高二数学1-2 独立性检验

独立性检验

教学重点、独立性检验的基本方法，独立性检验的步骤

难点：．基本思想的领会及方法应用．

知识点

一、独立性检验的基本概念和原理

独立性检验是研究相关关系的方法。

1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.比如男女、是否吸烟、是否患癌症，宗教信仰、国籍等等。

2列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一般我们只研究每个分类变量只取两个

3.条形图

为了更清晰地表达这个特征，我们还可用如下的等高条形图表示两种情况下患肺癌的比例．如图3.2一3 所示，在等高条形图中，浅色的条高表示不患肺癌的百分比；深色的条高表示患肺癌的百分比．

通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关”．那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？

4.独立性检验的步骤

为了回答下面问题，我们先假设H

：吸烟与患肺癌没有关系，看看能够得到什么样

的结论。

不患肺癌患肺癌合计不吸烟 a b a+b

吸烟 c d c+d

合计a+c b+d a+b+c+d

样本容量 n=a+b+c+d

如果“吸烟与患肺癌没有关系”，则吸烟者中不患肺癌的的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即：

()()()

()()()()

2

2

0a c

a c d c a

b ad b

c a b c d

ad bc ad bc n ad bc k a b c d a c b d n a b c d ≈⇒+≈+⇒-≈++---=

++++=+++因此 : 越小, 说明吸烟与患肺癌之间关系越弱. 越大, 说明吸烟与患肺癌之间关系越强构造随机变量 其中

为样本容量

若 H 0 成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则 K “应该很小．根据表3一7中的数据，利用公式（1）计算得到 K “的观测值为

()2

2

996577754942209956.63278172148987491

K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,

这个值到底能告诉我们什么呢？

统计学家经过研究后发现，在 H 0成立的情况下，

2( 6.635)0.01P K ≥≈. (2)

(2）式说明，在H 0成立的情况下，2

K 的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0 . 01，

是一个小概率事件．现在2

K 的观测值k ≈56.632 ，远远大于6. 635，所以有理由断定H 0

不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”．但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系” .

在上述过程中，实际上是借助于随机变量2

K 的观测值k 建立了一个判断H 0是否成立的规则：

如果k ≥6. 635，就判断H 0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H 0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系．

在该规则下，把结论“H 0 成立”错判成“H 0 不成立”的概率不会超过

2( 6.635)0.01P K ≥≈,

即有99％的把握认为H 0不成立．

假设检验 备择假设H 1

不成立的前提下进行推理 10成立 推出有利于H 1成立的小概率事件（概率不超过α的事件）发

生，意味着H 1成立的可能性（可能性为（1－α））很大

下任上例的解决步骤

第一步：提出假设检验问题 H 0：吸烟与患肺癌没有关系↔ H 1：吸烟与患肺癌有关系

第二步：选择检验的指标 2

2

()K ()()()()

n ad bc a b c d a c b d -=++++

（它越小，原假设“H 0：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H 1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步：查表得出结论

注意：1观测值是2

K 的值

2．假设没有关系，如果2

K 大，则H 0不成立，即两个量有关系。 如果2

K 小，说明没有足够证据证明H 0不成立，即两个量没有关系 3.查表后，大于某个值0k 的可能性很小，如果大于0k ，则得出两个量有关系 4得到两个量有（没有）关系的结论是在概率基础上决定的，存在犯错误的概率

5有99%的把握（相当于正确概率99%）认为 有关 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“ 有关”

说明：95%就是概率，可以说成有95%的把握，这种事件出现的可能性极大 5%当然也是概率，这种事件出现的可能性极小，

在新闻中播报的水灾20年一遇，就是概率5%事件发生了 题型一概念辨析

例题 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )

A ．若K 2的观测值为k ＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病

B ．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

C ．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误

D ．以上三种说法都不正确

A 变式1下列关于独立性检验的说法中，错误的是（ ） A ．独立性检验得到的结论一定正确

B ．独立性检验依赖小概率原理

C ．样本不同，独立性检验的结论可能有差异

D ．独立性检验不是判定两事物是否相关的唯一方法

考点：独立性检验的基本思想．

分析：对选项进行判断，独立性检验取决于样本、独立性检验是依据小概率原理，用样本计

算统计量的、样本不同，观测值统计量也不同、对于检验两个事件是否相关除了统计量外，还可以根据两个分类变量之间频率大小差异进行粗略判断，即可得出结论．