等可能概型

1 P ({ei }) = , i = 1, 2, L，n n
在古典概型中，对任意随机事件A,若
A = {ei1 } ∪ L ∪ {eik }
则
P(A)=∑ ( P{e
j =1
k
ij
A包含的基本事件数 }) = 样本空间基本事件总数
此公式即为等可能概型中事件A概率的 计算公式.
例1 袋中有6个球（4白，2红）,现从袋中 任取球两次,每次任取1只.考虑放回抽样与不 放回抽样两种取球方式，求: (1) 两个均为白球的概率; (2) 两个球中两只球颜色相同的概率; (3) 两个球中至少有一个白球的概率. （p10例2）
长度为a
有利事件
a a a⎫ ⎧ A = ⎨( x , y ) | 0 < x < ,0 < y < , a > x + y > ⎬ 2 2 2⎭ ⎩ ⎧x + y > a − x − y ⎪ ⎨ x + (a − x − y ) > y 2 ⎪ y + (a − x − y ) > x 1 a ⎩ S = (a × a )
根的概率为 . 解 样本空间 Ω = {( u, v ) | 0 < u < 1,0 < v < 1}
x − 2vx + u = 0 有实根 ⇒ ∆ = ( −2v ) − 4u ≥ 0 ⇒ v ≥ u
2
2
2
有利事件 A = {( u, v ) | v ≥ u,0 < v < 1}
2
A 的面积 ∫ v dv P ( A) = = Ω 的面积 1× 1 1 1 = v | = . 3 3
1 2 0
3 1 0
v
1
A
v =u
2
Ω
O
1
u
µ (A) P(A) = µ (S)
（*）
4、假如样本空间S可用一线段，或空间 中某个区域表示，并且向S上随机投掷 一点的含义如前述，则事件A的概率仍 可用（*）式确定，只不过把 μ(.) 理解 为长度或体积即可.
例7
在长度为 a 的线段内任取两点
将其分成三段, 求它们可以构成一个三角形 的概率. 解 设三段长分别为 x , y 和 a − x − y . Ω = {( x , y ) | x > 0, y > 0, x + y < a} 样本空间:
∆OAB
2
=
2
,
y
1⎛ a a ⎞ a S ∆CDE = ⎜ × ⎟ = , 2⎝ 2 2 ⎠ 8
2
a
A
a 2
C
E
A
S∆CDE 1 P ( A) = = . S ∆OAB 4
Ω
D
B
a 2
O
a
x
例8 在区间(0,1) 上随机的取两个数u , v ,
x 的一元二次方程 x 2 − 2 vx + u = 0 有实 则关于
4× 3 P ( A) = 6× 5 4× 3 2×1 P ( B ) = P ( A) + P ( A1 ) = + 6× 5 6× 5 2×1 . P (C ) = 1 − P ( A1 ) = 1 − 6× 5
例2 从一付扑克牌的13张黑桃中，有 放回抽3次每次抽一张，分别求取出的3张 无同号、3张都同号、恰有2张同号的概率 为多少？ 解:设Ai为取出的3张恰有i张同号.i=1、2、3.
例4 从5双不同鞋中任取4只，这4只中 至少2只配成一双的概率为多少？ 解：设C为至少2只配成一双.
1 13 C 54 ( C 2 ) 4 P (C ) = 1 − P (C ) = 1 − = 4 21 C 10
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
例5 有r 个人，设每个人的生日是365 天的任何一天是等可能的，试求事件 “至少有两人同生日”的概率. A={至少有两人同生日} 解 令 则 A ={ r 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求 P ( A )
第四节 等可能概型
(古典概型)
一、古典概型 二、古典概型的计算
一、古典概型
试验结果
e1, e2, …，eN
你认为哪个 结果出现的 可能性大？
常常把这样的试验结果称为“等型： 1.样本空间只有有限个基本事件.(有限)
2.每个基本事件发生的可能性相同.(等可能) 设样本空间为 S = {e1 , e2 ,Len }, 试验中每个基本 事件发生的可能性相同, 则
几何方法的要点是： 1、设样本空间S是平面上某个区域， 它的面积记为μ(S); 2、向区域S上随机投掷一点，这里 “随机投掷一点”的含义是指该点落入 S 内任何部分区域内的可能性只与这 部分区域的面积成比例，而与这部分 区域的位置和形状无关.
3、设事件A是S的某个区域，它的面 积为 μ(A)，则向区域S上随机投掷一 点，该点落在区域A的概率为
4× 4 2× 2 = 0.556 + 则 P ( B ) = P ( A) + P ( A1 ) = 6× 6 6× 6
（3）设两个球中至少有一个白球的事件为 C 2× 2 则 C = A1 , 从而 P (C ) = 1 − P ( A1 ) = 1 − 6 × 6 = 0.889 不放回抽样 (1) (2) (3)
r A365 P( A ) = (365) r
r A365 P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − (365) r
n
20 0.411
23 0.507
30 0.706
40 0.891
50 0.970
64 0.997
100 0.9999997
p
例6 某接待站在某一周曾接待过12次来访， 已知这12次接待都是在周二和周四进行的. 问是否可以推断接待时间是有规定的？ 解 假设接待时间是没有规定的，即为等可能 概型. 则12次接待都在周二和周四的概率为
解
放回抽样
6个球（4白，2红）
（1）设取到两个均为白球的事件为 A, 样本空间所含的基本事件总数为 6 × 6 = 36, A 事件所含的基本事件数 4 × 4 = 16, 且每事件 为等可能性, 故
4× 4 4 = P ( A) = 6× 6 9
（2）设取到两只球颜色相同的事件为 B, 取到两个均为红球的事件为 A1 , 则 B = A ∪ A1 , 且 AA1 = ∅, A1 事件所含的基本事件数 2 × 2 = 4,
P ( A ⋅ B ) = P(A∪B) = 1－ P(A∪ B)
=1 －{P(A)+P(B) － P(AB)}, P(A)=333/2000; P(B)=250/2000 ;
P(AB)=83/2000 = 3/4.
P 代入可解得： ( A ⋅ B ) = 3 4 .
Q[2000] = 333 6
Q[2000] = 83 24
P ≈ 0.781 P ( A1 ) = (C ) C 1 P(A ) = = (C ) 169 3C C 36 = P(A ) = (C ) 169
13 1 3 13 1 13 3
3
1
3
静态 动态
13 1
1
13
12
2
1
3
13
这里实际上是从“比例”转化为“概率”
例3 在1-2000中随机取一整数, 问取到 的整数不能被6和8除尽的概率是多少? 解：设A为事件“取到被6除尽的数” B为“取到被8除尽的数”
212 = 3 × 12−7 712
很小. 所以推断接待时间是有规定的. 概率很小的事件在一次试验 实际推断原理： 中实际上几乎是不可能发生的.
几何概型 早在概率论发展初期，人们就认识 到,只考虑有限个等可能样本点的古典 方法是不够的. 把等可能推广到无限个样本点场合, 人们引入了几何概型. 由此形成了确 定概率的另一方法——几何方法.