第三章 第四讲 树和二叉树

问：具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？普 通树呢？ 5种 / 2种
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2. 二叉树的性质
(3+2)
（利用二进制性质可轻松求出）
讨论1：第i层的结点数至多是多少？ 2i-1个
性质1: 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i>0）。
讨论2：深度为k的二叉树，至多有多少个结点？ 2k-1
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举例说明：采用孩子单链表示法
a b c 0 1 a 2 4 6 ^ 7 ^ 8 9 ^ ^ 3 5 ^ ^ data fc
d
g
e
h i
f
2 3
4 5 6 7 8
b
c
d
e f g h i
^
^ ^
如何找双亲结点?
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3. 带双亲的孩子链表：
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顺序二叉树性质
i
2i 2i+1 2i+2
i+1
2i+3 i +1
i
2i 2i+1
2i +2
图 5-10
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问题：判断下列那些是顺序二叉树？
1 2 4 8 9 10 5 11 1 1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 3 12 6 13 14 3 7 15 2 1 3
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3. 树的逻辑结构
特点：一对多（1:n），有多个直接后继（家 谱树、目录树等等），但只有一个 根结点，且子树之间互不相交。
5
4. 树的存储结构
讨论1：树是非线性结构，该怎样存储？
顺序存储、链式存储等方式。
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二. 树的存储结构
树的存储结构
A
B F
C
G M
L
深度为4的完全二叉树
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顺序二叉树：深度为k 的，有n个结点的二叉树，当且 仅当其每一个结点都与深度为k 的满二叉树中编号从1 至n的结点一一对应。
解释：顺序二叉树的特点就是，只有最后一层叶子不满，且全部集中在 左边。(注意:有些教材也将完全二叉树和顺序二叉树的概念统一)
C G
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【性质5】 对于有n个结点的顺序二叉树中的所有结 点按从上到下，从左到右的顺序进行编号，则对 任意一个结点i （1≤i≤n），都有：
（1）如果i=1，则结点i是这棵顺序二叉树的根， 没有双亲；否则其双亲结点的编号为 i/2。 （2）如果2i>n，则结点i没有左孩子；否则其左 孩子结点的编号为2i。 （3）如果2i+1>n，则结点i没有右孩子；否则其 右孩子结点的编号为2i+1。
A
B D H I E J F
C
G
深度为4的顺序二叉树 为何要研究这这种特殊形式？ 因为它们在顺序存储方式下可以复原！
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A 【性质4】 具有n个结点的顺序二叉树的深度 为 log2n +1。 证明：假设具有n个结点的顺序二叉树的深 B 度为K，则根据性质2可以得出： D F E K-1 K 2 -1<n≤2 -1 将不等式两端加1得到： H I J 2K-1 <n+1≤ 2K 顺序二叉树 K-1 K 推出 2 ≤n<2 将不等式中的三项同取以2为底的对数， 并经过化简后得到： K-1≤log2n<K 由此可以得到：log2n =K-1。整理后得 到：K= log2n+1。
为给定节点的编号*/
)/*node
{ if (1<=node && node<=T->max) return T->item[node/2]; else return -1;}
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二、链式存储结构
用二叉链表即可方便表示。 一般从根结点开始存储。 （相应地，访问树中结点时 也只能从根开始）
a b d e data parent fc
c f i
1
2 3 4 5 6 7 8
a b c d
0 1
2 4 6 ^ ^
3 5
^
^
1
2 2 3 5 ^ ^
g
h
e
f g h i
7
8
9
^
5
5
^ ^
9
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4.2
二 叉 树
为何要重点研究每结点最多只有两个 “叉” 的树？ 二叉树的结构最简单，规律性最强； 可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树，不 失一般性。 1. 2. 二叉树的定义 二叉树的性质
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2. 若干术语（续）
结点的度: ——结点挂接的子树数
（有几个直接后继就是几度 ，亦称“次数”）
K E
A B F C G D
4
H
I
J
L
M
结点的层次:——从根到该结点的层数（根结点算第一层）. 终端结点: ——即度为0的结点，即叶节点. 分支结点: ——即度不为0的结点（也称为内部结点）. 树的度 ——所有结点度中的最大值（Max{各结点的度}） 树的深度 ——指所有结点中最大的层数（Max{各结点的层次}） (或高度) 问：右上图中的结点数? 树的度? 树的深度?
1
第三章 树和二叉树
树是一类重要的非线性数据结构，是以分支 关系定义的层次结构.
3.1 树的定义
定义：树(tree)是n(n>0)个结点的有限集T，其中：
1. 有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root); 2. 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有 限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵 树，称为根的子树(subtree);
^
F
^
4.3
二叉树及树的遍历
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方法有以下三种: 遍历：按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅 被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树 1. 先序遍历：先访问根结点 ,然后分别先序遍历左子树、右 中所有结点的一个线性排列 . 子树 ; 2. 中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中 序遍历右子树; 3. 后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点;
4
6
5
7
2
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3
6
3. 二叉树的存储结构 一、顺序存储结构
按二叉树的结点 “自 上 而下、从左至右”编号， 用一组连续的存储单元存 储。
H B D I E F A C G
22
[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
A B C D E F G H I
if (2*node>T->Max) return 0;
else return T->item[2*node]; } RightChild(T , node)与这个操作类似，可试着自行完成。
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（2）获取给定结点的双亲 int Parent(QBTree *T,int node)
left_child
data
right_child
data left_child right_child
二叉树结点数据类型定义： typedef struct node { int data; struct node * lchild, *rchild; } Node;
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链式存储结构举例：
typedef struct node { int data; struct node *lchild, *rchild; }Node;
lchild data rchild
A ^ A B C E G ^ C语言与程序设计 江汉大学数计学院 G ^ D F ^ E ^ C B ^ D
根——即根结点(没有前驱); 叶子—即终端结点(没有后继); 森林——指彼此不相交的树的 集合(如删除A后的子树个数);
K
B
A
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
双亲 ——即上层的那个结点(直接前驱); 孩子 ——即下层结点的子树的根(直接后继); 兄弟 ——同一双亲下的同层结点（孩子之间互称兄弟）; 祖先 ——即从根到该结点所经分支的所有结点; 子孙 ——即该结点下层子树中的任一结点;
1. 双亲表示法
1. 实现：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两 个域： » 数据域：存放结点本身信息; » 双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置 ; 2. 特点：找双亲容易，找孩子难;
typedef struct node { datatype data; int parent; }JD;
JD t[M];
问：顺序存储后能否复原成唯一对应的二叉树形状？ 答：若是顺序/满二叉树则可以做到唯一复原。 而且有规律：下标值为i的双亲，其左孩子的下标值必为 2i，其右孩子的下标值必为2i＋1（即性质5）
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二 顺序结构二叉树基本数据结构算法：
（1）获取给定结点的左孩子
int LeftCHild(QBTree *T, int node)/*node为当前节点 的编号*/ {