2007年普通高等学校招生考试重庆卷

2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学（理工科）本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ） A 、3B 、4C 、5D 、62、命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ） A 、若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1- B 、若11<<-x ，则12<x C 、若1>x 或1-<x ，则12>xD 、若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥13、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ） A 、5部分 B 、6部分 C 、7部分 D 、8部分4、若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A 、10B 、20C 、30D 、1205、在ABC ∆中，οο75,45,3===C A AB ，则BC 等于（ ）A 、33-B 、2C 、2D 、33+6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） A 、41 B 、12079 C 、43 D 、2423 7、若a 是b 21+与b 21-的等比中项，则||2||2b a ab+的最大值为（ ）A 、1552 B 、42C 、55 D 、22 8、设正数b a ,满足nn n n n b a ab a 2lim 111++--+∞→等于（ ）A 、0B 、41C 、21 D 、19、已知定义域为R 的函数)(x f 在),8(+∞上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ）A 、)7()6(f f >B 、)9()6(f f >C 、)9()7(f f >D 、)10()7(f f >10、如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++，4||||||||=⋅+⋅，0=⋅=⋅DC BD BD AB ，则⋅+)(的值为（ ）A 、2B 、22C 、4D 、24二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上. 11、复数322ii+的虚部为_______________. 12、已知、y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-,1,42,1x y x y x 则函数y x z 3+=的最大值是____________.13、若函数12)(22-=-+aax xx f 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________________.14、设}{n a 为公比1>q 的等比数列，若2004a 和2006a 是方程03842=+-x x 的两根，则=+20072006a a _____________.15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有__________种.（以数字作答）16、过双曲线422=-y x 的右焦点F 作倾斜角为ο105的直线，交双曲线于P 、Q 两点，则||||FQ FP ⋅的值为_____________.三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分） 设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=.（Ⅰ）求)(x f 的最大值及最小正周期；（Ⅱ）若锐角α满足323(-=αf ，求α54tan 的值.18（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中： （Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额ξ的分布列与期望.19（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）如右图，在直三棱柱111C B A ABC -中，ο90,1,21=∠==ABC AB AA ；点D 、E 分别在D 、A BB 11上，且D A E B 11⊥，四棱锥1ABDA C -与直三棱柱的体积之比为5:3. （Ⅰ）求异面直线DE 与11C B 的距离； （Ⅱ）若2=BC ，求二面角111B DC A --的平面角的正切值20（本小题满分13分，其中（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小问分别为6、4、3分）已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值a --3，其中a 、b 为常数. （Ⅰ）试确定a 、b 的值； （Ⅱ）讨论函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围.21（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和n S 满足11>S ，且+∈++=N n a a S n n n ),2)(1(6.（Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列}{n b 满足1)12(=-nb n a ，并记n T 为}{n b 的前n 项和，求证：+∈+>+N n a T n n ),3(log 132.22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如右图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为：12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点321、P 、P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： ||1||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值.2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学参考答案（理工科）一、选择题 ADCBA CBBDC二、填空题：11、54 12、713、]0,1[-14、18 15、25 16、338 三、解答题：17、解：（Ⅰ）x xx f 2sin 322cos 16)(-+⋅=32sin 32cos 3+-=x x 3)2sin 212cos 23(32+-=x x 3)62cos(32++=πx故)(x f 的最大值为332+；最小正周期ππ==22T . （Ⅱ）由323)(-=αf 得3233)62cos(32-=++πα，故1)62cos(-=+πα.又由20πα<<得6626πππαπ+<+<，故ππα=+62，解得125πα=.从而33tan 54tan==πα. 18、解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，3,2,1=k .由题意知321,,A A A 独立，且111)(,101)(,91)(321===A P A P A P . （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为1131110109981)()()(1)(1321321=⨯⨯-=-=-A P A P A P A A A P .（Ⅱ）ξ的所有可能值为27000,18000,9000,0. 118111010998)()()()()0(321321=⨯⨯====A P A P A P A A A P P ξ, )()()()9000(321321321A A A P A A A P A A A P P ++==ξ)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=11110998111010198111010991⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=4511990242==， )()()()18000(321321321A A A P A A A P A A A P P ++==ξ )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 1111019811110991111010191⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=110399027==， )()()()()27000(321321A P A P A P A A A P P ===ξ990111110191=⨯⨯=.综上知，ξ的分布列为求ξ的期望有两种解法： 解法一：由ξ的分布列得990127000110318000451190001180⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ18.27181129900≈=（元） 解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，3,2,1=k ，则1ξ有分布列故1000990001=⨯=E ξ. 同理得18.8181119000,900101900032≈⨯=E =⨯=E ξξ.综上有18.271818.8189001000321=++≈E +E +E =E ξξξξ（元）.19、解法一：（Ⅰ）因1111B A C B ⊥，且111BB C B ⊥，故⊥11C B 面A 1ABB 1，从而B 1C 1⊥B 1E ，又 B 1E ⊥DE ，故B 1E 是异面直线B 1C 1与DE 的公垂线.设BD 的长度为x ，则四棱椎1ABDA C -的体积1V 为BC x BC AB A A DB BC S V ABDA ⋅+=⋅⋅+=⋅=)2(61)(6131111.而直三棱柱111C B A ABC -的体积2V 为BC AA BC AB AA S V ABC =⋅⋅=⋅=∆11221. 由已知条件5:3:21=V V ，故53)2(61=+x ，解得58=x 从而B 1D 525821=-=-=DB B B .又直角三角形D B A 11中，529)52(12212111=+=+=D B B A D A , 又因D B B A E B D A S D B A 11111212111⋅=⋅=∆.故2929211111=⋅=D A D B B AE B . （Ⅱ）如右图，过B 1作B 1F ⊥C 1D ，垂足为F ，连接A 1F.因A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1D ，故A 1B 1⊥面B 1DC 1，由三垂线定理知C 1D ⊥A 1F ，故∠A 1FB 1为所求二面角的平面角.在直角D B C 11∆中，563)52(22212111=+=+=D B C B D C ，又因D B C B F B D C S D B C 11111212111⋅=⋅=∆，故93211111=⋅=D C D B C B F B ，所以233tan 11111==F B B A FB A . 20、解：（Ⅰ）由题意知c f --=3)1(，因此c c b --=-3，从而3-=b . 又对)(x f 求导得)4ln 4(41ln 4)(3343/b a x a x bx xax x ax x f ++=+⋅+=.由题意0)1(/=f ，因此04=+b a ，解得12=a .（Ⅱ）由（Ⅰ）知)0(ln 48)(3/>=x x x x f .令0)(/=x f ，解得1=x .当10<<x 时，0)(/<x f ，此时)(x f 为减函数； 当1>x 时，0)(>x f ，此时)(x f 为增函数.因此)(x f 的单调递减区间为)1,0(，而)(x f 的单调递增区间为),1(+∞.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值. 要使)0(2)(2>-≥x c x f 恒成立，只需223c c -≥--.即0322≥--c c ，从而0)1)(32(≥+-c c . 解得23≥c 或1-≤c .所以c 的取值范围为),23[]1,(+∞--∞Y21、（Ⅰ）解：由)2)(1(611111++==a a S a ，解得11=a 或21=a .由假设111>=S a ，因此21=a .又由)2)(1(61)2)(1(611111++-++=-=++++n n n n n n n a a a a S S a ，得 0)3)((11=--+++n n n n a a a a ，即031=--+n n a a 或n n a a -=+1.因0>n a ，故n n a a -=+1不成立，舍去.因此31=-+n n a a ，从而}{n a 是公差为3，首项为2的等差数列，故}{n a 的通项为 13-=n a n .（Ⅱ）证法一：由1)12(=-nb n a 可解得133log )11(log 22-=+=n na b n n 从而)1335623(log 2215-⋅⋅⋅=+++=n nb b b T n n ΛΛ. 因此]232)1335623[(log )3(log 13322+⋅-⋅⋅⋅=+-+n n n a T n n Λ.令232)1335623()(3+⋅-⋅⋅⋅=n n n n f Λ，则233)23)(53()33()2333(5323)()1(+++=++⋅++=+n n n n n n n n f n f . 因079)23)(53()33(23>+=++-+n n n n ，故)()1(n f n f >+. 特别地12027)1()(>=≥f n f ，从而0)(log )3(log 1322>=+-+n f a T n n ，即)3(log 132+>+n n a T .证法二：同证法一求得n b 及n T .由二项式定理知，当0>c 时，不等式c c 31)1(3+>+成立.由此不等式有3332)1311()511()211(2log 13-+++=+n T n Λ )3(log )23(log )132358252(log )1311()531)(231(2log 2222+=+=-+⋅⋅⋅⋅=-+++>n a n n n n ΛΛ. 证法三：同证法一求得n b 及n T . 令13237845,3136734,1335623++⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=n n C n n B n n A n n n ΛΛΛ.因1323313133++>+>-n n n n n n ，因此2233+=>n C B A A n n n n . 从而)3(log )23(log 2log 2log )1335623(2log 132223232+=+=>=-⋅⋅⋅=+n n n n n n a n C B A A n n T Λ证法四：同证法一求得n b 及n T . 下面用数学归纳法证明：)3(log 132+>+n n a T .当1=n 时，5log )3(log ,427log 1321221=+=+a T ，因此)3(log 132+>+n n a T ，结论成立. 假设结论当k n =时成立，即)3(log 132+>+k k a T ，则当1+=k n 时，)3(log 313)3(log 13121121+-++=+-+++++k k k k k a b T a T2321122)23)(53()33(log 3)3(log )3(log +++=++-+>++k k k b a a k k k .因079)23)(53()33(23>+=++-+k k k k ，故0)23)(53()33(log 232>+++k k k .从而)3(log 13121+>+++k n a T .这就是说当1+=k n 时结论也成立.综上)3(log 132+>+n n a T 对任何+∈N n 成立.22、解：（Ⅰ）设椭圆方程为12222=+by a x .因焦点为)0,3(F ，故半焦距3=c .又右准线l 的方程为ca x 2=，从而由已知 36,1222==a ca ， 因此3327,622==-==c ab a .故所求椭圆方程为1273622=+y x .（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A ，并设)3,2,1(==∠i AFP i i α，不失一般性，假设 3201πα<≤，且34,321312πααπαα+=+=.又设i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率21==a c e ， 从而有)3,2,1()cos ||9(21)cos ||(||||2=-=--=⋅=i FP e FP c c a e Q P FP i i i i i i i αα. 解得)3,2,1()cos 211(92||1=+=i FP i i α. 因此))]34cos()32cos((cos 213[92||1||1||1111321παπαα+++++=++FP FP FP ，而0cos 23cos 21cos 23cos 21cos )34cos()32cos(cos 11111111=+---=++++αααααπαπαα，故32||1||1||1321=++FP FP FP 为定值.。