浙江省温州市2015届高三第一次适应性测试(一模)数学(理)试题(扫描版,文档答案)

2015年温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题参考答案 2015.2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分. 9．2；(0,1)． 10．4；28-． 11．14π；2021+π． 12．14；2210x y -+=． 13．2[,2]3-． 14．72． 15．]2.1(-． 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题15分）解法一：（I ）由B A sin 2sin =b a 2=⇒．…………………1分 又∵2=-b a ，∴2,4==b a ． ………………………………………………2分874422442cos 222222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ． …………………………………4分815871cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=B B ．……………………………………5分 ∴158154421sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC ．………………………………7分 （II ）414224422cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ．……………………………9分415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=A A ． ………………………………10分 815415412cos sin 22sin =⨯⨯==A A A ．………………………………11分 87sin cos 2cos 22-=-=A A A ．………………………………………………13分∴B A B A B A sin 2cos cos 2sin )2sin(-=-…………………………………14分321578158787815=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=．…………………………………………15分 解法二：（I ）由B A sin 2sin =b a 2=⇒． …………………………………1分 又∵2=-b a ，∴2,4==b a ． ……………………………………………2分 又4=c ，可知△ABC 为等腰三角形． ………………………………………3分作AC BD ⊥于D ，则151422222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=b c BD ． …………5分∴151522121=⨯⨯=⨯⨯=∆BD AC S ABC ．……………………………7分（II ）874422442cos 222222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ．…………………………9分815871cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=B B ．…………………………………10分 由（I ）知B B A C A 22-=-⇒=π．……………………………………11分∴B B B A 2sin )2sin()2sin(＝-=-π………………………………………13分B B cos sin 2= ………………………………………………………………14分878152⨯⨯=32157=． ……………………………………………………15分 17．（本题15分）（I ）证明（方法一）：∵ABD CBD ∠=∠，AB BC =，BD BD =． ∴CBD ABD ∆≅∆． ∴CD AD =．………………………2分 取AC 的中点E ，连结,BE DE ，则BE AC ⊥，DE AC ⊥． ………………………………………………………………3分 又∵E DE BE = ， ……………………………………4分 ⊂BE 平面BED ，⊂BD 平面BED ，∴AC ⊥平面BED ， ……………………………………5分 ∴AC BD ⊥ ………………………………………………6分 （方法二）：过C 作CH ⊥BD 于点H ．连接AH ．…1分 ∵ABD CBD ∠=∠，AB BC =，BD BD =．∴CBD ABD ∆≅∆．∴ AH ⊥BD ．…………………3分 又∵H CH AH = ，……………………………………4分 ⊂AH 平面ACH ，⊂CH 平面ACH ，∴BD ⊥平面ACH ．……………………………………5分 又∵⊂AC 平面ACH ，∴BD AC ⊥．……………………………………………6分 （方法三）：⋅-=⋅)(………………2分⋅-⋅= ………………………………3分ABD CBD ∠∠………4分060cos 260cos 2=︒-︒=BD BD ，……………………5分 ∴BD AC ⊥．……………………………………………6分 （II ）解（方法一）：过C 作CH ⊥BD 于点H ．则⊂CH 平面BCD ， 又∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD ＝， ∴CH ⊥平面ABD ． ……………………………………8分 过H 做HK ⊥AD 于点K ，连接CK ． ………………9分 ∵CH ⊥平面ABD ，∴CH ⊥AD ，又H CH HK = ， ∴AD ⊥平面CHK ，∴CK ⊥AD ．…………………10分 ∴CKH ∠为二面角C AD B --的平面角． …………11分 连接AH ．∵CBD ABD ∆≅∆，∴ AH ⊥BD ． ∵60ABD CBD ︒∠=∠=，2AB BC ==，∴3==CH AH ，1BH =．∵52BD =，∴32DH =． ………12分∴AD = ∴AH DH HK AD ⋅==13分 ∴321tan ==∠HK CH CKH ，…………………………………………14分∴cos CKH ∠=． ∴二面角C AD B --15分 （方法二）：由（I ）过A 作AH ⊥BD 于点H ，连接CH ∵CBD ABD ∆≅∆，∴ CH ⊥BD ．∵平面ABD ⊥平面BCD ， ∴AH ⊥CH ．…………………………7分 分别以,,HC HD HA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．………………8分 ∵60ABD CBD ︒∠=∠=，2AB BC ==， ∴3==CH AH ，1BH =．∵52BD =，∴32DH =．………………………………9分3(0,1,0),(0,,0)2A C B D ∴-．…10分可得)3,0,3(-=，)0,23,3(-=．………11分设平面ACD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-=⋅0233033y x z x ，取2=y ，得一个)3,2,3(=．……………………………………………………12分 取平面ABD 的法向量为)0,0,1(=m ．……………………………………13分1030103||||===m n ．……………………………………14分 ∴二面角C AD B --15分 18．（本题15分）解：（I ）由椭圆的下顶点为(0,1)B -知1=b ． ………1分由B 到焦点的距离为2知2=a ．………………………………………2分所以椭圆C 的方程为1422=+y x ．……………………………………3分设),(y x Q ，22)1(++=y x BQ ……………………………………4分22)1()1(4++-=y y )11(316)31(32≤≤-+--=y y ．……………5分∴当31=y 时，334max =BQ ． …………………………………………6分（II ）由题设可知l 的斜率必存在．………………………………………………7分由于l 过点(0,2)P ，可设l 方程为2+=kx y ．……………………………8分与1422=+y x 联立消去y 得01216)41(22=+++kx x k ．……………9分 其0)34(16)41(48)16(222>-=+-=∆k k k 432>⇒k ．（*）……10分设),(),(2211y x N y x M ，则)41(234416222,1k k k x +-±-=．………………11分 解法一：BP x x S BMN ⋅-=∆2121…………………………………………12分 564134622=+-=kk ． ………………………………………………………13分 解法二：2211k x x MN +-=，B 到l 的距离213kd +=．d MN S BMN ⋅⋅=∆212123x x -= ………………………………………………………………12分 564134622=+-=k k ． ………………………………………………………13分解得12=k 或4192=k 均符合（*）式．…………………………………14分∴1±=k 或219±=k ．所求l 方程为02=+-±y x 与04219=+-±y x ．………………15分19．（本题15分）（I ）解：由1121221212211+=+-+++-++-n n a a a n n ．① 当2≥n 时得n n a a a n n =+--+++-++---12)1(122121112211．②……………2分 ①－②得)2(112≥=+-n na nn． ……………………………………………4分 ∴)2(12≥++=n n a nn ． ………………………………………………5分 又72121111=⇒=+-a a ．…………………………………………………………6分 综上得7, 121, 2n n n a n n =⎧=⎨++≥⎩．……………………………………………………7分（II ）证明：当2≥n 时，121221222-=<++=n n n n n a ． ………………………10分 n n a a a 2121212222132+++<++++ ………………………………………11分 n 211-=．…………………………………………………………………………13分∴当2≥n 时，n n a a a 211222132-<++++ ．………………………………15分20．（本题14分）（I ）证明：当(,2)x ∈-∞-时， b kx x x f ++-=＋21)(．……1分任取12,(,2)x x ∈-∞-，设21x x >．……………………………………………2分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-b kx x b kx x x f x f 2211212121)()(12121()(2)(2)x x k x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎣⎦． ……………………………………………4分由所设得021<-x x ，0)2)(2(121>++x x ，又0>k ，∴0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <．……………………………………5分 ∴()f x 在)2,(--∞单调递增．……………………………………………………6分（II ）解法一：函数)(x f 有三个不同零点，即方程021=+b kx x ＋＋有三个不同的实根． 方程化为：⎩⎨⎧=++++->0)12()2( 22b x k b kx x 与⎩⎨⎧=-+++-<0)12()2(22b x k b kx x ．…7分 记2()(2)(21)u x kx b k x b =++++，2()(2)(21)v x kx b k x b =+++-．⑴当0>k 时，)(),(x v x u 开口均向上．由01)2(<-=-v 知)(x v 在)2,(--∞有唯一零点．…………………………………8分 为满足)(x f 有三个零点，)(x u 在),2(+∞-应有两个不同零点．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+->+-+>- 2220)12(4)2( 0)2(2k k b b k k b u k k b 22-<⇔．…………………………………10分 ⑵当0<k 时，)(),(x v x u 开口均向下．由01)2(>=-u 知)(x u 在),2(+∞-有唯一零点．为满足)(x f 有三个零点，)(x v 在)2,(--∞应有两个不同零点．………………………………………………11分 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+->--+<- 2220)12(4)2( 0)2(2k k b b k k b v k k b --<⇔22．……………………………13分综合⑴⑵可得{|2k M b b k =<-．……………………………………14分解法二：⎪⎩⎪⎨⎧->+++-<+++-=2,212,2)(x b kx x x b kx x x f １． …………………………………7分⑴当0>k 时，)(x f 在)2,(--∞单调递增，且其值域为R ，所以)(x f 在)2,(--∞有一个零点．……………………………………………………………………………………8分为满足)(x f 都有三个不同零点，)(x f 在),2+∞（－应有两个零点．2->x 时，b k x k x x f +-+++=2)2(21)( b k k b k x k x +-=+-+⋅+≥222)2(212．………………………………9分)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+-k 12,2－单调递减，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+-,12k 单调递增，且在这两个区间上的值域均为[)+∞+-,22b k k ．∴当022<+-b k k 即k k b 22-<时，)(x f 在),2+∞（－有两个零点．从而)(x f 有三个不同零点．………………………………………………………………………………………10分⑵当0<k 时，)(x f 在),2(-∞-单调递减，且其值域为R ，所以)(x f 在),2(-∞-有一个零点． (11)分为满足)(x f 都有三个不同零点，)(x f 在)2,－（∞-应有两个零点．2-<x 时，1()(2)22f x k x k b x =-++-++ 2k b ≥+． ……………………………………………………………12分)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞k －－－12,单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,12－－－k 单调递增．且在这两个区间上的值域均为[)+∞+-,22b k k －∴当022<+-b k k －即k k b －22-<时，)(x f 在)2,－（∞-有两个零点．从而)(x f 有三个不同零点．………………………………………………………………………13分 综合⑴⑵可得{|2k M b b k =<-．…………………………………………14分解法三：函数)(x f 都有三个不同零点，即方程kx x b -+-=21有三个不同的实根． 令kx x x g -+-=21)(．则⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-+=2,212,2)(x kx x x kx x x g １．………………7分⑴当0>k 时，若2-<x ，)(x g 单调递减，且其值域为R ，所以b x g =)(在)2,(--∞有一个实根． ……………………………………………………………………………8分为满足)(x f 都有三个不同零点，b x g =)(在),2+∞（－应有两个实根．2->x 时，k x k x x g 2)2(21)(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=k k k x k x 222)2(212+-=++⋅+-≤．…………………………………9分)(x g 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+k 122，－－单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+-,12k 单调递减，且在这两个区间上的值域均为(]k k 22-∞，－．∴当k k b 22-<时，b x g =)(在),2+∞（－有两个实根．从而)(x f 有三个不同零点．………………………………………………………………………………………10分⑵当0<k 时，若2->x ，)(x g 单调递增，且其值域为R ，所以b x g =)(在),2(-∞-有一个实根．…………………………………………………………………………………11分为满足)(x f 都有三个不同零点，b x g =)(在)2,－（∞-应有两个实根．2-<x 时，k x k x x g 2)2(21)(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=＋－－- 11 - k k k x k x 222)2(212+-=++⋅+≤－－－．………………………………12分 )(x g 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞k －－－12,单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,12－－－k 单调递减．且在这两个区间上的值域均为(]k k --∞22，－．∴当k k b --<22时，b x g =)(在(,2)-∞-有两个实根．从而)(x f 有三个不同零点． ………………………………………………………………………………………13分 综合⑴⑵可得{|2k M b b k =<-．……………………………………14分 解法四：函数)(x f 有三个不同零点，即方程21+-=+x b kx 有三个不同的实根．亦即函数b kx y +=与函数21)(+-=x x h 的图象有三个不同的交点． ⎪⎩⎪⎨⎧->+--<+=2,212,2)(x x x x x h １．……………………………………………………7分 ⑴当0>k 时，直线b kx y +=与)(x h 图象左支恒有一个交点．…………8分 为满足)(x f 都有三个不同零点，直线b kx y +=与)(x h 图象右支应有两个交点．∴2->x 时，方程21+-=+x b kx 应有两个实根． 即)2(0)12()2(2->=++++x b x k b kx 应有两个实根．当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+->+-+>++-⋅++-⋅ 2220)12(4)2(0)12()2()2()2(22k k b b k k b b k b k k k b 22-<⇔．………10分⑵当0<k 时，直线b kx y +=与)(x h 图象右支恒有一个交点．……………11分 为满足)(x f 都有三个不同零点，直线b kx y +=与)(x h 图象左支应有两个交点．∴2-<x 时，方程21+=+x b kx 应有两个实根． 即)2(0)12()2(2-<=+++x b x k b kx －应有两个实根．当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+->--+<-+-⋅++-⋅ 2220)12(4)2(0)12()2()2()2(22k k b b k k b b k b k k k b --<⇔22．………13分综合⑴⑵可得{|2k M b b k =<-．……………………………………14分。