2020届广东省佛山市第二中学高三下学期第七次月考理科数学试题及答案(解析版)

2020届广东省佛山市第二中学高三下学期第七次月考数学试题（理科）一、单选题1．已知集合{}2|540A x x x =+-<，13B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()A B =R I ð（ ）A ．14,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．14,35⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】化简集合,A B ，求得B R ð，根据交集定义，即可求得答案． 【详解】Q {}()(){}24|540=|54101,5A x x x x x x ⎛⎫=+-<-+<=- ⎪⎝⎭∴41,5A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭又Q 11,33B x x ⎧⎫⎛⎫=<=-∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∴1,3R B ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭ð故()41141,,,5335R A B ⎛⎫⎡⎫⎡⎫-+∞= ⎪⎪⎪⎢⎢⎝⎭⎣⎭=⎭⎣I I ð 故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合运算，解题关键是掌握集合运算的基础知识和一元二次不等式的解法，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2．已知实数a ，b 满足()()14a bi i i +⋅+=，其中i 是虚数单位，若4z a bi =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义，即可求得答案.实数,a b 满足()()14a bi i i +⋅+=其中i 是虚数单位，∴4()a b a b i i -++=，可得04a b a b -=⎧⎨+=⎩解得2a b ==.422z a bi i =+-=-+,则在复平面内,复数z 所对应的点()2,2-位于第二象限 故选：B. 【点睛】本题主要考查了根据复数相等求参数和复数的几何意义，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3．已知实数a ，b 满足11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．11a b> B ．22log log a b >C ．<D ．sin sin a b >【答案】B【解析】首先利用指数函数的性质得到a ，b 的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案. 【详解】Q 11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由指数函数的单调性, 可得：0a b >>对于A ，由0a b >>，可得11a b<，故A 错误； 对于B ，由0a b >>，可得22log log a b >，故B 正确；对于C ，由0a b >>>C 错误；对于D ，根据sin y x =图象可得，由0a b >>，sin a 与sin b 的大小无法确定，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．已知非零向量a v ，b v 满足4b a =v v ，且()2a a b ⊥+vv v ，则a v 与b v 的夹角为( )A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】利用向量数量积定义以及向量垂直表示化简条件，解得夹角. 【详解】 由已知可得，设a b rr与的夹角为，则有，又因为，所以，故选C. 【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量垂直表示，考查基本求解能力. 5．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．89-B ．89C ．79D ．79-【答案】C【解析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果.【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.6．若函数()()222,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,17 B ．(],17-∞ C ．[]1,17 D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】要求函数()f x 的最大值，可先分别探究函数()122,1xf x x =+≤与()()22log 1,1f x x x =->的单调性，从而得到()f x 的最大值．【详解】易知()122,1xf x x =+≤在(],1-∞上单调递增，()()22log 1,1f x x x =->()1,+∞上单调递增.因为()14f =，()174f =，所以a 的取值范围为[]1,17. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.7．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A ．154- B ．358+-C ．514-D ．458+-【答案】C【解析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换112cos724BCAC ︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒．【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且112cos724BCAC ︒==，2cos1442cos 721︒=︒-=， 则()1sin 234sin 14490cos1444︒=︒+︒=︒=-. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力. 8．已知函数()2333cos 4sin 2222x f x x x =+-，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 的周期为23π B ．函数()f x 的一条对称轴为9x π=-C ．函数()f x 在10,9ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 的最小值为4-【答案】C【解析】化简()2333cos 4sin 2222x f x x x =+-，可得()4sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐项判断，即可求得答案.【详解】()2333cos 4sin 2222x f x x x =+-1cos33422xx -=+⨯-32cos3x x =-4sin 36x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ，函数()f x 的周期为：23T π=,故A 说法正确；对于B ，Q 9x π=-时，4sin 4936f πππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴9x π=-是函数()f x 的一条对称轴，故B 说法正确；对于C ，当109x ππ-≤≤-时， 21193666x πππ-≤-≤-此时()f x 不单调，故C 说法错误；对于D ， ()4sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭Q∴函数()f x 的最小值为4-，故D 说法正确，故选：C. 【点睛】解题关键是掌握三角函数的基础知识和正弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象的一部分如下图所示，若()()0f ax a >在5,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】根已知条件求得()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得()sin 23f ax ax π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据()()0f ax a >在5,ππ⎛⎫-⎪上是单调递增函数，即可求得答案.【详解】由图可知1A =，函数的周期为T 则143124T πππ=-=，可得T π= 又Q2ππω=，故可得2ω=则()sin(2)f x x ϕ=+又Q ,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上，则2sin 0,||32ππϕϕ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭故3πϕ=∴()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故函数()sin 23f ax ax π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为 222,232k ax k k Z πππππ-≤+≤+∈可得5,,01212k k x k Z a a a a aππππ-≤≤+∈> 即5,,1212k k k Z a a a a ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦又Q 在5,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是单调递增函数 ∴55412124a a ππππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得103a <≤故选:C. 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图象求解函数表达式和根据三角函数在指定区间上单调性求参数范围，解题关键是掌握三角形函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1AA ，BC ，11C D 的中点，③//AC 平面EFG .其中所有正确结论的编号是（ ） A ．① B ．②③C ．①②D ．①③【答案】D【解析】①计算出三边是否相等；②平移1A G 与1C F ，使得它们的平行线交于一点，解三角形求角的大小；③探究平面EFG 内是否有与AC 平行的直线． 【详解】易证EFG ∆的三边相等，所以它是正三角形.平面EFG 截正方体所得截面为正六边形，且该截面与1CC 的交点为1CC 的中点N ， 易证//AC EN ，从而//AC 平面EFG .取11A B 的中点H ，连接1C H ，FH ，则11//AG C H ，易知11C H C F HF =≠， 所以1C H 与1C F 所成角不可能是60︒，从而异面直线1A G 与1C F 所成角不是60︒. 故①③正确. 【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.11．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与E的渐近线交于,B C 两点，若20BC BA +=u u u r u u u r r ，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ）A ．3y x =±B ．4y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±【答案】D【解析】直线l:y=-x+a 与渐近线1:0l bx ay -=交于2,a ab B a b a b ⎛⎫⎪++⎝⎭,直线l:y=-x+a 与渐近线2:0l bx ay +=交于2,a ab B a b a b ⎛⎫⎪--⎝⎭,A (),0a ,因为20BC BA u u u r u u u r r +=,所以3AC AB =u u u r u u u r ,223,2,a a a a b a a b a b ⎛⎫∴-=-∴=∴ ⎪-+⎝⎭双曲线E 的渐近线方程为2y x =±,故选D.点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,先求出过右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入20BC BA u u u r u u u r r+=中,通过化简计算,即可得到a,b 的关系式,结合双曲线中222c a b =+,即可求得离心率.12．设函数()xf x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A ．()(),66,-∞-⋃∞ B ．()(),44,-∞-⋃∞ C ．()(),22,-∞-⋃∞ D ．()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C【解析】由题意知：()f x 的极值为()203f x ⎡⎤=⎣⎦，因为0()0x f x mmππ='=，所以0,2x k k z mπππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即01122x k m =+≥，所以02m x ≥，即2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.【考点】本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.二、填空题13．随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活.网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为_________. 【答案】0.42【解析】要求概率，可先分析概率模型，再用公式求解． 【详解】题目可转化为独立重复试验，即重复做2次试验，每次事件发生的概率为0.7， 则恰有1次发生的概率为()120.710.70.42C ⨯⨯-=.【点睛】本题考查独立重复试验，考查应用意识与数学抽象的核心素养. 14．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知sin 2cos cos 2cos cos a A b A C c A B =+，则tan A =______.【答案】2【解析】要求tan A 的值，可考虑将已知条件化成三角函数式的形式，利用三角恒等式化简计算． 【详解】因为sin 2cos cos 2cos cos a A b A C c A B =+，2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C =⋅=⋅=⋅，所以()()2sin 2cos sin cos cos sin 2cos sin 2cos sin A A B C B C A B C A A =+=+=，所以tan 2A =. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查运算求解能力.15．已知点(),x y 满足34626x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则yx 的取值范围为______.【答案】[]2,1-【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的斜率公式进行求解,即可求得答【详解】作出不等式组对应的平面区域如图，Qyx的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 由图象知OA 的斜率最小，OC 的斜率最大， 由2646x y x y +=⎧⎨-=⎩,可得()2,2C此时OC 斜率1OC k =由346x y x y -=⎧⎨-=⎩,可得()1,2B -此时OB 斜率2OB k =-， 则yx的取值范围为[]2,1- 故答案为：[]2,1-. 【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=.若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____；当四棱锥P ABCD -的体积取得最大值时，二面角A PC D --的正切值为_______.【答案】6π5【解析】(1)．要求球O 的表面积的最小值，需求出球O 的表面积的算式，为此又需求出球O 的半径，从而根据算式的特点，用函数的单调性或不等式求出最小值． (2)．列出四棱锥P ABCD -的体积的算式，求出体积取得最大值时变量的取值，从而求出二面角A PC D --的正切值． 【详解】(1)．设()03CD x x =<<，则3PD x =-.∵AB ⊥平面PAD ， ∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥， ∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，从而球O 的表面积为()()22222343126x x x x πππ++-⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝⎭.(2)．四棱锥P ABCD -的体积()()213033V x x x =⨯-<<， 则22V x x '=-+，当02x <<时，0V '>；当23x <<时，0V '<. 故()max 2V V =，此时2AD CD ==，1PD =. 过D 作DH PC ⊥于H ，连接AH ， 则AHD ∠为二面角A PC D --的平面角. ∵2555DH ==，∴tan 5AD AHD DH ∠==【点睛】本题考查四棱锥的体积与球体的表面积，考查函数与方程的数学思想以及直观想象的数学核心素养.当棱锥中有线面垂直的条件时，可考虑将棱锥补形成长方体，简化思考便于计算． 找二面角平面角的常用方法有：定义法，三垂线法．三、解答题17．已知数列{}n a 满足()1*3212122222n n n a a a a n N +-+++⋅⋅⋅+=-∈，4log n n b a =. （1）求数列{}n a 的通项公式： （2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ；（3）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S . 【答案】（1）212n na -=.（2）421n nT n =+.（3）659594n n n S -+⋅= 【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式，即可求得答案； （2）由212n na -=，可得21421log 22n n n b --==，111122121n n b b n n +⎛⎫=- ⎪⋅-+⎝⎭，进一步利用裂项相消法求出数列的和，即可求得答案； （3）由212n na -=，212n n b -=，可得()()21212n n n n a b --⋅⋅=，根据错位相减求和，即可求得答案. 【详解】（1）当.1n =，12a = 当2n ≥时，由13212122222n n n a a a a +-+++⋯+=-可得31212222222n n n a a a a --+++⋯+=- 两式相减可得：122nn n a -= 即212n na -=且上式对于1n =也成立，∴数列{}n a 的通项公式为：212n n a -=（2）Q212n n a -=21421log 22n n n b --==114112(21)(21)2121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭∴∴12231111n n n T b b b b b b +=++⋯+⋅⋅⋅ 11111213352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14212121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ （3）212n n a -=Q ，212n n b -=∴()()21212122122n n n n n n a b ---⋅-⋅⋅== ()()()()2221024123252232212n n n S n n --∴=+++++⋅⋅⋅⋯-⋅-⋅——①()()()21222461232522322122n n n S n n -⋅⋅⋅⋯-⋅-∴+++⋅=++——②由①-②可得：()()42106223122222222212+2n n n S n --⋅⋅⋅⋅=+++⋅-⋅⋯+-()()()121032312244442+21n n n S n -=++++--⋅⋅⋯-⋅()()102414312221214+n n n S n ---⋅⋅-⋅-=-()()14143122143n n n S n -=----⋅-⋅()()14143122143n n n S n -=----⋅-⋅∴659594n n n S -+⋅=【点睛】本题考查求数列通项公式和求数列和，解题关键是掌握常见数列求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．已知三棱柱111ABC A B C -中，1222AA AB AC ===，90BAC ∠=︒，1120BAA ∠=︒.（1）求证：AB ⊥平面1AB C ；（2）若11B C AA =，求平面11AB C 与平面1BCB 所成二面角的余弦值. 【答案】（1）答案见解析.（2）427【解析】（1）要证AB ⊥平面1AB C ，只需求证1AB AB ⊥，结合已知，即可求得答案； （2）以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以1AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面11AB C 的法向量1n r 和平面1BCB 的法向量2n r，根据121221cos ,n n n n n n ⋅=⋅r rr rr r ，即可求得答案.【详解】（1）Q 1120BAA ︒∠=,∴160ABB ︒∠=.在1ABB △中,111,2AB BB AA ===,由余弦定理得22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=,∴22211BB AB AB =+, ∴1AB AB ⊥.又Q 90BAC ︒∠=,∴AC AB ⊥,又Q 1AC AB A ⋂=,∴AB ⊥平面1AB C .（2）由（1）13AB =，1AC = 又Q 112B C AA ==在1AB C V 中，可得()()()12212AB AA AC =+∴1AB AC ⊥又1AB AB ⊥∴1AB ⊥平面ABC ；由（1）得AB ⊥平面1AB C ， 又Q 90BAC ∠=︒∴以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以1AB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 如图：则()()1(00,,00,0,3),1,0,(0,1,0)0,B C A B1(,,)C x y zQ 11BB CC =u u u r u u u u r ,又Q 1(BB =-u u u r∴((,1,)x y z -=-解得：11x y z ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，故1(1,1C =-∴111(1,1(1,1,0),(1AB AC BC BB ==-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r设平面11AB C 法向量为()1111,,n x y z =r由1111n AB n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u v u u u v u u v u u u u v ，可得111100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v故：11110x y =-+=⎪⎩ 取11y =，则1(1,1,0)n =r设平面1BCB 法向量为()2222,,n x y z =r由221n BC n BB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u v r u u v u u u v ，可得22100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v r u u u v r故：22220x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 取21x =可得：221,3y z ==2n ⎛= ⎝⎭u u rQ 122121cos ,n n n n n n ⋅==⋅r rr rr r7===∴平面11AB C 与平面1BCB.【点睛】本题主要考查了线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直的证法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19．某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：（1）请用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程（结果保留两位小数）；（2）现从2012—2018年这7年中抽出三年进行调查，记λ=年利润增长－投资金额，设这三年中2λ≥（万元）的年份数为ξ，求随机变量ξ的分布列与期望.参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$$.参考数据：71359.6i ii x y==∑，721259i i x ==∑.【答案】（1）ˆ 1.57 1.13yx =-.（2）答案见解析 【解析】（1）求出x ，y ，根据公式求出ˆb，即可求得答案； （2）由所给数据可得，ξ的可能取值为1，2，3，求得(1)(2)(3)P P P ξξξ===，，即可求得答案. 【详解】 （1） 4.55 5.56 6.577.5)67x ++++++==(677.48.18.99.611.1)8.37y ++++++==∴2359.6768.3ˆ 1.5725976b-⨯⨯=≈-⨯， ˆ8.3 1.576 1.13a=-⨯≈-， 故y 关x 的回归直线方程为：ˆ 1.57 1.13yx =-， （2）由表格可知，20122018-年这7年中ξ的可能取值为1，2，32112325255333777142(1)(2)(3)777C C C C C P P P C C C ξξξ=========可得：∴14215()1237777E ξ=⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查了求回归直线方程和随机变量的分布列与期望，解题关键是掌握回归直线的求法和统计学基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为3，右焦点到直线22x =的距离为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()F 作与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点M ，使得MAB ∆为正三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213x y +=.（2）在y 轴上是存在点M ，坐标为0,2⎛ ⎝⎭，0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-【解析】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，可得c a =焦点到直线x =2c -=（2）设线段AB 的中点()33,P x y ，若ABM V 是正三角形，AB PM ⊥且PM ，结合已知，即可求得答案. 【详解】（1）Q 椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为33c a ∴=，可得2223c a = 故2232a c =Q 右焦点到直线22x =的距离为2.∴22c -=①当222a c -=时，将2232a c =代入232c c -=整理可得：240c --=即(32)0c +-=解得：3c =-（舍去）或c =由2232a c =，可得23a =，即a =根据222a b c =+ 可得：1b =∴2213x y += ②当222a c -=-时，将2232a c =代入232c c -=整理可得：240c -+=Q ∆<0 ∴方程无解（2）Q过点()F 作与坐标轴不垂直的直线l 设直线l的方程为(0)x my m =≠联立直线l 的方程和椭圆C方程可得：2213x myx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消掉x可得：22)33my y +=()22310m y++-=根据韦达定理可得：122122313y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩12AB y =-===)2213m m+=+设线段AB 的中点()33,P x y ，则3y =33x my ==ABM QV 是正三角形∴AB PM ⊥且PM根据AB PM ⊥，可得1AB PM k k ⋅=-()33p p y y m x x -=--∴3||0PM x ∴=-=由PM )222133=2m m m+++⋅ ∴可得：21m =，解得：1m =±设()0,M t ，将其代入()33p p y y m x x -=-- 可得()330t y m x -=--可得33t mx y ==+=故在y 轴上是存在点M ，使得MAB ∆为正三角形，坐标为0,2⎛ ⎝⎭，0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-【点睛】本题主要考查了求椭圆方程和椭圆中的三角形问题，解题关键是掌握圆锥基础知识和椭圆中三角问题的解法，圆锥曲线与直线位置关系问题，要通过直线和圆锥曲线联立方程，通过韦达定理，建立起直线斜率与目标直线的关系，考查了分析能力和计算能力,属于难题.21．已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e .【解析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞， 所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可； 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论. 【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增 当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（） 设()()24sin1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e . 【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是： （1）求定义域； （2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间. 当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为A （异于极点），l 与曲线M 的交点为B，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. 【答案】(1) 4sin ρθ= ；(2) 2y x =【解析】(1)先消去参数α，得到曲线C 的普通方程，再化成极坐标方程；(2)由题意知，直线l 是过原点的，所以求出l 的斜率k 或tan β的值即可写出l 的方程. 【详解】解：（1）由题意知曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=， 即224x y y +=， 所以24sin ρρθ=，即4sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （2）因为曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，所以ρ=将θβ=代入，得OB =因为曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以4sin OA β=所以OA OB ⋅===则tan 2β=，故l 的直角坐标方程为2y x = 【点睛】设P 为平面上一点，其直角坐标为(),x y ，极坐标为(),ρθ，则cos x ρθ=，sin y ρθ=，()222+x y OP ρρ==，()tan 0yx xθ=≠． 23．已知函数()()120f x x a x a a=+-->. （1）当1a =时，解不等式()1f x ≤-；（2）若不等式()3f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(,1]-∞-.（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）()()120f x x a x a a=+-->，当1a =，()1f x ≤-，可得|2||1|1x x +--≤-，即可求得答案；（2）由()3f x ≤，可得111||2||||22x a x x a x a a a a+--≤+-+=+，结合已知，即可求得答案. 【详解】（1）Q ()()120f x x a x a a=+--> 当1a =，()1f x ≤- 可得|2||1|1x x +--≤-若2x -≤则2(1)1x x ----≤-， 即31-≤-，显然成立若21x -<<，2(1)1,x x +--≤- 可得22x ≤-，故1x ≤- 若1x ≥，2(1)1,x x +--≤- 可得31≤-，显然不成立. 综上所述，(,1]x ∈-∞- （2）Q ()3f x ≤∴111||2||||22x a x x a x a a a a+--≤+-+=+ 1112|2|2a x a x a a a a∴--≤+--≤+ 要保证不等式()3f x ≤恒成立，只需保证123a a+≤， 解得112a ≤≤ 综上所述，1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了求解带绝对值不等和根据不等式恒成立求参数，解题关键是掌握带绝对值不等式和不等式恒成立求参数范围的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.。