圆与圆的位置关系_(课用)
圆与圆的位置关系
a 2a 1 1
2
2
=a.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即 a=5 时,两圆外切, 当|C1C2|=r1-r2=3,即 a=3 时,两圆内切. (2)当 3<|C1C2|<5,即 3<a<5 时,两圆相交.
(3)当|C1C2|>5,即 a>5 时,两圆相离.
公式求出弦长.
②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长 、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
解:法一 圆 C1 与圆 C2 的方程联立,得方程组
2 2 x y 2 x 8 y 8 0, ① 2 2 x y 4 x 4 y 2 0, ②
4.2.2
圆与圆的位置关系
学习目标
• 能根据圆的方程,判断圆与圆的位置关系 • 掌握判断两位置关系的方法
课前自主学习
• 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为 __________、__________、__________、 __________、__________．
1.圆与圆的位置关系及判断方法 (1)几何法 位置关系 两圆相离 0 两圆内含 d<|r1-r2| 公共点个数 圆心距与半径的关系 d>r1+r2 图 x y 2x 8 y 8 0 与
2 2
• 圆 C2 : x y 4x 4 y 2 0 相交于两点.
2 2
• (1)求两圆的公共弦所在直线的方程; • (2)求两圆的公共弦长；
分析
(1)两圆相交时,公共弦所在的直线方程 若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则 两圆公共弦所在直线的方程为两圆方程联立消去二次项所得的 二元一次方程，即(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. (2)公共弦长的求法 ①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
外公切线的长为；内公切线的长为。
3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。
1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。
（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。
4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。
5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。
6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。
7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。
圆与圆位置关系的教案5篇
圆与圆位置关系的教案5篇圆与圆位置关系的教案1教学目标：1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法;两圆连心线的性质;2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力;3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力.教学重点：两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系.教学难点：两圆位置关系及判定.(一)复习、引出问题1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?(教师主导，学生回忆、回答)直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?(二)观察、分类，得出概念1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1))(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3))(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6))2、归纳：(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点.(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切).教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系.(三)分析、研究1、相切两圆的性质.让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明2、两圆位置关系的数量特征.设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.(图形略)两圆外切 d=R+r;两圆相交 R-r两圆内切两圆外离两圆内含d=R-r (R>r); d>R+r; dr);说明：注重“数形结合”思想的教学.(四)应用、练习例1：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?解：(1)设⊙P与⊙O外切与点A，则PA=PO-OA∴PA=3cm.(2)设⊙P与⊙O内切与点B，则PB=PO+OB∴PB=1 3cm.例2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作.求证：⊙O与⊙B相外切.证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC=12，∴⊙O的半径，且O是AC的中点∴，∵∠C=90°且BC=8，∴，∵⊙O的半径，⊙B的半径，∴BO= ，∴⊙O与⊙B相外切.练习(P138)(五)小结知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含;②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系;③两圆相切时切点在连心线上的性质.能力：观察、分析、分类、数形结合等能力.思想方法：分类思想、数形结合思想.(六)作业教材P151中习题A组2，3，4题.圆与圆位置关系的教案2教学目标(一)教学知识点1.了解圆与圆之间的几种位置关系.2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.(二) 能力训练要求1.经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力.2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力.(三)情感与价值观要求1.通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维.教学重点探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.教学难点探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程.教学方法教师讲解与学生合作交流探索法教具准备投影片三张第一张：(记作3. 6A)第二张：(记作3.6B)第三张：(记作3.6C)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种;还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言权.下面我们就来进行有关探讨.Ⅱ.新课讲解一、想一想[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?[生]如自行车的两个车轮间的位置关系;车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系;用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等.[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多.下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么.二、探索圆和圆的位置关系在一张透明纸上作一个⊙O.再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2.把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系?[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流.[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑.[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部;(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部;(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部;(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部;(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部.[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗?[生]外离和内含都没有公共点;外切和内切都有一个公共点;相交有两个公共点.[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种.经过大家的讨论我们可知：投影片(24.3A)(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离，相切三、例题讲解投影片(24.3B)两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点O，O’是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求TPN的大小.分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O’P=OO’，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PTOP，PNO’P，即OPT=O’PN=90，所以TPN等于36 0减去OPT+O’PN+OPO’即可.解：∵OP=OO’=PO’，△PO’O是一个等边三角形.OPO’=60.又∵TP与NP分别为两圆的切线，TPO =NPO’=90.TPN=360-290-60=120.四、想一想如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?切点与对称轴有什么位置关系?如果⊙O1与⊙O2内切呢?〔如图(2)〕[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明.反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立;第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论;第三步是证明假设错误，则原来的结论成立.证明：假设切点T不在O1O2上.因为圆是轴对称图形，所以T关于O1O2的对称点T’也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假设不成立.则T在O1O2上.由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上.在图(2)中应有同样的结论.通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线.五、议一议投影片(24.3C)设两圆的半径分别为R和r.(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系?反之当d与R和r 满足这一关系时，这两个圆一定外切吗?(2)当两圆内切时(R>r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系?反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗?[师]如图，请大家互相交流.[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A.因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2=O1A+O2A=R+r，即d=R+r;反之，当d=R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切.在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是 B.因为切点B在连心线O1O2上，所以O1O2=O1B-O2B，即d=R-r;反之，当d=R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切.[师]由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d=R+r.当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d=R-r时，两圆相内切，即两圆相内切 d=R-r.Ⅲ.课堂练习随堂练习Ⅳ.课时小结本节课学习了如下内容：1.探索圆和圆的五种位置关系;2.讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系;3. 探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系.Ⅴ.课后作业习题24.3Ⅵ.活动与探究已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径.分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O3的半径为r，则O1O3=O2O3=R+r，连接OO3就有OO3O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r.解：连接O2O3、OO3，O2OO3=90，OO3=2R-r，O2O3=R+r，OO2=R.(R+r)2=(2R-r)2+R2.r= R.板书设计24.3 圆和圆的位置关系一、1.想一想2.探索圆和圆的位置关系3.例题讲解4.想一想5.议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业圆与圆位置关系的教案3教学目标：探索圆与圆几种位置及两圆相切时两圆圆心距.半径的数量关系的过程.教学重点及教学难点：了解圆与圆的几种位置关系及两圆相切时圆心距d、半径R和r的数量关系一.创设问题情境，引入新课我们已经研究过点和圆的位置关系，还探究了直线和圆的位置关系，它们的位置关系都有三种.今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言权.下面我们就来进行有关探讨.二.新课讲解(一). 探索圆和圆的位置关系在一张透明纸上作一个⊙O.在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2.两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系?相互交流，总结出不同的位置关系. 投影片(§3.6.1)(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.?外离?外切(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离?，相切??内切.?内含(二)、例题讲解教师出示投影片(§3.6.2)(本节练习2)然后做好引导。
展示课《圆和圆的位置关系》课例研修报告及反思
展示课《圆和圆的位置关系》课例研修报告及反思郧西县城北中学江克芝我上课的内容是人教版九年级上册第十四章第二节《圆和圆的位置关系》(P98-100) ，我将从教材分析，教学目标，教法与学法教学过程设计，课后反思五个方面来具体阐述对本节课的理解和教学设计。
一、教材分析：1.地位和作用：本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书》九年级上册第二十四章第二节第三部分内容，《圆和圆的位置关系》是学生在已掌握了点与圆、直线和圆的位置关系等知识的基础上，来研究平面上两圆的不同位置关系，是学生对圆的知识应用的基础，也是今后到高中继续研究平面与球的位置关系，球与球的位置关系的基础。
因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
2.内容分析：《圆和圆的位置关系》内容是分两课时完成，本次课设计的是第一课时的教学。
主要内容是学习圆和圆的五种位置关系，然后能够初步利用圆和圆的位置关系和数量关系解题。
3.教学重点：两圆位置关系的判定和性质。
4.教学难点：探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距和两圆半径之间的数量关系。
二、教学目标：依据《数学课程标准》，以教材特点和学生认知水平为出发点，确定以下三个方面为本课时的教学目标。
1.了解圆和圆的五种位置关系，掌握两圆圆心距和两圆半径之间的数量关系，能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题。
2.通过本节课的学习，培养学生自己动手操作，学会观察、比较、想象、概括的逻辑思维能力；运用类比的方法探求新知识的能力。
3.结合本节课的教学实验向学生渗透用运动的观点来探究两圆的位置关系中的数量关系，让学生体会事物由量变到质变的辨证唯物主义观点；利用直观教学来激发学生学习的兴趣，感受数学中的美感；通过鼓励式教学让他们爱学，想学从而会学。
三、教法与学法1.学情分析学生在日常生活中接触过一些反映圆和圆的位置关系的实例，同时在前两节已学过有关点和圆、直线和圆的几种位置关系的内容，有一定的基础，而且圆这一知识又充满趣味性和吸引力，所以学生乐于参与数学活动，敢于质疑。
2圆与圆的位置关系课件
求：这三个圆的半径长.
问1: ⊙A、 ⊙B、 ⊙C两两外切 表示什么意思?
RA+RB=AB,
A
C
RA+RC=AC,
RB+RC=BC
问2：用怎样的方法求这三个圆的半径？
B
设元，列出三元一次方程组.
三、例题讲授
例2 如图，已知⊙A、 ⊙B、 ⊙C两两外切，且AB=3厘米， BC=5厘米，AC=6厘米，
（3）∵d=0.5 ∴0≤d ＜∣R1-R2∣
所以⊙O1和⊙O2的位置关系是内含.
适时小结
例1 已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4,根据下列条件 判断⊙O1和⊙O2的位置关系:
(1) O1 O2=7;(2) O1 O2=4; (3) O1 O2=0.5;
解:分别用R1、R2、d 表示⊙O1和⊙O2的半径和圆心距 .
这些数量关系可以借助于图形的直观性来推导.
三.例题讲授
例 ⊙1O1已和知⊙⊙OO2的1和位⊙置O关2的系半: 径长分别为3和4,根据下列条件判断 (1) O1 O2=7;(2) O1 O2=4; (3) O1 O2=0.5;
解:分别用R1、R2、d 表示⊙O1和⊙O2的半径和圆心距 . 由R1=3和R2=4得 R1+R2=7，∣R1-R2∣=1
O1
A
B
O2
两圆内含
O1 O2
d＞R1+R2 0≤d＜∣R1-R2∣
有一个交点： O1
O2
两圆相切
O1
O2
有两个交点：
两圆相交
O1
O2
两圆外切 两圆内切 两圆相交
d= R1+R2
0＜d= ∣R1-R2∣
∣R1-R2∣＜d＜R1+R2
2.5.2圆与圆位置关系 课件(共18张PPT)
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
2.5.2圆与圆的位置关系(解析版)
2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： 两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（ ）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（ ）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（ ）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（ ）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。
第18讲 圆与圆的位置关系4种常见考法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义
第18讲圆与圆的位置关系4种常见考法归类1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.知识点1圆与圆的位置关系1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．2．判定方法(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：|r－r|＜d＜C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)，2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．知识点2圆与圆位置关系的应用设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，①圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.③方程③表示圆C 1与C 2的公共弦所在直线的方程．(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．1、公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．核心技巧：利用圆心到切线的距离d r =求解知识点4圆系方程(1)以(,)a b 为圆心的同心圆圆系方程：22()()(0)x a y b λλ-+-=>；(2)与圆220x y Dx Ey F ++++=同心圆的圆系方程为220x y Dx Ey λ++++=；(3)过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为22()0()x y Dx Ey F Ax By C R λλ+++++++=∈4过两圆1C 221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-，此时圆系不含圆2C ：222220x y D x E y F ++++=）特别地，当1λ=-时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.1、判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d 与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．2、圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程可设为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．3、两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.4、公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．5、求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程考点一：圆与圆位置关系的判断（一）判断圆与圆的位置关系例1．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）圆()22(2)21x y -+-=与圆()()221225x y +++=的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．内含D ．外离【答案】B【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心和半径，并计算两圆的圆心距即可判断作答.【详解】圆()22(2)21x y -+-=的圆心1(2,2)C ，半径11r =，圆()()221225x y +++=的圆心2(1,2)C --，半径25r =，于是122121||5(,)C C r r r r ==∈-+，所以两圆相交.故选：B变式1．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O ：221x y +=与圆C :22650x y y +++=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．外切D ．内切【答案】C【分析】利用两圆外切的定义判断即可.【详解】圆O 是以(0,0)O 为圆心，半径11r =的圆，圆C :22650x y y +++=改写成标准方程为()2234x y ++=，则圆C 是以(0,3)C -为圆心，半径22r =的圆，则3OC =，12r r +=3，所以两圆外切，故选：C .变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆1C 的圆心在直线210x y +-=上，点()3,0与()1,2-都在圆1C 上，圆()()222:311C x y -++=，则1C 与2C 的位置关系是___________.【答案】相交【分析】利用待定系数法求得圆1C 的标准方程，求出圆心距12C C ，与两圆的半径和、差比较即可得出结论.【详解】设圆1C 的标准方程为()()2221x a y b r -+-=，因为圆心1C 在直线210x y +-=上，且该圆经过()3,0与()1,2-两点，列方程组22212221210(3)(0)(1)(2)a b a b r a b r +-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+--=⎩，解得1102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即圆1C 的标准方程为()2214x y -+=，圆心()11,0C ，半径12r =，又圆()()222:311C x y -++=，圆心()23,1C -，半径21r =，∴12C C =123r r +=，121r r-=，而13<<，∴1C 与2C 的位置关系是相交.故答案为：相交.变式3．【多选】（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，则（）A ．点(5,5)在圆C内B ．直线3)y x =-与圆C 相切C ．圆229x y +=与圆C 相切D ．圆2249x y +=与圆C 相切【答案】BCD【分析】根据点和圆的位置关系判断A 选项，根据圆心与直线距离判断B 选项，根据圆心间距离和半径和差比较判断圆圆位置关系判断C,D 选项.【详解】点(5,5)代入圆22:(3)(4)4C x y -+-=可得22(53)(54)414-+-=+>,点(5,5)在圆C 外，A 选项错误；圆22:(3)(4)4C x y -+-=,圆()3,4,2C r=,直线3)y x =-,圆心到直线距离2d =,B 选项正确；圆229x y +=,圆心()110,0,3C r=,11523CC r r ===+=+,圆229x y +=与圆C 相外切,C 选项正确;圆2249x y +=,圆心()220,0,7C r =,22572CC r r ==-=-,圆2249x y +=与圆C 相内切,D 选项正确.故选:BCD.变式4．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，动点P满足PA =，则使PAB 为等腰三角形的点P 个数为（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】设(),P x y，根据PA =可得动点P 的轨迹方程为圆22:(4)12M x y -+=，再结合PAB 为等腰三角形分析即可求解.【详解】设(),P x y ，由PA =，=整理得22(4)12x y -+=，记为圆.M又PA PB =>，PAB 为等腰三角形，则有4PA AB ==或4PB AB ==.因为圆22:(2)16A x y ++=与圆M 相交，故满足4PA AB ==点P 有2个；因为圆22:(2)16B x y -+=与圆M 相交，故满足4PB AB ==点P 有2个，故使PAB 为等腰三角形的点P 共有4个.故选：D.变式5．【多选】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知圆M ：22650x y y +-+=，圆N ：22280x y y ++-=，直线l ：340x y m -+=，则下列说法正确的是（）A ．圆N 的圆心为()0,1B ．圆M 与圆N 相交C ．当圆M 与直线l 相切时，则2m =D ．当7m =时，圆M 与直线l 相交所得的弦长为【答案】BD【分析】写出圆,M N 的标准方程确定圆心坐标和半径，判断||MN 与两圆半径的关系判断A 、B ；再由点线距离及相交弦长公式判断C 、D.【详解】由题设，22:(3)4M x y +-=，则(0,3)M 且半径2r =，22:(1)9N x y ++=，则(0,1)N -且半径3R =，A 错；所以4R r MN R r -<=<+，即两圆相交，B 对；M 到直线l 的距离|012||12|55m m d -+-==，若圆M 与直线l 相切，则|12|25m -=，所以22m =或2m =，C 错；当7m =时1d r =<，即圆M 与直线l 相交，相交弦长为=D 对.故选：BD变式6．（2022·全国·高二专题练习）已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.【详解】设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-=，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.（二）由圆的位置关系求参数例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）若圆221:4C x y +=与圆2222:20C x y mx m m +-+-=外切，则实数m =（）A ．－1B ．1C ．1或4D ．4【答案】D【分析】由两圆的位置关系计算即可.【详解】由条件化简得()222:,0C x m y m m -+=∴>，即两圆圆心为()()120,0,,0C C m ，设其半径分别为12,r r ，122,r r ==121224C C m r r m ==+=+⇒=.故选：D变式1．（2023秋·高二课时练习）若两圆22(1)4x y ++=和圆22()1x a y -+=相交，则a 的取值范围是（）A ．02a <<B ．02a <<或42a -<<-C ．42a -<<-D ．24a <<或20a -<<【答案】B【分析】圆()2214x y ++=与圆()221x a y -+=相交，则圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，解不等式．【详解】 圆()2214x y ++=与圆()221x a y -+=相交，∴两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，即2121-<<+，所以113a <+<.解得02a <<或42a -<<-.故选：B变式2．（2023秋·高二课时练习）当a 为何值时，两圆2222450x y ax y a +-++-=和2222230x y x ay a ++-+-=.(1)外切；(2)相交；(3)外离.【答案】(1)5a =-或2a =(2)52a -<<-或1a 2-<<(3)5a <-或2a >【分析】（1）化两圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距d ，由1212||d C C r r ==+列式，即可求解.（2）由1212||r r d r r <+<-列不等式组，即可求出a 的范围.（3）由1212||d C C r r =>+列不等式，即可求出a 的范围.【详解】（1）设圆2221:2450C x y ax y a +-++-=，半径为1r ，得221:()(2)9C x a y -++=，圆心1(,2)C a -，13r =.2222:2230C x y x ay a ++-+-=，半径为2r ，得222:(1)()4C x y a ++-=，圆心1(1,)C a -，22r =.圆心距12||d C C ===因为两圆12,C C 外切，则1212||5d C C r r ==+=5=，解得5a =-或2a =.（2）因为两圆12,C C 相交，则121212||||r r C C r r -<<+，即121||5C C <<，所以15<，解得52a -<<-或1a 2-<<.（3）因为两圆12,C C 外离，则1212||d C C r r =>+，即12||5C C >，5>，解得5a <-或2a >.变式3．（2022秋·高二课时练习）若圆222x y r +=与圆222440x y x y ++-+=有公共点，则r 满足的条件是（）A ．1rB ．1r >+C ．1r ≤D ．1r <【答案】C【分析】根据两圆之间的位置关系，由圆心距和半径之间的关系即可求解.【详解】由222440x y x y ++-+=得()()22121x y ++-=，∵两圆有公共点，∴11r r -≤+，1r -＃1，即11r -≤，∴1r ≤，故选：C.变式4．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆1C ：()()()222120x y r r -++=>与圆2C ：()()224216x y -+-=有公共点，则r 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．[]1,5C ．[]1,9D ．[]5,9【答案】C【分析】根据题意得到1244r C C r -≤≤+，再解不等式即可.【详解】由题知：()11,2C -，1r r =，()24,2C ，24r =，125C C =.因为1C 和2C 有公共点，所以1244r C C r -≤≤+，解得19r ≤≤.故选：C变式5．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知圆()()()222:3425C x y r r *-+-=+∈N ，()1,0M -，()1,0N ，若以线段MN 为直径的圆与圆C 有公共点，则r 的值可能为______.（写出一个即可）【答案】1（2,3均可）答案不唯一【分析】根据题意，由已知利用圆与圆的位置关系即可求解.【详解】由题意得，圆221x y +=与圆()()222:3425C x y r -+-=+有公共点，11≤≤，∴46≥≤，且0r >，解得0r <1r =，2，3均可.故答案为：1（2,3均可）变式6．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆22:(4)(3)4C x y -++=和两点(,0),(,0)(0)->A a B a a ，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则a 的最小值为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【分析】根据条件，将问题转化成圆222x y a +=与圆C 有公共交点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果.【详解】由90APB ∠=︒，得点P 在圆222x y a +=上，故点P 在圆222x y a +=上，又点P 在圆C 上，所以，两圆有交点，因为圆222x y a +=的圆心为原点O ，半径为a ，圆C 的圆心为(4,3)-，半径为1，所以|1|1a OC a -≤≤+，又5OC ==，所以|1|51a a -≤≤+，解得46a ≤≤，所以a 的最小值为4.故选：C.变式7．（2023秋·高一单元测试）已知圆221:()(2)9O x m y -++=与圆222:()(2)1O x n y +++=内切，则22m n +的最小值为_______【答案】2【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可．【详解】圆1O 的圆心为(,2)m -，半径为13r =，圆2O 的圆心为(,2)n --，半径为21r =，∴两圆的圆心距||d m n =+，两圆内切，||2m n ∴+=，可得()2222222442m n mn m n mn m n ++=⇒-+=≤+，所以222m n +≥．当且仅当1m n ==时，取得最小值，22m n +的最小值为2．故答案为：2．变式8．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆C 的方程为221x y +=，若直线()3y k x =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相外切，则k 的取值范围为__________．【答案】,55⎡-⎢⎣⎦【分析】根据题意，由圆C 的圆心到直线()3y k x =-的距离不大于两半径之和求解.【详解】解：因为直线()3y k x =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相外切，所以圆C 的圆心到直线()3y k x =-的距离不大于两半径之和，即2d =≤，化简得254k ≤，解得k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦考点二：与圆相交有关的问题（一）求两圆的交点坐标例3．（2022·高二课前预习）圆221x y +=与圆222210x y x y ++++=的交点坐标为（）A ．(1,0)和()0,1B ．(1,0)和()0,1-C ．(1,0)-和()0,1-D ．()1,0-和()0,1【答案】C【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案.【详解】由222212210x y x y x y ⎧+=⎨++++=⎩,可得10x y ++=，即=1y x --，代入221x y +=，解得=1x -或0x =，故得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩,所以两圆的交点坐标为(1,0)-和()0,1-,故选:C变式1．（2022·高二课时练习）求圆22230x y x +--=与圆224230x y x y +-++=的交点的坐标．【答案】(1,2)-、(3,0)【分析】联立两圆方程可得3y x =-，将其代入其中一个圆的方程中求出点坐标.【详解】由题设，22224232300x y x y x y x +-⎧+--=++=⎪⎨⎪⎩，相减可得3y x =-，所以222(3)232860x x x x x +---=-+=，解得1x =或3x =，当1x =时，132y =-=-；当3x =时，330y =-=；所以交点坐标为(1,2)-、(3,0).变式2．（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆1C ：22640x y x y ++-=和圆2C ：2260x y y +-=交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是______.【答案】390x y -+=【分析】由两圆的方程得两圆心坐标，两圆心所在直线的方程即为所求直线方程，【详解】圆1C 方程为22(3)(2)13x y ++-=，圆2C 方程为22(3)9x y +-=，则圆心分别为1(3,2)C -，2(0,3)C ，两圆相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线即为直线12C C ，123210(3)3C C k -==--，则直线12C C 的方程为133y x =+，即390x y -+=，故答案为：390x y -+=变式3．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）已知圆22:16O x y +=与圆22:86160C x y x y ++++=交于A ，B 两点，则四边形OACB 的面积为（）A ．12B ．6C ．24D ．245【答案】A【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由()4,0A -和()4,3C --可知OA AC ⊥，则四边形OACB 的面积1222OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅ ，计算即可.【详解】圆22:16O x y +=，圆心坐标为()0,0O ，半径14r =，圆22:86160C x y x y ++++=化成标准方程为()()22439x y +++=，圆心坐标为()4,3C --，半径23r =，圆O 与圆C 都过点()4,0-，则()4,0A -，如图所示，又()4,3C --，∴OA AC ⊥，由对称性可知，OB BC ⊥，4OA OB ==，3AC BC ==，则四边形OACB 的面积12243122OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅=⨯= .故选：A（二）圆系方程的应用例4．（2023·全国·高三专题练习）经过点()1,1P 以及圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点的圆的方程为______．【答案】2220x y x y ++--=【分析】求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得答案.【详解】联立22224044120x y x y x y ⎧+-=⎨+-+-=⎩，整理得2y x =+，代入2240x y +-=，得220x x +=，解得0x =或2x =-，则圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点坐标为(0,2),(2,0)-，设经过点()1,1P 以及(0,2),(2,0)-的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则20420420D E F E F D F +++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得112D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，故经过点()1,1P 以及圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点的圆的方程为2220x y x y ++--=，故答案为：2220x y x y ++--=变式1．（2022秋·高二单元测试）求过两圆221:240C x y y +--=和圆222:420C x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.【答案】22310x y x y +-+-=【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线l 的方程，从而求出圆的方程.【详解】设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭，把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭代入2410x y +-=得24102111λλλ-++⨯+⨯-=，解得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．（三）求两圆公共弦方程例5．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）圆221:130O x y +-=与圆222:650O x y x +-+=的公共弦所在直线方程为___________.【答案】30x -=【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.【详解】圆221:130O x y +-=的圆心为(0,0)，半径为1r =圆222:650O x y x +-+=的圆心为(3,0)，半径为22r =，则121212||3r r O O r r -<=<+，则两圆相交，故将两圆方程相减可得：6180x -=，即30x -=，即圆221:130O x y +-=与圆222:650O x y x +-+=的公共弦所在直线方程为30x -=，故答案为：30x -=变式1．（2022秋·高二课时练习）已知圆2212610C x y x y ++-+=：与圆22242110C x y x y +-+-=：，求两圆的公共弦所在的直线方程（）A ．3460x y ++=B ．3460x y +-=C ．3460x y --=D ．3460x y -+=【答案】D【分析】由两圆方程相减即可得公共弦的方程.【详解】将两个圆的方程相减，得3x －4y ＋6＝0.故选：D.变式2．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆1C ：222(1)x y r ++=过圆2C ：22(4)(1)4x y -+-=的圆心，则两圆相交弦的方程为______.【答案】5190x y +-=【分析】求出2r ，得到圆1C ，两圆相减得到相交弦方程.【详解】圆2C ：22(4)(1)4x y -+-=的圆心坐标为()4,1，因为圆1C 过圆2C 的圆心，所以222(41)1r ++=，所以226r =，所以1C ：22(1)26x y ++=，两圆的方程相减可得相交弦方程为5190x y +-=.故答案为：5190x y +-=.变式3．（2022秋·高二课时练习）已知过圆224x y +=外一点()3,4P 做圆的两条切线，切点为,A B 两点，求,A B 所在的直线方程为（）A ．3440x y +-=B ．3440x y ++=C ．3440x y --=D ．3440x y -+=【答案】A【分析】根据切线的特征可知,A B 所在的直线为圆224x y +=和以OP 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,以OP 为直径的圆的公共弦所在的直线方程，【详解】根据题意得,A B 所在的直线为圆224x y +=和以OP 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,以OP 为直径的圆的公共弦所在的直线方程，因为5OP =，所以圆()2222325234024M x y x y x y :＋骣琪--=Þ+--=琪桫，两圆相减得,A B 所在的直线方程为3440x y +-=.故选：A.（四）求两圆公共弦长例6．（2022·高二课时练习）已知圆221:(1)5C x y +-=，圆222:420C x y x y +-+=.(1)求圆1C 与圆2C 的公共弦长；(2)求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】(1)(2)22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +-+-+--=，化简得10x y --=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y --=的距离为d =则22215232AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得AB =，所以公共弦长为（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则2242240,1111x y x y λλλλλλ-+-+-=≠-+++；由圆心21,11λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭在直线241x y +=上，则()414111λλλ--=++，解得13λ=，所求圆的方程为22310x y x y +-+-=，即22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法二：由（1）得1y x =-，代入圆222:420C x y x y +-+=，化简可得22410x x --=，解得22x =；当22x =时，2y =；当22x =时，2y =-；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222222222241a b a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以222317222r ⎛⎛=+--= ⎝⎭⎝⎭；所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式1．（2023·河南·统考二模）若圆221:1C x y +=与圆222:()()1C x a y b -+-=的公共弦AB 的长为1，则直线AB 的方程为（）A ．210ax by +-=B ．230ax by +-=C ．2210ax by +-=D ．2230ax by +-=【答案】D【分析】将两圆方程相减得到直线AB 的方程为22220a b ax by +--=，然后再根据公共弦AB 的长为1即可求解.【详解】将两圆方程相减可得直线AB 的方程为22220a b ax by +--=，即22220ax by a b +--=，因为圆1C 的圆心为(0,0)，半径为1，且公共弦AB 的长为1，则1(0,0)C 到直线22220ax by a b +--=的距离为2，223a b +=，所以直线AB 的方程为2230ax by +-=，故选：D.变式2．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C 的圆心为()2,2-，且与直线0x y ++相切．(1)求圆C 的方程；(2)求圆C 与圆224x y +=的公共弦的长．【答案】(1)22(2)(2)20x y -++=(2)【分析】（1）由题意求得圆的半径，即可求得答案；（2）将两圆方程相减，求出两圆的公共弦方程，根据弦长、弦心距以及圆的半径之间的关系即可求得答案.【详解】（1）由题意得圆C 的半径为r =故圆C 的方程为22(2)(2)20x y -++=；（2）圆224x y +=和22(2)(2)20x y -++=的圆心距为而22<<+，即两圆相交，将224x y +=和22(2)(2)20x y -++=相减得20x y -+=，圆224x y +=的圆心到20x y -+=的距离为d ==故两圆的公共弦长为=变式3．（2021秋·高二课时练习）若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则直线AB 的方程为________；线段AB 的长为________．【答案】x ＝±14【分析】连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，利用勾股定理和等面积法，求出AC ，进而求出AB ，根据1OO ，求出m ，进而联立求出直线AB 的方程.【详解】连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA ||O 1A |＝∴|OO 1|＝5，∴|AC |2，∴|AB |＝4．由|OO 1|＝5，得5m =±，所以，联立可得2222(5)520x y x y +-±-=-，解得直线AB 的方程为x ＝±1．故答案为：①1x =±；②4.变式4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆221:1O x y +=与圆()2222201：O x y x y F F +-++=<2O 的半径r =（）A ．1BC 1D【答案】D【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆2O 圆心与半径表达式可得答案.【详解】221x y+=与()2222201：O x y x y F F +-++=<两式相减得2210:l x y F ---=，即公共弦所在直线方程.圆2O 方程可化为()()22211:O x y -++2F =-，可得圆心()21,1O -，2O 半径r =则圆心2O 到l 的距离为d ==半弦长为2，则有2222r F +==-⎝⎭，解得3F =-或1F =（舍），此时r =.故选：D .变式5．（2021秋·高二课时练习）圆2221:22210C x y ax ay a ++++-=与圆2222:22220C x y bx by b ++++-=的公共弦长的最大值是（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】将两圆转化成标准方程，根据标准方程得出两圆圆心均在直线y x =上，再利用几何关系即可求出结果.【详解】由222x y 2ax 2ay 2a 10++++-=，得()()22x a y a 1+++=，圆心1(,)C a a --，半径11r =；由2222:22220C x y bx by b ++++-=，得()()22x b y b 2+++=，圆心2(,)C b b --，半径2r =所以两圆圆心均在直线y x =上，半径分别为1，如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2.故选：D.考点三：两圆的公切线问题（一）圆的公切线条数例7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆221:(2)(4)25C x y +++=与圆222:(1)9C x y ++=的公切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.【详解】圆221:(2)(4)25C x y +++=的圆心坐标为(2,4)--，半径为5；圆222:(1)9C x y ++=的圆心坐标为(1,0)-，半径为3，所以两圆的圆心距为d因为5353-<+，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条.故选：B.变式1．【多选】（2023秋·高一单元测试）已知圆221:9C x y +=与圆222:(3)(4)16C x y -+-=，下列说法正确的是（）A ．1C 与2C 的公切线恰有4条B ．1C 与2C 相交弦的方程为3490x y +-=C ．1C 与2C 相交弦的弦长为125D ．若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||12PQ =【答案】BD【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.【详解】由已知得圆1C 的圆心()10,0C ，半径13r =，圆2C 的圆心()23,4C ，半径24r =，1221125,C C r r d r r ==-<<+，故两圆相交，所以1C 与2C 的公切线恰有2条，故A 错误；做差可得1C 与2C 相交弦的方程为3490,x y +-=1C 到相交弦的距离为95，故相交弦的弦长为245=，故C 错误；若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max 1212||12PQ C C r r =++=，故D 正确.故选：BD变式2．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知直线l 是圆:C ()()22211x y -+-=的切线，并且点()3,4B 到直线l的距离是2，这样的直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【分析】由已知可推得，直线l 是圆C 与圆B 的公切线.根据两圆的圆心、半径，推得两圆的位置关系，即可得出答案.【详解】由已知可得，圆心()2,1C ，半径11r =.由点()3,4B 到直线l 的距离是2，所以直线l 是以()3,4B 为圆心，22r =为半径的圆的切线，又直线l 是圆:C ()()22211x y -+-=的切线，所以，直线l 是圆C 与圆B 的公切线.因为123BC r r ==>=+，所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D.变式3．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆221:1Cx y +=和2221:2502C x y ay a a ⎛⎫+---=> ⎪⎝⎭有且仅有一条公切线，则=a______；此公切线的方程为______【答案】120y ++=【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求a ，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得出斜率即可求解.【详解】如图，由题意得1C 与2C 相内切，又22221:()()452C x y a a a a ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭，所以121C C ==，所以21a +=1a =，所以)2C，12C C k==联立(()2222119x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以切点的坐标为122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故所求公切线的方程为12y +=2x +⎭20y ++=．故答案为：120y ++=变式4．（2022秋·高二课时练习）已知两圆2211C x y +=：，()()()2222120C x y r r -+-=>：，当圆1C 与圆2C 有且仅有两条公切线时，则r 的取值范围________.22r <<【分析】根据两圆相交即可利用圆心距与半径的关系求解.【详解】若圆C 1与圆C 2有且仅有两条公切线时，则两圆相交，圆心C 1()0,0，半径R ＝2，圆C 2()1,2，半径r ，则12C C ==若两圆相交，则满足12<<r R C C R r -+，即22r r -<+,22r <+，22r <+变式5．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆2226940x y ax a +++-=和222290x y by b ++--=恰有三条公切线，若R a ∈，R b ∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（）A ．1625B ．3225C ．169D ．329【答案】A【分析】确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到22925a b +=，变换得到()22222219111125b a b a b a ⎛⎫+= ⎪⎭++⎝，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】2226940x y ax a +++-=，即()2234x a y +=+，圆心()13,0O a -，12R =；222290x y by b ++--=，即()229x y b +-=，圆心()20,O b ，半径23R =；两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故12125O O R R =+=，即22925a b +=，()222222222211111111610102525252599a b a b a b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭+⎭.当且仅当22229b a a b=，即22512a =，2254b =时等号成立.故选：A（二）圆的公切线方程例8．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆()()224316x y -++=和圆221x y +=都相切的一条直线的方程___________.【答案】1y =（答案不唯一，247250x y ++=或4350x y --=均可以）【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123l l l ，，，易得切线1l 的方程为1y =；因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=；可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上，在1l 上取点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ，则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=，综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=.故答案为：1y =（答案不唯一，247250x y ++=或4350x y --=均可以）变式1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知圆()22:11C x y -+=与圆(22:1E x y +=，写出圆C和圆E 的一条公切线的方程______.【答案】10x +=20y +-=20y +=.【分析】设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离均为1求解方程.【详解】设圆的公切线为y kx b =+，11==|||k b b ⇒+=，k =2k b-代入求解得：2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或b k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以切线为：2,y =+或2y =+或10x +=故答案为：10x -+=20y +-=20y +=.变式2．（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆221:1O x y +=和222:(3)1O x y -+=都相切的一条直线方程____________．【答案】3)52y x =±-或1y =±中任何一个答案均可【分析】先判断两圆的位置关系，可知公切线斜率存在，方程可设为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.【详解】圆221x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆222:(3)1O x y -+=的圆心为()23,0C ，半径为21r =，则12123C C r r =>+，所以两圆外离，由两圆的圆心都在x 轴上，则公切线的斜率一定存在，设公切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则有11==，解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01k b =⎧⎨=⎩或01k b =⎧⎨=-⎩所以公切线方程为3)2y x =-或1y =±.故答案为：1y =.（答案不唯一，写其它三条均可）变式3．【多选】（2022秋·高二单元测试）已知圆()()221:211C x y -+-=，圆()()222:211C x y +++=，则下列是圆1C 与圆2C 的公切线的直线方程为（）A ．0y =B ．430x y -=C．20x y -=D．20x y +=【答案】ABC【分析】在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由点到直线距离公式即可求得切线方程.【详解】根据题意可知，两圆心()()122,1,2,1C C --关于原点对称，在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：显然，圆心距1211C C =+，即两圆外离，共有4条切线；又两圆心到x 轴的距离都等于其半径，所以x 轴是其中一条公切线，即A 正确；利用对称性可知，其中一条切线1l 过原点，设其方程为y kx =，又()12,1C 到切线1l 的距离为11=，解得0k =或43k =；当0k =时，切线即为x 轴，当43k =时，切线方程为43y x =，即430x y -=，B 正确；由对称性可知，切线23,l l 与直线12C C 平行，易知12111222C C k +==+，所以直线12C C 的方程为12y x =，可设23,l l 的方程分别为12y x c =+，()1,02y x c c =->1=，解得2c =，即切线23,l l的方程分别为122y x =+，122y x =-；整理可得两切线方程为20x y -=和20x y -=，故C 正确，D 错误；故选：ABC（二）圆的公切线长例9．【多选】（2023春·山东青岛·高二统考开学考试）已知圆221:1C x y +=，圆222:2210C x x y y -+-+=，则（）A ．圆1C 与圆2C 相切B ．圆1C 与圆2CC ．圆1C 与圆2C 公共弦所在直线的方程为1x y +=D ．圆1C 与圆2C 公共部分的面积为π12-【答案】BCD【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A ，B ，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断C ，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D.【详解】解：因为圆221:1C x y +=，圆222:2210C x y x y +--+=，所以圆1C 的圆心为1(0,0)C ，半径11r =，圆2C 的圆心为2(1,1)C ，半径21r =，所以121212r r C C r r -<=+，故圆1C 与圆2C 相交，即A 错误；因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为12C C =B 正确将两圆方程作差得10x y +-=，所以两圆公共弦所在直线l 的方程为10x y +-=，故C 正确；因为1C 的圆心为1(0,0)C ，半径11r =，所以1(0,0)C 到直线10x y +-=的距离为1d所以公共弦长为又圆心2(1,1)C 到直线10x y +-=的距离为2d ==所以圆1C 与圆2C 公共部分的面积为11π2π14222⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BCD变式1．【多选】（2022秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）圆221:2660C x y x y ++-+=与圆222:2210C x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则（）A ．AB 的直线方程为4450x y -+=B ．公共弦AB 的长为8C ．圆1C 与圆2C D ．线段AB 的中垂线方程为20x y +-=【答案】ACD【分析】对于A ，两圆方程相减可求出直线AB 的方程，对于B ，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦AB 的长，对于C ，求出12C C ，对于D ，线段AB 的中垂线就是直线12C C ，求出直线12C C 的方程即可.【详解】由222660x y x y ++-+=，得22(1)(3)4x y ++-=，则1(1,3)C -，半径12r =，由222210x y x y +--+=，得22(1)(1)1x y -+-=，则2(1,1)C ，半径21r =，对于A ，公共弦AB 所在的直线方程为2222266(221)0x y x y x y x y ++-+-+--+=，即4450x y -+=，所以A 正确，对于B ，2(1,1)C 到直线AB 的距离d =，所以公共弦AB 的长为4AB ==，所以B 错误，对于C ，因为12C C ==，12r =，21r =，。
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圆与圆的 位置关 系PPT完 美课件
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3．用坐标法解决几何问题时应注意以下几点 (1)应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系，不可随便建 立． (2)在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时 要注意取值范围． (3)最后要把代数结果转化成几何结论．
4．2.2 圆与圆的位置关系 4．2.3 直线与圆的方程的应用
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【课标要求】 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2．能利用直线与圆的方程解决简单的实际问题． 【核心扫描】 1．会进行圆与圆位置关系的判断．(重点) 2．用直线与圆、圆与圆的方程解决平面几何问题和其他综合问 题．(难点)
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3．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立适当的 平面直角坐标系 ，用坐标和方程表示问题 中的 几何元素 ，将平面几何问题转化为 代数问题 ． (2)通过代数运算，解决代数问题 ． (3)把代数运算结果 “翻译”成几何结论并作答．
d＝|r1－r2|
d< |r1－r2|
(2)代数法：设两圆的方程分别为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E12－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)， 联立方程xx22＋＋yy22＋＋DD12xx＋＋EE12yy＋＋FF12＝＝00，.
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圆与圆的 位置关 系PPT完 美课件
圆和圆的位置关系
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城市里过分的静，哪怕是短暂的，就有一种时光停滞之感，静得让人不安、疑虑重重。人们已被声响渗透全身。 ? 前不久我去了一个山村，带去读的几本书，其中有一本是席勒文集。那天下午无所事事，我走到村外的一株大樟树下，坐在落满樟叶的坡上，一页页地翻动。我不时地让眼 睛离开书页，看着眼前的；秋景。稻谷已是金黄，待割；荒草尖流露着枯意，生命进入了末端.有时头顶的树叶就落在段落,是黄里带红的那一种。四周的山水、田园静谧。秋天的装饰、生存的装饰，在午后的阳光下泛着简洁的光。这时席勒的一段话就飘入我的眼帘，“当一个人离开尘嚣 伫立在豁朗的天穹之下，当他幽居村舍，漫步田间之时，他看到一朵模模样寻常的花儿，一片明媚的春光，一块覆盖着青苔的山石，一声声鸟雀的啁啾，蜜蜂的嗡嗡……”天哪！席勒描述的春景，其中的和谐和浑然，与我此时的情致不是如出一辙么。一两声的鸟鸣，一两声的牛哞，一两 声的羊咩，是如此这般巧妙穿插生动地点缀。幽居只有指出村，城市是无来由论说幽居的，城里只能说蛰伏击。蛰伏是不从容闲雅的，幽居则享受天然不尽。这么说当然不是指村民们在生活中都不弄出些声响，而是这些声响也相应地天然质朴。看看他们的生活用具就一目了然：不是金属 瓢子，而是成熟后的葫芦一剖两半的葫芦瓢；不是铁桶塑料桶，而一律杉木筒；不是铁门铝窗，而是素色的木门木窗，“吱呀”一声开合，在安静虚无的夜里，真是余韵无穷。就是大热天，村上也不置电扇空调，大人小孩一柄棕树叶编织成的团扇，足以消解让人厌烦的漫长夏季。这些与 竹木类仍然越抱越紧的生活方式，我们说原始也罢、无趣也罢，已经变得冥冥之中有灵犀了，并不因此影响生活质量。他们的生息是循四季进展开的，他们是世袭通晓四季音符的人。 ? 城乡声响的迥异，使人预测有的声响要被改造、被同化。声响的两大类别就是市声和村声。事实明， 市声已向村声推进了，这使城市边缘的村庄变得声调失去常态，有些古怪离奇。其中一部分山村的和谐之声走失，是与老一辈故去有瓜葛的。我这里说的地方戏，你要认识一代人的心灵，完全可以从腔调入手，找到其中的情结。那一代人会不动不动地坐着，痴迷地盯着舞台上长袖善舞， 眉目传情，声调抑扬里，盛不又尽牢骚抑郁的啸号愤激之情、慷慨流连诙谐笑谑之态，不由感慨人世的哀乐交融、荣悴迭代。台上曾经的名角，被台下的人灼灼目光追逐着。多少时日过去了，某一个唱腔隐约漾起，还会令人涌起如梦如烟的往事，重又再现玉手传笺的美丽夜色，不能淡忘 舞台上那临风玉立缟衣吹拂的滋味。这一代人不见了，下一代人鲜有耐性，和谐之声遂为嘈切，更遑论从腔调的游移中庄周之幻化、曼傅之诙谐了。上一代人的至乐，被下一代人倾听的方式不同，对于声响必有取舍。所谓生命就是如此，有生有死，有湮没有更新。声响不也是一种生命？！ 在一些文化积淀厚实的人家里，累代相传的都是琅琅书声。书声无论在什么时节，不管是初涉诗书的孩童，还是腹笥充实的老者，书声都长久怡人。没有人会嫌书声。一落破旧的老宅，由于有了书声，使它变得生机勃发，使人见到希望。书声是不分贫贱的，甚至在声调里，它的平民色彩 还会浓一些。它盛满了平头百姓的秘密，循着书声，可以追溯一个家族的过去，以及未来的走向。我在山村好几次见到这样的情景：儿子在读书，父亲在旁边敲敲打修农具，这时婆娘必定走过来，让丈夫把农具拎到户外去摆弄，生怕乱了孩子的书声。晚间的山村没有电灯，油灯最亮的那 一盏一定是属读书小儿的，习惯在点亮时再把灯芯挑高一点。其他房间则一片昏黄或漆黑一团。这些细节很多年来都让我萦绕于怀。尽管我在旁边听着，却听不懂，孩子的乡音太重。我依旧觉得这是上好的声响。后来，听说有几个小孩就在书声中考进城来了。在噪声这般繁重的空间，他 们还能一如既往地固守内心的安宁吗？ 对于噪声,我们更多的替肉体担心,因为肉体受到了伤害,让我们寝食不安日渐枯瘦,日子的节奏在潦潦草草中随便带过,从容不迫成了奢望.，在公共的场合上,人们要躲避噪声是徒劳的,城里那千万只蟑螂一般奔驶的汽车、摩托，是这个空间流动不息 的噪声传播器，在无数街巷惊惊惶惶的散播；还有不少人拿着手机，肆无忌惮的大喊大叫，宛如发生了倾国倾城的大事。于是噪声的种类比以前增添了品种，噪声量也不得不成立治理噪声的组织。可是对付无所不在的噪声，还是另人招架不及。噪声生命力正在增强，运动的状态使它们不 分城南城北，涵盖了整个城市。我想起了古人有过庭院深深深几许的佳句，佳句犹存，永远会喜欢那样的庭院。庭院成了单元房，那些梦中的回廊、花径、天井消失了，幽深的长景一浅显，噪声就长驱直入。 现在我们就爱说古人坐得住。宁静是古文人的恋人，拥之而坐。宁静使人心绪 淡远，举止斯文而有雅气。坐品宁静，可以由此穿透到永久，与那时的人相聚。古文人的息息相通，从氛围上来解是同一个谜底，他们有那么多的暗合之处，如合符契另人惊艳。至于为什么会这般相似，有时只能是永久的秘密了，让他们发生同样的思索和爱情，在宁静中诞生、长大、故 去。后来的空间转为“现代”，声响也变得难以捉控了。多了一种声响，静坐书斋就多了一份踌躇。当一个人守不住他的冷板凳，有许多梦想今生是注定无法实现了。渴望在蓝天白云间飞翔，迎接八面来风，这是很多浪漫气息的。商海漫游、仕途拼搏，更多的人习惯了觥筹交错中的热闹， 习惯了前呼后唤的虚荣。当然，对于独处默坐的书斋生活再也不会习惯了。那个曾经闭合的范围里，曾经是精神意义上的家园，成为破旧的空巢。 水汪汪的眼 ? 对于深度的感受，我不是从书本开始的———一个不谙世事的孩童，很难领会数字给予的启蒙，譬如我们身处海平面多少米。 我不能不一次又一次地发现，成年后对于深度的认识，都要缘于孩童时代的亲眼所见。可以肯定指出，家园中曾经有过三眼汪汪的古井，如同三枚饱满滋润的水印子，钤盖在我敏感的皮肤上。 ? 观察着疏朗的枝叶向上生长的时候，对于古井低于人们行走的平面，我是油然产生奇怪的— ——既然向下发掘可以获得清亮的井水，那么，一定也会有很多未知的宝藏隐匿。多雨潮湿的地方啊，掘一眼井不算难事，可本意真是如此吗？我会觉得在这个家园里，掘地三尺另有企图，最终以一泓清泉的涌出作为回报。随着这些不知哪个朝代掘出的水井存世，井的周遭理所当然成了 果林和菜园———井的延续改造了生活的面目，比掘出其他宝藏都清纯和透彻。 ? 井的出现使我对于深度有了抚摸的可能。间接地通过井绳，与深井接触。平静的水面，随着邻里结伴汲水，三四个小木桶此落彼起，烂银子似的荡漾波光。甚至在早睡的梦里，还能听到大人们借着洁白的 月色浇灌、木桶击水或者桶帮与井壁磕碰的声响。朴素的温馨之夜，在清流的泼洒中走进安宁。一眼古井，经过漫长时日的打磨，已经泰然地与人亲和，不需要后人特意花费心机护理，只管使用便是。这也让人们对古井的牵挂最少，似乎前人的一次性劳动，后人得以永享安逸。对于轻松 地享用，自然削弱了古井的重要———人的本性通常如此，譬如那些会讨会要咋呼不休的人，往往得到满足；而斯文缄默者，被人淡忘。在我那时学会的几个成语里，都是对井的不敬———井底之蛙、坐井观天，贬低的口吻里，分明涉及了井的固有状态，它的狭窄如“眼”，缺乏闳大的 格局和开阔的气派，由此受到牵连。只有与井为邻的人才知道，古井的周围远比其他地方翠绿和润泽，有一缕缕草浆汁水的生生气息在井栏边无声地漾开；夏日里干渴的黄蜂和蜾蠃会结伴而来，伏在井沿凹下的水渍里。没有人去追问古井的来源，对于清亮照人的水和井内黑暗下去的视线， 即便联想纷起，却没有一个人表示贪欲———共同拥有，人们的心态大都平静得如同井内之水。 ? 区分新井和古井的差别是轻易的。新井内被砌起的石条全是崭新和锐利，白生生的茬口流露着火气，动荡的木桶不小心被磕碰，绳索被磨砺，马上露出伤痕。新井的水不时涌动着，水色浑 浊，携带着土腥味。掘井人需要有足够的耐性等待清澈，每日汲出大量的水用于浇灌，期望浊去清来。不须太久，新井躁动的情绪被净化如一面不动的镜子，风吹不到，皱纹不生。井水的清冽、甘甜，传出后，来来往往的人就多了起来。时间慢慢地流过，井水总停留在一个水平面上，从 未见少。 ? “取之无尽，用之不竭”，记得小学老师把这八个字赋予了一个伟大的思想。我脑子一闪而过的，是老家那几眼黑洞洞的水井，这无疑是最感性和具体的。我甚至想，一些用语，如果乐于迎合思想和主义，对于涉世不深的少年，领会也许失之千里万里。完全可以用身旁的、 日常的材料，大大缩短领会的长度———漫无边际地撕扯，只能让人无奈。至少，你感到诚惶诚恐。一切认识都毋须安排，要刻在头脑里剜却不去的，只能靠自己在岁月行走中获得的某些机缘。它自然而然地进入，比灌输的更不易风化。 ? 时日在井底下流失。当年锋棱锐利已经成为钝 拙，曾经崭新的色泽变得泛黄，一些黧黑的苔藓，星星点点地附在井壁上，让人一眼望下去，发出井已老矣的感叹。冬温夏凉，井水在浑然无声的节候里默契转换。这样的井，是苍天幽深的眼神，水汪汪地穿透一切天机世相。水与水是不可相比的，波来波往、潮起潮落，流动的水是时间 的一种表征，印着时间的旅程。井水恰恰相反，一汪地静止索默，涵养着安宁，让人觉察不出它的意图。这也是古井难以枯竭也不溢涨的缘由，让人体验着静止的微妙———掘井之前，这口井的命数如何，是无从意料的，只能掘下去，这口井的个性才会显露。井和主人，只能靠机缘产生 联系，那种掘井不成反而掘出了兵马俑的失败例子，只能归结为人与井没有缘分。 ? 不能如愿的井让人难堪。当初那位手执罗盘看风水的江湖术士已经走远，掘到底才知道———问题来了。有的井水量涓滴；有的则过于充沛，溢出不止；还有的不可食用。对于地下的奥秘，人所知之甚 少，井下结构令人一筹莫展。动土之前据说要焚香敬拜的，这些对土地虔诚的人，重视这一道心灵的手续。揭破与水一层之隔的土皮，生命就汩汩而出了。泉眼的太旺与不足都是祸害，过程显然被浪费了。对于目的性很强的人来说，有价值与否要看结果。一眼井让人失望了，必须果断地 填埋。掘出来的土才见到阳光，又匆匆返回潮湿的地下，堆挤压实。这时主人庆幸的是，好似一个出了瓶
圆和圆的位置关系(2018-2019)
威柄 乃其不正不直 诛之用力数倍 故孔子曰 齐一变至於鲁 不尊尊敬上 自古出师未尝有也 未能尽还 是为耎而伏 言终而复始 有黄帝子祠 附下罔上 世代实宝 奸邪之作 高后元年 夜寝早起 使者至 惮之 从高祖击项籍 立民信也 上以钱千万从主饮 置酒歌舞 意乃解 封宣帝耳孙信等三
十六人皆为列侯 诚为君也 臣莽实无奇策异谋 四海之内 故得不废 冒顿乃少止 因问王曰 今东乡争权天下 宣免后二岁 虚则开出 与政事 衡上疏曰 臣闻五帝不同礼 欲臣子之勿菹醢 弱而有任 起冢祠堂 贾谊已死 起视事 交情乃见 赞曰 张释之之守法 不能者败以取祸 故列十二公二百四
十二年之事 今立它为南粤王 使陆贾即授玺 绶 是王光上戊之六年也 故《诗》曰 天难谌斯 梁王欲求为嗣 所以重国也 奏可 丧事仓卒 咸荐萧育 朱博除莫府属 劫之以势 明日 此四分五裂之国 迟 尽其子道 夏五月 王使郎中令斥免 后怒 癸酉入而甲戌出 昆莫 人主之行异布衣 赐金 帛
各有差 徙蜀青衣 周因於殷礼 至於技巧 工匠 器械 子夫得见 邑病且死 留司马门三日 舜 禹年岁不合人年 以为变先帝法 周后稷所封 孝惠 高后之间 如牛 慈惠之师 川曰淮 泗 习与智长 为三老 良乐轶能於相驭 大司农钱尽 博谋卿士 阴阳之象也 又使天下飞刍挽粟 杀右辅都尉及斄令
相 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。
切 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点 外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两
个圆内切。 这个唯一的公共点叫做切点。
两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一
个圆的内部时，叫做这两个圆内含。
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两个圆的位置关系 :
外离
外切
相交
圆与圆的位置关系
4.2.2圆与圆的位置关系知识点两圆位置关系的判定思考1圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？答案圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含．几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．思考2已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答案联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．梳理(1)用几何法判定圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，则圆心距d＝|C1C2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系相离内含相交内切外切圆心距与半d＞r1＋r2d＜|r1－r2||r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2径的关系图示(2)用代数法判定圆与圆的位置关系已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，将方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程， 则①判别式Δ＞0时，C 1与C 2相交； ②判别式Δ＝0时，C 1与C 2外切或内切； ③判别式Δ＜0时，C 1与C 2相离或内含．类型一 两圆的位置关系命题角度1 两圆位置关系的判断例1 已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点分别为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段的长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝22， 又a ＞0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为M (0,2)，半径为r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为N (1,1)，半径为r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1＜|MN |＜3， ∴两圆相交．反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)． (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r 1，r 2. (3)求两圆的圆心距d .(4)比较d 与|r 1－r 2|，r 1＋r 2的大小关系． (5)根据大小关系确定位置关系．跟踪训练1 已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0和圆C 2：4x 2＋4y 2－16x ＋8y ＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( ) A ．1或3 B ．4 C ．0 D ．2 答案 D解析 由圆C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝14，得C 1(1，－2)，C 2(2，－1)， ∴|C 1C 2|＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝ 2. 又r 1＝1，r 2＝12，则r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2， ∴圆C 1与圆C 2相交． 故这两个圆的公切线共2条．命题角度2 已知两圆的位置关系求参数例2 当a 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)相离． 解 将两圆方程写成标准方程，则C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C 1(a ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，a )，r 2＝2. 设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5. (1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切， 此时a ＝－5或a ＝2.(2)当1＜d ＜5，即1＜2a 2＋6a ＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a ＜－2或－1＜a ＜2. (3)当d ＞5，即2a 2＋6a ＋5＞25时，两圆相离， 此时a ＞2或a ＜－5.反思与感悟 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径． ②计算两圆圆心的距离d .③通过d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．跟踪训练2 若圆C 1：x 2＋y 2＝16与圆C 2：(x －a )2＋y 2＝1相切，则a 的值为( )A ．±3B ．±5C ．3或5D ．±3或±5答案 D解析 圆C 1与圆C 2的圆心距为d ＝a 2＋(0－0)2＝|a |. 当两圆外切时，有|a |＝4＋1＝5，∴a ＝±5； 当两圆内切时，有|a |＝4－1＝3，∴a ＝±3. 类型二 两圆的公共弦问题例3 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则 C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10. 又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10， |r 1－r 2|＝|52－10|， ∴|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35，∴公共弦长为l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5. 即公共弦长为2 5.反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练3 (1)两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________． 答案 3解析 由题意知直线AB 与直线x －y ＋c ＝0垂直， ∴k AB ×1＝－1， 即3－(－1)1－m＝－1，得m ＝5， ∴AB 的中点坐标为(3,1)．又AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上， ∴3－1＋c ＝0，∴c ＝－2， ∴m ＋c ＝5－2＝3.(2)求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254截得的弦长．解 由题意将两圆的方程相减，可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为 x ＋y －1＝0.又圆C 3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22，由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234，所以弦长为2×232＝23. 类型三 圆系方程及应用例4 求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)， 线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．跟踪训练4 求过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程．解 设过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0， 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－(4＋6λ)x ＋2y ＋1＝0.把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－34.∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.1．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案 B解析 圆x 2＋y 2－1＝0的圆心为C 1(0,0)，半径为r 1＝1，圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的圆心为C 2(2，－1)，半径为r 2＝3，两圆的圆心距为d ＝|C 1C 2|＝(2－0)2＋(－1－0)2＝5，又r 2－r 1＝2，r 1＋r 2＝4，所以r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．2．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的内公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 B解析 因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆相离，所以内公切线的条数为2. 3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案 C解析 AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A 、B 、D. 4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是________． 答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36 解析 设圆C 的半径为r ，圆心距为d ＝(4－0)2＋(－3－0)2＝5， 当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4， 当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16 或(x －4)2＋(y ＋3)3＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y ＝1a ，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a ＝22－(3)2＝1，所以a ＝1.1．判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用． (2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系．2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．课时作业一、选择题1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是()A．外切B．内切C．相交D．相离答案 B解析圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0变形为(x－7)2＋(y－1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r1＝6，圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r2＝1，所以圆心距d＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5＝6－1＝r1－r2，所以两圆内切．2．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为()A．x＋2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－2y－1＝0答案 B解析两个圆的方程相减，得x＋2y－1＝0.故选B.3．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为() A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定答案 C解析两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3,2，由题意得(m＋2)2＋(－1－m)2＝3＋2，解得m＝2或－5.4．设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．相切B．相交C．内切或内含D．外切或相离答案 D解析两圆的圆心距为d＝(1－0)2＋(－3－0)2＝10，两圆的半径之和为r＋4，因为10＜r＋4，所以两圆不可能外切或相离，故选D.5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是()A．r＜5＋1 B．r＞5＋1C．|r－5|≤1 D．|r－5|＜1答案 C解析由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤5≤r＋1，∴5－1≤r≤5＋1，即－1≤r－5≤1，∴|r－5|≤1.6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36答案 D解析由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得a2＋9＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.7．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于() A．4 B．4 2 C．8 D．8 2答案 C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝(a－b)2＋(a－b)2＝32×2＝8.二、填空题8．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1相离，则a，b满足的条件是_____．答案a2＋b2＞3＋2 2解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b )，1.因为两圆相离，所以a 2＋b 2＞2＋1， 即a 2＋b 2＞3＋2 2.9．圆C 1：x 2＋y 2－2x －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的公共弦长为________． 答案 27解析 由圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线l 的方程为x －y ＋1＝0，得点C 1(1,0)到直线l 的距离为d ＝|1－0＋1|12＋12＝2，圆C 1的半径为r 1＝3，所以圆C 1与圆C 2的公共弦长为2r 21－d 2＝232－(2)2＝27.10．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0 ，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是__________． 答案 3或7解析 ∵A ∩B 中有且仅有一个元素， ∴圆x 2＋y 2＝4与圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2相切． 当两圆内切时，由32＋42＝|2－r |，解得r ＝7； 当两圆外切时，由32＋42＝2＋r ，解得r ＝3. ∴r ＝3或7.11．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________． 答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0解析 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.三、解答题12．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解 (1)设圆O 2半径为r 2， 因为两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 2＋2. 又|O 1O 2|＝22＋[1－(－1)2]＝22， 所以r 2＝|O 1O 2|－2＝2(2－1)，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0，作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则|AH |＝12|AB |＝2， 所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为|r 22－12|42＝2， 得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.四、探究与拓展13．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，则以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程为________．答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1解析 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0.∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2， 即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.14．求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程． 解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ (a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×(－33)＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝0，r ＝2. 故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.。
圆与圆位置关系
圆与圆位置关系一．知识梳理：1、圆与圆的位置关系及判定(1)几何法：若两圆的半径分别为1r 、2r ，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判定方法如下： 位置关系外离 外切相交内切 内含 图示d 与1r 、2r 的关系 12d r r >+ 12d r r =+1212r r d r r -<<+12d r r =- 12d r r <-(2)代数法：设两圆的方程分别为：221111:0C x y D x E y F ++++=22111(40)D E F +->，222222:0C x y D x E y F ++++=22222(40)D E F +->．联立方程得22111222220x y D x E y F x y D x E y F ++++=++++=⎧⎨⎩． 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含2、两圆的公共弦(1)设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则两圆相交公共弦所在直线方程为：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0． 求两圆相交公弦的长：设圆C 1的圆心C 1到公弦AB 所在直线的距离为d ，圆C 1的半径为r 1，则2212r A d B =-． 3、圆系问题(1)过两圆交点的圆系方程：若两圆为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0．则过这两圆的交点的圆的方程可表示为C 3：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ∈R ，不含圆C 2)． (2)过直线与圆交点的圆系方程：若直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交，则经过它们交点的圆系方程可表示为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )． 4、设而不求法设直线l ：Ax +By +C ＝0(A 2+B 2≠0)，圆：(x －a )2+(y －b )2＝r 2(r >0)，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程：01121=++c x b x a .11211121,a c x x a b x x =-=+ O 1O 2r 2r 1O 1O 2r 2r 1 O 1O 2r 2r 1O 1 O 2r 2 r 1 O 1 O 2二、典例剖析【上期知识运用】1、过圆（x﹣1）2+y2＝5上一点P（2，2）的切线与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝5的圆心为A（1，0），依题意知直线AP与直线ax﹣y+1＝0平行，所以a＝k AP＝＝2．故选：A．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．C．6D．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心C（2，1）在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，∴2+a﹣1=0，解得a=﹣1，∴A（﹣4，﹣1），∵过点A（﹣4，﹣1）作圆C的一条切线，切点为B，∴|AC|==，r==2，∴|AB|==6．故选：C．2、在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=8．【解答】解：根据题意，设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（1，0），对于直线mx﹣y﹣3m﹣2=0，变形可得y+2=m（x﹣3），过定点P（3，﹣2），分析可得：以C为圆心且与直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，此时r=CP==2，则此时圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=8，故答案为：（x﹣1）2+y2=8．3、已知P（x，y）是直线kx﹣y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2+2y=0的两条切线，A，B为切点．C为圆心．若四边形PACB面积的最小值是4，则k的值是（）A．B．2C．D．【解答】解：如图所示，圆的方程为：x2+（y+1）2=1，∴圆心C（0，﹣1），半径r=1；根据题意，若四边形面积最小，当圆心C与点P的距离最小时，即距离为圆心C到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小；此时切线长为4，∴PA=PB=4，∴圆心C到直线l的距离为d=；又直线方程为kx﹣y+4=0，∴d==，解得k=±，又k＞0，∴所求直线l的斜率为：k=．故选：D．4、已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣44=0，点P的坐标为（t，4），其中t＞2，若过点P有且只有一条直线l被圆C截得的弦长为，则直线l的一般式方程是4x+3y﹣36=0．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣44=0，转换为标准式为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=49，当点P为弦的中点时，过点P有且只有一条直线l被圆C截得的弦长为，则：圆心到直线的距离d=，则设直线的方程为y﹣4=k（x﹣t），利用，利用中点坐标公式和点到直线的距离公式，解得：t=6，k=4，所以直线的方程为：4x+3y﹣36=0．故答案为：4x+3y﹣36=01、过圆x2+y2=16内一点P（﹣2，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB=CD，则四边形ACBD的面积为19．【解答】解：根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB=CD，∴四边形EPOF为正方形，由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=4，又P（﹣2，3），∴|OP|=，∴OE==，又OA=r=4，∴根据勾股定理得：AE==，∴AB=CD=2AE=，则S四边形ACBD=AB•CD=19．故答案为：19．题型一 圆与圆的位置关系 例11、已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆内切？(2)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解 两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0，∴公共弦长为2 (11)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.课堂小结： (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长． 2、（选讲提升）【2015安徽宿州高二期中，改编】过圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的交点的圆中，面积最小的圆的方程为_____________________________． 过两交点圆中，以公共弦为直径时，圆面积最小.【解析】法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0.解得两交点坐标A (－1,2)，B (5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M (2，－2)，圆的半径为r ＝12|AB |＝5，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：易求得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(4x ＋3y －2)＝0，则圆心为(6－2λ,1－32λ).∵圆心在公共弦所在直线上，∴4×(6－2λ)＋3(1－32λ)－2＝0，解得λ＝2.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.3、已知圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=4，若点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上，则的最小值为 8 ．【解答】解：由题意，两圆的方程相减，可得x +y=2，∵点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上， ∴a +b=2，∴=（）（a +b ）=（10++）=8，当且仅当=，即b=3a 时，取等号，的最小值为8，故答案为8．4、已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4题型二 直线与圆综合【例2】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解．解 法一 将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m 5.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2.∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m5＝0，解得m ＝3， 此时Δ＞0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ，设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2，∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2， 即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋(－6)2－4m 4＝⎝⎛⎭⎫－12＋12＋(3－2)2＋5.变式训练：已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.直线AB 斜率为-1与圆C 交于A 、B ，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．【规范解答】 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C (1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B 满足条件，则圆心C (1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. 3分于是可知，k AB ＝1.设l AB ∶y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程，整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0，即b 2＋6b －9＜0. 解得－3－32＜b ＜－3＋3 2.7分设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2.由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0.∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0. 10分∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0.解得b＝－4或b＝1，均满足Δ＞0，即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0. 12分家庭作业：1.两个圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝25，C2：(x－4)2＋(y－7)2＝9，这两个圆的公切线有( )A、1条B、4条C、3条D、2条2.若M、N为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上任意两点，P为x轴上一个动点，则∠MPN的最大值是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：连接CM，CN，要使∠MPN最大，则只需要∠CPN最大，即当PN是圆的切线时，∠CPN取得最大值，圆的半径CN＝1，则sin∠CPN＝＝，要使sin∠CPN取得最大值，则CP取得最小值，即CP⊥x轴时，CP最小，此时最小值CP＝2，则sin∠CPN＝＝，即∠CPN＝30°，当M也是切点时，∠MPN＝2∠CPN＝2×30°＝60°，故选：B．3.设m，n为正实数，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则mn的最小值为（）A．3﹣2B．2+3C．+1D．﹣1【解答】解：由直线与圆相切可知|m+n|＝，整理得（m﹣1）（n﹣1）＝2，∴m+n＝mn﹣1≥2，∴≥+1，∴mn≥3+2当且仅当m＝n时等号成立，∴mn的最小值是3+2．故选：B．4.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，2]B．[2，4]C．[1，2]D．[1，3]【解答】解：由直线x+y+＝0可得A（﹣，0），B（﹣，0），∴|AB|＝2，又圆心（，0）到直线的距离d＝＝2，∴点P到直线x+y+＝0的距离得最小值为2﹣1＝1，最大值为2+1＝3，则△ABP的面积的最小值为×2×1＝1，最大值为×2×3＝3，故选：D．5.已知直线l1：3x+y﹣6＝0与圆心为M（0，1），半径为的圆相交于A，B两点，另一直线l2：2kx+2y﹣3k﹣3＝0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：以M（0，1）为圆心，半径为的圆的方程为x2+（y﹣1）2＝5，联立，解得A（2，0），B（1，3），∴AB中点为（，）．而直线l2：2kx+2y﹣3k﹣3＝0恒过定点（，），∴|AB|＝．∴四边形ACBD的面积最大值为：．故选：A．6.平面直角坐标系内，过点的直线l与曲线相交于A、B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：曲线表示以O圆心半径为1的上半圆，则△AOB的面积S＝|OA||OB|sin∠AOB＝sin∠AOB，要使三角形的面积最大，此时sin∠AOB＝1，即∠AOB＝90°，则|AB|＝取AB的中点C，则|OC|＝AB|＝，∵|OD |＝，∴sin ∠ODC ＝＝，则∠ODC ＝30°，∠xDA ＝150°，即直线的倾斜角为150°，则直线的斜率k ＝tan150°＝，故选：A ．7. 已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣3=0． （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，求证：+为定值．【解答】（1）解：圆C ：x 2+y 2+2x ﹣3=0，配方得（x +1）2+y 2=4，则圆心C 的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2； （2）证明：设直线l 的方程为y=kx ，联立方程组，消去y 得（1+k 2）x 2+2x ﹣3=0，则有：，，所以为定值．8、（提高）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB →的取值范围． 【解】 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，则r ＝|－4|12＋－32＝2.∴圆的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)，设P (x 0，y 0)， 则|PA |＝x 0＋22＋y 20，|PO |＝x 20＋y 20，|PB |＝x 0－22＋y 20.又|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，∴|PO |2＝|PA |·|PB |， 即x 20＋y 20＝[x 0＋22＋y 20][x 0－22＋y 20]，整理得y 20＝x 20－2.∴PA →·PB →＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝(x 20－4)＋y 20＝2x 20－6. 又点P 在圆内，∴x 20＋y 20＜4.∴2≤x 20＜3，∴－2≤PA →·PB →＜0.。
教学设计1：2.5.2 圆与圆的位置关系 教学设计
2.5.2 圆与圆的位置关系（教学设计）教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆与圆的位置关系.学生在初中的几何学习中已经接触过圆与圆的位置关系，上节已经学习了直线与圆的位置关系，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位.坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法.通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.教学目标与核心素养教学重难点重点：圆与圆的位置关系及判定方法难点：综合应用圆与圆的位置关系解决问题课前准备多媒体教学过程位置关系是怎样的?前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.二、探究新知圆与圆的位置关系的判定方法1.几何法:圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=r12(r1>0),圆O2:(x-x2)2+(y-y2)2=r22(r2>0),两圆的圆心距d=|O1O2|=√(x1-x2)2+(y1-y2)2,则有位置外离外切相交内切内含关系图示d与r1,r2d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|的关系2.代数法:圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0),圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F2>0),两圆的方程联立得方程组,则有{x 2+y 2+6x -4=0, ①x 2+y 2+6y -28=0,②的解.①-②,得x-y+4=0.∵A ,B 两点坐标都满足此方程,∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.又圆C 1的圆心(-3,0),r=√13, C 1到直线AB 的距离为d=|-3+4|√2=√22, ∴|AB|=2√r 2-d 2=2√13-12=5√2,即两圆的公共弦长为5√2.(2)(方法1)解方程组{x 2+y 2+6x -4=0,x 2+y 2+6y -28=0,得两圆的交点A (-1,3),B (-6,-2).设所求圆的圆心为(a ,b ),因圆心在直线x -y -4=0上,故b=a -4. 则√(a +1)2+(a -4-3)2=√(a +6)2+(a -4+2)2, 解得a=12,故圆心为12,-72,半径为√892.故圆的方程为(x -12)2+(y+72)2=892, 即x 2+y 2-x+7y -32=0.(方法2)设所求圆的方程为x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0(λ≠-1), 其圆心为(-31+λ,-3λ1+λ),代入x -y -4=0,解得λ=-7. 故所求圆的方程为x 2+y 2-x+7y -32=0. 相交弦及圆系方程问题的解决1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.3.已知圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0相( )A.(x-4)2+(y-6)2=16 B .(x±4)2+(y-6)2=16 C .(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x±4)2+(y-6)2=36解析:设所求圆心坐标为(a ,b ),则|b|=6.由题意,得a 2+(b-3)2=(6-1)2=25. 若b=6,则a=±4;若b=-6,则a 无解.故所求圆方程为(x±4)2+(y-6)2=36. 答案:D4.若圆C 1:x 2+y 2=4与圆C 2:x 2+y 2-2ax+a 2-1=0内切,则a 等于 .解析:圆C 1的圆心C 1(0,0),半径r 1=2.圆C 2可化为(x-a )2+y 2=1,即圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,若两圆内切,需|C 1C 2|=√a 2+02=2-1=1.解得a=±1. 答案:±15. 已知两个圆C 1:x 2+y 2=4,C 2:x 2+y 2-2x-4y+4=0,直线l :x+2y=0,求经过C 1和C 2的交点且和l 相切的圆的方程.解:设所求圆的方程为x 2+y 2+4-2x -4y+λ(x 2+y 2-4)=0,即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2-2x -4y+4(1-λ)=0. 所以圆心为11+λ,21+λ, 半径为12√(-21+λ) 2+(-41+λ) 2-16(1-λ1+λ), 即|11+λ+41+λ|√5=12√4+16-16(1-λ2)(1+λ)2.解得λ=±1,舍去λ=-1,圆x 2+y 2=4显然不符合题意,故所求圆的方程为x 2+y 2-x -2y=0. 四、小结教学反思针对本节课的特点，在教法上，采用以教师为主导、学生为主体的教学方法；在教学过程中，注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们动手计算，采用一题多变的形式，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的题型及相应解题策略，教师在学生活动后，给予帮助，促进数学概念的建构，促进数学基本素养的形成；在教学手段上，运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解.注重提升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养.。
第04讲 圆与圆的位置关系(原卷版)
第04讲圆与圆的位置关系目录考点一：圆与圆的位置关系考点二：相切两圆的性质考点三：相交两圆的性质【基础知识】一．圆与圆的位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．二．相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．三．相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．【考点剖析】一．圆与圆的位置关系（共26小题）1．（2022春•长宁区校级月考）已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（ ）A．11B．6C．3D．22．（2022春•青浦区校级期中）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（ ）A．内含B．内切C．外切D．相交3．（2022春•松江区校级期中）⊙A半径为3，⊙B半径为5，若两圆相交，那么AB长度范围为（ ）A．3＜AB＜5B．2＜AB＜8C．3＜AB＜8D．2＜AB＜54．（2022•松江区校级模拟）已知△ABC，AB＝10cm，BC＝6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（ ）A．.0＜r≤4B．.0≤r≤4C．.0＜r＜4D．.0≤r＜45．（2022•杨浦区三模）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）A．5＜OB＜9B．4＜OB＜9C．3＜OB＜7D．2＜OB＜76．（2022春•浦东新区期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（ ）A．外离B．外切C．相交D．内切7．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜88．（2022春•奉贤区校级期中）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于 ．9．（2022春•浦东新区校级期中）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径的取值范围是 ．10．（2022春•徐汇区校级期中）已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是 ．11．（2022春•普陀区校级期中）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（ ）A．4＜OB＜7B．5＜OB＜7C．4＜OB＜9D．2＜OB＜712．（2022春•普陀区校级期中）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，则两圆的位置关系是（ ）A．外离B．外切C．内切D．内含13．（2022•黄浦区校级二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径可以是（ ）A．5B．6C．7D．814．（2022春•虹口区校级期中）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与OA、⊙B都内切，且AB＝7，AC＝8，BC＝9，那么⊙C的半径长是（ ）A．12B．11C．10D．915．（2022春•黄浦区期中）如果两圆的直径长分别为4与6，圆心距为2，那么这两个圆的位置关系是（ ）A．内含B．内切C．外切D．相交16．（2022•徐汇区模拟）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（ ）A．4B．5C．6D．717．（2022春•徐汇区校级期中）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是（ ）A．d＞2B．d＞8C．0≤d＜2D．d＞8或0≤d＜218．（2022春•虹口区期中）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为5，若圆O2上的点A满足AO1＝5，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ）A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含19．（2022•宝山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（ ）A．外离B．相交C．外切D．不能确定20．（2022•金山区校级模拟）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤521．（2022春•静安区期中）如图，∠MON＝30°，P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是 ．22．（2022春•金山区月考）已知一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6．如果两个圆的圆心距为3，那么这两个圆的公共点的个数为 ．23．（2022春•松江区校级期中）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r 的取值范围是 ．24．（2022春•浦东新区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，已知⊙B半径长为1，如果⊙A与⊙B内切，那么下列判断中，正确的是（ ）A．点C在⊙A外，点D在⊙A内B．点C在⊙A外，点D在⊙A外C．点C在⊙A上，点D在⊙A内D．点C在⊙A内，点D在⊙A外25．（2022春•普陀区校级期中）已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 ．26．（2022秋•青浦区校级月考）两圆的半径分别为3和5，当这两圆相切时，圆心距d为 ．二．相切两圆的性质（共3小题）27．（2022•嘉定区二模）已知圆O1与圆O2外切，其中圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，那么圆O1的半径是 cm．28．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ．29．（2020秋•金山区期末）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．三．相交两圆的性质（共6小题）30．（2022•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝731．（2022•上海模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点O在对角线BD上，且⊙O与边AD、CD相切．点P是⊙O与线段OB的交点，如果⊙P是既与⊙O内切，又与正方形ABCD的两条边相切，那么关于⊙O的半径r的方程是（ ）A．2r+r•cos45°＝1B．2r+2r•cos45°＝1C．3r+r•cos45°＝1D．3r+2r•cos45°＝132．（2022•崇明区二模）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离33．（2022春•杨浦区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是 ．34．（2022春•浦东新区校级期中）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB＝4cm，那么圆心距O1O2的长为 cm．35．（2022春•嘉定区校级期中）已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB＝6．求：（1）弦AC的长度；（2）四边形ACO1O2的面积．【过关检测】一、单选题1．（2021·上海松江·二模）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤52．（2021·上海金山·二模）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）．A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切3．（2021·上海嘉定·二模）已知点，，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A ()4,0A ()0,3B 与⊙B 的位置关系（ ）A ．内切B ．外切C ．内含D ．外离4．（2021·上海静安·九年级期中）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题5．（2018·上海金山·九年级期末）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，如果以点D 为圆心DG 为半径的圆和以点C 为圆心半径为r 的圆相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．r ＜5B ．r ＞5C ．r ＜10D ．5＜r ＜106．（2019·上海·九年级期末）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，1r >那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）A ．内含B ．内切C ．外离D ．相交二、填空题7．（2021·上海静安·九年级期中）已知⊙与⊙两圆内含，，⊙的半径为5，那么⊙1O 2O 123O O =1O 的半径r 的取值范围是_______．2O 8．（2019·上海上海·九年级期中）已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．9．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（3，4），以2为半径的圆A 与以r 为半径的圆O 相交，那么圆O 半径r 的取值范围为____．10．（2020·上海闵行·九年级期末）半径分别为3cm cm 的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB=cm ，那么圆心距O 1O 2的长为______cm.11．（2021·上海静安·二模）如果⊙O 1与⊙O 2相交，⊙O 1的半径是5，O 1O 2＝3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是_____．12．（2021·上海普陀·二模）已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，以A 为圆心2为半径长作⊙A ，以B 为圆心BC 为半径作⊙B ，如果⊙A 与⊙B 内切，那么△ABC 的面积等于_____．13．（2021·上海市实验学校二模）已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d ，若两圆没有交点，则d 的取值范围是___________14．（2021·上海杨浦·三模）如图，已知在等边中，，点在边上，如果以线段为ABC 4AB =P BC PB 半径的与以边为直径的外切，那么的半径长是________．P AC O P15．（2021·上海奉贤·三模）如图，已知在等边△ABC 中，AB ＝4，点P 在边BC 上，如果以线段PB 为半径的⊙P 与以边AC 为直径的⊙O 外切，那么⊙P 的半径长是________________．16．（2017·上海静安·九年级期中）如图，⊙A 和⊙B 的半径分别为5和1，AB ＝3，点O 在直线AB 上，⊙O 与⊙A 、⊙B 都内切，那么⊙O 半径是________．17．（2018·上海长宁·九年级期末）已知⊙的半径为4，⊙的半径为R ，若⊙与⊙相切，且1O 2O 1O 2O ，则R 的值为________．1210O O =18．（2018·上海金山·九年级期末）两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__．19．（2019·上海嘉定·九年级期末）已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．20．（2018·上海宝山·九年级期末）⊙O 的直径AB ＝6，C 在AB 延长线上，BC ＝2，若⊙C 与⊙O 有公共点，那么⊙C 的半径r 的取值范围是______．21．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）在矩形中，，，点是边上一点ABCD 5AB =12BC =E AB （不与、重合），以点为圆心，为半径作，如果与外切，那么的半径的取值A B A AE A C A C r 范围是_______．三、解答题22．（2021·上海金山·一模）已知：如图，⊙与⊙外切于点，经过点的直线与⊙、⊙分1O 2O T T 1O 2O 别相交于点和点．A B （1）求证：；12//O A O B （2）若，，，求的长．12O A =23O B =7AB =AT23．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，已知垂足分别为点、点，与,,AB BC DC BC ⊥⊥B C AC 交于点，BD P （1）如果，以点为圆心作圆，圆与直线相切，35AB CD ==，P P BC ①求圆的半径长；P ②又，以为直径作圆，试判断圆与圆的位置关系，并说明理由：8BC =BC O O P （2）如果分别以为直径的两圆外切，求证：与相似．AB CD 、ABC BCD △24．（2019·上海普陀·一模）如图，⊙和⊙相交于A 、B 两点，与AB 交于点C ，的延长线1O 2O 12O O 2O A 交⊙于点D ，点E 为AD 的中点，AE=AC ，连接．1O 1O E （1）求证：；11O E O C =（2）如果＝10，，求⊙的半径长．1O 2O 16O E =2O25．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知：如图所示，P 是∠MAN 的边AN 上的一个动点，B 是边AM 上的一个定点，以PA 为半径作圆P ，交射线AN 于点C ，过B 作直线使∥AN 交圆与D 、E 两点（点D 、点E 分l l 别在点B 的左侧和右侧），联结CE 并延长，交射线AM 于点F ．联结FP ，交DE 于G ，cos∠BAP =，AB ＝5，AP ＝x ，BE =y ，35（1）求证：BG ＝EG ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEF 是以BF 为腰的等腰三角形时，求经过B 、E O 与圆P 的圆心距．26．（2018·上海上海·九年级期中）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=6．动点P 在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP=x，PC= y．（1）求证：PE∥DC；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；R R（3）联结PD，当∠PDC=∠B时，以D为圆心半径为的⊙D与⊙P相交，求的取值范围．27．（2021·上海杨浦·二模）如图，已知Q 是∠BAC 的边AC 上一点，AQ ＝15，cot∠BAC ＝，点P 是射34线AB 上一点，联结PQ ，⊙O 经过点A 且与QP 相切于点P ，与边AC 相交于另一点D ．（1）当圆心O 在射线AB 上时，求⊙O 的半径；（2）当圆心O 到直线AB 的距离为时，求线段AP 的长；34（3）试讨论以线段PQ 长为半径的⊙P 与⊙O 的位置关系，并写出相应的线段AP 取值范围．。
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圆系方程的应用 例2： 已知圆C1: x2+y2-4x-3=0和C2: x2+y2-4y-3=0 （1）判断两圆的位置关系；两圆相交。 （2）求两圆公共弦所在的直线方程； x y 0 （3）求圆心在x-y-4=0上，且过两圆的交点的圆
2 2
x y 6x 2 y 3 0
练习题：过直线3x-4y-7=0和圆(x-2)2+(y+1)2=4的 交点且过点(1,2)的圆的方程 . 解：设所求圆的方程：
( x 2) ( y 1) 4 (3x 4 y 7) 0, (1)
2 2
∵所求圆过点(1,2)，
2
消去二次 项
消元得一元 二次方程 用Δ判断两圆 的位置关系
把上式代入① x 2 x 3 0 ④
( 2 ) 4 1 ( 3) 1 6
2
所以方程④有两个不相等的实根 x1=-1，x2=3 把x1，x2代入方程③得到y1=1，y2=-1
所以圆C1与圆C2有两个不同的交点A(-1，1,),B(3,-1).
O
x
过l1与l2交点的直线系方程：
（ A1 x B1 y C 1 A 2 x B 2 y C 2） 0 ） （
二、圆系方程
方法归纳
1. 过 圆 C1 ： x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与 圆 C2 ： x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程：
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠1) 当λ=-1时，表示两圆的公共弦所在的直线方程. 即：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
反思
几何方法 判断两圆位置关系 代数方法
各有何优劣，如何选用？
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系如何？ 内切或外切 （2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系如何？ 内含或相离
几何方法直观，但不能 求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判 圆的位置关系。
相交 内切
d
d＝r1＋r2
内含
d
d
d
｜r1-r2｜＜d＜r1＋r2 d=｜r1-r2｜ 0≤d＜｜r1-r2｜
4.2.2 圆与圆的位置关系
前面我们运用直线与圆的方程,研究了 直线与圆的位置关系. 现在我们运用圆的方程,研究圆与圆的 位置关系.
直线和圆的位置关系
几何方法
类比
猜想
代数方法
圆和圆的位置关系
y C G
2
S 四边形
GCHQ
＝ CH QH
2
H
CQ ＝
m
4
2
QH
S
CQ
m
2
CH
3
m
2
3
Q
x
3
当 Q （ 0，）时， S min ＝ 3 0
二、圆系方程
y
x
O
过两直线交点的
y
直线系方程
l1
l2
l1 : A1 x B1 y C 1 0
l 2 : A2 x B 2 y C 2 0
小结：判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径
（化标准方程）
代数方法
( x a1 ) ( y b1 ) r1 2 2 2 ( x a2 ) ( y b2 ) r2
2 2 2
消去y
圆心距d
（两点间距离公式）
px qx r 0
2
比较d和r1+r2, | r1- r2 |的大小. 下结论
2 2
10
d C 1C 2
(1 2) 4 2
2
2
3 5
而 r1 r2 5
1 0， r1 r2 5
1 0，
r r2 d r r2 1 1
则圆C1与圆C2相交.
方法归纳
几何方法判断两个圆的位置关系的步骤：
1、求两圆的圆心坐标和半径r1、r2；
过P （1，0），作圆C的切线，切点A,B，
（1）求直线PA、PB的直线方程；
C
A
（2）求弦长 AB 解（1）①若K存在：设直线PA：
y k ( x 1)
d 2k k 1
2
P
x
3 4
1
k
②若K不存在，PB：X＝1 （2）利用等面积： 半径r＝1，PC=
1 2 PC AB 2 1 2 BC BP AB
2
所以方程④有两个不相等的实根 结论：求两圆的公共弦所 x1=-1，x2=3
O
x
在的直线方程，只需把两 把x1，x2代入方程③得到y1=1，y2=-1
所以圆C1与圆C2有两个不同的交点A(-1，1,),B(3,-1). 个圆的方程相减即可.
练习：已知圆C： x
2
( y 2)
2
1 ，
y B
5 ，PB＝2
4 5 5
x ( y 2) 练习.已知圆C： 作圆C的切线，切点A,B，
2
2
1 ，过P （1，0），
C A P x
（3）求经过圆心C，切点A、B这 三点的圆的方程；
B
解：（3）过A、B、C的圆等价于四边形ACBP的外接圆.
CAP CBP
2
则CP为此四边形外接圆的直径. 所以圆心为CP的中点 (
几何方法
代数方法
例1. 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，
圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，
判断圆C1与圆C2的位置关系.
2 2 解 ： 圆 C 1：x 1) ( y 4 ) 2 5 C 1 ( 1, 4 ), r1 5 (
圆 C 2：x 2 ) ( y 2 ) 1 0 C 2 ( 2 , 2 ), r2 (
解：联立两个方程组得
x y 2x 8y 8 0 2 2 x y 4x 4y 2 0
2 2
方法归纳
① ② ③
y
①-②得： x 2 y 1 0
2
把上式代入① x 2 x 3 0 ④ 两圆公共弦所在的直线方程!
( 2 ) 4 1 ( 3) 1 6
的方程; x y 6 x 2 y 3 0 练习题：过直线3x-4y-7=0和圆(x-2)2+(y+1)2=4的 交点且过点(1,2)的圆的方程 .
2 2
(x
5 4
) y
2 2
65 16
(3)求圆心在x-y-4=0上，并且经过两圆C1: x2+y2 -4x-3=0和C2: x2+y2-4y-3=0的交点的圆的方程; 解：设所求圆的方程：
二、圆系方程---适用于： (1)求过两圆交点的圆的方程或公共弦的方程， (2)求过直线与圆的交点的圆的方程 ；
作业：教材
P133习题A组4、9、10、11，B组 5.
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随。 成绩=勤奋的学习+正确的方法+少谈空话 博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。 学 而 自觉、自罔, 思 而 不 学 则 殆。 不 思 则 律、自信、自 强 ！
高中新课程数学必修2
4.2
直线、圆的位置关系
回顾：两个圆的位置关系及其判定
外离
外切
d d＞r1＋r2
2、求两圆的圆心距d；
3、比较d与r1+r2，︱r1-r2︱的大小关系. 4、下结论.
练习.已知圆C1： x2＋y2－4x+3＝0，圆C2： x2＋y2＝9，判断圆C1与圆C2的位置关系. 结论：圆C1与圆C2内切.
知识探究
能否用代数方法判断两圆的位置关系？
联立两圆的方程构成方程组;再根据方 程组的解的个数判断两圆的位置关系.
例1. 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0， 圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0， 判断圆C1与圆C2的位置关系.
解：联立两个方程组得
x y 2x 8y 8 0 2 2 x y 4x 4y 2 0
2 2① ② ③源自联立方程 组①-②得：x 2 y 1 0
(1 2) + ( 1) - 4+ ( 1- 4 2- 7) 0 2+ 3 =
2 2
解得： =
x y
2 2
1 2
代入（1）并整理得所求圆的方程是：
5 2
x
5 2
0, 即( x
5 4
) y
2 2
65 16
课堂小结：
一、两圆位置关系及其判断方法：
(1)代数法:由方程组的解的个数来判断； (2)几何法:由圆心距d与R+r、R-r的关系判断。
则：（ x 1 2
2
1 2
, 1 ), 半径＝
2
5 2
） ( y 1)
5 4
x ( y 2) 练习.已知圆C： 作圆C的切线，切点A,B，
2