知识交汇
充分条件、必要条件与其他知识的交汇
Ａ． 充 分 不 必 要 Ｃ ． 充要 Ｂ ． 必 要 不 充 分 Ｄ ． 既不充 分 也不 必要
五 ．与解 三角 形知识 的 交汇
侧
（
在△ＡＢ Ｃ中， ａ 、 ｂ 、 ｃ 分别是 内角 Ａ、 Ｂ、
Ｃ所 对 的 边 ， 则“ Ａ ＜ Ｂ” 是“ Ｃ Ｏ Ｓ ２ Ａ＞ Ｃ Ｏ Ｓ ２ Ｂ” 的
发 现和 总结 ， 同时也 希望 同学 们把 论 文寄 给我 们 。
一 天津杨 村 第一 中学
邓 钰 婷
充分 条 件 、 必 要 条 件 问 题 一 般 是 以 其 他 知 识 为
依托 ， 通 过其 他 知识 的 内在 联 系来 阐述 两 个 命 题 问
解： 取ｎ 一６ —１ ， 满足 ｎ ＞ｏ ， ６ ＞ｏ ， 但 ２ 一
袁伟 刚）
由 于超 期 服 役 、 使 用 不 当等 问题 ， 老 旧 电 器 容 易短 路 、 燃烧 ， 这 时千万别用水灭 火。
Ｃ Ｏ Ｓ ２ Ａ＞ ｃ ｏ ｓ ２ Ｂ” 的充 要条 件 。答案 为 Ｃ。 评析 ： 这 一 类 问题 实 际上 考查 熟练 运 用正 、 余 弦
Ａ． 充分 不 必要
定 理 及 三 角 恒 等 变换 的 能 力 与 技 巧 。
ｃ ． 充 要
Ｄ． 既 不充 分也 不必 要
（ 责任编 辑
取“ 一４ ， ｂ 一０ ， 满足 ＞
；
的 相互关 系 。因此 ， 学 习充 分 条 件 、 必 要条 件 就 应 当 熟悉 各 种知 识 ， 这 样 才 有 助 于 我 们 在 各 种 情 况 下 处
理 两个命 题 间 的相互 关系 问题 。
一
， 但 ６ —０ 。答案为 Ｄ。
知识交汇处,综合能力显
知识交汇处,综合能力显作者：一心来源：《新高考·高三数学》2012年第06期高考数学除了考查基本知识、基本技能、基本思想方法外，更注重对知识内在联系、数学综合能力的考查，要求同学们能够综合地运用有关的知识与方法，解决有一定难度或综合性的问题．多数高考题不只是蕴涵单一知识点，而往往是综合几个知识点，甚至一些客观题也涉及三个以上的知识点.因此复习时应十分关注知识的联系与交汇，尤其要注意如下几个重要的知识交汇处.一、平面向量与三角函数平面向量中的夹角是引起平面向量与三角函数交汇的主要因素，它把平面向量与三角函数有机地综合在一起，使问题得以充实与加强，能有效地考查同学们解决问题的能力.例1 设G是△ABC的重心，且有( 56 sin A ) GA +(40 sin，则角B的大小为 .B) GB +(35 sin C) GC =0●解●析，，知56 sin A=40 sin B=35 sin C 由重心G满足 GA + GB + GC =0利用正弦定理转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求出角B的大小为60 ° .二、平面向量与平面解析几何向量具有“数”与“形”的双重功能，而解析几何的本质是利用“数”去研究“形”，利用“几何”把两者有机地结合在一起，能有效地考查同学们运用知识的能力.例2 已知直线y=－x+1与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>0,b>0)相交于A，B两点.（1）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB的长；（2）若向量 OA 与向量 OB 互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈12,22时，求椭圆长轴长的最大值.●解●析（1） 835（过程从略）.（2）将直线与椭圆方程联立，写出点A，B坐标的关系，由 OA ⊥ OB ，建立a 2+b 2－2a 2b 2=0，再由判别式，建立a 2+b 2>1，根据离心率e∈12,22，求出426≤a≤62，从而得出答案.三、数列与函数、导数数列是一种特殊的函数，数列中的许多问题都可以转化为函数问题解决，而导数是处理函数问题的重要工具，所以数列很容易与导数交汇.例3 已知函数f(x)=a ln x-ax- 3(a∈ R).（1）讨论f(x)的单调性；（2）求证： ln x＜x-1对一切x∈(1, +∞ )成立；（3）求证： ln 22× ln 33× ln 44× ln 55×…× ln nn＜1n(n≥2,n∈N *).●解●析（1）当a＞0时，f(x)在（0，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减；当a＜0时，f(x)在（0，1］上单调递减，在［1，+∞）上单调递增.（2）令a=-1，则f(x)=- ln x+x-3，利用函数的单调性，证明当x∈(1,+∞)时f(x)＞f(1)，即 ln x＜x-1对一切x∈(1,+∞)成立.（3）这是数列问题，由于数列是特殊的函数，所以将其转化为函数的特殊值问题，先寻找或构造函数不等式.因为n≥2,n∈N *，则有0＜ ln n＜n-1，所以0＜ ln nn＜n-1n，所以ln 22×ln 33×ln 44×…×ln nn＜12×23×34×…×n-1n=1n(n≥2,n∈N *).四、数列与解析几何数列与圆锥曲线的交汇是近几年高考试题中的热点，引起交汇的主要因素是“点列”，点列具有双重功能，一方面“点”是解析几何的基本元素，另一方面“列”是数列的基本特征，把两者结合起来，能多角度考查同学们驾驭知识的能力.例4 已知二次函数f(x)满足以下条件：①图象关于直线x=32对称；② f(1)=0；③图象可由 y=x 2－1的平移得到.（1）求f(x)的解析式；（2）若数列{a n},{b n}对任意的实数x都满足f(x)g(x)+a nx+b n=x n+1 (n∈N *)，其中g(x)是定义在实数集R上的函数，求数列{a n},{b n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，设圆C n: (x－a n) 2+ (y－外切，且{r n}∈ N *），若圆C n 与圆C n +1b n) 2= r 2 n(n是各项都为正数的等比数列，求数列{r n}的公比q的值.●解●析（1）利用待定系数法，求出f(x)=x 2－3x+2.（2）解题的关键是抓住函数f(x)的图象特征，即过点（1,0），（2,0），而对一切实数x，等式f(x)g(x)+a nx+b n=x n+1 (n∈N *)恒成立，所以特殊的f(1)=0，f(2)=0当然也，成立，于是可以建立关于a n与b n的方程组a n+b n=1， 2a n+b n=2 n+1 解得a n=2 n+1 －1，b n=2－2 n+1 .（3）根据圆C n 与圆C n+1 外切，得－－a n) 2+ (b n+1r n+r n+1 = |C nC n+1 | = (a n+1b n) 2=2·2 n+1 ，所以r 1+r 2=42,r 2+r 3= 82 ，所以公比q=r 2+r 3r 1+r 2=2.五、导数与函数、解析几何导数的引入给研究函数和切线带来便利，从而使切线为导数、函数、解析几何的整合提供了方向，通过切线把这三者完美地交汇在一起，出现了大量充满活力与生机的试题，体现出高考稳中求新的特点.例5 （2011年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝e x (x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．●解●析通过切线、直线的位置关系，建立t 关于点P横坐标x的函数：t＝12-，再利用导数法，求出t的最大值为12 e +1 e .x e x+2 e x+x e x六、新信息迁移题要求同学们通过阅读理解所定义的新概念、新运算，从中获得解题所需知识、信息，并立即将其综合应用于解题的过程中.这类题能较好地考查阅读理解、知识迁移的能力和后续学习的潜能.例6对于数列A：a 1，a 2，…，a n，若满足a i∈{0,1}(i=1,2,3,…,n)，则称数列A为“01数列”.定义变换T，T将“01数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A:1,0,1，则T(A):0,1,1,0,0,1.设A 0是“01数列”，令A k=T(A k－1 ),k=1，2，3,….(1) 若数列A 2：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1，求数列A 1,A 0；(2) 若数列A 0共有10项，则数列A 2中连续且相等的数对（两个数）至少有多少对？请说明理由；(3) 若A 0为0，1，记数列A k中连续且都是0的数对（两个数）的个数为l k，k=1,2,3,…，求l k关于k的表达式.●解●析（1） A 1：0，1，1，0，0，1；A 0：1，0，1.(2) 数列A 2中连续且相等的数对（两个数）至少有10对.证明：对于任意一个“01数列”A 0，A 0中每一个1在A 2中对应连续四项1,0,0,1，A 0中每一个0在A 2中对应连续四项0,1,1,0，因此共有10项的“01数列”A 0中的每一个项在A 2中都会对应一个连续且相等的数对，所以A 2中至少有10对连续且相等的数对.(3) A k+1 中的00数对只能由A k中的01数对得到，设A k中有b k个01数对，所以l k+1 =b k.A k+1 中的01数对有两个产生途径： ①由 A k中的1得到；②由A k中00得到，由变换T的定义及A 0：0,1，可得A k中0和1的总个数相等，且共有2 k+1 个，所以b k+1 = l k+ 2 k.所以l k+2 =l k+2 k.由A 0： 0,1，可得A 1:1,0,0,1，A 2:0,1,1,0,1,0,0,1.所以l 1=1,l 2=1.对k的奇偶性分类讨论，利用累加法求出l k=13(2 k+1),k为奇数，13(2 k－1),k为偶数.。
数学四心知识的交汇
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图++2=+=∴2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为方向上的单位向量， ∴bc +平分BAC ∠, (λ=∴b AC c AB +)，令cb a bc++=λBCD∴cb a bcAO ++=（b c +) 化简得)(=++++c b c b a∴=++c b a（4）==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+∴λ2+=+= λ2=∴∴//∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，∴+BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的B CD（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足. +BC ⋅++=-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅OB OA ( ) A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23 C ．45 D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222=+222+=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。
谈知识模块间交汇试题的处理
器＝
毒 碇 蕊
． 百 ＋ ． 百 ． ．
鼠
ＡＰ上
， 即 为 直 角三 角 形 ， 因 此 经 过Ａ， Ｐ， 三 点 的 圆 的 圆 心 点 Ｄ
Ｃ Ａ
点评
本题属 于向量与 函数知 识 交汇的题 目， 需要 充分挖
掘 隐含条件 ，通过 转化将 函数 问题从 向量 背景 中提 炼 出来 ， 进 而转化成 解决一 个二次 函数求值 域 问题 ．
． ； ｜ 例２ 如图１ ，在棱长为２ 的正方￣Ａ Ｂ Ｃ Ｄ － Ａ。 Ｂ 。 Ｃ 中， Ｅ
而给出解答 。下面给出几类常见 的交汇型试题 ， 通过对这些试题的分析 ， 帮助 同学们体会此类 问题的处理方法 。
一
、
函数类交汇问题
函数（ 包括导数 ） 是整个高中数学的主线之一 ， 函数内容覆
设 丽
直 … …
： （ Ａ ， ２ Ａ ， 一 ） ， 则 ： 赢＋ （ Ａ 一 １ ， ２ Ａ ， — ２ Ａ ） ， 点尸 ： 至 ０
…
盖面广、 思想丰富、 综合性强、 与其他知识联系紧密．因此 ， 函 数几乎与其他知识模块都能产生交汇点． 解决此类问题的关键 就是在题目中成功提炼出函数模型．
曦
＝ 一 ＝
￣ ｖ ／ ＼ （ Ａ １ １ ： ４ ． …＝ 距 躺 刻 竽 ．
点评 最值 或者 范 围问题 ， 很 多都 可以转化 为 函数 最值 或
．
ｃ ｏ ｓ （ Ａ ＋ ｃ ） 一 三
５
（ Ｉ） 求ｃ ｏ ｓ Ａ的值； （ Ｉ Ｉ ） 若。 ： ４ 、 厂 ， ｂ ＝ ５ ， 求向量在方向上的投影．
1.2 集合与其他知识的交汇-2017届高三数学跨越一本线 含解析
2017届高三数学跨越一本线问题二集合与其他知识的交汇问题集合概念及其基本理论,称为集合论,是近代数学的一个重要基础，一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计等，都建立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用,在高考中以简易逻辑、函数、方程、不等式、向量、解析几何等为背景的集合问题在试卷中频频出现，这类问题主要考查集合语言及集合思想的应用,解题时要求首先读懂集合语言，脱去其外衣，挖掘其本质的数量关系,再利用相关知识解决．本文重点总结集合在函数、不等式、数列、解析几何等知识中的应用,一、集合与函数的交汇集合与函数的交汇问题主要有两类,一是与函数定义域及值域有关的集合运算问题，解决此类一般是先把参与运算的集合化为最简，然后再按集合的运算法则进行运算；另一类是具有某些性质的函数组成一个集合，解决此类问题是理解集合中元素的特征,根据其特征把问题转化为函数问题求解。
【例1】已知集合M是满足下列性质的函数()f x的全体：存在非零常数T，对任意∈R,有()()+=成立。
f x T Tf x（1）函数()f x x=是否属于集合M？说明理由；（2）设函数()(0xa≠）的图象与y x=的图象有公共点,证明：=>且1f x a a=∈M；(3）若函数()sin()xf x a=∈M ,求实数的取值范围。
f x kx【分析】抓住集合M元素的特征,集合M是由满足()()+=的函f x T Tf x数构成．【解析】（1）对于非零常数T ,f （x +T ）=x +T ，Tf （x ）＝Tx ． 因为对任意x ∈R，x +T =Tx 不能恒成立,所以f （x )＝x M ． （2)因为函数f （x ）=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y =x 的图象有公共点, 所以方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==xy a y x有解,消去y 得a x =x ,显然x =0不是方程的a x =x 解,所以存在非零常数T ,使a T =T ． 于是对于f （x )=a x ,有f (x ＋T ）=a x +T = a T ·a x =T ·a x =T f （x ）,故f （x ）=a x ∈M ．(3）当k =0时,f （x ）=0,显然f （x ）=0∈M ．当k ≠0时,因为f （x )=sin kx ∈M ,所以存在非零常数T ，对任意x ∈R,有f （x ＋T )= T f (x ）成立，即sin （kx ＋kT ）= T sin kx ． 因为k ≠0时,且x ∈R，所以kx ∈R,kx ＋kT ∈R, 于是sin kx ∈－1，1］，sin （kx ＋kT ） ∈－1,1],故要使sin （kx ＋kT ） = T sin kx 成立，只有T =±1． 当T ＝1时，sin （kx ＋k ）= sin kx 成立,则k =2m ，m ∈Z．当T ＝－1时,sin （kx －k ）= －sin kx 成立， 即sin （kx －k ＋） = sin kx 成立,则－k ＋=2m ,m ∈Z，即k = －(2m －1) ,m ∈Z．综合得，实数k 的取值范围是{k ｜ k = m，m ∈Z }．【点评】首先确定集合中的元素是什么，弄清集合元素的特征,然后按集合中元素满足的条件进行再运算．【小试牛刀】【2017届河北武邑中学测试】设全集U R =，函数()()()lg 111f x x a a =++-<的定义域为A ，集合{}|cos 1B x x π==,若U C A B ⋂恰好有两个元素,则a 的取值的集合 ． 【答案】20a -<≤【解析】由01|1|>-++a x 可得a x ->或2-<a x ,故],2[a a A CU--=，而},2|{Z k k x x B ∈==，所以由题设可得⎩⎨⎧<-≥-2a a ,即20a -<≤,故应填答案20a -<≤。
知识交汇,点燃思维火花
Ａ ．８ Ｃ １
Ｂ ．４ ｎ 一 １
４
区域 可列 出关 于ｂｃ ．的不 等 式 组 ． 然
后 画 出可行 域．
简 析 厂 （ ） ３ ６ ｘ ３ ．由 ＝ ｘ＋ ｂ ＋ ｃ
Ｌ Ｕ Ｎ Ｍ
则 三的 小 为 ） ＋ 最 值 （
ａ ｏ
思 路 函 数 的 极 值 点 就 是 导 数
概 型 两 个 知 识 点 ．投 掷 两 颗 骰 子 要
等 于 零 时 方程 的根 ．由其根 所在 的
分 两 步 完成 。用 乘 法原 理 可得 基本 事件 的 总数 是 ３ 种 ．简单 的 古 典概 ６
：
智ｌ３２ ＿２ １ ｆ ｋ）３１ （ Ｊ ＿ｚｋ）３ ＿ ＋ ＋ — ２ （ — （ 一
置 数合 主结
２ ０ 江 西卷 ） 列 ０９ 数
＝
［ ＝ ９５ ］ 一
点评
５Ｑ ７
故 选 Ａ
本题 主要 考 查三 角 函数
的 周期性 以及 数 列 的求和 问题 ．本
的项 通
ａ
・
２ ＋ ＋１ ｏ． ６ｃ ≤
图中 阴 ２的 影
旦 二 ． 当且 仅 ４
ｂ
４６ ｃ ＋ ＋４≥ Ｑ
ａ
部 分 即是 满足 这 些 条件 的 点 （ ｃ ｂ， ）
以３ 周期 ． 为 故
面几何 的基 础 知识 ．同 时还 考查 了
阅读 理 解 、信 息 迁移 的能 力 ．几 何
…
ｓ ）竽 ／ ’ ／ ＼ ＋ （ ） ＿ （ ＋ ２ ＼ －
２ ％２ ２ ８ ９
七年级数学引起数学知识交汇的
A A A A cos(2 x 2 ) 1 ，由题知 1 3 ， 2 2 2 2
T 2， 2， ∴ 即 ， ∴ f ( x) cos( x 2 ) 2 ， 2 2 4 2
令x 0， 得 cos 2 2 2 ， ∴ 2 k
三、 “几何”——引起向量与解析几何交汇
向量具有“数”与“形”的双重功能，而解 析几何的本质是利用 “数” 去研究几何问题。 “几 何”是把两者有机地联系在一起，若把向量点缀 于解析几何问题之中，能有效地考查学生运用数 学知识的能力。
例 3 ．已知 x, y R ， i, j 为直角坐标平面内 x, y 轴正方 向上的单位向量，若向量 a xi ( y 2) j, b xi ( y 2) j ，且
那么，两个不同的数学知识点如何交 汇？为什么可以交汇？引起交汇的原因是 什么？这些都值得我们去研究。 下面从“几个不同的数学知识为什么可以 交汇，即引起交汇的原因”这一方面谈一 点看法，探究引起数学知识交汇的几个 “关键词”，与同行商榷。
一、 “周期”——引起三角与数列交汇
周期是三角函数的一个重要性质，而在 数列中有一种特殊的数列叫周期数列，把两 者交织在一起，使考查的问题新颖别致，有 效地反映出学生应用数学知识的能力。
例 2 ． 已知 a (1 cos ,sin ), b (1 cos ,sin ) ，其中
(0, ), ( , 2 ), c (1,0) ，a 与 c 的夹角为 1 ，b 与 c 的夹角 为 2 ， 1 2 ，求 sin 的值。
2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：二项式定理与其他知识的交汇问题含解析
【解析】由题意可知
f (x) C63x6
1
3
2x
5 x3 , 由 2
f ( x)
5 x3 2
mx 得 m
5 x 2 在区间 2
2 , 2 上恒
2
成立 , 所以 m 5 , 故选 D．
( 二 ) 二项式定理与数列的交汇
n
【例 2】将 1
1 x2
（n
）的展开式中
x 4 的系数记为
1 an , 则 a2
1 a3
f1 f 1
＋…＝
，偶数项系数之和为 a1＋ a3＋ a5＋…＝
.
2
2
四、题型分析
( 一 ) 二项式定理与函数的交汇
1
（ x－ x） 6， x<0，
【例 1】设函数 f ( x) ＝
则当 x>0 时 , f [ f ( x)] 表达式的展开式中常数项为 ( )
－ x， x≥0，
A．－ 20
B．20 C ．－ 15 D． 15
＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5)(1 ＋ b5)(1 ＋ c) 5, 故选 A. 四、迁移运用 1．【湖南省怀化市 2019 届高三 3 月第一次模拟】在
的值 为（ ）
A．
B．
【答案】 C
【解析】因为
展开式的通项为
C．
， ，
所以在
的 展开式中， 项的系数为
的展开式中， 项的系数为 ，则 D．
，即
【答案】 A
1 【解析】 x＞ 0 时 , f ( x) ＝－ x＜ 0, 故 f [ f ( x)] ＝ f ( － x ) ＝ ( － x＋ x ) 6 , 其展开式的通项公式为
Tr ＋1＝
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇在三角形中，有四个特殊的点，即内心、外心、重心和垂心，它们可以与向量知识有所交汇。
1. 内心：三角形的内心是三条角平分线的交点，表示为I。
内心到三角形的各个顶点的距离相等，即IA=IB=IC。
如果我们用向量OA、OB、OC表示三条边的向量，并设内心为I的向量为OI，那么可以得到关系式：OI = (IA/2) * (OA/|OA| + OB/|OB| + OC/|OC|)。
根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算内心的位置。
2. 外心：三角形的外心是三条垂直平分线的交点，表示为O。
外心到三角形的各个顶点的距离相等，即OA=OB=OC。
如果我们用向量AB、BC、CA表示三条边的向量，并设外心为O的向量为OO，那么可以得到关系式：OO = (OA/2) + (OB/2) + (OC/2)。
根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算外心的位置。
3. 重心：三角形的重心是三条中线的交点，表示为G。
重心到三角形的各个顶点的距离按比例为2:1，即GA = GB = GC = 2/3 * OA。
如果我们用向量OA、OB、OC表示三条边的向量，并设重心为G的向量为OG，那么可以得到关系式：OG = (OA + OB + OC)/3。
根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算重心的位置。
4. 垂心：三角形的垂心是三个高的交点，表示为H。
垂心到三角形的各个顶点的距离满足HHa/HOa = HHb/HOb = HHc/HOc = -1。
如果我们用向量HA、HB、HC表示三个高的向量，并设垂心为H的向量为OH，那么可以得到关系式：OH = HA + HB + HC。
根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算垂心的位置。
向量知识可以帮助我们计算三角形的内心、外心、重心和垂心的位置，从而揭示它们之间的关系。
正余弦定理与其他知识交汇分类解析
一
李
敏
三、 与 三 角 函 数 的 交 汇
例 ３ 在 △ ４ Ｃ中 ，
知 内 角 ４ ＝ 旦 ，边Ｂ Ｃ ＝ ２
３
、 ／ 了。 设 内角Ｂ ＝ ｘ ， 用长为ｌ ｙ 求 函数ｙ ＿ ， （ ） 的箭 ｆ 析式 和定义域及Ｙ 的最大值 。
解 ：冈 为 △ＡＢ Ｃ 的 内角 和Ａ ＋ 曰 ＋ Ｃ ＝ 丌，由Ａ＝ ，
３
、
与 一 元 二 次 方程 的 交 汇
例ｌ 知（ ａ ％ｂ ｃ ） ＋ ２ 、 ／ ＋ ｌ ＝ ０ 是关 于 的 二｝ 欠方程 ． 其 中。 、 ｂ 、 是△， ４ Ｂ Ｃ 的 边 ． ．（Ｉ） 若方程 有 曲相等实根 ， 求 厶４ 的度数 ； （ Ⅱ） 并 厶４ 为钝角 ， 试 判 断 程 根 的 情 况 。 解： （Ｉ） 因为 力‘ 程有 两 个相 等 实根 ， 所 以Ａ － ４ （ ｂ Ｚ ＋
则角Ｃ 的大 小 为 （ ）
Ｃ．
２
， 亦即＼ ／ 了 Ｒ： １ ， ，
Ａ．
６
Ｂ．
３
Ｉ ） ． 一 ２ｗ
３
所 以“ ＋ （ ＝ ２ Ｒ ｓ ｉ ｔ ｓ ４＋ ２ Ｒ ｓ ｉ ｎ Ｃ＝ ２ Ｒ（ ｓ ｉ ｎ Ａ＋ ｓ ｉ ｎ Ｃ） ＝
２ Ｒ ｓ ｉ ｎ （
１ ＜“ ＋ ≤ ２ 、
证明 ： 因 为Ａ 、 Ｂ、 Ｃ 成 等差 数 列 ， 所 以２ Ｂ ＝ Ａ＋ Ｃ ， 又 南 ＝ 角 形 内 角 和 定理 ， 知 Ａ＋ 曰 ＋ Ｃ ＝ 盯， 所以曰 ＝
４ ＋ Ｃ：２ ＂ ｒ ｒ
． ． ．
点评：正弦定理与ｊ角函数的交汇主要休现在 两个方 面： （ １ ） ■角恒等变换相关的求值问题的交 汇； （ ２ ） 卜 ｊ ｊ角 函数 的值域 （ 最值 ） 、 性 质及 象 的交 汇 。解 答 此 类 『 ｈ ｊ 题 关 键 是根 据 条 件 联 系 相 关 的 ■角 函 数 知 识 及Ｊ Ｅ 余 弦 定理 ． 但 涉 及 三 角 数 问 题 时 注 意确定弁 ］ 的范 同 。
例析知识交汇点处的离散型随机变量问题
１ ０
＝ 一
７５ ’
Ｐ（ ＝２ ）＝１一 【 （ Ｏ ＋ ＝１ Ｐ ： ） ＝ Ｐ ＝ ） 尸（ ）＋ （ ３ 】
３， ５， ７， ９。 ４， ６， ８，
基本事件总数 为 １ ， 方程有实根” ４ 记“ 为事件 。 若使方程有 实根 ， △＝ｂ ４ ／０ 即 ｂ＝ ＝ ５， 则 一 ｃ ， ＞ Ｃ ４，
６ ７ ８ ９ 共 ６种 。 ，，，，
‘ ． ．
Ｐ ＝） Ｐ 。吾＝ （ ） Ｐ ） 言 署 （ ０＝（ ・） ＰＡ ・（ ＝｝・ Ａ 。
６
—
７ ’ ５
Ｐ Ａ）＝１ （ Ａ＝÷ ；
Ｐ ＝１ （ ）＝Ｐ Ａ Ｂ＋Ａ 。 ＝Ｐ（ ｏ ・ Ｂ）＋ （ ０‘ ｌ Ｂ） Ａ ） Ｐ（
（４
Ｐ ㈤ 要善 ・ ２ （ ＝－＋ ｉ ８ Ａ Ｉ Ｃ ｊ
Ｐ ＝）ＰＡ・） ＰＡ ・（） 言 ・ （ ３＝（ ＝ （ ） Ｐ ＝｝ ：
为云这一 数量 关系 人手， 运用数学语言将问题中的 条
点评 ： 本题把概率问题 与一元二 次方程 是否有 实 件转化为方程模型 ， 再利用数 列知识 求 出各 次合格 概
根巧妙地联系在一起 。主要考查 集合 间的关 系、 散 率 ， 而解 决问题 。 离 从
四 随机变量与不等式的交汇
为 事
（
：； 鲁
２ ３，， ， ， ， ， ｝ ， ４５６７８９ 。
（Ｉ） 求方程 ＋ ＋Ｃ ０有实根的概率 ； ＝ （Ｉ 求 的分 布列和数学期望 。 Ｉ）
关注《课标》中“新贵”与“传统”知识的交汇
本 题主 要 以不 等式 的解集 为 背 景考 查 古典概 型
且 Ｐ＝＝，（１詈１Ｐ＝＝ 有（。１Ｐ＝＝＝，（４詈 ） ） ） ＝，（９吉 尸＝＝． ）
故 的分 布列 为 ：
０
ｌ
Ｐ — —
概率的基本事件 ，及随机变量分布列及其数学期望 等基 础 知 识 ，也 考查 运 算 求解 能 力 、应 用意 识 ，考 查 分类 与 整合 思 想 、必 然 与 或然 思 想 、化 归与转 化
１ ４
（ ）充分 性 ２
福建中学数学
２ １ 年第 ２ ０１ 期
因 ｎ１ ＝ ∑ 为（ ） －∑ ２
ｉ ＝１ ｉ ， ＝ｌ ＝ｌｌ ， Ｊ
，
所以（一） ｉ ２ ∑ ａ一 ＝ ， ｎ１ 。 ∑ａ － ｉ ， ０
ｉ ＝１ ｉ ＝ｌｉ ＝Ｉ， ，ｃｊ
所以 ∑ （ ｃ ０ —／ ＝ ， Ｉ ）
图 １
本题 难 度 不大 ，但 是 命 题 目新 颖 ，学 生很 容 易 答 错 ， 值 Ｓ 难点 ，读懂 算法 是关键— — 由程序 框 赋 是
图知 其相应 算法 是求 平均值 Ｓ ＋ ．＋ ．＋２ ３ ＝１ １ １ ５ ５
４ ２
本题 是 以定积 分 为 背景 来 考 查 二项 式 展 开 式 的
思想．
１
１
— —
４
１
— —
９
ｌ
— —
６
３
３ ６Biblioteka （） 由 一 一６ 得 一 Ｉ Ｘ ≤０ ２
３，
即Ｓ ｛ｆ ＝ 一 ２
３． ）
从而Ｅ ＝ ｘ ＋ｘ ＋ × ＋ Ｘ ＝：． Ｏ÷ １÷ ４ ÷ ９ ＊
期木备考“聚划算”：交汇性知识问题
为高三的期末备考提供 了良 好的范本 。 本文拟就此类交汇题型进行探析 ， 以帮助同学们取得高三复 习的“ 聚划算 ” ｛
一
扇置畿
睡
为 Ｄ．要 使
． 取得 最
平 面 向量 是 高 中数 学 的 重 要 工 具 之 一 ． 在 很 多 知 识 交汇 中起 到 “ 包装 、 点缀” 的效果 ． 扮 演
（ ２ ） ｉ ｇ ｆ （ ｘ ） ＝ ｍ・ ｎ， 在 ＡＡ Ｂ Ｃ ｅ ？ ， 角Ａ、 Ｂ、 Ｃ 的对
边 分 别 是ａ 、 ｂ 、 Ｃ ， 且满足（ ２ ａ － － ｃ ） ｃ ｏ ｓ Ｂ ＝ ｂ ｃ ｏ ｓ Ｃ， 求函
２ 向量与 线性 规 划交 汇 ＿
侧２ 设Ｄ 为 坐标 原点 ．点 的 坐标 为
庆卷 ． ２ ０ １ ０ 年安 徽卷 等． Ｂ ． （ 一 ∞， １ ］ Ｄ ．［ １ ， ＋ 。 。 ）
』
Ａ ．（ 一 ∞， １ ） Ｃ ．（ １ ， ＋ ∞）
解析
，
侧 ３ 已知向量ｍ ： ｆ 、 ／ 了ｓ ｉ ｎ ÷， １ １ ， ， ｌ ：
＼
） ・ ６ ＝ （ ， ｘ ＋ １ ） ・ （ １ ， ｔ ） ＝ ｘ ２ － ｘ ＋
由 正 弦定 理 得
（ ２ ｓ ｉ ｎ Ａ— ｓ ｉ ｎ Ｃ） ｃ ｏ ｓ Ｂ＝
在 曲 线ｃ 的 方程 是 ＋ １ ．
２
型与 关系 ． 从 而确定 概 率类 型． １ ． 古 典概 型与 函数 交 汇
ｓ ｉ ｎ Ｂｃ ｏ ｓ Ｃ． 所＞ ： ａ ２ ｓ ｉ ｎ Ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ－ ｓ ｉ ｎ Ｃ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＝
，
［ ２ｘ ＋ ｙ－１ ２￣ ＜０
ｓ ’ ｉ ｎ ＋ Ｃ Ｏ Ｓ 三＋ ＿ ｌ ＝ ｓ ‘ ｉ ｎ — ＿ ｌ … ＋ — — — — ＋ — — ｆ ｌ ＼ — ２ — ＋ 十 — ６ — １ ／ Ｊ ＋ — ２ — ， ． 又 ２ ２ ２ ２ ２
圆与其他知识的交汇题分类解析
圆与其他知识的交汇题分类解析圆是数学中的一种常见的图形，它的性质及其应用被认为是数学研究中最基础的问题之一，它也是理解许多高等数学问题的基础。
在不同学科领域，圆与其他知识交汇处，形成了一系列相关复杂的问题，圆的知识和应用真是多种多样，根据其交汇处有不同的分类解析方式。
首先，圆在几何学领域中的应用，例如：定义圆的中心、圆周面积、圆上某一点的极坐标、圆的关系等，这些知识都是圆的基础，并且可以帮助我们解决更多的问题，比如对于几何问题，我们可以利用圆的属性定理、极坐标及圆上某一点的加减乘除运算等，进行复杂的数学计算，从而解决复杂的几何数学问题，而圆的应用也不仅仅局限于几何学，它也可以与其他学科交汇，例如：统计学、力学、电磁学等。
其次，圆在统计学中的应用，它可以帮助我们更好地分析和推断一系列的实际数据，并且可以结合回归分析、分类模型、图像处理等知识，来解决实际应用中的问题，比如：可以利用圆形统计模型计算实际误差，并用圆形统计方法检验统计性质，也可以利用圆形统计模型进行空间格局分析和应用环境状况分析，有助于我们在实践中更好地应用和分析圆形统计学问题。
此外，圆在物理学中的应用，它可以帮助我们分析和推断空间物体的形态、运动状态等，例如：利用圆的属性定理可以提出球形的固体的几何模型，进而分析球形体的运动状态和空间分布，也可以利用圆的属性定理，提出圆柱的几何模型，从而分析出圆柱的运动状态和空间分布。
最后，圆在化学中的应用，例如：碳元素圆柱，可以帮助我们理解碳原子的结构，从而让我们更深入地认识碳原子的特性，比如：碳原子的电子配属，以及其他元素的电子配属等，运用圆形结构可以更直观地分析，进而对物质的组成、特性及其反应进行分析。
由此可见，圆与其他知识的交汇处，构成了一系列相关的复杂问题，它的应用和运用，不仅限于数学、统计学、力学、电磁学、化学等，而且在多学科领域都有重要的作用，可以起到促进各学科之间交流、融合作用，进而推动各学科发展与进步。
正余弦定理与其他知识交汇分类解析
正余弦定理与其他知识交汇分类解析正余弦定理是数学中一个十分重要的定理，它可以用于描述两知识领域中的相互联系。
本文就正余弦定理与其他知识领域共同组成的一个系统进行解析，以期达成对正余弦定理及其知识体系的深入理解。
首先，让我们介绍一下正余弦定理的定义。
正余弦定理是一个关于多边形的数学定理，它可以用以下的形式表述：“对于多边形的任意三角形，它的内角等于两边的正弦值之和减去直角边的余弦值。
”这个定理可以描述出三角形三个内角之间的联系，它具有很强的可证明性。
其次，我们将研究正余弦定理与其他知识结合的方式，形成一个独特的知识体系。
这个系统的基础是正余弦定理，建立在它的基础上的知识包括数学分析、几何、线性代数、微积分、数论、偏微分方程、概率论、统计学、计算机算法、物理学和机器学习等等。
通过将正余弦定理与这些知识相结合，可以形成一个完整的知识体系，用以解决实际问题。
此外，我们在研究正余弦定理及其泛化过程中，还会涉及到一些和正余弦定理有关的数学工具和方法。
比如矩阵论、泛函分析、实数函数、奇异值分解、拉格朗日乘数法、傅里叶分析、傅里叶变换、信号处理、概率论和数据挖掘等。
这些工具和方法有助于我们对正余弦定理及其知识体系的更深入的理解。
最后，介绍一下正余弦定理在实际应用中的效果。
正余弦定理由于具有很强的可证明性，因此它在数学的实践中被广泛使用。
正余弦定理可以用来解决各种几何问题，求解各种复杂的三角形问题，解决概率问题，计算机算法设计以及物理学等学科中也都经常使用到正余弦定理。
综上所述，我们深入探讨了正余弦定理及其知识体系，以及它在各个学科的应用效果。
这一定理是数学的基础，具有很强的可证明性和普遍性，它可以用来解决复杂的几何、统计和物理问题。
另外，正余弦定理还可以与其他知识结合，形成一个独特的知识体系，让我们能够更好地解决实际问题。
总而言之，正余弦定理与其他知识领域结合后形成的知识体系是相当重要的，它可以用来解决实际问题，为学科发展和科学技术进步提供有力的支撑。
复数新定义，知识巧交汇
ʏ宁 强以复数为背景的新定义问题是新高考数学考查的一个热点㊂作为高中数学的一个基本知识点,复数经常作为问题背景,巧妙借助新定义等方式,与其他相关知识形成交汇与融合,以 问题 为核心,以 探究 为途径,以 发现 为目的,很好融入创新意识与创新精神,成为高中数学中一道 亮丽的风景线㊂一㊁复数中的创新运算例1 对任意复数z 1,z 2,定义z 1*z 2=z 1z 2,其中z 2是z 2的共轭复数㊂对任意复数z 1,z 2,z 3,有如下结论:①(z 1+z 2)*z 3=(z 1*z 3)+(z 2*z 3);②z 1*(z 2+z 3)=(z 1*z 2)+(z 1*z 3);③(z 1*z 2)*z 3=z 1*(z 2*z 3);④z 1*z 2=z 2*z 1㊂其中正确结论的序号为㊂分析:根据题设中的新定义运算,结合对应的各个选项,通过共轭复数与复数的四则运算加以判断即可㊂解:①中,由(z 1+z 2)*z 3=(z 1+z 2)z 3=z 1z 3+z 2z 3,(z 1*z 3)+(z 2*z 3)=z 1z 3+z 2z 3,可知结论成立,①正确㊂②中,由z 1*(z 2+z 3)=z 1(z 2+z 3)=z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3,(z 1*z 2)+(z 1*z 3)=z 1z 2+z 1z 3,可知结论成立,②正确㊂③中,由(z 1*z 2)*z 3=z 1㊃z 2㊃z 3,z 1*(z 2*z 3)=z 1㊃z 2z 3=z 1㊃z 2㊃z 3,可知结论不成立,③错误㊂④中,由z 1*z 2=z 1z 2,z 2*z 1=z 2z 1,可知结论不成立,④错误㊂答案为①②㊂借助复数已有的概念与复数的相关运算,通过巧妙的创新定义,在复数知识的理解与掌握的基础上进一步加以提升与拓展,重在创新意识与创新应用㊂二㊁复数与函数的创新交汇例2 对任意复数z =x +y i (x ,y ɪR ),定义g (z )=3x(c o s y +i s i n y )㊂(1)若g (z )=3,求复数z ㊂(2)若复数z =a +b i (a ,b ɪR )中的a 为常数,则令g (z )=f (b ),对任意b ,是否一定有常数m (m ʂ0),使得f (b +m )=f (b )?若存在,则m 是否唯一?请说明理由㊂分析:由新定义的创新函数,构建对应的方程组,由此求出相应的复数z ;利用函数之间的关系f (b +m )=f (b ),构建方程组,结合三角函数的求解进行分析与处理,并判断参数的唯一性㊂解:(1)因为g (z )=3x(c o s y +i s i n y )=3,所以3x㊃c o s y =3,3x㊃s i n y =0,可得s i n y =0,c o s y =1,3x=3,解得x =1,y =2k π,k ɪZ ,所以所求的复数z =1+2k πi ,k ɪZ ㊂(2)假设一定有常数m (m ʂ0),使得f (b +m )=f (b )㊂由此可得方程组3a ㊃c o s (b +m )=3a ㊃c o s b ,3a ㊃s i n (b +m )=3a㊃s i n b ,解此方程组可得c o s (b +m )=c o sb ,s i n (b +m )=s i n b㊂据此可知,存在m =2k π,k ɪZ ,此时m 不唯一㊂在复数的创新背景下,合理设置存在性与探究性问题,结合函数值与函数之间的关系,综合复数㊁函数㊁三角函数的相关知识,实现知识的交汇与融合㊂三㊁复数的综合交汇应用例3 分式线性变换又称为莫比乌斯变换,它是定义在复数集中形如ω=f (z )=a z +bc z +d (a d -b c ʂ0)的变换,其中ω称为z 的 像 ,z 称为ω的 原像 ㊂(1)若a =b =c =-d =1,求i 的 像 以及1+i 的原像 ㊂93创新题追根溯源高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(2)若a =b =i ,c =-d =-1,求证:I m ω>0(这里I m ω表示复数ω的虚部)的充要条件是|z |<1㊂(3)若a =c =1,b =-d =-i ,z 满足0<I m z <1,求z 的 像 在复平面上所构成图形的面积㊂分析:根据参数值先整理ω=f (z ),再令z =i ,ω=1+i ,即可求得i 的 像 以及1+i 的 原像 ;根据参数值整理ω=f (z ),设z =m +n i ,整理得到ω并确定其虚部,结合复数的几何意义通过充要条件进行双向证明;根据参数值整理ω=f (z ),设ω=m +n i ,代入可得z ,根据0<I m z <1确定z 的 像 的轨迹并结合图形确定其面积㊂解:(1)由题意可知ω=f (z )=z +1z -1㊂当z =i 时,ω=f (i )=i +1i -1=-i,即i 的 像 为-i㊂当ω=1+i 时,由1+i =z +1z -1,解得z =1-2i ,即1+i 的 原像 为1-2i㊂(2)由题意可知ω=f (z )=i z +i-z +1㊂设z =m +n i,且z ʂ1,则ω=i (m +n i )+i-(m +n i )+1=-n +(m +1)i(1-m )-n i=[-n +(m +1)i ][(1-m )+n i][(1-m )-n i ][(1-m )+n i ]=-2n +(1-m 2-n 2)i(1-m )2+n2,所以I m ω=1-m 2-n 2(1-m )2+n2㊂由(1-m )2+n 2>0,可知当I m ω>0时,1-m 2-n 2>0,即m 2+n 2<1,可得|z |<1;反之,当|z |<1时,由m 2+n 2<1,即m 2+n 2<1,可得1-m 2-n 2>0,可知I m ω>0㊂故I m ω>0的充要条件是|z |<1㊂(3)由题意可知ω=f (z )=z -iz +i ㊂设ω=m +n i ,且ωʂ1,则m +n i =z -iz +i,解得z =n -(m +1)i(m -1)+n i=[n -(m +1)i ][(m -1)-n i][(m -1)+n i ][(m -1)-n i]=-2n +(1-m 2-n 2)i(m -1)2+n2㊂因为0<I m z <1,所以0<1-m 2-n 2<1,即0<m 2+n 2<1,所以z 的 像 在复平面上所构成的图形是以原点为圆心,半径为1的圆内,其面积为π㊂本题主要考查对创新定义的理解与应用,考查充要条件的证明以及复数在复平面内构成图形面积的求法等㊂编者的话:创新意识与创新精神充分体现为创新应用,借助创新应用问题,可以考查同学们的阅读理解能力㊁创新应用能力㊁知识迁移能力与学习能力,也是历年高考命题中的一大亮点,倍受命题者的关注㊂以复数问题为背景的交汇与融合的创新应用问题,借助复数知识渗透创新意识与创新精神,有效考查同学们对知识掌握的广度和深度,挖掘同学们的学习潜能,提高数学品质,提升数学能力,培养创新意识与数学核心素养㊂四边形A B C D 是复平面内的平行四边形,A ,B ,C ,D 四点对应的复数分别为1+3i ,2i ,2+i ,z ㊂(1)求复数z ㊂(2)z 是关于x 的方程2x 2-p x +q =0的一个根,求实数p ,q 的值㊂提示:(1)复平面内A ,B ,C 对应点的坐标分别为(1,3),(0,2),(2,1)㊂设点D 的坐标为(x ,y )㊂由于A D ң=B C ң,所以(x -1,y -3)=(2,-1),所以x -1=2,y -3=-1,解得x =3,y =2,即点D (3,2)㊂故点D 对应的复数z =3+2i㊂(2)因为3+2i 是关于x 的方程2x 2-p x +q =0的一个根,所以3-2i 是关于x 的方程2x 2-p x +q =0的另一个根,则3+2i +3-2i =p 2,(3+2i )(3-2i )=q 2,解得p =12,q =26㊂作者单位:山东省临沂第一中学(责任编辑 郭正华)4 创新题追根溯源 高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
初中学科间的知识交汇总结
初中学科间的知识交汇总结在初中阶段，学生们接触到了多个学科，包括语文、数学、英语、物理、化学、生物、历史、地理等等。
这些学科涵盖了不同的知识领域，各自都有自己的特点和重点。
然而，在学习过程中，我们常常会发现不同学科之间存在一些联系和交汇点，相互之间的知识可以相辅相成，互为补充。
以下将总结初中学科间的知识交汇点。
首先，语文和数学这两门学科是我们学习过程中最基础和最重要的学科之一。
语文作为一门语言学科，不仅让我们学会了正确使用语言的方法，还培养了我们的表达能力和阅读理解能力。
而数学则是一门逻辑性很强的学科，它让我们学会了思考问题的方法和解决问题的思维。
语文和数学之间的交汇点在于，在解决问题时，我们需要借助逻辑思维来分析问题，而语文中的阅读理解能力也能够帮助我们更好地理解数学题目的意思，提高解题效率。
其次，英语和科学学科之间也存在一些交汇点。
英语作为一门国际通用语言，学好英语对我们未来的发展至关重要。
而科学学科则让我们对世界的运行规律有更深入的了解。
英语和科学之间的交汇点在于，科学里的一些概念和原理，我们可以通过阅读英语科普文章或者听取英语科学讲座来进一步加深理解。
同时，英语也可以让我们更广泛地了解世界各国的科技发展和科学研究成果。
物理、化学和数学这三门学科之间的联系非常紧密。
物理学科探讨了物质的运动规律、能量的转化和守恒定律等等；化学学科则研究了物质的组成、结构和变化；而数学学科则提供了工具和方法来描述和解释这些物理和化学现象。
三门学科之间的交汇点在于，我们可以利用数学的方法描述物理和化学的规律，进一步深入理解它们之间的联系。
特别是在物理中的力学领域，我们可以通过数学公式推导和计算得出物体在力的作用下的运动状态。
生物学科和地理学科之间也存在交汇点。
生物学探究了生命的起源、进化和生态环境的关系，而地理学则研究了地球上的自然环境和人类活动与地理环境的相互关系。
两个学科之间的交汇点在于，地理学的知识可以帮助我们更好地了解生物生存的环境和地理分布规律。
专题四 数列和其他知识的交汇问题
专题四 数列和其他知识的交汇问题咸丰一中 杨金煜一、等差数列和等比数列的综合：解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．例、已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *), 求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解题反思：(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．[提醒] 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合．练习、已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 014.二、数列与函数的交汇：数列是特殊的函数，但又不同于一般的函数，在求数列的最值项等问题上经常应用到函数思想。
例、（1）已知数列{}()*n a n N ∈为增数列，其中2n a n n λ=+,则λ的取值范围为 ； （2）已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.①设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列；②设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .解题反思：数列与函数的综合一般体现在两个方面(1)以数列的特征量n ，a n ，S n 等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．三、数列与不等式的交汇：解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．还要注意数列与线性规划的综合。
数列与其他知识的交汇——数列与函数、数列与平面向量、数列与解析几何等(解析版)
数列与其他知识的交汇——数列与函数、数列与平面向量、数列与解析几何等，又0n a >且()1n f a ++)2n n a a +⨯()f x 是定义在(12n n S a =1n =时，a 10,0,a >∴2n ≥时，21n n a a ---0,n a >∴）ln q，即考点二数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．【温馨提醒】数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题，主要题型有两大类：一是在解三角形中，一些条件用数列语言给出，常见的如三角形三内角A，B，C成等差数列；已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足11221a b a b ==+=，直线l 上三个不同的点A ，B ，C 与直线l 外的点P 满足33PA a PB b PC =+，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．12n n -B ．23n n -C ．21n -D ．12n-【答案】A22nnd +=项和为n B ，试比较1+；（2）见解析；58n -⎛⎫< ⎪⎝⎭21n c -+2158n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由此能够证明；）由∵1n n n a x x n +=-=，∴22n n d ++=112n n d --+=（2n ≥），而12{2n n n n +=，，()1121x n =++++-54554558428488n n n n ⨯-⨯-<<⨯-⨯-， 58n -⎛⎫< ⎪⎝⎭21n c -+ 258n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭1n x n -=，∴)1+，22n nd +=112n n d --+=2），而1d =11 2n n +=≥，，，3412222n n d -+=++++124n ++-2426n +-=-．2-．1n n C -++212n nn Cn -++>+= 提升素养1121n AB AP AP AP AP AC -⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，若给出四个数值：的值可能的共有（ ） C ．2个D ．3个1k AP AB kBP =+，则()111k AP AB k BP +=++， ()()1111k k AP AP AB k BP AB k BP +⎡⎤⋅=+⋅++⎣⎦()()(2221122121111,2,...,1,2k k k AB k AB BP k k BP k n k N n n+++++⋅++=-+=-∈所以1121n n T AB AP AP AP AP AC-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ()()(2111357...2112n AB AP n n+++++-⋅+--+()(()()11211n n AB AB BP n ++⎡-+⎣⋅++(111cos120n n +⨯⨯+()(1n -(n f n-+23n -+n f n -⎛+ ⎝1f n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭)1n +，6.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =.过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ，过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.【答案】14【详解】在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =，所以12AB AC a ===，1212222AA a AB a ===，1231222122A A a AA a ====，所以1122i i i i A A A A +++=，即3222n n a a ++=1++(n n =+-32n1)，+2(2n +-(2n ++-5211122n -⎫++⎪⎭211122n ⨯=＋10.已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2．（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)…P n +1(x n +1，n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积．【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=n T))11212,n n --+-+⨯∴。
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【知识交汇】1.经纬网中需要注意：在地球侧视图上，自西向东，东经度数逐渐增大，西经度数逐渐减小。
在极点俯视图上，顺着地球的自转方向，东经度数逐渐增大，西经度数逐渐减小。
东半球的平分经线是70°E，西半球的平分经线是110°W。
经线上纬度相差1°，实际球面距离约为111千米；赤道上经度相差1°，实际球面距离约为111千米，在其它纬线上经度相差1°，实际球面距离约为111×COSΦ千米（Φ为当地纬度）。
2.等高线地形图的判读方法（1）看等高线数值：①可读出任意点的海拔高度，还可以看其极值，表示该地区海拔最大与最小情况，进而显示该区域地势起伏的大小。
如果没有数值注记，可根据示坡线（示坡线──垂直于等高线并指向低处的短线）来判断。
②相邻两条等高线的数值大小，存在三种可能（大于、等于或小于一个等高距）。
③看局部小范围闭合等高线，如在相邻两条等高线的中间，又增加了一条闭合等高线，则表示其高度不在正常范围，新增等高线的数值必定等于相邻两条等高线的数值之一，等高线内的高度特点是：“大于大的”和“小于小的”。
（2）看等高线的疏密程度：①在同一等高线图上，等高线分布越密集，则坡度越陡，等高线越稀疏，则坡度越缓。
可根据“坡度=垂直相对高度/水平距离”来决定。
②在同一等高线图上，若某坡面等高线高处密，低处疏，则为凹坡，站在山顶能看到山麓，通视状况良好；反之若某坡面等高线高处疏，低处密，则为凸坡，站在山顶能看不到山麓，通视状况不佳。
③在不同等高线图上，不能根据不同图上等高线的疏密来直接判断坡度陡缓，而要看清楚不同等高线图的比例尺、等高距的差别。
要比较它们的陡缓，要看两点间的相对高度与实际水平距离的比值，比值越大，坡度越陡，反之坡度越缓。
（3）看等高线的走向：①根据等高线的走向，可判断某些地形的走向，如山脉走向。
②与等高线垂直方向为坡度最陡方向，也是坡面上的水流方向。
③若一组等高线的走向是向地势低的方向凸，则此处地形为山脊；相反则为山谷（符合等值线的“高向低处凸，低向高处凸”的原则）。
④若一个方向是一对山脊等高线组成，垂直于它的另一个方向是由一对山谷等高线组成，则该地为鞍部（鞍部是在山脊的最低处，或山谷的最高处）。
⑤若多条等高线会合重叠一处，则该地形为悬崖、峭壁。
3.光照图的类型在光照图上判断地方时、季节是既简单而又复杂的问题。
说简单是因为判断的思路和步骤较固定，而说复杂就是光照图类型多变。
下面列举一些常见的光照图，部分图中标出了日期和一些特殊时间点（0时、12时、6时、18时），同学们在阅读时要注意思考一下为什么，如果让我来判断该怎样判断。
（1）侧视光照图（2）俯视光照图春秋分日 12月22日 6月22日 12月22日（3）透视光照图12月22日 6月22日 12月22日春秋分日（4）圆柱投影光照图12月22日 6月22日春秋分日（5）局部光照图12月22日北半球冬半年 12月22日（6）其他变式图（以下各图均没有标明或无法确定半球，不能借此判断日期）4.识读和运用光照图的基本思路（1）确定南北极点、自转方向和晨昏线：①若为侧视图，通常是北极在上，南极在下。
②若为极地俯视图，可根据“北逆南顺”确定极点；③若为立体图，一般是北极在上，南极在下。
如有自转方向，应据此判断极点。
④根据地球自转方向判断是晨线与昏线;顺着地球自转方向，由昼半球过渡到夜半球的分界线是昏线，反之是晨线。
（2）确定太阳直射点的位置：纬度数与出现极昼范围的最低纬度数互余，或等于晨昏线与经线的夹角；经度数为将昼半球平分的经线度数，其地方时为12：00。
（3）确定日期或季节：①晨昏线过两极点，是3月21日前后（春分日）或9月23日前后（秋分日）；②晨昏线与极圈相切，是6月22日前后（夏至日）或12月22日前后（冬至日）；③其他情况的日照图，若无具体条件限制，则对应两个日期；④求某地的具体日期，可根据直射点日期结合地方时进行计算。
（4）确定某点地方时：①充分利用图中四个隐含时间（6点、18点、12点、O点或24点）；②其他地点的地方时可根据上述时间进行计算。
（5）根据晨昏线与经线相交关系判断日出日落时间和昼夜长度：①算出该地所在的纬线圈位于昼（夜）半球部分的度差，除以15即为该地的昼（夜）长；②以地方时12时为对称点±昼长时间的1／2或以地方时24时（0时）±夜长时间的l／2，可求得日出日落时间。
（6）相关地理现象的判断：日变化现象应结合地方时判断；季节变化的现象应结合日期或季节进行判断，常涉及的现象有：地球的公转速度；正午太阳高度的分布及变化；昼长短的分布及变化；气压分布、某地的气候特征、天气现象；季风洋流流向；河流汛期、河流入海口的盐度；植被的生长状况；动物迁徙；农业的生产过程、生长状况；南极臭氧空洞扩大的时间等。
5.理解三个运动规律：地球自转运动规律、地球公转运动规律、太阳直射点移动规律。
地球自转运动是绕轴旋转运动，我们可以从地轴的空间位置、地球的自转方向、周期和速度等方面来理解地球自转运动规律。
地球绕日运动叫做地球的公转运动，一般从地球公转的轨道、速度、方向和周期等方面来说明公转的规律。
地球在公转运动过程中，地轴的空间指向和黄赤交角的大小，在一定时期内可以看作是不变的，因此，地球在公转轨道的不同位置，地球表面接受太阳光垂直照射的点（太阳直射点）是不断变化的，其变化规律如图所示。
6.把握三个关系：太阳直射点与正午太阳高度的关系、太阳直射点与昼夜长短的关系、太阳直射点与时间的关系。
正午太阳高度是一日的最大太阳高度，直射点的太阳高度为90°，由直射点向南、向北正午太阳高度逐渐降低，各地正午太阳高度等于900减去该地纬度与太阳直射点纬度的差，晨昏线上太阳高度为零。
太阳直射点所在的半球为该半球的夏半年，在此期间，该半球各纬线，昼长大于夜长，且纬度越高，昼越长，当太阳直射回归线时，该半球昼长达一年中的最大值，而且极圈到极点出现极昼现象。
太阳直射点所在经线的地方时为12时，为直射点所在纬线昼长的中间点（昼长的平分点）。
7.运用四个点：太阳直射点、晨昏线与赤道的交点、晨昏线与极昼（夜）区的切点、晨昏线与与经线的交点。
太阳直射点是该地一年中最大的正午太阳高度，太阳光线永远与晨昏线垂直，确定太阳直射点纬度位置的方法一般有：①根据日期（二分二至日）；②根据晨昏线与经线的夹角等于太阳直射点的纬度（图中∠2）；③根据晨昏线和赤道的夹角与太阳直射点纬度互余（图中∠3）；④根据晨昏线和纬线切点的纬度与太阳直射点纬度互余（图中B、C点的纬度与太阳直射点A的纬度互余）；⑤利用某地正午太阳高度计算。
由于赤道上始终昼夜等长，晨线和赤道交点的地方时为6时，昏线和赤道交点的地方时为18时。
可以利用该点判断直射点的经度和求任何经线的时间。
晨昏线与某纬线的切点，也就是晨昏线和极昼（极夜）区的切点，这些点位于极昼（夜）区的最低纬度，处于直射点所在经线或夜半球的中分线上，是晨线向昏线的转折点，直射点与极昼（夜）区的最低纬度相差90°，根据晨昏线和极昼（夜）区的切点可以判断直射点的纬度；当切点位于昼半球中分线时，直射点和切点的经度相同，当切点位于夜半球中分线时，直射点与切点经度相差180°。
晨昏线与经线的交点把所在纬线分为昼弧和夜弧，运用该点可以求出该纬线的昼长或夜长（只要求出昼弧或夜弧的长度，根据经度相差15°时间相差1小时的规律计算出昼长或夜长），还可以推算出该纬线的日出和日落时间。
【思想方法】一、地图上方向的确定方法1.根据经纬网来确定方向：经线指示南北方向，纬线指示东西方向2.根据指向标来确定方向，指向标的箭头指向北3.既没有经纬网也没有指向标根据“上北下南，左西右东确定方向【例1】读下图中的经纬网，A在B的什么方位？解析：先确定南北方位，由于纬度的分布规律是越往北走纬度越高，因此该区域为北半球，然后确定东西方位，确定东西方位时要注意两条经线之间的的经度差，在本题中由于两条经线之间的经度差为210°，因此A在B的东北方位。
【例2】如图所示，圆心为极点，外围箭头表示地球自转的方向，判断A到B和C到D的方向的变化。
解析：首先根据自转方向，确定极点是南极点还是北极点，在该题中由于地球自转的方向是顺时针，因此极点为南极点；其次确定南北方位的变化，根据离极点之间的距离的变化，在该题中，AB首先是离南极点越来越近，后越来越远，因此先向南，后向北。
再次确定东西方位的变化，根据和地球自转的方向来确定，从A到B与地球自转的方向相反，因此A 到B是向西运动，综合起来由A到B是先向西南，后向西北；同样的道理，C到D也是先向西南后向西北。
【例3】如果该市工业布局从环境保护和资源利用角度看都是合理的，那么该地常年主导风向应是。
解析：解答本题时首先要明确要想减轻工业区对于城区的污染，工业区必须布局在城市居民区盛行风向的下风向，有些考生很容易从图中得出该地区的盛行风向为南风，这是错误的，因为忽略了图中的一个重要信息就是指向标，再把指向标移到该地区的实际风向上，得出该地区的盛行风向应该为东南风。
【例4】读黄河沿岸某城市示意图，试从环境角度分析石化工业区的区位是否合理，并说明理由。
解析：解答本题时首先要明确这样几个问题。
石化工业对环境造成的污染；该城市的名称及其盛行风向；尤其要注意图像的左侧的指向标，图中的每个信息都是有用信息，如河谷地区位于两座山脉之间，导致工厂废气不易扩散；石化工业区在河流的上游，污染水源；还要善于挖掘隐含条件，在该题中通过图中信息可以判定该城市为兰州，兰州的盛行风向为西北风，在结合指向标可以看出石化工业区位于居民区的上风向，对于城市的污染非常严重。
答案：1.位于流经城区的河流上游，污染城市水源。
2.位于河流谷地，工厂废气不易扩散。
3.位于城市盛行风向的上风向(该地盛行风向为西北风)，造成城市大气污染。
二、比例尺大小的比较规律近几年的高考试题和各地模拟试题中经常出现比例尺大小比较的试题，这类试题解决的关键就是紧紧围绕着比例尺的公式去进行。
知识拓展：1.如果两幅图的实际距离相等，图上距离越大，则比例尺越大。
2.如果两幅图的图上距离相等，实际距离越大，则比例尺越小。
【例5】下图中的图甲为某大陆沿海某地区七月份等温线分布图，图乙是沿 EF线的地形剖面图。
若图甲的比例尺为M，剖面图的水平比例尺为N，试比较M和N的大小。
甲图乙图解析：由于甲乙两图中实际距离都是相等，但是图上距离甲大于乙，根据公式可得出M大于N。
答案： M>N【例6】阅读下列两幅图，回答问题。
甲图乙图图甲和图乙相比较，比例尺较小的是，并说出判断依据。
解析：首先要观察两幅图的图幅面积，二者是相等的，但是两幅图所跨的经纬度有明显的差异，右图所跨的经纬度更大。