必修二数学期末复习材料

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高三年级数学必修二复习知识点

高三年级数学必修二复习知识点(实用版)编制人：__审核人：__审批人：__编制单位：__编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中数学必修二知识讲解,巩固练习(复习补习,期末复习资料)：21【基础】直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率【学习目标】1.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；2.理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是90时的直线没有斜率；3.已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；4.掌握经过两点111(,)P x y 和222(,)P x y 的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-(12x x ≠)；5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件. 【要点梳理】要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以，倾斜角的范围是0180α≤<．要点诠释：1.要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②x 轴正向； ③小于180的角.2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3.倾斜角α的范围是0180α≤<.当0α=时，直线与x 轴平行或与x 轴重合.4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.要点二、直线的斜率 1．定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=．要点诠释：(1)当直线l 与x 轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0； (2)直线l 与x 轴垂直时，=90°，k 不存在.由此可知，一条直线l 的倾斜角一定存在，但是斜率k 不一定存在. 2．直线的倾斜角α与斜率k 之间的关系由斜率的定义可知，当α在(090)，范围内时，直线的斜率大于零；当α在(90180)，范围内时，直线的斜率小于零；当0α=︒时，直线的斜率为零；当90α=︒时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(90除外)为一一对应关系，且在)090⎡⎣，和(90180)，范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在)090⎡⎣，或(90180)，范围内比较倾斜角的大小只需比较ααα斜率的大小即可，反之亦然．要点三、斜率公式已知点111(,)P x y 、222(,)P x y ，且12P P 与x 轴不垂直，过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率公式2121y y k x x -=-.要点诠释：1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x 轴垂直；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关，即y 1，y 2和x 1，x 2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当y 1=y 2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x 轴平行或重合； (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由1P 、2P 点的坐标求k 的值；(2)已知k 及1122,,,x y x y 中的三个量可求第四个量； (3)已知k 及1P 、2P 的横坐标(或纵坐标)可求12||PP ； (4)证明三点共线.要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21//l l ，则1l 与2l 的倾斜角1α与2α相等.由21αα=，可得，即.因此，若21//l l ，则21k k =. 反之，若21k k =，则21//l l . 要点诠释：1.公式2121//k k l l =⇔成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为21k k ，；②21l l 与不重合；2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，21l l 与的倾斜角都是90︒，则21//l l . 要点五、两直线垂直的条件设两条直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21l l ⊥，则121-=⋅k k . 要点诠释：1.公式12121-=⋅⇔⊥k k l l 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；αα21tan tan αα=21k k =2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1．设直线l 与x 轴的交点为P ，且倾斜角为α，若将其绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线l 的倾斜角为α+45°，则（）A ．0°≤α＜90°B ．0°≤α＜135°C ．0°＜α≤135°D ．0°＜α＜135° 【答案】D【解析】 ∵α，α+45°均为倾斜角，∴0180045180αα︒≤<︒⎧⎨≤+︒<︒⎩，∴0°≤α＜135°．又∵直线l 与x 轴相交，∴α≠0°．故选D ．【总结升华】（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角．（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度．（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．例2．下列说法正确的是________．①若两直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合；②若一直线的倾斜角为150°，则此直线关于y 轴的对称直线的倾斜角为30°； ③若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α不大于60°； ④若倾斜角α=90°，则此直线与坐标轴垂直．【答案】 ①②【解析】若倾斜角相等，则两直线平行或重合，故①正确；若两直线关于y 轴对称，则其倾斜角互补，故②正确；当α=60°时，3α=180°，故③错误；若α=90°，则直线与x 轴垂直．故④错误．【总结升华】本题考查直线的倾斜角定义中的条件及倾斜角的取值范围．理解倾斜角的定义是解决此题的关键．举一反三：【变式1】下图中各标注的直线的倾斜角是否正确？为什么？【答案】（1）不正确（2）不正确（3）不正确（4）不正确【解析】题图（1）中的角α的一边取的是x 轴的负方向，因此标注不正确；题图（2）中的角α的一边取的是直线向下的方向，因此标注不正确；题图（3）中的角α的两边分别取的是x 轴的负方向和直线向下的方向，因此标注不正确，但是它的大小等于直线的倾斜角．题图（4）中的角α是x 轴正方向与直线向上方向所成的角，因此标注不正确．例3．如图所示，直线1l 的倾斜角130α=︒，直线1l 与2l 垂直，求1l ，2l 的斜率．【答案】1k =k 2=【解析】由图形可知，2190αα=+︒，则k 1，k 2可求．直线1l的斜率11tan tan 30k α==︒=． ∵直线2l 的倾斜角2α=90°+30°=120°，∴直线2l 的斜率k 2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=【总结升华】（1）本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线1l 与2l 的倾斜角之间的关系是解题的关键．（2）公式tan(180°－α)=－tan α是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切．熟记30°，45°，60°角的正切值可快速求解．举一反三：【变式1】（2016 山西曲沃县模拟）过两点A （3―m ―m 2，―2m ），B （m 2+2，3―m 2）的直线的倾斜角为135°，求m 的值．【答案】m =―2【解析】依题意可得：直线的斜率为―1 又直线过两点A （3―m ―m 2，―2m ），B （m 2+2，3―m 2）即：22223132m m m m m --+=----- 整理的2223121m m m m --=+-可求得m =―2或m =―1 经检验m =―1不合题意，故m =―2．类型二：过两点的直线斜率公式的应用例3．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．（1）（1，―1），（―3，2）；（2）（1，―2），（5，―2）；（3）（3，4），（―2，―5）；（4）（3，0），（3，．【答案】（1）34-（2）0（3）95（4）不存在【解析】当倾斜角α=90°时，斜率不存在；当α≠90°时，2121y y k x x -=-．（1）2(1)3314k --==---；（2）2(2)051k ---==-；（3）549235k --==--；（4）∵倾斜角α=90°，∴k 不存在．【总结升华】应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点的连线必与x 轴垂直，即直线的倾斜角为90°，故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式求斜率．事实上，此时若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存在；其次，在运用斜率公式时，分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标．举一反三：【变式1】直线l 过点A （1，2），B （m ，3），求l 的斜率．【答案】不存在或11m - 【解析】若m=1，此时l 的倾斜角为2π，显然直线斜率不存在，；若m ≠1，则直线斜率存在，设此时斜率为k ，倾斜角为α，321tan 11k m m α-===--．例4．已知A （a ，2），B （5，1），C （―4，2a ）三点在同一条直线上，求a 的值．【答案】2 或72【解析】 ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB =k BC ，∴2121545a a --=---，解得a=2或72a =．故所求的a 的值为2或72．【总结升华】由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A ，B ，C 三点共线⇔A ，B ，C 中任意两点的斜率相等（如k AB =k AC ）．斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．举一反三：【变式1】已知A （―3，―5），B （1，3），C （5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上．【答案】在同一直线上【解析】由题意可知直线AB 的斜率35213AB k +==+，直线BC 的斜率113251BC k -==-．因为k AB =k BC ，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B ，所以A ，B ，C 三点在同一直线上．例5．（2015春三明月考）已知两点A （―3，4），B （3，2），过点C （2，―1）的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．【思路点拨】根据题意，画出图形，结合图形，求出满足条件的直线l 斜率k 的取值范围．【答案】k ≤－1或k ≥3．【解析】如图所示， ∵A （―3，4），B （3，2），C （2，―1），∴14123AC k --==-+， 12323BCk --==-；要使过点C 的直线L 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥3．【总结升华】本题考查了已知两点的坐标求直线斜率的应用问题，也考查了数形结合的应用问题．举一反三：【变式1】已知直线l 过点(2,1)A -且与线段BC 相交，设(1,0),(1,0)B C -，则直线l 的斜率k 的取值范围是．【答案】113k -≤≤-【解析】画出图形，数形结合类型三：两条直线平行的条件例6．已知1l 经过A （―3，3），B （―8，6），2l 经过21,62M ⎛⎫-⎪⎝⎭，9,32N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：12//l l ．【解析】直线1l 的斜率为16338(3)5k -==----，直线2l 的斜率为26(3)3219522k --==---，∵k 1=k 2，∴12//l l ．【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x 轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x 轴垂直时）．判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合．举一反三：【变式1】判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行．（1）1l 经过点A （―1，―2），B （2，1），2l 经过点M （3，4），N （―1，―1）；（2）1l 的斜率为1，2l 经过点A （1，1），B （2，2）；（3）1l 经过点A （0，1），B （1，0），2l 经过点M （―1，3），N （2，0）（4）1l 经过点A （―3，2），B （―3，10），2l 经过点M （5，―2），N （5，5）．【解析】（1）11(2)12(1)k --==--，2145134k --==--，∵k 1≠k 2，∴1l 与2l 不平行．（2）k 1=1，221121k -==-， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l 或1l 与2l 重合．（3）101110k -==--，20312(1)k -==---， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l ．（4）∵1l 与2l 都与x 轴垂直，∴1l ∥2l ．【总结升华】 k 1=k 2⇔1l ∥2l 是针对斜率都存在的直线，对于斜率不存在或可能不存在的直线要注意利用图形求解．例7．已知ABCD 的三个顶点的坐标分别是A （0，1），B （1，0），C （4，3），求顶点D 的坐标．【答案】（3，4）【解析】解法1：设D （m ，n ），线段AC 的中点为E （2，2），所以线段BD 的中点为E （2，2），则122022m n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．解法2：设D （m ，n ），由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB =k DC ，k AD =k BC ，所以013104130041nmn m --⎧=⎪⎪--⎨--⎪=⎪--⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．【总结升华】解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法．类型四：两条直线垂直的条件例8．判断下列各题中1l 与2l 是否垂直．（1）1l 经过点A （―1，―2），B （1，2），2l 经过点M （―2，―1），N （2，1）；（2）1l 的斜率为―10，2l 经过点A （10，2），B （20，3）；（3）1l 经过点A （3，4），B （3，10），2l 经过点M （－10，40），N （10，40）．【解析】求出斜率，利用1l ⊥2l ⇔k 1k 2=－1进行判断，注意数形结合及斜率不存在的特殊情况．（1）12(2)21(1)k --==--，21(1)12(2)2k --==--，k 1k 2=1， ∴1l 与2l 不垂直；（2）k 1=－10，2321201010k -==-，k 1k 2=－1，∴1l ⊥2l ；（3）1l 的倾斜角为90°，则1l ⊥x 轴；24040010(10)k -==--，则2l ∥x 轴，∴1l ⊥2l ．【总结升华】判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于―1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两条直线也垂直．例9．已知定点A （―1，3），B （4，2），以A ，B 为直径的端点，作圆与x 轴交于点C ，求交点C 的坐标．【答案】（1，0）或（2，0）【解析】本题中有三个点A ，B ，C ，由于AB 为直径，C 为圆上的点，所以∠ACB=90°，因此，必有k AC ·k BC =―1．列出方程，求解即可．以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥CB ．设C （x ，0），MJ 31AC k x -=+，24BC k x -=-．∴32114x x --⋅=-+-，去分母解得x=1或2． ∴C （1，0）或C （2，0）．【总结升华】利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．本例中，利用∠ACB=90°，及两条直线垂直时斜率之间的关系，从而构造关于x 的方程，解之便求出其交点坐标，因此利用直线垂直与平行关系可构造相关方程，解之即可求出相关参数．本例中，当AC 或BC 的斜率不存在时，不满足AC ⊥BC ，这是很明显的事情（如图）．故不需要对AC 或BC 斜率不存在的情形作讨论．举一反三：【变式1】（2015春海淀区期末）已知点A （a ，a ）（a ≠0），B （1，0），O 为坐标原点．若点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，则点C 的坐标是（）A ．11(,)22- B ．(,)22a a - C ．(,)22a a D ．11(,)22【思路点拨】设C （x ，y ），利用点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直得到关于x ，y 的方程组解之．【答案】D【解析】设C （x ，y ），因为点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，所以11x y y x =⎧⎪⎨=-⎪-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；故选：D【巩固练习】1．以下两点确定的直线的斜率不存在的是（）A ．（4，2）与（―4，1）B ．（0，3）与（3，0）C ．（3，―1）与（2，―1）D ．（―2，2）与（―2，5） 2．过点P （－2，m ），Q （m ，4）的直线的斜率为1，则m 的值为（） A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 3．如图，若图中直线的斜率分别为k 1， k 2， k 3，则( )321,,l llA.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 24．若直线1l ，2l 的倾斜角分别为1α，2α，且1l ⊥2l ，则（）A ．1290αα-=︒B ．1290αα+=︒C ．12180αα+=︒D ．1290αα-=︒ 5．直线122a y x =--与直线2y x =-+互相垂直，那么a 的值为（） A ．1 B ．13- C ．23- D ．―26．（2015春黄冈期末）已知直线1l ：x +2ay ―1=0，与2l ：(2a ―1)x ―ay －1=0平行，则a 的值是（）A ．0或1B ．1或14 C ．0或14 D ．147．已知点A （―1，3），B （3，1），点C 在x 轴上，且∠ACB=90°，则满足条件的点C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．已知函数2()log (1)f x x =+，且0a b c >>>，则()f a a ，()f b b ，()f c c 的大小关系为( ) A ．()()()f a f b f c a b c >> B ．()()()f a f b f c a b c <<C ．()()()f b f a f c b ac>>D ．()()()f a f c f b a c b<<9．已知点M （2m+3，m ），N （m －2，1），当m ∈________时，直线MN 的倾斜角为锐角；当m ∈________时，直线MN 的倾斜角为直角；当m ∈________时，直线MN 的倾斜角为钝角． 10．已知三点A （2，―3），B （4，3），(5,)2kC 在同一条直线上，则k=________． 11．直线210x a y ++=与直线2(1)30a x by +-+=互相垂直，a 、b ∈R 且ab ≠0，则ab 的最小值为________． 12．（2016 湖南衡阳模拟）过A （m ，1）与B （―1，m ）的直线与过点P （1，2），Q （―5，0）的直线垂直，则m =________． 13．（2016 浙江金华模拟）如果三条直线mx +y +3=0，x ―y ―2=0，2x ―y +2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，求m 的值． 14．（2015春淮安期中）直线mx +y +2=0与线段AB 有公共点，其中A （－2，3），B （3，2），求实数a 的取值范围．15．已知△ABC 的三个顶点坐标为A （2，4），B （1，―2），C （―2，3），求BC 边上的高AD 所在直线的斜率．【答案与解析】1．【答案】 D【解析】选项D 中两点的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x 轴垂直，因此直线的斜率不存在． 2．【答案】A【解析】由斜率公式可求得m=1． 3．【答案】B 【解析】设直线的倾斜角分别为321,,ααα，则，根据正切函数的图像可得. 4．【答案】 D【解析】方法一：特殊值法，令145α=︒，2135α=︒．方法二：如图，可得2390αα+=︒， ①13180αα+=︒， ②②－①，得1290αα-=︒．若1l 与2l 变换位置，则有2190αα-=︒． 5．【答案】D【解析】 ∵两直线垂直，∴()(1)12a -⨯-=-，∴a=―2．6．【分析】先检验当a =0时，是否满足两直线平行，当a ≠0时，两直线的斜率都存在，由21121a a a a ---=≠-，解得a 的值．【答案】【解析】当a =0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x =1，x =－1，显然两直线是平行的．当a ≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由21121a a a a ---=≠-，解得：14a =．综上，a =0或14，故选：C ．【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验． 7．【答案】 B 【解析】设C （x ，0），则有13131x x⋅=----，即3+(x ―3)·(x+1)=0．整理，得x 2―2x=0，∴x=0或x=2． 8．【答案】Ｂ321,,l l l παπαα<<<<<32120213k k k <<11【解析】该题从特殊值和常规方法都不容易找到解题的捷径，经仔细分析发现，其结构具务()()00f x f x x x -=-的特点，由此联想到利用斜率进行求解．作出函数2()log (1)f x x =+的大致图象．由图可知，曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小．因为0a b c >>>，所以()()()f a f b f c a b c<<．故选Ｂ． 9．【答案】（－∞，－5）∪（1，+∞） {}5- （―5，1）【解析】 112(23)5MN m m k m m m --==--+--，若直线MN 的倾斜角为锐角，则105MN m k m -=>--，有1050m m ->⎧⎨-->⎩或1050m m -<⎧⎨--<⎩．解得m ＜－5或m ＞1．其他同理可得． 10．【答案】12【解析】由k AB =k AC 解方程可得．11．【分析】由题意知，两直线的斜率之积等于－1，得到a 、b 的关系，代入ab 的解析式变形后使用基本不等式，求得其最小值．【答案】2 【解析】由题意得22111a a b +-⨯=-，∴ 221a b a =+，∴222111a b a a+==+， ∴211|||(1)|||||2ab a a a a=⨯+=+≥，当且仅当a =1或a =－1时，取等号，故ab 的最小值为2，故答案为2．【点评】本题考查两条直线垂直的性质，利用基本不等式求式子的最小值，注意检验最小值取得的条件是否具备．12．【答案】―2【解析】过点A （m ，1）与B （―1，m ）的直线的斜率11m m ---，过点P （1，2），Q （―5，0）的直线的斜率为：201153-=+．因为两条直线垂直，所以11113m m -⨯=---，解得m =―2．故答案为：―2．13．【答案】―1或―2或34- 【解析】①mx +y +3=0与x ―y ―2=0平行时，m =―1，此时满足题意，所以m =―1；②mx +y +3=0与2x ―y +2=0平行时，m =―2，此时满足题意，所以m =―2；③联立x ―y ―2=-，2x ―y +2=0得20220x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得：46x y =-⎧⎨=-⎩，12即x ―y ―2=0与2x ―y +2=0的交点坐标为（―4，―6），根据题意所求直线过（―4，―6），代入得，34m =-，综上m 的值是―1或―2或34-． 14．【分析】由题意得直线y =―mx ―2过定点P （0，―2），作出图象求出边界直线的斜率，根据图象和条件求出实数m 的取值范围．【答案】54(,)[,)23-∞-+∞ 【解析】由题意得，直线mx +y +2=0化为y =―mx ―2，则直线y =―mx ―2过定点P （0，―2），画出图象：∴直线P A 的斜率是325202+=---，直线PB 的斜率是224303+=-， ∵直线mx +y +2=0与线段AB 有公共点，∴直线mx +y +2=0在直线P A 和直线PB 之间，且直线PB 按逆时针转动，直线P A 按顺时针转动，则实数m 的取值范围是54(,)[,)23-∞-+∞， 15．【答案】35【解析】由题意可知BC 边所在直线的斜率为2351(2)3BC k --==---．因为AD ⊥BC ，所以135AD BC k k =-=，所以BC 边上的高AD 所在直线的斜率为35．。

高一必修二数学复习知识点归纳

高一必修二数学复习知识点归纳1.高一必修二数学复习知识点归纳篇一函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域. 2.高一必修二数学复习知识点归纳篇二定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

高中数学必修2复习资料

必修2数学复习资料第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图1、三视图：正视图：从前往后；侧视图：从左往右；俯视图：从上往下。

2、画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3、直观图：斜二测画法4、斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积 1、棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2、圆柱的表面积3、圆锥的表面积2r rl S ππ+=4、圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5、球的表面积24R S π=（二）空间几何体的体积 1、柱体的体积 h S V ⨯=底2、锥体的体积 h S V ⨯=底313、台体的体积h S S S S V ⨯++=)31下下上上（4、球体的体积 334R V π=第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11、平面含义：平面是无限延展的2、平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母γβα、、等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为ααα⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈∈∈L L B L A B A 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，222r rl S ππ+= D CBAαC · B· A·LA· α使.,,ααα∈∈∈C B A公理2作用：确定一个平面的依据。

高二年级数学必修二复习知识点

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高二必修二数学知识点及复习提纲

高二必修二数学知识点及复习提纲高二必修二数学知识点1、导数的定义：在点处的导数记作。

2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0，f(x0))切线斜率。

V=s/(t)表示即时速度。

a=v/(t)表示加速度。

3.常见函数的导数公式：4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导，如果，那么为增函数;如果，那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围，那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较，的为值，最小的是最小值。

高二必修二数学复习知识点(1)数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示(列表、图象、通项公式).了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列理解等差数列、等比数列的概念.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.(2)一元二次不等式会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.(4)基本不等式：了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点高二必修二数学知识点一、求动点的轨迹方程的基本步骤建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;写出点M的集合;列出方程=0;化简方程为最简形式;检验。

高中数学选择性必修二第4章数列章末复习与总结高二数学(

[例 7] (1)已知数列an，a1＝2，an＝1＋ana－n1－1(n≥2)，求 an； (2)已知数列an满足 an＋1＝3an＋2(n∈N *)，a1＝1，求通项公式 an. [解] (1)由 an＝1＋ana－n1－1两边取倒数得a1n－an1－1＝1， ∵数列a1n是首项为a11＝12，公差为 1 的等差数列． ∴a1n＝12＋(n－1)＝n－12＝2n2－1.∴an＝2n2－1.
bn－1
＝an1－1(n≥2，
n∈N
*)，
Tn＝b1＋b2·3＋b3·32＋…＋bn·3n－1，证明：数列4Tn－3n·bn为等差数列．
[解] (1)因为 an＋1＝3an， an＋1
所以 an ＝3，又 a1＝3，因此an是首项为 3，公比为 3 的等比数列，
所以 an＝3n，a4＝34＝81. Sn＝311－－33n＝32(3n－1)， S5＝32×(35－1)＝363.
an
可用公式
an＝SS1n－n＝Sn1－1，n≥2
求解．
3．由递推公式求数列通项：对于递推公式确定的数列的求
解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数
列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．
4．待定系数法(构造法)：求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列 (等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法．
1，n为奇数，
②取 a＝2，q＝1 时，an＝
bn＝2(n∈N*)．
2，n为偶数.
此时bn是等比数列，而an不是等比数列．

高一数学必修二期末考试知识点复习

高一数学必修二期末考试知识点复习高一数学必修二期末考试知识点复习学生们在享受学习的同时，还要面对一件重要的事情就是考试，查字典数学网为大家整理了高一数学必修二期末考试知识点，希望大家仔细阅读。

两个平面的位置关系：(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。

a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形棱锥棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥棱锥的性质：(1)侧棱交于一点。

侧面都是三角形(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。

且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方正棱锥正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

(3)多个特殊的直角三角形esp：a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。

且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

小编为大家整理的高一数学必修二期末考试知识点，大家一定要仔细琢磨，理解，才能取得好成绩哦!。

学而思数学必修二复习资料

学而思数学必修二复习资料# 学而思数学必修二复习资料## 第一部分：数列### 1.1 数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。

数列可以是有限数列，也可以是无限数列。

### 1.2 等差数列等差数列是指相邻两项的差是一个常数的数列。

等差数列的通项公式为：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中，$ a_n $ 是第 $ n $ 项，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差。

### 1.3 等比数列等比数列是指相邻两项的比是一个常数的数列。

等比数列的通项公式为：\[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \]其中，$ a_n $ 是第 $ n $ 项，$ a_1 $ 是首项，$ q $ 是公比。

### 1.4 数列的求和数列求和是计算数列中所有项的和。

等差数列的前 $ n $ 项和公式为：\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]等比数列的前 $ n $ 项和公式为：\[ S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \]对于 $ q \neq 1 $ 的情况。

## 第二部分：三角函数### 2.1 三角函数的定义三角函数是与直角三角形的边和角有关的函数，包括正弦、余弦、正切等。

### 2.2 三角函数的基本性质三角函数具有周期性、奇偶性等基本性质。

### 2.3 三角恒等变换三角恒等变换包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。

### 2.4 三角函数的图像和性质三角函数的图像是周期性的波动曲线，具有振幅、周期、相位等特征。

## 第三部分：解析几何### 3.1 直线的方程直线的方程可以表示为点斜式、斜截式或一般式。

### 3.2 圆的方程圆的方程可以表示为标准式或一般式。

### 3.3 椭圆、双曲线和抛物线这些圆锥曲线的方程和性质是解析几何中的重要内容。

数学必修二的重点复习资料

数学必修二的重点复习资料数学作为一门基础学科，在高中课程中也是必修的科目之一。

其中，必修二是数学课程中重要的一部分，这个阶段的学习内容涉及到多项式、函数、三角函数、解析几何等重要的数学知识点。

为了帮助大家掌握必修二的复习技巧，本文将提供一些重点复习资料的建议。

一、基础知识与公式在必修二的学习中，需要掌握一些基础知识和公式，例如：多项式的定义与性质、三角函数的定义与性质、平面解析几何的公式等。

这些基础知识和公式是必修二课程中的重要基础，必须在学习中逐一掌握。

此外，数学学科还有一大类题目需要核心公式的掌握，比如较为基础的多项式求和公式，直到三角函数的和差化积公式，直观的就是奥数中的加强版乍可相除法，所有公式都需要熟知并会灵活运用。

确保上手不卡壳，拿到考试不会蒙。

二、重点知识点的学习在学习必修二的过程中，存在一些重点的知识点，需要重点关注和强化。

这些知识点包括：1、多项式及其性质多项式的基本概念、多项式的因式分解、特殊多项式的因式分解等。

2、函数的性质函数的基本概念、函数图像的基本形态、余函数的概念及性质等。

3、三角函数的定义和性质正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等基本概念、周期与奇偶性、单调性等性质。

4、解析几何的基本知识解析几何的基本思想和概念、平面直角坐标系、二元一次方程、平行线、垂直线的相关理论等。

以上都是数据课程中直接考核的点，更改真会造成及大学的学习影响，一定要重点掌握。

三、题目做题方法在复习必修二的过程中，需要掌握一些做题的方法。

这些方法包括：1、学会分类思想多项式题目包括展开和合并，三角函数题目涉及到公式和运用，如果不能分清各种题目的类型，做题会显得很困难。

2、注意基础计算数学中的基本计算是很重要的，如加减乘除、分式的计算等。

必须注意这些基本计算能力，否则会影响到做题的准确性和效率。

3、掌握解题方法和技巧在解题的过程中，有些题目可能需要使用特定方法，如利用函数图像画出函数的特点、运用泰勒公式等。

高二必修二数学知识点复习

高二必修二数学知识点复习(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

数学必修(二)复习提纲.docx

数学必修（二）知识梳理与解题方法分析第一章《空间几何体》一、本章总知识结构二、各节内容分析1. 1空间几何体的结构L本节知识结构2教学重点和难点重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

1.2空间几何体三视图和直观图1、本节知识结构么教学重点和难点重点:画出简单几何体的三视图，用斜二测法画空间几何体的直观图。

难点：识别三视图所表示的空间几何体。

1.3空间几何体的表面积与体积1、本节知识结构2教学重点和难点重点：了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式。

难点：球体积和的表面积的推导。

三、高考考点解析本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容:L多面体的体积（表面积）问题；2点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离）问题一“等体积代换法”。

（一）多面体的体积（表面积）问题1.【06上海•理】在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，ZDAB=60° ,对角线AC与BD相交于点O, P0±平面ABCD, PB与平面ABCD所成的角为60° .（1）求四棱锥P-ABCD的体积；【解】（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO_L平面ABCD,得ZPBO是PB与平面ABCD所成的角,ZPBO=60°.在RtAAOB 中BO=ABsin30°=l,由PO_LBO,于是，PO=BOtg60°=V3,而底面菱形的面积为2心....四棱锥P-ABCD的体积V='x2的x际=2.32.【06上海•文】在直三棱柱ABC-A^C,中，ZABC = 90°,AB = BC = l.（2）若A©与平面A3C所成角为45。

，求三棱锥A.-ABC的体积。

【解】（2） VAAiX平面ABC,ZACAj是AiC与平面ABC所成的角,ZACA1=45°.V ZABC=90°, AB=BC=1, AC=V2 .*.AA I=V2<>] -\1~2.I三棱锥A r ABC的体积V=-S AABCX AA1=——3 63.[06四川•理】如图,长方体ABCD-A]BiCiDi中，E、P分别是BC、AQ]的中点,M、N 分别是AE、CD]的中点，AD=AAj = a, AB=2a,（III）求三棱锥P—DEN的体积。

2024年高中数学必修二知识点总结(复习提纲)

2024年高中数学必修二知识点总结（复习提纲）前言高中数学是我国中学教育中的重要科目之一，其中必修二是一门基础课程，内容包括数列与数学归纳法、函数与常函数、二次函数、三角函数、圆和圆的方程、空间立体几何、向量等，是高中数学中重要的阶段性科目之一。

针对 2024 年高考数学综合科目和学生日常学习需求，本文将为读者展示高中数学必修二知识点的总结和复习提纲。

数列与数学归纳法数列的基本概念数列可以看作是按一定顺序排列的一组数，每个数列由元素$a_1,a_2,\\cdots,a_n$ 组成，a i称作数列的第i项。

数列的通项公式数列的通项公式是指可以用一个公式表达数列的第n项与n有关系的公式，通常用a n表示。

数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列的前一项，得到数列的后一项的公式，可以用递归公式或差分法求解。

数学归纳法数学归纳法可以用来证明一个数学命题对于一系列自然数成立，原理是通过证明前一项成立，从而推出后一项也成立。

函数与常函数基本概念函数是一种映射关系，即将每个自变量映射为一个因变量，具有自变量和因变量两个基本要素，可以用公式y=f(x)表示。

常函数是一种函数，即函数值恒定，常以y=a形式表示，其中a是一个实数。

函数的图像函数的图像是指在平面直角坐标系上，由函数的自变量和因变量组成的一些点，通过连线或曲线，形成一条平面曲线。

函数的性质•奇偶性：若对任意x，有f(−x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数，若对任意x，有f(−x)=−f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

•单调性：若对于任意x1<x2，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间上是单调递增的；若对于任意x1<x2，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间上是单调递减的。

•周期性：若对于任意x，恒有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)的周期为T。

函数的应用•函数模型可以用来描述各种现象和问题，包括物理现象、经济现象和社会现象等。

数学必修第二册期末知识大盘点文档

高一数学人教A版（2019）必修第二册期末复习知识大盘点第六章平面向量及其应用学习目标整合1.平面向量的概念（1）了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.（2）理解平面向量的几何表示和基本要素.2.平面向量的运算（1）掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.（2）掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.（3）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.3.平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.（2）了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.平面向量的基本定理及坐标运算（1）理解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.（4）能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.（5）能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.5.解三角形（1）掌握余弦定理、正弦定理.（2）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.教材习题变式【课后习题】1.判断下列命题是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）.（1）AB BA +=0.()（2）AB BC AC += .()（3）AB AC BC -= .()（4）00AB =.()2.选择题（1）如果a ，b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是().A.=a bB.1⋅=a b C.22≠a b D.22||||=a b （2）对于任意两个向量a 和b ，下列命题中正确的是().A.若a ，b 满足||||>a b ，且a 与b 同向，则>a bB.||||||+≤+a b a bC.||||||⋅≥a b a bD.||||||-≤-a b a b （3）在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则().A.四边形ABCD 是矩形B.四边形ABCD 是菱形C.四边形ABCD 是正方形D.四边形ABCD 是平行四边形（4）设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是().A.a 与λ-a 的方向相反B.||||λ-≥a aC.a 与2λa 的方向相同D.||||λλ-=a a（5）设M 是ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA OB OC OD +++=()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM（6）在下列各组向量中，可以作为基底的是().A.1(0,0)=e ，2(1,2)=-e B.1(1,2)=-e ，2(5,7)=eC.1(3,5)=e ，2(6,10)=e D.1(2,3)=-e ，213,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭e 3.已知六边形ABCDEF 为正六边形，且AC = a ，BD =b ，分别用a ，b 表示DE ，AD ，BC ，EF ，FA ，AB ，CE .4.已知平面直角坐标系中，点O 为原点，(3,4)A --，(5,12)B -.（1）求AB 的坐标及||AB的值；（2）若OC OA OB =+ ，OD OA OB =- ，求OC 与OD的坐标；（3）求OA OB ⋅的值.5.已知点(1,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C .若AB CD =，则点D 的坐标是什么?6.已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，(1,0)=-c ，求满足λμ=+c a b 的λ和μ的值.7.已知ABC △的顶点坐标分别为(1,1)A ，(4,1)B ，(4,5)C ，求cos A ，cos B ，cos C 的值.8.已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b .当λ为何值时，λ+a b 与a 垂直?9.已知向量a 与b 的夹角为30°，||=a ，||2=b ，求||+a b ，||-a b 的值.10.如图，支座A 受1F ，2F 两个力的作用，已知1F 与水平线成θ角，140N =F ，2F 沿水平方向，270N =F ，1F 与2F 的合力F 的大小为100N ，求cos θ以及F与2F 的夹角β的余弦值.11.在ABC △中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1′，边长精确到0.01cm ）：（1）12cm a =，5cm b =，120A =︒；（2）6cm a =，8cm b =，30A =︒；（3）7cm a =，23cm b =，130C =︒；（4）2cm a =，3cm b =，4cm c =.12.海中有一座小岛，周围3nmile 内有暗礁.一艘海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东75°；海轮航行8nmile 以后，望见该岛在北偏东55°.如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险?13.选择题（1）已知a ，b 是不共线的向量，且5AB =+ a b ，28BC =-+ a b ，3()CD =-a b ，则().A.A ，B ，D 三点共线B.A ，B ，C 三点共线C.B ，C ，D 三点共线D.A ，C ，D 三点共线（2）已知正方形ABCD 的边长为1，AB = a ，BC = b ，AC =c ，则||++=a b c ().A.0B.3D.（3）已知OA = a ，OB = b ，OC = c ，OD =d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则().A.0+++=a b c d B.0-+-=a b c d C.0+--=a b c d D.0--+=a b c d （4）若1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，则122a =+e e 与1232=-+b e e 的夹角为().A.30°B.60°C.120°D.150°（5）已知等边三角形ABC 的边长为1，BC = a ，CA = b ，AB =c ，那么⋅+⋅+⋅=a b b c c a ().A.3 B.-3C.32D.32-（6）若平面向量a ，b ，c 两两的夹角相等，且||1=a ，||1=b ，||3=c ，则||++=a b c ().A.2B.5C.2或514.已知a ，b ，c ，d 为非零向量，证明下列结论，并解释其几何意义.（1）||||⊥⇔+=-a b a b a b ；（2）若+=a b c ，-=a b d ，则||||=⇔⊥a b c d .15.已知123PP P △，向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123OP OP OP ==.求证：123PP P △是等边三角形.16.如图，已知OA = a ，OB =b ，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，用a ，b 表示向量MN.（本题可以运用信息技术发现规律）17.一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了9km 到达B 地，然后由B 地行了16km 到达D 地，求这个人由A 地到D 地的位移（角度精确到1°）.【变式训练】18.在ABC △中，设,,AB AC D ==a b uu u r uuu r 为AC 边的中点，则BD =uu u r ()A.12+a bB.12+a bC.12-a bD.12-b a19.已知向量,a b 不共线，若向量λ+a b 与λ+b a 的方向相反，则λ的值为()A.1B.0C.-1D.1±20.如图所示，在四边形ABCD 中，1,3DC AB E =uuu ruu ur 为BC 的中点，且AE xAB y AD =+uu u ruu u ruuu r，则32x y -=()A.12B.32C.1D.221.已知作用在点A 的三个力1(3,4)=f ，2(2,5)=-f ，3(3,1)=f ，且(1,1)A ，则合力123=++f f f f 的终点坐标为()A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)22.P 是 ABC 所在平面内一点，满足|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，则ABC 的形状是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形23.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若60A =︒，1b =，其面积sin sin sin a b cA B C++=++()A. B.3 C.3 D.224.在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =()B. C. D.25.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了造化钟神秀，阴阳割昏晓荡胸生层云，决毗入归鸟会当凌绝顶，一览众山小”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等如图为某工程队将A 到D 修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A ，B ，C ，D 在同一水平面内)，则A ，D 间的距离为()km km km26.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，则ABC △是()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰（非等边）三角形D.等腰直角三角形27.已知向量(3,4),(2,4)m =-=a b .若向量23-a b 与b 共线，则实数m =________.28.平面向量(1,2),(4,2),()m m ===+∈R a b c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =________.29.已知在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=，且c a =，则cos B =____________.30.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100m BC =，则山高MN =__________m.31.设,a b 是不共线的两个非零向量.(1)若2,3,3OA OB OC =-=+=-a b a b a b uu ruu u ruuu r，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若8k +a b 与2k +a b 共线，求实数k 的值；(3)若,23,2AB BC CD k =+=-=-a b a b a b uu u r uu u r uu u r，且A ，C ，D 三点共线，求实数k 的值.32.已知||=a ，||=b 5⋅=-a b ，(1)x x =+-c a b .（1）当⊥b c 时，求实数x 的值；（2）当||c 取最小值时，求向量a 与c 的夹角的余弦值.33.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Ca b A +=.(1)求B .(2)若ABC △为锐角三角形，且1c =，求ABC △面积的取值范围.34.如图，在海岸A 处，发现南偏东45°方向距A 为2)海里的B 处有一艘走私船，在A 处正北方向，距A 为C 处的缉私船立即奉命以海里/时的速度追截走私船.(1)刚发现走私船时，求两船的距离.(2)若走私船正以/时的速度从B 处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：2.5≈≈)35.已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin sin A B C A B +-=.(1)求角C 大小.(2)若2c =b +的取值范围.答案以及解析1.答案：（1）√（2）√（3）×（4）×解析：（1）AB 与BA 是相反向量，它们的和为零向量.故正确.（2）当第一个向量的终点是第二个向量的起点时，这两个向量的和等于第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量.故正确.（3）当两个向量有共同的起点时，那么这两个向量的差等于减向量的终点指向被减向量的终点的向量.故不正确.（4）实数0与任意向量的数乘结果是零向量，而不是实数0.故不正确.2.答案：（1）D （2）B （3）D （4）C （5）D （6）B解析：（1）因为a ，b 是两个单位向量，所以||||=a b ，因此22||||=a b ，也即22=a b ，故C 项错误，D 项正确；两个单位向量尽管长度相等，但方向不一定相同，故A 项错误；||||cos θ⋅=⋅a b a b ，只有a ，b 的夹角θ为0时，才有1⋅=a b ，故B 项错误.（2）A 项错误，向量不能比较大小；B 项正确；C 项错误，||||||⋅≤a b a b ；D 项错误，||||||-≤-a b a b .故选B.（3）AC AB AD =+是向量加法的平行四边形法则.（4）当0λ>时，a 与λ-a 的方向相反，当0λ<时，a 与λ-a 的方向相同，故A项错误；||||||λλ-=a a ，只有当||1λ≥时，才有||||λ-≥a a ，故B 项错误；因为20λ>，所以a 与2λa 同向，故C 项正确；D 项错误.故选C.（5）因为2,2OA OC OM OB OD OM +=+=，所以4OA OB OC OD OM +++= .（6）两个不共线的向量可以作为基底.A 项中12//e e ，故不能作为基底；B 项中1e ，2e 不共线，可以作为基底；C 项中1212=e e ，所以12//e e ，不能作为基底；D 项中124=e e ，不能作为基底，故选B.3.答案：2133DE =-+ a b ，2233AD =+ a b ，1133BC =+ b a ，1133EF =-- a b ，1233FA =- a b ，1233CD =-+ a b ，CE =-+ a b解析：如图，设AC BD M = .因为六边形ABCDEF 为正六边形，所以120ABC BCD ∠=∠=︒，且ABC DCB ≌△△.又ABC △是等腰三角形，所以30BAC BCA ∠=∠=︒，从而可有90ACD DBA ∠=∠=︒，则1sin 302CM BM AM AM ==︒=，则1sin 302CM BM AM AM ==︒=，所以13MC = a ，23AM = a ，同理有13BM = b ，23MD = b .所以2133DE BA MA MB ==-=-+ a b ，2233AD AM MD =+=+ a b ，1133BC BM MC =+=+ b a .1133EF BC =-=-- a b ，1233FA DC DM MC ==+=- a b ，1233CD FA =-=-+ a b ，2133AB DE =-=- a b ，CE CD DE =+=-+ a b .4.答案：（1）(8,8)AB =- ，||82AB =（2）(2,16)OC =- ，(8,8)OD =-（3）33解析：（1）(5,12)(3,4)(8,8)AB =----=-，22||8(8)82AB =+-= .（2）(3,4)(5,12)(2,16)OC OA OB =+=--+-=-，(3,4)(5,12)(8,8)OD OA OB =-=----=-.（3）(3,4)(5,12)154833OA OB ⋅=--⋅-=-+=.5.答案：(2,0)-解析：设(,)D x y ，由(1,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C 知(2,1)AB =-- ，(,1)CD x y =-，要使AB CD = ，则有2,11,x y =-⎧⎨-=-⎩解得2,0.x y =-⎧⎨=⎩所以点D 的坐标为(2,0)-.6.答案：1λμ=-⎧⎨=⎩解析：由λμ=+c a b ，得(1,0)(1,0)(1,1)(,)λμλμμ-=+=+.即1,0,λμμ+=-⎧⎨=⎩解得1,0.λμ=-⎧⎨=⎩7.答案：3cos 5A =，cos 0B =，4cos 5C =解析：由(1,1)A ，(4,1)B ，(4,5)C 可知(3,0)AB = ，(0,4)BC =，所以0AB BC ⋅= ，即AB BC ⊥ ，所以90B ∠=︒，||3AB = ，||4BC = ，所以||5AC = ，故3cos 5A =，cos 0B =，4cos 5C =.8.答案：1λ=-解析：(1,0)= a ，(1,1)=b ，(1,)λλλ∴+=+a b .又λ+a b 与a 垂直，()0λ∴+⋅=a b a ，(1,)(1,0)0λλ∴+⋅=，即10λ+=，1λ∴=-.9.答案：||+=a b ，||1-=a b解析：3||||cos30232⋅=︒=⨯= a b a b ，||∴+====a b ，||1-====a b .10.答案：5cos 8θ=，19cos 20β=解析：12+= F F F ，()2212∴+=F F F ，即22212122++⋅=F F F F F .222407024070cos 100θ∴++⨯⨯⨯=，解得5cos 8θ=.又21-= F F F ，()2221∴-=F F F ，即2222212-⋅+=F F F F F ，222100210070cos 7040β∴-⨯⨯⨯+=，解得19cos 20β=.11.答案：见解析解析：（1）在ABC △中，根据正弦定理，得219B '=︒，602193851C ''=︒-︒=︒，8.69cmc ≈（2）在ABC △中，根据正弦定理，得2sin 3B =，因为b a >，所以4149B '≈︒或13811B '≈︒；当4149B '=︒时，10811C '=︒，11.40cm c ≈；当13811B '=︒时，1149C '=︒， 2.46cm c ≈.（3）在ABC △中，根据余弦定理，得28.02cm c ≈，根据正弦定理，得112A '≈︒，501123858B ''≈︒-︒=︒.（4）在ABC △中，根据余弦定理的推论，得cos 0.875A ≈，即2857A '≈︒，同理可得4634B '≈︒，10429C '≈︒.12.答案：没有解析：设海轮在B 处望见小岛A 在北偏东75°，在C 处望见小岛A 在北偏东55°，从小岛A 向海轮的航线BC 作垂线，垂足为D .设垂线段AD 的长度为x nmile ，CD为y nmile （如图），则tan 35,tan15,8x y x y ⎧=︒⎪⎪⎨⎪=︒⎪+⎩即，,tan 358,tan15xy x y ⎧=⎪⎪︒⎨⎪=+⎪︒⎩则8tan 35tan15x x =-︒︒，解得8tan15tan 35 3.473tan 35tan15x ︒︒=≈>︒-︒.所以这艘海轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险.13.答案：（1）A （2）D （3）B （4）C （5）D （6）C解析：（1）283()5BD BC CD AB =+=-++-=+= a b a b a b ，∴A ，B ，D 三点共线.（2）因为AB BC AC +=，所以|||2|++=a b c c .因为||=c||++=a b c .故选D.（3）易知OB OA AB -= ，OC OD DC -= ，而在平行四边形ABCD 中，AB DC =，所以OB OA OC OD -=-，即-=-b a c d ，也即-+-=0a b c d =0，故选B.（4）12121cos 602⋅=⋅︒=e e e e ，()()221212112217232626222a b ∴⋅=+⋅-+=-+⋅+=-++=-e e e e e e e e ，()222221211221||24444172==+=+⋅+=+⨯+=e a a e e e e e ，()222221211221||329124912472==-+=-⋅+=-⨯+=b b e e e e e e .设向量a 与向量b 的夹角为θ，则712cos ||2θ-⋅==-‖a ba b .又0180θ︒≤≤︒，所以120θ=︒，故选C.（5）311cos12011cos12011cos1202⋅+⋅+⋅=⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=-a b b c c a .（6）由向量a ，b ，c 两两所成的角相等，故向量a ，b ，c 两两所成的角都等于0或2π3.当a ，b ，c 两两所成的角为2π3时，2π111cos 32⋅=⨯⨯=-a b ，2π313cos 32⋅=⨯⨯=-b c ，2π331cos 32⋅=⨯⨯=-c a .则22222||()222c ++=++=+++⋅+⋅+⋅ a b c a b a b c a b b c c a1331192224222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，||2∴++=a b c .当a ，b ，c 唡两所成的角为0时，||||||||5++=++=a b c a b c .故选C.14.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）先证||||⊥⇒+=-a b a b a b .||+==a b ，||-==a b .因为⊥a b ，所以，于是||||+=-a b a b .再证||||+=-⇒⊥a b a b a b .由||||+=-a b a b ，两边平方得2222||2||||2||+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，所以0⋅=a b ，于是⊥a b .几何意义是矩形的两条对角线相等.（2）先证||||=⇒⊥a b c d .22()()||||⋅=+⋅-=-c d a b a b a b .又||||=a b ，所以0⋅=c d ，所以⊥c d .再证||||⊥⇒=c d a b ，由⊥c d 得0⋅=c d ，即22()()||||0+⋅-=-=a b a b a b ，所以||||=a b ，几何意义是菱形的对角线互相垂直，如图所示.15.答案：见解析解析：由已知，可得123OP OP OP +=-，两边平方得222121232OP OP OP OP OP +⋅+= ，令2311OP OP OP === ，2112OP OP ∴⋅=- ，()222212121121211232PP OP OP OP OP OP OP ⎛⎫∴=-=+-⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭，12PP ∴=.同理233112OP OP OP OP ⋅=⋅=-，122331PP P P P P ∴=== 故123PP P △是等边三角形.16.答案：22MN =-b a解析：连接AB （图略），由对称性可知，AB 是SMN △的中位线，22()2()22MN AB OB OA ==-=-=-b a b a .17.答案：这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图.由题意可得(0,0)A ，(9,0)B，(12,C -，D .AD AB BC CD ∴=++=，||AD ==.533tan 204DOx ∠==，23DOx ∴∠≈︒，902367DOy ∠≈-=︒︒︒.∴这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了.18.答案：D解析：因为,,AB AC D ==a b uu u r uuu r 为AC 边的中点，所以12AD AC =uuu ruuur .由向量减法的三角形法则可得，1122BD AD AB AC AB =-=-=-b a uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，故选D.19.答案：C解析：Q 向量λ+a b 与λ+b a 的方向相反，()//()λλ∴++a b b a .由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m ，使得()m λλ+=+a b b a ，即(1)()m m λλ-=-a b .a Q 与b 不共线，10m m λλ∴-=-=，可得2.10,1m λλλ=∴-==±.当1λ=时，向量+a b 与+b a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去.1λ∴=-.20.答案：C解析：由题意，得11()22AE AB BE AB BC AB AB AD DC =+=+=+-++uu u ruu u r uu u ruu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r11212332AB AB AD AB AB AD ⎛⎫=+-++=+ ⎪⎝⎭uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r .21,32AE x AB y AD x AB y AD AB AD =+∴+=+uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r Q .AB uu u r Q 与AD uuu r 不共线，∴由平面向量基本定理得2,31.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩213232132x y ∴-=⨯-⨯=.故选C.21.答案：A解析：123(3,4)(2,5)(3,1)(8,0)=++=+-+=f f f f ，设合力f 的终点为(,)P x y ，O 为坐标原点，则(1,1)(8,0)(9,1)OP OA =+=+=f.故选A.22.答案：B解析：P 是ABC 所在平面上一点，且||2|0,|||()()0PB PC PB PC PA CB PB PA PC PA --+-=∴--+-=∣∣，即||||,||||CB AB AC AB AC AB AC =+∴-=+ ，两边平方并化简得0,,90AC AB AC AB A ︒⋅=∴⊥∴=，即ABC 是直角三角形.故选B.23.答案：C解析：设ABC △的面积为S ，由题意知1sin 2S bc A =，1sin 602c =⋅︒，解得4c =.由余弦定理得22212cos 1168132a b c bc A =+-=+-⨯=，即a由正弦定理可得sin sin sin sin 32a b c a A B C A ++==++.故选C.24.答案：C解析：方法一：在ABC △中，由余弦定理可得22222cos 16924393AB AC BC AC BC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以3AB =，则2221cos 29AB BC AC B AB BC +-==⋅.又因为(0,π)B ∈，所以45sin 9B =，所以sin tan cos BB B==.故选C.方法二：过点B 作BD AC ⊥交AC 于点D ，则1cos 22DC BC C AC ===，可得ABC △为等腰三角形，且AB BC =.在Rt BCD △中，BD =，所以tan 2B DC BD ===，所以22tan2tan 1tan 2BB B ==-.故选C.25.答案：A解析：本题考查两角差的余弦公式以及余弦定理的应用.连接AC ，设ACB α∠=，ACD β∠=，则在ACB △中，4AB =，5BC =，90ABC ∠=︒，所以AC =，sinαcosα=，所以()1cos cos 1202βα=︒-=-+=2222cos 4192365AD AC CD AC CD β=+-⋅⋅=+-=-AD =.故选A.26.答案：B解析：()()3a b c b c a bc +++-= ，22()3b c a bc ∴+-=，222b bc c a -+=.根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222222cos b bc c a b c bc A -+==+-，即2cos bc bc A =，1cos 2A ∴=.0180A <<︒︒ ，60A ∴=︒.又sin 2sin cos A B C =，sin 2cos sin A C B∴=，即22222a a b c b ab+-=⋅，化简可得22b c =，即b c =，ABC ∴△是等边三角形.故选B.27.答案：32-解析：因为23(66,4)m -=---a b ，所以(66)42(4)m m --⨯=⨯-，故32m =-.28.答案：2解析：由(1,2),(4,2)==a b ，得(4,22),|||m m m =+=++==c a b a b ，58,820m m ⋅=+⋅=+a c b c . c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，||||||||⋅⋅∴=c a c bc a c b ，即=2m =.29.答案：78解析：根据正弦定理得2222sin sin sin 6sin 60A A B B a ab b +-=+-=，即(3)(2)0,2a b a b a b +-=∴=，则2c b =，根据余弦定理得2222222447cos 288a c b b b b B ac b +-+-===.30.答案：150解析：在ABC △中，45BAC ∠=︒ ，90ABC ∠=︒，100BC =，100sin 45AC ∴==︒，在AMC △中，75MAC ∠=︒ ，60MCA ∠=︒，45AMC ∴∠=︒，由正弦定理可得sin sin AM ACACM AMC=∠∠，即1002sin 60sin 45AM =︒︒，解得AM =在Rt AMN △中，sin MN AM MAN =⋅∠sin 60=︒150(m)=.故答案为150.31.答案：(1)见解析(2)值为4±(3)43k =解析：(1)2,2AB OB OA AC OC OA =-=+=-=--a b a b uu u r uu u r uu r uuu r uuu r uu r，所以AC AB =-uuu r uu u r.又因为A 为公共点，所以A ，B ，C 三点共线.(2)设8(2),k k λλ+=+∈a b a b R ，则8,2,k k λλ=⎧⎨=⎩解得4,2k λ=⎧⎨=⎩或4,2,k λ=-⎧⎨=-⎩所以实数k 的值为4±.(3)()(23)32AC AB BC =+=++-=-a b a b a b uuu r uu u r uu u r.因为A ，C ，D 三点共线，所以AC uuu r 与CD uu u r共线.从而存在实数μ使AC CD μ=uuu r uu u r，即32(2)k μ-=-a b a b ，得32,2,k μμ=⎧⎨-=-⎩解得3,24.3k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以43k =.32.答案：（1）12x =（2）1010解析：（1）⊥b c ，2[(1)](1)55(1)0x x x x x x ∴⋅=⋅+-=⋅+-=-+-=b c b a b b a b ，解得12x =.（2）222222||[(1)]2(1)(1)x x x x x x =+-=+-⋅+-=c a b a a b b 222221010(1)5(1)252052515x x x x x x x ⎛⎫--+-=-+=-+ ⎪⎝⎭.当25x =时，2||c 有最小值1，即||c 有最小值1.此时，2355=+c a b .223232310(5)1555555⎛⎫⋅=⋅+=+⋅=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭a c a a b a a b ，设向量a ，c 的夹角为θ，则cos||||θ⋅==a c a c .33.答案：(1)60B =︒(2)82⎝⎭解析：(1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=.因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=.由180A BC ++=︒，可得sin cos 22A C B+=，故cos2sin cos 222B B B =.因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒.(2)由题设及(1)知ABC △的面积4ABC S a =△.由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===.由于ABC △为锐角三角形，故090,090A C ︒<<︒︒<<︒，由(1)知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<，从而3382ABC S <<△.因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭.34.答案：(1)4海里.(2)南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船.解析：(1)在ABC △中，因为2)AB =海里，AC =135BAC ∠=︒，由余弦定理，得4BC =(海里).(2)根据正弦定理，可得sin1351sin 2AC ABC BC ︒∠==.所以30ABC ∠=︒，易知15ACB ∠=︒，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，如图所示.则有CD =(海里)，BD =(海里).而120CBD ∠=︒，在BCD △中，根据正弦定理，可得sin sin 2BD CBD BCD CD ∠∠===，所以45,15BCD BDC ∠∠=︒=︒，所以60ACD ∠=︒.在CBD △中根据正弦定理，得sin sin CB CDBDC CBD=∠∠=，解得620.785t +=≈小时≈47分钟.故缉私船沿南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船.35.答案：(1)5π6C =.(2)取值范围是(2,.解析：(1)因为222sin sin sin sin A B C A B +-=，所以由正弦定理得222a b c +-=，所以22233cos 222a b c C ab ab +-===-，因为(0,π)C ∈，所以5π6C =.(2)由正弦定理得24sin cR C==，2sin )b R A B +=+π4sin 6A A ⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦14cos22A A A ⎫=+-⎪⎪⎭π4sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,6A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,663A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 622A ⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，b +的取值范围是(2,.第七章复数学习目标整合1.复数的概念（1）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.（2）了解复数的代数形式，掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系.（3）了解复数的几何意义.（4）理解并掌握共轭复数的概念.2.复数的四则运算（1）掌握复数代数形式的加、减运算法则，并会简单应用.（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.（3）掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则.（4）理解复数乘法的运算律.3.*复数的三角表示（1）通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.（2）了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.（3）了解辐角、辐角的主值等概念.（4）了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.教材习题变式【课后习题】1.选择题（1）复数ia b+与ic d+的积是实数的充要条件是().A.0ad bc+= B.0ac bd+= C.ac bd= D.ad bc=（2）复数5i2-的共轭复数是().A.i2+B.i2-C.2i-- D.2i-（3）当213m<<时，复数(3i)(2i)m+-+在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限*（4）复数sin40i cos40︒-︒的辐角主值是().A.40°B.140°C.220°D.310°2.填空题（1）若复数z 的模为5，虚部为-4，则复数z =________.（2）已知复数12i z =-，那么1z=________.（3）复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB，则表示向量BA 的复数为________.*（4）如果向量OZ 对应复数4i ，OZ绕点O 按逆时针方向旋转45°后再把模变倍得到向量1OZ ，那么与1OZ对应的复数是________（用代数形式表示）.3.求证：22||||z z z z ⋅==.4.已知复数z 与2(2)8i z +-都是纯虚数，求z .5.在复数集C 中解下列方程：（1）2490x +=；（2）(3)(5)20x x --+=.6.已知1510i z =+，234i z =-，12111z z z =+，求z .7.已知(12i)43i z +=+，求z 及zz.8.（1）求1i ，2i ，3i ，4i ，5i ，6i ，7i ，8i 的值；（2）由（1）推测()*i n n ∈N 的值有什么变化规律，并把这个规律用式子表示出来.9.已知复数()214i()z m m m =+-∈R ，22cos (3sin )i(,)z θλθλθ=++∈R ，并且12z z =，求λ的取值范围.10.在复平面的上半平面内有一个菱形OABC ，120AOC ∠=︒，点A 所对应的复数是2i +，求另外两个顶点B ，C 所对应的复数.【变式训练】11.已知i 是虚数单位，,a b 为实数，且3ii 2ia b -=-+，则a b +=()A.2B.1C.2-D.1-12.在复平面内，复数()i 2i z =-，其中i 是虚数单位，则复数z 对应的点Z 在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限13.已知复数z 满足3i 2i z z +=-，则||z =()A.1D.214.已知复数2221i (1i)z =+--，z 是z 的共轭复数，则z 的虚部为()A.2B.2iC.-2D.2i-15.已知a ∈R ，若复数()22232i z a a a a =--+++为纯虚数，则a =______.16.若复数z 满足()20222i i z -=（i 是虚数单位），则z =__________.17.设z 的共轭复数是z .若4z z +=，8z z ⋅=，则复数z z=_______________.18.复数z 满足12i 1zz+=-，则||z =____________.答案以及解析1.答案：（1）A （2）B （3）D （4）D解析：（1）由题意得(i)(i)()i a b c d ac bd ad bc ++=-++是实数，所以0ad bc +=.（2）因为52i i 2=---，所以其共轭复数为2i -+.（3）(3i)(2i)32(1)i m m m +-+=-+-.因为213m <<，所以320m ->，10m -<，即(3i)(2i)m +-+对应的点在第四象限.（4）sin 40i cos 40cos 310i sin 310︒︒-︒=+︒，故辐角主值是310°.2.答案：（1）34i -或34i--（2）12i55-（3）9i +（4）44i-+解析：（1）设4i()z a a =-∈R ，5=，3a ∴=±，34i z ∴=-或34i z =--.（2）12i z =- ，12i z ∴=+，故1112i 12i 12i 555z -===-+.（3）(65i)(34i)9iBA OA OB =-=+--+=+（4）()4i 4cos90isin 90=︒+︒ ，∴所求复数为())4cos90isin 90i cos 45isin 45︒+⨯︒+︒)cos135isin135i 44i22⎫=︒+︒=-+=-+⎪⎪⎭.3.答案：见解析解析：证明：设i(,)z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，22(i)(i)z z a b a b a b ∴⋅=+-=+，2222||z a b ==+，2222||z a b ==+，22||||z z z z ∴⋅==.4.答案：2iz =-解析：因为z 是纯虚数，可设i z b =（b ∈R 且0b ≠），所以()2222(2)8i (i 2)8i 44i 8i 4(48)i z b b b b b +-=+-=-+-=-+-.因为2(2)8i z +-是纯虚数，所以240,480,b b ⎧-=⎨-≠⎩解得2b =-，所以2i z =-.5.答案：（1）3i2x =±（2）3i2x =±解析：（1）22339i i 224⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴方程2490x +=的根为3i 2x =±.（2）原方程可转化为28170x x -+=，40∆=-< ，∴方程的根为82i4i 2x ±===±.即原方程的根为3i 2x =±.6.答案：55i2-解析：因为1510i z =+，234i z =-，所以1212121186i (86i)(5510i)5510i (5510i)(5510i)z z z z z z +++-+===++-(86i)(112i)42i 62525+-+==，所以2525(42i)55i 42i 202z -===-+.7.答案：2i z =+，34i55z z =+解析：设i(,)z a b a b =+∈R ，则i z a b =-.(12i)43i z +⋅=+ ，(12i)(i)43i a b ∴+-=+，即(2)(2)i 43i a b a b ++-=+，则必有24,2,23 1.a b a a b b ⎧+==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩2i z ∴=+.22i (2i)34i 34i 2i (2i)(2i)555z z +++∴====+--+.8.答案：（1）1i i =，2i 1=-，3i i =-，4i 1=，5i i =，6i 1=-，7i i =-，8i 1=.（2）当*n ∈N 时推测：41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，44i 1n +=.解析：9.答案：9,716λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解析：由12z z =得()24i 2cos (3sin )i m m θλθ+-=++，由复数相等的定义知，必有22cos ,43sin ,m m θλθ=⎧⎨-=+⎩得244cos 3sin θλθ-=+.()2244cos 3sin 441sin 3sin λθθθθ∴=--=---2223394sin 3sin 4sin sin 4sin 4816θθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.sin [1,1]θ∈- ，2max39417816λ⎛⎫∴=⨯---= ⎪⎝⎭，min 916λ=-.故9,716λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.10.答案：B ，C所对应的复数分别为311i 22⎛-++ ⎝，311i 22⎫--+⎪⎭解析：如答图，由题意可知，OAB △和OBC △均为等边三角形.又2i isin )OA θθ=+=+，其中θ为OA 的辐角.将OA 绕原点O 按逆时针方向旋转60°，120°可得OB ，OC，则()()()isin )cos 60isin 60cos 60isin 60OB θθθθ=+⋅+︒=+︒︒++︒⎤⎦，()()()isin )cos120isin120cos 120isin 120OC θθθθ=+⋅︒+︒=+︒++︒⎡⎤⎣⎦.又cos θ=sin θ=，()cos 60θ∴+︒=，()sin 60θ+︒=()cos 120θ+︒=()sin 120θ+︒=11i 22OB ⎛∴=-++ ⎝，11i 22OC ⎫=--+⎪⎭ ，∴B ，C 所对应的复数分别为311i 22⎛-++ ⎝，311i 22⎫--+⎪⎭.11.答案：A解析：由题意，得23i (2i)(i)22i i i a b b b -=+-=-+-=213,21(2)i,(2),b b b b a +=⎧+--∴⎨--=-⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩2a b ∴+=.故选A.12.答案：A解析：2i(2i)2i i 12i z =-=-=+ ，∴复数z 在复平面内所对应的点Z 的坐标为(1,2)，所以点Z 在第一象限.故选：A.13.答案：B解析：解法一：由已知得(2i)3i z -=+，|2i ||||3i |z ∴-=+||z =，||z ∴=.解法二：由已知得(2i)3i z -=+，3i (3i)(2i)551i 2i (2i)(2i)5iz ++++∴====+--+，||z ∴==.14.答案：C 解析：由题意得222212(1i)i 1i (1i)1i i (1i)(1i)z +=+=-=+=----+(1i)i 12i ++=+，12i z ∴=-，z ∴的虚部为-2.故选C.15.答案：2解析：因为()22232i z a a a a =--+++为纯虚数，所以2220320a a a a ⎧--=⎨++≠⎩，解得2a =.故答案为：2.16.答案：21i55--解析：因为()20222i i z -=，所以()()()2i 121i 2i 2i 2i 55z -+-===----+.故答案为：21i 55--.17.答案：i±解析：设i(,)z a b a b =+∈R ，因为4z z +=，所以2a =.又因为8z z ⋅=，所以248b +=，所以24b =.所以2b =±，即22i z =±，故i z z=±.18.答案：1解析：12i 1z z +=- ，12i(1)z z ∴+=-，即22i 1(2i 1)(12i)4i 2i 12i 34i 12i (12i)(12i)555z ----+-+====+++-，||1z ∴=.第八章立体几何初步学习目标整合1.空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）掌握球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.2.空间点、直线、平面之间的位置关系在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解基本事实和定理.3.直线、平面平行或垂直的判定及性质（1）了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系，归纳出性质定理和判定定理，并加以证明.（2）会解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.（3）能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.教材习题变式【课后习题】1.从多面体角度去考察棱柱、棱锥、棱台，填写下列表格：多面体顶点数V 棱数E 面数F V F E+-n 棱柱n 棱锥n 棱台2.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD =，3AD =，14AA =.（1）画出四棱柱1111ABCD A B C D -的直观图；（2）将四棱柱1111ABCD A B C D -补成一个长方体，并说出补上的几何体的名称.3.填空题（1）正方体的棱长扩大到原来的n 倍，则其表面积扩大到原来的______倍，体积扩大到原来的______倍；（2）球的半径扩大到原来的n 倍，则其表面积扩大到原来的______倍，体积扩大到原来的______倍.4.如图，一块边长为10cm 的正方形铁片上有四块阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积V （单位：cm ）表示为x （单位：cm ）的函数.5.三个平面可将空间分成几部分?请分情况说明.6.已知,,αβγ是三个平面，且a αβ= ，b αγ= ，c βγ= .（1）若a b O = ，求证：a ，b ，c 三线共点.（2）//a b ，则a 与c ，b 与c 有什么关系?为什么?7.如图，四边形A B C D ''''是ABCD 在平面α上的投影（//////AA BB CC DD ''''），求证：四边形A B C D ''''是平行四边形.8.如图，一块正方体形木料的上底面有一点E .若经过点E 在上底面上画一条直线与CE 垂直，则应该怎样画？9.如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D ，E 分别是AB ，PB 的中点.求证：（1）//DE 平面PAC ；（2）AB PB ⊥.10.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将AED △，BEF △，DCF △分别沿DE ，EF ，DF 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A '.（1）求证A D EF '⊥；（2）求三棱锥A EFD '-的体积.11.如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.求证：//PQ 平面BCD .12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：（1）1B D ⊥平面11A BC ；（2）1B D 与平面11A BC 的交点H 是11A C B △的重心.13.如图，在三棱锥P ABC -中，90ACB ∠=︒，PA 上底面ABC .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）AC BC PA ==，M 是PB 的中点，求AM 与平面PBC 所成角的正切值.14.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAD 是正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 是PD 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.15.从直线a ，b 和平面ω这三个空间元素中任取两个，若已知它们与第三个元素有平行或垂直关系，则所取的两个元素是否也有平行或垂直关系?你能得到哪些结论?写出一些你认为重要的.如果三个元素分别是直线m 、平面α和β，你能得到哪些结论?16.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.若直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊂/，l β⊂/，则().A.//αβ，//l αB.α与β相交，且交线平行于lC.αβ⊥，l β⊥ D.α与β相交，且交线垂直于l 【变式训练】17.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BB 的中点.若6AB =，则点B 到平面ACE 的距离等于()C.362 D.318.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 为等边三角形，底面ABCD 为正方形，E 为PA 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为()A.32 B.34 C.104 D.6419.已知a ，b 为两条不同直线，,αβ为两个不同的平面，给出以下四个命题：①若,//a b αα⊥，则a b ⊥；②//,a b b α⊂，则//a α；③若a ，b 是异面直线，,//,,//a a b b αββα⊂⊂，则//αβ；④若//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a b 或a ，b 是异面直线.其中假命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.320.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，122BB =E ，F ，M 分别为11C D ，11A D ，11B C 的中点，过点M 的平面α与平面DEF 平行，且与长方体的面相交，则交线围成的平面图形的面积为()A.5B.66C.12D.2421.已知圆锥的底面半径为2，高为1，经过圆锥顶点的平面α截此圆锥所得的截6，则平面α与底面所成的锐二面角的正切值为()A.12 B.1 C.12 D.22或122.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是()A.在平面11BDD B 内存在直线与平面EFG 平行B.在平面11BDD B 内存在直线与平面EFG 垂直C.平面1//AB C 平面EFGD.直线1AB 与EF 所成角为45°23.已知四棱锥SABCD 的底面是边长为2的正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA SD ⊥，SA SD =，则四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为(). A.823π B.6π C.8πD.9π24.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，1AA =.记异面直线1AB 与BD 所成的角为θ，则cos θ的值为________.25..若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________.26.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体O AEF-中，下列说法不正确的序号是______________.①AO⊥平面EOF；②AH⊥平面EOF；③AO EF⊥；⑤平面AOE⊥⊥；④AF OE平面AOF.27.如图，三棱锥A BCD-的所有顶点都在球O的表面上，平面ABD⊥平面BCD，===，BD=AB=，则球O的表面积为_______________.BC CD AD128.如图，在正三棱柱111-中，各棱长均为4，M，N分别是BC，1CC的ABC A B C中点.AMB；（1）求证：BN⊥平面1AMB所成角的余弦值.（2）求直线AB与平面129.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥.（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）若1AE A E =，3AB =，求四棱锥11E BB C C -的体积.30.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面,,2,3PCD PA CD CD AD ⊥==，(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD .(2)求证：PA ⊥平面PCD .(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.答案以及解析1.答案：多面体顶点数V 棱数E 面数F V F E +-n 棱柱2n 3n 2n +2n 棱锥1n +2n 1n +2n 棱台2n3n 2n +2解析：2.答案：（1）四棱柱1111ABCD A B C D -的直观图如图（1）.（2）补成的长方体如图（2），补上的几何体是三棱柱111BCE B C E -.解析：3.答案：（1）2n ；3n （2）2n ；3n 解析：4.答案：110)6V x x =<<解析：由题意，得cm BC x =，5cm EF =，且四边形ABCD 为正方形，c m 2x OF ∴=，OE ∴=.211110)336ABCD V S OE x x x ∴=⋅⋅==<<正方形.5.答案：三个平面可将空间分成4或6或7或8部分，它们的直观图如图：解析：6.答案：（1）见解析（2）//a c ，//b c .原因见解析解析：（1）a b O = ，O a ∴∈，O b ∈，a αβ= ，O β∴∈.又b αγ= ，O γ∴∈，∴O 为β与γ的公共点.又c βγ= ，O c ∴∈，∴a ，b ，c 三线共点.（2）解：//a c ，//b c ，原因如下：//a b ，b β⊂/，a β⊂，//b β∴.c β⊂ ，c γβ= ，b γ⊂，//b c ∴.同理可证//a c .7.答案：见解析解析：//////AA BB CC DD '''' ，AA '∴与BB '确定平面AA B B ''，CC '与DD '确定平面CCD D '.且//AA '平面CC D D ''.又在ABCD 中，//AB CD ，AB ⊂/平面CC D D ''，//AB ∴平面CC D D ''.又AA AB A '= ，AA '⊂平面AA B B ''，AB ⊂平面AA B B ''，∴平面//AA B B ''平面CC D D ''.易知平面AA B B A B α''''= ，平面CC D D CD α'''= ，//A B C '''∴.同理//B C A D ''''，∴四边形A B C D ''''是平行四边形.8.答案：见解析解析：如图，连接1C E .在上底面过点E 㤰直线1l C E ⊥即可.因为1CC ⊥面1111A B C D ，所以1CC l ⊥，根据作法知1l C E ⊥.又因为111C E C C C = ，所以l ⊥平面1CC E ，所以l CE ⊥.9.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1） D ，E 分别是AB ，PB 的中点，//DE AP ∴.又AP ⊂平面PAC ，DE ⊂/平面P AC ，//DE ∴平面PAC （2）PC ⊥ 底面ABC ，AB ⊂底面ABC ，PC AB ∴⊥.又AB BC ⊥ ，PC BC C = .AB ∴⊥平面PBC .PB ⊂ 平面PBC .AB PB ∴⊥.10.答案：（1）见解析（2）13解析：（1）折叠前，AD AE ⊥，CD CF ⊥，折叠后，A D A E ''⊥，A D A F ''⊥，又A E A F A '''= ，A D '∴⊥平面A EF '，A D EF '∴⊥.（2）由（1）可知，A D '⊥平面A EF '，∴棱锥D A EF '-的高2A D AD '==.又A EF '△折前为BEF △，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，111122A EF BEF S S '∴==⨯⨯=△△.111123323A EFD D A EFA EF V V S A D '''--'∴==⋅⋅=⨯⨯=△.。

(必修二)高中数学知识点复习资料

3、空间几何体的三视图与直观图（1）绘制三视图时的注意点①确定主视、俯视、左视的方向。

同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同。

②简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置。

③若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出。

（2）绘制几何体的直观图斜二测画法的规则：（横同，竖半，︒13545或角）①在已知图形中建立直角坐标系xOy 。

画直观图时，它们分别对应x '轴和y '轴，两轴交于点O '，且使 45='''∠y O x （或 135），它们确定的平面表示水平平面。

②已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴和y '轴的线段。

③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的21。

4、空间的点、线、面之间的位置关系（1）平面的基本性质：公理1： ααα⊂⇒⎭⎬⎫∈∈∈∈a B A a B a A ,, 确定直线在平面的依据。

公理2：A 、B 、C 三点不共线⇒A 、B 、C 确定一个平面确定平面的依据（a A a A ,⇒∉确定一个平面；b a A b a ,⇒=⋂确定一个平面；a ∥b a b ,⇒确定一个平面）公理3：⎩⎨⎧∈=⋂⇒⎭⎬⎫∈∈a A a A A βαβα⒈确定两个平面相交的依据；⒉证明点在直线的依据；⒊证明三点共线的依据。

（2）直线与直线的位置关系⎪⎩⎪⎨⎧------------)()(4公垂线段距离夹角所成角判定定义异面相交等角定理公理平行①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线。

②异面直线判定：l l B l B A ⇒∉⊂∈∉,,,ααα与直线AB 是异面直线③公理4：c a c b b a ////,//⇒④等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补（3）直线与平面的位置关系⎪⎩⎪⎨⎧----三垂线定理性质定理判定定理垂直的定义垂直相交性质定理判定定理平行的定义平行在平面内\\\)(\\（4）平面和平面的位置关系⎩⎨⎧----性质定理判定定理直二面角垂直定义垂直性质定理判定定理平行定义平行\\)(\\5、立几中平行、垂直证明构成几何体的基本元素是：点、线、面。

高一期末必修二数学知识点

高一期末必修二数学知识点高一期末考试即将到来，对于学习数学的同学来说，必修二的内容是一项重要的部分。

必修二的数学知识扎实，涵盖了初中数学的基础，并扩展至更高的层次。

在这篇文章里，我们将讨论一些必修二中的重要数学知识点，希望对同学们复习备考有所帮助。

一、函数与方程必修二的数学课程中，函数与方程是一个重要的模块。

在初中，我们已经学习了一元一次方程和一元二次方程，而高一必修二则进一步深化了对方程的理解和应用。

我们将学习到更复杂的方程解法，如配方法、因式分解、根与系数关系等。

此外，我们还会接触到一些新的函数表达形式，如指数函数、对数函数和三角函数等。

这些函数的性质和图像都是我们需要掌握的内容。

二、平面向量平面向量是必修二中的另一个重要内容。

在初中，我们已经学习了平面向量的基本概念和运算法则，而高中的必修二则进一步深化了对平面向量的应用。

我们将学习到更多有关向量的定理和性质，如向量共线、向量垂直、向量投影等。

平面向量的应用也是我们需要掌握的内容，如平面向量的平移、旋转、共点和共线等。

三、立体几何立体几何是必修二数学的另一大板块。

在初中，我们已经学习了一些简单的几何关系，如平行线和相似三角形等。

在高中必修二中，我们将学习到更复杂的几何关系，如平面与立体的关系、立体的体积与表面积计算等。

此外，我们还将学习到一些立体几何的定理，如皮亚诺公式、欧拉公式等。

这些几何定理和关系将帮助我们更好地理解和推导几何问题。

四、概率统计概率统计是必修二数学的最后一个部分。

在这一部分中，我们将学习有关概率和统计的基本概念和方法。

比如，我们将学习到事件的概率计算、事件的条件概率和互斥事件等。

此外，我们还将学习到统计的基本方法，如数据的收集、整理和分析等。

概率统计是数学与实际生活结合的部分，它能够帮助我们更好地理解和预测生活中的事件。

在高一期末考试中，必修二的数学知识点占据了相当大的比例，它们是我们数学学习的重要基础。

通过对这些知识点的复习和掌握，我们能够更好地应对考试，并在接下来的学习中打下坚实的数学基础。

数学高三必修二知识点归纳

数学高三必修二知识点归纳在高三阶段的数学学习中，必修二是重要的一门课程，其中涵盖了许多重要的数学知识点。

本篇文章将对高三数学必修二的知识点进行归纳总结，以便同学们更好地复习和掌握这些知识。

一、二次函数与一元二次方程1. 二次函数的定义与性质：- 二次函数的标准形式- 二次函数的图像及其性质- 二次函数的最值与求解- 二次函数与一次函数的关系2. 一元二次方程及其应用：- 一元二次方程的定义与性质- 一元二次方程的解的判别式- 一元二次方程的求解方法- 一元二次方程在实际问题中的应用二、概率与统计1. 随机事件与概率：- 随机事件的基本概念- 随机事件的运算与性质- 事件的互斥与对立事件- 概率的定义与性质- 概率计算的方法与应用2. 随机变量及其分布律：- 随机变量的概念与分类- 离散型随机变量与连续型随机变量 - 事件的概率分布律与密度函数- 随机变量的数学期望与方差三、三角函数1. 三角函数的定义与性质：- 弧度制与角度制的相互转换- 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义与性质 - 三角函数的图像与性质- 三角函数之间的基本关系与恒等式2. 三角函数的应用：- 三角函数在几何图形中的应用- 三角函数在物理问题中的应用- 三角函数在工程问题中的应用四、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质：- 数列的定义与常见类型- 等差数列与等比数列的性质- 通项公式与求和公式的推导与应用2. 数学归纳法：- 数学归纳法的基本思想与原理- 数学归纳法的应用以上所列的知识点只是高三数学必修二中的一部分，但它们是整个课程中最为基础和重要的内容。

在备考期间，同学们应该重点理解、掌握这些知识点，并通过大量的练习巩固。

同时，也要注重知识的联系和应用能力的培养，将数学知识与实际问题相结合，提高解决实际问题的能力。

通过巩固和掌握高三数学必修二的知识点，同学们可以更好地应对学校的考试和高考，为未来的学习打下坚实的基础。

希望同学们在学习数学的过程中能够坚持不懈，勤奋钻研，取得优异的成绩。

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必修二（一）多面体和旋转体1．多面体和旋转体的概念（1）棱柱：有两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都，由这些面围成的多面体叫做棱柱．（2）棱锥：有一个面是，其余各面都是，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（3）棱台：用一个去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．（4）圆柱：以为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．（5）圆锥：以为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．（6）圆台：①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②圆台还可以看成是以为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.（7）球：以为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．2．多面体和旋转体的面积和体积公式（1）圆柱的侧面积：；（2）圆锥的侧面积：；（3）圆台的侧面积：；（4）球的表面积：；（5）柱体的体积：；（6）锥体的体积：；（7）台体的体积：；（8）球的体积：.（二）画法1．我们把形成的投影，叫做中心投影，中心投影的投影线．2．我们把形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投影线是．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做，否则叫做．3．光线从几何体的，得到投影图叫做几何体的主视图；光线从几何体的，得到投影图叫做几何体的左视图；光线从几何体的，得到投影图叫做几何体的俯视图；几何体的主视图、左视图和俯视图统称为几何体的三视图．一般地，一个几何体的左视图和主视图一样，俯视图与正视图一样，侧视图与俯视图一样．一般地，左视图在主视图的右边，俯视图在主视图的下边．4．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取的x轴和y轴，两轴交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使x O y'''∠=（或），它们确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成于x'轴或y'轴的线段．（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中，平行于y轴的线段，长度为．（三）点线面位置关系1．四个公理公理1如果一条直线上的，那么这条直线在此平面内；公理2过，有且只有一个平面；公理3如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们过该点的公共直线；公理4的两条直线互相平行；2．异面直线（1）我们把的两条直线叫做异面直线．（2）空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩ 直　线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线直　线：同一平面内，没有公共点；直　线：不同在任何一个平面内，没有公共点.（3）已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（4）定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角．3．空间中直线与平面之间的位置关系：（1）——有无数个公共点；（2）——有且只有一个公共点；（3）——没有公共点；直线与平面的情况统称为直线在平面外．4．平面与平面之间的位置关系：（1）——没有公共点；（2）——有一条公共直线．（四）平行问题1．定义：，则称此直线l与平面α平面，记作；直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与平行，则该直线与此平面平行；用符号表示：．2．直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过与该直线平行；用符号表示：．3．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的另一个平面平行，则这两个平面平行；用符号表示:几个结论：①如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；4．平面与平面平行的性质定理：；且符号表示：．5．直线与平面垂直的性质定理：用符号表示：．（五）垂直问题1．定义：如果直线l和平面α内的都垂直，那么直线l和平面α垂直，记作．2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：3．直线与平面垂直的性质定理：．用符号表示：．4．平面与平面垂直的判定定理：用符号表示：．5．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示：．几个结论：①如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面；②如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．．（七）直线的概念与方程1、直线倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,我们取为基准, x轴的与直线l所成的角α叫做直线l的倾斜角.并规定:直线l与x轴时,它的倾斜角为ο0.直线的倾斜角的取值范围是 .2、直线斜率的概念：把一条直线倾斜角的叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示.直线倾斜角α与斜率k的关系式为 .当k= 时,直线平行于x轴或者与x轴重合;当k 0时,直线的倾斜角为锐角;当k<0时,直线的倾斜角为;倾斜角为的直线没有斜率.3、两点斜率公式：直线上两点A(1x,1y),B(2x,2y),当1x=2x时,直线的斜率,当1x≠2x时,直线的斜率为_______=k.4、直线方程的点斜式:设直线l经过点),(yxP,且斜率为k,则方程称为直线方程的点斜式.当直线的斜率不存在时,不能够用点斜式来表示,直线方程此时为5、直线方程的斜截式：直线方程bkxy+=由直线的斜率k和它在y轴上的截距b确定,所以方程bkxy+=被称为直线方程的斜截式.斜率不存在时,直线方程斜截式不存在.6、直线方程的两点式：已知经过两点),)(,(),,(2121222111yyxxyxPyxP≠≠的直线方程为121121xxxxyyyy--=--称为直线方程为直线方程的两点式.直线两点式方程的前提是直线的斜率存在且斜率不为0.7、直线方程的截距式直线在上的截距为a,在上的截距为b,则直线方程称为直线方程的截距式.应用截距式的前提有斜率存在且不为．．．．．．．．0,．．还要求直线不能过原点．．．．．．．．．．.．8、直线方程的一般式：二元一次方程)0,(0不同时为BACByAx=++表示的直线方程称为直线方程的一般形式.当0≠B时,可变形为,它表示一条斜率为且在y轴上截距为的直线;（八）直线的关系和距离1、直线平行的条件：两条不重合的直线21l l 、，根据两条直线平行的定义及性质可知1l //212αα=⇔l ,再由k 与α的关系可知:21//l l 时或者21k k 、均；反之21k k =或者21k k 、均不存在时两条直线平行。

考查两条直线平行时，应首先考虑斜率是否存在．．．．．．。

2、直线垂直的条件：两条直线21l l 、的倾斜角为21,αα则两条直线21l l ⊥ο90||21=-⇔αα .根据两条直线的斜率判断两条直线垂直的情况分为两类,一是:其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 ;二是:两条直线的斜率都存在,且乘积为 .3、直线0:1111=++C y B x A l ,直线0:2222=++C y B x A l ,重合的条件是: 平行的条件是 . 垂直的条件是: .4、两条直线交点的求法：直线0:1111=++C y B x A l ,直线0:2221=++C y B x A l .两条直线相交的条件是，直线的交点的坐标为方程组的解.5、两点间的距离公式：平面内任意两点A ),(11y x ,B ),(22y x 之间的距离为|AB|= , 当21x x =时|AB|= ; 当21y y =时|AB|= .6、点到直线的距离公式：平面内任意一点P ),(00y x 到任意一条直线0:=++C By Ax l 的距离为 ,特别的,当B=0时 ,当A=0时 .7、两平行线的距离：直线0:1111=++C y B x A l 与0:2112=++C y B x A l 平行,则 .（九）圆的方程1.圆的标准方程的意义当圆心位置和半径的大小确定后,圆就唯一确定了，根据圆的定义和两点间的距离公式，得到圆的标准方程，圆心，半径r (r>0），所以判断点与圆的位置关系，只需判断与半径的大小关系即可。

2.圆的一般方程方程022=++++F Ey Dx y x ，则可变形为 44)2()2(2222F E D F y D x -+=+++,只有当时，才表示圆，圆心（），半径 ,当F E D 422-+＝时，表示点（），若F E D 422-+<0，。

（十）直线和圆圆和圆位置关系 1.点和圆的位置关系①点到圆心距离半径，点在圆上； ②点到圆心的距离半径，点在圆内； ③点到圆心的距离半径，点在圆外. 2.直线与圆有三种位置关系①直线与圆，有两个公共点； ②直线与圆，只有一个公共点； ③直线与圆，没有公共点； 3. 判断直线与圆的位置关系的方法有两种①设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，若，直线与圆相交；若，直线与圆相切；若，直线与圆相离。

②直线与圆的方程组成方程组，若方程组有解，则直线与圆相交；若方程组有解，则直线与圆相切；若方程组解，则直线与圆相离.4. 判断圆与圆的位置关系:设两圆的半径分别为21,r r ，两圆的圆心距为d ，则时，两圆外离；时，两圆外切；时，两圆相交；时，两圆内切；时，两圆内含.单元测试一空间几何体一、选择题（每题4分，共32分）1、下面关于平面的说法中正确的是（）A.平行四边形是一个平面；B.平面是有边界线的；C.平面有的厚有的薄；D.平面是无限延展的。

2、一条直线平行移动，生成的面一定是（）A.平面 B.曲面 C.平面或曲面 D.锥面 3、在三棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4、两条相交直线的平行投影是（）A ．两条相交直线B ．一条直线C ．一条折线D ．两条相交直线或一条直线 5、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对6、下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A C D 7．棱长为1的正三棱锥的表面积是（）A.3 B. 2 C. 3 D.4 338.设六正棱锥的底面边长为1，侧棱长为5 ，那么它的体积为（）A 6 3B 3C 2 3D 2二、填空题（每题8分，共48分）9、画三视图的原则：，，。

注意：在三视图被挡住的轮廓线画成线。

10、直棱柱的侧面积等于它的和的乘积。

正棱锥的侧面积等于它的和的乘积的一半。

正棱台的侧面积等于它的和的乘积的一半。