高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式(一)新人教A版必修4
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(一)
的运用．利用诱导公式把求任意角的三角函数值转化为求锐角 的三角函数值，清晰地体现了化归的思想.
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（一）
1．设 α 为任意角，则 π＋α，－α，π－α 的终边与 α 的终边之间
本 课 时 栏 目 开 关
的对称关系.
相关角 π＋ α 与 α －α 与 α π－ α 与 α 终边之间的对称关系 关于 原点 对称 关于 x轴 对称 关于 y轴 对称
研一研·问题探究、课堂更高效
由三角函数的定义得
§1.3（一）
y sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ x ，
－y y 本 又 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝ －x ＝ x ，
课 时 栏 ∴sin(π＋α)＝－sin α ， cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝ tan α . 目 开 关 (3)公式作用：第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三
§1.3（一）
(1)公式内容：
sinπ＋α＝－sin α，
本 课 时 栏 目 开 关
cosπ＋α＝－cos α， tanπ＋α＝tan α.
(2)公式推导： 如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P1(x， y)，则角 π＋α 的终边与单位圆的交点为 P2(－x，－y)，下面是根据三角函数定义推 导公式的过程，请你补充完整：
§1.3（一）
本 课 时 栏 目 开 关
§1.3（一）
【学习要求】 1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
本 课 化简和证明问题． 时 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、 栏 目 【学法指导】 开 关 1．本节将要学习的诱导公式既是
1 3 2π － ， 2 2 (4)角 的终边与单位圆的交点坐标为_______________ ，所以
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
高中数学 1.3.1 三角函数的诱导公式(一)素材 新人教A版必修4
1.3.1三角函数的诱导公式命题方向1 求值问题利用诱导公式求任意角三角函数的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．[特别提醒] 牢记0°，30°，45°，60°，90°角的正弦、余弦和正切值对给角求值问题很重要！求下列三角函数值：(1)sin960°；(2)cos(－43π6)． [分析] 先将不是[0°，360°)范围内角的三角函数，转化为[0°，360°)范围内的角的三角函数(利用诱导公式一)，或先将负角转化为正角，然后再用诱导公式化到[0°，90°]范围内的三角函数的值．[解析] (1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32. (2)cos(－43π6)＝cos 43π6＝cos(7π6＋6π)＝cos 7π6＝cos(π6＋π)＝－cos π6＝－32.[点评] 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0°，360°)内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值)．解决条件求值问题策略解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．[解析] ∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝13， ∴cos α＝±1－cos2α＝±1－(13)2＝±223又∵cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝±223. 命题方向2 三角函数式的化简问题三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．化简：(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；(2)sin2(α＋π)cos(π＋α)tan(π－α)cos3(－α－π)tan(－α－2π). [分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．[解析] (1)原式＝(－sin α)·cos(π＋α)·tan α＝－sin α·(－cos α)·sin αcos α＝sin2α.(2)原式＝(－sin α)2·(－cos α)(－tan α)·(－cos α)3·(－tan α)＝－sin2αcos α－tan2α·cos3α＝1. 命题方向3 三角函数式的证明问题三角函数关系式的证明方法证明简单的三角函数关系式常用的途径有(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．(2)证明左边＝A ，右边＝A ，则左边＝右边，这里的A 起着桥梁的作用．(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或左边右边＝1.设tan(α＋87π)＝m.求证：sin(157π＋α)＋3cos(α－137π)sin(20π7－α)－cos(α＋227π)＝m ＋3m ＋1. [分析] 本题主要考查诱导公式，从已知角的关系入手，将所求各角用α＋87π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求解．[解析]左边＝sin[π＋(87π＋α)]＋3cos[(α＋8π7)－3π]sin[4π－(α＋87π)]－cos[2π＋(α＋8π7)] ＝－sin(α＋8π7)－3cos(α＋8π7)－sin(α＋8π7)－cos(α＋8π7) ＝tan(α＋87π)＋3tan(π＋87π)＋1 ＝m ＋3m ＋1＝右边．∴等式成立．[点评] 本题是条件等式的证明，证明条件等式一般常用的方法有两种：一是从被证等式一边推向另一边，并在适当的时候，将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称为代入法；二是直接将条件变形，变形为被证等式，这种方法称为推出法或直接法．证明条件等式无论使用哪种方法，都要盯住目标，据果变形．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
1.3三角函数的诱导公式-练习课(高中数学人教A版必修四)
7.若f (cosx) cos2 x, 求f (sin15).
3 2
2 1 ）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号； 2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；
1.求下列三角函数值 （1） sin 390 （2） cos
5 6
（3） tan(
5 ) 4
(4) sin(
5 ) 6
(6) tan(240)
1 2.已知 sin( ) ,求下列各式的值 2 3 （1） sin( 5 ) （2） cos( ) 2
（3） tan( )
2
1 (3)已知 cos(75 ) , 其中75 为第四象限角 . 3 求 : cos(105 ) sin( 105 )的值.
口诀：奇变偶不变，符号看象限
2
y
2
2k
3 2
o
2
x
3 2
1.六组诱导公式
角 正弦
2kπ +α
-α
π +α
π -α
2 -α
sinα -sinα
-sinα sinα
cosα sinα
3 +α 2 cosα -cosα -cosα
分析: 利用 180 (75 ). 105
2 2 1 3
注意: (整体代换) k (k Z ) 若+,-为
2
,
则可用诱导公式进行整体代换.
能力训练题
分析 : f (sin 15) f [cos(90 75)] cos[ 2(90 15)] cos(150)
1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)
π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知 求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值 的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求 已知 且 求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值 利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值 已知 的值. 求
【数学】1.3《三角函数的诱导公式》学案(1)(新人教A版必修4)
难点16 三角函数的诱导公式运用 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场 (★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)=41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41.［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)故－22a－2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值.命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维. 解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos3π+cos x sin3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.(3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f -－1(1)=4π.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是( ) A.21B.－2C.34 D.21或－2二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=_________. 3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题 4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求xxx tan 1sin22sin 2-+的值.6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin2csc)cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场 解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π,∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0. tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a ,整理得2tan 222tan32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2.答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β答案：2473.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0,2π),又cos(α－4π)=53.6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案：6556三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin2cos sin 2tan 1sin22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x xx x xx x x x x x x x ππππππππππ又解2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos2sin42)2sin 2(sin2)2sin 2121(42cos2cos22sin2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin2csc)cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ）∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－1.7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sinθ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ.于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)=33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t ..21,232,2,258log2log82log,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y Mt t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当。
高中数学人教A版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(一)
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3
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2.已知cos(α -75°)=- 1 ,且α 为第四象限角,求
3
sin(105°+α )的值. 【解题指南】由于105°+α =180°+(α -75°),故欲求 sin(105°+α ),需利用条件求出sin(α -75°).该三角函 数式只需用平方关系即可求得.
【解析】因为cos(α-75°)=- <1 0,且α为
(3)注意“1”的应用:1=sin2α +cos2α =tan .
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【拓展延伸】三角函数式化简的思路以及含有kπ ±α 形式的处理方法 (1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α 的三角函 数转化. (2)含有kπ ±α 形式的化简时需对k分是偶数还是奇数 来确定选用的公式.
【变式训练】化简 scio n s(( 4 4 ))scio ns(2 5( ))cso in s2 2(( 3 )).
sin(2m )cos［2m 1 ］ sin［2m 1 ］cos(2m )
sin()cos( ) sin(cos) 1. sin( )cos sincos
k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),
原式sin［s2im n(2m 2］ c)cooss［ (2m 2m 1)］
提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决 问题的关键.
【补偿训练】1.已知 sin(－)＝1，
3
2
求cos2(α - )·sin ( 2 ＋ ) 的值.
3
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【解析】cos2()sin(2＋ )
33
＝cos2[－(－)]sin[－(－)]
3
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高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第2课时课件新人教A版必修4
右边=ttaann������������+-11
=
csoins������������+1 csoins������������-1
=
ssiinn������������+-ccooss������������,
∴左边=右边.故原等式成立.
探究一
探究二
探究三
思想方法
三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或 从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义 法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌 握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
“×”.
(1)角 α 的正弦值等于其余角的余弦值.
(2)cos
3π 2
-������
=-sin α.
(3)tan
π 2
+
������
=-ta1n������.
(4)当 α 是第二象限角时,cos
π 2
-������
=-sin α.
() () () ()
(5)sin α+32π =cos α. (6)sin 95°+cos 175°=0.
(������为奇数).
方法二 原式=((--11))������������ssiinn������������+·((--11))������������csoisn������������ = 2c(o-1s���)���������.
探究一
探究二
探究三
思想方法
利用诱导公式化简三角函数式的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
探究一
探究二
高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)
三角函数的诱导公式(一) 【知识梳理】1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.cos(π＋α)＝－cos_α.tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.cos(π－α)＝－cos_α.tan(π－α)＝－tan_α.【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32； (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；(3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. 【类题通法】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【对点训练】求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44. 题型二、化简求值问题【例2】 (1)化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________； (2)化简sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). (1)[解析]cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1. [答案] 1(2)[解] 原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1. 【类题通法】利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．【对点训练】化简：tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ). 解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 题型三、给角（或式）求值问题【例3】 (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( ) A ．1B ．－1 C.13 D ．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值． (1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin [(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. [答案] D(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角．sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223. ∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin [180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【对点训练】已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值．解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝13，所以α是第一象限或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝223，此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－223.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－223，此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝223.【练习反馈】1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255 B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55.2．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－35 B.35C ．±35 D.45解析：选B sin α＝－45，又α是第四象限角，∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝35.3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝________.解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 答案：m ＋1m －14.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________． 解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6的值． 解：cos ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ －cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.。
高中数学 1.3.1三角函数的诱导公式课件 新人教A版必修4
典例剖析 知识点 1 给角求值 【例 1】 求下列各式的值： (1)cos(－2 640°)＋cos(1 665°)； (2)sin2nπ＋23π·cosnπ＋43π(n∈Z)． 思路点拨：运用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．
第十页，共23页。
解：(1)cos(－2 640°)＋cos(1 665°)＝cos(－8×360°＋240°)＋
自主探究
是否存在角 α 和 β，当 α∈－π2，π2，β∈(0，π)时，等式
sin3π－α＝
2cosπ2－β，
同时成立？若存在，则求出 α 和 β
3cos－α＝－ 2cosπ＋β
的值；若不存在，请说明理由．
第五页，共23页。
解：存在 α＝π4，β＝π6使等式同时成立．理由如下：
由sin3π－α＝ 2cosπ2－β， 3cos－α＝－ 2cosπ＋β，
第十七页，共23页。
3．若 tan(5π＋α)＝m，则sisninα－－α3π－＋cocossππ＋－αα 的值为(
)
m＋1 A.m－1
m－1 B.m＋1
C．－1
D．1
【答案】A
第十八页，共23页。
误区解密 对由三角函数复合所得的函数认识模糊而出错 【例题】 若 f(sin x)＝cos 17x，求 f12的值．
＝－12－sin
π 4tan
π6＝－12×－
22×
33＝
6 12 .
第十三页，共23页。
知识点 2 化简三角函数式或证明三角恒等式 【例 2】 求证：tan2π－coαssαin－－π2siπn－5απ－coαs6π－α＝－tan α. 思路点拨： 运用诱导公式把各三角函数都转化为 α 的三角函数值． 证明：左边＝－tan－αc·o－s αsi·nsinαα·cos α＝－tan α＝右边．所以原 等式成立．
03【数学】1.3《三角函数的诱导公式》教案(新人教A版必修4)
第一章三角函数4-1.3三角函数的诱导公式一、教材分析（一）教材的地位与作用：1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。
诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、目标分析根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标为：1、知识目标：（1）识记诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2、能力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
3、情感目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
300 2100 х三、过程分析（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式1.3.1诱导公式(1)课件新人教A版必修4
＝tan1t5a0n°1c2o0s°3s0i°nc3o0s°120°＝
33× －
32×3×12 12＝－
3 6.
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方法归纳 利用诱导公式解决给角求值问题的方法 (1)“负化正”； (2)“大化小”，用公式一将角化为 0°到 360°间的角； (3)“小化锐”，用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．
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|巩固提升| 1．tan(－1560°)＝( )
A．－
3 3
B.
3 3
C．－ 3 D. 3
解析：tan(－1560°)＝－tan1560°＝－tan(4×360°＋120°)＝－ tan120°＝－tan(180°－60°)＝tan60°＝ 3.
答案：D
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(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin30°＝
232－
232＋
12＝12.
答案：(1)C (2)12
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类型二 已知三角函数值求相关角的三角函数值
[例 2] 若 sin(π＋α)＝12，α∈－π2，0，则 tan(π－α)等于(
)
A．－12
B．－
3 2
C．－ 3
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方法归纳 利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目 的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改 变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切 化弦，有时也将弦化切．
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方法归纳 解决条件求值问题的方法 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的 角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形 向已知式转化．
1.3 三角函数的诱导公式-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)
知识点一诱导公式一设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式一sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.知识点二诱导公式二思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.απ+与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平11.熟练掌握相应角的终边上点的坐标的特点。
2.使用诱导公式的目的在于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
【考查内容】诱导公式的应用，三角函数的基本关系式。
【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.α-与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平 13.απ-与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平14.απ±2与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平1第三讲三角函数的诱导公式知识通关答案 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称，P 2与P 也关于x 轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式二知识点三 诱导公式三思考 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P 3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P (cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案 角π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称，P 3与P 也关于y 轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式三梳理 公式一～三都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这三组公式的共同特点是：2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．知识点四 诱导公式四完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系．(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4；(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π6.由此可得 诱导公式四知识点五 诱导公式五思考 能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案 以－α代替公式四中的α得到 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin(－α)． 由此可得 诱导公式五知识点六 诱导公式的推广与规律1．sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α.2．诱导公式记忆规律：公式一～三归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式四～五归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”． 五组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．题型一 利用诱导公式求值 命题角度1 给角求值问题变式训练1-1 求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6；(3)tan(－945°)．解析： (1) sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. (2) cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.命题角度2 给值求值或给值求角问题 例1-2 (1)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3答案 D－α)题型三 利用诱导公式求值例3、 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2， 求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 解析： ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35.变式训练3已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－α的值． 解析： ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 题型四 利用诱导公式证明三角恒等式 规律方法 例4、求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明： ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． 变式训练4求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ).证明： 右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边， 所以原等式成立．题型五 诱导公式的综合应用 规律方法例5 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值． 解析： (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.变式训练5已知f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α. 解析：(1)f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35， 又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2 α＝45， 则tan α＝sin αcos α＝－43.一、选择题1．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( ) A ．π－4 B ．4 C ．－4 D ．4－π 解析： tan(π－α)＝－tan α＝－4. 答案 C2．cos(π＋x )等于( ) A ．cos x B ．－cos x C ．sin xD ．－sin x解析： 由诱导公式得cos(π＋x )＝－cos x . 答案 B3．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.35解析： 因为sin(π＋α)＝35，且sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝－35，又因为α是第四象限角，所以cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. 答案 B4．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 2解析： ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ， ∴sin 80°＝1－k 2，则tan 80°＝1－k 2k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.A 组 基础演练答案 B5．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53B ．－53C ．±53D ．以上都不对解析： ∵sin(π－α)＝sin α＝32log 2－2＝－23，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. 答案 B6．若cos(2π－α)＝53，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α等于( ) A ．－53B ．－23C.53D ．±53解析： ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α＝－53. 答案 A7．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)等于( )A ．2B ．－2C ．0 D.23解析： sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案 B8．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析： sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝cos α，故cos α＝15，故选C. 答案 C9．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( ) A ．k B ．－k C ．±k D ．不确定解析： cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k 答案 B.10．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析： ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 项正确． 答案 D二、填空题11．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为______． 解析： tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝－3a＝3，即a ＝－ 3.答案 －3 12.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析： 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2.答案 2－213．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析： ∵a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33， b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin 33π4＝－sin π4＝－22，∴b ＞a ＞c . 答案 b ＞a ＞c14．化简sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝ .解析： 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin α＝(－cos α)·sin αcos α·sin α＝－1.答案 －1三、解答题16.化简下列各式：(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)；(2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).解析： (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin 30°－tan 45°＝12.17．已知角α的终边经过单位圆上的点P ⎝⎛⎭⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求cos (2π－α)sin (π＋α)·tan (π＋α)cos (3π－α)的值．解析： (1)∵点P 在单位圆上，∴由正弦的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦的定义得cos α＝45，故原式＝54.一、选择题1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析： sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32.答案 C2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2解析： 原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.答案 D3．已知n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A ．tan nαB ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α解析： 当n ＝2k ，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α；当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α.故选C.答案 C4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13解析： cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13.答案 C5．化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的结果是( )A ．1B ．sin 2αC ．－cos 2αD ．－1解析： 因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α，tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α，所以原式＝cos α(－sin α)cos αsin α＝－cos 2α，故选C.答案 C6．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析： f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.答案 A7．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m2解析： ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.故cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m2.答案 C解析：∵f (2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＋4＝3，∴a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝－1，∴f (2018)＝a sin(2017π＋α＋π)＋b cos(2017π＋β＋π)＋4＝－a sin(2017π＋α)－b cos(2017π＋β)＋4＝1＋4＝5.答案 C10．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( )A ．89B ．90 C.892D ．45解析：原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 答案 C二、填空题11．化简cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________. 解析： cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α ＝cos αtan αsin α＝cos αsin αcos αsin α＝1. 答案 112．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数，若f (2 017)＝－1，则f (2 018)＝________. 解析： ∵f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin(π＋2 017π＋α)＋b cos(π＋2 017π＋β)＝－a sin(2 017π＋α)－b cos(2 017π＋β)＝－f (2 017)，又f (2 017)＝－1，∴f (2 018)＝1.答案 113．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析： 因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52， 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案 －214．给出下列三个结论，其中正确结论的序号是 ．①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角；②若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13； ③若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－1tan α. 解析： 由诱导公式二，知α∈R 时，sin(π＋α)＝－sin α，所以①错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13， 当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos [(2k ＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以②错误． 若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α－sin α＝－1tan α，所以③正确． 答案 ③三、解答题15. 化简下列各式：(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解析： (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.16．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值．解析： ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＋cos θ＝72，∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38，∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.17．已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．解析： f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α.(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＋2π＝15，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝15，∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60° ＝－233.高中数学，同步讲义必修四第一章三角函数第三讲三角函数的诱导公式。
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一)课件 新人教A版必修4
【解析( jiě xī)】1.选B.sin2(π-α)-cos(π+α)cos(-α)+1
=sin2α+cos2α+1=2.
2.(1)原式
cos tan tan
tan .
sin
(2)当k为偶数时，原式 sin 2 cos 4
33
sin( ) cos( )
3
3
sin cos 3 33 4
6
6
【解析】因为(yīcons(w5èi) ) cos[ ( )] cos( ) 3 ,
所以
6
6
6
3
又因为si(ny2ī(n56wèi))
1
cos2
(
5 6
)
1
(
3)2 2. 33
所以 cos( ) cos[( )] cos( ) 3 .
6
6
6
3
sin2 (5 ) cos( )
6
6
2 3 2 3. 33 3
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【拓展提升】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称 及有关(yǒuguān)运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转 化.
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当k为奇数( jī shù)时，s原in 式2 cos( 4)
3
3
sin( )cos(2 )
3
3
sin cos 3 . 3 34
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【拓展提升】三角函数式化简的常用方法
(1)依据(yījù)所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化