福建省长汀一中、连城一中等六校2018届高三上学期期中联考数学(理)试题(附答案)

“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考2017-2018学年第一学期半期考高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.若集合2{|230},{|0}A x x x B x x =--≤=≤则A B =A ．[1,0]-B. [1,0)-C. [1,1]-D. [1,)-+∞2.命题“2000,10x R x x ∃∈++>”的否定是 A ．2,10x R x x ∀∈++≤ B. 2,10x R x x ∀∈++> C. 2000,10x R x x ∃∈++≤D. 200,10x R x x ∃∈++≥3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若34812,64a a S +==，则{}n a 的公差为 A ．1B. 2C. 3D. 44.若向量(2,0),(2,1),(,1)a b c x =-==满足条件3a b +与c 共线，则x 的值为 A ．2B. 2-C. 4D. 4-5.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知A c B a A b cos 2cos cos =+，则A =A ．6πB.56π C.3π D.23π 6.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A. 6里B. 12里C. 24里D. 48里7.若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，32314log 2,log 5,2a b c ===，则()()(),,f a f b f c 满足A. ()()()f b f a f c <<B. ()()()f c f b f a <<C. ()()()f c f a f b <<D. ()()()f a f b f c << 8.已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为9.设函数||1lg(1),1()3,1x x x f x x +->⎧=⎨≤⎩若()0f x b -=有三个不等实数根，则b 的取值范围是A. ()1,+∞B. (]1,10C. (]1,3D. (]0,310.已知2()sin cos f x x x x =+，将f （x ）的图象向右平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到y =g （x ）的图象，则()4g π=A. 1B. 2 1+ D. 1 11.设过曲线()x f x e x =--上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2sin g x xa x =-上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 A.(2,3]-B. (2,3)-C. [1,2]-D. (1,2)-12.已知数列{}n a 中， 11,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，当2n ≥时，恒有2n n n n ka a S S =-成立，若99150S =，则k 的值是 A ．1B. 2C. 3D. 4第Ⅰ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.设函数()f x x ax m＝＋的导函数'()21f x x ＝＋,则21()f x dx -⎰的值等于 14.已知1sin()44x π+=则sin 2x = ______ ． 15.如图，梯形ABCD 中，//,6,2AB CD AB AD DC ===， 若2AD BC ⋅=-，则AC BD ⋅=____________. 16.存在[1,]x e ∈，使得1ln (0)ax a x a x++<>成立，则a 的 取值范围是_____________.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.（12分）如图，已知ABC ∆中，,4ABC D π∠=为BC 上一点，1BD =，3cos 5CDA ∠=． （Ⅰ）求AD 的长；（Ⅱ）若ACD ∆的面积为12，求AC 的长．18．（12分）已知等比数列{}n a 是递增数列，它的前n 项和为n S ，38a =，且10是24,a a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}nn a +的前n 项和n T .19. （12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面,,45o ABCD PA PD PDA =∠=,,1,2,AB AD AB AD AC CD ⊥====.(Ⅰ)求证: PD ⊥平面PAB ;(Ⅱ)求锐二面角D PC A --的余弦值.CDBA20. （12分） 已知7,1212x x ππ==是函数()2sin(),(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的两个相邻的极值点，且()03f π'<.（Ⅰ）求()f x 的单调增区间； （Ⅱ）已知方程()0f x m -=在区间[0,]2π有两个不同的解,αβ且αβ<，求m 的取值范围并用含m 的式子表示sin()αβ-的值.21．（12分）已知函数()2()8,x m f x e x a a R =--+∈.（Ⅰ）若1m =时，函数()f x 存在两个零点，求a 的取值范围；（Ⅱ）若2m =时，不等式()0f x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，求a 的取值范围.(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分；22. [选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xoy 中，将圆22:1O x y +=经过伸缩变换23x xy y'=⎧⎨'=⎩ 后得到曲线 C ，直线l 的222x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.(Ⅰ)求曲线C 的方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)若点,P A 分别是曲线C 、直线l 上的任意点，求||PA 的最小值.23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数122)(-++=x m x x f 且不等式14x x m ++-≤的解集为[]m ,1-.(Ⅰ)求m 的值，并作出函数()f x 的图象；(Ⅱ)若方程1)(2-=a x f 恰有两个不等实数根，求实数a 的取值范围.“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平一中”六校联考2017-2018学年第一学期半期考 高三数学（理科）试题参考答案一、选择题：1．A 2. A 3. B 4.D 5.C 6.B 7.D 8.A 9.C 10.B 11.C 12.B 二、填空题：13. 56 14.78- 15. 14- 16. 21(,)1e e ++∞-三、解答题： 17.解：（Ⅰ）33cos ,cos 55CDA BDA ∠=∴∠=-4sin 5BDA ∴∠==sin sin()cos )4210BAD BDA BDA BDA π∴∠=+∠=∠+∠=……………3分 由sin sin AD BD B BAD =∠得sin 5sin BD BAD BAD==∠………………………………………..6分 （Ⅱ）34cos ,sin 55ADC ADC ∠=∴∠=由1sin 2122ACDSAD CD ADC CD =⋅⋅∠== 6CD ∴=…………………………………………………………………………………9分 2222cos 25AC AD DC AD DC CDA ∴=+-⋅⋅∠=5AC ∴=…………………………………………………………………………………12分18.解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意有2420a a +=， 又38,a =31121208a q a q a q ⎧+=⎪∴⎨=⎪⎩，……………………………………3分解得12,2a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.又数列递增，12,2a q ∴==，………………5分2n n a ∴=…………………………6分（Ⅱ）令1n n n b a +==12n n +，D ZYX则12323412222n nn T +=++++，① ① 12⨯，得234112341222222n n n n n T ++=+++++，②……………………9分 ① -②，得1133222n n n T ++=-，………………………………11分 整理得332n nn T +=-…………………………………12分 19. (Ⅰ)证明: ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，平面PAD平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，AB ∴⊥平面PAD ，……………………2分而PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥.在PAD ∆中，,45,o PA PD PDA PA PD =∠=∴⊥，…………………………3分又,PA AB A PA =、AB ⊂面PABPD ∴⊥平面PAB .…………………………5分(Ⅱ) 解：取AD 的中点O ，连接,.PO CO,.PA PD PO AD =∴⊥又PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD平面ABCD AD =∴PO ⊥平面ABCD ，∵CO ⊂平面ABCD ,PO CO ∴⊥.,AC CD CO AD =∴⊥，即OP 、OC 、OA 两两互相垂直又AC CD =2,AD = ∴3OC =……………………7分以O 为坐标原点，OC 、OA 方向为X 、Y 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，由题意得，(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,1).A C D P -………………8分 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =(0,1,1),(3,0,1)PD PC =--=- 则00n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即030y z x z --=⎧⎨-=⎩取平面PCD 一个法向量(1,3,3)n =-同理可求得平面PAB 的一个法向量(1,3,3)m =……………………10分 ∴11cos 1919mn m nθ-===…………………11分∴锐二面角D PC A --的余弦值是119…………………………12分20.（Ⅰ）因为7,1212x x ππ==是函数()2sin()f x x ωϕ=+的两个相邻的极值点. ()03f π∴=且7212122T T ππππ=-==即2ω∴=又()0,2233f k ππϕππ'<∴⋅+=+232k ππϕπϕ∴=+<又3πϕ∴=()2sin(2)3f x x π∴=+…………………………………………………………………3分 令222232k x k πππππ-+≤+≤+5,1212k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈ ()f x ∴的单调递增区间为5[,],()1212k k k Z ππππ-++∈……………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x 在[0,]12π递增，在[,]122ππ递减.且(0)()2,()122f f f ππ===又方程()0f x m -=在区间[0,]2π有两个不同的解,αβ.2m ≤<…………………………………………………………………………..7分[0,]2x π∈时()f x 的对称轴12x π=又()()f f m αβ==且αβ<,06126πππαβαβ∴+=≤<<≤26παβα∴-=-……………………………………………………………………9分()2sin(2),sin(2)332m f m ππααα=+=+=即又2332πππα≤+<cos(2)3πα∴+=sin()sin(2)sin[(2)]cos(2)6323ππππαβααα∴-=-=+-=-+=….…12分21. （Ⅰ）'()21x f x e =-令'()0f x =得ln 2x =-………………1分3分且()0f x = 有两个不等实根(ln 2)0f ∴-<即1(ln 2)80a ---+<9ln 2a ∴<--------------------5分（Ⅱ）'()22()x f x e x a =--，令()22()x h x e x a =-- 则()22x h x e '=-又0x ≥，'()0h x ∴≥，'()f x ∴在[0,)+∞在单调递增…………6分又min ()(0)2(1)f x f a ''==+①当0)1(2≥+a ，即1-≥a 时，()0f x '≥， 所以)(x f 在),0[+∞内单调递增，0)0()(≥≥f x f ，所以1a -≤8分②当0)1(2<+a ，即1-<a 时，由)e (2)(a x x g x +-=在),0[+∞内单调递增， 且,()x f x →+∞→+∞0(0,)x ∴∃∈+∞使得'()0f x =所以的最小值为000，又a x x -=00e，所以0020()2e (e )8x x f x =-+00(e 2)(e 4)x x =-+-，因此，要使当0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，只需0)(0≥x f ，即0e 40x -≤即可．解得00ln 4x <≤，此时由a x x -=00e ，可得0e 0xx a -=．以下求出a 的取值范围．设x x x h e )(-=，(0,ln 4]x ∈， 得0e 1)(<-='x x h ，所以)(x h 在(0,ln 4]上单调递减，从而ln 441a -≤<- ……11分 综上①②所述，a的取值范围[ln 4-．………………12分22. 解.(Ⅰ)由23x x y y '=⎧⎨'=⎩ 得1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y +=得曲线C 方程为：22149x y +=…………3分直线l 的普通方程为：260x y +-= ----------5分（Ⅱ）设曲线C 上任意取一点(2cos ,3sin ),02P θθθπ≤< 则P 到直线l 距离d 的最小值就是||PA 的最小值|4cos 3sin 6|5sin()6|d θθθα=+-=+-……………………8分 （其中4tan 3α=） ∴当sin()1θα+=时，min d =9分||PA ∴最小值为5……………………10分23.(Ⅰ)由题意可知1->m ，当m x ≤≤-1时，有11+=-++m m x x ，………………………2分因为m x ≤≤-1满足不等式14x x m ++-≤，因此14m +=，即3m =．……4分14 2 (),231()2321 4 (),2234 2 ().2x x f x x x x x x ⎧+>⎪⎪⎪=++-=-≤≤⎨⎪⎪--<-⎪⎩------------------------7分如右图：---------------------------------6分(Ⅱ)函数122)(-++=x m x x f =12-a 有两根即函数)(x f y =和函数12-=a y有两个交点，由（Ⅰ）的图象可知214a ->，即知(),a ∈-∞⋃+∞……………………………10分。