16.2 线段的垂直平分线(1)(含答案)-
线段的垂直平分线性质(第一课时)
已知点$P$是线段AB的垂直平分线上 的一点，若$PA = 2cm$，则点$P$到
线段AB中点的距离是____$cm$.
答案与解析
1、答案
2、答案
3、答案
4、答案
到这条线段两个端点的距离相 等；解析：根据线段的垂直平 分线的定义，垂直平分线上的 任意一点到线段两个端点的距 离相等。
$2cm$；解析：由于点$P$是 线段$AB$的垂直平分线上任意 一点，根据垂直平分线的性质， 有$PA = PB$，所以$PA + PB = AB = 2cm$.
在数学问题中的应用
01
02
03
解决几何问题
利用垂直平分线的性质， 可以解决各种几何问题， 例如证明线段相等、角相 等、平行线等。
解决代数问题
在代数问题中，可以利用 垂直平分线的性质来解决 一些问题，例如解方程、 不等式等。
解决三角函数问题
利用垂直平分线的性质， 可以解决一些三角函数问 题，例如求三角形的边长、 角度等。
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线段的垂直平分 线性质(第一课时)
目录
• 引言 • 线段的垂直平分线定义 • 线段的垂直平分线的性质证明 • 线段的垂直平分线的应用 • 练习题与答案
01
引言
课程目标
理解线段垂直平分线 的定义和性质。
会利用线段垂直平分 线的性质解决实际问 题。
掌握线段垂直平分线 的作法。
学习重点与难点
学习重点
05
练习题与答案
练习题
1、题目
线段垂直平分线上的点到这条 线段两个端点的距离相等吗？
为什么？
2、题目
已知$AB = 2cm$，点$P$是线段 $AB$的垂直平分线上任意一点，则 $PA + PB$的值是多少？
线段的垂直平分线经典习题及答
线段的垂直平分线（含答案）一、选择题（共8小题）1、（2011•绍兴）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A、7B、14C、17D、202、（2011•丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）A、6B、4C、6D、43、（2010•义乌市）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5C、4D、34、（2010•烟台）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A、80°B、70°C、60°D、50°5、（2010•台湾）如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确6、（2010•三明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B7、（2010•巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点8、（2009•钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（）C、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB二、填空题（共12小题）9、（2011•长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________．10、（2010•无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_________度．11、（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_________°．12、（2009•泉州）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC 与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_________．13、（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= _________度．14、（2008•孝感）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_________度．_________度．16、（2004•陕西）如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_________个不同的四边形．17、（2004•湖州）已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________．18、（2002•天津）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号_________（把你认为正确结论的序号都填上）19、（2002•广西）如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________ cm．20、（2002•安徽）在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_________°．三、解答题（共6小题）21、（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．22、（2011•乐山）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．1、（2011•绍兴）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A、7B、14C、17D、20考点：线段垂直平分线的性质。
16.2.1 线段垂直平分线的性质课件(共14张PPT) 冀教版数学八年级上册
探究新知
符号语言： ∵直线l 垂直平分AB，点P在l上 ∴ PA =PB 作用：该结论常用来证明两条线段相等.
探究新知
学生活动二 【一起探究】
已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试确定一点P， 使得AP+BP最短.
探究新知
理由： 在l上另取一点M，连接MA,MB,MA' 由作图可知，l是AA'的中垂线 ∴AP=A'P,AM=A'M（线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等） ∴AP+BP=A'P+BP=A'B
AM+BM=A'M+BM 由“两点之间线段最短”可得A'B＜A'M+BM 即AP+BP最短
巩固练习
探究新知
猜想： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等！
探究新知
学生活动一 【一起探究】
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
探究新知
证明：∵ l⊥AB ∴ ∠PCA =∠PCB
又∵ AC =CB，PC =PC ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB
巩固练习回顾反思Fra bibliotek课后作业
1.课本P 114 A组2,3题，B组1,2题 2.完成相关的练习第16章 第2节 第1 课时
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质
学习目标
1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明； 2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题； 3.会作最短路径问题.
16.2线段的垂直平分线
Q P ●
O
R
B
P″
解：1．作点A关于EF H
的对称点A′
2．连结A′B交EF于
点C.则沿AC撞击黑球
A，必沿CB反弹击中
白球B。
E
B C
G A
F
A′
迁移与应用
如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的
距离分别为AC、BD，且AC=BD，若A到河岸
CD的中点的距离为500m,若牧童从A处将牛牵到
河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路 程最短？最短路程是多少？
A′ 1000m
C NM
D
A
B
变:如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸 的距离分别为AC、BD，且AC≠BD，若牧童从A 处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮 水，所走路程最短？
A′CBiblioteka MDA B
变:如图，已知，∠AOB内有一点P，求作△PQR， 使Q在OA 上，R在OB上，且使△PQR的周长最 小.
16.2线段的垂直平分线（第一课时）
D
A
.
中点 C
垂直平分线 （中垂线）
B
如图，点C是线段AB的中点， 而且直线CD垂直于AB，
即直线CD垂直平分了线段AB。
. 思考：
D
PA等于PB吗？
P
PA=PB
A
.
B
同理：
中点C
MA=MB
.
M
P
C
A
.M 角平分线
O
如图MC=MD
D
Q
一个角的角平分线上的点
到这个角的两边的距离相等。
想一想
如图，某同学打台球时想绕过黑球，通过击主 球，使主球 撞击桌边 MN后反弹来击中彩球.请在 图中标明,主球撞在MN上哪一点才能达到目的 (以 主球、彩球的球心A、B来代表两球) ?
16.2尺规作图线段垂直平分线
永年县第四中学 吴睿
课前回顾
M P
1.垂直平分线的定义： ∵MN是AB的垂直平分线 AD＝BD； ∴ MN⊥AB ， A D B 2.垂直平分线的性质： N ∵MN是AB的垂直平分线 ∴ PA＝PB （ 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等 ） 3.垂直平分线的判定： ∵PA＝PB ∴ P在AB的垂直平分线上 （ 到线段两端距 离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ）
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
驶向胜利 的彼岸
作线段的垂直平分线
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对 称，其对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平 分线．因此，只要找到任 意一组对应点，作出对应 点所连线段的垂直平分线， 就得到此图形的对称轴．
小结
1．说说线段垂直平分线的作法； 2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方 法： (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然 后画垂线．
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋CD＝ AD＋BD＝AB. （4）由（2）中式子－（1）中式子得BC＝10cm.
课堂练习
练习4 如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程． A
P O
B
独立作业
1
习题1.5
1.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.
老师期望:
课堂练习
练习3：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？ 画出它们的对称轴.
思考
两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什 么方法画出它的对称轴? 我们已经知道，如果两个图形关于某条直线 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个 图形的一对对应点，然后画出以这两个对应 点为端点的线段的垂直平分线就可以了． 提问：如何画一条线段的垂直平分线呢?
课件--线段的垂直平分线的性质
L
问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何 一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称 图形的对称轴如何来作呢？
只要我们找到一对对应 点，作出连接它们的线段的 垂直平分线，就可以得到这 两个图形的对称轴了．
如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平 分线交于点P. （1）求证：PA=PB=PC. （2）点P是否也在边AC的垂直平分线 P
驶向胜利 的彼岸
练一练
1.如图，NM是线段AB的垂直平分线,下列说 法正确的有： ①②③ .
M
①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB，
④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线.
A
D N
B
练习巩固
• 已知，如图所示点A，B是直线l外的任意两 点，在直线l上，试确定一点P，使ＡＰ＋ BP最短。
B A
A
A′
B′
B
C
C′
如果两个图形沿着某一条直线 对折 , 如果这两个图 形能够 完全重合 ,那么就说这两个图形关于这条直线
成轴对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,
叫做 对称点.
探究1
最简单的轴对称图形是：
线段有几条对称轴？请你画出来。 A B
回顾总结
线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条 线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线（简称中垂线）。
些条件，你可以求出哪条线段的长? 【解析】
（1）△ACD的周长＝AD ＋CD＋AC＝18cm. （2）△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝28cm.
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋CD＝ AD＋BD＝AB. （4）由（2）中式子－（1）中式子得BC＝10cm.
16.2 线段的垂直平分线
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
A
？？ C
B
A
P
c
B
P
？
c
B
尝试一： 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB， PC =PC， ∠PCA =∠PCB
失败！SSA不能证全等。
尝试二：
证明：连结点P和AB的中点C(作△PAB的中线PC)，
知识要点
线段垂直平分线的逆定理： 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
P
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
三 例题1:
已知：如图，在△ABC中，AB,AC的中垂线DP与EP相交于点P,
求证：点P在BC的中垂线上。
优翼 课件
冀教版八年级数学上（JJ）
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段垂直平分线性质定理的逆定理
定兴二中肖村分校 白金山
导入新课
情境引入
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一 个公共汽车站，使两个小区到车站的直线距离一样长，该公 共汽车站应建在什么地方？
AE=AE ∴ △ABE ≌△ADE（SSS）． ∴BE=DE（全等三角形对应线段相等）
证明两条线段相等的方法：
一、全等三角形。 二、线段中垂线性质 定理
挑战自我
已知：如图，在△ABC中， ∠C =90°，线 段BC的中垂线交AB于点D,点D为AB中点， 点F为AC中点，连结DF， 求证：DF是线段AC的垂直平分线
线段的垂直平分线(有答案)
线段的垂直平分线一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（）3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（）4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（）5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为_________ cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是_________ cm．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于_________．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为_________．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB=_________．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB ＞AC，求证：BF=AC+AF．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．线段的垂直平分线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（）3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（）4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（）5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为18 cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是14cm．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于9．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为23．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB=4．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．BD×13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB ＞AC，求证：BF=AC+AF．推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．，，18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．ADAD=8cm27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．21。
16.2 线段的垂直平分线(课件)冀教版数学八年级上册
读 点 P 在
径画弧，交 l 于 A，B 两点；
直线 l
②作线段 AB 的垂直平分线 CD，
上
CD 即为直线 l 的垂线
图示
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第二课时 线段垂直平分线的判定和画法
考
点
清
单
解
读
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续表
①以点 P 为圆心，适当长为半径
点 P
画弧，交 l 于 A，B 两点；②分
在直
别以点 A，B 为圆心，适当长为
16.2 线段的垂直平分线
第一课时 线段垂直平分线的性质
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
第一课时 线段垂直平分线的性质
■考点
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线段垂直平分线的性质定理
考
点
内容
清
单
线段垂直平分线上的点到线段两端的距
解
读 性质
离相等条件：点在线段的垂直平分线上
定理
结论：这个点到线段两端的距离相等
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］9
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第一课时 线段垂直平分线的性质
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重 ■题型 线段垂直平分线的性质定理的应用
难
例
如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°．若边
题
型 AC 的垂直平分线 DE 交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，
突
破 连接 CD，则∠DCB 的度数为 （
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解题通法
涉及尺规作图的题目，首先要根据作图方
重
难
题 法或作图痕迹判断出所作图形，再结合题目所给条件解决
型 问题.
冀教版数学八年级上册16.2《线段的垂直平分线》教学设计
冀教版数学八年级上册16.2《线段的垂直平分线》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册16.2《线段的垂直平分线》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握线段的垂直平分线的性质和作法。
本节内容是在学生已经掌握了线段中点、线段的和差、乘除运算、线段垂直平分线的概念等知识的基础上进行学习的，为后续学习圆的相关知识奠定了基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了一定的几何基础知识，对于线段的概念、性质和运算已经有所了解。
但学生在学习过程中，可能对线段的垂直平分线的作法和性质的理解存在一定的困难，需要通过实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握线段的垂直平分线的性质，能够运用线段的垂直平分线解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、动手操作、合作交流等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：线段的垂直平分线的性质。
2.难点：线段的垂直平分线的作法和性质的理解与应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究线段的垂直平分线的性质。
2.利用几何画板软件，直观展示线段的垂直平分线的作法和性质，增强学生的直观感受。
3.通过小组讨论、合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.运用实例和练习，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备几何画板软件，用于展示线段的垂直平分线的作法和性质。
2.准备相关的实例和练习题，用于巩固所学知识。
3.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板软件，展示一个线段，并提出问题：“如何找到一个线段的垂直平分线？”引导学生思考和讨论。
2.呈现（10分钟）通过几何画板软件，展示线段的垂直平分线的作法和性质，引导学生观察和思考。
同时，教师进行讲解，阐述线段的垂直平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，合作交流，尝试运用线段的垂直平分线的性质解决实际问题。
16.2.1线段垂直平分线
A N
B
基础练习：
4.如图，已知BC的垂直平分线分别交BC、AB 于E、D,如果AB+AC=40cm,则三角形ACD的周 长是（ A ）。
A
A.40cm
B.30cm
D B
C.35cm
D.25cm
E
C
基础练习：
5.如图，判断下列各结论的正误:
（1）若PA=PB，则OP垂直平分AB. (
（ 上 PA=PB
点P在线段BC的 垂直平分线上 PB=PC
B
M’
P C N N’
PA=PB=PC
基础练习：
2. 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂 直平分 线交于P.求证：（1）PA=PB=PC; A （2）点P在BC的垂直平分线上.
M
M’ P C N N’
证明：∵点P在线段AB、AC的垂直平分线上，
∴PA=PB，PB=PC（线段垂直平分线与线段两端 的距离相等）
B ∴PA=PB=PC（等量代换） ∴点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相 等的点在这条线段的垂直平分线上）
你能依据上题得到什么结论？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。
基础练习：
3.如图P是AB垂直平分线MN上一点， 连结PA、PB,则∠A与∠B( C ) A.∠A﹥∠B B. ∠A﹤∠B C. ∠A=∠B M P
)
AB的垂直平分线上. （
）
A
（3）若PA=PB，OA=OB,则OP
垂直平分AB .
（
）
B
基础练习：
（1）若PA=PB，则OP垂直平分AB . ( )
基础练习：
如图，判断下列各结论的正误:
线段的垂直平分线中考题(含答案
线段的垂直平分线中考题（含答案）一．填空题（共7小题）1．（2011?长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________．2．（2011?莱芜）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= _________cm．3．如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB=_________．4．如图，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E，使BD=CE，AD与BE相交于点P．则∠APE的度数为_________°．5．如图，D是等边△ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，△ABC的周长是9，则∠E=_________°，CE=_________．6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8cm，则CD=_________．二．解答题（共1小题）7．（2011?香洲区一模）△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．（1）利用尺规作B的角平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．参考答案与试题解析一．填空题（共7小题）1．（2011?长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为6．考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析：由ED垂直平分BC，即可得BE=CE，∠EDB=90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．解答：解：∵ED垂直平分BC，∴BE=CE，∠EDB=90°，∵∠B=30°，ED=3，∴BE=2DE=6，∴CE=6．故答案为：6．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用．2．（2011?莱芜）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= 2cm．考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：连接BD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC=2BD，根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，即可求出答案．解答：解：连接BD．∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=（180°﹣∠ABC）=30°，∴DC=2BD，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴DC=2AD，∵AC=6，∴AD=×6=2，故答案为：2．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出AD=BD和DC=2BD是解此题的关键．3．如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB=．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：由题可证△BED≌△ADF≌△CFE，则AD=BE，由勾股定理得，BE=BD，因为AB=BD+AD=BD+BE=BD+=1，所以BD=．解答：解：∵∠DEB=90°∴∠BDE=90°﹣60°=30°∴∠ADF=180﹣30°﹣60°=90°同理∠EFC=90°又∵∠A=∠B=∠C，DE=DF=EF∴△BED≌△ADF≌△CFE∴AD=BE，由勾股定理得：∵BE=∵AB=BD+AD=BD+BE=BD+=1∴BD=．点评：本题利用了：（1）等边三角形的性质，（2）勾股定理，（3）全等三角形的判定和性质．5．如图，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E，使BD=CE，AD与BE相交于点P．则∠APE的度数为60°．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：根据BD=CE可得CD=AE，即可证明△ACD≌△BAE，得∠CAD=∠ABE，再根据内角和为180°的性质即可解题．解答：解：∵BD=CE，∴BC﹣BD=AC﹣CE，即CD=AE，在△ACD与△BAE中，，∴△ACD≌△BAE（SAS），∴∠CAD=∠ABE，∵∠CAD+∠APE+∠AEB=180°，∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，∴∠APE=∠BAE=60°，故答案为：60．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠APE=∠BAE是解题的关键．6．如图，D是等边△ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，△ABC的周长是9，则∠E=30°，CE=．考点：等边三角形的性质．专题：综合题．分析：由△ABC为等边三角形，且BD为边AC的中线，根据“三线合一”得到BD平分∠ABC，而∠ABC为60°，得到∠DBE为30°，又因为DE=DB，根据等边对等角得到∠E与∠DBE相等，故∠E也为30°；由等边三角形的三边相等且周长为9，求出AC的长为3，且∠ACB为60°，根据∠ACB为△DCE的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出∠CDE也为30°，根据等角对等边得到CD=CE，都等于边长AC的一半，从而求出CE的值．解答：解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，即∠DBE=30°，又DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°，∵等边△ABC的周长为9，∴AC=3，且∠ACB=60°，∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，∴CD=CE=AC=．故答案为：30；点评：此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质可以解决角与边的有关问题，尤其注意等腰三角形“三线合一”性质的运用，及“等角对等边”、“等边对等角”的运用．7．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8cm，则CD=4cm．考点：含30度角的直角三角形．分析：根据三角形的内角和定理求出∠A=30°，求出∠ABD=∠CBD=∠A=30°，求出AD=BD，CD=BD，代入求出即可．解答：解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠CBD，∴∠CBD=∠ABD=30°，∴CD=BD，∠A=∠ABD，∴AD=BD=8cm，∴CD=4cm，故答案为：4cm．点评：本题考查了含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理等知识点，关键是求出AD=BD和CD=BD，题目比较典型，难度适中．二．解答题（共1小题）8．（2011?香洲区一模）△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．（1）利用尺规作B的角平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．考点：等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；作图—基本作图．专题：作图题；证明题．分析：（1）以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过这点和B作直线即可；（2）由∠A=36°，求出∠C、∠ABC的度数，能求出∠ABD和∠CBD的度数，即可求出∠BDC，根据等角对等边即可推出答案．解答：（1）解：如图所示：（2）解：△BCD是等腰三角形．理由如下：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=36°，∴∠BDC=∠C=72°，∴BC=BD，∴△BCD是等腰三角形．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的性质，作图与基本作图等知识点，解此题的关键是能正确画图和求出∠C、∠BDC的度数．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
线段中垂线性质定理
迁安市木厂口中学八年级数学“471”导学案课题：16.2线段的垂直平分线课型：预习展示课主备：贺秀丽审核：领导审批学生使用时间学习流程自学内容*学法指导*随堂笔记互动策略展示方案知识链接1、线段垂直平分线的定义：2、线段是否为轴对称图形？他的对称轴是什么？课前5分钟完成，组长负责组织明确目标1分钟1、初步掌握线段的垂直平分线的定理。
（重点）2、会运用线段垂直平分线的性质定理解决有关问题。
（难点）3、体会合情推理和演绎推理的不同作用齐读目标独学预习10分钟合作交流15分钟1.已知线段AB和它的中垂线l,在l上任取一点M，连结MA、MB；量一量：MA、MB的长，你能发现什么？在l上任取一点N，连结NA、NB；量一量：NA、NB的长，你能发现什么？如果再有其它点呢？由此你能得出什么规律?2.事实上，因为AB是轴对称图形，中垂线l是它的对称轴，所以线段AB沿对称轴l对折后，点A和点B重合，线段MA和线段MB ，从而 MA MB3.事实上，因为AB是图形，中垂线l是它的对称轴，所以线段AB沿对称轴l对折后，点A和点B重合，线段MA和线段MB ，从而 MA MB4.试着证明吧（演绎推理）已知：线段AB和它的垂直平分线l，垂足为C，点P为直线l上任意一点，连接PA,PB求证：PA=PB总结：线段垂直平分线的性质定理：几何语言：∵l是线段AB的线段垂直平分线（已知）∴练习1、如图，在△ABC中，AB＝AC，ED垂直平分AB，独立思考，动手操作，自主完成，然后对子之间相互检查，有问题的组内解决A B展示提升30 分钟（1）若∠A＝50°，则∠ABD＝ .（2）若BD＝10，则AD=。
（3）若AB＝14，△BCD的周长为24，则BC=。
1.如下图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15c m，BD=6c m，求△ABC的周长．2.已知：如图，点A,B是直线l外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使AP+BP最短。
垂直平分线
线段的垂直平分线(1)教学目标知识技能1.了解线段的垂直平分线的折叠画法,掌握线段垂直平分线的尺规作法。
2.掌握线段垂直平分线的性质。
3.能用线段垂直平分线的性质解决简单的问题。
过程与方法经历探究线段垂直平分线性质过程，学会运用线段垂直平分线的性质解决简单问题的方法。
情感、态度与价值观通过学习利用线段垂直平分线的性质解决线段相等问题，初步感受线段垂直平分线在解决相等问题中的作用。
学情介绍学生在学习了线段垂直平分线概念、三角形全等、轴对称和轴对称图形的基础上学习本节内容，教师适当点拨学生容易接受这部分内容。
内容分析教材首先通过设置问题栏目，引出线段垂直平分线的三种做法，然后以探究的方式归纳出线段的垂直平分线的性质。
教学重、难点重点：线段的垂直平分线的性质。
难点：运用线段垂直平分线的性质解决简单问题。
教学过程：（一）、旧知回顾：上一堂课我们在学习轴对称图形的特征和性质，那么同学们根据上节课知识思考以下问题：（1）线段是轴对称图形吗？（2）你能亲手折一折线段AB的对称轴MN吗？（3）对称轴MN是线段AB的什么线？（4）什么叫做线段的垂直平分线，学生回答：过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线以此导入新课。
（二）课上探究：活动一：自主学习1、问题：怎样做一条线段的垂直平分线？2、在纸上画一条线段AB，通过对折点A与点B重合，思考下列问题。
活动二：合作交流（小组内相互交流，得出结论）1、将纸展开后铺平，记折痕所在的直线MN，直线MN与线段AB的交点为O,线段AO与BO的长度有什么关系？2、直线MN与线段AB有怎样的关系？精讲点拨：（各小组总结发现的结论，教师及时进行总结）总结：线段直线MN为线段AB垂直平分线。
活动三：交流提升问题：用尺规怎样画线段的垂直平分线呢？例题分析：（自主预习课本，画出线段的垂直平分线）已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线MN。
作法：(略)证明：（略）强调指出：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．活动四：2、动手操作：在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？PA=PB由此你得出什么规律学生归纳得出命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
16.2_线段的垂直平分线(第一课时)
16.2线段的垂直平分线涓桥中学舒成学一、教学目标：（一、）知识和技能1．要求学生能够用多种方法作出线段的垂直平分线并说明其正确性。
2．要求学生证明并掌握线段垂直平分线的性质定理，能够利用这个定理解决一些问题。
（二）过程和方法通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。
理解归纳、分类以及从特殊到一般的数学方法。
（三、）情感态度和价值观通过探究和学习使学生了解从特殊到一般的认知规律，从而培养学生认真学习的情操和学会合作的集体精神。
二、学情分析本节内容是在学习轴对称后的一节内容，线段是最基本的轴对称图形是第一节内容的一个重要应用。
八年级学生对学习这一部分内容应该不会有太大的问题。
三、教学重点：线段垂直平分线性质定理。
四、教学难点：线段垂直平分线的性质定理的内涵和证明。
五、教学过程：（一）．忆一忆，由旧引新。
1．什么叫做轴对称图形？又什么是轴对称？2．线段是轴对称图形吗？对称轴有几条？（引出垂直平分线）3．你能画线段的垂直平分线吗？它又有什么性质？4．在318国道贵池区某段的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？要知道这一内容，需要继续学习16.2线段的垂直平分线，今天介绍第一课时——线段垂直平分线的画法与性质。
（二）.动手操作，合作交流。
1．已知线段AB，画出它的垂直平分线.AB说出你的作图思路.议一议：能否说出这种画法的依据，小组讨论交流一下。
2．线段垂直平分线的作法①折纸法:（学生动手，教师引导）②度量法:用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；（学生动手，教师引导）③尺规法：（师生一起动手）（1）分别以点A、B为圆心，以大于12AB长为半径画弧(为什么?)交于点E 、F；（2）过点E 、F作直线。
则直线EF就是线段AB的垂直平分线。
（为什么直线EF是线段AB的垂直平分线呢？这就要证明OA=OB且∠AOE=900或∠BOE=900,请同学们思考、讨论、交流，最后老师给出证明）证明：分别连接AE、AF、BE、BF，则AE=AF=BE=BF在△AEF和△BEF中AE=BEAF=BFEF=EF∴△AEF≌△BEF （SSS）∴∠AEF=∠BEF在△AOE和△BOE中AE=BE∠AEF=∠BEF ∴△AOE≌△BOE （SAS）∴OA=OB ∠AOE=∠BOEOE=OE∵∠AOE+∠BOE=180°∴∠AOE=∠BOE =90°即直线EF垂直平分线段AB（三）．合作探究1.探索线段垂直平分线性质定理问题：已知：如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足为O，在EF上任取一点P ，连结PA 、PB ；测量PA 、PB 的长，你能发现什么？测量时要求学生变换P 点的位置，看看P 点到线段两个端点的距离的大小？ 面向全班提问：不难得到：PA=PB ，在引到学生用语言表达 猜想：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。
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16.2 线段的垂直平分线（1）
【课标解读】
能够利用尺规作图作一条线段的垂直平分线，并能证明它的正确性，经历探索、证明线段的垂直平分线的性质定理，进一步发展推理意识和能力。
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．如图1所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若
AE=BE•两
点间的距离是（）
A
B
C
．D
．
(1) (20 (3)
2. 如图2所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）
A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C>2∠B ．∠B+∠ADE=90°3. 如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，AD分∠CAD：∠DAB=2：
1，则∠B的度数为（）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
4. 如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=900，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段
有（）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
(4) (5) (6)
5. 如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
二、填空题（每小题5分，共25分）
6. 线段的任意一点和线段两端点的距离相等。
7．已知M、N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是．
8. 已知：如图5，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC=______．
9. 如图6，在△ABC中，AC=8cm，ED垂直平分AB，如果△EBC的周长是14cm，那么
BC•的长度为_________．
10. 在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于E，△ABC和△BEC的周长分别是30cm
和20cm，则AB= cm。
三、解答题（50分）
11.（12分）如图所示，△ABC中，在AB上找一点P，使PB=PC．（•保留作图痕迹）
12. （12分）如图，AE是△ABC的角平分线，AE的垂直平分线与BC的延长线相交于点
F，若∠CAF=50°，求∠B的度数．
13. （12分）如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于点D，
交AC于点E，AC＝9cm，△BCE的周长为15cm，求BC的长．
14.（14分）如图，△ABC中，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于Q点，交BC于P
点，PE ⊥AC于E点，AD⊥BC于D点，AD交PE于F点．求证：DF=DC．
四、探究题（不计入总分）
15. 如图，△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF，
求证：BE+CF>EF．
参考答案
1. C
2. D
3. B
4. B
5. A
6.垂直平分线
7. MAN MBN =∠∠ ；8.30°；9. 6 cm ；10. 10 11. 作图略，作法：（1）分别以A 、B 为圆心，大于
1
2
AB 长度为半径画弧，分别在AB 的两侧交于点M 、N ，（2）连结MN ，
则直线MN 与AB 的交点即为所求作的点P
12.解：因为AE 是△ABC 的角平分线，所以∠BAE=∠CAE, 又因为PF 是线段AE 的垂直平分线，
所以AF=EF,所以△AFP ≌EFP （HL ）,所以∠PAF=∠AEF,
又因为∠AEF=∠B+BAE.所以∠PAF=∠B+BAE,也即∠PAF=∠B+∠CAE, 又因为∠PAF=∠CAE+∠CAF ，所以∠B+∠CAE=∠CAE+∠CAF ， 所以∠B=∠CAF=50°.
13. 6cm BC =，提示：由ED 是AB 边的垂直平分线，可得，AE=EB. 所以EB+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=15， 又因为AC=9cm.所以BC=6cm.
14.连接PA ，则PA=PB ，可求∠APD=45°，从而可得出AD=PD ，
再证△PDF ≌△ADC （ASA ），即可得证DF=DC
15.延长ED 至M 点，使DM=ED ，连接MC ，MF ，则EF=FM ，
再证△BDE ≌△CDM （SAS ）， ∴BE=CM ， ∵CF+CM>MF ， ∴BE+CF>EF。