考研数学进阶方程式(第十五期)
高数基础知识总结
( ) sin x
=
x−
x3 3!
+
x5 5!
+Λ
+ (−1)n
x 2n+1
(2n +1)!
+
0
x 2n+1
( ) cos x = 1−
x2 2!
+
x4 4!
−Λ
+ (−1)n
x 2n
(2n)!
+
0
x 2n
( ) ln(1 + x) = x − x2 + x3 − Λ + (− )1 n+1 xn + 0 xn
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义 设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
(log a
lim
f (x) g(x)
=
A
（或
∞
）
7．利用导数定义求极限
基本公式： lim ∆x→0
f (x0 + ∆x) −
∆x
f (x0 ) =
f ′(x0 )
[如果
值，如果对于区间 [a,b]上的任一点 x ，总有 f (x) ≤ M ，
则称 M 为函数 f (x) 在 [a,b]上的最大值。同样可以定义最
整数），则
lim
n→∞
xn
=
A 存在，且 A ≤
M
准则 2．（夹逼定理）设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
考研数学公式手册随身看(打印版)
(1) lim( f ( x) ± g ( x)) = A ± B ； 极限的四 则运算 (2) lim f ( x) g ( x) = A B ；
(3) lim f ( x) A = ( B ≠ 0) g ( x) B
(2) (最值定理)设函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续,则在 [ a, b] 上
α ( x) = c (c ≠ 0), 则α ( x)与β （x) 是同阶无穷小， β ( x)
α ( x) (4)若 lim = 1, 则α ( x)与β （x)是等价的无穷小， β ( x) 记为α(x) β(x) (5)若 lim α ( x) = c (c ≠ 0), k > 0, 则α ( x)是β （x)的k阶无穷小 β k ( x)
1 (夹逼定理）设在x0的邻域内，恒有ϕ （x) ≤ f ( x) ≤ φ ( x),
且 lim ϕ ( x) = lim φ ( x ) = A, 则 lim f ( x) = A
x → x0 x → x0 x → x0
= ∞, 则α ( x)是比β （x)低阶的无穷小，
2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限：
研
社
1 幂函数: y = x µ ( µ ∈ R ) ;
基本初等 2 指数函数 y = a x ( a > 0 且 a ≠ 1 ); 函数的性 3 对数函数: y = log a x ( a > 0 且 a ≠ 1 ); 质及其图 形， 初等函 4 三角函数:如 y = sin x, y = cos x, y = tan x 等; 数， 函数关 5 反三角函数:如 系的建立： y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x 等. 初等函数： 由常数 C 和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合 步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函 数. 1 lim f ( x) = A ⇔ f − ( x0 ) = f + ( x0 ) = A 数 列 极 限 x→x 与函数极 2 lim f ( x) = A ⇔ f ( x0 ) = A + a( x), 其中 lim a( x ) = 0 限 的 定 义 x→x x→x 及其性质， 3(保号定理) 函数的左 f ( x ) = A, 又A > 0(或A < 0), 则∃一个δ > 0 , 极 限 与 右 设 xlim →x 极限
2023年考研《数学二》真题及详解【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解【完整版】一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中, 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
只有一个选项是最符1.曲线y = xln （e^-LA 的渐近线方程为（）。
A. y=x+eB. y=x+l/eC. y=xD. y=x —1/e【试题答案】B【试题解析】由已知y = xln （e^ —\ JC 1xlnyk = lim — = lim ----X —00JQXTOO,则可得:limln e +X —00 I1=1b = lim (y-Ax) = lim XT8 ' / XToox-1扁仁上、—X=limxL|' 1、e +--------1_ l X-lyX —>00、x — l)1lim xln XToo1+limXToo所以斜渐近线方程为y=x+l/e 。
2.__,x<0函数 x/l +、2[(x + l)cosx,x > 0的原函数为（A.尸("In +— jv ) jv < 0(x + l)cos x - sin x, x > 0B.尸("In ^/1 + %2 —1, x V 0(x + l)cos x - sin x, x > 0C.In ^/1 + x 2 + x) x V 0(x + l)sin x + cos >In^|/1+%2+x1,jv V0D.F(x)=<(x+l)sin x+cos>0【试题答案】D【试题解析】当xWO时，可得:当x〉0时，可得:j f(x)ch=j(x+l)cos xdx=j(x+l)dsinx=(x+l)sin x-j sin xdx=(x+l)sin x+cos x+C2在x=O处，有：lim In@+J1+工2>G=G,lim(x+l)sin%+cos%+C2=1+C2由于原函数在(一8,+8)内连续，所以Ci=l+C2,令C2=C,则C1=1+C,故In1+%2+x1+C,x V0j/(x)dx=<(x+l)sin x+cos x+C,x>0In+x2+1,x<0令C=0,则f(x)的一个原函数为F(x)=<(x+l)sin x+cos>03.设数列{Xn},{yn}满足xi=yi=l/2,x n+i=sinx n,yn+i=y「，当n—8时()。
考研数学考前公式
考研数学考前公式
考研数学考试的内容主要涉及高等数学、线性代数和概率论与数理统计三大部分，每个部分包含的内容和公式如下：
高等数学部分：
1. 极限公式：
对数函数极限：lim(log(1+x)/x)=1，当x趋于0时
三角函数极限：lim(sin(x)/x)=1，当x趋于0时；lim((1-cos(x))/x)=0，当x趋于0时
2. 牛顿-莱布尼茨公式：∫abf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数
3. 泰勒公式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-
a)^n/n!+Rn(x)，其中，Rn(x)是余项，有Lagrange余项和Cauchy余项两种形式。
线性代数部分：
1. 向量公式：
向量的模：a=√(x1^2+x2^2+...+xn^2)
向量的点积：a·b=x1y1+x2y2+...+xnyn
向量的叉积：a×b=(y1z2-y2z1)i-(x1z2-x2z1)j+(x1y2-x2y1)k
2. 矩阵公式：
矩阵的乘积：C=AB，其中Cij=∑(k=1到n)AikBkj
矩阵的逆：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵A^-1满足AA^-1=A^-
1A=E
矩阵的秩：矩阵的秩是指它的行与列的最大线性无关组数，也就是矩阵中含有的一个最大的非零子式的阶数。
概率论与数理统计部分：
这部分的公式涉及的内容较多，可以查阅考研数学大纲或者相关教辅书来获取更全面的信息。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅考研数学大纲或咨询专业教师。
考研数学积分公式表-背诵版
基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠−（3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1=++⎰dxarc x C x （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =−+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x =−+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =−+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰ （17）2211ln ||2x adx C x a a x a −=+−+⎰ （18）sinxarc C a=+ （19）ln(x C =++（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =−+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =−+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
3、复习三角函数公式：2222sin cos 1tan 1sec sin 22sin cos ,+=+==x x x x x x x 221cos 2cos 21cos 2sin 2+=−=xx xx ，注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。
考研数学公式(word版,高数+线代+概率)
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∑∑∑∑Ω∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂dsA dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z Ry Q x P n ndiv )cos cos cos (...,0div ,div )cos cos cos ()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： 常数项级数： 级数审敛法：绝对收敛与条件收敛： 幂级数：函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数：周期为l 2的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数非齐次线性微分方程概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)(反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃= 2．概率的定义及其计算若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 3．条件概率 乘法公式 全概率公式 Bayes 公式4．随机变量及其分布 分布函数计算 5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布 (2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = p *Possion 定理有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk n n λλ(3) Poisson 分布 )(λP6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U(2) 指数分布)(λE(3) 正态分布 N (? , ? 2 ) *N (0,1) — 标准正态分布 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 边缘分布函数与边缘密度函数 8.连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) (2)二维正态分布 9.二维随机变量的 条件分布 10.随机变量的数字特征 数学期望随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶绝对原点矩 X 的 k 阶中心矩 X 的 方差X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 X ,Y 的 二阶混合原点矩X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 X ,Y 的相关系数 X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2) 协方差 相关系数线性代数部分梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。
考研数学公式大全
考研数学公式大全数学是考研的核心科目之一，而掌握必要的数学公式则是取得好成绩的关键。
以下是一份考研数学公式大全，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计中的重要公式，希望能对备考研究生入学考试的同学有所帮助。
一、高等数学1、求导法则本文1)链式法则：f(u)f'(u)=f'(u)du本文2)乘积法则：f(u)g(u)=f'(u)g(u)+f(u)g'(u)本文3)指数法则：f(u)^n=nu'f(u)/(n-1)!2、求极值本文1)极值条件：f'(x)=0本文2)极值定理：f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=03、积分公式本文1)牛顿-莱布尼茨公式：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F'(x)=f(x)本文2)微分定理：d/dx∫f(x)dx=f(x)本文3)积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点c∈[a,b]，使得∫f(x)dx=f(c)(b-a)4、不定积分公式本文1)幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)/n+1 x^(n+1)/n+1+C本文2)三角函数积分：∫sinx dx=cosx+C，∫cosx dx=-sinx+C 5、定积分公式本文1)矩形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+y^2)/2本文2)梯形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+[by]+[ax])/3二、线性代数6、行列式公式本文1)行列式展开式：D=a11A11+a12A12+...+an1An1，其中Aij为行列式中第i行第j列的代数余子式本文2)范德蒙行列式：V=(∏i=1n[(x-a)(i-1)]^(n-i)) / (∏i=1n[(x-a)(i-1)])，其中ai为行列式中第i行第i列的元素7、矩阵公式本文1)矩阵乘法：C=AB，其中Cij=∑AikBkj，k为矩阵乘法的维数本文2)逆矩阵：A^-1=(1/∣A∣)A，其中∣A∣为矩阵A的行列式值，A为矩阵A的伴随矩阵8、向量公式本文1)向量内积：〈a,b〉=a1b1+a2b2+...1、求导法则本文1)链式法则：若f是一个包含x和函数u=u(x)，则f' = f'[u(x)] * u'(x)。
考研高数必备公式
考研高数必备公式高等数学是考研数学的重点和难点之一，掌握和熟练运用高数公式可以帮助考生更好地解题。
下面是一些考研高等数学必备的重要公式，供考生参考。
导数公式：1. 常数函数的导数为零：d/dx (c) = 02. x^n的导数为nx^(n-1)：d/dx (x^n) = nx^(n-1)3. e^x的导数为e^x：d/dx (e^x) = e^x4. ln(x)的导数为1/x：d/dx (ln(x)) = 1/x5. sin(x)的导数为cos(x)：d/dx (sin(x)) = cos(x)6. cos(x)的导数为-sin(x)：d/dx (cos(x)) = -sin(x)7. tan(x)的导数为sec^2(x)：d/dx (tan(x)) = sec^2(x)8. cot(x)的导数为-csc^2(x)：d/dx (cot(x)) = -csc^2(x)9. sec(x)的导数为sec(x)tan(x)：d/dx (sec(x)) = sec(x)tan(x)10. csc(x)的导数为-csc(x)cot(x)：d/dx (csc(x)) = -csc(x)cot(x)求导法则：1. 和差法则：d/dx (u ± v) = du/dx ± dv/dx2. 乘法法则：d/dx (uv) = u dv/dx + v du/dx3. 除法法则：d/dx (u/v) = (v du/dx - u dv/dx) / v^24. 复合函数法则：若y = f(u)，u=g(x)，则dy/dx = dy/du *du/dx积分公式：1. 常数函数的积分为常数乘以自变量：∫c dx = cx + C2. x^n的积分为(1/n+1)x^(n+1) + C：∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C3. e^x的积分为e^x + C：∫e^x dx = e^x + C4. 1/x的积分为ln，x， + C：∫1/x dx = ln，x， + C5. sin(x)的积分为-cos(x) + C：∫sin(x) dx = -cos(x) + C6. cos(x)的积分为sin(x) + C：∫cos(x) dx = sin(x) + C7. tan(x)的积分为-ln，cos(x)， + C：∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C8. cot(x)的积分为ln，sin(x)， + C：∫cot(x) dx = ln，sin(x)，+ C9. sec(x)的积分为ln，sec(x) + tan(x)， + C：∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C10. csc(x)的积分为ln，csc(x) - cot(x)， + C：∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C广义积分：1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续且非负，则∫f(x) dx是有限的；2. 若f(x)在区间[a, b]上连续，则∫f(x) dx在该区间上是可积的；3. 若f(x)在区间[a, b]上连续，则∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c]f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx (分段积分)；导数和微分：1.y=f(x)在(x0,y0)处可导，则f(x)在该点连续；2. 若函数y = f(x)在区间[a, b]上可导，则y的增量Δy可以近似表示为Δy ≈ f'(x) Δx，即dy = f'(x) dx (微分近似)；3. 若函数y = f(x)在区间[a, b]上可导，则在该区间上y的微分dy满足dy = f'(x) dx (微分关系)；泰勒公式：1.f(x)在x=a处n阶可导，则f(x)可表示为泰勒展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)，其中Rn(x)为剩余项；拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a,b]的内部连续，在(a,b)的内部可导，且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)；柯西中值定理：若函数f(x)和g(x)在[a,b]的内部连续，在(a,b)的内部可导且g'(x)≠0，则存在c∈(a,b)使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]；罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]的内部连续，在(a,b)的内部可导，且f(a)=f(b)=0，则存在c∈(a,b)使得f'(c)=0；这只是一部分考研高等数学的重要公式，考生还需根据自己的需求和教材内容进行学习和整理。
考研数学高数部分重难点总结
考研数学高数部分重难点总结1高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》1.2 求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim=→x xx 、e x x x =+→1)1(lim 、e xxx =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。
1.3 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-aadx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-aadx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-aadx x f )(=2⎰adx x f 0)(；对于⎰2)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=⎰-aa奇函数 、⎰⎰=-aa a2偶函数偶函数。
考研高阶导数公式
考研高阶导数公式一、导数的基本概念与意义导数是微积分学中的一个基本概念，表示函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，其在x点的导数f"(x)可以用以下公式表示：f"(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx二、考研高阶导数公式概述在考研数学中，高阶导数是指二阶及以上的导数。
高阶导数在求解函数的极值、曲率、拐点等问题中具有重要意义。
以下为一些常见的高阶导数公式：1.二阶导数：f""(x) = lim(Δx→0) [(f"(x+Δx) - f"(x)) / Δx]2.三阶导数：f"""(x) = lim(Δx→0) [(f""(x+Δx) - f""(x)) / Δx]三、一阶导数的求解方法1.求导法则：对于基本初等函数及其复合函数，可以使用求导法则进行求解。
2.隐函数求导：对于隐函数y = f(x)，可以先求出显函数，然后对显函数求导。
3.参数方程求导：对于参数方程x = x(t)，y = y(t)，可以先将参数方程转化为普通方程，然后对普通方程求导。
四、二阶导数的求解方法1.求导法则：对一阶导数再求一次导数。
2.隐函数求导：对隐函数的一阶导数求导。
3.参数方程求导：对参数方程的一阶导数求导。
五、高阶导数的求解方法1.求导法则：对一阶导数、二阶导数再求导。
2.利用导数的性质：如和差、积、商的导数公式。
六、导数在实际问题中的应用1.极值问题：求函数的极值点、极值、最值。
2.曲率问题：求曲线的曲率、曲率半径。
3.拐点问题：求函数的拐点。
4.实际问题：求质点运动的瞬时速度、加速度等。
七、总结与建议导数是考研数学中的重要知识点，掌握导数的求解方法及实际应用对于解题具有重要意义。
在学习过程中，要注重理论知识与实际例题的结合，加强运算能力的培养。
考研数学公式(word版,全面)
高等数学公式导数公式：根本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹〔Leibniz 〕公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高数考研重要公式
高数考研重要公式一、导数公式1. 常数的导数公式：若y=k (k为常数)，则dy/dx=0。
2. 幂函数的导数公式：若y=x^n（n为正整数），则dy/dx=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数公式：若y=a^x（a>0且a≠1），则dy/dx=a^x * ln(a)。
4. 对数函数的导数公式：若y=log_a(x)（a>0且a≠1），则dy/dx=1/（x * ln(a)）。
5. 三角函数的导数公式：若y=sin(x)，则dy/dx=cos(x)。
若y=cos(x)，则dy/dx=-sin(x)。
若y=tan(x)，则dy/dx=sec^2(x)。
若y=cot(x)，则dy/dx=-csc^2(x)。
若y=sec(x)，则dy/dx=sec(x) * tan(x)。
若y=csc(x)，则dy/dx=-csc(x) * cot(x)。
二、积分公式1. 常数的积分公式：∫k dx=kx+C （C为积分常数）。
2. 幂函数的积分公式：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C （n≠-1，C为积分常数）。
3. 指数函数与对数函数的积分公式：∫a^x dx = a^x / ln(a) + C （a>0且a≠1，C为积分常数）。
∫1/x dx = ln|x| + C （C为积分常数）。
4. 三角函数的积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C （C为积分常数）。
∫cos(x) dx = sin(x) + C （C为积分常数）。
三、极限公式1. 基本极限：lim(x→∞) [1+1/x]^x = elim(x→0) sin(x)/x = 1lim(x→0) (cos(x) - 1)/x = 02. 已知极限的运算法则：lim(x→a) [f(x)±g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)lim(x→a) [f(x)g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x) （其中lim(x→a) g(x) ≠ 0）3. 其他常用极限：lim(x→∞) [1 + 1/n]^n = elim(x→0) (e^x - 1)/x = 1l im(x→0) (a^x - 1)/x = ln(a) （a>0且a≠1）四、级数公式1. 等比级数求和公式：若|q|<1，∑(n=0→∞) ar^n=a/(1-r)，其中a为首项，r为公比。
cie进阶数学公式
cie进阶数学公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：CIE进阶数学公式是英国剑桥国际考试委员会（CIE）针对高中生开设的一门数学课程，旨在提高学生对数学知识的理解和运用能力。
这门课程涵盖了广泛的数学概念和技能，包括代数、几何、三角、微积分等内容，因此对学生的数学基础要求比较高，需要有一定的数学思维能力和解决问题的能力。
下面将介绍一些CIE进阶数学公式，希望对正在学习或即将学习这门课程的同学有所帮助。
1. 代数部分在CIE进阶数学课程中，代数部分包括了各种代数公式和技巧，主要涉及到多项式、方程、函数等内容。
以下是一些常用的代数公式：- 二次方程求解公式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其解可以用以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a- 平方差公式：(a + b)(a - b) = a^2 - b^22. 几何部分CIE进阶数学课程的几何部分主要包括平面几何和空间几何的内容，涉及到角、三角形、四边形、圆等几何图形的性质和计算。
以下是一些常用的几何公式：- 直角三角形的三角函数：sinθ = 对边/斜边，cosθ = 邻边/斜边，tanθ = 对边/邻边- 圆的周长和面积：圆的周长C = 2πr，面积S = πr^2- 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为极限lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h- 基本导数公式：(常数求导) (k)' = 0，(x^n)' = nx^(n-1)，(e^x)' = e^x以上是关于CIE进阶数学公式的简要介绍，希望能帮助学生更好地理解和掌握这门课程的知识。
在学习数学的过程中，积极思考和实践才是最重要的，希望大家都能在数学领域有所收获和提高。
祝学习顺利！第二篇示例：CIE进阶数学公式是CIE（剑桥国际考试）数学考试中较高难度的部分，需要学生在基础知识的基础上进一步深入学习和理解。
考研数学填空题解题技巧总结
考研数学填空题解题技巧总结考研数学填空题在考试中占据了很大的比重，解题技巧的掌握对于考生来说至关重要。
本文将从问题分析、关键信息提取、选择合适的解题方法、积极应用数学知识等几个方面总结一些解答填空题的技巧。
一、问题分析在回答填空题时，首先要充分理解题目，仔细分析问题。
可以大致从三个方面进行问题分析：1. 确定题目所涉及的数学概念和知识点；2. 判断题目需要求解的是某个具体数值还是数值的变化范围；3. 根据题目给出的信息判断问题所属的数学规律或性质。
二、关键信息提取在理解题目后，通过提取关键信息，进一步确定问题解决的方向和方法。
关键信息的提取有以下几个方面：1. 注意题干中与数学概念或性质相关的词语，如“方程式”，“等差数列”等，这些关键词能够帮助我们缩小解题范围；2. 确定题目的已知条件，比如给出的一些数值、关系等；3. 注意提示中的隐含信息，有时题目并没有明确给出所有的条件，需要通过解题过程中逐步推断。
三、选择合适的解题方法掌握不同的解题方法对于解答填空题是十分重要的。
常见的解题方法有经验法、代数法、几何法等。
1. 经验法：有些题目虽然没有明确的解题步骤，但可以通过观察和经验来解答。
比如对于一些常见的等差数列或等比数列题目，可以通过观察得出规律，然后利用规律求解。
2. 代数法：当题目涉及到方程或代数式时，可以通过建立数学模型解答。
通过列方程、化简方程、求解方程等方法，找到问题的解。
3. 几何法：当题目涉及到几何图形时，可以通过图形的性质和关系来解答。
利用几何图形的相似性、投影性质、三角形的性质等方法，解答相关题目。
四、积极应用数学知识理解题目，提取信息，选择合适的解题方法是基础，但在解答填空题时，也需要积极运用自己所学的数学知识。
以下是一些常见的数学知识的应用：1. 数列的性质：对于一些涉及数列的题目，能够使用等差或等比的性质来解答。
2. 函数的性质与图像：对于一些涉及函数的题目，能够利用函数的性质和图像来找到解答的方法。
考研数学公式手册
目录一、高等数学 (1)(一) 函数、极限、连续 (1)(二) 一元函数微分学 (4)(三)一元函数积分学 (11)(四) 向量代数和空间解析几何 (18)(五)多元函数微分学 (26)(六)多元函数积分学 (31)(七)无穷级数 (35)(八)常微分方程 (42)二、线性代数 (46)(一) 行列式 (46)(二)矩阵 (47)(三) 向量 (50)(四)线性方程组 (52)(五)矩阵的特征值和特征向量 (54)(六)二次型 (55)三、概率论与数理统计 (57)(一)随机事件和概率 (57)(二)随机变量及其概率分布 (61)(三)多维随机变量及其分布 (63)(四)随机变量的数字特征 (66)(五)大数定律和中心极限定理 (68)(六)数理统计的基本概念 (69)(七)参数估计 (71)(八)假设检验 (73)经常用到的初等数学公式 (75)平面几何 (80)1 / 85一、高等数学(一) 函数、极限、连续考试内容公式、定理、概念函数和隐函数函数：设有两个变量x和y，变量x的定义域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作：()y f x=基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立：基本初等函数包括五类函数:1幂函数:()y x Rμμ=∈;2指数函数xy a=(0a>且1a≠);3对数函数:logay x=( 0a>且1a≠);4三角函数:如sin,cos,tany x y x y x===等;5反三角函数:如arcsin,arccos,arctany x y x y x===等.初等函数：由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数.数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限100lim()()()x xf x A f x f x A-+→=⇔==200lim()()(),lim()0 x x x xf x A f x A a x a x→→=⇔=+=其中3(保号定理)lim(),0(0),0x xf x A A Aδ→=><∃>设又或则一个, 000(,),()0(()0) x x x x x f x f xδδ∈-+≠><当且时，或无穷小和无穷大的概念及其lim)0,lim()0x xαβ==设（1 / 85关系，无穷小的性质及无穷小的比较()(1)lim0,())()xx xxααββ=若则是比（高阶的无穷小，αβ记为(x)=o((x)).()(2)lim,())()xx xxααββ=∞若则是比（低阶的无穷小，()(3)lim(0),())()xc c x xxααββ=≠若则与（是同阶无穷小，()(4)lim1,())()xx xxααββ=若则与（是等价的无穷小，αβ记为(x)(x)()(5)lim(0),0,())()kxc c k x xxααββ=≠>若则是（的k阶无穷小x→常用的等阶无穷小：当时sinarcsintan,arctanln(1)e1xxxxxxx⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭2111cos21(1)1nx xx xn-+-无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和为无穷小（2）有限个无穷小的乘积为无穷小（3）无穷小乘以有界变量为无穷小Th 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大极限的四则运算lim(),lim().f x Ag x B==则(1)lim(()())f xg x A B±=±；2 / 853 / 85(2)lim ()()f x g x A B =；()(3)lim(0)()f x AB g x B=≠ 极限存在的两个准 则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：1()()(),x x f x x ϕφ≤≤0夹逼定理）设在的邻域内，恒有（lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==且0lim ()x x f x A →=则2单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3两个重要极限：0sin (1)lim 1x x x→= 10(2)lim(1)e x x x →+=重要公式：0010111011,lim 0,,n n n n m m x m m a n mb a x a x a x a n m b x b x b x b n m---→∞-⎧=⎪⎪++++⎪=<⎨++++⎪⎪∞>⎪⎩ 4几个常用极限特例lim 1,n n n →∞= lim arctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞=lim arccot x x π→-∞= lim e 0,x x →-∞=lim e ,xx →+∞=∞ 0lim 1,x x x +→+=函数连续的概念：函数间断 点的类 型：初等函数的连续性：闭连续函数在闭区间上的性质：(1) (连续函数的有界性)设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >，对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤.(2) (最值定理)设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上区间上连续函数的性质()f x至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得: ()(){}[]max,,a x bf f x a bξξ≤≤=∈；()(){}[]min,,a x bf f x a bηη≤≤=∈.(3) (介值定理)若函数()f x在[],a b上连续,μ是介于()f a与()f b(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a bξμξ=≤≤(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数()f x在[],a b上连续,且()()0f a f b⋅<,则在(),a b内至少∃一个ξ,使得()()0.f a bξξ=<<(二) 一元函数微分学考试内容对应公式、定理、概念导数和微分的概念左右导数导数的几何意义和物理意义1导数定义：00()()'()limxf x x f xf xx→+-=（1）或()()'()limx xf x f xf xx x→-=-（2）2函数()f x在x处的左、右导数分别定义为：左导数：00000()()()()()lim lim,() x x xf x x f x f x f xf x x x xx x x---∆→→+∆--'===+∆∆-右导数：000()()()()()lim limx x xf x x f x f x f xf xx x x+++∆→→+∆--'==∆-函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和Th1: 函数()f x在x处可微()f x⇔在x处可导Th2: 若函数()y f x=在点x处可导，则()y f x=在点x处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.Th3:()f x'存在00()()f x f x-+''⇔=00()()(,)f x x x f x M x y=设函数在处可导，则在处的4 / 855 / 85法线0000000-'()()1-(),'()0.'()y y f x x x y y x x f x f x =-=--≠切线方程：法线方程: 导数和微分的四则运算，初等函数的导数，四则运算法则:设函数()u u x =，()v v x =在点x 可导则 (1) ()u v u v '''±=± ()d u v du dv ±=± (2) ()uv uv vu '''=+ ()d uv udv vdu =+(3) 2()(0)u vu uv v v v ''-'=≠ 2()u vdu udv d v v -=基本导数与微分表(1) y c =（常数） 0y '= 0dy =(2) y x α=(α为实数) 1y x αα-'= 1dy x dx αα-= (3) x y a = ln x y a a '= ln x dy a adx = 特例 (e )e x x '= (e )e x x d dx =(4) 1ln y x a '=1ln dy dx x a= 特例 ln y x = 1(ln )x x '= 1(ln )d x dx x=(5) sin y x = cos y x '= (sin )cos d x xdx = (6) cos y x = sin y x '=- (cos )sin d x xdx =-(7) tan y x = 221sec cos y x x '== 2(tan )sec d x xdx = (8) cot y x = 221csc sin y x x'=-=- 2(cot )csc d x xdx =-(9) sec y x = sec tan y x x '= (sec )sec tan d x x xdx = (10)csc y x = csc cot y x x '=- (csc )csc cot d x x xdx =-(11) arcsin y x = 211y x '=- 21(arcsin )1d x dx x =- (12) arccos y x = 211y x '=-- 21(arccos )1d x dx x =-- (13) arctan y x = 211y x '=+ 21(arctan )1d x dx x =+6 / 85(14) arccot y x = 211y x '=-+ 21(arccot )1d x dx x=-+ (15) y shx = y chx '= ()d shx chxdx = (16) y chx = y shx '= ()d chx shxdx =复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分 法，1反函数的运算法则: 设()y f x =在点x 的某邻域内单调连 续，在点x 处可导且()0f x '≠，则其反函数在点x 所对应的 y 处可导，并且有1dy dxdx dy= 2复合函数的运算法则:若()x μϕ=在点x 可导,而()y f μ= 在对应点μ(()x μϕ=)可导,则复合函数(())y f x ϕ=在点x 可 导,且()()y f x μϕ'''=⋅3隐函数导数dydx的求法一般有三种方法： (1)方程两边对x 求导，要记住y 是x 的函数，则y 的函数是x 的复合函数.例如1y，2y ，ln y ，e y 等均是x 的复合函数. 对x 求导应按复合函数连锁法则做.(2)公式法.由(,)0F x y =知 (,)(,)x y F x y dydx F x y '=-',其中，(,)x F x y '，(,)y F x y '分别表示(,)F x y 对x 和y 的偏导数(3)利用微分形式不变性高阶导数，一阶微分形式的不变性，常用高阶导数公式（1）()()()ln (0)(e )e x n x n x n x a a a a =>= （2）()(sin )sin()2n n kx k kx n π=+⋅7 / 85（3）()(cos )cos()2n n kx k kx n π=+⋅（4）()()(1)(1)m n m-n x m m -m -n+x =（5）()(1)(1)!(ln )(1)n n nn x x --=- （6）莱布尼兹公式：若()()u x ,v x 均n 阶可导，则()()()()nn i i n-i n i=uv c u v =∑，其中(0)u =u ，(0)v =v 微分中值定理，必达法则，泰勒公式Th1(费马定理)若函数()f x 满足条件：(1)函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有0()()f x f x ≤或0()()f x f x ≥,(2) ()f x 在0x 处可导,则有 0()0f x '=Th2 (罗尔定理) 设函数()f x 满足条件： (1)在闭区间[,]a b 上连续；(2)在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内∃一个ξ，使 ()0f ξ'= Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数()f x 满足条件：(1)在[,]a b 上连续；(2)在(,)a b 内可导；则在(,)a b 内∃一个ξ，使()()()f b f a f b aξ-'=- Th4 (柯西中值定理) 设函数()f x ，()g x 满足条件：(1)在[,]a b 上连续；(2)在(,)a b 内可导且()f x '，()g x '均存在，且()0g x '≠则在(,)a b 内∃一个ξ，使 ()()()()()()f b f a f g b g a g ξξ'-='- 洛必达法则：法则Ⅰ (0型)设函数()(),f x g x 满足条件：()()0lim 0,lim 0x x x x f x g x →→==; ()(),f x g x 在0x 的邻域内可导(在0x 处可除外)且()0g x '≠;()()limx x f x g x →''存在(或∞).则8 / 85()()()()limlim.x x x x f x f x g x g x →→'=' 法则I ' (0型)设函数()(),f x g x 满足条件：()()lim 0,lim 0x x f x g x →∞→∞==;∃一个0X >,当x X >时,()(),f x g x 可导,且()0g x '≠;()()limx x f x g x →''存在(或∞).则 ()()()()00limlim.x x x x f x f x g x g x →→'=' 法则Ⅱ(∞∞型) 设函数()(),f x g x 满足条件： ()()0lim ,lim x x x x f x g x →→=∞=∞; ()(),f x g x 在0x 的邻域内可导(在0x 处可除外)且()0g x '≠;()()limx x f x g x →''存在(或∞).则 ()()()()00limlim.x x x x f x f x g x g x →→'='同理法则II '(∞∞型)仿法则I '可写出泰勒公式: 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少∃一个ξ，使得2000001()()()()()()2!f x f x f x x x f x x x '''=+-+-+()00()()()!n n n f x x x R x n +-+其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+称为()f x 在点0x 处的n阶泰勒余项.令00x =，则n 阶泰勒公式()21(0)()(0)(0)(0)()2!!n n n f f x f f x f x x R x n '''=+++++ (1)9 / 85其中 (1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+，ξ在0与x 之间.(1)式称为麦克劳林公式常用五种函数在00x =处的泰勒公式1211e 12!!(1)!n xn x x x x e n n ξ+=++++++或 2111()2!!n n x x x o x n =+++++1311sin sin sin()3!!2(1)!2nn x n x n x x x n n πξπ++=-+++++ 或 31sin()3!!2n n x n x x o x n π=-+++1211cos 1cos cos()2!!2(1)!2n n x n x n x x n n πξπ++=-+++++ 或 211cos ()2!!2n n x n x o x n π=-+++ 1231111(1)ln(1)(1)23(1)(1)n n n n n x x x x x x n n ξ+-+-+=-+-+-+++ 或 23111(1)()23nn n x x x x o x n-=-+-+-+ 2(1)(1)(1)(1)12!!m n m m m m m n x mx x xn ---++=++++ 11(1)(1)(1)(1)!n m n m m m n x n ξ+----++++ 或2(1)(1)12!m m m x mx x -+=+++(1)(1)()!n n m m m n x o x n --+++函数单调性的判别，函数的极值，函数的图形的凹凸1函数单调性的判断：Th1设函数()f x 在(,)a b 区间内可导，如果对(,)x a b ∀∈，都有'()0f x >（或'()0f x <），则函数()f x 在(,)a b 内是单调增加的（或单调减少）性，拐点及渐近线，用函数图形描绘函数最大值和最小值，Th2 （取极值的必要条件）设函数()f x在x处可导，且在0x处取极值，则'()0f x=.Th3 （取极值的第一充分条件）设函数()f x在x的某一邻域内可微，且'()0f x=（或()f x在x处连续，但'()f x不存在.）(1)若当x经过x时，'()f x由“+”变“-”，则()f x为极大值；(2)若当x经过x时，'()f x由“-”变“+”，则()f x为极小值；(3)若'()f x经过x x=的两侧不变号，则()f x不是极值. Th4 (取极值的第二充分条件)设()f x在点x处有''()0f x≠，且'()0f x=，则当''()0f x<时，()f x为极大值；当''()0f x>时，()f x为极小值.注：如果''()0f x＝，此方法失效.2渐近线的求法：(1)水平渐近线若lim()xf x b→+∞=，或lim()xf x b→-∞=，则y b=称为函数()y f x=的水平渐近线.(2)铅直渐近线若lim()x xf x-→=∞，或lim()x xf x+→=∞，则0x x=称为()y f x=的铅直渐近线.(3)斜渐近线若()lim,lim[()]x xf xa b f x axx→∞→∞==-，则10 / 8511 / 85y ax b =+称为()y f x =的斜渐近线3函数凹凸性的判断：Th1 (凹凸性的判别定理）若在I 上''()0f x <（或''()0f x >）， 则()f x 在I 上是凸的（或凹的）.Th2 (拐点的判别定理1)若在0x 处''()0f x =，（或''()f x 不存 在），当x 变动经过0x 时，''()f x 变号，则00(,())x f x 为拐点. Th3 (拐点的判别定理2)设()f x 在0x 点的某邻域内有三阶导数，且''()0f x =，'''()0f x ≠，则00(,())x f x 为拐点 弧微分，曲率的概念，曲率半径1.弧微分：21'.dS y dx =+2.曲率：曲线()y f x =在点(,)x y 处的曲率322''.(1')y k y =+对于参数方程(),()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩3222'()''()''()'().['()'()]t t t t k t t ϕψϕψϕψ-=+3.曲率半径：曲线在点M 处的曲率(0)k k ≠与曲线在点M 处的曲率半径ρ有如下关系：1.kρ=(三)一元函数积分学考试内容 对应公式、定理、概念 原函数和不定积分的概念，不定积分基本性质1()()kf x dx k f x dx =⎰⎰ （0k ≠为常数）21212[()()()]()()()k k f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰的基本性质3求导：[()]'()f x dx f x=⎰或微分：()()d f x dx f x dx=⎰4'()()F x dx F x C=+⎰或()()dF x F x C=+⎰（C是任意常数）基本积分公式111k kx dx x Ck+=++⎰（1k≠-）211dx Cxx=-+⎰12dx x Cx=+⎰1lndx x Cx=+⎰(0,1)e elnxx x xaa dx C a a dx Ca=+>≠=+⎰⎰cos sin sin cosxdx x C xdx x C=+=-+⎰⎰221sec tancosdx xdx x Cx==+⎰⎰221csc cotsindx xdx x Cx==-+⎰⎰1csc ln csc cotsindx xdx x x Cx==-+⎰⎰1sec ln sec tancosdx xdx x x Cx==++⎰⎰sec tan sec csc cot csc x xdx x C x xdx x C=+=-+⎰⎰tan ln cos cot ln sinxdx x C xdx x C =-+=+⎰⎰2221arctan arctan1dx x dxC x Ca aa x x=+=+ ++⎰⎰222arcsin arcsin1dx x dxC x Caa x x=+=+ --⎰⎰222111ln ln2211dx a x dx xC Ca a x xa x x++=+=+----⎰⎰2222lndxx x a Cx a=+±+±⎰12 / 8513 / 85重要公式(1)()[,]f x l l -设在上连续，则()[()()]lllf x dx f x f x dx-=+-⎰⎰0,2(),lf x f x dx f x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰当（）为奇函数当（）为偶函数 2f x T a （）设（）是以为周期的连续函数，为任意实数，则202()()().Ta TTT af x dx f x dx f x dx +-==⎰⎰⎰22201(3)4aa x dx a π-=⎰2200131,222(4)sin cos 1321,23n n n n n nn xdx xdx n n n n n πππ--⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩⎰⎰当为偶数当为奇数 20,5sin cos sin cos 0,n m nx mxdx nx mxdx n mππππ=⎧==⎨≠⎩⎰⎰-（）20sin cos sin cos 0nx mxdx nx mxdx πππ-==⎰⎰20,cos cos cos cos 00,n m nx mxdx nx mxdx n mππππ-=⎧===⎨≠⎩⎰⎰定积分的概念和基本性质，定积分中值定理1． 定积分的基本性质(1)()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ===⎰⎰⎰定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即(2)()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰(3)badx b a =-⎰(4)[()()]()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰(5)()()(b baakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数）14 / 85(6)()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(7)()(),[,],()().b baaf xg x x a b f x dx g x dx ≤∈≤⎰⎰比较定理：设则()[,]()0;baf x x a b f x dx ≥∈≥⎰推论：1.当0,时，2.|()||()|b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰(8)(),[,],,()()()ba m f x M x ab m M m b a f x dx M b a ≤≤∈-≤≤-⎰估值定理：设其中为常数，则(9)()[,][,],()()()ba f x ab a b f x dx b a f ξξ∃=-⎰积分中值定理：设在上连续，则在上至少一个使1()()baf f x dx b a ξ=-----⎰平均值公式积分上限的函数及其导数，牛顿——莱布尼兹公式Th1[][]()xaf x a b x a b F x f t dt x ∈=⎰设函数（）在，上连续，，，则变上限积分（）对可导'()()(())()x ad dF x F x f t dt f x dx dx ===⎰且有()()(),'()[()]'().x aF x f t dt F x f x x ϕϕϕ=⎰推论1 设=则()'()())[()]'()[()]'()x x x f t dt f x x f x x ϕφϕϕφφ=-⎰推论2 (()()''(()())(()())x x x x aaf tg x dt g x f t dt ϕϕ=⎰⎰推论3()'()()()[()]'()x ag x f t dt g x f x x ϕϕϕ=+⎰Th2(),,f x a b x a b ∈设在[]上连续，[],则()()[,]xaf x dt f x a b ⎰是在上的一个原函数Th3(),f x a b 牛顿-莱布尼茨公式:设在[]上连续，()F x ()f x 是的原函数，则()()|()()b b a af x dx F x F b F a ==-⎰ 不定积分1不定积分：和定积分的换元积分法与分部积分法分部积分法：udv uv vdu=-⎰⎰选择u，dv的原则：积分容易者选作dv，求导简单者选为u换元积分法：()(),f u du F u C=+⎰设[()]'()[()]()f x x dx f x d xϕϕϕϕ=⎰⎰则()()()[()]u x f u du F u C F x Cϕϕ==+=+⎰设2．定积分换元法:f x a b x tϕ设函数（）在［，］上连续，若＝（）满足：'()0.t tϕαβϕ≠(1)()在［，］上连续，且(2)()().a ab tϕϕβαβ=⋅=并且当在［，］上变化时，t a bϕ（）的值在［，］上变化，则()[()]'().baf x dx f t t dtβαϕϕ=⎰⎰分部积分公式'(),'(), u x v x a b u x v x设（），（）在［，］上具有连续导函数则()'()()()|()'()a aabb bu x v x dx u x v x v x u x dx=-⎰⎰3．定积分不等式证明中常用的不等式22(1)2a b ab+≥1(2)0,2a aa>+≥(3)柯西不等式：()()222(()())()(),b b ba a af xg x dx f x dx g x dxf xg x a b≤⎰⎰⎰其中（），（）在［，］上连续有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积1．三角函数代换函数()f x含根式所作代换三角形示意图22a x-sinx a t=15 / 85分，广义积分和定积分的应用22a x+tanx a t=22x a-secx a t=有理函数积分(1)ln||Adx A x a Cx a=-+-⎰11(2)(1)()1()n nA Adx C n x a n x a-=-+≠---⎰16 / 8517 / 852222222424(3)4()()[()]24px un n q p n a dxdx du p q p x px q u a x =-=−−−−→=←−−−−-+++++⎰⎰⎰令+ 221211(4)()()2(1)()2()n n nx a p dxdx a x px q n x px q x px q -+=-+-++-++++⎰⎰（240p q -<） 4． 广义积分（1） 无穷限的广义积分（无穷积分）f x 设（）连续，则()lim()baab f x dx f x dx∞→+∞⎰⎰+１.=()lim ()baa f x dx f x dx ∞→-∞⎰⎰b -2.=3.()()()ccf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰（2） 无界函数的广义积分（瑕积分） 01.()lim (),(())bb a af x dx f x dx x b f x εε+--→=→→∞⎰⎰当时，2.()lim (),(bb aa f x dx f x dx x a f x εε+++→=→→∞⎰⎰当时，（））.()lim ()lim ()(b c baac f x dx f x dx f x dxx c f x εηεη++-+→→=+→→∞⎰⎰⎰３当时，（））(四) 向量代数和空间解析几何考试内容对应公式、定理、概念向量的概念，向量的线性运算，1.向量：既有大小又有方向的量，又称矢量.2.向量的模：向量a的大小.记为a.3.向量的坐标表示：若向量用坐标表示{,,}a xi yj zk x y z=++=，则222a x y z=++4向量的运算法则：Ⅰ加减运算设有矢量111{,,}a x y z=，222{,,}b x y z=，则121212{,,}.a b x x y y z z±=±±±Ⅱ.数乘运算数乘运算∆矢量a与一数量λ之积aλ，00,0,a a aaa a aλλλλλλ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩即与同向0=0,即为零矢量-即与反向设111{,,}a x y z=，则111{,,}.a x y zλλλλ=向量的数量积和向量积，向量的混合积，1矢量的数积（点积，内积）：矢量a与b的数量积()cos,.a b a b a b⋅=设111{,,}a x y z=，222{,,}b x y z=，则121212.a b x x y y z z⋅=++2矢量的向量积（叉积，外积）：设有两个向量a与b，若∃一个矢量c，满足如下条件（1）sin(,)c a b a b=；（2）,c a c b⊥⊥，即c垂直于a，b所确定的平面；（3）a，b，c成右手系.则称矢量c为矢量a与b的矢量积，记c a b=⨯.18 / 8519 / 85设111{,,}a x y z =222{,,}b x y z =，则111111111222222222.i j ky z x z x y a b x y z i j k y z x z x y x y z ⨯==-+3混合积：设有三个矢量,,a b c ，若先作a ，b 的叉积a b ⨯，再与c 作点积()a b c ⨯⋅，则这样的数积称为矢量a ，b ，c 的混合积，记为(,,)a b c ，即(,,)().a b c a b c =⨯⋅设111{,,}a x y z =，222{,,}b x y z =，333{,,}c x y z =，则111222333(,,)x y z a b c x y z x y z =两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，1向量之间的位置关系及结论设111{,,}a x y z =，222{,,}b x y z =，333{,,}c x y z = （1）12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=； （2）111222//0x y z a b a b x y z ⇔⨯=⇔==； 其中222,,x y z 之中有一个为“0”，如20x =，应理解为10x =；（3）a ，b 不共线⇔∃不全为零的数,λμ使0a b λμ+=； （4）矢量a 与b 的夹角，可由下式求出121212222222111222cos()x x y y z z a b x y z x y z ∧++=++⋅++；（5）a ，b ，c 共面⇔∃不全为零的数,,v λμ，使20 / 850a b vc λμ++=或者(,,)0a b c =2单位向量：模为1的向量. 向量a 的单位向量记作0a ，022*******,,.a x y z a a x y z x y z x y z ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬++++++⎪⎪⎩⎭3向量的方向余弦：222222222cos ,cos ,cos ,x y z x y zx y zx y zαβγ===++++++其中,,αβγ为向量a 与各坐标轴正向的夹角.4单位向量的方向余弦：显然0{cos ,cos ,cos }a αβγ=，且有222cos cos cos 1.αβγ++=曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直线的距离1平面方程(1)一般式方程 0Ax By Cz D +++=，法矢量{,,}n A B C =，若方程中某个坐标不出现，则平面就平行于该坐标轴，例如 平面0//Ax Cz D y ++=轴(2)平面的点法式方程 000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=000(,,)M x y z 为平面上已知点，{,,}n A B C =为法矢量(3)三点式方程 111212121313131x x y y z z x x y y z z x x y y z z ---------1111(,,)M x y z ,2222(,,)M x y z ,3333(,,)M x y z 为平面上的三个点 (4)截距式方程 1x y za b c++=，,,a b c 分别为平面上坐标轴上的截距，即平面通过三点 (,0,0),(0,,0),(0,0,)a b c21 / 852直线方程 一般式方程(两平面交线)：1111222200A x B y C x D A x B y C x D ππ+++=⎧⎨+++=⎩12平面平面 平面π1与平面π2的法矢量分别为1111{,,}n A B C =， 2222{,,}n A B C = ， 直线的方向矢量为12111222i j ks n n A B C A B C =⨯=(2)标准式方程000x x y y z z l m n---==000(,,)M x y z 为直线上已知点， {,,}s l m n =为直线的方向矢量(3)两点式方程 111212121x x y y z z x x y y z z ---==--- 其中1111(,,)M x y z ，2222(,,)M x y z 为直线上的两点(4)参数式方程000x x lt y y mt z z nt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩000(,,)M x y z 为直线上已知点，{,,}s l m n =为直线的方向矢量 3平面间的关系设有两个平面：平面π1：11110A x B y C z D +++=平面π2：22220A x B y C z D +++=(1)平面π1//平面π2111222A B C A B C ⇔==(2)平面π1⊥平面π21212120A A B B C C ⇔++= (3)平面π1与平面π2的夹角θ，由下式确定22 / 85121212222222111222cos A A B B C C A B CA B Cθ++=++++4平面与直线间关系直线000:x x y y z z L l m n---==平面π1：11110A x B y C z D +++=(1)//0L Al Bm Cn π⇔++=(2)A B CL l m n π⊥⇔==(3)L 与π的夹角θ，由下式确定222222sin Al Bm CnA B C l m n θ++=++++5直线间关系 设有两直线：直线1111111:x x y y z z L l m n ---==直线2222222:x x y y z z L l m n ---==(1)11112222//l m n L L l m n ⇔== (2)121212120L L l l m m n n ⊥⇔++= (3)直线1L 与2L 的夹角θ，由下式确定 121212222222111222cos l l m m n n l m nl m nθ++=++++6点到平面的距离：000(,,)M x y z 到平面:0Ax By Cz D π+++=的距离为 000222Ax By Cz Dd A B C+++=++7点到直线的距离：000(,,)M x y z 到直线23 / 851111111:x x y y z z L l m n ---==距离为 0101011012221ij k x x y y z z lm nM M M Pd M Pl m n---⨯==++球面，母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，准线为各种形式的柱面方程的求法(1) 准线为(),0:0f x y z=⎧⎪Γ⎨=⎪⎩,母线//z 轴的柱面方程为(),0f x y =,准线为(),0:0x z yϕ=⎧⎪Γ⎨=⎪⎩,母线//y 轴的柱面方程为(),0x z ϕ=,准线为(),0:0y z xψ=⎧⎪Γ⎨=⎪⎩,母线//x 轴的柱面方程为 (),0y z ψ=.(2) 准线为()(),,0:,,0f x y z g x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩,母线的方向矢量为{},,l m n 的柱面方程的求法首先,在准线上任取一点(),,x y z ,则过点(),,x y z 的母线方程为X x Y y Z zl m n---==其中,,X Y Z 为母线上任一点的流动坐标,消去方程组常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.()(),,0,,0f x y zg x y zX x Y y Z zl m n⎧⎪=⎪=⎨⎪---⎪==⎩中的,,x y z便得所求的柱面方程常见的柱面方程名称方程图形圆柱面222x y R+=xyzo椭圆柱面22221x ya b+=xyz双曲柱面22221x ya b-=-a o a xyz抛物柱面()22,0x py p=>zyx标准二次方程及其图形名称方程图形24 / 85椭球面2222221x y za b c++=(,,a b c均为正数)o bczyx单叶双曲面2222221 x y za b c+-= (,,a b c均为正数)双叶双曲面2222221 x y za b c--+= (,,a b c均为正数)椭圆的抛物面22222x ypz a b+= (,,a b p为正数)双曲抛物面(又名马鞍面)22222x ypz a b-= (,,a b p均为正数)25 / 85二次锥面222222x y za b c+-=(,,a b c为正数)o yxz (五)多元函数微分学考试内容对应公式、定理、概念多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续的概念，二元函数(,)z f x y=连续，可导（两偏导存在）与可微三者的关系如下：可导←可微→函数连续“←→”表示可推出用全微分定义验证一个可导函数的可微性，只需验证：''(,)(,)lim0x yz f x y x f x y yρρ→∞∆-∆-∆是否为有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件，基本原理''''''''1()(,)(,),(,),(,)(,)xy yxxy yxThz f x y f x y f x yD f x y f x y==求偏导与次序无关定理设的两个混合偏导数在区域内连续则有2()(,)(,) ,,,Th z f x y P x yz z z zdz dx dyx y x y=∂∂∂∂=+∂∂∂∂可微与偏导存在的关系定理若在点处可微则在该点处必存在且有3()(,),(,)(,)(,)(,)Thzz f x y P x yyP x yz f x y P x y∂∂=∂∂=偏导存在与可微的关系定理z若的两个偏导数在x上的某领域内存在,且在连续,则在点处可微26 / 85多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度，1复合函数微分法(1)(,),(,),(,),z f u v u x y v x yϕφ===设则z z u z vx u x v xz z u z vy u y v y∂∂∂∂∂⎧=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=+⎪∂∂∂∂∂⎩(2)(,),(),(),,z f u v u x v xz du z dvzu dx v dxϕφ===∂∂=+∂∂设dz则称之为的全导数dx(3)(,,),(,),(,),z f x u v u x y v x yz f f u f vx x u x v xz f u f vy u y v yϕφ===∂∂∂∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=++⎪∂∂∂∂∂⎩设则注：复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏导数，其中间变量用数字1，2，3……表示更简洁.2隐函数微分法'(,)(1)(,)0,'(,)xyF x ydyF x ydx F x y==-设则'(,,)'(,,)(2)(,,)0,,'(,,)'(,,)yxz zF x y zF x y zz zF x y zx F x y z y F x y z∂∂==-=-∂∂则(3)(),(),y y x z z x⎧==⎨⎩F(x,y,z)=0设由方程组确定的隐函数G(x,y,z)=0,dy dzdx dx则可通过,dy dzdx dx解关于的线性方程组'''0:'''0x y zx y zdy dzF F Fdx dydy dzG G Gdx dx⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩''','''y z xy z xdy dzF F Fdx dxdy dzG G Gdx dx⎧+=-⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩来求解方向导数和梯度Th1设(,)z f x y=在000(,)M x y处可微，则(,)f x y在点27 / 8528 / 85000(,)M x y 沿任意方向(cos ,cos )l αβ= 存在方向导数且000000(,)(,)(,)cos cos f x y f x y f x y l x yαβ∂∂∂=+∂∂∂ 在平面上l 除了用方向角表示外也可用极角表示： (cos ,sin )l θθ=，[0,2]l θθπ∈是的极角，此时相应的方向导数的计算公式为000000(,)(,)(,)cos sin f x y f x y f x y l x yθθ∂∂∂=+∂∂∂ Th2设三元函数(,,)u f x y z =在0000(,,)M x y z 处可微，则 (,,)u f x y z =在点0000(,,)M x y z 沿任意方向 (cos ,cos ,cos )l αβγ=存在方向导数且有000000000(,,)(,,)(,,)cos cos f x y z f x y z f x y z l x yαβ∂∂∂=+∂∂∂000(,,)cos f x y z zγ∂+∂梯度：(,)z f x y =在点0M 的方向导数计算公式可改写成 000000(,)(,)(,)(,)(cos ,cos )f x y f x y f x y l x yαβ∂∂∂=∂∂∂ 000000((,))(,)cos ((,),grad f x y l gradf x y grad f x y l ==〈〉这里向量000000(,)(,)(,)(,)f x y f x y gradf x y x y∂∂=∂∂成为 (,)z f x y =在点0M 的梯度(向量)00(,)f x y l l∂∂随而变化0000((,)((,)grad f x y l grad f x y =即沿梯度方向时，方 向导数取最大值00 (,)grad f x y空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，1． 曲线的切线及法平面方程0000()(1)()(,,)()x x t y y t x y z t t z z t =⎧⎪=↔=⎨⎪=⎩曲线在29 / 85000000'()'()'()x x y y z z x t y t z t ---==处的切线方程： 000000'()()'()()'()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=法平面方程： (2)Γ空间曲线的一般式方程为,,)0(,,)0Fx y z G x y z =⎧⎨=⎩（000,,)P x y z Γ则在曲线的（处的 000(,)(,)(,)(,)(,)(,)pppx x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂切线方程：法线方程：000(,)(,)(,))()()0(,)(,)(,)p p pF G F G F G x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂（2． 空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程000(1)(,),(,,)z f x y P x y z =∑∑设曲面为显示方程则在上一点处的000()()()0.p pz zx x y y z z x y ∂∂-+---=∂∂切平面方程：0001p px x y y z z z z x y ---==∂-∂∂∂法线方程：000(2),,)0,(,,)F x y z P x y z =∑∑设曲面为隐式方程（则在上一点的000'()()()0x y z p pF x x F y y F z z ''-+-+-=切平面方程：000'|'|'|x p y p z px x y y z z F F F ---==法线方程：二元函数的二阶泰勒公式，多元函数的极值和条件极1多元函数的极值定义：00(,)(,)z f x y P x y =设函数在的某邻域内有定义，若对于该邻域 内异于00(,)P x y 点的任一(,)Q x y 点恒有0000(,)(,)((,))f x y f x y f x y ><或值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用00(,)(,)f x y f x y则称为的极小值(极大值)00'00 00'00 1(,)(,)(,)0 (,)(,)(,)0xyThz f x y P x yf x yP x y z f x yf x y=⎧=⎪=⎨=⎪⎩（取极值的必要条件）设在点的一阶偏导数存在，且是的极值点，则00000 2(,)(,)',)0,'(,)0x yThz f x y P x yf x y f x y===（函数取极值的充分条件）设在点的某邻域内有连续的二阶偏导数,且(222000000 ["(,)]"(,)"(,)0xy x yf x y f x y f x y-<00(,)(,)P x y z f x y=则是的一个极值点22000000 (1)"(,)0("(,)0),(,)x yf x y f x y P x y>>若或则为极小值点。
小学、初中、高中、大学、考研数学公式大全
小学、初中、高中、大学、考研数学公式大全第 1 页共 42 页目录Ⅰ小学数学公式大全 (2)一、小学数学几何形体周长面积体积计算公式 (2)二、单位换算 (2)三、数量关系计算公式方面 (3)四、算术方面 (3)五、特殊问题 (4)Ⅱ初中数学常用公式定理 (5)一、初中代数公式、概念 (5)1116 Ⅳ大学、考研数学公式35小学、初中、高中、大学、考研数学公式大全Ⅰ小学数学公式大全一、小学数学几何形体周长面积体积计算公式长方形的周长=（长+宽）*2 字母表示：C=(a+b)*2正方形的周长=边长*4 字母表示：C=4a长方形的面积=长*宽字母表示：S=ab正方形的面积=边长*边长字母表示：S=a.a= a2三角形的面积=底*高/2 字母表示：S=ah/2平行四边形的面积=底*高字母表示：S=ah梯形的面积=（上底+下底）*高/2 字母表示：S=（a＋b）h/2圆直径=半径*2 字母表示：d=2r半径=直径/2 字母表示：r= d/2圆的周长=圆周率*直径=圆周率*半径*2 字母表示: c=πd =2πr圆的面积=圆周率*半径*半径字母表示:S=πr2三角形的面积＝底*高/2。
字母表示:S= a*h/2正方形的面积＝边长*边长字母表示: S= a*a长方形的面积＝长*宽字母表示: S= a*b平行四边形的面积＝底*高公式S= a*h梯形的面积＝（上底+下底）*高/2 字母表示: S=(a+b)h/2内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长*宽*高字母表示:V=abh长方体（或正方体）的体积＝底面积*高字母表示:V=abh正方体的体积＝棱长*棱长*棱长字母表示:V=aaa=a3圆的周长＝直径*π 字母表示:L＝πd＝2πr圆的面积＝半径*半径*π 字母表示:S＝πr2圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。
字母表示:S=ch=πdh＝2πrh圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。
考研数学公式大全(含高中部分)
考研高等数学公式和十大考点考研数学常考的十种题型列出如下：一、运用洛必达法则和等价无穷小量求极限问题，直接求极限或给出一个分段函数讨论基连续性及间断点问题。
二、运用导数求最值、极值或证明不等式。
三、微积分中值定理的运用，证明一个关于“存在一个点，使得……成立”的命题或者证明不等式。
四、重积分的计算，包括二重积分和三重积分的计算及其应用。
五、曲线积分和曲面积分的计算。
六、幂级数问题，计算幂级数的和函数，将一个已知函数用间接法展开为幂级数。
七、常微分方程问题。
可分离变量方程、一阶线性微分方程、伯努利方程等的通解、特解及幂级数解法。
八、解线性方程组，求线性方程组的待定常数等。
九、矩阵的相似对角化，求矩阵的特征值，特征向量，相似矩阵等。
十、概率论与数理统计。
求概率分布或随机变量的分布密度及一些数字特征，参数的点估计和区间估计。
导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
考研数学进阶方程式(第九期)
(x, y ) ̸= (0, 0), (x, y ) = (0, 0)
0,
在点 (0, 0) 处 (
)
0−0 f (x, 0) − f (0, 0) = lim = 0. x→0 x x
′ 同理，fy (0, 0) = 0. 因此，f (x, y ) 在 (0, 0) 处偏导数存在. 当点 (x, y ) 沿 y = kx 这一族路径趋于原点时，函数极限为
xy , x2 +y 2
x→ 0
例 2(1997 年数一选择题第 (1) 题) 二元函存在. (C) 不连续，偏导数存在. (D) 不连续，偏导数不存在. 解析：当 (x, y ) = (0, 0) 时，根据偏导数的定义，
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2018 年 7 月 30 日
(x,y )→(0,0) y =kx
lim
xy = 2 x + y2
(x,y )→(0,0) y =kx
lim
kx2 k = . 2 2 2 x +k x 1 + k2
因此，
(x,y )→(0,0) y =kx
lim
xy x2 +y 2
的极限值随着 k 的变化而变化，函数在原点处的极限不存在，从而函数在原点处不
综上所述，所给函数在点 (0, 0) 处可微但在点 (0, 0) 处的偏导数不连续. 例 1(2002 年数一选择题第 (1) 题) 考虑二元函数 f (x, y ) 的下面 4 条性质： 1 f (x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处连续； ⃝ 2 f (x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续； ⃝ 3 f (x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处可微； ⃝ 4 f (x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在. ⃝ 若用“P ⇒ Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有 ( ) 2 ⇒⃝ 3 ⇒⃝ 1. 3 ⇒⃝ 2 ⇒⃝ 1. (A)⃝ (B)⃝ 3 ⇒⃝ 4 ⇒⃝ 1. 3 ⇒⃝ 1 ⇒⃝ 4. (C)⃝ (D)⃝ 解析：根据本期所讲的关系图可知，正确选项应为 (A).
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an 发散.
an 收敛，则 lim n2 an = 0.
n→∞
பைடு நூலகம்
an 发散，则存在非零常数 λ，使得 lim nan = λ.
n→∞ 1 (n n ln n
解析：选项 (A) 错误, 取 an = 选项 (B) 正确，由于 故由极限审敛法可知级数
∞ ∑ n=1 ∞ ∑ n=1
1 (n n ln n
an 发散，但 lim nan = 0. 也可以取 an = c(c 为
n→∞
an 发散，但 lim nan = lim cn = ∞.
n→∞ ∞ ∑
正确答案应为 (B). 例 2：(2006 年数一、数三试题) 若级数 (A) (C)
∞ ∑ n=1 ∞ ∑ n=1
an 收敛，则级数 (
n=1 ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ n=1 n=1
(u2n−1 + u2n ) 收敛，则 un 收敛，则
∞ ∑ n=1
∞ ∑ n=1
un 收敛.
(u2n−1 − u2n ) 收敛.
∞ ∑ n=1
(u2n−1 − u2n ) 收敛，则
un 收敛.
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1
4 n3
an 收敛，但 lim n2 an = 1. 也可取比
n→∞
∞ ∑ n=1
1 n2
收敛得慢
，则
∞ ∑ n=1
an 收敛，但 lim n2 × ≥ 2)，则级数
n→∞ ∞ ∑ n=2 n→∞
= lim n 3 ̸= 0.
2
n→∞
选项 (D) 错误，取 an = 非零常数)，则级数
∞ ∑ n=1
收敛.
练习： 1.(2013 年数三第 (4) 题) 设 {an } 为正项数列，下列选项正确的是 ( ∞ ∑ (A) 若 an > an+1 ，则 (−1)n−1 an 收敛. (B) 若 (C) 若
∞ ∑ n=1
)
(−1)
n−1
an 收敛，则 an > an+1 .
n→∞ ∞ ∑
n=1 ∞ ∑ n=1
)
|an | 收敛. an an+1 收敛.
(B) (D)
n=1 ∞ ∑ n=1 ∞ ∑
(−1)n an 收敛.
an +an+1 2
收敛.
n=1
1
page 2 of 2
∞ ∑ ∞ ∑ n=1
1 解析：选项 (A) 错误，取 an = (−1)n √ ， n ∞ ∑ n=1
an 为交错级数，由莱布尼茨定理可知
an 为正
项级数，则该命题正确. 例 1：(2004 年数一第 (9) 题) 设 (A) 若 lim nan = 0，则级数
n→∞ ∞ ∑ n=1 n→∞ ∞ ∑ n=1
an 为正项级数. 下列结论中正确的是 (
)
an 收敛.
∞ ∑ n=1
(B) 若存在非零常数 λ，使得 lim nan = λ，则级数 (C) 若级数 (D) 若级数
an 收敛，则存在常数 p > 1，使 lim np an 存在.
n→∞
(D) 若存在常数 p > 1，使 lim np an 存在，则
an 收敛. )
n=1
2.(2011 年数三第 (3) 题) 设 {un } 是数列，则下列命题正确的是 ( ∞ ∞ ∑ ∑ (A) 若 un 收敛，则 (u2n−1 + u2n ) 收敛. (B) 若 (C) 若 (D) 若
∞ ∑ n=1
an 收敛. = lim
1 n→∞ ln n
1 ) n ln n
= 0，但
∞ ∑ n=2
an 发散.
an 收敛，则级数
a2 n 收敛.
∞ ∑ n=1
1 考虑级数 an = (−1)n √ ，由莱布尼茨定理可知 n
an 收敛，但
∞ ∑ n=1
a2 n =
∞ ∑ n=1
1 n
发散. 若
∞ ∑ n=1
an 发散. 若
∞ ∑ n=1
an ，
bn 均为正项级数，则该命题正确. 2. 若正项级数 考虑 an = 3. 若级数
∞ ∑ n=1 1 (n n(ln n) ∞ ∑ n=1
an 满足 {an } 单调减少，且 lim nan = 0，则
n→∞ 1 ≥ 2)，数列 { n ln } 单调减少，且 lim (n · n n→∞ ∞ ∑ n=1
≥ 2)，则 lim nan = lim
n→∞ n→∞
1 n→∞ ln n
= 0，但
∞ ∑ n=2
1 n ln n
发散.
an 为正项级数，且 lim nan = λ > 0(由 nan > 0 且 λ 非零可知 λ > 0)，
an 发散.
1 ，则级数 n2 ∞ ∑ n=1 1 n3
4
选项 (C) 错误，可以取 an = 的级数作反例，令 an =
an 2
1 √ n n=1 ∞ ∑ n=1
∞ ∑
发散.
−1 n(n+1)
√
发散.
选项 (D) 正确，由
∞ ∑ n=1
an 收敛可知，
∞ ∑ n=1 an +an+1 2
an+1 收敛, 并且
n=1 ∞ ∑ n=1
和
∞ ∑
n=1
n=1
an+1 2
也都收敛，而两个收敛
级数的和也为收敛级数，因此 正确答案应为 (D).
2018 年 8 月 24 日
an 收敛，但
|an | =
∞ ∑ n=1
n=1
1 √ n
发散.
∞ ∑
1 选项 (B) 错误，还取 an = (−1)n √ ， n
an 收敛，而
∞ ∑
(−1)n an =
1 选项 (C) 错误，仍然取 an = (−1)n √ ， n
n=1 ∞ ∑ ∞ ∑ n=1
an 收敛，而
n=1 ∞ ∑
an an+1 =
第十五期：级数中的常见错误命题
1. 若 lim
an n→∞ bn
= 1，且
∞ ∑ n=1
bn 收敛，则
∞ ∑ n=1
an 收敛.
an n→∞ bn
1 1 1 考虑 an = (−1)n √ ，bn = (−1)n √ +n ，则 lim n n ∞ ∑ n=1
= 1，且
∞ ∑ n=1
bn 收敛，但
∞ ∑ n=1