高二数学1-2 独立性检验

独立性检验教学重点、独立性检验的基本方法，独立性检验的步骤难点：．基本思想的领会及方法应用．知识点一、独立性检验的基本概念和原理独立性检验是研究相关关系的方法。

1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.比如男女、是否吸烟、是否患癌症，宗教信仰、国籍等等。

2列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一般我们只研究每个分类变量只取两个3.条形图为了更清晰地表达这个特征，我们还可用如下的等高条形图表示两种情况下患肺癌的比例．如图3.2一3 所示，在等高条形图中，浅色的条高表示不患肺癌的百分比；深色的条高表示患肺癌的百分比．通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关”．那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？4.独立性检验的步骤为了回答下面问题，我们先假设H：吸烟与患肺癌没有关系，看看能够得到什么样的结论。

不患肺癌患肺癌合计不吸烟 a b a+b吸烟 c d c+d合计a+c b+d a+b+c+d样本容量 n=a+b+c+d如果“吸烟与患肺癌没有关系”，则吸烟者中不患肺癌的的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即：()()()()()()()220a ca c d c ab ad bc a b c dad bc ad bc n ad bc k a b c d a c b d n a b c d ≈⇒+≈+⇒-≈++---=++++=+++因此 : 越小, 说明吸烟与患肺癌之间关系越弱. 越大, 说明吸烟与患肺癌之间关系越强构造随机变量 其中为样本容量若 H 0 成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则 K “应该很小．根据表3一7中的数据，利用公式（1）计算得到 K “的观测值为()22996577754942209956.63278172148987491K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,这个值到底能告诉我们什么呢？统计学家经过研究后发现，在 H 0成立的情况下，2( 6.635)0.01P K ≥≈. (2)(2）式说明，在H 0成立的情况下，2K 的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0 . 01，是一个小概率事件．现在2K 的观测值k ≈56.632 ，远远大于6. 635，所以有理由断定H 0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”．但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系” .在上述过程中，实际上是借助于随机变量2K 的观测值k 建立了一个判断H 0是否成立的规则：如果k ≥6. 635，就判断H 0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H 0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系．在该规则下，把结论“H 0 成立”错判成“H 0 不成立”的概率不会超过2( 6.635)0.01P K ≥≈,即有99％的把握认为H 0不成立．假设检验 备择假设H 1不成立的前提下进行推理 10成立 推出有利于H 1成立的小概率事件（概率不超过α的事件）发生，意味着H 1成立的可能性（可能性为（1－α））很大下任上例的解决步骤第一步：提出假设检验问题 H 0：吸烟与患肺癌没有关系↔ H 1：吸烟与患肺癌有关系第二步：选择检验的指标 22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++（它越小，原假设“H 0：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H 1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步：查表得出结论注意：1观测值是2K 的值2．假设没有关系，如果2K 大，则H 0不成立，即两个量有关系。

如果2K 小，说明没有足够证据证明H 0不成立，即两个量没有关系 3.查表后，大于某个值0k 的可能性很小，如果大于0k ，则得出两个量有关系 4得到两个量有（没有）关系的结论是在概率基础上决定的，存在犯错误的概率5有99%的把握（相当于正确概率99%）认为 有关 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“ 有关”说明：95%就是概率，可以说成有95%的把握，这种事件出现的可能性极大 5%当然也是概率，这种事件出现的可能性极小，在新闻中播报的水灾20年一遇，就是概率5%事件发生了 题型一概念辨析例题 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )A ．若K 2的观测值为k ＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B ．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C ．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误D ．以上三种说法都不正确A 变式1下列关于独立性检验的说法中，错误的是（ ） A ．独立性检验得到的结论一定正确B ．独立性检验依赖小概率原理C ．样本不同，独立性检验的结论可能有差异D ．独立性检验不是判定两事物是否相关的唯一方法考点：独立性检验的基本思想．分析：对选项进行判断，独立性检验取决于样本、独立性检验是依据小概率原理，用样本计算统计量的、样本不同，观测值统计量也不同、对于检验两个事件是否相关除了统计量外，还可以根据两个分类变量之间频率大小差异进行粗略判断，即可得出结论．解答：解：因为独立性检验取决于样本，故结论不一定正确，即A不正确独立性检验是依据小概率原理，用样本计算统计量的，故正确；样本不同，观测值统计量也不同，故正确；对于检验两个事件是否相关除了统计量外，还可以根据两个分类变量之间频率大小差异进行粗略判断，故正确．故选：A．点评：本题主要考查了独立性检验的定义和检验步骤，独立性检验的意义，属基础题A变式2 对于独立性检验，下列说法正确的是（）A．K2独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立B．K2可以为负值C．K2独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”，这就是指“有吸烟习惯的人必定会患慢性气管炎”D．2×2列联表中的4个数据可以是任意正数分析：利用独立性检验的定义和解题步骤逐一筛选四个选项即可解答：解：由独立性检验的检验步骤可知A正确；∵2×2列联表中的数据均为正整数，故k2不可能为负值，排除B；∵K2独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”，是指有一定的把握说他们相关，或者说有一定的出错率，故排除C；∵2×2列联表中的4个数据是对于某组特定数据的统计数据，故四个数据间有一定的关系，故排除D故选A点评：本题主要考查了独立性检验的定义和检验步骤，独立性检验的意义，属基础题A.变式3独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率P（K2≥6.635）≈0.01表示的意义是（）A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99%C．变量X与变量Y有关系的概率为99%D．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%考点：实际推断原理和假设检验的应用．分析：根据所给的估算概率，得到两个变量有关系的可信度是1-0.01，即两个变量有关系的概率是99%，这里不用计算，只要理解概率的意义即可．解答：解：∵概率P（K2≥6.635）≈0.01，∴两个变量有关系的可信度是1-0.01=99%，即两个变量有关系的概率是99%，故选C．点评：本题考查实际推断原理和假设检验的应用，本题解题的关键是理解所求出的概率的意义，本题是一个基础题．B变式1 在独立性检验中，统计量Χ2有两个临界值：3.841和6.635．当Χ2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当Χ2≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算Χ2=20.87．根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（）A．有95%的把握认为两者有关B．约有95%的打鼾者患心脏病C．有99%的把握认为两者有关D．约有99%的打鼾者患心脏病考点：独立性检验的应用．分析：这是一个独立性检验理论分析题，根据K2的值，同所给的临界值表中进行比较，可以得到有99%的把握认为打鼾与心脏病有关．解答：解：∵计算Χ2=20.87．有20.87＞6.635，∵当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，故选C．点评：考查独立性检验的应用，是一个典型的问题，注意解题时数字运算要认真，不要出错，本题不需要运算直接考查临界值对应的概率的意义二．独立性检验的应用题型二、独立性检验的应用 例2．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：性别与喜欢数学课程列联表由表中数据计算得2K 的观测值 4.514k ．能够以95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐明得出结论的依据． 解：在假设“性别与喜欢数学课之间没有关系”的前提下，事件A ={2K ≥3. 841｝的概率为P (2K≥3. 841) ≈0.05因此事件 A 是一个小概率事件．而由样本数据计算得2K 的观测值k=4.514，即小概率事件 A 发生．因此应该断定“性别与喜欢数学课之间有关系”成立，并且这种判断结果出错的可能性约为5 %．所以，约有95％的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”.A ．变式1 某卫生机构对366人进行健康体检，阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有______的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( )A ．99.9%B ．99.5%C ．99%D ．97.5%[解析] 可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表k ＝366×(16×240－17×93)2109×257×33×333≈6.067>5.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．A ．变式2 在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：该种血清能否起到预防分析：在使用该种血清的人中，有24248.4%500=的人患过感冒；在没有使用该种血清的人中，有28456.8%500=的人患过感冒，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患病率相差较大．从直观上来看，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患感冒的可能性存在差异．解：提出假设0H ：感冒与是否使用该种血清没有关系．由列联表中的数据，求得221000(258284242216)7.075474526500500χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯∵当0H 成立时，26.635χ≥的概率约为0.01，∴我们有99%的把握认为：该种血清能起到预防感冒的作用．A 变式 通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天由，算得B变式1 媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与性格外向有关，随机抽取了500名性格外向的和500名性格内向的居民，抽查结果用等高条形图表示如下：（1）作出2×2列联表；（2）试用独立性检验的方法分析，能否在犯错的概率不超过0.001的前提下说明喜欢娱乐节目A与性格外向有关？1000×(400×250−100×250)500×500×650×350 ≈98.901＞10.828，∴能在犯错的概率不超过0.001的前提下说明喜欢娱乐节目A 与性格外向有关．点评：本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．B 变式2．为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示．根据所选择的193个病人的数据，能否作分析：在口服的病人中，有5859%98≈的人有效；在注射的病人中，有6467%95≈的人有效．从直观上来看，口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用独立性检验的方法加以说明． 解：提出假设0H ：药的效果与给药方式没有关系．由列联表中的数据，求得22193(58314064) 1.3896 2.072122719895χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯当0H 成立时，21.3896χ≥的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设0H ，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论B.变式3 某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽取20名学生，其中8名女生中有3名报考理科，男生中有2名报考文科． （1）是根据以上信息，写出2×2列联表（2）用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？考点：独立性检验的应用．20×(10×5−2×3)12×8×13×7≈4.432．因为p（K2＞3.84）=0.05，所以我们有95%把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关．点评：本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题题型三、已知可信度，求观测值k22A变式用的方法，我们得到能有99%的把握认为变量X与Y有关系，则（）A．K2≥2.706B．K2≥6.635C．K2＜2.706 D．K2＜6.635A 变式 随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式K 2=计算出K 2，并由此作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则K 2可以为（ ）总结：第一步：提出假设检验问题 H 0： 与 没有关系↔ H 1： 与 有关系 第二步：选择检验的指标 22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++ （它越小，原假设“H 0：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H 1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大.第三步：查表得出结论1. 观测值是2K 的值2. 假设没有关系，如果2K 大，则H 0不成立，即两个量有关系。