积分变换2011-2012(2)期末考试题
复变函数与积分变换期末考试题
哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010-2011 年 第一 学期）2011-01-04得分评卷人选择题（每小题2分，共10分）一、1、00Im Im limz z z z z z →-=- （ ）.Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在2、若0(1)n n n a z ∞=-∑在3z =发散，则它在 （ ）.A . 1z =-收敛 Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确3、已知函数212()1cos f z z z=--，则0z =，z =∞分别是()f z 的 （ ）.Ａ．二阶极点、孤立奇点 Ｂ．二阶极点、非孤立奇点 Ｃ．可去奇点、孤立奇点 Ｄ．可去奇点、非孤立奇点4、映射3z iw z i-=+在02z i =处的旋转角为 （ ）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π5、下列命题或论断中，正确的个数是 （ ）.I ：Ln z Ln z =Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别存在Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3得分评卷人填空题（每小题2分，共10分）二、6、设z i e i =，则Re z = .7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a .8、设函数cos ze z 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，则它的收敛半径为 .9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= .10、设1()(1)F s s s =-，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人计算题Ⅰ（每小题5分，共25分）三、11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？12、设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，且22()(4)u v x y x xy y -=-++，求()f z .13、计算积分()n Cz z dz +⎰，其中:1C z =为负向，n 为整数.14、计算积分(21)(2)C zdzz z +-⎰，其中:3C z =为正向.15、利用留数定理计算定积分201cos d πθθ+⎰.得分评卷人计算题Ⅱ（每小题6分，共18分）四、16、求函数23()32z f z z z -=-+在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：(1) 圆1z <内；(2) 环12z <<内；(3) 环11z <-<∞内.17、设2321sin (),:32C e f z d C z iz ξξξξπξξ=-=-⎰正向，试求：(1) ()f z 在复平面上除去3z =的点处的函数表达式； (2) ()f i '及()f i π.18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.(1) Z 平面阴影部分是角形区域/6arg /6z ππ-<<，如下图所示。
积分变换 考试试题
2、已知单位阶跃函数 的傅氏变换为 ，则 的傅氏变换为。
3、若 ，则 的傅氏变换为 =；其拉氏变换为 =。
4、若 ，则 ； ，并利用此性质求 。
5、 ________________。
6、 =_____________________ 。
二、计算题（共70分）
1、已知 ，（10分）
（1）求 的傅氏变换及其积分表示；
天津大学试卷专用纸
学院专业班年级学号姓名共3页第1页
2007～2008学年第二学期期末考试试卷
《积分变换》（共3页）
（考试时间：2008年4月22日）
题号
一
二
最后成绩
核分人签字
得分
一、填空题（共30分，每空格3分）
1、如果函数 在 上有定义，并且满足傅氏积分定理的条件，则 的傅氏积分公式为 =； 的傅氏变换为 =
（2）用上面的结果证明 。
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学院专业班年级学号姓名共3页第2页
2、求积分 。（10分）
3、设 是以 为周期的函数，且在一个周期内的表达式为 ，
求 。（10分）
4、求下列函数的拉氏逆变换：（15分）
（1） ；（2） ；（3） 。
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学院专业班年级学号姓名共3页第3页
5、求解下列微分积分方程的解：（15分）
（1） ；
（2） 。
6、叙述并证明拉氏卷积定理，并应用其求 。（10分）
天津大学试卷专用纸
《积分变换》复习卷
《积分变换》复习卷一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ）B A.arctan12B.-arctan12C.π-arctan 12D. π+arctan 122.复数z=--355(cos sin )ππi 的三角表示式为（ ）C A.-+34545(cos sin )ππi B.34545(cos sin )ππ-i C. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi3.复数e 3+i所对应的点在（ ）A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限4.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ）AA.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<25.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）CA.1B.2πiC.0D.12πi6.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）DA.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +17.幂级数z n n n -=∞∑11!的收敛区域为（ ）BA.0<|z|<+∞B.|z|<+∞C.0<|z|<1D.|z|<18.z=-1是函数cot ()πz z +14的（ ）C A.3阶极点 B.4阶极点 C.5阶极点D.6阶极点9.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)=Q z z z ()()-1，则Res[f(z),0]等于（ ）B A.Q(0)B.-Q(0)C.'Q ()0D.-'Q ()010.映射w=z 2+2z 在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ）A A.|z+1|>12B.|z+1|<12C.|z|>12D.|z|<12二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11.复数z=4+48i 的模|z|= .8 12.设z=e 2+i ，则argz= .113.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为 .双曲线 14.设z=cosi ，则Imz= .015.积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z zdz C+⎰12等于 .--2πi16.函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C()()-+⎰1等于 .2πi n f a n !()()17.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于 .018.方程lnz=π3i 的解为 . 3),31(21πi e i 或+19.设C为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2. -+2ππ()i20.级数n nz nn n !=∞∑1的收敛半径为 . e三、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21.=x 2+2xy -y 2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 解：∂∂∂∂u x x y u yx y =+=-2222,, 由C -R 条件，有∂∂∂∂v y u x =，∂∂∂∂v x uy=-，∴ v vydy x y dy xy y x ==+=++⎰⎰∂∂ϕ()()2222. 再由∂∂ϕ∂∂v x y x x y uy=+'=-+=-222()，得'=-=-+ϕϕ(),(),x x x x C 22于是 ∴ v=2xy+y 2-x 2+C. 由v(0,0)=1, 得C=1. 故v=2xy+y 2-x 2+1.22.函数f(z)=ed z -⎰ζζ20在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.解：因为f ˊ(z)=ez -2=()!()!(||)-=-<+∞=∞=∞∑∑z n n z z nn n n n2021， 所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得 f(z)='=-++=∞∑⎰f d n z n n n n z()()!ζζ12121（||z <+∞）.23.留数求积分I=cos x x x dx 42109+++∞⎰的值.解：在上半平面内，f(z)=e z z iz()()2219++有一阶极点z=i 和z=3i.∵I=121912192222cos ()()Re()()xx x dx e x x dx ix++=++-∞+∞-∞+∞⎰⎰=12223Re{Re [(),]Re [(),]},ππi s f z i i s f z i +Res[f(z),i]=116ei, Res[f(z),3i]=-1483e i,∴ I e e =-π483132().24.面上的区域为D ：|z+i|>2，|z -i|<2，试求下列保角映射： （1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面上的角形域D 1：π4<argw 1<34π；（2）w 2=f 2(w 1)把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：0<argw 2<π2；（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0； （4）w=f(z)把D 映射成G. 解：（1）由||||z i z i +=-=⎧⎨⎪⎩⎪22解得交点z 1=1,z 2=-1.设w 1=z z -+11，则它把D 映射成W 1平面上的D 1：ππ4341<<arg .w （2）设w 2=ew i -π41,则它把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：022<<arg .w π（3）设w=w 22，则它把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0. （4）w=()().ez z i z z i -⋅-+=--+π4221111****************学院继续教育学院《积分变换》期终试卷（B 卷）班级 *********** 姓名 学号 得分一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1．方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ）D A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线2．设z=cosi ，则（ ）A A.Imz=0 B.Rez=π C.|z|=0D.argz=π3.w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ）BA.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,,C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,,4.函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C()()-+⎰1等于（ ）DA.211πin f a n ()!()()++ B.2πin f a !() C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()5.C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ）AA.0B.2πiC.2πD.-2π6.积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C+⎰12等于（ ）CA.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi7.π3是函数f(z)=sin()z z --ππ33的（ ）B A.一阶极点 B.可去奇点C.一阶零点D.本性奇点8.级数()!()!n n z n n+=∞∑120的收敛半径为（ ）D A.0 B.1 C.2D.+∞9.下列积分中，积分值不为零的是（ ）D A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=210.下列影射中，把角形域0<argz<π4保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）C A.w=z z 4411+- B.w=z z 4411-+ C.w=z i z i44-+D.w=z i z i44+-二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）11.z=(1+i)100，则Imz= .0 12.复数z=1625825-i 的辐角为 .-arctan 1213.复数z=--355(cos sin )ππi 的三角表示式为 .34545(cos sin )ππ+i 14.复数e 3+i 所对应的点在 .第一象限15.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域 .0<argw<23π，0<|w|<416.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于 .017.f(z)=z 2的可导处为 .018.为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C+=⎰ . 4πi19.为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰z d C，其中|z|<2，则'=f ()1 . ππππ23233i i ,cos或⋅20.f(z)=1111115zz z [()]+++⋅⋅⋅++在点z=0处的留数为 .6 三、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21.积分I=z zz dz C +⎰||的值，其中C 为正向圆周|z|=2.解：z z z dz zdz i i d CC +==⋅+-⎰⎰⎰||Re cos (cos sin )12222θθθθππ=4i (cos ).1240+=⎰θθππd i22.积分I=e z i z i dz zCπ()()-+⎰223的值，其中C 为正向圆周|z -1|=3.解：因在C 内f(z)=e z i z i zπ()()-+223有二阶极点z=i ，所以f z dz i ddzz i f z z i C()!lim[()()]=-→⎰212π =232323ππππi ez i ez i z iz z lim[()()]→+-+=ππ1612().-+i 23.利用留数求积分I=cos x x x dx 420109+++∞⎰的值.解：在上半平面内，f(z)=e z z iz()()2219++有一阶极点z=i 和z=3i.∵I=121912192222cos ()()Re()()xx x dx e x x dx ix++=++-∞+∞-∞+∞⎰⎰=12223Re{Re [(),]Re [(),]},ππi s f z i i s f z i + Res[f(z),i]=116ei, Res[f(z),3i]=-1483e i,∴ I ee =-π483132().24.设Z 平面上的区域为D ：|z+i|>2，|z -i|<2，试求下列保角映射： （1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面上的角形域D 1：π4<argw 1<34π；（2）w 2=f 2(w 1)把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：0<argw 2<π2；（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0； （4）w=f(z)把D 映射成G. 解：（1）由||||z i z i +=-=⎧⎨⎪⎩⎪22解得交点z 1=1,z 2=-1.设w 1=z z -+11，则它把D 映射成W 1平面上的D 1：ππ4341<<arg .w （2）设w 2=ew i -π41,则它把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：022<<arg .w π（3）设w=w 22，则它把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0. （4）w=()().ez z i z z i -⋅-+=--+π4221111。
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
复变函数与积分变换期末试题附有答案
复变函数与积分变换期末试题一．填空题每小题3分,共计15分1．231i -2.)1(i Ln +-的主值是；3. 211)(z z f +=,=)0()5(f 0 ,4．0=z 是 4sin z zz -的一级 极点；5． z z f 1)(=,=∞]),([Re z f s -1 ；二．选择题每题3分,共15分1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为 ；A y x iu u z f +=')(；B y x iu u z f -=')(；C y x iv u z f +=')(；D x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ,则0d )(=⎰C z z f ． A 23-z ； B 2)1(3--z z ； C 2)2()1(3--z z ；3．如果级数∑∞=1n nn z c 在2=z 点收敛,则级数在A 2-=z 点条件收敛 ；B i z 2=点绝对收敛；C i z +=1点绝对收敛；D i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是A 如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析；C 如果0)(=⎰C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；D 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是 ．A 的可去奇点；为z1sin ∞ B 的本性奇点；为z sin ∞C ;1sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题每小题10分,共40分1．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析,由C-R 条件,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分;2．计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程 因为函数zz e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ,分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e 无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分;3．⎰=++3342215d )2()1(z z z z z 解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3<z 内,由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----5分]1)1([Re 22zz f s i π= ----8分 ⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------10分 4函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点,如果有极点,请指出它的级.解 ：∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π1的三级零点，）为（032103=±±±==z k k z πsin ,,,,, 2的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±==3的一级极点，为)(3z f z =4的三级极点；，为)(4,3,2z f z±-= 5的非孤立奇点。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案
一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（ 一级 ）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换期末试题(附有答案)
复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是；2.)1(i Ln +-的主值是（）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ）y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ；3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C);1sin 1的孤立奇点为z∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
微积分2答案完整版
知识点：积分收敛性，中。
4．
答案：C
学霸解析：
可微
可微
可微
知识点：二元函数可微性，中。
5．
答案：C
学霸解析
知识点：求原函数，中。
三、计算题（共8题，每题6分，满分48分）
1．答案：
学霸解析：令
则
知识点：求定积分，中。
2．答案：
学霸解析：
3．
解：
知识点：二重积分，中。
4．
答案：
学霸解析：
二 、
1答案：A
学霸解析： 为偶函数, 为奇函数,且 有意义,则 是偶函数。
知识点：组合函数，易。
2、
答案：B
学霸解析：若函数 在 处不可导，则 在 处一定不可微。
知识点：可导和可微积，易。
3、
答案：D
学霸解析：收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是 .
知识点：二重求导，中。
4、
答案：B
学霸解析：
考查知识点：敛散性
(2)答案：
学霸解析：
考查知识点：级数收敛的函数
六、
答案：480
学霸解析：
考查知识点：求导运用
七、
答案：2/15
学霸解析：
考查知识点：双边求导
八、
1．答案：
右式
=左式
2.答案：
① 在（a,b）上恒成立
由于f（x）-x在（a，b）上连续
可知
故只能有f（x）=0
② 在（a,b）上恒成立
考查知识点：间断点
3.答案：B
学霸解析：可微的定义
考查知识点：可微的定义
4.答案：D
学霸解析：R(Q)导数减去C（Q）导数为0点为题目所求点
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案(1)
«复变函数与积分变换»期末试题（A)一．填空题(每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是( ）；2.)1(iLn+-的主值是（）；3。
211)(zzf+=,=)0()5(f（）;4．0=z是4sinzzz-的（）极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs（ )；二．选择题(每小题3分,共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；(A）yxiuuzf+=')(; （B）yxiuuzf-=')(;（C)yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(。
2．C是正向圆周3=z,如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B）2)1(3--zz; （C）2)2()1(3--zz; (D)2)2(3-z。
3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在(A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；(C ）i z+=1点绝对收敛； (D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( ）（A)如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； （B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C)如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．（A ） 的可去奇点；为z1sin ∞（B ） 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分)（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ; （3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点?，如果有极点，请指出它的级。
复变函数与积分变换期末考试试卷(A卷)
复变函数与积分变换期末考试试卷（A 卷）一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第四象限的复数是（ ）A. 4+3iB. -3-3iC.-1+3iD.5-3i 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） A. z·z =Re (z·z ).arg(3)arg()B i i -=-.rg(3)arg(3)C A =2.||D z z z ⋅=3．不等式 ||3z > 所表示的区域为（ ） A. 圆的外部B.上半平面C. 角形区域D.圆的内部4．积分||322z dz z =-⎰Ñ的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +.sin z B z e + .tan z C z e + .Re()sin D z z +6．在复平面上，下列命题中，错误．．的是（ ）A. cosz 是周期函数B. ze 是解析函数.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze =成立的是（ ）.ln 224iA z i ππ=++.ln 424iB z i ππ=++.ln 22C z i π=+.ln 42D z i π=+8．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 cos z c e dz z ⎰Ñ等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 9．设C 为正向圆周||2z =, 则21(1)C dz z i --⎰Ñ等于（ ）A.i21π B. 0 C.i 2πD.2i π-10．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C.级数01(1)2n n n i n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑是收敛的D.级数212n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是收敛的11．已知31z i =+，则下列正确的是（ ）12.iA z π=34.iB z eπ=712.i C z π=3.iD z π=12．下列关于幂级数的叙述，不正确 的是（ ）A.在收敛圆内，幂级数绝对收敛B.在收敛圆外，幂级数发散C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散D.在收敛圆周上，条件收敛13．0=z 是函数sin ze z z的（ ）A.本性奇点B.一级极点C.二级极点D.可去奇点14．cos z zz π-在点 z π= 处的留数为（ ） A. π-.B πC.1D. -115．关于0Im lim z zzω→=下列命题正确的是（ ）A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D. 1ω=二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16.sincos 33z i ππ=+复数的三角形式为____________. 17. 已知22()()()f z x ay x i bxy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =3zt te dt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(-1)z n∞=∑的收敛半径为_______.20.设121,1z i z =-+=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到2＋3i 的直线段，计算积分[(2)]CI x y ixy dz =-+⎰22. 设2()cos 4ze f z z z=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为泰勒级数.24. 将函数112()(1)z ef z z -=-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25．已知22(,)2u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)2f i =。
2011年复变函数与积分变换试题及答案(A卷)
2011～2012学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷)院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2011年11月28日 考试时间: 晚上7:00~9:30一、填空题 (每题3分，共24分)1．设31)1(-=z ，则z 的模为 ，z 的辐角主值]),((ππθθ-∈分别为 ．2．)21ln(i +的值为 ，)2cos(i 的值为 ．3.函数i y x z f 322)(+=在i z -=31处是否可导？__________，在i z 322+=处是否可导？________.4.级数∑∞=12n n n n i 是否收敛？_____，级数∑∞=12n nn n i 是否收敛？_____.5.函数)9(1)(2z z z f -=在i z +=1点展成泰勒级数的收敛半径为 ．6.0=z 为函数zz z f sin 1)(-=的____ 阶极点.7.在映射z z z f +=2)(下，i z 2210+-=处的旋转角为_________，f (z )在复平面上除去=z _________的点外处处保角.8．已知)]()([)(00ωωδωωδπω-++=F 为)(t f 的傅氏变换，则)(t f =_________.二、计算题 (每题5分，共20分)1．⎰=2||d cos z z zz2．⎰=-3||2d )1(sin z z z z zπ3．⎰+202sin 311πθθd4．x a x bxx d sin 022⎰∞++(a >0,b >0)三、(8分) 验证224),(x y xy y x v -+= 是调和函数，并求满足条件i f -=2)1(的解析函数v i u z f +=)(．四、(12分)将函数)3)(1(1)(2--=z z z z f 在z 0=0点展开为洛朗(Laurent)级数．五、(8分)求上半平面在映射iz iw +=2下的像.六、(10分)求将半带形域}0Re ,2πIm 0:{<<<=z z z D 映射到单位圆内部的保形映射．七、(12分)利用Laplace变换求解微分方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==-+=-=-+-1)0(,3)(2)(3)('1)0(,)()()('2y e t y t x t y x e t y t x t x t t八、(6分)已知函数)(ξf 在R ≤ξ上解析，设|z|<R ，证明:)(')(2d ))()()((212||22z f z f z R f z z f iR =---⎰=ξξξξξπξ2011—2012年《复变与积分》试卷答案（A 卷）一、填空1. 1 πππ,3,3-2. i 4π 222e e +-3. 是 否4. 是（收敛） 否（发散）5. 26. 37.2π 21-8. tw 0cos 二、计算题1.⎰=dz zzz cos 2解：z z cos 在2=z 内有两个简单极点21π=z ，22π-=z 2sin 2,cos Re 2πππ-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=z zz z z s （2′）2sin 2,cos Re 2πππ-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=z zz z zs （2′）故⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2,cos Re 2,cos Re 2cos 2πππz zs z z s i dz z z zi i 22)22(2ππππ-=--=（1′）2.dz z z zz 23)1(sin -⎰=π解：2)1(sin -z z zπ在3=z 内有2个奇点，1,021==z z ，由于πππππ=-→⋅→=-→22)1(0lim sin 0lim )1(sin 0lim z z z z z z z z z 故01=z 为2)1(sin -z z xz 的可去奇点，00,)1(sin Re 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-z z z s π12=z 是z πsin 的1阶零点，是2)1(-z z 的2阶零点，故1是2)1(sin -z z zπ简单极点。
复变函数与积分变换期末考试-11-12-1-A-试题&答案
京
交
通
大
学
2011-2012 学年第二学期《复变函数与积分变换》期末考试卷（A 卷）
（参考答案）
学院
专业
班级
学号
题 得 号 分 一 二
姓名
三 四 总分
阅卷人
一、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
1. 复数 i 的指数形式为____ e 2.
i
2 k 2
______。
ln(3i)
2
π ln 3 i 2
。
3. 级数 1 z z
zn
的和函数的解析域是
| z |1
。
4.
1 e2 z 1 e2 z 4 z 0 是 4 的 3 阶极点， Re s[ 4 , 0] 。 z 3 z
2
5. 在映射 w z i z 下， z i 处的旋转角为__
（8 分）
由于 f (i) 2i ，得 c 1 （9 分） ， f ( z ) (4 xy y 1) i(2 x 2 y x) （10 分）
2.
2
z
z z 1 e dz z 1
2 1 1 2 ( ) z 1 2! z 1
2
e z 1 1
v y 4 y u x , u 4 xy c( y) ， v x (4 x 1) u y , (4 x 1) 4 x c( y)
c( y) 1, c( y) y c
u( x, y) 4 xy y c
2 2
我们有，
1 1 1 z 3 z 1 z1 3! 5! 7!
z =0为f ( z )的三阶极点, 1 Re s[ f ( z ),0] . 5!
《积分变换》复习卷
《积分变换》复习卷一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ）B A.arctan12B.-arctan12C.π-arctan 12D. π+arctan 122.复数z=--355(cos sin )ππi 的三角表示式为（ ）C A.-+34545(cos sin )ππi B.34545(cos sin )ππ-i C. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi3.复数e 3+i所对应的点在（ ）A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限4.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ）AA.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<25.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）CA.1B.2πiC.0D.12πi6.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）DA.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +17.幂级数z n n n -=∞∑11!的收敛区域为（ ）BA.0<|z|<+∞B.|z|<+∞C.0<|z|<1D.|z|<18.z=-1是函数cot ()πz z +14的（ ）C A.3阶极点 B.4阶极点 C.5阶极点D.6阶极点9.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)=Q z z z ()()-1，则Res[f(z),0]等于（ ）B A.Q(0)B.-Q(0)C.'Q ()0D.-'Q ()010.映射w=z 2+2z 在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ）A A.|z+1|>12B.|z+1|<12C.|z|>12D.|z|<12二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11.复数z=4+48i 的模|z|= .8 12.设z=e 2+i ，则argz= .113.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为 .双曲线 14.设z=cosi ，则Imz= .015.积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z zdz C+⎰12等于 .--2πi16.函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C()()-+⎰1等于 .2πi n f a n !()()17.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于 .018.方程lnz=π3i 的解为 . 3),31(21πi e i 或+19.设C为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2. -+2ππ()i20.级数n nz nn n !=∞∑1的收敛半径为 . e三、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21.=x 2+2xy -y 2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 解：∂∂∂∂u x x y u yx y =+=-2222,, 由C -R 条件，有∂∂∂∂v y u x =，∂∂∂∂v x uy=-，∴ v vydy x y dy xy y x ==+=++⎰⎰∂∂ϕ()()2222. 再由∂∂ϕ∂∂v x y x x y uy=+'=-+=-222()，得'=-=-+ϕϕ(),(),x x x x C 22于是 ∴ v=2xy+y 2-x 2+C. 由v(0,0)=1, 得C=1. 故v=2xy+y 2-x 2+1.22.函数f(z)=ed z -⎰ζζ20在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.解：因为f ˊ(z)=ez -2=()!()!(||)-=-<+∞=∞=∞∑∑z n n z z nn n n n2021， 所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得 f(z)='=-++=∞∑⎰f d n z n n n n z()()!ζζ12121（||z <+∞）.23.留数求积分I=cos x x x dx 42109+++∞⎰的值.解：在上半平面内，f(z)=e z z iz()()2219++有一阶极点z=i 和z=3i.∵I=121912192222cos ()()Re()()xx x dx e x x dx ix++=++-∞+∞-∞+∞⎰⎰=12223Re{Re [(),]Re [(),]},ππi s f z i i s f z i +Res[f(z),i]=116ei, Res[f(z),3i]=-1483e i,∴ I e e =-π483132().24.面上的区域为D ：|z+i|>2，|z -i|<2，试求下列保角映射： （1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面上的角形域D 1：π4<argw 1<34π；（2）w 2=f 2(w 1)把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：0<argw 2<π2；（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0； （4）w=f(z)把D 映射成G. 解：（1）由||||z i z i +=-=⎧⎨⎪⎩⎪22解得交点z 1=1,z 2=-1.设w 1=z z -+11，则它把D 映射成W 1平面上的D 1：ππ4341<<arg .w （2）设w 2=ew i -π41,则它把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：022<<arg .w π（3）设w=w 22，则它把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0. （4）w=()().ez z i z z i -⋅-+=--+π4221111****************学院继续教育学院《积分变换》期终试卷（B 卷）班级 *********** 姓名 学号 得分一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1．方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ）D A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线2．设z=cosi ，则（ ）A A.Imz=0 B.Rez=π C.|z|=0D.argz=π3.w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ）BA.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,,C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,,4.函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C()()-+⎰1等于（ ）DA.211πin f a n ()!()()++ B.2πin f a !() C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()5.C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ）AA.0B.2πiC.2πD.-2π6.积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C+⎰12等于（ ）CA.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi7.π3是函数f(z)=sin()z z --ππ33的（ ）B A.一阶极点 B.可去奇点C.一阶零点D.本性奇点8.级数()!()!n n z n n+=∞∑120的收敛半径为（ ）D A.0 B.1 C.2D.+∞9.下列积分中，积分值不为零的是（ ）D A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=210.下列影射中，把角形域0<argz<π4保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）C A.w=z z 4411+- B.w=z z 4411-+ C.w=z i z i44-+D.w=z i z i44+-二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）11.z=(1+i)100，则Imz= .0 12.复数z=1625825-i 的辐角为 .-arctan 1213.复数z=--355(cos sin )ππi 的三角表示式为 .34545(cos sin )ππ+i 14.复数e 3+i 所对应的点在 .第一象限15.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域 .0<argw<23π，0<|w|<416.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于 .017.f(z)=z 2的可导处为 .018.为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C+=⎰ . 4πi19.为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰z d C，其中|z|<2，则'=f ()1 . ππππ23233i i ,cos或⋅20.f(z)=1111115zz z [()]+++⋅⋅⋅++在点z=0处的留数为 .6 三、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21.积分I=z zz dz C +⎰||的值，其中C 为正向圆周|z|=2.解：z z z dz zdz i i d CC +==⋅+-⎰⎰⎰||Re cos (cos sin )12222θθθθππ=4i (cos ).1240+=⎰θθππd i22.积分I=e z i z i dz zCπ()()-+⎰223的值，其中C 为正向圆周|z -1|=3.解：因在C 内f(z)=e z i z i zπ()()-+223有二阶极点z=i ，所以f z dz i ddzz i f z z i C()!lim[()()]=-→⎰212π =232323ππππi ez i ez i z iz z lim[()()]→+-+=ππ1612().-+i 23.利用留数求积分I=cos x x x dx 420109+++∞⎰的值.解：在上半平面内，f(z)=e z z iz()()2219++有一阶极点z=i 和z=3i.∵I=121912192222cos ()()Re()()xx x dx e x x dx ix++=++-∞+∞-∞+∞⎰⎰=12223Re{Re [(),]Re [(),]},ππi s f z i i s f z i + Res[f(z),i]=116ei, Res[f(z),3i]=-1483e i,∴ I ee =-π483132().24.设Z 平面上的区域为D ：|z+i|>2，|z -i|<2，试求下列保角映射： （1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面上的角形域D 1：π4<argw 1<34π；（2）w 2=f 2(w 1)把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：0<argw 2<π2；（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0； （4）w=f(z)把D 映射成G. 解：（1）由||||z i z i +=-=⎧⎨⎪⎩⎪22解得交点z 1=1,z 2=-1.设w 1=z z -+11，则它把D 映射成W 1平面上的D 1：ππ4341<<arg .w （2）设w 2=ew i -π41,则它把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：022<<arg .w π（3）设w=w 22，则它把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0. （4）w=()().ez z i z z i -⋅-+=--+π4221111。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准«复变函数与积分变换»期末试题（A ）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ）；4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
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3.利用Fourier变换求解 ,其中 。
4.利用Laplace变换求常系数微分方程 ，在初始条件
下的解。
五.证明题（每小题10分）
1.若ℐ ， 为非零常数，证明(相似性质)：
ℐ 。
2.利用卷积定理证明ℒ-1[ ]= 。
天津工业大学（2011—2012学年第二学期）
《积分变换》试卷（2012.6）
特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有五道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。
满分
24
12
12
32
20
总分
复核
题目
一
二
三
四
五
ห้องสมุดไป่ตู้得分
评阅人
一.填空题（每空3分）
1.ℐ ______________；
2.ℐ ______________；
3.设 ，其中 .求其函数的频谱为____________；
4.设ℐ ，则ℐ ________________；
5.ℒ _______________；
6.若 ，则 ________________；
7.设 ，则ℒ ______________；
8. _____________。
二.计算题（每小题6分）
1.求函数 的Fourier积分表达式。
2.若函数 ，其中 ，求ℐ 。
三.计算题（每小题6分）
1.设 是以 为周期的函数，且在一个周期内的表达式为
，求ℒ 。
2.求解：ℒ-1[ ]。
四.应用题（每小题8分）
1.利用象函数的导数公式，求 的Fourier变换。