河南省郑州市XXXX届高中毕业年级第二次质量预测数学(理)附答案

2011年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学 参考答案
一、选择题
BACCD DAACD BB 二、填空题 13.1；
14.(5π； 15.10； 16.(,1)(0,1)-∞-⋃.
三、解答题
17.解：⑴由题意2n n S a =-， ①
当2n ≥时，112n n S a --=-， ②
①-②得 11n n n n n a S S a a --=-=-， 即 11
2
n n a a -=， 又11112,1a S a a ==-∴=， 故数列{}n a 是以1为首项，
12为公比的等比数列，所以11
2
n n a -=； 由112(2)n n n b b b n -++=≥知，数列{}n b 是等差数列，设其公差为d ，
则5371
()92b b b =+=，所以5124
b b d -==，1(1)21n b b n d n =+-=-； 综上，数列{}n a 和{}n b 的通项公式为11
,212
n n n a b n -==-．
⑵1(21)2n n
n n
b c n a -=
=-⋅，
1230
1
2
1
=123252(21)2,
n n
n T c c c c n -=+++
+⨯+⨯+⨯++-⨯ ③
12
12 1232(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+
+-⨯+-⨯， ④
③-④得 123
112(2222)(21)2n n n T n --=++++
+--⋅，
整理得 2212(21)2(23)2312
n
n n n T n n --=+⨯
--⋅=--⋅--， 所以(23)23n
n T n =-⋅+．
18.解：⑴由题意，甲、乙两班均有学生50人， 甲班优秀人数为30人，优秀率为
30
60%50
=，
乙班优秀人数为25人，优秀率为
25
50%50
=， 所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%． ⑵
优秀人数 非优秀人数 合计 甲班 30 20 50 乙班 25 25 50 合计
55
45
100
分
注意到22
100(30252025)100
1.0105050554599
K ⨯⨯-⨯=
=≈⨯⨯⨯， 所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数
学应用题’得分率”有帮助. 19.解：⑴在1Rt A AD ∆中，11190,2,1
, 3.A AD A A AD A D ∠===∴= 注意到点C 到面111A B C 的距离即为四棱柱1111ABCD A B C D -的高1A D 的长， 所以11111113
32V A B B C A D =
⨯⨯⨯⨯=． ⑵以点D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O xyz -， 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3)D A B A ，
111(0,1,3),(1,0,3),(1,1,3)B D C --，
11(2,1,3),(1,0,0),(0,1,3)BD DA DB ∴=--==，
设平面1ADB 的法向量(,,)m x y z =，
由10
m DA m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得平面1ADB 的一个法向量为(0,3,1)m =-， 记直线1BD 与平面1ADB 所成的角为α，则116
sin |
|||||
BD m BD m α⋅==⋅，
所以直线1BD 与平面1ADB 所成角的正弦值为
6
． ⑶
113,(,0,)1AP PA P λ
λλ=∴+，
又1111(1,0,0),(
,1,)11B C B P λλ
=-=--++， 设平面11B C P 的法向量(,,)n a b c =，
由1110
n B C n B P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得平面11B C P
的一个法向量为(0,n =-， 则3
1
1cos30||||21m n m n +⋅=
=
， 注意到0λ>，解得2λ=为所求．
20.1
2=-，
整理得22
12x y +=， 所以所求轨迹E 的方程为221(0)2
x y y +=
≠， ⑵当直线l 与x 轴重合时，与轨迹E 无交点，不合题意； 当直线l 与x 轴垂直时，:1l x =
，此时(1,
(1,)22
M N -，以MN 为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(1,0)2
±
，不合题意； 当直线l 与x 轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线:(1)(0)l y k x k =-≠，
1122(,),(,),M x y N x y MN 的中点1212(
,(1))22
x x x x
Q k ++-， 由22
(1),
1,2
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2
222
(21)4
220k x k x k +-+-=，
由212242(21),k x k x ⎧+=⎪+⎪
⎨⎪=⎪⎩
得212221224,
2122,
21k
x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
所以22
22(,)2121
k k
Q k k -++，
则线段MN 的中垂线m 的方程为：2
2212()2121
k
k y x k k k +
=--++， 整理得直线2
:21
x k
m y k k =-
++， 则直线m 与y 轴的交点2(0,)21
k
R k +，
注意到以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，
当且仅当RM RN ⊥,
即112222
(,)(,)02121
k
k
RM RN x y x y k k ⋅=-
⋅-=++ ， 2121212222
()021(21)k
k x x y y y y k k +-
++=++， ① 由22
12121221212
2[()1],212(2),
21k y y k x x x x k k y y k x x k ⎧=-++=-⎪⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩
② 将②代入①解得 1k =±，即直线l 的方程为(1)y x =±-， 综上，所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．
21.解：⑴证明：记2
()()()2ln u x f x h x x e x =-=-，则2()2e
u x x x
'=-， 令()0u x '>，注意到1
2
x >
，可得x > 所以函数()u x
在1(2
上单调递减，在)+∞上单调递增．
min ()0u x u f h e e ==-=-=，即()0u x ≥，
所以()()f x h x ≥． ⑵由⑴知，()()f x h x ≥对1
2
x >
恒成立，当且仅当x = 记2
()()()2ln 4v x h x g x e x x px q =-=+--，则
“()0v x ≥恒成立”与“函数(),()f x g x 的图象有且仅有一个公共点”同时成立， 即()0v x ≥对1
2
x >
恒成立，当且仅当x = 所以函数()v x
在x =
注意到2282()8e x px e v x x p x x
-+'=+-=， 由()0v e '=，解得10p e =， 此时8()()2()e
x e x v x x
--
'=，
由12x >
知，函数()v x 在1
(,)2
e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增， 即min ()()()()5v x v e h e g e e q ==-=--=0，5q e =-， 综上，两个条件能同时成立，此时10,5p e q e ==-．
22. 证明：⑴连接CH ，
,AC AH AK AE ==，
∴四边形CHEK 为等腰梯形，
注意到等腰梯形的对角互补，
故,,,C H E K 四点共圆，
同理,,,C E H M 四点共圆，
即,,,E H M K 均在点,,C E H 所确定的圆上，证毕．
⑵连结EM ，由⑴得,,,,E H M C K 五点共圆， CEHM 为等腰梯形，EM HC ∴=， 故MKE CEH ∠=∠，
由KE EH =可得KME ECH ∠=∠， 故MKE CEH ∆≅∆，
即3KM EC ==为所求．
23.解：
2222222()()()2()()()()ac bd ac bd abcd ac bd ad bc +=++≤+++
2
2
2
2
()()2a b c d =++=，
||2ac bd ∴+≤，即22ac bd -≤+≤ ，
当且仅当ad bc =，即
2c d
a b
==时取最大值2 ， 综上ac bd +的最大值为2．。