教版数学八年级(下)平行四边形单元试卷(含详解)
(北师大版)西安市八年级数学下册第六单元《平行四边形》检测题(含答案解析)
一、选择题1．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC是对角线，则CAB∠的大小是（）A．22.5︒B．21.5︒C．23.5︒D．24.5︒2．一个多边形的每个外角都等于相邻内角的13，这个多边形为（）A．六边形B．八边形C．十边形D．十二边形3．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB ＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．12 B．11 C．10 D．94．已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°5．已知如图：为估计池塘的宽度BC，在池塘的一侧取一点A，再分别取AB、AC的中点D、E，测得DE的长度为20米，则池塘的宽BC的长为（）A．30米B．60米C．40米D．25米6．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两组对角相等的四边形是平行四边形7．如图，下面不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A ．AB //CD,AB CD =B ．,AB CD AD BC ==C ．B DAB 180,AB CD ︒∠+∠==D ．B D,BCA DAC ∠=∠∠=∠8．如图，□ABCD 中，AB =3，BC =5，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，则CE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．如图所示，EF 过▱ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB ＝4，BC ＝5，OE ＝1.5，那么四边形EFCD 的周长是( )A ．10B ．11C ．12D ．13 10．如图，M 是正五边形ABCDE 的边CD 延长线上一点．连接AD ，则ADM ∠的度数是( )A ．108︒B ．120︒C ．144︒D ．150︒ 11．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边BC 于点E ，已知AD ＝7，CE ＝3，则AB 的长是（ ）A ．7B ．3C ．3.5D ．412．如图，已知ABC ∆周长为1，连接ABC ∆三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，则第2020个三角形的周长是（ ）A ．201912B ．202012 C ．12019 D ．12020二、填空题13．如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，4AB =，2DC =．对于MN 的长，给出了四种猜测：①4MN =；②3MN =；③2MN =；④1MN =．猜测错误的是（______） A ．① B ．② C ．③ D ．④14．如图，已知正五边形ABCDE ，过点A 作CD 的平行线，交CB 的延长线于点F ，点P 在正五边形的边上运动，运动路径为A B C D →→→．当AFP 为等腰三角形时，则AFP 的顶角为______度．15．正五边形每个内角的度数是_______．16．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则A DB '∠=________．17．△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为______．18．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m．19．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝320°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是_____．20．如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有______次．三、解答题21．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=6，BC=16，AB=8，∠ABC=60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）设△BPQ的面积为s，求s与t之间的函数关系式；（2）当t=时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；（3）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？22．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多720 ，求该多边形的边数；（2）如图，已知AD是ABC的角平分线，CE是ABC的高，AD与CE相交于点F ，30CAD ∠=︒，50B ∠=︒，求ADC ∠和AFC ∠的度数．23．已知：如图，在BEDF 中，点A 、C 在对角线EF 所在的直线上，且AE CF =．求证：四边形ABCD 是平行四边形．24．如图，在平行四边形AFCE 中，EF 是对角线，B 、D 是直线EF 上的点，且DE BF =．求证：四边形ABCD 是平行四边形．25．如图，五边形ABCDE 的内角都相等，EF 平分∠AED ．求证：EF ⊥BC ．26．如图，在四边形ABCD 中，A ∠与C ∠互补，ABC ∠、ADC ∠的平分线分别交CD 、AB 于点E 、F ．//EG AB ，交 BC 于点 G ，（1）1∠与2∠有怎样的数量关系？为什么？（2）若100A ∠=︒，142∠=︒，求CEG ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】求出正八边形的内角和，算出每个内角的度数，再根据△ABC 为等腰三角形以及内角和为180°，可求出∠CAB 的大小【详解】解：∵正八边形的内角和为：()8-2180=1080⨯︒︒每个内角的度数为10808=135︒÷︒又∵AB =BC∴△ABC 是等腰三角形 ∴()1=180-135=22.52CAB ∠︒︒︒ 故选：A【点睛】本题考查多边形内角和与等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键 2．B解析：B【分析】设一个外角是x ，则一个内角是3x ，列得3x+x=180°，求得x ，再用外角和360°除以x 即可得到答案．【详解】设一个外角是x ，则一个内角是3x ，3x+x=180°，解得：x=45°，由于多边形的外角和为360°，则边数为360°÷45°=8，故选：B ．【点睛】此题考查多边形内角与外角互补计算，多边形外角和，求多边形边数，熟记多边形外角与内角的关系是解题的关键．3．A解析：A【分析】延长BN 交AC 于D ，证明△ANB ≌△AND ，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．【详解】解：延长BN 交AC 于D ，在△ANB 和△AND 中，90NAB NAD AN ANANB AND ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△ANB ≌△AND ，∴AD=AB=8，BN=ND ，∵M 是△ABC 的边BC 的中点，∴DC=2MN=4，∴AC=AD+CD=12，故选：A ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．A解析：A【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C ，∵∠A+∠C=110°，∴∠A=∠C=55°，∴∠B=125°．故选：A．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．5．C解析：C【分析】根据三角形中位线定理可得DE=12BC，代入数据可得答案．【详解】解：∵线段AB，AC的中点为D，E，∴DE=12BC，∵DE=20米，∴BC=40米，故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6．C解析：C【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C符合题意；D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可．【详解】根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．故选C．【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．8．B解析：B【分析】利用平行四边形性质得∠DAE=∠BEA，再利用角平分线性质证明△BAE是等腰三角形,得到BE=AB即可解题.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=3，∴CE=BC-BE=5-3=2，故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定,属于简单题,熟悉平行线加角平分线得到等腰三角形这一常用解题模型是解题关键.9．C解析：C【解析】试题根据平行四边形的性质，得AO=OC，∠EAO=∠FCO，又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴OF=OE=1.5，CF=AE，根据平行四边形的对边相等，得CD=AB=4，AD=BC=5，故四边形EFCD的周长=EF+FC+ED+CD=OE+OF+AE+ED+CD=1.5+1.5+5+4=12．故选C.10．A解析：A【分析】根据多边形的内角和公式求出正五边形的五个角的度数之和，进而求出每个内角的度数，即可得出∠ADE的度数，再根据正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数，然后根据角的和差关系计算即可．【详解】正五边形的内角和为：(5-2)×180°=540°，∴∠E=540÷5=108°，∵AE=DE，∴∠ADE=1×(180°−∠E)=36°，2由多边形的外角和等于360度可得∠EDM=360°÷5=72°，∴∠ADM=∠ADE+∠EDM=36°+72°=108°．故选：A．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度，相邻的内角与外角和等于180度等知识点．11．D解析：D【分析】先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而由EC的长求出BE即可解答．【详解】解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠EAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=7，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∵EC=3，∴BE=BC-EC=7-3=4，∴AB=4，故选D．【点睛】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB 是解决问题的关键．12．A解析：A【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解．【详解】根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半， 那么第二个三角形的周长=△ABC 的周长1111222⨯=⨯=， 第三个三角形的周长=△ABC 的周长2211112222⎛⎫⨯⨯== ⎪⎝⎭， ，第n 个三角形的周长112n -=， ∴第2020个三角形的周长201912=．故选：A ．【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第n 个三角形的周长与第一个三角形的周长的规律．二、填空题13．ABD 【分析】连接BD 取BD 中点G 连接MGNG 根据三角形中位线平行且等于第三边的一半可得：AB ＝2MGDC ＝2NG 再根据三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边即可得出MN 的取值范围继而即可求解【解析：ABD【分析】连接BD ，取BD 中点G ，连接MG 、NG ，根据三角形中位线平行且等于第三边的一半可得：AB ＝2MG ，DC ＝2NG ，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可得出MN 的取值范围，继而即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，取BD 中点G ，连接MG 、NG ，∵点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴MG 是△ABD 的中位线，NG 是△BCD 的中位线，∴AB ＝2MG ，DC ＝2NG ，∵4AB =，2DC =，∴MG =2，NG =1，由三角形三边关系：MG －NG ＜MN ＜MG ＋NG ，∴1＜MN ＜3，∴③2MN =猜测正确，故答案为：ABD ．【点睛】本题考查三角形中位线定理及三角形三边关系，熟练掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解题的关键是根据不等关系作辅助线构造以MN 为一边的三角形．14．36或72或108【分析】根据题意可以分情况谈论：①当AP=AF ；②当PF=FA ；③当FA=PF ；分别求其顶角的度数；【详解】解：易知正五边形的内角为：；∴∠CBA=108°=∠BAE ∴∠ABF=1解析：36或72或108【分析】根据题意可以分情况谈论：①当AP=AF ；②当PF=FA ；③当FA=PF ；分别求其顶角的度数；【详解】 解：易知正五边形的内角为：540=1085︒︒ ； ∴∠CBA=108°=∠BAE ，∴∠ABF=180°-108°=72°， ∠BAF=180108362︒-︒=︒ ， ∴∠BFA=180°-72°-36°=72°；∴AB=AF ， 若P 在AB 边上，不可能有PF=FA ，①若PA=PF ，则∠PAF=∠PFA=36°，∴顶角为∠APF=180°-36°×2=108°；②若PA=AF ，则P 与B 重合，此时顶角为∠PAF=36°；若P 在BC 边上，连接AC ，易知AC=CF ，不存在PA=AF ；①若PF=FA ，此时顶角为∠ PFA=72°，②若PA=PF ，则P 与C 重合，顶角为36°；若P 在CD 上，不存在等腰三角形；综上：顶角为108°或36°或72°；故答案为：36或72或108；【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式和三角形的内角和问题，要注意分类讨论的问题，不要遗漏.15．【分析】先求出正n 边形的内角和再根据正五边形的每个内角都相等进而求出其中一个内角的度数【详解】解：∵正多边形的内角和为∴正五边形的内角和是则每个内角的度数是故答案为：【点睛】此题主要考查了多边形内角 解析：108︒【分析】先求出正n 边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．【详解】解：∵正多边形的内角和为2180()n -⨯︒，∴正五边形的内角和是5218540(0)-⨯︒=︒，则每个内角的度数是5405108︒÷=︒．故答案为：108︒【点睛】此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识．16．10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=45°再利用三角形的内角和求解【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=×90°=45°∴∠ADC解析：10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA ′D=50°，∠ACD=∠A ′CD=45°，再利用三角形的内角和求解．【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°，∠ACD=∠A′CD=12×90°=45°， ∴∠ADC=∠A′DC=180°−45°−50°=85°，∴∠A′DB=180°−85°×2=10°．故答案为：10°．【点睛】本题利用对折考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 17．18【解析】∵点DE 分别是△ABC 的边ABAC 的中点∴DE 是△ABC 的中位线∴AB=2AD=2×3=6AC=2AE＝2×2=4BC=2DE=2×4=8∴AB+AC+BC=18即△ABC的周长为18故解析：18【解析】∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2AD=2×3=6，AC=2AE＝2×2=4，BC=2DE=2×4=8，∴AB+AC+BC=18，即△ABC的周长为18，故答案为18.【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理的内容是解题的关键. 18．100【分析】先判断出DE是△ABC的中位线再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE问题得解【详解】∵点DE分别是ACBC的中点∴DE是△ABC的中位线∴AB=2DE=2解析：100【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×50=100米．故答案为100．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．19．70°【分析】根据五边形的内角和等于540°由∠A+∠B+∠E＝320°可求∠BCD+∠CDE的度数再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和进一步求得∠CPD的度数【详解】解：∵五边形的内解析：70°【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝320°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠CPD的度数．【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝320°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣320°＝220°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD＝12（∠BCD+∠CDE）＝110°，∴∠CPD＝180°﹣110°＝70°．故答案是：70°．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．20．3【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=12AD∥BC∵四边形PDQB 是平行四边形∴PD=BQ∵P的速度是1cm/秒∴两点运动的时间为12÷1=12s∴Q 运动的路程为12×4=48cm∴解析：3【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12,AD∥BC，∵四边形PDQB是平行四边形，∴PD=BQ，∵P的速度是1cm/秒，∴两点运动的时间为12÷1=12s，∴Q运动的路程为12×4=48cm，∴在BC上运动的次数为48÷12=4次．第一次PD=QB时，12−t=12−4t，解得t=0，不合题意，舍去；第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，12−t=4t−12，解得t=4.8；第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，12−t=36−4t，解得t=8；第四次PD=QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12−t=4t−36，解得t=9.6.∴在运动以后，以P、D. Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，故答案为3.点睛：本题考查了平行四边形的判定．注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．三、解答题21．（1）S＝−t＋（0＜t≤6）；（2）103；（3）2秒或143秒【分析】（1）作AM⊥BC于M，求出∠BAM＝30°，由直角三角形的性质得出BM＝12AB＝4，＝，由题意得CQ＝2t，得出BQ＝BC−CQ＝16−2t，由三角形面积公式即可得出答案；（2）由题意得；AP＝t，CQ＝2t，则PD＝AD−AP＝6−t，由梯形面积公式求出四边形PQCD的面积＝12（PD＋CQ）×AM＝12（6−t＋2t）×43，由题意得出方程，解方程即可；（3）有两种情况，①当Q运动到E和B之间，②当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD＝QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．【详解】解：（1）作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝12AB＝4，AM3BM＝3由题意得：CQ＝2t，∴BQ＝BC−CQ＝16−2t，∴S＝12BQ×AM＝12（16−2t）3＝−3＋3即S＝−3＋30＜t≤6）；（2）由题意得；AP＝t，CQ＝2t，则PD＝AD−AP＝6−t，∵AD∥BC，∴梯形PQCD的面积＝12（PD＋CQ）×AM＝12（6−t＋2t）3＝33，∵△BPQ的面积＝四边形PQCD的面积相等，∴3＋333t，解得：t＝103，即t＝103时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；故答案为：103；（3）解：∵AD∥BC，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，PD＝EQ，∵E是BC的中点，∴BE ＝CE ＝12BC ＝8， 分两种情况： ①当Q 运动到E 和B 之间，则得：2t−8＝6−t ，解得：t ＝143， ②当Q 运动到E 和C 之间，则得：8−2t ＝6−t ，解得：t ＝2，综上所述，当运动时间t 为2秒或143秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握梯形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．22．（1）该多边形的边数为8；（2）80ADC ∠=︒；120AFC ∠=︒．【分析】（1）根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立关于边数的方程，求解即可； （2）根据角平分线的性质得到30CAD BAD ∠=∠=︒，再由三角形的外角性质可得ADC BAD B ∠=∠+∠，根据CE 是ABC 的高及三角形的外角性质可得AFC BAD AEF ∠=∠+∠．【详解】解：（1）设该多边形的边数为n ，由已知，得(2)180360720n -︒=︒+︒，解得8n =，∴该多边形的边数为8；（2）∵AD 是ABC 的角平分线，且30CAD ∠=︒，∴30CAD BAD ∠=∠=︒，60BAC ∠=︒，又∵50B ∠=︒，∴80ADC BAD B ∠=∠+∠=︒，∵CE 是ABC 的高，∴90AEF ∠=︒，∴120AFC BAD AEF ∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查多边形的内角与外角、三角形的外角性质，解题的关键是掌握多边形的内角和定理及三角形外角的性质．23．见解析.【分析】如图，连接BD ，交AC 于点O ．由平行四边形的对角线互相平分可得OD OB =，OE OF =,结合已知条件证得OA OC =，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD 是平行四边形.【详解】如图，连接BD ，交AC 于点O ．∵四边形BEDF 是平行四边形，∴OD OB =，OE OF =．又∵AE CF =，∴AE OE CF OF +=+，即OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定，作出辅助线，证明OD OB =、OA OC =是解决问题的关键.24．见解析【分析】连接AC 交BD 于点O ，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC ，OE=OF ，然后求出OB=OD ，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．【详解】连接AC 交BD 于点O ，如图所示：∵四边形AFCE 是平行四边形，∴OA=OC ，OE=OF ，∵DE=BF ，∴OE+DE=OF+BF ，即OB=OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出OB=OD 是解题的关键．25．证明见详解【分析】根据多边形内角和度数可得每一个角的度数，然后再利用四边形DFBC 内角和计算出∠EFC的度数即可证明．【详解】解：解：∵五边形ABCDE 的内角都相等，∴∠C=∠D=∠AED=180°×（5-2）÷5=108°， 又 EF 平分∠AED ∴°1542FED AED ∠=∠= ∴在四边形DFBC 中°=360-D-C-FED EFC ∠∠∠∠=90°∴EF ⊥BC【点睛】此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n 为整数）．26．（1）1∠与2∠互余，理由见解析；（2）4°【分析】（1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出∠1+∠2=90°；（2）根据∠A 与∠C 互补可得∠C 的度数，根据∠1与∠2互余可得∠2的度数，根据平行线的性质可得∠ABE 的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可．【详解】解：（1）1∠与2∠互余，理由如下：四边形ABCD 内角和为360，180A C ∠+∠=360180180ABC ADC ∴∠+∠=-= BC 、DF 平分ABC ∠、ADC ∠112ADC ∴∠=∠，12ABE ABC ∠=∠ //EG AB2ABE ∴∠=∠11129022ADC ABC ∴∠+∠=∠+∠= 即1∠与2∠互余（2）100A ∠=，142∠=∴80C ∠=，248∠=48ABE CBE ∴∠=∠=180488052BEC ∴∠=--=52484CEG ∴∠=-=【点睛】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义；弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键．。
人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形章节测评试题(含答案解析)
人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA C的坐标为（）A．，1）B．（1，1）C．（1D．，1）2、如图菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（）A．5 B．6 C．8 D．103、如图，已知P 是AOB ∠平分线上的一点，60AOB ︒∠=，PD OA ⊥，M 是OP 的中点，4cm DM =，如果C 是OB 上一个动点，则PC 的最小值为（ ）A ．8cmB ．5cmC ．4cmD ．2cm4、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形5、如图所示，公路AC 、BC 互相垂直，点M 为公路AB 的中点，为测量湖泊两侧C 、M 两点间的距离，若测得AB 的长为6km ，则M 、C 两点间的距离为（ ）A ．2.5kmB ．4.5kmC ．5kmD ．3km6、如图，已知四边形ABCD 和四边形BCEF 均为平行四边形，∠D ＝60°，连接AF ，并延长交BE 于点P ，若AP ⊥BE ，AB ＝3，BC ＝2，AF ＝1，则BE 的长为（ ）A ．5B ．C ．D ．7、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，过点B作BE⊥CD于点E，则BE的长为（）A．125B．245C．6 D．4858、如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC AC⊥于点C．已知16AC=，6BC=．点B到原点的最大距离为（）A．22 B．18 C．14 D．109、如图，已知在正方形ABCD中，10AB BC CD AD====厘米，90A B C D∠=∠=∠=∠=︒，点E在边AB 上，且4AE=厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使BPE与CQP全等时，则t的值为（）A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或210、已知三角形三边长分别为7cm，8cm，9cm，作三条中位线组成一个新的三角形，同样方法作下去，一共做了五个新的三角形，则这五个新三角形的周长之和为（）A ．46.5cmB ．22.5cmC ．23.25cmD ．以上都不对第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在直角三角形ABC 中，∠B =90°，点D 是AC 边上的一点，连接BD ，把△CBD 沿着BD 翻折，点C 落在AB 边上的点E 处，得到△EBD ，连接CE 交BD 于点F ，BG 为△EBD 的中线．若BC =4，△EBG 的面积为3，则CD 的长为____________2、如图，在▱ABCD 中，BC ＝3，CD ＝4，点E 是CD 边上的中点，将△BCE 沿BE 翻折得△BGE ，连接AE ，A 、G 、E 在同一直线上，则AG ＝______，点G 到AB 的距离为______．3、如图，在ABC 中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，M ，N 为BC 上的两个动点，且MN AM AN +的最小值是________．4、一个三角形三边长之比为4∶5∶6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm ，则原三角形最大边长为_________cm ．5、如图，在长方形ABCD 中，9DC =．在DC 上找一点E ，沿直线AE 把AED 折叠，使D 点恰好落在BC上，设这一点为F，若ABF的面积是54，则FCE△的面积=______________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三边长都是有理数的直角三角形；（2）在图2中，画一个以BC为斜边的直角三角形，使它们的三边长都是无理数且都不相等；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）作AB的垂直平分线l，交AB于点D，连接CD，分别作∠ADC，∠BDC的平分线，交AC，BC于点E，F（尺规作图，不写作法，保作图痕迹）；（2）求证：四边形CEDF是矩形．3、如图：在Rt ABC中，90∠=，点O为AB的中点，点P为直线BC上的动点（不与点A︒ACB︒∠=，30∆，连接BQ．B，C重合），连接OC，OP，以OP为边在OC的上方作等边OPQ（1）OBC是________三角形；=；（2）如图1，当点P在边BC上时，运用（1）中的结论证明CP BQ（3）如图2，当点P在CB的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．4、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．5、已知：如图，30∠=︒，45B∠=︒，AD是BC上的高线，CE是AB边上的中线，DG CE于G．ACDAB=，求线段AC的长；（1）若6（2）求证：CG EG．---------参考答案-----------一、单选题1、B【解析】【分析】作CD⊥x轴，根据菱形的性质得到OC=OA Rt△OCD中，根据勾股定理求出OD的值，即可得到C点的坐标．【详解】：作CD⊥x轴于点D，则∠CDO=90°，∵四边形OABC是菱形，OA∴OC=OA又∵∠AOC=45°，∴∠OCD=90°-∠AOC=90°-45°=45°，∴∠DOC=∠OCD，∴CD=OD，在Rt△OCD中，OC CD2+OD2=OC2，∴2OD2=OC2=2，∴OD2=1，∴OD=CD=1（负值舍去），则点C的坐标为（1，1），故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出OD=CD=1是解决问题的关键．2、A【解析】【分析】由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，∴OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，在Rt△AOB中，由勾股定理得：5AB=，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．3、C【解析】【分析】根据题意由角平分线先得到OPD △是含有30角的直角三角形，结合直角三角形斜边上中线的性质进而得到OP ，DP 的值，再根据角平分线的性质以及垂线段最短等相关内容即可得到PC 的最小值．【详解】解：∵点P 是∠AOB 平分线上的一点，60AOB ∠=︒， ∴1302AOP AOB ∠=∠=︒，∵PD ⊥OA ，M 是OP 的中点，4cm DM =∴28cm OP DM ==， ∴14cm 2PD OP ==∵点C 是OB 上一个动点∴当PC OB ⊥时，PC 的值最小，∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA ，PC OB ⊥∴PC 最小值4cm PD ==，故选C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、含有30角的直角三角形的选择，直角三角形斜边上中线的性质、垂线段最短等相关内容，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．4、C【解析】【分析】如图，矩形ABCD 中，利用三角形的中位线的性质证明111,,,,222EF BD EF BD GH BD GH BD FG AC ∥∥，再证明四边形ABCD 是平行四边形，再证明,EF FG 从而可得结论.【详解】解：如图，矩形ABCD 中，,AC BD ∴=,,,E F G H 分别为四边的中点，111,,,,222EF BD EF BD GH BD GH BD FG AC ∥∥， ,,EF GH EF GH ∥∴ 四边形ABCD 是平行四边形，11,,,22AC BD EF BD FG AC === ,EF FG ∴= ∴ 四边形EFGH 是菱形．故选C ．【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定，三角形的中位线的性质，熟练的运用三角形的中位线的性质解决中点四边形问题是解本题的关键.5、D【解析】【详解】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM ＝12AB ，即可求出CM ．【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，AB，∴CM＝12∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C两点间的距离为3km，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．6、D【解析】【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90º，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60º，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60º，∵DH⊥BC，∴∠DHC =90º，∴∠ADC +∠CDH =90°，∴∠CDH =30°，在Rt △DCH 中，CH =12CD =32，DH ，∴222223(2)192BD BH DH =+=++=， ∵四边形BCEF 是平行四边形，∴AD =BC =EF ，AD ∥EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF ∥DE ，AF =DE =1，∵AF ⊥BE ，∴DE ⊥BE ，∴22219118BE BD DE =-=-=， ∴BE =故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．7、B【解析】【分析】根据菱形的性质求得BD 的长，进而根据菱形的面积等于12AC BD CD BE ⋅=⋅，即可求得BE 的长【详解】解：如图，设,AC BD 的交点为O ，四边形ABCD 是菱形AC BD ∴⊥，142AO CO AC ===，DO BO =，5CD AB == 在Rt AOB 中，5AB =，4AO =3BO ∴26BD BO ∴== 菱形的面积等于12AC BD CD BE ⋅=⋅1168242255AC BD BE CD ⋅⨯∴==⨯= 故选B【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质，求得BD 的长是解题的关键．8、B【解析】【分析】首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．【详解】解：取AC的中点E，连接BE，OE，OB，∵∠AOC＝90°，AC＝16，∴OE＝CE12=AC＝8，∵BC⊥AC，BC＝6，∴BE=10，若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝18．若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝18，∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为18．故选：B【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9、D【解析】【分析】根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.解：当2a =，即点Q 的运动速度与点P 的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE ≌△CQP ，则BP =CQ ，BE =CP ，∵AB =BC =10厘米，AE =4厘米，∴BE =CP =6厘米，∴BP =10-6=4厘米，∴运动时间t =4÷2=2（秒）；当2a ≠，即点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP ≠CQ ，∵∠B =∠C =90°，∴要使△BPE 与△OQP 全等，只要BP =PC =5厘米，CQ =BE =6厘米，即可．∴点P ，Q 运动的时间t =252 2.5BP ÷=÷=（秒）.综上t 的值为2.5或2.故选：D ．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．10、C【解析】【分析】如图所示，8cm AB =，9cm BC =，7cm AC =，DE ，DF ，EF 分别是三角形ABC 的中位线，GH ，GI ，HI 分别是△DEF 的中位线，则14.5cm 2DE BC ==，14cm 2EF AB ==，1 3.5cm 2DF AC ==，即可得到△DEF 的周长==12cm DE DF EF ++，由此即可求出其他四个新三角形的周长，最后求和即可．解：如图所示，8cm AB =，9cm BC =，7cm AC =，DE ，DF ，EF 分别是三角形ABC 的中位线，GH ，GI ，HI 分别是△DEF 的中位线， ∴14.5cm 2DE BC ==，14cm 2EF AB ==，1 3.5cm 2DF AC ==， ∴△DEF 的周长==12cm DE DF EF ++，同理可得：△GHI 的周长==6cm HI HG GI ++，∴第三次作中位线得到的三角形周长为3cm ，∴第四次作中位线得到的三角形周长为1.5cm∴第三次作中位线得到的三角形周长为0.75cm∴这五个新三角形的周长之和为1263 1.50.75=23.25cm ++++，故选C ．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握三角形中位线定理．二、填空题1【解析】【分析】由折叠的性质可得，BD CE ⊥，4BE BC ==，12CF CE =，由勾股定理可得，CE =得，26BCD BDE BEG S S S ===△△△，求得CF 的长度，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得，BD CE ⊥，4BE BC ==，12CF CE =，BCD BDE △≌△ ∴BCE 为等腰直角三角形，F 为CE 的中点，BCD BDE SS = ∴12BF CF EF CE ===由勾股定理可得，CE∴12BF CF EF CE ====∵BG 为△EBD 的中线，△EBG 的面积为3∴26BCD BDE BEG S S S ===△△△162BCD S BD CF =⨯=△，解得BD =∴DF BD BF =-=由勾股定理得：CD =【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理以及直角三角形的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．2、【解析】【分析】根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值．【详解】解：如图，GF⊥AB于点F，∵点E是CD边上的中点，∴CE=DE=2，由折叠可知：∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2，在▱ABCD中，BC=AD=3，BC∥AD，∴∠D+∠C=180°，BG=AD，∵∠BGE+∠AGB=180°，∴∠AGB=∠D，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠AED，在△ABG和△EAD中，AGB DBAG AED BG AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG≌△EAD（AAS），∴AG=DE=2，∴AB=AE=AG+GE=4，∵GF⊥AB于点F，∴∠AFG=∠BFG=90°，在Rt△AFG和△BFG中，根据勾股定理，得AG2-AF2=BG2-BF2，即22-AF2=32-（4-AF）2，解得AF=118，∴GF2=AG2-AF2=4-12164=13564，∴GF，故答案为2．【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明△ABG≌△EAD是解题的关键．3【解析】【分析】过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′交BC于点O，连接A′M，三点D、M、A′共线时，AM AN最小为A′D的长，利用勾股定理求A′D的长度即可解决问题．【详解】解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN 是平行四边形，∴MD ＝AN ，AD ＝MN ，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A A ′交BC 于点O ，连接A ′M ， 则AM ＝A ′M ，∴AM ＋AN ＝A ′M ＋DM ，∴三点D 、M 、A ′共线时，A ′M ＋DM 最小为A ′D 的长， ∵AD //BC ，AO ⊥BC ，∴∠DA A '＝90°，∵2AB AC ==，90BAC ∠=︒，，∴BC＝BO＝CO ＝AO ，∴AA '=在Rt△AD A '中，由勾股定理得：A 'D =∴AM AN +【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，构造平行四边形将AN转化为DM是解题的关键．4、24【解析】【分析】由三边长之比得到三角形的三条中位线之比，再由这三条中位线组成的三角形周长求出三中位线长，推出边长，再比大小判断即可．【详解】∵ 如图，H、I、J分别为BC，AC，AB的中点∴12HI AB=，12IJ BC=，12HJ AC=又∵30HI IJ HJ++=∴60AB BC AC++=∵AB：AC：BC=4：5：6，即BC边最长∴660=244+5+6BC=⨯故填24．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．5、6【解析】【分析】根据三角形的面积求出BF，利用勾股定理列式求出AF，再根据翻折变换的性质可得AD=AF，然后求出CF，设DE=x，表示出EF、EC，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程求解和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=9，BC=AD∵12•AB•BF＝54，∴BF=12．在Rt△ABF中，AB=9，BF=12，由勾股定理得，15AF=．∴BC=AD=AF=15，∴CF=BC-BF=15-12=3．设DE=x，则CE=9-x，EF=DE=x．则x2=（9-x）2+32，解得，x=5．∴DE=5．∴EC=DC-DE=9-5=4．∴△FCE的面积=1122CF CE⨯⨯=×4×3=6．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）如图，AB =4，BC =3，5AC =，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC 是直角三角形；（2）如图，AB =AC =BC ==△ABC 是直角三角形；（3）如图，AB BC CD AD =====AC =222AC AB BC =+，∠ABC =90°，即可得到四边形ABCD 是正方形，10ABCD SAB BC =⋅=．【详解】解：（1）如图所示，AB =4，BC =3，5AC =，∴222AC AB BC =+，∴△ABC 是直角三角形；（2）如图所示，AB ==AC =BC =∴222AC AB BC =+，∴△ABC 是直角三角形；（3）如图所示，AB BC CD AD ==== AC =∴222AC AB BC =+，∴∠ABC =90°，∴四边形ABCD 是正方形，∴10ABCDS AB BC =⋅=．【点睛】 本题主要考查了有理数与无理数，正方形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键．2、（1）见解析（2）见解析【分析】（1）利用垂直平分线和角平分线的尺规作图法，进行作图即可．（2）利用直角三角形斜边中线性质，以及角平分线的性质直接证明CED ∠与EDF ∠都是90︒，最后加上90ACB ∠=︒，即可证明结论．【详解】（1）答案如下图所示：分别以A 、B 两点为圆心，以大于2AB 长为半径画弧，连接弧的交点的直线即为垂直平分线l ，其与AB 的交点为D ，以点D 为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA 于点M ，交CD 于点N ，交BD 于点T ，然后分别以点M ，N 为圆心，大于2MN 为半径画弧，连接两弧交点与D 点的连线交AC 于点E ，同理分别以点T ，N 为圆心，大于2TN 为半径画弧，连接两弧交点与D 点的连线交BC 于点F ． （2）证明：D 点是AB 与其垂直平分线l 的交点，D ∴点是AB 的中点，CD ∴是Rt △ABC 上的斜边的中线，2AB CD AD ∴==， DE 、DF 分别是∠ADC ，∠BDC 的角平分线，12CDE ADE ADC ∴∠=∠=∠，12CDF CDB ∠=∠，EDF CDE CDF ∠=∠+∠，11190222EDF ADC CDB ADB ∴∠=∠+∠=∠=︒ ， CD AD CDE ADE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()CDE ADE SAS ∴∆∆≌，1902CED AED AEC ∴∠=∠=∠=︒， 在四边形CEDF 中，90ACB CED EDF ∠=∠=∠=︒，∴四边形CEDF 是矩形．【点睛】本题主要是考查了尺规作图、直角三角形斜边中线性质以及矩形的判定，熟练利用直角三角形斜边中线性质，找到三角形全等的判定条件，并且选择合适的矩形判定条件，是解决本题的关键．3、（1）等边；（2）见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明12BC OC OB AB ===，即可证明△OBC 是等边三角形； （2）先证明COP BOQ ∠=∠，即可利用SAS 证明COP BOQ ≌，得到CP BQ =；（3）先证明COP BOQ ∠=∠，即可利用SAS 证明COP BOQ ≌，得到CP BQ =．【详解】（1）∵∠ACB =90°，∠A =30°，O 是AB 的中点， ∴12BC OC OB AB ===， ∴△OBC 是等边三角形，故答案为：等边；（2）由（1）可知，OB OC =，60BOC ∠=︒， OPQ 是等边三角形，OP OQ ∴=，60POQ ∠=︒，60COP BOP BOQ ∴∠=︒-∠=∠，即COP BOQ ∠=∠，在COP 和BOQ △中OC OB COP BOQ OP OQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()COP BOQ SAS ∴≌，CP BQ ∴=；（3）成立，CP BQ =证明：由（1）可知，OB OC =，60BOC ∠=︒， OPQ 是等边三角形，OP OQ ∴=，60POQ ∠=︒，60COP BOP BOQ ∴∠=︒+∠=∠，即COP BOQ ∠=∠，在COP 和BOQ △中OC OB COP BOQ OP OQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()COP BOQ SAS ∴≌，CP BQ ∴=．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．4、（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为2a【分析】（1）由等边三角形的性质得EO⊥AC，即BD⊥AC，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论；（2）证明菱形ABCD是正方形，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC（三线合一），即BD⊥AC，∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵▱ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD 是正方形，∴正方形ABCD 的面积＝AB 2＝a 2．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD 为菱形是解题的关键．5、（1）（2）见解析【分析】（1）根据30°角所对直角边等于斜边的一半，得到AD =3，根据等腰直角三角形，得到CD =AD =3，根据勾股定理，得到AC 的长即可；（2）根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到DE =DC ，根据等腰三角形三线合一性质，证明即可．【详解】（1）AD BC ⊥90ADB ADC ∴∠=∠=︒30B ∠=︒，6AB =132AD AB ∴== 45ACD ∠=︒45CAD ∴∠=︒3AD CD ∴==AC ∴=（2）连接DE90ADB ∠=︒，AE BE =12ED AB ∴=， 12AD AB =，AD CD =， ED CD ∴=，GD EC ⊥，EG CG ∴=．【点睛】 本题考查了30°角的性质，等腰直角三角形的性质，斜边上中线的性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握性质是解题的关键．。
(必考题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAD 交BC 于点E ，且ADC 60∠=，12AB BC =，连接OE ．下列结论：①AE CE >；②ABC S AB AC =⋅；③ABE AOE S S =；④14OE BC =；成立的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知如图：为估计池塘的宽度BC ，在池塘的一侧取一点A ，再分别取AB 、AC 的中点D 、E ，测得DE 的长度为20米，则池塘的宽BC 的长为（ ）A ．30米B ．60米C ．40米D ．25米 3．如图，在□ABCD 中，AB=5，BC=6，点O 是AC 的中点，OE ⊥AC 交边AD 于点E ，则△CDE 的周长为等于（ ）A ．5.5B ．8C ．11D ．224．把边长相等的正五边形ABCDE 和正方形ABFG ，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD ，则∠DAG ＝（ ）A ．18°B ．20°C ．28°D ．30°5．如图，下面不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AB //CD,AB CD =B ．,AB CD AD BC ==C ．B DAB 180,AB CD ︒∠+∠==D ．B D,BCA DAC ∠=∠∠=∠6．如图，下列哪组条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形（ ）A ．AB ∥CD ，AB ＝CDB ．AB ∥CD ，AD ∥BC C ．OA ＝OC ，OB ＝OD D ．AB ∥CD ，AD ＝BC7．如图，在平行四边形ABCD 中，EF 过两条对角线的交点O ，若1,7,3AB BC OE ===则四边形EFCD 的周长是（ ）A ．17B ．14C ．11D ．108．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,分别以点A 和点C 为圆心，以相同的长（大于12AC ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，下列结论错误的是（ ）A ．AD=CDB ．∠A=∠DCEC ．∠ADE=∠DCBD ．∠A=2∠DCB 9．已知长方形的长和宽分别为a 和b ，其周长为4，则222a ab b ++的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．如图，在四边形ABCD 中，90,32,7A AB AD ︒∠===,M N 分别为线段,DM MN的中点，则BC AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点,E F分别为,EF长度的最大值为( )A．7B．2.5C．5D．3.511．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（）A．∠BDC＝∠ABD B．∠DAB＝∠DCBC．AD＝BC D．AC⊥BD12．正多边形的一个外角的度数为72°，则这个正多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题13．如图，已知正五边形ABCDE，过点A作CD的平行线，交CB的延长线于点F，点→→→．当AFP为等腰三角形时，则P在正五边形的边上运动，运动路径为A B C DAFP的顶角为______度．14．如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线15．已知直角坐标系内有四个点A(-1，2)，B(3，0)，C(1，4)，D(x，y)，若以A，B，C，D 为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为___________________．16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AB＝12，AC＝10，则BD的长为_____．17．如图，在ABCD 中，E 为边BC 延长线上一点，且2CE BC =，连结AE 、DE .若ADE 的面积为1，则ABE △的面积为____.18．如图，顺次连结△ABC 三边的中点D ，E ，F 得到的三角形面积为S 1，顺次连结CEF △三边的中点M ，G ，H 得到的三角形面积为S 2，顺次连结CGH 三边的中点得到的三角形面积为S 3，设ABC 的面积为64，则S 1+S 2+S 3＝_____．19．如图，已知矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 的周长等于_____cm ．20．若正多边形的内角和等于720︒，那么它的每一个外角是 __________︒三、解答题21．如图，点E 和点F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，连接DE 、DF 、BE 和BF ，ADE CBF ∠=∠．求证：四边形BEDF 是平行四边形．22．如图，△ABC 和△DEF 关于某点对称（1）在图中画出对称中心O ；（2）连结AF 、CD ，判断四边形ACDF 的形状，并说明理由．23．在ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ．（1）求证：ABE CDF △≌△；（2）试判断四边形AECF 是不是平行四边形，并说明理由．24．如图，ABC 和BDE 都是等腰直角三角形，90ACB DBE ∠=∠=︒，连接CD ，以CA ，CD 为邻边作CAFD ，连接CE ，BF ．（1）如图1，当D 在BC 边上时，请直接写出CE 与BF 的关系；（2）如图2，将图1中的BDE 绕点B 顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不存在，请说明理由；（3）若3AC =，2BD =，将图1中的BDE 绕点B 顺时针旋转一周，当BD 与直线BC 夹角为30°时，请直接写出CE 的值．25．在ABC 中，AB AC =，36BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一个角度α得到ADE ，点B 、C 的对应点分别是D 、E ．（1）如图1，若点E 恰好与点B 重合，DF AB ⊥，垂足为F ，求BDF ∠的大小； （2）如图2，若108α=︒，连接EC 交AB 于点G ，求证：四边形ADEG 是平行四边形．26．如图1，在Rt ABC 中，906060B AC cm A ∠=︒=∠=︒，，，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D E 、运动的时间是t 秒()015t <<．过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE ，EF ． （1）用含t 的代数式表示下列线段：AE = ，DF = ，AD = ；（2）判断线段EF 与AC 的位置关系，并说明理由；（3）如图2，连接AF ，交DE 于点O ，设y 为ADO △与DFO 的周长差，求y 与t 的函数关系式，并求当t 为何值时，ADO △与DFO 的周长相等．（4）是否存在某一时刻t ，使得DEF 为直角三角形？若存在，请直接写出t 值；不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】利用平行四边形的性质可得60ABC ADC ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，利用角平分线的性质证明ABE ∆是等边三角形，然后推出12AE BE BC ==，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形， 60ABC ADC ∴∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，AE ∵平分BAD ∠，60BAE EAD ∴∠=∠=︒ABE ∴∆是等边三角形，AE AB BE ∴==，60AEB ∠=︒， 12AB BC =， 12AE BE BC ∴==， AE CE ∴=，故①错误；可得30EAC ACE ∠=∠=︒90BAC ∴∠=︒，ABCD S AB AC ∴=⋅，故②正确；BE EC =，E ∴为BC 中点，ABE ACE S S ∆∆∴=，AO CO =，1122AOE EOC AEC ABE S S S S ∆∆∆∆∴===， 2ABE AOE S S ∆∆∴=；故③不正确；四边形ABCD 是平行四边形，AC CO ∴=，AE CE =，EO AC ∴⊥，30∠=︒ACE ，12EO EC ∴=， 12EC AB =， 1144OE BC AD ∴==，故④正确；故正确的个数为2个，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得ABE是等边三角形是关键．2．C解析：C【分析】根据三角形中位线定理可得DE=12BC，代入数据可得答案．【详解】解：∵线段AB，AC的中点为D，E，∴DE=12BC，∵DE=20米，∴BC=40米，故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．3．C解析：C【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，继而可得△CDE的周长等于AD+CD，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=11．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，∵AB=5，BC=6，∴AD+CD=11，∵OE⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=11．故选：C．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4．A解析：A【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的度数，进而求得∠BAD的度数，再利用正方形的内角得出∠BAG＝90°，进而得出∠DAG的度数．【详解】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠E＝∠BAE＝1×540°＝108°，5又∵EA＝ED，∴∠EAD＝1×（180°﹣108°）＝36°，2∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，∵正方形GABF的内角∠BAG＝90°，∴∠DAG＝90°﹣72°＝18°，故选：A．【点睛】本题考查正多边形的内角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可．【详解】根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．故选C．【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．6．D解析：D【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【详解】根据平行四边形的判定，A 、B 、C 均符合是平行四边形的条件，D 则不能判定是平行四边形．故选D ．【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．7．B解析：B【分析】由在平行四边形ABCD 中，EF 过两条对角线的交点O ，易证得AOE COF ∆≅∆，则可得DE CF AD ，26EF OE ，继而求得四边形EFCD 的周长．【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴，OA OC =，1CD AB ==，7AD BC ==EAO FCO ∴∠=∠，在AOE ∆和COF ∆中，EAO FCO OA OCAOE COF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， ()AOE COF ASA ∴∆≅∆，AE CF ∴=，3OE OF ==，6EF ∴=，∴四边形EFCD 的周长是：17614CD DE EF CF CD DE AE EF CD AD EF ，故选：B ．【点睛】题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 8．D解析：D【分析】根据题意可知DE 是AC 的垂直平分线，由此即可一一判断．【详解】∵DE 是AC 的垂直平分线，∴DA=DC ，AE=EC ，故A 正确，∴DE ∥BC ，∠A=∠DCE ，故B 正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB ，故C 正确，故选D ．【点睛】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题．9．B解析：B【分析】由题意可以得到a+b 的值，再利用完全平方公式可以得到答案．【详解】解：由题意可得：2(a+b)=4,∴a+b=2，∴()2222224a ab b a b ++=+==, 故选B ．【点睛】本题考查长方形周长与完全平方公式的综合应用，灵活应用有关知识求解是解题关键 ． 10．B解析：B【分析】连接BD 、ND ，由勾股定理得可得BD=5，由三角形中位线定理可得EF=12DN ，当DN 最长时，EF 长度的最大，即当点N 与点B 重合时，DN 最长，由此即可求得答案.【详解】连接BD 、ND ，由勾股定理得，BD=()()2222732AD AB +=+=5∵点E 、F 分别为DM 、MN 的中点，∴EF=12DN ， 当DN 最长时，EF 长度的最大，∴当点N 与点B 重合时，DN 最长，∴EF 长度的最大值为12BD=2.5， 故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确分析、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.11．D解析：D【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，故选项A正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，故选项B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，故选项C正确；由四边形ABCD是平行四边形，不一定得出AC⊥BD，故选D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的相关知识点是解答本题的关键．12．B解析：B【分析】正多边形的外角和是360°，且正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．【详解】∵正多边形的外角和是360°，∴360÷72＝5，那么它的边数是5．故选B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟练掌握．二、填空题13．36或72或108【分析】根据题意可以分情况谈论：①当AP=AF；②当PF=FA；③当FA=PF；分别求其顶角的度数；【详解】解：易知正五边形的内角为：；∴∠CBA=108°=∠BAE∴∠ABF=1解析：36或72或108【分析】根据题意可以分情况谈论：①当AP=AF；②当PF=FA；③当FA=PF；分别求其顶角的度数；【详解】 解：易知正五边形的内角为：540=1085︒︒ ； ∴∠CBA=108°=∠BAE ，∴∠ABF=180°-108°=72°， ∠BAF=180108362︒-︒=︒ ， ∴∠BFA=180°-72°-36°=72°；∴AB=AF ， 若P 在AB 边上，不可能有PF=FA ，①若PA=PF ，则∠PAF=∠PFA=36°，∴顶角为∠APF=180°-36°×2=108°；②若PA=AF ，则P 与B 重合，此时顶角为∠PAF=36°；若P 在BC 边上，连接AC ，易知AC=CF ，不存在PA=AF ；①若PF=FA ，此时顶角为∠ PFA=72°，②若PA=PF ，则P 与C 重合，顶角为36°；若P 在CD 上，不存在等腰三角形；综上：顶角为108°或36°或72°；故答案为：36或72或108；【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式和三角形的内角和问题，要注意分类讨论的问题，不要遗漏.14．11【分析】先根据题意求出多边形的边数再根据从n 边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答【详解】设多边形的边数为n 则有(n-2)•180＋360=2520解得：n=1414-3=11即从这个多解析：11【分析】先根据题意求出多边形的边数，再根据从n 边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答．【详解】设多边形的边数为n ，则有(n -2)•180＋360=2520，解得：n =14，14-3=11，即从这个多边形的一个顶点出发共有11条对角线，故答案为11．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、多边形的对角线，得到多边形的边数是解本题的关键．15．(52)(-36)(1-2)【分析】D 的位置分三种情况分析；由平行四边形对边平行关系用平移规律求出对应点坐标【详解】解：根据平移性质可以得到AB 对应DC 所以由BC 的坐标关系可以推出AD 的坐标关系即D解析：(5，2)，(-3，6)，(1，-2) ．【分析】D 的位置分三种情况分析；由平行四边形对边平行关系，用平移规律求出对应点坐标．【详解】解：根据平移性质可以得到AB 对应DC ，所以，由B ，C 的坐标关系可以推出A ，D 的坐标关系，即D(-1-2，2+4)，所以D 点的坐标为(-3，6)；同理，当AB 与CD 对应时，D 点的坐标为(5，2)；当AC 与BD 对应时，D 点的坐标为(1，-2)故答案为：(5，2)，(-3，6)，(1，-2)．【点睛】本题考核知识点：平行四边形和平移.解题关键点：用平移求出点的坐标．16．【分析】利用平行四边形的性质可知AO ＝5在Rt △ABO 中利用勾股定理可得BO ＝13即可得出BD ＝2BO ＝26【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴BD ＝2BOAO ＝OC ＝AC ＝5∵AB ⊥AC ∴∠解析：【分析】利用平行四边形的性质可知AO ＝5，在Rt △ABO 中利用勾股定理可得BO ＝13，即可得出BD ＝2BO ＝26．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BD ＝2BO ，AO ＝OC ＝12AC ＝5， ∵AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABO 中，由勾股定理可得：BO 22AO AB 225+1213， ∴BD ＝2BO ＝26，故答案为：26．【点睛】本题考查了平行四边形对角线互相平分性质和勾股定理运用，解题关键是熟悉相关性质． 17．3【分析】首先根据平行四边形的性质可得AD=BC 又由可得BE=3BC=3AD 和的高相等即可得出的面积【详解】解：∵∴AD=BCAD ∥BC ∴和的高相等设其高为又∵∴BE=3BC=3AD 又∵∴故答案为3解析：3【分析】首先根据平行四边形的性质，可得AD=BC ，又由2CE BC =，可得BE=3BC=3AD ，ADE 和ABE △的高相等，即可得出ABE △的面积.【详解】解：∵ABCD ， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∴ADE 和ABE △的高相等，设其高为h ，又∵2CE BC =，∴BE=3BC=3AD ，又∵1=12ADE S AD h =△，1=2ABE S BE h △ ∴11=3322ABE S BE h AD h =⨯=△ 故答案为3.【点睛】此题主要考查利用平行四边形的性质进行等量转换，即可求得三角形的面积.18．21【分析】根据三角形中位线性质证△ADF ≌△DBE ≌△EFD ≌△FEC 求出S1＝S △FEC ＝S ＝16S2＝S1＝4S3＝S2＝1【详解】解：∵点DEF 分别是△ABC 三边的中点∴AD ＝DBDF ＝BC解析：21【分析】根据三角形中位线性质证△ADF ≌△DBE ≌△EFD ≌△FEC ，求出S 1＝S △FEC ＝14S ＝16，S 2＝14S 1＝4，S 3＝14S 2＝1． 【详解】解：∵点D ，E ，F 分别是△ABC 三边的中点，∴AD ＝DB ，DF ＝12BC ＝BE ，DE ＝12AC ＝AF ， 在△ADF 和△DBE 中，AD DB AF DE BE DF =⎧⎪==⎨⎪⎩，∴△ADF ≌△DBE （SSS ），同理可证，△ADF ≌△DBE ≌△EFD ≌△FEC ，∴S1＝S△FEC＝14S＝16，同理可得，S2＝14S1＝4，S3＝14S2＝1，∴S1+S2+S3＝16+4+1＝21，故答案为：21．【点睛】考核知识点：三角形中位线．理解三角形中位线性质，证三角形全等是解决问题的关键．19．20【分析】连接ACBD根据三角形的中位线求出HGGFEFEH的长再求出四边形EFGH的周长即可【详解】如图连接ACBD四边形ABCD是矩形AC＝BD＝8cmEFGH分别是ABBCCDDA的中点HG解析：20【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG，GF，EF，EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可.【详解】如图，连接AC、BD，四边形ABCD是矩形，AC＝BD＝8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，HG＝EF＝12AC＝4cm，EH＝FG＝12BD＝4cm，四边形EFGH的周长等于4＋4＋4＋4＝16cm.【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 20．60【分析】首先设此多边形为n边形根据题意得：180（n-2）=720即可求得n=6再由多边形的外角和等于360°即可求得答案【详解】解：设此多边形为n边形根据题意得：180（n-2）=720解得：解析：60【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=720，即可求得n=6，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=720，解得：n=6，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷6=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．三、解答题21．证明见详解【分析】证明△ADE≌△CBF（ASA），得DE＝BF，∠AED＝∠CFB，则∠DEF＝∠BFE，证出DE∥BF，即可得出四边形BEDF是平行四边形．【详解】解：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，ADE CBF AD CBDAE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．22．（1）见解析；（2）平行四边形，理由见解析【分析】（1）根据中心对称的性质，连接对应点AD、CF，交点即为旋转中心；（2）根据旋转的性质，对应点的连线段互相平分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．【详解】解：（1）对称中心O 如图所示；（2）∵A 与F ，C 与D 是对应点，∴AO =DO ，CO ＝FO ，∴四边形ACDF 是平行四边形．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．23．（1）见解析；（2）是，理由见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB 与CD 的关系，根据平行线的性质，可得∠ABE =∠CDF ，根据AAS ，可得答案；（2）根据平行线的判定，可得AE 与CF 的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得AE 与CF 的大小关系，根据平行四边形的判定，可得答案．【详解】解：（1）△ABE ≌△CDF ，理由如下：∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，∴∠AEB =∠CFD =90°．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴∠ABE =∠CDF ，在△ABE 与△DCF 中，ABE CDF AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDF （AAS ）；（2）四边形AECF 是平行四边形．理由如下：∵△ABE ≌△CDF （AAS ），∴AE =CF ，∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，∴AE//CF ,∴四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．24．（1）CE BF =，CE BF ⊥；（2）成立，证明见解析；（3719【分析】（1）证明△BEC ≌△DBF （SAS ），由全等三角形的性质得出CE=BF ，∠BCE=∠DFB ，则可得到结论；（2）延长FD 交BC 于点G ，证明△CBE ≌△△FDB （SAS ），由全等三角形的性质得出CE=BF ，∠ECB=∠BFG ，则可得出结论；（3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案；【详解】（1）CE BF =，CE BF ⊥；如图，设CE 与BF 相交于点M ，∵△ABC 和△BDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DBE=90°，∴AC=BC ，DE=DB ，∵四边形CAFD 是平行四边形，∴CA=DF=BC ，CA ∥DF ，∠ACB=∠FDB ，∴∠CBE=∠FDB=90°，∴△BEC ≌△DBF （SAS ），∴CE=BF ，∠BCE=∠DFB ，∵∠DFB+∠DBF=90°，∴∠BCE+∠DBF==90°，∴∠CMB=90°，∴CE BF ⊥．（2）成立证明：如图，延长FD 交BC 于点G ．四边形ACDF 是平行四边形，//AC FD ∴，AC FD =，90DGB ACB ∴∠=∠=︒，FDB DGB DBG ∴∠=∠+∠，90FDB DBG ∴∠=︒+∠，90DBE ∠=︒，90CBE DBG ∴∠=︒+∠，FDB CBE∠=∠，ABC是等腰直角三角形，∴=，AC BC=，又AC DF∴=，BC DF=，BD BE∴≌，CBE FDB∴=，ECB BFGCE BF∠=∠，BFG FBG∠+∠=︒，90∴∠+∠=︒，ECB FBG90∴⊥．CE BF（3）如（2）题图，由（2）知∠DGB=90°，BF=CE，∵∠DBC=30°，BD=2，∴DG=1，3，∵AC=3，AC=DF，∴FG=DF+DG=3+1=4，∴()2222=+=+=，4319BF FG BG∴19，如图所示，延长CB交DF于点M，∵AC ∥DF ，AC ⊥BC ，∴BM ⊥DF ，∴∠BMF=∠BMD=90°，∵∠MBD=30°，BD=2，∴DM=1，3，∵AC=DF=3，∴FM=DF-DM=3-1=2， ∴22347BF BM FM =+=+，∴7 ，∴CE 719【点睛】本题是四边形几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； 25．（1）18BDF ∠=︒；（2）见解析．【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠ACB=72゜，再由旋转的性质得∠DBF=∠ACB=72゜，最后根据直角三角形两锐角互余可得结论；（2）分别证明∠DEC=108゜，∠DAG =108゜，可得EG//AD ，AG//DE ，从而可证四边形ADEG 是平行四边形．【详解】解：（1）∵AB AC =，36BAC ∠=︒∴72ABC ACB ∠=∠=︒∴72ADB ABD ∠∠==︒∵DF AB ⊥，∴90DFB ∠=︒∴∠DBF+∠BDF=90゜∴907218BDF ∠=︒-︒=︒（2）∵108α=︒，即108CAE ∠=︒又AE AC =∴36ACE AEC ∠=∠=︒∵∠AED=∠ADE=72゜∴∠DEC=72゜+36゜=108゜∴∠ADE+∠CED=180゜∴EG//AD∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE+∠EAG=∠CAB+∠EAG=108゜∴∠DAG+∠ADE=180゜∴AG//DE∴四边形ADEG 是平行四边形【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．26．（1）2t ，2t ，604t -；（2）//EF AC ，理由见解析；（3）606y t =-，10t =；（4）存在，152t s =或12t s = 【分析】 （1）根据题意直接写出AE ，AD ，在Rt CDF 中写出DF 即可；（2）根据题意可得//DF AE ，再结合（1）中结论，证得四边形ADFE 是平行四边形即可；（3）由（2）可知四边形ADFE 是平行四边形，点O 即为对角线的交点，ADO △与DFO 的周长差即为线段AD 与DF 的差，从而列出表达式再计算即可；（4）分两种情况进行讨论，当DE DF ⊥与DE FE ⊥时，各自进行计算即可．【详解】（1）同时运动t 时间时，2AE t =，4CD t =，604AD AC DC t =-=-，因为30C ∠=︒，DF BC ⊥，则122==DF CD t ， 故答案为：2t ，2t ，604t -；（2）//EF AC ，理由如下：由题：DF BC ⊥，AB BC ⊥，则//DF AB ， 又E 在AB 上，//DF AE ∴，由（1）可知，随着时间变化，总有2AE DF t ==，即：DF 与AE 是平行且相等的关系，则四边形ADFE 是平行四边形，//EF AC ∴，（3）由（2）可知，四边形ADFE 是平行四边形，连接AF ，点O 即为对角线AF 和DE 的交点，则AO FO =，ADO DFO A C D F C D ∆∆∴-=-，即：6042606y t t t =--=-，若ADO △与DFO 的周长相等，则0y =，即：6060t -=，解得：10t =，606y t ∴=-，当10t =时，ADO △与DFO 的周长相等；（4）①若DE DF ⊥，即90EDF ∠=︒时，//DE BC ，则在Rt ADE △中，30ADE C ∠=∠=︒，24AD AE t ∴==，又604AD t =-,6044t t ∴-=， 解得：152t =；②若DE FE ⊥，即90DEF ∠=︒时，四边形ADFE 是平行四边形，//AD EF ∴，DE AD ∴⊥，ADE ∴为直角三角形，90ADE ∠=︒，60A ∠=︒，30DEA ∴∠=︒，12AD AE ∴=， 即：604t t -=，解得：12t =，综上，当152t s =或12t s =时，DEF 为直角三角形． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质等，熟记基本的性质，灵活分类讨论是解题关键．。
(人教版)宁波市八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试题(有答案解析)
一、选择题1．如图，E 是直线CD 上的一点，且12CE CD =．已知ABCD 的面积为252cm ，则ACE △的面积为（ ）A ．52B ．26C ．13D ．392．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ）A ．AE CF =B ．DE BF =C ．ADE CBF ∠=∠D ．ABE CDF ∠=∠ 3．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（ ）A 3B ．2C ．23D ．44．下列说法正确的是（ ）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直的矩形是正方形C ．有一组邻边相等的菱形是正方形D ．各边都相等的四边形是正方形 5．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是,,OA OB CD 的中点，EG 交FD 于点H ．下列结论：①ED CA ⊥；②EF EG =；③12EH EG =；成立的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 6．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．正方形 7．如图，己知四边形ABCD 是平行四边形，下列说法正确．．的是（ ）A ．若AB AD =，则平行四边形ABCD 是矩形B ．若AB AD =，则平行四边形ABCD 是正方形C ．若AB BC ⊥，则平行四边形ABCD 是矩形D ．若AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 是正方形8．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（ ）A ．100912 B ．101012 C ．101112 D ．1021129．顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形是（ ）A ．平行四边形B ．正方形C ．矩形D ．菱形10．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=︒，FO FC =．则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②四边形DEBF 为菱形；③OC FB =；④2AM BM =；⑤:3:2BOM AOE S S =．其中正确结论的个数是（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个11．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AB 上，且:1:2AE BE =，连接AD ，CE 交于点F ，若60ABC S =△，则DBEF S =四边形（ ）A ．15B ．18C ．20D ．2512．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ．点F ，G 分别是BC ，BE 的中点，则FG 的长为（ ）A ．2B ．52C ．102D ．322二、填空题13．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AB 边的中点，若AB ＝8，则CD ＝______． 14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（10，8），过点A 作AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，点D 在AB 上．将△CAD 沿直线CD 翻折，点A 恰好落在x 轴上的点E 处，则点D 的坐标为_______．15．已知Rt ABC ，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，若PAB △与ABC 全等，PC ________．16．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒．17．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝8，EF ＝1，则BC 长为__________．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是斜边AB 中点，若∠B ＝30°，AC ＝2，则CD ＝_____．19．如图，长方形ABCD 中，4=AD ，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE 沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．20．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作C 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的周长记作C 2．照此规律作下去，则C 2020＝__．参考答案三、解答题21．如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AOD ＝60°，AD ＝2，求AC 的长度．22．已知：在Rt △ABC 中，90BAC ∠=，DE 是直角边AB 的垂直平分线，DBA ABC ∠=∠，连接AD ．求证：（1）四边形ADBC 是梯形；（2）12AD BC =． 23．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =．（1）求线段AB 的长．（2）若3BP =，求ABP △的面积．24．如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH ．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒，则GEF ∠= ︒．25．我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．但人们可以通过折纸把一个角三等分，今天我们就通过折纸把一个直角三等分．操作如下：第一步：如图①，对折长方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，沿EF 对折后，得到折痕EF ，把纸片展平；第二步：如图②，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上（标记为点O ），并使折痕经过点B ； 第三步：如图③，再展开纸片，得到折痕BR ，同时连接BO RO 、．这时就可以得到BR BO 、把直角ABC 三等分．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图④，线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕，BOR ∆是由BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形 ，求证：26．如图，在中，，D 为的中点，，，连接交于点O ．（1）证明：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设平行四边形AB边上的高为h，分别表示出△ACE的面积和平行四边形ABCD的面积，从而求出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，12CE CD=，设平行四边形AB边上的高为h，∴△ACE的面积为：12CE h⋅，平行四边形ABCD的面积为2CE h⋅，∴△ACE的面积为平行四边形ABCD的面积的14，又∵□ABCD的面积为52cm2，∴△ACE的面积为13cm2．故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是根据图形的形状得出△ACE的面积为平行四边形ABCD的面积的14．2．B解析：B【分析】根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可．【详解】解：A、∵AE CF=，∴AO=CO，由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO，∴四边形DEBF是平行四边形；B、不能证明四边形DEBF是平行四边形；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF，∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形；D 、同C 可证：△ABE ≌△CDF （ASA ），∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据菱形的性质证明△ABD 是等边三角形，求得BD=4，再证明EF 是△ABD 的中位线即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BD 平分∠ABC ，4AB BC CD DA ====∴∠111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒ ∵AB AD =∴△ABD 是等边三角形， ∴ 4.BD =由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，又∵BD AC ⊥，∴//EF BD∴EF 为△ABD 的中位线， ∴122EF BD == 故选：B ．【点睛】 本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 4．B解析：B【分析】根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．【详解】解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；B.对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，符合题意；C.一组邻边相等的矩形是正方形，说法错误，不合题意；D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．5．A解析：A【分析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF=12AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG=12CD，即可得EF＝EG；连接EG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得EH=12 EG．【详解】解：如图，连接FG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∵BD＝2AD，∴OD＝AD，∵点E为OA中点，∴ED⊥CA，故①正确；∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，∴EF∥AB，EF=12AB，∵∠CED＝90°，CG＝DG=12CD，∴EG=12CD，∴EF＝EG，故②正确；∵EF∥CD，EF＝DG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EH＝HG，即EH=12EG，故③正确；故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形性质等；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上中线等于斜边一半等性质是解题关键．6．A解析：A【分析】画出图形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E，F，G，H是菱形各边的中点，∴EF∥BD，FG∥AC，∴EF⊥FG，同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，∴四边形EFGH是矩形．故选：A．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．【详解】解：A 、若AB=AD ，则▱ABCD 是菱形，选项说法错误；B 、若AB=AD ，则▱ABCD 是菱形，选项说法错误；C 、若AB ⊥BC ，则▱ABCD 是矩形，选项说法正确；D 、若AC ⊥BD ，则▱ABCD 是菱形，选项说法错误；故选：C ．【点睛】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．8．B解析：B【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．【详解】解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°，∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形，同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形．△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=012， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=112， △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=21142=， …， 所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1212n -，则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为120211221122n --==101012． 故选：B ．【点睛】 本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．9．D解析：D【分析】利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.【详解】如图，设矩形ABCD各边的中点依次为E，F，G，H，∴EF，FG，GH，HE分别是△ABC，△BCD，△CDA，△DAB的中位线，∴EF=12AC，FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，故选D.【点睛】本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.10．C解析：C【分析】证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.【详解】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF ≌△CBF （SSS ），∴△OBF 与△CBF 关于直线BF 对称，∴FB ⊥OC ，OM=CM ；∴①正确，∵AB ∥CD ，∴∠OCF=∠OAE ，∵OA=OC ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE=OF ，FC=AE ，∴DF=BE ，DF ∥BE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE ，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF ，∴四边形EBFD 是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE ，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB ＞OB ，∵OB=OC ，∴FB ＞OC ，∴③错误，在直角三角形AMB 中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM ，∴④错误，设ED 与AC 的交点为N ，设AE=OE=2x ，则NE=x ，BE=4x ，∴AB=6x ，∴BM=3x ， ∴11::22BOM AOE S S OM BM AO NE =⋅⋅=3:2OM x OM x ⋅⋅=3:2，结论⑤正确.故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.11．D解析：D【分析】过D 作DG ∥AB ，交CE 于G ，连接DE ，根据三角形中位线的定理可得CG ＝EG ，通过△DGF ≅△AEF ，可得AF=DF ，再利用三角形的面积可求解．【详解】过D 作DG ∥AB ，交CE 于G ，连接DE ，∵D 为BC 的中点，∴DG 为△BCE 的中位线，∴BE ＝2GD ，CG ＝EG ，∵:1:2AE BE =，∴AE=GD ，∵DG ∥AB ，∴∠AEF=∠DGF ，∠EAF=∠GDF ，∴△DGF ≅△AEF ，∴AF=DF ，∵60ABC S =△，∴S △ABD ＝30，S △AED ＝10，∴S △AEF ＝5，∴S 四边形DCEF ＝S △ABD −S △AEF ＝30−5＝25，【点睛】本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．12．C解析：C【分析】连接CE，由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=AE=3，可得ED=1，由勾股定理可求CE 的长，由三角形中位线定理可求FG的长；【详解】连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，AD∥BC，∴∠CBE=∠AEB，∵BE平分∠ABC.∴∠ABE=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=3，∴ED=AD-AE=4-3=1，在Rt△CDE中2222+=+DE CD1310∵点F、G分别为BC、BE的中点,10∴FG是△CBE的中位线，FG=12故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出EC的长度是解题的关键.二、填空题13．4【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得【详解】∵D是AB的中点∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质熟记性质是解题的关键【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得2AB CD =．【详解】∵90C ∠=︒，D 是AB 的中点，∴2AB CD =， ∴118422CD AB ==⨯=． 故答案为：4．【点睛】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 14．【分析】如详解中图先作出△CDE ；再由折叠性质得到CE=CA=10DE=DA=8-m 利用勾股定理计算出OE=6则EB=4在Rt △DBE 中利用勾股定理得到（8-m ）2=m2+42然后解方程求出m 即可得解析：(10,3)【分析】如详解中图，先作出△CDE ；再由折叠性质得到CE=CA=10，DE=DA=8-m ，利用勾股定理计算出OE=6，则EB=4．在Rt △DBE 中利用勾股定理得到（8-m ）2=m 2+42．然后解方程求出m 即可得到点D 的坐标．【详解】解：如图，作△CDE ．设DB=m ．由题意可得，OB=CA=10，OC=AB=8，∵△CED 与△CAD 关于直线CD 对称，∴CE=CA=10，DE=DA=8-m ，在Rt △COE 中，22108-，∴EB=10-6=4．在Rt △DBE 中，∠DBE=90°，∴DE 2=DB 2+EB 2．即（8-m ）2=m 2+42．解得m=3，∴点D 的坐标是（10，3）．故答案为（10，3）．本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．15．5cm 或cm 或cm 【分析】利用勾股定理列式求出AB 然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时AP 与BC 是对应边时四边形ACBP 是矩形然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时根据对称性可知AB ⊥P解析：5cm 或245cm 或75cm ． 【分析】利用勾股定理列式求出AB ，然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时，AP 与BC 是对应边时，四边形ACBP 是矩形，然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时，根据对称性可知AB ⊥PC ，再利用三角形的面积列式计算即可得解；②点P 与点C 在AB 的同侧时，利用勾股定理求出BD ，再根据PC=AB-2BD 计算即可得解．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =， 由勾股定理得，2222435AB AC BC cm =+=+=， 如图，①点P 与点C 在AB 的两侧时，若AP 与BC 是对应边，则四边形ACBP 1是矩形， ∴P 1C=AB=5cm ，若AP 与AC 是对应边，则△ABC 和△ABP 关于直线AB 对称，∴AB ⊥PC设AB 与P 2C 相交于点D ，则S △ABC =12×5•CD=12×3×4， 解得CD=125， ∴P 2C=2CD=2×125=245， ②点P 3与点C 在AB 的同侧时，由勾股定理得，22221293()55BD BC CD =-=-=， 过点P 3作P 3E ⊥AB ，垂足E ，连接P 3C ，如图，则有12×5•P 3E=12×3×4， ∴P 3E=125∴P 3E=CD 又P 3E ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴P 3E//CD ，∴四边形P 3CDE 是平行四边形，又∠CDE=90°∴四边形P 3CDE 是矩形，∴P 3C=DE∵3P AB △≌ABC∴P 3A=BC ，∠P 3AB=∠CBA又∠P 3EA=∠CDB=90°∴△P 3AE ≌△CBD∴AE=BD∴P 3C=AB-2BD=5-2×95=75， 综上所述，PC 的长为5cm 或245cm 或75cm ． 故答案为：5cm 或245cm 或75cm ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，勾股定理，轴对称性，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．16．65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形解析：65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠F=∠BAE=50°，．∵AB=AE，∴∠B=∠AEB=65°，∴∠D=∠B=65°．故答案是：65．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．17．15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF的长即可求出BC的长【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCDC=AB=8A解析：15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF的长，即可求出BC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=8，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=8，同理可证：DE=DC=8，∵EF=AF+DE-AD=1，即8+8-AD=1，解得：AD=15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．18．【分析】先由所对的直角边是斜边的一半求解再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案【详解】解：∠ACB＝90°∠B＝30°AC＝2D是斜边AB中点故答案为：【点睛】本题考查的是含的直角三角形解析：2.【分析】AB再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的先由30所对的直角边是斜边的一半求解,一半可得答案．【详解】 解： ∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，24AB AC ∴==，D 是斜边AB 中点， 1 2.2CD AB ∴== 故答案为：2. 【点睛】本题考查的是含30的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．19．【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折的性质结合题意 解析：17【分析】根据题意可知PB DB ''+最小时，B '落在线段PD 上，利用勾股定理求出PD 即可．【详解】如图，连接PD ，根据题意可知当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小，且最小值为PD 长．在Rt APD 中，2211617PD AP AD =+=+=．综上可知PB DB ''+最小值为17．17【点睛】本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小是解答本题的关键．20．【分析】先计算出C1C2的长进而得到规律最后求出C2020的长即可【详解】解：∵E 是BC 的中点ED ∥AB ∴DE 是△ABC 的中位线∴DE ＝AB ＝AD ＝AC ＝∵EF ∥AC ∴四边形EDAF 是菱形∴C1＝4解析：201812【分析】先计算出C 1、C 2的长，进而得到规律，最后求出C 2020的长即可．【详解】解：∵E 是BC 的中点，ED ∥AB ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12，AD ＝12AC ＝12， ∵EF ∥AC ，∴四边形EDAF 是菱形，∴C 1＝4×12， 同理C 2＝4×12×12=4×212， …C n ＝4×12n ， ∴20202020201811422C =⨯=． 故答案为：201812．【点睛】 本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键．三、解答题21．4【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到OA 的长，从而可以求得AC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∵∠AOD ＝60°，AD ＝2，∴△AOD 是等边三角形，∴OA ＝OD ＝2，∴AC ＝2OA ＝4，即AC 的长度为4．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△AOB 是等边三角形是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得到AD=BD ，利用等边对等角可得到∠DBA=∠DAB ，进而可以证明AD ∥BC ，可以证出四边形ADBC 是梯形；（2）延长DE 交BC 于F ，证明△BDE ≌△BFE ，从而得出四边形ACFD 是平行四边形，进而得出结论．【详解】证明：（1）如图，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∴∠DBA=∠DAB ，∵∠DBA=∠ABC ，∴∠ABC=DAB ，∴AD ∥BC ，∵AC 与BD 不平行，∴四边形ADBC 是梯形，（2）如图，延长DE 交BC 于F ，∵∠DBA=∠ABC ，BE=BE ，∠DEB=∠BEF=90°，∴△BDE ≌△BFE ，∴BF=BD=AD ，∵∠BAC=∠BEF=90°，∴DF ∥AC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ACFD 是平行四边形，∴AD=FC ，FC=BF=AD ， ∴12AD BC ． 【点睛】此题主要考查了梯形的判定，垂直平分线的性质以及平行四边形的判定和性质等知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，以及作出辅助线（延长DE 交BC 于F ），是解决问题的关键．23．（1）5；（2）6【分析】（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB ，即可求出答案；（2）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP ，从而求得△ABP 的面积．【详解】解：（1）∵AP 平分∠DAB ，∴∠DAP=∠PAB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ∥CD ，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP 是等腰三角形，∴AD=DP=2.5，同理：PC=CB=2.5，即AB=DC=DP+PC=5；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA ）=90°， 在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，∴，∴△APB 的面积=4×3÷2=6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．24．（1）见解析；（2）GH EF ⊥，见解析；（3）25︒【分析】（1）利用中位线性质得//EG AB ，且12GE AB =，//HF AB ，且12HF AB =，可推出//EG HF ，且EG HF =，可证四边形EGFH 是平行四边形；（2由G F 、分别是BD BC 、的中点，可得12GF CD =，由（1）知12GE AB =，由AB CD =，可证GE GF =，由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，可证四边形EGFH 是菱形即可；（3）先证四边形EGFH 是平行四边形；再证四边形EGFH 是菱形，由EG ∥AB ，GF ∥CD ，可求∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°利用平角可求∠DGF=180°-∠BGF=110°，利用两角和求∠EGF=130°利用菱形性质求∠GEH=180°-∠EGF=50º，由FE 平分∠GEH ，∠GEF=25︒即可．【详解】证明：（1）E G 、分别是AD BD 、的中点，//EG AB ∴，且12GE AB =， 同理可证：//HF AB ，且12HF AB =， //EG HF ∴，且EG HF =，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）GH EF ⊥，理由：G F 、分别是BD BC 、的中点，12GF CD ∴=， 由（1）知12GE AB =， 又AB CD =，GE GF ∴=， 又四边形EGFH 是平行四边形，∴四边形EGFH 是菱形，GH EF ∴⊥；（3）E G 、分别是AD BD 、的中点，F H 、分别是BC AC 、的中点，//EG AB ∴，//HF AB ，12GE AB =， //EG HF ∴，同理可证//EH GF ，12GF CD =， ∴四边形EGFH 是平行四边形，∵AB CD =，GE GF ∴=，∴四边形EGFH 是菱形，20,70ABD BDC ∠=︒∠=︒，EG ∥AB ，GF ∥CD ，∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，∵FE 平分∠GEH ，∴∠GEF=11502522GEH ∠=⨯︒=︒． 故答案为：25︒．【点睛】 本题考查平行四边形，菱形判断与性质，求菱形内角，掌握平行四边形的判定方法，菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键．25．点O 在折痕EF 上，BR BO 、把ABC ∠三等分，见解析【分析】如图④，线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕，BOR ∆是BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形，点O 在折痕EF 上；连接AO ， 根据折叠的性质可得△AOB 为等边三角形，然后结合矩形的性质即可求证所求问题．【详解】解：已知：如图④，线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕，BOR ∆是BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形，点O 在折痕EF 上．求证：BR BO 、把ABC ∠三等分证明：连接AO线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕∴EF 垂直平分AB又点O 在对称轴EF 上AO BO ∴=BOR ∆是BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形,12BO AB ∴=∠=∠AO BO AB ∴==ABO ∴∆是等边三角形60ABO ︒∴∠=又12ABO ∠+∠=∠1230︒∴∠=∠=又90ABC ︒∠=330ABC ABO ︒∴∠=∠-∠=123∴∠=∠=∠BR BO ∴、把ABC ∠三等分．【点睛】本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质和判定，还考查了学生的观察力和动手能力，动手操作一下，问题更容易解决．26．（1）见解析；（2）【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=AD，即可得出四边形ADCE为菱形；（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F；先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt△CDF中，求出DF即可．【详解】解：（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=AD，∴四边形ADCE为菱形；（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B=60°，CD=BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE∥AB，∴∠DCE=∠BDC=60°，∴∠CDF=30°，又∵CD=BC=6，∴CF=3，∴在Rt△CDF中，DF==．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．。
(常考题)人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测卷(包含答案解析)(4)
一、选择题1．下列命题中，其逆命题是真命题的有（ ）个①全等三角形的对应角相等，② 两直线平行，同位角相等，③等腰三角形的两个底角相等，④正方形的四个角相等．A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．18C ．20D ．243．如图，在平行四边形ABCD 中，100B D ︒∠+∠=，则B 等于（ ）A ．50°B ．65°C ．100°D ．130°4．下列说法正确的是（ ）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直的矩形是正方形C ．有一组邻边相等的菱形是正方形D ．各边都相等的四边形是正方形 5．下列命题为假命题的是（ ）A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．B ．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等．C ．等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合．D ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．6．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．2019(5)C ．2020(5)D ．20205 7．如图，在正方形 ABCD 内有一个四边形AECF ，AE EF ⊥， CF EF ⊥且8AE CF ==，12EF =，则图中阴影分的面积为（ ）A ．100B ．104C ．152D ．3048．矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若4AB CF ==，2BC CE ==，则EH =（ ）A 2B ．2C 3D 59．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．菱形的对角线互相平分且相等B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直平分D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形10．如图，在Rt ABC 中，90C =∠，30A ∠=，D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥于点D ，交AB 于点E ，若83AC =，则DE 的长是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2 11．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD ＝6，BE ＝2，则平行四边形ABCD的周长是（ ）A ．60B ．30C ．20D ．1612．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF 是等腰三角形，则∠BDC （ ）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75º二、填空题13．如图，平行四边形ABCD 中，CE AD ⊥于点E ，点F 为边AB 的中点，连接EF ，CF ，若12AD CD =，38CEF ∠=︒，则AFE ∠=_____________．14．已知菱形的面积为962cm ，两条对角线之比为3∶4，则菱形的周长为__________． 15．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD 四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．16．己知菱形ABCD的边长是3，点E在直线AD上，DE=1，联结BE与对角线AC相交于点M，则AMMC的值是______．17．在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD=AE，且CE<AC．若AD=6，AB=10，则CE=___________18．平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为45 ，该平行四边形的面积为_______．19．如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为_______．20．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2020＝__．参考答案三、解答题21．在ABC 中，AB AC =，点D 在边BC 所在的直线上，过点D 作//DF AC 交直线AB 于点F ，//DE AB 交直线AC 于点E ．（1）当点D 在边BC 上时，如图①，求证：DE DF AC +=．（2）当点D 在边BC 的延长线上时，如图②，线段DE ，DF ，AC 之间的数量关系是_____，为什么？（3）当点D 在边BC 的反向延长线上时，如图③，线段DE ，DF ，AC 之间的数量关系是____（不需要证明）．22．如图，四边形ABCD ，//BC AD ，P 为CD 上一点，PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥． （1）若80BAD ︒∠=，求ABP ∠的度数；（2）求证：=+BA BC AD ；（3）设3BP a =，4AP a =，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E 点F ．若AB EF =，求AE 的长（用含a 的代数式表示）．23．如图，在AOB 和COD △中，OA OB =， OC OD =，90AOB COD ∠=∠=︒，点C 在边AB 上，点 G 是线段AD 的中点．（1）求ABD ∠的度数；（2）求证：OG 平分AOB ∠．24．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，中线BD ，CE 相交于点O ，点F ，G 分别为OB ，OC 的中点．（1）求证：//EF DG ，EF DG =；（2）若3AB =，4AC =，求四边形EFGD 的面积．25．如图1，在四边形ABCD 中，若,A C ∠∠均为直角，则称这样的四边形为“美妙四边形”．（1）概念理解：长方形__________________美妙四边形（填“是”或“不是”）； （2）性质探究：如图l ，试证明：2222CD AB AD BC -=-；（3）概念运用：如图2，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB AC A =∠=︒，点D 为BC 的中点，点E ，点F 分别在,AB AC 上，连接,DE DF ，如果四边形AEDF 是美妙四边形，试证明：AE AF AB +=．26．已知：如图，在ABCD 中，延长DC 至点E ，使得DC CE =，连接AE ，交边BC 于点F ．连接AC ，BE ．（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形．（2）若2AFC D ∠=∠，求证：四边形ABEC 是矩形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先把每一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三组角分别对应相等的两个三角形全等”，逆命题是假命题，故①不符合题意；“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，逆命题是真命题，故②符合题意；“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“在一个三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，故③符合题意；“正方形的四个角相等”的逆命题是“四个角相等的四边形是正方形”，逆命题是假命题，故④不符合题意；综上：符合题意的有②③．故选：.B【点睛】本题考查的是命题与逆命题，命题真假的判断，正方形的判定方法，掌握由原命题得到逆命题，以及判断命题的真假是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．【详解】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．3．A解析：A【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠B即可得解．【详解】解：□ABCD中，∠B＝∠D，∵∠B+∠D＝100°，∴∠B＝1×100°＝50°，2故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题．4．B解析：B【分析】根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．【详解】解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；B.对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，符合题意；C.一组邻边相等的矩形是正方形，说法错误，不合题意；D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．5．B解析：B【分析】根据直角三角形斜边的中线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意；B 、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等，是假命题，符合题意．C 、等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合，是真命题，不符合题意；D 、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．B解析：B【分析】结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B由题意，以此类推，21C B =22C B =∴第3个正方形1234C C C C 25==…∴第n 个正方形的边长为1n -∴第2020个正方形的边长为2019(5)故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．7．B解析：B【分析】由题意可证四边形AECF 是平行四边形，可得AO ＝CO ，EO ＝FO ＝12EF ＝6，由勾股定理可求AO ＝10，可得AC ＝20，由阴影分的面积＝S 正方形ABCD -S ▱AECF 可求解．【详解】解：连接AC ，∵AE ⊥EF ，CF ⊥EF ，∴AE ∥CF ，且AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AO ＝CO ，EO ＝FO ＝12EF ＝6， ∴AO 22AE EO +10，∴AC ＝20， ∴阴影分的面积＝S 正方形ABCD -S ▱AECF ＝20202⨯-8×12＝104， 故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．8．A解析：A【分析】延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ，先计算出RG=6，∠ARG=90︒，AR=2，根据勾股定理求出210AG =10，利用1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅，求出2105EN =，即可利用勾股定理求出NG 、EH ．【详解】如图，延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ， ∵矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG=90︒，AR=AR-CE=4-2=2，∴222222061AG AR RG =+==+，∵H 是AG 中点，∴HG=10，∵1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅， ∴21204EN ⨯=，∴2105EN =， 在Rt △ENG 中，22610EG EN NG =-= ， ∴10NH NG HG =-=， ∴222NH EH EN +==，故选：A ．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC，利用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出DE．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，设BC=x，则AB=2x，∴(222=+，4x x解得：x=8或-8（舍），∴BC=8，⊥，∵D是AC边的中点，DE AC∴DE=1BC=4，2故选C．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．【详解】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2，∴AD=BC=6，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．12．C解析：C【分析】由翻折可知：△BDF≌△BCD，所以∠EBD=∠CBD，∠E=∠C=90°，由于△EDF是等腰三角形，易证∠ABF=45°，所以∠CBD=12∠CBE=22.5°，从而可求出∠BDC=67.5°．【详解】解：由翻折的性质得，∠DBC=∠EBD，∵矩形的对边AD∥BC，∠E=∠C=90°，∴∠DBC=∠ADB，∴∠EBD=∠ADB，∵△EDF是等腰三角形，∠E=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DFE=45°，∵∠EBD+∠ADB=∠DFE，∴∠DBF=12∠DFE=22.5°，∴∠CBD =22.5°，∴∠BDC=67.5°，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．二、填空题13．24°【分析】延长CF交DA延长线于点G证△BCF≌△AGF得GF=FC由垂直得△FEC是等腰三角形可知△BFC是等腰三角形求出∠GFE和∠GFA即可【详解】解：延长CF交DA延长线于点G∵AG∥B解析：24°【分析】延长CF 交DA 延长线于点G ，证△BCF ≌△AGF ，得GF=FC ，由垂直得△FEC 是等腰三角形，12AD CD =，可知△BFC 是等腰三角形，求出∠GFE 和∠GFA 即可． 【详解】解：延长CF 交DA 延长线于点G ，∵AG ∥BC ，∴∠G=∠BCF ，∠GAF=∠B ，∵AF=FB ，∴△AGF ≌△BCF ，∴GF=CF ，AG=BC ，∵CE AD ⊥，∴EF=FG=FC ，∠GEC=90°，∵38CEF ∠=︒，∴∠FEG=∠FGE=52°，∠GFE=76°， ∵12AD CD =， ∴BC=BF=AF ，∵AG=BC ，∴AG=AF ，∠G=∠AFG=52°， AFE ∠=76°-52°=24°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题关键是作出适当的辅助线，构造等腰三角形．14．40【分析】依题意已知菱形的面积以及对角线之比首先根据面积公式求出菱形的对角线长然后利用勾股定理求出菱形的边长【详解】解：设两条对角线长分别为3x 和4x 由题意可得：解得：x=±4（负值舍去）∴对角线解析：40cm【分析】依题意，已知菱形的面积以及对角线之比，首先根据面积公式求出菱形的对角线长，然后利用勾股定理求出菱形的边长．【详解】解：设两条对角线长分别为3x 和4x ，由题意可得：134962x x =，解得：x=±4（负值舍去） ∴对角线长分别为12cm 、16cm ，又∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得菱形的边长，则菱形的周长为40cm ．故答案为：40cm ．【点睛】此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．15．24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF 根据折叠的性质得到推出△GEF 是等边三角形于是得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ∴∠AEG解析：24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF ，根据折叠的性质得到60GEF DEF ∠=∠=︒，推出△GEF 是等边三角形，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEG=∠EGF ，∵将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ''，∴60GEF DEF ∠=∠=︒，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，∴△EGF 是等边三角形，∵EF=8，∴△GEF 的周长=24，故答案为：24．【点睛】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．16．或【分析】首先根据题意作图注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上然后由菱形的性质可得AD ∥BC 则可证得△MAE ∽△MCB 根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是 解析：23或43 【分析】 首先根据题意作图，注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上，然后由菱形的性质可得AD ∥BC ，则可证得△MAE ∽△MCB ，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是3，∴AD=BC=3，AD ∥BC ，如图①：当E 在线段AD 上时，∴AE=AD －DE=3－1=2，∴△MAE ∽△MCB ，∴23MA AE MC BC ==； 如图②，当E 在AD 的延长线上时，∴AE=AD+DE=3+1=4，∴△MAE ∽△MCB ，∴43MA AE MC BC ==． ∴MA MC的值是23或43． 故答案为23或43．【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上两种情况，小心不要漏解．17．【分析】先根据勾股定理求得AB 再做△ABD 的中位线EF 可得EF=3BF=DF=4从而可得CF=1再次利用勾股定理即可求得CE 【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线AD=6AB=10∴∠D=90°∵CE 是解析：10 【分析】先根据勾股定理求得AB ，再做△ABD 的中位线EF ，可得EF=3，BF=DF=4，从而可得CF=1，再次利用勾股定理即可求得CE ．【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线，AD =6，AB =10，∴∠D=90°，22BD AB AD 8=-=，∵CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，∴152CD AE BE AB ====， 取BD 的中点F,连接CF ，∴EF 为△ABD 的中位线，∴132EF AD ==,EF//AD ， ∴∠EFB=∠D=90°， 在Rt △BEF 中，根据勾股定理，2222534BF BE EF =-=-=,∴DF=BD-BF=8-4=4，∴CF=CD-DF=5-4=1，在Rt △CEF 中，根据勾股定理，22221310CE CF EF +=+=10【点睛】本题考查三角形中位线的定理，勾股定理．能正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．18．【分析】画出图形证明四边形EFGH 是平行四边形得到∠EHG=45°计算出MG 得到四边形EFGH 的面积从而得到结果【详解】解：如图四边形ABCD 是平行四边形EFGH 分别是各边中点过点G 作EH 的垂线垂足解析：2【分析】画出图形，证明四边形EFGH是平行四边形，得到∠EHG=45°，计算出MG，得到四边形EFGH的面积，从而得到结果．【详解】解：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，过点G作EH的垂线，垂足为M，AC=6，BD=8，可得：EF=HG=12AC=3，EH=FG=12BD=4，EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC和BD夹角为45°，可得∠EHG=45°，∴△HGM为等腰直角三角形，又∵HG=3，∴MG=233222=，∴四边形EFGH的面积=MG EH⋅=62，∴平行四边形ABCD的面积为122，故答案为：122．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形的性质解决问题．19．3【分析】首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线然后根据角平分线的性质求得点P到BD的距离即可【详解】结合作图的过程知：BP平分∠ABD∵∠A＝90°AP＝3∴点P到BD的距离等于AP的长为3解析：3【分析】首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线，然后根据角平分线的性质求得点P到BD 的距离即可．【详解】结合作图的过程知：BP平分∠ABD，∵∠A＝90°，AP＝3，∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，故答案为：3．【点睛】考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP 平分∠ABD ．20．【分析】先计算出C1C2的长进而得到规律最后求出C2020的长即可【详解】解：∵E 是BC 的中点ED ∥AB ∴DE 是△ABC 的中位线∴DE ＝AB ＝AD ＝AC ＝∵EF ∥AC ∴四边形EDAF 是菱形∴C1＝4 解析：201812【分析】先计算出C 1、C 2的长，进而得到规律，最后求出C 2020的长即可．【详解】解：∵E 是BC 的中点，ED ∥AB ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12，AD ＝12AC ＝12， ∵EF ∥AC ，∴四边形EDAF 是菱形，∴C 1＝4×12， 同理C 2＝4×12×12=4×212， …C n ＝4×12n， ∴20202020201811422C =⨯=． 故答案为：201812．【点睛】 本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键．三、解答题21．）（1）见解析；（2）DF AC DE =+，见解析；（3）DE AC DF =+【分析】（1）证明四边形AFDE 是平行四边形，且△DEC 和△BDF 是等腰三角形即可证得；（2）结论：当点D 在边BC 的延长线上时，在图②中，DF AC DE =+，证明方法类似（1）；（3）结论：当点D 在边BC 的反向延长线上时，在图③中，DE AC DF =+．证明方法类似（1）．【详解】证明：（1）∵//DF AC ，//DE AB ． ∴四边形AFDE 是平行四边形． ∴DF AE =．∵AB AC =．∴B C ∠=∠．∵//DE AB ．∴EDC B ∠=∠．∴EDC C ∠=∠．∴DE EC =．∴DE DF EC AE AC +=+=．（2）DF AC DE =+．理由：∵//DF AC ，//DE AB ， ∴四边形AFDE 是平行四边形． ∴AE DF =．∵//DE AB ，∴B BDE ∠=∠．∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．∵DCE ACB ∠=∠，∴BDE DCE ∠=∠．∴DE CE =．∴AC DE AC CE AE DF +=+==．（3）DE AC DF =+理由：∵DF ∥AC ，DE ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴DF=AE ，∠EDC=∠ABC ，又∵∠AB=AC ，∴∠ABC=∠C∴∠EDC=∠C ，∴DE=EC ，∴DE EC AE AC AC DF ==+=+．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（1）50︒；（2）证明见解析；（3）52a 或3910a 【分析】（1）根据已知条件PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥以及三角形内角和，即可求得ABP ∠的度数；（2）延长BP 交AD 的延长线于点G ，由已知条件即可证明ABP AGP ≌，即可得到BA GA =，BP GP =，进而即可证明BCP GDP △≌△，即可得到=BC GD ，通过相等关系，即可证明=+BA BC AD ；（3）根据题意可知，可以分两种情况进行讨论，分别为：①当//AB EF 时，延长BP 交AD 的延长线于点G ，可知此时四边形ABFE 是平行四边形，可以求得AB 的长度，由（2）中证明的ABP AGP ≌，BCP GDP △≌△，可得BA GA =，BP GP =，=CP DP ，=BC GD ，进而可以证明CFP ≌DEP ，可得CF DE =，进而通过线段的等量关系求得AE 的长；②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，同①可得PFC PED △≌△，则CF DE =，则可得5BF AE BC AD AB a +=+==，由ABP △和梯形ABCD 的面积关系可得BH 的长度，通过勾股定理即可得到AH 的长度，通过证明Rt BHA △≌Rt FIE △，可得75AH EI a ==，进而通过等量关系即可得到AE 的长．【详解】（1）∵PA 平分BAD ∠，BP AP ⊥， ∴11804022BAP DAP BAD ∠=∠=∠=⨯︒=︒,90APB ∠=︒， ∴在Rt ABP 中，180180409050ABP BAP APB ∠=︒-∠-∠=-︒-︒=︒； （2）如图1，延长BP 交AD 的延长线于点G ，∵BP AP ⊥，PA 平分BAD ∠， ∴90APB APG ∠=∠=︒，BAP GAP ∠=∠，在ABP △和AGP 中，BAP GAP ∠=∠，AP AP =，APB APG ∠=∠， ∴ABP AGP ≌，∴BA GA =，BP GP =， ∵//BC AD ，∴CBP DGP ∠=∠，在BCP 和GDP △中，CBP DGP ∠=∠，BP GP =，CPB DPG ∠=∠，∴BCP GDP △≌△，∴=BC GD ，∴BA GA AD GD AD BC ==+=+；（3）分两种情况讨论，①当//AB EF 时，如图2，延长BP 交AD 的延长线于点G ，∴由已知条件可知，此时四边形ABFE 是平行四边形，∴AE BF =，∵3BP a =，4AP a =，BP AP ⊥，∴在Rt ABP 中，222AB BP AP =+，解得，5AB a =，由（2）可知，ABP AGP ≌，∴5BA GA a ==，3BP GP a ==，由（2）可知，BCP GDP △≌△，∴=CP DP ，=BC GD ，∵//BC AD ，∴BFP GEP ∠=∠，在CFP 和DEP 中，CFP DEP ∠=∠，=CP DP ，CPF DPE ∠=∠，∴CFP ≌DEP ，∴CF DE =，∵=BC GD ，∴BC CF GD DE +=+,∴BF EG =，又∵四边形ABFE 是平行四边形，∴BF AE =,∴BF AE EG ==,∴25AG AE a ==， ∴52AE a =；图2②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，同①可得PFC PED △≌△，∴CF DE =，∴BF AE BF AD DE BF AD CF BC AD +=++=++=+，∴5BF AE BC AD AB a +=+==，在Rt ABP 中，2162ABP S BP AP a =⋅=△， 由（2）可知，梯形ABCD 的面积2212ABP S a ==△，梯形ABCD 的面积2122BC AD BH a +=⨯=， 解得，245BH a =， 在Rt ABH 中，2275AH AB BH a =-=， ∵//BC AD ，∴BH FI =，BF HI =，∵在Rt BHA △和Rt FIE △中，BH FI =，AB EF =，∴Rt BHA △≌Rt FIE △， ∴75AH EI a ==， ∴2()BF AE BF AH EI HI BF AH +=+++=+，∴2()BF AE BF AH +=+，∴1110BF a =， ∴3910AE AB BF a =-=．图3【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的证明和性质、三角形面积、梯形面积、线段的和差、三角形内角和等知识，解答本题的关键是正确的作出辅助线，证明三角形全等．23．（1）∠ABD=90°；（2）证明见解析．【分析】（1）只需要证明△BOD ≌△AOC ，再根据等腰直角三角形的性质即可得出∠OBD=∠OAB=∠OBA=45°，从而求得ABD ∠的度数；（2）延长BD 与AO 的延长线交于E ，可证明△OBE ≌△OBA ，得出OA=OE ，从而得出OG 为△ADE 的中位线，根据三角形中位线的性质可求得∠AOG=∠E=45°，继而证明结论．【详解】解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，OA OB =，∴∠OBA=∠OAB=45°，∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC ，即∠AOC=∠BOD ，又∵OA OB =，OC OD =，∴△BOD ≌△AOC （SAS ），∴∠OBD=∠OAB=45°，∴∠ABD=∠OBA+∠OBD=90°；（2）延长BD 与AO 的延长线交于E ，∵∠AOB=90°，∴∠BOE=90°，又∵OB=OB ，∠OBD=∠OBA=45°，∴△OBE ≌△OBA （SAS ），∴∠E=∠OAB=45°，EO=OA ，又∵G 为AD 的中点，∴OG 为△ADE 的中位线，即OG//ED ，∴∠AOG=∠E=45°，即12AOG AOB ∠=∠ ， ∴OG 平分AOB ∠．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质．（1）中掌握全等三角形的判定定理，并能结合题意选择合适的定理作为依据证明是解题关键；（2）中正确作出辅助线是解题关键．24．（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用中位线性质可得12ED BC =，//ED BC ．12FG BC =，//FG BC ．可证四边形EFGD 是平行四边形．由平行四边形性质可得EF DG =，//EF DG ．（2）由EFGD 和OG GC =，可推得EO OG CG ==．求13462ABC S =⨯⨯=△由点D 是AC 中点，1322DEC AEC S S ==△△．由三等分可求2231332DEG DEC S S ==⨯=△△．根据平行四边形性质可得四边形DEFG 的面积22DEG S ==△． 【详解】（1）证明：∵点E ，D 分别是AB ，AC 的中点，∴12ED BC =，//ED BC ． ∵点F ，G 分别是OB ，OC 的中点，∴12FG BC =，//FG BC ． ∴FG ED =，//FG ED ．∴四边形EFGD 是平行四边形．∴EF DG =，//EF DG ；（2）解：∵EFGD ，∴EO OG =．又∵OG GC =，∴EO OG CG ==．∵3AB =，4AC =， ∵13462ABC S =⨯⨯=△， ∵点D 是AC 中点， ∴1322DEC AEC S S ==△△． ∴2231332DEG DEC S S ==⨯=△△． ∴四边形DEFG 的面积22DEG S ==△．【点睛】本题考查中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，掌握中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，注意中线与中位线的区别以及它们性质是解题关键． 25．（1）是；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为长方形的四个角都是直角，所以长方形是美妙四边形；（2）连接BD ，在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，根据勾股定理可以解决；（3）连接AD ，利用等腰直角三角形的性质证明90ADB ∠=︒，45DAF EBD ∠=∠=︒，AD BD =，于是可证ADF BDE ∠=∠，继而证明用ASA 证明BED AFD ∆≅∆，根据全等三角形的性质得BE AF =，据此可得AE AF AB +=．【详解】解：（1）∵长方形的四个角都是直角，∴长方形是美妙四边形；故答案是：是；（2）如图1，连接BD ，在Rt △ABD 中，222BD AB AD =+，在Rt △CBD 中，222BD BC CD =+，∴2222CD CB AD AB +=+，∴2222CD AB AD BC -=-；（3）如图2，连接AD ，∵四边形AEDF 是美妙四边形，90A ∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∵,90AB AC A =∠=︒，点D 为BC 的中点，∴90ADB ∠=︒，45DAF EBD ∠=∠=︒，AD BD =，∴ADF BDE ∠=∠，在Rt △ADF 和Rt △BDE 中，DAF DBE AD BDADF BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()BED AFD ASA ∆≅∆BE AF ∴=，AE AF AE BE AB ∴+=+=【点睛】本题考查了四边形综合问题，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造直角三角形或全等三角形是解题关键．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意可得到//AB CE ，从而再证明AB CE =即可得出结论；（2）结合（1）的结论可以得到//BC AD ，BCE D ∠=∠，再根据2AFC D ∠=∠推出FEC FCE ∠=∠，从而得到FC FE =即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB CD ，AB CD =，即//AB CE ，∵DC CE =，∴AB CE =，∴四边形ABEC 是平行四边形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//BC AD ，BCE D ∠=∠，∵四边形ABEC 是平行四边形，又∵AFC FEC BCE ∠=∠+∠，∴当2AFC D ∠=∠时，则有FEC FCE ∠=∠，∴FC FE =，AE BC =，∴四边形ABEC是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握基本的性质定理以及判定方法是解题关键．。
2022年冀教版八年级数学下册第二十二章四边形同步练习试题(含详细解析)
八年级数学下册第二十二章四边形同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D落在∠BAC内部．若∠=∠，且15CAE BAD'2∠=︒，则∠DAE的度数为（）CAD'A．12°B．24°C．39°D．45°2、如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB 的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm3、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 是直线y 上一动点，将点A 向右平移1个单位得到点B ，点C （1，0），则OB ＋CB 的最小值为（ ）A B ．C D 5、已知菱形两条对角线的长分别为8和10，则这个菱形的面积是（ ）A ．20B ．40C ．60D ．806、如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，连接AE ，EM ⊥AE ，垂足为E ，交CD 于点M ．AF ⊥BC ，垂足为F ．BH ⊥AE ，垂足为H ，交AF 于点N ，连接AC 、NE .若AE =BN ，AN =CE ，则下列结论中正确的有（ ）个．①ANB CEA ≌△△；②ABC 是等腰直角三角形；③NFE 是等腰直角三角形；④ANE ECM ≌△△；⑤AD EC =+．A ．1B ．3C ．4D ．57、下列命题是真命题的有（ ）个．①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．A ．1B ．2C ．3D ．48、如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a 、b ，且a 2＋b 2＝ab ＋10，那么小正方形的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59、下列说法错误的是（ ）A ．平行四边形对边平行且相等B ．菱形的对角线平分一组对角C ．矩形的对角线互相垂直D ．正方形有四条对称轴10、一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ）A ．5B ．4C ．7D ．6第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图所示，ABCD 是长方形地面，长16m AB =，宽9m AD =，中间竖有一堵砖墙高1m MN =．一只蚂蚱从B 点爬到D 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走______m 的路程．2、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A，D分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点B在x轴的负半轴上，若OA＝3OD，S菱形ABCD＝C的坐标为______．3、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是________．符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．矩形的性质定理2：矩形的对角线________．符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．4、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF AD⊥，垂足为点F．若AF=，53EC=，则正方形ABCD的面积为______．5、已知一个多边形的内角和为1080，则这个多边形是________边形．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且45∠=︒，求证：EAF△绕点A顺时针旋转90°至ADG，使AB与AD重合时能够证EF DF BE=+．小明发现，当把ABE明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且45∠=︒，则EAF（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF，BE，DF之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45∠=︒，则EF，BE，DF之间的EAF数量关系是______（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=AF的长．2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，以点A ，B ，C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为1D ，2D ，3D ，如图所示．(1)若1m =-，则点1D ，2D ，3D 的坐标分别是（ ），（ ），（ ）；(2)若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，①直接写出m 的值； ②若直线12y x b =+与△123D D D 有公共点，求b 的取值范围．(3)若直线y x =与△123D D D 有公共点，求m 的取值范围．3、已知在ABC 与CDE △中，,,AB CD B D ACE B =∠=∠∠=∠，点B C D 、、在同一直线上，射线AH EI 、分别平分BAC CED ∠∠、．(1)如图1，试说明AC CE =的理由；(2)如图2，当AH EI 、交于点G 时，设,B AGE αβ∠=∠=，求β与α的数量关系，并说明理由；(3)当AH EI ∥时，求B 的度数．4、如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，点G 在CD 上，AB ＝5，CE ＝2，T 为AF 的中点，求CT 的长．5、已知正多边形的内角和比外角和大720°，求该正多边形所有对角线的条数．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】由折叠的性质得到DAE EAD '∠=∠，由长方形的性质得到90DAE EAD BAD ''∠+∠+∠=︒，根据角的和差倍分得到290EAD BAD ''∠+∠=︒，整理得2()90CAE CAD BAD ''∠+∠+∠=︒ ，最后根据+2DAE EAD CAE CAD BAD CAD ''''∴∠=∠=∠∠=∠+∠解题．【详解】解：折叠，DAE EAD '∴∠=∠ ABCD 是矩形DA AB ∴⊥90DAE EAD BAD ''∴∠+∠+∠=︒290EAD BAD ''∴∠+∠=︒2()90CAE CAD BAD ''∴∠+∠+∠=︒2,15CAE BAD CAD ''∠=∠∠=︒2(215)90BAD BAD ''∴∠+︒+∠=︒30590BAD '∴︒+∠=︒12BAD '∴∠=︒+22121539DAE EAD CAE CAD BAD CAD ''''∴∠=∠=∠∠=∠+∠=⨯︒+︒=︒39DAE ∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．2、B【解析】【分析】由菱形的性质得出BD ＝6cm ，由菱形的面积得出AC ＝8cm ，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BD⊥AC，AC×BD＝24cm2，∵BD＝6cm，S菱形ABCD═12∴AC＝8cm，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，AC＝4cm，∴OE＝12故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．3、A【解析】【分析】利用勾股定理逆定理证得△ABC是直角三角形，由此判断①；证明△ABC≌△DBF得到DF＝AE，同理可证：△ABC≌△EFC，得到EF＝AD，由此判断②；由②可判断③；过A作AG⊥DF于G，求出AG即可求出S▱AEFD，判断④．【详解】解：∵AB＝3，AC＝4，32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE ＝150°，∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，∴BD ＝BA ，BF ＝BC ，∴∠DBF ＝∠ABC ，在△ABC 与△DBF 中，AB DB ABC DBF BC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DBF （SAS ），∴AC ＝DF ＝AE ＝4，同理可证：△ABC ≌△EFC （SAS ），∴AB ＝EF ＝AD ＝3，∴四边形AEFD 是平行四边形，故②正确； ∴∠DFE ＝∠DAE ＝150°，故③正确； 过A 作AG ⊥DF 于G ，如图所示：则∠AGD ＝90°，∵四边形AEFD 是平行四边形，∴∠FDA ＝180°﹣∠DFE ＝180°﹣150°＝30°，∴AG ＝12AD ＝32， ∴S ▱AEFD ＝DF •AG ＝4×32＝6；故④错误； ∴错误的个数是1个，故选：A ．．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的30度角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．4、A【解析】【分析】设D（﹣1，0），作D点关于直线y=的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED 的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．【详解】解：设D（﹣1，0），作D点关于直线y=的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，ED交FH于点G，作ES⊥x轴于S，∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，∴AD＝OB，OA＝BC，∴AD ＋OA ＝OB ＋BC ，∵AE ＝AD ，∴AE ＋OA ＝OB ＋BC ，即OE ＝OB ＋BC ，∴OB ＋CB 的最小值为OE ，由y =，当0y =0=， 解得：4x =-，(4,0)F ∴-，4OF ∴=，当0x =时，y =H ∴，OH ∴=FH ∴== 取OF 的中点M ，过M 作x 轴的垂线交HF 于N ，(2,0)M ∴-，当2x =-时，y =(N ∴-，ON ∴== 12ON FH ∴=， N ∴为FH 的中点，HN ON OH ∴==，OHN ∴为等边三角形，60HON ∴∠=︒，30FON ∴∠=︒，FN ON =，30OFH ∴∠=︒，∴FD ＝3，∠FDG ＝60°，∴DG ＝12DF ＝32， ∴DE ＝2DG ＝3，∴ES DS ＝12DE ＝32， ∴OS ＝52，∴OE∴OB ＋CB故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值．5、B【解析】【分析】根据菱形的面积公式求解即可．【详解】×10×8＝40．解：这个菱形的面积＝12故选：B．【点睛】本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的面积公式是解题的关键．6、C【解析】【分析】证出∠NBF=∠EAF=∠MEC，再证明△NBF≌△EAF（AAS），得出BF=AF，NF=EF，证明△ANB≌△CEA得出∠CAE=∠ABN，推出∠ABF=∠FAC=45°；再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF，得出AF+EC，即可得出结论．【详解】解：∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，在△NBF和△EAF中，NBF EAFBFN EFAAE BN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NBF≌△EAF（AAS）；∴BF=AF，NF=EF，∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，∴△NFE是等腰直角三角形，故③正确；∵∠ANB=90°+∠EAF，∠CEA=90°+∠MEC，∴∠ANB=∠CEA，在△ANB和△CEA中，AN CEANB CEABN AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ANB≌△CEA（SAS），故①正确；∵AN=CE，NF=EF，∴BF=AF=FC，又∵AF⊥BC，∠ABC=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，故②正确；在▱ABCD中，CD∥AB，且△ABC、△NFE都是等腰直角三角形，∴∠ACD=∠BAC=90°，∠ACB=∠FNE=45°，∴∠ANE=∠BCD=135°，在△ANE和△ECM中，MEC EAFAN ECANE ECM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ANE≌△ECM（ASA），故④正确；∴CM=NE，又∵NF，∴AF+EC，∴AD=BC=2AF+2EC，故⑤错误．综上，①②③④正确，共4个，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．7、B【解析】【分析】根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．【详解】解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；④四条边都相等的四边形是菱形，正确；⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．故选：B．【点睛】此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．8、A【解析】【分析】由正方形1性质和勾股定理得2218a b +=，再由2210a b ab +=+，得1018ab +=，则8ab =，即可解决问题．【详解】解：设大正方形的边长为c ，大正方形的面积是18，218c ∴=，22218a b c ∴+==，2210a b ab +=+，1018ab ∴+=，8ab ∴=，∴小正方形的面积222()218282b a a b ab =-=+-=-⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出8ab =．9、C【解析】【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质分别进行判断即可．【详解】解：A、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；B、菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；C、矩形的对角线相等，不正确，符合题意；D、正方形有四条对称轴，正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．10、D【解析】【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．【详解】解：根据题意，得：（n-2）×180=360×2，解得n=6．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．二、填空题1、【解析】【分析】根据题意，将长方形底面和中间墙展开为平面图，并连接BD ，根据两点之间直线段最短和勾股定理的性质计算，即可得到答案．【详解】将长方形底面和中间墙展开后的平面图如下，并连接BD根据题意，展开平面图中的16218m AB =+=∴一只蚂蚱从B 点爬到D 点，最短路径长度为展开平面图中BD 长度∵ABCD 是长方形地面∴90A ∠=︒∴BD ==故答案为：【点睛】本题考查了立体图形展开图、矩形、两点之间直线段最短、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握立体图形展开图、勾股定理的知识，从而完成求解．2、（－8）【解析】【分析】由菱形的性质可得出BC AD AB CD ===，即4BC OD =，4AB OD =，再根据勾股定理可求出OB 的长度．设0OD x =>，则4AD x OB =，，列等式OB AD ⨯=2,8OD OB BC ===，则答案可解．【详解】3OA OD =34AD AO OD OD OD OD ∴=+=+=，四边形ABCD 为菱形，BC AD ∴∥，BC AD AB CD ===，即4BC OD =，4AB OD =，90AOB ∠=︒，OB ∴==．设0,OD x => 则4AD x OB =，，ABCD S =菱形OB AD ⨯=4x ⋅=解得1222x x ==-，（舍去）2,8OD OB BC ∴===．AD 在y 轴上,BC AD ∥，即BC y ∥轴，则BC x ⊥轴，()8C ∴--． 【点睛】本题考查了菱形的性质及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出OD 、OB 、BC 的长是解题的关键．3、 直角 相等【解析】略4、49【解析】【分析】延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，由正方形的性质得45CDB ∠=︒，推出BME 是等腰直角三角形，得出3EM BM ==，由勾股定理求出CM ，故得出BC ，由正方形的面积公式即可得出答案．【详解】如图，延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴45CDB ∠=︒，∴BME 是等腰直角三角形，∴3EM BM ==，在Rt EMC 中，4CM =，∴347BC BM CM =+=+=，∴22749ABCD S BC ===正方形．故答案为：49．【点睛】本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．5、八##8【解析】【分析】n 边形的内角和是（n -2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【详解】解：根据n 边形的内角和公式，得（n -2）•180=1080，解得n =8．∴这个多边形的边数是8．故答案为：八．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．三、解答题1、（1）见解析；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；②BE EF DF =+，见解析；（3）【解析】【分析】（1）证明EAF GAF ∆≅∆，可得出EF FG =，则结论得证；（2）①将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆根据SAS 可证明EAF MAF ∆≅∆，可得EF FM =，则结论得证；②将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABN ∆，证明AFE ANE ∆≅∆，可得出EF EN =，则结论得证；（3）求出2DG =，设DF x =，则3EF FG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC ∆中，得出关于x 的方程，解出x 则可得解．【详解】（1）证明：把ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADG ∆，如图1，BAE DAG ∴∠=∠，AE AG =，90B ADG ∠=∠=︒，180ADF ADG ∴∠+∠=︒，F ∴，D ，G 三点共线，45EAF ∠=︒，45BAE FAD ∴∠+∠=︒，45DAG FAD ∴∠+∠=︒，EAF FAG ∴∠=∠，AF AF =，()EAF GAF SAS ∴∆≅∆，EF FG DF DG ∴==+，（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；证明：如图2，将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆，EAB MAD ∴∠=∠，AE AM =，90EAM =︒∠，BE DM =，45FAM EAF ∴∠=︒=∠，AF AF =，()EAF MAF SAS ∴∆≅∆，EF FM DF DM DF BE ∴==-=-；②如图3，将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABN ∆，AN AF ∴=，90NAF ∠=︒，45EAF ∠=︒，NAE FAE ∴∠=∠，AE AE =，()AFE ANE SAS ∴∆≅∆，EF EN ∴=，BE BN NE DF EF ∴=+=+．即BE EF DF =+．故答案为：BE EF DF =+．（3）解：由（1）可知AE AG ==正方形ABCD 的边长为6，6DC BC AD ∴===，∴3DG ．3BE DG ∴==，633CE BC BE ∴=-=-=，设DF x =，则3EF FG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC 中，222CF CE EF +=，222(6)3(3)x x ∴-+=+，解得：2x =．2DF ∴=，AF ∴=【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．2、 (1)-3，3，1，3，-3，-1(2)①-2；②15b ≤≤(3)m 1≥或3m ≤-【解析】【分析】（1）分别以AC 、BC 、AB 为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点1D ，2D ，3D 的坐标；（2）①根据平行公理得1D ，A 、3D 在同一直线上，2D 、B 、3D 在同一直线上，可得AB 是等腰三角形△123D D D 的中位线，求出22D C AB ==，即可得m 的值；②由①求得的m 的值可得1D ，3D 的坐标，分别求出直线12y x b =+过点1D ，3D 时b 的值即可求解； （3）由题意用m 表示出点1D ，2D ，3D 的坐标，画出图形，求出直线y x =与△123D D D 交于点2D ，3D 时m 的值即可求解．(1)解：(3,1)A -，(1,1)B -，1(3)2AB ∴=---=，//AB x 轴．以AC 为对角线时，四边形ABCD 是平行四边形，//CD AB ∴，CD AB =，∴将(1,3)C -向左平移2个单位长度可得D ，即1(3,3)D -；以BC 为对角线时，四边形ABDC 是平行四边形，//CD AB ∴，CD AB =，∴将(1,3)C -向右平移2个单位长度可得D ，即2(1,3)D ；以AB 为对角线时，四边形ACBD 是平行四边形，∴对角线AB 的中点与CD 的中点重合， AB 的中点为(2,1)-，(1,3)C -，3(3,1)D ∴--．故答案为：()3,3-，(1,3)，(3,1)--；(2)解：①如图，若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，四边形1ABCD ，2ABD C ，3ACBD 是平行四边形，13////BC AD AD ∴，23////AC BD BD ，12AB CD D C ==，1D ∴、A 、3D 在同一直线上，2D 、B 、3D 在同一直线上，1212AB D D =，AB ∴是等腰三角形△123D D D 的中位线，12//AB D D ∴，312CD D D ⊥， (3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，22D C AB ∴==，2m ∴=-；②由①得2m =，1(4,3)D ∴-，3(2,1)D --． 当直线12y x b =+过点1D 时，13(4)2b =⨯-+，解得：5b =， 当直线12y x b =+过点3D 时，11(2)2b -=⨯-+，解得：0b =，b ∴的取值范围为05b ；(3)解：如图，(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，1(2,3)D m ∴-，2(2,3)D m +．连接AB 、3CD 交于点E ，四边形3ACBD 是平行四边形，∴点C 、3D 关于点E 对称，3(4,1)D m ∴---，直线y x =与△123D D D 有公共点，当直线y x =与△123D D D 交于点2D ，23m +=，解得：1m =，1m ∴时，直线y x =与△123D D D 有公共点；当直线y x =与△123D D D 交于点3D ，41m --=-，解得：3m =-，3m ∴-时，直线y x =与△123D D D 有公共点；综上，m 的取值范围为1m 或3m -．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．3、 (1)理由见解析(2)32180αβ-=︒，理由见解析(3)60B ∠=︒【解析】【分析】（1）ACD ACE ECD A B ∠=∠+∠=∠+∠，B ACE ∠=∠，A ECD ∠=∠可知ABC CDE △≌△，进而可说明AC CE =；（2）如图1所示，连接GC 并延长至点K ，AH EI 、分别平分BAC DEC ∠∠、，则设,CAH BAH a CEI DEI b ∠=∠=∠=∠=，ACK ∠为ACG 的外角，ACK a AGC ∠=+∠，同理ECK b EGC ∠=+∠，ACE ACK ECK B α=∠+∠=∠=，得a b αβ+=-；又由（1）中证明可知2ECD BAC a ∠=∠=，180ECD DEC D ∠+∠+∠=︒，进而可得到结果；（3）如图2所示，过点C 作//MN AH ，则////MN AH EI ，,CAH ACM a CEI ECM b ∠=∠=∠=∠=ACE ACM ECM a b α∠=∠+∠=+=，可得a b α=+，由（1）中证明可得2,ECD BAC a D B α∠=∠=∠=∠=，在CED 中， 180ECD CED D ∠+∠+∠=︒，即22180a b α++=︒，进而可得到结果．(1)证明：ACD ACE ECD A B ∠=∠+∠=∠+∠又B ACE ∠=∠A ECD ∴∠=∠在ABC 和CDE △中B D AB CD A ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC CDE ASA ∴△≌△AC CE ∴=．(2)解：32180αβ-=︒．理由如下：如图1所示，连接GC 并延长至点KAH EI 、分别平分BAC DEC ∠∠、则设,CAH BAH a CEI DEI b ∠=∠=∠=∠=ACK ∠为ACG 的外角ACK a AGC ∴∠=+∠同理可得ECK b EGC ∠=+∠ACE ACK ECK B α∴∠=∠+∠=∠=()()a AGC b EGC a b AGE a b β=+∠++∠=++∠=++即a b αβ=++a b αβ∴+=-．又由（1）中证明可知2ECD BAC a ∠=∠=由三角形内角和公式可得180ECD DEC D ∠+∠+∠=︒即22180a b α++=︒2()180a b α∴++=︒32180αβ∴-=︒．(3)解：当//AH EI 时，如图2所示，过点C 作//MN AH ，则////MN AH EI,CAH ACM a CEI ECM b ∴∠=∠=∠=∠=ACE ACM ECM a b α∴∠=∠+∠=+=，即a b α=+ 由（1）中证明可得2,ECD BAC a D B α∠=∠=∠=∠=在CED 中，根据三角形内角和定理有180ECD CED D ∠+∠+∠=︒即22180a b α++=︒即2()180a b α+=-︒即3180α=︒，解得：60α=︒故60B ∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接GC 并延长，利用三角形外角性质证得a b αβ+=-是解题的关键．4 【解析】【分析】连接AC ，CF ，如图，根据正方形的性质得到AC ，AB CF CE ，∠ACD =45°，∠GCF =45°，则利用勾股定理得到AF CT 的长．【详解】解：连接AC 、CF ，如图，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，∴AC CF ，∠ACD =45°，∠GCF =45°，∴∠ACF =45°+45°=90°，在Rt △ACF 中AF =，∵T 为AF 的中点，∴12CT AF =，∴CT ． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．5、20条【解析】【分析】多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的360°，根据正多边形内角和与外角和的差等于720°，列方程求出正多边形的边数．然后根据n边形共有()32n n-条对角线，得出此正多边形的所有对角线的条数．【详解】解：设此正多边形为正n边形．由题意得：()2180360720n-⋅︒-︒=︒，解得n＝8，∴此正多边形所有的对角线条数为：()()388322n n-⨯-=＝20．答：这个正多边形的所有对角线有20条．【点睛】此题考查多边形的边数与对角线条数,一元一次方程，解题关键在于掌握多边形内角和公式和外角和，以及对角线条数计算公式.．。
2017-2018年人教版八年级数学下《平行四边形》单元试卷含详解
人教版数学八年级(下)平行四边形单元试卷(含详解)（题目较多，可自主择优使用）一、单选题（共11题；共21分）1.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A. 17B. 18C. 19D. 202.顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（）A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 等腰梯形3.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F 刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________．4.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB=3，则菱形AECF的面积为（）A. 1B.C.D. 45.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（）A. 5B.C.D.6.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为点G，连接CG，下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值﹣1．其中正确的说法有（）个．A. 4B. 3C. 2D. 17.（2017•绍兴）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA 延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA。
若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（）A. 7°B. 21°C. 23°D. 24°8.（2017•宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若M、N分别是DG、CE的中点，则MN的长为（）A. 3B.C.D. 49.（2017•营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A. ∠ECD=112.5°B. DE平分∠FDCC. ∠DEC=30°D. AB= CD10.（2017•益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 既是轴对称图形又是中心对称图形11.（2017•黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（）A. BD＜2B. BD=2C. BD＞2D. 以上情况均有可能二、综合题（共12题；共134分）12.如图，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF且AG=AB，垂足为G ，则：（1）△ABF与△ AGF全等吗？说明理由；（2）求∠EAF的度数；（3）若AG=4，△AEF的面积是6，求△CEF的面积．13.在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题(含答案) (131)
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题一（含答案）（1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC=S△BCD．证明：分别过点A和D，作AF∥BC于F．DE∥BC于E，由AD∥BC，可得AF=DE，又因为S△ABC=12×BC×AF，S△BCD=12×BC×DE ．所以S△ABC=S△BCD由此我们可以得到以下的结论：像图1这样．（2）问题解决：如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B 作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，请你运用上面的结论证明：S▱ABCD=S△APD（3）应用拓展：如图3，按此方式将大小不同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是cm2．【答案】（1）同底等高的两三角形面积相等；（2）证明见解析（3）40 【解析】试题分析：（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等（2）利用（1）的结论△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，从而S▱ABCD=S△APD。
（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，阴影部分面积是S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF，分别计算.试题解析：（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等；故答案为：同底等高的两三角形面积相等.（2）△AB△CE，BE△AC，△四边形ABEC为平行四边形，△△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，△S△ABC=S△AEC，△S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，△S△ACF=S四边形ACEF﹣S△CEF=S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF=12×b×（a﹣b）+b×b+12×a×a﹣12×b×（b+a）=12ab﹣12b2+b2+12a2﹣12b2﹣12ab=12a2，△S△ACF=12S正方形ABCD=12×80cm2=40cm2.故答案为：40．102．如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF 于点P、G、Q．（1）求△CEF的周长；（2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ．【答案】（1）△ECF的周长为20；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）想办法证明EB＝EH，FD＝FH，即可解决问题；（2）通过计算求出CF、DF即可解决问题；（3）想办法证明△APB∽△QPE，可得∠AEQ＝∠ABP＝45°即可解决问题. 【详解】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AHE中，∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=HE，同理，DF=FH，∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20．（2）∵E是BC中点，∴BE=EC=EH=5，设DF=FH=x，则CF=10﹣x，在Rt△ECF中，∵∠C=90°，∴EF2=EC2+CF2，∴52+（10﹣x）2=（5+x）2，解得x=103，即DF=103，则CF=10﹣103=203，∴CF=2DF；（3）在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，∴△BPE∽△APQ，∴BPAP=EPQP，即BPEP =AP QP，∵∠APB=∠QPE，∴△APB∽△QPE，∴∠QEP=∠ABP=45°，∵∠EAF=45°，∴∠QEA=∠QAE=45°，∴AQ=EQ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．103．△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°.（1）如图1，点E在BC上，则线段AE和BD有怎样的关系？请直接写出结论（不需证明）；（2）若将△DCE绕点C旋转一定的角度得图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）当△DCE旋转到使∠ADC=90°时，若AC=5，CD=3，求BE的长.【答案】(1)AE=BD，AE⊥BD ；（2）见解析；（3）【解析】分析：（1）延长AE交BD于F,由△AEC≌△BDC,可得AE=BD,再利用同角的余角相等，可得出AE⊥BD ；（2）不发生变化，只要证明△AEC≌△BDC，推出AE=BD，∠EAC=∠DBC,由∠EAC+∠AFC =90°，∠AFC=∠BFG,可得∠BGF=90°，从而得证；（3）过B作BM⊥EC于M，则∠M=90°，在RT△ACD 中利用勾股定理可得AD=4,再利用△BCM≌△ACD，得出CM=CD=3,BM=AD=4，在△BME中利用勾股定理即可求出结果.本题解析：(1)AE=BD，AE⊥BD ；(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：∵△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=△ECD=90°∴AC=BC, △ACE=△BCD，EC=DC∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD, △EAC=△DBC∵△EAC+△AFC =90°，△AFC=△BFG∴△DBC+△BFG=90°, ∴△BGF=90°,∴AE△BD(3) 过B作BM△EC于M，则∠M=90°∵△ADC=90°，AC=5，CD=3，∴AD=4=∵△ACB=△ECD=90°, ∴△CBE+△ACD=180°∵△CBE+△BCM=180°, ∴△BCM=△ACD∵△M=△ADC=90°, AC=BC∴△BCM≌△ACD(AAS), ∴CM=CD=3, BM=AD=4∵CE=CD=3，∴EM=6，∴B E=104．在正方形ABCD中，点E是直线CD上一动点，以BE为斜边向上方作等腰直角△BEF ，连接AF ，试求线段AF 与DE 的数量关系．（1）小可同学进行探索：△将点E 的位置特殊化，发现DE= ___ AF ； △点E 运动过程中，△BAF= ___ ；(填度数)（2）如图1，当点E 在线段CD 上时，证明AF 与DE 的数量关系；（3）如图2，当边EF 被对角线BD 平分时，求DEM AFB S S 值． 【答案】（1）△DE =；△45°或135°；（2）DE =；（3）34DMEABF S S = 【解析】【分析】（1）△当点E 与点C 重合、点F 与点O 重合时，可证得AF ，△BAF=45°；△当点E 在CD 延长线上时，利用两边对应成比例且夹角相等证得△ABF △△DBE ，即可求得△BAF=△BDE=135°；（2）利用两边对应成比例且夹角相等证得△ABF △△DBE ，即可求得答案；（3）利用（2）的结论证得22EDB AFB S DE S AF==()，BF 2a =，则FE=2a ，BE=，求得BM =，证得△MBE ∽△EBD ，得到BE BM BD BE=，即可求得BD和MD 的长，从而求得答案．【详解】（1）△△四边形ABCD 是正方形，△OB=OC=12AC=12BD ，△BOC=90°， 当点E 与点C 重合、点F 与点O 重合时，如图：△BEF 等腰直角三角形，△AF ，△△BAF=45°；当点E 在CD 延长线上时，如图：连接BD ，△四边形ABCD 是正方形△△ABD=45°，△cos 452AB BD =︒=， △△BEF 是等腰直角三角形，△BFE=90°， △BF=FE ，△FBE=45°，△cos 45BF BE =︒=， △AB BF BD BE =，即AB BD BF BE=， △△ABF+△EBA =△DBE+△EBA =45°， △△ABF=△DBE ，△△ABF △△DBE ，△△BAF=△BDE=△ADB+△ADE =45°+90°=135°， 故答案为：△AF ，△△BAF=45°或135°；（2）连接BD ，△四边形ABCD 是正方形△△ABD=45°，△cos 452AB BD =︒=， △△BEF 是等腰直角三角形，△BFE=90°， △BF=FE ，△FBE=45°，△cos 452BF BE =︒=， △AB BF BD BE =，即AB BD BF BE=， △△ABF+△DBF =△DBE+△DBF=45°， △△ABF=△DBE ，△△ABF △△DBE ，△DE BD AF AB==，△DE =；（3）△△ABF △△EBD ， △22EDB AFB S DE S AF==()，又△△MEB=△BDE=45°，△MBE=△EBD ， △△MBE △△EBD ，△BE BM BD BE=， 令BF 2a =，△FE=2a ，BE=， △M 是FE 的中点，△FM=12FE a =， △==，=， △，△，△3588DME DBE SMD S BD ===， △34DMEABFSS =． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．105．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，DE 的延长线与AB 的延长线相交于点F.（1）求证：△CDE ≌△BFE ；（2）试连接BD 、CF ，判断四边形CDBF 的形状，并证明你的结论【答案】(1)证明见解析；（2）四边形CDBF 是平行四边形，证明见解析.【解析】【分析】（1）用AAS 证明△CDE ≌△BFE ；（2）根据全等三角形的对应边相等，得DE=FE ，由对角线互相平分的四边形是平行四边形证得四边形DBFC为平行四边形．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD即AF∥CD．∴∠F=∠CDE∵BE=CE，∠BEF=∠CED∴△CDE≌△BFE；（2）由（1）知：△CDE≌△BFE∴DE=FE又BE=CE，∴四边形DBFC为平行四边形．106．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若DE⊥AC交BC于E，∠ADB：∠CDB＝2：3，则∠BDE的度数是多少．【答案】（1）证明见解析；（2）18°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠ADB的度数，根据三角形内角和定理求出∠AOB，从而可得到∠CDO，最后，依据∠BDE=90°-∠DOC求解即可．【详解】解：（1）∵AO=CO ，BO=DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC ，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）∵∠ADC=90°，∠ADB ：∠CDB=2：3，∴∠ADB=36°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OD ，∴∠OAD=∠ADB=36°，∴∠DOC=72°，∵DE ⊥AC ，∴∠BDE=90°-∠DOC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．107．如图所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CE 是AB 边上的高，AF 平分CAB ∠交CE 于点F ，过点F 作//FD CB 交AB 于点D ．求证：AC AD =．【答案】见解析.【解析】【分析】由平行线的性质和直角三角形的性质可证明∠ADF＝∠B＝∠ACF，结合角平分线的定义可证明△ACF≌△ADF，可得AC＝AD．【详解】证明：∵FD∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵AC⊥BC，CE⊥AB，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＋∠ECB＝∠ECB＋∠B＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠ACF＝∠ADF，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAF，在△ACF和△ADF中，CAF DAFACF ADF AF AF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△ADF（AAS），∴AC＝AD．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义，正确寻找全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．108．已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB 的中点，连接AC、EC．点Q从点A出发，沿折线A—D—C运动，同时点P 从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α° (0<α<360°)，直线PF 分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α，使△CMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6t =，9t =;（2）见解析;（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据题意求出运动的距离，再除以速度即可求出时间；（2）分当0＜t ≤3时，当3＜t ≤6时，当6＜t ≤9时，当9＜t ≤12时，四种情况，分别求出重叠部分面积即可；（3）分交点都在BC 左侧，顶角为120°，交点都在BC 右侧时，顶角可能为30°和120°；交点在BC 两侧时，顶角为150°进行讨论求解即可.【详解】解：（1）当等边△PQF 的边PQ 恰好经过点D 时，如图1,AQ=AD=6，∴t=6÷1=6（秒）；当等边△PQF 的边QF 恰好经过点E 时，如图2,由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，P、Q的速度均为每秒1个单位长度，知：∠APQ=60°，∠QEB=60°，∴QE∥AD，∵点E是AB的中点，∴此时点Q是CD的中点，可求：AD+DQ=6+3=9，所以t=9÷1=9（秒）；（2）如图3,当0＜t≤3时，由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，可求：∠PAG=30°，∵∠APQ=60°，∴∠AGP=90°，由AP=t ，可求：PG=12t ，，∴S=12PG ×AG=8t 2； 当3＜t ≤6时，如图4,,AE=3，AP=t ，∴PE=t-3，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，由菱形ABCD 的边长为6，∠DAB=60°，可求：BH=3，EH=6，tan ∠KEB=2， 过点K 作KM ⊥AB ，作CN ∥PK 交AB 的延长线于N ， ∵△EKP ∽△ECN ，可得EM CH =EB EN，可求，∴S △PEK 可求∠QAG=30°，又∠AQG=60°，AQ=t ，可求∠AGQ=90°，DG=12t ，，∴S △AGQ 2，等边三角形APD 的面积为：24，∴S=24-8t 2-2t-36）=−2t 24t −2， 当6＜t ≤9时，如图5，，与前同理可求：S△FQPS △GQN =28），S △KEP ，∴=2， 当9＜t ≤12时，如图6，求出：S△PQFS △QGH =28），S △NEP =2t-36），S △KEF∴S=S △PQF -S △QGH -S △NEP +S △KEFt 2− （3）逆时针旋转：①α=150°，如图7，此时，易求∠CNM=∠NCM=∠APM=∠MAP=∠DAP=30°， 可证△ACD ∽△APM ， ∴AD AM ＝AC AP， 易求AP=12，，AD=6，解得：，所以，②α=105°，如图8,此时，易求CM=CN，∠CMN=∠CNM=∠APM=75°，∴AM=AP=12，在菱形ABCD中，AD=CD=6，∠D=120°，可求AC=6所以，；③α=60°，如图9,此时，易求∠CMN=∠MCN=∠ACB=30°，∴BC∥PM，由AB=BP=6可得，CM=AC=6,所以：④α=15°，如图10,此时，易求∠APM=∠M=15°，∴AM=AP=12，所以：CM=AM+AC ， ．【点睛】此题主要考察四边形动点综合问题，会分析运动情况，用定点研究动点问题，会用变量表示图形面积，会针对等腰三角形进行分类讨论是解题的关键.109．如图①，在半径为6的扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD AC ⊥、OE BC ⊥，垂足分别为D 、E ．（1）△当4BC =时，线段OE = ；△当BC 的度数= °时，四边形OACB 成为菱形；（2）试说明：四边形ODCE 的四个顶点在同一个圆上；（3）如图②，过点O 作OF DE ⊥，垂足为F ，连接AF ，随着点C 的运动，在△AOF 中是否存在保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求出它的度数；如果不存在，请说明理由；（4）在（3）条件下，若点C 从点B 运动到点A ，则点F 的运动路径长为 ．【答案】（1）①；②60；（2）证明见详解；（3）存在，60AOF ∠=︒；（4）3【解析】【分析】（1）△根据勾股定理即可求得线段OE ；△点C 为AC 中点，即BC =60°时，得△OBC ，△OAC 为等边三角形，可得四边形OACB 成为菱形；（2）取OC 中点M ，连接ME ，MD ，根据直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半，证得EM CM OM DM ===，问题得证；（3）先求得∠EOD =60°，根据（2）的结论，进行角的转化，证明∠EOF =∠AOD ，进而求得60AOF EOD ∠=∠=︒；（4）根据60AOF ∠=︒不变，确定F 的运动轨迹是一条线段，当点C 与A 、B 重合时，OF 最小，当C 位于BC 的中点时，OF 最长，分别求出OF 长，计算可得．【详解】解：（1）△∵OB=OC , OE BC ⊥，∴BE =122BC =，∴在R t △OBE 中，OE ==故答案为：②当∠BOC=60°时，∠AOC =60°，△OBC ，△OAC 为等边三角形， ∴OA=AC=OC=BC=OB ，∴四边形OACB 成为菱形；故答案为：60；（2）取OC 中点M ，连接ME ，MD∵OD AC ⊥，OE BC ⊥∴EM CM OM ==，DM CM OM ==∴EM CM OM DM ===∴以M 为圆心，ME 为半径的圆过,,C D O 三点即四边形ODCE 的四个顶点在同一个圆上（3）答：AOF ∠不变，60AOF ∠=︒；证明：∵OB=OC=OA , OD AC ⊥、OE BC ⊥，∴∠COE =∠BOE =12BOC ∠,∠COD =∠AOD =12AOC ∠， ∴∠EOD =∠COE +∠COD =()111206022AOC BOC ∠+∠=⨯︒=︒， ∵四边形ODCE 的四个顶点在同一个圆上，∴=OD OD ，∴∠OED =∠OCD ，∵OF ⊥DE ，OD ⊥OC ，∴∠OEF +∠EOF =90°， ∠OCD +∠COD =90°，∴∠EOF=∠COD ，∵∠COD =∠AOD ，∴∠EOF =∠AOD ，∴60AOF AOD DOF EOF DOF EOD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（4）由（3）得，60AOF ∠=︒，∴点F 的运动轨迹在∠AOB 的平分线上， 如图1，当点C 与A 重合时，F 与E 重合，∠OAB =30°，OF ⊥AB ， ∴OF =132OA =；如图2，当点C 运动到AB 中点时，∠AOD =∠DOC =30°，OD=OA ·cos ∠AOD =6= OF= OD ·cos ∠FOD =392； ∴933=22-； 当点C 从点B 运动到AB 中点时，也运动了32， ∴在（3）条件下，若点C 从点B 运动到点A ，则点F 的运动路径长为3．【点睛】本题考查了圆，直角三角形，菱形，圆内接四边形等数学知识，综合性较强，为几何题中压轴题，解题时要注意，每一步为后续解题提供了条件或方法上的帮助，这是解题关键．110．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=△DEF．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF△AB，DE△AC，再根据平行四边形的定义证明即可.（2）根据平行四边形的对角线相等可得△DEF=△BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得△DAH=△DHA，△FAH=△FHA，然后求出△DHF=△BAC，等量代换即可得到△DHF=△DEF．试题解析：证明：（1）△点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，△DE、EF都是△ABC的中位线.△EF△AB，DE△AC，△四边形ADEF是平行四边形.（2）△四边形ADEF是平行四边形，△△DEF=△BAC.△D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，△DH=AD，FH=AF.△△DAH=△DHA，△FAH=△FHA.△△DAH+△FAH=△BAC，△DHA+△FHA=△DHF，△△DHF=△BAC.△△DHF=△DEF．考点：1.三角形中位线定理；2.直角三角形斜边上的中线性质；3.平行四边形的判定．。
(常考题)人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试(含答案解析)
一、选择题1．如图，在等腰直角ABC 中，AB BC =，点D 是ABC 内部一点， DE BC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，若3CE DE =， 53DF AF =， 2.5DE =，则AF =（ ）A ．8B ．10C ．12.5D ．15 2．已知正方形ABCD 中，对角线4AC =，这个正方形的面积是（ ） A ．8B ．16C ．82D ．162 3．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为BDE ，则图中全等三角形共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对4．如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（ ）A ．::a b CD BC =B ．D ∠的度数为αC ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABCD 面积的一半D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD )433a b + 5．已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）A ．90D ∠=；B ．AB CD =；C ．AD BC =； D ．BC CD =． 6．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A ．AB ∥CD ，AD ∥BCB ．AD ∥BC ，AB ＝CD C ．OA ＝OC ，OB ＝OD D ．AB ＝CD ，AD ＝BC7．如图，点D 和点E 分别是BC 和BA 的中点，已知AC ＝4，则DE 为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．88．如图1，平行四边形纸片ABCD 的面积为120，20AD =．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD 、CB 重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（ ）A ．26B ．29C ．2243D ．1253 9．在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )A 3B ．3C ．3D ．310．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME ⊥AC 于点E ，MF ⊥BC 于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是（ ）A ．1.2B ．1.5C ．2.4D ．2.511．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ．点F ，G 分别是BC ，BE 的中点，则FG 的长为（ ）A ．2B ．52C ．102D ．32212．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A ．3B ．423C ．2D ．352二、填空题13．如图，在平行四边形ABCD 中，2AD CD =，F 是AD 的中点，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上．下列结论①DCF ECF ∠=∠；②EF CF =；③3DFE AEF ∠=∠；④2BEC CEF S S <中，一定成立的是_________．（请填序号）14．如图，在边长为8厘米的正方形ABCD 中，动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在线段BC 上以1厘米/秒的速度由C 点向B 点运动，当点P 到达点B 时整个运动过程立即停止．设运动时间为1秒，当AQ DP ⊥时，t 的值为______．15．己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE =1，联结BE 与对角线AC 相交于点M ，则AM MC的值是______． 16．如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CF BE ⊥，连接AE ，G 是AB 的中点，连接GF ，若4AE =，则GF =_____．17．如图，在平行四边形ABCD 中，过点C 的直线CE ⊥AB ，垂足为E ，若∠BAD =127°，则∠BCE =____．18．在△ABC 中， AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，且CE <AC ．若AD =6，AB =10，则CE =___________19．如图，B ，E ，F ，D 四点在一条直线上，菱形ABCD 的面积为2120cm ，正方形AECF 的面积为250cm ，则菱形的边长为___cm ．20．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，点E 是边AD 上的一个动点；把BAE △沿BE 折叠，点A 落在A '处，如果A '恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为______．三、解答题21．如图，BD 为ABC 的角平分线，E 为AB 上一点，BE BC =，连结DE ． （1）求证：BDC BDE ≅△△；（2）若7AB =，2CD =，90︒∠=C ，求ABD △的面积．22．如图，在菱形ABCD 中，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥BC 于点F ．求证：AE ＝CF ．23．如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的一点，点E 在BA 的延长线上，且PB PE =，连结DE ．（1）求证：PD PE =．（2）试判断DE 和BP 的数量关系，并说明理由．24．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD 是平行四边形，且,AB BC <求作：菱形ABEF ，使点E 在BC 上，点F 在AD 上．作法：①作BAD ∠的角平分线，交BC 于点E ；②以A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ；③连接EF ．则四边形ABEF 为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）求证四边形ABEF 为菱形．25．如图，在▱ABCD 中，AB =12cm ，BC =6cm ，∠A =60°，点P 沿AB 边从点A 开始以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 沿DA 边从点D 开始以1cm/秒的速度向点A 移动，用t 表示移动的时间（0≤t ≤6）．（1）当t 为何值时，△PAQ 是等边三角形？（2）当t 为何值时，△PAQ 为直角三角形？26．如图，在正方形中ABCD ，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．（1）求证：CE CF =；（2）若点G 在AD 上，且45GCE ︒∠=，判断线段GE BE GD 、、之间的数量关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据比例关系设DF=x ，可判断四边形DEBF 为矩形，根据矩形的性质和比例关系分别表示CB 和AB ，再根据AB BC =，列出方程，求解即可得出x ，从而得出AF ．【详解】,DE BC DF AB ⊥⊥，90DEB DFB ∴∠=∠=︒，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=90°，∴四边形DEBF 为矩形，∴BF=DE=2.5，DF=EB ，设DF=3x ，则EB=3x ，∵53DF AF =，∴AF=5x ，AB=5x+2.5，∵3CE DE =，∴CE=7.5，∴CB=7.5+3x ，∵AB=CB ，∴5x+2.5=7.5+3x ，解得x=2.5,∴512.5AF x ==，故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用．能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键．本题主要用到方程思想．2．A解析：A【分析】根据勾股定理，可得正方形的边长，进而可得正方形的面积．【详解】∵正方形ABCD 中，对角线4AC =，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴2AB 2＝42，∴AB 2＝8．故选：A ．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．C解析：C【分析】因为图形对折，所以首先△CDB ≌△ABD ，由于四边形是长方形，进而可得△ABE ≌△CDE ，如此答案可得．【详解】解：∵△BDC 是将长方形纸片ABCD 沿BD 折叠得到的，∴CD=AB ，AD=BC ，∵BD=BD ，∴△CDB ≌△ABD （SSS ），∴∠CBD=∠ADB∴EB=ED∴CE=AE又AB=CD∴△ABE ≌△CDE ，∴图中全等三角形共有2对故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进． 4．C解析：C【分析】由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=︒，求出180EAF C ∠+∠=︒，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，求出30BAE DAF ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出BE AE ==，DF ，得出2AB BE =，2AD DF ==，求出平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；求出ABE ∆的面积212BE AE =⨯=，ADF ∆的面积2=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=，得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即可得出结论．解：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，180D C ∴∠+∠=︒，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，B D EAF α∴∠=∠=∠=；平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯，AE a =，AF b =，BC a CD b ∴⨯=⨯，::a b CD BC ∴=；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，30BAE DAF ∴∠=∠=︒，BE AE ∴==，DF =，2AB BE ∴==，2AD DF ==，∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；ABE ∆的面积21122BE AE a =⨯=⨯=，ADF ∆的面积21122DF AF b =⨯=⨯，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=， ∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半； 综上所述，选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．5．D解析：D【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．【详解】解：由∠A=∠B=∠C=90°可判定四边形ABCD 为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD 为正方形，【点睛】本题考查正方形的判定．掌握相关判定定理正确推理论证是解题关键．6．B解析：B【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定；故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．7．B解析：B【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵点D和点E分别是BC和BA的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝12AC＝124＝2，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．8．A解析：A【分析】由题意可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC边的高即可．【详解】解：如图，连接AD、EF，则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，∴BC=AD=20，12EF×AD=12×120，∴EF=6，又AD=20，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据菱形的性质可得到直角三角形，利用勾股定理计算即可；【详解】如图，AC 与BD 相较于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，4AC =，∴AC BD ⊥，2AO =，又∵∠ABC=60゜，∴30ABO ∠=︒，∴24AB AO ==， ∴224223BO =-= ∴243BD BO ==；故选D ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，结合勾股定理计算是解题的关键．10．A解析：A【分析】先由勾股定理求出AB=5，再证四边形CEMF 是矩形，得EF=CM ，当CM ⊥AB 时，CM 最短，此时EF 也最小，则CP 最小，然后由三角形面积求出CM=2.4，即可得出答案．【详解】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=2222345AC BC+=+=，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB=90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF=CM，∵点P是EF的中点，∴CP=12EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积=12AB×CM=12AC×BC，∴CM=•AC BCAB=342.45⨯=，∴CP=12EF=12CM=1.2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．11．C解析：C【分析】连接CE，由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=AE=3，可得ED=1，由勾股定理可求CE 的长，由三角形中位线定理可求FG的长；【详解】连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，AD∥BC，∴∠CBE=∠AEB，∵BE平分∠ABC.∴∠ABE=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=3，∴ED=AD-AE=4-3=1，在Rt△CDE中=∵点F、G分别为BC、BE的中点,∴FG是△CBE的中位线，FG=12故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出EC的长度是解题的关键. 12．D解析：D【分析】首先设AG＝x，由矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A′B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22＝（4-x）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【详解】解：设AG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝3，∴BD5，由折叠的性质可得：A′D＝AD＝3，A′G＝AG＝x，∠DA′G＝∠A＝90°，∴∠BA′G＝90°，BG＝AB-AG＝4-x，A′B＝BD-A′D＝5-3＝2，∵在Rt△A′BG中，A′G2+A′B2＝BG2，∴x2+22＝（4-x）2，解得：x＝32，∴AG＝32，∴在Rt △ADG 中，DG=． 故选：D ．【点睛】 此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．二、填空题13．②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥BC 交CD 于NFK ∥AB 交BC 于K 利用平行四边形的性质全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题【详解】解：如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥解析：②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ．利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．【详解】解：如图，延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CH ，∴∠A=∠FDH ，在△AFE 和△DFH 中，A FDH AFE HFD AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DFH ，∴EF=FH ，∵CE ⊥AB ，AB ∥CH ，∴CE ⊥CD ，∴∠ECH=90°，∴CF=EF=FH ，故②正确，∵DF=CD=AF ，∴∠DFC=∠DCF=∠FCB ，∵∠FCB ＞∠ECF ，∴∠DCF ＞∠ECF ，故①错误，∵FK ∥AB ，FD ∥CK ，∴四边形DFKC 是平行四边形，∵AD=2CD ，F 是AD 中点，∴DF=CD ，∴四边形DFKC是菱形，∴∠DFC=∠KFC，∵AE∥FK，∴∠AEF=∠EFK，∵FE=FC，FK⊥EC，∴∠EFK=∠KFC，∴∠DFE=3∠AEF，故③正确，∵四边形EBCN是平行四边形，∴S△BEC=S△ENC，∵S△EHC=2S△EFC，S△EHC＞S△ENC，∴S△BEC＜2S△CEF，故④正确，故正确的有②③④．故答案为②③④．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．【分析】由ASA可证△ABQ≌△DAP可得AP＝BQ列出方程可求t的值【详解】∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB∠B＝∠BAD＝90°∵AQ⊥DP∴∠QAD＋∠ADP＝90°且∠DAQ＋∠BAQ＝解析：8 3【分析】由“ASA”可证△ABQ≌△DAP，可得AP＝BQ，列出方程可求t的值．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB，∠B＝∠BAD＝90°∵AQ⊥DP∴∠QAD＋∠ADP＝90°，且∠DAQ＋∠BAQ＝90°，∴∠BAQ＝∠ADP，且∠B＝∠BAD＝90°，AD＝AB∴△ABQ≌△DAP（ASA）∴AP＝BQ∴2t＝8−t∴t ＝83， 故答案为：83． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，正方形的性质，一元一次方程的应用，证明△ABQ ≌△DAP 是本题的关键．15．或【分析】首先根据题意作图注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上然后由菱形的性质可得AD ∥BC 则可证得△MAE ∽△MCB 根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是 解析：23或43【分析】 首先根据题意作图，注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上，然后由菱形的性质可得AD ∥BC ，则可证得△MAE ∽△MCB ，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是3，∴AD=BC=3，AD ∥BC ，如图①：当E 在线段AD 上时，∴AE=AD －DE=3－1=2，∴△MAE ∽△MCB ， ∴23MA AE MC BC ==； 如图②，当E 在AD 的延长线上时，∴AE=AD+DE=3+1=4，∴△MAE ∽△MCB ， ∴43MA AE MC BC ==． ∴MA MC 的值是23或43． 故答案为23或43．【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上两种情况，小心不要漏解．16．2【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解即可得利用等腰三角形的性质得到进而可得是的中位线根据三角形的中位线的性质可求解【详解】解：在平行四边形中∴∵平分∴∴∴∵∴∵是的中点∴是的中位线 解析：2【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解CBE BEC ∠=∠，即可得CB CE =，利用等腰三角形的性质得到BF EF =，进而可得GF 是ABE △的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，//AB CD ，∴ABE BEC ∠=∠，∵BE 平分ABC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，∴CBE BEC ∠=∠，∴CB CE =，∵CF BE ⊥，∴BF EF =，∵G 是AB 的中点，∴GF 是ABE △的中位线， ∴12GF AE =∵4AE =，∴2GF =； 故答案为：2．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF 是ABE △的中位线是解题的关键．17．37°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD=180°可得∠B 的度数由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE=90°-∠B 即可【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ∴∠B+∠BAD解析：37°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD=180°，可得∠B 的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE=90°-∠B 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠BAD=127°∴∠B=53°，∵CE ⊥AB ，∴∠E=90°，∴∠BCE=90°-∠B=90°-53°=37°，故答案为：37°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形两锐角互余．熟练掌握平行四边形的性质，求出∠B 的度数是解决问题的关键．18．【分析】先根据勾股定理求得AB 再做△ABD 的中位线EF 可得EF=3BF=DF=4从而可得CF=1再次利用勾股定理即可求得CE 【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线AD=6AB=10∴∠D=90°∵CE 是【分析】先根据勾股定理求得AB ，再做△ABD 的中位线EF ，可得EF=3，BF=DF=4，从而可得CF=1，再次利用勾股定理即可求得CE ．【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线，AD =6，AB =10，∴∠D=90°，BD 8==，∵CE 是AB 边上的中线，CD =AE ， ∴152CD AE BE AB ====， 取BD 的中点F,连接CF ，∴EF 为△ABD 的中位线， ∴132EF AD ==,EF//AD ， ∴∠EFB=∠D=90°， 在Rt △BEF 中，根据勾股定理，2222534BF BE EF =-=-=,∴DF=BD-BF=8-4=4，∴CF=CD-DF=5-4=1，在Rt △CEF 中，根据勾股定理，22221310CE CF EF =+=+=,故答案为：10．【点睛】本题考查三角形中位线的定理，勾股定理．能正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．19．13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可【详解】解：连接ACBD 交于点O ∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDAO=COBO=DO ∵正方形AECF 的面积为50cm2∴AC2=50∴AC=1解析：13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【详解】解：连接AC ，BD 交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵正方形AECF的面积为50cm2，∴12AC2=50，∴AC=10cm，∴AO=CO=5cm，∵菱形ABCD的面积为120cm2，∴12×AC×BD=120，∴BD=24cm，∴BO=DO=12cm，∴AB，故答案为13．【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．20．2或【分析】分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M交BC于N则直线MN是矩形ABCD的对称轴得出AM=BN=AD=2由勾股定理得到A′N=0求得A′M=2再得到A′E即可；②过A′作PQ∥AD交解析：2【分析】分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，得出AM=BN=12AD=2，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=2，再得到A′E即可；②过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′=30°，再利用勾股定理求出A′E，即可得出结果．【详解】解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，∴AM=BN=12AD=2，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E=AE，A′B=AB=2，∴，即A′与N重合，∴A′M=2= A′E，∴AE=2；②如图2，过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ，则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴，∴PQ ⊥AB ，AP=PB ，AD ∥PQ ∥BC ，∴A′B=2PB ，∴∠PA′B=30°，∴∠A′BC=30°，∴∠EBA′=30°，设A′E=x ，则BE=2x ，在△A′EB 中，()22222x x =+，解得：x=23， ∴AE=A′E=23；综上所述：AE 的长为223， 故答案为：2或33． 【点睛】 本题考查了翻折变换—折叠问题，矩形的性质，勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）根据角平分线的性质可得DBC DBE ∠=∠，再根据已知条件BE BC =，BD BD =，即可证明；（2）根据（1）中结果，得2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒，即可求得ABD △的面积．【详解】（1）∵BD 平分ABC ∠，∴DBC DBE ∠=∠，∴在BDC 和BDE 中，BD BD =，DBC DBE ∠=∠，BE BC =，∴BDC ≌BDE ；（2）∵BDC ≌BDE ，∴2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒， ∴1172722ABD S AB DE =⋅=⨯⨯=△． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握运用以上知识点．22．见解析【分析】先由菱形的性质得到AD CD =，A C ∠=∠，再由AAS 证得ADE CDF ∆≅∆，即可得出结论．【详解】解：证明：∵四边形ABCD 是菱形， AD CD ∴=，A C ∠=∠，DE AB ∵⊥，DF BC ⊥，90AED CFD ∴∠=∠=︒，在ADE ∆和CDF ∆中，AED CFD A CAD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE CDF AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．（1）见解析；（2）DE =，见解析【分析】（1）根据SAS 证明APD APB ≌△△可得PD=PB ，再结合PD=PE 即可得出结论； （2）证明DPE 是等腰直角三角形即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴=45CAD CAB ∠=∠︒∵AP AP =，∴()APD APB SAS ≌， ∴PD PB =， ∵PB PE =，∴PD PE =． （2）2DE BP =．理由如下： ∵由（1）知，APD APB ≌△△，PD PB PE ==，∴设PEB PBE PDA x ∠=∠=∠=︒，∴1802EPB x ∠=︒-︒，∵45DAP ∠=︒，∴18045135DPA BPA x x ∠=∠=︒-︒-=︒-︒，∴1802(135)45APE EPB BPA x x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒-︒，∴135(45)90DPE DPA APE x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒．∴DPE 是等腰直角三角形，∴22DE DP BP ==． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．【详解】解:解:()1如图所示．()2证明:AE ∵平分,BAD ∠13,∴∠=∠在ABCD 中，//,AD BC23,∴∠=∠12,∴∠=∠,AB BE ∴=,AF BE ∴=又//,AF BE∴四边形ABEF 为平行四边形．,AF AB = ∴四边形ABEF 为菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（1）t =2；（2）t =3或65t =． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，列出关于t 的方程，进而即可求解．（2）根据△PAQ 是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解．【详解】解：（1）由题意得：AP =2t （米），AQ =6-t （米）．∵∠A =60°，∴当△PAQ 是等边三角形时，AQ =AP ，即2t =6-t ，解得：t =2，∴当t =2时，△PAQ 是等边三角形．（2）∵△PAQ 是直角三角形，∴当∠AQP =90°时，有∠APQ =30°，即AP =2AQ ，∴2t =2（6-t ），解得：t =3（秒），当∠APQ =90°时，有∠AQP =30°，即AQ =2AP ，∴6-t =2·2t ，解得65t =（秒）， ∴当t =3或65t =时，△PAQ 是直角三角形． 【定睛】本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键．26．（1）见解析；（2）GE=BE+GD ，理由见解析【分析】（1）由DF=BE ，四边形ABCD 为正方形可证△CEB ≌△CFD ，从而证出CE=CF ；（2）由（1）得，CE=CF ，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD 即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF ，故可证得△ECG ≌△FCG ，即EG=FG=GD+DF ．又因为DF=BE ，所以可证出GE=BE+GD ．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠B=∠CDA ，∴∠B=∠CDF ，在△CBE 与△CDF 中，B CDF BE DF ⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，∴△CBE ≌△CDF （SAS ），∴CE=CF ；（2）GE=BE+GD ，理由：由（1）得△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE=∠DCF ，CE=CF ．∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠DCG=45°，∴∠GCF=∠DCF+∠DCG=45°，在△ECG 与△FCG 中，CE CF GCE GCF GC GC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ECG ≌△FCG （SAS ），∴GE=GF ，∴GE=DF+GD=BE+GD ．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等，在第二问中也考查了通过全等找出和GE 相等的线段，从而得出线段GE ，BE ，GD 之间的数量关系．。
(常考题)人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试(包含答案解析)
一、选择题1．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE CD ⊥，GF BC ⊥，1500m AD =，小敏行走的路线为B A G E →→→，小聪行走的路线为B A D E F →→→→．若小敏行走的路程为3100m ，则小聪行走的路程为（ ）A ．3100mB ．4600mC ．5500mD ．6100m 2．如图，在ABC 中，D ，E 分别是,AB AC 的中点，12BC =，F 是DE 的上任意一点，连接,AF CF ，3DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．103．在平面直角坐标系中，长方形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点，若E 为x 轴上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标（ ）A ．（一3，0）B ．（3，0）C ．（0，0）D ．（1，0） 4．下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（ ）A ．一组对角相等，一组邻角互补B ．一组对边平行，另一组对边相等C ．两组对边相等D ．一组对边平行，且另一组对边也平行5．下列命题中，错误的是 （ ）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；B ．对角线相等的菱形是正方形；C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．一组邻边相等的矩形是正方形． 6．如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．OAB OBA ∠=∠；B ．OAB OBC ∠=∠； C ．OAB OCD ∠=∠； D ．OAB OAD ∠=∠．7．如图，在ABC 中，90A ∠=，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB CE =，且DFE △的面积为1，则BC 的长为（ ）A ．25B ．5C ．45D ．108．菱形的一个内角是60︒，边长是3cm ，则这个菱形的较短的对角线长是（ ） A ．3cm 2 B ．33cm 2 C ．3cm D ．33cm 9．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=︒，FO FC =．则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②四边形DEBF 为菱形；③OC FB =；④2AM BM =；⑤:3:2BOM AOE S S =．其中正确结论的个数是（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个10．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF 是等腰三角形，则∠BDC （ ）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75º11．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（ ）A ．6B ．43C ．43+D ．423+二、填空题13．如图，在菱形ABCD 中，13cm AB =，24cm AC =，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 的长度为________cm ．14．如图，四边形ABCD 是长方形，F 是DA 延长线上一点，CF 交AB 于点E ，G 是CF 上一点，且∠ACG ＝∠AGC ，∠GAF ＝∠F ．若∠ECB ＝20°，则∠ACD 的度数是______________．15．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD 四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．16．己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE =1，联结BE 与对角线AC 相交于点M ，则AM MC的值是______． 17．在平面直角坐标系xOy 中，OABC 的三个顶点的坐标分别为()()()0,0,3,0,4,3O A B ，则其第四个顶点C 的坐标为______．18．已知Rt ABC ，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，若PAB △与ABC 全等，PC ________．19．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，点E 是边AD 上的一个动点；把BAE △沿BE 折叠，点A 落在A '处，如果A '恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为______．20．如图，长方形ABCD 中，4=AD ，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE 沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．三、解答题21．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M ，N 分别为OB ，OD 的中点，连接AM 并延长至点E ，使EM AM =，连接CE ，CN ．（1）求证：ABM CDN ≌；（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形MECN 是矩形？请说明理由；（3）连接AN ，EN ．当ANE 满足什么条件时，四边形MECN 是正方形？请说明理由．22．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形ABCD 中，点O 是线段BC 的中点，将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '得到四边形''BB CC ，求证：四边形''BB CC 是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B '落在对角线BD 上时，设A B ''与CD 交于点M .求证：四边形OB MC '是正方形．深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =，在正方形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时，请直接写出''DD OC 的值． 23．如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH ．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒，则GEF ∠= ︒．24．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，M 为边AB 的中点，连接MC ，MD ．（1）求证：MC ＝MD ：（2）若△MCD 是等边三角形，求∠AOB 的度数．25．如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF ．（1）求证：∠HEA ＝∠CGF ；（2）当AH ＝DG 时，求证：菱形EFGH 为正方形．26．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，E 是AB 延长线上一点且BE AB =，连接CE ，BD ．（1）求证：四边形BECD 是平行四边形（2）连接DE ，若4AB BD ==，22DE =，求BECD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】连接CG ，由正方形的对称性，易知AG=CG ，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE ⊥DC ，易得DE=GE ．在矩形GECF 中，EF=CG ．要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行．【详解】解：连接GC ，∵四边形ABCD 为正方形，所以AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，∵∠CDB=45°，GE ⊥DC ，∴△DEG 是等腰直角三角形，∴DE=GE ．在△AGD 和△GDC 中，AD CD ADG CDG DG DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AGD ≌△GDC （SAS ）∴AG=CG ，在矩形GECF 中，EF=CG ，∴EF=AG ．∵BA+AD+DE+EF-BA-AG-GE ，=AD=1500m ．∵小敏共走了3100m ，∴小聪行走的路程为3100+1500=4600（m ），故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质及等腰三角形的性质．解决本题的关键是证明AG=EF ，DE=GE ．2．C解析：C【分析】根据三角形中位线定理求出DE ，根据题意求出EF ，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12BC=6， ∵DE=3DF ，∴EF=4，∵∠AFC=90°，E 是AC 的中点，∴AC=2EF=8，故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．3．D解析：D【分析】由于C 、D 是定点，则CD 是定值，如果△CDE 的周长最小，即DE ＋CE 有最小值．为此，作点D 关于x 轴的对称点D′，当点E 在线段CD′上时，△CDE 的周长最小．【详解】如图，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′与x 轴交于点E ，连接DE ．若在边OA 上任取点E′与点E 不重合，连接CE′、DE′、D′E′由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E ＋CE ＝DE ＋CE ，∴△CDE 的周长最小．∵OB ＝4，D 为边OB 的中点，∴OD ＝2，∴D （0，2），∵在长方形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点，∴BC ＝3，D′O ＝DO ＝2，D′B ＝6，∵OE ∥BC ，∴Rt △D′OE ∽Rt △D′BC ， ∴OE D O BC D B=''， 即：623OE =，即：OE ＝1， ∴点E 的坐标为（1，0）故选：D ．【点睛】此题主要考查轴对称−−最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是：两点之间线段最短．4．B解析：B【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．【详解】A、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；B、不能判定平行四边形，如等腰梯形；C、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；D、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形；故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．5．A解析：A【分析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．6．D解析：D【分析】根据菱形的判定方法判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠OAB=∠ACD，∵∠OAB=∠OAD，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选：D．【点睛】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．7．A解析：A【分析】过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE=CE，求得DE=12BC，求得DF=12AH，根据三角形的面积公式得到DE•DF=2，得到AB•AC=8，求得AB=2（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE∥BC，∴AE=CE，∴DE=12BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴BF=HF，∴DF=12AH，∵△DFE的面积为1，∴12DE•DF=1，∴DE•DF=2，∴BC•AH=2DE•2DF=4×2=8，∴AB•AC=8，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=1AC，2∴AB•2AB=8，∴AB=2（负值舍去），∴AC=4，∴==故选：A．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．8．C解析：C【分析】根据菱形的四边相等和一个内角是60°，可判断较短对角线与两边组成等边三角形，根据等边三角形的性质可求较短的对角线长．【详解】解：因为菱形的四边相等，当一个内角是60°，则较短对角线与两边组成等边三角形．∵菱形的边长是3cm，∴这个菱形的较短的对角线长是3cm．故选：C．【点睛】此题考查了菱形四边都相等的性质及等边三角形的判定，解题关键是判断出较短对角线与两边构成等边三角形．9．C解析：C【分析】证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.【详解】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，FC=AE，∴DF=BE，DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF，∴四边形EBFD是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB＞OB，∵OB=OC，∴FB＞OC，∴③错误，在直角三角形AMB中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM，∴④错误，设ED与AC的交点为N，设AE=OE=2x，则NE=x，BE=4x，∴AB=6x ，∴BM=3x ， ∴11::22BOM AOE S SOM BM AO NE =⋅⋅ =3:2OM x OM x ⋅⋅=3:2，结论⑤正确.故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.10．C解析：C【分析】由翻折可知：△BDF ≌△BCD ，所以∠EBD=∠CBD ，∠E=∠C=90°，由于△EDF 是等腰三角形，易证∠ABF=45°，所以∠CBD=12∠CBE=22.5°，从而可求出∠BDC=67.5°． 【详解】解：由翻折的性质得，∠DBC=∠EBD ，∵矩形的对边AD ∥BC ，∠E=∠C=90°，∴∠DBC=∠ADB ，∴∠EBD=∠ADB ，∵△EDF 是等腰三角形，∠E=90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DFE=45°，∵∠EBD+∠ADB=∠DFE ，∴∠DBF=12∠DFE=22.5°， ∴∠CBD =22.5°，∴∠BDC=67.5°，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．11．C解析：C【分析】根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，∵DA=DF ，DG=DG ，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE =12（∠ADF+∠CDF ） =45°，∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC ，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.12．D解析：D【分析】只要证明DBE DCF ∆≅∆得出DEF ∆是等边三角形，因为BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，所以等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，只要求出DEF ∆的边长最小值即可．【详解】解：连接BD ，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，ADB ∴∆与CDB ∆是等边三角形，60DBE C ∴∠=∠=∠︒，BD DC =，60EDF ∠=︒，BDE CDF ∴∠=∠，在BDE ∆和CDF ∆中，DBE C BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DBE DCF ∴∆≅∆，DE DF ∴=，BDE CDF ∠=∠，BE CF =，60EDF BDC ∴∠=∠=︒，DEF ∴∆是等边三角形，BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，∴等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，当DE AB ⊥时，DE 最小23=，BEF ∴∆的周长最小值为423+，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．二、填空题13．10【分析】连接对角线BD 交AC 于点O 证四边形BDEG 是平行四边形得EG ＝BD 利用勾股定理求出OD 的长BD ＝2OD 即可求出EG 【详解】解：连接BD 交AC 于点O 如图：∵菱形ABCD 的边长为13cm ∴A解析：10【分析】连接对角线BD ，交AC 于点O ，证四边形BDEG 是平行四边形，得EG ＝BD ，利用勾股定理求出OD 的长，BD ＝2OD ，即可求出EG ．【详解】解：连接BD ，交AC 于点O ，如图：∵菱形ABCD 的边长为13cm ，∴AB//CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13cm，∵点E、F分别是边CD、BC的中点，∴ EF//BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24cm，∴AC⊥BD，AO＝CO＝1AC＝12cm，OB＝OD，2又∵AB//CD，EF//BD，∴DE//BG，BD//EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13cm，CO＝12cm，∴OB＝OD5=cm，∴BD＝2OD＝10cm，∴EG＝BD＝10cm；故答案为：10．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．14．30°【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC∠DCB＝90°根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°于是得到结论【详解】解解析：30°【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°，根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，∴∠F＝∠ECB∵∠ECB＝20°，∴∠F＝∠ECB＝20°，∵∠GAF＝∠F，∴∠GAF＝∠F＝20°，∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．15．24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF 根据折叠的性质得到推出△GEF 是等边三角形于是得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ∴∠AEG解析：24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF ，根据折叠的性质得到60GEF DEF ∠=∠=︒，推出△GEF 是等边三角形，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEG=∠EGF ，∵将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ''，∴60GEF DEF ∠=∠=︒，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，∴△EGF 是等边三角形，∵EF=8，∴△GEF 的周长=24，故答案为：24．【点睛】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．16．或【分析】首先根据题意作图注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上然后由菱形的性质可得AD ∥BC 则可证得△MAE ∽△MCB 根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是 解析：23或43【分析】 首先根据题意作图，注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上，然后由菱形的性质可得AD ∥BC ，则可证得△MAE ∽△MCB ，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是3，∴AD=BC=3，AD ∥BC ，如图①：当E 在线段AD 上时，∴AE=AD －DE=3－1=2，∴△MAE ∽△MCB ， ∴23MA AE MC BC ==； 如图②，当E 在AD 的延长线上时，∴AE=AD+DE=3+1=4，∴△MAE ∽△MCB ，∴43MA AE MC BC ==． ∴MA MC的值是23或43． 故答案为23或43．【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上两种情况，小心不要漏解．17．【分析】由题意得出OA=3由平行四边形的性质得出BC ∥OABC=OA=3即可得出结果【详解】解：∵O （00）A （30）∴OA=3∵四边形OABC 是平行四边形∴BC ∥OABC=OA=3∵B （43）∴点解析：()1,3【分析】由题意得出OA=3，由平行四边形的性质得出BC ∥OA ，BC=OA=3，即可得出结果．【详解】解：∵O （0，0）、A （3，0），∴OA=3，∵四边形OABC 是平行四边形，∴BC ∥OA ，BC=OA=3，∵B （4，3），∴点C 的坐标为（4-3，3），即C （1，3）；故答案为：（1，3）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．18．5cm 或cm 或cm 【分析】利用勾股定理列式求出AB 然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时AP 与BC 是对应边时四边形ACBP 是矩形然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时根据对称性可知AB ⊥P解析：5cm 或245cm 或75cm ． 【分析】利用勾股定理列式求出AB ，然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时，AP 与BC 是对应边时，四边形ACBP 是矩形，然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时，根据对称性可知AB ⊥PC ，再利用三角形的面积列式计算即可得解；②点P 与点C 在AB 的同侧时，利用勾股定理求出BD ，再根据PC=AB-2BD 计算即可得解．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，由勾股定理得，2222435AB AC BC cm =+=+=，如图，①点P 与点C 在AB 的两侧时，若AP 与BC 是对应边，则四边形ACBP 1是矩形， ∴P 1C=AB=5cm ，若AP 与AC 是对应边，则△ABC 和△ABP 关于直线AB 对称，∴AB ⊥PC设AB 与P 2C 相交于点D ，则S △ABC =12×5•CD=12×3×4， 解得CD=125， ∴P 2C=2CD=2×125=245， ②点P 3与点C 在AB 的同侧时，由勾股定理得，22221293()55BD BC CD =-=-=， 过点P 3作P 3E ⊥AB ，垂足E ，连接P 3C ，如图，则有12×5•P 3E=12×3×4， ∴P 3E=125∴P 3E=CD 又P 3E ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴P 3E//CD ，∴四边形P 3CDE 是平行四边形，又∠CDE=90°∴四边形P 3CDE 是矩形，∴P 3C=DE∵3P AB △≌ABC∴P 3A=BC ，∠P 3AB=∠CBA又∠P 3EA=∠CDB=90°∴△P 3AE ≌△CBD∴AE=BD∴P 3C=AB-2BD=5-2×95=75， 综上所述，PC 的长为5cm 或245cm 或75cm ． 故答案为：5cm 或245cm 或75cm ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，勾股定理，轴对称性，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．19．2或【分析】分两种情况：①过A′作MN ∥CD 交AD 于M 交BC 于N 则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴得出AM=BN=AD=2由勾股定理得到A′N=0求得A′M=2再得到A′E 即可；②过A′作PQ ∥AD 交解析：2 【分析】分两种情况：①过A′作MN ∥CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，得出AM=BN=12AD=2，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=2，再得到A′E 即可；②过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ；求出∠EBA′=30°，再利用勾股定理求出A′E ，即可得出结果．【详解】解：分两种情况：①如图1，过A′作MN ∥CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，∴AM=BN=12AD=2， ∵△ABE 沿BE 折叠得到△A′BE ， ∴A′E=AE ，A′B=AB=2，∴A′N=22A B BN '-=0，即A′与N 重合，∴A′M=2= A′E ，∴AE=2；②如图2，过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ，则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴，∴PQ ⊥AB ，AP=PB ，AD ∥PQ ∥BC ，∴A′B=2PB ，∴∠PA′B=30°，∴∠A′BC=30°，∴∠EBA′=30°，设A′E=x ，则BE=2x ，在△A′EB 中，()22222x x =+，解得：x=23， ∴AE=A′E=23；综上所述：AE 的长为223， 故答案为：2或33． 【点睛】 本题考查了翻折变换—折叠问题，矩形的性质，勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键．20．【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折的性质结合题意 解析：17 【分析】 根据题意可知PB DB ''+最小时，B '落在线段PD 上，利用勾股定理求出PD 即可．【详解】如图，连接PD ，根据题意可知当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小，且最小值为PD 长．在Rt APD 中，2211617PD AP AD =+=+=．综上可知PB DB ''+最小值为17．17【点睛】本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小是解答本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）AC=2AB ，理由见解析；（3）当AN=EN 且∠ENA=90°时，四边形MECN 是正方形．【分析】（1）根据SAS 证明三角形全等即可．（2）先根据等腰三角形的性质可得∠NMA=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．（3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出MN=EM ，再根据有一个角是直角的菱形是正方形证明即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，∴∠ABM=∠CDN ，∵点M ，N 分别为OB ，OD 的中点，∴11,22==BM OB DN OD ∴BM=DN ，在△ABM 和△CDN 中， AB CD ABM CDN BM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△CDN ．（2）当AC=2AB 时，四边形MECN 是矩形，理由如下：∵△ABM ≌△CDN ，∴AM=CN ，∠AMB=∠CND ，∴∠AMN=∠CNM ，∴AM ∥CN ，∵EM AM =，∴EM CN =，∴四边形EMNC 是平行四边形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC=2OA ，∵AC=2AB ，∴AB=OA ，∵M 是OB 的中点，∴AM ⊥OB ，∴∠NMA=90°，∴∠NME=90°，∴平行四边形MECN 是矩形．（3）当AN=EN 且∠ENA=90°时，四边形MECN 是正方形；理由如下：连接AN 、EN∵△ABM ≌△CDN ，∴AM=CN ，∠AMB=∠CND ，∴∠AMN=∠CNM ，∴AM ∥CN ，∵EM AM =，∴EM CN =，∴四边形EMNC 是平行四边形，∵EM AM =，∠ENA=90°∴MN=EM ，∴平行四边形EMNC 是菱形，∵AN=EN ，AM=EM∴∠NME=90°，∴四边形EMNC 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2'='DD OC ． 【分析】(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形．（2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形 ，再由OC=OB′ 得到四边形 OB′MC 是正方形．（3）过D 作DN ⊥B′C′，证Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)，设OC=a ，得到OC′=a ，DD′=2a ，即可求解.【详解】解：（1）由旋转性质可得OB OB '=，OC OC '=．点O 是线段BC 的中点 OB OC ∴=，''∴=OB OC ，OB OC =．∴四边形''BB CC 是平行四边形．又BC B C ''=，∴平行四边形''BB CC 是矩形． （2）证明：四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90C ∠=︒．180180904522-∠︒-∴︒∠=∠===︒︒C CBD CDB 由旋转可知，OB OB '=，45''∴∠=∠=︒OB B OBB454590'''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒B OC OB B OBB ．四边形A B C D ''''是正方形，90'∴∠=︒OB M∴四边形OB MC '是矩形OB OC =，OC=OC′ ，OB′=OB ，∴OC=OB′∴矩形OB MC '是正方形，（3）2'='DD OC ． 如图，过D 作DN ⊥B′C′可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°，∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形，在Rt △DNO 与Rt △DCO 中，∵OD=OD ，DN=DC ，∴Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)设OC=a ，则OB=2OC=2a ，∴ON=OC=OC′=a∴BC=OB+OC=3a ，DD′=NC′=ON+OC′=2a ，∴2DD a OC a'='=2． 【点睛】 本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定．23．（1）见解析；（2）GH EF ⊥，见解析；（3）25︒【分析】（1）利用中位线性质得//EG AB ，且12GE AB =，//HF AB ，且12HF AB =，可推出//EG HF ，且EG HF =，可证四边形EGFH 是平行四边形；（2由G F 、分别是BD BC 、的中点，可得12GF CD =，由（1）知12GE AB =，由AB CD =，可证GE GF =，由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，可证四边形EGFH 是菱形即可；（3）先证四边形EGFH 是平行四边形；再证四边形EGFH 是菱形，由EG ∥AB ，GF ∥CD ，可求∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°利用平角可求∠DGF=180°-∠BGF=110°，利用两角和求∠EGF=130°利用菱形性质求∠GEH=180°-∠EGF=50º，由FE 平分∠GEH ，∠GEF=25︒即可．【详解】证明：（1）E G 、分别是AD BD 、的中点，//EG AB ∴，且12GE AB =， 同理可证：//HF AB ，且12HF AB =， //EG HF ∴，且EG HF =，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）GH EF ⊥，理由：G F 、分别是BD BC 、的中点，12GF CD ∴=， 由（1）知12GE AB =， 又AB CD =，GE GF ∴=， 又四边形EGFH 是平行四边形，∴四边形EGFH 是菱形，GH EF ∴⊥；（3）E G 、分别是AD BD 、的中点，F H 、分别是BC AC 、的中点，//EG AB ∴，//HF AB ，12GE AB =， //EG HF ∴，同理可证//EH GF ，12GF CD =， ∴四边形EGFH 是平行四边形，∵AB CD =，GE GF ∴=，∴四边形EGFH 是菱形，20,70ABD BDC ∠=︒∠=︒，EG ∥AB ，GF ∥CD ，∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，∵FE 平分∠GEH ，∴∠GEF=11502522GEH ∠=⨯︒=︒．故答案为：25︒．【点睛】本题考查平行四边形，菱形判断与性质，求菱形内角，掌握平行四边形的判定方法，菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键．24．（1）见解析；（2）120°【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求证；（2）根据补角定义和直角三角形性质可得∠MDA+∠MCB=120°，∠MDB+∠MCA=60°，再由等边三角形的性质得到∠BDC+∠ACD=60°，最后由对顶角相等和三角形内角和定理可得∠AOB=120°．【详解】（1）证明：由已知可得：1122MC AB MD AB ==，，∴MC=MD；（2）∵△MCD是等边三角形，∴∠DMC=60°,∴∠AMD+∠BMC=180°-60°=120°，与（1）同理有：MA=MD，MC=MB，∴∠MAD=∠MDA，∠MCB=∠MBC，∴2（∠MDA+∠MCB）=360°-（∠AMD+∠BMC）=360°-120°=240°，∴∠MDA+∠MCB=120°，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠MDB+∠MCA=（∠ADB+∠BCA）-（∠MDA+∠MCB）=180°-120°=60°，∴∠BDC+∠ACD=(∠MDC+∠MCD)-(∠MDB+∠MCA)=120°-60°=60°，∴∠AOB=∠DOC=180°-(∠BDC+∠ACD)=180°-60°=120°．【点睛】本题考查等边三角形和直角三角形的综合应用，熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质、补角定义、三角形内角和定理是解题关键．25．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）连接GE，根据正方形对边平行，得∠AEG=∠CGE，根据菱形的对边平行，得∠HEG=∠FGE，利用两个角的差求解即可；（2）根据正方形的判定定理，证明∠GHE=90°即可．【详解】证明：（1）连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠CGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠HEA=∠CGF ；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH 是菱形，∴HG=HE ，在Rt △HAE 和Rt △GDH 中，AH DG HE HG=⎧⎨=⎩， ∴Rt △HAE ≌Rt △GDH ，∴∠AHE=∠DGH ，∵∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH 为正方形.【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，平行线的性质，熟记正方形的性质和判定是解题的关键.26．（1）见解析；（2）47BECD S =菱形【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，得到AB CD =，//AB CD ，再根据BE AB =，得到BE CD =，利用一组对边平行且相等的四边形BECD 是平行四边形去判定．（2）先利用已知条件证四边形BECD 是菱形，再在Rt BOE △中，利用勾股定理求BO ，进而求BC ，则可求菱形面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，//AB CD ，又∵BE AB =，∴BE CD =，//BE CD ，∴四边形BECD 是平行四边形．（2）如图，连接DE ，交BC 于点O ，∵4AB BD ==，BE AB =，∴4BD BE ==，由（1）得四边形BECD 是平行四边形，∴BECD 是菱形，∴DE BC ⊥， ∵22DE = ∴122OE DE ==， 在Rt BOE △中，22224(2)14BO BE OE =-=-= ∴2214BC BO == ∴11214224722BECD S BC DE =⋅=⨯=菱形 【点睛】 本题考查了平行四边形、菱形性质和判定的综合应用，熟练掌握相关知识是解答此题的关键．。
苏科版八年级数学下册第9章 中心对称图形-平行四边形 单元测试卷(含答案)
苏科版八年级数学下册第9章 中心对称图形-平行四边形 单元测试卷一、单选题1．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．下列结论中，正确的是（ ）A ．四边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．正方形两条对角线相等，但不互相垂直平分D ．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质3．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是（ ）A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，过点D 作直线m∥AC ，点E 、F 是直线m 上两个动点，在运动过程中EF∥AC 且EF ＝AC ，四边形ACFE 的面积是( )A ．48B ．40C ．24D ．305．如图，四边形ABCD 中，90DAB CBA ∠=∠=︒，将CD 绕点D 逆时针旋转90︒至DE ，连接AE ，若6AD =，10BC =，则ADE ∆的面积是（ ）A ．272B ．12C ．9D ．86．菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于（ ） A ．3.5 B ．4 C ．7 D ．147．如图，在正方形ABCD 中，点M 、N 为边BC 和CD 上的动点（不含端点），45MAN ∠=︒.下列三个结论：∥当MN =时，则22.5BAM ∠=︒；∥290AMN MNC ∠-∠=︒；∥MNC ∆的周长不变，其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．如图，在∥ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE∥AB 于 E ，PF∥AC 于 F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）A ．1B ．1.3C ．1.2D ．1.59．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB ＝4，BD ＝E 为AB 的中点，点P 为线段AC 上的动点，则EP+BP 的最小值为（ ）A ．4B ．C ．D ．810．如图，在∥ABC中,∥ACB=90o，∥B=30o，AC=1，AB=2，AC在直线l上，将∥ABC绕点A顺时针转到位置∥可得到点P1，此时AP1=2；将位置∥的三角形绕点P1顺时针旋转到位置∥，可得到点P2，此时AP2=2+∥的三角形绕点P2顺时针旋转到位置∥，可得到点P3，此时AP3，按此顺序继续旋转，得到点P2016，则AP2016=( )A．B．C．D．二、填空题11．如图，在∥ABC中，∥BAC＝65°，将∥ABC绕点A逆时针旋转，得到∥AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∥BAB'＝_____°．12．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，直线EF经过点O，交BC于点E，AD于点F，若AB=5cm，AC=13 cm，则阴影部分的面积为_________．13．在菱形ABCD中，对角线AC=2，BD=4，则菱形ABCD的周长是________．14．如图．将长方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∥EBF的大小为_____ .15．如图，在∥ABC中，∥ACB=90°，AC=BC=4，O是BC的中点，P是射线AO上的一个动点，则当∥BPC=90°时，AP的长为______.16．已知，点(,1)A a 和点(3,)B b 关于原点O 对称，则+a b 的值为__________．17．如图，∥ABC 中，AB=AC ，BE∥AC ，D 为AB 中点，若DE=5，BE=8．则EC=______．18．如图，在∥ABC 中，CD∥AB 于点D ，BE∥AC 于点E ，F 为BC 的中点，DE ＝5，BC ＝8，则∥DEF 的周长是______.19．如图，在ABC V 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 的中点，则AM 的最小值为________．20．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：∥四边形CFHE是菱形；∥EC平分∥DCH；∥线段BF的取值范围为3≤BF≤4；∥当点H与点A重合时，以上结论中，你认为正确的有．（填序号）三、解答题21．已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F．求证：四边形AECF是平行四边形．22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．23．如图，在边长为1的正方形网格中，∥ABC 的顶点均在格点上．（1）画出∥ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的∥A′B′C′．（2）求点B 绕点O 旋转到点B′的路径长（结果保留π）．24．如图，在ABCD Y 中，对角线BD 平分ABC ∠，过点A 作AE BD P ，交CD 的延长线于点E ，过点E 作EF BC ⊥，交BC 延长线于点F ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若452ABC BC ∠︒＝，＝，求EF 的长．25．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且DE AC P ，CE BD P .求证：四边形OCED 是菱形.26．如图，在∥ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且DE=BF ，AC∥EF ．求证：四边形AECF 是菱形．27．如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于点E 点，延长BC 至F 点使=CF BE ，连接AF ，DE ，DF .（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）若6AB =，8DE =，10BF =，求AE 的长.28．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t(s)．(1)∥PBD的度数为，点D的坐标为(用t表示)；(2)当t为何值时，∥PBE为等腰三角形？29．在∥ABCD中，∥BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∥ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∥BDG的度数；（3）若∥ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∥BDG的度数．30．如图，∥ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE∥AB于E，连接PQ交AB于D．（∥）若设AP＝x，则PC＝，QC＝；（用含x的代数式表示）（∥）当∥BQD＝30°时，求AP的长；（∥）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．苏科版八年级数学下册第9章中心对称图形-平行四边形单元测试卷（含答案）一、填空题1．C 2．B 3．C 4．A 5．B6．A 7．D 8．C 9．C 10．B二、填空题11．50 12．15cm2 13．14．45° 15．±216．4-17．4 18．13 19．1.2 20．∥∥∥三、解答题21．证明见解析.【分析】求证四边形AECF是平行四边形，只要求证OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证，依据∥AOE∥∥COF即可证明OE=OF．【详解】证明：∥平行四边形ABCD中AB∥CD，∥∥OAE=∥OCF，又∥OA=OC，∥COF=∥AOE，∥∥AOE∥∥COF(ASA)，∥OE=OF，又∥OA=OC∥四边形AECF是平行四边形.22．证明见解析.根据平行四边形的判定推出四边形OBEC 是平行四边形，根据菱形性质求出∥AOB=90°，根据矩形的判定推出即可．【详解】∥BE∥AC ，CE∥DB ，∥四边形OBEC 是平行四边形，又∥四边形ABCD 是菱形，且AC 、BD 是对角线，∥AC∥BD ，∥∥BOC ＝90°，∥平行四边形OBEC 是矩形．23．（1）画图见解析；（2）点B 绕点O 旋转到点B′． 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、B 、C 的对应点A′、B′、C′，从而得到∥A′B′C′；（2）先计算出OB 的长，然后根据弧长公式计算点B 绕点O 旋转到点B′的路径长．【详解】（1）如图，∥A′B′C′为所作；（2）OB ＝，点B 绕点O 旋转到点B′的路径长＝90180π⨯⨯π．24．(1)见解析；(2)（1）证明ADB ABD ∠∠＝，得出AB AD ＝，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出2AB CD BC ＝＝＝，证明四边形ABDE 是平行四边形，45ECF ABC ∠∠︒＝＝，得出24AB DE CE CD DE +＝＝，＝＝，在Rt CEF △中，由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出EF 的长．【详解】（1）证明：∥四边形ABCD 是平行四边形，AD BC AB CD AB CD ∴P P ，＝，，ADB CBD ∴∠∠＝，， ∥BD 平分ABC ∠，ABD CBD ∴∠∠＝，， ADB ABD ∴∠∠＝，， AB AD ∴＝，， ABCD ∴Y 是菱形；（2）解：∥四边形ABCD 是菱形，2AB CD BC ∴＝＝＝，AB CD AE BD Q P P ，，∥四边形ABDE 是平行四边形，45ECF ABC ∠∠︒＝＝，2AB DE ∴＝＝，4CE CD DE ∴+＝＝，45EF BC ECF ⊥∠︒Q ，＝，CEF ∴V 是等腰直角三角形，2EF CF ∴=== 25．见解析【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED 是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD ，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．【详解】证明：∥DE AC P ，CE BD P ，∥四边形OCED 是平行四边形，∥四边形ABCD 是矩形，∥AC BD =，OA OC =，OB OD =，∥OC OD =，∥四边形OCED 是菱形.26．见解析.【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明【详解】证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，DE BF =Q ，AE CF ∴=，//AE CF Q ，∴四边形AECF 是平行四边形，AC EF ⊥Q ，∴四边形AECF 是菱形．27．（1）见解析；（2）245【解析】试题分析：（1）先证明四边形AEFD 是平行四边形，再证明∥AEF=90°即可．（2）证明∥ABF 是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE 的长．试题解析：（1）证明：∥CF=BE ，∥CF+EC=BE+EC ．即 EF=BC ．∥在∥ABCD 中，AD∥BC 且AD=BC ，∥AD∥EF 且AD=EF ．∥四边形AEFD是平行四边形．∥AE∥BC，∥∥AEF=90°．∥四边形AEFD是矩形；（2）∥四边形AEFD是矩形，DE=8，∥AF=DE=8．∥AB=6，BF=10，∥AB2+AF2=62+82=100=BF2．∥∥BAF=90°．∥AE∥BF，∥∥ABF的面积=12AB•AF=12BF•AE．∥AE=•6824105 AB AFBF⨯==．28．(1)45°(t，t)；(2)t＝4秒或（-4）秒【分析】（1）易证∥BAP∥∥PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∥PBD的度数和点D的坐标．（2）由于∥EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．由于∥PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．【详解】（1）如图1，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）∥AO=PQ ．∥四边形OABC 是正方形，∥AO=AB=BC=OC ，∥BAO=∥AOC=∥OCB=∥ABC=90°．∥DP∥BP ，∥∥BPD=90°．∥∥BPA=90°-∥DPQ=∥PDQ ．∥AO=PQ ，AO=AB ，∥AB=PQ ．在∥BAP 和∥PQD 中，BAP PQD BPA PDQ AB PQ ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∥∥BAP∥∥PQD （AAS ）．∥AP=QD ，BP=PD ．∥∥BPD=90°，BP=PD ，∥∥PBD=∥PDB=45°．∥AP=t ，∥DQ=t ．∥点D 坐标为（t ，t ）．故答案为：45°，（t ，t ）．（2）∥若PB=PE ，则t=0（舍去），∥若EB=EP ，则∥PBE=∥BPE=45°．∥∥BEP=90°．∥∥PEO=90°-∥BEC=∥EBC ．在∥POE 和∥ECB 中，PEO EBC POE ECB EP BE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∥∥POE∥∥ECB （AAS ）．∥OE=CB=OC ．∥点E 与点C 重合（EC=0）．∥点P 与点O 重合（PO=0）．∥点B （-4，4），∥AO=CO=4．此时t=AP=AO=4．∥若BP=BE ，在Rt∥BAP 和Rt∥BCE 中，BA BC BP BE ⎧⎨⎩＝＝ ∥Rt∥BAP∥Rt∥BCE （HL ）．∥AP=CE ．∥AP=t ，∥CE=t ．∥PO=EO=4-t ．∥∥POE=90°，4-t ）．延长OA 到点F ，使得AF=CE ，连接BF ，如图2所示．在∥FAB 和∥ECB 中，90AB CB BAF BCE AF CE ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩︒＝＝＝＝∥∥FAB∥∥ECB ．∥FB=EB ，∥FBA=∥EBC ．∥∥EBP=45°，∥ABC=90°，∥∥ABP+∥EBC=45°．∥∥FBP=∥FBA+∥ABP=∥EBC+∥ABP=45°．∥∥FBP=∥EBP ．在∥FBP 和∥EBP 中，BF BE FBP EBP BP BP ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∥∥FBP∥∥EBP （SAS ）．∥FP=EP ．∥EP=FP=FA+AP=CE+AP ．∥EP=t+t=2t ．（4-t ）=2t ．解得：-4∥当t 为4秒或（-4）秒时，∥PBE 为等腰三角形．29．(1)见解析;(2)45°；(3)见解析.【分析】（1）根据AF 平分∥BAD ，可得∥BAF=∥DAF ，利用四边形ABCD 是平行四边形，求证∥CEF=∥F 即可;（2）根据∥ABC=90°，G 是EF 的中点可直接求得;（3）分别连接GB 、GC ，求证四边形CEGF 是平行四边形，再求证∥ECG 是等边三角形,由AD∥BC 及AF 平分∥BAD 可得∥BAE=∥AEB ，求证∥BEG∥∥DCG ，然后即可求得答案.【详解】（1）证明：如图1，∥AF 平分∥BAD ，∥∥BAF=∥DAF ，∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AD∥BC ，AB∥CD ，∥∥DAF=∥CEF ，∥BAF=∥F ，∥∥CEF=∥F ．∥CE=CF ．（2）解：连接GC 、BG ，∥四边形ABCD 为平行四边形，∥ABC=90°，∥四边形ABCD 为矩形，∥AF 平分∥BAD ，∥∥DAF=∥BAF=45°，∥∥DCB=90°，DF∥AB ，∥∥DFA=45°，∥ECF=90°∥∥ECF 为等腰直角三角形，∥G 为EF 中点，∥EG=CG=FG ，CG∥EF ，∥∥ABE 为等腰直角三角形，AB=DC ，∥BE=DC ，∥∥CEF=∥GCF=45°，∥∥BEG=∥DCG=135°在∥BEG 与∥DCG 中，∥EG CG BEG DCG BE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥BEG∥∥DCG ，∥BG=DG ，∥CG∥EF ，∥∥DGC+∥DGA=90°，又∥∥DGC=∥BGA ，∥∥BGA+∥DGA=90°，∥∥DGB为等腰直角三角形，∥∥BDG=45°．（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∥AD∥GF，AB∥DF，∥四边形AHFD为平行四边形∥∥ABC=120°，AF平分∥BAD∥∥DAF=30°，∥ADC=120°，∥DFA=30°∥∥DAF为等腰三角形∥AD=DF，∥CE=CF，∥平行四边形AHFD为菱形∥∥ADH，∥DHF为全等的等边三角形∥DH=DF，∥BHD=∥GFD=60°∥FG=CE，CE=CF，CF=BH，∥BH=GF在∥BHD与∥GFD中，∥DH DFBHD GFD BH GF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥BHD∥∥GFD，∥∥BDH=∥GDF∥∥BDG=∥BDH+∥HDG=∥GDF+∥HDG=60°.30．（∥）6﹣x，6+x；（∥）2；（∥）线段DE的长度不会改变.DE=3【分析】(1)根据等边三角形的性质可知AB＝BC＝AC＝6，然后根据题意解答即可;（2）在（1）的基础上，再利用直角三角形30°所对的边等于斜边的一半进行解答即可.(3) 作QF∥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF;根据题意和等边三角形的性质证明∥APE∥∥BQF（AAS），进一步说明四边形PEQF是平行四边形，最后说明DE＝AB，即可说明DE的长度不变.【详解】解：（∥）∥∥ABC是边长为6的等边三角形，∥AB ＝BC ＝AC ＝6，设AP ＝x ，则PC ＝6﹣x ，QB ＝x ，∥QC ＝QB +BC ＝6+x ，故答案为：6﹣x ，6+x ；（∥）∥在Rt∥QCP 中，∥BQD ＝30°，∥PC ＝12QC ，即6﹣x ＝12（6+x ），解得x ＝2， ∥AP ＝2；（∥）当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．理由如下：作QF ∥AB ，交直线AB 的延长线于点F ，连接QE ，PF ， 又∥PE ∥AB 于E ，∥∥DFQ ＝∥AEP ＝90°，∥点P 、Q 速度相同，∥AP ＝BQ ，∥∥ABC 是等边三角形，∥∥A ＝∥ABC ＝∥FBQ ＝60°，在∥APE 和∥BQF 中，∥∥AEP ＝∥BFQ ＝90°，∥∥APE ＝∥BQF ，∥在∥APE 和∥BQF 中，AEP BFQ A FBQ AP BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥APE∥∥BQF（AAS），∥AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，∥四边形PEQF是平行四边形，∥DE＝12 EF，∥EB+AE＝BE+BF＝AB，∥DE＝12 AB，又∥等边∥ABC的边长为6，∥DE＝3，∥当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试卷(含答案解析)(4)
一、选择题1．如图，在ABCD 中，AB AD ≠，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于E ，若ABE △的周长为12cm ，则ABCD 的周长是（ ）A ．24cmB ．40cmC ．48cmD ．无法确定 2．如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AD//BC ，AB=CDB ．∠AOB=∠COD ，∠AOD=∠COBC ．OA=OC ，OB=ODD ．AB=AD ，CB=CD 3．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 三个顶点坐标分别为A （-1，-2），D （1，1），C（5，2），则顶点B 的坐标为（ ）A ．（-1，3）B ．（4，-1）C ．（3，-1）D ．（3，-2） 4．把边长相等的正五边形ABCDE 和正方形ABFG ，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD ，则∠DAG ＝（ ）A ．18°B ．20°C ．28°D ．30°5．给出下列4个命题：①四边形的内角和等于外角和；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③若|x |＝2，则x ＝2；④同旁内角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．如图，将四边形ABCD 去掉一个60°的角得到一个五边形BCDEF ，则∠1与∠2的和为( )A ．60°B ．108°C ．120°D ．240°7．如图，AD 、BE 分别是ABC 的中线和角平分线，AD BE ⊥，4AD BE ==，F 为CE 的中点，连接DF ，则AF 的长等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．25 8．一个多边形每个外角都等于30°，则这个多边形是几边形( ) A ．9B ．10C ．11D ．12 9．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD ＝60°，∠F ＝100°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35° 10．若一个正n 边形的每个内角为156°，则这个正n 边形的边数是（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 11．在Rt ABC 中，45A ∠=︒，90C ∠=︒，点D 在BC 边上(不与点C ，B 重合)，点P 、点Q 分别是AC ，AB 边上的动点，当DPQ 的周长最小时，PDQ ∠的度数是( )A ．70°B ．90°C ．100°D ．120° 12．正多边形的一个外角的度数为72°，则这个正多边形的边数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 二、填空题13．如图，在ABC 中，13AB AC ==，10BC =．M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的动点，且5DE =．连接DN ，EM ，则图中阴影部分的面积和为______．14．如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得30ACB ∠=︒，则这个正多边形的边数是_________．15．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．16．七边形的外角和为________．17．在ABCD 中，边15AB =，对角线13AC =，BC 边的高12AE =，则ABCD 的周长为__________．18．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则A DB '∠=________．19．有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则∠1＝______．20．一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是边形__________边形．三、解答题21．如图，点E 在ABCD 外，连接BE ，DE ，延长AC 交DE 于F ，F 为DE 的中点．（1）求证：//AF BE ；（2）若2AD =，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，2AC CF =，求BE 的长．22．如图，在ABC 中， 2AB AC ==，延长BC 至点D ，使CD BC =，连接AD ，E F 、分别为AC AD 、中点，连接EF ，若120ACD ∠=︒，求线段EF 的长度．23．如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，ED ∥BC ，EF ∥AC ．求证：BE=CF ．24．如图，在▱ABCD 中，DE ＝CE ，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F.(1)求证：△ADE ≌△FCE ；(2)若AB ＝2BC ，∠F ＝36°，求∠B 的度数．25．如图，已知：平行四边形ABCD 中，,ABC BCD ∠∠的平分线交于点E ，且点E 刚好落在AD 上，分别延长,BE CD 交于F()1AB 与AD 之间有什么数量关系？并证明你的猜想()2CE 与BF 之间有什么位置关系？并证明你的猜想26．如果正多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的内角和．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据平行四边形的性质，及OE BD ⊥交AD 于E 可以证明OE 是线段BD 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，可以得到BE DE =，再利用线段间的关系可以证明ABCD 的周长为ABE △周长的两倍.【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AO CO =，BO DO =；∵OE BD ⊥交AD 于E ；∴OE 是线段BD 的垂直平分线，∴BE DE =；∴AE ED AE BE +=+；∴ABE △的周长为12AE BE +=∴ABCD 的周长为2()21224AB AD +=⨯=.故选：A.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和垂直平分线的性质，具有一定的综合性，属于中等题型. 2．C解析：C【分析】由平行四边形的判定可求解．【详解】A 、由AD ∥BC ，AB=CD 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；B 、由∠AOB=∠COD ，∠AOD=∠COB 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；C 、由OA=OC ，OB=OD 能判定四边形ABCD 为平行四边形；D 、AB=AD ，CB=CD 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．3．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质，CD=AB ，CD ∥AB ，根据平移的性质即可求得顶点B 的坐标．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB ，CD ∥AB ，∵▱ABCD 的顶点A 、D 、C 的坐标分别是A （-1，-2）、D （1，1）、C （5，2）， D （1，1）向左平移2个单位，再向下3个单位得到A （-1，-2），则C （5，2）向左平移2个单位，再向下3个单位得到（3，-1），∴顶点B 的坐标为（3，-1）．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．4．A解析：A【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的度数，进而求得∠BAD的度数，再利用正方形的内角得出∠BAG＝90°，进而得出∠DAG的度数．【详解】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠E＝∠BAE＝1×540°＝108°，5又∵EA＝ED，∴∠EAD＝1×（180°﹣108°）＝36°，2∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，∵正方形GABF的内角∠BAG＝90°，∴∠DAG＝90°﹣72°＝18°，故选：A．【点睛】本题考查正多边形的内角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键．5．B解析：B【分析】根据四边形内角和、直角三角形性质和绝对值性质判断即可；【详解】解：①四边形的内角和和外角和都是360°，∴四边形的内角和等于外角和，是真命题；②有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题；③若|x|＝2，则x＝±2，本说法是假命题；④两直线平行时，同旁内角的平分线互相垂直，本说法是假命题；故选：B．【点睛】本题主要考查了四边形的内角和、直角三角形两锐角互余、绝对值的性质和平行线的知识点，准确分析是解题的关键．6．D解析：D【分析】利用四边形的内角和得到∠B＋∠C＋∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B＋∠C＋∠D的度数即为所求的度数．【详解】∵四边形的内角和为（4−2）×180°＝360°，∴∠B＋∠C＋∠D＝360°−60°＝300°，∵五边形的内角和为（5−2）×180°＝540°，∴∠1＋∠2＝540°−300°＝240°，故选D．【点睛】本题考查多边形的内角和知识，求得∠B＋∠C＋∠D的度数是解决本题的突破点．7．D解析：D【分析】已知AD是ABC的中线，F为CE的中点，可得DF为△CBE的中位线，根据三角形的中位线定理可得DF∥BE，DF=12BE=2；又因AD BE⊥，可得∠BOD=90°，由平行线的性质可得∠ADF=∠BOD=90°，在Rt△ADF中，根据勾股定理即可求得AF的长.【详解】∵AD是ABC的中线，F为CE的中点，∴DF为△CBE的中位线，∴DF∥BE，DF=12BE=2；∵AD BE⊥，∴∠BOD=90°，∵DF∥BE，∴∠ADF=∠BOD=90°，在Rt△ADF中，AD=4，DF=2，∴22224225AD DF+=+=故选D.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及勾股定理，利用三角形的中位线定理求得DF∥BE，DF=12BE=2是解决问题的关键.8．D解析：D 【分析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数计算即可．【详解】∵一个多边形的每个外角都等于30°，外角和为360°，∴n=360°÷30°=12，故选D．【点睛】本题主要考查了多边形外角和、利用外角求正多边形的边数的方法，解题的关键是掌握任意多边形的外角和都等于360度．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明9．A解析：A【分析】由▱ABCD与▱DCFE的周长相等，可得到AD＝DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD＝60°，∠F＝100°，即可求出∠DAE的度数．【详解】∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且CD＝CD，∴AD＝DE，∵∠DAE＝∠DEA，∵∠BAD＝60°，∠F＝100°，∴∠ADC＝120°，∠CDE═∠F＝100°，∴∠ADE＝360°﹣120°﹣100°＝140°，∴∠DAE＝（180°﹣140°）÷2＝20°，故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．10．C解析：C【解析】试题分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，故选C．考点：多边形内角与外角．11．B解析：B【分析】作D关于AC的对称点E，作D关于AB的对称点F，连接EF交AC于P，交AB于Q，则此时△DPQ的周长最小，根据四边形的内角和得到∠EDF=135°，求得∠E+∠F=45°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】作D关于AC的对称点E，作D关于AB的对称点F，连接EF交AC于P，交AB于Q，则此时△DPQ的周长最小，∵∠AGD=∠ACD=90°，∠A=45°，∴∠EDF=135°，∴∠E+∠F=45°，∵PE=PD，DQ=FQ，∴∠EDP=∠E，∠QDF=∠F，∴∠CDP+∠QDG=∠E+∠F=45°，∴∠PDQ=135°-45°=90°，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理，正确的作出图形是解题的关键．12．B解析：B【分析】正多边形的外角和是360°，且正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．【详解】∵正多边形的外角和是360°，∴360÷72＝5，那么它的边数是5．故选B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟练掌握．二、填空题13．30【分析】连接MN 根据题意可以得到MN 是三角形ABC 的中位线过点A 作AF 垂直于BC 与点F 进而求解面积即可；【详解】连接MN ∵MN 分别是ABAC 的中点∴MN 为三角形ABC 的中位线∵BC=10∴过点A解析：30【分析】连接MN ，根据题意可以得到MN 是三角形ABC 的中位线，过点A 作AF 垂直于BC 与点F ，进而求解面积即可；【详解】连接MN ，∵ M 、N 分别是AB 、AC 的中点，∴ MN 为三角形ABC 的中位线，∵BC=10，∴ 152MN BC == ， 过点A 作AF 垂直于BC 与点F ，∵AB=AC=13，∴点F 为BC 的中点，∴152BF BC ==， ∴22=135=12AF - ，∴阴影部分的高为12，∵MN=DE=5，∴1=512=302S ⨯⨯阴影 ， 故答案为：30．【点睛】本题考查了三角形的面积和中位线的性质，掌握数形结合的方法是解题的关键； 14．12【分析】根据瓷片为正多边形及可知正多边形的外角为进而可求得正多边形的边数【详解】如图延长BC 可知∠1为正多边形的外角∵瓷片为正多边形∴AD=DB=BC ∠ADB=∠DBC ∴四边形ACBD 为等腰梯形解析：12【分析】根据瓷片为正多边形及=30ACB ∠︒，可知正多边形的外角为30︒，进而可求得正多边形的边数．【详解】如图，延长BC ，可知∠1为正多边形的外角，∵瓷片为正多边形，∴AD=DB=BC ，∠ADB=∠DBC ，∴四边形ACBD 为等腰梯形，∴BD ∥AC ，∴∠1==30ACB ∠︒，∴正多边形的边数为：360=1230︒︒， 故答案为：12．【点睛】本题考查正多边形的外角和，掌握相关知识点是解题的关键． 15．35°【分析】连接OB 同理得AO=OB=OC 由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO ∠C=∠CBO 进而得到∠A+∠C=∠ABC 由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD ∠BOE=∠COE 由平角的定义得∠DO解析：35°【分析】连接OB ，同理得AO=OB=OC ，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO ，∠C=∠CBO ，进而得到∠A+∠C=∠ABC ，由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD ，∠BOE=∠COE ，由平角的定义得∠DOE=145°，最后由四边形内角和定理可得结论．【详解】解：连接OB ，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO=OB=OC，∴∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，∴∠A+∠C=∠ABC，∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，∴∠DOE=145°，∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；故答案为：35°【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解；【详解】∵多边形的外角和都是360°∴七边形的外角和为360°故答案为：360°【点睛】本题考查了多边形的外角的性质掌握多边形的外角和等于36解析：360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解；【详解】∵多边形的外角和都是360°，∴七边形的外角和为360°，故答案为：360°．【点睛】本题考查了多边形的外角的性质，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键；17．58或38【分析】由题意可分为两种情况进行分析：①点E在边BC上；②点E在边BC的延长线上；由勾股定理分别求出BC的长度即可得到答案【详解】解：根据题意①当点E在边BC上时如图：∵∠AEC=∠AEB解析：58或38【分析】由题意，可分为两种情况进行分析：①点E在边BC上；②点E在边BC的延长线上；由勾股定理，分别求出BC的长度，即可得到答案．【详解】解：根据题意，①当点E在边BC上时，如图：∵15AB =，13AC =，12AE =，∠AEC=∠AEB=90°，由勾股定理，则 2213125CE =-=，2215129BE =-=， ∴5914BC =+=，∴周长为：(1415)258+⨯=；②当点E 在边BC 的延长线上时，如图：由①可知，2213125CE =-=，2215129BE -=，∴954BC =-=，∴周长为：(415)238+⨯=；故答案为：58或38．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是正确的确定点E 的位置，注意运用分类讨论的思想进行解题．18．10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=45°再利用三角形的内角和求解【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=×90°=45°∴∠ADC解析：10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA ′D=50°，∠ACD=∠A ′CD=45°，再利用三角形的内角和求解．【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°，∠ACD=∠A′CD=12×90°=45°， ∴∠ADC=∠A′DC=180°−45°−50°=85°，∴∠A′DB=180°−85°×2=10°．故答案为：10°．【点睛】本题利用对折考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．19．18°【解析】根据多边形的内角和公式可求得正五边形的内角∠BAE=108°所以∠1=∠BAE-∠BAG=108°-90°=18°解析：18°【解析】根据多边形的内角和公式可求得正五边形的内角∠BAE=108°，所以∠1=∠BAE-∠BAG=108°-90°=18°.20．八【分析】首先设这个多边形的边数为n由n边形的内角和等于180（n-2）即可得方程180（n-2）=1080解此方程即可求得答案【详解】解:设这个多边形的边数为n根据题意得:180（n-2）=108解析：八【分析】首先设这个多边形的边数为n,由n边形的内角和等于180︒（n-2）,即可得方程180（n-2）=1080,解此方程即可求得答案．【详解】解:设这个多边形的边数为n,根据题意得:180（n-2）=1080,解得:n=8,故答案为:八．【点睛】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单,注意熟记公式是准确求解此题的关键,注意方程思想的应用．三、解答题21．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据平行四边形的性质可以判定OF为△DBE的中位线，即可证明；（2）根据AD=2，∠ACD=90°，∠ADC=60°，可求出AC的长，再根据中位线的性质即可求解；【详解】解：（1）连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，=，∴OB OD=，∵DF EF∴OF为△DBE的中位线AF BE．∴//（2）∵AD=2，∠ACD=90°，∠ADC=60°， ∴3AC =∵OF 是DBE 的中位线，∴2BE OF =．∴222BE OC CF AC CF =+=+．∵2AC CF =， ∴223BE AC ==【点睛】本题考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的性质，正确掌握知识点是解题的关键； 22．线段EF 的长度为1．【分析】根据邻补角的定义得到∠ACB ＝60°，根据等边三角形的性质得到BC ＝AB ＝2，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】∵∠ACD ＝120°，∴∠ACB ＝60°，∵AB ＝AC ＝2，∴△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AB ＝2，∴CD ＝BC ＝2，∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点，∴EF ＝12CD ＝1． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．23．证明见解析．【解析】试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF ，再证明EB=ED ，即可解决问题． 试题∵ED ∥BC ，EF ∥AC ，∴四边形EFCD 是平行四边形，∴DE=CF ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBD=∠DBC ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∴∠EBD=∠EDB ，∴EB=ED ，∴EB=CF ． 考点：平行四边形的判定与性质．24．（1）见解析；（2）108°【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，证出∠D=∠ECF ，由ASA 即可证出△ADE ≌△FCE ；（2）证出AB=FB ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠D=∠ECF ，在△ADE 和△FCE 中，D ECF DE CEAED FEC ＝＝＝∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△ADE ≌△FCE （ASA ）；（2）∵△ADE ≌△FCE ，∴AD=FC ，∵AD=BC ，AB=2BC ，∴AB=FB ，∴∠BAF=∠F=36°，∴∠B=180°-2×36°=108°．【点睛】运用了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．25．（1）AD=2AB ，证明见解析；（2）CE ⊥BF ，证明见解析．【分析】（1）结论：AD=2AB ．只要证明AB=AE ，CD=DE 即可解决问题；（2）结论：CE ⊥BF ．只要证明∠EBC+∠BCE=90°即可；【详解】解：（1）结论：AD=2AB ．理由：∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠FBC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠FBC=∠AEB ，∴∠AEB=∠ABE ，∴AB=AE ，同理可证：CD=DE ，∴AD=AE+ED=AB+CD=2AB．（2）结论：CE⊥BF．理由：∵BF平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵CE平分∠BCD，∴∠BCD=2∠BCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴2∠EBC+2∠BCE=180°，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠BEC=90°，即CE⊥BF．【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．26．1800°．【分析】设正多边形一个外角是x°，根据题意列方程，求出外角的度数，再根据多边形的外角和为360°，即可求出边数，进而求出内角和．【详解】解：设正多边形一个外角是x°，则与它相邻的内角是（4x°+30°），∴x°+4 x°+30°=180°，解得x°=30°，∵多边形的外角和是360°，∴个多边形的边数是360°÷30°=12，∴内角和为（12-2）×180°=1800°．答：这个多边形的内角和为1800°．【点睛】本题考查了多边形的内角和，外角和定理，内角与外角的关系，熟练掌握多边形的内角和定理，外角和定理是解题关键．。
浙教版八年级(下)数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编(3)(含详解)
浙教版八年级（下）数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编（3）（含详解）1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．3．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF 是准矩形；（2）如图2，准矩形ABCD中，M、N分别AD、BC边上的中点，若AC=2MN，求AB2、BC2、CD2、AD2之间的关系．4．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；②求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．5．已知：如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．（1）若点G在点B的右边．试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．6．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．7．已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD 的边AB、BC、DA上．（1）如图1，四边形EFGH 为正方形，AE ＝2，求GC 的长．（2）如图2，四边形EFGH 为菱形，设BF ＝x ，△GFC 的面积为S ，且S 与x 满足函数关系S ＝621x ．在自变量x 的取值范围内，是否存在x ，使菱形EFGH 的面积最大？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由．8．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∠CAB 的平分线分别交BD 、BC 于E 、F ，作BH ⊥AF 于点H ，分别交AC 、CD 于点G 、P ，连接GE 、GF ． （1）求证：△OAE ≌△OBG ．（2）试问：四边形BFGE 是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．9．已知，如图，O 为正方形对角线的交点，BE 平分∠DBC ，交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使CF ＝CE ，连接DF ，交BE 的延长线于点G ，连接OG ． （1）求证：△BCE ≌△DCF ．（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．（3）若DF2＝8﹣42，求正方形ABCD的面积？10．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请求出线段CM与BN的数量关系．参考答案与解析1．（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB ＝90°，∠2+∠AEB ＝90° ∴∠1＝∠2，∵BH ＝BE ，∠BHE ＝45°，且∠FCG ＝45°， ∴∠AHE ＝∠ECF ＝135°，AH ＝CE ， 在△AHE 和△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECF AHE CEAH 21， ∴△AHE ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ；（2）解：AE ＝EF 成立，理由如下：如图2，延长BA 到M ，使AM ＝CE ， ∵∠AEF ＝90°， ∴∠FEG +∠AEB ＝90°． ∵∠BAE +∠AEB ＝90°， ∴∠BAE ＝∠FEG ， ∴∠MAE ＝∠CEF ． ∵AB ＝BC ， ∴AB +AM ＝BC +CE ， 即BM ＝BE ． ∴∠M ＝45°， ∴∠M ＝∠FCE ． 在△AME 与△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECF M CEAM CEF MAE ， ∴△AME ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ．2．（1）证明：能．理由如下：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t ， ∴DF ＝2t ， 又∵AE ＝2t ， ∴AE ＝DF ，∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ， ∴AE ∥DF ， 又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形， 当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即60﹣4t ＝2t ，解得t ＝10．∴当t ＝10秒时，四边形AEFD 为菱形．（2）①当∠DEF ＝90°时，由（1）知四边形AEFD 为平行四边形， ∴EF ∥AD ，∴∠ADE ＝∠DEF ＝90°， ∵∠A ＝60°， ∴∠AED ＝30°， ∴AD=21AE ＝t ， 又AD ＝60﹣4t ，即60﹣4t ＝t ，解得t ＝12；②当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形，在Rt △AED 中∠A ＝60°，则∠ADE ＝30°， ∴AD ＝2AE ，即60﹣4t ＝4t ，解得t=215． ③若∠EFD ＝90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在． 综上所述，当t=215或12秒时，△DEF 为直角三角形．3．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ∠A ＝∠ABC ＝90°， ∴∠EAF +∠EBC ＝90°， ∵BE ⊥CF ，∴∠EBC +∠BCF ＝90°， ∴∠EBF ＝∠BCF ， ∴△ABE ≌△BCF ， ∴BE ＝CF ，∴四边形BCEF 是准矩形；（2）解：连接AN 、DN ，过点C 作CE ∥BD ，过点B 作BE ∥DC ， 则四边形BECD 为平行四边形，连接DE ，则D 、N 、E 三点共线，过点B 作BF ⊥CE 于F ，过点D 作DG ⊥EC 交EC 延长线于点G ，如图2所示： ∵四边形BECD 为平行四边形， ∴BE ＝DC ，BE ∥DC ，ED ＝2DN ， ∴∠BEF ＝∠DCG ， 在△BEF 和△DCG 中，⎪⎩=DC BE ∴△BEF ≌△DCG （AAS ）， ∴BF ＝DG ，EF ＝CG ，在Rt △BFC 中，BC 2＝BF 2+FC 2＝BF 2+（EC ﹣EF ）2，在Rt △DEG 中，DE 2＝DG 2+EG 2＝DG 2+（EC +CG ）2＝BF 2+（EC +EF ）2， ∴BC 2+DE 2＝2BF 2+2EC 2+2EF 2＝2（BF 2+EF 2）+2EC 2＝2BE 2+2EC 2＝2BD 2+2CD 2， ∴BC 2+4DN 2＝2BD 2+2CD 2，∴DN 2=41（2BD 2+2CD 2﹣BC 2） 同理：AN 2=41（2AB 2+2AC 2﹣BC 2），MN 2=41(2AN 2+2DN 2﹣AD 2)=41(BD 2+CD 221-BC 2+AB 2+AC 221-BC 2﹣AD 2)=41（AC 2+CD 221-BC 2+AB 2+AC 221-BC 2﹣AD 2）21=AC 2+41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2），∵AC 2=MN ，∴MN 221=AC 2， ∴MN 2＝MN 2+41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2），即：41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2）＝0，∴AB 2+CD 2＝BC 2+AD 2．4．（1）证明：∵四边形ABDI 、四边形BCFE 、四边形ACHG 都是正方形， ∴AC ＝AG ，AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠GAC ＝∠EBC ＝∠DBA ＝90°． ∴∠ABC ＝∠EBD （同为∠EBA 的余角）． 在△BDE 和△BAC 中，⎪BE⎩=BC∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，∴∠EDA＝α﹣45°，∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，②证明：∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）解：结论：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．理由：由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，=AB．∴AD2又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，=AB．∴AC2=AB时，四边形ADEG是正方形．∴当∠BAC＝135°且AC25．解：（1）EH﹣BG的值是定值，∵EH⊥AB，∴∠GHE＝90°，∴∠GEH+∠EGH＝90°，又∠AGD+∠EGH＝90°，∴∠GEH＝∠AGD，∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，∴∠DAG＝90°，DG＝GE，∴∠DAG＝∠GHE，在△DAG和△GHE中，⎪DG⎩=GE∴△DAG≌△GHE（AAS）；∴AG＝EH，又AG＝AB+BG，AB＝4，∴EH＝AB+BG，∴EH﹣BG＝AB＝4；（2）（I）当点G在点B的左侧时，如图1，同（1）可证得：△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴BH＝AG＝EH，又∠GHE＝90°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°；（II）如图2，当点G在点B的右侧时，由△DAG≌△GHE．∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴AG＝BH，又EH＝AG，∴EH＝HB，又∠GHE＝90°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°；（III）当点G与点B重合时，如图3，同理△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG＝AB，∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°．6．解：（1）∵MN∥BC，∴∠3＝∠2，又∵CF平分∠GCO，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FO＝CO，同理：EO＝CO，∴EO＝FO．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF 是平行四边形，由（1）可知，FO ＝CO ，∴AO ＝CO ＝EO ＝FO ，∴AO +CO ＝EO +FO ，即AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．（3）当点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形．∵由（2）知，当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，∵MN ∥BC ，∴∠AOE ＝∠ACB∵∠ACB ＝90°，∴∠AOE ＝90°，∴AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是正方形．7．解：（1）如图1，过点G 作GM ⊥BC ，垂足为M ．由矩形ABCD 可知：∠A ＝∠B ＝90°，由正方形EFGH 可知：∠HEF ＝90°，EH ＝EF ，∴∠1+∠2＝90°，又∠1+∠3＝90°，∴∠3＝∠2，∴△AEH ≌△BFE ．∴BF ＝AE ＝2，同理可证：△MGF ≌△BFE ，∴GM ＝BF ＝2，FM ＝BE ＝8﹣2＝6，∴CM ＝BC ﹣BF ﹣FM ＝12﹣2﹣6＝4，在Rt △CMG 中，由勾股定理得：CG=524222=+；（2）如图2，过点G 作GM ⊥BC ，垂足为M ，连接HF ，由矩形ABCD 得：AD ∥BC ，∴∠AHF ＝∠HFM ，由菱形EFGH 得：EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴∠EHF ＝∠HFM ，∴∠AHE ＝∠GFM ，又∠A ＝∠M ＝90°，EH ＝FG ，∴△MGF ≌△AEH ，∴GM ＝AE ，又 BF ＝x ，∴S △GFC 21=FC•GM 21=（12﹣x ）•GM ＝621-x ， ∴GM ＝1，∴AE ＝GM ＝1，BE ＝8﹣1＝7，∵H 在边AD 上，∴菱形边长EH 的最大值14511222=+=，即EH ＝EF 145=， 此时BF ＝x ()6496181452==--=， ∴0≤x ≤64，∵EH ＝EF ，由勾股定理得：AH 2222248171x x EH +=-+=-=，∴S 菱形EFGH ＝BM •AB ﹣2⨯⨯217x ﹣2248121x +⨯⨯⨯=8（x +FM ）﹣7x ﹣FM ＝x +7248x +， ∴当x 最大时，菱形EFGH 的面积最大，即当x ＝64时，菱形EFGH 的面积最大．8．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOG ＝90°．∵BH ⊥AF ，∴∠AHG ＝∠AHB ＝90°，∴∠GAH +∠AGH ＝90°＝∠OBG +∠AGH ，∴∠GAH ＝∠OBG ，即∠OAE ＝∠OBG ．在△OAE 与△OBG 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BOG AOE OBOA OBG OAE ， ∴△OAE ≌△OBG （ASA ）；（2）解：四边形BFGE 为菱形；理由如下：在△AHG 与△AHB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠AHB AHG AHAH BAH GAH ， ∴△AHG ≌△AHB （ASA ），∴GH ＝BH ，∴AF 是线段BG 的垂直平分线，∴EG ＝EB ，FG ＝FB ．∵∠BEF ＝∠BAE +∠ABE ＝67.5°，∠BFE ＝90°﹣∠BAF ＝67.5°， ∴∠BEF ＝∠BFE ，∴EB ＝FB ，∴EG ＝EB ＝FB ＝FG ，∴四边形BFGE 是菱形；9．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°，在△BCE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CF CE DCF BCE DC BC ，∴△BCE ≌△DCF （SAS ）；（2）OG ∥BF 且OG=21BF ， 理由：如图，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠CDB ＝∠CBD ＝45°，∵BE 平分∠DBC ，∴∠2＝∠3=21∠CBD ＝22.5°， 由（1）知，△BCE ≌△DCF ，∴∠CDF ＝∠3＝22.5°，∴∠BDF ＝∠CDB +∠CDF ＝67.5°，∴∠F ＝180°﹣∠CBD ﹣∠BDF ＝67.5°＝∠BDF ，∴BD ＝BF ，而BE 是∠CBD 的平分线，∴DG ＝GF ，∵O 为正方形ABCD 的中心，∴DO ＝OB ，∴OG 是△DBF 的中位线，∴OG ∥BF 且OG=21BF ； （3）设BC ＝x ，则DC ＝x ，BD=2x ，由（2）知△BGD ≌△BGF ， ∴BF ＝BD ，∴CF ＝（2-1）x ，∵DF 2＝DC 2+CF 2，∴x 2+[（2-1）x ]2＝8﹣42，解得x 2＝2，∴正方形ABCD 的面积是2．10．解：（1）AG ＝EC ，AG ⊥EC ，理由为：∵正方形BEFG ，正方形ABCD ，∴GB ＝BE ，∠ABG ＝90°，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，在△ABG 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BA EBC ABC BE BG ，∴△ABG ≌△BEC （SAS ），∴CE ＝AG ，∠BCE ＝∠BAG ，延长CE 交AG 于点M ，∴∠BEC ＝∠AEM ，∴∠ABC ＝∠AME ＝90°，∴AG ＝EC ，AG ⊥EC ；（2）∠EMB 的度数不发生变化，∠EMB 的度数为45°理由为： 过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，在△ABG 和△CEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EB BG EBC ABG BC AB ，∴△ABG ≌△CEB （SAS ），∴S △ABG ＝S △EBC ，AG ＝EC ，∴21EC •BP=21AG •BH ， ∴BP ＝BH ，∴MB 为∠EMG 的平分线，∵∠AMC ＝∠ABC ＝90°，∴∠EMB=21∠EMG=21×90°＝45°；（3）CM=2BN ，理由为：在NA 上截取NQ ＝NB ，连接BQ ， ∴△BNQ 为等腰直角三角形，即BQ=2BN ，∵∠AMN ＝45°，∠N ＝90°，∴△AMN 为等腰直角三角形，即AN ＝MN ，∴MN ﹣BN ＝AN ﹣NQ ，即AQ ＝BM ，∵∠MBC +∠ABN ＝90°，∠BAN +∠ABN ＝90°，∴∠MBC ＝∠BAN ，在△ABQ 和△BCM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BCAB MBC BAN BMAQ ，∴△ABQ ≌△BCM （SAS ），∴CM ＝BQ ，则CM=2BN ．故答案为：CM=2BN。
难点详解华东师大版八年级数学下册第十八章平行四边形必考点解析试题(含答案解析)
八年级数学下册第十八章平行四边形必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，BE垂直平分CD于点E，且AD＝4，则平行四边形ABCD的对角线AC的长为（）A．4 B．C．D．2、如图，四边形ABCD为平行四边形，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，若∠A＝60°，则∠EHF的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．150°3、如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，ABCD的面积为48，OA＝3，则BC 的长为（）A．6 B．8 C．12 D．134、下面各命题都成立，那么逆命题成立的是（）A．邻补角互补B．全等三角形的面积相等C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形5、下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等B．一组对边平行，另一组对边相等C．两组对角分别相等D．一组对边平行且相等BD长为半6、如图，在平行四边形ABCD 中，BC＝2AB＝8，连接BD，分别以点B，D为圆心，大于12径作弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AD于点I，交BC于点H，点H恰为BC的中点，连接AH，则AH的长为（）A．B．6 C．7 D．7、如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．108、如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD交于点O，OF AC，垂足为O，OF交AD于点F，则CDF的周长为（）A．12 B．18 C．24 D．269、平行四边形的一组对角的平分线（）A．一定相互平行B．一定相交C．可能平行也可能相交D．平行或共线10、在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（）A．24<m<39 B．14<m<62 C．7<m<31 D．7<m<12第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为S1______S2．（填“>”或“=”或“<”）2、如图，ABCD 中，对角线AC BD 、交于O ，且4,60AB AC ABC ==∠=︒，则BOC 的周长为_________．3、两组对边分别________的四边形叫做平行四边形．4、如图，翠屏公园有一块长为12m ，宽为6m 的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m 的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m ），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m 2．5、在□ABCD 中，:3:2A B ∠∠=，那么C ∠=__________°．6、如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，E 为AB 中点，若CE =3，则CD =____．7、如图，点E、F是ABCD的对角线BD上的点，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是______（只需要填一个正确的即可）．8、如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，若CE=4cm，AD=5cm，则平行四边形ABCD的周长是___cm．9、如图，平行四边形ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD∥x 轴，当双曲线3y经过点D时，则平行四边形ABCD面积为___．x10、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=24，△COD的周长为20，则AB 的长为_________．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，直线BD 可以将ABCD 分成全等的两部分，这样的直线还有很多．（1）多画几条这样的直线，看看它们有什么共同的特征；（2）尝试用中心对称图形的性质去解释你的发现．2、如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA 和OC 的中点，四边形BFDE 是平行四边形吗？请说明理由．3、如图，在平行四边形ABCD 中，2BC AB =，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：C ABE DF ≌△△； （2）当AE CE =时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于B 的2倍的所有角．4、如图，如果四边形ABCD 和BEFC 都是平行四边形，那么四边形AEFD 是平行四边形吗？小明认为四边形AEFD 是平行四边形，并且给出了证明．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，=，①∴AD BC=．②AB CD又∵四边形BEFC也是平行四边形，=，③∴BC EF=．④BE CF由①③，得=．⑤AD EF由②④，得+=+，⑥AB BE DC CF即AE DF=．∴四边形AEFD是平行四边形．小明的考虑全面吗？为什么？你是怎样想的？把你的想法写出来．5、如图，已知口ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB＝BE．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，依据平行四边形的性质以及勾股定理，即可得到AB、CF与BF的长，再根据勾股定理即可得出AC的长．【详解】解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∴BC＝BD＝AD＝4，又∵∠BAD＝60°，∴∠ABD＝60°，∠ADB＝60°，∴△ABD中，AB＝AD＝4，∵∠CBF＝∠DAB＝60°，∠F＝90°，∴∠BCF＝30°，BC＝2，FC＝∴FB＝12∴Rt△ACF中，AC=故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题时注意：平行四边形的对边平行且相等．2、C【解析】【分析】首先利用平行四边形的对角相等和角A 的度数求得∠C 的度数，然后根据垂直的定义求得∠CED =∠CFB =90°，最后利用四边形的内角和求得答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A =60°，∴∠C =∠A =60°，∵DE ⊥BC 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴∠CED =∠CFB =90°，∴∠EHF =360°-∠C -∠CFB -∠CED =360°-90°-90°-60°=120°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是了解平行四边形的对角相等及四边形的内角和为360°，难度不大．3、B【解析】【分析】由平行四边形对角线互相平分得到AC 的值，由AC ⊥BC ，可得ABCDSAC BC =⋅，代入即可求出BC 边长.【详解】解：∵在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OA =OC ，∵OA =3，∴AC =2OA =6，∵AC ⊥BC ，∴648ABCDS AC BC BC =⋅==， ∴BC =8.故选：B【点睛】此题考查平行四边形的性质和平行四边形的面积，掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解答此题的关键.4、D【解析】【分析】逐个写出逆命题，再进行判断即可．【详解】A 选项，逆命题：互补的两个角是邻补角．互补的两个角顶点不一定重合，该逆命题不成立，故A 选项错误；B 选项，逆命题：面积相等的两个三角形全等．底为4高为6的等腰三角形和底为6高为4的等腰三角形面积相等，但这两个等腰三角形不全等，该逆命题不成立，故B 选项错误；C 选项，逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．这两个实数也有可能互为相反数，该逆命题不成立，故C 选项错误；D 选项，逆命题：平行四边形是两组对角分别相等的四边形．这是平行四边形的性质，该逆命题成立，故D 选项正确．故答案选：D ．【点睛】本题考查判断命题的真假，写一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换后的新命题就是这个命题的逆命题．5、B【解析】【分析】直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】解：A、两组对边分别相等是平行四边形；故本选项不符合题意；B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形；故本选项符合题意．C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；D、一组对边平行且相等是平行四边形；故本选不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的判定．注意熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键．6、A【解析】【分析】连接DH，根据作图过程可得EF是线段BD的垂直平分线，证明△DHC是等边三角形，然后证明∠AHD=90°，根据勾股定理可得AH的长．【详解】解：如图，连接DH，根据作图过程可知：EF是线段BD的垂直平分线，∴DH=BH，∵点H为BC的中点，∴BH=CH，BC=2CH，∴DH=CH，在▱ABCD中，AB=DC，∵AD=BC=2AB=8，∴DH=CH=CD=4，∴△DHC是等边三角形，∴∠C=∠CDH=∠DHC=60°，在▱ABCD中，∠BAD=∠C=60°，AD∥BC，∴∠DAH=∠BHA，∵AB=BH，∴∠BAH=∠BHA，∴∠BAH=∠DAH=30°，∴∠AHD=90°，∴AH故选：A．本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．7、C【解析】【分析】先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可.【详解】解：∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8，∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故选：C．【点睛】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明AE＝EC是解本题关键.8、B【解析】【分析】=，由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OF AC⊥，根据线段垂直平分线的性质，可得AF CF又由平行四边形ABCD的周长为36，可得AD+CD的长，继而可得CDF的周长等于AD+CD，从而可得【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，∵平行四边形ABCD的周长为36，∴AD+CD=18，∵OF AC⊥，=，∴AF CF∴CDF的周长=18.++=++=+=CD DF CF CD DF AF CD AD故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9、D【解析】【分析】分两种情况：如果平行四边形的邻边不相等，那么它的一组对角的平分线互相平行；如果平行四边形的邻边相等，那么它的一组对角的平分线共线．【详解】解：如图，ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，∵四边形ABCD 是平行四边形，AD ∥BC ，∴∠BAD ＝∠BCD ，∠2＝∠3，∵AE 、CF 分别平分∠BAD 、∠BCD ， ∴112,422BAD BCD ∠=∠∠=∠，∴∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AE ∥CF ；当ABCD 是菱形时，AE 与CF 共线．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，将平行四边形分类讨论是解决本题的关键．10、C【解析】【分析】 作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得1122AE CE AC ===，1192BE DE BD ===，然后在ABE ∆中，利用三角形三边的关系即可确定m 的取值范围．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴1122AE CE AC ===，1192BE DE BD ===， 在ABE ∆中，AB m =，∴19121912m -<<+，即731m <<，故选：C ．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系是解题关键．二、填空题1、=【解析】【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EDO =∠FBO ，∵点O 是▱ABCD 的对称中心，∴OB =OD ，在△DEO 与△BFO 中EDO FBO OD OBDOE BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△DEO ≌△BFO （ASA ），∴S △DEO =S △BFO ，∵S △ABD =S △CDB ，∴S 1=S 2．故答案为：=．【点睛】此题主要考查了中心对称，平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2、6+【解析】【分析】由题意得△ABC 是等边三角形，根据平行四边形的性质BO ⊥AC ，从而由勾股定理求得OB 的长，即可求得△BOC 的周长．【详解】∵AB =AC ，∠ABC =60°∴△ABC 是等边三角形∴BC =AB =4∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴122OA OC AC ===∴BO⊥AC，∠OBC=130 2ABC∠=︒∴由勾股定理得：OB==∴△OBC的周长为：BC+OC+OB=426++=+故答案为：6+【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，判定△ABC是等边三角形是关键．3、平行【解析】略4、48【解析】【分析】利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解．【详解】解：根据题意得：种植鲜花的面积为261222648m⨯-⨯⨯=．故答案为：48【点睛】本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．5、108【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，∠C=∠A，又由平行线的性质与∠A：∠B=3：2，即可求得∠A的度数，继而可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠C=∠A，∴∠A+∠B=180°，∵∠A：∠B=3：2，∴∠A=108°，∴∠C=108°．故答案为：108．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及平行线的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．6、故答案为：34或3【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出AE=AB．用的数学思想是分类讨论思想．8．6【解析】【分析】由AC⊥BC，E为AB中点，若CE=3，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AB的长，然后由平行四边形的性质，求得答案．【详解】解：∵AC⊥BC，E为AB中点，∴AB=2CE=2×3=6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=6．故答案为：6．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意平行四边形的对边相等．7、DE BF（答案不唯一）【解析】【分析】由已知OA=OC，OB=OD，则只要OE=OF即可判定四边形AECF是平行四边形，故可增加条件DE=BF即可．【详解】增加条件DE=BF，可使四边形AECF是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD∵DE=BF∴OD-DE=OB-BF即OE=OF∴四边形AECF是平行四边形故答案为：DE=BF（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行四边形的判定性质，关键是掌握平行四边形的各种判定方法．8、28【解析】【分析】只要证明AD=DE=5cm，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=5cm，CD=AB，∴∠EAB=∠AED，∵∠EAB=∠EAD，∴∠DEA=∠DAE，∴AD=DE=5cm，∵EC=4cm，∴AB=DC=9cm，∴四边形ABCD的周长=2（5+9）=28（cm），故答案为：28．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9、6【解析】【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOD＝32，再根据平行四边形的性质可得S▱ABCD＝4S△AOD＝6，进而得出答案．【详解】连接OD，∵点D在反比例函数3yx=的图象上，∴S△AOD＝13 22k=，∵O是AC的中点，∴S△AOD＝S△COD，∵▱ABCD的对角线AC在y轴上，∴S△ABC＝S△ACD＝12S▱ABCD，∴S▱ABCD＝4S△AOD＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数k的几何意义等知识，关键是反比例函数比例系数k的几何意义．10、8【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，由△COD的周长是20，可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，AB=CD，∵AC+BD=24，∴AO+BO=12，∵△COD的周长是20，∴AO+BO+AB=20，∴AB=CD=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．三、解答题1、（1）它们的共同特点是都经过ABCD的中心，即对角线的交点；（2）中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线把图形分为全等的两部分．【解析】【分析】（1）根据题意，多画几条满足题意的直线，即可发现共同特征；（2）由中心对称图形的性质，结合所画的图形就可以得到答案．【详解】解：（1）如下图：这些直线都经过平行四边形两条对角线的交点O，可以看到，过点O的任意一条直线都可将平行四边形分成全等的两部分．（2）如上图，直线AC 将ABCD 分成,ABC CDA △△两部分，将ABC 绕点O 逆时针或是顺时针旋转180可与CDA 相互重合，所以中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线把图形分为全等的两部分．【点睛】本题考查平行四边形的性质、中心对称图形的性质，牢记知识点并能够灵活应用是解题关键．2、四边形BFDE 是平行四边形，理由见解析【解析】【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得对角线互相平分，即,OA OC BO DO ==，由已知条件可得11,22OE AO OF CO ==，进而可得OE OF =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形BFDE 是平行四边形．【详解】解：四边形BFDE 是平行四边形，理由如下，四边形ABCD 是平行四边形，,OA OC BO DO ∴==，E ，F 分别是OA 和OC 的中点，11,22OE AO OF CO ∴==， OE OF ∴=，∴四边形BFDE 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．3、（1）证明见解析；（2）,,,.BAD AFC AEC BCD【解析】【分析】（1）先证明,,,AB CD B D AD BC 再证明,BE DF =从而可得结论；（2）证明,ABE DCF 是等边三角形，再分别求解,B ∠ ,,,,BAD AFC AEC BCD 从而可得答案.【详解】证明（1） 平行四边形ABCD 中，，,,,AB CD B D AD BC点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，,BE DF ∴=∴ C ABE DF ≌△△（2） 2BC AB =，,,AD BC AB DC,AB BE CE CD DF AF,AE CE = C ABE DF ≌△△,AB BE CE CD DF AF AE CF,ABE DCF 是等边三角形，60,BAEBEA DFC DCF D B 120,AEC AFC四边形ABCD 是平行四边形，,AD BC ∥ 而60,B D120BAD BCD ，所以等于B 的2倍的角有：,,,.BAD AFC AEC BCD【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，证明“,ABE DCF 是等边三角形”是解（2）的关键.4、小明的考虑不全面，原因见解析，想法见解析【解析】【分析】小明的考虑不全面．他只分析了点B 和点C 分别在直线AE 和DF 上这种特殊情况下四边形AEFD 的形状．如图，连接,AE DF ，当点B 和点C 不在直线AE 和DF 上时，根据平行四边形的性质与判定证明四边形AEFD 是平行四边形．【详解】小明的考虑不全面．他只分析了点B 和点C 分别在直线AE 和DF 上这种特殊情况下四边形AEFD 的形状．正确证法：如图，连接,AE DF∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,//AD BC AD BC =，又∵四边形BEFC 也是平行四边形，∴,//BC EF BC EF =，∴,//AD EF AD EF =，∴四边形AEFD 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．5、证明见解析【解析】【分析】根据平行四边形性质得出AB DC =，//AB CD ，推出C FBE ∠=∠，CDF E ∠=∠，证CDF BEF ≌△△，推出BE DC =即可．【详解】证明：F 是BC 边的中点，BF CF ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AB DC ∴=，//AB CD ，C FBE ∴∠=∠，CDF E ∠=∠，在CDF 和BEF 中C FBE CDF E CF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)CDF BEF ∴≌△△，BE DC ∴=，AB DC =，AB BE ∴=．【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△△．CDF BEF≌。
初中数学八年级下册《平行四边形》单元测试卷(整理含答案)
初中数学八年级下册《平行四边形》单元测试卷(整理含答案)初中数学八年级下册《平行四边形》单元测试卷一时间：90分钟满分：100分一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1.四边形的内角和等于360º，外角和等于360º。
2.正方形的面积为4，它的边长为2，一条对角线长为2√2.3.一个多边形，若它的内角和等于外角和的3倍，则它是五边形。
4.如果四边形ABCD满足条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）：AB × CD + AD × BC = AC × BD。
5.如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为4√5 cm。
6.已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是20 cm²。
7.平行四边形ABCD，加一个条件：AB = BC，它就是菱形。
8.等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为36 cm。
9.已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为10 cm。
10.如图，ABCD中，XXX于E，AF⊥DC于F，BC=5，AB=4，AE=3，则AF的长为 4.11.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=4，BC=8，则EF=2，EF分梯形所得的两个梯形的面积比S₁:S₂为3:1.12.下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形B。
13.如图，XXX从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了20米。
14.如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形的边长为1，则第n 个正方形的面积是（n-1）/4.二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）15.如图，ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DAE等于60°。
2022年华东师大版八年级数学下册第十八章平行四边形同步测评试题(含详解)
八年级数学下册第十八章平行四边形同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，O 是坐标原点，□OABC 的顶点A 的坐标为（﹣3，4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数27y x-=（x ＜0）的图象经过顶点B ，则S□OABC 的值为（ ）A ．27B ．15C ．12D ．无法确定2、下列命题是真命题的是（ ）A ．两边分别相等的两个直角三角形全等B ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形C ．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D ．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等3、如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边A ．AB BC = B ．AD BC = C ．A C ∠=∠ D ．180B C ∠+=︒4、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点B 的坐标为（8，6）.若直线l 经过点（2，0），且直线l 将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，则直线l 对应的函数解析式是（ ）A ．y ＝x －2B ．y ＝3x －6C ．332y x =-D ．2433y x =- 5、如图，ABCD 中，//,//EF AD GH AB ，则图中的平行四边形的个数共有（ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．11个6、下列图形中，三角形ABC 和平行四边形ABDE 面积相等的是（ ）A ．②③B ．③④C ．②③④D ．①②③④7、如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，添加下列一个条件后，定能判定四边形ABCD 是平行四边形的A ．AB ＝BC B ．AC ＝BD C ．∠A ＝∠C D ．∠A ＝∠B8、某街区街道如图所示，其中CE 垂直平分,//,//AF AB CD BC DF ．从B 站到E 站有两条公交线路；线路1是B D A E →→→，线路2是B C F E →→→，则两条线路的长度关系为（ ）A ．路线1较短B ．路线2较短C ．两条路线长度相等D ．两条线路长度不确定9、如图，在ABCD 中，用直尺和圆规作BAD ∠的平分线AG 交BC 于点E ，若6BF =，5AB =，则AE 的长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．410、平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到▱ABCD （如图），下列说法错误的是（ ）A ．将线段AB 沿BC 的方向平移BC 长度可以得到▱ABCDB ．将△ABC 绕边AC 的中点O 旋转180°可以得到▱ABCDC ．将△AOB 绕点O 旋转180°可以得到▱ABCDD ．将△ABC 沿AC 翻折可以得到▱ABCD第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、▱ABCD 的周长为60cm ，对角线交于点O ，△BOC 的周长比△AOB 的周长小8cm ，则AB =_______ cm ，BC = ______ cm ．2、平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为_________．3、如图，平行四边形ABCD 的AB 边在x 轴上，点C 、D 分别在(0)k y x x =>，3(0)y x x-=<的图象上，若平行四边形ABCD 的面积是8，则k 的值为_________．4、如图，在ABC 中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，M ，N 为BC 上的两个动点，且MN =AM AN +的最小值是________．5、平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 边于点E ，∠ADC 的平分线交BC 边于点F ，AB=5， EF=1，则BC =______ ．6、如图，ABCD 中，45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于点E ，BF CD ⊥于点F ，DE ，BF 相交于点H ，BF与AD 的延长线相交于点G ．下面给出四个结论：①BD =；②A BHE ∠=∠；③AB BH =；④BCF GDF ≅△△，其中正确的结论是______．7、如图，在ABCD 中，4AB =，6BC =，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则ED =______．8、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥AB ，AB AC ：BD ＝2：3，那么AC 的长为___．9、如图，ABCD 中，对角线AC BD 、交于O ，若120,7,10BOC AD BD ∠==︒=，则ABCD S =______．10、如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，60B ∠=︒，1AB =，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA 、PC 为邻边作PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为______．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，直线BD 可以将ABCD 分成全等的两部分，这样的直线还有很多．（1）多画几条这样的直线，看看它们有什么共同的特征；（2）尝试用中心对称图形的性质去解释你的发现．2、如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E ，F 是BD 上的两点．（1）当,BE DF 满足什么条件时，四边形AECF 是平行四边形？请说明理由；（2）当AEB ∠与CFD ∠满足什么条件时，四边形AECF 是平行四边形？请说明理由．3、ABCD 中，点E 、F 是AC 上的两点，并且AE CF =．求证：四边形BFDE 是平行四边形．4、在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A （-2，2）和点B （-3，-2）的位置如图所示．（1）作出线段AB 关于y 轴对称的线段A B ''，并写出点A 、B 的对称点A '、B '的坐标；（2）连接A A ''和BB '，请在图中画一条线段，将图中的四边形AA B B ''分成两个图形，其中一个是轴对称图形，另一个是中心对称图形，并且线段的一个端点为四边形的顶点，另一个端点在四边形一边的格点上．（每个小正方形的顶点均为格点）．5、在Rt ABO 中，90OAB ∠=︒，6OA AB ==，将△ABO 绕点O 逆时针方向旋转90°得到11OA B ．（1）则线段1OA 的长是___________，1AOB ∠=_____________．（2）连接1AA 求证四边形11OAA B 是平行四边形；（3）求四边形11OAA B 的面积？-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】利用A点坐标以及B点在反比例函数的图像上，求出B点坐标，得到AB的长后，利用平行四边形的面积公式即可完成求解．【详解】解：令y=4，得274x-=，得274x=-，∴B2744⎛⎫-⎪⎝⎭，∵A（3-，4），∴AB = -3-（274-）=154，A点到x轴的距离为4，∴154154OABCS=⨯=，故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、反比例函数的图像与解析式等内容，解决本题的关键是牢记平行四边形的性质，能利用点的坐标求出平行四边形的边长和高．2、C【解析】【分析】根据全等三角形，平行四边形的判定以及三角形内心的性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，两直角三角形全等，选项错误，为假命题，不符合题意；B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项错误，为假命题，不符合题意；C 、由中位线的性质可以得到，所得四边形的两组对边分别相等，为平行四边形，选项正确，为真命题，符合题意；D 、三角形的三条角平分线相交于一点，为三角形的内心，并且这一点到三角形三条边的距离相等，选项错误，为假命题，不符合题意；故选C ．【点睛】此题考查了判断命题的真假，涉及了全等三角形，平行四边形的判定以及三角形内心的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．3、C【解析】【分析】由平行线的性质得180A D +=︒∠∠，再由A C ∠=∠，得180C D ∠+∠=︒，证出//AD BC ，即可得出结论．【详解】解：一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是A C ∠=∠，理由如下：//AB CD ，180A D ∴∠+∠=︒，A C ∠=∠，180C D ∴∠+∠=︒，//AD BC ∴，又//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，证明出//AD BC ．4、C【解析】【分析】根据直线l 将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，可得直线l 过OB 的中点，又根据中点公式可得OB 的中点为()4,3，然后设直线l 的解析式为()0y kx b k =+≠，将点（2，0），()4,3 代入，即可求解．【详解】解：∵直线l 将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，∴直线l 过平行四边形的对称中心，即过OB 的中点，∵顶点B 的坐标为（8，6）， ∴86,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，即()4,3，设直线l 的解析式为()0y kx b k =+≠，将点（2，0），()4,3 代入，得：2043k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：323k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线l 的解析式为332y x =-， 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了求一次函数解析式，平行四边形的性质，明确题意，得到直线l 过平行四边形的对称中心是解题的关键．5、C【解析】【分析】根据平行四边形的定义即可求解．【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边形AEOG 、ABHG 、AEFD 、ABCD 、GOFD 、GHCD 、EBHO 、EBCF 和OHCF 都是平行四边形，共9个，故选：C ．【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．6、C【解析】【分析】根据三角形的面积公式和平行四边形的面积公式解答即可．【详解】解：①三角形ABC的面积＝12442⨯⨯=，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，不相等；②三角形ABC的面积＝14482⨯⨯=，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，相等；③三角形ABC的面积＝14482⨯⨯=，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，相等；④三角形ABC的面积＝14482⨯⨯=，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，相等；故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据三角形的面积公式和平行四边形的面积公式解答．7、C【解析】【分析】利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可.【详解】∵AB//CD，∴∠B+∠C=180°，当∠A=∠C时，则∠A+∠B=180°，故AD//BC，则四边形ABCD是平行四边形.故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．8、C【解析】【分析】由于路线1的路程为BD＋DA＋AE，路线2的路程为BC＋CF＋FE，将问题变为比较它们的大小这一数学问题．【详解】解：这两条路线路程的长度一样．理由如下：延长FD交AB于点G．∵BC∥DF，AB∥DC，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝CB．∵CE 垂直平分AF ，∴FE ＝AE ，DE ∥AG ，∴FD ＝DG ，∴CB ＝FD ．又∵BC ∥DF ，∴四边形BCFD 是平行四边形．∴CF ＝BD ． ①∵CE 垂直平分AF ，∴AE ＝FE ，FD ＝DA ． ②∴BC ＝DA ． ③路线1的长度为：BD ＋DA ＋AE ，路线2的长度为：BC ＋CF ＋FE ，综合①②③，可知路线1路程长度与路线2路程长度相等．故选C ．【点睛】本题是一个图形在交通方面的应用题，解此类图形应用题的关键是建立合理的数学模型，并利用图形知识来解决这一模型，从而解决实际问题．考查线段的垂直平分线的性质，平行四边形判定与性质，中位线等知识．9、B【解析】【分析】根据AG 平分BAD ∠，四边形ABCD 是平行四边形，易得BAE AEB ∠=∠，可得5AB BE ==，根据作图得5AB AF ==，有5FA BE ==，利用AAS 可证FAH BEH ≅，则有AH EH =，FH BH =，即H 是AE 边上的中点，得到BF AE ⊥，3BH FH ==，由勾股定理得4AH =，根据2AE AH =可求得结果．【详解】解：如图示AG 平分BAD ∠，BAG DAG ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AEB DAG ∴∠=∠，BAE AEB ∴∠=∠，5AB BE ∴==，由作图可知：5AB AF ==，5FA BE ∴==∵FAH BEH ∠=∠，FHA BHE ∠=∠∴FAH BEH ≅()AAS∴AH EH =，FH BH =∴在等腰三角形AEB △中，H 是AE 边上的中点∴BF AE ⊥，3BH FH ∴==，由勾股定理得：4AH =，28AE AH ∴==，【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的作法和定义、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握平行加角平分线可得等腰三角形是解题得关键．10、D【解析】【分析】利用平移变换，旋转变换，翻折变换的性质一一判断即可．【详解】解：A、将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到▱ABCD，正确，本选项不符合题意．B、将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到▱ABCD，正确，本选项不符合题意．C、将△AOB绕点O旋转180°可以得到▱ABCD，正确，本选项不符合题意．D、将△ABC沿AC翻折不可以得到▱ABCD，本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查旋转变换，平移变换，翻折变换等知识，解题的关键是理解旋转变换，翻折变换，平移变换的性质．二、填空题1、 19 11【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，则AB比BC大8cm，继而可求出AB、BC的长度．解：∵▱ABCD的周长为60cm，∴BC+AB=30cm，①又∵△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，∴AB-BC=8cm，②由①②得AB=19cm，BC=11cm．故答案为：19，11．【点睛】本题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．2、60°，120°，60°，120°．【解析】【分析】根据平行四边形的性质对角相等，邻角互补，得出答案．【详解】∵平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，∴这个内角是25°+35°=60°．∵平行四边形的对角相等，∴另一个内角也是60°．∵平行四边形的邻角互补，∴邻角是180°-60°=120°．故答案为：60°，120°，60°，120°．【点睛】本题考察了平行四边形的性质，做题的关键是明白平行四边形的性质对角相等，邻角互补，计算即可．3、5【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得到AB ∥CD 则可设C 点坐标为,k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则D 点坐标为3,a k k a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到33a a CD a a k k ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，再由=8C ABCD S CD y ⋅=四边形，得到38k a a a k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD设C 点坐标为,k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则D 点坐标为3,a k k a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴33a a CD a a k k ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭， ∵=8C ABCD S CD y ⋅=四边形， ∴38k a a a k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴38k +=，∴5k =，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义．4【解析】【分析】过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′交BC于点O，连接A′M，三点D、M、A′共线时，AM AN最小为A′D的长，利用勾股定理求A′D的长度即可解决问题．【详解】解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，∴MD＝AN，AD＝MN，作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M，则AM＝A′M，∴AM＋AN＝A′M＋DM，∴三点D、M、A′共线时，A′M＋DM最小为A′D的长，∵AD//BC，AO⊥BC，∴∠DA A '＝90°，∵2AB AC ==，90BAC ∠=︒，，∴BC＝BO ＝CO ＝AO∴AA '=在Rt△AD A '中，由勾股定理得：A 'D =∴AM AN +【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，构造平行四边形将AN 转化为DM 是解题的关键．5、11或9##9或11【解析】【分析】分两种情形分别计算，只要证明AB =BE ，CD =CF ，即可推出AB =BE =CF ，由此即可解决问题．【详解】 解：如图，∵AE 平分∠BAD ，DF 平分∠ADC ，∴∠BAE=∠EAD，∠ADF=∠CDF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∴∠BAE=∠AEB，∠DFC=∠CDF，∴AB=BE，CD=CF，即2AB+EF=BC，∵AB=5，EF=1，∴BC=11．如图，由（1）可知：AB=BE，CD=CF，∵AB=CD=5，∴AB=BE=CF=5，∵BE+CF-EF=BC，EF=1，∴BC=2×5-1=9，综上：BC长为11或9，故答案为：11或9．【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6、①②③【解析】【分析】①由等腰直角三角形的性质可求得BD；②由余角的性质及平行四边形的性质可求得∠A=∠C=∠BHE；③由“ASA”可证△BHE≌△DCE，可得BH=CD，再由平行四边形的性质即可得AB=BH；④在△BCF和△GDF中，只有三个角相等，没有边相等，则这两个三角形不全等．【详解】解：∵∠DBC=45゜，DB⊥BC∴∠DBE=∠BDE=45°∴BE= DE∴BD故①正确∵DE⊥BC，BF⊥CD∴∠BEH=∠DEC=90°∴∠BHE+∠HBE=90°=∠HBE+∠C∴∠C=∠BHE∵四边形ABCD是平行四边形，.∴∠A=∠C=∠BHE故②正确∵∠C+∠CDE=90∠CDB=∠HBE在△BHE 和△DCB 中90HBE EDC BE DE BEH DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△BHE ≌△DCE (ASA )∴BH =CD∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD∴AB =BH故③正确在△BCF 和△GDF 中，只有三个角相等，没有边相等，则这两个三角形不全等故④错误故正确的有①②③故答案为：①②③【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．7、2【解析】【分析】由四边形ABCD 为平行四边形，得到AD 与BC 平行，AD BC =，利用两直线平行得到一对内错角相等，由BE 为角平分线得到一对角相等，等量代换得到AEB ABE ∠=∠，利用等角对等边得到4AB AE ==，由AD AE -求出ED 的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//,6AD BC AD BC ==，∴AEB EBC ∠=∠，∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠，∴AEB ABE ∠=∠，∴4AB AE ==，∴642ED AD AE BC AE =-=-=-=．故答案为：2．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．8、4【解析】【分析】四边形ABCD 是平行四边形，可得1122AO CO AC BO DO BD ==＝，＝，由:2:3AC BD ＝，可知:2:3AO BO ＝，由AC AB ⊥可知在Rt ABO 中勾股定理求解AO 的值，进而求解AC 的值．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴1122AO CO AC BO DO BD ==＝，＝ ∵:2:3AC BD ＝∴:2:3AO BO ＝∵AC AB ⊥∴222AO AB BO +＝∴设23AO x BO x ＝，＝则()()22223x x += 解得：1x ＝则2AO ＝故4AC ＝故答案为：4．【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质等知识．解题的关键在于正确的求解．9、【解析】【分析】过点A 作AE ⊥BD 于E ，设OE ＝a ，则AE ，OA ＝2a ，在直角三角形ADE 中，利用勾股定理可得DE 2+AE 2＝AD 2，进而可求出a 的值，△ABD 的面积可求出，由平行四边形的性质可知：ABCD 的面积＝2S △ABD ，即可求解【详解】解：过点A 作AE ⊥BD 于E ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴1110522OD BD ==⨯=，∵∠BOC ＝120°，∴∠AOE ＝60°，设OE ＝a ，则AE ，OA ＝2a ，∴DE ＝5+a ，在直角三角形ADE 中，由勾股定理可得DE 2+AE 2＝AD 2，∴（5+a ）2+）2＝72， 解得：32a =，32AE ∴==∴ABCD 的面积＝2S △ABD ＝12102⨯=故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，解题关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．10【解析】【分析】以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，由平行四边形的性质可知O 是AC 中点，PQ 最短也就是PO 最短，所以应该过O 作BC 的垂线P ′O ，根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：∵∠BAC =90°，∠B =60°，AB =1，∴BC =2AB =2，AC∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO=QO，CO=AO∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，当P与P'重合时，OP的值才是最小，OC∴则PQ的最小值为2OP′=2×12【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题．三、解答题1、（1）它们的共同特点是都经过ABCD的中心，即对角线的交点；（2）中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线把图形分为全等的两部分．【解析】【分析】（1）根据题意，多画几条满足题意的直线，即可发现共同特征；（2）由中心对称图形的性质，结合所画的图形就可以得到答案．【详解】解：（1）如下图：这些直线都经过平行四边形两条对角线的交点O ，可以看到，过点O 的任意一条直线都可将平行四边形分成全等的两部分．（2）如上图，直线AC 将ABCD 分成,ABC CDA △△两部分，将ABC 绕点O 逆时针或是顺时针旋转180可与CDA 相互重合，所以中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线把图形分为全等的两部分．【点睛】本题考查平行四边形的性质、中心对称图形的性质，牢记知识点并能够灵活应用是解题关键．2、（1）BE DF =，理由见解析；（2）AEB CFD ∠=∠，理由见解析【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，则AO CO =，BO DO =，由BE DF =即可得到OE OF =，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形AECF 是平行四边形；（2）根据四边形ABCD 是平行四边形，进而可得,//AB CD AB CD =，ABE CDF ∠=∠，结合AEB CFD ∠=∠，证明ABE CDF △≌△进而可得AE CF =，AEB CFD ∠=∠，根据等角的补角相等可得AEF CFE ∠=∠，进而得到//AE CF ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边即可得证．【详解】解：（1）BE DF =，理由如下，四边形ABCD 是平行四边形BO DO ∴=，AO CO =BE DF =BO BE DO DF ∴-=-OE OF ∴=∴四边形AECF 是平行四边形；（2）AEB CFD ∠=∠，理由如下，四边形ABCD 是平行四边形,//AB CD AB CD ∴=ABE CDF ∴∠=∠又AEB CFD ∠=∠ABE CDF ∴△≌△∴AE CF =AEB CFD ∠=∠AEF CFE ∴∠=∠//AE CF ∴∴四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．3、证明见解析【解析】【分析】如图，连接,BD 交AC 于,O 证明,,OA OC OB OD ==再证明,OE OF =从而可得结论.【详解】证明：如图，连接,BD 交AC 于,OABCD ,,,OA OC OB OD ∴==,AE CF =,OA AE OC CF ∴-=-,OE OF ∴=∴四边形BFDE 是平行四边形．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质与判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是证题的关键.4、（1）见解析；点A '的坐标为（2，2），点B '的坐标为（3，-2）；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据题意得：点A （-2，2）和点B （-3，-2）关于y 轴对称的点A '的坐标为()2,2，点B '的坐标为()32-，，再连接A B '' ，即可求解； （2）过点A ' 作A D AB '∥ ，交BB ' 于点D ，可得四边形AA DB ' 是平行四边形，A B D '' 是等腰三角形，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：点A （-2，2）和点B （-3，-2）关于y 轴对称的点A '的坐标为()2,2，点B '的坐标为()32-，；如图，连接A B ''，线段A B ''为所作；（2）如图，过点A ' 作A D AB '∥ ，交BB ' 于点D ，∵点A 、B 的对称点为A '、B '，∴AA y '⊥ 轴，BB y '⊥轴，∴AA BB ''∥，∴四边形AA DB ' 是平行四边形，是中心对称图形，∴A D AB '= ，根据题意得：AB A B ''= ，∴A D A B '''= ，∴A B D '' 是等腰三角形，是轴对称图形，如图，线段A D '为所作．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的性质，等腰三角形和平行四边形的判定和性质，熟练掌握轴对称图形，中心对称图形的性质，等腰三角形和平行四边形的判定和性质是解题的关键．5、（1）6，135︒；（2）见解析；（3）36．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出16OA OA ==，1145AOB AOB ∠=∠=︒，190AOA ∠=︒，由此可得答案；（2）根据题意可得11//OA A B ，116OA A B ==，再根据平行四边形的判定即可得证；（3）利用平行四边形的面积公式求解．【详解】解：（1）∵90OAB ∠=︒，6OA AB ==， ∴OAB ∆是等腰直角三角形，∴45AOB ∠=︒，∵将OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90︒得到11OA B ， 16OA OA ∴==，1145AOB AOB ∠=∠=︒，190AOA ∠=︒， ∴11119045135AOB AOA AOB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故答案为：6，135︒；（2）将OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90︒得到11OA B ，90OAB ∠=︒，6OA AB ==， 116A B AB ∴==，11190AOA OA B ∠∠==︒， ∴11//OA A B ，116OA A B ==，∴四边形11OAA B 是平行四边形．（3）四边形OAA 1B 1的面积=OA •A 1O =6×6=36． ∴四边形OAA 1B 1的面积是36．【点睛】本题考查了旋转的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键，注意：旋转前后的两个图形全等．。
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题(含答案) (69)
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题（含答案）如图，在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．【答案】（1）12，2）【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质可得菱形的边长为48÷4=12cm，然后再证明△ABC是等边三角形，进而得到AC=AB=12cm，然后再根据勾股定理得出BO 的长，进而可得BD的长即可；（2）根据菱形的面积公式=对角线之积的一半可得答案．【详解】解：（1）△菱形ABCD的周长是48cm，△AB=BC=CD=DA=12cm，又△△ABC与△BAD的度数比为1：2，△ABC=60°，△△ABC是正三角形，AC=AB=12cm，又△ABO=30°，△AO=6cm，=，BD=，AC·BD=2.（2）S菱形ABCD=1102．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，点P是BC上任意一点，AP⊥PF，且AP=PF,连接CF.（1）求证：∠BAP=⊥FPC；（2）求∠FCE的度数.【答案】（1）见解析；（2）45°【解析】试题分析：（1）过点F作FE⊥CE于点H，结合已知条件证△ABP≌△PHF即可得到∠BAP=∠FPC；（2）由（1）中所得△ABP≌△PHF可得BP=HF，AB=PH，结合AB=BC 可得BC=PH，从而可得BP=CH=HF，即可得到∠CFH=∠FCE=45°.试题解析：（1）作FH△CE于H，则△FHP=90°，△AP△PF，△△APF=90°，△△APB+△FPH=90°，又△△BAP+△APB=90°，△△FPH=△BAP，△四边形ABCD是正方形，△△B=△BCD=90°，AB=BC，在△ABP和△PHF中，△B=△FHP=90°，△BAP=△FPH，AP=PF △△ABP△△PHF（AAS），△△BAP=△FPC；（2）△△ABP△△PHF，△BP=HF，AB=PH，△PH-PC=BC-PC，△BP=CH，△CH=HF．△△FCE=△CFH=12（180°-90°）=45°．点睛：本题解题的关键是：过点F作FH△CE于点H，这样结合AP=PF及AP△PF即可证得△ABP△△PHF从而使问题得到解决.103．如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．（1）求证：AC∠DE；（2）过点B作BF∠AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BCEF是平行四边形【解析】⑴在矩形ABCD中，AC⑴DE，⑴⑴DCA=⑴CAB，⑴⑴EDC=⑴CAB，⑴⑴DCA=⑴EDC，⑴AC⑴DE；⑴四边形BCEF是平行四边形．理由：由⑴DEC=90°，BF⑴AC，可得⑴AFB=⑴DEC=90°，又⑴EDC=⑴CAB，AB=CD，⑴⑴DEC⑴⑴AFB，⑴DE=AF，由⑴得AC⑴DE，⑴四边形AFED是平行四边形，⑴AD⑴EF且AD=EF，⑴在矩形ABCD中，AD⑴BC且AD=BC，⑴EF⑴BC且EF=BC，⑴四边形BCEF是平行四边形．104．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）见解析（2）成立【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证⑴CEB⑴⑴CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF ，⑴BCE+⑴ECD=⑴DCF+⑴ECD 即⑴ECF=⑴BCD=90°又⑴GCE=45°所以可得⑴GCE=⑴GCF ，故可证得⑴ECG ⑴⑴FCG ，即EG=FG=GD+DF ．又因为DF=BE ，所以可证出GE=BE+GD 成立．试题解析：（1）在正方形ABCD 中，{BC CDB CDF BE DF∠∠＝＝＝⑴⑴CBE ⑴⑴CDF （SAS ）．⑴CE=CF ．（2）GE=BE+GD 成立．理由是：⑴由（1）得：⑴CBE ⑴⑴CDF ，⑴⑴BCE=⑴DCF ，⑴⑴BCE+⑴ECD=⑴DCF+⑴ECD ，即⑴ECF=⑴BCD=90°，又⑴⑴GCE=45°，⑴⑴GCF=⑴GCE=45°． CE ＝CF⑴⑴GCE ＝⑴GCF ， GC ＝GC⑴⑴ECG ⑴⑴FCG （SAS ）．⑴GE=GF ．⑴GE=DF+GD=BE+GD ．考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质．105．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ，（1）证明：∠BAC=∠DAC．（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：由AB=AD，CB=CD结合AC=AC可得△ABC△△ADC，由此可得△BAC=△DAC，再证△ABF△△ADF即可得到△AFB=△AFD，结合∠AFB=△CFE即可得到∠AFD=△CFE；（2）由AB△CD可得∠DCA=△BAC结合∠BAC=△DAC可得∠DCA=△DAC，由此可得AD=CD结合AB=AD，CB=CD可得AB=BC=CD=AD，即可得到四边形ABCD是菱形.试题解析：（1）在△ABC和△ADC中，△AB=AD，CB=CD，AC=AC，△△ABC△△ADC，△△BAC=△DAC，在△ABF和△ADF中，△AB=AD，△BAC=△DAC，AF=AF，△△ABF△△ADF，△△AFB=△AFD．（2）证明：△AB△CD，△△BAC=△ACD，△△BAC=△DAC，△△ACD=△CAD，△AD=CD，△AB=AD，CB=CD，△AB=CB=CD=AD，△四边形ABCD是菱形．106．如图，∠ABC中，AB=AC，AD是∠ABC的角平分线，点O为AB 的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当∠ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．【答案】解：（1）证明：⑴点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，⑴四边形AEBD是平行四边形．⑴AB=AC，AD是⑴ABC的角平分线，⑴AD⑴BC．⑴⑴ADB=90°．⑴平行四边形AEBD是矩形．（2）当⑴BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：⑴⑴BAC=90°，AB=AC，AD是⑴ABC的角平分线，⑴AD=BD=CD．⑴由（1）得四边形AEBD是矩形，⑴矩形AEBD是正方形．【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出⑴ADB=90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．（1）证明：⑴点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，⑴四边形AEBD是平行四边形，⑴AB=AC，AD是⑴BAC的角平分线，⑴AD⑴BC，⑴⑴ADB=90°，⑴平行四边形AEBD是矩形；（2）当⑴BAC=90°时，理由：⑴⑴BAC=90°，AB=AC，AD是⑴BAC的角平分线，⑴AD=BD=CD，⑴由（1）得四边形AEBD是矩形，⑴矩形AEBD是正方形．107．如图，在□ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE ＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG＝CH.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AD ∥BC ，AD=BC ，∠A=∠C ，根据平行线的性质得∠E=∠F ，再结合已知条件可得AF=CE ，根据ASA 得△CEH ≌△AFG ，根据全等三角形对应边相等得证.【详解】∵在四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∠A=∠C ， ∴∠E=∠F ，又∵BE ＝DF ，∴AD+DF=CB+BE ，即AF=CE ，在△CEH 和△AFG 中，E F EC FA C A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CEH ≌△AFG ，∴CH=AG.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.108．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE ，过B 点作BH ⊥AE ，垂足为点H ，延长BH 交CD 于点F ，连接AF ．(1)求证：AE=BF．(2)若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得AB＝BC，再根据同角的余角相等得∠BAE＝∠EBH，再利用“角角边”证明△ABE≌△BCF，根据全等三角形的对应边相等得AE＝BF；（2）根据全等三角形的对应边相等得BE＝CF，再利用勾股定理计算即可得出结论.【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵BH⊥AE，∴∠BHE＝90°.∴∠AEB＋∠EBH＝90°.∴∠BAE＝∠EBH.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(ASA)．∴AE＝BF.(2)由(1)得△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.∵正方形的边长是5，BE＝2，∴DF＝CD－CF＝CD－BE＝5－2＝3.在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF＝＝＝.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质和正方形的性质.109．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.【解析】分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．110．如图，在⊥ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据AAS证△AFE△△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．【详解】解：（1）证明：△AF△BC，△△AFE=△DBE．△E是AD的中点，AD是BC边上的中线，△AE=DE，BD=CD．在△AFE和△DBE中，△△AFE=△DBE，△FEA=△BED，AE=DE，△△AFE△△DBE（AAS）△AF=BD．△AF=DC．（2）四边形ADCF是菱形，证明如下：△AF△BC，AF=DC，△四边形ADCF是平行四边形．△AC△AB，AD是斜边BC的中线，△AD=DC．△平行四边形ADCF是菱形。
2021-2022学年度华东师大版八年级数学下册第十八章平行四边形达标测试练习题(含详解)
八年级数学下册第十八章平行四边形达标测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，以ABC 的顶点A 为圆心，以BC 长为半径作弧；再以顶点C 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点D ，则四边形ABCD 是平行四边形的理由是（ ）A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2、如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，把BAE 以点B 为中心顺时针旋转一定角度后，得到BFG ，已知点F 在BC 上，连接DF ．若70ADC ∠=︒，15CDF ∠=︒，则DFG ∠的大小为（ ）A ．140°B ．155°C ．145°D ．135°3、能确定平行四边形的大小和形状的条件是（ ）A ．已知平行四边形的两邻边B ．已知平行四边形的相邻两角C ．已知平行四边形的两邻边和一条对角线D ．已知平行四边形的两条对角线4、如图，在平行四边形ABCD 中，连接AC ，若∠ABC ＝∠CAD ＝45°，AB ＝4，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．B ．C ．8D ．165、在ABCD 中，:2:1A B ∠∠=，则C ∠的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．100°D ．120°6、如图，在ABCD 中，125ABC ∠=︒，21CAD ∠=︒．则CAB ∠的度数是（ ）A ．21°B ．34°C ．35°D ．55°7、点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从（1）//AB CD ，（2）AB CD =，（3）//BC AD ，（4）BC AD =这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）种．A ．3B ．4C ．5D ．6 8、如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且AE ＝3，AF ＝4，若▱ABCD 的周长为56，则BC 的长为（ ）A ．14B ．16C ．28D ．329、四边形四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，b 为对边，且满足222222a b c d ab cd ++=++，则这个四边形是（ ）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形10、如图，已知平行四边形ABCD 的面积为8，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则△AEF 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、平行四边形的两组对边分别________且________ ；平行四边形的两组对角分别________；两邻角________；平行四边形的对角线_________；平行四边形的面积＝底边长×________．2、如图，在平行四边形ABCD 中，AC BC =，E 为BC 上一点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折得到AFE △，EF AC ⊥交AC 于点G ，若4AE =，CD =AG 的长度为______．3、如图，在ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，6AF =cm ，12BF =cm ，FBM CBM ∠=∠，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/s 的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动，点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P 运动_____时，以P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．4、平行四边形的判定方法有：从边的条件有：①两组对边_________的四边形是平行四边形；②两组对边_________的四边形是平行四边形；③一组对边_________的四边形是平行四边形，从对角线的条件有：④两条对角线_________的四边形是平行四边形．从角的条件有：⑤两组对角_________的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形_________是平行四边形（填“一定”或“不一定”）．5、己知平行四边形ABCD 的一个内角平分线把一边分为3cm ，5cm 两部分，这个平行四边形的周长是______．6、如图，ABCD 中，90,3,4BAC AB AC ∠=︒==，则BD 的长为_________．7、如图，平移图形M，使其与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是______．8、已知平行四边形ABCD的周长是30，若AB＝10，则BC＝________．9、在ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是________．10、如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=8，BC=12，则EF的长为__________．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，ABCD中，E是AB的中点，连接CE并延长交DA的延长线于点F．求证：AF AD=．2、如图，A，B两点被大山阻隔，为了改善山区的交通，现拟开凿一个贯穿A，B的隧道，修建一条高速公路．请你设计出一个方案，利用平移的有关知识测量出A，B之间的距离和隧道开凿的方向．3、如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．点E 恰是CD 的中点．求证：（1）△ADE ≌△FCE ；（2）BE ⊥AF ．4、如图，点B ，D 分别在射线A S ，AR 上．(1)求作点C 使得四边形ABCD 是平行四边形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)根据你的作图证明四边形ABCD 是平行四边形，连接AC ，BD 相交于点O ，若AC BD ⊥，且2AB BD a ==，求AC 的值．5、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，A ACD ∠=∠．（1）如图1，求证：AD BD =；（2）如图2，45A CFE ∠-∠=︒，求证：45FED ∠=︒；（3）如图3，在（2）的条件下，AC BF =，22DE CE ==，求ABC 的面积．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据平行四边形的判定解答即可．【详解】解：由题意可知，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故选：B ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题关键．2、C【解析】【分析】根据题意求出∠ADF，根据平行四边形的性质求出∠ABC、∠BAE，根据旋转变换的性质、结合图形计算即可．【详解】解：∵∠ADC=70°，∠CDF=15°，∴∠ADF=55°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，∴∠BFD=125°，∵AE⊥BC，∴∠BAE=20°，由旋转变换的性质可知，∠BFG=∠BAE=20°，∴∠DFG=∠DFB+∠BFG=145°，故选：C．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、旋转变换的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．3、C【解析】【分析】利用平行四边形的判定定理结合四边形的不稳定性进行判断即可．【详解】解：A、仅仅知道平行四边形的两邻边根据平行四边形的不稳定性知不能确定其形状和大小；B、已知平行四边形的相邻两角只能大体确定其形状，但并不能确定其大小，故错误；C、能确定其形状及大小，故正确；D、已知平行四边形的两对角线只能确定大小，不能确定形状，故错误．故选：C．【点睛】考查了平行四边形的判定和不稳定性，平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．4、C【解析】【分析】由平行四边形的性质可求∠B＝∠D＝45°，AB＝CD＝4，AD＝BC，由等角对等边可得AC＝CD＝4，∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理可求AD的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝45°，AB＝CD＝4，AD＝BC，∴∠CAD＝∠D＝45°，∴AC＝CD＝4，∠ACD＝90°，∴AD∴平行四边形ABCD的周长＝2×（CD＋AD）＝2×（4＋8＋故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出AD的长是解题的关键．5、D【解析】【分析】由平行四边形的对边平行结合条件可求得∠A，则可求得∠C的度数．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∠A＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°，∵∠A：∠B＝2：1，∴∠A＝120°，∴∠C＝∠A＝120°，故选：D．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行、对角相等是解题的关键．6、B【解析】【分析】根据平行四边形的对边相互平行以及平行线的性质进行解答即可．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，180ABC DAB ∴∠+∠=︒，∵125ABC ∠=︒，∴18012555DAB ∠=︒-︒=︒．又21CAD ∠=︒，552134CAB DAB CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质．此题利用的性质是：平行四边形的对边相互平行，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．7、B【解析】【分析】平行四边形与边相关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据以上判定方法对条件逐一判断即可得到答案.【详解】解：如图，选取（1）//AB CD ，（2）AB CD =，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD 为平行四边形，选取（1）//AB CD ，（3）//BC AD ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD 为平行四边形，选取（2）AB CD =，（4）BC AD =，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD 为平行四边形，选取（3）//BC AD ，（4）BC AD =，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD 为平行四边形，故选：B【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定方法是解题的关键.8、B【解析】【分析】根据平行四边形的周长求出BC +CD ＝28，再根据平行四边形的两种面积计算方法求出BC ＝43CD ，由此可以求出CD 的值，进而具体求得平行四边形的面积．【详解】解：∵▱ABCD 的周长＝2（BC +CD ）＝56，∴BC +CD ＝28①，∵AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE ＝4，AF ＝6，∴S ▱ABCD ＝3BC ＝4CD ，整理得，BC ＝43CD ②， 联立①②解得，CD ＝12，∴BC=28-12=16．故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的面积计算，利用方程的思想方法求得平行四边形的底是解题关键．9、B【解析】【分析】根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．【详解】解：222222+，a b c d ab cd++=+22220a ab bc cd d-++-+=，2222-=a b+-（，()0c d)--==，c d0,0a b∴a=b，c=d，∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，∴c、d是对边，∴该四边形是平行四边形，故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．10、B【分析】连接AC ，由平行四边形的性质可得1===42ABC ADC ABCD S S S △△平行四边形，再由E 、F 分别是BC ，CD 的中点，即可得到1=22ABE ABC S S =△△，1=22AFD ADF S S =△△，1=14ECF ABC S S =△△，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，AB =CD ，AB ∥CD ， ∴1===42ABC ADC ABCD S S S △△平行四边形 ∵E 、F 分别是BC ，CD 的中点， ∴1=22ABE ABC S S =△△，1=22AFD ADF S S =△△，1=14ECF ABC S S =△△， ∴=3AEF ABE ECF AFD ABCD S S S S S =---△△△△平行四边形，故选B ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，与三角形中线有关的面积问题，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质．二、填空题1、 平行 相等 相等 互补 互相平分 底边上的高【分析】根据平行四边形的性质，即可求解．【详解】解：平行四边形的两组对边分别平行且相等；平行四边形的两组对角分别相等；两邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的面积＝底边长×底边上的高．故答案为：平行；相等；相等；互补；互相平分；底边上的高．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的两组对边分别平行且相等；平行四边形的两组对角分别相等；两邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的面积＝底边长×底边上的高是解题的关键．2【解析】【分析】过点F作FH AE⊥交于点H，由平行四边形ABCD得AB CD==AC BC=，可设B BACα∠=∠=，故1802ACBα∠=︒-，由EF AC⊥求出9018022702BEFαα∠=︒+︒-=︒-，由折叠的性质可得AF AB==11352BEA AEF BEFα∠=∠=∠=︒-，进而求出180(135)45EAF BAEαα∠=∠=︒--︒-=︒，得出AHF△是等腰直角三角形，由勾股定理求出3AH FH==，故1EH=，在Rt FHE中，根据勾股定理求出EF，由等面积法即可得出AG的长．【详解】如图，过点F 作FH AE ⊥交于点H ，∵平行四边形ABCD ，∴AB CD ==∵AC BC =，∴设B BAC α∠=∠=，∴1802ACB α∠=︒-，∵EF AC ⊥，∴90CGE ∠=︒，∴9018022702BEF αα∠=︒+︒-=︒-，∵ABE △沿AE 翻折得到AFE △，∴AF AB ==11352BEA AEF BEF α∠=∠=∠=︒-， ∴180(135)45EAF BAE αα∠=∠=︒--︒-=︒，∴AHF △是等腰直角三角形，∴222AH FH AF +=，即222AH =，解得：3AH =，∴3AH FH ==，∴431EH AE AH =-=-=，在Rt FHE 中，EF ==，∴1122AEF S EF AG AE FH =⋅=⋅，即AE FH AG EF ⋅===本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和与外角以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．3、3秒或5秒##5秒或3秒【解析】【分析】由平行四边形的性质可得//AD BC AD BC =，，由平行线的性质可得12BF DF cm ==，可得18AD AF DF cm BC =+==，由平行四边形的性质可得PF EQ =，列出方程可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AD BC AD BC =，∴∠ADB ＝∠MBC ，又∵∠FBM ＝∠MBC∴∠ADB ＝∠FBM∴BF ＝DF ＝12cm∴AD ＝AF +DF ＝18cm ＝BC ，∵点E 是BC 的中点∴EC ＝12BC ＝9cm ，∵以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形∴PF ＝EQ∴6﹣t ＝9﹣2t ，或6﹣t ＝2t ﹣9∴t ＝3或5故答案为3或5秒本题考查平行四边形的性质以及判定，利用方程思想解决问题是解本题的关键．4、分别平行分别相等平行且相等互相平分分别相等不一定【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答．【详解】解：平行四边形的判定方法有：从边的条件有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．从对角线的条件有：④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．从角的条件有：⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．故答案是：分别平行；分别相等；平行且相等；互相平分；分别相等；不一定．【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．5、22cm或26cm【解析】【分析】根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出ABE △为等腰三角形，然后分别讨论3BE =cm ，5CE =cm 或5BE =cm ，3CE =cm ，继而求得答案．【详解】 解：如图，四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，AB =CD ，BC =AD ，DAE AEB ∴∠=∠，AE ∵为角平分线，DAE BAE ∴∠=∠，AEB BAE ∴∠=∠，AB BE ∴=，当3AB BE ==cm ，5CE =cm 时，∴AB=CD =3cm ，AD =BC =BE +EC =8cm ，∴四边形ABCD 的周长=AD +BC +AB +CD =22cm ；当5AB BE ==cm 时，3CE =cm ，同理求得周长=AD +BC +AB +CD =26cm ．故答案为：22cm 或26cm ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论思想的应用．6、【解析】【分析】 利用平行四边形的性质先求解12,,2OA OC OB OD BD ====再利用勾股定理求解,OB 从而可得答案. 【详解】解：,4,ABCD AC =12,,2OA OC OB OD BD ∴====90,3,BAC AB ∠=︒=OB ∴==2BD OB ∴==故答案为：【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键.7、140°【解析】【分析】利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可以求得α的度数．【详解】解：如图，延长AB 交CE 于点D ，由平行线的性质，得∠BDC ＝180°﹣70°＝110°，又∵∠C ＝180°﹣150°＝30°，∴α＝∠ABC ＝∠BDC +∠C ＝110°+30°＝140°．故答案为：140°．【点睛】此题重点考查平行线的性质及三角形内角和定理，关键是正确地作出辅助线并找到两部分图形中相应的角的关系．8、5【解析】略9、10cm 22cm x <<【解析】【分析】平行四边形的对角线互相平分，那么一边是8cm ，另两边是3cm 和12x 组成的三角形，结合三角形三边关系，第三边的长一定大于已知两边的差，而小于两边的和，求得相应范围即可．【详解】 解：由题意得：183832x -<<+，解得：1022x <<，故答案为：10cm 22cm x <<．【点睛】 此题考查了平行四边形的性质，注意平行四边形的性质和三角形的三边关系的综合运用，有关“对角线范围的题”，应联系三角形的三边关系知识来解答．10、4【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AFB FBC ∠=∠，由角平分线可得ABF FBC ∠=∠，所以AFB ABF ∠=∠，所以8AF AB ==，同理可得8DE CD ==，则根据EF AF DF AD =+-即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，12AD BC ==，8DC AB ==，∴AFB FBC ∠=∠，∴BF 平分ABC ∠，∴ABF FBC ∠=∠，∴AFB ABF ∠=∠，∴8AF AB ==，同理可得8DE DC ，∴88124EF AF DE AD =+-=+-=．故答案为：4【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，转化线段是解题的关键．三、解答题1、见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出B FAE ∠=∠，点E 为AB 的中点，得出AE BE =，用AAS 来证明△BCE ≌△AFE ，根据全等的性质再证明BC ＝AF ，从而证明AF ＝AD ．【详解】 证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AD BC =，B FAE ∴∠=∠，点E 为AB 的中点，AE BE ∴=，在BCE ∆和AFE ∆中，B FAE BE AEBEC AEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ΔΔBCE AFE AAS ∴≅，BC AF ∴=，AF AD ∴=．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS ，AAS ，ASA ，SAS ，HL (直角三角形)．2、见解析【解析】【分析】根据平行四边形性质把AB 移出来再测量即可．【详解】解：可以设法将线段AB“平移”出来，便于测量．如图，分别沿A，B两点向同一个方向行走相同距''点，测量线段A B''即可，这是其中一种方法．离得到,A B【点睛】本题考查平行四边形性质的实际应用，正确理解平行四边形的性质是本题解题关键．3、（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠D＝∠ECF，则可证明△ADE≌△FCE（ASA）；（2）由平行四边形的性质证出AB＝BF，由全等三角形的性质得出AE＝FE，由等腰三角形的性质可得出结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∵E为CD的中点，∴ED＝EC，在△ADE和△FCE中，D ECF ED ECAED FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△FCE （ASA ）；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∴∠FAD ＝∠AFB ，又∵AF 平分∠BAD ，∴∠FAD ＝∠FAB ．∴∠AFB ＝∠FAB ．∴AB ＝BF ，∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝FE ，∴BE ⊥AF ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．4、 (1)见解析(2)【解析】【分析】（1）分别以,B D 为圆心，以,AD AB 为半径作弧交于点C 即为所求；（2）先证明四边形ABCD 是平行四边形，再在Rt AOB 中利用勾股定理求解．(1)解：作图如下：(2)解如图：,AB DC AD BC ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，2BD a =∴12BO OD BD a ===， AC BD ⊥∴90AOB ∠=︒，在Rt AOB 中，2AB a =，OB a =，∴OA ==，∴2AC OA ==．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是根据题意作出相应的图形．5、（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）152 【解析】【分析】（1）根据已知条件求得∠BCD =∠CBA ，即可得解；（2）证明∠DCB +∠A =∠DCB +∠ACD =90°，即可得解；（3）过点F 作FG CD ⊥于点G ，过点C 作//CM AB ，过F 作MN AB ⊥交AB 于点N ,CM 于点M ,过点M 作MN AB ⊥于点N ,过点E 作//HK AC 分别交CM ，AD 于点,K H ,连接KF ,分别证明CMF ≌CGF △，KMH △≌FMB ，通过导角可得,,GEF KMF MHB △△△是等腰直角三角形，进而求得MN ,进而求得ABC 的面积．【详解】解：（1）证明：∵90ACB ∠=︒，∴∠ACD +∠BCD =90°，∠CAB +∠CBA =90°，又∵CAB ACD ∠=∠，∴∠BCD =∠CBA ，∴BD =CD ；（2）证明：∠FED =∠DCB +∠CFE =∠DCB +∠A -45°，∵A ACD ∠=∠，∴∠DCB +∠A =∠DCB +∠ACD =90°，∴∠FED =90°-45°=45°；（3）如图，过点F 作FG CD ⊥于点G ，过点C 作//CM AB ，过F 作MN AB ⊥交AB 于点N ,CM 于点M ,过点M 作MN AB ⊥于点N ,AD CD DB==DCB DBC ∴∠=∠//CM ABMCB CBD∴∠=∠MCB DCB∴∠=∠即CB为MCD∠的角平分线，,GF CD FM MC⊥⊥FG FM∴=在CMF与CGF△中，90MCF GCFFMC FGCCF CF∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴CMF≌CGF△（AAS）CM CG∴=过点E作//HK AC分别交CM，AD于点,K H,=AD CD∴∠=∠A DCAHK AC//∴∠=∠DEH DHEDE DH∴=DE CE==22∴====1,2CE AH ED HDCK AH AC HK//,//∴四边形AHKC是平行四边形∴==CK AH1=CM CGKM CM CK CM GC CG CE GE ∴=-=-=-=-=11∠=︒⊥GEF GF EG45,∴△是等腰直角三角形GEFEG GF∴=∴=KM GF又FG FM =MK MF ∴=①45FED ∠=︒45EFC ECF FEG ∠+∠=∠=︒设,CFE ECF αβ∠=∠=则45αβ+=︒90ACB ∠=︒()902245ACD βαββαβα∴∠=︒-=+-=+=︒+ AD DC =45A ACD α∴∠=∠=︒+，//CM AB ,MN AB ⊥∴MN CM ⊥90CM F ∴∠=︒//CM AD180********HKM KHD αα∴∠=︒-∠=︒-︒+=︒+()909045135MFB MCF MF βαα∠=∠+∠=︒+=︒+︒-=︒+ HKM MFB ∴∠=∠②连接KF ,如图，KM MF ⊥KMF ∴△是等腰直角三角形,AC FB HK AC ==∴HK FB =③在KMH △与FMB 中KM MF HKM BFM HK FB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴KMH △≌FMBKMH FMB ∴∠=∠，HM BM =KMH HMN FMB HMN ∠+∠=∠+∠,KMH HMN KMF FMB HMN HMB ∠+∠=∠∠+∠=∠90KMF HMB ∴∠=∠=︒HM BM =MHB ∴△是等腰直角三角形MN AB ⊥()1115(61)2222MN HN NB HB AB AH ∴====-=-= 11515=62222ABC S AB MN ∴⋅⋅=⨯⨯=△【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等角对等边，平行四边形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．。
2021-2022学年基础强化沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十二章四边形综合测试试题(含解析)
八年级数学第二学期第二十二章四边形综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5 B．C D∠+∠+∠+∠=（）2、如图，在六边形ABCDEF中，若1290∠+∠=︒，则3456A．180°B．240°C．270°D．360°3、将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D'，若B AD∠''＝10°，则∠EAF的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°4、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（）A．2 B．4 C．4或65D．2或1255、欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（）A．线段BF B．线段DG C．线段CG D．线段GF6、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（）A．7 B．6 C．4 D．87、多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）A．9条B．8条C．7条D．6条∠+∠的度数是（）8、如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中αβA．180°B．220°C．240°D．260°9、如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（）A．10 B．25 C．50 D．7510、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，过点B作BE⊥CD于点E，则BE的长为（）A．125B．245C．6 D．485第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一个长方形的周长是22cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm，就可以成为一个正方形，则长方形的长是______cm．2、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则CF的长为___．3、如图，已知在矩形ABCD中，4AB=，8AD=，将ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，连接DE，则DE的长为_________．4、如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12，如果∠AOD=60°，则DC=__．5、若一个n边形的每个内角都等于135°，则该n边形的边数是____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（点P、点G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD＝PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，①求证：DF＝PG；②请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，四边形PEFD的形状是否发生了变化？请写出你的结论．2、如图，在正方形ABCD中，P是直线CD上的一点，连接BP，过点D作DE BP⊥，交直线BP于点E，连接CE．（1）当点P在线段CD上时，如图①，求证：BE DE-；（2）当点P在直线CD上移动时，位置如图②、图③所示，线段BE，DE与CE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．3、将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．4、（1）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，试说明：∠E12∠A；（拓展应用）（2）如图2，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC．①若∠ACD＝130°，∠BCD＝50°，∠CBA＝40°，求∠CDA的度数；②若∠ABD+∠CBD＝180°，∠ACB＝82°，写出∠CBD与∠CAD之间的数量关系．5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E 恰是CD的中点．求证：（1）△ADE≌△FCE；（2）BE⊥AF．-参考答案-一、单选题1、D【分析】利用矩形的性质，求证明90OAB ∠=︒，进而在Rt AOB ∆中利用勾股定理求出OB 的长度，弧长就是OB 的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．【详解】 解：四边形OABC 是矩形，∴90OAB ∠=︒，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可知：222OB OA AB =+，OB ∴==∴故选：D ．【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．2、C【分析】根据多边形外角和360︒求解即可．【详解】解：123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒ ，1290∠+∠=︒()∴∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠=︒，345636012270故选：C【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和360︒是解题的关键．3、A【分析】可以设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可得∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，用α，β表示∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，根据四边形ABCD是矩形，利用∠DAB＝90°，列方程10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，求出α+β＝30°即可求解．【详解】解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠性质可知：∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，∵∠B′AD′＝10°，∴∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB＝90°，∴10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，∴α+β＝30°，∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′，＝10°+α+β，＝10°+30°，＝40°．则∠EAF的度数为40°．故选：A．【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．4、D【分析】根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP 时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴BP=AE=6cm，AP=4cm，∴BQ=AP=4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，∴v的值为：4÷2=2cm/s；②当AP =BP 时，△AEP ≌△BQP （SAS ），∵AB =10cm ，AE =6cm ，∴AP =BP =5cm ，BQ =AE =6cm ，∵5÷2=2.5s ，∴2.5v =6，∴v =125． 故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．5、B【分析】首先根据方程x 2+x -1=0，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF =0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG =m ，则GC =1-m ，从而可以用m 表示等式．【详解】解：设DG =m ，则GC =1-m ．由题意可知：△ADG ≌△AHG ，F 是BC 的中点，∴DG =GH =m ，FC =0.5．∵S 正方形=S △ABF +S △ADG +S △CGF +S AGF ，∴1×1=12×1×12+12×1×m +12×12×（1-m ）+12×m ，∴m ．∵x 2+x -1=0的解为：x∴取正值为x ． ∴这条线段是线段DG ．故选：B ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．6、A【分析】如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，先求出C 和A 的坐标，然后根据矩形的性质得到D 是AC 的中点，从而求出D 点坐标为（2，1），再由当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，∵C 是直线32y x =+与y 轴的交点，∴点C 的坐标为（0，2），∵OA =4，∴A 点坐标为（4，0），∵四边形OABC 是矩形，∴D 是AC 的中点，∴D 点坐标为（2，1），当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，由题意得平移后的直线解析式为32y x m =+-，∴3221⨯+-=，mm=，∴7故选A．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．7、A【分析】多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条．多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条，即可求得对角线的条数．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，∴每个外角是30°，∴多边形边数是360°÷30°=12，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12-3=9条．故选A ．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．8、C【分析】根据四边形内角和为360°及等边三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：由题意得：等边三角形的三个内角都为60°，四边形内角和为360°，∴3606060240αβ∠+∠=︒-︒-︒=︒；故选C ．【点睛】本题主要考查多边形内角和及等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和及等边三角形的性质是解题的关键．9、B【分析】根据题意知点F 是Rt△BDE 的斜边上的中点，因此可知DF =BF =EF =5，根据矩形的性质可知AB =DC =x ，BC =AD =y ，因此在Rt△CDF 中，CD 2+CF 2=DF 2，即可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =x ，AD =y ，∴CD =AB =x ，BC =AD =y ，∠BCD =90°，又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF =5，∴BF =DF =EF =5，∴CF =5-BC =5-y ，∴在Rt△DCF 中，DC 2+CF 2=DF 2，即x 2+（5-y ）2=52=25，∴x 2+（y -5）2=x 2+（5-y ）2=25，故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理，做题的关键是利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出BF 的长度．10、B【分析】根据菱形的性质求得BD 的长，进而根据菱形的面积等于12AC BD CD BE ⋅=⋅，即可求得BE 的长【详解】解：如图，设,AC BD 的交点为O ，四边形ABCD 是菱形AC BD ∴⊥，142AO CO AC ===，DO BO =，5CD AB == 在Rt AOB 中，5AB =，4AO =3BO ∴26BD BO ∴==菱形的面积等于12AC BD CD BE ⋅=⋅1168242255AC BD BE CD ⋅⨯∴==⨯= 故选B【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质，求得BD 的长是解题的关键．二、填空题1、8【分析】设这个长方形的长为xcm ，则长方形的宽为()11x -cm ，由题意得长2-=宽+3．进而得到方程2113x x -=-+，解方程即可得到答案．【详解】解：设这个长方形的长为x cm ，由题意得：2113x x -=-+，216,x ∴=解得：8,x =答：这个长方形的长为8.cm故答案为：8【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，表示出正方形的边长，进而利用正方形边长相等得到方程．2、3.6【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接BF，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE5==，∴BH＝3412 55⨯=，则BF＝245，∵点E为BC的中点，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE翻折至△AFE，∴FE＝BE，∴FE＝BE= EC，∴∠CBF=∠EFB，∠BCF=∠EFC，∴2∠EFB+2∠EFC=180°，∴∠EFB+∠EFC=90°∴∠BFC＝90°，∴CF 3.6==．故答案为：3.6．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．3【分析】过点E作EF⊥AD于点F，先证明CG=AG，再利用勾股定理列方程，求出AG的值，结合三角形的面积法和勾股定理，即可求解．【详解】解：如图所示：过点E作EF⊥AD于点F，有折叠的性质可知：∠ACB=∠ACE，∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∴∠CAD=∠ACE，∴CG =AG ，设CG =x ，则DG =8-x ，∵在Rt CDG 中，()22284x x -+=，∴x =5，∴AG =5，在Rt AEG 中，3==，EF ⊥AD ，∠AEG =90°， ∴125AE EG EF AG ⨯==， ∵在Rt AEF 中，22165AFAE EF ，、 ∴DF =8-165=245， ∴在Rt DEF △中，221255DEEF DF ，【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．4、【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA ＝OD ，然后判断出△AOD 是等边三角形，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA＝OD＝12AC＝12×12＝6，∠ADC=90°，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OA＝6，∴DC=故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理以及等边三角形的判定，解题关键是根据矩形的性质得出△AOD是等边三角形．5、8【分析】根据题意求得多边形的外角，根据360度除以多边形的外角即可求得n边形的边数【详解】解：∵一个n边形的每个内角都等于135°，∴则这个n边形的每个外角等于18013545︒-︒=︒360458÷=∴该n边形的边数是8故答案为：8【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，求得多边形的外角是解题的关键．三、解答题1、（1）①见解析；②四边形PEFD是菱形，理由见解析；（2）四边形PEFD的形状没有发生变化，仍然是菱形，理由见解析【分析】（1）①根据四边形ABCD为正方形得AD=CD，然后证明△ADF≌△CDP，则DF=DP，得到DF=PG；②由四边形PMDC是矩形得CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出PG＝PF，进而可得DP＝PF，再证明DF∥PE，推出四边形PEFD是平行四边形，再结合PD＝PE即可证明四边形PEFD是菱形；（2）如图2中，作PM⊥AD于M．则四边形CDMP是矩形，CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出DP＝PG＝PE＝PF，再证明DF∥PE，推出四边形PEFD是平行四边形，由PD＝PE，即可证明四边形PEFD是菱形．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A= ∠C=∠ADC=90°，∵DF⊥PG，∴∠DHG=90°，∴∠HGD+∠ADF=90°，∠CDP+∠PDG=90°，∵ PD=PG，∴∠PGD=∠PDG，∴∠ADF=∠CDP，∴△ADF≌△CDP（ASA），∴DF=DP，∵ PD=PG，∴DF=PG；②如图所示，作PM⊥AD于M，由旋转的性质得PE=PG，∠EPG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C ＝∠CDM ＝∠DMP ＝90°，AD ＝CD ，∴四边形DCPM 是矩形，∴CD ＝PM ，∵AD ＝CD ，∴AD ＝PM ，∵DF ⊥PG ，∴∠DAF ＝∠PMG ＝∠GHD ＝90°，∴∠ADF +∠AFD ＝90°，∠ADF +∠PGM ＝90°，∴∠AFD ＝∠PGM ，在△ADF 和△MPG 中，AFD PGM FAD PMG AD PM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△GMP （AAS ），∴DF ＝PG ，∵PG ＝PE ＝PD ，∵∠FHG ＝∠EPG ＝90°，∴DF∥PE ，∴四边形PEFD 是平行四边形，∵PD ＝PE ，∴四边形PEFD 是菱形．（2）四边形PEFD 的形状没有发生变化，仍然是菱形，理由：如图2中，作PM ⊥AD 于M ．则四边形CDMP 是矩形，CD ＝PM ，∵∠DAF ＝∠PMG ＝∠DHG ＝90°，∴∠ADF +∠AFD ＝90°，∠G +∠GDH ＝90°，∵∠ADF ＝∠GDH ，∴∠AFD ＝∠G ，∵AD ＝CD ，CD ＝PM ，∴AD ＝PM ，在△ADF 和△MPG 中，AFD G FAD PMG AD PM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△MPG （AAS ），∴DP ＝PG ＝PE ＝PD ，∵∠FHG ＝∠EPG ＝90°，∴DF∥PE ，∴四边形PEFD 是平行四边形，∵PD ＝PE ，∴四边形PEFD 是菱形．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2、（1）见解析；（2）图②中BE DE +=，图③中DE BE -=【分析】（1）在BE 上截取BF DE =，连接CF ，可先证得BCF DCE ∆∆≌，则CF CE =，BCF DCE ∠=∠，进而可证得△AED 为等腰直角三角形，即可得证；（2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的BE ，DE 与CE 之间的数量关系．【详解】解：（1）证明：如图，在BE 上截取BF DE =，连接CF ．∵四边形ABCD 是正方形，BC DC ∴=，90BCD ︒∠=，DE BP ⊥，90BCD ︒∠=，90PBC BPC PDE DPE ︒∠∠∴∠+∠=+=，BPC DPE ∠=∠，PBC PDE ∴∠=∠，BF DE =，BC DC =，(SAS)BCF DCE ∴∆∆≌，CF CE ∴=，BCF DCE ∠=∠，90FCE FCD DCE FCD BCF BCD ︒∴∠=∠+∠=+==∠∠∠，∴△ECF 是等腰直角三角形，在Rt FCE ∆中，22222FE CF CE CE =+=，EF ∴=，BE DE BE BF EF ∴-=-==；（2）图②：BE DE +=，理由如下：如下图，在EB 延长线上截取BF DE =，连接CF ．BC DC ∴=，90BCD ︒∠=，DE BP ⊥，90BCD ︒∠=，90PBC BPC PDE DPE ︒∠∠∴∠+∠=+=，BPC DPE ∠=∠，FBC EDC ∴∠=∠BF DE =，BC DC =，(SAS)BCF DCE ∴∆∆≌，CF CE ∴=，BCF DCE ∠=∠，90FCE FCD DCE FCD BCF BCD ︒∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=，∴△ECF 是等腰直角三角形，在Rt FCE ∆中，22222FE CF CE CE =+=，EF ∴=，BE DE BE BF EF ∴+=+==；图③：DE BE -=如图，在DE 上截取DF =BE ，连接CF ．BC DC ∴=，90BCD ︒∠=，DE BP ⊥，90BCD ︒∠=，90PBC BPC PDE DPE ︒∠∠∴∠+∠=+=，BPC DPE ∠=∠，EBC FDC ∴∠=∠BE DF =，BC DC =，(SAS)BCE DCF ∴∆∆≌，CE CF ∴=，BCE DCF ∠=∠，90FCE FCB BCE FCB DCF BCD ︒∴∠=∠+∠=+==∠∠∠，∴△ECF 是等腰直角三角形，在Rt FCE ∆中，22222FE CF CE CE =+=，EF ∴=，DE BE DE DF EF ∴-=-==．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．3、（1）EF =DF +BE ；（2）EF =DF -BE ；（3）线段EF 的长为103或203． 【分析】（1）延长FD 至G ，使DG =BE ，连接AG ，先证△ABE ≌△ADG ，再证△GAF ≌△EAF 即可；（2）在DC 上截取DH =BE ，连接AH ，先证△ADH ≌△ABE ，再证△HAF ≌EAF 即可；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．解：（1）结论：EF=BE+DF．理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（AAS），∴GF=DF+DG=DF+BE，即：EF=DF+BE；（2）结论：EF=DF-BE．理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，∴∠DAH+∠BAF=45°，∴∠HAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF=EF，∵DF=DH+HF，∴EF=DF-BE；（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，∴x=43，∴EF=x+2=103．②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，∵K 为BC 边的中点，∴CK =12BC =2，同理可证△ABK ≌FCK （SAS ），∴CF =AB =4，EF =FH=CF+CD-DH =8-x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理得到：（4+x ）2+42=（8-x ）2，∴x =43， ∴EF =8-43=203． 综上，线段EF 的长为103或203． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．4、（1）见解析；（2）①∠CDA ＝20°；②∠CAD +41°＝∠CBD ．【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠ECD ＝∠E +∠EBC ；由角平分线的性质可得1()2ECD A ABC =∠+∠∠，12EBC ABC ∠=∠，利用等量代换，即可求得∠A 与∠E 的关系； （2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答；②设∠CBD =a ，根据已知条件得到∠ABC =180°-2a ，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答．【详解】（1）证明：∵∠ACD 是△ABC 的外角∴∠ACD ＝∠A +∠ABC∵CE 平分∠ACD∴1()2∠=∠+∠ECD A ABC又∵∠ECD＝∠E+∠EBC∴1()2ECD EBC A ABC ∠+∠=∠+∠∵BE平分∠ABC∴12EBC ABC ∠=∠∴11() 22∠+∠=∠+∠ABC E A ABC∴12∠=∠E A；（2）①∵∠ACD＝130°，∠BCD＝50°∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝130°﹣50°＝80°∵∠CBA＝40°∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°∵AD平分∠BAC∴1302CAD CAB︒∠=∠=∴∠CDA＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝20°；②∠CAD+41°＝∠CBD设∠CBD＝α∵∠ABD+∠CBD＝180°∴∠ABC＝180°﹣2α∵∠ACB＝82°∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2α）﹣82°＝2α﹣82°∵AD 平分∠BAC∴∠CAD ＝12∠CAB ＝α﹣41°∴∠CAD +41°＝∠CBD ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握三角形内角和是180°是解答本题的关键．5、（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，得出∠D ＝∠ECF ，则可证明△ADE ≌△FCE （ASA ）；（2）由平行四边形的性质证出AB ＝BF ，由全等三角形的性质得出AE ＝FE ，由等腰三角形的性质可得出结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠ECF ，∵E 为CD 的中点，∴ED ＝EC ，在△ADE 和△FCE 中，D ECF ED ECAED FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△FCE （ASA ）；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝∠FAB．∴∠AFB＝∠FAB．∴AB＝BF，∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，∴BE⊥AF．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．。
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人教版数学八年级(下)平行四边形单元试卷(含详解)（题目较多，可自主择优使用）一、单选题（共11题；共21分）1.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A. 17B. 18C. 19D. 202.顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（）A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 等腰梯形3.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F 刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________．4.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB=3，则菱形AECF的面积为（）A. 1B.C.D. 45.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（）A. 5B.C.D.6.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为点G，连接CG，下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值﹣1．其中正确的说法有（）个．A. 4B. 3C. 2D. 17.（2017•绍兴）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA 延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA。
若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（）A. 7°B. 21°C. 23°D. 24°8.（2017•宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若M、N分别是DG、CE的中点，则MN的长为（）A. 3B.C.D. 49.（2017•营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A. ∠ECD=112.5°B. DE平分∠FDCC. ∠DEC=30°D. AB= CD10.（2017•益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 既是轴对称图形又是中心对称图形11.（2017•黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（）A. BD＜2B. BD=2C. BD＞2D. 以上情况均有可能二、综合题（共12题；共134分）12.如图，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF且AG=AB，垂足为G ，则：（1）△ABF与△ AGF全等吗？说明理由；（2）求∠EAF的度数；（3）若AG=4，△AEF的面积是6，求△CEF的面积．13.在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。
密封线内不得答题（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系并说明理由；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。
14.ABCD中，E是CD边上一点，（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是________，∠AFB=∠________.（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ.（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2．15.如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：（1）________ .(用的代数式表示)（2）当为何值时，（3）当点从点开始运动，同时，点从点出发，以v的速度沿向点运动，是否存在这样的v 值，使得全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由.16.如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；（3）连结BC．当S△AMC=S△BOC时，求AC的长．17.在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合），且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ.（1）求证：△APQ≌△QCE；（2）求∠QAE的度数；（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积.18.已知，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H 分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上，AH=2．（1）如图1，当DG=2，且点F在边BC上时.求证：①△AHE≌△DGH；②菱形EFGH是正方形；（2）如图2，当点F在正方形ABCD的外部时，连接CF.①探究：点F到直线CD的距离是否发生变化？并说明理由；②设DG=x，△FCG的面积为S，是否存在x的值，使得S=1，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.19.在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM= AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点．（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为________．（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为________；②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；________③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求的值．________20.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．21.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE= AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．22.（2017•玉林）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC 上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．23.（2017•河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．三、填空题（共3题；共3分）24.有一块边长为4的正方形ABCD，将一块足够大的直角三角板如图放置，CB延长线与直角边交于点E．则四边形AECF的面积是________．25.如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB=4，则BE的最小值为________．26.如图，在菱形ABCD中，∠BAC=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG= AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形CDGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．四、解答题（共4题；共45分）27.如图，已知菱形BEDF，内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上．若AB=15cm，BC=12cm，求菱形边长．28.（2017·嘉兴）如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连结．密 封 线内不 得 答题（1）如图1，当点 与 重合时，求证：四边形是平行四边形；（2）如图2，当点 不与 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）如图3，延长 交 于点，若，且．①求的度数； ②当 ， 时，求的长．29.（2017•湖州）已知正方形的对角线，相交于点．（1）如图1， ， 分别是，上的点，与的延长线相交于点 ．若，求证：；（2）如图2， 是 上的点，过点 作 ，交线段于点 ，连结 交 于点 ，交 于点 ．若 ， ①求证： ； ②当 时，求 的长．30.（2017•绍兴）如图1，已知□ABCD ，AB//x 轴，AB=6，点A 的坐标为（1，-4），点D 的坐标为（-3,4），点B 在第四象限，点P 是□ABCD 边上的一个动点.（1）若点P 在边BC 上，PD=CD ，求点P 的坐标.（2）若点P 在边AB ，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y=x-1上，求点P 的坐标.（3）若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标（直接写出答案）.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】正方形的性质，等腰直角三角形【解析】【解答】如图：由题意可得，S2的边长为3，由AC= BC，BC=CE= CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2 ；、，即可解得S1+S2=8+9=17．故B符合题意.故答案为：B【分析】由题意可得出S2的值，再根据正方形的性质和直角三角形的性质可求出CE的长，继而可得S1的值，从而求出答案.2.【答案】A【考点】菱形的判定，矩形的性质【解析】【解答】已知：如图，四边形ABCD时矩形，E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，连接AC、BD，∵四边形ABCD时矩形，∴AC=BD，又∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，，∴EF=BD，GH=BD，FG=AC，EH=AC，∴EF=GH=FG=EH，∴四边形EFGH是菱形，故答案为：A.【分析】根据矩形的性质得出AC=BD，再根据中点由三角形中位线得出EF=GH=FG=EH，最后根据菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形即可得出答案.3.【答案】或10【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】①如图1，当点F在矩形内部时，∵四边形ABCD为矩形，AD=5，AB=8，∴AB=CD，又∵点F在线段AB的垂直平分线MN上，∴AN=DM=4，由折叠性质得：AF=AD=5，DE=FE，在Rt△ANF中，∴NF==3，∴FM=5-3=2，设DE=EF=x，则ME=4-x，在Rt△ANF中，∴ME2+MF2=EF2，即（4-x）2+22=x2，∴x=.即DE=.②如图2，当点F在矩形外部时，∵四边形ABCD为矩形，AD=5，AB=8，∴AB=CD，又∵点F在线段AB的垂直平分线MN上，∴AN=DM=4，由折叠性质得：AF=AD=5，DE=FE，在Rt△ANF中，∴NF==3，∴FM=5+3=8，设DE=EF=y，则ME=y-4，在Rt△EMF中，∴ME2+MF2=EF2，即（y-4）2+82=y2，∴y=10.即DE=10.故答案为：或10.【分析】根据题意分两种情况讨论：①点F在矩形内部，②点F在矩形外部，分别根据折叠的性质和勾股定理，列出方程求解即可得到DE的长.4.【答案】C【考点】含30度角的直角三角形，菱形的判定与性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】设AE=x，则BE=3-x，∵四边形AECF是菱形，AB=3，∴∠FCO=∠ECO，AE=CE，由折叠性质得∠ECB=∠ECO，∴∠FCO=∠ECB=∠ECO=30°，∴CE=2BE=2（3-x），∴x=2（3-x），∴x=2，即AE=CE=2，∴BE=1，∴BC=，∴S四AECF=AE.BC=2×=2.故答案为：C.【分析】设AE=x，则BE=3-x，由菱形性质得出∠FCO=∠ECO，AE=CE，再由折叠性质得∠ECB=∠ECO，从而得出∠ECB=30°，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，从而求出x的值，从而求出菱形AECF的面积.5.【答案】B【考点】勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x，∵四边形ABCD矩形，AB=4，∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，又∵F是AB的中点，∴BF=2，又∵EF ⊥ED ，∴∠FED=90°，∴∠FEB+∠DEC=90°，∴∠FEB=∠CDE，∴△BFE∽△CED，∴=，∴=，∴（x-2）（x-4）=0，∴x=2，或x=4，①当x=2时，∴EF=2，DE=4，DF=2，∴AM=ME=，∴AE===2,②当x=4时，∴EF=2，DE=2，DF=2，∴AM=ME=，∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意，舍去故答案为：B.【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE ∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出AE===2,②当x=4时，由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意，舍去.6.【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质【解析】解答】∵四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，∴∠AGB=90°，∴G点在以AB为直径，AB中点O 为圆心的圆弧上，∴当点E移动到与C重合时，F点与D 点重合，此时G为AC中点，∴AG=GE，故①错误.∵当点E运动到C点时停止，∴点G运动的轨迹为圆，又∵正方形ABCD的边长为2，∴圆弧的长为：×2××1=.故③错误.∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，又∵BF⊥AE，∴∠AGB=90°，即∠ABG+∠GBE=90°，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠GBE=∠BAG，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，故②正确.当O、G、C三点共线时，CG取得最小，∵OB=1，BC=2，∴OC==，∴CG=OC-OG=-1，故④正确.故答案为：C.【分析】①由题意得∠AGB=90°，G点在以AB为直径，AB中点O为圆心的圆弧上；故当E移动到与C重合时，与D点重合，此时G为AC中点，故①错误.②由正方形的性质得出，AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，再由同角的余角相等得出∠GBE=∠BAG，再利用ASA△ABE≌△BCF，根据全等三角形性质得出AE=BF，故②正确.②当点E运动到C点时停止，此时点G 运动的轨迹为圆，从而得出②错误.④当O、G、C三点共线时，CG取得最小，根据勾股定理得出OC的长度，再由CG=OC-OG得出④正确.7.【答案】C【考点】三角形的外角性质，矩形的性质【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90°，所以∠FEA=∠ECD，∠ACD=90°-∠ACB=69°，因为∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，∠AFC=∠FAE+∠FEA，所以∠ACF=2∠FEA，则∠ACD=∠ACF+∠ECD=3∠ECD=69°，所以∠ECD=23°故选C.【分析】由矩形的性质不难得到∠FEA=∠ECD，∠ACD=90°-∠ACB=69°；根据三角形的外角性质及已知条件不难得出∠ACF=2∠FEA，即可得∠ACD被线CE三等分，则可解出∠ECD。