【附加15套高考模拟试卷】山东省聊城一中2020届高三5月阶段性检测数学(理)试题含答案

山东省聊城一中2020届高三5月阶段性检测数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量满足，，，则=( )A ．B ．C ．D ．2．已知21log 3252,1log 3,cos6a b c π-=-=-=，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．b c a <<3．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“ab 0>”是“b a2a b+≥”的充要条件 C ．命题“2x 3x 20-+=，则x 1=或x 2=”的逆否命题为“若x 1≠或x 2≠，则2x 3x 20-+≠”D ．命题p ：x R ∃∈，使得2x x 10+-<，则p ⌝：x ∀∈R ，使得2x x 10+->4．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A ．2018B ．2019C ．12 D ．25．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（）A ．mm n+B．nm n+C．4mm n+D．4nm n+6．已知x 、y 满足约束条件50{03x yx yx-+≥+≥≤，则24z x y=+的最小值是（）A．6-B．5C．10D．10-7．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．8．已知函数()2xf x e ax=-，对任意1x<，2x<，都有()()()()2121x x f x f x--<，则实数a 的取值范围是()A．,2e⎛⎤-∞⎥⎝⎦ B．,2e⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C．0,2e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．,02e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．以下关于()sin2cos2f x x x=-的命题，正确的是（）A．函数()f x在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B．直线8xπ=需是函数()y f x=图象的一条对称轴C．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x=图象的一个对称中心D．将函数()y f x=图象向左平移需8π个单位，可得到2sin2y x=的图象10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．11．已知直线平面，直线平面，则下列四个命题正确的是（）①；②；③；④.A ．②④B ．①②C ．③④D ．①③12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且150S >，890a a +<，则使得0nn s a n+<最小的n 为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，ABCD 是边长为2的正方形，其对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 所对应点为'A ，3'4A OC π∠=.设三棱锥'A BCD -的外接球的体积为V ，三棱锥'A BCD -的体积为'V ，则'VV =__________．14．观察下列式子：，，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________.15．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．16．已知164sin x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则26sin x π⎛⎫+=⎪⎝⎭___________ . 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，ABC ∆等边三角形，AC DC ⊥，以AC 为折痕将ABC ∆折起，使得平面ABC ⊥平面ACD ．设E 为BC 的中点，求证：AE ⊥平面BCD ；若BD 与平面ABC 所成角的正切值为32，求二面角A BD C --的余弦值．18．（12分）在数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=．求{}n a 的通项公式；数列{}n b 是等差数列，nS 为{}n b 前n 项和，若1123b a a a =++，33b a =，求n S .19．（12分）已知直线l 的参数方程为133x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为24cos 23sin 4ρρθρθ=+-． 求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； 设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求OA OB⋅的值．20．（12分）已知正项等比数列{}n a 中，112a =，且234,,1a a a -成等差.求数列{}n a 的通项公式；若22log 4n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21．（12分）如图所示，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，11122AB AA A B ===.若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面11AA B B ；求直线1DD 与平面1A BD所成角的正弦值.22．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，且2，na ，nS 成等差数列.求数列{}n a 的通项公式；数列{}n b 满足21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列的1{}n b 前n 项和n T .参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．D 11．D 12．B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．42π14．15．3016．78三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1)见证明；(2) 3【解析】 【分析】（1）推导出CD ⊥平面ABC ，从而CD AE ⊥，再求出AE BC ⊥，由此能证明AE ⊥平面BCD ． （2）由DC ⊥平面ABC ，知DBC ∠即为BD 与平面ABC 所成角，从而在直角DCB ∆中，3tan 2DC DBC BC ∠==，以C 为坐标原点，分别以CD uuu v ，CA u u u v 所在的方向作为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系C xyz -．利用向量法能求出二面角A BD C --的余弦值． 【详解】证明：（1）因为平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⋂平面ACD AC =，CD ⊂平面ACD ，CD AC ⊥， 所以CD ⊥平面ABC ．又AE ⊂平面ABC ，所以CD AE ⊥．在等边ABC ∆中，因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥． 因为AE CD ⊥，AE BC ⊥，CD BC C ⋂=， 所以AE ⊥平面BCD ．（2）解：由（1）知DC ⊥平面ABC ，所以DBC ∠即为BD 与平面ABC 所成角， 于是在直角DCB ∆中，3tan 2DC DBC BC ∠==． 以C 为坐标原点，分别以CD uuu v ，CA u u u v所在的方向作为x 轴、y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．设等边ABC ∆的边长为a ，则32CD a =，()0,0,0C ，()0,,0A a ，30,2a a B ⎛ ⎝⎭，3,0,02a D ⎛⎫⎪⎝⎭， 30,2a a AB ⎛=- ⎝⎭u u u v ，3,,02a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，30,2a a CB ⎛= ⎝⎭u u u v ，3,0,02a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v .设平面ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =v，则00AB m AD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即111102302a y az ax ay ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令11z =，则1y13x =，于是3m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭v . 设平面BCD 的一个法向量为()222,,n x y z =v，则00CB n CD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即222102302ay ax ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得20x =，令21z =，则2y =()0,n =v．所以2cos ,442m n m n m n ⋅-===-⋅v v v vv v .由题意知二面角A BD C --为锐角，所以二面角A BD C --【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 18．（1）13-=n n a ； （2）214n n -+. 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义可知数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，则{}n a 的通项公式易求； （2）由（1）得：1313,19b b ==，由此求得公差d ，代入等差数列前n 公式计算即可. 【详解】（1）因为111,3n n a a a +==所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n a -=.（2）由（1）得：1123313913,19b a a a b =++=++== ， 则3124,2b b d d -==-=-，， 所以()()21132142n n n n S n S n n +=+⨯-⇒=-+ .【点睛】本题考查等差数列，等比数列的基本量计算，属基础题. 19．(1) 22(2)(3x y -+=;(2)4. 【解析】分析：（1）利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化； （2）代入建立一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果.详解：(1)∵直线l的参数方程为1x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），∴直线l的普通方程为)1y x =-，即y =，∴直线l 的极坐标方程：=3πθ，又∵曲线C的极坐标方程为24cos sin 4ρρθθ=+-，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2244x y x +=+-，即()(2223x y -+-=，∴曲线C 的直角坐标方程为()(2223x y -+-=.(2)∵将直线l ：=3πθ代入曲线C的极坐标方程：24cos sin 4ρρθθ=+-得：2540ρρ-+=，设直线l 与曲线C 的两交点,A B 的极坐标分别为()11,A ρθ，()22,B ρθ，∴124ρρ=， ∴12124OA OB ρρρρ⋅=⋅==．点睛：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用.20．（1）22n n a -=（2）n T 4(1)nn =+【解析】 【分析】（1）由等比数列和等差数列的通项公式列出方程可求公比q,由此能求数列{a n }的通项公式．（2）写出数列{}n b 的通项公式，然后利用裂项相消求和法可得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q 因为234,,1a a a -成等差数列，所以32421a a a =+-，得2311121a q a q a q =+-，又112a =，则2311121222q q q ⨯=+-，即2311122q q q =+-， 所以2322q q q =+-，所以2322q q q +=+，所以222(1)(1)q q q +=+， 所以2(1)(2)0q q +-=显然210q +≠，所以20q -=，解得2q =故数列{}n a 的通项公式11211222n n n n a a q---===g （2）由（1）知，2222222log 4log (2)42log 242(2)42n n n n b a n n --=+=+=+=-+=所以111111()22(1)41n n b b n n n n +==-++g 则12n n T b b b =+++L 11111111[(1)()()()]4223341n n =-+-+-++-+L 11(1)41n =-+4(1)n n =+【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的应用，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题. 21．（1）详见解析；（2）15. 【解析】试题分析：（1）连接AC ，可证AM AB ⊥ ，又因为1AA ⊥底面ABCD ，可得1AM AA ⊥，即可得证. （2）如图建立空间直角坐标系A xyz -，求出1DD u u u u r和平面1A BD 的一个法向量n 的坐标，则直线1DD 与平面1A BD 所成角的正弦值1sin cos ,n DD θ=u u u u r.试题解析：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，连结AC ，则ACD ∆为等边三角形， 又∵M 为CD 中点∴AM CD ⊥，由//CD AB 得∴AM AB ⊥∵1AA ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ∴1AM AA ⊥，又∵1AB AA A ⋂= ∴AM ⊥平面11AA B B（Ⅱ）∵四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，11122AB AA A B ===， 得1DM =，AM =90AMD BAM ∠=∠=︒ 又∵1AA ⊥底面ABCD ， 分别以AB ，AM ，1AA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -()10,0,2A 、()2,0,0B、()D -、1122D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴11,22DD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r，()BD =-u u ur ，()12,0,2A B =-u u u r设平面1A BD 的一个法向量(),,n x y z =，则有1·030{{220·0n BD x y x z n A B =-+=⇒⇒==-==u u u r u u ur ，令1x =，则()n = ∴直线1DD 与平面1A BD 所成角的正弦值．点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；第二问中通过建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，结合11sin cos ,5n DD u u u u r θ==得到结论. 22．（1）2nn a =;（2）21nn +. 【解析】 【分析】(1)利用1n n n a S S -=-,计算通项,即可.(2)将数列{}n a 通项代入,利用裂项相消法,即可. 【详解】解：（1）因为2，n a ，n S 成等差数列， 所以2+2n n a S =，当1n =时，1122a a =+，所以12a =， 当2n ≥时，22n n S a =-，1122n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，所以12nn a a -=， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn a =.（2）21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+()1122n n n +=++⋅⋅⋅+=，所以()121n b n n =+ 1121n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 所以12111n nT b b b =++⋅⋅⋅+ 1112[1223⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11]1n n ⎛⎫⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+. 【点睛】本道题考查了等比数列通项计算方法以及裂项相消法,难度中等.高考模拟数学试卷第Ⅰ卷一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 复数z 满足(1)2z i i -=，则复数z 的实部与虚部之和为（ ） A. 2- B. 2 C. 1 D. 02. 已知集合11|24xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B I 等于（ ）A. (,5)-∞B. (,2)-∞C. (1,2)D. (2,5)3. 以(4,3)M -为圆心，r 为半径的圆与直线250x y +-=相离的充要条件是（ ） A. 02r <<B. 0r <<C. 0r <<D. 010r <<4. 由直线1x =，2x =，曲线sin y x =及x 轴所围图形的面积为 A. π B. cos1cos2+ C. cos1cos2- D. sin 2sin1-5. 已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（）A. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭ B. 12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 12,23⎛⎫⎪⎝⎭ D. 12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭6. 一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ），则几何体的体积是（ ） A.32243cm B. 1123cm C. 396cm D. 3224cm7. 若变量,x y 满足约束条件1236x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，2z x y =+的最小值为（ ）A.185 B. 103C.3D. 1 8. 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，πϕπ-<≤. 若()f x 的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则（ ）A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数9. 如图，12,F F 是双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A.13 B. 15 C. 2 D. 34 4 4 210. 对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数32115()33212g x x x x =-+-，则1220132013g g ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20122013g ⎛⎫+⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭（ ）A. 2011B. 2012C. 2013 D2014 第Ⅱ卷二．填空题（本大题共5小题，共25分）11. 若关于x 的不等式24x x m -≥对任意[]0,1x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是_________12. 若2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n 为正偶数）的展开式中的第5项的二项式系数最大，则第5项是_______.13. 已知平行四边形ABCD ，点E 、F 分别为边BC 、CD 上的中点，若AC AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u r 则λμ+=_______.14. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是_______.15. 选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A ．（选修4—4坐标系与参数方程）已知点A 是曲线2sin ρθ=上任意一点，则点A 到直线sin()43πρθ+=的距离的最小值是________.B ．（选修4—5不等式选讲）不等式22|log ||log |x x x x -<+的解集是___________.C ．（选修4—1几何证明选讲）如图所示，AB 和AC 分别是圆O 的切线，且OC=3，AB=4，延长AO 到D ，则△ABD 的面积是_________.三．解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且222b c a bc +-=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2()cos cos 222x x xf x =+，求()f B 的最大值，并判断此时△ABC 的形状.17.（本小题满分12分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3655a a =，2716a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令2141n n b a +=-（n ∈N +），记数列{}n b 的前n 项和为n T ，对于任意的n ∈N +，不等式100n mT <恒成立，求实数m 的最小值.18.（本小题满分12分）已知直三棱柱111ABC A B C -中，5AB =，4AC =，3BC =，14AA =，点D 在AB 上.（Ⅰ）若D 是AB 中点，求证：1AC ∥平面1B CD ；（Ⅱ）当5AB BD =时，求面ABC 和面1B CD 夹角的余弦值.CBA1B1A1C D第14题图19.（本小题满分12分）现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择. 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢. （Ⅰ）求这4人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；（Ⅲ）用，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.20. （本小题满分13分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A，且离心率为2， （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点(0,2)M 的直线l 与椭圆相交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上，设||MP u u u r u u ur =||MQ λ=u u u u r u u u r ，试求实数λ的取值范围.21. （本小题满分14分）（Ⅰ）若1a =，求曲线()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅲ）是否存在实数(1,2)a ∈，使22()f x a>当(0,1)x ∈时恒成立？若存在，求出实数a ；若不存在，请说明理由.理科数学答案及评分参考 说明一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分.第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 2.C 3． C 4..C 5.A 6.A 7.C 8.A 9.A 10.B 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.]3,(--∞ 12．358x 613．34 14．10. 15. A. 52 B. (1,)+∞ C. 485三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bccosA 可得cosA=12．-------------------------------------3分 ∵ 0<A<π ， （或写成A 是三角形内角） ∴3A π=． ……………………6分（Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=311sin cos 222x x =++ 1sin()62x π=++， ……9分∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+<（没讨论，扣1分） ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23．又∵3A π=， ∴3C π=∴△ABC 为等边三角形． …………12分17（本小题满分12分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设d >0 由a 2+a 7＝16.得12716a d += ① 由3655,a a ⋅=得11(2)(5)55a d a d ++= ②由①得12167a d =-将其代入②得(163)(163)220d d -+=.即22569220d -=214,0,2,11(1)221n d d d a a n n ∴=>∴==∴=+-⋅=-又代入得① w.w.w.k.s.5.u.c.o.m --------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1-2n a n =1421n -=+n a b =()1111111n 242+-=+=-+n n n n ）（ 11111(1)()()2231n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-+=1-1n 1+<1 100n m T <恒成立.1001100m≥⇔≥⇔m ∴m 的最小值为100.-------------------------12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，连结DE ． ∵ 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是AB 中点， ∴侧面B B 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，∴ DE// AC 1． ∵DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1C D ，∴AC 1∥平面B 1CD ． -------------6分（Ⅱ） ∵ AC ⊥BC ，∴如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz ， 则AA 1BCDB 1C 1B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A 1 (0, 4, 4)，B 1 (3, 0, 4)，]设D (a, b, 0)（0a >，0b >），∵点D 在线段AB 上，且15BD AB =， 即15BD BA =u u u r u u u r ．∴124,55a b ==．∴1(3,0,4)B C =--u u u r，(3,4,0)BA =-u u u r ， 124(,,0)55CD =u u u r ．平面BCD 的法向量为()0,0,1n =r设平面B 1 CD 的法向量为2n u u r=（x,y,z ）由 120B C n ⋅=u u u r u u r ，20CD n ⋅=u u u r u u r ， 得 340124055x z x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令z=1,得4,43x y =-=，24(,4,1)3n =-u u r ．设面ABC 和面1B CD 夹角为θ， 则→→→→=12.cos n n n n θ=133所以面ABC 和面1B CD 夹角的余弦值为313． ----------------------------12分 19. 解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为13，去参加乙项目联欢的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲项目联欢”为事件i A ，(0,1,2,3,4)i =，则4412()()()33i i ii P A C -=.（Ⅰ）这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率22224128()()()3327P A C ==--------4分（Ⅱ）设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B ，34B A A =⋃，故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=. ∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为19.-------8分 (III)ξ的所有可能取值为0,2,4. 28(0)()27P P A ξ===，1340(2)()(),81P P A P A ξ==+=0417(4)()(),81P P A P A ξ==+= 所以ξ的分布列是ξ 0 2 4P827 4081 178114881E ξ=.---------------------------------------------------------------------------------12分 20．(本题满分13分)解：（I ）设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，由于椭圆的一个顶点是A(0，2)，故b 2＝2. 根据离心率是32得，e ＝a 2－b 2a 2＝32，解得a 2＝8. 所以椭圆的标准方程是x 28＋y 22＝1. ..........6分（II ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，N(x 0，y 0)． ①若直线l 与y 轴重合，则|||||MP MQ PN NQ λ==⇒2－22－y 0＝2＋22＋y 0=λ，解得y 0＝1，得λ＝ 2....7分 ② 若直线l 与y 轴不重合，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 与椭圆方程联立消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋8＝0，根据韦达定理得x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝81＋4k 2.----------------------------------------------8分 由||||||||MP MQ PN NQ λ→→→→==，得0－x 1x 1－x 0＝0－x 2x 0－x 2，整理得2x 1x 2＝x 0(x 1＋x 2)，把上面的等式代入得x 0＝－1k.又点N 在直线y ＝kx ＋2上，所以y 0＝k 1k ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2＝1，于是有1<y 1< 2...........10分λ＝2－y 1y 1－1＝1y 1－1－1，由1<y 1<2，得1y 1－1>2＋1， 所以λ> 2. 综上所述λ≥ 2. ......................................................... 13分 21．(本题满分14分)解 ：（I ）∵a=1，xex x x f )12()(2+-=∴xxe x x e x xf )12()22()(2'+-+-==(12-x )x e …………… 2分于是f(0)=1，1)0(-='f .所以曲线y = f （x ）在点A （0，f （0））处的切线方程为1y x -=-， 即10x y +-= -------------------------------- 4分（II ）ax ax e a a x a x e a x x f ⋅⋅+-+-=')12()22()(2= ax ax ea a ax e x ax a x )2()1222(22-+=+-+-∵ a ＞0，e ax ＞0，∴ 只需讨论aa ax 22-+的符号．ⅰ）当a ＞2时，aa ax 22-+＞0，这时f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（－∞，+∞）上为增函数． ⅱ）当a = 2时，f ′（x ）= 2x 2e 2x ≥0，函数f （x ）在（－∞，+∞）上为增函数．……………… 6分ⅲ）当0＜a ＜2时，令f ′（x ）= 0，解得a a x --=21，aax -=22． 当x 变化时， f '（x ）和f （x ）的变化情况如下表： x )2,(aa---∞ aa--2 )2,2(aaa a ---aa-2 ),2(+∞-aaf '（x ） + 0 － 0 + f （x ）↗极大值↘极小值↗∴ f （x ）在)2,(a a ---∞，),2(+∞-a a 为增函数，f （x ）在)2,2(aaa a ---为减函数．---- 9分 (III)当a ∈（1，2）时，a a -2∈（0，1）．由（2）知f （x ）在)2,0(a a -上是减函数，在)1,2(aa-上是增函数，故当x ∈（0，1）时，ae a aa a f x f ---=-=22min )21(2)2()(.所以22)(a x f >当x ∈（0，1）时恒成立，等价于1)21(2>---ae a 恒成立．当a ∈（1，2）时，)1,0(2∈-a ，设)1,0(,)1()(∈-=t e t t g t ，则0)(<-=--='t t t t te te e e t g ， 表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得)1,0()(∈t g ，即a ∈（1，2）时1)21(2<---ae a 恒成立，因此，符合条件的实数a 不存在． -------- 14高考模拟数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。