BD≈346.4（m2）．
【设计意图】
采取启发式教学，发挥学生的潜能，培养一题多解的思想．
【合作交流】
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，且AC=6，BD=8，求菱形的高.
=6，BD=8，求菱形的高.
菱形具有平行四边形的所有性质，S菱表ABCD=BCh．①而菱形自身的特性使得S菱形
ABCD=1
2
AC·BD，②将①②联立可以求出h的值．
【活动方略】
教师活动：制作投影仪，组织学生讨论，请部分学生上台演示．
学生活动：先独立思考，再与同学交流；踊跃上台演示，从中理解两个菱形公式的应
用．1
2
×6×8＝5×h，h=
24
5
．
【设计意图】
补充这题题目的思想是对菱形的两个面积公式进行综合应用．
四、随堂练习，巩固深化
【课堂演练】
演练题1：如图，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，求证：AE=AF．（•用两种证法）
思路点拨：本题证法有四种，证法1：利用菱形性质证得∠B=∠D，AB=AD，BE=DF，再运用△ABE≌△ADF（SAS）可以证出AE=AF，证法2：连线AC，证△AEC≌△AFC（SAS）．【活动方略】
教师活动：板书“课堂演练题”，引导学生一题多证．请部分学生上台“演示”．
学生活动：课堂练习，然后上台演示自己的练习，同伴相互交流．
【课堂演练】
演练题2：
演练题3：求证：连结菱形四边中点所得的四边形是矩形（要求画出图形，•写出已知、求证，并证明）
五、课堂总结，发展潜能
1．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
2．菱形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．
（2）角的性质：对角相等．
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线．
六、布置作业，专题突破
1．课本
2．选用课时作业优化设计
七、课后反思
第三课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______．
2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________．
3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______．
4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______．
5．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）．
A．相等 B．互相垂直且不平分
C．互相平分且不垂直 D．垂直且平分
6．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形A BCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（）． A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm
【提升“学力”】
7．近几年，城市里流行一种新式的衣帽架，它是用木条构成的几个连续的菱形（•如图），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你能根据形状，说出它的好处和固定方法吗？
【聚焦“中考”】
8．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC•于点F，如果EF=4，那么CD的长为（）．
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF．（1）求证：△ABE≌△ADF．
（2）过点C作CG∥EA，交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC•的度数．
答案:
1．9.6cm 2．10cm 3．略 4．40° 140°
5．D 6．C 7．略 8．D 9．（1）略，（2）∠AHC=100°。