2017-2018年四川省泸州市泸县九年级(上)期中数学试卷和答案

2017-2018学年四川省泸州市泸县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）方程x2﹣3x=0的解是（）A．x=3 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=1，x2=﹣33．（3分）抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）4．（3分）如图，⊙O的弦AB=8，OM⊥AB于点M，且OM=3，则⊙O的半径为（）A．8 B．4 C．10 D．55．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m=0的常数项为0，则m 的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．06．（3分）2015年日照市人民政府投入1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到2017年再追加投资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么我市这两年该项投入的平均增长率为（）A．1.21% B．8% C．10% D．12.1%7．（3分）如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠ACB=50°，则∠AOB等于（）A．130°B．100°C．50°D．40°8．（3分）若α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2017 B．0 C．2015 D．20199．（3分）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度为（）A．3m B．m C．4m D．9m10．（3分）已知二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k 的取值范围为（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠011．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），将OA绕原点O 逆时针旋转90°得到OA′，点A′的坐标为（a，b），则a﹣b等于（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．1二、填空题（每小题3分，共12分）13．（3分）当m=关于x的方程（m+2）x+2x﹣1=0是一元二次方程．14．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是．15．（3分）点P（5，﹣3）关于原点的对称点的坐标为．16．（3分）若点P到⊙O圆周上的最大距离为8cm，最小距离为2cm，则⊙O 的半径为．三、（每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：3x2+10=2x2+7x．18．（6分）（3x﹣2）2=4（3﹣x）2．19．（6分）已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3），求此二次函数的关系式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大．四、（每小题7分，共14分）20．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2．21．（7分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？五、（每小题8分，共16分）22．（8分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=5，求△ABC外接圆的半径．23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0，（1）求证：不论M为任何实数，方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且满足=﹣，求m的值．六、（每小题12分，共24分）24．（12分）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．25．（12分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0）、C（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB 交于点P，求P点的坐标；（3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标．2017-2018学年四川省泸州市泸县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．2．（3分）方程x2﹣3x=0的解是（）A．x=3 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=1，x2=﹣3【解答】解：方程变形得：x（x﹣3）=0，可得x=0或x﹣3=0，解得：x1=0，x2=3．故选：B．3．（3分）抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣1，∴抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），故选：D．4．（3分）如图，⊙O的弦AB=8，OM⊥AB于点M，且OM=3，则⊙O的半径为（）A．8 B．4 C．10 D．5【解答】解：∵OM⊥AB，∴AM=AB=4，由勾股定理得：OA===5；故选：D．5．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m=0的常数项为0，则m 的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．0【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m=0的常数项为0，∴，解m﹣2≠0得m≠2；解m2﹣2m=0得m=0或2．∴m=0．故选：D．6．（3分）2015年日照市人民政府投入1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到2017年再追加投资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么我市这两年该项投入的平均增长率为（）A．1.21% B．8% C．10% D．12.1%【解答】解：设我市这两年该项投入的平均增长率为x，依题意得：1000×（1+x）2=210+1000，解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）．即我市这两年该项投入的平均增长率为10%．故选：C．7．（3分）如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠ACB=50°，则∠AOB等于（）A．130°B．100°C．50°D．40°【解答】解：∵∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠ACB=100°．故选：B．8．（3分）若α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2017 B．0 C．2015 D．2019【解答】解：∵α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，∴α2+2α=2017，α+β=﹣2，∴α2+3α+β=α2+2α+α+β=2017﹣2=2015，故选：C．9．（3分）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度为（）A．3m B．m C．4m D．9m【解答】解：由已知AB=12m知：点B的横坐标为6．把x=6代入y=﹣，得y=﹣9．即水面离桥顶的高度为9m．故选：D．10．（3分）已知二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k 的取值范围为（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0【解答】解：令y=0，则kx2﹣6x﹣9=0．∵二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9=0有两个不相等的解，∴，解得：k＞﹣1且k≠0．故选：B．11．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误；∵抛物线开口向下，x=﹣1是对称轴，所以x=﹣1对应的y值是最大值，∴a﹣b+c＞2，所以④正确．故选：C．12．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），将OA绕原点O 逆时针旋转90°得到OA′，点A′的坐标为（a，b），则a﹣b等于（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．1【解答】解：由图知A点的坐标为（﹣1，﹣2），根据旋转中心O，旋转方向逆时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（﹣2，﹣1），﹣2﹣（﹣1）=﹣1．故选：B．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（3分）当m=2关于x的方程（m+2）x+2x﹣1=0是一元二次方程．【解答】解：由题意，得m2﹣2=2，且m+2≠0，解得m=2，故答案为：2．14．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是1．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m=0，解得：m=1．故答案为：1．15．（3分）点P（5，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（﹣5，3）．【解答】解：∵5的相反数是﹣5，﹣3的相反数是3，∴点P（5，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（﹣5，3），故答案为：（﹣5，3）．16．（3分）若点P到⊙O圆周上的最大距离为8cm，最小距离为2cm，则⊙O 的半径为5cm或3cm．【解答】解：①当点P在圆内时，⊙O的直径长为8+2=10（cm），半径为5cm；②当点P在圆外时，⊙O的直径长为8﹣2=6（cm），半径为3cm；综上所述：⊙O的半径长为5cm或3cm．故答案为：5cm或3cm．三、（每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：3x2+10=2x2+7x．【解答】解：原方程变形为：x2﹣7x+10=0，分解因式，得（x﹣2）（x﹣5）=0，∴x﹣2=0或x﹣5=0，即原方程的根为：x1=2，x2=5．18．（6分）（3x﹣2）2=4（3﹣x）2．【解答】解：（3x﹣2）2=4（3﹣x）2，移项得：（3x﹣2）2﹣4（3﹣x）2=0，分解因式得：[（3x﹣2）+2（3﹣x）][（3x﹣2）﹣2（3﹣x）]=0，可得x+4=0或5x﹣8=0，解得：x1=﹣4，x2=．19．（6分）已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3），求此二次函数的关系式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大．【解答】解：根据题意得y=a（x﹣2）2，把（1，﹣3）代入得a=﹣3，所以二次函数解析式为y=﹣3（x﹣2）2，因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，所以当x＜2时，y随x的增大而增大．四、（每小题7分，共14分）20．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（﹣2，﹣4）；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求21．（7分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？【解答】解：设此时销售单价为（80﹣x）元/件，则每天的销售量为（50+5x）件，根据题意得：（80﹣x﹣40）（50+5x）=3000，整理得：x2﹣30x+200=0，解得：x1=10，x2=20，∵80﹣x≥65，∴x≤15，∴x=10，∴80﹣x=80﹣10=70．答：此时销售单价为70元/件．五、（每小题8分，共16分）22．（8分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=5，求△ABC外接圆的半径．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，．…（1分）∴=，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，…（2分）∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，…（3分）∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；…（4分）（2）解：连接CD，如图所示：…（5分）由（1）得：=，∴CD=BD=5，…（6分）∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==5，…（7分）∴△ABC外接圆的半径：r=×=．…（8分）23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0，（1）求证：不论M为任何实数，方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且满足=﹣，求m的值．【解答】（1）证明：△=（4m+1）2﹣4（2m﹣1）=16m2+8m+1﹣8m+4=16m2+5，∵16m2≥0，∴△＞0，∴不论M为任何实数，方程有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得x1+x2=﹣（4m+1），x1x2=2m﹣1，∵=﹣，∴=﹣，∴=﹣，∴m=﹣．六、（每小题12分，共24分）24．（12分）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．【解答】解：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE，已知D为⊙O的一点，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，∴OC=2+3=5，OD=3，在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90°，设DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，则（4+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，即BE=6．25．（12分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0）、C（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB 交于点P，求P点的坐标；（3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）把点A（3，0）、C（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中，当x=0时，y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴∴，∴直线AB的解析式为y=﹣x+3，当x=1时，y=2，∴P （1，2）；（3）设Q （m ，﹣m 2+2m +3），△QAB 的面积为S ，连接QA ，QB ，OQ ，则S=S △OBQ +S △AOQ ﹣S △AOB=×3m +×3（﹣m 2+2m +3）﹣3×3=﹣m 2+m=﹣（m ﹣）2+∴当m=，时S 最大，此时∴Q （，）．。