江苏省海安高级中学2020届第二学期高三第二次检测试题数学试卷(附参考答案)
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期5月第二次检测数学试题解析
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期5月第二次检测数学试题一、填空题1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ． 答案：1试题分析：由题意1M ∈，所以1x =． 【考点】集合间的关系．2．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 答案：60采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 解：∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++.故答案为60.3．已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位)，则z 的模为 .答案：15试题分析：()13451341||3425255i i z z z i -+=⇒==⇒==+【考点】复数及模的概念与复数的运算4．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为_________.答案：55解：试题分析：由算法伪代码语言所提供的信息可知(110)1001210552S +⨯=+++⋅⋅⋅+==,应填55.【考点】伪代码语言的理解和运用．5．现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ． 答案：910试题分析：从5道试题中随机取2道试题，共有10种基本事件，其中皆不是乙类试题的包含1中基本事件，因此至少有1道试题是乙类试题的概率为1911010-= 【考点】古典概型概率6．在ABC 中，若1AB =，2BC =，5CA =AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值是______. 答案：5-利用勾股定理可得知AB BC ⊥，结合平面向量数量积的运算性质可求得AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值.解：在ABC 中，1AB =，2BC =，5CA =222AB BC AC +=，AB BC ∴⊥，则0AB BC ⋅=，因此，()25AB BC BC CA CA AB CA AB BC CA AC AC ⋅+⋅+⋅=⋅+=⋅=-=-. 故答案为：5-. 点评：本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的运算性质，考查计算能力，属于基础题.7．若实数,x y满足约束条件22,{1,1,x yx yx y-≤-≥-+≥则目标函数2z x y=+的最小值为．答案：1解：试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),A B C直线2z x y=+过点(0,1)C时取最小值1【考点】线性规划求最值8．已知()1sin153α︒-=，则()cos302α︒-的值为______.答案：79由题易得3022(15)αα︒︒-=-，然后结合题中条件由余弦的二倍角公式直接计算即可. 解：()()()227cos302cos21512sin15199ααα︒︒︒⎡⎤-=-=--=-=⎣⎦.故答案为：79.点评：本题考查余弦二倍角公式，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.9．已知等比数列的前项和为，若，则的值是．答案：-2试题分析：，【考点】等比数列性质及求和公式10．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则离心率e =______.由双曲线方程写出渐近线方程，由平行求得参数a ，然后离心率． 解：由已知双曲线的渐近线方程为0x y =和0x y +=，显然直线0x y =与直线230x y -+=2=，14a =， 即双曲线方程为22114y x -=，实半轴长为1a '=，虚半轴长为12b '=，半焦距为c ==，所以离心率为c e a =='． 点评：本题考查双曲线的离心率，掌握双曲线的渐近线方程与两直线平行的条件是解题关键． 11．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_________倍.答案：试题分析：因为一个圆柱和一个圆锥同底等高，所以设底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的侧面积是其底面面积的2倍，所以22,2rl r l r ππ==，h =，所以圆柱的侧面积22S rl r π==，其底面积为2r π，所以圆柱的侧面积是底面积的. 【考点】旋转体的侧面积与表面积.【方法点晴】本题主要考查了旋转体的侧面积与表面积的计算，其中解答中涉及到圆柱侧面积、圆锥的侧面积与表面积的计算，圆锥与圆柱的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中利用圆柱和圆锥的侧面积公式，准确计算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.12．已知函数()()(),01,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()()22f x f x <-的解集为______.答案：()2,1-先判断函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果. 解：,1x y e y x ==+都为单调递增函数，且001e =+()f x ∴在R 上单调递增，()()22f x f x <-， 22x x ∴<-，即()()220210x x x x +-<+-<，∴21x -<< 故答案为：()2,1- 点评：本题考查分段函数单调性、利用函数单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .答案：92试题分析：由图可知，a ＞1，点(1，3)在函数(0)xy a b b =+>的图象上，所以 a ＋b ＝3．1＜a ＜3，0＜b ＜2．4114114114192()[(1)]()(5)12121212b a a b a b a b a b a b -+=⨯+=⨯-++=⨯++≥----当且仅当72,33a b ==时取等号 【考点】指数函数性质及图象，基本不等式，函数的最值14．已知直线30x y -+=与圆222:O x y r +=()0r >相交于,M N 两点，若3OM ON ⋅=，圆的半径r =______.答案：6求出圆心到弦的距离32=d ，利用余弦二倍角公式与向量的数量积公式化简222(21)d OM ON r r⋅=⋅-可得解：圆心(0,0) 到直线30x y -+=的距离2200+332===221+1d -. ()22222cos cos 2cos 1(21)d OM ON OM ON MON r r MON r MOE r r⋅=∠=⋅⋅∠=∠-=⋅-2222292293662d r r r r r ∴-=⋅-=-=⇒=⇒=.6 点评：本题考查直线与圆相交问题．解题关键是掌握垂径定理及向量的数量积公式二、解答题15．设函数()sin cos 464f x x x πππ⎛⎫=--⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调增区间；（2）若()0,4x ∈，求()y f x =的值域. 答案：（1）单调增区间为：()2108,833k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）332⎛- ⎝.（1）由两角差正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的单调性得增区间； （2）求出43x ππ-的范围，把它作为一个整体，利用正弦函数性质可得()f x 值域．解：解：（1）()33sin cos sin cos 3sin 46442443f x x x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵222432k x k ππππππ-+≤-≤+，∴2108833k x k -+≤≤+，k Z ∈ ∴()f x 的单调增区间为：()2108,833k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）∵()0,4x ∈，∴23433x ππππ-<-<∴3sin 143x ππ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的值域为：3,32⎛⎤- ⎥⎝⎦. 点评：本题考查正弦型三角函数的单调性，值域问题，考查两角和与差的正弦公式，掌握正弦函数的性质是解题关键．16．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点.（1）求证：直线//OG 平面EFCD ； （2）求证：直线AC ⊥平面ODE . 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析. （1）证明OGCD ，再利用线面平行判定定理，即可证明；（2）证明AC ⊥平面ODE 内的两条相交直线EO 、DO ； 解：证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC BD O =，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，∴OGCD ，又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线OG ∥平面EFCD . （2）∵BF CF =，点G 为BC 的中点，∴FG BC ⊥. ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF ⋂平面ABCD BC =，FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥，∴FG ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂平面ABCD ，∴FG AC ，∵OGAB ，12OG AB=，EF AB ∥，12BF AB =， ∴OG EF ∥，OG EF =， ∴四边形EFGO 为平行四边形， ∴FG EO ∥， ∵FGAC ，FG EO ∥，∴AC EO ⊥，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥，∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，EO DO O ⋂=，EO 、DO 在平面ODE 内， ∴AC ⊥平面ODE . 点评：本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意条件书写的完整性.17．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，离心率为12，过原点的直线与椭圆C交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥.（1）若椭圆C 的右准线方程为：4x =，求椭圆C 的方程； （2）设直线BD 、AB 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k 的值.答案：（1）22143x y +=；（2）1234k k =. （1）根据右准线以及离心率列方程组解得21a c =⎧⎨=⎩，即得23b =，可得椭圆C 的方程； （2）利用点差法得22110AD BD k k a b +⋅=，结合AD AB ⊥转化为1222111()0k a b k +-⋅=再根据离心率可得12k k 的值. 解：（1）2124c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：21a c =⎧⎨=⎩，∴23b =，∴椭圆方程为：22143x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,D x y ，则()11,B x y --，∴,A D 在椭圆上∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴()()()()1212121222110x x x x y y y y a b +-++-= ∴22110AD BD k k a b +⋅=，∵12c e a ==，∴2234b a =，∴134AD k k =-∵AD AB ⊥，∴21AD k k =-，∴1234314AD ADk k k k -==- 点评：本题考查椭圆标准方程、点差法，考查综合分析求解能力，属中档题.18．如图，某小区有一块矩形地块OABC ，其中2OC =，3OA =，单位：百米.已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N .现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数(220y x x =-+≤≤的图象，若点M 到y 轴距离记为t .（1）当23t =时，求直路所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？答案：（1）42239y x =-+；（2）6t =866. （1）把23t =代入函数22y x =-+，得M 的坐标，再利用导数求切线的斜率，即可得到答案；（2）先求出面积的表达式为31444OND S t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△，再利用导数求函数的最大值，即可得到答案； 解：解：（1）把23t =代入函数22y x =-+，得214,39M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵2y x '=-，∴43k =-， ∴直线方程为42239y x =-+；（2）由（1）知，直线的方程为222y tx t =-++，令0y =，122x t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令0x =，22y t =+， ∴1222t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，223t +≤. ∴221t ≤≤， ∴()231121424224OND S t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，令()31444g t t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴()()()2222324t t g t t+-'=当t =()0g t '=，当2t ⎛∈- ⎝⎭时，()0g t '<，当3t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，()39g t g ⎛≥= ⎝⎭，所以所求面积的最大值为69-. 点评：本题考查函数模型解决面积问题、导数几何意义的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19．若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称x 为函数()y f x =的极值点.已知函数()()3ln 1f x ax x x a R =+-∈. （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.答案：（1）极小值31e --；（2）22,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. (1)求出()()3ln 1f x x '=+，令()0f x '=求出方程的解，从而探究()(),f x f x '随x 的变化情况，即可求出极值.(2)求出()()23ln 1f x ax x '=++，令()2ln 1g x ax x =++，分0a >，0a =，0a <三种情况进行讨论，结合零点存在定理求出实数a 的取值范围. 解：解：（1）当0a =时，()3ln 1f x x x =-的定义域为()0,∞+，()()3ln 33ln 1f x x x '=+=+，令()0f x '=，解得1x =，则()(),f x f x '随x 的变化如下表，故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数；故()f x 在1x e=时取得极小值131f e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）函数()33ln 1f x ax x x =+-的定义域为()0,∞+，()()23ln 1f x ax x '=++，令()2ln 1g x ax x =++，则()21212ax g x ax x x+'=+=，当0a >时，()0g x '>在()0,∞+恒成立，故()f x '在()0,∞+上是增函数，而2211113ln 130f a a e e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故当1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增，故()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上没有极值点；当0a =时，由（1）知，()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上没有极值点；当0a <时，令2210ax x+=，解得x =或；故()2ln 1g x ax x =++在⎛ ⎝上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上是减函数， ①当()10g e g e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即220a e-<<时， ()g x 在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭得20a e=，不符合题意；③令()0g e =得22a e =-1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而1ln 0222e e g g ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，又10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()g x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，综上所述，实数a 的取值范围是22,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 点评：本题考查了极值的求解，考查了已知极值点的范围求解参数.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对一切正整数n 都有212n n S n a =+. （1）求证：()*142n n a a n n N ++=+∈；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在实数a，使不等式21211111...1n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对一切正整数n 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案：（1）证明见解析；（2）()*2n a n n N=∈；（3）存在；a的取值范围是()3,2⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）由题得()2*12n n S n a n N =+∈①，()()211112n n S n a n N ++=++∈②，②－①即得142n n a a n ++=+； （2）由题得24n n a a +-=.()*n N ∈，再对n 分奇数和偶数两种情况讨论，求出数列{}n a 的通项公式；（3）令()1211111...1n f n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()*n N ∈，判断函数的单调性，求出其最大值，解不等式322a a<-即得解. 解：（1）证明：∵()2*12n n S n a n N =+∈①， ∴()()211112n n S n a n N ++=++∈② 由②－①得()()22*11111111212222n n n n n n S S n a n a n a a n N +++⎡⎤⎛⎫-=++-+=++-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，∴()*142n n a a n n N++=+∈.（2）∵()*142n n a a n n N++=+∈③∴()2146n n a a n n N +++=+∈，④ ④－③，得24n na a +-=.()*n N ∈从而数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，且首项为12a =，公差为4； 数列{}n a 的偶数项也依次成等差数列，且首项为2a ，公差为4. 在①中令1n =得211112S a =+，又∵11S a =，∴1111122a a a =+⇒=. 在③中令1n =得2242a +=+，∴24a =. ∴当()*21n k k N =-∈时，12n k +=，()21141422nk a a a k k n -==+-=-=；∴当2n k =()*k N∈时，2nk =，()224142n k a a a k k n ==+-==； 综上所述，()*2n a n n N=∈.（3）令()1211111...1n f n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()*n N ∈，则()0f n > 且()()1121111n f n n f n a +++⎛⎫=-==< ⎪⎝⎭ ∴()()1f n f n +<， ∴()f n 单调递减， ∴()()max []1f n f ==.∴不等式21211111...1n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对一切正整数n 都成立等价于()32f n a a<-对一切正整数n 都成立， 等价于()max f n a <-⎡⎤⎣⎦32a a <-.0<，即(20a a a->，解之得a >02a -<<. 综上所述，存在实数a 的适合题意，a的取值范围是()3,2⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.点评：本题主要考查数列通项的求法，考查数列的单调性的判定和最值的求法，考查数列不等式的恒成立问题的求解，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2020届南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题
15 .Q BC
CD
9，
BC 12
2
故答案为 :12.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换的应用 .难点在于已知正切值的使用 .有的同学可能由正切值求
出正弦和余弦 ,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解 .由于本题所给的正切值求出
的正弦余弦值数比较大 ,因此这种思路计算量较大 ,效率不高而且容易做错 .
m
2
kl
x1
m
m
t
2
1
则切线方程为
y
t
1
m 2x t
t1
2
整理得 mx t 1 y 2mt m 0 .则 P 2t, 1 到 l 的距离
2
2
2mt t 1 2mt m
d2
2
4
m t1
4
t1
m2
2m t
2
1
m2
4
t1
1
2m
2
t1
m2
2
t1
2
Qt 1
m2
2
t1
2
2m ,当且仅当 t 1
m2 2即t 1
t1
2,0
p
所以
2
2 ,解得 p 2 2 .
故答案为 : 2 2 .
【点睛】 本题考查了双曲线的标准方程 ,考查了抛物线的方程 .易错点是误把 p 当做了抛物线焦 点的横坐标 .
6．已知一个口袋中有形状、大小都相同的
5 只球，其中 3 只白球， 2 只红球．从
中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色相同的概率为 ____ ．
【解析】 (1)求出 | a |,| b | ,由 | a | | b | 可得 | sin x |
【全国百强校首发】江苏省海安高级中学2020届高三第二次模拟考试数学试题附答案
江苏省海安高级中学2020届高三第二次模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设集合{}1,3A =，{}2230B x x x =--<，则A B =I ____________.2.已知z i 12i ⋅=+（i 为虚数单位），则复数z =__________.3.命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________.4.袋中有形状和大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．现从中一次随机摸出两只球，则这两只球颜色不同的概率为____________.5.“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若28365262a a a a S ==-，，则1a 的值为__________.7.若幂函数()a f x x =的图象经过点)12，则其单调递减区间为___________. 8.若函数()sin f x x x ωω= (x ∈R ，0ω>)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小值等于2π，则ω的值为___________. 9.已知函数()2241020ax x x f x x bx c x ⎧--≥⎪=⎨++<⎪⎩，，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D .若AB BC =，则实数t 的值为______________.10.设集合{}1 A a =-，，,2a eB e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（其中e 是自然对数的底数），且A B ≠∅I ，则满足条件的实数a 的个数为_______________.11.已知过原点O 的直线与函数()3xf x =的图象交于A ，B 两点，点A 在点O ，B 之间，过A 作平行于y轴的直线交函数()9xg x =的图象于C 点，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标为_____________.12.设点P 在函数()1e 2xf x =的图象上，点Q 在函数()()ln 2g x x =的图象上，则线段PQ 长度的最小值为__________________.13.设()f x 为偶函数，且当(]20x ∈-，时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--.关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点； ②若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤；③对()1m ∀∈+∞，，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列. 其中，正确命题的序号是_________________.14.已知函数()2211x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是_______________.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知集合{}220A x x x =-->，集合(){}222550B x x k x k =+++<，k R ∈.（1）求集合B ；（2）记M A B =I ，且集合M 中有且仅有一个整数，求实数k 的取值范围. 16.（本小题满分14分） 已知π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，ππ2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=.（1）求sin α的值； （2）求()tan +2βα的值.17.（本小题满分14分）设数列{}n a ，{}n b 的各项都是正数，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对任意N n *∈，都有22n n n a S a =-，1b e =，21n n b b +=，ln n n n c a b =⋅（e 是自然对数的底数）.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T . 18.（本小题满分16分）已知矩形纸片ABCD 中，6,12AB AD ==，将矩形纸片的右下角沿线段MN 折叠，使矩形的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E ，且折痕MN 的两端点M ，N 分别在边,AB BC 上.设,MNB MN l θ∠==，EMN ∆的面积为S .（1）将l 表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；（2）求l 的最小值及此时sin θ的值；（3）问当θ为何值时，EMN ∆的面积S 取得最小值？并求出这个最小值.19.（本小题满分16分）已知函数()y f x =.若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()y f x =的局部对称点.（1）若a ，b ∈R 且a ≠0，证明：函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点；（2）若函数()2xg x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；（3）若函数()12423xx h x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分16分） 已知函数()ln f x x =.（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点； （2）设函数()f x 的图象与函数1ay x x=+-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；（3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围.数学Ⅱ21.本大题共两小题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.B.选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵()001a k A k ⎡⎤=≠⎢⎥⎣⎦的一个特征向量为1k α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的逆矩阵1A －对应的变换将点()3,1变为点()1,1.求实数a ，k 的值.A MBNC DEC.（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==，点M ，N 分别在线段PA 和BD 上，13BN BD =.（1）若13PM PA =，求证：MN AD ⊥； （2）若二面角M BD A --的大小为π4，求线段MN 的长度.23.（本小题满分10分）在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A ”和“B ”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p ，选择错误的概率为q ，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n 道题后总得分为n S ”.（1）当12p q ==时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （2）当13p =，23q =时，求82S =且()01234i S i ≥=，，，的概率.江苏省海安高级中学2020届第二次学测参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1.答案：{}1 2.答案：2z i =- 3.答案：20,210x x x ∀<--≤ 4.答案：565.答案：充分不必要6.答案：-27.答案：()0,+∞8.答案：19.答案：52-10.答案：2 1l.答案：3log 212.)1ln 2-13.答案：①②③14.答案：1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15.（本小题满分14分）解：（1）因为22(25)50x k x k +++<，所以(25)()0x x k ++<. 当52k -<-即52k >时，5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；………………………………………………………2分当52k -=-即52k =时，B =∅；………………………………………………………………4分 当52k ->-即52k <时，5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.……………………………………………………6分 （2）由220x x -->得()(),12,x ∈-∞-+∞U ，…………………………………………8分 当52k -<-即52k >时，M 中仅有的整数为-3， 所以43k -≤-<-，即(]3,4k ∈；………………………………………………………………10分 当52k ->-即52k <时，M 中仅有的整数为-2， 所以23-<-≤时，即[)3,2k ∈-；………………………………………………………………12分 综上，满足题意的k 的范围为[)(]3,23,4-U ………………………………………………14分 16.（本小题满分14分） 解：（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭，所以sin3β===………………………………………………2分又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，从而cos()αβ+===，………………………………4分所以sin sin[()]sin()cos cos()sinααββαββαββ=+-=+-+711933⎛⎛⎫=⨯--=⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………………………………6分（2）由（1）得，1sin,0,32παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故cosα===，所以sintancos4ααα==…………………………………………………………8分因为22222222cos sin1tan222cos cos sin22cos sin1tan222βββββββββ--=-==++，且1cos3β=-，所以221tan1231tan2ββ-=-+，解得2tan22β=，因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而tan02β>，所以tan2β=…………………………………………………………………………12分故tan tan24tan121tan tan122βαβαβα+⎛⎫+===⎪⎝⎭-⋅-………………………………14分17.（本小题满分14分）解：（1）因为0na>，22n n na S a=-，①当1n=时，21112a S a=-，解得11a=；……………………………………………………2分当2n≥时，有21112n n na S a---=-，②由①-②得，()()2211112(2)n n n n n n n na a S S a a a a n-----=---=+≥.而0n a >，所以11(2)n n a a n --=≥，…………………………………………………………4分 即数列{}n a 是公差为1的等差数列，故n a n =………………………………………………6分又因为21n n b b +=，且0n b >，取自然对数得1ln 2ln n n b b +=，又因为1ln ln 1b e ==，所以1ln 2ln n nb b +=， 所以{}ln n b 是1为首项，以2为公比的等比数列，所以1ln 2n n b -=，即12n n b e -=…………………………………………………………………………8分（2）由（1）知，1ln 2n n n n c a b n -==⨯，………………………………………………………10分 所以1221112(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ，③123121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n -⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ，④③减去④得：2112222n nn T n --=++++-⨯L ，所以(1)21nn T n =-⋅+…………………………………………………………………………14分18.（本小题满分16分）解：（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=.故cos ,sin ,cos 2sin cos 2NB l MB ME l AM ME l θθθθθ=====.因为6AM MB +=，所以sin cos2sin 6l l θθθ+=，…………………………………………2分 从而263sin (cos 21)sin cos l θθθθ==+………………………………………………………4分又12BN ≤，6BM ≤，所以124ππθ≤≤，所以23sin cos 124l ππθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭…………………6分 （2）记()2sin cos ,124f ππθθθθ=≤≤，则224()sin cos f θθθ=.记2221cos ,()(1),2x f x x x θθ⎡==-∈⎢⎣⎦.记2()(1)g x x x =-，则2()23g x x x '=-，令21()0,32g x x ⎡'==∈⎢⎣⎦.所以()g x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在22,34⎡⎢⎣⎦上单调递减，………………………………8分故当22cos 3x θ==时l 取最小值，此时sin 3θ=，l .………………10分（3）EMN ∆的面积23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫==⨯≤≤ ⎪⎝⎭，从而2268114sin cos S θθ=⨯设21cos ,1242t t ππθθ⎛⎫=≤≤≤≤ ⎪⎝⎭，………………12分 记323()(1),()34f t t t f t t t '=-=-令3()0,4f t t '==.()f t 在1,234⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,434⎡+⎢⎣⎦上单调递减，故当23cos 4t θ==，记6πθ=时，面积S 取最小值为15分 答：略…………………………………………………………………………………………16分 19.（本小题满分16分）解：（1）由()2f x ax bx a =+-得()2f x ax bx a -=--，代入()()0f x f x -+=得，()()220ax bx a ax bx a +-+--=，………………………………2分 得到关于x 的方程20(0)ax a a -=≠，由于a R ∈且0a ≠，所以1x =±，所以函数()2(0)f x ax bx a a =+-≠必有局部对称点……………………………………………4分（2）方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解，于是222x x c --=+，设12(11),22x t x t =-≤≤≤≤，所以12c t t-=+…………………………………………………6分 令11(),22s t t t t =+≤≤，则221(1)(1)()1t t s t t t -+'=-=，当1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0s t '<，故函数()s t 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 同理函数()s t 在区间()1,2上单调递增，所以1522t t ≤+≤， 所以514c -≤≤-………………………………………………………………………………10分 （3）12()423xx h x m m --+-=-⋅+-，由于()()0h x h x -+=，所以()1212423423x x x x m m m m --++-⋅+-=--⋅+-于是()()()244222230x x x x m m --+-++-=（*）在R 上有解，……………………12分 令22(2)xxt t -+=≥，则2442x x t -+=-，所以方程（*）变为222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解， 需满足条件：()2248402m m ⎧∆=--≥≥即1m m ⎧-≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩得1m ≤≤16分 20.（本小题满分16分）解：（1）令()ln 1g x x x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=. 当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减；所以max ()(1)0g x g ==，所以()g x 的零点为1x =………………………………………………2分（2）因为111222ln 1ln 1a x x x a x x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，所以211221ln ln 1x x a x x x x ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭，………………………………4分要证121a x x x <-，即证211212121ln ln 1x x x x x x x x x ⎛⎫-⋅-<- ⎪-⎝⎭，即证2112ln 1x x x x ⎛⎫>-⎪⎝⎭，令2111,ln 1x t t x t =>>-……………………………………………………6分由（1）知ln 1x x ≤-，当且仅当1x =取等，所以11ln 1t t<-，即1ln 1t t>-，所以原不等式成立.…………………………………………………………………8分 （3）不等式()221ln (1)x x k x -≥-对一切正实数x 恒成立. 因为()()222(1)1ln (1)1ln 1k x x x k x x x x -⎡⎤---=--⎢⎥+⎣⎦…………………………………………10分设222(1)122(1)1()ln ,()1(1)(1)k x k x k x h x x h x x x x x x -+-+'=-=-=+++. 记22()2(1)1,4(1)44(2)x x k x k k k ϕ=+-+∆=--=-， ①当0∆≤，即02k <≤时，()0h x '≥恒成立，故()h x 单调递增.于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故()221ln (1)x x k x ->-， 当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故()221ln (1)x x k x ->-， 又当1x =时，()221ln (1)x x k x -=-.因此当02k <≤时，()221ln (1)x x k x -≥-对一切正实数x 恒成立.…………………………12分 ②当0∆>，即2k >时，设22(1)10x k x +-+=的两个不等实根分别为()3434,x x x x <.又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<.故当()1,1x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在()1,1k -在单调递减；当()1,1x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是()21()0x h x -<，即()221ln (1)x x k x -<-，舍去；…………………………………………………………15分 综上，k 的取值范围是02k <≤.…………………………………………………………16分数学Ⅱ21.本大题共两小题，每小题10分，共计20分. B.选修4-2：矩阵与变换 解：设特征向量为1k α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ， 则0111a k k k λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1ak k k λλ-=⎧⎨=⎩， 因为0k ≠，所以2a =.………………………………………………………………………………5分因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以1311A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即2130111k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以23k +=，解得1k =，综上，2a =，1k =.……………………………………………………………………………………10分 C.（选修4-4：坐标系与参数方程）解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以()0,2为圆心，2为半径的圆，…………………………………………4分 直线方程l的普通方程为1y =+，……………………………………………………………………6分 圆C 的圆心到直线l 的距离12d =，……………………………………………………………………8分 故直线l 被曲线C截得的线段长度为=…………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22.（本小题满分10分）证明：连接,AC BD 交于点O ，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空间直角坐标系.因为PA AB ==，则(1,0,0), (0,1,0), (0,1,0), (0,0,1)A B D P -.（1）由13BN BD =u u u r u u u r ，得10,,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由13PM PA =u u u u r u u u r ，得12,0,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以112,,,(1,1,0)333MN AD ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r . 因为0MN AD ⋅=u u u u r u u u r ，所以MN AD ⊥.…………………………………………………………4分（2）因为M 在PA 上，可设PM PA λ=u u u u r u u u r ，得(,0,1)M λλ-.所以(,1,1),(0,2,0)BM BD λλ=--=-u u u u r u u u r设平面MBD 的法向量(),,n x y z =r ，由00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得20(1)0y x y z λλ-=⎧⎨-+-=⎩， 其中一组解为1,0,x y z λλ=-==，所以可取(1,0,)n λλ=-r ………………………………………8分因为平面ABD 的法向量为()0,0,1OP =u u u r ， 所以cos 4||||n OP n OP π⋅=r u u u r r u u u r，即2=，解得12λ=， 从而111,0,,0,,0223M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6MN ==………………………………………………10分 23.（本小题满分10分）解：（1）ξ的取值为3，-1，1，3，又因为12p q ==；……………………………………………1分 故311(3)28P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，311(3)28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 223113(1)228P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭；223113(1)228P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，…………………………………3分 所以ξ的分布列为：所以()(3)(1)308888E ξ=-⨯+-⨯++⨯=；……………………………………………………5分 （2）当82S =时，即答完8题后，正确的题数为5题，错误的题数是3题，…………………6分 又已知0(1,2,3,4)i S i =≥，第一题答对，若第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对题，………………………………8分此时的概率为()5333658712308803333P C C ⨯⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或802187）.……………………10分。
江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期阶段考试数学试题含解析
2020届高三阶段性检测试题数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚. 参考公式：锥体的体积公式 13V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高.球的体积公式343V R =π球，球的表面积公式24S R π=球，其中R 为球的半径. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}1,0,3A =-，{1,2,3}B =，则A B =_________.【答案】{3} 【解析】由交集的定义{3}A B ⋂=，应填答案{3}．2.已知复数z 满足()12i z i -=+,则复数z 的模为_______.【答案】102【解析】 【分析】由已知得21i z i+=-,将其整理成1322z i =+,即可求出模.【详解】解:由题意知, ()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+所以223211022z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:102. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的模.本题的易错点在于化简时,错把2i 当成了1来计算.3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9.则这组数据的平均数为_______. 【答案】10 【解析】 【分析】代入求解平均数的公式计算即可. 【详解】解:平均数()112810119105=⨯++++=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了平均数的计算.易错点为计算出错. 4.如图，是一个算法的流程图，则输出的b 的值为_______.【答案】4【解析】 【分析】根据流程框图进行循环计算,跳出循环时b 的值即为所求.【详解】解:第一次循环:2,2b a ==;第二次循环:4,3b a ==.此时3a < 不成立 故答案为:4.【点睛】本题考查了程序框图.对于循环结构是常考的题型,一般做法为根据框图,计算每次循环的结果,注意,临界即跳出循环时的计算结果.通常循环框图常和数列求和综合到一块.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则p 的值为_______.【答案】【解析】 【分析】求出双曲线的右焦点),令2p=即可求出p 的值.【详解】解:双曲线2112c =+=,即右焦点为).即抛物线()220y px p =>的焦点为)所以2p=,解得p =.故答案为: 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了抛物线的方程.易错点是误把p 当做了抛物线焦点的横坐标.6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为____． 【答案】0.4 【解析】 【分析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数n 和这2只球颜色相同包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式计算即可．【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n ＝25C ＝10，这2只球颜色相同包含的基本事件个数m ＝2232C C +＝4，∴这2只球颜色相同的概率为p ＝410m n ==0.4． 故答案为0.4．【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题．7.现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______. 【答案】4π 【解析】 【分析】求出圆锥的体积,则由题意,设球的半径为r ,可得34433r π=π,求出球的半径,进而可求球的表面积.【详解】解:由题意知,圆锥的体积为2141433ππ⨯⨯⨯=.设球的半径为r 则34433r π=π,解得1r =.所以表面积244r ππ=.故答案为:4π.【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.8.已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】由639S S =可得()33319S q S +=,进而可求出公比的值,即可求3a 的值.【详解】解:()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+639S S = ()33319S q S ∴+= 解得,2q.所以2314a a q ==.故答案为:4.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n 项和.等比数列问题,一般可采用基本量法进行求解,但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题,一般首先考虑利用性质简化计算.9.已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，1232a e e =+，122b e ke =-()k R ∈，且a ⋅()8ab -=则k 的值为_______.【答案】67- 【解析】 【分析】由题意知()()()121212323228a a b e e e e e ke ⋅-=+⋅+-+=,进而可求k 的值.【详解】解:()()()()()121212121232322322a a b e e e e e ke e e e k e ⋅-=+⋅+-+=+⋅++⎡⎤⎣⎦()()()()221122733822+338cos60221182e k e e k e k k k =++⋅+=++++=+=. 解得67k =-. 故答案为:67-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题,若题目中无向量的坐标,则在求数量积时,一般套用定义求解;若题目中已知了向量的坐标,求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:280C x y x ++-=,直线():1,l y k x k R =-∈过定点A ，与圆C 交于点,B D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC ∆的周长为_______. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意得1,0A ,圆心为()1,0C -,半径为3r =,由平行可知EA EDCB CD=,化简后可得EA CE r +=,进而可求三角形的周长.【详解】解:当1x = 时,0y = 与k 无关,则1,0A .圆()2222:2819C x y x x y ++-=++=所以,圆的圆心为()1,0C -,半径为3r =.则由题意知,ED r CE =-EA 与CB 平行 EA ED CB CD ∴= 即 EA r CEr r-= EA CE r ∴+= 则AEC ∆的周长235AC AE CE AC r =++=+=+=. 故答案为:5.【点睛】本题考查了直线过定点的问题,考查了圆的标准方程.本题的关键在于,由平行得比例关系.若联立直线与圆的方程,求解各点的坐标,这种思路也可以求出最后答案,但计算量太大.11.如图，已知两座建筑物,AB CD 的高度分别为15m 和9m ，且AB BC CD >>，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角为CAD ∠，测得6tan 13CAD ∠=，则,B C 间的距离_______m .【答案】12 【解析】 【分析】由()tan tan 6BC BAD DAC BAC ∠==∠+∠,可得613156611315BC BC BC +=-⨯,进而可求,B C 间的距离.【详解】解:由题意知()tan tan 6BC BCBAD DAC BAC AB CD ∠===∠+∠-6tan tan 1315661tan tan 11315BCBC DAC BACBCDAC BAC +∠+∠==-∠⨯∠-⨯,整理得22391800BC BC -+= ,解得12BC =或152BC =.9BC CD >=，12BC ∴=故答案为:12.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用.难点在于已知正切值的使用.有的同学可能由正切值求出正弦和余弦,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解.由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大,因此这种思路计算量较大,效率不高而且容易做错. 12.设曲线()0+1my m x =>在,1x t t =≠-处的切线为l ，则点()2,1P t -到l 的最大距离为_______.【解析】 【分析】求出切线方程为()2120mx t y mt m ++--=,从而则()2,1P t - 到l 的距离可用t 表示出来,结合基本不等式即可求解. 【详解】解:()2'1my x =-+ ()21l mk t ∴=-+ 则切线方程为()()211m m y x t t t -=--++ 整理得()2120mx t y mt m ++--=.则()2,1P t - 到l 的距离()()()()()242224222212121111t m m t m d m m t t t ++++===++++++ ()()222121m t m t ++≥+,当且仅当()()22211m t t +=+即1t =± 时等号成立2112d ∴≤+=即d ≤故答案为.【点睛】本题考查了切线的求解,考查了点到直线的距离,考查了基本不等式.求最值常见的思路有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.本题的难点是对距离进行变形整理. 13.已知函数3cos()2y x ππ=+，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】31326t <≤或52t > 【解析】 【分析】由诱导公式可知3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,令m x π=,结合函数图像,讨论最大值为12和1两种情况,进而求出t 的取值范围. 【详解】解:3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 令m x π=.则由55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭可得5,6m t ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则5sin ,,6y m m t ππ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭.要使其既有最小值又有最大值 若最大值为12 则31326t πππ<≤,解得31326t <≤若最大值为1,则52t ππ>,解得52t >.综上所述: 31326t <≤或52t >. 故答案为:31326t <≤或52t >. 【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.14.已知函数1()1f x x =-，11()(())k k f x f f x +=，5k ≤，k *∈N .若函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点，则k 的取值集合为_______. 【答案】{3,5} 【解析】 【分析】由题意写出12345(),(),(),(),()f x f x f x f x f x 的解析式,根据图像的平移变换,分别画出它们的图像,判断哪个函数图像与ln y x = 图像有三个交点,即为所求.【详解】解:由题意知1()1f x x =-,2()11f x x =--,3()111f x x =---,4()1111f x x =----,5()11111f x x =-----.则其函数图像为由图像可知,当3k =或5时, 函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点. 故答案为: {3,5}.【点睛】本题考查了函数的图像变换,考查了函数的零点.若函数()()()f x g x h x =-,则函数()f x 的零点个数就等同于函数(),()g x h x 图像的交点个数.本题的难点是画含绝对值的函数图像.对于()y f x =,首先画出()y f x = 的图像,然后将x 轴下方的图像向上翻折即可;对于()y f x = 的图像,首先画出()y f x = 的图像,然后将y 轴右侧向左翻折. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15.在平面直角坐标系xOy 中，设向量()()[]3sin ,sin ,cos ,sin ,0,a x x b x x x π==∈.（1）若a b =，求x 的值；（2）求a b ⋅的最大值及取得最大值时x 的值. 【答案】(1)6π或56π;(2)最大值32,3x π=. 【解析】 【分析】(1)求出||,||a b ,由||||a b =可得1|sin |2x =,结合[0,]x π∈可求出所求. (2) 1sin 262a b x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭,结合[0,]x π∈和正弦函数的图像,即可分析出最值及取得最大值时x 的值.【详解】解:(1)因为(3sin ,sin ),(cos ,sin )a x x b x x == 所以2222||3sin sin 2|sin |,||cos sin 1a x x x b x x =+==+=因为||||a b =,所以1|sin |2x =.因为[0,]x π∈,所以1sin 2x =于是6x π=或56π. (2)23sin cos sin a b x x x ⋅=+311sin 2cos 222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为[0,]x π∈,所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,于是113sin 22622x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭. 所以当226x ππ-=,即3x π=时,a b ⋅取最大值32. 【点睛】本题考查了向量的模,考查了向量的数量积,考查了三角恒等变换,考查了三角函数的最值.对于()sin y A ωx φ=+ 型的函数,在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时,一般都是采取整体的思想进行计算.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ； （2）平面1EDB ⊥平面1B BD .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)取1B D 的中点F ,连,OF EF ,通过证明//AC EF 从而证明线面平行.(2)通过AC BD ⊥,1B B AC ⊥推出1EF BB ⊥,EF BD ⊥,从而证明EF ⊥平面1B BD ,进而可证面面垂直.【详解】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =.在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点 所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF . 又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD , 所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 正方形所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD . 又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了面面垂直的判定.线面平行或者面面平行的判定,一般都归结为证明线线平行;线面垂直或者面面垂直的判定,一般都归结为证明线线垂直.此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明,有时也可以建立空间直角坐标系,运用空间向量证明平行和垂直.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 两点分别为椭圆22221,0x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点，且7AB =，右准线l 的方程为4x =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A 的直线交椭圆于另一点P ，交l 于点Q .若以PQ 为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程.【答案】(1)22143x y +=0y --=0y +-=.【解析】 【分析】(1)由右准线l 的方程为4x =以及AB =可列出方程组22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩解得即可求出椭圆的方程.(2) 设PQ 的方程为(2)y k x =-,与椭圆方程联立,求出2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭;联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩可得(4,2)Q k ,由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=,从而可求出k =进而可求直线的方程.【详解】解:(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >.由题意得22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩,解得224,3a b ==.所以椭圆的标准方程为:22143x y +=.(2)由题意得直线PQ 不垂直于x 轴,设PQ 的方程为(2)y k x =-联立22(2),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 得()2222431616120k x k x k +-+-=.又直线PQ 过点(2,0)A ,则方程必有一根为2,则228643P k x k -=+. 代入直线(2)y k x =-,得点2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩,所以(4,2)Q k .又以PQ 为直径的圆过原点,所以OPOQ ⊥.则222228612824420434343k k k OP OQ k k k k ---⋅=⋅+⋅==+++,解得23k =,所以3k =±. 所以直线PQ 的方程为3230x y --=或3230x y +-=.【点睛】本题考查了椭圆的准线方程,考查了椭圆的性质,考查了直线与椭圆相交问题,考查了向量的数量积.本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用.一般若题目中已知圆过某点,则一般等量关系为:圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直.18.下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，20,10,AB m BC m ==120ABC ∠=.拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉.设,EB x EF y ==（单位：m ）.（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）试确定点,E F 的位置，使直路EF 的长度最短.【答案】(1)E 是AB 的中点;(2)2222525010100001001020x x x y x x x ⎧-+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩;(3) 当2.5EB m =,7.5FC m =时,EF 最短,其长度为53.【解析】 【分析】 (1)由14BEC ABCD S S ∆=可知1124EB h AB h ⋅=⋅,从而证明E 是AB 的中点. (2)求出平行四边形的面积为1003ABCDS=,进而可求253EBF S ∆=从而用x 可将BF表示出来,利用余弦定理即可得到y 关于x 的函数关系式.(3)当 010x ≤<,由二次函数的性质可求最值;当1020x ≤≤时,由基本不等式可求最值. 【详解】解:(1)当点F 与点C 重合时,由题设知,14BEC ABCDS S ∆=.于是1124EB h AB h ⋅=⋅,其中h 为平行四边形AB 边上的高. 得12EB AB =,即点E 是AB 的中点.(2)因为点E 在线段AB 上,所以020x ≤≤.当1020x ≤≤时,由(1)知 点F 在线段BC 上.因为20,10,120AB m BC m ABC ︒==∠=所以sin 20102ABCDSAB BC ABC =⋅⋅∠=⨯⨯=.由1sin1202EBF S x BF ︒∆=⋅⋅=,100BF x=.所以EBF ∆中,由余弦定理得y EF ===当010x ≤<时,点F 在线段CD 上,由1()10sin 602EBCF S x CF ︒=+⨯⨯=四边形得10CF x =-.当BE CF ≥时,EF =当BE CF <时,EF =化简均为y EF ==综上,0101020x y x ⎧≤<=≤≤. (3)当010x ≤<时,y ==于是当52x =时,min y =,此时15102CF x =-=. 当1020x ≤≤时,y =≥=当且仅当22100=00x x ，即10x =时，取等号 综上： 当E 距点 2.5B m ，F 距点7.5C m 时，EF最短，其长度为.【点睛】本题考查了函数模型的应用,考查了余弦定理,考查了基本不等式.本题的易错点是没有讨论自变量的取值,从而造成了漏解.求最值时,常用的方法有:导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.19.已知函数()y f x =的定义域为D ，若满足,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥，则称函数()f x 为“L 型函数”.（1）判断函数xy e =和ln y x =是否为“L 型函数”，并说明理由；（2）设函数()(1)ln (1)ln ,0f x x x x a a =+-->，记()g x 为函数()f x 的导函数. ①若函数()g x 的最小值为1，求a 的值； ②若函数()f x 为“L 型函数”，求a 的取值范围.【答案】(1)xy e =不是,ln y x =是,理由见解析;(2)①a e =;②20a e <≤.【解析】 【分析】(1)分别求出两个函数的定义域,判断,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥即可. (2) ①求出1()()ln 1ln ,(0,)g x f x x a x x'==++-∈+∞,再求()g x ',通过导数探究当x 取何值时,()g x 取最小值,令最小值为1,即可求出a 的值.②由题意(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥恒成立,分别讨论当20a e <≤和2a e >时,通过探究()f x 的单调性判断是否使得不等式恒成立,从而求出a 的取值范围.【详解】解:(1)对于函数xy e =,定义域为R ,显然000e e ⋅≥不成立,所以xy e =不是“L 型函数”;对于函数ln y x =,定义域为(0,)+∞.当01x <<时,ln 0x <,所以(1)ln 0x x ->,即ln ln x x x >; 当1x ≥时,ln 0x ≥,所以(1)ln 0x x -≥,即ln ln x x x ≥.所以(0,)x ∀∈+∞,都有ln ln x x x ≥.所以函数ln y x =是“L 型函数”. (2)①因为11()()ln ln ln 1ln ,(0,)x g x f x x a x a x x x+'==+-=++-∈+∞ 所以22111()x g x x x x-'=-=.当(0,1)x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在(0,1)上为减函数;当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. 所以min ()(1)2ln g x g a ==-.所以2ln 1a -=,故a e =. ②因为函数()(1)ln (1)ln f x x x x a =+--为“L 型函数”,所以(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥(*). (ⅰ)当2ln 0a -≥,即20a e <≤时,由①得()0g x ≥,即()0f x '≥. 所以()f x 在(0,)+∞上增函数,又(1)0f =,当(0,1)x ∈时,()0f x <所以(1)()0x f x ->;当[1,)x ∈+∞时,()0f x ≥,所以(1)()0x f x -≥. 所以(0,)x ∀∈+∞,适合(*)式.(ⅱ)当2ln 0a -<,即2a e >时,(1)0g <,1()10g a a=+>. 所以由零点存在性定理得0(1,)x a ∃∈,使()00g x =,又()g x 在(1,)+∞上为增函数 所以当()01,x x ∈时,()0<g x ,所以()f x 在()01,x 上为减函数又(1)0f =,所以当()01,x x ∈时,()0f x <,所以(1)()0x f x -<,不适合(*)式. 综上得,实数a 的取值范围为20a e <≤.【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于最后一问,学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题. 20.已知数列{}n a 的首项为1，各项均为正数，其前n 项和为n S ，112n nn n na a S a a ++=-,n *∈N .（1）求2a ,3a 的值;（2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）设数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=，求证：111ni ib =≥∑. 【答案】(1)22a =,33a =;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)令1,2n n == 即可求出2a ,3a 的值; (2)由112n n n n na a S a a ++=-得1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥-两式相减进行整理可得11(2)n n n n a a a a n +--=-≥,即可证明{}n a 为等差数列.(3)由(2)可知1n n b b n +=,11(2)n n b b n n -=-≥两式相减整理得111(2)n n nb b n b +-=-≥,则当2n ≥时,12111231111111nn n i i n b b b b b b b b b b +==++++=--++∑,通过放缩即可证明; 当1n =时,111b ≥.从而可证.【详解】解:(1)令1n =得,211212a a S a a =-,又11a =,解得22a =;令2n =得,122322a a S a a =-,即()1123222a a a a +=-,从而33a =. (2)因为112n n n n na a S a a ++=- ①;所以1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥- ② ①-②得,11112n n n n n n n n n a a a aa a a a a +-+-=---.因为数列{}n a 的各项均为正数,所以0n a >.从而11112n n n n n n a a a a a a +-+-=---.去分母得,()()()()1111112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +----+--=---化简并整理得,21120n n n n n a a a a a +--+=,即112(2)n n n a a a n --=+≥,所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥.所以数列{}n a 为等差数列.(3)由(2)知,1n n b b n += ③.当1n =时,211b b =,又11b =,所以21b =. 由③知,11(2)n n b b n n -=-≥ ④.③-④得,111(2)n n n n b b b b n +--=≥ 即()111(2)n n n b b b n +--=≥,依题意,0n b ≠,所以111(2)n n nb b n b +-=-≥.当2n ≥时,112311111ni inb b b b b ==++++∑ 31425321111n n n n b b b b b b b b b b b -+-=+-+-+-++-+-12111n n b b b b b +=--++ 121n n b b +≥-21n a =-,当1n =时,111b ≥,原不等式也成立.综上得,1121nn i ia b =≥-∑. 【点睛】本题考查了由递推公式求项,考查了等差数列的定义,考查了放缩法,考查了数列求和.本题难点在于整理出111(2)n n nb b n b +-=-≥,从而对所证式子进行化简.涉及到n S 和n a 的递推公式时,一般代入公式11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 进行求解.Ⅱ（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21～23题）.本卷满分为40分，考试时间为30分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号.3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.21.已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】【解析】 【详解】设则即此直线即为则..22.在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离. 【答案】5 【解析】 【分析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论.【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为224x y +=表示圆，13sin 3,sin cos 332πρθρθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 360x y -+=，圆C 上点P 到直线l 2225(3)1+=+.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23.设a,b,c 为正实数，6a b c ++=1233a b c ++. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据柯西不等式()()()2222222112233123123x y x y x y x x x y y y ++≤++++，将原式进行配凑并结合已知条件6a b c ++=加以计算，即可得证；【详解】证明：因为a,b,c 为正实数，6a b c ++=，所以)22111=+ ()()1211127a b c ≤++++++=33，当且仅当==，即3a =，2b =，1c =时取等号，33，得证；【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .【答案】（1）35；（2）分布列见解析，期望为213125． 【解析】分析：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 所以, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=(2) X 的所有可能值为0,1,2,3,计算其对应概率即可.详解：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=， 解得35p =. (2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3,且()()240125P X p ==-=, ()()211P X p p ==- ()()2411125p p p +--=， ()3273125P X p ===， 故()()210P X P X ==-= ()()5413125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望()242125E X =+⨯ 54272133125125125+⨯=. 点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现“至多”“至少”等其他关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算.25.设4124k k S a a a =+++（*N k ∈），其中{}0,1i a ∈（1,2,,4i k =）．当4k S 除以4的余数是b （0,1,2,3b =）时，数列124,,,k a a a 的个数记为()m b ． （1）当2k =时，求()1m 的值；（2）求()3m 关于k 的表达式，并化简．【答案】（1）64；（2）()2134k m -=【解析】分析】 （1）（1）根据定义，确定条件：8个数的和除以4的余数是1，因此有1个1或5个1，其余为0，从而158864m C C =+=；（2）个数的和除以4的余数是3，因此有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0，()37114144443k k k k k m C C C C -=++++，再根据组合数性质即可化简求值. 【详解】（1）当2k =时，数列123,,,,n a a a a 中有1个1或5个1，其余为0，所以158864m C C =+=． （2）依题意，数列124,,,k a a a 中有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0，所以()37114144443k k k k k m C C C C -=++++．同理，得()1594344441k k k k km C C C C -=++++． 因为()4443,7,11,,41i k i k k C C i k -==-，所以()()13m m =．又()()13943414144444132k k k k k k k km m C C C C C ---+=+++++=， 所以()4221324k k m --==【点睛】本题考查组合数的性质，组合数的运算，属中档题.。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期模拟考试数学试题解析版
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期模拟考试数学试题一、填空题1．已知全集2,1,0,1,{}2U ＝﹣﹣，集合2,,}1,{1A ＝﹣﹣则UA ＝_____．【答案】{}0,2【解析】根据补集的定义求解即可. 【详解】解：2,1,0,1,2{}{,2,1,1,}U A ＝﹣﹣＝﹣﹣ {}0,2U A ∴＝．故答案为{}0,2． 【点睛】本题主要考查了补集的运算,属于基础题.2．已知复数()()1z i a i =⋅+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为_____． 【答案】1﹣【解析】利用复数的乘法求解z 再根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】解：复数()()()111z i a i a a i ⋅+++＝﹣＝﹣为纯虚数, 10,10,a a ∴+≠＝﹣解得1a =﹣． 故答案为：1﹣． 【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题. 3．数据1,3,5,7,9的标准差为_____．【答案】【解析】先计算平均数再求解方差与标准差即可. 【详解】解：样本的平均数1357955x ++++==,∴这组数据的方差是()()()()()222222115355575955S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 28,S ∴＝标准差22S ＝, 故答案为：22 【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题. 4．函数()12x f x =-的定义域是__________． 【答案】(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.5．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的32m 种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____． 【答案】14π【解析】求解32m 占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可. 【详解】解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率221224ππ==⨯⨯．故答案为：14π． 【点睛】本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.6．如图是一个算法伪代码，则输出的i 的值为_______________.【答案】5【解析】执行循环结构流程图，即得结果. 【详解】执行循环结构流程图得9123410S =----=-<,结束循环，输出415i =+=. 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210y x b b-=>经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．【答案】3x ±＝ 【解析】代入()3,4求解得b ,再求准线方程即可. 【详解】解：双曲线()22210y x b b-=>经过点()3,4,221631b∴=﹣,解得22b ＝,即b ．又1,a ∴＝c ==故该双曲线的准线方程为：3x ±＝ ．故答案为：3x ±＝． 【点睛】本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.8．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396,,S S S 成等差数列，则258a a a +的值为_____． 【答案】2【解析】设等比数列{}n a 的公比设为,q 再根据396,,S S S 成等差数列利用基本量法求解,q 再根据等比数列各项间的关系求解258a a a +即可. 【详解】解：等比数列{}n a 的公比设为,q396,,S S S 成等差数列,可得9362,S S S +＝若1,q ＝则1111836,a a a +＝ 显然不成立,故1,q ≠则()()()9361111112111a q a q a q qqq---⋅=+---,化为6321,q q +＝解得312q ＝﹣,则43251176811112214a a a q a q qa a q q -+++====故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题.9．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是______.（写出所有正确命题的序号） ①因为当3x π=时，2sin sin 3x x π⎛⎫+≠⎪⎝⎭，所以23π不是函数sin y x =的周期； ②对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③“M N >”是“22log log M N >”成立的充分必要条件； ④若实数a 满足24a <，则2a ≤. 【答案】①②④.【解析】由周期函数的定义判断①；由偶函数的概念判断②；由充分必要条件的判定判断③；求解一元二次不等式判断④. 【详解】 因为当3x π=时，2sin sin 3x x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以由周期函数的定义知23π不是函数sin y x =的周期，故①正确；对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，由偶函数的定义知函数()f x 不是偶函数，故②正确；由M N >，不一定有22log log M N >，反之成立，则“M N >”是“22log log M N >”成立的必要不充分条件，故③错误；若实数a 满足24a <，则22a -≤≤，所以2a ≤成立，故④正确. ∴正确命题的序号是①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题. 10．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．【答案】43【解析】画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可. 【详解】解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为2的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,∴此四棱锥S ABCD ﹣中,ABCD 是边长为2的正方形,SAD 是边长为2的等边三角形,故CD AD ⊥,又CD SD ⊥,AD SD D ⋂= 故平面SAD ⊥平面ABCD ,∴SAD 的高SE 是四棱锥S ABCD ﹣的高, ∴此四棱锥的体积为:112233ABCD V S SE ⨯=⨯⨯=正方形＝故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意11．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线与圆22210C x x y a ++：﹣﹣＝存在公共点，则实数a 的取值范围为_____．【答案】(][)0,12,+∞【解析】利用导数的几何意义可求得函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可. 【详解】解：由条件得到()1'f x a x=- 又()()1,'11f a f a =-=-所以函数在1x ＝处的切线为()()()1111y a x a a x ＝﹣﹣-＝﹣﹣, 即()110a x y ﹣﹣﹣＝ 圆C 方程整理可得：()221x y a -+= 即有圆心()1,0C 且0a ＞ 所以圆心到直线的距离d ==≤,≤解得2a ≥或01≤＜a , 故答案为：(][)0,12,+∞．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.12．已知函数()32,f x ax bx cx ++＝若关于x 的不等式()0f x ＜的解集是()(),10,2∞⋃﹣﹣，则b ca+的值为_____． 【答案】3-【解析】根据题意可知20ax bx c ++＝的两根为1,2-,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解b ca+即可. 【详解】解：因为函数()()322f x ax bx cx x ax bx c =++=++,关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),10,2-∞-⋃20ax bx c ∴++＝的两根为：1﹣和2；所以有：()12ba +﹣=-且()12c a⨯﹣=； b a ∴＝﹣且2c a ＝﹣；23b c a aa a+--∴==-； 故答案为：3﹣ 【点睛】本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.13．在边长为4的菱形ABCD 中，60,A ︒＝点P 在菱形ABCD 所在的平面内．若3,PA PC ＝PB PD ⋅=_____．【答案】1-【解析】以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设(),P x y ,根据3,PA PC ＝P 的坐标,进而求得PB PD ⋅即可.【详解】解：连接,,AC BD 设,AC BD 交于点,O 以点O 为原点, 分别以直线,OC OD 为,x y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则：()23,23()0202()(),A C B D --，，,，,， 设(),P x y321,PA PC ==,((2222392321x y x y ⎧++=⎪∴⎨⎪-+=⎩①﹣②得,312,x =-解得3x =, 32y ∴=±, 332P ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭或332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,显然得出的PB PD ⋅是定值,∴取332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则3731,,,2222PB PD ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 37144PB PD ∴⋅=-=-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.14．设函数()21722,04,k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，()43g x k x ⎛⎫⎪⎝⎭＝-，其中0k >．若存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】17[3,6] 【解析】根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数x 使得()()f x g x <数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】解：函数()21722,04,0k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩,且0,k ＞ 画出()f x 的图象如下：因为()43g x k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,且存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <, 故()g x 与()f x 在0x <时无交点,174k k +∴≥,得173k ≥； 又()43g x k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,()g x ∴过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭又由图像可知,若存在唯一的整数x 使得()()f x g x <时43x >,所以2x ≥ ()()58533939g k f ≥≥=＝,∴存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <所以()()22243g k f =≤=6k ⇒≤ ()()844163g k f ∴≤=＝6k ⇒≤.根据图像可知,当4x ≥时, ()()f x g x >恒成立.综上所述, 存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <,此时1763k ≤≤ 故答案为：17[3,6] 【点睛】本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭右边的整数点中3x =为满足条件的唯一整数,再数形结合列出2,4x =时的不等式求k 的范围.属于难题.二、解答题15．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线,AC BD 交于点,O M 为棱PD 的中点，MA MC =．求证：（1）//PB 平面AMC ； （2）平面PBD ⊥平面AMC ． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】(1) 连结,OM 根据中位线的性质证明//PB OM 即可. (2) 证明AC BD ⊥,AC PD ⊥再证明AC ⊥平面PBD 即可.【详解】解：()1证明：连结,OMO 是菱形ABCD 对角线AC BD 、的交点,O ∴为BD 的中点, M 是棱PD 的中点, //,OM PB ∴OM ⊂平面,AMC PB ⊄平面,AMC//PB ∴平面,AMC()2解：在菱形ABCD 中,,AC BD ⊥且O 为AC 的中点,,MA MC ＝AC OM ∴⊥, OM BD O ⋂＝, AC ∴⊥平面,PBD AC ⊂平面AMC ,∴平面PBD ⊥平面AMC ．【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.16．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知tan ,tan ,tan A B C 成等差数列，cos cos ,cos A C B 成等比数列． （1）求A 的值；（2）若ABC 的面积为1,求c 的值． 【答案】（1）4A π＝；（2）3c ＝【解析】(1)根据,,tanA tanB tanC 成等差数列与三角形内角和可知()tanC tan A B =-+,再利用两角和的正切公式,代入2,tanB tanA tanC +＝化简可得22tan tan tan 3A B A -=,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的性质可求得2tanAtanB ＝,联立即可求解求A 的值.(2)由(1)可知2,tan 3tanB C =＝,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得b ,再结合ABC 的面积为1,利用面积公式求解即可. 【详解】解：()1,,tanA tanB tanC 成等差数列, 可得2,tanB tanA tanC +＝ 而()1tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +=-+-＝,即tan tan 2tan tan tan tan 1A BB A A B +-=-,展开化简得222tan tan 2tan tan tan tan A B B A B B --=,因为tan 0B ≠,故 22tan tan tan 3A B A -=①又cosA cosB 成等比数列,可得()cosAcosB cosC cos A B sinAsinB cosAcosB +＝＝-＝-, 即2sinAsinB cosAcosB ＝, 可得2,tanAtanB ＝②联立①②解得1tanA ＝（负的舍去）, 可得锐角4A π＝；()2由()1可得2,3tanB tanC ＝＝,由sin 2cos BtanB B ＝＝22,1,sin B cos B B +＝为锐角,解得5sinB ＝,因为sin 3cos C tanC C =＝22,1,sin C cos C C +＝为锐角,故可得sinC ,由正弦定理可得sin2253sin10c Bb c cC==＝,又ABC的面积为1,可得21122212232bcsinA c⋅⋅=＝,解得3c＝．【点睛】本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且300AB=米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为502米．开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ．设2AOPθ∠=．（1）用θ表示线段,PQ并确定sin2θ的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．【答案】（1）502300sincosPQθθ-＝2sin21θ<≤；（2）6.【解析】(1)过点Q作QH AB⊥于点,H再在AOP中利用正弦定理求解AP,再根据sin2QHAQπθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝求解AQ,进而求得PQ.再根据0PQ>确定sin2θ的范围即可.(2)根据(1)有150232cosPQ sinθθ⎫=-⎪⎭,再设()132cosf sinθθθ=-,求导分析函数的单调性与最值即可. 【详解】 解：()1过点Q 作QH AB ⊥于点,H 则502QH ＝在AOP 中,150,2OA OP AOP θ∠＝＝＝,2OAP πθ∴∠-＝, 由正弦定理得：sin 2sin 2OP APπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭,300AP sin θ∴＝,502cos sin 2QH AQ πθθ∴=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝, 502==300cos PQ AP AQ sin θθ∴--, 5023000cos PQ sin θθ->＝,因为cos 0θ>, 化简得2sin 213θ<≤ ()2502130050232cos PQ sin sin θθθ⎫=-⎪⎭＝, 令()132cos fθθθ=-2sin 21θ<≤,且2(0,)θπ∈, ()22sin tan '32cos 32cos cos f θθθθθθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222sin cos tancoscosθθθθθ⎛⎫+⎪=⎪⎝⎭()()23cos tan1tan cos tan tanθθθθθθ⎡⎤=+=-⎣⎦因为(0,)2πθ∈,故cos0θ>令'()0,fθ＝即3tan tan0θθ+-=,230(,)tan tanθθθ∴+=记000,2tanθθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,当00θθ＜＜时,()()'0,f fθθ>单调递增；当02πθθ＜＜时,()()'0,f fθθ<单调递减,又233sinθ=>,∴当tanθ时,()fθ取最大值,此时33sin cosθθ,1c osPQθθ⎫=-=⎪⎭PQ∴的最大值为【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点,O焦点在x轴上，右顶点()2,0A到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为12．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若,M N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设()4,0P-，连接PM交椭圆C 于另一点E．求证：直线NE过定点,B并求出点B的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于,S T两点，求OS OT⋅的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明详见解析，()1,0B -；（3）54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)根据题意列出关于,,a b c 的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,再设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立直线与椭圆的方程, 进而求得NE 的方程,并代入11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝化简分析即可.(3)先分析过点B 的直线ST 斜率不存在时OS OT ⋅的值,再分析存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x +＝,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入3434OS OT x x y y ⋅=+求解出关于k 的解析式,再求解范围即可. 【详解】解：()1设椭圆C 的标准方程()222210,x y a b a b+=>>焦距为2c ,由题意得,2,a ＝由212a c c a a a c-==-,可得1,c ＝则2223b a c ＝﹣＝,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；()2证明：根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,由题意可知直线PM 的斜率存在, 设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立22(4)143y k x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y 得到()2222433264120k x k x k +++﹣＝, 设点1122(,),(,)M x y E x y ,则11(,)N x y ﹣． 所以22121222326412,4343k k x x x x k k -+=-=++,所以NE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--,令0,y ＝得()221221y x x x x y y -==+,将11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝代入上式并整理,()121212248x x x x x x x ++=++,整理得()()2222128241281322432k k x k k --==--++,所以,直线NE 与x 轴相交于定点(1,0)B -．()3当过点B 的直线ST 的斜率不存在时,直线ST 的方程为1x =-331,1,22S T ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,, 此时54OS OT ⋅=-, 当过点B 的直线ST 斜率存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x =+,且3344(,),(,)S x y T x y 在椭圆C 上,联立方程组22(1)143y m x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y ,整理得22224384120m x m x m +++（）﹣＝, 则()()()()22222844341214410mmm m ++＝﹣﹣＝＞．所以223434228412,,4343m m x x x x m m -+=-=++ 所以()()()222343434324439111m y y m x x m x x x m x =++=++=-++, 所以()2342342451253344343m OS OT x x y m m y +⋅=+=-=-++-, 由20,m ≥得54,4OS OT ⎡⎫⋅∈--⎪⎢⎣⎭,综上可得,OS OT ⋅的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.19．已知函数()212ax f x bx+＝，其中0,0a b >>．（1）①求函数()f x 的单调区间； ②若12,x x 满足)1,2i x i =>，且1220,0x x x >+>．求证：()()122f x f x b>+ ． （2）函数()2ln 12g x ax x -＝．若12,x x ⎛∈ ⎝对任意，12,x x ≠都有()()()()1212||||f x f x g x g x ->-，求b a -的最大值．【答案】（1）①单调递增区间⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎭，单调递减区间⎛ ⎝；②详见解析；（2）116. 【解析】(1)①求导可得()221,02ax f x x bx-'=≠,再分别求解()0f x '>与()0f x '<的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.②根据(1)中的结论,求出()()122f x f x +的表达式,再分10x ＜与1>0x 两种情况,结合函数的单调性分析()()122f x f x +的范围即可.(2)求导分析()2ln 12g x ax x -＝的单调性,再结合()f x 单调性,设12,x x <去绝对值化简可得()()()()11220[]f x g x f x g x ---＞,再构造函数()()()M x f x g x ＝﹣,x⎛∈ ⎝,根据函数的单调性与恒成立问题可知10≥,再换元表达b a -求解最大值即可. 【详解】解：()()2211,02ax f x x bx -'=≠,由()0f x '>可得x>或x <由()0f x '<可得x<<故函数的单调递增区间⎛-∞ ⎝,⎫+∞⎪⎭,单调递减区间⎛ ⎝；1220,0x x x +②＞＞,10x ∴＞或10x ＜,若10x ＞,因为i x ,故1x ＞2x由①知f x （）在⎫+∞⎪⎭上单调递增,()()1223f x f x f b b +=>＞, 若10,x ＜由1x 可得1x <x 1, 因为1220,0x x x +＞＞, 所以21x x ＞﹣, 由f x ①（）在⎫+∞⎪⎭上单调递增,()()()()()1211122f x f x f x f x f x ++-->＞=综上()()122f x f x +． ()20x＜时,()2110axg x ax x x -'=-=<,g x （）在⎛ ⎝上单调递减,不妨设12,x x ＜ 由(1)()f x 在⎛ ⎝上单调递减,由()()()()1212f x f x g x g x ->-, 可得()()()()1212f x f x g x g x ->-, 所以()()()()11220[]f x g x f x g x ---＞,令()()()M x f x g x ＝﹣,x ⎛∈ ⎝, 可得M x （）单调递减, 所以()()()222211211022ax bx ax M x ax bx x bx---'=-+=≤在⎛ ⎝上恒成立, 即120bx ≥﹣在⎛ ⎝上恒成立,即10≥,所以b ≤,2111241616b a a ⎫≤-=-+≤⎪⎭﹣ ,所以b a ﹣的最大值116． 【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.20．已知{}{}{},,n n n a b c 都是各项不为零的数列，且满足1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n c 是公差为()0d d ≠的等差数列．（1）若数列{}n a 是常数列，2d =，23c =，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n a n λ=λ（是不为零的常数），求证：数列{}n b 是等差数列； （3）若11a c d k ===（k 为常数，*k N ∈），()2,*n n k b c n n N +≥∈=．求证：对任意112,*,n n n n b b n n N a a ++≥∈>的恒成立． 【答案】（1）43n b n -＝；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】(1)根据2d =,23c =可求得n c ,再根据{}n a 是常数列代入1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈根据通项与前n 项和的关系求解{}n b 即可.(2)取1n =,并结合通项与前n 项和的关系可求得11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝再根据1n n n a S S -=-化简可得1n n n S d nc nb λλ+﹣＝,代入()112n n n S λ--=化简即可知()1332n n b n b d --=≥,再证明2132b b d -=也成立即可. (3)由(2) 当2n ≥时,11()n nn n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,代入所给的条件化简可得1,n n S ka ﹣＝()11n n n n S S a k a ++﹣＝＝,进而证明可得11n n k a a k-+=,即数列{}n a 是等比数列.继而求得21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,再根据作商法证明11n n n n b b a a ++>即可. 【详解】()1解：22,3,d c ＝＝21n c n ∴＝﹣．{}n a 是各项不为零的常数列,12,n a a a ∴⋯＝＝＝则1n S na ＝,则由1122n n n n c S a b a b a b ++⋯+＝,及21,n c n＝﹣得()1221n n n b b b ++⋯+﹣＝, 当2n ≥时,()()121123n n n b b b ++⋯+﹣﹣﹣＝,两式作差,可得43n b n＝﹣． 当1n ＝时,11b ＝满足上式,则43n b n＝﹣； ()2证明：1122n n n n a b a b a b c S ++⋯+＝,当2n ≥时,11221111n n n n a b a b a b c S ++⋯+﹣﹣﹣﹣＝,两式相减得：11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝ 即()()11111,n n n n n n n n n n n n n n S a c S c a b S c c a c a b ++﹣﹣﹣﹣﹣﹣＝﹣＝．即1n n n S d nc nb λλ+﹣＝．又()112n n n S λ--=,()12n n n n d nc nb λλλ-∴+=,即12n n n d c b -+=． ∴当3n ≥时,1122n n n d c b ---+=,两式相减得：()1332n n b n b d --=≥．∴数列{}n b 从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当1n ＝时,由1111,S c a b ＝得11c b ＝,当2n ＝时,由22112113222b d c d c d b d -=+=++=+,得2132b b d -=． 故数列{}n b 是公差为32d 的等差数列；()3证明：由()2,当2n ≥时,()11n n n n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,即()1n n nn S d a b c ﹣＝﹣, n n k b c +＝,n n b c kd ∴+＝,即n n b c kd ﹣＝, 1•,n n S d a kd ∴﹣＝即1n n S ka ﹣＝． ()11n n n n S S a k a ∴++﹣＝＝,当3n ≥时,()111,n n n S k a ka +﹣﹣＝＝即11n n k a a k-+=． 故从第二项起数列{}n a 是等比数列,∴当2n ≥时,221n n k a a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．()()()22111n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +++-+=+-+=+＝＝＝．另外,由已知条件可得()1221122a a c a b a b ++＝, 又()2122,,2c k b k b k k +＝＝＝,21a ∴＝,因而21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令nn nb d a =, 则()()()()()11111111101n n n n n n n k k n k d b a nd a k k b n +++-=++-=-=-+++<+． 故对任意的2,*,n n N ≥∈11n n n n b b a a ++>恒成立． 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前n 项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.21．已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值24λ=的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求矩阵A .【答案】2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A 【详解】由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=，即11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1,1.a b c d -=-⎧⎨-=⎩同理可得3212,328.a b c d +=⎧⎨+=⎩解得2a =，3b =，2c =，1d =.因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos {sin x y αα== （α为参数）．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【答案】（1）2214x y +=，4x y +=（2）max 2d = 【解析】【详解】试题分析：利用cos ,sin x y ρθρθ==将极坐标方程化为直角坐标方程：cos()4πρθ-=ρcosθ＋ρsinθ＝4，即为x ＋y ＝4．再利用点到直线距离公式得：设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离2d =≤试题解析：解：cos()4πρθ-=化简为ρcosθ＋ρsinθ＝4，则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4．设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离2d =≤，d max ＝2． 【考点】极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式 23．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值.【答案】1【解析】试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++试题解析：因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=， 所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++⎪+++⎝⎭33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ≥⋅+++=+++，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===．【考点】柯西不等式24．如图，在正四棱锥P ABCD ﹣中，底面正方形的对角线,AC BD 交于点O 且12OP AB ＝．（1）求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角B PD C --的大小． 【答案】（16（2）60︒. 【解析】(1) 以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为2,再求解BP 与平面PCD 的法向量,继而求得直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值即可.(2)分别求解平面BPD 与平面PDC 的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可. 【详解】解：()1在正四棱锥P ABCD ﹣中,底面正方形的对角线,AC BD 交于点,O 所以OP ⊥平面,ABCD 取AB 的中点,E BC 的中点,F 所以,,OP OE OF 两两垂直,故以点O 为坐标原点,以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系．设底面正方形边长为2, 因为1,2OP AB ＝所以1,OP ＝所以()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1B C D P ﹣﹣﹣, 所以()1,1,1BP ＝﹣﹣,设平面PCD 的法向量是(),,n x y z =,因为()0,2,0CD =-,()1,1,1CP =﹣, 所以20CD n y ⋅=-＝,0CP n x y z ⋅+＝﹣＝,取1,x ＝则0,1y z ＝＝﹣, 所以()1,0,1n =- 所以6,BP n cos BP n BP n⋅=＜＞＝所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为63． ()2设平面BPD 的法向量是(),,n x y z =,因为()1,1,1BP ＝﹣﹣,()-2,-2,1BD =,所以0,BP n x y z ⋅+＝﹣﹣＝220BD n x y ⋅＝﹣﹣＝,取1,x ＝则1,0,y z ＝﹣＝ 所以()1,1,0n =-,由()1知平面PCD 的法向量是()1,0,1n =-,所以12m ncos m n m n ⋅＜,＞＝＝ 所以,60m n ︒＜＞＝,所以锐二面角B PD C ﹣﹣的大小为60︒． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.25．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1,1﹣构成且其中1﹣有m 个，1有p 个()3m p +≥，则称{}n a 为“(),m p ﹣数列”．（1）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a ＝的取法有多少种？（2）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“(),m p ﹣数列”{}n a 中的任意三项，则存在多少正整数(),m p 对使得1100,m p ≤≤≤且1i j k a a a =的概率为12. 【答案】（1）16；（2）115.【解析】(1)易得使得1i j k a a a ＝的情况只有“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“1,1,1﹣﹣”共有21m p C C 种,“1,1,1”共有3P C 种.再根据古典概型的方法可知213312m p pm pC C C C ++=,利用组合数的计算公式可得()()2232320pm p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝,当p m =时根据题意有()(),,,2,3,4,{},100m p k k k ∈⋯=,共99个；当2232320p p mp mm +﹣﹣﹣﹣＝时求得()232m p +＝,再根据1100,m p ≤≤≤换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.【详解】解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”, 其中“1,1,1﹣﹣”共有：213412C C ＝种, “1,1,1”共有：344C =种,利用分类计数原理得：(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项,则使得1i j k a a a ＝的取法有：12416+＝种．（2）与(1)同理,“1,1,1﹣﹣”共有21m p C C 种, “1,1,1”共有3P C 种,而在“(),m p ﹣数列”中任取三项共有3m p C +种,根据古典概型有：213312m p pm pC C C C ++=, 再根据组合数的计算公式能得到：()()2232320pm p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝, p m ①＝时,应满足11003m p m p p m ≤≤≤⎧⎪+≥⎨⎪=⎩,()(),,,2,3,{,}4,100m p k k k ∴∈⋯=,共99个,2232320p p mp m m +②﹣﹣﹣﹣＝时,应满足221100332320m p m p p p mp m m <≤<⎧⎪+≥⎨⎪--+--=⎩,视m 为常数,可解得()232m p +±＝,1,m ≥5≥,根据p m ≥可知,()232m p ++＝,1m ≥,5≥,根据p m ≥可知,()232m p ++＝,（否则1p m≤﹣）,下设k则由于p 为正整数知k 必为正整数,1100m ≤≤, 549k ∴≤≤,化简上式关系式可以知道：()()21112424k k k m -+-=＝, 1,1k k ∴+﹣均为偶数, ∴设()*21,k t t N +∈＝,则224,t ≤≤()211246t t k m +-∴=＝, 由于,1t t +中必存在偶数,∴只需,1t t +中存在数为3的倍数即可,2,3,5,6,8,9,11,,23,24t ∴⋯＝, 5,11,13,,47,49k ∴⋯＝．检验：()()()23114850100,22424m k k p ++-++=≤＝＝ 符合题意,∴共有16个,综上所述：共有115个数对(),m p 符合题意． 【点睛】本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意。
江苏海安市高级中学2020年春高二数学下学期期末考试卷附答案解析
江苏海安市高级中学2020年春高二数学下学期期末考试卷一、单项选择题1．已知()312i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1010B ．105C ．22D ．522．已知全集U R =，集合{}22A x x x =>，则 UA =（ ）A ．[]0,2B ．()0,2C ．(],2-∞D ．(),2-∞3．在打气球的游戏中，某人每次击中气球的概率是45，则这人3次射击中恰有1次击中气球的概率为（ ） A ．1625B ．48125C ．12125D ．4254．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．22y x =±C ．32y x =±D ．2y x =±5．已知2a =，1b =，且()()22a b a b -⊥+，则向量a 与b 的夹角余弦值是（ ） A ．32B ．23C ．12-D ．32-6．()()621x x ++展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．55B ．40C ．35D ．157．已知()log m f x x =，其中512m -=，已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 2a f θθ+⎛⎫= ⎪⎝⎭，()sin cos b fθθ=-，sin 2sin cos c f θθθ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b ≤≤B ．b c a ≤≤C ．c b a ≤≤D ．a b c ≤≤8．在三棱锥P ABC -中，2AB =，AC BC ⊥，D 为AB 中点，2PD =，若该三棱锥的体积的最大值为23，则其外接球表面积为（ ）A ．5πB ．4912πC ．649πD ．254π二、多项选择题9．下列说法中，正确的命题是（ ）A ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()240.2P X <<= B ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =D ．若样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为8，则数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2 10．关于函数()sin cos f x x x =+()x R ∈，如下结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 的值域是0,2⎡⎤⎣⎦C ．函数()f x 的图象关于直线x π=对称D ．函数()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．直线BM平面11ADD AB ．平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C ．异面直线1AD 与11A C 所成的角为60︒ D ．1MB MD +的最小值为512．已知函数()f x 对任意x R ∈都有()()()422f x f x f +-=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的1x ，()20,2x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的周期4T =C ．()20220f =D ．()f x 在()4,2--单调递减三、填空题13．某单位在6名男职工和3名女职工中，选取5人参加义务献血，要求男、女职工各至少一名，则不同的选取方式的种数为______.（结果用数值表示） 14．已知sin sin sin sin 122ππαβαβ⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2αβ-=______. 15．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且()2*324n n n a a S n N +=+∈，则5a =______.16．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,1A ，()1,0B ，过平面上一点(),P x y 作直线AB 的垂线，垂足为Q ，且满足：3OQ AB ⋅=，则实数,x y 满足的关系式是______，若点P 又在动圆()()2228x a y a -+++=()*a N ∈上，则正整数a 的取值集合是______.四、解答题17．在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且()tan 2tan b A c b B =-. （1）求A 的大小；（2）若213a =，且ABC △的 面积为123，求b c +的值.18．在①2a ，3a ，44a -成等差数列；②1S ，22S +，3S 成等差数列；③12n n a S +=+中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且______. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的通项公式1211n n n n b a a +=-+-，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．一副标准的三角板如图1中，ABC ∠为直角，60A ∠=︒，DEF ∠为直角，DE EF =，且BC DF =，把BC 与DF 重合，拼成一个三棱锥，如图2.设M 是AC 的中点，N 是BC 的中点. （1）求证：BC ⊥平面EMN ；（2）在图2中，若4AC =，二面角E BC A --为直二面角，求直线EM 与平面ABE所成角的正弦值.20．一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等.某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗Ⅰ期和Ⅱ期临床试验.Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与1ml/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：接种成功 接种不成功总计（人）0.5ml/次剂量组 28 8 36 1ml/次剂量组 33 3 36 总计（人）611172（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关？（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以X 表示这2人中接种成功的人数，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++附表：()20P K k ≥0.40 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 0k0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63510.82821．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”.过椭圆上一点M 作x 轴的垂线交其“伴随圆”于点N （M 、N 在同一象限内），称点N 为点M 的“伴随点”.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>上的点33,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的“伴随点”为()3,1.（1）求椭圆E 及其“伴随圆”的方程；（2）求OMN △面积的最大值，并深圳市此时“伴随点”N 的坐标；（3）已知直线:0l x my t --=与椭圆E 交于不同的,A B 两点，若椭圆E 上存在点P ，使得四边形OAPB 是平行四边形.求直线l 与坐标轴围成的三角形面积最小时的22m t +的值.22．已知函数()2ln f x x x ax =+-，()221x g x xe x =+-. （1）求曲线()y g x =在()()0,0g 处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调区间；（3）若不等式()()f x g x ≤对任意0x >成立，求实数a 的取值范围.高二数学参考答案1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．CD 10．ACD 11．ACD 12．ABC 13．120 14．1 15．11216．30x y --=；{}1,217．解：（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：()2sin sin sin sin sin cos cos C B B B A A B -⋅= 在ABC △中，0B π<<，0C π<< ∴sin 0B ≠，sin 0C ≠∴()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=- 即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A += ∴()sin 2sin cos A B C A += 即sin 2sin cos C C A = 又sin 0C ≠ ∴1cos 2A =又0A π<< ∴3A π=（2）∵13sin 12324ABC S bc A bc ===△ ∴48bc =由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+- ∴()222523b c bc b c bc =+-=+- ∴()234852196b c +=⨯+= ∴14b c +=18．解：设等比数列的公比为()0q q >， （1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以32424a a a =+-，所以234224q q q =+-，又0q > 解得2q =，所以2n n a =.选②：因为1S ，22S +，3S 成等差数列， 所以()21322S S S +=+，即234a a +=，所以2242q q +=，又0q >，解得2q =，所以2n n a =. 选③：因为12n n a S +=+，所以2124a S =+=，则212a q a ==，所以2n n a =. （2）因为2n n a =，()()()1111221212212121212121nn n n nn nn n nn b ++++---==-+--+----()11122121212122nn n n n n n+++---==----则12...n n S b b b =+++()()()2132121212121...2121n n +=---+---++---1211n +=--19．解：（1）证明：设BC 中点为N ，连结MN ，EN . ∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点， ∴MNAB ，∵AB BC ⊥， ∴MN BC ⊥，∵BE EC ⊥，BE EC =，N 是BC 的中点， ∴EN BC ⊥， 又MN BC ⊥，MN EN N =，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，∴BC ⊥平面EMN .（2）由（1）可知：EN BC ⊥，MN BC ⊥， ∴ENM ∠为二面角E BC C --的平面角 又二面角E BC C --为直二面角∴90ENM ∠=︒以NM ，NC ，NE 分别为x ，y ，z ，如图建立空间直角坐标系N xyz -. ∵4AC =，则2AB =，23BC =，3NE =由()0,0,3E ，()1,0,0M ，则()1,0,3EM =-又()0,3,0B -，()2,3,0A -，()0,0,3E ，则()0,3,3BE =，()2,0,0BA =设(),,m x y z =为平面ABE 的一个法向量，则m BE m BA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即0,m BE m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,330,x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1z =-∴()0,1,1m =-为平面的一个法向量 设直线EM 与平面ABE 所成的角为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭36sin cos ,422m EM m EM m EMθ⋅==== 所以直线EM 与平面ABE 所成的角的正弦值为6420．解：（1）0.5ml/次剂量组（低剂量）接种成功的概率为287369= 1ml/次剂量组（中剂量）接种成功的概率为33113612= ∵117129>∴1ml/次剂量组（中剂量）接种效果好 由22⨯列联表得()2272283833 2.68 3.261113636k ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.没有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关. （2）X 得可能取值为0，1，2()2121091210854P X ==⨯==()71211291912912108P X ==⨯+⨯=()711772912108P X ==⨯=X 得分布均为X 012P154 29108 77108()12977183610125410810810836E X =⨯+⨯+⨯== 21．解：因为椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点33,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，伴随圆222x y a +=过点()3,1，所以222331431a b a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得：23b =，∴椭圆E 的方程为22143x y +=；伴随圆的方程为224x y +=. （2）设(),m M m y ，(),n N m y ，则22143m y m +=，224n m y +=； 2211343224OMN n m S m y y m m m =⋅-=⋅---△ ()2222213232344442244m m m m m m m --=⋅---=⋅-=- 22223423422m m ⎛⎫-+--≤= ⎪⎝⎭当且仅当224m m =-，即2m =±时，等号成立.此时()2,2N ±±.（3）由题意可设()11,A x y ，()22,B x y .联立22143x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2223463120m y mty t +++-=，则()2248340m t =+->△. 由韦达定理得：122634mty y m +=-+ ()12121228234tx x my t my t m y y t m +=+++=++=+因为四边形OAPB 是平行四边形， 所以()12122286,,3434t mt OP OA OB x x y y m m -⎛⎫=+=++= ⎪++⎝⎭. 又点P 在椭圆E 上，所以()()222222264361434334t m t m m +=++，整理得22434t m =+.在直线l ：0x my t --=中，由于直线l 与坐标轴围成三角形，则0t ≠，0m ≠. 令0x =，得ty m=-，令0y =，得x t =. 所以三角形OAB 面积为21134141334328882OABt m S t m m m m ⎛⎫+=⋅-==+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 当且仅当243m =，22t =时，等号成立，此时0>△.且有22103m t +=， 故所求22m t +的值为103. 22．解：（1）()01g =()2222x x g x e xe x '=++∴()01k g '==∴切线的方程为1y x =-（2）()21212x ax f x x a x x-+'=+-=①当280a -≤即2222a -≤≤时，2210x ax -+≥在()0,+∞恒成立，即()0f x '≥在()0,+∞恒成立，则()f x 的增区间为()0,+∞②当280a ->且02a >即22a >时， 令()0f x '>，得2804a a x --<<或284a a x +-> 令()0f x '<，得228844a a a a x --+-<< ∴()f x 的增区间为280,4a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，28,4a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭； 减区间为2288,44a a a a ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭③当280a ->且02a <即22a <-时，2210x ax -+>在()0,+∞恒成立， 即()0f x '>在()0,+∞恒成立，∴()f x 在()0,+∞上单调递增 综上：当22a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞； 当22a >时，()f x 的增区间为280,4a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，28,4a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭； 减区间为2288,44a a a a ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭（3）2ln max maxln 1ln 12x x x xe x e x a x x ⎛⎫⎛⎫+-+-+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令()1x F x e x =--，则()1x F x e '=-当0x <时，()0F x '<，()F x 单调递减；当0x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；当0x =时，()F x 有极小值也是最小值()10F =∴()()10F x F ≥=，即1xe x ≥+ ∴ln 2ln 21x x e x x +≥++（令()ln 1F x x x =-+，则()111x F x x x-'=-= 当01x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；当1x >时，()0F x '<，()F x 单调递减当1x =时，()F x 有极大值也是最大值()10F =∴()()10F x F ≤=，即ln 1x x ≤-∴ln 2ln 2ln 1x x x x e e ++≤-，即ln 2ln 21x x x x e ++≤-，即ln 2ln 21x x x x e +++≤） ∵()2ln 2ln 1ln 21ln 1ln 12x x x x x x x xe x e x x x++-+++-+-=≤=- 当且仅当ln 20x x +=取等号， ∴2maxln 12x x xe x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭， ∴2a ≥-。
2020届江苏省海安高级中学高三12月月考数学试题含答案
阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ． 4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．S ←0For i From 1 To 10 Step 1 S ←S ＋1i (i ＋1)End For Print S（第4题）D 1CD 1B11C EBPN13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知△ABC 的面积为3()18AC AB CB ?=u u u r u u u ru u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和(1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r at =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．FDP（第16题）18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(61，2． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21nn n n a a b a +++=（*n ∈N ）．（1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的x∈(t，t＋a)，f (x)＜a－1．数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】1011 5. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】79 10. 【答案】1 240 11. 【答案21 12. 【答案】9 13．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，于是AC 32=. ……8分因为△ABC 的面积为3193sin 2CA CB C ?， 即1π9332sin 23CB 鬃，解得6 2.CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得()()2222212cos 32622326254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以3 6.AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF //平面PA D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33． 所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面PA C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，． 03361010x +=03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故()2236992AB --+= …… 5分答：水上旅游线AB 的长为92． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号， 因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c ，所以223121 2 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，，①易得直线MA 的方程为：0042y y y x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()02020208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+， 所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+． 因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f’(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e ，列表分析x (0，1e ) 1e (1e ，＋∞)g ’(x ) － 0 ＋ g (x ) 单调递减单调递增g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e －a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0， 故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0， f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分 （3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分 证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增， 且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由x (1，x 0) x 0 (x 0，1＋a )f’(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减单调递增知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)，所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)．即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增． 所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ． 补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4－2：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……10分B ．解：因为A ( 1，π3 )，B ( 9，π3)，所以线段AB 的中点坐标为(5，π3)， ……2分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， ……6分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)． …… 8分所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． ……10分C ．证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2)≤4(|a |＋2)． ……10分22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz 则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， ……2分 （1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2， 0)， 则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2； …… 5分（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0， 即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …… 8分 又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……10分 23．(本小题满分10分)解：（1）S 1＝C 11a 1＝1，S 2＝C 12a 1＋C 22a 2＝3． ……2分（2）记α＝1＋52，β＝1－52．则S n ＝15∑n i ＝1C i n (αi －βi )＝15∑n i ＝0C i n (αi －βi )＝15(∑n i ＝0C i n αi －∑n i ＝0C i n βi)PA BD （第22题） xy z＝15[(1＋α)n －(1＋β)n ]＝15[(3＋52)n －(3－52)n ]． ……6分因为(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n － (3－52)n]}＝3S n ＋1－S n ．所以存在=3λ，使得213n n n S S S +++=恒成立． ……10分。
【精准解析】江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期阶段考试数学试题
3
3
故答案为: 4 .
【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据
题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.
8.已知等比数列 an 的前 n 项的和为 Sn , a1 1, S6 9S3 ,则 a3 的值为_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
由 S6 9S3 可得 S3 q3 1 9S3 ,进而可求出公比的值,即可求 a3 的值. 【详解】解: S6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a1 a2 a3 a1q 3 a2q 3 a3q 3 S3 q 3 1 S6 9S3 S3 q3 1 9S3 解得, q = 2 .所以 a3 a1q2 4 .
参考公式：锥体的体积公式 V锥体
1 Sh ，其中 S 为锥体的底面积， h 为高.球的体积公式 3
V球
4 3
R3 ，球的表面积公式
S球
4
R2
，其中
R
为球的半径.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合 A 1, 0,3 ， B {1, 2,3}，则 A B _________.
【答案】 {3}
【解析】
由交集的定义 A B {3}，应填答案{3} ．
2.已知复数 z 满足 1 i z 2 i ,则复数 z 的模为_______.
【答案】 10 2
【解析】
【分析】
由已知得
z
2i 1i
,将其整理成
z
1 2
3 2
i
,即可求出模.
【详解】解:由题意知,
z
江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试题(解析版)
江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知集合A ＝{﹣1，0，2}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }，则A ∩B 中元素的个数为_____． 『答案』1『解析』∵A ＝{﹣1，0，2}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }， ∴A ∩B ＝{﹣1}，∴A ∩B 中元素的个数为1． 故答案为：1．2.已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 1•z 2是纯虚数，则a 的值为_____． 『答案』-4『解析』∵z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i ，∴12(12)(2)4(22)z z i a i a a i ⋅=-+=++-， 又z 1•z 2是纯虚数，∴40220a a +=⎧⎨-≠⎩，解得：a ＝﹣4．故答案为：﹣4．3.从集合{}1,2,3中随机取一个元素，记为a ，从集合{}2,3,4中随机取一个元素，记为b ，则a b ≤的概率为_______． 『答案』89『解析』从集合{}1,2,3中随机取一个元素，记为a ，从集合{}2,3,4中随机取一个元素，记为b ，则(,)a b 的事件数为9个，即为(1,2),(1,3),(1,4)，(2,2),(2,3),(2,4)，(3,2),(3,3),(3,4)， 其中满足a b ≤的有(1,2),(1,3),(1,4)，(2,2),(2,3),(2,4)，(3,3),(3,4)，共有8个， 故a b ≤的概率为89. 4.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．『答案』100.『解析』由题意得，三等品的长度在区间[)10,15，[)15,,20和[]35,40内， 根据频率分布直方图可得三等品的频率为()0.01250.02500.012550.25++⨯=， ∴样本中三等品的件数为4000.25100⨯=.5.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．『答案』1011『解析』由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 6.命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a )＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是 . 『答案』(－∞,－4)『解析』对于命题A ：∵|x －1|＜3，∴-2<x <4,要使A 是B 的充分而不必要条件,则a <2,-a >4,即实数a 的取值范围是(－∞,－4)7.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为________. 『答案』12π『解析』设圆锥的半径为r ，则侧面积为15215,32r r ππ⨯⨯==，4=，所以圆锥的体积为2134123ππ⨯⨯⨯=． 故答案为12π8.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ． 『答案』，，.『解析』，故，由解得9.在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，﹣1），B （﹣3，﹣4）两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且10OC =C 的坐标是_____． 『答案』（﹣1，﹣3）『解析』由题意OA =（0，﹣1），是一个单位向量， 由于OB =（﹣3，﹣4），故OB 方向上的单位向量e =（35，45-），∵点C 在∠AOB 的平分线上，∴存在正实数λ使得OC = ()OA e λ+＝34,155λ⎛⎫--- ⎪⎝⎭）＝39,55λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵10OC =2981102525λ⎛⎫⋅+=⎪⎝⎭，解得53λ=代入得得()1,3OC =-- 故答案为：()1,3--.10.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）（n ∈N *），且a 2＝11，则S 20的值为_____． 『答案』1240『解析』由S 2＝a 1+a 2＝2a 2﹣3×2（2﹣1），a 2＝11，可得a 1＝5． 当n ≥2时，由S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）＝n （S n ﹣S n ﹣1）﹣3n （n ﹣1）， 可得（n ﹣1）S n ﹣nS n ﹣1＝3n （n ﹣1），∴131n n S S n n --=-，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项151S =，公差为3的等差数列， ∴2020S =5+3×19＝62， ∴S 20＝1240. 故答案为：1240.11.如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．『答案』『解析』如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE ，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B =∠BFC =75°，∠FCB =30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF 所以AB 的取值范围.12.已知函数f（x）12211222x xx xxx⎧+-⎪⎪⎪=---≤-⎨⎪≤-，＞，，，若f（t）≥f（1t），则实数t的取值范围是_____．『答案』)[)1⎡⋃+∞⎣，．『解析』根据函数f（x）的解析式作出其图象，如图所示．①当x>f（x）是增函数，若()1f t ft⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则112ttt⎧≥⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，解得：t≥1；②当x2≤-时，()f x=若()1f t ft⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则12t≤-，解得：0t≤<；综上①②所述，实数t的取值范围是)[)1⎡⋃+∞⎣，故答案为：)[)1⎡⋃+∞⎣，．13.在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2，y＝y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为_____．『答案』18+π『解析』由x＝x1+x2，y＝y1+y2，得x1＝x﹣x2，y1＝y﹣y2，∵（x1，y1）∈A，∴把x1＝x﹣x2，y1＝y﹣y2，代入x2+y2≤1，∴（x﹣x2）2+（y﹣y2）2≤1点集Q所表示的区域是以集合B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}的区域的边界为圆心轨迹半径为1的圆内部分，如图，其面积为：5+6+4+3+π＝18+π故答案为：18+π．14.设函数f（x）＝（2x﹣1）e x﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是_____．『答案』『32e，1）∪23532e e⎛⎤⎥⎝⎦，『解析』令g （x ）＝（2x ﹣1）e x ，h （x ）＝a （x ﹣1），∵()(21)2(21)x x xg x x e e x e '=-+=+，∴当21x <-时，()0g x '<，则函数g （x ）在（﹣∞，12-）上单调递减； 当12x >-时，()0g x '>，则函数g （x ）在（12-，+∞）上单调递增； 而g （﹣1）＝﹣3e ﹣1，g （0）＝﹣1； 因为存在唯一的整数x 0使得f （x 0）＜0． 即（2x 0﹣1）e x ＜a （x 0﹣1）．所以结合图形知：()()()011100a g h h ⎧>⎪-≥-⎨⎪-<<⎩或()()()()2233h g h g ⎧>⎪⎨≤⎪⎩ 即：103210a e a a -⎧⎪-≥-⎨⎪--⎩＞＜＜或23325a e a e ⎧>⎨≤⎩解得32e ≤a ＜1或3e 2＜a 352e ≤； 故答案为：『32e ，1）∪23532e e ⎛⎤⎥⎝⎦，．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知函数()2222x x x f x cossin ⎫=-⎪⎭． （1）设θ∈『0，π』，且f （θ）=1，求θ的值；（2）在△ABC 中，AB ＝1，f （C ）=1，且△ABC sin A +sin B 的值．解：（1）()2sin sin 2cos 26x f x x x x x π⎛⎫=-=-=++ ⎪⎝⎭由f （θ）1=，∴2cos 16πθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， ∴1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵θ∈『0，π』，∴（θ6π+）∈『6π，76π』，∴θ6π=．（2）由f （C ）=+1，C ∈（0，π），由（1）可得：C 6π=．由△ABC ，∴122=ab sin 6π，∴=ab由余弦定理可得：1＝a 2+b 2﹣2ab cos6π，可得：a 2+b 2＝7，联立解得：a ＝2，b =b ＝2，a =∴2+=a b ． ∴12sinA sinB sinC a b c ===．∴sin A +sin B 12=（a +b ）＝1+． 16.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC ，BD 相交于点O ，EF ∥AB ，EF 12=AB ，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF ＝CF ，G 为BC 的中点，求证：（1）OG ∥平面ABFE ；（2）AC⊥平面BDE．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴O是AC中点，∵G为BC的中点，∴OG∥AB，∵OG⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，∴OG∥平面ABFE．（2）连接FG、EO，∵四边形ABCD菱形，AC，BD相交于点O，∴AC⊥BD，O是AC中点，∵G为BC的中点，∵EF∥AB，EF12=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，∵EO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDE．17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗能量为E＝cv n T，其中v为行进时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．（1）求T关于v的函数关系式；（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；②当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4km/h，即为v﹣4，则200T=v﹣4，即T2004v=-，（v＞4）；（2）①当能量次级数为2时，由（1）知2004Tv=-，v＞4，是的22004v E c v =⋅=-()2[44]2004v c v -+⋅=-()16200484c v v ⎡⎤-++⎢⎥-⎣⎦ ≥200c 『8』＝3200c ，当且仅当v ﹣4164v =-，即v ＝8km /h 时取等号， ②当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，v ＞4，则()2226200(4)v v E c v -'=⋅-，由0E '=，解得v ＝6，即当v ＜6时，0E '<，当v ＞6时，0E '>， 即当v ＝6时，函数E 取得最小值为E ＝21600c ．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的焦距F 1F 2的长为2，经过第二象限内一点P （m ，n ）的直线22mx nya b+=1与圆x 2+y 2＝a 2交于A ，B 两点，且OA = （1）求PF 1+PF 2的值； （2）若AB •1283F F =，求m ，n 的值．解：（1）∵OA=a =∵把点P （m ，n ）代入直线方程22mx ny a b +=1，可得：2222m n a b+=1，∴点P 在椭圆上， ∴PF 1+PF 2＝2a ＝．（2）由a =c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立22212x y mx ny ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，化为：（4n 2+m 2）x 2﹣4mx +4﹣8n 2＝0，∴x 1+x 22244m n m =+，x 1x 2222484n n m -=+．∵AB 1283F F ⋅=，∴（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）•（2，0）83=， 化为2（x 2﹣x 1）83=，即x 2﹣x 143=， ∴212()x x +-4x 1x 2169=， 代入可得：()22222224481616(4)49n m n m n m --=++， 化为：56n 4+10n 2m 2﹣36n 2﹣m 4＝0， 又222m n +=1， 把m 2＝2﹣2n 2代入化为8n 4﹣2n 2﹣1＝0，解得m 2＝1，n 212=． ∵点P 在第二象限，∴取m ＝﹣1，n 2=． 19.已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ．（1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）；（2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，kπ）（k ∈N *）上恰有2015个零点，求k 的值． 解：（1）函数 f （x ）的最小正周期为π．（2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1），令t =，t ∈『1』，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()(21f x t at t t μ==-≤≤，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()(221f x v t t at t ==+-≤≤， ∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v==，∵()11v a =-，v =，∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -；当1a >--()f x .（3）当a ＝1时，f （x ）sin 21x =-，若f （x ）＝0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+，∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π』时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π，π， ∴2015＝2×1007+1，∴k ＝1008．20.已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，S n =λa n ﹣μ．记数列{a n }中任意两不同项的和构成的集合为A ． （1）证明：无穷数列{a n }为等比数列，并求λ的值；（2）若2015∈A ，求μ的值；（3）对任意的n ∈N *，记集合B n ={x |3μ•2n ﹣1＜x ＜3μ•2n ，x ∈A }中元素的个数为b n ，求数列{b n }的通项公式．（1）证明：∵S n =λa n ﹣μ．当n ≥2时，S n ﹣1=λa n ﹣1﹣μ，∴a n =λa n ﹣λa n ﹣1，λ≠1，∴， ∴数列{a n }为等比数列，∵各项均为正整数，则公比=为正整数，λ为正整数，∴λ=2．（2）解：由（1）可得：S n =2a n ﹣μ，当n =1时，a 1=μ，则a n =μ•2n ﹣1，∴A ={μ（2i ﹣1+2j ﹣1）|1≤i ＜j ，i ，j ∈N *}， ∵2015∈A ，∴2015=μ（2i ﹣1+2j ﹣1）=μ•2i ﹣1（1+2j ﹣i ）=5×13×31，∵j ﹣i ＞0，则1+2j ﹣i 必为不小于3的奇数，∵2i ﹣1为偶数时，上式不成立，因此必有2i ﹣1=1，∴i =1，∴μ（1+2j ﹣1）=5×13×31，只有j =3，μ=403或j =7，μ=31时，上式才成立，∴μ=31或403．（3）解：当n ≥1时，集合B n ={x |3μ•2n ﹣1＜x ＜3μ•2n ，x ∈A }，即3μ•2n ﹣1＜μ（2i ﹣1+2j ﹣1）＜3μ•2n ，1≤i ＜j ，i ，j ∈N *．B n 中元素个数，等价于满足3×2n ＜2i +2j ＜3×2n +1的不同解（i ，j ），若j ＞n +2，则2i +2j ≥2i +2n +3=2i +4×2n +1＞3×2n +1，矛盾．若j ＜n +2，则2i +2j ≤2i +2n +1≤2n +2n +1=3×2n ，矛盾．∴j =n +2，又∵（21+2n +2）﹣3×2n =2+4×2n ﹣3×2n =2+2n ＞0，∴3×2n ＜21+2n +2＜22+2n +2＜…＜2n +1+2n +2=3×2n +1，即i =1，2，…，n 时，共有n 个不同的解（i ，j ），即共有n 个不同的x ∈B n ，∴b n =n （n ∈N *）．『选做题』请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.『选修4-2：矩阵与变换』21.在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵()02cos sin A sin cos θθθπθθ-⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对应的变换，再将所得曲线作矩阵()10010B k k ⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对的变换．若连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求,k θ的值． 解：先对曲线C 作矩阵()02cos sin A sin cos θθθπθθ-⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对应的变换，再将所得曲线作矩阵()10010B k k ⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对的变换， 故得到连续实施两次变换所得到的变换矩阵为：10cos sin cos sin 0sin cos sin cos BA k k k θθθθθθθθ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以01cos sin 1sin cos 02k k θθθθ-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 根据矩阵相等定义得到，cos 0sin 11sin 2cos 0k k θθθθ=⎧⎪-=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩，解得212k πθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 『选修4-4：坐标系与参数方程』22.在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的坐标为19(,(,)2222A B 线段AB的中点为5(2A，AB k =故线段AB中垂线的斜率为1AB k k -==， 所以AB的中垂线方程为：5)2y x -=-化简得：100x +-=，所以极坐标方程为cos sin 100ρθθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：y =的距离为d == 线段8AB =，故ABC ∆的面积为182S =⨯= 『选修4-5：不等式选讲』23.已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+． 证明：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+ 2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b =+-+()22a b a a b =+-++22a b a a b ≤++++()22222244242a a a a ≤++=+=+≤+,得证.24.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值;（2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.解：(1)以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则A (1，0，0)，11022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E 111442⎛⎫⎪⎝⎭，，， 于是111442DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||DECD DE CD ⋅⋅＝6.所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为 （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . ………8分 由D 1E ＝λEO ，则E ()()121211λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭，，，DE =()()121211λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭，，.10分又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0.得 ()()22220021211y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .12分 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得2λ＝ ．25.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分. （1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ；（2）求恰好得到()*n n ∈N 分的概率.解：（1）所抛5次得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===， 其分布列如下105555115()22i i E iC ξ-===∑ （2）令n P 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次反面．因为“不出现n 分”的概率是1n P -，“恰好得到1n -分”的概率是1n P -， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1112n n P P --=， 即1212()323n n P P --=--． 于是23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以121213236P -=-=-为首项，以12-为公比的等比数列． 所以1211()362n n P --=--，即11[2()]32n n P =+-． 恰好得到n 分的概率是11[2()]32n +-．。
江苏省海安高级中学2020届高三12月月考数学试卷
学试题参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ．4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为▲ ．（第4题）11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC 的面积为93，且()18AC AB CB ?=u u u r u u u ru u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和(1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ．（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ONFD P（第16题）AOBPQMN（第17题）的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，其离心率．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】10115. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】79 10. 【答案】1 24011. 1 12. 【答案】9 13．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. (4)分因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，于是AC 32=. ……8分因为△ABC 的面积为3193sin 2CA CB C ?， 即1π9332sin 23CB 鬃，解得6 2.CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得()()2222212cos 32622326254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以3 6.AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF //平面PA D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33．所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ． 所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面PA C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，． 由03361010x +=03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--， 由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故()2236992AB =--+ …… 5分答：水上旅游线AB 的长为92． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， (10)分当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t－6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上． (13)分答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c ，所以223121 2 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分 所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++．……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()020200208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+， 所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+． 因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， (12)分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f’(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (3)分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －a x，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e，列表分析x(0，1e )1e (1e，＋∞) g ’(x ) － 0 ＋ g (x ) 单调递减单调递增g (x )min ＝g (1e)＝－1e－a ， (5)分而f’(1e )＝ln 1e－a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e2＝1e2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点； 综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e2)． (10)分（3）存在1t ：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． (11)分证明如下：由（2）得g (x )在(1e，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由x (1，x 0) x 0(x 0，1＋a )f’(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减单调递增知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增． 所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x－1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4－2：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……10分B ．解：因为A ( 1，π3 )，B ( 9，π3)，所以线段AB 的中点坐标为(5，π3)， (2)分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， ……6分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)． …… 8分所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． ……10分C ．证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2)≤4(|a |＋2)． ……10分22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz 则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， ……2分（1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2， 0)， 则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD→|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2； …… 5分（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0， 即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …… 8分 又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……10分 23．(本小题满分10分)解：（1）S 1＝C 11a 1＝1，S 2＝C 12a 1＋C 22a 2＝3． ……2分PABD （第22题） xy z（2）记α＝1＋5，β＝1－5．则S n ＝15∑ni ＝1C in(αi －βi)＝15∑ni ＝0C i n(αi －βi)＝15(∑n i ＝0C i nαi－∑n i ＝0C i n βi)＝15[(1＋α)n －(1＋β)n]＝15[(3＋52)n －(3－52)n ]． ……6分因为(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n－ (3－52)n]}＝3S n ＋1－S n ． 所以存在=3λ，使得213n n n S S S +++=恒成立． ……10分。
江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷含附加题(解析版)
再将所得曲线作矩阵 B= [10
0������（] 0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为[012
−1 0 ]，
求 k，θ 的值．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在极坐标系中，已知 A（1，������），B（9，������），线段 AB 的垂直平分线 l 与极轴交于点 C，求 l 的
．
{√2，������
≤
−
√2 2
.
13．在平面直角坐标系中，点集 A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集 Q＝
{（x，y）|x＝x1+x2，y＝y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为
．
14．设函数 （f x）＝（2x﹣1）ex﹣ax+a，若存在唯一的整数 x0 使得 （f x0）＜0，则实数 a 的取值范围是
．
3．从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为 a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为 b，则 a≤b 的
概率为
．
4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 400，右图为检测结果的频率分布直方图，
根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，
平面 BCF⊥平面 ABCD，BF＝CF，G 为 BC 的中点，求证：
（1）OG∥平面 ABFE；
（2）AC⊥平面 BDE．
17．（14 分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为 E＝cvnT，其中 v 为进行时相对于水的速度，
T 为行进时的时间（单位：h），c 为常数，n 为能量次级数，如果水的速度为 4km/h，该生物探测器在水
江苏省南通市海安高级中学2020届高三数学下学期5月第二次检测试题含解析
江苏省南通市海安高级中学2020届高三数学下学期5月第二次检测试题（含解析）一、填空题1.设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ． 【答案】1 【解析】试题分析：由题意1M ∈，所以1x =． 考点：集合间的关系．2.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 【答案】60 【解析】 【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++.故答案为60.3.已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位)，则z 的模为 . 【答案】15【解析】试题分析：()134513413425255i i z z z i -+=⇒==⇒==+ 考点：复数及模的概念与复数的运算4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为_________.【答案】55 【解析】【详解】试题分析：由算法伪代码语言所提供的信息可知(110)1001210552S +⨯=+++⋅⋅⋅+==,应填55.考点：伪代码语言的理解和运用．5.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ． 【答案】910【解析】试题分析：从5道试题中随机取2道试题，共有10种基本事件，其中皆不是乙类试题的包含1中基本事件，因此至少有1道试题是乙类试题的概率为1911010-= 考点：古典概型概率6.在ABC 中，若1AB =，2BC =，5CA =AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值是______. 【答案】5- 【解析】 【分析】利用勾股定理可得知AB BC ⊥，结合平面向量数量积的运算性质可求得AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值.【详解】在ABC 中，1AB =，2BC =，5CA =222AB BC AC +=，AB BC ∴⊥，则0AB BC ⋅=，因此，()25AB BC BC CA CA AB CA AB BC CA AC AC ⋅+⋅+⋅=⋅+=⋅=-=-. 故答案为：5-.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的运算性质，考查计算能力，属于基础题.7.若实数,x y满足约束条件22,{1,1,x yx yx y-≤-≥-+≥则目标函数2z x y=+的最小值为．【答案】1【解析】【详解】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),A B C直线2z x y=+过点(0,1)C时取最小值1考点：线性规划求最值8.已知()1sin153α︒-=，则()cos302α︒-的值为______.【答案】79【解析】【分析】由题易得3022(15)αα︒︒-=-，然后结合题中条件由余弦的二倍角公式直接计算即可. 【详解】()()()227cos302cos21512sin15199ααα︒︒︒⎡⎤-=-=--=-=⎣⎦.故答案为：79.【点睛】本题考查余弦二倍角公式，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若283652,62a a a a S ==-，则1a 的值是 ． 【答案】-2 【解析】 试题分析：22836554542222a a a a a a a a a q =∴=∴=∴=，()5151126262212a S a-=-∴=-∴=--考点：等比数列性质及求和公式10.已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则离心率e =______.【解析】 【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，由平行求得参数a ，然后离心率． 【详解】由已知双曲线的渐近线方程为0x y =和0x y +=，显然直线0x y =与直线230x y -+=2=，14a =， 即双曲线方程为22114y x -=，实半轴长为1a '=，虚半轴长为12b '=，半焦距为2c ==，所以离心率为2c e a =='．． 【点睛】本题考查双曲线离心率，掌握双曲线的渐近线方程与两直线平行的条件是解题关键．11.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_________倍.【答案】【解析】试题分析：因为一个圆柱和一个圆锥同底等高，所以设底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的侧面积是其底面面积的2倍，所以22,2rl r l r ππ==，h =，所以圆柱的侧面积22S rl r π==，其底面积为2r π，所以圆柱的侧面积是底面积的.考点：旋转体的侧面积与表面积.【方法点晴】本题主要考查了旋转体的侧面积与表面积的计算，其中解答中涉及到圆柱侧面积、圆锥的侧面积与表面积的计算，圆锥与圆柱的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中利用圆柱和圆锥的侧面积公式，准确计算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.12.已知函数()()(),01,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()()22f x f x <-的解集为______.【答案】()2,1- 【解析】 【分析】先判断函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果. 【详解】,1x y e y x ==+都为单调递增函数，且001e =+()f x ∴在R 上单调递增，()()22f x f x <-， 22x x ∴<-，即()()220210x x x x +-<+-<，∴21x -<< 故答案为：()2,1-【点睛】本题考查分段函数单调性、利用函数单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.13.已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .【答案】92【解析】试题分析：由图可知，a ＞1，点(1，3)在函数(0)xy a b b =+>的图象上，所以 a ＋b ＝3．1＜a ＜3，0＜b ＜2．4114114114192()[(1)]()(5)12121212b a a b a b a b a b a b -+=⨯+=⨯-++=⨯++≥---- 当且仅当72,33a b ==时取等号考点：指数函数性质及图象，基本不等式，函数的最值14.已知直线30x y -+=与圆222:O x y r +=()0r >相交于,M N 两点，若3OM ON ⋅=，圆的半径r =______. 6 【解析】 【分析】求出圆心到弦的距离32=2d ，利用余弦二倍角公式与向量的数量积公式化简222(21)d OM ON r r⋅=⋅-可得【详解】圆心(0,0) 到直线30x y -+=的距离2200+33221+1d -.()22222cos cos 2cos 1(21)d OM ON OM ON MON r r MON r MOE r r⋅=∠=⋅⋅∠=∠-=⋅-2222292293662d r r r r r ∴-=⋅-=-=⇒=⇒=.6【点睛】本题考查直线与圆相交问题．解题关键是掌握垂径定理及向量的数量积公式 二、解答题15.设函数()sin cos 464f x x x πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调增区间；（2）若()0,4x ∈，求()y f x =的值域.【答案】（1）单调增区间为：()2108,833k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）332⎛- ⎝. 【解析】 【分析】（1）由两角差正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的单调性得增区间； （2）求出43x ππ-的范围，把它作为一个整体，利用正弦函数性质可得()f x 值域．【详解】解：（1）()33sin cos cos 3sin 464242443f x x x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵222432k x k ππππππ-+≤-≤+，∴2108833k x k -+≤≤+，k Z ∈ ∴()f x 的单调增区间为：()2108,833k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）∵()0,4x ∈，∴23433x ππππ-<-<∴3sin 1243x ππ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的值域为：3,32⎛⎤-⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查正弦型三角函数的单调性，值域问题，考查两角和与差的正弦公式，掌握正弦函数的性质是解题关键．16.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点.（1）求证：直线//OG 平面EFCD ； （2）求证：直线AC ⊥平面ODE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 分析】 （1）证明OGCD ，再利用线面平行判定定理，即可证明；（2）证明AC ⊥平面ODE 内的两条相交直线EO 、DO ； 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC BD O =，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，∴OGCD ，又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线OG ∥平面EFCD . （2）∵BF CF =，点G 为BC 的中点，∴FG BC ⊥. ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF ⋂平面ABCD BC =，FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥，∴FG ⊥平面ABCD ，∵AC⊂平面ABCD，∴FG AC，∵OG AB，12 OG AB=，EF AB∥，12BF AB=，∴OG EF∥，OG EF=，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG EO∥，∵FG AC，FG EO∥，∴AC EO⊥，∵四边形ABCD是菱形，∴AC DO⊥，∵AC EO⊥，AC DO⊥，EO DO O⋂=，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE.【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意条件书写的完整性.17.如图，已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>，离心率为12，过原点的直线与椭圆C交于,A B两点（,A B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且AD AB⊥.（1）若椭圆C的右准线方程为：4x=，求椭圆C的方程；（2）设直线BD、AB的斜率分别为1k、2k，求12kk的值.【答案】（1）22143x y+=；（2）1234kk=.【解析】【分析】（1）根据右准线以及离心率列方程组解得21ac=⎧⎨=⎩，即得23b=，可得椭圆C的方程；（2）利用点差法得22110AD BD k k a b +⋅=，结合AD AB ⊥转化为1222111()0k a b k +-⋅=再根据离心率可得12k k 的值. 【详解】（1）2124c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：21a c =⎧⎨=⎩，∴23b =，∴椭圆方程为：22143x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,D x y ，则()11,B x y --，∴,A D 在椭圆上∴22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴()()()()1212121222110x x x x y y y y a b +-++-= ∴22110AD BD k k a b +⋅=，∵12c e a ==，∴2234b a =，∴134AD k k =-∵AD AB ⊥，∴21AD k k =-，∴1234314AD ADk k k k -==- 【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法，考查综合分析求解能力，属中档题.18.如图，某小区有一块矩形地块OABC ，其中2OC =，3OA =，单位：百米.已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N .现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF 满足函数()2202y x x =-+≤≤的图象，若点M 到y 轴距离记为t .（1）当23t =时，求直路所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【答案】（1）42239y x =-+；（2）t =6. 【解析】【分析】（1）把23t =代入函数22y x =-+，得M 的坐标，再利用导数求切线的斜率，即可得到答案；（2）先求出面积的表达式为31444OND S t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△，再利用导数求函数的最大值，即可得到答案；【详解】解：（1）把23t =代入函数22y x =-+，得214,39M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵2y x '=-，∴43k =-， ∴直线方程为42239y x =-+； （2）由（1）知，直线的方程为222y tx t =-++，令0y =，122x t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令0x =，22y t =+， ∴1222t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，223t +≤.∴21t ≤， ∴()231121424224OND S t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， 令()31444g t t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴()()()2222324t t g t t+-'=当t =()0g t '=，当23t ⎛∈ ⎝⎭时，()0g t '<，当3t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，()g t g ≥=⎝⎭，所以所求面积的最大值为69-. 【点睛】本题考查函数模型解决面积问题、导数几何意义的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19.若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称x 为函数()y f x =的极值点.已知函数()()3ln 1f x ax x x a R =+-∈.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）极小值31e --；（2）22,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】(1)求出()()3ln 1f x x '=+，令()0f x '=求出方程的解，从而探究()(),f x f x '随x 的变化情况，即可求出极值.(2)求出()()23ln 1f x ax x '=++，令()2ln 1g x ax x =++，分0a >，0a =，0a <三种情况进行讨论，结合零点存在定理求出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）当0a =时，()3ln 1f x x x =-的定义域为()0,∞+，()()3ln 33ln 1f x x x '=+=+，令()0f x '=，解得1x e=，则()(),f x f x '随x 的变化如下表，故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数； 故()f x 在1x e=时取得极小值131f e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （2）函数()33ln 1f x ax x x =+-的定义域为()0,∞+，()()23ln 1f x ax x '=++， 令()2ln 1g x ax x =++，则()21212ax g x ax x x +'=+=， 当0a >时，()0g x '>在()0,∞+恒成立，故()f x '在()0,∞+上是增函数，而2211113ln 130f a a e e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故当1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>恒成立， 故()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增，故()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上没有极值点； 当0a =时，由（1）知，()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上没有极值点；当0a <时，令2210ax x+=，解得x =；故()2ln 1g x ax x =++在⎛ ⎝上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上是减函数，①当()10g e g e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即220a e -<<时， ()g x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭得20a e=，不符合题意； ③令()0g e =得22a e =-1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而1ln 0222e e g g ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，又10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()g x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号， 综上所述，实数a 的取值范围是22,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了极值的求解，考查了已知极值点的范围求解参数.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对一切正整数n 都有212n n S n a =+. （1）求证：()*142n n a a n n N++=+∈；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）是否存在实数a，使不等式21211111...1n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）()*2n a n n N =∈；（3）存在；a 的取值范围是()3,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】 （1）由题得()2*12n n S n a n N =+∈①，()()211112n n S n a n N ++=++∈②，②－①即得142n n a a n ++=+；（2）由题得24n na a +-=.()*n N ∈，再对n 分奇数和偶数两种情况讨论，求出数列{}n a 的通项公式；（3）令()1211111...1n f n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()*n N ∈，判断函数的单调性，求出其最大值，解不等式322a a<-即得解. 【详解】（1）证明：∵()2*12n n S n a n N =+∈①， ∴()()211112n n S n a n N ++=++∈② 由②－①得()()22*11111111212222n n n n n n S S n a n a n a a n N +++⎡⎤⎛⎫-=++-+=++-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，∴()*142n n a a n n N ++=+∈.（2）∵()*142n n a a n n N ++=+∈③∴()2146n n a a n n N +++=+∈，④④－③，得24n n a a +-=.()*n N ∈从而数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，且首项为12a =，公差为4；数列{}n a 的偶数项也依次成等差数列，且首项为2a ，公差为4.在①中令1n =得211112S a =+，又∵11S a =，∴1111122a a a =+⇒=. 在③中令1n =得2242a +=+，∴24a =.∴当()*21n k k N=-∈时，12n k +=，()21141422n k a a a k k n -==+-=-=； ∴当2n k =()*k N ∈时，2nk =，()224142n k a a a k k n ==+-==； 综上所述，()*2n a n n N=∈. （3）令()1211111...1n f n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()*n N ∈，则()0f n > 且()()1121111n f n n f n a +++⎛⎫=-==< ⎪⎝⎭∴()()1f n f n +<，∴()f n 单调递减，∴()()max []12f n f ==.∴不等式21211111...1n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对一切正整数n 都成立等价于()32f n a a<-对一切正整数n 都成立， 等价于()max 2f n a a <-⎡⎤⎣⎦322a a <-.∴22302a a --<，即(20a a a>，解之得a >0a <<. 综上所述，存在实数a 的适合题意，a的取值范围是()3,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列的单调性的判定和最值的求法，考查数列不等式的恒成立问题的求解，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2019-2020学年江苏省南通市海安高中高三下学期第二次检测数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省南通市海安高中高三（下）第二次检测数学试卷（5月份）一、填空题（共14小题）.1．（5分）已知集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N⊆M，则x＝．2．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z＝1（i为虚数单位），则z的模为．4．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．5．（5分）现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为．6．（5分）在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，，则的值是．7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为．8．（5分）已知sin（15°﹣α）＝，则cos（30°﹣2α）的值为．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8＝2a3a6，S5＝﹣62，则a1的值是．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3＝0平行，则离心率e ＝．11．（5分）一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的倍．12．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x）＜（2﹣x）的解集为．13．（5分）已知函数y＝a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为．14．（5分）已知直线x﹣y+3＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）相交于M，N两点，若，则圆的半径r＝．二、解答题（共6小题）.15．（14分）设函数x．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若x∈（0，4），求y＝f（x）的值域．16．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．17．（14分）如图，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），离心率为．过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB．（1）求椭圆C的右准线方程为：x＝4．求椭圆C的方程；（2）设直线BD、AB的斜率分别为k1，k2，求的值．18．（16分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC＝2，OA＝3，单位：百米．已知OEF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l （宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点N．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数y＝﹣x2+2（）的图象．若点M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？19．（16分）若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f（x）的极值点．已知函数f（x）＝ax3+3xlnx﹣1（a∈R）．（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（，e）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n都有．（Ⅰ）求证：a n+1+a n＝4n+2；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（共14小题）.1．（5分）已知集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N⊆M，则x＝1．【分析】根据条件N⊆M，确定元素关系，进行求解即可，从而得到x的值．解：∵集合M＝{2，0，x}，N＝{0，1}，∴若N⊆M，则集合N中元素均在集合M中，故答案为：1．2．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为＝，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×＝60，故答案为：60．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z＝1（i为虚数单位），则z的模为．【分析】复数方程两边求模推出结果即可．解：复数z满足（3+4i）z＝1（i为虚数单位），可得：|（3+4i）z|＝1，可得5|z|＝8．故答案为：．4．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为55．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+2+3+4+5+…+10的值，利用等差数列的求和公式计算即可得解．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：由于：S＝1+2+3+4+5+…+10＝55，故答案为：55；5．（5分）现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为．【分析】利用组合的方法求出甲类试题2道，乙类试题3道，从中随机取2道试题的方法，全是甲类试题，有1种方法，利用对立事件的概率公式求出至少有1道试题是乙类试题的概率．解：甲类试题2道，乙类试题3道，从中随机取2道试题，共有＝10种方法，全是甲类试题，有7种方法，故答案为：．6．（5分）在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，，则的值是﹣5．【分析】由已知可得△ABC为直角三角形，以B为坐标原点建系，求出向量的坐标运算．解：由AB＝1，BC＝2，，可知△ABC为直角三角形，如图，∴＝0﹣3﹣1＝﹣5．故答案为：﹣5．7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为1．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，由，解得，故答案为：18．（5分）已知sin（15°﹣α）＝，则cos（30°﹣2α）的值为．【分析】直接利用二倍角公式化简求解即可．解：，则cos（30°﹣2α）＝1﹣2sin2（15°﹣α）＝1﹣2×＝．故答案为：．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8＝2a3a6，S5＝﹣62，则a1的值是﹣2．【分析】由题意可知，q≠1，结合等比数列的通项公式及求和公式可得，解方程可求解：∵a2a8＝2a3a6，S5＝﹣62∴q≠1解方程可得，q＝2，a1＝﹣2故答案为：﹣210．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3＝0平行，则离心率e＝．【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解离心率．解：双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3＝7平行，可得，解得a＝，双曲线的离心率为：＝．故答案为：．11．（5分）一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的2倍．【分析】根据几何体的性质，公式转化为用r表示的式子判断．解：∵一个圆柱和一个圆锥同底等高∴设底面半径为r，高为h，∴πrl＝2πr2，l＝2r∴圆柱的侧面积＝2πrh＝2πr2，∴圆柱的侧面积是其底面积的2倍，故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x）＜（2﹣x）的解集为（1，+∞）．【分析】判断函数f（x）的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．解：当x≥0时，f（x）＝e x为增函数，且f（x）≥1，当x＜0时，f（x）＝x+1为增函数，且f（x）＜7，则不等式f（x）＜f（2﹣x）等价为x＜2﹣x，即不等式的解集为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．13．（5分）已知函数y＝a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为．【分析】函数y＝a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得3＝a+b，a＞1，b＞0．即（a﹣1）+b＝2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：∵函数y＝a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），∴3＝a+b，a＞1，b＞4．∴（a﹣1）+b＝2．故答案为：．14．（5分）已知直线x﹣y+3＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）相交于M，N两点，若，则圆的半径r＝．【分析】本题可以利用方程组得到交点间的坐标关系，然后将向量条件坐标化，得到关于半径的方程，求出半径的值．解：设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线x﹣y+5＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）联立，∴x1+x2＝﹣3，x1x5＝（9﹣r6）．∵，∴（9﹣r3）+（9﹣r2）＝3，故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数x．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若x∈（0，4），求y＝f（x）的值域．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x），再根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间；（2）利用x的取值范围求出x﹣的取值范围，从而得出sin（x﹣）的取值范围，即是f（x）的值域．解：（1）函数f（x）＝sin（x﹣）﹣cos x＝sin x﹣cos x令﹣+8kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z；∴函数f（x）的单调增区间为：[﹣+8k，+8k]，k∈Z；…6分∴0＜x＜π，∴﹣＜sin（x﹣）≤1；即函数f（x）的值域为：（﹣，]．…14分．16．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．【分析】（1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…（3分）（8）∵BF＝CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…（11分）∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE．…（14分）17．（14分）如图，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），离心率为．过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB．（1）求椭圆C的右准线方程为：x＝4．求椭圆C的方程；（2）设直线BD、AB的斜率分别为k1，k2，求的值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和准线方程，及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），运用直线的斜率公式，由两直线垂直的条件，可得AD的斜率，设直线AD的方程为y＝kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，由韦达定理，结合直线的斜率公式可得BD的斜率，进而得到所求值．解：（1）离心率为，即为e＝＝，右准线方程为：x＝4，即为＝4，则椭圆的方程为+＝1；∵k AB＝，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k＝﹣，消去y整理得：（b2+a2k2）x6+2ma2k2x+a7m2﹣a2b2＝0，∴y1+y2＝k（x2+x2）+2m＝，即有的值为．则＝，，即的值．18．（16分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC＝2，OA＝3，单位：百米．已知OEF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l （宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点N．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数y＝﹣x2+2（）的图象．若点M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【分析】（1）求当时，代入函数y＝﹣x2+2，得M（，），利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x＝t时的抛物线的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜2）上的极值，进而得出地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大值．解：（1）把代入函数y＝﹣x2+2，得M（，），∵y'＝﹣2x，∴直线方程为y＝﹣x+；令y＝0，x＝（t+），令x＝0，y＝t2+6，∴2﹣≤t≤1，令g（t）＝（t3+4t+），当t＝时，g'（t）＝7，当t∈（，1）时，g'（t）＞0，所以所求面积的最大值为6﹣．19．（16分）若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f（x）的极值点．已知函数f（x）＝ax3+3xlnx﹣1（a∈R）．（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（，e）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝0时，化简函数f（x）＝3xlnx﹣1并求定义域，再求导数f′（x）＝3lnx+3＝3（lnx+1），从而由导数确定函数的极值；（2）函数f（x）＝ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），再求导f′（x）＝3（ax2+lnx+1），再令g（x）＝ax2+lnx+1，再求导g′（x）＝2ax+＝，从而由导数的正负性分类讨论以确定函数是否有极值点及极值点的个数．解：（1）当a＝0时，f（x）＝3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），f′（x）＝3lnx+8＝3（lnx+1），故f（x）在x＝时取得极小值f（）＝﹣7﹣1；f′（x）＝3（ax8+lnx+1），当a＞0时，g′（x）＞0在（8，+∞）恒成立，而f′（）＝3[a（）8+ln+1]＝3a（）2＞0，故f（x）在区间（，e）上单调递增，当a＝0时，由（5）知，f（x）在区间（，e）上没有极值点；故g（x）＝ax2+lnx+1在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，①当g（e）•g（）＜0，即﹣＜a＜0时，g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令g（）＝0得＝0，不可能；③令g（e）＝6得a＝﹣，所以∈（，e），又g（）＜6，综上所述，实数a的取值范围是[﹣，0）．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n都有．（Ⅰ）求证：a n+1+a n＝4n+2；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）由，知，由此能够导出．（II）在中，令n＝1，得a1＝2，代入（I）得a2＝4．由a n+1+a n ＝4n+2，知a n+2+a n+1＝4n+6，故a n+2﹣a n＝4，由此能导出数列{a n}的通项公式是a n＝2n．（III）＜等价于，令f（n）＝，则f（n）＞0，由此能够导出存在实数a，符合题意，并能求出其取值范围．解：（I）∵，∴∴，（II）在中，∵a n+1+a n＝4n+4，∴a n+2+a n+1＝4n+6，∴数列{a n}的偶数项a2，a8，a6，…，a26，…依次构成一个等差数列，∴当n为偶数时，＝，a n＝4n+2﹣a n+1＝4n+8﹣2（n+1）＝2n，（III）＜，令f（n）＝，∴＝＝．∴n∈N*时，f（n）的最大值为，若存在实数a，符合题意，即，解得，或，其取值范围为．。
江苏省海安高级中学2020届高三英语第二次模拟考试试题
江苏省海安高级中学2020届高三英语第二次模拟考试试题第一部分听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题;每小题1分，满分5分）听下面5段对话.每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What kind of pet does the woman suggest?A. A dog.B. A fish。
C。
A cat.2. Which place is the woman looking for？A。
A grocery store。
B. A movie theater。
C. The railway station.3。
What did the man buy for the woman's birthday?A. A fruit cake。
B。
Some apple pies. C. A bunch of flowers。
4. What is the relationship between the speakers？A。
Classmates. B。
Parent and child。
C. Teacher and student。
5. Where is the woman?A。
In a car. B。
In an elevator（电梯）. C. In a bookstore。
第二节(共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白.每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题.6。
江苏省海安高级中学2020学年度第二学期
江苏省海安高级中学2020学年度第二学期高一数学期末复习测试试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,时间120分钟。
温馨提示：1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题纸的密封线内。
2．请按照题号顺序在答卷纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin600°的值是( ) A.21 B.21- C.23 D.23- 2.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于( ) A.52 B.-52 C.51 D.-51 3.若02sin >α且0cos <α，则α是( )A ．第二象限角B ．第一或第三象限角C ．第三象限角D ．第二或第四象限角4.同时具有性质“⑴ 最小正周期是π；⑵ 图象关于直线3x π=对称； ⑶ 在[,]63ππ-上是增函数”的一个函数是( ) A 、)62sin(π+=x y B 、)32cos(π+=x y C 、)62cos(π-=x y D 、)62sin(π-=x y 5.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( ) A.-23 B.23 C.21 D.±23 6.要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的 图象上所有的点的( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动4π个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动8π个单位长度C ．横坐标缩短到原来的21倍，再向右平行移动4π个单位长度D ．横坐标缩短到原来的21倍, 再向左平行移动8π个单位长度 7.已知不共线向量 a b r r 、，(),3AB ta b t R AC a b =-∈=+u u u r r r u u u r r r ，若A 、B 、C 三点共线，则实数t 等于 ( )A ．3- B.13- C.13D.以上都不对 8.关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-C B A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是 ( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 9.当20π<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 ( ) A.2 B.32 C.4 D.3410.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期 是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 ( ) A.21- B.23 C. 23- D. 21 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年江苏省南通市海安高级中学高二数学理月考试卷含解析
2020年江苏省南通市海安高级中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若a<b<0，c>d>0，则一定有()A.>B.<C.>D.＜参考答案：D2. 已知集合A={0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{1，0} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，所以A∩B={0，1}．故选：B．3. 已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为( )（A） (B) (C) (D) .参考答案：C略4. 已知的二项展开式中常数项为1120，则实数a的值是（）A －1 B. 1 C. －1或1 D. 不确定参考答案：C【分析】列出二项展开式的通项公式，可知当时为常数项，代入通项公式构造方程求得结果.【详解】展开式的通项为：令，解得：，解得：本题正确选项：C【点睛】本题考查根据二项展开式指定项的系数求解参数值的问题，属于基础题.5. 如果满足∠ABC=60 , AC=12, BC=k的△ABC恰有一个, 那么k的取值范围是(A)k=8(B)0＜k≤12(C)k≥12(D)0＜k≤12或k=8参考答案：D6. 平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2， ?=4，点P在边CD上，则?的取值范围是（）A．[﹣1，8] B．[﹣1，+∞）C．[0，8] D．[﹣1，0]参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的数量积的运算，求出A=60°，再建立坐标系，得到?=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，构造函数f（x），利用函数的单调性求出函数的值域m，问题得以解决．【解答】解：∵AB=4，AD=2， ?=4，∴||?||cosA=4，∴cosA=，∴A=60°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（4，0），D（1，），设P（x，），则1≤x≤5，∴=（﹣x，﹣），=（4﹣x，﹣），∴?=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，设f（x）=（x﹣2）2﹣1，∴f（x）在[1，2）上单调递减，在[2，5]上单调递增，∴f（x）min=f（2）=﹣1，f（x）max=f（5）=8，∴?的取值范围是[﹣1，8]，故选：A．7. 设，且，则下列结论中正确的是（）A. B. C.D.参考答案：A8. 等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】直接运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求值．【解答】解：公差d=﹣2，S3=21，可得3a1+×3×2×（﹣2）=21，解得a1=9，故选：B．【点评】本题考查等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．9. 若抛物线的焦点是的一个焦点，则p=（）A. 2B. 4C. 6D. 8参考答案：D【分析】根据焦点定义形成等式解得答案.【详解】若抛物线的焦点是的一个焦点故答案选D【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于基础题型.10. 已知正三棱锥P﹣ABC的高PO为h，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为，则正三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用异面直线所成的角，得到底面边长与高h的关系，易求，V P﹣ABC===．【解答】解：设底面边长为a，连接CO交AB于F，过点D作DE∥PO交CF于E，连接BE，则∠BDE即PO与BD所成角，∴cos∠BDE=，∵PO⊥面ABC，∴DE⊥面ABC，∴△BDE是直角三角形，∵点D为侧棱PC的中点，∴DE=h，∴BE=h，在正三角形ABC中，BF=a，EF=CF=a，在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2，∴，∴V P﹣ABC===故选：C．【点评】本题考查了异面直线所成的角，三棱锥的体积，充分利用线面的位置关系，考查空间想象能力，计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集。
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13. 已知函数 y＝ax＋b（b＞0）的图像经过点 P（1，3）如图所示，
y 3
4 ＋ 1 的最小值为 ▲ ． a－1 b
14. 已知直线 x－y+3=0 与圆 O: x2+y2=r2 (r＞0)相交手 M，N 两点， O
1
x
若O→M •O→N =3，圆的半径 r= ▲ ．
（第 13 题）
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤．
已知双曲线 x2－
y2 a
＝1
的一条渐近线与直线 x－2y＋3＝0 平行，则离心率 e＝
▲
．
11. 一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则圆柱的侧面积是
其底面积的 ▲ 倍．
高三数学（第 I 卷） 第 1 页（共 4 页）
12. 已知函数 f(x)＝e x， （x≥0） ，则不等式 f(x)<(2－x)的解集为 ▲ ． x＋1，（x＜0）
▲ 名学生.
3. 已知复数 z 满足(3+4i) z = 1 (i 为虚数单位)，则 z 的模为 ▲ ．
4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的 S 的值为 ▲ ． 5. 现有 5 道试题，其中甲类试题 2 道，乙类试题 3 道，现
从中随机取 2 道试题，则至少有 1 道试题是乙类试题的 概率为 ▲ ．
填在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
1．已知集合 M＝{ 2，0，x }，集合 N＝{ 0，1}，若 N⊆M，则 x＝ ▲ ． 2. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从
该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调査. 已知该校一年级、 二年
级、 三年级、 四年级的本科生人数之比为 4:5 :5 :6 ， 则应从一年级本科生中抽取
20．（本小题满分 16 分）
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,
且对一切正整数
n
都有
Sn=n2＋
1 2
an
.
(1) 求证: an+1+ an =4n+2(n∈N*);
(2) 求数列{an}的通项公式 (3) 是否存在实数 a, 使不等式(1－a11)(1－a12)…(1－a1n)<22aa22－n＋31,对一切正整数 n 都成立?
a2 b2
2
(A, B 不是椭圆 C 的顶点). 点 D 在椭圆 C 上, 且 AD⊥AB. (1) 若椭圆 C 的右准线方程为: x = 4, 求椭圆 C 的方程;
(2)
设直线 BD、AB 的斜率分别为 k1、k2,
求k1的值. k2
y
A
D
O
x
B
（第 17 题）
18．（本小题满分 16 分） 如图, 某小区有一矩形地块 OABC, 其中 OC=2, OA=3, 单位:百米. 已知 OEF 是一个游泳池, 计 划在地块 OABC 内修一条与池边 EF 相切于点 M 的直路 l (宽度不计), 交线段 OC 于点 D, 交线 段 OA 于点 N. 现以点 O 为坐标原点, 以线段 OC 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系, 若池 边 EF 满足函数 y=－x2+2 (0≤x≤ 2)的图象, 若点 M 到 y 轴距离记为 t.
AB=2EF，平面 BCF⊥平面 ABCD，BF=CF，点 G 为 BC 的中点
（1）求证: 直线 OG∥平面 EFCD；
（2）求证: 直线 AC⊥平面 ODE．
E
F
D
C
O
G
A
（第 16 题）
Hale Waihona Puke B高三数学（第 I 卷） 第 2 页（共 4 页）
17．（本小题满分 14 分）
如图,
已知椭圆
C：ax
2 2
(2) 若 f(x)在区间(1 , e)上有且只有一个极值点, 求实数的取值范围. e
20．（本小题满分 16 分）
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,
且对一切正整数
n
都有
Sn=n2＋
1 2
an
.
(1) 求证: an+1+ an =4n+2(n∈N*); (2) 求数列{an}的通项公式
(3) 是否存在实数 a, 使不等式(1－1 )(1－1 )…(1－1 )< 2a 2－ 3 ,对一切正整数 n 都成立?若
x＋y≥1
，则目标函数 z＝2x＋y 的最小值为 ▲ ．
8. 已知 sin( 15 ° － α ) = 1，则 cos(30°－2α)的值为 ▲ ． 3
9. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2a8=2a3a6，S5=－62，则 a1 的值是 ▲ ．
高三数学参考答案（5-30） 第 1页（共 7 页）
7. 若实数 x，y 满足约束条件x－y≥－1 ，则目标函数 z＝2x＋y 的最小值为 ▲ ．
x＋y≥1
8.
已知
sin (15 °－ α)
1 =3
，则
cos(30°－2α)的值为
▲
．
9. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2a8=2a3a6，S5=－62，则 a1 的值是 ▲ ．
10.
S← 0
从中随机取 2 道试题，则至少有 1 道试题是乙类试题的
For I Form 1 To 10
概率为 ▲ ．
S←S＋I
6. 在△ABC 中，若 AB=1，BC=2，CA= 5，
End For
则A→B •B→C ＋B→C •C→A ＋C→A •A→B 的值是 ▲ ．
Print S
2x－y≤2
（第 4 题图）
＋
y b
2 2
＝1
(a>b>0),
离心率为12,过原点的直线与椭圆 C 交于 A,
B
两点(A, B 不是椭圆 C 的顶点). 点 D 在椭圆 C 上, 且 AD⊥AB. (1) 若椭圆 C 的右准线方程为: x = 4, 求椭圆 C 的方程;
(2) 设直线 BD、AB 的斜率分别为 k1、k2, 求kk12的值. y
AB=2EF，平面 BCF⊥平面 ABCD，BF=CF，点 G 为 BC 的中点
（1）求证: 直线 OG∥平面 EFCD；
（2）求证: 直线 AC⊥平面 ODE．
E
F
D
高三数学参考答案（5-30） 第 2页（共 7 页）
O
A
（第 16 题）
C
G B
17．（本小题满分 14 分）
如图, 已知椭圆 C：x2＋ y2＝1 (a >b >0 ) , 离心率为1 ,过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点
6. 在△ABC 中，若 AB=1，BC=2，CA= 5， 则A→B •B→C ＋B→C •C→A ＋C→A •A→B 的值是 ▲ ．
S← 0 For I Form 1 To 10
S←S＋I End For Print S
（第 4 题图）
2x－y≤2 7. 若实数 x，y 满足约束条件 x－y≥－1
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案 直接填在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
1．已知集合 M＝{ 2，0，x }，集合 N＝{ 0，1}，若 N⊆M，则 x＝ ▲ ． 2. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从
若存在, 求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。
高三数学（第 I 卷） 第 4 页（共 4 页）
江苏省海安高级中学2020 届第二学期高三 5 月第二次检测试题
数学Ⅰ参考答案与讲评
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.
填空题讲评： 11. 一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则圆柱的侧面积是其
A
D
O
x
B
（第 17 题）
18．（本小题满分 16 分） 如图, 某小区有一矩形地块 OABC, 其中 OC=2, OA=3, 单位:百米. 已知 OEF 是一个游泳 池, 计划在地块 OABC 内修一条与池边 EF 相切于点 M 的直路 l (宽度不计), 交线段 OC 于点 D, 交线段 OA 于点 N. 现以点 O 为坐标原点, 以线段 OC 所在直线为 x 轴, 建立平
江苏省海安高级中学 2020 届第二学期高三 5 月第二次检测试题
数 学Ⅰ
2020.05
(全卷满分 160 分, 考试时间 120 分钟)
注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2. 试题答案均写在答卷相应位置，答在其它地方无效.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接
13. 已知函数 y＝ax＋b（b＞0）的图像经过点 P（1，3）如图所示，
y 3
a
4 －
1
＋
1b 的最小值为
▲
．
14.
已知直线
x－y+3=0
与圆
O:
222
x +y =r
(r＞0)相交手
M，N
两点，
若O→M •O→N =3，圆的半径 r= ▲ ．
O1
x
（第 13 题）
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤．
10. 已知双曲线 x2－ y2＝1 的一条渐近线与直线 x－2y＋3＝0 平行，则离心率 e＝ ▲ ． a