数学分析微分方程

y [
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
C
]e
P
(
x
)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
( x3 y)2 ,
0
y
x ydx x3 y, 0
y x3
Q
两边求导得 y y 3x2 ,
y f (x) P
解此微分方程
o
xx
y y 3x2
y
e
dx
C
3
x
2e
dx
dx
Cex 3x2 6x 6,
由 y |x0 0, 得 C 6,
所求曲线为y 3(2ex x2 2x 2).
Q( x) y
P( x)dx,
两边积分
ln
y
Q( x)dx y
P(
x)dx,
设
Q( x)dx为v( y
x
),
ln y v( x) P( x)dx,
即 y ev( x)e P( x)dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C u( x)
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.
x x
原方程是齐次方程.
思考题2解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x eln cos y sin 2 y eln cos y dy C
cos
y
2
sin y cos cos y
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
解源自文库
1
两端除以y 2，得
1 dy 4 y dx x
y x2,
令z y,
2 dz 4 z x2 , dx x
解得 z x2 x C , 2
即 y x4 x C 2 . 2
例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2 yy 2xy2 xex2 ;
dx
dx
dz dx
y
x(
x
1 sin 2
(
xy
)
y) x
1 sin 2
, z
分离变量法得 2z sin 2z 4x C,
将 z xy 代回,
所求通解为 2xy sin(2xy) 4x C.
3. dy 1 ; dx x y
解 令 x y u, 则 dy du 1, dx dx
思考题
1. 方程
x
2 y(t)
t 2 y2 (t ) dt xy( x)
0
是否为齐次方程?
2. 求微分方程 y
cos y
的通解.
cos y sin 2 y x sin y
思考题1解答
方程两边同时对 x求导: 2 y x2 y2 y xy, xy x2 y2 y, y 1 y 2 y ,
y
dy
C
cos
yC
2 cos
y.
代入原式 du 1 1 , dx u
分离变量法得 u ln | u 1 | x C,
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln | x y 1 | C, 或 x C1e y y 1 另解 方程变形为 dx x y.
dy
三、小结
1. 线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx ; 2. 伯努利方程 令 y1n z;
二、伯努利方程
John Bernoulli (1667-1748)
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx 当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P( x) y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln | y | P( x)dx ln C1 ,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.
线性非齐次方程
dy dx
P( x) y
Q( x).
分析
dy y
两端除以yn，得 yn dy P( x) y1n Q( x), dx
令z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
求出通解后，将 z y1n 代入即得
y1n z
e (1n)P( x)dx ( Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C ).
解 y xy 1 xex2 y1 ,
2
令 z y1(1) y2 ,
则 dz 2 y dy , dx dx
dz 2xz xex2 ,
z
e
2
xdx
[
xe
x2
e
2
xdx
dx
C
]
dx
所求通解为 y2 ex2 ( x2 C ). 2
dy
1
y
2.
dx
x sin2 ( xy)
; x
解 令 z xy, 则 dz y x dy ,
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
si
n
xdx
C
1 cos x C .
x
例2 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x).
解
x
f ( x)dx
新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
作变换 y u( x)e P( x)dx
y u( x)e P( x)dx u( x)[ P( x)]e P( x)dx ,
将y和y代入原方程得 u( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 u( x)
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
C
,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
§4 一阶线性微分方程
一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x)
dx
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 一阶线性;
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 一阶非线性.
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的. 当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.