高考数学试题-江苏省2018届高三数学冲刺过关(7)新人教

2018年江苏省高考冲刺压轴数学试卷(附答案)

2018江苏省高考压轴卷数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= ．2.若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z = ．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有人．4.如图，该程序运行后输出的结果为．5.将函数y=3sin （2x ﹣6π）的图象向左平移4π个单位后，所在图象对应的函数解析式为． 6.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为41，则阴影部分的面积为．8.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0， b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．9.设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3=﹣81，且a2，a4，a 3成等差数列，则数列{a n}的前4项和为．10.设定义在R上的偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f（1﹣m）＜f（m），则实数m的取值范围是．11.已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．12.如图，在△ABC中，已知AN=21AC，P是BN上一点，若AP=m AB+41AC，则实数m的值是．13.已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a+b|，则a与2a－b夹角的余弦值为．14.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥++-<1x,ax25x9x1x,xsin23，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为．15.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；（2）BC // 平面AEF．16.在△ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，且()2cos cosa b C c B-⋅=⋅.AA1B1C1BCFE（第16题）（1）求角C 的大小；（2）若2c =，△ABC 的面积为3，求该三角形的周长.17.已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点．（1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（i1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列；（2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域；（3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 20.（16分）已知f （x ）=x 2+mx+1（m ∈R ），g （x ）=e x ．（1）当x ∈[0，2]时，F （x ）=f （x ）﹣g （x ）为增函数，求实数m 的取值范围；（2）若m ∈（﹣1，0），设函数 G(x)=)x (g )x (f ，H(x)=﹣41x+45，求证：对任意x 1，x 2∈[1，1﹣m]，G （x 1）＜H （x 2）恒成立．数学II （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~第23题）。

2018年高考数学冲刺卷(2) (江苏版含答案)

SWhile End I I S S I While I S int Pr 12511+←+←<←←OCDBC 1AB 1A 1D 12018年高考数学冲刺卷（2）【江苏版含答案】考试时间：理150分钟，文120分钟第Ⅰ卷必做题部分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上． 1．已知集合{}|11M x x =-<<，|01x N x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则=⋂N M __________． 2. 已知复数z 满足42-=z ，若z 的虚部大于0，则=z ．3. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有________辆．4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为．5. 甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是____________．7. 如图，长方体1111ABCD A BC D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12VV 的值为．8. 设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC = ，2DN NC = ，80 90 100 110 120 130错误! 0.00.010.00.00.0DFCPAB则AM NM ⋅=．9. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，1()(23)2f x x a x a a =-+--. 若集合{}|(1)()0x f x f x x R φ--∈=＞，，则实数a 的取值范围为 .11. 已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 .12. 已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为．13. 已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝． 14. 设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

2018高考数学冲刺试卷(江苏卷12)(每题均有详细解答)

全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数学(江苏卷)12命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须做．．．．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟。

第I 卷（填空题共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1．不等式0.5log x ≥－1 的解集是 ▲ ．2．执行下列伪代码的结果是 ▲ ． A ←4.5 B ←6If A ≥5 Then B ←B ＋1 ElseB ←B －3 B ←B ＋2 End IfIf B ≥4 Then B ←B ×BElseB ←A ＋BEnd IfPrint B3．二次函数的图像经过点(1,2)，且在[1,)-+∞上是增函数，则该二次函数的解析式可以是 ▲ ．4．已知x ∈R ，下列函数：①x x y 1+=；②2y =；③2322++=x x y ；④2y x x ．这些函数中最小值为2的函数是 ▲ （注：把你认为正确的序号都填上）．5．若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a ＝ ▲ ．6．已知e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60o ，则(2 e 1－e 2)⋅(－3 e 1＋2 e 2)＝ ▲ ．7．等差数列中前n 项和为210，其中前4项和为40，后4项和为80，则n ＝ ▲ ．8．已知圆O 1：22()()4x a y b -+-=，圆O 2：22(1)(2)1x a y b --+--=，其中a ，b ∈R ，那么，两圆的位置关系是 ▲ ． 9．将函数sin 2y x =的图像向左平移8π平移后,得到的函数图像所对应的解析式为 ▲ ．10．右图是一个空间几何体的三视图，各户图中的尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积是 ▲ cm 2．11．已知点A (2,4)，B (1,1)，C (4,2)，若以ΔABC （包含边界）为可行域，要使目标函数(0)z ax y a =+>取得最大值的最优解有无穷多个，则a ＝ ▲ ．12．已知命题p ：,(0,)a b ∃∈+∞，当1a b +=时，113a b+=；命题q ：x ∀∈R ，21x x -+≥0恒成立．则命题p ⌝且q 是 ▲ 命题（填“真”或“假”）．13．函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图像如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内极小值点有▲ 个．14．已知命题：平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(,0)A p -和(,0)C p ，顶点B 在椭圆22221x y m n+=（m ＞n ＞0，p ）上，椭圆的离心率是e ，则sin sin sin A C B+=1e ．试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题： ▲ ▲ ．第Ⅱ卷（解答题共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知向量m (cos ,sin )αα=，n ＝(cos ,sin )ββ，02πα<<，02πβ-<<，|m －n|=，求s i n ()αβ-．33 2主视图俯视图左视图16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝ 3 ，点F 是PB 的中点，点E 在BC 上移动．（1）求三棱锥E-P AD 体积；（2）当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P AC 的关系，并说明理由；（3）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．17.（本小题满分14分）已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=，圆C 关于直线10x y +-=对称，圆心在第二象限，半径为2．（1）求圆C 的方程；（2）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 方程。

2018年江苏数学高考试卷含答案和解析

2018年江苏数学高考试卷参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么AB = ▲ ．2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ．5．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近3，则其离心率的值是 ▲ ．9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩- 则((15))f f 的值为▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． 13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267，求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长． B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．（1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．2018年江苏数学参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()5αβ+=-，所以225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y =．因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=7AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)22．综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x =-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**）此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）．①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q nn n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．附加题21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此，点P 的坐标为(3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--，故111|||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅-===⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1310．（2）因为Q 为BC 的中点，所以31(,0)2Q ，因此33(,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n即30,2220.y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n 所以直线CC 1与平面AQC 1． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=，因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。

2018年江苏省高考冲刺压轴数学试卷(有答案)

绝密★启封前2018江苏省高考压轴卷数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= ．2.若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z = ．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有人．4.如图，该程序运行后输出的结果为．5.将函数y=3sin （2x ﹣6π）的图象向左平移4π个单位后，所在图象对应的函数解析式为． 6.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为41，则阴影部分的面积为．8.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右端点分别为A 、B 两点，点C （0， b ），若线段AC的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为． 9.设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=﹣81，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的前4项和为． 10.设定义在R 上的偶函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f （1﹣m ）＜f （m ），则实数m 的取值范围是．11.已知函数f （x ）=，若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c 的取值范围是．12.如图，在△ABC 中，已知=21，P 是BN 上一点，若AP =m AB +41，则实数m 的值是．13.已知非零向量a ，b 满足|a |=|b |=|a +b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为．14.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥++-<1x ,a x 25x 9x 1x ,x sin 23，若函数f （x ）的图象与直线y=x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为． 15.如图，在三棱柱1B 1C 1中，，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．16.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，△ABC 3.17.已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点．（1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列；（2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域；（3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 20.（16分）已知f （x ）=x 2+mx+1（m ∈R ），g （x ）=e x ．（1）当x ∈[0，2]时，F （x ）=f （x ）﹣g （x ）为增函数，求实数m 的取值范围；（2）若m ∈（﹣1，0），设函数 G(x)=)x (g )x (f ，H(x)=﹣41x+45，求证：对任意x 1，x 2∈[1，1﹣m]，G （x 1）＜H （x 2）恒成立．AA 11C 1B C FE（第16题）数学II （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~第23题）。

2018高考数学冲刺试卷(江苏卷8)(每题均有详细解答)

全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数学(江苏卷)8命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须做．．．．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟。

第I 卷（填空题共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知空间中两点)3,2,(1x P 和)7,3,5(2+x P 间的距离为6，则x 的值为 ▲ ．2.命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是 ▲ ．3. 某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、100，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m 的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m = ▲ ．4.在正方体1111D C B A ABCD -中,已知F E ,分别是棱BC AB ,的中点,那么直线CE 与直线F D 1所成角的大小为_ ▲ ．5.已知sin 13cos 3sin 2=-x x (θ+x ),(R x ∈)，则θtan 的值为 ▲ ．6. 在ABC ∆中，已知AB=8，AC=5，12=∆ABC S ，则BC= ▲ ．7.已知数列{}n a 满足：对于任意*p q ∈N ，，都有p q p q a a a ++=.若36a =4,则首项1a = ▲ ．8.已知函数)2(log )(a x x f a -=在区间]32,21[上恒有0)(>x f ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．9.若定义运算：,bc ad d c b a -=那么满足条件i iz z 2321+=的复数z = ▲ ．10.下图是一个算法的程序框图,当输入的x 为5时, 则其输出的结果是y = ▲ ．11.已知)(x f 是R 上的偶函数，对一切R x ∈，都有)3()()6(f x f x f +=+成立，若2)2(=f ，则)2008(f = ▲ ．12.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 ▲ cm 2．13.设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是 ▲ ．14.已知函数)(x f y =和)(x g y =的定义域及值域均为],[a a -(常数0a ＞)，其图像如右图所示. 给出下列四个命题：(1)方程0)]([=x g f 有且仅有六个根； (2)方程0)]([=x f g 有且仅有六个根 (3)方程0)]([=x f f 有且仅有九个根； (4)方程0)]([=x g g 有且仅有四个根则其中正确命题的序号是： ▲ (注:把你认为正确的序号都填上) ．第Ⅱ卷（解答题共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）设向量=a (x x cos ,cos 2),=b (x x sin 32,cos ), 函数b a x f ⋅=)(. ⑴若函数)(x f y =的定义域为]4,4[ππ-，求)(x f 的值域 ⑵若将函数)(x f y =)(R x ∈的图像按向量),(n m c =平移后可得到函数x y 2cos 2=)(R x ∈的图像，其中2||π<m ，求实数n m ,的值.16（本小题满分14分）已知袋中有红色球4个，蓝色球3个，黄色球2个.现每次从中任取一球确定颜色后再放回，若取到红色球就结束取球，且最多可取4次. ⑴求取球次数为3的概率⑵求在4次取球中恰有3次取到蓝色球的概率17.（本小题满分14分）如图所示,一吊灯的下圆环直径为m 22,通过拉链悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离为m 2.在圆环上设置三个等分点321,,A A A ,点C 与点B A A A ,,,321均用拉链相连结,且321,,CA CA CA 等长.记BC 的长度为x ,拉链的总长度为y . ⑴试将y 表示为x 的函数)(x f y =； ⑵要使拉链总长最短,BC 应为多长?18.（本小题满分16分）如图在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB ,3,2==BC AC ,5161=AA ,M 、N 分别是11,BC AA 的中点.⑴求证：MN ∥平面ABC ;⑵求直线1CC 与平面1BMC 所成角的正切值;⑶求点1A 到平面M BC 1的距离.A 1B 1C 1AC BNMBCA 1A 2A 319.（本小题满分16分）设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项11=a ，q 为非零常数，已知对任意正整数m n ,，当m n > 时，m n m m n S q S S -=-总成立. ⑴求证：数列}{n a 是等比数列； ⑵求证：当m n >时，nmn mn S 2S 1S 1>++-.20.（本小题满分16分）已知动点P 到两定点)0,2(),0,2(21F F -的距离之差为2. ⑴求动点P 的轨迹方程；⑵由P 作圆C ：1)1(22=++y x 的两条切线,这两条切线与y 轴分别交于M 、N 两点，求MN 的取值范围.第Ⅲ卷（附加题共40分）本大题6小题，共40分，其中第一、第二小题每小题12分为必做题；第三、第四、第五、第六小题中选做两小题，多做无效，每小题8分。

2018高考数学冲刺试卷(江苏卷10)(每题均有详细解答)

全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数学(江苏卷)10命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须做．．．．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟。

第I 卷（填空题共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．已知集合,,A B A B 都是非空集合，则“()x A B ∈ ”是“x A ∈且x B ∈”的 ▲ 条件（在充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要中选择一个填空）．2．已知函数()2(1)f x x k x k =+--的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是 ▲ ．3．定义一种运用如下：11122122x y x y x y x y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则复数1i z i i ⎤-=⎥⎥⎦（i 是虚数单位）的共轭复数是 ▲ ．4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 与平面BC 1D 1所成角的正切值为 ▲ ．5．直线0Ax By C ++=与圆224x y +=相交于两点,M N ，若222C A B =+，则OM ·（O 为坐标原点）等于 ▲ ． 6．若函数()sin()(,0)44y f x y x P ππ==+的图象和的图象关于点对称，()f x 则的表达式是 ▲ ．7．已知函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，()(||)g x f x =-，若(l g )(1)g x g >，则x 的取值范围是 ▲ ．8．若,,a b c R +∈，且24a b c ++=，则()t a a b c bc =+++的最大值是 ▲ ．9．已知32sin cos 44=-αα，)2,0(πα∈，则cos(2)3πα+= ▲ ． 10. 已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是 ▲ ．11. 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，DC BAA 1BCD 第4题图作品上交时间为5月1日至30日．评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图如图．已知从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频率为12，则本次活动共有 ▲ 件作品参加评比．12. 设z x y =+，其中,x y 满足20,0,0.x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z 的最大值为６，则z 的最小值为 ▲ ．13．设()f x 是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且'()22f x x =+，()f x = ▲ ．14. 已知命题：椭圆192522=+y x 与双曲线151122=-y x 的焦距相等．试将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例： ▲ ．第Ⅱ卷（解答题共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知甲、乙两人分别位于图中的M 、N 两点，每隔1分钟，甲、乙两人分别向东南西北四个方向的其中一个方向行走一格．已知甲向四个方向行走的概率是相等的，乙向东、向西行走的概率都是13，向北行走的概率是14．甲、乙分别按某个方向行走的事件记为A 、B ，记事件A 、B 同时发生的概率为()P AB ，且()P AB 满足如下公式：()()()P AB P A P B =⨯．（Ⅰ）分别求出甲、乙二人向南行走的概率；（Ⅱ）试问甲、乙二人至少经过几分钟相遇？最短时间内相遇的概率是多少？E NM F东北西南第15题图16．（本小题满分14分）在四边形ABCD 中， BD 是它的一条对角线，且)(R ∈=λλ，2==，CB CD -=．（Ⅰ）若△BCD 是直角三形，求λ的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求BA CB ⋅．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45，底面ABCD 为直角梯形，190,2ABC BAD PA BC AD ∠=∠===．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）在棱PD 是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．BACD第16题图B ADCP第17题图18．（本小题满分16分）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足：21056,n n n S a a =++且1315,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）证明数列{}n a 是等差数列，并求出其通项n a ；（Ⅱ）设12n n n b a a +=⋅，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m S <对所有的*n N ∈都成立的实数m的取值范围．19．（本小题满分16分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C ，它的离心率为33，直线2:+=x y l 与以原点为圆心，以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）求与椭圆1C有共同的准线，并且以0x =为渐近线的双曲线2C 的方程；（Ⅲ）设点P 是双曲线2C 右支上一点,12,F F 分别是双曲线2C 左、右焦点，证明12PF F ∆的内心（内切圆圆心）I 到y 轴的距离是一个定值．20．（本小题满分16分）设函数()2(,)x af x a b R b x +=∈-在(上单调递增，在上单调递减．（Ⅰ）求,a b 之间的关系式；（Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求()f x 的解析式；（Ⅲ）当1b <-时，是否存在实数m ，使得22'2()()()F x b x f x m x =-⋅-在(,0)-∞上为单调函数？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．第Ⅲ卷（附加题共40分）本大题6小题，共40分，其中第一、第二小题每小题12分为必做题；第三、第四、第五、第六小题中选做两小题，多做无效，每小题8分。

2018年江苏省高考数学冲刺试卷(一)

2018年江苏省高考数学冲刺试卷（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填写在答题卡上相应位置上.1. 已知全集为R，集合A={x|2x≥4}，B={x|x2−3x≥0}，则A∩(∁R B)=________．【答案】[2, 3)【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先解出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】A={x|x≥2}，B={x|x≤0, 或x≥3}；∴∁R B={x|0<x<3}；∴A∩(∁R B)=[2, 3)．2. 若复数z=1−i2−i，则z的虚部为________．【答案】−1 5【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】z=1−i2−i =(1−i)(2+i)(2−i)(2+i)=3−i5=35−15i，则z的虚部为−15．3. 已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1=12，且a2a8=2a5+3，则a9=________．【答案】18【考点】等比数列的通项公式【解析】各项均为正数的等比数列{a n}，公比设为q，q>0，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，再由通项公式计算可得所求值．【解答】各项均为正数的等比数列{a n}，公比设为q，q>0，a1=12，且a2a8=2a5+3，可得12q⋅12q7=2⋅12q4+3，解得q 4=6（负的舍去），则a 9=a 1q 8=12×36=18．4. 已知某高级中学，高一、高二、高三学生人数分别为880、860、820，现用分层抽样方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________．【答案】43【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】用分层抽样方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为860880+860+820×128=8602560×128=43，5. 执行如图所示程序框图，输出的S 为________．【答案】17【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】当S =27，i =1时，不满足S >12，S =47，满足继续循环的条件，i =2；当S =47，i =2时，满足S >12，S =17，满足继续循环的条件，i =3；当S =17，i =3时，不满足S >12，S =27，满足继续循环的条件，i =4；当S =27，i =4时，不满足S >12，S =47，满足继续循环的条件，i =5；当S =47，i =5时，满足S >12，S =17，不满足继续循环的条件，故输出的S 值为17，6. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且|FM|=4|PM|，则双曲线C 的离心率为________．【答案】 √5【考点】双曲线的离心率【解析】先利用FM 与渐近线垂直，写出直线FM 的方程，从而求得点P 的坐标，利用|FM|=4|PM ，求得点M 的坐标，最后由点M 在渐近线上，代入得a 、b 、c 间的等式，进而变换求出离心率【解答】设F(c, 0)，则c 2=a 2+b 2∵ 双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，∴ 垂线FM 的斜率为−a b ，∴ 直线FM 的方程为y =−a b (x −c)，令x =0，得P 的坐标(0, ac b )，设M(x, y)，∵ |FM|=4|PM|，∴ (x −c, y)=4(−x, ac b −y)，∴ x −c =−4x 且y =4ac b −4y ，即x =c 5，y =4ac 5b ，代入y =b a x ，得4ac 5b =b a ⋅c 5，即4a 2=b 2，∴ 4a 2=c 2−a 2，∴ 5a 2=c 2，∴ √5a =c ，∴ e =c a =√5，7. 在含甲、乙的6名学生中任选2人去执行一项任务，则甲被选中、乙没有被选中的概率为________．【答案】415【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=C62=15，甲被选中、乙没有被选中包含的基本事件个数m=C11C41=4，由此能求出甲被选中、乙没有被选中的概率．【解答】在含甲、乙的6名学生中任选2人去执行一项任务，基本事件总数n=C62=15，甲被选中、乙没有被选中包含的基本事件个数m=C11C41=4，∴甲被选中、乙没有被选中的概率为p=mn =415．8. 已知函数f(x)=2cos(ωx−φ)(ω>0, φ∈[0, π])的部分图象如图所示，若A(π2,√2)，B(3π2,√2)，则f(0)=________．【答案】−√2【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数f(x)的部分图象求得f(x)的解析式，再计算f(0)的值．【解答】由函数f(x)=2cos(ωx−φ)的部分图象知，f(x)的周期为T=3π2−π2=π，∴ω=2πT=2；又f(π2)=2cos(π−φ)=−2cosφ=√2，∴cosφ=−√22；又φ∈[0, π]，∴φ=3π4；∴f(x)=2cos(2x−3π4)．∴ f(0)=2cos(−3π4)=−√2．9. 已知在体积为4π的圆柱中，AB ，CD 分别是上、下底面直径，且AB ⊥CD ，则三棱锥A −BCD 的体积为________．【答案】83【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】将三棱锥分解成两个小棱锥计算．【解答】取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，则AD =BD ，∴ OD ⊥AB ，又AB ⊥CD ，CD ∩OD =D ，∴ AB ⊥平面OCD ，设圆柱的底面半径为R ，高为ℎ，则V 圆柱=πR 2ℎ=4π，即R 2ℎ=4，∴ 三棱锥A −BCD 的体积为V A−OCD +V B−OCD =13S △OCD ⋅AB=13×12×2R ×ℎ×2R =2R 2ℎ3=83．10. 已知函数f(x)=log a x 2+a |x|(a >0，且a ≠1)，若f(−3)<f(4)，则不等式f(x 2−3x)<f(4)的解集为________．【答案】(−1, 0)∪(0, 3)∪(3, 4)【考点】对数函数的图象与性质【解析】直接利用函数的性质和定义域求出结果．【解答】函数f(x)=log a x 2+a |x|(a >0，且a ≠1)，若f(−3)<f(4)，则：函数单调递增，故：不等式f(x 2−3x)<f(4)满足：x 2−3x <4，解得：−1<x <4，由于：x 2−3x ≠0，解得：x ≠0且x ≠3，故：不等式f(x 2−3x)<f(4)的解集为：(−1, 0)∪(0, 3)∪(3, 4)．11. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120∘，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE →=λBC →，DF →=μDC →．若AE →⋅AF →=1，CE →⋅CF →=−23，则λ+μ=________．【答案】56【考点】向量的线性运算性质及几何意义平面向量数量积的性质及其运算律【解析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，由AE →⋅AF →=1，求得4λ+4μ−2λμ=3 ①；再由CE →⋅CF →=−23，求得−λ−μ+λμ=−23②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若AE →⋅AF →=(AB →+BE →)⋅(AD →+DF →)=AB →⋅AD →+AB →⋅DF →+BE →⋅AD →+BE →⋅DF →=2×2×cos120∘+AB →⋅μDC →+λAD →⋅BC →+λAD →⋅μAB →=−2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120∘=4λ+4μ−2λμ−2=1，∴ 4λ+4μ−2λμ=3 ①．CE →⋅CF →=−EC →⋅(−FC →)=EC →⋅FC →=(1−λ)BC →⋅(1−μ)DC →=(1−λ)AD →⋅(1−μ)AB →=(1−λ)(1−μ)×2×2×cos120∘=(1−λ−μ+λμ)(−2)=−23，即−λ−μ+λμ=−23②．由①②求得λ+μ=56.故答案为：56.12. 已知关于实数x ，y 的不等式组{x +2y −19≥0x −y +8≥02x +y −14≤0，构成的平面区域为Ω，若∃(x 0, y 0)∈Ω，使得(x 0−1)2+(y 0−1)2≤m ，则实数m 的取值范围是________．【答案】[2565, +∞) 【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，由满足(x 0−1)2+(y 0−1)2≤m ，它的几何意义是区域内的点到(1, 1)的距离的平方等于m ，利用数形结合进行求解即可．【解答】平面区域M 如如图所示．求得A(2, 10)，C(3, 8)，B(1, 9)．若∃(x 0, y 0)∈Ω，使得(x 0−1)2+(y 0−1)2≤m ，则问题转化为求(1, 1)到直线x +2y −19=0的距离，由点到直线的距离公式得：d =√1+4=16√55，故m ≥256513. 已知a >0，若函数f(x)={2e 2lnx,x >0|x 3+x|,x ≤0且g(x)=f(x)−ax 2有且只有五个零点，则a 的取值范围是________．【答案】(2, e)【考点】函数零点的判定定理【解析】由g(x)=0，可得f(0)=0，只要x ≠0时f(x)=ax 2有4个不同的实数解，即为a =f(x)x 2，分别讨论x >0，x <0，函数的极值，通过图象即可得到所求范围．【解答】由g(x)=0，可得f(x)=ax 2，当x =0时，f(0)=0成立；由题意可得只要x ≠0时f(x)=ax 2有4个不同的实数解，即为a =f(x)x 2，当x >0时，y =2e 2lnxx 2，导数y′=2e 2⋅x(1−2lnx)x 4，由0<x <√e ，可得函数y 递增；x >√e 时，函数y 递减，即有x =√e 处取得极大值e ，当x <0时，函数y =|x +1x |，x =−1处有极大值2，作出函数y =f(x)x 的图象，由图象可得当2<a <e 时，y =a 和y =f(x)x 2的图象有四个交点，综上可得a 的范围是(2, e)．14. 已知数列{a n }的首项a 1=1，其前n 项和为S n ，且S n +S n+1=n 2+2n +p ，若{a n }单调递增，则p 的取值范围是________．【答案】(12,32) 【考点】数列递推式求得数列的前几项，运用数列的递推式，可得从第四项起奇数项、偶数项均为公差为2的等差数列，可得p 的不等式，解不等式即可得到所求范围．【解答】a 1=1，其前n 项和为S n ，且S n +S n+1=n 2+2n +p ，可得a 1+a 1+a 2=3+p ，可得a 2=1+p ，a 1+a 2+a 1+a 2+a 3=8+p ，可得a 3=4−p ，由S n +S n+1=n 2+2n +p ，可得S n−1+S n =(n −1)2+2(n −1)+p ，n ≥2，相减可得a n +a n+1=2n +1，将n 换为n −1，可得a n−1+a n =2n −1，相减可得a n+1−a n−1=2，n ≥3，可得a 4=3+p ，a 5=6−p ，a 6=5+p ，a 7=8−p ，a 8=7+p ，…，由{a n }单调递增，可得a 1<a 2<a 3<a 4<a 5<…，可得1<1+p <4−p <3+p <6−p <5+p <8−p <7+p <…，解得p >0，且p <32，且p >12，即12<p <32，二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，且(2a +c)sinBtanC +bsinCtanB =0．(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若a =2c ，b =2，求△ABC 的面积．【答案】(Ⅰ)由题意知(2a +c)sinBtanC +bsinCtanB =0，即(2a+c)sinBsinC cosC+bsinCsinB cosB =0，所以2a+c cosC +b cosB =0，由正弦定理得2sinA+sinC cosC +sinB cosB =0，整理得2sinAcosB +sinCcosB +sinBcosC =0，即2sinAcosB +sin(B +C)=0，即2sinAcosB +sinA =0，所以cosB =−12，可得B =23π；(Ⅱ)当a =2c 时，由余弦定理得4=a 2+c 2−2accosB =7c 2，所以c =2√77，a =4√77，所以S △ABC =12acsinB =12×87×√32=27√3．三角形求面积【解析】(Ⅰ)运用切化弦和正弦定理、和差公式，以及特殊角的三角函数的值，可得所求角；(Ⅱ)运用余弦定理，解方程可得a ，c ，再由三角形的面积公式可得所求值．【解答】(Ⅰ)由题意知(2a +c)sinBtanC +bsinCtanB =0，即(2a+c)sinBsinC cosC+bsinCsinB cosB =0，所以2a+c cosC +b cosB =0，由正弦定理得2sinA+sinC cosC +sinB cosB =0，整理得2sinAcosB +sinCcosB +sinBcosC =0，即2sinAcosB +sin(B +C)=0，即2sinAcosB +sinA =0，所以cosB =−12，可得B =23π；(Ⅱ)当a =2c 时，由余弦定理得4=a 2+c 2−2accosB =7c 2，所以c =2√77，a =4√77，所以S △ABC =12acsinB =12×87×√32=27√3．如图所示的多面体中，底面ABCD 为正方形，△GAD 为等边三角形，BF ⊥平面ABCD ，∠GDC =90∘，点E 是线段GC 上除两端点外的一点，若点P 为线段GD 的中点．(Ⅰ)求证：AP ⊥平面GCD ；(Ⅱ)求证：平面ADG // 平面FBC ．【答案】证明：(Ⅰ)因为△GAD 是等边三角形，点P 为线段GD 的中点，故AP ⊥GD ．因为AD ⊥CD ，GD ⊥CD ，且AD ∩GD =D ，AD ，GD ⊂平面GAD ，故CD ⊥平面GAD ，又AP ⊂平面GAD ，故CD ⊥AP ，又CD ∩GD =D ，CD ，GD ⊂平面GCD ，故AP ⊥平面GCD ．(Ⅱ)∵ BF ⊥平面ABCD ，∴ BF ⊥CD ，∵ BC ⊥CD ，BF ∩BC =B ，BF ，BC ⊂平面FBC ，∴ CD ⊥平面FBC ，由(Ⅰ)知CD ⊥平面GAD ，∴平面ADG // 平面FBC．【考点】平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定【解析】(Ⅰ)推导出AP⊥GD．AD⊥CD，GD⊥CD，从而CD⊥平面GAD，进而CD⊥AP，由此能证明AP⊥平面GCD．(Ⅱ)推导出BF⊥CD，BC⊥CD，从而CD⊥平面FBC，再由CD⊥平面GAD，能证明平面ADG // 平面FBC．【解答】证明：(Ⅰ)因为△GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故AP⊥GD．因为AD⊥CD，GD⊥CD，且AD∩GD=D，AD，GD⊂平面GAD，故CD⊥平面GAD，又AP⊂平面GAD，故CD⊥AP，又CD∩GD=D，CD，GD⊂平面GCD，故AP⊥平面GCD．(Ⅱ)∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥CD，∵BC⊥CD，BF∩BC=B，BF，BC⊂平面FBC，∴CD⊥平面FBC，由(Ⅰ)知CD⊥平面GAD，∴平面ADG // 平面FBC．秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用y（元）与使用年数n的关系为：y=kn+b(n≥2，且n∈N∗)，已知第二年付费1800元，第五年付费6000元．(1)试求出该农机户用于维修保养的费用f(n)（元）与使用年数n(n∈N∗)的函数关系；(2)这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入−维修保养费用-购买机械费用）【答案】(1)依题意，当n=2，y=1800，n=5，y=6000，即{1800=2k +b,6000=5k +b, 解得{k =1400,b =−1000, 所以f(n)={0,n =1,1400n −1000,n ≥2且n ∈N ∗;(2)记使用n 年，年均收益为W （元），则依题意，n ≥2时，W =60000−1n [137600+1400(2+3+...+n)−1000(n −1)]=60000−1n [137600+1400×(n −1)(n +2)2−1000(n −1)]=60000−1n (137200+700n 2−300n)=60300−(700n +137200n) ≤60300−2√700n ⋅137200n=40700，当且仅当700n =137200n，即n =14时取等号．所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大．【考点】基本不等式在最值问题中的应用分段函数的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】(Ⅰ)依题意列方程组求出k 、b 的值，写出函数f(n)； (Ⅱ)记使用n 年，年均收益为W （元），列出w 的解析式，利用基本不等式求出w 的最大值以及对应的n 值．【解答】(1)依题意，当n =2，y =1800， n =5，y =6000，即{1800=2k +b,6000=5k +b, 解得{k =1400,b =−1000, 所以f(n)={0,n =1,1400n −1000,n ≥2且n ∈N ∗;(2)记使用n 年，年均收益为W （元），则依题意，n ≥2时，W =60000−1n [137600+1400(2+3+...+n)−1000(n −1)]=60000−1n [137600+1400×(n −1)(n +2)2−1000(n −1)]=60000−1n (137200+700n 2−300n)=60300−(700n +137200n)≤60300−2√700n ⋅137200n=40700，当且仅当700n =137200n ，即n =14时取等号．所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大．已知椭圆Γ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的两个顶点与F 1，F 2构成面积为2的正方形． (Ⅰ)求Γ的方程；(Ⅱ)直线l 与椭圆Γ在y 轴的右侧交于点P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过点F 2，PQ 的垂直平分线交x 轴于A 点，且OA →=611OF 2→，求直线l 的方程．【答案】（I ）短轴的两个顶点与F 1，F 2构成面积为2的正方形，∴ b =c ，12×2b ×2c =2，解得b =c =1，∴ a 2=b 2+c 2=2， ∴ Γ的方程为x 22+y 2=1．(II)由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为y =kx +m ，代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，x 1>0，x 2>0，PQ 的中点为M(x 0, y 0)，由直线l 与椭圆Γ在y 轴的右侧交于点P ，Q ，则x 1+x 2=−4km1+2k 2>0，则km <0，x 1x 2=2m 2−21+2k >0，则m >1或m <−1，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−2k 21+2k 2，又F 2(1, 0)，∴ F 2P →=(x 1−1, y 1)，F 2Q →=(x 2−1, y 2)，∵ 以PQ 为直径的圆经过点F 2，∴ F 2P →⋅F 2Q →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=x 1x 2−(x 1+x 2)+y 1y 2+1=3m 2+4km−11+2k 2=0，∴ 3m 2+4km −1=0，①又x 0=x 1+x 22=−2km1+2k 2，y 0=kx 0+m =m1+2k 2， ∴ PQ 的垂直平分线方程为：y =−1k(x +2km 1+2k 2)+m 1+2k 2，∵ OA →=611OF 2→，∴ A(611, 0)，把A 点坐标代入PQ 的垂直平分线方程，整理得：11km +6(1+2k 2)=0，②将①代入②整理得：18m 2+35km +12k 2=0，(3k +2m)(4k +9m)=0，解得：k =−23m 或k =−94m ，代入①解得：m =±√3，将k =−94m （舍去） ∴ 当m =√3时，k =−2√33或m =−√3，k =2√33，∴ 直线l 的方程：y =−2√33x +√3，或y =2√33x −√3．【考点】椭圆的定义【解析】(Ⅰ)根据三角形的面积公式即可求得b 和a 的值，求得椭圆方程；(Ⅱ)设直线PQ 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得3m 2+4km −1=0，根据中点坐标公式及直线的点斜式方程，令y =0，求得A 点坐标，即可求得k =−23m ，代入即可求得直线l 的方程．【解答】（I ）短轴的两个顶点与F 1，F 2构成面积为2的正方形，∴ b =c ，12×2b ×2c =2，解得b =c =1，∴ a 2=b 2+c 2=2， ∴ Γ的方程为x 22+y 2=1．(II)由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为y =kx +m ，代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，x 1>0，x 2>0，PQ 的中点为M(x 0, y 0)，由直线l 与椭圆Γ在y 轴的右侧交于点P ，Q ，则x 1+x 2=−4km1+2k 2>0，则km <0，x 1x 2=2m 2−21+2k 2>0，则m >1或m <−1，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−2k 21+2k 2，又F 2(1, 0)，∴ F 2P →=(x 1−1, y 1)，F 2Q →=(x 2−1, y 2)，∵ 以PQ 为直径的圆经过点F 2，∴ F 2P →⋅F 2Q →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=x 1x 2−(x 1+x 2)+y 1y 2+1=3m 2+4km−11+2k 2=0，∴ 3m 2+4km −1=0，①又x 0=x 1+x 22=−2km1+2k 2，y 0=kx 0+m =m1+2k 2，∴ PQ 的垂直平分线方程为：y =−1k (x +2km1+2k 2)+m1+2k 2， ∵ OA →=611OF 2→，∴ A(611, 0)，把A 点坐标代入PQ 的垂直平分线方程，整理得：11km +6(1+2k 2)=0，②将①代入②整理得：18m 2+35km +12k 2=0，(3k +2m)(4k +9m)=0，解得：k =−23m 或k =−94m ，代入①解得：m =±√3，将k =−94m （舍去） ∴ 当m =√3时，k =−2√33或m =−√3，k =2√33，∴ 直线l 的方程：y =−2√33x +√3，或y =2√33x −√3．已知f(x)=（2x +2f ′(0)）e x ，g(x)=f(x)+12a(x −1)2，ℎ(x)=f(x)+a(x 2+4x)+4．(Ⅰ)求f(x)；(Ⅱ)求g(x)单调区间；(Ⅲ)若不等式ℎ(x)≥0在[0, +∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）∵ f′(x)=(2x +2f′(0)+2)e x ， ∴ f′(0)=2f′(0)+2，得f′(0)=−2， ∴ f(x)=(2x −4)e x ．（2）由题意知g(x)=(2x −4)e x +12a(x −1)2， ∴ g ′(x)=(2x −2)e x +a(x −1)=(x −1)(2e x +a)，当a ≥0时，令g ′(x)>0，得x >1，令g ′(x)<0，得x <1，∴ g(x)在(1, +∞)上单调递增，在(−∞, 1)上单调递减，当a <−2e 时，ln(−a2)>1，令g ′(x)>0，得x <1或x >ln(−a2)，令g ′(x)<0，得1<x <ln(−a2)，∴ g(x)在(−∞, 1)，(ln(−a2),+∞)上单调递增，在(1,ln(−a2))上单调递减，当−2e <a <0时，ln(−a 2)<1，令g′(x)>0，得x>1或x<ln(−a2)，令g′(x)<0，得ln(−a2)<x<1，∴g(x)在(−∞,ln(−a2))，(1, +∞)上单调递增，在(ln(−a2),1)上单调递减，当a=−2e时，g′(x)>0在R上恒成立，综上所述，当a≥0时，g(x)在(1, +∞)上单调递增，在(−∞, 1)上单调递减，当a<−2e时，g(x)在(−∞, 1)和(ln(−a2),+∞)上单调递增，在(1,ln(−a2))上单调递减，当−2e<a<0时，g(x)在(−∞,ln(−a2))和(1, +∞)上单调递增，在(ln(−a2),1)上单调递减，当a=−2e时，g(x)在R上单调递增．(Ⅲ)ℎ(x)=(2x−4)e x+a(x2+4x)+4，ℎ′(x)=(2x−2)e x+2a(x+2)，令m(x)=ℎ′(x)=(2x−2)e x+2a(x+2)，有m′(x)=2xe x+2a(x≥0)，当2a≥0时，有m′(x)≥0，此时函数y=m(x)在[0, +∞)上单调递增，则m(x)≥m(0)=4a−2，(i)若4a−2≥0即a≥12时，y=ℎ(x)在[0, +∞)上单调递增，则ℎ(x)min=ℎ(0)=0恒成立；(ii)若4a−2<0即0≤a<12时，则在[0, +∞)存在ℎ′(x0)=0，此时函数y=ℎ(x)在(0, x0)上单调递减，x∈(x0, +∞)上单调递增，且ℎ(0)=4a−4，∴不等式不可能恒成立，故不符合题意；当2a<0时，有m′(0)=2a<0，则在[0, +∞)上存在g′(x1)=0，在x∈(0, x1)上单调递减，在(x1, +∞)上单调递增，∴y=ℎ′(x)在[0, +∞)上先减后增，又ℎ′(0)=−2+4a<0，则函数y=ℎ(x)在[0, +∞)上先减后增，且ℎ(0)=4a−4，∴不等式不可能恒成立，故不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为a≥12．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)由已知可得f′(x)=(2x+2f′(0)+2)e x，取x=0，可得f′(0)=−2，从而求得f(x)=(2x−4)e x．(Ⅱ)由题意知g(x)=(2x−4)e x+12a(x−1)2，g′(x)=(2x−2)e x+a(x−1)=(x−1)(2e x+a)，当a≥0时，由导函数的符号可得g(x)的单调区间；当a<−2e时，ln(−a2)>1，由g′(x)>0和g′(x)<0分别解得g(x)的单调区间，当−2e<a<0时，ln(−a2)<1，g′(x)>0和g′(x)<0分别解得g(x)的单调区间；(Ⅲ)ℎ(x)=(2x−4)e x+a(x2+4x)+4，可得ℎ′(x)=(2x−2)e x+2a(x+2)，令m(x)=ℎ′(x)，由导数可得有m′(x)=2xe x+2a(x≥0)，得到m(x)≥m(0)=4a−2，然后对4a−2与0的大小分类分析得答案．【解答】（1）∵f′(x)=(2x+2f′(0)+2)e x，∴f′(0)=2f′(0)+2，得f′(0)=−2，∴f(x)=(2x−4)e x．（2）由题意知g(x)=(2x−4)e x+12a(x−1)2，∴g′(x)=(2x−2)e x+a(x−1)=(x−1)(2e x+a)，当a≥0时，令g′(x)>0，得x>1，令g′(x)<0，得x<1，∴g(x)在(1, +∞)上单调递增，在(−∞, 1)上单调递减，当a<−2e时，ln(−a2)>1，令g′(x)>0，得x<1或x>ln(−a2)，令g′(x)<0，得1<x<ln(−a2)，∴g(x)在(−∞, 1)，(ln(−a2),+∞)上单调递增，在(1,ln(−a2))上单调递减，当−2e<a<0时，ln(−a2)<1，令g′(x)>0，得x>1或x<ln(−a2)，令g′(x)<0，得ln(−a2)<x<1，∴g(x)在(−∞,ln(−a2))，(1, +∞)上单调递增，在(ln(−a2),1)上单调递减，当a=−2e时，g′(x)>0在R上恒成立，综上所述，当a≥0时，g(x)在(1, +∞)上单调递增，在(−∞, 1)上单调递减，当a<−2e时，g(x)在(−∞, 1)和(ln(−a2),+∞)上单调递增，在(1,ln(−a2))上单调递减，当−2e<a<0时，g(x)在(−∞,ln(−a2))和(1, +∞)上单调递增，在(ln(−a2),1)上单调递减，当a=−2e时，g(x)在R上单调递增．(Ⅲ)ℎ(x)=(2x−4)e x+a(x2+4x)+4，ℎ′(x)=(2x−2)e x+2a(x+2)，令m(x)=ℎ′(x)=(2x−2)e x+2a(x+2)，有m′(x)=2xe x+2a(x≥0)，当2a≥0时，有m′(x)≥0，此时函数y=m(x)在[0, +∞)上单调递增，则m(x)≥m(0)=4a−2，(i)若4a−2≥0即a≥12时，y=ℎ(x)在[0, +∞)上单调递增，则ℎ(x)min=ℎ(0)=0恒成立；(ii)若4a−2<0即0≤a<12时，则在[0, +∞)存在ℎ′(x0)=0，此时函数y=ℎ(x)在(0, x0)上单调递减，x∈(x0, +∞)上单调递增，且ℎ(0)=4a−4，∴ 不等式不可能恒成立，故不符合题意；当2a <0时，有m ′(0)=2a <0，则在[0, +∞)上存在g ′(x 1)=0，在x ∈(0, x 1)上单调递减，在(x 1, +∞)上单调递增，∴ y =ℎ′(x)在[0, +∞)上先减后增，又ℎ′(0)=−2+4a <0，则函数y =ℎ(x)在[0, +∞)上先减后增，且ℎ(0)=4a −4， ∴ 不等式不可能恒成立，故不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围为a ≥12．设m 个不全相等的正数a 1，a 2，…，a m (m ≥3)依次围成一个圆圈．(Ⅰ)设m =2017，且a 1，a 2，a 3，…，a 1009是公差为d 的等差数列，而a 1，a 2017，a 2016，…，a 1010是公比为q =d 的等比数列，数列a 1，a 2，…，a m 的前n 项和S n (n ≤m)满足S 3=15，S 2017=S 2016+12a 1，求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设a 1=a ，a 2=b(a ≠b)，若数列a 1，a 2，…，a m 每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求a 8；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，m ≤2017，求符合条件的m 的个数．【答案】（1）因a 1，a 2017，a 2016，…，a 1010是公比为d 的等比数列，从而a 2017=a 1d ，a 2016=a 1d 2，由S 2017=S 2015+12a 1得a 2017+a 2016=12a 1，故解得d =3或d =−4（舍去）．因此d =3，又S 3=3a 1+3d =15，解得a 1=2．从而当n ≤1009时，a n =a 1+(n −1)d =2+3(n −1)=3n −1，当1010≤n ≤2017时，由a 1，a 2017，a 2016，…，a 1010是公比为d 的等比数列，求得a n =a 1d 2017−(n−1)=a 132018−n ；因此a n ={3n −1,n ≤10092⋅32018−n ,1010≤n ≤2017；（2）由题意a n 2=a n−12an+12，a m 2=a m−12a12，a 12=a m 2a22，∴ a n =a n−1a n+1，求得a 3=a 2a 1，a 4=1a 1，a 5=1a 2，a 6=a1a 2，a 7=a 1=a ， a 8=a 2=b ；(Ⅲ)猜想：m =6k ，k =1，2，3，…，336，一共有336个；证明：a n2=a n−12an+12， a m 2=a m−12a12， a 12=a m 2a22，所以{a n =a n−1a n+1(1<n <m),a m =a m−1a 1,a 1=a m a 2,；又a r+3=ar+2a r+1=a r+1a r⋅1a r+1=1a r(1≤r ≤m −3)，④故有a r+6=1ar+3=a r ，(1≤r ≤m −6)．⑤若猜想不成立，设m =6k +p ，其中1≤p ≤5，若取p =1，即m =6k +1，则由此得a m =a 6k+1=a 1，而由③得a m =a1a 2，故a 1=a1a 2，得a 2=1，由②得a m−1=a ma 1，从而a 6=a 6k =a m−1，而a 6=a1a 2，故a 1=a 2=1，由此推得a n =1(1≤n ≤m)与题设矛盾，同理若p =2，3，4，5均可得a n =1(1≤n ≤m)与题设矛盾，因此m =6k 为6的倍数；又m =6k ≤2017，解得k ≤33616，∴ k =1，2，3，4，…，336，即m 的值共有336个．【考点】数列的应用【解析】(Ⅰ)根据题意，利用等差、等比数列的定义和通项公式，求出数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)由题意利用等比数列的等比中项与递推公式，求得a 8的值； (Ⅲ)m =6k ，k =1，2，3，…，336，一共有336个；利用递推公式写出对应通项公式，用反证法证明结论成立，再根据题意求出m 值的个数．【解答】（1）因a 1，a 2017，a 2016，…，a 1010是公比为d 的等比数列，从而a 2017=a 1d ，a 2016=a 1d 2，由S 2017=S 2015+12a 1得a 2017+a 2016=12a 1，故解得d =3或d =−4（舍去）．因此d =3，又S 3=3a 1+3d =15，解得a 1=2．从而当n ≤1009时，a n =a 1+(n −1)d =2+3(n −1)=3n −1，当1010≤n ≤2017时，由a 1，a 2017，a 2016，…，a 1010是公比为d 的等比数列，求得a n =a 1d 2017−(n−1)=a 132018−n ；因此a n ={3n −1,n ≤10092⋅32018−n ,1010≤n ≤2017；（2）由题意a n 2=a n−12an+12，a m 2=a m−12a12，a 12=a m 2a22，∴ a n =a n−1a n+1，求得a 3=a 2a 1，a 4=1a 1，a 5=1a 2，a 6=a1a 2，a 7=a 1=a ， a 8=a 2=b ；(Ⅲ)猜想：m =6k ，k =1，2，3，…，336，一共有336个；证明：a n2=a n−12an+12， a m 2=a m−12a12， a 12=a m 2a22，所以{a n =a n−1a n+1(1<n <m),a m =a m−1a 1,a 1=a m a 2,；又a r+3=ar+2a r+1=a r+1a r⋅1ar+1=1a r(1≤r ≤m −3)，④故有a r+6=1ar+3=a r ，(1≤r ≤m −6)．⑤若猜想不成立，设m=6k+p，其中1≤p≤5，若取p=1，即m=6k+1，则由此得a m=a6k+1=a1，，而由③得a m=a1a2故a1=a1a，得a2=1，2，从而a6=a6k=a m−1，由②得a m−1=a m a1而a6=a1a，故a1=a2=1，2由此推得a n=1(1≤n≤m)与题设矛盾，同理若p=2，3，4，5均可得a n=1(1≤n≤m)与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数；，又m=6k≤2017，解得k≤33616∴k=1，2，3，4， (336)即m的值共有336个．[选做题]本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]如图，过点P作圆O的切线PC，切点为C，过点P的直线与圆O交于点A，B(PA<PB)，且AB的中点为D．若圆O的半径为2，PC=4，圆心O到直线PB的距离为√2，求线段PA的长．【答案】连接OC，OD，因为O为圆心，AB中点为D，∴OD⊥AB，又PC为圆O的切线，∴OC⊥PC，由条件可知OD=√2，∴AB=2√OA2−OD2=2√2，由切割线定理可得PC2=PA⋅PB，即16=PA∗(PA+2√2)，解得PA=2√2．【考点】与圆有关的比例线段【解析】连接OC，OD，推导出OD⊥AB，OC⊥PC，由切割线定理可得PC2=PA⋅PB，由此能求出PA 的长．【解答】连接OC ，OD ，因为O 为圆心，AB 中点为D ， ∴ OD ⊥AB ，又PC 为圆O 的切线，∴ OC ⊥PC ，由条件可知OD =√2，∴ AB =2√OA 2−OD 2=2√2，由切割线定理可得PC 2=PA ⋅PB ，即16=PA ∗(PA +2√2)，解得PA =2√2．[选修4-2：矩阵与变换]若二阶矩阵M 满足[−2122−1]，M =[−304−1]．求曲线4x 2+4xy +y 2−12x +12y =0在矩阵M 所对应的变换作用下得到的曲线的方程．【答案】记矩阵A =[−2122−1]，则行列式△=(−2)×(−1)−2×12=1≠0，故A −1=[−1−12−2−2]，所以M =A −1[−304−1]=[−1−12−2−2][−304−1]=[112−22]，即矩阵M =[112−22]．设曲线4x 2+4xy +y 2−12x +12y =0上任意一点P(x, y)在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′, y ′)．所以[]=[112−22][x y ]=[x +12y −2x +2y ]，所以{x ′=x +12yy ′=−2x +2y ，所以{x =4x ′−y ′6y =2x ′+y ′3，又点P(x, y)在曲线4x 2+4xy +y 2−12x +12y =0上，代入整理得2x ′2+3y ′=0，由点P(x, y)的任意性可知，所求曲线的方程为2x 2+3y =0．【考点】几种特殊的矩阵变换【解析】记矩阵A =[−2122−1]，则A −1=[−1−12−2−2]，从而求出矩阵M =[112−22]．设曲线4x 2+4xy +y 2−12x +12y =0上任意一点P(x, y)在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′, y ′)．由此能求出结果．【解答】记矩阵A =[−2122−1]，则行列式△=(−2)×(−1)−2×12=1≠0，故A −1=[−1−12−2−2]，所以M =A −1[−304−1]=[−1−12−2−2][−304−1]=[112−22]，即矩阵M =[112−22]．设曲线4x 2+4xy +y 2−12x +12y =0上任意一点P(x, y)在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′, y ′)．所以[]=[112−22][x y ]=[x +12y −2x +2y ]，所以{x ′=x +12y y ′=−2x +2y ，所以{x =4x ′−y ′6y =2x ′+y ′3，又点P(x, y)在曲线4x 2+4xy +y 2−12x +12y =0上，代入整理得2x ′2+3y ′=0，由点P(x, y)的任意性可知，所求曲线的方程为2x 2+3y =0． [选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 1的参数方程为{x =2ty =t −1 （t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=√6√2+sin 2θ．(Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)射线OP:θ=α（其中0<α<π2）与C 2交于P 点，射线OQ:θ=α+π2与C 2交于Q 点，求1|OP|2+1|OQ|2的值．【答案】（1）因为曲线C 1的参数方程为{x =2ty =t −1 （t 为参数），所以曲线C 1的直角坐标系方程为x −2y −2=0，所以曲线C 1的极坐标系方程为ρcosθ−2ρsinθ−2=0，因为曲线C 2的极坐标方程为ρ=√6√2+sin 2θ，所以ρ2(2+sin 2θ)=6，所以曲线C 2的直角坐标系方程为2x 2+3y 2=6．（2）依题意得，点P 的极坐标分别为{ρ=√6√2+sin 2θθ=α ，所以|OP|=√6√2+sin 2α1|OP|2=2+sin 2α6，点Q 的极坐标分别为{ρ=√6√2+sin 2θθ=α+π2，所以|OQ|=√6√2+cos 2α1|OQ|2=2+cos 2α6，所以1|OP|2+1|OQ|2=2+sin 2α6+2+cos 2α6=56．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)由曲线C 1的参数方程能求出曲线C 1的直角坐标系方程，从而能求出曲线C 1的极坐标方程；曲线C 2的极坐标方程转化为ρ2(2+sin 2θ)=6，由此能求出曲线C 2的直角坐标方程．(Ⅱ)点P 的极坐标分别为{ρ=√62θ=α，求出|OP|，点Q 的极坐标分别为{ρ=√6√2+sin 2θθ=α+π2，求出|OQ|，由此能求出1|OP|2+1|OQ|2的值．【解答】（1）因为曲线C 1的参数方程为{x =2ty =t −1 （t 为参数），所以曲线C 1的直角坐标系方程为x −2y −2=0，所以曲线C 1的极坐标系方程为ρcosθ−2ρsinθ−2=0，因为曲线C 2的极坐标方程为ρ=√6√2+sin 2θ，所以ρ2(2+sin 2θ)=6，所以曲线C 2的直角坐标系方程为2x 2+3y 2=6．（2）依题意得，点P 的极坐标分别为{ρ=√6√2+sin 2θθ=α ，所以|OP|=√6√2+sin 2α1|OP|2=2+sin 2α6，点Q 的极坐标分别为{ρ=√6√2+sin 2θθ=α+π2 ，所以|OQ|=√6√2+cos 2α1|OQ|2=2+cos 2α6，所以1|OP|2+1|OQ|2=2+sin 2α6+2+cos 2α6=56．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=2|x −2|+3|x +3|．若函数f(x)的最小值为m ，正实数a ，b 满足4a +25b =m ，求1a +1b 的最小值，并求出此时a ，b 的值．【答案】依题意，f(x)={−5x −5,x <−3x +13,−3≤x ≤25x +5,x >2，当x =−3时，函数f(x)有最小值10，故4a +25b =10，故1a +1b =110(1a +1b )(4a +25b)=110(29+25b a+4a b )≥4910，当且仅当25b a=4ab时等号成立，此时a =57，b =27．【考点】基本不等式及其应用【解析】先将函数y =f(x)的解析式中去绝对值，写成分段函数的形式，根据分段函数求出函数f(x)的最小值m =10，并由4a +25b =10，得110(4a +25b)=1，再将1a +1b 与110(4a +25b)相乘，展开利用基本不等式可求出1a +1b 的最小值，同时利用基本不等式取等号的条件结合4a +25b =10两个等式联立可求出对应的a 和b 的值．依题意，f(x)={−5x −5,x <−3x +13,−3≤x ≤25x +5,x >2，当x =−3时，函数f(x)有最小值10，故4a +25b =10，故1a +1b =110(1a +1b )(4a +25b)=110(29+25b a+4ab)≥4910，当且仅当25b a=4ab时等号成立，此时a =57，b =27． [必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在研究塞卡病毒(Zikavirus)某种疫苗的过程中，为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后出现Z 症状的情况，做接种试验．试验设计每天接种一次，连续接种3天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现Z 症状的概率为14，假设每次接种后当天是否出现Z 症状与上次接种无关．(Ⅰ)若出现Z 症状即停止试验，求试验至多持续一个接种周期的概率；(Ⅱ)若在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状，则这个接种周期结束后终止试验，试验至多持续3个周期．设接种试验持续的接种周期数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】(Ⅰ)试验至多持续一个接种周期的概率： P 1=14+34×14+34×34×14=14+316+964=3764．(Ⅱ)随机变量ξ=1，2，3，设事件C 为“在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状”，P(ξ=1)=P(C)=C 32(14)2×34+C 33(14)3=532， P(ξ=2)=[1−P(C)brack ×P(C)=(1−532)×532=1351024，P(ξ=3)=[1−P(C)brack ×[1−P(C)brack ×1=7291024，所以ξ的分布列为：ξ的数学期望Eξ=1×532+2×1351024+3×7291024=26171024．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出试验至多持续一个接种周期的概率．(Ⅱ)随机变量ξ=1，2，3，设事件C 为“在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状”，分别求出P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3)，由此能求出ξ的分布列和数学期望．(Ⅰ)试验至多持续一个接种周期的概率： P 1=14+34×14+34×34×14=14+316+964=3764．(Ⅱ)随机变量ξ=1，2，3，设事件C 为“在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状”，P(ξ=1)=P(C)=C 32(14)2×34+C 33(14)3=532，P(ξ=2)=[1−P(C)brack ×P(C)=(1−532)×532=1351024， P(ξ=3)=[1−P(C)brack ×[1−P(C)brack ×1=7291024，所以ξ的分布列为：ξ的数学期望Eξ=1×532+2×1351024+3×7291024=26171024．已知(1+12x)n 展开式的各项依次记为a 1(x)，a 2(x)，a 3(x)…a n (x)，a n+1(x)．设F(x)=a 1(x)+2a 2(x)+2a 2(x)+3a 3(x)…+na n (x)+(n +1)a n+1(x)．（1）若a 1(x)，a 2(x)，a 3(x)的系数依次成等差数列，求n 的值；（2）求证：对任意x 1，x 2∈[0, 2]，恒有|F(x 1)−F(x 2)|≤2n−1(n +2)−1．【答案】由题意可得 a k (x)=C nk−1⋅(12x)k−1，k =1、2、3，…n +1，故a 1(x)，a 2(x)，a 3(x)的系数依次为 C n 0=1，C n1⋅12=n2，C n 2(12)2=n(n−1)8．再由2×n 2=1+n(n−1)8，解得 n =8．∵ F(x)=a 1(x)+2a 2(x)+2a 2(x)+3a 3(x)…+na n (x)+(n +1)a n+1(x)=C n 0+2C n 1⋅(12x)+3C n 2⋅(12x)2+(n +1)C n n⋅(12x)n ，∴ F(2)=C n 0+2C n 1+3C n 2+...+(n +1)C n n ．设S n =C n 0+2C n 1+3C n 2+...+(n +1)C n n ，则有S n =(n +1)C n n +nC n n−1+...+3C n 2+2C n 1+C n 0．把以上2个式子相加，并利用C n k =C n n−k 可得 2S n =(n +2)[C n 0+C n 1+C n 2+...+C nn ]=(n +2)⋅2n ，∴ S n =(n +2)⋅2n−1．当x ∈[0, 2]时，由于F′(x)>0，∴ F(x)在[0, 2]上是增函数，故对任意x 1，x 2∈[0, 2]，恒有|F(x 1)−F(x 2)|≤F(2)−F(0)=2n−1(n +2)−1，命题得证．【考点】等差数列的性质二项式定理的应用【解析】（1）由题意可得a k(x)=C n k−1⋅(12x)k−1，求得a1(x)，a2(x)，a3(x)的系数，根据前三项的系数成等差数列求得n的值．（2）由F(x)的解析式求得F(2)=C n0+2C n1+3C n2+...+(n+1)C n n，设S n=C n0+2C n1+3C n2+...+(n+1)C n n，利用二项式系数的性质求得S n=(n+2)⋅2n−2．再利用导数可得F(x)在[0, 2]上是增函数可得对任意x1，x2∈[0, 2]，恒有|F(x1)−F(x2)|≤F(2)−F(0)=2n−1(n+2)−1．【解答】由题意可得a k(x)=C n k−1⋅(12x)k−1，k=1、2、3，…n+1，故a1(x)，a2(x)，a3(x)的系数依次为C n0=1，C n1⋅12=n2，C n2(12)2=n(n−1)8．再由2×n2=1+n(n−1)8，解得n=8．∵F(x)=a1(x)+2a2(x)+2a2(x)+3a3(x)…+na n(x)+(n+1)a n+1(x)=C n0+2C n1⋅(12x)+3C n2⋅(12x)2+(n+1)C n n⋅(12x)n，∴F(2)=C n0+2C n1+3C n2+...+(n+1)C n n．设S n=C n0+2C n1+3C n2+...+(n+1)C n n，则有S n=(n+1)C n n+nC n n−1+...+3C n2+ 2C n1+C n0．把以上2个式子相加，并利用C n k=C n n−k可得2S n=(n+2)[C n0+C n1+C n2+...+C n n]= (n+2)⋅2n，∴S n=(n+2)⋅2n−1．当x∈[0, 2]时，由于F′(x)>0，∴F(x)在[0, 2]上是增函数，故对任意x1，x2∈[0, 2]，恒有|F(x1)−F(x2)|≤F(2)−F(0)=2n−1(n+2)−1，命题得证．。

2018年江苏高考数学试题及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．2．若复数z 满足i z i 21+=⋅，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23，则其离心率的值是． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π，则()()15f f 的值为．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅CD AB ，则点A 的横坐标为．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为．14．已知集合{}*∈-==Nn n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若23PC=，求BC的长．B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A．（1）求A的逆矩阵1-A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点(3,1)P'，求点P的坐标．C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C的方程为4cosρθ=，求直线l被曲线C截得的弦长．D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求222x y z++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科#网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()5αβ+=-，所以225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y =．因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)22．综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）与g （x 0）且f ′（x 0）与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由f （x ）与g （x ）且f ′（x ）与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**）此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此，点P 的坐标为(3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--，故111|||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅-===⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1310．（2）因为Q 为BC的中点，所以1,0)2Q ，因此33(,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.y y z +=⎪+=⎩ 不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n 所以直线CC 1与平面AQC 1． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=，因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。

江苏省普通高等学校2018年高三数学附加题冲刺系列 20套

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.求实数a ，b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，P(m ，n)为曲线C 2上任一点，求2m ＋n 的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1) 求二面角ADFB的大小；(2) 试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°.23.设f(x，n)＝(1＋x)n，n∈N*.(1) 求f(x，6)的展开式中系数最大的项；40＋C n n4－1；(2) n∈N*时，化简C0n4n－1＋C1n4n－2＋C2n4n－3＋…＋C n－1n(3) 求证：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nC n n＝n×2n－1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，若Aα＝Bα，求实数x ，y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．求线段AB 的长．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动．(1) 求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；(2) 记X为选出的4名选手中女选手的人数，求X的概率分布和数学期望．23.已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2，1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.(1) 求抛物线C的标准方程；(2) 问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，求曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立． (1) 求该网民至少购买2种商品的概率；(2) 用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．23.如图，由若干个小正方形组成的k 层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k 层有k 个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x 1，x 2，…，x k ，其中x i ∈{0，1}(1≤i ≤k)，其他小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x 0.(1) 当k ＝4时，若要求x 0为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？(2) 当k ＝11时，若要求x 0为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21. (本小题满分10分)B.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，若矩阵AB －1对应的变换把直线l 变为直线l′：x ＋y －2＝0，求直线l 的方程．C.(本小题满分10分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝3 2. (1) 把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 已知P 为曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上一点，求P 到直线l 的距离的最大值．22. (本小题满分10分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12，a ，a(0＜a ＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.(1) 求ξ的分布列及数学期望；(2) 在概率P(ξ＝i)(i ＝0，1，2，3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a 的取值范围．23.(本小题满分10分)如图，正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝1，D 1D ＝2，点P 为棱CC 1的中点．(1) 设二面角AA 1BP 的大小为θ，求sin θ的值；(2) 设M 为线段A 1B 上的一点，求AM MP的取值范围．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a24 b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P(－1，2)在M 对应的变换作用下得到点Q ，求Q 的坐标．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝6cos α，y ＝2sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋3sin θ)＋4＝0.求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A＝D1D＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2.(1) 在平面ABCD内找一点F，使得D1F⊥平面AB1C；(2) 求二面角CB1AB的平面角的余弦值．23.已知数列{a n}满足a n＝a n＋1－a－n－1a－a－1(n∈N*)，a≠－1，0，1.设b＝a＋1a.(1) 求证：a n＋1＝ba n－a n－1(n≥2，n∈N*)；(2) 当n(n∈N*)为奇数时，a n＝，猜想当n(n∈N*)为偶数时，a n关于b的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 11 3的特征值及对应的特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设P 点是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.(1) 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2) 求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．23. 证明：对一切正整数n，5n＋2·3n－1＋1能被8整除．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1252x 的一个特征值为－2，求M 2.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝7－2t (t 为参数)与椭圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，a ＞0)的一条准线的交点位于y 轴上，求实数a 的值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1) 设AD →＝λAB →，异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值为91050，求λ的值；(2) 若点D 是AB 的中点，求二面角DCB 1B 的余弦值．23.已知k ，m ∈N *，若存在互不相等的正整数a 1，a 2，…，a m ，使得a 1a 2，a 2a 3，…，a m －1a m ，a m a 1同时小于k ，则记f(k)为满足条件的m 的最大值．(1) 求f(6)的值；(2) 对于给定的正整数n(n ≥2)：(ⅰ) 当n(n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，求f(k)的解析式；(ⅱ) 当n(n ＋1)＜k ≤n(n ＋2)时，求f(k)的解析式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程．21. (本小题满分10分)B.已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＝1，求矩阵A .C.(本小题满分10分)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值．22. (本小题满分10分)某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元．活动规定：① 参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；② 可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③ 如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．(1) 如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；(2) 若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．23.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2x －3x 2，设数列{a n }满足：a 1＝14，a n ＋1＝f(a n )．求证： (1)n ∈N *，都有0＜a n ＜13； (2) 31－3a 1＋31－3a 2＋…＋31－3a n≥4n ＋1－4.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14，求矩阵A 的特征值和特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋13＝0，已知A ⎝⎛⎭⎫1，3π2，B ⎝⎛⎭⎫3，3π2，P 为圆C 上一点，求△PAB 面积的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 是直角三角形，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，点P 是棱BB 1上一点，满足BP →＝λBB 1→(0≤λ≤1)．(1) 若λ＝13，求直线PC 与平面A 1BC 所成角的正弦值； (2) 若二面角PA 1CB 的正弦值为23，求λ的值．23. 已知数列{a n }满足a n ＝3n －2，f(n)＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n，g(n)＝f(n 2)－f(n －1)，n ∈N *.求证：(1) g(2)＞13； (2) 当n ≥3时，g(n)＞13.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a02 1(a ∈R )的一个特征值为2.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线C 在矩阵M 变换下得到的曲线的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，圆E 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋4sin θ，试判断点A 和圆E 的位置关系．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝2，设BD →＝λDC →(λ∈R )．(1) 若λ＝1，求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；(2) 若二面角B 1A 1C 1D 的大小为60°，求实数λ的值．23.设集合M ＝{1，2，3，…，n}(n ∈N ，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1) 分别求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值； (2) 猜想T n S n 关于n 的表达式，并证明之．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2，求逆矩阵M －1的特征值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆C 的方程为ρ＝42sin θ(圆心为点C)，求直线AC 的极坐标方程．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，AD＝AS ＝2，P 是棱SD 上一点，且SP ＝12PD. (1) 求直线AB 与CP 所成角的余弦值；(2) 求二面角APCD 的余弦值．23. 已知函数f 0(x)＝x(sinx ＋cosx)，设f n (x)为f n －1(x)的导数，n ∈N *.(1) 求f 1(x)，f 2(x)的表达式；(2) 写出f n (x)的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0.求圆心的极坐标．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品共10件，其中3件是不合格品．用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方式一：一次性随机抽取2件；方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件．记抽取的不合格产品数为ξ.(1) 分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；(2) 比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．23.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，设点A(－t ，0)，B(t ，0)(t ＞0)，过点B 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点(P 在Q 上方)．(1) 若t ＝1，直线PQ 的倾斜角为π4，求直线PA 的斜率； (2) 求证：∠PAO ＝∠QAO.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)． (1) 求a ，b 的值；(2) 若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cost ，y ＝3sint(t 为参数)． (1) 求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程；(2) 若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．(1) 求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2) 设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．23.设(1－x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1) 设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；(2) 设b n ＝k ＋1n －k a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求⎪⎪⎪⎪Sm C m n －1的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.(1) 证明：平面DFC⊥平面D1EC；(2) 求二面角ADFC的大小．23. 在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如下图所示．(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2) 已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n，C r＋1n，C r＋2n ，C r＋3n不能构成等差数列．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，设点A(－1，2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1对应的变换作用下得到点A′，将点B(3，4)绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎨⎧x ＝－1＋55t ，y ＝－1＋255t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一个摸球游戏，规划如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．(1) 求概率P(X＝0)的值；(2) 为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！)23.设S4k＝a1＋a2＋…＋a4k(k∈N*)，其中a i∈{0，1}(i＝1，2，…，4k)．当S4k除以4的余数是b(b＝0，1，2，3)时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m(b)．(1) 当k＝2时，求m(1)的值；(2) 求m(3)关于k的表达式，并化简．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2.若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．证明过程或演算步骤．22. 从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．(1) 求X是奇数的概率；(2) 求X的概率分布列及数学期望．23.在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，P n(x n0，y n0)，n∈N*.记直线AP n的斜率为k n.(1) 若k1＝2，求P1的坐标；(2) 若k1为偶数，求证：k n为偶数．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5，0)分别变换成(2，－1)，(－1，2)，试求变换T 对应的矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点M(1，2)，倾斜角为π3.以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C ：ρ＝6cos θ.若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求MA·MB 的值．证明过程或演算步骤．22. 一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．(1) 求恰好摸4次停止的概率；(2) 记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．23. 设实数a1，a2，…，a n满足a1＋a2＋…＋a n＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|a n|≤1(n∈N*且n≥2)，令b n＝a nn(n∈N*)．求证：|b1＋b2＋…＋b n|≤12－12n(n∈N*)．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y －2＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 12对应的变换作用下得到直线x ＋y －b ＝0(a ，b ∈R )，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α＋3，y ＝2sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π6.若直线l 与曲线C交于A ，B 两点，求线段AB 的长．证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)上一点P ⎝⎛⎭⎫34，m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F.(1) 求抛物线的方程；(2) 若A 为抛物线上一点(异于原点O)，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E.试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论．23. 甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n ∈N *)局．根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P(n)．(1) 求P(2)与P(3)的值；(2) 试比较P(n)与P(n ＋1)的大小，并证明你的结论．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，计算A 5α.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin α，y ＝1－cos2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．明过程或演算步骤．22. 已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．(1) 求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；(2) 若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．23. 在集合A＝{1，2，3，4，…，2n}中，任取m(m≤n，m，n∈N*)个元素构成集合A m.若A m的所有元素之和为偶数，则称A m为A的偶子集，其个数记为f(m)；若A m的所有元素之和为奇数，则称A m为A的奇子集，其个数记为g(m)．令F(m)＝f(m)－g(m)．(1) 当n＝2时，求F(1)，F(2)，F(3)的值；(2) 求F(m)．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换) 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 m n 1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l与曲线C 的位置关系．明过程或演算步骤．22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为12，甲胜丙、乙胜丙的概率都为23，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．(1) 求第3局甲当裁判的概率；(2) 记前4局中乙当裁判的次数为X ，求X 的概率分布与数学期望．23. 记f(n)＝(3n ＋2)(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n )(n ≥2，n ∈N *)．(1) 求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2) 当n ≥2，n ∈N *时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明．实战演练·高三数学附加分参考答案与解析江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(一)21.B. 解：设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应变换下的像是P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，(2分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，bx ＋y ＝y′.(5分)因为x′2＋y′2＝1，所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，即(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，(7分)所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2，由于a ＞0，得a ＝b ＝1.(10分)C. 解：曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t 的直角坐标方程为y ＝3－2x ，与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫32，0.(2分) 曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θ，y ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2a 2＋y 29＝1，与x 轴交点为(－a ，0)，(a ，0)，(4分)由a ＞0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，所以a ＝32.(6分)所以2m ＋n ＝3sin θ＋3cos θ＝32sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，(8分)所以2m ＋n 的取值范围为[－32，32]．(10分)[试题更正：题目中“求m ＋n 的取值范围”改为“求2m ＋n 的取值范围”] 22. 解：(1) 以CD →，CB →，CE →为正交基底，建立空间直角坐标系，则E(0，0，1)，D(2，0，0)，F(2，2，1)，B(0，2，0)，A(2，2，0)，BD →＝(2，－2，0)，BF →＝(2，0，1)．平面ADF 的法向量t ＝(1，0，0)，(2分)设平面DFB 法向量n ＝(a ，b ，c)，则n ·BD →＝0，n ·BF →＝0，所以⎩⎨⎧2a －2b ＝0，2a ＋c ＝0.令a ＝1，得b ＝1，c ＝－2，所以n ＝(1，1，－2)．(4分)设二面角ADFB 的大小为θ⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，从而cos θ＝|cos 〈n ，t 〉|＝12，∴ θ＝60°，故二面角ADFB 的大小为60°.(6分)(2) 依题意，设P(a ，a ，0)(0≤a ≤2)，则PF →＝(2－a ，2－a ，1)，CB →＝(0，2，0)．因为〈PF →，CB →〉＝60°，所以cos60°＝2（2－a ）2×2（2－a ）2＋1＝12，解得a ＝22，(9分) 所以点P 应在线段AC 的中点处．(10分)23. (1) 解：展开式中系数最大的项是第四项为C 3n x 3＝20x 3.(3分)(2) 解：C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1＝14[C 0n 4n ＋C 1n 4n －1＋C 2n 4n －2＋…＋C n －1n 4＋C n n ] ＝14(4＋1)n ＝5n4.(7分) (3) 证明：因为kC k n ＝nC k －1n －1，所以C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝n(C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ×2n －1.(10分)江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(二)21.B. 解：Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy ，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ，(4分)由Aα＝Bα得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得x ＝－12，y ＝4.(10分)C. 解：由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2. 直线l 的方程化成普通方程为x －y ＋1＝0.(6分) 圆心到直线l 的距离为d ＝|－1－1＋1|2＝22，(8分)所求弦长AB ＝22－⎝⎛⎭⎫222＝ 6.(10分)22. 解：(1) 选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C 12·C 13·C 23＋C 13＝21种．(3分)(2) X 的可能取值为0，1，2，3.(4分) P(X ＝0)＝C 23C 25C 24＝310×6＝120，P(X ＝1)＝C 12C 13C 23＋C 13C 25C 24＝2×3×3＋310×6＝720， P(X ＝3)＝C 23C 13C 25C 24＝3×310×6＝320，P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝3)＝920.(8分)X 的概率分布为E(X)＝0×120＋1×720＋2×920＋3×320＝1710.(10分)23. 解：(1) 将点(2，1)代入抛物线x 2＝2py 的方程，得p ＝2，所以，抛物线C 的标准方程为x 2＝4y.(4分)(2) 设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A′(－x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1，得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16＞0，x 1·x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ，所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－（－x 1）＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，(8分)。

(江苏专版)2018年高考数学三轮冲刺专题数列点对点试卷(无答案)

数列1．已知等差数列满足，,则的值为____．2．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =， 8646a a a =+，则3a 的值为_________.3．设数列{}n a 为等差数列, n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知3159,225,n S S B ==为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则n B =__________．4．数列{}n a 为等比数列， 11a =且1351,4,7a a a +++成等差数列，则公差d =__________． 5．设数列{}n a 的首项11a =，且满足212121n n a a +-=+与2211n n a a -=+，则数列{}n a 的前20项和为__________．6．等比数列{}n a 中， 1473692,18a a a a a a ++=++=，则{}n a 的前9项和9S =__________． 7．设数列{}n a 满足2410a a +=,点(),n n P n a 对任意的n N +∈，都有向量()11,2n n P P +=,则数列{}n a 的前n 项和n S =__________．8．已知数列{}n α满足221221,2,1cos sin ,22n n n n a a a a ππ+⎛⎫===++ ⎪⎝⎭则该数列的前21项的和为__________．9．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，则1210181818=a a a -+-+-_______.10．已知各项都为整数的数列{}n a 中, 12a =，且对任意的*N n ∈，满足1122n n n a a +-<+,2n n a a +- 321n >⨯-，则2017a =__________．11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1378S =, 71210a a +=,则17a =_______; 12．设等比数列｛a n }中,S n 是前n 项和，若36270a a -=，则＝__________。

2018高考数学冲刺试卷(江苏卷9)(每题均有详细解答)

全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数学(江苏卷)9命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须．．．做．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟。

第I 卷（填空题共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1、已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x,x ∈A}，则集合A ∩B= ▲ ．2、（07山东15）当)2,1(∈x 时，不等式042<++mx x 恒成立，则m 的取值范围是 ▲ ． 3、(07浙江3)直线x －2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 ▲ ．4、已知三棱锥ABC S -中，,,,,60,9000c SC b SB a SA BSC ASC ASB ====∠=∠=∠则三棱锥的体积为 ▲ ．5、函数11)(2-+-=x x a x f 为奇函数的充分必要条件是 ▲ ．6、在△ABC 中，222,cot 1004(cot cot )a b dc C A B +==+且，则常数d 的值为 ▲ ．7、等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，2008200612008,220082006S S a =--=，则S 2008= ▲ ． 8、如果44(1sin )sin (1cos )cos ,(0,2)θθθθθπ+>+∈且，那么角θ的取值范围是 ▲ ． 9、用反证法证明若x 2+5x+6=0，则x=－2或x=－3时应假设 ▲ ．10、(07全国II.3改编)设复数z 满足12ii z+=，则z= ▲ ． 11、(07湖北13)已知函数y=f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为221+=x y ，则f(1)+f ′(1)= ▲ ． 12、已知1133(3)(12)x x ---<+，则x 的取值范围是 ▲ ．13、设函数2()32x f x x x =++，点A 0表示坐标原点，点A n 的坐标为*(,())()n f n n N ∈，K n 表示直线A 0A n 的斜率，设12n n S k k k =+++ ，则S n = ▲ ． 14、对于方程：421x y +=，有如下几种说法：①该曲线关于x 轴对称； ②该曲线关于y 轴对称；③该曲线关于原点对称； ④该曲线是一个封闭图形且面积大于π。

高三数学-2018年下学期江苏高三联考数学卷精品

2018年下学期江苏高三联考数学卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥侧面积公式 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） cl S 21=锥侧如果事件A ‘B 要互独立，那么其中c 表示底面周长，l 表示斜高 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）或母线长如果事件A 在一次试验中发生的球的体积公式概率是P ，那么n 次独立重复试验中 334R V π=球恰好发生k 次概率其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(第I 卷一、选择题1、已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点（-3，4），那么sin(-α)等于A 、53 B 、-53 C 、54 D 、-542、下列四命题①a b ab a =⋅2；②（a ·b 2）=a 2·b 2；③若e 为单位向量，且a//e ，则a=|a|e ；④（a-b ）2=a 2-2ab+b 2。

其中正确的命题的个数是A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个3、0<a<1，则,log 1x y a= y=（1-a ）x 在同一坐标平面内的图象为4、方程x 2sin α+y 2cos α=1表示的曲线不可能是A 、直线B 、抛物线C 、圆D 、双曲线5、正三棱锥的侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，则tan α:tan β的值为A 、33B 、3C 、21D 、26、若a>b>c ，且a+b+c=0，则下列不等式一定成立的是A 、ac>bcB 、ab>bcC 、ab<bcD 、ac<bc7、在平面直角坐标系中，由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+>xy y x xy 20确定的点(x,y)的集合是A 、第一象限内的点组成的集合B 、直线y=x 上的点（除原点外）组成的集合C 、射线y=x(x>0)上的点组成的集合D 、第三象限内的点及射线y=x(x>0)上的点组成的集合8、在正方体的一个表面内画一条直线，则与他异面的正方体的棱的条数最少有 A 、7条 B 、6条 C 、5条 D 、4条 9、等差数列{a n }中，a 1=a(a ≠0)，a 2=b ，则此数列中恰有一项为0的充要条件是（）A 、(a-b)∈N *B 、(a+b)∈N *C 、b a a -∈N *D 、ba b -∈N *10、若y=ax ，xb y -=在(0，+∞)上都是减函数，则对函数y=ax 3+bx 的单调性描述正确的是（）A 、在(-∞，+∞)上单调增B 、在(0，+∞)上单调增C 、在(-∞，+∞)上单调减D 、在(-∞，0)上单调增，在(0，+∞)上单调减11、设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，以P(29，0)为圆心，|PF|长为半径作一圆，与抛物线在x 轴上方交于M 、N ，则|MF|+|NF|的值为A 、8B 、18C 、22D 、412、若x ∈R ，n ∈N *，定义)1()1(-++=n x x x D n x ，例如)1()2()3(33-⋅-⋅-=-D ，则函数f(x)=x 99-⋅x D 的奇偶性为A 、是偶函数而不是奇函数B 、是奇函数而不是偶函数C 、是偶函数也是奇函数D 、既不是奇函数也不是偶函数第II 卷二、填空题13、将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表组的频率是。

2018高考数学冲刺试卷(江苏卷7)(每题均有详细解答)

全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数学(江苏卷)7命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须．．．做．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟。

第I 卷（填空题共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．已知1+→x x f ：是集合{}a A ,1=到集合{}3,2=B 的映射，则实数 a 的值为 ▲ _．2．函数|3||2|1)(2-++-=x x x x f 是 ▲ __（奇函数，偶函数，既不是奇函数也不是偶函数）．3．已知1log )(+=x x f a 的部分对应值如表所示，则不等式1)2(>-x f 的解集是 ▲ __． 4．如图所示，在水平放置的图形OAB 的直观图中，已知y B A '''//轴，且4=''=''B O B A ，则图形OAB 的面积为 ▲ __． 5．已知x 、y 之间的一组数据如下：则y 与x 的线性回归方程a bx y+=ˆ必过点 ▲ . 6．在等差数列{}n a 中，若k k q q q p p p +++=+++ 2121 其中*∈N q q q p p p k k ，，，，，，， 2121，则k k q q q p p p a a a a a a +++=+++ 2121，类比这一结论，在等比数列{}n b 中相应的结论为 ▲ .7．曲线)4cos()4cos(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点横坐标按从小到大依次记为n P P P ,,,21 ，则=n P P 22 ▲ __．8．已知函数()32(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为（,m n ），令()()F xf x '=，则函数'()2y F x =图像的对称轴方程为 ▲ ．9．将函数74+=x y 的图像按向量a →平移后得到函数14-=x y 的图像，给出以下三个命题：①a →的坐标可以是)0,2(；②a →的坐标可以是)12,1(--；③a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的序号是 ▲ __．10．在ABC ∆中任取一点P ，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于31的概率为 ▲ .11．下面的程序流程图中，能实现数据A ，B 互相交换的有．12．定义在R +上的函数)(x f ，若对任意+∈R x x 21,，如果当1)()(21=-x f x f 时，总有2008)()(2008220081=-x f x f ，则满足条件的一个函数)(x f 为 ▲ .13．如图，OA 、OB 、OC 是两个半径分别为1和2的同心圆中大圆的半径，它们与小圆分别相交于A 1，B 1，C 1三点，若存在△PQR 使1112,2,2CC RP BB QR AA PQ ===，如果=++B A λ110，则实数λ的值为____▲_____.14．已知直线l 和中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 上点的坐标一组对应值如下表ABCC 1 B 1A 1O①②③则椭圆在直线右方点的纵坐标集合为▲ .第Ⅱ卷（解答题共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知函数32∈a b c N*f x ax bx cx(),=++其中,,(1) 用a，b，c表示'(1)f；++为奇数(2) 如果符合'(1)16f x等可能的出现，求在其中取一个函数()f=的每个函数()f x满足a b c的概率。

2018高考数学冲刺试卷(江苏卷17)(每题均有详细解答)

全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数学(江苏卷)17命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须．．．做．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟. 第I 卷（填空题共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题．．卡相应位置上．．．．．．．1．若集合}1|{2xy y M ==,{|P y y ==,那么=P M ▲ 。

2. 复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z b z -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ▲ ．（写出一个有序实数对即可）3．各项均不为零的等差数列{}n a 中，若)2(0121≥=+--+n a a a n n n ，则2008S 的值为 ▲ ；4. 已知锐角α终边上一点的坐标为(1，3)，若一扇形的中心角为α且半径为2，则该扇形的面积为 ▲ 。

5．不等式|2|(1)2x x --<的解集是 ▲ 。

6. 已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心▲ 。

7．为激发学生学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：}01[]|{<-=xx x A ，}043|{2≤--=x x x B ，}1log |{21>=x x C ；然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“[]”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若三位同学说的都对，则“[]”中的数为 ▲ 。

8.下面是一个算法的流程图，回答下面的问题：当输入的值为3时,输出的结果为 ▲ 。

2018年江苏高考理科数学模拟冲刺试题【含答案】

2018年江苏高考理科数学模拟冲刺试题【含答案】一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲ .8.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和.若a1+a22=-3，S5=10，则a9的值是▲ .9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是▲ .则BE CE u u u r u u u r的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r,求实数t 的取值范围。

数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．．．．．．若多做，．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；②求p的取值范围.2018年江苏高考理科数学模拟冲刺试题参考答案15.解（1）因为4cos ,0,5B B π=<<所以2243sin 1cos 1(),55B B --由正弦定理知sin sin AC ABB C=，所以26sin 25 2.3sin 5AC C AB B ⋅===（2）在三角形ABC 中A B C π++=，所以().A B C π=-+于是cosA cos(B C)cos()cos cossin sin ,444B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==，故42322cos 525210A =-⨯+⨯=-因为0A π<<，所以272sin 1cos A A =-=因此1cos()cos cossin sin6662A A A πππ-=+=+=16.证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点. 所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=I ，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=I F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面17.本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分. 解：（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8. 因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积()22311111=6224;33V A B PO m ⋅⋅=⨯⨯=柱正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积()2231=68288.V AB OO m ⋅=⨯=柱所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）.(2)设A 1B 1=a(m),PO 1=h(m)，则0<h<6,OO 1=4h.连结O 1B 1.因为在11RT PO B ∆中，222111OB PO PB +=，所以2236h +=⎝⎭，即()22236.a h =-于是仓库的容积()()222311326436,06333V V V a h a h a h h h h =+=⋅+⋅==-<<锥柱，从而()()2226'36326123V h h =-=-. 令'0V =，得23h = 或23h =-（舍）. 当023h <<时，'0V > ，V 是单调增函数；当236h <<时，'0V <，V 是单调减函数. 故23h =时，V 取得极大值，也是最大值. 因此，当123PO = 时，仓库的容积最大.18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分16分.解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5,. （1）由圆心在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. (2)因为直线l||OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离267555mm d ⨯-++==因为222425,BC OA ==+=而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设()()1122,,Q ,.P x y x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ,所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩ ……①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦没有公共点，所以5555,-≤≤+解得22t -≤+因此，实数t的取值范围是22⎡-+⎣.19．（1）因为12,2a b ==，所以()22x xf x -=+. ①方程()2f x =，即222xx-+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x-=，于是21x=，解得0x =.②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=，所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而0(0)(0)220g f a b =-=+-=，所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln xxg x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>，所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b a a x b=-. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )xx x x h x a a b b a a b b =+=+，从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数，于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =.若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02x g g <=，又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g a b a =+->-=，且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又002x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾.若00x >，同理可得，在02x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =. 于是ln 1ln a b-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 20．（1）由已知得1*13,n n a a n N -=•∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=.又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈.（2）因为{1,2,,}T k ⊆L ，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k k k r k S a a a -≤+++=+++=-<L L . 因此，1r k S a +<.（3）下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=I .②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥I . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令U E C C D =I ，U F D C C =I 则E φ≠，F φ≠，E F φ=I . 于是C E C D S S S =+I ，D F C D S S S =+I ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠. 由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-，从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++==≤L L ，故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+I I ，即21C C D D S S S +≥+I .综合①②③得，2C C D D S S S +≥I .21．A 证明：在ADB ∆和ABC ∆中，因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠o为公共角，所以ADB ∆∽ABC ∆，于是ABD C ∠=∠.在Rt BDC ∆中，因为E 是BC 的中点，所以ED EC =，从而EDC C ∠=∠.所以EDC ABD ∠=∠.B ．解：设a b B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1110120102a b B B c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1110220122a c b d cd ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故112122021a cb dcd⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得11412abcd⎧⎪⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩，所以11412B⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因此，15112144021012AB⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦.C．解：椭圆C的普通方程为2214yx+=，将直线l的参数方程1122x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214yx+=，得22)12(1)124t++=，即27160t t+=，解得1t=，2167t=-.所以1216||7AB t t=-=.21D.证明：因为|1|,|2|33a ax y-<-<所以|24||2(1)(2)|2|1||2|2.33a ax y x y x y a+-=-+-≤-+-<⨯+=22.解：（1）抛物线2:y2(0)C px p=>的焦点为(,0)2p由点(,0)2p在直线:20l x y--=上，得0202p--=，即 4.p=所以抛物线C的方程为28.y x=（2）设1122(x,y),(x,y)P Q，线段PQ的中点00(x,y)M因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1-，则可设其方程为.y x b=-+①由22y pxy x b⎧=⎨=-+⎩消去x得2220(*)y py pb+-=因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以12,y y≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>. 方程（*）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(x ,y )M 在直线l 上，所以02.x p =-因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p < 因此p 的取值范围为4(0,).323.解：（1）3467654765474740.3214321C C ⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ （2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时 11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(k 1)(m 1)]!m m k k k k k k C m m C k m m n m k m m +++⋅++==+=+=++-++-+L 又因为122112,m m m k k k C C C +++++++=所以2221(1)(1)(),k m 1,m+2,n.m m m k k k k C m C C +++++=+-=+L ，因此12122222222232432122(1)(2)(3)(n 1)(1)[(2)(3)(n 1)](1)(1)[()()()](1)m m m m m m m nm m m m m m m n m m m m m m m m m m m m n n m n m C m C m C C m C m C m C C m Cm C C C C C C m C +++++++++++++++++++++++++++=+++++++=+++-+-+-=+L L L。

2018江苏高考数学试题及答案解析(K12教育文档)

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2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．2．若复数z 满足i z i 21+=⋅,其中i 是虚数单位，则z 的实部为．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23,则其离心率的值是． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4,且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π，则()()15f f 的值为．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅,则点A 的横坐标为．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、， 120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为．14．已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n ,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证:(1)11AB A B C 平面∥； (2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=．（1）求cos2α的值； (2）求tan()αβ-的值．17．(本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；(2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．(本小题满分16分）焦如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，点12(3,0),(3,0)F F -,圆O 的直径为12F F ． (1)求椭圆C 及圆O 的方程；（2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △,求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点"，求实数a 的值;(3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >,判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．(1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；(2）若*110,,a b m q =>∈∈N ,证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示)．数学Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．［选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 的半径为2,AB 为圆O 的直径,P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线,切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分）已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．（1）求A 的逆矩阵1-A ；（2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5:不等式选讲］(本小题满分10分）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6,求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科＃网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1=2,点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．（本小题满分10分)设*n ∈N ,对1,2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s 〈t 时，有s t i i >,则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序（2,1)，(3，1），则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式（用n 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1，8} 2．2 3．90 4．85．[2，+∞）6．3107．π6-8．29．2210．4311．–3 12．313．9 14．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明:（1）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数,考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=,所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()αβ+=-，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：(1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ)=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0,则sin θ0=14,θ0∈(0,π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答:矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+cos θ）平方米,△CDP 的面积为 1600(cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是［14,1)．（2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600(cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ),θ∈［θ0，π2）．设f (θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈［θ0，π2)，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′,得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ)为增函数；当θ∈（π6，π2)时，()<0f θ′,所以f (θ)为减函数, 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．解:（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=．（2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ,得 222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=,从而42AB =．设1122,,()(),A x y B x y , 由(*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去）,则2012y =，因此P 的坐标为102(,)2．综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f (x ）=x ,g (x )=x 2+2x —2,则f ′（x )=1，g ′（x )=2x +2．由f （x ）=g (x ）且f ′（x ）= g ′(x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解, 因此，f （x ）与g （x )不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f (x ）与g （x )的“S ”点，由f (x 0）与g （x 0）且f ′（x 0)与g ′(x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（＊）得01ln 2x =-,即120e x -=,则1221e 22(e )a -==．当e2a =时，120e x -=满足方程组（＊），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此,a 的值为e2．（3）对任意a 〉0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，,且h (x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由f （x ）与g （x ）且f ′（x )与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**) 此时，0x 满足方程组（*＊），即0x 是函数f （x )与g （x ）在区间（0,1）内的一个“S 点"．因此，对任意a >0，存在b >0,使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2,3,4均成立，即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1,1≤d ≤3，3≤2d ≤5,7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此,d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···,m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值(2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x 〈f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时,数列1{}1n q n --单调递减,故数列1{}1n q n --的最小值为mq m ．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】A ．［选修4—1:几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力．满分10分．证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2,从而B 为Rt△OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． (2）设P (x ，y ），则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A , 因此，点P 的坐标为（3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力．满分10分．解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2,0）,直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4,0）,倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2, 所以π4cos 236AB ==．因此,直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．［选修4-5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式,得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122xy z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，, 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科％网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,设AC ，A 1C 1的中点分别为O ,O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--,故111|||cos ,|||||5BP AC BP AC BP AC ⋅===⋅．因此,异面直线BP 与AC 1 (2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ，因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ,z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.x y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n 所以直线CC 1与平面AQC 1． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，,所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1,2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以2018江苏高考数学试题及答案解析(word 版可编辑修改)牛人数学助力高考数学 (1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=，因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。

2018江苏高考数学试题及答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．2．若复数z 满足i z i 21+=⋅，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23，则其离心率的值是． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π，则()()15f f 的值为．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅CD AB ，则点A 的横坐标为．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为．14．已知集合{}*∈-==Nn n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若23PC=，求BC的长．B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A．（1）求A的逆矩阵1-A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点(3,1)P'，求点P的坐标．C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C的方程为4cosρθ=，求直线l被曲线C截得的弦长．D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求222x y z++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科#网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()5αβ+=-，所以225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y =．因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)22．综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）与g （x 0）且f ′（x 0）与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由f （x ）与g （x ）且f ′（x ）与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**）此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此，点P 的坐标为(3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--，故111|||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅-===⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1310．（2）因为Q 为BC的中点，所以1,0)2Q ，因此33(,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.y y z +=⎪+=⎩ 不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n 所以直线CC 1与平面AQC 1． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=，因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。