第七章 第1节 Laplace变换的概念
7拉普拉斯变换
t （3） te ℒ
(1)
ℒ t
2
1 2 ( 2 ) 3 s s
t ℒ
n! , (Re(s ) 0). n1 s ( Re (s ) 0);
(Re (s ) 0);
（2）ℒ t sint
（3） ℒ te
1 2s ( 2 ) 2 s 1 ( s 1)2
记作： f (t ) ℒ1 F ( s)
f (t )
ℒ
F ( s)
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复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
26 December 2018
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第七章拉普拉斯积分变换
例1. 求下列函数的拉普拉斯变换.
1 ( t 0), 1) u( t ) ; 0 ( t 0).
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26 December 2018
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第七章拉普拉斯积分变换
2.微分性质
i ) 象函数的微分性质 f (t ) u(t ) f (t ) ℒ F ( s ) (Re(s ) c ) 设： n ( n) n ℒ 则： ( 1 ) F ( s ) (Re(s ) c ) t f (t )
t
1 1 ( ) s1 ( s 1)2
(Re (s ) 1).
复变函数与积分变换
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第七章拉普拉斯积分变换
用laplace变换求解微分方程
用laplace变换求解微分方程Laplace变换是求解微分方程的重要工具之一。
它将微分方程转换为代数方程，进而利用代数方法进行求解。
下面将介绍Laplace变换的定义、性质和用法，并以一个例子来说明如何用Laplace变换求解微分方程。
一、Laplace变换的定义和性质Laplace变换将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)，表示如下：F(s) = L[f(t)] = ∫_0^∞e^(-st)f(t) dt其中，s是复数变量，f(t)是一定条件下的函数。
Laplace变换具有以下性质：1. 线性性：若f(t)和g(t)是两个函数，a和b是常数，则有L[af(t)+bg(t)] = aL[f(t)]+bL[g(t)]。
2. 移位性：若F(s)是函数f(t)的Laplace变换，则有L[e^(at)f(t)] = F(s-a)。
3. 导数定理：若f(t)的Laplace变换为F(s)，则f'(t)的Laplace变换为sF(s)-f(0)。
4. 积分定理：若f(t)的Laplace变换为F(s)，则∫_0^t f(t) dt的Laplace变换为1/(sF(s))。
二、Laplace变换的用法1. 用Laplace变换求解微分方程：将微分方程转换为代数方程进行求解。
具体而言，可将微分方程左右两边同时进行Laplace变换，然后利用Laplace变换的性质进行消元求解。
2. 利用Laplace变换求解初值问题：即给定f(0)和f'(0)的初值条件下，求解微分方程的解。
可将初值条件施加于代数方程中，通过消元得到解F(s)，再对其进行反演Laplace变换即可得到解f(t)。
三、例题解析求解微分方程y''+2y'+y = t, y(0)=0, y'(0)=1。
1. 进行Laplace变换：对两边同时进行Laplace变换，得到(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)) +2(sY(s)-y(0)) + Y(s) = 1/s^2化简得到：Y(s) = 1/(s^2+2s+1) + s/(s^2+2s+1)2. 分解代数式：将分母因式分解，得到Y(s) = 1/[(s+1)^2] + s/[(s+1)^2]3. 反演Laplace变换：分别对两项进行反演Laplace变换，得到y(t) = t*e^(-t)因此，原微分方程的通解为y(t) = c1*e^(-t) + c2*t*e^(-t)，带入初值条件y(0)=0和y'(0)=1可得到c1=0和c2=1，因此，原微分方程的解为y(t) = t*e^(-t)。
常数的laplace变换
常数的laplace变换常数的Laplace变换是一种数学工具，用于将一个函数从时间域转换到复频域。
它在信号处理、控制系统和电路分析中被广泛应用。
本文将介绍Laplace变换的基本概念、性质和应用，并探讨它在现实生活中的意义。
Laplace变换是将一个函数从时间域转换到复频域的操作。
它可以将一个函数f(t)映射为复频域上的函数F(s)，其中s是复数变量。
Laplace变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e^(-st)是Laplace变换的核函数，s是复频域变量。
通过Laplace变换，我们可以将一个函数从时间域转换为复频域，从而更方便地进行分析和处理。
Laplace变换具有一些重要的性质。
首先，它是线性的，即对于任意常数a和b，有L[af(t)+bg(t)] = aF(s) + bG(s)。
其次，Laplace变换具有平移性质，即对于任意常数a，有L[e^(at)f(t)] = F(s-a)。
此外，Laplace变换还具有微分和积分的性质，使得我们可以方便地进行微分方程的求解。
在信号处理中，Laplace变换被广泛应用于信号的分析和滤波。
通过将信号从时间域转换到复频域，我们可以清晰地观察信号的频谱特性，从而设计合适的滤波器进行信号处理。
例如，在音频处理中，可以使用Laplace变换将音频信号转换为频域表示，然后进行降噪或者增强特定频段的操作。
在控制系统中，Laplace变换被用于分析和设计控制系统的动态特性。
通过将系统的微分方程进行Laplace变换，我们可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、响应特性和频率特性。
这对于控制系统的设计和优化非常重要。
在电路分析中，Laplace变换可以简化电路的分析和求解。
通过将电路中的微分方程进行Laplace变换，我们可以将电路中的元件和信号转换为复频域上的阻抗和传递函数，从而更方便地进行分析和计算。
拉普拉斯变换法
f ( p)e pt , pk
例：已知：f
(
p)
(2
2p2 4p p 1)( p2
1)
，求f
(t)。
f (t) L
1[
f
(
p)]
Re
s
f
(
p)e
pt
,
1 2
Re
s
f ( p)e pt , i
Re s
L [eat ] e pat dt
0
1 e pat pa
0
1 (Re p Re a) pa
L t te ptdt
0
1
tde pt
p0
1
te pt
1
e pt dt
p
0 p0
1 p2
e pt
0
1 p2
(Re p 0)
三、Laplace变换的性质
1、线性性质
L f (t) g(t) L f (t) L g(t)
例：已知L
cos t
p p2 1
L sin t L cos't
pL (cost) cos 0
p
p
p 2
1
1
1 p2 1
例：初始问题
y y
' '
t0
yt y'
t
0
0
设L yt y( p)
L y''t p2L yt py0 y'0
p2 y( p) p 0 0 p2 y( p)
当n 1时，
f 0 f '0 f ''0 f '''0 f n1 0 0
f nt n!
积分变换laplace
(n)
(t ) s F ( s ) s
n
n1
f (0) s
n 2
f ( 0 ) f
( n1)
(0)
17
例1 求
f
t
t
m
的拉氏变换（m为正整数）。
m 1
解 由于 f
0
f 0 f
(m )
0
0, 而 f
m
t
存在常数 M > 0及c 0, 使得
|f (t)| M e c t, 0 t <. 则 f (t)的拉氏变换
F ( s)
f ( t )e d t
st
0
在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的半平面 内, F(s)为解析函数.
6
y
Mect
f (t)
O
e
st
dt
1 s
e
st
0
1 s
0
L [ u ( t )]
1 s
(R e ( s ) 0 ) .
4
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数).
解 根据拉氏变换的定义, 有
L[ f ( t )]
e e
kt
st
dt
0
e
( sk ) t
L a 1 f 1 ( t ) a 2 f 2 ( t ) a 1 F 1 ( s ) a 2 F 2 ( s ),
1
L
b1 F 1 ( s ) b 2 F 2 ( s ) b1 f 1 ( t ) b 2 f 2 ( t ) .
拉普拉斯(Laplace)变换.
p1 )(s
p2 )] s p1
用拉氏变换解线性微分方程的步骤
1. 对线性微分方程中的每一项进行拉氏变 换，使微分方程变为S的代数方程；
2. 解该代数方程，得到有关变量的拉氏变 换表达式；
3. 用拉氏反变换得到微分方程复数
复变量 s j 其中σ为实部，ω为虚部
复变函数 G(s) Gx jGy 其中Gx、Gy均为实数 Gx jGy 与 Gx jGy 互为共轭复数
复变函数的一般形式
G(s) K (s z1)(s z2) (s p1)(s p2)
其中 z1、z2、…为零点，p1、p2 …为极点
F s Lut 1
s
f
t
L1
1 s
1t
典型时间函数的拉氏变换
3. 单位斜坡函数 r(t)
r t
0 t
t 0 t 0
F s
Lrt
1 s2
f
t
L1
1 s2
t
典型时间函数的拉氏变换
4. 幂函数 f(t)=tn (n>-1)
F s L t n
n 1
s n1
当n是正整数时，n 1 n!，因此
6. 正弦函数 f(t)=sinωt (ω为实数)
Fs Lsin t
s2 2
f
t
L1
s2
2
sin
t
典型时间函数的拉氏变换
7. 余弦函数 f(t)=cosωt (ω为实数)
F s
Lcost
s2
s
2
f
t
L1
s2
s
2
c ost
拉氏变换的基本定理
1. 线性定理
设a和b为常数，则有
Laplace变换和逆变换
2) 含有共轭复数极点的情况
a3 an a1 s a 2 M ( s) F ( s) N ( s) ( s j )( s j ) s p 3 s pn
将上式两端同乘(s+2s 5 3 a3 ( s 2) 5 3 ( s 2) s 2
d s 2 2s 5 3 a2 ( s 2) 2 3 ds ( s 2) s 2
d 2 s 2 2s 5 3 a1 ( s 2) 1 2 3 2!ds ( s 2) s 2
pn t
)
s3 例2-19 求 F ( s) 2 的Laplace逆变换 s 3s 2
解 F ( s)
a1 a2 s3 s3 2 s 3s 2 ( s 1)( s 2) s 1 s 2
其中
s3 a1 ( s 1) 2 ( s 1)( s 2) s 1
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (n m) n 1 N (s) s a1s an1s an
m
m 1
使分母为零的s值称为极点，
使分子为零的点称为零点。
根据实系数多项式分解定理，分母有n 次多项式，则必然有 n个根，因此F(s)可分解为
1 a j st f (t ) F ( s)e ds 2j a j
简写
f (t ) L [ F (s)]
直接通过积分求 Laplace 逆变换通常很繁锁，对于一般问 题都可以避免这样的积分，利用Laplace 变换表，查表求 原函数。
1
对于一般的控制系统，可以用通用有理分式表示
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
复变函数课件-积分变换2-Laplace变换
Laplace变换可以处理具有初始值的 问题，能够更好地揭示函数的整体性 质；傅里叶变换可以分析信号的频率 成分，便于频域分析和滤波器设计。
05 Laplace变换的进一步研 究
Laplace变换的扩展和推广
广义Laplace变换
在更广泛的函数空间中定义Laplace变换，包括允许有间断点的函 数。
边值问题
Laplace变换在求解某些微分方程的 边值问题时也很有用，可以将复杂的 微分方程简化为更易处理的代数方程 。
在控制系统中的应用
01
02
03
系统稳定性分析
通过Laplace变换，可以 分析控制系统的稳定性， 确定系统是否能够保持稳 定状态。
系统响应分析
利用Laplace变换，可以 计算系统在输入信号下的 响应，从而了解系统的动 态行为。
02
其中，F(s)是f(t)的Laplace变换， f'(t)表示f(t)的导数。
02 Laplace变换的逆变换
定义和性质
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace 变换后的函数进行反演，得到原 函数的过程。
性质
Laplace逆变换具有线性性、时移 性、微分性等性质，这些性质在 求解逆变换时具有重要作用。
系统设计
在控制系统设计中， Laplace变换可以帮助设 计者分析系统的性能指标 ，优化系统设计。
在信号处理中的应用
信号的频域分析
通过Laplace变换，可以将 信号从时域转换到频域， 从而分析信号的频率成分 。
信号滤波和降噪
利用Laplace变换，可以对 信号进行滤波和降噪处理 ，提高信号的纯净度。
离散Laplace变换
将Laplace变换的概念扩展到离散时间序列，用于分析离散数据。
拉普拉斯变换的概念
2j 0
0
1 ( [e jat ] [e jat ]) 2j
1 2j
( s
1 ja
s
1) ja
s2
a
a2
.
第一节 Laplace变换的概念
四、几个常用函数的 Laplace 变换
(1) [1]= [u(t) ] 1; s
(2) [ (t ) ] 1;
(3)
[ tm]
m! sm1
Γ (m 1) sm1 ;
性质 Γ (1) 1; Γ (m 1) m Γ (m) .
证明 Γ (1) etd t et 1;
0
0
Γ (m 1) e t t m d t t m det
0
0
t m et etd t m
0
0
e t m t m1 d t mΓ (m) . 0
特别地，当 m 为正整数时，有 Γ (m 1) m!. (返回)
第一节 Laplace变换的概念
二、Laplac在 (0 , ) 上的实值函数，如果对于
复参数 s j , 积分 F (s) f (t)es td t 在复平面 0
s 的某一区域内收敛，则称 F (s) 为 f (t ) 的 Laplace 变换 或像函数，记为 F (s) [ f (t )], 即
第一节 Laplace变换的概念
附：关于含冲激函数的 Laplace 变换问题
当函数 f (t) 在 t 0 附近有界时，f (0) 的取值将不会影响 其 Laplace 变换的结果。
当函数 f (t) 在 t 0 处含冲激函数时，则有必要考察一下
其 Laplace 变换中积分下限的设定。对积分下限分别取 0 和 0 , 可得到下面两种形式的 Laplace 变换：
原函数和导数的laplace变换
原函数和导数的laplace变换是数学分析中的重要概念，它在控制理论、信号处理等领域有着广泛的应用。
在本文中，我们将对原函数和导数的laplace变换进行详细的介绍，包括定义、性质以及应用。
一、原函数的laplace变换原函数的laplace变换指的是给定一个函数f(t)，通过积分运算得到一个新的函数F(s)。
具体定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，F(s)为原函数f(t)的laplace变换，s为变换域的变量。
原函数的laplace变换具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频率平移性等。
通过这些性质，我们可以方便地对各种复杂函数进行laplace变换的运算。
二、导数的laplace变换导数的laplace变换是指对给定函数f(t)的导数进行laplace变换。
具体定义如下：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)其中，F(s)为原函数f(t)的laplace变换，f(0)为函数f(t)的初始值。
导数的laplace变换也具有线性性、时移性等性质，通过这些性质我们可以方便地对各种复杂函数的导数进行laplace变换的运算。
三、应用举例原函数和导数的laplace变换在控制理论、信号处理等领域有着广泛的应用。
以控制理论为例，我们可以通过laplace变换将微分方程转化为代数方程，从而方便地进行系统的分析和设计。
在信号处理领域，laplace变换可以用于处理各种复杂信号的频域特性，对系统的稳定性和收敛性进行分析。
在实际应用中，我们可以通过laplace变换将各种复杂的微分方程和积分方程转化为代数方程，从而方便地进行系统的分析和设计。
我们也可以通过laplace变换来研究信号的频域特性，对系统的稳定性和收敛性进行分析。
四、总结原函数和导数的laplace变换是数学分析中的重要概念，它在控制理论、信号处理等领域有着广泛的应用。
通过对原函数和导数的laplace变换的详细介绍，我们可以更好地理解其定义、性质以及应用，在实际工程和科学研究中更好地应用这一数学工具。
Laplace变换及其应用
Laplace变换及其应用Laplace变换是一种重要的数学工具，在工程和科学领域中有着广泛的应用。
本文将介绍Laplace变换的基本概念、性质和应用，并分析其在控制系统、电路分析、信号处理等方面的重要作用。
一、Laplace变换的基本概念和性质Laplace变换是一种在时间域和频率域之间转换的数学技巧。
它将一个时间域的信号转换为一个复平面上的函数。
这个函数的对数幅度和相位可以用于分析系统的稳定性、传输特性和滤波器的设计。
Laplace变换的定义为：$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$其中，$f(t)$为时间域信号，$s$为复数变量。
$F(s)$为该信号在复平面上的函数，称作Laplace变换。
它可以用于分析信号的瞬态响应和频率响应。
Laplace变换具有一些性质，例如线性性、时移性、频移性、导数性等。
这些性质使得Laplace变换成为一种强大而灵活的工具。
例如，利用它可以简洁地推导出许多复杂的控制系统和电路方程，从而为后续的分析和设计提供便利。
二、Laplace变换在控制系统中的应用Laplace变换在控制系统中的应用非常广泛。
控制系统是一种将输入信号转化为输出信号的系统，例如温度控制系统、自动驾驶系统等。
利用Laplace变换可以将控制系统的微分方程表示为一个简单的代数方程。
例如，对于一个一阶系统，其微分方程可以表示为：$$\frac{dy(t)}{dt}+a y(t)=bu(t)$$其中，$y(t)$为输出信号，$u(t)$为输入信号，$a$为系统参数。
将该微分方程做Laplace变换，得到：$$(s+a)Y(s)=\frac{b}{s}U(s)$$因此，可以得到系统的传输函数为：$$H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b}{s(s+a)}$$这个传输函数可以用于分析系统的响应特性，例如系统的稳定性、阻抗等。
利用Laplace变换可以方便地进行多种系统的分析和设计，为控制系统的设计提供了便利。
Laplace变换
t
设：L[ f ( t )] F ( S ) 当t t 0时，f ( t t 0 ) 0
则：L[ f ( t t 0 ) ( t t 0 )] e st F ( S )
0
证：L[ f ( t t 0 )]
0
0
f ( t t 0 )e st dt
st
0
2 Laplace变换的基本性质
一、线性
若L[ f1 ( t )] F1 ( S ) , L[ f 2 ( t )] F2 ( S )
则 L[af1 (t ) bf2 (t )] aF1 ( S ) bF2 ( S )
证： 0 [af1 ( t ) bf2 ( t )]e dt 0 af1 ( t )e dt 0 bf2 ( t )e dt aF1 ( S ) bF2 ( S )
d 1 1 例1：L[t (t )] ( ) 2 dS S S
d 1 n! ( ) n1 例2：L[t ( t )] ( 1) (n) dS S S
nnຫໍສະໝຸດ (n)例3：L[te
at
d 1 1 ) ] ( 2 dS S a ( S a)
三、积分性质
设：L[ f (t )] F ( S )
拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，若存在正的有限值 M和c，使得对于所有t 满足：
f ( t ) Me
则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。
ct
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 0 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
积分下限从0 开始，可以计及 t=0时 f(t)所包含的冲激 。
第7章Laplace变换
Laplace变换
2013-1-12
Huafeng Zhang
School of Physical Science and Technology, Yangtze University
Legendre, Adrien-Marie (1752～ 1833) 法国数学家。1752年9月18日生于法 国巴黎，1833年1月10日卒于同地。 1770年毕业于马萨林学院。1782年以 外弹道方面的论文获柏林科学院奖。 1783年被选为巴黎科学院助理院士， 两年后升为院士。1795年当选为法兰 西研究院常任院士。1813年继任J.-L. 拉格朗日在天文事务所的职位。
Laplace变换 2013-1-12 Huafeng Zhang
School of Physical Science and Technology, Yangtze University
Laplace变换
第一节 Laplace变换 第二节 Laplace变换之应用
Laplace变换
2013-1-12
Huafeng Zhang
School of Physical Science and Technology, Yangtze University
第一节 Laplace变换
源于Fourier变换 Fourier变换的特点
1. 适用于空间变量, xR 2. f(x)在R上是绝对可积的
1 f (t ) H (t )e f ( ) H ( )e ei d eit d 2 1 f (t ) H (t ) f ( )e ( i ) d e( i )t d 2 0
2
解：设{y(t)}=Y(p)，方程两边取Laplace变换，有
laplace变换公式表
laplace变换公式表Laplace变换公式表引言Laplace变换是数学中一种常见的变换方法，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析等领域。
本文将介绍Laplace变换及其公式表，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
一、Laplace变换简介Laplace变换是由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于18世纪末提出的一种数学变换方法。
它将一个函数f(t)在复平面上的运算转换为另一个函数F(s)，其中s是复变量。
Laplace变换在时域和频域之间建立了一种联系，使得复杂的微分方程可以转化为简单的代数方程，从而简化了问题的求解过程。
二、Laplace变换公式表下面是一些常用的Laplace变换公式，它们在不同的应用中起到重要的作用：1. 常数函数：L{1} = 1/s这个公式表明，Laplace变换会将一个常数函数1转换为1/s，其中s是复变量。
2. 单位阶跃函数：L{u(t)} = 1/s单位阶跃函数u(t)是一个在t=0时突变为1的函数。
该公式表明，Laplace变换会将单位阶跃函数转换为1/s。
3. 指数函数：L{e^at} = 1/(s-a)指数函数e^at是一个在复平面上以指数形式增长或衰减的函数。
该公式表明，Laplace变换会将指数函数转换为1/(s-a)，其中a是一个常数。
4. 正弦函数：L{sin(at)} = a/(s^2+a^2)正弦函数sin(at)是一个周期性的函数。
该公式表明，Laplace变换会将正弦函数转换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数：L{cos(at)} = s/(s^2+a^2)余弦函数cos(at)也是一个周期性的函数。
该公式表明，Laplace变换会将余弦函数转换为s/(s^2+a^2)。
6. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)指数衰减函数e^(-at)是一个在t>0时以指数形式衰减的函数。
该公式表明，Laplace变换会将指数衰减函数转换为1/(s+a)。
7.1 Laplace变换的性质(上)
例1 求单位阶跃函数
u(t
)
1, 0,
t0 t0
的Laplace变换.
解 ：根据Laplace变换的定义， 当 Re(s) 0 时，
[u(t )] e stdt 1 e st 1 .
0
s 0s
因为在Laplace变换中不必考虑 t 0 时的情况， 所以经常记作 [1] 1 .
s
f (t ) Mes0t ,
则在半平面 Re(s) s0 上， [ f (t )] 存在，且
F(s) [ f (t)]
是s的解析函数，其中 s0 称为 f (t ) 的增长指数。
例3：
求正弦函数 f (t) sin k t (k R) 的拉氏变换
cos
k
t
s2
s
k2
sin
k
t
s2
k
k2
F(s)称为像函数，f (t)称为像原函数.
F s f (t)estdt 0
这个公式主要使用法则就是套公式，注意它的四个一致，一个 替换，它不同于公式
[ f (t)] f (t)estdt 0
这个公式主要使用法则就是将函数放入
以上两点是对拉普莱斯变换的核心操作模式的通俗理解，在后 面的应用中将不断提及，留心。
t
F[ f t u t e t ] + f t u t e teitdt -
+
f
t e( i)t dt
0
将 i 记为s, 可写成：
F(s) f (t )estdt. 0
Laplace变换
它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际,并且仍 然保留Fourier变换中许多好的性质,更实用、更方便.
例4 周期函数的Laplace变换公式
微积分中的LaPlace变换及其应用
微积分中的LaPlace变换及其应用微积分是高中数学的重要组成部分，它为我们提供了处理各种自然现象的数学工具。
在微积分中，有一种重要的变换叫做LaPlace变换，它可以将一个函数转化为另一种形式，从而方便我们对这个函数进行分析和计算。
LaPlace变换是微积分的重要分支，也是许多科学领域的重要工具。
一、什么是LaPlace变换？LaPlace变换是一种函数变换的方法，它将一个函数f(t)转化为另一个函数F(s)。
具体而言，我们用一个符号s表示LaPlace变换的参数，它是一个复数，LaPlace变换的定义如下：F(s)=L[f(t)]=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\mathrm{d}t其中，f(t)是一个定义在[0,∞)上的函数，F(s)是LaPlace变换所得到的函数。
这个变换是线性的，也就是说，如果对于两个函数f1(t)和f2(t)，有它们的LaPlace变换分别是F1(s)和F2(s)，那么它们的线性组合λf1(t)+μf2(t)的LaPlace变换就是λF1(s)+μF2(s)。
LaPlace变换有一个重要的性质：它是积分变换的一种，换句话说，我们可以用积分的方式去计算它。
同时，LaPlace变换的反变换也存在，也就是说，如果我们已知一个函数的LaPlace变换F(s)，就可以通过LaPlace反变换的公式来求出它的原函数f(t)。
二、LaPlace变换的应用LaPlace变换的应用十分广泛，它可以用于处理各种物理、工程、数学和计算机科学等领域中的问题。
下面我们来看一些具体的应用案例：1. 电路分析LaPlace变换在电路分析中有重要的应用。
我们可以将电路中的各种元件转化为函数，然后用LaPlace变换来进行分析。
例如，电源电压E(t)和电路中的电阻、电感和电容都可以表示为函数形式，然后进行LaPlace变换，这样就可以得到电路的复频函数，从而方便我们进行电路的求解和设计。
常数的laplace变换
常数的laplace变换常数的Laplace变换Laplace变换是一种在数学和工程领域中广泛使用的工具，用于解决微分方程和函数的转换问题。
其中，常数的Laplace变换是一种特殊情况，特指当函数为常数时的Laplace变换。
本文将对常数的Laplace变换进行详细介绍，并探讨其在实际应用中的意义和作用。
我们来回顾一下Laplace变换的定义。
对于一个函数f(t)，其Laplace变换定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，e^(-st)是一个指数函数，表示时间t的衰减因子。
Laplace变换将函数f(t)从时域转换到复频域，其中F(s)是函数在复频域的表示。
当函数f(t)为常数时，即f(t) = C，其中C为常数。
我们可以将常数的Laplace变换表示为：F(s) = L{C} = ∫[0,∞) e^(-st) C dt由于积分中的被积函数为常数C，可以将其移到积分符号外：F(s) = C ∫[0,∞) e^(-st) dt接下来，我们来计算这个积分。
由于e^(-st)是一个指数函数，我们可以使用指数函数的积分公式来求解：∫ e^(ax) dx = (1/a) e^(ax) + C将a替换为-st，得到：∫ e^(-st) dt = (-1/s) e^(-st) + C'其中，C'是常数。
将上述结果代入Laplace变换公式中，得到：F(s) = C ∫[0,∞) e^(-st) dt= C [(-1/s) e^(-st)] + C'= (-C/s) e^(-st) + C'从上述结果可以看出，常数的Laplace变换结果仍然是一个函数，只是函数值发生了变化。
具体而言，当s趋近于无穷大时，常数的Laplace变换趋近于零。
而当s为复数时，函数的值将发生振荡，并且振荡的幅度与常数C有关。
常数的Laplace变换在实际应用中具有重要的意义。
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解（续）：ℒ [ f (t )] 0
f (t )e
- st
dt
2b
0
f ( t )e - st dt e -2 kbs
k 0
2b
1 (Re( s) 0) -2 bs 1- e
b
0
te dt (2b - t )e - st dt
- st b
(1 - e - bs )2 / s 2
1 f (t ) 2
-
-
f ( )e - j d e j t d (1.4) -
成立,而左端的f ( t )在它的间断点t 处,应以 f ( t 0) f ( t - 0) 来代替. 2
Fourier变换的两个限制： （1）f(t)在(-, +)上有定义 若j（t）在（0，+）有定义 将j(t) 乘上u(t), 这样t小于零的部分的 函数值就都等于0了.
同理可得 ℒ [cos kt ] 0 cos kt e- st d t 1 j kt (e e - j kt )e - st d t 2 0 1 - ( s - j k ) t -( s jk )t e d t e dt 0 2 0
(
)
0
f ( t )e d t
- st
d (t )e
0
-( s b )t
e
-( s b )t
s 1 t 0 sb sb sb 0
be
-( s b )t
d t - b e- ( s b ) t d t
0
b
例6 求函数的拉氏变换
t , 0 t b f (t ) , f ( t 2b) f ( t ) 2b - t , b, t 2b - st 解： [ f ( t )] f ( t )e dt ℒ 0 ( u t - 2kb) 2( k 1) b - st f ( t )e dt 2b - s ( u 2 kb ) 2 kb f (u 2kb)e du K 0
|f(t)|Mect, 0t<
增长指数
则 ℒ [ f (t )] F ( s ) f (t )e- st d t 0 • 在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的积分 在Re(s)c1>c 收敛且绝对收敛 • 上绝对收敛而且一致收敛, 并且在Re(s)>c的 半平面内, F(s)为解析函数.
0
称此式为函数f(t)的Laplace变换式(简称拉氏 变换式或称为象函数), 记为 F(s)= ℒ [f(t)] 而f(t)称为F(s)的Laplace逆变换(或象原函数) 记为 f(t)= ℒ -1[F(s)]
定义
设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分
F ( s ) f ( t )e- st d t 0 在s的某一域内收敛, 则
e
k 0 2b
-2 kbs
2b
0
0
f ( t )e dt e
- st
-2 kbs
2b
0
f (u)e
- su
du
0
f ( t )e - st dt e -2 kbs
k 0
例6 求 函数的拉氏变换 t , 0 t b f (t ) , f ( t 2b) f ( t ) 2b - t , b, t 2b
Gb ( ) j ( t )u( t )e
-
- b t - j t
e
dt
- st
0
f ( t )e
- ( b j ) t
dt
0
f ( t )e
dt
其中 s b j , f (t ) j (t )u(t )
s-b 若再设 F ( s ) Gb j
0
d (t )e- st d t e- st
-
t 0
1
d (t ) 1
例5
求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b>0)拉氏变换.
[e- b t d (t ) - b e- b t u( t )]e- st d t
0
解：ℒ [ f ( t )]
第七章
Laplace变换
§1 Laplce变换的概念
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一、问题的提出
傅氏积分定理 若f(t)在(-, +)上满足条件:
1. f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2.f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积:
即 | f ( t ) | d t 收敛. 则有
0
e e dt
kt - st
0
e
- ( s - k )t
dt
1 -( s-k )t e s-k
0
1 s-k
.(Re( s) Re(k ))
所以
1 (Re( s ) Re( k )) ℒ [e ] s-k
kt
二.拉氏变换的存在定理
Thm 若函数f(t)在t0的任一有限区间上分段 连续;且 当t时,存在M>0及c0, s.t.
2. | f (t ) | d t 存在
-
指数函数ebt (b>0)的上升速度是很快的了, 因 而e-bt下降的速度也是很快的. 因此, 几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘 上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存在.
f (t)
O
f (t)u(t)e-bt
t
O
t
对函数j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏变换, 可得
(2.1)
( s C)
称此式为函数f(t)的Laplace变换式。
F(s)= ℒ [f(t)] =
0
f ( t )e- st d t
注：f (t )(t 0)的Laplace变换，实际上就是 f (t )u(t )e 的Fourier变换。
-b t
例1 求单位阶跃函数Laplace变换。
0
得 F ( s)
f (t )e d t
- st
Laplace变换式
定义
设函数f(t)当t0时有定义Leabharlann 而且积分F ( s)
0
f ( t )e- st d t
(2.1)
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函 数可写为 - st f (t )e d t ( s C)
例3 求 f(t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换.
解： ℒ[sin kt ]
-j 2
1 j kt - j kt - st (e - e )e d t 2j 0
0
sin kt e- st d t
(
0
e
-( s- jk )t
dt -
0
e
- ( s jk )t
dt
)
0
- j -1 -1 - ( s - j k ) t - ( s jk )t e e 0 2 s - jk s jk - j 1 1 k (Re( s) 0) 2 2 2 s - jk s jk s k
k sin kt 2 2 s k
bs 2 tanh / s 2
例7 求sin 2t sin 3t的拉氏变换. 1 j2 t - j2 t j3 t - j3 t 解 : sin 2t sin 3t - (e - e )(e - e ) 4
1 1 1 1 1 ℒ[sin 2t sin 3t ] - 4 s 5j s - j s j s - 5j
1 -1 e -( s- jk )t 2 s - jk
0
-1 e -( s jk )t s jk
0
1 1 1 s (Re( s) 0) 2 2 2 s - jk s jk s k
s cos kt 2 2 s k
例4 求单位脉冲函数d(t)的拉氏变换. 解： ℒ [d ( t )] d ( t )e- st d t
0 t 0 u( t ) 1 t 0
解: 根据拉氏变换的定义, 有 ℒ [u(t )]
0
e dt
- st
1 1 - st - e (Re(s)>0) s s 0 所以 1 ℒ [u ( t )] (Re( s ) 0) s
例2 求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为复数). 解: 根据拉氏变换的定义, 有 ℒ [ f ( t )]
1 j5 t - jt jt - j5 t - (e - e - e e ) 4
1 2s 2s 12 s - 2 - 2 2 4 s 25 s 1 ( s 25)( s 2 1)
也可查附录II的公式(20)得到.