05高代
05式坦克
05式坦克05式坦克05式坦克与99A2式三代半坦克相比，有了质的飞跃。
05式坦克已经不能再简单地认为是一辆坦克，而是一个超级陆战攻击平台除了坦克炮，还配备了精准防空导弹和非致命激光武器等。
05式超级坦克是解放军最新型主战坦克，具备优异的隐身防弹外型，其炮塔和车体均采用加强型复合装甲，抗弹能力成倍提高，是解放军装甲师和机步师未来的主要地面突击力量，被称为中国的超级陆战王牌,号称是世界第一的第四代主战坦克。
该坦克战斗全重55吨，炮口向前时全长10米，车长7.6米，宽3.5米，高2.37米，最大公路速度100千米/小时，0-60公里加速时间为10秒钟。
解放军05式超级主战坦克，装有一门口径为国产152毫米高膛压滑膛坦克炮，它装备三种弹种，分别是新型尾翼稳定脱壳穿甲弹、新型破甲弹、炮射导弹。
发射尾翼稳定脱壳穿甲弹时初速为1950米/秒，直射距离3200米，对均质装甲的穿甲厚度900毫米以上，发射破甲弹时初速1500米/秒。
该炮装有性能可靠的自动装弹机，火炮射速可达12发/分。
使用钨合金尾翼稳定脱壳穿甲弹时，可在2000米距离上击穿1950毫米的均质装甲，而使用特种合金穿甲弹时，同距离穿甲能力达1000毫米以上，该炮还能发射我国最新研制的152毫米口径炮射制导导弹，该导弹最大射程17.8公里，最大破甲深度900毫米，辅助武器：12.7毫米三管全自动高射机枪一挺，[备弹800发]；7.62毫米并列机枪，[备弹3500发]；炮弹基数50发；炮塔两侧各有7个92MM烟幕弹发射器，计划安装ECS电磁迷彩系统。
05式坦克的火控系统先进，装有第5代“天眼”双向稳定歼击系统，可对高速的移动目标进行准确射击，命中率95%，采用自主研发的夜视仪，可照射0.1-8公里外的目标，清晰度极高。
中国2005式主战坦克已公开露面，其技术性能肯定是广大军迷朋友们揣测的一个焦点，对于中国2005式主战坦克，在世界第四代主战坦克中的正确定位也应该成为议论的话题。
《高等代数》第二章习题及答案
习题2.11. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有哪几个？A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答 只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-922147117②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛213321=()11④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0713********=()111813⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x=233323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++3. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2③ (AB)T ④ A T B T解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4040002062223101312131013121 ② A 2-B 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121③ (AB)T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9643946331013121TT④ A T B T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121TT 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011可交换的矩阵． 解 设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c c b a a d cd b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+dc d c c b a d b ac a解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．证 已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．6. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k．解A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a bA 3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kabb b a b b ab k b 112100)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．） 解 不能．例如令B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．证 充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换． 证 因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．习题2.21.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．证 已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．证 设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)=P β，说明X (1)也是PAX=P β的解．反之，设X (2)是PAX=P β的任一解，即有PAX (2)=P β成立，两边左乘矩阵P -1，得P -1 (PAX (2))= P -1 (P β)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有AX (2)=β，这说明X (2)也是AX=β的解．综合以上可知，线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．3.设P 是n ×n 可逆矩阵，C 是n ×m 矩阵．证明：矩阵方程PX=C 有唯一解．证 令X *=P -1C ，代入PX=C 中验证知X *是矩阵方程的一个解．反之，设X (1)是矩阵方程PX=C的任一解，即有PX (1)=C 成立，两边左乘P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程PX=C 有唯一解．4. 设A 是n ×n 可逆矩阵，且存在一个整数m 使得A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+…+A m-1．证 由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m =E-A m=E-0=E显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知(E-A)-1=E+A+…+A m-1．5.设P ，A 都是n ×n 矩阵，其中P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP)m =P -1A mP ．证 (P -1AP)m =(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE …AP=P -1A m P6. 设A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A -1+B -1？若不是，试举出反例．解 如果A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001都是可逆的，但A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000是不可逆的． 如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B)-1=A -1+B -1．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001，则A ，B 可逆，A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2002可逆，且(A+B)-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2/1002/1，但A -1+B -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002．显然(A+B)-1≠A -1+B -1．7*.设A ，B 都是n ×n 矩阵，满足ABA=A ，β是n ×1矩阵．证明：当且仅当AB β=β时，线性方程组AX=β有解．证 当AB β=β时，记X *=B β，即X *是AX=β的一个解．反之，若线性方程组AX=β有解，设X (1)是它的一个解，即有AX (1)=β，两边左乘(AB)得(ABA)X (1)=AB β用已知条件ABA=A 代到上式左边得AX (1)=AB β 由于X (1)是AX=β的一个解，即AX (1)=β，所以AB β=β．习题2.31.用行和列的初等变换将矩阵A 化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000E 的形式： A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030140300400001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---04000100301403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000040001403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000040000003000001→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010000010000012.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵：①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----134112112 ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----153132543 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100134010112001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102110011200001112→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011200102110001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02/12/110012/12/301002/12/1012→ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/3010112002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/30102/12/11001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/112/12/32/12/11②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100153010132001543→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------101610013/23/73/10001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---131100032710001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------13110071850105154043 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1311007185010338724003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131100718501011298001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1317185112982.解下列矩阵方程：①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111152X ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111201021121101X ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X解 ①⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111152→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11521111→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---33701111 →⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7/37/3107/47/401 由此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7/37/37/47/4X ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101021111121201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---302120112220201101 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----414300112220201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/43/13/41006/56/13/10103/23/13/1001 由此得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/43/13/46/56/13/13/23/13/1X ③对等式两端分别转置得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233141*********T X 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231013111141122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231014112231111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---520102330031111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---233005201031111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3/21100520103/70011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3/21100520103/82001 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/21523/82TX⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020102B ，又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程AX 2B=XB ，求矩阵X ．解 (B,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110010020001102→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10011002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1010002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/1001012/11002 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/100102/14/12/1001 从以上看出B 可逆，对AX 2B=XB 两边右乘B -1得AX 2=X ．已知X 可逆，对AX 2=X 两边右乘B -1得AX=E ．又(A,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101010111100001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111100101010001001 所以 X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111010015.①证明：B 与A 行等价⇔存在可逆矩阵P ，使B=PA ．②证明：B 与A 等价⇔存在可逆矩阵P 与Q ，使B=PAQ ．证 若B 与A 行等价，即A 可经有限次初等行变换得到B ，而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对A 依次左乘初等方阵P 1，P 2，…，P K ，使P k …P 2P 1A=B令P=P k …P 2P 1，则P 是可逆矩阵，且B=PA ．反之，若存在可逆矩阵P ，使B=PA ，因为可逆矩阵P 可以写成一系列初等方阵P 1,P 2, …,P k的乘积，即P=P 1P 2…P k ，从而有B=P 1P 2…P k A ，说明A 可经有限次初等行变换得到B ，即B 与A 行等价．② 若B 与A 等价，即对A 经过有限次初等变换得到B ．而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初等方阵．假设对A 左乘的初等方阵依次为P 1，P 2，…，P s ，对A 右乘的初等方阵依次为Q 1，Q 2，…，Q t ，使P s …P 2P 1AQ 1Q 2…Q t =B令P=P s …P 2P 1，Q=Q 1Q 2…Q t ，则P ，Q 都是可逆矩阵，且B=PAQ ．反之，若存在可逆矩阵P 和Q ，使B=PAQ ，因为可逆矩阵P 和Q 均可以写成一系列初等方阵的乘积，设P=P 1P 2 …P s ，Q=Q 1Q 2…Q t ，这里P i ,Q i 都是初等方阵，从而有B=P 1P 2…P k A Q 1Q 2…Q t ，说明A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到B ，即B 与A 等价． 6*.设A 是s ×n 矩阵，B 是s ×m 矩阵，B 的第i 列构成的s ×1矩阵是βj （j=1,2,…,m ）．证明：矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解．证 先证必要性．如果矩阵方程AX=B 有解，设X *是它的解，则X *是n ×m 矩阵，记X *的第j 列为X *j ，根据矩阵先相乘的规则知，A 与X *j 相乘的结果是βj ，即X *j 是AX=βj 的解（j=1,2,…,m ）．再证充分性．若AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解，设X *j 是AX=βj 的解，这里X *j 是n ×1矩阵，令X *=(X *1, X *2,…,X *m )，则X *是n ×m 矩阵，且X *是矩阵方程AX=B 的解． 7*.设A=(a ij )是n ×n 矩阵．①证明：如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②设B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，设l ≠k ．证明：如果P n (l,k)B=BP n (l,k)，b l =b k ．③证明：如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵．证 ①如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则A 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (h(2))A 表示将矩阵A 的第h 行每个元素乘以2得到的矩阵；等式右端的AP n (h(2))表示将A 的第h 列每个元素乘以2得到的矩阵．从等式可知2a hj = a hj （j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），a ih =2a ih （i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），从而得a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②如果P n (l,k)B=BP n (l,k),则B 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (l,k)B 表示将矩阵B 的第l 行和第k 行交换位置；等式右端的BP n (l,k) 表示将矩阵B 的第l 列和第k 列交换位置．由于B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，且l ≠k ，不妨设l<k ，则有P n (l,k)B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n l k b b b b 001=BP n (l,k)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k lb b b b001比较对应元素，可知b l =b k ．③如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，在①中分别令h=1,2,…,n ，可知A 除对角线上元素以外其它元素都是零，即A 可写成diag(b 1, b 2,…, b n )；在②可令l=1，分别令k=2,…,n ，可知A 的对角线上元素都相等．习题2.41.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．求A 3． 解 A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+244221210A A A A A A A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+244221210A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++34242421221310A A A A A A A A A2.①设G=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得GBG=G ． ②设A 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得ABA=A ．证 ①构造n ×m 矩阵B 为B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ，则GBG=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE =G②设矩阵A 的秩为r ，则可经过有限次初等变换使A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE 的形式，即存在可逆的n ×n 矩阵P 和可逆的m ×m 矩阵Q 使PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E =D ，即A=P -1DQ -1．定义n ×m 矩阵B 如下：B=QCP ，其中C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ．则有ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1=P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1= P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1=A3*.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4210A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．证明：如果A 1，A 4都是可逆的，则A 也是可逆的，进一步，求A 的逆矩阵．证 如果A 1，A 4都是可逆的，令B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A ，其中A 1-1，A 4-1分别是A 1，A 4的逆阵，B 2是s ×t 矩阵．令AB=E ，即有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s E A A B A E 014221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t s E E 00， 从而 A 1B 2+ A 2A 4-1=0，由此得B 2=-A 1-1A 2A 4-1．说明A 也是可逆的，且A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1414211110A A A A A。
《高等代数》多项式试题库
�
(1 �
i)x 2
� 1 ;(vi) 1 �
1 2!
x
�
1 3!
x3
���
1 n!
xn
��
;
其中
是
多项式.
3. 零多项式是
, 零次多项式是
.
n
m
4.
� � 设 多 项 式 f ( x) � ai x i , g ( x) � bi x i
i �1
i �1
,
则 f (x)g(x) 的 k 次 项 系 数
二 证明题
1. 证明 x f k (x) 的充分必要条件是 x f (x) .
2. 证明 . x 8 � x 7 � x 5 � x 4 � x 3 � x � 1 x 12 � x 9 � x 6 � x 3 � 1
3. 证明 x d �1 整除 x n �1 的充要条件是 d n .
4. 证明, 若 x 3 � x 2 � x � 1 f ( x 4 ) � xg (x 4 ) � x 2 h(x 4 ) ,则 x � 1 同时整除 f ( x), g ( x), h( x) . 与例 2 联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.
(C)若 g (x) Q f (x) ,则 g ( x) R f ( x) ;(D)若 g (x)� R f (x) ,则 g ( x)� q f ( x) .
3. 设 p(x) f (x), p(x) g (x) ,则 p( x) 整除于
.
① f ( x) � g ( x) ;② f 2 ( x) � g 2 ( x) ;③ f ( x) g ( x) ;④ f 3 (x) � g 3 (x) .
a2 � b2 n
高等代数作业 第一章 多项式
f (x)
D、若不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的重因式，则 p(x) 是
的单因式
( f (x), f (x))
四、计算题 1．设 f (x) x4 x3 x2 2x 1, g(x) x3 2x 1, 求 ( f (x), g(x)) 以及 u(x), v(x), 使
C、若 d (x) | f (x) ,且有 f (x)u(x) g(x)v(x) d (x) ，则 d (x) 是 f (x) 和 g(x) 的最大公因式
D、若 ( f (x)g(x), h(x)) 1，则 ( f (x), h(x)) 1 且 (g(x), h(x)) 1
2. 关于不可约多项式 p(x) ,以下结论不正确的是（ ）
)时， f (x) 在有理数域上可约。
A、1 B、 1 C、0 D、5 或 3
6. 设 f (x) x5 5x 1 ，以下结论不正确的是（
）
A、 f (x) 在有理数域上不可约
B、 f (x) 在有理数域上可约
C、 f (x) 有一实根
D、 f (x) 没有有理根
7. 设 f (x) x p px 1, p 为奇素数，以下结论正确的是 （
)时， f (x) 在有理数域上可约。
A、1 B、0 C、 1 D、3 或-5 4. 设 f (x) x3 tx2 5x 1是整系数多项式，当 t =（
）时， f (x) 在有理数域上可约。
A、7 或 3 B、1 C、 1 D、0 5. 设 f (x) x3 tx2 3x 1 是整系数多项式，当 t =(
u(x) f (x) v(x)g(x) ( f (x), g(x)).
2
高等代数章节件
定理7.1.1 设是向量空间V到W的一个线性映射. V是V 的子空 间, W是W的子空间. 则V在下的象是W的子空间, W在下的原象 是V的子空间.
特别地, 向量空间V在下的象是W的子空间, 称其为的象, 记作 Im(). W的零子空间{0}在下的原象是V的子空间, 称其为的核, 记 作 Ker(), 即Ker()={| ()=0}.
例 5 设V是数域F上的向量空间. 取定F中的一个数k. 对于任意 V,令()=k. 则是V到自身的一个线性映射. 称为V的一个位似.
例 6 取定数域F中的n个数a1, a2, …, an. 对于Fn中的每一个向量 =(x1, x2, …, xn), 定义()=a1x1+a2x2+…+anxnF. 则是从Fn到F的一 个线性映射. 称为F上的一个n元线性函数或Fn上的一个线性型.
((1),(2) ,,(n) )x x x1 n 2 (1,2, ,n)A x x x1 n 2
因此, ()关于基1, 2, …, n的坐标构成的列向量是: 由此我们得到:
A
x1 x2
xn
定理7.3.1 设V是数域F上的向量空间, {1, 2, …, n}是V的一个 基, 是V的一个线性变换, A是线性变换关于这个基的矩阵, 与()
一个 (nr)r 阶零矩阵
如果V是它的两个子空间W1与W2的直和, 即V=W1W2. 可用W1 的基1, 2, …, r 与W2的基r+1, …, n组成V的一个基. 如果W1与W2 是的不变子空间, 则关于这个基的矩阵是
A1 O O A2
|W1关于W1的基1, 2, …, r 的矩阵 |W2关于W2的基r+1, 2, …, n 的矩阵
定理7.3.2 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n} 是V的一个基, 那么对V中的任意n个向量 1, 2, …, n, 恰有V的一个 线性变换, 使得 (i)= i, i=1, 2, …, n.
高代2期末考试试题及答案
高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。
答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。
答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。
答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。
答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。
答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。
答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。
高等代数专题研究模拟试题及答案(05春)
高等代数专题研究试题模拟试题(05春)一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.如果函数f (x )满足条件：对任意x 1与x 2，有)()()(22112211x f q x f q x q x q f +≥+其中( )，则称f (x )是上凸函数．(A) 0,021≥≥q q (B) 021≥⋅q q 且121=+q q(C) ,0,021≥≥q q 且121=⋅q q (D) 0,021≠≠q q 且121=+q q2. 下列环中是非交换环的为( )(A) 整数环Z (B) 剩余类环Z 5(C) n 阶方阵环 (D) 高斯整数环Z [i ]={a +bi ∣a ,b 为整数}3. 剩余类环Z 8的一个真零因子是( )． (A) 3 (B)7 (C) 5 (D) 24. 一副扑克牌有红桃、黑桃、方片和梅花各13张，共52张．从中任取一张，则不同取法有( )种．(A) 52 (B)4 (C) 134 (D) 4135. 将r 个不可区分的小球投入n 个盒子，每一个盒子的容量不超过一个球(n ≥r )，若计算有多少种不同投球方式，应该用( )．(A) 允许重复组合数公式 (B) 不重复组合数公式(C) 允许重复排列数公式 (D) 不重复排列数公式二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. 设a 1,a 2,…,a 5是正实数，可构造两组正实数列和 ．用柯西不等式，证明25)1...11)(...(521521≥++++++a a a a a a ． 7. 若(a ,b )~1，那么(a ,a +b )~ ．8. 在有无穷多个元素的域上，设多项式f (x )=a n x n +a n －1x n －1+…+a 0和g (x )=b n x n +b n －1x n－1+…+b 0 ，从代数学的观点，如果 ，则称f (x )=g (x )．9. π是有理数域上的超越元，是因为π不是 多项式的根．10. 计算31019710098100)(P C C +＝ ．三、简述题(每小题5分，共10分)11. 试列出三种证明不等式常用的方法．12. 找出整数环Z中的可逆元素，并说明为什么是可逆元素．四、计算题(每小题10，本题共40分)13. 设集合A={ ，a，{a},b}，求P(A)．14. 设x，y，z为非负实数，且满足x+2y+5z=6求f(x,y,z)=xyz的极大值．15. 求f (x )=2322123+--x x x 的重因式．16. 试求多项式(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)10展开合并同类项后的项数以及2543231x x x x 的系数．四、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 设R 是实数集，+R 是正实数集，任给+R 的元素x ,令映射 σ(x )＝x lg证明σ是+R 到R 的双射．18. 证明恒等式11--=k n k n nC kC ．高等代数专题研究模拟试题（05春） 参考答案一、单项选择题(每小题3分，本题共15分) 1. B ．2. C ．3. D ．4. A ．5. B ． 二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. 521,...,,a a a ，5211,...,1,1a a a ． 7. 1． 8. a k =b k (k =0,1,2,…,n )．9. 任何有理系数． 10. 61． 三、简述题(每小题5分，共10分)11.列出三种或三种以上的方法，可得满分5分．参考方法列举：(1)欲证A >B ，可证A －B >0；(2) 当A >0,B >0时，欲证A >B ，可证1>BA ； (3) 欲证A >B ，可证A >C ,C >B ；(4) 欲证A >B ，可将A －B 化为(A －B )2；等．12. 在整数环Z 中，只有1和－1是可逆元素．1是恒等元．因为1和－1都不是零元，但(－1)×(－1)=1，1×1＝1，根据可逆的定义知道，它们是可逆元素． (5分)四、计算题(每小题10，本题共40分)13. 由幂集合的定义，P (A)={∅,{∅},{a },{{a }},{b }, (2分){∅,a },{∅,{a }},{∅,b },{a ,{a }},{a ,b },{{a },b } (6分){∅,a ,{a }},{∅,a ,b },{∅,{a },b },{a ,{a },b } (9分){∅,a ,{a },b }} (10分)14. 利用均值不等式x +2y +5z ≥333103523xyz z y x =⋅⋅ (3分)54102761027)52(33=⨯=⨯++≤z y x xyz (9分) 当x =2y =5z 时，得x =2,y =1,z =52时，xyz 的极大值是54． (10分) 15. 只要求出f (x )与f '(x )的公因式即可．(1分)23)(2--='x x x f)1(625)61)((296233)(323---'=+--=x x x f x x x x f (4分) 而 )1)(23(23)(2-+=--='x x x x x f ，有 (f (x ),f '(x ))~(x －1) (8分)所以x －1是f (x )的二重因式． (10分)16. 所求项数为1001!411121314414101510=⨯⨯⨯==-+C C (5分) 2543231x x x x 的系数为12600!2!0!4!1!3!10= (10分)四、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 由对数函数的定义域和函数值，知σ(x )＝x lg 是+R 到R 的映射．(2分)(1) 任给+R 的两个元素x 1,x 2且x 1≠x 2，由对数函数的严格单调性，有)(lg lg )(2211x x x x σσ=≠= 这表明σ(x )＝x lg 是单射． (6分)(2) 任给R 的元素y ，则存在y x 10=属于+R ，则有 σ(x )=y x y ==10lg lg这表明σ(x )＝x lg 是满射． (9分)总之，σ是+R 到R 的双射． (10分) 18. )!(!!k n k n k kC kn -⋅⋅= (4分) ＝))!1(1()!1()!1(----⋅-⋅⋅k n k k n n k (7分) ＝11))!1()1(()!1()!1(--=-----k n nC k n k n n ． (10分)。
高等代数北大编-第1章习题参考答案
第一章 多项式一 、习题及参考解答1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
海事05年高代
大连海事大学2005年硕士研究生招生考试试题考试科目：高等代数适用专业：应用数学考生须知：１、所有答案必须写在答纸上，写在试题纸上无效；２、考生不得在答题上作与答题内容无关的标记，否则试卷作废。
一、（共20分）设向量β可由向量组r αα,,1 线性表出，证明：表法唯一的充分必要条件是向量组r αα,,1 线性无关。
二、（共15分）设A 是一个n 阶方阵，n I 是n 阶单位阵。
若A 满足下面三个条件中的两个，则一定也满足第三个：(1) A 2=n I ；(2)AA T =n I ；(3) A T ＝A 。
三、（共20分）设H 是一个Euclid 空间，x ，y 是H 中的两个向量。
(1) 证明：x 与y 正交的充分必要条件为x y +＝x －y ；(2) 在2维欧氏空间中，对(1)的结论给出几何解释。
四、（共20分）设线性方程组Ax=b 有解，但不唯一。
(1)求a 的值；(2)求正交矩阵Q ，使得Q T AQ 为对角阵。
这里，A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111a a a ，b ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-211。
五、（20分）设A 是n 阶实对称阵，证明：存在一个n 阶正定阵B ，使得对于任意一个实n 维向量x ，都有Bx x Ax x T T ≤。
如果A 不是对称阵，上述结论是否成立？说明理由。
六、（共20分）设n P 是n 维实向量空间，a ∈n P ，a ≠0。
令{}0| T n =∈=x a P x π， l ={}R k ka x P x ∈=∈，| n 。
证明：(1) π和l 均为n P 的子空间；(2) l ⊥π；(3)当n =3时，l P ⊕=π3。
七、（共15分）设A ，B 均为n 阶实矩阵，并且A ，B ，AB －n I ，均可逆，n I 为n 阶单位阵。
证明：A －B 1－，(A －B 1－)1－－A 1－也可逆。
八、（共20分）设T 是线性空间n V 的线性变换，构造子空间{}n n V x x T x V ∈==，0|1，{}n n V x x T x V ∈==+，0|12。
南师大05高等代数试卷
南京师范大学2005年硕士研究生招生入学初试试卷 高等代数1、 (15分) 计算行列式5301212133215311210241210--=D 2、 (15分) 已知(1))(),(x h x f 为有理系数多项式；(2) )(),(x h x f 有公共根； (3) )(x h 在有理数域上不可约。
证明: )()(x h x f3、（15分）已知321,,ααα可由21,ββ线性表示, 证明321,,ααα线性相关.4、（30分）已知54321,,,,ααααα为欧氏空间V 的一组标正基，}0{321=++++=c b a c b a W ααα，（1）证明：W 是V 的子空间。
（2）求W 的一组基及维数。
（3）求W 的正交补。
5、（15分）计算行列式 444422221111d c b a d c b ad c b a D = 6、（30分）用正交变换将二次型替换下面二次型为标准型： 32312123222232144822),,(x x x x x x x x x x x x f +---+=7、（30分）某实验生产线每年一月份进行熟练工也非熟练工的人数统计，然后将61熟练工支持其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老熟练工经过培训及实践至年终考核有52成为熟练工，设第n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n x 和n y ，记成向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y x ， （1）求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++11n n y x 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y x 的关系式并写成矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11； （2）验证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141η，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112η是A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值。
（3）当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212111y x 时，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++11n n y x 。
第一章 高等代数多项式PPT课件
当且仅当f (x)与g(x)除以h(x)所得的余式相等。
编辑版pppt
20
多项式
三、整除的性质
§3 整除的概念和性质
性质1 (a) 对任意的 f (x)∈P [x]，有 f (x) | f (x)； (b) 对任意的 f (x)∈P [x]， 有 f (x) | 0； (c) 对任意的 f (x)∈P [x]，a ≠ 0，有 a | f (x)；
( f ( x ) g ( x ) m ) ( f ( x ) a ( g ) ( x x ) , )
② (f( x ) g ( x ) ) (f( x ) ) ( g ( x ))
编辑版pppt
16
多项式
§2 一元多项式的定义和运算
推论1：f (x)•g(x) = 0当且仅当f (x) = 0或 g(x) = 0。
编辑版pppt
7
多项式
§1 数环和数域
根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：
数环和数域。
一、数环
定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、 减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b， a•b∈P，则称数集P是一个数环。
例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。
问题：数域P上的多项式 f(x) 与 g(x) 的整除性是否会因为 数域的扩大而改变？
编辑版pppt
23
多项式
§4 最大公因式
§4 最大公因式
一、两个多项式的最大公因式
定义1：对任意的f (x)，g(x)∈P [x]，若存在h(x)∈P [x] ， 使得
【高等代数】05-线性变换
【⾼等代数】05-线性变换 线性变换是线性代数的核⼼概念，包含的内容和结论⼗分丰富。
之前的讨论其实已经⽐较完备了，但这⾥我还是想把它的主要脉络再梳理⼀遍，然后再补充⼀些重要的问题和结论。
1. 线性变换和不变⼦空间1.1 线性变换 线性变换\mathscr{A}\alpha（或线性映射）的概念⾃⽆需多说，它是线性空间V之间的⼀种映射关系。
⽽映射最重要的概念就是象和原象，尤其是变换的象\mathscr{A}V与核\text{Ker}\mathscr{A}，通过关系式（1）搭建起了变换\mathscr{A}的基本机构。
它直观地描述了线性变换在维度上的意义，你可以轻松说出V,\,\text{Ker}\mathscr{A},\,\mathscr{A}V三者之间的关系。
更甚地，可以把V表⽰成某个直交和\text{Ker}\mathscr{A}\oplus U，⽽这⾥U必定与\mathscr{A}V同构。
这个简单的关系很容易被忽略，但它在复合变换的论证中起到了核⼼的作⽤，⽐如关于复合变换的秩（象的维数）的估算，再⽐如后⾯关于幂零变换的归纳法证明。
V/\text{Ker}\mathscr{A}\cong\mathscr{A}V\tag{1} 式（1）说明，变换使得V的维数减少了\text{dim}(\text{Ker}\mathscr{A})，这个⾓度⾮常便于讨论复合变换的秩。
对于复合变换\mathscr{AB}，它的秩显然有上界\max\{\text{rank}\mathscr{A},\text{rank}\mathscr{B}\}。
从维度减少的⾓度，不难有式（2）的上界式，从⽽轻松得到复合变换秩的下界式（3）。
使⽤这个⾓度，你可以尝试⼀下下⾯的两个问题。
\text{dim}(\text{Ker}\mathscr{AB})\leqslant\text{dim}(\text{Ker}\mathscr{A})+\text{dim}(\text{Ker}\mathscr{B})\tag{2}\text{rank}(\mathscr{AB})\geqslant\text{rank}{\mathscr{A}}+\text{rank}{\mathscr{B}}-\text{dim}(V)\tag{3} • 如果\text{rank}(\mathscr{AB})=\text{rank}(\mathscr{B})，则对任意变换\mathscr{C}都有\text{rank}(\mathscr{ABC})=\text{rank}(\mathscr{BC})。
税费代征代码
0100 0200
生产用房 营业用房
07 07 07 07 07 07 07 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08
0300 0400 0500 0501 0502 0503 0504
0101 0102 010201 010202 010299 0103 0104 0105
铁路运输 水路运输 内河货物运输 内河客务运输 其他水路运输 航空运输 管道运输 公路运输
02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02
猪 牛 羊 其他屠宰 证券交易税 遗产税
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 0100 0200 0300 0400 0401 0402 0403 0404 0405 0406 0407 0408 0409 0410 0411 0412 0413 0414 0415 0416 0417 0418 0419 0420 0421 0422 0423 0499 0500 0501 050101 050102 050103 原油 天然气 煤炭 其他非金属原矿 石英砂 萤石 长石 高岭土 花岗石 大理石 石灰石 建筑用碎石 河沙 黄泥 硫铁矿 耐火粘土
1103 1201 1202 1203 1301 1302 1303 2101 2201 2301 3001
高中英语九大词性分类与用法详解课件：专题05 代词
We often go to the lake after school ourselves. The city itself should be clean and public transport ought to be convenient.
养成良好的答题习惯，是决定高考英语成败的决定性因素之一。做题前， 要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌 跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要 善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检 查，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。 在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面 对考试。英语最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难”， 遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好再梳 理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30天冲刺 复习方法。
②作表语: It’s him.
③做宾语: Give me a challenge, and I’ all meet it with joy.
④作同位语: The two members, Mary and I, were to set the date.
几个人称代词并列时的顺序：
单数并列“you+he\she+I”； 复数并列“we+you+they”
②用they代替everybody，anybody等不定代词； Everyone wants himself to succeed, don’t they? If anyone come here, ask them to wait for a minute.
11.2《五代史伶官传序》课件25张高中语文选择性必修中册【05】
李存勖将三支箭供奉在家庙里，每临出征就派人取来， 放在精制的丝套里，带着上阵，打了胜仗，又送回家庙，表 示完成了任务。经过十多年的交战，李存勖基本上完成了父 亲遗命，于公元923年攻灭后梁，统一北方，四月称帝，国号 为唐，史称后唐。
(第2、3段) 分析论点
国破家亡(衰) 仓皇东出，未及见贼而士卒离散 君臣相顾，不知所归
失
至于誓天断发，泣下沾襟，何其衰也
史
伶
借理论述
满措频，谦得首
官
忧劳可以兴国，逸豫可以亡身
传
序
首尾呼应
故方其盛也，举天下之豪杰，莫能与之争
(第4段)
及其衰也，数十伶人困之，而身死国灭，为天下笑
总结全文
观点作结
夫祸患常积于忽微，而智勇多困于所溺
100多年后，欧阳修就此事发表了自己的感慨，写成了《新五代史 · 伶官传》。《伶官传》中，作者对为庄宗所宠幸并为非作歹、败国乱政的
景进、史彦琼、郭从谦等三人予以鞭挞，揭露他们把持朝政，以致后唐朝 廷上下离心互相猜忌、祸乱不息的罪恶行径。本文就是欧阳修为《新五代
史·伶官传》 所作的序言。
建立后唐——杰出的军事将领
骄奢无道的皇帝
称帝后，李存勖认为父仇已报，中原已定，开始享乐，开始怠政。 1、 宠信伶人： 常常粉墨登场，不理朝政； 伶人仗势欺人，群臣敢怒而不敢言。 置身经百战的将士于不顾， 封身无寸功的伶人当刺史 2、 宠信宦官： 召集散在各地的原唐朝太监，把他们作为心腹， 担任
高等代数多项式求有理根
高等代数多项式求有理根（最新版）目录1.高等代数与多项式的基本概念2.有理根的定义与性质3.求有理根的方法及其应用4.总结正文一、高等代数与多项式的基本概念高等代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等概念。
在高等代数中，多项式是一种重要的数学对象，它是由若干个单项式通过加减运算组成的代数式。
多项式的系数和指数分别为常数和整数时，称为有理多项式。
二、有理根的定义与性质有理根是指能够使有理多项式取值为零的有理数。
设 f(x) 是一个有理多项式，如果存在一个有理数 r，使得 f(r)=0，则称 r 为 f(x) 的一个有理根。
有理根具有以下性质：1.有理根是有理多项式的根的一部分，但不是全部。
2.有理多项式的有理根可以成对出现，即对于某个有理根 r，总有-r 也是它的有理根。
3.有理多项式的有理根的和与积分别为常数项的相反数与一次项的相反数。
三、求有理根的方法及其应用求有理根的方法主要有以下两种：1.直接求解法：通过解方程 f(x)=0，求得有理多项式的有理根。
这种方法适用于较低次的有理多项式。
2.韦达定理：根据韦达定理，有理多项式的有理根的和与积分别等于常数项的相反数与一次项的相反数。
通过求解这个线性方程组，可以求得有理多项式的有理根。
这种方法适用于较高次的有理多项式。
求有理根的方法在数学中有广泛的应用，例如求解方程、证明定理等。
四、总结本篇文章介绍了高等代数中多项式的有理根的概念、性质以及求解方法。
通过理解有理根的概念和性质，我们可以更好地掌握求解有理多项式的方法。
高等代数与线性代数的区别
高等代数与线性代数的区别高等代数是为数学专业课开放的一种专业课程，其中包含了一些特定领域上的线性空间线性变换，以及矩阵和线性代换之间的转换，其中还包含了多项列式等一些代数运算的法则。
而我们通常说的线性代数，更注重的是行列数、矩阵以及相对应的变换，对于线性方程组、二次变换的具体概念进行详细的介绍。
对于工科类的大学生来说，线性代数和高等代数是他们在大学生涯中必须要学会的一门必修课，并且线性代数和高等代数是不允许挂科的。
对于文科类的专业以及大学来说，是不需要学习线性代数和高等代数的，所以对于文科类的专业和学校来说，她们是不存在线性代数和高等数学的。
那么现在问题就来了，线性代数和高等代数之间到底有什么样的区别呢？其实在各大高校的理工科类专业面世的高等数学和高等代数，其实都就是一两件事，高等代数和线性代数这种用法主要就是依据苏联的特色去命名的，在欧美国家就是没“高等”教育这种观点的，由于我国中国数学受了苏联的影响，所以在命名以及开学方面，我们都大部分承继了他们的课程命名方式，所以也就是为什么我们可以存有“高等代数”和“线性代数”的原因。
高等代数就是为数学专业课对外开放的一种专业课程，其中涵盖了一些特定领域上的线性空间线性变换，以及矩阵和线性赋值之间的切换，其中还涵盖了多项列式等一些代数运算的法则。
而我们通常说的线性代数，更注重的是行列数、矩阵以及相对应的变换，对于线性方程组、二次变换的具体概念进行详细的介绍。
相对于线性代数来说，线性代数更注重的是学生进行动笔操作的计算，但是高等代数一般注重的是在所谓的学术研讨领域进行的空间以及线性领域的辩论，所以从本质上来说，高等代数和线性代数是不一样的。
并且，如果自学过高等代数和线性代数的人都会晓得，高等代数这门课程远远必须比线性代数这门课程难得多，高等数学这门课程我们都晓得，这就是专门为工科类的专业搞的一门学科，但是工科类的人并不一定会研习过高等代数，原因就是高等代数的难度系数比较低，并且高等代数的难度系数远远低于线性代数的难度系数。
和05后交流的话题
和05后交流的话题随着时代的发展，05后（指2005年至今出生的一代人）逐渐成为我们生活中的重要一部分。
和他们交流，了解他们的思维方式和兴趣爱好，是我们与时俱进的必要之举。
以下是一些与05后交流的话题，希望能给大家带来一些启发。
1.科技与数码05后一代生活在一个充满科技的时代，他们对手机、电脑、游戏等设备和应用非常娴熟。
我们可以和他们分享最新的科技新闻、讨论各种数码产品的优缺点，或者一起玩一些新兴的手机游戏。
这样的话题可以让我们更好地了解他们的兴趣，也可以为我们的生活增添一些新鲜感。
2.影视音乐影视和音乐是05后非常热衷的领域。
我们可以聊一聊最新的电影、电视剧和音乐作品，分享我们的观点和感受。
我们可以一起评价一部电影的情节，一首歌曲的旋律，或者一位艺人的表演。
这样的话题可以增进我们之间的共同语言，也能够培养我们对于艺术的欣赏和理解能力。
3.学业和生活压力05后一代在学业和生活上面临着不少的压力。
我们可以和他们交流学习方法，如何更好地应对考试和学习压力。
我们可以分享一些学习上的经验，帮助他们更好地面对挑战。
同时，我们也可以和他们聊一聊生活中的开心和烦恼，互相支持和鼓励。
4.环保与公益05后一代对于环保和公益事业的关注度越来越高。
我们可以和他们谈论环保的重要性，分享一些环保的小窍门和实践经验。
我们可以一起参加一些志愿者活动，如植树、垃圾分类等，共同为环境贡献力量。
这样的话题不仅能够培养他们的社会责任感，也能够引导他们更加关注社会问题。
通过以上的话题，我们可以更好地与05后交流，了解他们的世界。
在交流中，我们要尊重他们的想法和价值观，与他们平等对话，共同成长。
无论是科技、艺术、学业还是公益，我们都可以从彼此的交流中获益良多。
让我们拥抱时代的变化，与05后一起走向更加美好的未来。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
华 中 师 范 大 学
2005年研究生入学考试试题（高等代数）
1、（15）设A 是数域P 上的r r ⨯阶矩阵，D 是s s ⨯阶矩阵，A
B M
C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
并且M =秩（）
秩（A ）=r ,证明1
D C A B
-=。
2、（15）设A 是数域P 上的m n ⨯矩阵，
12,,,t ααα 是齐次方程组0Ax = 的线形无关的解，0A β≠，证明12,,,t
ββαβαβα+++ 线形无关。
3、（30）设P 是数域，
1
110{()|,0,1,2,,}n
n n n i V f x a x a x
a x a a P i n --==++++∈= ，
（1） 证明V 关于多项式的加数乘多项式构成数域P 上的线形空间；
（2）
(),f x V ∀∈规定:()().'(),A f x f x x f x - 证明A 是V 的线形变换；
（3） 求线形变换A 在基2
1,,,,n
x x x 上的矩阵。
4、（20）设A 是n n ⨯阶复矩阵，0,k A =123,,,,r λλλλ 是A 的所
有非零的特征值，
1）证明E A -是可逆矩阵，并求1()E A --；
2）求1()E A --的所有特征值。
5、（20）设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶半正定矩阵， （1）证明1A -是n 阶正矩阵；
（2）求实的可逆矩阵T ，使得1
21
0000
'()0
n a a T A
B T a -⎛⎫ ⎪
⎪+= ⎪
⎪
⎝⎭
是对角矩阵，并说明主对角线上的元素0,1,2,,.i
a i n >=
6、（20）设()ij A a =是n 阶矩阵，1
()n
ii
i Tr A a ==
∑是主对角线上的元素
之和，22P ⨯表示数域P 上所有二阶构成的集合，22
,A P ⨯∀∈规定
:()f A T r A ， （1） 证明f 是线形空间22
P ⨯线性函数；
（2） 1112212210000
00
0,,,00011
00
1E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
是22
P ⨯的一组基 求22
P ⨯上的线性函数g ，使得11122122()2,()3,()4,() 1.g E g E g E g E ====-
7、（30）设V 是数域P 上的线性变换，
A
的最小多项式是
2
()23,m x x x KerA =--表示
A 的核，Im A 表示A 的值域，证明：
（1）V 中存在一组基，使A 在这基下的矩阵是对角矩阵； （2）(3)Im ()K er A E A E -=+，其中E 是V 的恒等变换； （3）(3)()V
K er A E K er A E =-⊕+。