含参数二次函数的值域习题

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含参数的二次函数求值域问题解析.doc

含参数的二次函数求值域问题专题有时参数在区间上，有时参数在解析式上，构成了有时轴动区间定，而有时轴定区间动1 函数f(x)=x 2-2x2的定义域为Li, mJ 值域为41…由实数m 的取值范围是H, 312已知函数f(x)=x 2 -2x+3在区间d, rnJk 有最大值3,最小值2,则实数m 的取值范围是匕2】2 23 已知f (x) = -4x+ 4ax 4a -a 在区间［0,1］内有最大值一5,求a 的值・3 a解：•・• f(x)的对称轴为X0二厂①当0 <- <1,即o <a <2H^t[f (x)]max② 当 a < 0时[f ( x)] max= f (0) = —4a — 8 2= -5,= a = —5;③ 当 a >2时[f ( x)lmax= f ⑴=-4 殳2 = -5八 a = ±1 不合；综上，a =—或a.= —5・24已知定义在区间［0,3］上的函数f(x)= kx-解析:V f(x)= k(x- %— k, (1) 当k>0时，二次函数图象开口向上，当 ?k= 1；(2) 当k<0时，二次函数图象开口向下，当 —3.(3) 当k= 0时，显然不成立. 故k 的取值集合为{1, — 3}・答案：{1, - 3}o=—x -ax b 有最小值一1,最大值1 •求使函数取得最大值和最小值吋相应的x 的值・a解：a>0, /. f(X )对称轴 X = —— V 0 J. [ f ( X )] min = f ( X )= —1 二 3 = b ；a2kx 的最大值为3,那么实数k 的取值范围为 ___________ ・2 x= 3时，f(x)有最大值，f(3) = k - 3-2kx3= 3k= 3x= 1 时，f(x)有最大值，f(1)= k- 2k=- k= 3?k= 5.已知 a>0,当 x e 函数 f (x)\T2 /(\ XI -①当一2 兰一1 即竝2时,[f(X)]max = f (4) =1= a =1,不合;a j②当一1 < 一一<0,即0 < a < 2时,[f ( x)] max = f ( ——) =1 = a = -2 + 2?,2 2•I x ==1 一 \ 2 .2综上,当X=[时5[f (X)]min =-1；当*1-血时,[f (X)]max =〔・2 2・已知函数f(x)= 4x— 4ax+ a— 2a+ 2在区间［0,2］上有最小值3,求a的值.i —\lz(2)当al\l/a z/f\XI/(\ z/(\XI XIU ] \)/ \)/ min\1/4—v T v〉厂，①当。

微专题13 含参数二次函数的最值问题(原卷版)

微专题13 含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。

【题型归纳目录】题型一：定轴定区间型题型二：动轴定区间型题型三：定轴动区间型题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数【典型例题】题型一：定轴定区间型例1．（2022·全国·高一专题练习）函数()232f x x x =++在区间[] 55-，上的最大值、最小值分别是（） A ．1124-，B ．212，C ．1424-， D ．最小值是14-，无最大值例2．（2022·全国·高一课前预习）函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（） A ．10，5 B ．10，1 C ．5，1 D ．以上都不对例3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数()()()24f x a x x =+-的图像经过点()0,4-，则函数()f x 在[]4,2-上的最小值为___________.例4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数242y x x =-+-，当14x ≤≤上时y 的最小值是________例5．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______题型二：动轴定区间型例6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式．（2）定义在()(),00,∞-+∞上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h <，求实数t 的取值范围．例7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数2()2(f x x mx m m =-++∈R)．当[1,1]x ∈-时，设()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（）A ．14B ．0C ．14-D ．1-例8．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2213f x x k x =-++．(1)若函数()f x 为偶函数，求实数k 的值；(2)若函数()f x 在区间[]1,3-上具有单调性，求实数k 的取值范围；(3)求函数()f x 在区间[]22-,上的最小值．例9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在13x -≤≤上的最大值和最小值； (2)求()f x 在22x -≤≤上的最小值；(3)在区间12x -≤≤上的最大值为4，求实数m 的值．例10．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()()f x x x a =-.其中a R ∈，且0a >. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.例11．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数2(1)h x ax x=+（常数a R ∈）.(1)当2a =时，用定义证明()y h x =在区间[]1,2上是严格增函数； (2)根据a 的不同取值，判断函数()y h x =的奇偶性，并说明理由；(3)令1()()2f x h x x a x=--+，设()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.例12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()21f x x x a x R a R =+-+∈∈，，． (1)当1a =时，求函数()f x 的最小值 (2)求函数()f x 的最小值为()g a ．例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．(1)补充完整图象并写出函数()()f x x R ∈的增区间； (2)写出函数()()f x x R ∈的解析式；(3)若函数()()[]()211,2g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值．例14．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数2()43f x x ax =-+ (1)函数f (x )在区间[1，3]有单调性，求实数a 的取值范围； (2)求函数f (x )在区间[1，3]上的最小值h (a )．题型三：定轴动区间型例15．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；例16．（2022·江苏·高一单元测试）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =． (1)求()f x 的解析式；(2)当[]11x ∈-，时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．(3)设函数()f x 在区间[]1a a +，上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式．例17．（2022·全国·高一期中）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值．例19．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知关于x 的函数22 4.y x mx =-+ (1)当23x -≤≤时，求函数224y x mx =-+的最大值； (2)当23x -≤≤时，若函数最小值为2，求m 的值．例20．（2022·全国·高一专题练习）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05，，且()f x 在区间[]2-，4上的最大值是28． (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[]1x t t ∈+，上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．题型四：动轴动区间型例21．（2022·江苏·楚州中学高一期中）已知函数2()2(0)f x x ax a =-> (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<(2)函数()y f x =在[],2t t +的最大值为0，最小值是-4，求实数a 和t 的值．例22．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．例23．（2022·四川巴中·高一期中）已知a R ∈，函数()f x x x a =-． (1)设1a =，判断函数()f x 的奇偶性，请说明理由；(2)设0a ≠，函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）例24．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值.例25．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知R a ∈，函数()f x x x a =-， (1)当2a =时，写出函数()y f x =的单调递增区间； (2)当2a >时，求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；(3)设0a ≠，函数()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出,m n 的取值范围（用a 表示）例26．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =．记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=______．例27．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数()f x x x a =-， (1)若()f x 在R 上是奇函数，求a 的值；(2)当2a =时，求()f x 在区间(0,4]上的最大值和最小值；(3)设0a >，当m x n <<时，函数()f x 既有最大值又有最小值，求m n 、的取值范围（用a 表示）题型五：根据二次函数的最值求参数例28．（2022·全国·高一专题练习）已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴的一个交点为(1,0)-，且经过点(2,)c ．(1)求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．(2)当2t x t ≤≤-时，函数的最大值为M ，最小值为N ，若3M N -=，求t 的值．例29．（2022·全国·高一专题练习）若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－1，2]上有最大值4，则a 的值为( ) A ．38B ．－3C ．38或－3D ．4例30．（2022·全国·高一课时练习）函数()f x x x a =-在区间()0,1上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．)222,0⎡-⎣ B ．()0,222 C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．)222,1⎡⎣例31．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数[]224,0,y x x x m =-+∈的最小值是3，最大值是4，则实数m 的取值范围是___________.例32．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数21()2f x x x =-+．若()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ，则m n +=__________．【过关测试】一、单选题1．（2022·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()132f >； ②函数()()110,1x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,2； ③函数()1221log f x x x =--有两个零点； ④若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2．其中真命题的序号为（）． A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③2．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()23f x x bx a =-+在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值m ，则M m -（）A ．与a 无关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 有关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关3．（2022·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，2()42f x x x =-+，则()f x 在区间[]4,2--上（） A ．单调递增且最大值为2 B ．单调递增且最小值为2 C ．单调递减且最大值为-2D ．单调递减且最小值为-24．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数()22f x x x a a =-++在区间[0，2]上的最大值是1，则a 的取值范围是（） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（） A ．9B ．8C ．6D ．46．（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]01x ∈，时，()()41f x x x =-，则当(]20x ∈-，时，()f x 的最小值为（） A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-7．（2022·河北省博野中学高一开学考试）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两个实数根，则（m +2)(n +2）的最小值是（）. A ．7B ．11C ．12D ．168．（2022·陕西商洛·高一期末）若函数()2f x x bx c =++满足()10f =，()18f -=，则下列判断错误的是（）A ．1b c +=-B ．()30f =C ．()f x 图象的对称轴为直线4x =D ．f （x ）的最小值为－1二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）设函数()21,21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（） A ．2B ．-1C ．0D ．110．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（） A ．()00f =B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-11．（2022·浙江省龙游中学高一期中）已知函数()221f x x mx =-+，则下列结论有可能正确的是（）A ．()f x 在区间[]1,2上无最大值B ．()f x 在区间[]1,2上最小值为()f mC ．()f x 在区间[]1,2上既有最大值又有最小值D ．()f x 在区间[]1,2上最大值()1f ，有最小值()2f12．（2022·全国·高一单元测试）若[]()()11,9f x x x =+∈，()22()()g x f x f x =+，那么（）A ．()g x 有最小值6B ．()g x 有最小值12C ．()g x 有最大值26D ．()g x 有最大值182三、填空题13．（2022·上海·复旦附中高一开学考试）已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线3yx上，设点M 的对称点坐标为(),a b ，则二次函数()2y abx a b x =-++的最小值为______．14．（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数22y x x c =-++，当12x -≤≤时，函数的最大值与最小值的差为______15．（2022·全国·高一专题练习）若函数()221f x x ax a =-+-在[0,2]上的最小值为1-．则=a ____．16．（2022·全国·高一专题练习）设函数()2,2,x x a f x x x a ⎧≤=⎨+>⎩，若()f x 有最小值，则a 的取值范围是______．四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，交y 轴于点C ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)当1m x m -≤≤时，函数23y ax bx =+-有最小值2m ，求m 的值．18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2y x x a =-+，其中R a ∈． (1)若函数的图象关于直线1x =对称，求a 的值； (2)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在[]13，-上的最大值和最小值； (2)若()f x 在[]22-，为单调函数，求m 的值； (3)在区间[]12-，上的最大值为4，求实数m 的值．20．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习）二次函数()()2210g x mx mx n m =-++>在区间[]0,3上有最大值4，最小值0.(1)求函数()g x 的解析式；(2)设()()(2)f x g x a x =+-，且()f x 在[1,2]-的最小值为3-，求a 的值.1121．（2022·全国·高一课前预习）（1）已知函数2()21f x ax ax =++在区间[-1，2]上最大值为4，求实数a 的值；（2）已知函数2()22f x x ax =-+，x ∈[-1，1]，求函数()f x 的最小值．22．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．。

(完整版)二次函数值域习题

完整版)二次函数值域习题完整版) 二次函数值域习题引言二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。

在学习二次函数时，我们不仅需要了解其基本知识和性质，还需要掌握如何求解二次函数的值域。

为了帮助大家更好地掌握二次函数值域的求解方法，本文将提供一些习题，并给出详细解答。

希望通过这些习题的练习，大家能够加深对二次函数值域的理解，提高解题能力。

习题部分1.求解函数 $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$ 的值域。

2.求解函数 $g(x) = -x^2 + 4x - 3$ 的值域。

3.求解函数 $h(x) = x^2 + x + 1$ 的值域。

解答部分习题1给定函数 $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$，我们需要求解其值域。

首先，我们可以通过求导的方法来确定函数的开口方向。

求导得到 $f'(x) = 4x - 5$，令 $f'(x) = 0$ 可得 $x = \frac{5}{4}$。

由于二次函数的开口方向由二次项的系数决定，当二次项系数大于0时，开口方向向上；反之，开口方向向下。

因此，由于 $a = 2$，二次函数 $f(x)$ 的开口方向为向上。

接下来，我们需要找出二次函数 $f(x)$ 的顶点坐标。

通过求导可得知，顶点的横坐标为 $x = \frac{5}{4}$。

将其代入原函数$f(x)$ 可得 $f(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4})^2 - 5(\frac{5}{4}) + 3 = \frac{1}{8}$。

因此，二次函数 $f(x)$ 的顶点坐标为 $(\frac{5}{4}。

\frac{1}{8})$。

由于二次函数的值域与其顶点的纵坐标有关，因此我们可以得出二次函数 $f(x)$ 的值域为 $[\frac{1}{8}。

+\infty)$。

习题2给定函数 $g(x) = -x^2 + 4x - 3$，我们需要求解其值域。

培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)

高中数学必修一函数专题：二次函数值域

[ f (x)]2 2 x2 x 2 3 3 [ f (x)]2 0 。
f (x) 2 x 1 x ， 2 x 0 ， 1 x 0 2 x 1 x 正负都有可能。
3 [ f (x)]2 0 3 f (x) 3 f (x) [ 3, 3] 。
跟踪训练一：已知：函数 f (x) 2x 3 2 2x 。计算：函数 f (x) 的值域。
假设： 3x 2 k(1 x) b 3x 2 k kx b 3x 2 kx (k b) 。根据对应系数相等得到： k 3 ， k b 2 k 3 ， b 5 3x 2 3(1 x) 5 。
f (x) 3x 2 1 x ， 3x 2 3(1 x) 5 f (x) 3(1 x) 5 1 x 3( 1 x )2 1 x 5 。
本题解析：第一步：计算函数的定义域。
根据根号下的数大于等于零得到： 2 x 0 ，1 x 0 x 2 ， x 1 x [2,1] 。
第二步：对函数进行平方。
f (x) 2 x 1 x [ f (x)]2 ( 2 x 1 x )2 ( 2 x )2 2 2 x 1 x ( 1 x )2
本题解析：第一步：计算二次函数的对称性
x
3 2 (1)
x
3 2
。
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第二步：对称轴 x 3 不在给定范围 x (1,1) 内。 2
二次函数在给定的范围 x (1,1) 的两个边界 x 3 和 x 0 处取得两个最值。 f (1) (1)2 3 (1) 4 。 f (1) 12 31 2 。
第三步：计算二次函数 y 4x2 1 在定义域 x [ 1 , 1 ] 上的值域。 22
二次函数的对称轴 x 0 x 0 。 2 (4)
对称轴 x 0 在定义域 x [ 1 , 1 ] 内，二次函数 y 4x2 1开口向下。 22

初中含参二次函数的最值问题

初中含参二次函数的最值问题二次函数在数学中是一种比较常见的函数形式，也是我们初中阶段需要掌握的重要知识点之一。

其中，最值问题是二次函数题目中比较典型和常见的一类问题。

在这篇文章中，我将通过一些例题和解题思路的介绍，来帮助大家更好地理解含参二次函数的最值问题。

1. 带参数二次函数的最值问题下面是一个含参数的二次函数的例子：$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 。

我们来考虑这个函数的最值问题。

（1）当$a>0$时，这个二次函数的值域为$[q,\infty)$。

其中$q$为$a,b,c$的函数，满足$a>0$时，有如下的公式：$$q=f(\frac{-b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$$那么，这个二次函数的最小值就是$q$，也就是当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最小值。

（2）当$a<0$时，这个二次函数的值域为$(-\infty,q]$。

其最大值也是$q$，即当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最大值。

可以通过公式来求解含参二次函数的最值问题。

具体来说，找到函数的最小值或最大值所在的$x$坐标，然后代入函数中求出对应的函数值即可。

下面让我们通过一个例题来进一步了解含参二次函数的最值问题。

2. 例题分析【例题】已知函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，并满足：$|x-2|+|x-4|+|x-6|=k(k>0)$求函数$y$的最小值和最大值并确定此时$x$的值。

【解题思路】该题要求我们求解带有约束条件的含参二次函数的最值问题。

实际上，约束条件中的绝对值形式会让我们比较难受，不过我们可以将其转化为分段描述，从而更好地理解这个问题。

具体来说，考虑以下的情况：（1）当$x\leq 2$时，有$|x-2|=2-x$。

（2）当$2<x\leq4$时，有$|x-2|=x-2$、$|x-4|=4-x$。

（3）当$4<x\leq 6$时，有$|x-4|=x-4$、$|x-6|=6-x$。

(完整版)含参数二次函数的值域习题

含有参数的闭区间上二次函数的最值与值域(分类讨论）（一)正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值.对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形：（1)定轴定区间；（2）定轴动区间;(3)动轴定区间;（4)动轴动区间。

题型一：“定轴定区间”型例1、函数y x x =-+-242在区间［0,3]上的最大值是_________，最小值是_______.练习:已知232xx ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。

题型二：“动轴定区间”型例2、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值.解:222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ①当a ＜0时，==min (0)3f f ，==-max (4)198a f f②当0≤a＜2时，2min (a)3a f f ==-max (4)198f f a ==-③当2≤a＜4时，2min (a)3a f f ==-，==max (0)3f f④当4≤a 时,min (4)198f f a ==-,==max (0)3f f练习：已知函数=+--2()(21)3f x ax a x 在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值题型三：“动区间定轴”型的二次函数最值例3．求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。

解：=-+2(x)(1)2f x 开口向上，对称轴x=1①当a ＞1，2minf(a)3f a ==-+；2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ②212a a a ++≤<,即0＜a≤1,min f(1)2f ==;2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ③212a a a ++≤<即-1＜a≤0,min f(1)f =，max f(a)f = ④a+2≤1，即a≤-1时,,maxf(a)f =;min (a 2)f f =+练习:求函数=-+2()22f x x x 在x ∈［t,t+1］上的最值。

专题二次函数含参数最值问题(解析版)

培优专题01 二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【分析】（1）由题意可得0c ，再代入(1)()21f x f x x +-=-到2()(0)f x ax bx a =+≠，化简可求出,a b ，从而可求出()f x 的解析式.（2）求出抛物线的对称轴，然后分1,21t t ≥+≤和11t t <<+三种情况求解函数的最小值.【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c ，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩ ，得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩. 【例2】已知定义在R 上的函数()f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）． (3)若()f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【答案】(1)()234f x x x =--；(2)332m ≤≤；(3)4t =-或5t =．【分析】（1）利用换元法即得；（2）由题可得()232524f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，可得函数的最小值()254f x =-，结合条件进而即得；（3）分类讨论结合二次函数的性质即得.（1）∵()226f x x x -=--，令2u x =-，则2x u =-，∵()()()222226442634f u u u u u u u u =----=-+-+-=--，所以()234f x x x =--；（2）∵()2299325344424f x x x x ⎛⎫=-+--=-- ⎪⎝⎭， ∵当32x =时，32524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当()4f x =-时，2434x x -=--，解得：0x =或3x =，∵()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， ∵332m ≤≤；（3）∵()234f x x x =--，对称轴为32x =，当322t +<时，则21t <-，函数在[],2t t +上单调递减，当2x t =+时，函数的最小值()()()2223246f t t t +=+-+-=，解得4t =-或3t =（舍）；当322t t ≤≤+时，则1322t -≤≤，则此时，当32x =时，函数的最小值()2564f x =-≠，不符合题意；当32t >时，函数在[],2t t +上单调递增，当x t =时，()2346f t t t =--=，解得：2t =-或5t =，∵32t >， ∵2t =-（舍），故5t =；综上：4t =-或5t =．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；(2)当函数()f x 的定义域是[,1]t t +时，求函数()f x 的最大值()g t .【答案】(1)23a b =-⎧⎨=-⎩，()224f x x x =--+ (2)()225251,43351,844124,4t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪--+>-⎪⎩【分析】（1）根据不动点可列方程求解,a b ，（2）分类讨论定义域与对称轴的位置关系，结合二次函数的单调性即可求解.（1）依题意得()()2211f f -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，即()42242241a b a b ⎧-++=-⎨+++=⎩ ，解得23a b =-⎧⎨=-⎩. ()224f x x x ∴=--+.（2）∵当区间[],1t t +在对称轴14x =-左侧时，即114t +≤-，也即54t ≤-时，()f x 在[],1t t +单调递增，则最大值为()21251f t t t +=--+；∵当对称轴14x =-在[],1t t +内时，即114t t <-<+也即5144t -<<-时，()f x 的最大值为13348f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵当[],1t t +在14x =-右侧时，即14t ≥-时，()f x 在[],1t t +单调递减，则最大值为()224f t t t =--+. 所以()225251,43351,844124,4t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪--+>-⎪⎩. 【例4】已知函数()f x 为二次函数，不等式()0f x >的解集是1,5，且()f x 在区间[1,4]-上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式.【答案】(1)()265f x x x =-+-(2)()224,24,2365,3t t t g t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【分析】（1）根据题意，设()()1(5)f x a x x =--，可得函数的对称轴3x =，再根据函数在[]1,4-上的最小值，求出a ，可得函数()f x 数的表达式；（2）分13t +时、3t 时和23t <<时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最大值，最后综合可得()g t 的表达式．(1)解：因为不等式()0f x >的解集是()1,5，所以()0f x =的两根为1和5，且函数开口向下，故可设()()()15f x a x x =--()0a <，所以函数的对称轴为1532x +==，所以当[]1,4x ∈-时，()()min 11212f x f a =-==-，解得1a =-，故()()()15f x x x =---，即()265f x x x =-+-(2)解：因为()()226534f x x x x =-+-=--+，当13t +≤时，即2t ≤时，()f x 在[],1t t +上单调递增，所以 ()()214g t f t t t =+=-+，当31t t <<+时，即23t <<时，()f x 在[],3t 上单调递增，在(]3,1t +上单调递减，所以()()34g t f ==；当3t ≥时，()f x 在[],1t t +上单调递减，所以()()265g t f t t t ==-+-；综合以上得()224,24,2365,3t t t g t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)2m ≤-；(2)()225-∞+，；(3)存在，6m =. 【分析】（1）根据对称轴和区间端点的相对位置即可求得m 的取值范围.（2）分类讨论当1x >时函数的最大值小于4恒成立即可求得m 的取值范围.（3）分类讨论得函数的值域结合已知条件求得m 的值.【详解】（1）函数()f x 图象开口向下且对称轴是2m x =，要使()f x 在[1,0]-上单调递减，应满足12-≤m ，解得2-≤m .（2）函数()f x 图象的对称轴是2m x =. 当12m ≤时，()4f x <恒成立，故()114f =-<，所以2m ≤；当12m >时，()4f x <恒成立，故22244160242m m m f m m m ⎛⎫=-+-<⇒--< ⎪⎝⎭；所以2225m <<+综上所述：m 的取值范围()225-∞+，（3）当22≤m ，即4≤m 时，()f x 在[2,3]上递减，若存在实数m ，使()f x 在[2,3]上的值域是[2,3]，则(2)3,(3)2,f f =⎧⎨=⎩即423,932,m m m m -+-=⎧⎨-+-=⎩，此时m 无解. 当32≥m ，即6≥m 时，()f x 在[2,3]上递增，则(2)2,(3)3,f f =⎧⎨=⎩即422,933,m m m m -+-=⎧⎨-+-=⎩解得6m =. 当232m <<，即46m <<时，()f x 在[2,3]上先递增，再递减，所以()f x 在2m x =处取得最大值，则23222m m m f m m ⎛⎫⎛⎫=-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2m =-或6，舍去. 综上可得，存在实数6m =，使得()f x 在[2,3]上的值域恰好是[2,3].【例2】已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,3，且不等式20ax bx c ++≤的解集为{}13x x ≤≤.(1)求()f x 的解析式：(2)若()()()24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.【答案】(1)()243f x x x =-+；(2)1±【分析】（1）根据题意得()30f c ==，又由一元二次不等式的解可知，1和3是方程230ax bx ++=的两根，利用根与系数的关系即可求参数，写出解析式；（2）由二次函数的开口及对称轴，结合其在闭区间上的最小值，讨论t ≤−1、−1＜t ＜2、t ≥2三种情况下求符合条件的t 值即可．（1）由题意可得：()30f c ==∵不等式230ax bx ++≤的解集为{}13x x ≤≤，则230ax bx ++=的两根为1,3，且0a >∵=43=3b a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得=1=4a b -⎧⎨⎩故()243f x x x =-+（2）由（1）可得()()()22423g x f x t x x tx =--=-+的对称轴为=x t当1t ≤-时，则()g x 在[]1,2-上单调递增∵()()1242g x g t ≥-=+=，则1t =-当12t -<<时，则()g x 在[]1,t -上单调递减，在(],2t 上单调递增∵()()232g x g t t ≥=-=，则=1t 或1t =-（舍去）当2t ≥时，则()g x 在[]1,2-上单调递减∵()()2742g x g t ≥=-=，则54t =（舍去）综上所述：实数t 的值为1±.【例3】已知函数2()f x x ax b =++．(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；(3)若1b =时，求[0,3]x ∈时()f x 的最小值()g a ．【答案】(1)[2,)-+∞；(2)2a =-，0b =；(3)21,0()1,604103,6a a g a a a a ≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩ 【分析】（1）根据函数()f x 的对称轴为2a x =-，且在(1,)+∞上是增函数，可得12a -≤，由此求得a 的范围；（2）由题意得0，2是方程的两个实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，求出,ab 的值；（3）根据()f x 的对称轴和区间的关系分类讨论，根据函数的单调性求得()g a ．（1）∵函数2()f x x ax b =++的对称轴为2a x =-，且()f x 在(1,)+∞上是增函数， ∵12a -≤，解得2a ≥-， ∵实数a 的取值范围是[2,)-+∞．（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，则0，2是方程20x ax b ++=的两个实数根，∵0202a b +=-⎧⎨⨯=⎩，∵20a b =-⎧⎨=⎩．（3）若1b =，则2()1=++f x x ax ，对称轴为2a x =-，当02a -≤，即0a ≥时，函数()f x 在到[0,3]单调递增，则()()min 01f x f ==，当032a <-<，即60a -<<时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,32a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，则()222min112424a a a a f x f ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭，当32a -≥，即6a ≤-时，函数()f x 在[0,3]单调递减，则()()min 3103f x f a ==+，综上，21,0()1,604103,6a a g a a a a ≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩．【例4】已知函数()223f x x bx =-+，Rb ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；(3)当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【答案】(1)2b =；(2){}13x x <<；(3)当1b ≤-时，()f x 的最大值为13，当12b -<<时，()f x 最大值为422+．【分析】（1）由题可得()43f =，进而即得；（2）利用二次不等式的解法即得；（3）对()f x 的对称轴与区间[]1,2-的关系进行分情况讨论，判断()f x 的单调性，利用单调性解出b ，再求出最大值．（1）由题可得()244833f b =-+=，∵2b =；（2）由()2430f x x x =-+<，解得13x <<，所以不等式()0f x <的解集为{}13x x <<；（3）因为2()23f x x bx =-+是开口向上，对称轴为x b =的二次函数，∵若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上是增函数，∵min ()(1)421f x f b =-=+=，解得32b =-， ∵max ()(2)7413f x f b ==-=；∵若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上是减函数，∵min ()(2)741f x f b ==-=，解得32b =（舍）； ∵若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上是减函数，在(],2b 上是增函数；∵2min ()()31f x f b b ==-=，解得2b =或2b =-（舍）．∵max ()(1)42422f x f b =-=+=+；综上，当1b ≤-时，()f x 的最大值为13，当12b -<<时，()f x 最大值为422+．【例5】在∵[]2,2x ∀∈-，∵[]1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间[]22-,上的值域； (2)若______，()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】(1)[]3,12(2)答案见解析【分析】（1）利用二次函数的性质直接求解其值域，（2）若选条件∵，求出抛物线的对称轴，分22a -≤-，222a -<-<和22a -≥三种情况求出函数的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a 的取值范围，若选条件∵，则()max 0f x ≥，由抛物线的性质可得()10f ≥或()30f ≥，从而可求出a 的取值范围.（1）当2a =-时，()()222413f x x x x =-+=-+，∵()f x 在[]2,1-上单调递减，在[]1,2上单调递增，∵()()min 13f x f ==，()()max 212f x f =-=，∵函数()f x 在区间[]22-,上的值域为[]3,12．（2）方案一：选条件∵．由题意，得()22424a a f x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭．若22a -≤-，即4a ≥，则函数()f x 在区间[]22-,上单调递增， ∵()()min 2820f x f a =-=-≥，解得4a ≤，又4a ≥，∵a ＝4．若222a -<-<，即44a -<<，则函数()f x 在区间2,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∵()2min 4024a a f x f ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭，解得44a -≤≤，∵44a -<<．若22a -≥，即4a ≤-，则函数()f x 在区间[]22-,上单调递减， ∵()()min 2820f x f a ==+≥，解得4a ≥-，又4a ≤-，∵a ＝－4．综上所述，实数a 的取值范围为[]4,4-．方案二：选条件∵． ∵[]1,3x ∃∈，()0f x ≥， ∵()max 0f x ≥，∵函数()f x 的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得． ∵()10f ≥或()30f ≥，解得5a ≥-或133a ≥-， ∵5a ≥-．故实数a 的取值范围为[)5,-+∞．【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立． (1)求二次函数()f x 的解析式；(2)若函数()()42g x f x x x λ=++-的最小值为5，求实数λ的值．【答案】(1)()2111424f x x x =-+，(2)174λ=± 【分析】（1）根据()()2f x f x +=-得到420a b +=，根据()0f x x +≥恒成立得到a c =，结合()11f a b c -=-+=，求出11,42a b ==-，14c =，求出二次函数解析式；（2）结合第一问，将()()42g x f x x x λ=++-写出分段函数，分12λ<-，1122λ-≤≤与12λ>三种情况，结合函数单调性，最小值为5，列出方程，求出实数λ的值. 【详解】（1）由题意得：()11f a b c -=-+=，且0a ≠，()()210f x x ax b x c +=+++≥恒成立，故()2Δ140a b ac >⎧⎪⎨=+-≤⎪⎩，将1b a c +=+代入()2140b ac +-≤中，()20a c -≤，故a c =，从而21a b c a b -+=-=，由()()2f x f x +=-得：()()()22222f x a x b x c ax bx c +=++++=-+，整理得()42420a b x a b +++=，故420a b +=，联立21a b -=与420a b +=，解得：11,42a b ==-，故14c a ==，二次函数解析式为()2111424f x x x =-+；（2）函数()()2421g x f x x x x x λλ=++-=++-的最小值为5，()2222131,24131,24x x x x g x x x x x λλλλλλ⎧⎛⎫+-+=+-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++=-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，且()21g λλ=+，即在端点处分段函数的函数值相等，当12λ<-时，()g x 在12x <-上单调递减，在21x ≥-上单调递增，故()g x 在12x =-处取得最小值，即354λ-+=，解得：17142λ=-<-，符合要求；当1122λ-≤≤时，()g x 在x λ<上单调递减，在x λ≥上单调递增，故()g x 在x λ=处取得最小值，即215λ+=，解得：2λ=±，不合题意，舍去；当12λ>时，()g x 在12x <上单调递减，在12x ≥上单调递增，故()g x 在12x =处取得最小值，即354λ+=，解得：17142λ=>，符合要求；综上：174λ=±. 【例2】已知函数()R a a x x x f ∈-+=,22． (1)若()x f 为偶函数，求a 的值；(2)若函数()()2+=x af x g 的最小值为8，求a 的值．【答案】(1)0，(2)2【分析】（1）利用偶函数的定义，列出关系式，即可求出a 的值；（2）化简函数为分段函数，通过讨论a 的范围，列出关系式求解即可．【详解】（1）因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，故x 2＋2|－x －a |＝x 2＋2|x －a |，所以|x ＋a |＝|x －a |，即x 2＋2ax ＋a 2＝x 2－2ax ＋a 2，化简得4ax ＝0，因为x ∵R ，所以a ＝0．（2）22222(1)22,()()222(1)22,a x a a x ag x af x ax a x a a x a a x a ⎧+--+=+=+-+=⎨-+-+<⎩∵若a ＝0，则g (x )＝2，不合题意； ∵若a ＜0，则g (x )无最小值，不合题意； ∵若0＜a ≤1，当x ≥a 时，g (x )在[a ，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (a )；当x ＜a 时，g (x )在(－∞，a )上单调递减，g (x )＞g (a )．所以，g (x )的最小值为g (a )＝a 3＋2＝8，所以a ＝36＞1，舍去； ∵若a ＞1，当x ≥a 时，g (x )在[a ，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (a )；当x ＜a 时，g (x )在(－∞，1]上单调递减，在(1，a )内单调递增，所以g (x )≥g (1)，因为g (1)＜g (a )，所以g (x )的最小值为g (1)＝2a 2－a ＋2＝8，所以a ＝32-(舍去)或a ＝2，综上所述，a ＝2．【例3】已知函数()||1()f x x x a x =--+∈R .(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间； (2)若函数()f x 在[1,4]上的最小值是3-，求a 的值【答案】(1)单调递增区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭；(2)3或4【分析】（1）当2a =时，求出()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩，利用二次函数的性质确定函数的单调区间；（2）分1a <，12a ≤<，24a ≤<，48a ≤<和8a ≥五种情况进行讨论，结合函数的图象得到对应的最小值，即可得到答案（1）当2a =时，()()2221(2)21212x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪=--+=⎨-++≥⎪⎩, 所以()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩, 当2x <时，231y x x =-+，其图象开口向上，对称轴方程为32x =，所以()g x 在3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当2x ≥时，21y x x =-++，其图象开口向下，对称轴方程为12x =，所以()g x 在[2,)+∞上单调递减，综上可知，()g x 的单调递增区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭；（2）当1a <时，()224()124a a f x x x a x +⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭，因为122a <，所以()min ()44153f x f a ==-=-，解得3a =，故舍去；当12a ≤<时，()22224,4244,124a a x a x f x a a x x a ⎧+⎛⎫--+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，因为1122a≤<，所以()f x 在[]1a ，递增，在[],4a 递减，所以()f x 的最小值在()1f 或()4f 中取，且()22411224a a f a -⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()2244441524a a f a +⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，若()f x 的最小值为()123f a =-=-，解得5a =，故舍去；若()f x 的最小值为()44153f a =-=-，解得3a =，故舍去；当24a ≤<时，()22224,4244,124a a x a x f x a a x x a ⎧+⎛⎫--+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，因为122a ≤<，所以()f x 在12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减，在,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在[],4a 递减，所以()f x 的最小值在2a f ⎛⎫⎪⎝⎭或()4f 中取，若()f x 的最小值为24324a af -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，解得4a =±，故舍去；若()f x 的最小值为()44153f a =-=-，解得3a =，检验：353224a f f ⎛⎫⎛⎫==->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故满足；当48a ≤<时，()224()124a a f x x a x x -⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为242a ≤<，所以2min 4()324a af x f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，因为48a ≤<，解得4a =；当8a ≥时，()224()124a a f x x a x x -⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为42a≥，所以()min ()41743f x f a ==-=-，解得5a =，故舍去；综上所述，a 的值为3或4【点睛】关键点睛：这道题的关键在于比较对称轴2a和a 与区间[]1,4的关系，分成了5种情况，数形结合，利用二次函数的图象与性质得到对应的最小值【例4】已知函数() 2.f x x x a =-+ (1)当2a =时，求()f x 的单调增区间；(2)若12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，求实数a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞ (2)(,1)(22,)-∞⋃+∞【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出()f x 的单调增区间；（2）根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数a 的取值范围．（1）当2a =时，()2222,22222,2x x x f x x x x x x ⎧-+=-+=⎨-++<⎩，2≥x 时，()f x 单调递增，2x <时，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,2上单调递减，所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞，（2）12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->所以()()12max 2f x f x ->，即()()max min 2f x f x ->，∵当2≤a 时，()22f x x ax =-++，对称轴2a x =， (i)当221≤≤a 即42≤≤a 时，()2max224a a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ()()min 02f x f ==，所以()20224a a f f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以22a >或22a <-，因为42≤≤a ，所以224a < ， (ii)当22a>即4a >时，()()max 222f x f a ==-， ()()min 02f x f ==，所以()()20242f f a -=->，3a >，因为4a >，所以4a >，∵当0a 时，()22f x x ax =-+，对称轴02ax =<，所以()()max 262f x f a ==-，()()min 02f x f ==，所以()()20422f f a -=->，1a <，所以0a ，∵当02a <<时，()222,02,2x ax x af x x ax a x ⎧-++<<=⎨-+<<⎩，因为()()()min 022f x f f ===，因为()220124a a f f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，所以2a f ⎛⎫⎪⎝⎭不可能是函数的最大值，所以()()max 262f x f a ==-，所以()()20422f f a -=->，所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(,1)(22,)-∞⋃+∞ .【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，转化为()()max min 2f x f x ->，然后分类利用二次函数的性质求出其最值即可，考查了分类思想和计算能力【例5】已知函数()f x x m =-.(1)若函数()f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；(2)若函数()()2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【答案】(1)(],1-∞ (2)2m =-或231m =-【分析】（1）化为分段函数，结合单调性得到实数m 的取值范围；（2）化为分段函数，对m 分类讨论，结合最小值为7，求出实数m 的值，注意舍去不合要求的值. (1)(),,x m x m f x x m m x x m -≥⎧=-=⎨-<⎩，即()f x 在()m -∞，上单调递减，在[),m +∞上单调递增，若函数()f x 在[]1,2上单调递增，则1m ，所以实数m 的取值范围是(],1-∞；(2)()()222222,,x mx m x mg x xf x m x x m m x mx m x m ⎧-+≥=+=-+=⎨-++<⎩, ∵当1m 时，()g x 在[]1,2上单调递增，故()()2min 117g x g m m ==-+=，解得：2m =-或3（舍去）；∵当12m <≤时，()()2min 7g x g m m ===，解得：7m =±（舍去）；∵当23m <≤时，()g x 在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2m x =更靠近1，所以()()2min 2247g x g m m ==+-=，解得：231m =-或231--（舍去）；∵当34m <≤时，()g x 在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2m x =更靠近2，所以()()2min 117g x g m m ==-+=，解得：2m =-（舍去）或3（舍去）；∵当4m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，故()()2min 117g x g m m ==-+=，解得：2m =-（舍去）或3（舍去）；综上：2m =-或231m =-.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)12a =-，1b =(2)存在，2,0m n =-=【分析】（1）由()20f =、()210ax b x +-=有两个相等的实数根可得答案；（2）假设存在符合条件的m ，n ．21122f x x x ，得14n ≤，由一元二次函数图象的特征结合定义域和值域可得答案. （1）由()2f x ax bx =+，()20f =，得420a b +=，又方程()f x x =，即()210ax b x +-=有两个相等的实数根，所以()2140--=b a ，解得1b =，12a =-；（2）假设存在符合条件的,m n ，由（1）知22111112222f xx x x ，则有122n ≤，即14n ≤，由一元二次函数图象的特征，得14()2()2m n f m m f n n ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即2214122122m n m m m n n n⎧<≤⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪-+=⎪⎩，解得20m n =-⎧⎨=⎩，所以存在2m =-，0n =，使得函数()f x 在[]2,0-上的值域为[]4,0-．【例2】已知函数()11,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩. (1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值； (2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2； (2)104m <<.【分析】（1）根据函数()f x 的单调性可知，()()f a f b =可等价于1111a b -=-，即可解得11a b+的值；（2）根据函数()y f x =在[,]a b 上的单调性，即可确定()y f x =在[,]a b 上的值域，从而根据根的分布建立方程组，即可解出m 的取值范围． (1)由题意得()y f x =在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，由0a b <<，且0a b <<，可得01a b <<<且1111a b-=-因此112a b+=.(2)当[),1,a b ∞∈+时，则()y f x =在[)1,+∞上为增函数故1111ma amb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 即a b ､是方程210mx x -+=的两个根即关于x 的方程210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实数根. 设()21g x mx x =-+，则()Δ0101120g m m >⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪>⎪⎩ 解得104m <<. 【例3】已知函数()2112f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠． (1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；(2)设0m n <<且0a >时，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【答案】(1)()f x 在[],m n 上单调递增，理由见解析 (2)433【分析】（1）由定义法直接证明可得；（2）由题知,m n 是方程2112x a a x+-=的不相等的两个正数根，然后整理成一元二次方程，由判别式和韦达定理列不等式组求解可得a 的范围，再用韦达定理表示出所求，然后可解. (1)设120<m x x n ≤<≤，则()()1212222121211x x f x f x a x a x a x x --=-+=， 120<m x x n ≤<≤，12120,0x x x x ∴>-<，()()12f x f x ∴<，故()f x 在[],m n 上单调递增；(2)由（1）可得0m n <<时，()f x 在[],m n 上单调递增，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，则,m n 是方程2112x a a x+-=的不相等的两个正数根，即()222210a x a a x -++=有两个不相等的正数根，则222222Δ2402010a a a a a m n a mn a ⎧=+->⎪⎪+⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩（），解得12a >，222222241216()4333a a n m n m mn a aa ⎛⎫+⎛⎫∴-=+-=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1,2a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，32a ∴=时，n m -最大值为433；【例4】已知二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R 的图像经过原点O ，满足对任意实数x 都有(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2()2f x x x =-+ (2)存在，0,1m n ==【分析】（1）由题意列方程求解,,a b c（2）根据定义域与对称轴关系，讨论()f x 值域后求解 (1)()f x 经过原点，故0c，()2f x x =，即2(2)0ax b x +-=有两个相等的实数根，由Δ0=知2b =，(3)(1)f x f x -=-，故()f x 的对称轴为1x =，即12ba-=，1a =-，函数()f x 的解析式为2()2f x x x =-+．(2)2()(1)11f x x =--+≤，故11n -≤≤，故()f x 在[,]m n 上单调递增，由题意得222222m m m n n n ⎧-+=⎨-+=⎩又m n <，解得01m n =⎧⎨=⎩ 存在0,1m n ==满足题意【例5】已知函数()f x =x 2－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为()f x 的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；(2)若函数f (x )的保值区间为[m ，n ]()m n <，且f (x )在[m ，n ]上单调，求实数b 的取值范围．【答案】(1)[1,)-+∞和[3,)+∞ (2)591,2,44⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】（1）根据对称轴为标准分类讨论，使其满足定义即可求解；（2）以对称轴为界分类讨论，依据单调性建立等式，再将问题转化为二次函数或一元二次方程问题求解. (1)当0b =时，2()2f x x x =-，其对称轴为1x =.当1t ≤时，()[1,)f x ∈-+∞，此时，要满足函数f (x )是形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间，则1t =-，区间为[1,)-+∞；当1t >时，2()[2,)f x t t ∈-+∞，定义域为[,)t +∞，此时，要满足函数f (x )是形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间，则22t t t -=，解得3t =或0=t （舍），因此，此时区间为[3,)+∞.综上可知，函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间为[1,)-+∞和[3,)+∞； (2)因为函数f (x )的定义域、值域都为[m ，n ]，且f (x )在[m ，n ]上单调，当m ≥1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，此时()()f m m f n n =⎧⎨=⎩即222,2,m m b m n n b n ⎧-+=⎨-+=⎩等价于方程x 2－3x ＋b ＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根，令g (x )＝x 2－3x ＋b ，则有Δ940,(1)20,31,2b g b ⎧⎪=->⎪=-+≥⎨⎪⎪>⎩解得924b ≤<；当n ≤1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递减，此时()()f m n f n m =⎧⎨=⎩即2222m m b n n n b m ⎧-+=⎨-+=⎩两式相减得：(m －n )(m ＋n －1)＝0，即m ＝n (舍)或m ＋n －1＝0，也即m ＝1－n ，由m <n 可得112n <≤，将m ＝1－n 代入n 2－2n ＋b ＝m 可得方程n 2－n ＋b －1＝0在1(,1]2上有解，即为函数b ＝－n 2＋n ＋1在1(,1]2上的值域问题，因为22151()24b n n n =-++=--+在1(,1]2上单调递减，所以b 5[1,)4∈．综上所述，b 的取值范围是59[1,)[2,)44⋃．【例6】已知函数()221x f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数t 的取值范围．【答案】(1)(,1)-∞ (2)2- (3)(0,1)【分析】（1）化简函数得21()1(0)f x x x=-≠，由20x >，可求出2111x -<，从而可求得函数的值域，（2）等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，转化为2k x x ≤-+在[]1,2x ∈时恒成立，令2211()24h x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，可得()h x 在[]1,2上单调递减，从而可求出其最小值，进而可求得实数k 的最大值，（3）由题意得min max 11()23,()23g x g m g x g n m n ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得,m n 是方程2310(0)tx x t t -+-=>的两个不相等的正根，令2()310(0)x tx x t t ϕ=-+-=>，则有Δ94(1)0302(0)10t t t t ϕ=-->⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩，从而可求出实数t 的取值范围（1）由题意得21()1(0)f x x x =-≠，因为20x >，所以210x >，则2111x -<，所以函数()f x 的值域为(,1)-∞ （2）因为[]1,2x ∈，所以不等式可化为2311kx x x ≤-+-，所以2k x x ≤-+，令2211()24h x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，则()h x 在[]1,2上单调递减，所以min ()(2)422h x h ==-+=-，所以2k ≤-，所以实数k 的取值范围为(,2]-∞-，所以实数k 的最大值为2- （3）由题意得2()1tg x t x =-++，因为0t >，所以()g x 在11,(0,0)m n m n ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min max 11()23,()23g x g m g x g n m n ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()221123,1123t m m t n n -+=--+=-，所以,m n 是方程()21123t x x -+=-，即2310(0)tx x t t -+-=>的两个不相等的正根，令2()310(0)x tx x t t ϕ=-+-=>，其图象开口向上，对称轴为直线32x t=，且有两个不相等的正零点，所以Δ94(1)0302(0)10t t t t ϕ=-->⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩，即01t R t t ∈⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得01t <<所以实数t 的取值范围为(0,1)【例7】已知()f x 是定义在R 上的函数，且()()0f x f x +-=，当0x >时，()22f x x x =-，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不存在，说明理由．【答案】(1)()222020x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，，； (2)[)3,∞+； (3)存在，151,2a b +==.【分析】（1）根据函数是奇函数以及大于零时()f x 的解析式，即可容易求得结果；（2）根据（1）中所求，结合()f x 的单调性，列出不等关系，即可求得参数范围；（3）根据()h x 的单调性，结合,a b 是方程32210x x -+=的两个正根，求解即可. (1)由题意，任取0x <，则0x ->，故有()22f x x x -=--，因为()f x 是定义在R 上的函数，且()()0f x f x +-=，即函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，0x ∴<时，()()22f x f x x x =--=+，又0x =时，()()000f f +=，即()00f =，所以()222020x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，，． (2)当[)1,x ∞∈+时，()()2(1)1g x f x x ==--+，在[)1,+∞单调递减，又当(),1x ∞∈-时，()223g x x mx m =-+-，且()g x 在R 上单调递减，所以121231m m m ⎧≥⎪⎨⎪-+-≥⎩，解得3m ≥，即m 的取值范围为[)3,∞+. (3)当0x >时，()2(1)11f x x =--+≤，若存在这样的正数a ,b ，则当[]()max 1,[]1x a b f x a∈=≤时，，故1a ≥， ()f x ∴在[],a b 内单调递减，()()221212f b b b bf a a a a⎧==-+⎪⎪∴⎨⎪==-+⎪⎩，所以,a b 是方程32210x x -+=的两个正根， ()()32221110x x x x x -+=---=， 12151,2x x +∴==，故存在正数1512a b +==，满足题意. 【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-． (1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．(2)证明：对任意[]11,2x ∈，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立．【答案】(1)2 (2)证明见解析【分析】（1）由题意，可得Δ0=，从而即可求解；（2）利用对勾函数单调性求出()f x 在[1,2]上的值域，再分三种情况讨论二次函数()g x 在闭区间[]1,3-上的值域，然后证明()f x 的值域是()g x 值域的子集恒成立即可得证. （1）解：因为()g x 的值域为[)0,∞+，所以()()222414420a a a a a ∆=--=-+=-=，解得2a =．（2）证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得()1111f x x x =+在[]1,2上单调递增，所以()152,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．设()21g x x ax a =-+-在[]1,3-上的值域为M ，当12a≤-，即2a -时，()g x 在[1,3]-上单调递增，因为max ()(3)8212g x g a =-=，min ()(1)24g x g a -==-，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当32a，即6a 时，()g x 在[1,3]-上单调递减，因为max ()(1)212g x g a -==，min ()(3) 824g x g a =--=，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当132a -<<，即26a -<<时，22min 11()1(2)(4,0]244a g x g a a a ⎛⎫==-+-=--∈- ⎪⎝⎭，max ()max{2, 82}[4,12)g x a a =-∈，所以52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；综上，52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在[1,2]上的值域是()g x 在[1,3]-上值域的子集恒成立，所以对任意1[1,2]x ∈总存在2[1,3]x ∈-，使得()()12f x g x =成立.【例2】函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x . (1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：∵()11+-g x 是奇函数；∵当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1,1-- (2)[]2,4-【分析】（1）设()f x 的对称中心为(),a b ，根据对称性得到关于,a b 的方程，解得即可得解；（2）易求得()f x 的值域为[]2,4-，设函数()g x 的值域为集合A ，则问题可转化为[]2,4A ⊆-，分0m ≤，2m ≥和02m <<三种情况讨论，从而可得出答案.【详解】（1）解：()()()2211666111x x x x f x x x x x +-+-+-===-+++，设()f x 的对称中心为(),a b ，由题意，得函数()y f x a b =+-为奇函数，则()()f x a b f x a b -+-=-++，即()()20f x a f x a b ++-+-=，即()()662011x a x a b x a x a +-+-+--=++-++，整理得()()()()221610a b x a b a a ⎡⎤---+-+=⎣⎦，所以()()()21610a b a b a a -=-+-+=，解得1,1a b =-=-，所以函数()f x 的对称中心为()1,1--；（2）解：因为对任意的[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，所以函数()g x 的值域是函数()f x 的值域的子集，因为函数6,1y x y x ==-+在[]1,5上都是增函数，所以函数()61f x x x =-+在[]1,5上是增函数，所以()f x 的值域为[]2,4-，设函数()g x 的值域为集合A ，则原问题转化为[]2,4A ⊆-，因为函数()11+-g x 是奇函数，所以函数()g x 关于()1,1对称，又因为()11g =，所以函数()g x 恒过点()1,1，当02m≤，即0m ≤时，()g x 在[]0,1上递增，则函数()g x 在(]1,2上也是增函数，所以函数()g x 在[]0,2上递增，又()()()0,2202g m g g m ==-=-，所以()g x 的值域为[],2m m -，即[],2A m m =-，又[][],22,4A m m =-⊆-，所以2240m m m ≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，解得20m -≤≤，当12m≥即2m ≥时，()g x 在[]0,1上递减，则函数()g x 在(]1,2上也是减函数，所以函数()g x 在[]0,2上递减，则[]2,A m m =-，又[][]2,2,4A m m =-⊆-，所以2224m m m ≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，解得24m ≤≤，当012m<<即02m <<时， ()g x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在,12m ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，又因函数()g x 过对称中心()1,1，所以函数()g x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在2,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，故此时()()min min 2,2m g x g g ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()()max max 0,22m g x g g ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，要使[]2,4A ⊆-，只需要()()()222202222404222422402g g m m m g m g m m m m g g m m ⎧=-=-≥-⎪⎛⎫⎪=-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎪=≤⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-=-+≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪<<⎩，解得02m <<，综上所述实数m 的取值范围为[]2,4-.【点睛】本题考查了函数的对称性单调性及函数的值域问题，考查了转化思想及分类讨论思想，解决本题第二问的关键在于把问题转化为函数()g x 的值域是函数()f x 的值域的子集，有一定的难度. 【例3】已知函数2()3,()221()f x x g x x ax a a =-+=-+-∈R ． (1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；(2)若对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1a = (2)1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用二次函数的图像与性质，得到Δ0=，求解即可.（2）将问题转化为()()()()min minmax max f x g x f x g x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，然后利用二次函数的性质以及一次函数的性质，求解两个函数的最值，求解不等式组，即可得出答案. （1）∵函数2()221g x x ax a =-+-的值域为[0,)+∞，∵2(2)4(21)0a a ∆=--=，解得1a =；（2）由题意可知()()()()min minmax max f x g x f x g x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩对于函数()3f x x =-+在[2,2]-上是减函数，∵min max ()(2)1,()(2)5f x f f x f ===-=，函数2()221g x xax a =-+-图象开口向上，对称轴为直线x a =．∵当2a ≤-时，函数()g x 在[2,2]-上为增函数，min max?()(2)63,()(2)23g x g a g x g a =-=+==-+，∵163,523,a a ≥+⎧⎨≤-+⎩此时2a ≤-； ∵当20a -<≤时，函数()g x 在区间[2,]a -上为减函数，在[],2a 上为增函数，2min max ()()21,()(2)23g x g a a a g x g a ==-+-==-+，∵2121,523,a a a ⎧≥-+-⎨≤-+⎩此时21a -<≤-；∵当02a <<时，函数()g x 在区间[2,]a -上为减函数，在[],2a 上为增函数，2min max ()()21,()(2)63g x g a a a g x g a ==-+-=-=+， ∵2121,563,a a a ⎧≥-+-⎨≤+⎩此时123a ≤<； ∵当2a ≥时，函数()g x 在[2,2]-上是减函数，∵max min ()(2)63,()(2)23g x g a g x g a =-=+==-+， ∵123,563,a a ≥-+⎧⎨≤+⎩此时2a ≥；综上所述，实数a 的取值范围是1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．。

培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)

二次函数含参最值问题精选全文

精选全文完整版（可编辑修改）二次函数含参最值问题题型一、动轴定范围例1.当20≤≤x 时，函数()3142-++=x a ax y 在2=x 时，取得最大值，求实数a 的取值范围随堂练习练习1.已知2223t tx x y --=，当31-≤≤x 时，有0≤y 恒成立，求实数t 的取值范围。

练习2.已知t x x y ++-=232，当11≤≤-x 时，有0≥y 恒成立，求实数t 的取值范围。

练习3.已知2234a ax x y -+-=，当21≤≤x 时，有0≥y 恒成立，求实数a 的取值范围。

练习4.已知b bx x y +-=23，当12≤≤-x 时，有0≥y 恒成立，求实数b 的取值范围。

练习5.(1) 求2y x 2ax 1=++在12x -≤≤的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在11x -≤≤上的最大值。

题型二、定轴动范围例1.已知函数322+-=x x y ，在m x ≤≤0时有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围。

随堂练习练习1.如果函数2(1)1y x =-+定义在区间1t x t ≤≤+上，求y 的最小值。

练习2.已知223y x x =-+，当1t x t ≤≤+时，求y 的最大值．练习3.求函数223y x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。

题型三、动轴动范围例1.已知函数6106922--+-=a a ax x y 在b x ≤≤31-上恒大于或等于０，其中实数a ≤3,求实数b 的范围．随堂练习练习1.已知抛物线c bx x y ++-=2交x 轴于点A(-1,0)、B （3,0），当43-≤≤x 时，求y最大值.练习2.对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y ，都满足-M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=x1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；（2）若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b ，b > a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足143≤≤t练习3.在平面直角坐标系xoy 中，二次函数12)1(2++-=x x a y 的图像与x 轴有交点，a 为正整数.（1）求a 的值.（2）将二次函数12)1(2++-=x x a y 的图像先向右平移m 个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x ≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m 的值.练习4.已知关于x 的一元二次方程)0(02)1(22＞a a x a ax =-+--.（1）求证：方程有两个不等的实数根.（2）设方程的两个实数根分别为21,x x （其中21x x ＞）.若y 是关于a 的函数，且12x ax y +=,求这个函数的表达式.（3）在（2）的条件下，若使13-2+≤a y ，则自变量a 的取值范围为?在这一学年中，不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。

数学《二次函数的含参问题》专题训练含答案

2020-2021学年中考数学培优训练讲义（八）《二次函数的含参问题》专题训练班级姓名座号成绩1. 已知:抛物线）（0142≠+-=k k kx y ，无论k 取何值，都过某定点，则定点坐标为 2. 已知:抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为3. 已知点A (－4，m )，B (1，6)，C (2，m )在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，则该抛物线的解析式为______________．4. 已知：二次函数322+-=x x y 的图像，当m x ≤≤0时，函数有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是5. 已知：抛物线122+-=mx x y ，当1≤x 时，y 的值随x 值的增大而减小，则m 的取值范围是6. 已知：抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二次方程032=-++t bx x （t 为实数）在41<<-x 的范围内有实数根，则t 的的取值范围是7.如图抛物线y ＝（x ﹣1）2+k 与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴相交于点C （0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且m ＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ． ①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当h ＝9时，直接写出△BCP 的面积．8.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．(1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P (12，－1a )，Q (2，2)，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．作业思考：1. 如图，抛物线l ：y ＝（x ﹣h ）2﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线l 在x 轴下方部分沿轴翻折，x 轴上方的图象保持不变，就组成了函数f 的图象．（1）若点A 的坐标为（1，0）．①求抛物线l 的表达式，并直接写出当x 为何值时，函数f 的值y 随x 的增大而增大；②如图2，若过A 点的直线交函数f 的图象于另外两点P ，Q ，且S △ABQ ＝2S △ABP ，求点P 的坐标；（2）当2＜x ＜3时，若函数f 的值随x 的增大而增大，直接写出h 的取值范围．7.（2019•吉林）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．【分析】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k即可；（2）易求A（﹣1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值；（3））①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣3﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，则P（4，5），△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，得k＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，S＝＝8；（3）①当0＜m ＜1时，h ＝﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣m 2+2m ；当1≤m ≤2时，h ＝﹣3﹣（﹣4）＝1；当m ＞2时，h ＝m 2﹣2m ﹣3﹣（﹣4）＝m 2﹣2m +1；②当h ＝9时若﹣m 2+2m ＝9，此时△＜0，m 无解；若m 2﹣2m +1＝9，则m ＝4，∴P （4，5），∵B （3，0），C （0，﹣3），∴△BCP 的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．8.解：(1)在y ＝ax 2＋bx －1a 中，当x ＝0时，y ＝－1a. ∴A (0，－1a)． ∵点A 向右平移2个单位长度得到点B ，∴B (2，－1a)； (2)∵点B (2，－1a)在抛物线上， ∴－1a ＝a ×22＋b ×2－1a. ∴b ＝－2a .∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－－2a 2a＝1； (3)由(2)知b ＝－2a .∴y ＝ax 2＋bx －1a ＝ax 2－2ax －1a. 若a ＞0，在y ＝ax 2－2ax －1a 中，当x ＝12时，y ＝－34a －1a. ∵－34a －1a＜－1a ， ∴点P (12，－1a )在抛物线的上方．当x ＝2时，y ＝－1a. ∵－1a＜2，∴点Q (2，2)在抛物线的上方．∴抛物线与线段PQ 没有公共点，舍去．若a ＜0，∵－34a －1a ＞－1a ，∴点P (12，－1a )在抛物线的下方． ∴当－1a ≤2，即a ≤－12时，Q (2，2)在抛物线上方，此时抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点．综上，a 的取值范围是a ≤－12.数学思考：1.（2020•河西区二模）如图，抛物线l ：y ＝（x ﹣h ）2﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线l 在x 轴下方部分沿轴翻折，x 轴上方的图象保持不变，就组成了函数f 的图象．（1）若点A 的坐标为（1，0）．①求抛物线l 的表达式，并直接写出当x 为何值时，函数f 的值y 随x 的增大而增大；②如图2，若过A 点的直线交函数f 的图象于另外两点P ，Q ，且S △ABQ ＝2S △ABP ，求点P 的坐标；（2）当2＜x ＜3时，若函数f 的值随x 的增大而增大，直接写出h 的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点B 的坐标，根据图象写出函数f 的值y 随x 的增大而增大（即呈上升趋势）的x 的取值；②如图2，作辅助线，构建对称点F 和直角角三角形AQE ，根据S △ABQ ＝2S △ABP ，得QE ＝2PD ，证明△PAD ∽△QAE ，则，得AE ＝2AD ，设AD ＝a ，根据QE ＝2FD 列方程可求得a 的值，并计算P 的坐标；（2）先令y ＝0求抛物线与x 轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或不等式组可得h 的取值．【解答】解：（1）①把A （1，0）代入抛物线y ＝（x ﹣h ）2﹣2中得：（x﹣h）2﹣2＝0，解得：h＝3或h＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴h＞0，∴h＝3，∴抛物线l的表达式为：y＝（x﹣3）2﹣2，∴抛物线的对称轴是：直线x＝3，由对称性得：B（5，0），由图象可知：当1＜x＜3或x＞5时，函数f的值y随x的增大而增大；②如图2，作PD⊥x轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作QE⊥x轴于E，则PD∥QE，由对称性得：DF＝PD，∵S△ABQ＝2S△ABP，∴AB•QE＝2×AB•PD，∴QE＝2PD，∵PD∥QE，∴△PAD∽△QAE，∴，∴AE＝2AD，设AD＝a，则OD＝1+a，OE＝1+2a，P（1+a，﹣[（1+a﹣3）2﹣2]），∵点F、Q在抛物线l上，∴PD＝DF＝﹣[（1+a﹣3）2﹣2]，QE＝（1+2a﹣3）2﹣2，∴（1+2a﹣3）2﹣2＝﹣2[（1+a﹣3）2﹣2]，解得：a＝或a＝0（舍），∴P（，）；（2）当y＝0时，（x﹣h）2﹣2＝0，解得：x＝h+2或h﹣2，∵点A在点B的左侧，∴A（h﹣2，0），B（h+2，0），如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，分两种情况：①由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，则，∴3≤h≤4，②由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，即：h+2≤2，h≤0，综上所述，当3≤h≤4或h≤0时，函数f的值随x的增大而增大．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的增减性问题、三角形相似的性质和判定，与方程相结合，找等量关系，第二问还运用了数形结合的思想解决问题．。

九年级数学二次函数取值范围20专题训练

九年级数学二次函数取值范围20专题训练九年级数学二次函数取值范围20专题训练一、单选题二、填空题1.已知抛物线 $y=2(x-1)+1$，当 $1<x<3$ 时，$y$ 的取值范围是 $\boxed{3<y<7}$。

2.函数 $y=\dfrac{2}{3(x+2)}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是 $\boxed{x\neq -2}$。

3.如果抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的开口向上，那么 $a$ 的取值范围是 $\boxed{a>0}$。

4.已知二次函数 $y=(m+1)x^2$ 有最大值，则 $m$ 的取值范围是 $\boxed{m<-1}$。

5.如果抛物线 $y=(2+k)x-k$ 的开口向下，那么 $k$ 的取值范围是 $\boxed{k>0}$。

6.已知二次函数 $y=x^2-4x+2$，关于该函数在 $-1\leqx\leq 3$ 的取值范围内，$y$ 的取值范围为 $\boxed{1\leq y\leq 7}$。

7.函数 $y=x^2-4x+3$，当 $y3}$。

8.已知 $y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+4$，$-10\leqx\leq 2$，则函数 $y$ 的取值范围是 $\boxed{\dfrac{11}{2}\leqy\leq 14}$。

9.已知抛物线 $y=(a+3)x^2$ 开口向下，那么 $a$ 的取值范围是 $\boxed{a<-3}$。

10.若抛物线 $y=(a-3)x^2$ 开口向上，则 $a$ 的取值范围是 $\boxed{a>3}$。

11.设二次函数 $y=x^2+ax+b$ 图像与 $x$ 轴有 $2$ 个交点，$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$；且 $-1<x_1<1$；$1<x_2<2$，那么$5a+2b$ 的取值范围是 $\boxed{-13\leq 5a+2b\leq -9}$；$a^2-2b$ 的取值范围是 $\boxed{0<a^2-2b<8}$。

含参数的二次函数参数取值范围-答案

参考答案与试题解析一．选择题（共 4 小题）1．二次函数 y＝x2+（a﹣2）x+3 的图象与一次函数 y＝x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数 a 的取值范围是（）A．a＝3±2 B．﹣1≤a＜2C．a＝3 或﹣≤a＜2 D．a＝3﹣2 或﹣1≤a＜﹣【解答】解：由题意可知：方程 x2+（a﹣2）x+3＝x 在 1≤x≤2 上只有一个解，即 x2+（a﹣3）x+3＝0 在 1≤x≤2 上只有一个解，当△＝0 时，即（a﹣3）2﹣12＝0a＝3±2当 a＝3+2 时，此时 x＝﹣，不满足题意，当 a＝3﹣2 时，此时 x＝，满足题意，当△＞0 时，令 y＝x2+（a﹣3）x+3，令 x＝1，y＝a+1，令 x＝2，y＝2a+1（a+1）（2a+1）≤0解得：﹣1≤a≤，当 a＝﹣1 时，此时 x＝1 或 3，满足题意；当 a＝﹣时，此时 x＝2 或 x＝，不满足题意，综上所述，a＝3﹣2 或﹣1≤a＜，故选：D．2．对于题目“一段抛物线 L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线 l：y＝x+2 有唯一公共点，若 c 为整数，确定所有 c 的值，”甲的结果是 c＝1，乙的结果是 c＝3 或 4，则（）A．甲的结果正确第1页（共27页）B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解答】解：∵抛物线 L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线 l：y＝x+2 有唯一公共点∴①如图 1，抛物线与直线相切，联立解析式得 x2﹣2x+2﹣c＝0△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0解得 c＝1②如图 2，抛物线与直线不相切，但在 0≤x≤3 上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c 的最小值＝2，但取不到，c 的最大值＝5，能取到∴2＜c≤5又∵c 为整数∴c＝3，4，5综上，c＝1，3，4，5故选：D．3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线 y第2页（共27页）＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段 MN 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（）A．a≤﹣1 或≤a＜B．≤a＜C．a≤或 a＞D．a≤﹣1 或 a≥【解答】解：∵抛物线的解析式为 y＝ax2﹣x+2．观察图象可知当 a＜0 时，x＝﹣1 时，y≤2 时，且﹣＞﹣1，满足条件，可得 a≤﹣1；当 a＞0 时，x＝2 时，y≥1，且抛物线与直线 MN 有交点，且﹣≤2 满足条件，∴a≥，∵直线 MN 的解析式为 y＝﹣x+ ，由，消去 y 得到，3ax2﹣2x+1＝0，∵△＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的 a 的值为 a≤﹣1 或≤a＜，故选：A．4．如图，已知点 A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0），抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 过点 C，顶点 M 位于第一象限且在线段 AB 的垂直平分线上．若抛物线与线段 AB 无公共点，则 k 的取值范围是（）第3页（共27页）A．0＜k＜2 B．0＜k＜2 或 k＞C．k＞D．0＜k＜2 或 k＞【解答】解：∵抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 的顶点 M 位于第一象限且在线段 AB 的垂直平分线上，且点 A（0，2），B（2，2），∴h＝1，k＞0．抛物线与线段 AB 无公共点分两种情况：当点 M 在线段 AB 下方时，∵点 M 的坐标为（1，k），∴0＜k＜2；当点 M 在线段 AB 上方时，有，解得：k＞．综上所述：k 的取值范围为 0＜k＜2 或 k＞．故选：B．二．填空题（共 3 小题）5．如图，以扇形 OAB 的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为（2，0），若抛物线 y＝x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是﹣2＜k＜．第4页（共27页）【解答】解：由图可知，∠AOB＝45°，∴直线 OA 的解析式为 y＝x，联立消掉 y 得，x2﹣2x+2k＝0，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，即 k＝时，抛物线与 OA 有一个交点，此交点的横坐标为 1，∵点 B 的坐标为（2，0），∴OA＝2，∴点 A 的坐标为（，），∴交点在线段 AO 上；当抛物线经过点 B（2，0）时，×4+k＝0，解得 k＝﹣2，∴要使抛物线 y＝x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，实数 k 的取值范围是﹣2＜k＜．故答案为：﹣2＜k＜．6．已知抛物线 C1：y＝x2﹣2x﹣8 及抛物线 C2：y＝x2﹣（4a+3）x+4a2+6a（a 为常数），当﹣2＜x＜2a+3 时，C1，C2 图象都在 x 轴下方，则 a 的取值范围为﹣＜a≤﹣1 ．【解答】解：当 y＝0 时，有 x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4；当 y＝0 时，有 x2﹣（4a+3）x+4a2+6a＝0，第5页（共27页）解得：x3＝2a，x4＝2a+3．∵两抛物线均开口向上，且当﹣2＜x＜2a+3 时，C 1，C2 图象都在 x 轴下方，∴，解得：﹣＜a≤﹣1．故答案为：﹣＜a≤﹣1．7．在直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0），若抛物线 y＝x2﹣2x+n﹣1 与线段 OA 有且只有一个公共点，则 n 的取值范围为﹣2≤n＜1 或 n＝2 ．【解答】解：∵点 A 的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2 与线段OA 有且只有一个公共点，∴n﹣2＝0 或，解得，﹣2≤n＜1 或 n＝2，故答案为：﹣2≤n＜1 或 n＝2．三．解答题（共 11 小题）8．已知抛物线 y＝ax2﹣2anx+an2+n+3 的顶点 P 在一条定直线 l 上．（1）直接写出直线 l 的解析式；（2）对于任意非零实数 a，存在确定的 n 的值，使抛物线与 x 轴有唯一的公共点，求此时 n 的值；（3）当点 P 在 x 轴上时，抛物线与直线 l 的另一个交点 Q，过点 Q 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 A，过点 Q 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 B，求的值或取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2anx+an2+n+3＝a（x﹣n）2+（n+3），∴抛物线 P（n，n+3），∵顶点 P 在一条定直线 l 上，令 n＝x，n+3＝y，∴y＝x+3，即：直线 l 的解析式为 y＝x+3，（2）抛物线与 x 轴有唯一的公共点，第6页（共27页）令 y＝0，即：ax2﹣2anx+an2+n+3＝0，∴△＝（﹣2an）2﹣4a×（an2+n+3）＝﹣4a（n+3）＝0，∵任意非零实数 a，∴n+3＝0，∴n＝﹣3，∴抛物线与 x 轴有唯一的公共点，此时 n 的值为﹣3，（3）由（1）知，P（n，n+3），∵点 P 在 x 轴上，∴n+3＝0，∴n＝﹣3，∴抛物线 y＝a（x+3）2，①∵直线 l 的解析式为 y＝x+3②，联立①②得 Q（﹣3+ ，），∵过点 Q 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 B，∴BQ＝| |，∵过点 Q 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 A，∴a（x+3）2＝，∴x＝﹣3±，∴A（﹣3﹣，），∵Q（﹣3+ ，），∴AQ＝|﹣3+ ﹣（﹣3﹣）|＝| |∴＝2．9．如图 1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中 m 为常数，且 m＞0，E（0，n）为 y 轴上一动点，以 BC 为边在 x 轴上方作矩形 ABCD，使 AB＝2BC，画射线OA，把△ADC 绕点 C 逆时针旋转 90°得△A′D′C′，连接 ED′，抛物线 y＝ax2+bx+n （a≠0）过 E，A′两点．第7页（共27页）（1）填空：∠AOB＝45 °，用 m 表示点 A′的坐标：A′（m ，﹣m ）；（2）当抛物线的顶点为 A′，抛物线与线段 AB 交于点 P，且＝时，△D′OE 与△ABC 是否相似？说明理由；（3）若 E 与原点 O 重合，抛物线与射线 OA 的另一个交点为点 M，过 M 作 MN⊥y 轴，垂足为 N：①求 a，b，m 满足的关系式；②当 m 为定值，抛物线与四边形 ABCD 有公共点，线段 MN 的最大值为 10，请你探究 a 的取值范围．【解答】解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB＝2m，OC＝3m，即 BC＝m，∵AB＝2BC，∴AB＝2m＝0B，∵∠ABO＝90°，∴△ABO 为等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即 A′（m，﹣m）；故答案为：45；m，﹣m；（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），∵＝，∴P（2m，m），第8页（共27页）∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为 y＝a（x﹣m）2﹣m，∵抛物线过点 E（0，n），∴n＝a（0﹣m）2﹣m，即 m＝2n，∴OE：OD′＝BC：AB＝1：2，∵∠EOD′＝∠ABC＝90°，∴△D′OE∽△ABC；（3）①当点 E 与点 O 重合时，E（0，0），∵抛物线 y＝ax2+bx+n 过点 E，A′，∴，整理得：am+b＝﹣1，即 b＝﹣1﹣am；②∵抛物线与四边形 ABCD 有公共点，∴抛物线过点 C 时的开口最大，过点 A 时的开口最小，若抛物线过点 C（3m，0），此时MN 的最大值为 10，∴a（3m）2﹣（1+am）•3m＝0，整理得：am＝，即抛物线解析式为 y＝x2﹣x，由 A（2m，2m），可得直线 OA 解析式为 y＝x，联立抛物线与直线 OA 解析式得：，解得：x＝5m，y＝5m，即 M（5m，5m），令 5m＝10，即 m＝2，当 m＝2 时，a＝；若抛物线过点 A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m＝2m，解得：am＝2，∵m＝2，∴a＝1，则抛物线与四边形 ABCD 有公共点时 a 的范围为≤a≤1．10．如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴交于点 C（0，8）．第9页（共27页）（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E．在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y＝a（x+2）（x﹣4）．把 C（0，8）代入，得 a＝﹣1．∴y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，顶点 D（1，9）；（2 分）（2）假设满足条件的点 P 存在．依题意设 P（2，t）．由 C（0，8），D（1，9）求得直线 CD 的解析式为 y＝x+8，它与 x 轴的夹角为 45°．设 OB 的中垂线交 CD 于 H，则 H（2，10）．则 PH＝|10﹣t|，点 P 到 CD 的距离为．又．（4 分）∴．平方并整理得：t2+20t﹣92＝0，解之得 t＝﹣10±8 ．∴存在满足条件的点 P，P 的坐标为（2，﹣10±8 ）．（6 分）（3）由上求得 E（﹣8，0），F（4，12）．①若抛物线向上平移，可设解析式为 y＝﹣x2+2x+8+m（m＞0）．第10页（共27页）当 x＝﹣8 时，y＝﹣72+m．当 x＝4 时，y＝m．∴﹣72+m≤0 或 m≤12．∴0＜m≤72．（8 分）②若抛物线向下平移，可设解析式为 y＝﹣x2+2x+8﹣m（m＞0）．由，有﹣x2+x﹣m＝0．∴△＝1﹣4m≥0，∴m≤．∴向上最多可平移 72 个单位长，向下最多可平移个单位长．（10 分）11．如图，在直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 在直线 y＝x 上运动．抛物线与 y 轴相交于 C 点．（1）当 b＝﹣4 时，求 C 点坐标；（2）抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，当△ABD 为直角三角形时，求 b，c 的值；（3）线段 MN 的端点 M（﹣2，4），N（﹣1，1），若抛物线与线段 MN 有公共点，求 b 的取值范围．第11页（共27页）【解答】解：∵抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 在直线 y＝x 上运动，∴设抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 的坐标是（﹣，﹣）．（1）如图 1，∵点 D 在抛物线上，∴﹣＝（﹣）2+b•（﹣）+c，即 c＝﹣+ ．又∵b＝﹣4，c＝﹣+ ＝6，即 c＝6．令 x＝0，则 y＝c＝6，即 C（0，6）；（2）如图 2，连接 AD、BD．∵点 A、B 是抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴的两个交点，点 D 是顶点，∴AD＝BD，∴在直角△ABD 中，∠ADB＝90°．设 A（x1，0）、B（x2，0），则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c．∴AB＝|x1﹣x2|＝＝，则，解得，即 b，c 的值分别是 2、0；（3）如图 3，当点 M（﹣1，1）在抛物线 y＝x2+bx+c 上时，b 取最小值，所以，1＝1﹣b+c，即 b＝c，则 b＝﹣+ ，解得 b＝6；当点 N（﹣2，4）在抛物线 y＝x2+bx+c 上时，b 取最大值，所以 4＝4﹣2b+c，即 2b＝c，则 2b＝﹣+ ，解得 b＝10，所以 b 的取值范围是 6≤b≤10．第12页（共27页）12．已知抛物线 y＝a（x+1）2+c（a＞0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C，其顶点为 M，已知直线 MC 的函数表达式为 y＝kx﹣3，与x 轴的交点为 N，且 cos∠BCO＝．（1）求抛物线的解析式；（2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图 2，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【解答】解：（1）由 y＝kx﹣3，可知 OC＝3，在 Rt△OBC 中，∵cos∠BCO ＝，∴BC＝，OB＝＝1，将 B（1，0））、C（0，﹣3）代入抛物线解析式，得，第13页（共27页）解得，∴抛物线解析式为 y＝（x+1）2﹣4；（2）存在．由抛物线解析式得 M（﹣1，﹣4），设直线 MN 解析式为 y＝kx+b，则，解得，∴y＝x﹣3，N（3，0），△OCN 为等腰直角三角形．过 N 点作 CN 的垂线交 y 轴于（0，3），垂线解析式为 y＝﹣x+3．联立，得 P 点坐标为（，）或（，），连接 AC，则 A（﹣3，0）点满足题意，∴P 点坐标为（，）或（，）或（﹣3，0）；（3）设平移后抛物线解析式为 y＝（x+1）2+m，①当抛物线与直线 MN 只有一个交点时，联立，得 x2+x+m+4＝0，当方程组有一个解时，△＝0，即 1﹣4（m+4）＝0，解得 m＝﹣，∴向上平移 4﹣＝个单位，②当抛物线经过 N（3，0）时，（3+1）2+m＝0，解得 m＝﹣16，当抛物线经过 Q（﹣3，﹣6）时，（﹣3+1）2+m＝﹣6，解得 m＝﹣10，∴向下平移 16﹣4＝12 个单位．即抛物线向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移 12 个单位长度．13．如图，平面直角坐标系中，y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2 的顶点为 P，且 OP2 最小．（1）求 m 的值；（2）直线 l：y＝2x+2 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B．第14页（共27页）①抛物线与直线 l 交于两点，当这两点之间的距离为时，求 a 的值；②若抛物线与线段 AB 有两个公共点，请直接写出 a 的值或取值范围是a≥或 a≤﹣10 ．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2＝a（x﹣m）2+2m+2，∴P（m，2m+2），∴OP2＝m2+（2m+2）2＝5m2+8m+4＝5（m+ ）2+ ，∵OP2 最小．∴m＝﹣；（2）设抛物线与直线 l 交于两点 C（x 1，y1），D（x2，y2），＝2x1+2，y2＝2x2+2，∴y∴y1﹣y2＝2（x1﹣x2）由（1）知，m＝﹣，∴y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2＝ax2+ ax+ a+ ①；①∵直线 l：y＝2x+2②，联立①②得，ax2+ ax+ a+ ＝2x+2，化简得，ax2+ x+ ＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴CD2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝5（x1﹣x2）2＝5[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝5[ ﹣4×]，第15页（共27页）∵两点之间的距离为，∴5[ ﹣4×]＝，∴4a2＝25，∴a＝±；②如图，∵直线 l：y＝2x+2 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B，∴A（﹣1，0），B（0，2），y＝ax2+ ax+ a+ ＝a（x+ ）2+ ，∴抛物线的顶点 P 坐标（﹣，），把 x＝﹣代入 y＝2x+2 得，y＝，∴点 P 在直线 l：y＝2x+2 上，当 a＞0 时，把 B（0，2）代入 y＝a（x+ ）2+ 得，a×+ ＝2，∴a＝，∵抛物线与线段 AB 有两个公共点，且|a|越小抛物线开口就越大，根据图象得，a≥，当 a＜0 时，把 A（﹣1，0）代入 y＝a（x+ ）2+ 得，a×+ ＝0，∴a＝﹣10，∵抛物线与线段 AB 有两个公共点，且|a|越小抛物线开口就越大，根据图象得，a≤﹣10，即：抛物线与线段 AB 有两个公共点，a 的取值范围为 a≥或 a≤﹣10，故答案为：a≥或 a≤﹣10．第16页（共27页）14．如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y＝x2+bx+c 经过点O 和点P．已知矩形ABCD 的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求 c，b（可用含t 的代数式表示）；（2）当t＞1 时，抛物线与线段AB 交于点M．在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；（3）在矩形 ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）把 x＝0，y＝0 代入 y＝x2+bx+c，得 c＝0，再把 x＝t，y＝0 代入 y＝x2+bx，得 t2+bt＝0，∵t＞0，∴b＝﹣t；（2）不变．第17页（共27页）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣tx，且 M 的横坐标为 1，∴当 x＝1 时，y＝1﹣t，∴M（1，1﹣t），∴AM＝|1﹣t|＝t﹣1，∵OP＝t，∴AP＝t﹣1，∴AM＝AP，∵∠PAM＝90°，∴∠AMP＝45°；（3）＜t＜．①左边 4 个好点在抛物线上方，右边 4 个好点在抛物线下方：无解；②左边 3 个好点在抛物线上方，右边 3 个好点在抛物线下方：则有﹣4＜y2＜﹣3，﹣2＜y3＜﹣1 即﹣4＜4﹣2t＜﹣3，﹣2＜9﹣3t＜﹣1，＜t＜4 且＜t＜，解得＜t＜；③左边 2 个好点在抛物线上方，右边 2 个好点在抛物线下方：无解；④左边 1 个好点在抛物线上方，右边 1 个好点在抛物线下方：无解；⑤左边 0 个好点在抛物线上方，右边 0 个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t 的取值范围是：＜t＜．15．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y＝ax2+bx ﹣3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C．（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．【解答】解：（1）与 y 轴交点：令 x＝0 代入直线 y＝4x+4 得 y＝4，∴B（0，4），∵点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C，∴C（5，4）；（2）与 x 轴交点：令 y＝0 代入直线 y＝4x+4 得 x＝﹣1，第18页（共27页）∴A（﹣1，0），∵点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C，将点 A（﹣1，0）代入抛物线 y＝ax2+bx﹣3a 中得 0＝a﹣b﹣3a，即 b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴 x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）且对称轴 x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A 的对称点（3，0），①a＞0 时，如图 1，将 x＝0 代入抛物线得 y＝﹣3a，∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将 x＝5 代入抛物线得 y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0 时，如图 2，将 x＝0 代入抛物线得 y＝﹣3a，∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段 BC 上时，则顶点为（1，4），如图 3，将点（1，4）代入抛物线得 4＝a﹣2a﹣3a，解得 a＝﹣1．综上所述，a≥或 a＜﹣或 a＝﹣1．第19页（共27页）16．如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以每秒一个单位长的速度运动 t 秒（t＞0），抛物线y＝﹣x2+bx 经过点 O 和点 P．已知矩形 ABCD 的三个顶点为A（1，0），B（3，0），D（1，3）．（1）求 b 的值（用 t 的代数式表示）；（2）当 3＜t＜4 时，设抛物线分别与线段 AD，BC 交于点 M，N．①设直线 MP 的解析式为 y＝kx+m，在点P 的运动过程中，你认为 k 的大小是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出 k 的值；②在点 P 的运动过程中，当 OM⊥MN 时，求出 t 的值；第20页（共27页）（3）在点 P 的运动过程中，若抛物线与矩形 ABCD 的四条边有四个交点，请直接写出 t 的取值范围．【解答】解：（1）∵点 P 的坐标为（t，0），∴0＝﹣t2+bt，解得：b＝t，（2）①把 x＝1 代入 y＝﹣x2+tx，得 y＝t﹣1，即 M（1，t﹣1），∴，解得 k＝﹣1，②如图，过点 N 作 NH⊥AD 于点 H，求得：BN＝3t﹣9，MH＝8﹣2t，HN＝AB＝2，当 OM⊥MN 时，可证得△OAM∽△MHN，故可得，即，解得，（舍去）从而可得：．（3）抛物线的解析式为 y＝﹣x2+bx＝﹣（x﹣）2+ ，①因为抛物线的顶点纵坐标大于点 D 和点 C 的纵坐标，所以＞3，解得 b＞2 或 b＜﹣2 ；②当 x＝1 时，y＝﹣1+b＜3，解得：b＜4，综上可得：2 ＜b＜4．第21页（共27页）17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，且长分别为 1、4，D 为边 AB 的中点，一抛物线 l 经过点 A、D 及点 M（﹣1，m）．（1）把△OAD 沿直线 OD 折叠后点 A 落在点 A′处，DA′与 OC 交于 H，求证：△OHD 是等腰三角形．（2）求点 A′的坐标；（3）求抛物线的解析式（用含 m 的式子表示）；（4）连接 OA′并延长与线段 BC 的延长线交于点 E，若抛物线与线段 CE 相交，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）如图 1，由折叠得：∠ADO＝∠ODH，∵四边形 ABCO 为矩形，∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOH，∴∠DOH＝∠ODH，∴△OHD 是等腰三角形；（2）如图 2，过 A′作 A′F⊥x 轴于 F，由折叠得：A′D＝AD＝AB＝2，OA′＝OA＝1，∠OA′H＝90°，设 A′H＝x，则 DH＝OH＝2﹣x，第22页（共27页）由勾股定理得：12+x 2＝（2﹣x ）2，x ＝，即 A ′H ＝，∴DH ＝OH ＝2﹣ ＝，∴S △A ′OH ＝ OA ′•A ′H ＝ OH •A ′F ，∴1× ＝ ×A ′F ，∴A ′F ＝，由勾股定理得：OF ＝＝＝，∴A ′（，﹣ ），（3）设抛物线的解析式为：y ＝ax 2+bx+c ，把 A （0，1）、D （2，1）、M （﹣1，m ）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y ＝ + +1，（4）∵A ′F ∥BE ， ∴，∴ ，∴CE ＝3， ∴E （4，﹣3），当 x＝4 时，y＝+ +1，y＝，∵﹣3≤y≤0，∴﹣3≤≤0，第23页（共27页）∴﹣≤m≤．18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量 x，这两个函数对应的函数值记为 y1、y2，都有点（x，y1）和（x，y2）关于点（x，x）中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线 y＝x 上，所以称这两个函数为关于直线 y ＝x 的特别对称函数．例如：和为关于直线 y＝x 的特别对称函数．（1）若 y＝3x+2 和 y＝kx+t（k≠0）为关于直线 y＝x 的特别对称函数，点 M（1，m）是y＝3x+2 上一点．①点 M（1，m）关于点（1，1）中心对称的点坐标为（1，﹣3）．②求 k、t 的值．（2）若 y＝3x+n 和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，求 n 的值．（3）若二次函数 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 为关于直线 y＝x 的特别对称函数．①直接写出 a、b 的值．②已知点 P（﹣3，1）、点Q（2，1），连结PQ，直接写出 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围．第24页（共27页）【解答】解：（1）①∵点 M（1，m）是 y＝3x+2 上一点，∴m＝5，∴M（1，5），∴点 M 关于（1，1）中心对称点坐标为（1，﹣4），故答案为（1，﹣3）；②∵y＝3x+2 和 y＝kx+t（k≠0）为关于直线 y＝x 的特别对称函数，∴＝x，∴（1+k）x+（t+2）＝0，∴k＝﹣1，t＝﹣2；（2）设 y＝3x+n①的特别对称函数为 y＝m'x+n'，∴＝x，∴（1+m'）x+n+n'＝0，∴m'＝﹣1，n'＝﹣n，∴y＝3x+n 的特别对称函数为 y＝﹣x﹣n②，联立①②解得，x＝﹣n，y＝﹣n，∵y＝3x+n 和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，∴|n﹣（﹣n）|×|﹣n|＝2，∴n＝±2；（3）①∵二次函数 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 为关于直线 y＝x 的特别对称函数，∴，∴（a+1）x2+（b﹣2）x+c+d＝0，∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣d；②由①知，a＝﹣1，b＝2，c＝﹣d，∴二次函数 y＝﹣x2+2x﹣d 和 y＝x2+d，第25页（共27页）∴这两个函数的对称轴为直线 x＝1 和 x＝0，∵P（﹣3，1）、点Q（2，1），当d＜0 时，如图 1，当抛物线 C2：y＝x2+d 恰好过点 P（﹣3，1）时，即：9+d＝1，∴d＝﹣8，当抛物线 C1：y＝﹣x2+2x﹣d 恰好过点 Q（2，1）时，即：﹣4+2﹣d＝1，∴d＝﹣3，y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为﹣8≤d ＜﹣3，如图 2，当 0≤d＜1 时，抛物线 C1 与线段 PQ 有两个交点，而抛物线 C2 与线段 PQ 没有交点，∴y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为 0≤d ＜1，即：y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为﹣8 ≤d＜﹣3 或 0≤d＜1．第26页（共27页）1、一知半解的人，多不谦虚；见多识广有本领的人，一定谦虚。

(完整版)二次函数含参综合专题

二次函数综合专题含参不简单，只因特征藏，找寻关键点，看它难不难。

（不等关系类）例1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a 的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）；（3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +3a (a ＞0)与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求抛物线的对称轴及点A ，B 的坐标；（2）点C （t ，3）是抛物线243(0)y ax ax a a =-+>上一点，（点C 在对称轴的右侧），过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①当CD AD =时，求此时抛物线的表达式； ①当CD AD >时，求t 的取值范围．（翻折类）例2.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n -1(n≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ． (1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．54411231213xOy6876543276543265（平移类）例3．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m 2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是．巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12x x <（1）求3221+-x x 的值；（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．考题再现：（2016南通中考）1.平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线c bx x y ++=2，经过)12,1(2++-m m 、)22,0(2++m m 两点，其中m 为常数.（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；（2）若抛物线c bx x y ++=2与x 轴有公共点，求m 的值；（3）设),(1y a 、),2(2y a +是抛物线c bx x y ++=2两点，请比较12y y -与0的大小，并说明理由.（2018北京一模）2.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =； ③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.。

(完整版)含参数的二次函数问题

杭九年级数学校本作业编制人：含参数的二次函数问题姓名_________1、将二次函数2()1y x k k =--++的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后，顶点在直线21y x =+上，则k 的值为（）A ．2B ．1C ．0D ．1-2、关于x 的二次函数2()1y x m =--的图象与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C.下列说法正确的是（）A ．点C 的坐标是（0，-1）B ．点(1, -2m )在该二次函数的图象上C ．线段AB 的长为2mD ．若当1≤x 时，y 随x 的增大而减小，则1≥m3、如图，抛物线2+(0)y ax bx c a =+≠过点（1，0）和点（0，-4），且顶点在第三象限，设P =c b a +-，则P 的取值范围是（） A ．-8＜P ＜0B ．-8＜P ＜-4C ．-4＜P ＜0D ．-2＜P ＜04、下列四个说法：①已知反比例函数6y x =，则当32y ≤时自变量x 的取值范围是4x ≥； ②点11(,)x y 和点22(,)x y 在反比例函数3y x=-的图象上，若12x x <，则12y y <； ③二次函数228+13-30)y x x x =+≤≤（的最大值为13，最小值为7；④已知函数2213y x mx =++的图象当24x ≤时，y 随着x 的增大而减小，则m =23-．其中正确的是（）A ．④B ．①②C ．③④D ．四个说法都不对 5、已知下列命题：①对于不为零的实数c ，关于x 的方程1+=+c xcx 的根是c ；②在反比例函数xy 2=中，如果函数值y ＜1时，那么自变量x ＞2； ③二次函数 2222-+-=m mx x y 的顶点在x 轴下方；④函数y = kx 2+(3k +2)x +1，对于任意负实数k ，当x <m 时，y 随x 的增大而增大，则m 的最大整数值为2-.其中真命题为（）A ．①③B ．③C ．②④D ．③④6、二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ＜0）的图象经过点（﹣1，1），（4，﹣4）.下列结论：（1）c a＜0；（2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小；（3）4=x 是方程ax 2+（b +1）x +c =0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜4时，ax 2+（b +1）x +c ＞0．其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个7、设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过点(3，0)，(7，– 8)，当3≤x ≤7时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是． 8、已知抛物线)2)(1(kx x k y -+=与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．若△ABC 为等腰三角形，则k 的值为． 9、已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=k x x k y 31，下列说法：①方程()3-31=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+k x x k 必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当k >3时，抛物线顶点在第三象限；④若k <0，则当x<-1时，y 随着x 的增大而增大. 其中正确的序号是 . 10、如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B )2,4(，一次函数1-=kx y 的图象平分它的面积. 若关于x 的函数k m x k m mx y +++-=2)3(2的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的值为 .11、已知函数()n mx x n y m-+++=11（m ，n 为实数）(1)当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；(2)若它是一个二次函数，假设，那么：①当时，y 随x 的增大而减小. 请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定过哪个点？请说明理由.12、已知抛物线p ：123)1(2-++-=kx k x y 和直线l :2k kx y +=：（1）对下列命题判断真伪，并说明理由：①无论k 取何实数值，抛物线p 总与x 轴有两个不同的交点； ②无论k 取何实数值，直线l 与y 轴的负半轴没有交点；（2）设抛物线p 与y 轴交点为C ，与x 轴的交点为A 、B ，原点O 不在线段AB 上；直线l 与x 轴的交点为D ，与y 轴交点为C 1，当OC 1＝OC ＋2且OD 2＝4AB 2时，求出抛物线的解析式及最小值.13、我们知道，x y =的图象向右平移1个单位得到1-=x y 的图象.类似的，xky = ）0（≠k 的图象向左平移2个单位得到）0（2≠+=k x ky 的图象.请运用这一知识解决问题.如图，xy 2=的图象C 与y =ax （a ≠0）的图象L 相交于点A （1，m ）和点B ．（1）写出点B 的坐标，并求a 的值；（2）将函数xy 2=的图象和直线AB 同时向右平移n （n ＞0）个单位，得到的图象分别记为C 1和L 1，已知图象C 1经过点M （3，2）．①分别写出平移后的两个图象C 1和L 1对应的函数关系式； ②直接写出不等式 ax x ≤+-422的解集.14、已知二次函数22(21)h x m x m m =--+-（m 是常数，且0m ≠）.（1）证明：不论m 取何值时，该二次函数图象总与x 轴有两个交点；（2）若A 2(3,2)n n -+、B 2(1,2)n n -++是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和n 的值；（3）设二次函数22(21)h x m x m m =--+-与x 轴两个交点的横坐标分别为1x ，2x （其中1x >2x ），若y 是关于m 的函数，且2122x y x =-，请结合函数的图象回答：当y <m 时，求m 的取值范围.15、如图，抛物线与x 轴相交于B 、C 两点，与y 轴相交于点A ，P （a ，m a a ++-272）（a 为任意实数）在抛物线上，直线b kx y +=经过A 、B 两点，平行于y 轴的直线2=x 交直线AB 于点D ，交抛物线于点E .(1)若2=m ，①求直线AB 的解析式；②直线t x =0(≤t ≤)4与直线AB 相交于点F ，与抛物线相交于点G . 若FG :DE =3:4，求t 的值；(2)当EO 平分AED ∠时，求m 的值.（第14题）16、已知抛物线n m x a y +-=2)(与y 轴交于点A ，它的顶点为B ，点A 、B 关于原点O 的对称点分别是点C 、D .若点A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线AB 为抛物线的伴随直线.（1）如图1，求抛物线1)2(2+-=x y 的伴随直线的解析式；（2）如图2，若n m x a y +-=2)(（m>0）的伴随直线是3-=x y ，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；（3）如图3，若抛物线n m x a y +-=2)(的伴随直线是b x y +-=2（b>0），且伴随四边形ABCD 是矩形.①用含b 的代数式表示m,n 的值；②在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PBD 是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标（用含b 的代数式表示）；若不存在，请说明理由.答案与评分标准 1.C 2. D 3.C 4.D 5.D 6.C 7. 21021≥<≤-a a 或 8. 2,215,34+ 9. 10.21-1-0或或=m 11.（1）①当m=1，n ≠-2时，函数y=（n+1）xm+mx+1-n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y=0时，（n+1）xm+mx+1-n=0，∴x=1-nn+2，∴函数y=（n+1）xm+mx+1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m=2，n≠-1时，函数y=（n+1）xm+mx+1-n （m ，n 为实数）是二次函数，当y=0时，y=（n+1）xm+mx+1-n=0，即：（n+1）x2+2x+1-n=0， △=22-4（1+n ）（1-n ）=n2≥0；（2）①假命题，若它是一个二次函数，则m=2，函数y=（n+1）x2+2x+1-n ， ∵n ＞-1，∴n+1＞0，抛物线开口向上，对称轴：-b2a=-22(n+1)=-1n+1＜0，∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小， ②当x=1时，y=n+1+2+1-n=4．当x=-1时，y=0．∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．12.(1)①正确∵0123)1(2=-++-kx k x 的解是抛物线与x 轴的交点，由判别式△＝)123(4)1(2--+k k ＝542+-k k ＝01)2(2>+-k∴无论k 取何实数值，抛物线总与x 轴有两个不同的交点； ②正确∵直线2k kx y +=与y 轴交点坐标是(0，2k )而无论k 取何实数值2k ≥0，∴直线与y 轴的负半轴没有交点（2）∵|OD|＝|―k | ,|AB |＝542+-k k ∴OD 2＝4AB 2 ⇒2016422+-=k k k解得310k 2==或k 又∵OC 1＝2k ，OC ＝123-k ＞0，∴2k ＝123-k ＋2，解得21k 2-==或k 综上得k ＝2，∴抛物线解析式为232+-=x x y ，最小值为41-（3）1≤x ＜2或x ≥3 …………3分14.（1）由题意有△=[-（2m-1）]2-4（m2-m ）=1＞0．即不论m 取何值时，该二次函数图象总与x 轴有两个交点；（2）∵A （n-， ∴m=-12，∴抛物线解析式为h=x2+2x+34；（3）令h=x2-（2m-1）x+m2-m=0，解得x1=m ，x2=m-3，n2+2）、B （-n+1，n2+2）是该二次函数图象上的两个不同点， ∴抛物线的对称轴x=n-3-n+12=-1， ∴2m-12=-1即y=2-2x2x1=2m ，作出图象如右：当2m=m 时，解得m=±2，当y ＜m 时，m 的取值范围为m ＞2或m ＜-2．15.(1)若2=m ，①则抛物线的解析式为2272++-=x x y ，得)2,0(A ，)0,4(B ，)0,21(-C 所以直线AB 的解析式为221+-=x y . ②易得)5,2(E ,)1,2(D ,)227,(2++-t t t G ，)221,(+-t t F ，所以DE=4,FG=t t 42+-，因FG:DE=3:4，所以t t 42+-=3，解得3,121==t t . (2) 抛物线的解析式为m x x y ++-=272，易得),0(m A ，)3,2(+m E ，过点A 作AH ⊥DE 于点H ，可得),2(m H .因EO 平分AED ∠，所以DEO AEO ∠=∠，又因为DE ∥AO ，所以AOE DEO ∠=∠，即AOE AEO ∠=∠，所以AO=AE.在直角AHE ∆中，222EH AH AE +==133222=+，即=m AO=AE=13.16.（1）解：（1）由已知得B （2，1），A （0，5），设所求直线的解析式为y=kx+b ，则⎩⎨⎧=+=b b k 521，解得⎩⎨⎧=-=52b k ，∴所求直线的解析式为y=-2x+5；（2）如图1，作BE ⊥AC 于点E ，由题意得四边形ABCD 是平行四边形，点A 的坐标为（0，-3），点C 的坐标为（0，3），可得AC=6， ∵□ABCD 的面积为12，∴S △ABC =6，即S △ABC =21AC ·BE=6，∴BE=2， ∵m ＞0，即顶点B 在y 轴的右侧，且在直线y=x-3上，∴顶点B 的坐标为B （2，-1）又抛物线经过点A （0，-3），∴a=21-，∴y=-21（x-2）2-1；（3）①如图2，作BF ⊥x 轴于点F ，由已知得：A 的坐标为（0，b ），C 的坐标为（0，-b ），∵顶点B （m ，n ）在直线y=-2x+b 上，∴n=-2m+b ，即点B 的坐标为（m ，-2m+b ），在矩形ABCD 中，OC=OB ，OC 2=OB 2，即b 2=m 2+（-2m+b ）2，∴5m 2-4mb=0，∴m （5m-4b ）=0， ∴m 1=0（不合题意，舍去），m 2=54b ， ∴n=-2m+b=-2×54b+b=-53b ；②存在，共四个点如下： P 1（54b ，57b ），P 2（54b ，59b ），P 3（54b ，1516b ），P 4（54b ，513-b ）。

含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题(原卷版)

专题含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题考点预测：1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (0)a > 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅例1．已知函数()y f x =的表达式为()21f x ax mx =-+（a 、m R ∈）．（1）若0a =，()3f x <的解集为()2,1-，求实数m 的值；（2）若1a =，()y f x =在[]1,2上的最大值为3，求实数m 的值．例2．已知二次函数()f x 满足对任意x ∈R 都有()()122f x f x x =-+-，且函数()f x 的图象过点()3,2﹒（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()g x f x mx =-，若函数()g x 在区间[]1,2的最小值为3，求实数m 的值﹒过关测试一、单选题1．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{}23x x -<<，则下列说法错误的是（） A ．0a < B ．不等式0ax c +>的解集为{}6x x <C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ x 2x 1O y x x 1=x 2O y x O yx2．若函数()()224f x x m x =--+在区间()1,2内存在最小值，则实数m 的取值范围是（）A ．()3,4B ．()4,6C ．[]5,9D ．[]11,7-- 3．若不等式x 2+ax +1≥0在x ∈[－2，0）时恒成立，则实数a 的最大值为（） A ．0 B ．2 C ．52 D ．3 4．关于x 的不等式2||20ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围为（）A ．2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2⎛-∞ ⎝⎦C ．2244⎡-⎢⎣⎦D ．22,,4⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭5．若不等式2(1)20a x x -++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（）A ．9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．已知函数2212f x x a x 在[)4,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(],3-∞-B ．[)3,-+∞ C ．(],5-∞D ．[)5,+∞7．若不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x -<<，那么不等式()21(1)2a x b x c ax ++-+>的解集为A ．{}32x x -<<B ．{3x x <-或}2x >C ．{}14x x -<<D ．{1x x <-或}4x > 8．若不等式250x ax +->在{}12x x ≤≤上有解，则a 的取值范围是（）A ．12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．12a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．{}4a a <D ．{}4a a >二、多选题9．下列叙述中正确的是（）A ．,,a b c ∈R ，若二次方程20ax bx c ++=无实根，则0ac >B ．“0a >且240b ac ∆=-≤”是“关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集是R ”的充要条件C ．“1a <-”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 10．已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 可以取值有（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．（多选）若不等式223221x x m x x ++≥++对任意实数x 恒成立，则正整数m 的值可能为（） A ．3 B ．4 C ．1 D ．2 12．对于给定的实数a ，关于x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集可能为（） A ．φ B ．{}1x x a -<< C ．{}1x a x <<- D ．{1x x <或}x a >三、填空题13．关于x 的一元二次不等式280x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值范围是______． 14．若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．15．若关于x 的不等式22230ax ax a -++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是_______． 16．若函数2()f x x ax =+在区间[1,2]上的最大值为1a +，则a 的取值范围为__________四、解答题17．（1）已知关于x 的不等式20ax x b ++>的解集为()1,2-，求不等式20bx x a ++>的解集；（2）解关于x 的不等式()210x k x k -++≤．18．已知函数()21f x ax ax =-+．（1）设()()()22g x f x a x =+-，求()g x 在区间[]1,2上的最小值；（2）求不等式()f x x >的解集．19．二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，且()01f =.（1）求()f x 的解析式；（2）若不等式()2f x x m >+在区间，[]1,1-上恒成立，求实数m 的取值范围.20．某公司生产某种消防安全产品，年产量x 台（0100x ≤≤，x ∈N ）时，销售收入函数()2280020R x x x =-（单位：百元），其成本函数满足()200C x x b =+（单位：百元）．已知生产5台该产品，其成本为4000（百元）．（1）求利润函数()P x ；（2）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？21．已知函数()a f x x b x=++，关于x 的不等式()0xf x <的解集为()1,3. （1）求实数a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式()()()()31xf x m x m R <--∈的解集；（3）若不等式()20k f t k t--≥对()0,t ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围. 22．设二次函数()f x 满足：①当x ∈R 时，总有(1)(1)f x f x -+=--；②函数()f x 的图象与x 轴的两个交点为A ，B ，且||4AB =；③3(0)4f =-. （1）求()f x 的解析式；（2）若存在t R ∈，只要[1,](1)x m m ∈>，就有()1f x t x +≤-成立，求满足条件的实数m 的最大值.。

二次函数定义域与值域习题(强烈推荐)

高中数学专题训练二次函数与幂函数一、选择题1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )3．函数y＝xα(x≥1)的图象如图所示，α满足条件( )A．α<－1 B．－1<α<0 C．0<α<1 D．α>14．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么( )A．f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(3)与f(2)的大小关系不确定5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．[0,2] C．[1,2] D．(－∞，2]6．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，则( ) A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定二、填空题8．已知y＝(cos x－a)2－1，当cos x＝－1时y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则a的范围是________．9．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.10．设函数f1(x)＝x 12，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2010)))＝________.11．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．12．已知幂函数f(x)＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a＝________.13．方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是________．三、解答题14．已知函数f(x)＝2x－x m，且f(4)＝－72.(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．15．已知对于任意实数x，二次函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非负的，求函数g(a)＝(a＋1)(|a－1|＋2)的值域．练习：1．若函数f(x)＝log 12(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( )A．(－∞，1] B．(3，＋∞)C．(－∞，3) D．[5，＋∞)2．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为( )A．1 B．－1C.－1－52D.－1＋523.如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于( )A.caB．－caC．±caD．无法确定4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝( ) A．3 B．2或3C．2 D．1或25．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是( )A．0≤a≤1 B．0≤a≤2C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0B组1．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，f (0)＝1，则f (x )＝________.2．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f (x )是( )A ．减函数B ．增函数C ．常函数D ．可能是减函数，也可能是常函数3．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α、β是方程f (x )＝0的两个根(α<β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )A ．α<a <b <βB ．a <α<β<bC ．a <α<b <βD ．α<a <β<b4．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)＞c ＞f (－1) B ．f (1)＜c ＜f (－1) C ．f (1)＞f (－1)＞c D ．f (1)＜f (－1)＜c5．对一切实数x ，若不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥－1B ．a ≥0C ．a ≤3D ．a ≤16．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于________．答案：一、1.A 2 C 3 C 4 C 5 C 6 D 7 B8．解析由题意知⎩⎨⎧－a ≤0－1≤a ≤1∴0≤a ≤19． 9或25 10． 1201011．大－312． 3 13． 2<m <52三、解答题14 (1)m ＝1 (2)递减练习；1． D 2. B 3． B 4 C 5 DB 组1． x 2－x ＋12 D 3A 4 B 5A 详析1． A解析本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2． C解析若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴对称轴－b a<0，不符合，∴选C.3． C解析类比函数y ＝x 12即可．4． C解析 ∵f (4)＝f (1)∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．5． C解析由函数的单调性和对称轴知，1≤m ≤2，选C.6． D解析若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a＞0，函数f (x )的图象与y 轴的交点(c,0)在x 轴下方．故选D.7． B解析解法1：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，∵x 1＋x 22＝1－a2∈(－1，12)，又对称轴x ＝－1，∴AB 中点在对称轴右侧．∴f (x 1)<f (x 2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝a (x 1－x 2)(3－a )又0<a <3，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故选B.二、填空题8．解析由题意知⎩⎨⎧－a ≤0－1≤a ≤1∴0≤a ≤1 9． 9或25解析 y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162∵顶点在x 轴∴m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25. 10． 12010解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010.11．大－3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0 ∴f (x )有最大值，最大值为c －b 24a ＝－3.12． 313． 2<m <52解析令f (x )＝x 2－mx ＋1由题意知⎩⎨⎧f 1<0f 2>0⇒2<m <52.三、解答题14 (1)m ＝1 (2)递减解析 (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1. (2)f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．15． [－94，9]解由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0，∴－32≤a≤2.①当－32≤a<1时，g(a)＝(a＋1)(－a＋3)＝－a2＋2a＋3＝－(a－1)2＋4，∴由二次函数图象可知，－94≤g(a)<4.②当1≤a≤2时，g(a)＝(a＋1)2，∴当a＝1时，g(a)min＝4；当a＝2时，g(a)max＝9；∴4≤g(a)≤9.综上所述，g(a)的值域为[－94，9]．练习；1．D解析f(x)的减区间为(5，＋∞)，若f(x)在(a，＋∞)上是减函数，则a ≥5，故选D.2．B解析∵b>0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a>0，∴a<0.故应是第3个图形．∵过原点，∴a2－1＝0.结合a<0.∴a＝－1.3.B解析∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝|ca|＝－ca(∵a<0，c>0)．4．C解析函数在[1，＋∞)上单增∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)．5．D解析f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2若f(x) 在[0,1]上最大值是a2，则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故选D.B组1．x2－x＋1解析设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a ＋b＝2x∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.2．D解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0当a＝1时，f(x)为常函数当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.3．A解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.4．B解析由f(－1)＝f(3)得－b2＝－1＋32＝1，所以b＝－2，则f(x)＝x2＋bx＋c在区间(－1,1)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，而f(0)＝c，所以f(1)＜c＜f(－1)．5．A解析令t＝x2≥0，则原不等式转化为t2＋(a－1)t＋1≥0，当t≥0时恒成立．令f(t)＝t2＋(a－1)t＋1 则f(0)＝1>0(1)当－a－12≤0即a≥1时恒成立(2)当－a－12>0即a<1时．由Δ＝(a－1)2－4≤0 得－1≤a≤3 ∴－1≤a<1综上：a≥－1.6．c解析∵f(x2)＝f(x1)，∴x2＋x1＝－ba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝c.。

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含有参数的闭区间上二次函数的最值与值域（分类讨论）
（一）正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨
论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）定轴定区间；（2）定
轴动区间；（3）动轴定区间；（4）动轴动区间。

题型一：“定轴定区间”型
例1、函数
y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

练习：已知232x
x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。

题型二：“动轴定区间”型
例2、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。

解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+-
①当a ＜0时，==min (0)3f f ，==-max (4)198a f f
②当0≤a＜2时，2min (a)3a f f ==-max (4)198f f a ==-
③当2≤a＜4时，2min (a)3a f f ==-，==max (0)3f f
④当4≤a 时，min (4)198f f a ==-，==max (0)3f f
练习：已知函数=+--2()(21)3f x ax a x 在区间3[,2]2
-上最大值为1,求实数a 的值
题型三：“动区间定轴”型的二次函数最值
例3．求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。

解：=-+2(x)(1)2f x 开口向上，对称轴x=1
①当a ＞1，2min
f(a)3f a ==-+;2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ②212a a a ++≤<,即0＜a≤1，min f(1)2f ==;2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ③212a a a ++≤<即-1＜a≤0，min f(1)f =，max f(a)f =
④a+2≤1,即a≤-1时，，max
f(a)f =;min (a 2)f f =+
练习：求函数=
-+2()22f x x x 在x ∈［t,t+1］上的最值。

题型四：“动轴动区间”型的二次函数最值
例4.求函数(x)x(x )x [1,a]f a =--∈-在的最大值
○1当1,a 22
a
≤-≤即，与1a >-矛盾； ○21a,a 02a -<<>即，2max ()24
a a f f == ○3a,2
a ≥≤且a>-1,即-1<a 0，max ()0f f a ==
练习:已知函数22()96106f x x ax a a =-+--在1[,]3
b -上恒大于等于0，其中实数[3,)a ∈+∞,求实数b
的范围．
（二）逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例5. 已知函数2
()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

解：2
()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈-
（1）若0,()1,a f x ==，不符合题意。

（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+ 由814a +=，得38
a = （3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=-
由14a -=，得3a =- 综上知38
a =
或3a =-
练习：已知函数2
()2
x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。

1．函数y 12++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是（）
)(A 1 ,3 )
(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）41-, 3 2．函数242-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是（）
)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 2
3．函数5
482+-=x x y 的最值为（） )(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8
（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值
4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是______________________
5．已知函数f x ax a x a ()()()[]=+---
2213032
2≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为
6．如果实数y x ,满足122=+y x ，那么)1)(1(xy xy +-有（） (A)最大值为 1 , 最小值为
21 (B)无最大值，最小值为4
3 （C ）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为43 7．已知函数322
+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是
（）
(A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞
8．若12,0,0=+≥≥y x y x ，那么232y x +的最小值为__________________
9．设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实根，则2
221x x +的最小值______ 10．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。

11．已知)(x f 2
2a ax x +
-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值。

12.设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．
(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.
13.已知二次函数x x x f +-=22
1)(，是否存在实数),(,n m n m <使得)(x f 的定义域和值域分别为],[n m 何]3,3[n m ，若存在，求出n m ,的值；若不存在，请说明理由。