机械工程测试技术基础讲稿第四部分优秀课件

机械工程测试技术 基础讲稿第四部分
我们知道，对于随机信号的描述可通过下述各量来进行：
矩 ➢ 时域描述方法
原点矩（如均值、均方值等） 中心矩（如均方差等） 联合矩（如互相关函数、
协方差函数等）
概率密度函数
➢ 频域描述方法：功率谱、能量谱
相关系数 相关系数可用于两个信号（如信号x和信号y)相似性
（或线性相关性）的一种度量。其数学表达式为：
x0
0
t
Rx (x02)/2
Rx()
x02cos
2
0
τ
典型信号的自相关函数
正弦信号 正弦信号+随机噪声 窄带随机信号 宽带随机信号
➢自相关函数的作用 主要是用来区别信号的类型，由上图可见：
1）只要信号中含有周期成分，其自相关函数在τ 很大时都不衰减，并具有明显的周期性；
2）信号中不包含周期成分则在τ 稍大时自相关 函数就衰减为零（当信号的均值为零）；
x y x y R x () y x y x y
Rxy
xy
0
xyxy
τ0
τ
xyxy
2） 同频相关不同频不相关
例：求下列两正弦信号 的互相关函数。
x (t) x 0 si 1 n t )(
y (t) y 0 si2 tn ()
讨论如下两种情形：
① 1 2 ② 1 2
解：因为信号是周期信号，可以用一个共同周期内的平
3）宽带随机信号的自相关函数相对于窄带随机信 号的自相关函数衰减快。
自相关函数的应用举例：
1）机加工表面粗糙度（用轮廓仪测）成因分析 系统构成：
金钢石触针
工件
电感式传感器
相关分析
Rx()
10m 5m
0
0.5
1
可能成因：
①沿工件轴向走刀运动的周期性；
②工件切向，则可能是由于主轴回转振动的周期性。
2）在水域中探索有无潜艇通过 潜水艇的发动机在工作时发出周期性信号，而海
均值代替其整个历程的平均值，故 x (t) x 0 si1 n t) (
① 1 2
y ( t) y 0 si2 t n ()
R x(y )T l i m T 10 Tx(t)y(t)dt(应用三角函数的正交性) T 10 Tx0si n 1t ()y0si n 2(t[))d t0
② 12
Rxy()Tl im T1
2 x
0
τ
x2 x2
原因： x()Rx()x2x2
xy 1
均方值
2） R x(0)T l i m T 10 Tx2(t)d tx 2
Rx
0
x2 x2
2 x
τ
x2 x2
x()R x()x 2 x 2 0时 x01 上式
3）τ足够大或τ→∞时，随机变量x(t)与x(t+t)就不存 在内在的联系了，彼此无关，即
T 0
x(t)y(t
x(t)
τ
0 ti
x(t+τ)
Tt
τ0
ti
t
应用前述公式：
xyE[(xx x)(yyy)]
x tx t E [ x t x ]2 x [ t x ]x x
则有：lim1Fra bibliotekx() TT0T[x(t)x][x(t )x]dt x2
lim1
TT
T 0
x(t)x(t
)dtx2
x2
x2
x2
xyE[(xx x)(yyy)]
其中
E数学期望
2 yE[(yy)2]
x,y 随机变x量 , y的均值
x,y 随机变x量 , y的标准差 x 2E [x (x)2]
由柯西-许瓦兹不等式
E [x ( x)y ( y)2 ] x 2 2 y
xy 1
y
····················0····················x
a)
y
0
x
b)
y 0x
c)
a) x与y完全线性无关； xy 0
b) x与y完全线性相关； xy 1 c) x与y存在某种程度的线性关系。 xy 1
(注意此时x与y却可能还有其它的函数关系)
信号的自相关函数
➢ 定义
x(t)是各态历经随机过程的一个样本函数，观测时 间为T。x(t+τ)是时移之后的样本函数。这两个样本函 数具有相同的均值ux和标准差σx。
T
x(t)x(t )dt
0
1
T
T 0
x02
sin( t
)sin[ (t
)
]dt
x02 cos
2
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数， 在自相关函数中包含的原信号的幅值信息与频率信， 但是却丢失了其初始相位信息。
正弦函数及自相关函数
初始相位f 的信息丢失了
x(t)
x (t) x 0sitn ) (
假设周期信号
x t x t n n T 0 , 1 , 2
可得其自相关函数为
Rx(nT)Tl im T 1
Tx(tnT)x(tnT)d(tnT)
0
lim1 Tx(t)x(t)d(t)
TT 0
Rx()
例:求正弦函数 x (t) x 0 sitn ) (的自相关函数
解：
Rx()
1 T
x ()0
可得
Rx ()x2
4）自相关函数为实偶函数
R x()R x( )
证明：
Rx()Tl im T1
T
x(t)x(t
)dt
0
lim1
T
x(t
TT 0
)x(t
)d(t
)
Rx()
因此，由上述这些性质，很容易绘出自相关函数 图为：
Rx
0
x2 x2
2 x
τ
x2 x2
5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数， 其幅值与原周期信号的幅值有关，但丢失了原信号 的相位信息。
浪是随机的，如果经过相关分析发现有周期性峰值， 就可以知道，可能有潜艇通过。
自相关函数在电子、机械等工程中有一定的使 用价值，但是利用它的傅里叶变换（自功率谱，下 面的内容）来分析噪声中的周期信号更加实用一些。 另外，从前面的分析中我们知道，自相关函数中丢 失了相位信息，使其应用受到一定的限制。
信号的互相关函数 ➢ 定义
功率有限信号的互相关函数为
R x(y)T l i m T 10 Tx(t)y(t)dt
周期信号的互相关函数为
Rx(y)T 10 Tx(t)y(t)dt
能量有限信号的互相关函数为
Rx(y)0Tx(t)y(t)dt
互相关函数图形
Rxy
0 τ0
τ
互相关函数
➢ 性质
xy()Rxy()xyxy
1）互相关函数的限制范围为
Rx
得功率有限信号的自相关函数为
Rx()T l i m T 10 Tx(t)x(t)dt
进一步推广，可得：
周期信号的自相关函数
Rx()T 10Tx(t)x(t)dtT—周期
能量有限信号的自相关函数
Rx()0Tx(t)x(t)dt
➢ 性质
1） x 2 x 2 R x () x 2 x 2
Rx
x2 x2