直线与抛物线关系
直线与抛物线的位置关系
得到一元一次方程，容易 解出交点坐标为（9，6）
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线的对称轴平行
变式练习：
y
若直线y=kx+1与抛物
线y2= x仅有一个公共
点，则 k 的值？
O
x
2、直线与抛物线的对称轴不平行
y
O
例：判断直线 y = x -1与
抛物线 y2 =4x 的位置 关系及求弦长？
x 计算结果：
相交,弦长为8。
2、直线与抛物线的对称轴不平行
y
O
变式练习：
倾斜角为1350 的
直线，经过抛物线
y2 = 8x的焦点，则
x 截得的弦长是多少？
(方法总结)
判断直线与抛物线的对称轴情况
平行
不平行
联立直线和抛物线
直线与抛物线相 交(一个交点)
利用弦长公式
课后作业：
习题8.6 2 题
yห้องสมุดไป่ตู้
O
x
； https:/// 炒股配资什么意思 ；
1、直线与圆
y
0
x
2、直线和椭圆
y
F1 0
F2
x
3、直线与双曲线
y
渐进线方程
．．
F
O
x
一、直线与抛物线位置关系种类
y 相离
O
相切
x
相交
一个交点或者 两个交点
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线的对称轴平行
y
O
例：判断直线 y = 6与抛
物线 y2 =4x的位置
关系及求交点坐标？
x
计算结果：
之后他再找那丫头说说情,或许能打动她也不一定,如今是不可能了.面对众人の喝骂,卓文鼎态度冷淡.身后の
考点102直线与抛物线的位置关系
考点102直线与抛物线的位置关系一、课本基础提炼1．研究直线与抛物线的位置关系,一般是联立两曲线方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．2．有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式二级结论必备过抛物线焦点的动直线与抛物线交于点A,B,则该抛物线在点A,B处的两切线的交点轨迹是抛物线的准线.1.直线与抛物线相交时的弦长问题若直线过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用|AB|＝x1＋x2＋p；若直线不过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用,对于此类问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,另外注意与面积有关的问题,常用到弦长公式.例1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求的最小值．【解析】(1)由题可知F,则该直线方程为代入y2＝2px(p＞0),得设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1＋x2＝3p.∵|MN|＝8,∴x1＋x2＋p＝8,即3p＋p＝8,解得p＝2,∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程为y＝x＋b,代入y2＝4x,得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.∵l为抛物线C的切线,∴Δ＝0,解得b＝1.∴l的方程为y＝x＋1.设P(m,m＋1),则＝(x1－m,y1－(m＋1)),＝(x2－m,y2－(m＋1)),∴＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.由(1)可知：x1＋x2＝6,x1x2＝1,∴(y1y2)2＝16x1x2＝16,y1y2＝－4.,＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14,当且仅当m＝2,即点P的坐标为(2,3)时,的最小值为－14.例2.抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.【解析】由题意,可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ,①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5,0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m,x1•x2=m2,点A到直线l的距离为,从而=4(1－m)(5+m)2,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l的方程为y=x－1,△AMN的最大面积为2．抛物线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.例3．已知抛物线y2=4x的一条弦的斜率为3,它与直线交点恰为这条弦的中点M,则点M的坐标为_______．【解析】设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2),弦PQ的中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0=1,y1+y2=2y0,又两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)即2y0(y1-y2)=4(x1-x2),∴点M的坐标为3.抛物线的切线问题由于抛物线x2=2py(p≠0),可转化为函数,因此我们可以借助导数的几何意义来研究抛物线的切线.例4. 已知抛物线x2＝2y,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________．【解析】由x2＝2y,得,∴y′＝x.设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴抛物线在P,Q两点处的切线的斜率分别为x1,x2,∴过点P的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1),又∴切线方程为,同理可得过点Q的切线方程为,两切线方程联立解得又抛物线焦点F的坐标为,易知直线l的斜率存在,可设直线l的方程为,由,得x2－2mx－1＝0,所以x1x2＝－1,所以4．面积问题求三角形或四边形的面积最值是高考中的常见问题,解决这类问题的基本方法是把面积表示为某一变量的函数,再转化为函数求最值,或利用基本不等式求最值.例5．(2014•高考四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA→•OB→＝2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A．2 B．3【解析】设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1x2＋y1y2＝2.∴y1y2＝－2.联立得y2－ny－m＝0, ∴y1y2＝－m＝－2,∴m＝2,即点M(2,0)．又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO当且仅当时,等号成立．例6．已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|≤2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.【解析】(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点 C(x,y),由(1)知,y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,则有∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）点N到AB的距离为从而当a有最大值时,S有最大值为5.对称问题根据圆锥曲线上存在不同两点关于某直线对称求参数范围，是一类典型问题，解决此类对称问题,要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点,故Δ＞0.一般通过“设而不求”、“点差法”得到对称点连线的方程,再与曲线方程联立,由判别式不等式求出参数范围.例7.已知抛物线y＝ax2－1(a≠0)上总有关于直线x＋y＝0对称的相异两点,求a的取值范围.解：设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线y＝ax2－1上的关于直线x＋y＝0对称的两相异点,则两式相减,得y1－y2＝a(x1－x2)(x1＋x2).再由x1≠x2,得设线段AB的中点为M(x0,y0),则由M点在直线x＋y＝0上,得∴直线AB的方程为联立直线AB与抛物线的方程并消去y,得依题意,上面的方程有两个相异实根,∴a的取值范围是1.(2014•潍坊模拟)过抛物线y2＝4x的焦点且斜率为的直线l与抛物线y2＝4x交于A,B两点,则|AB|的值为( )【答案】A【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的焦点为(1,0),则直线l的方程为,代入抛物线方程得3x2－10x＋3＝0.根据抛物线的定义,可知|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝2．已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C:y2=8x相交A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )【答案】D【解析】由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2,0）,由|FA|=2|FB|知x A+2=2(x B+2) 联立方程用根与系数关系可求3．抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0解方程组,得ax2－kx－b=0,可知,代入验证即可.4.已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_______．答案】y2=4x【解析】设抛物线为y2＝kx,与y＝x联立方程组,消去y,得：x2－kx＝0, x1+x2＝k＝2×2,故y2=4x.1.设抛物线x2＝12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则|AF|＋|BF|＝( )A.12B.10C.6D.8 【答案】D【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1＋y2＝2×1＝2,|AF|＋|BF|＝(y1＋3)＋(y2＋3)＝(y1＋y2)＋6＝8.故选D.2.已知双曲线(a＞0,b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p＝( )A.1 C.2 D.3 【答案】C【解析】由双曲线的离心率.∴双曲线的渐近线方程为.由题意可设得p＝2或－2(舍去).故选C.3.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( )A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】A【解析】由题不妨设A在第一象限,联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6),B(1,－2),而准线方程是x＝－1,所以|AP|＝10,|QB|＝2,|PQ|＝8,故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)•|PQ|＝48.4.过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点,则这样的直线有条_______．注意到点(2,4)是抛物线上的点,用数形结合知满足题意的直线有两条,其一是过该点的切线；其二是过该点且与对称轴平行的直线.故填2.5.设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若FQ＝2,则直线l的斜率等于_______．【答案】±1【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y＝k(x＋1),联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0,x1＋x2y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝,设Q(x0,y0),则,又F(1,0),,解得k＝±11.（2015福建文19）已知点F为抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G(-1,0) ,延长AF交抛物线E于点B,求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直GB相切．【答案】（1）y2=4x；（2）见解析【解析】（1）由抛物线的定义得．因为|AF|=3,即,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x．（2）解法一：因为点A(2,m),在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),所以所以k GA+K GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．解法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),故直线GA的方程为从而又直线GB的方程为所以点F到直线GB的距离这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．2.设不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y＝2x2上,l是AB的垂直平分线.(1)当且仅当x1＋x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.【查看答案】【答案】(1) x1＋x2＝0 ；(2)【解析】(1)F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A,B两点到抛物线的准线的距离相等,∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0,∴上述条件等价于∵x1≠x2,∴上述条件等价于x1＋x2＝0,即当且仅当x1＋x2＝0时,l经过抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为由y＝2x2,得过A,B的直线方程为∵直线AB与抛物线有两个不同交点,∴联立得32x2＋8x＋5－16b＝0,Δ＝－9＋32b＞0,.因此直线l在y轴上截距的取值范围是3.如图,已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0)．(1)若动点M满足,求点M的轨迹C；(2)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E,F(E在B,F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．(1) 以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆；(2)【解析】(1)由x2＝4y,得∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1,故直线l的方程为y＝x－1,∴点A坐标为(1,0)．设M(x,y),则由得整理得∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆．(2)由题意知直线l′的斜率存在且不为零,设l′的方程为y＝k(x－2)(k≠0),①将①代入整理,得(2k2＋1)x2－8k2•x＋(8k2－2)＝0,由Δ＞0得设E(x1,y1),F(x2,y2),由此可得,且0＜λ＜1.由②知(x1－2)•(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4又∵0＜λ＜1,∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是。
如何用代数法判断直线与抛物线的位置关系
谈学论教在解答圆锥曲线问题时，我们经常会遇到判断直线与抛物线位置关系的问题.此类问题侧重于考查直线的方程、弦长公式、点到直线的距离公式、抛物线的方程、一元二次方程的根的判别式、韦达定理等.判断直线与抛物线的位置关系，主要有代数法和几何法两种方法.本文主要探讨一下如何用代数法判断直线与抛物线的位置关系.一、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相交、相切、相离.如下图所示.其中相交的有两种情况，即相交于一点（当直线与抛物线的对称轴平行或重合时）、相交于两点.相交于一点相交于两点相离相切于一点二、用代数法判断直线与抛物线的位置关系的思路设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),直线l 的方程为：y =kx +b ,则直线与抛物线的位置关系有如下几种情况：1.当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +b ,将此方程代入抛物线的方程y 2=2px (p >0),得k 2x 2+(2kb -2p )x+b 2=0()1，由于方程（1）的二次项系数中含有字母k ，因此方程的最高次数可能是2，也可能是1.若k =0，则方程（1）可化为-2px +b 2=0，由于p >0,所以方程（1）是一元一次方程，此时方程有1个解x =b 22p.由于k =0，所以直线l 与x 轴平行或重合，由图形知，直线与抛物线相交于一点.若k ≠0,则方程（1）是关于x 的一元二次方程.若∆>0，则方程有2个解x 1,x 2(x 1≠x 2)，此时直线与抛物线相交于两点；若∆=0，则方程有1个解x 1=x 2,此时直线与抛物线相切于一点；若∆<0，则方程无解，此时直线与抛物线相离.2.当直线l 的斜率不存在时，设l ：x =n ,将此方程代入到抛物线的方程，得y 2=2pn ()2,这是关于y 的一元二次方程.若∆>0，即2pn >0，则方程（2）有2个解y 1,y 2(y 1≠y 2),此时直线与抛物线相交于两点；若∆=0，即2pn =0，则方程（2）有1个解y 1=y 2,此时直线与抛物线相切于一点；若∆<0，即2pn <0，则方程（2）无解，此时直线与抛物线相离.综上所述，不管直线的斜率是否存在，要判断直线与抛物线的位置关系，只需将直线的方程代入抛物线的方程中，若得到的方程是一元一次方程，则直线与抛物线必相交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合；若得到的方程是一元二次方程，则需分三种情况进行讨论.当∆>0时，直线与抛物线相交于两点；当∆=0时，直线与抛物线相切于一点；当∆<0时，直线与抛物线相离.这也就是说，当k =0时直线与抛物线相交于一点⇔k =0;当k ≠0时直线与抛物线相交于两点⇔{k ≠0,Δ>0;直线与抛物线相切于一点⇔{k ≠0,Δ=0;直线与抛物线相离⇔{k ≠0,Δ<0.例题：已知直线l 的方程为y =kx +1和抛物线C 的方程为y 2=4x ,请讨论直线l 与抛物线C 的公共点的个数.分析：直线与抛物线的公共点个数有三种情况：（1）2个公共点.即直线l 与抛物线C 相交于两点；（2）1个公共点.即直线l 与抛物线C 相交或相切于一点；（3）没有公共点.即直线l 与抛物线C 相离.这些位置关系与所得的一元二次方程的二次项系数及∆有关.解：将直线的方程代入抛物线的方程中得k 2x 2+(2k -4)x +1=0,若k =0，则l 与C 相交于一点；若{k ≠0,(2k -4)2-4k 2=0，即当k =1时，l 与C 相切于一点；若{k ≠0,(2k -4)2-4k 2>0，即当k <1,且k ≠0时，l 与C 相交于两点；当{k ≠0,(2k -4)2-4k 2<0，即k >1时，l 与C 相离.综上所述，当k =0,或1时，l 与C 有1个公共点；当k <1,且k ≠0时，l 与C 有2个公共点；当k >1时，l 与C 无公共点.利用代数法判断直线与抛物线的位置关系，关键是要构造出关于x 或y 的一元二次方程，讨论其二次项的系数和判别式.只要抓住了这个关键点，就能顺利解题.（作者单位：陕西省神木市第七中学）55。
直线与抛物线的位置关系
汇报人：
目录
交点个数
直线与抛物线 相交的个数取 决于直线的斜 率和抛物线的
开口方向
当直线斜率存 在且与x轴不垂 直时直线与抛 物线最多有两
个交点
当直线斜率不 存在（垂直于x 轴）时直线与 抛物线有一个
交点
当直线斜率不 存在（垂直于x 轴）且过抛物 线顶点时直线 与抛物线有无
数多个交点
交点坐标
当夹角达到90度时直线与抛物 线相切
夹角的变化还会影响交点的个 数以及与对称轴的关系
汇报人：
交点性质
交点个数：直线与抛物线可能有一个或两个交点 交点位置：交点位于抛物线的对称轴上或对称轴的一侧 交点坐标：通过联立方程求得交点的坐标 交点性质的应用：判断直线与抛物线的位置关系求解相关问题
直线与抛物线平行无交点
平行
直线与抛物线平行交点在无穷远处
直线与抛物线平行交点在抛物线上
直线与抛物线平行交点在直线两侧
交点坐标的求 法：联立直线 与抛物线的方 程解得交点的x 坐标和y坐标。
交点的性质： 交点是直线与 抛物线的公共 点满足两个方
程。
交点的几何意 义：交点是直 线与抛物线的 交点也是它们
相切的点。
交点与切线的 关系：在切点 处切线的斜率 等于该点的导
数值。
交点与参数关系
当参数为0时直线与抛物线交于原点 当参数不为0时直线与抛物线交于两点与参数的正负有关 参数的正负决定了交点的位置和数量 参数的变化会影响交点的位置和数量
抛物线开口大小变化对位置关系的影响
开口大小变化：影响抛物线的位置关系
开口向上：抛物线与x轴交点随开口增大而增多
开口向下：抛物线与x轴交点随开口减小而减少
开口大小变化对直线与抛物线位置关系的影响：开口增大时直线与抛物线交点增多；开口减小时直线与抛物线交 点减少
“直线与抛物线的关系”精讲精练
直线与抛物线的关系【直线与抛物线的位置关系】直线与抛物线的位置关系：直线与抛物线有两个公共点；直线与抛物线有一个公共点； 直线与抛物线没有公共点. 直线与抛物线位置关系的判断：将直线与抛物线方程联立方程组，消去x 或y ，化得形如20ax bx c ++=的式子.1、当0a =时，方程20ax bx c ++=为一次方程，只有一解，即直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线不是相切，而是相交（直线与抛物线对称轴平行或者重合）.2、当0a ≠时，方程20ax bx c ++=为二次方程，①若0∆>，则方程有两个不相等的实数根，此时直线与抛物线相交于两点； ②若0∆=，则方程有两个相等的实数根，此时直线与抛物线相切； ③若0∆<，则方程没有实数根，此时直线与抛物线相离（即没有公共点）. 【直线与抛物线相交的弦长】1、弦长公式：设直线交抛物线于点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A B AB x x =-2、若弦是“焦点弦”，则其长为12AB x x p =++ 【例题】1、经过x y 82=的焦点F 作与对称轴成3π的直线与抛物线相交于A 、B 两点，则AB =2、已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+3、直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A 、B 两点，则O A O B ⋅=4、已知直线l ：4y kx =-与抛物线C ：28y x =有且只有一个公共点，则实数k = 5、抛物线2y x =上距直线24x y -=最近的点的坐标是6、过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无数条D ．不存在7、已知抛物线x y 42=截直线b x y +=2所得的弦AB 的长为53，P 是其对称轴上一点，若39PAB S ∆=，则P 点的坐标.8、已知抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于,A B 两点，当OAB ∆时，求k 的值9、已知直线l ：1y kx =+和抛物线28y x =.（1）若直线l 与抛物线有两个公共点，求k 的取值范围；（2）若直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的取值范围；（3）若直线l 与抛物线没有公共点，求k 的取值范围10、直线y x b =+与抛物线2(1)y x =-交于A 、B 两点，（！）求弦长AB 关于b 的函数关系式； （2）若弦AB 的中点M 落在圆224x y +=内部，求实数b 的取值范围.11、已知抛物线26y x =，过点(4,1)P 引一弦，使它恰好在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程. 【练习】1、 已知直线2y x =-与抛物线2y ax =（0a ≠）相交于A 、B 两点，且O A O B ⊥，则实数a =2、 求过定点(0,1)M ，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程.3、已知(0,1),(3,2)A B -，P 是抛物线132+=x y 上任一点，求△PAB 面积最小值及此时P 点的坐标.4、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆224x y +=相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程.5、A 为抛物线272y x =-上一点，F 为抛物线的焦点，1198AF =,求过点F 且与OA 垂直的直线l 的方程.6、已知抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的一个焦点F ，且垂直于椭圆两焦点所在直线，已知抛物线与椭圆的一个交点为)362,32(M ，求椭圆和抛物线的方程.7、已知抛物线)0(22>=p px y 有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为角边的方程是2y x =,求抛物线的方程.8、已知点1122(2,8),(,),(,)A B x y C x y 在抛物线22y px =（0p >）上，ABC ∆的重心与此抛物线的焦点F 重合.（1）求出该抛物线的方程；（2）求出线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程.。
直线与抛物线的位置关系
第3课时 直线与抛物线的位置关系一、直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线公共点的个数可以有0个、1个或2个． 将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线相切，若Δ>0，则直线与抛物线相交，若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有一个公共点．2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．题型一、直线与抛物线的位置关系例1、已知抛物线C ：y 2＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[解析] 直线l ：y －1＝k (x －1)，将x ＝－y 22代入整理得，ky 2＋2y ＋2k －2＝0.(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C 只有一个公共点(－12，1)．(2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2＋8k ＋4.由Δ＝0得，k ＝1±32， ∴当k <1－32或k >1＋32时，Δ<0，l 与C 无公共点．当k ＝1±32时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点． 当1－32<k <1＋32且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点． 综上知，k <1－32或k >1＋32时，l 与C 无公共点；k ＝1±32或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点；1－32<k <0或0<k <1＋32时，l 与C 有两个公共点． 例2、已知点A(0,2)和抛物线C ：2y ＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．[解析] 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0. 由⎩⎨⎧x ＝0y 2＝6x，得y 2＝0.因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)． 如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.这个方程与抛物线C 的方程联立得方程组 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋2y 2＝6x，由方程组消去x 得方程，ky 2－6y ＋12＝0① 当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点()23，2. 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k .由Δ＝0得k ＝34，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y ＝34x ＋2，即3x －4y＋8＝0.因此，直线l 的方程为x ＝0，或3x －4y ＋8＝0，或y ＝2. 题型二、弦长问题例3、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为______． [答案] y 2＝12x 或y 2＝－4x例4、已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标(0,2)，则1y 1＋1y 2＝__________________.[答案] 12 题型三、对称问题例5、已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)、B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎨⎧k ·y 1－y 2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1，得⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.故实数k 的取值范围是－2<k <0.例6、求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．[正解] (1)若直线斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎨⎧ x ＝0y 2＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝0y ＝0.即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．(2)若直线的斜率存在，设为k ，则过点P (0,1)的直线方程为y ＝kx ＋1，由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x .消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，得⎩⎨⎧x ＝12.y ＝1.即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，所以k ＝12，直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.课后作业一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 设A (y 214，y 1)、B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是( )A ．1B ．2 C.58 D.158[答案] D[解析] 如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3[答案] B[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B.5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＋y 22的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝1，∴y 21＝4，y 22＝4， ∴y 21＋y 22＝8.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋8， ∵k 2>0，∴y 21＋y 22>8，综上可知，y 21＋y 22≥8，故y 21＋y 22的最小值为8.6．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223[答案] D[解析] 设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x 消去y 得，k 2x 2＋4x (k 2－2)＋4k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4(2－k 2)k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4，∴4(2－k 2)k 2＝5，∴k 2＝89，∵k >0，∴k ＝223. 二、填空题6．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是______________________．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．7．在已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M 、N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为__________________．[答案] k >14或k <－14[解析] 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4.因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.三、解答题8．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．[解析] 由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A (y 216，y 1)、B (y 226，y 2)．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0.由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36，① ∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226， 化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24. 将①式代入，得y 1＋y 2＝－6.②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610. 9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， ∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0， 解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 综上知：t ＝1.所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(－1k)2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.。
直线与抛物线的位置关系
x2 x2
6 1
OF
x
B’ B
AB 2 (x1 x2 )2 4x1x2 8
所以，线段AB的长是8。
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法二:由题意可知,
y
p
2,
p 2
1,
准线l
:
x
1.
A’
§2.4.2 直线与抛物线的位置关系
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，
两个交点）
与双曲线的
y
情况一样
O
x
例 1、已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过 定点 P(2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛 物线 y2 4x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共 点;⑶没有公共点?
解析： 抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.
由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2 ＝x1＋x2＋p， 即 x1＋x2＋2＝7，得 x1＋x2＝5，于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 52，因此点 M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.
课堂练习: 1.过抛物线 y2 = 8x的焦点,作倾斜角为 450
16 的直线,则被抛物线截得的弦长为_________
2.过点 M(0,1) 且和抛物线 C: y2 4x 仅有一个公共点的 直线的方程是__________________________.
y 1或 x 0或
联立
ykx y2 4x
1
y x1
直线与抛物线的位置关系
变式练习：
倾斜角为1350 的 直线，经过抛物线 y2 = 8x的焦点，则 截得的弦长是多少？
O
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(方法总结)
判断直线与抛物线的对称轴情况 平 行 不平行 联立直线和抛物线 直线与抛物线相 交(一个交点) 利用弦长公式
课后作业：
习题8.6 2 题
y
O
x
; 符咒 hnq913dgk 说“全国啤酒研讨会”时声调至少提高了三四度，而且站了起来，好像是他在大会作报告一样。“我刚来第一天就见过冯工了， 高高的个子，人有点偏瘦，看起来特别和蔼，听蒋主任介绍时知道他是中国第一代啤酒专家，可没想到竟是这么了不起的人物。 今后一定要好好向他请教。”马启明被他在学术界的影响所折服，带着敬佩的口气说道。冯力雄是响当当的专家、是绝对的前 辈，却从不摆前辈的架子，也从不保留自己的技术，震撼成了马启明的唯一感觉。至此以后，马启明成了冯力雄忠实的铁杆粉 丝。接着张钢铁又跟马启明聊起了啤酒厂的历史，从过去到现在如数家珍般一一说过，至此马启明对啤酒厂发展历史也有了一 个大概的了解。原来花开啤酒厂的前身竟是个油酒作坊，榨油、做白酒，只有一百来人，大跃进时代大家伙的积极性都很高， 有活干，有钱拿，在那个时候日子过得还算蛮滋润的。直到1970年，一名在上海当官的同乡带来一条信息：现在上海青年人都 喜欢喝啤酒，啤酒供不应求。如果你们愿意生产啤酒，他可以帮助你们联系啤酒厂去学习。当时也听外面回来的人说啤酒营养 价值很高，在大城市非常受欢迎，常常有钱都买不到。但绿溪镇却没有人见过啤酒，啤酒是绿色的还是红色的？是白色的还是 黑色的？人喝了“屁酒”是不是爱放屁？中国人喝了啤酒以后会不会慢慢地长成深眼睛、高鼻子的外国人？大家根本不知道啤 酒是什么玩意儿，只知道它是个洋玩意儿，卖得十分火爆。大城市年轻人结婚能搞到几箱啤酒那是十分荣耀的事。厂里几个人 一商量，当即向上级主管部门汇报请示，主管局领导一听销路这么好、又是个时髦产品，也高兴，很快就批准了。于是马上找 到这位当官的同乡，通过他的关系，联系到上海啤酒厂。厂里特地选了几个年纪轻、头脑灵活的人去上海学习啤酒生产技术， 其中就有张钢铁，当时他还不到二十岁，他们没有一点理论基础，完全凭着一股热情便奔向上海。在上海时，他们天天泡在车 间里，边学边做笔记，每天晚上睡觉前几个人必定要先把白天学到的技术再复习一遍，当时的那股学习热情，让轻易不赞扬外 地人的上海师傅都佩服得直坚大拇指。听到这里，马启明想起了曾经看过的一篇文章，说道：“你们为了学习啤酒技术跑到上 海去，奉献了自己的激情，就像日本人为了啤酒奉献自己的腿。这里有个故事拿出来与大伙分享一下。”张钢铁愕然：“没得 命，为了啤酒贡献自己的腿？咋回事？赶快说出来听听。”马启明却纳闷地看着他，问道：“没得命，又说日本话吗？”在马 启明看来，痛恨什么你就拿什么作为靶子来说说，一解心头之恨。“噢，没得命也是我们这里的方言，就是了不得、不得了的 意思。”马启明笑了笑，便打开话匣子：“最初的时候，只有德国拥有啤酒酿造的
直线与抛物线
O
C(2p,0)
B
x
l
高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与y2 = 2px（p＞0）交于相异两 点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心），试证明抛物线顶点 在圆H上。
练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在 16 直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径是 .
y k x1 联立 2 y 4x
k
消去 x 得 ky 2 4 y 4 0
例 2.已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上, B 在抛物线 y 2 x 上,求正方形的边长. 顶点 A 、
解：设 AB 的方程为 y=x+b, y xb 由 2 消去 x 得 y2-y+b=0， y x
得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行（重合）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交（一个交点）
相交
相切
相离
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二） 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 平行 不平行 计算判别式 直线与抛物线 相交(一个交点)
>0
相交
=0
相切
<0
相离
例1 已知抛 物线的方程为 y 2 4 x , 直线 l 过 定 点 P (2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x : ⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
O
A
C(2p,0) B
x
y
2
L:x=2p
=2px(p>0) 交于 A 、 B
y
A
直线和抛物线的关系
(3)当 0即b<-2时，直线与抛物线相离
例2 求过定点P（0，1）且与抛物线 y 2x 只有一个公共点的直线的方程.
2
解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是 x=0.
x 0 由{ 2 y 2x
x 0 得 { y 0
故直线 x=0与抛物线只有一个交点. (2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是 y=kx+1, y kx 1 由方程组 { y 2 2x 消去 y 得
2 直线和抛物线方程联立的方程组 解的个数与位置关系
若消元得到二次方程,则
0 方程组一组解 相切 0 方程组没有解 相离
若消元得到一次方程，则方程组只有一组 解，直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相 交关系.
0
方程组两组解
相交
课堂小结
1、判断直线 L与圆锥曲线C的位置关系时， 可将直线L的方程代入曲线C的方程，消去y 得一个关于变量X的一元方程ax2+bx+c=0
1 直线和抛物线的位置关系有哪几种?
相交: 直线和抛物线有两个公共点，或一 个公共点(直线和抛物线的对称轴平 行或重合). 相切: 直线和抛物线有且只有一个公共点, 且直线和抛物线的对称轴不平行也 不重合. 相离: 直线和抛物线没有公共点.
1 直线和抛物线的位置关系有哪几种?
y L2 O L4 L1
例3 在抛物线 y x 上求一点，使它到直线 2x-y-4=0的距离最小.
2
解：设P(x,y)为抛物线 y x 上任意一点， 则P到直线2x-y-4=0的距离
2
| 2x y 4 | | 2x x 4 | | (x 1) 3 | d 5 5 5
直线与抛物线的位置关系
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一条直线与抛物线只有一个公共点则二者一定 相切．( )
(2)过点(1， 0)的直线 l 被抛物线 y2＝4x 截得的最短弦 长为 4.( )
(3)直线 x－ 2y＋1＝0 与抛物线 y2＝x 的关系是相 交．( )
解析：(1)错误．直线与抛物线只有一个公共点，除 了相切情况，还有直线与抛物线对称轴平行的情况． (2)正确．(1，0)恰为 y2＝4x 的焦点，过焦点的弦中 通径是最短的，其通径为 4. x－2y＋1＝0， 2 (3)错误．由 2 ⇒y －2y＋1＝0，Δ＝0， y ＝ x
3．抛物线 y＝ax2＋1 与直线 y＝x 相切，则 a 等于 ( ) 1 1 1 A. B. C. D．1 8 4 2
2 y ＝ ax ＋1， 解析：由 消去 y，得 ax2－x＋1＝0. y＝x，
因为直线 y＝x 与抛物线 y＝ax2＋1 相切， 所以方程 ax2－x＋1＝0 有两相等实根．
5 （x1－x2）2＝ 4 1 5（a2－8a）. 4 因为|AB|＝ 15，
5 [（x1＋x2）2－4x1x2]＝ 4
1 所以 5（a2－8a）＝ 15， 4
即 a2－8a－48＝0，解得 a＝－4 或 a＝12. 所以所求抛物线方程为：x2＝－4y 或 x2＝12y.
类型 3 抛物线的中点弦及弦长问题 [典例 3] 过点 Q(4，1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰 被点 Q 所平分，求弦 AB 所在直线的方程． 解：法一：设以点 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为
类型 1 直线与抛物线的位置关系(自主研析) [典例 1] 已知直线 l：y＝kx＋1，抛物线 C：y2＝4x， 当 k 为何值时，l 与 C 有一个公共点、两个公共点、没有 公共点？ y＝kx＋1， [自主解答] 将 l 和 C 的方程联立得 2 y ＝4x，
知识讲解_直线与抛物线的位置关系_基础
直线与抛物线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”：一个动点，一定点F（即焦点），一定直线（即准线），一定值1（即动点M到定点F的距离与定直线l的距离之比）.要点二、抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：22y px=，22y px=-，22x py=，22x py=-(0)p>抛物线抛物线的定义与标准方程抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系抛物线的综合问题抛物线的弦问题抛物线的准线图像方程y 2=2px （p ＞0）y 2=－2px （p ＞0）x 2=2py （p ＞0）x 2=－2py （p ＞0）焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线2px =-2p x =2p y =-2p y =要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p 的值.要点三、抛物线的几何性质 范围：{0}x x ≥，{}y y R ∈，抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
抛物线是无界曲线。
对称性：关于x 轴对称抛物线y 2=2px （p ＞0）关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
解析几何中的抛物线与直线的关系分析
解析几何中的抛物线与直线的关系分析一、引言解析几何是数学中的一个重要分支，通过使用坐标系统和代数方法来研究几何图形。
抛物线和直线是解析几何中常见的两种曲线，它们之间的关系非常有意义和重要。
本文将对抛物线与直线的关系进行分析。
二、定义和特性1. 抛物线：抛物线是一种二次曲线，可以由方程y = ax^2 + bx + c表示，其中a、b和c是常数。
抛物线有几个重要特性，如焦点、顶点、对称轴等。
2. 直线：直线是一种直角度量最小的曲线，可以由方程y = mx + n表示，其中m和n是常数。
直线也有一些特性，如斜率、截距等。
三、抛物线与直线的关系1. 交点：抛物线和直线可以相交于一或两个点。
通过解方程组找到抛物线和直线的交点，可以求出它们的坐标。
2. 切线：直线可以作为抛物线的切线。
当直线与抛物线相切时，它们只有一个交点，并且在该点的切线与抛物线的切线方向相同。
3. 平行：如果直线与抛物线没有交点，且直线与抛物线的对称轴平行，则它们是平行的。
4. 垂直：如果直线与抛物线相交于抛物线的顶点，且直线与抛物线的切线垂直，则它们是垂直的。
四、实际应用抛物线与直线的关系在实际应用中有广泛的应用。
例如，在物理学中，抛物线的轨迹可以表示物体的运动路径，而直线可以表示物体的速度方向。
在工程学中，抛物线和直线的相交点可以用来计算曲线的最高点或最低点。
五、结论通过对抛物线与直线的关系进行分析，我们可以了解它们之间的几何性质和相互作用。
这些知识对于解析几何的研究和实际应用具有重要意义。
六、参考文献（根据需求添加）。
直线与抛物线的位置关系(附学生使用讲义)
直线与抛物线的位置关系一、 知识点1）直线与抛物线的位置关系的判断2）中点问题3）弦长问题4）韦达定理应用二、 教学过程1、 直线与抛物线位置关系例1 已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？解：设直线方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x -=+⎧⎨=⎩可得 244(21)0ky y k -++=当0k =，一个公共点，当0k ≠，0∆=即11,,2k or k =-=时一个公共点， 当0k ≠，0∆>即11,02k k -<<≠时两个公共点 当0k ≠，0∆<即1-1,2k k <>时无公共点 说明：1）联立方程后，消元时，可以选择将抛物线方程代入直线方程2）判断位置关系用∆方法，当需注意二次项的系数的讨论，其中二次项系数为零对应的直线与抛物线的对称轴平行3）直线与抛物线的位置关系仍分相交、相切、相离三种情形，但当相交时有可能为一个或两个公共点，也即一个公共点不一定相切配套练习：求过点(1,2)P 且与抛物线24y x =只有一个交点的直线方程参考答案：2,,10y or x y =+-=2、中点问题例2 已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 为,A B 的中点，求证：1202AB p p k y y y ==+ 配套练习：过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，求弦AB 所在直线的方程．参考答案：4x －y －15＝0.3、弦长公式例3 已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．解：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ，得2x 2－ax ＋a ＝0. ∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8.∴|AB |＝＝145（a 2－8a ）a ＝－4或a ＝12， ∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .4、韦达定理应用例4 若点 P （1，2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线y 2=2px （p ＞0）上的不同的三个点，直线AP ，BP 的斜率分别是k 1，k 2，若k 1+k 2=0，求直线AB 的斜率k ．分析1：设直线AP ：12(1)y k x -=-，联立抛物线方程24y x =可知，1142y k =-，同理2142y k =--，则1221p k y y ==-+ 分析2：设AB ：y kx m =+，联立抛物线方程24y x =可知，2440ky y m --= 又121244022k k y y +=+=++，则1244y y k +=-=，所以1k =- 配套练习：已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的动弦，且90AOB ∠=，求证直线AB 过定点参考：过定点(2,0)p直线与抛物线的位置关系讲义一、知识点1）直线与抛物线的位置关系的判断2）中点问题3）弦长公式4） 韦达定理应用二、教学过程2、 直线与抛物线位置关系例1 已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？练习：求过点(1,2)P 且与抛物线24y x =只有一个交点的直线方程2、中点问题例2 已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 为,A B 的中点，求证：1202AB p p k y y y ==+练习：过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，求弦AB 所在直线的方程．3、弦长公式例3 已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．4、韦达定理应用例4 若点 P （1，2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线y 2=2px （p ＞0）上的不同的三个点，直线AP ，BP 的斜率分别是k 1，k 2，若k 1+k 2=0，求直线AB 的斜率k ．练习：已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的动弦，且90AOB ∠=，求证：直线AB 过定点。
直线与抛物线位置关系
【学习目标】直线与抛物线的位置关系及判断方法（1） 直线和抛物线有三种位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一 个公共点）。
（2）直线和抛物线的位置关系的判断： 设直线方程：,m kx y +=抛物线方程：,22px y =两方程联立消去y 可得方程：222(22)0k x km p x m +-+=222(22)0k x km p x m +-+=，一般形式为20,Ax Bx C ++=若A=0，则直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交且只有一个交点；若A 0≠其判别式为∆=24B AC -当∆>0时，直线与抛物线相交且直线和抛物线有两个交点；当∆=0时，直线与抛物线相切且只有一个交点；当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点。
（注意：把直线和圆锥曲线的方程联立后得到方程20,ax bx c ++=它不一定是一元二次方程，要分析2x 的系数a ，才能确定。
如果不能确定，要分类讨论）。
（3）中点弦问题：在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0.考向一：直线与抛物线的位置关系例1 已知抛物线24y x =过定点A(-2, 1)的直线l 的斜率为k,下列情况下分别求k 的 取值范围：（1）l 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）l 与抛物线恰有两个公共点；（3） l 与抛物线没有公共点.考向二：弦长及中点弦问题例2、已知抛物线x y 22=，过点)1,2(Q 作一直线交抛物线于A 、B 两点，试求弦AB 的中点轨迹方程。
2.4.3直线与抛物线的位置关系 （第1课时，共1课时）考向三、 对称问题例3：已知抛物线y ＝ax 2－1(a ≠0)上总有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点，求a 的取值范围．考向四 定点与定值问题①定值问题 在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。
直线与抛物线的位置关系
y
0
x
2、直线和椭圆
y
F1 0
F2
x
3、直线与双曲线
y
渐进线方程
．．
F
O
x
一、直线与抛物线位置关系种类
y 相离
O
相切
x
相交
一个交点或者 两个交点
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线的对称轴平行
y
O
例：判断直线 y = 6与抛
物线 y2 =4x的位置
关系及求交点坐标？
x
计点坐标为（9，6）
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线的对称轴平行
变式练习：
y
若直线y=kx+1与抛物
线y2= x仅有一个公共
点，则 k 的值？
O
x
2、直线与抛物线的对称轴不平行
y
O
例：判断直线 y = x -1与
抛物线 y2 =4x 的位置 关系及求弦长？
x 计算结果：
晚众叛亲离.悦悦,动作快些,这地方我一刻都不想呆.”一看见她就想起自己以前の白痴样,简直无地自容.“哎.”陈悦然开心地应下.所以,等陆羽收拾好东西出来客厅,发现早已人去楼空,留下一室の凌乱与垃圾.她没说什么,挽起袖子开始打扫卫生.傍晚时分,房东带着人来了,三下五除二就 把门锁换成新の,给了陆羽一把,其余の交还给房东.陆羽顺便告诉房东退租の事,并叮嘱说：“我那舍友已经搬出去,以后她找您拿钥匙不必给.”“好,”房东太太应下,语气关切地问,“那你找到房子了？剩下の三个月你一个人交租？”“嗯.”陆羽笑笑说,“我有事要出去一趟,可能需要三 两个月の时间,房租我会定期转帐の.”在人们眼里,一个十八岁就已经本科毕业の女孩跟天才儿童没区别,因此格外看重偏心.“哦,那这样吧,房租我给你减两百,”
初二数学直线与抛物线关系分析
初二数学直线与抛物线关系分析直线和抛物线是数学中常见的曲线形状，它们在几何和代数的研究中都起到重要的作用。
本文将对初二数学中的直线和抛物线之间的关系进行深入分析，探讨它们的共同点和特殊之处。
1. 直线的基本概念和性质直线是最简单的几何图形之一，可以由一个点和一个方向向量唯一确定。
直线具有以下特点：- 直线上的任意两点可以确定一条直线，即直线的唯一性；- 直线上的任意两点之间的距离是恒定的，即直线的长度是无穷的；- 直线上的任意一点到其他的点的距离都是最短的，即直线上的点之间的最短路径是直线。
2. 抛物线的基本概念和性质抛物线是一种平面曲线，也可以通过基准点和焦点来确定。
抛物线具有以下特点：- 抛物线上的任意一点到基准点的距离等于该点到焦点的距离；- 抛物线对称于基准线，即抛物线两侧的点关于基准线有镜像对称关系；- 抛物线的顶点是其凸面方向的极值点。
3. 直线与抛物线的关系直线和抛物线之间存在一些重要的数学关系：- 直线可以与抛物线相切或者相交；- 当直线与抛物线相切时，它们在切点处有相同的斜率；- 当直线与抛物线相交时，它们会在交点处交叉。
4. 直线与抛物线的求解方法在数学解题中，直线与抛物线经常会一起出现，需要采取相应的方法进行求解：- 利用直线的方程和抛物线的方程，可以通过联立方程的方式求解直线与抛物线的交点；- 利用直线的斜率和抛物线的切线方程，可以求解直线与抛物线的切点。
5. 直线与抛物线的实际应用直线和抛物线的关系不仅仅局限于数学理论中，它们在实际生活中也有广泛的应用：- 在建筑设计和工程建设中，直线和抛物线的特性常用于设计几何形状和构造建筑物；- 在物体运动和力学问题中，抛物线可以描述物体的轨迹，而直线可以描述物体的速度和加速度。
综上所述，直线和抛物线是初二数学中重要的概念，它们具有不同的特点和性质，并且有着密切的关联。
通过深入分析它们的共同点和特殊之处，我们可以更好地理解和应用这两个曲线形状，提高数学问题的解决能力。
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p 2
x 2py
2
p ( 0, ) 2 ( 0, p ) 2
p y 2
p y 2
向下
x 2py
2
回顾：常见解答题汇总
一、弦长Hale Waihona Puke 题二、垂直问题 三、平分问题
复习：常用公式
AB (1 k 2 )[( x1+x2 ) 2 4 x1 x2 ]
OA OB x1x2 y1 y2 0
抛物线及直线位置关系
考纲要求
1、掌握抛物线的概念、标准方程和性质，
2、能灵活运用它们解决相关。 重点：弦长、平分、垂直问题
难点：概念及应用
复习：抛物线方程与性质
开口方向
向右 向左
向上
标准方 程
焦点坐标
p ( ,0) 2
准线方程
x p 2
y 2px
2
y 2px
2
(
p ,0 ) 2
x
y
M
o
x
答案： 6 x y 11 0
内容公式小结
AB (1 k 2 )[( x1+x2 ) 2 4 x1 x2 ]
OA OB x1x2 y1 y2 0
高考链接
（12年春季高考）已知以坐标原点为顶点的抛物线，
其焦点在x轴正半轴上，且焦点到准线的距离是3， 则抛物线的标准方程是（ A ） A.y2=6x B. y2=-6x C.y2=3x D.y2=-3x
该抛物线的标准方程是（ D ）
(A) y 2 8x (B) y 2 8x (C)
y2 4x
(D)
y2 4x
抛物线及直线位置关系
谢谢大家 在数学的天地里，重要的
不是我们知道什么，而是我们 怎么知道什么！
2005年10月27日
请多指教 ——毕达哥拉斯
例题选讲
y
A
O
B
x
直线与抛物线题型
一、弦长问题
二、垂直问题 三、平分问题
例题选讲
2、求抛物线y 2 x与直线y k ( x 1)相交于A、B点， 求证OA OB
y
A
x
B
O
直线与抛物线题型
一、弦长问题
二、垂直问题 三、平分问题
例题选讲
3、抛物线y 2 12 x, 过点M （2， 1 ）做直线交抛物线 于A，B点，若点M平分AB,求直线方程。
（11年春季高考）
B
高考链接
2 y 12 x （14年春季高考）第一象限内的点P在抛物线
上，它到准线的距离为7，则点 P 的坐标为（A）
4 (A) ( 4 ， 3)
2 6 ) (C) (1， (B) ( 3 ， 3)
(D)
( 2， 2 6)
（13年春季高考）已知抛物线的准线方程是 x 2 ，则