DSP第一章

§1.1 引言
一、数字信号处理中涉及三种不同形式的信号： 模拟信号：信号幅度和时间均取连续值的信号。 时域离散信号：信号幅度取连续值，而时间取离 散值的信号；也可看成模拟信号 的时域离散采样。 数字信号：信号幅度和时间均取离散值的信号； 也可看成信号幅度离散化的时域离散 信号。 二、四种信号处理系统： 系统所处理的信号的类 型就是系统的类型。 （1）模拟系统（2）时域离散系统（3）数字系统 （4）数字和模拟的混合系统
A sin(0 nT ) A sin(0 n )
T 0 0T 2 f 0T 2 T0 2 T0 当 为整数或有理数时，x(n)为周期序列 0 T
T N 0 令： T k
N，k为互为素数的正整数
即 NT kT0 N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期 例：
§1.2 模拟信号、时域离散信号 和数字信号
例1.2.1已知模拟信号是一个正弦波， 即 xa (t ) 0.9sin 50 t ，试将它转换成时域离散 信号和数字信号。 解：将模拟信号转换成时域离散信号，要经 过等间隔采样，采样频率必须是模拟信号最 高频率的2倍以上。（采样定理将在第四章介 绍） 该正弦信号的频率是25Hz，周期是0.04s。选 择采样频率Fs=200Hz，采样间隔 T=1/Fs=0.005s。对其进行等间隔采样，即将 t=nT代入到 xa (t ) 0.9sin 50 t 中， 得到 x(n) xa (t ) t nT 0.9sin 50 nT
m 0 n

k
(k )
3、矩形序列
1 0 n N 1 RN (n) 其它n 0
与其他序列的关系 RN (n) u (n) u (n N )
RN (n) (n m) (n) ( n 1) ... [n ( N 1)]
0
为整数时， 2
取k 1，x ( n )即是周期为
0
的周期序列
如sin( n )， 0 ， 8 N 4 4 0 该序列是周期为8的周期序列


2
2）当
2
0
为有理数时，
P 表示成 ，P，Q为互为素数的整数 0 Q 取k Q，则N P，x ( n )即是周期为P的周期序列
x(n)代表第n个序列值， 在数值上等于信号的采样值 x(n)只在n为整数时才有意义
（2）通过实验测试得到。
例：每天上午8点检测病人的血压，共测试了五 天，舒张压均正常，收缩压不正常，仅记录收 缩压并用x[n]表示
x n 155,161,150,165,168
2、时域离散信号表示方法
x ( n) e
n j ( ) 6
是否是周期序列
解：x(n N ) e
j( n N ) 6
e
n N j ( ) 6 6
若x ( n )为周期序列，则必须满足x ( n ) x ( n N )， N 即满足 2 k，且N，k为整数 6
而不论k 取什么整数，N 12 k 都是一个无理数 x ( n )不是周期序列
x[ n] { ,0.0000,0.6328,0.8884,0.6328,0.0000,0.6328,0.8884,0.6328, }
★总结：随着二进制编码位数增加，数字信号和时域 离散信号之间的差别越来越小。
§1.2.2时域离散信号的表示方法
1、时域离散信号的（最多的一类）
n
（3）用图形表示序列
为了醒目，常常 在每一条竖线的 顶端加一个小黑 点
§1.2.3常用时域离散信号
1、单位脉冲序列
1 n 0 ( n) 0 n 0
单位脉冲序列也 称为单位采样 （抽样）序列。 单位冲激信号 (t )
(t )dt 1 (t ) 0, t 0
要使x ( n N ) x ( n )，即x ( n )为周期为N的周期序列
则要求 0 N 2 k，即N 2
0
k，N，k为整数，
且k的取值保证N 是最小的正整数
分情况讨论 1）当 为整数时 0 2）当 为有理数时 0 3）当
2 2 2
0
为无理数时
1）当
2
2）翻褶
x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n) 加以翻褶
3）和
x(n) x1 (n) x2 (n)
同序列号n的序列值 逐项对应相加
4）积
x(n) x1 (n) x2 (n)
同序号n的序列值 逐项对应相乘
5）差分 前向差分：
x(n) x(n 1) x(n)
6、正弦序列
x(n) A sin(0 n )
模拟正弦信号：
xa (t ) A sin(t )
x(n) xa (t )
t nT
A sin(nT )
0 T / f s
0：数字域频率
T：采样周期 ：模拟域频率 f s：采样频率
数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率
8、周期序列 若对所有n存在一个最小的正整数N，满足 x(n) x(n N ) n 则称序列x(n)是周期序列，周期为N。 例： x(n) sin( n) sin[ (n 8)] 4 4 因此，x(n)是周期为8的周期序列
讨论一般正弦序列的周期性
x(n) A sin(0 n ) x(n N ) A sin[0 (n N ) ] A sin(0 n 0 N )
3 x(n) sin( 2 n) 14 3 0 2 14 2 14 N T0 0 3 k T
当14T 3T0时， x ( n )为周期为14的周期序列
§1.2.4 序列的运算
移位 翻褶 和 积 差分 时间尺度变换 卷积和
1）移位
序列x(n)，当m>0时 x(n-m)：延时/右移m位 x(n+m)：超前/左移m位
x n 称为时域离散信号，这里的n表示第n个
§1.2.1时域离散信号和数字信 号
数字信号是对时域离散信号的幅度进行有限的二进制 编码、量化形成，从数值上讲数字信号和时域离散信 号之间是有差别的。将例1.2.1中的数字信号x[n]再换 算成十进制，则
x[ n] { ,0.000,0.625,0.875,0.625,0.000,0.625,0.875,0.625, }
m 0 N 1
4、实指数序列
x ( n) a u ( n)
n
a 为实数
5、复指数序列 ( j0 ) n j0 n n x ( n) e e e
e n cos(0 n) je n sin(0 n)
0 为数字域频率
j n 例： x(n)=0.9 n e 3
时域离散信号有三种表示方法： （1）用集合符号表示序列 数的集合，用集合符号｛·｝表示。
时域离散信号是一组有序的数的集合，可表 示成集合。
x[ n] { ,0.000,0.625,0.875,0.625,0.000,0.625,0.875,0.625, }
（2）用公式表示序列
x ( n) a ， 0 a 1，- n
后向差分：
x(n) x(n) x(n 1)
x(n) x(n 1)
x(n) x(n 1)
6）时间尺度变换
x(mn)
抽取
t nT t mnT
x(n) xa (t )
x(mn) xa (t )
n x( ) 插值 m
7）卷积和
设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：
对模拟信号 xa (t ) 进行等间隔采样，采样间隔为T，
xa (t )
t nT
xa (nT ) n
xa (nT ) 是一个有序的数字序列： n取整数。对于不同的n值， ...xa (T ), xa (0), xa (T ), xa (2T ),... 该数字序列就是时域离散信 号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮 器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间 隔，形成x(n)信号，称为序列。
7、任意序列 x(n)可以表示成单位脉冲序列的移位加权和， 也可表示成与单位脉冲序列的卷积和。
x(n) x(m) (n m) x(n) (n)
m
例： x(n) 2 (n 1) (n)
1.5 (n 1) (n 2) 0.5 (n 3)
讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样 得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号 的周期T0之间应是什么关系才能使所得 到的抽样序列仍然是周期序列？ 解：设连续正弦信号：
x(t ) A sin(0t )
0 2 f 0
抽样序列：
x(n) x(t )
t nT
T0 1/ f 0 2 / 0
(1)
(t )
t
0
★ δ(t)是一个奇异信号，数学抽象，实际中无法实现。 δ(n)是一个非奇异信号， 可实现信号。
2、单位阶跃序列
1 n 0 u ( n) 0 n 0
与单位抽样序列的关系
(n) u (n) u (n 1)
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2) ...
x[ n] { ,0.0000000 ,0.1010001,0.1110011,0.1010001,0.0000000 ,1.1010001,1.1110011,1.1010001, }
很明显x n 和x[n]之间有差别。这种差别的大小与 二进制编码的位数有关，如果用8位二进制编码表示 x n ，则 再换算成十进制，则